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2015揭阳一模文科数学试题及答案

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广东省揭阳市高考一模文科数学试题答案

广东省揭阳市高考一模文科数学试题答案

通知：各位”羽十俱进”的队员，为了更好地开展协会活动，提高整体羽毛球水平，请各位进行搭档组合展开针对性更强的训练，项目包括男双、女双、混双，每人至少报一项，限报两项（有兴趣的也可另报单打），女队员至少报一项女双。

希望大家尽快找好自己的搭档（名单详见收件人），周三前将组合名单报至卢华处。

报名统计完毕后将分组每周展开定时训练和比赛，每周训练时间为周一和周四，报名的时候顺便报一下你这个组合哪天有空参加训练。

谢谢支持！绝密★启用前揭阳市2015年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 导数公式： 若()sin(1)f x x =-，则'()cos(1)f x x =-； 若()cos(1)f x x =-，则'()sin(1)f x x =--．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{4,5,6,8},{3,5,7,8}A B ==，则A B 中元素的个数为40－50岁50岁以上40岁以下30%20%50%A ．5B ．6C ．7D ．8 2．已知复数(87)(3)z i i =---，则z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．“a b >”是 “22a b >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．双曲线222214x y a a-=(0)a >的离心率为A.5 B.5C.2D. 35．已知(sin ,cos ),2,1a b αα==（-），若a b ⊥，则tan α的值为A. 2-B. 2C.12 D. 12- 6．已知函数log a y x =(0,1)a a >≠的图象经过点1(2,)2，则其反函数的解析式为A. 4x y =B.4log y x =C.2xy = D. 1()2x y =7．某单位200名职工的年龄分布情况如图1示，该单位为了 解职工每天的睡眠情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取 40名职工进行调查.则应从40-50岁的职工中抽取的人数为A.8B.12C.20D.308．不等式组5315+15 3.x y y x x y +≤⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，，表示的平面区域的面积为 图1A. 14B.5C. 3D. 79．设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是 A.若//,//,//m l m l αα则； B.若,,//m l m l αα⊥⊥则；C.若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则；D.若,//,,//,//m m l l αββααβ⊂⊂则.10. 对任意的a 、b R ∈，定义：min{,}a b =,().()a a b b a b <⎧⎨≥⎩；max{,}a b =,().()a ab b a b ≥⎧⎨<⎩.则下列各式中恒成立的个数为①min{,}max{,}a b a b a b =++ ②min{,}max{,}a b a b a b =--FE ACB 3648788451162139496612413415910288757145699398109977546196183120703612601 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3080日期（AQI）指数40120160200③(min{,})(max{,})a b a b a b =⋅⋅ ④(min{,})(max{,})a b a b a b =÷÷ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11－13题）11．不等式23100x x --<的解集为 ．12．在△ABC 中，A B C ∠∠∠、、的对边分别为a b c 、、，若3a =，2B A ∠=∠，cos 63A =， 则b = ．13．已知函数3()f x x =对应的曲线在点(,())()k k a f a k N *∈处的切线与x 轴的交点为1(,0)k a +，若11a =，则333121010()()()21()3f a f a f a +++=- ． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线sin()24πρθ+= 被圆=4ρ截得的弦长为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图2，BE 、CF△ABC 的两条高，已知1,AE =3,42,AB CF ==则BC 边的长为 ． 图2 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.(本小题满分12分)已知函数()2sin()(0,)6f x x x R ωωπ=+>∈的最小正周期为π. （1）求ω的值； （2）若2()3f α=，(0,)8πα∈，求cos 2α的值.17.(本小题满分12分)图3是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI ）的趋势图.图3（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图4中补全这些数据的频率分布直方图； （2）当空气质量指数（AQI ）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月（按30天计）某一天到达该市，根据以上信息，能否认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%？ （图中纵坐标1/300即1300，以此类推） 图418．（本小题满分14分）如图5，已知BCD ∆中，90,1BCD BC CD ∠===，6AB =AB ⊥平面BCD ，E 、F 分别是AC 、AD 的中点．（1）求证：平面BEF ⊥平面ABC ；（2）设平面BEF 平面BCD l =，求证//CD l ； （3）求四棱锥B-CDFE 的体积V ．图519. (本小题满分14分)已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，3(1)n n S na n n =--（*n N ∈），且212a =．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）求证：1211113n S S S +++<． 20. (本小题满分14分)已知抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，且||5PF =. （1）求抛物线C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M ，且直线l 与抛物线的准线交于点Q ,试探究，在坐标平面内是否存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由. 21. (本小题满分14分)已知函数()f x ax =，()ln g x x =，其中a R ∈．（1）若函数()()()F x f x g x =-，当1a =时，求函数()F x 的极值；（2）若函数()(sin(1))()G x f x g x =--在区间(0,1)上为减函数，求a 的取值范围；（3）证明：11sinln(1)1nk n k =<++∑．2015揭阳市数学(文科)参考答案一、选择题：BBDAC ABDCB解析：10. 由定义知⑴、⑶恒成立，⑵⑷不恒成立，正确答案B.二、填空题： 11. {|25}x x -<<；12.13. 3；14..解析：13.由2'()3f x x =得曲线的切线的斜率23k k a =，故切线方程为323()k k k y a a x a -=-，令0y =得123k k a a +=123k k a a +⇒=，故数列{}n a 是首项11a =，公比23q =的等比数列，又310(f f f a +++101011210(1)3(1)1a q a a a q q-=+++==--，所以31010(31()3f a ++=-.15．依题意得BE =BEA ∽△CFA得AE BE ABAF FC AC==,所以2,AF =6,AC = BC三、解答题： 16．解：（1）由2ππω=得=2ω----------------------------------------------------2分（2）解法1：由π2()2sin(2)63f αα=+= 得π1sin(2)63α+= -----------------------3分∵(0,)8πα∈，∴5π2(, )6612ππα+∈， --------------------------------------------4分∴πcos(2)63α+==-----------------------------------------6分 ∴cos 2cos[(2)]66ππαα=+-----------------------------------------------------8分cos(2)cos sin(2)sin 6666ππππαα=+++ ----------------------------------------10分23116132326=+⋅=----------------------------------------------------12分 [解法2：由π2()2sin(2)63f αα=+= 得π1sin(2)63α+=，--------------------------3分即1sin 2coscos 2sin663ππαα+=-------------------------------------------------5分 ⇒2cos 23sin 23αα-=-----------------------①---------------------------------6分 将①代入22sin 2cos 21αα+=并整理得24cos 212cos 2230αα--=，---------------8分 解得：12246126cos 2α±±==--------------------②---------------------10分∵(0,)8πα∈ ∴024πα<<，∴cos20α>，故②中负值不合舍去，----------------11分∴126cos 2α+=.-----------------------------------------------------------12分] 17．解：（1）---4分 ----8分 (2) 由频率分布表知，该市本月前30天中空气质量优良的天数为19，------------------9分 故此人到达当天空气质量优良的概率：190.63>0.630P =≈-------------------------------------------------------------11分 故可以认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60% ----------------------------12分 18.解：（1）证明：AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD AB CD ∴⊥，----------------1分又BC CD ⊥， ABBC B =， CD ∴⊥平面ABC ，------------------------------2分又E 、F 分别是AC 、AD 的中点，∴//.EF CD ---------------------------------------3分 ∴EF ⊥平面ABC又EF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面ABC -----------------------------------------4分 （2）CD // EF ，CD ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF∴//CD 平面BEF ，----------------------------6分 又CD ⊂平面BCD ，且平面BEF平面BCD l =∴//CD l ．------------------------------------8分 （3）解法1：由（1）知EF //CD ∴AEFACD ∆∆------------------------------9分1,4AEF ACD S S ∆∆∴= ∴14B AEF B ACD V V --=------------------11分 331444B ACD A BCD BCD V V V S AB --∆∴===⋅116116428=⨯⨯⨯=------------------14分 [解法2：取BD 中点G ，连结FC 和FG ，则FG//AB ，-----9分 ∵AB ⊥平面BCD ，∴FG ⊥平面BCD ，-----------------10分 由（1）知EF ⊥平面ABC ， ∴F EBC F BCD V V V --=+1133EBC BCD S EF S FG ∆∆=⋅+⋅------12分 1611166113423228=⨯+⨯⨯⨯⨯=.----------------14分] 19.解：（1）由2122232(21)S a a a =+=-⨯-和212.a =可得16a =，------------------2分（2）解法1：当2n ≥时，由1n n n a S S -=-得13(1)(1)3(1)(2)n n n a na n n n a n n -=-------，---------------------------------4分⇒1(1)(1)6(1)n n n a n a n ----=-16(2,)n n a a n n N *-⇒-=≥∈---------------------6分∴数列{}n a 是首项16a =，公差为6的等差数列，∴16(1)6n a a n n =+-=-------------8分 [解法2：当2n ≥时，由13(1)()3(1)n n n n S na n n n S S n n -=--=---------------------4分 可得1(1)3(1)n n n S nS n n ---=- 131n n S S n n -∴-=-,---------------------------------6分∴数列{}n S n 为首项161S=,公差为3的等差数列， 63(1)33nS n n n∴=+-=+，即233n S n n =+. ∴6n a n =---------------------------------------------------------------------8分] （3）证明：由（2）知1()3(1)2n n n a a S n n +==+-----------------------------------10分 11111()3(1)31n S n n n n ==-++--------------------------------------------------12分 12111111111[(1)()()]32231n S S S n n ∴+++<-+-++-+111(1)313n =-<+， 命题得证．---------------------------------------------------------------------14分 20.解：(1)解法1： ∵点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，∴设点(,)(0)P m m m >,----------------------------------------------------------1分 ∵抛物线C 的准线为2p y =-，由||5PF =结合抛物线的定义得52pm +=-------①-----2分 又点P 在抛物线C 上，∴22m pm =(0)m >⇒2m p =.----------------------②-----3分 由①②联立解得2p =，∴所求抛物线C 的方程式为24x y =.-------------------------5分 [解法2：∵点P 是直线y x =与抛物线C在第一象限的交点，∴设点(,)(0)P m m m >,----------------------------------------------------------1分∵抛物线C 的焦点为(0,)2p F ，由||5PF =5=, 即22()252p m m +-=，-------------------------------------------①-------------2分 又点P 在抛物线C 上，∴22m pm =(0)m >⇒2m p =.--------------②-------------3分 由①②联立解得2p =，∴所求抛物线C 的方程式为24x y =.-------------------------5分] （2）解法1：由抛物线C 关于y 轴对称可知，若存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 必在y 轴上，设(0,)N n ，--------------------------------------------------6分又设点200(,)4x M x ，由直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M 知，直线l 与抛物线C 相切， 由214y x =得1'2y x =，∴001'|2x x k y x ===，---------------------------------------7分 ∴直线l 的方程为2000()42x xy x x -=-，--------------------------------------------8分 令1y =-得222x x x -=，∴Q 点的坐标为002(,1)2x x --，-----------------------------9分200002(,),(,1)42x x NM x n NQ n x ∴=-=-----------------------------------------10分∵点N 在以MQ 为直径的圆上，∴22220002(1)()(1)20(*)244x x x NM NQ n n n n n ⋅=--+-=-++-=--------------12分要使方程(*)对0x 恒成立，必须有21020n n n -=⎧⎨+-=⎩解得1n =，-------------------------13分∴在坐标平面内存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，其坐标为(0,1)．--------14分 [解法2：设点00(,)M x y ，由:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M 知，直线l 与抛物线相切，由214y x =得1'2y x =，∴001'|2x x k y x ===，-----------------------------------6分 ∴直线l 的方程为000()2xy y x x -=-，---------------------------------------------7分令1y =-得002(1)y x x -=，∴Q 点的坐标为002(1)(,1)y x --，-------------------------8分 ∴以MQ 为直径的圆方程为：00002(1)()(1)()[]0y y y y x x x x --++--=--------③----10分分别令02x =和02x =-，由点M 在抛物线C 上得01y =，将00,x y 的值分别代入③得：(1)(1)(2)0y y x x -++-=-------------------------------④(1)(1)(2)0y y x x -+++=--------------------------------------------------------⑤④⑤联立解得0,1.x y =⎧⎨=⎩或0,1.x y =⎧⎨=-⎩，-----------------------------------------------12分∴在坐标平面内若存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 必为(0,1)或(0,1)-， 将(0,1)的坐标代入③式得， 左边=00002(1)2(1)()[]y y x x --+--002(1)2(1)0y y =-+-==右边， 将(0,1)-的坐标代入③式得， 左边=00002(1)()[]2(1)y x y x ---=-不恒等于0，------------------------------------13分 ∴在坐标平面内是存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，点N 坐标为为(0,1)．--14分] 21.解：（1）∵当1a =时， 函数()ln F x x x =-，(0)x > ∴11'()1x F x x x-=-=，---------------------------------------------------------1分 令'()0F x =得1x =，当(0,1)x ∈时'()0F x <，当(1,)x ∈+∞时，'()0F x >，即函数()F x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，---------------------------------------------------------------3分∴函数()F x 在1x =处有极小值，∴()F x 极小1ln11=-=.----------------------------------------------------------4分 （2）解法1：∵函数()(sin(1))()G x f x g x =--=sin(1)ln a x x --在区间(0,1)上为减函数∴1'()cos(1)0G x a x x=--≤在(0,1)上恒成立1cos(1)a x x ⇔≤-在(0,1)上恒成立，----5分 设1()cos(1)H x x x =-，则()()()()()2222cos 1sin 1sin 1cos 1'()cos (1)cos (1)x x x x x x H x x x x x -------==-- ---7分 当()0,1x ∈时，()sin 10x -<，()cos 10x ->所以'()0H x <在()0,1上恒成立，即函数()H x 在()0,1上单调递减，-------------------8分 ∴当()0,1x ∈时，()(1)1H x H >=，∴1a ≤.-----------------------------------------------------------------------9分[解法2：∵函数()(sin(1))()G x f x g x =--=sin(1)ln a x x --在区间(0,1)上为减函数 ∴对(0,1)x ∀∈ ，1'()cos(1)0G x a x x =--≤-----------（*）恒成立，--------------5分 ∵(0,1)x ∈，∴cos(1)0x ->，当0a ≤时，（*）式显然成立；----------------------------------------------------6分当0a >时，（*）式⇔1cos(1)x x a≥-在(0,1)上恒成立， 设()cos(1)h x x x =-，易知()h x 在(0,1)上单调递增，-------------------------------7分 ∴()(1)1h x h <=， ∴11a≥01a ⇒<≤，------------------------------------------------------------8分 综上得(,1]a ∈-∞.-------------------------------------------------------------9分]（3）由（2）知，当1a =时，()sin(1)ln G x x x =--(1)0G >=,sin(1)ln x x ⇒->1sin(1)ln x x⇒-<，------------------------②----------------10分 ∵对k N *∀∈有(0,1)1k k ∈+， 在②式中令1k x k =+得11sin(1)sin ln 11k k k k k+-=<++，--------------------------12分 ∴11131sin sin sin ln 2ln ln 2312n n n++++<++++341ln(2)ln(1)23n n n +=⋅⋅⋅=+， 即11sin ln(1)1n k n k =<++∑．-------------------------------------------------------14分。

广东省揭阳三中2015届高三数学上学期第一次月考试卷 文(含解析)

广东省揭阳三中2015届高三数学上学期第一次月考试卷 文(含解析)

广东省揭阳三中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是（）A．1 B．3 C．4 D．82．（5分）设集合A={x|1≤x≤2}，B={y|1≤y≤4}，则下述对应法则f中，不能构成A到B 的映射的是（）A．f：x→y=x2B．f：x→y=3x﹣2 C．f：x→y=﹣x+4 D．f：x→y=4﹣x23．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”的否定为（）A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0B．∃x∈R，x2﹣2x+4＞0C．∀x∉R，x2﹣2x+4≤0D．∃x∉R，x2﹣2x+4＞04．（5分）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|2＜x＜3} 5．（5分）设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为假D．p∨q为真6．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y=﹣x3，x∈R B．y=sinx，x∈R C．y=x，x∈R D．7．（5分）当0＜a＜b＜1时，下列不等式中正确的是（）A．＞（1﹣a）b B．（1+a）a＞（1+b）b C．（1﹣a）b＞D．（1﹣a）a＞（1﹣b）b8．（5分）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d．例如明文1，2，3，4对应加密文5，7，18，16，当接受方收到密文14，9，23，28时，则解密得明文为（）A．7，6，1，4 B．6，4，1，7 C．4，6，1，7 D．1，6，4，79．（5分）函数f（x）=2x2﹣mx+3，当x∈D．（﹣∞，8]10．（5分）己知x∈，则方程2﹣|x|=cos2πx所有实数根的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.11．（5分）函数y=log2（x﹣1）的定义域是．12．（5分）函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=，若f（1）=﹣5，则f （5）=．13．（5分）计算：=．14．（5分）设g（x）=，则g（g（））=．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（12分）已知U=R，A={x||x﹣3|＜2}，B={x|＞0}，求A∩B，C U（A∪B）．16．（12分）已知函数f（x）=，x∈R，（1）求f（x）+f（）的值；（2）计算f（1）+f（2）+…+f+f（）+f（）+…+f（）．17．（14分）设函数y=f（x）且lg（lgy）=lg（3x）+lg（3﹣x）．（Ⅰ）求f（x）的解析式及定义域．（Ⅱ）求f（x）的值域．18．（14分）已知函数f（x）=是奇函数．（1）求实数m的值；（2）若函数f（x）在区间上单调递增，求实数a的取值范围．19．（14分）函数的定义域为（0，1]（a为实数）．（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数y=f（x）的值域；（Ⅱ）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围；（Ⅲ）求函数y=f（x）在x∈（0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值．20．（14分）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）设m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？广东省揭阳三中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是（）A．1 B．3 C．4 D．8考点：并集及其运算．分析：根据题意，分析可得，该问题可转化为求集合A={1，2}的子集个数问题，再由集合的元素数目与子集数目的关系可得答案．解答：解：A={1，2}，A∪B={1，2，3}，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合A={1，2}的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有22=4个．故选择答案C．点评：本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想．2．（5分）设集合A={x|1≤x≤2}，B={y|1≤y≤4}，则下述对应法则f中，不能构成A到B 的映射的是（）A．f：x→y=x2B．f：x→y=3x﹣2 C．f：x→y=﹣x+4 D．f：x→y=4﹣x2考点：映射．专题：应用题．分析：按照映射的定义，一个对应能构成映射的条件是，A中的每个元素在集合B中都有唯一的确定的一个元素与之对应．判断题中各个对应是否满足映射的定义，从而得到结论．解答：解：对于对应f：x→y=x2，当1≤x≤2 时，1≤x2≤4，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故A中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=3x﹣2，当1≤x≤2 时，1≤3x﹣2≤4，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故B中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=﹣x+4，当1≤x≤2时，2≤﹣x+4≤3，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故B中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=4﹣x2 ，当x=2 时，y=0，显然y=0不在集合B中，不满足映射的定义，故D中的对应不能构成A到B的映射．故选D．点评：本题考查映射的定义，一个对应能构成映射时，必须使A中的每个元素在集合B中都有唯一的确定的一个元素与之对应．3．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”的否定为（）A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0 B．∃x∈R，x2﹣2x+4＞0C．∀x∉R，x2﹣2x+4≤0D．∃x∉R，x2﹣2x+4＞0考点：全称命题；命题的否定．专题：计算题．分析：本题中的命题是一个全称命题，其否定是特称命题，依据全称命题的否定书写形式写出命题的否定即可．解答：解：∵命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”，∴命题的否定是“∃x∈R，x2﹣2x+4＞0”故选B．点评：本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，书写时注意量词的变化．4．（5分）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|2＜x＜3}考点：交集及其运算．分析：解出集合N，结合数轴求交集．解答：解：N={x|log2x＞1}={x|x＞2}，用数轴表示可得答案D故选D．点评：考查知识点有对数函数的单调性，集合的交集，本题比较容易5．（5分）设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为假D．p∨q为真考点：复合命题的真假；三角函数的周期性及其求法；余弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质；简易逻辑．分析：由题设条件可先判断出两个命题的真假，再根据复合命题真假的判断规则判断出选项中复合命题的真假即可得出正确选项．解答：解：由于函数y=sin2x的最小正周期为π，故命题p是假命题；函数y=cosx的图象关于直线x=kπ对称，k∈Z，故q是假命题．结合复合命题的判断规则知：￢q为真命题，p∧q 为假命题，p∨q为是假命题．故选C．点评：本题考查复合命题的真假判断，解题的关键是正确判断所涉及命题的真假及熟练掌握复合命题的真假判断规则，本题属于2015届高考常考题型也是对命题考查的常规题型，知识性强，难度不大．6．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y=﹣x3，x∈R B．y=sinx，x∈R C．y=x，x∈R D．考点：函数的图象与图象变化；奇函数．分析：根据基本函数的性质逐一对各个答案进行分析．解答：解：A在其定义域内既是奇函数又是减函数；B在其定义域内是奇函数但不是减函数；C在其定义域内既是奇函数又是增函数；D在其定义域内是非奇非偶函数，是减函数；故选A．点评：处理这种题目的关键是熟练掌握各种基本函数的图象和性质，其处理的方法是逐一分析各个函数，排除掉错误的答案．7．（5分）当0＜a＜b＜1时，下列不等式中正确的是（）A．＞（1﹣a）b B．（1+a）a＞（1+b）b C．（1﹣a）b＞D．（1﹣a）a＞（1﹣b）b考点：指数函数的单调性与特殊点．分析：根据指数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减，对选项逐一验证即可得到答案．解答：解析：∵0＜a＜1，∴0＜1﹣a＜1，y=（1﹣a）x为减函数，又∵0＜b＜1，∴＞b，b＞，∴＜（1﹣a）b，（1﹣a）b＜，∴A、C均错，又∵1＜1+a＜1+b，∴（1+a）a＜（1+b）a＜（1+b）b，∴B错．对于D，（1﹣a）a＞（1﹣a）b，而（1﹣a）b＞（1﹣b）b，∴（1﹣a）a＞（1﹣b）b．故选D点评：本题主要考查指数函数的单调性．属基础题．8．（5分）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d．例如明文1，2，3，4对应加密文5，7，18，16，当接受方收到密文14，9，23，28时，则解密得明文为（）A．7，6，1，4 B．6，4，1，7 C．4，6，1，7 D．1，6，4，7考点：加密和数字签名的方法．专题：计算题．分析：利用接收方收到密文14，9，23，28及题目提供的加密规则，建立关于a，b，c，d 的方程组，从而可解得解密得到的明文．解答：解：设明文为a，b，c，d，∴4d=28，2c+3d=23，2b+c=9，a+2b=14，∴d=7，c=1，b=4，a=6，则解密得明文为6，4，1，7．故选B．点评：本题主要考查了加密和数字签名的方法，同时考查实际应用能力等数学基本能力，要加强新的信息与创新题，是个基础题．9．（5分）函数f（x）=2x2﹣mx+3，当x∈D．（﹣∞，8]考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：先求出函数f（x）=2x2﹣mx+3对应抛物线的对称轴，再由函数在上单调递增，则对称轴在区间的左侧求解．解答：解：函数f（x）=2x2﹣mx+3，∴其对称轴为：x=又∵函数在上单调递增∴≤﹣2，∴m≤﹣8．故选C．点评：本题主要考查二次函数的性质，涉及了二次函数的对称性和单调性，在研究二次函数单调性时，一定要明确开口方向和对称轴．10．（5分）己知x∈，则方程2﹣|x|=cos2πx所有实数根的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5考点：根的存在性及根的个数判断．专题：数形结合；函数的性质及应用．分析：在同一坐标系内作出函数f（x）=2﹣|x|，g（x）=cos2πx的图象，根据图象交点的个数，可得方程解的个数．解答：解：在同一坐标系内作出函数f（x）=2﹣|x|，g（x）=cos2πx的图象根据函数图象可知，图象交点的个数为5个∴方程2﹣|x|=cos2πx所有实数根的个数为5个故选D．点评：本题考查方程解的个数，考查函数图象的作法，考查数形结合的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.11．（5分）函数y=log2（x﹣1）的定义域是（1，+∞）．考点：对数函数的定义域．专题：计算题．分析：由函数的解析式知，令真数x﹣1＞0即可解出函数的定义域．解答：解：∵y=log2（x﹣1），∴x﹣1＞0，x＞1函数y=log2（x﹣1）的定义域是（1，+∞）故答案为（1，+∞）点评：本题考查求对数函数的定义域，熟练掌握对数函数的定义及性质是正确解答本题的关键．12．（5分）函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=，若f（1）=﹣5，则f （5）=﹣5．考点：函数的周期性．专题：函数的性质及应用．分析：根据条件可得函数是周期为4的周期函数，然后利用函数的周期性即可得到结论．解答：解：∵f（x+2）=，∴f（x）≠0，且f（x+4）=f（x+2+2）=，即函数的周期为4．∵f（1）=﹣5，∴f（5）=f（1+4）=f（1）=﹣5．故答案为：﹣5；点评：本题主要考查函数值的计算，利用条件推出函数的周期性是解决本题的关键，要求熟练掌握函数周期性的应用．13．（5分）计算：=12．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：规律型．分析：利用有理数指数幂的性质进行运算．解答：解：=．故答案为：12．点评：本题主要考查有理数指数幂的化简和求值，比较基础．14．（5分）设g（x）=，则g（g（））=．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据分段函数的解析式，先求出g（）的值，再求g（g（））的值．解答：解：∵g（x）=，∴g（）=ln=﹣ln2＜0，∴g（g（））=g（﹣ln2）=e﹣ln2==2﹣1=．故答案为：．点评：本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（12分）已知U=R，A={x||x﹣3|＜2}，B={x|＞0}，求A∩B，C U（A∪B）．考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：根据绝对值的性质和不等式的解法分别解出集合A，B，再根据交集和并集、补集的定义进行求解；解答：解：∵U=R，A={x||x﹣3|＜2}，B={x|＞0}，∴A={x||x﹣3|＜2}={x|1＜x＜5}，∴A∩B={x|1＜x＜2或4＜x＜5}，∵A∪B=R，∴C U（A∪B）=∅；点评：此题主要考查不等式的解法，以及集合交、并、补的运算法则，是一道基础题；16．（12分）已知函数f（x）=，x∈R，（1）求f（x）+f（）的值；（2）计算f（1）+f（2）+…+f+f（）+f（）+…+f（）．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由函数f（x）=，x∈R，能求出f（x）+f（）=+=1．（2）由f（x）+f（）=1，能求出f（1）+f（2）+…+f+f（）+f（）+…+f（）的值．解答：解：（1）∵函数f（x）=，x∈R，∴f（x）+f（）=+=1．（2）由（1）得：f（1）+f（2）+…+f+f（）+f（）+…+f（）==．点评：本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．17．（14分）设函数y=f（x）且lg（lgy）=lg（3x）+lg（3﹣x）．（Ⅰ）求f（x）的解析式及定义域．（Ⅱ）求f（x）的值域．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）利用对数的运算法则，结合对数式与指数式的互化，可得函数的解析式，利用真数大于0，可得函数的定义域；（Ⅱ）根据定义域，确定指数的范围，再利用指数函数的单调性，可求f（x）的值域．解答：解：（Ⅰ）∵lg（lgy）=lg（3x）+lg（3﹣x）．∴lg（lgy）=lg∴lgy=3x（3﹣x）∴y=103x（3﹣x）∵，∴0＜x＜3，即函数的定义域为（0，3）；（Ⅱ）令t=3x（3﹣x）=﹣3∵x∈（0，3），∴t∈（0，]∴10t∈∴函数的值域为．点评：本题考查对数的运算法则，考查函数的解析式与值域，正确运用对数的运算法则是关键．18．（14分）已知函数f（x）=是奇函数．（1）求实数m的值；（2）若函数f（x）在区间上单调递增，求实数a的取值范围．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：综合题．分析：（1）根据函数f（x）为奇函数，设x＜0得到f（﹣x）=﹣f（x），进而的f（x）的解析式，求得m的值．（2）根据（1）中的解析式，可画出f（x）的图象，根据图象可知要使f（x）在上单调递增，则需a﹣2＞﹣1且a﹣2≤1，进而求得a的范围．解答：解：（1）设x＜0，则﹣x＞0，所以f（﹣x）=﹣（﹣x）2+2（﹣x）=﹣x2﹣2x，又f（x）为奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），于是x＜0时，f（x）=x2+2x=x2+mx，所以m=2．（2）要使f（x）在上单调递增，结合f（x）的图象知所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是（1，3]．点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用．属基础题．19．（14分）函数的定义域为（0，1]（a为实数）．（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数y=f（x）的值域；（Ⅱ）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围；（Ⅲ）求函数y=f（x）在x∈（0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的值域；函数的单调性与导数的关系．专题：综合题．分析：（I）将a的值代入函数解析式，利用基本不等式求出函数的值域．（II）求出导函数，令导函数大于等于0在定义域上恒成立，分离出a，构造函数，通过求函数的最小值，求出a的范围．（III）通过对a的讨论，判断出函数在（0，1）上的单调性，求出函数的最值．解答：解：（Ⅰ）显然函数y=f（x）的值域为；（Ⅱ）∵在定义域上恒成立而﹣2x2∈（﹣2，0）∴a≤﹣2（II）当a≥0时，函数y=f（x）在（0.1]上单调增，无最小值，当x=1时取得最大值2﹣a；由（2）得当a≤﹣2时，函数y=f（x）在（0.1]上单调减，无最大值，当x=1时取得最小值2﹣a；当﹣2＜a＜0时，函数y=f（x）在上单调减，在上单调增，无最大值，当时取得最小值．点评：求函数的单调性常借助导数，当导函数大于0对应的区间是函数的单调递增区间；当导函数小于0对应的区间是函数的单调递减区间．求含参数的函数的性质问题时，一般要对参数讨论．20．（14分）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）设m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？考点：二次函数的性质．专题：综合题；压轴题．分析：（1）f（﹣1）=0⇒a﹣b+1=0，又值域为点评：本题是对二次函数性质的综合考查．其中（1）考查了二次函数解析式的求法．二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活的选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移，对称，函数的周期性，奇偶性等知识有机的结合在一起．。

2015年广东省揭阳市登岗中学高考一模数学试卷(文科)【解析版】

2015年广东省揭阳市登岗中学高考一模数学试卷(文科)【解析版】

2015年广东省揭阳市登岗中学高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x∈Z|1＜x＜4}，则A∩B＝（）A．{2，3}B．{1，4}C．{1，2，3，4}D．∅2．（5分）i为虚数单位，则复数i•（1﹣i）的虚部为（）A．i B．﹣i C．1D．﹣13．（5分）若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．（5分）若p是真命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．￢p是真命题D．￢q是真命题5．（5分）在数列{a n}中，a1＝1，公比q＝2，则a4的值为（）A．7B．8C．9D．166．（5分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y＝lnx B．y＝x2C．y＝cos x D．y＝2﹣|x|7．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．3B．11C．38D．1238．（5分）已知平面向量，的夹角为，且•＝3，||＝3，则||＝（）A．B．C．D．29．（5分）设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．9π+42B．36π+18C．D．10．（5分）对实数a与b，定义新运算“⊗”：a⊗b＝．设函数f（x）＝（x2﹣2）⊗（x﹣1），x∈R．若函数y＝f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．（﹣1，1]∪（2，+∞）B．（﹣2，﹣1]∪（1，2]C．（﹣∞，﹣2）∪（1，2]D．[﹣2，﹣1]二、填空题（本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分.）（一）必做题（第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．）11．（5分）在△ABC中，若b＝3，c＝1，cos A＝，则a＝．12．（5分）已知函数则f（f（2））＝．13．（5分）设x、y满足条件，则z＝x+y的最小值是．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第14题的分．）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）已知圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，则圆C上点到直线l：ρcosθ﹣2ρsinθ+4＝0的最短距离为．【几何证明选讲选做题】15．如图，P AB、PCD为⊙O的两条割线，若P A＝5，AB＝7，CD＝11，AC＝2，则BD等于．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（12分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，周期为2π．（1）求f（x）的解析式；（2）若，求的值．17．（12分）为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）若从上表的第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A＝AB＝2，BC＝3．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）求四棱锥B﹣AA1C1D的体积．19．（14分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，a3＝6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若S k＝110，求k的值；（3）设数列{}的前n项和为T n，求T2013的值．20．（14分）已知椭圆的离心率为，且经过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点P（0，2）的直线交椭圆C于A，B两点，求△AOB（O为原点）面积的最大值．21．（14分）已知函数x2+bx+a（a，b∈R），且其导函数f′（x）的图象过原点．（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的图象在x＝3处的切线方程；（Ⅱ）若存在x＜0，使得f′（x）＝﹣9，求a的最大值；（Ⅲ）当a＞0时，求函数f（x）的零点个数．2015年广东省揭阳市登岗中学高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x∈Z|1＜x＜4}，则A∩B＝（）A．{2，3}B．{1，4}C．{1，2，3，4}D．∅【解答】解：B＝{x∈Z|1＜x＜4}＝{2，3}，则A∩B＝{2，3}，故选：A．2．（5分）i为虚数单位，则复数i•（1﹣i）的虚部为（）A．i B．﹣i C．1D．﹣1【解答】解：∵复数i•（1﹣i）＝1+i，故复数i•（1﹣i）的虚部为1，故选：C．3．（5分）若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：当“a＝1”时，“|a|＝1”成立即“a＝1”⇒“|a|＝1”为真命题但“|a|＝1”时，“a＝1”不一定成立即“|a|＝1”时，“a＝1”为假命题故“a＝1”是“|a|＝1”的充分不必要条件故选：A．4．（5分）若p是真命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．￢p是真命题D．￢q是真命题【解答】解：∵p是真命题，q是假命题，∴p∧q是假命题，选项A错误；p∨q是真命题，选项B错误；￢p是假命题，选项C错误；￢q是真命题，选项D正确．故选：D．5．（5分）在数列{a n}中，a1＝1，公比q＝2，则a4的值为（）A．7B．8C．9D．16【解答】解：由等比数列的通项公式可得：a4＝a1•q3＝1×23＝8故选：B．6．（5分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y＝lnx B．y＝x2C．y＝cos x D．y＝2﹣|x|【解答】解：y＝lnx不是偶函数，排除A；y＝cos x是周期函数，在区间（0，+∞）上不单调递减，排除C；y＝x2在区间（0，+∞）上单调递增，排除B；故选：D．7．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．3B．11C．38D．123【解答】解；经过第一次循环得到a＝12+2＝3经过第一次循环得到a＝32+2＝11不满足判断框的条件，执行输出11故选：B．8．（5分）已知平面向量，的夹角为，且•＝3，||＝3，则||＝（）A．B．C．D．2【解答】解：平面向量，的夹角为，且•＝3，||＝3，即有•＝||•||•cos＝3||＝3，则有||＝．故选：C．9．（5分）设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．9π+42B．36π+18C．D．【解答】解：由三视图可知，几何体是一个简单的组合体，下面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱，上面是一个球，球的直径是3，该几何体的体积是两个体积之和，四棱柱的体积3×3×2＝18，球的体积是，∴几何体的体积是18+，故选：D．10．（5分）对实数a与b，定义新运算“⊗”：a⊗b＝．设函数f（x）＝（x2﹣2）⊗（x﹣1），x∈R．若函数y＝f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．（﹣1，1]∪（2，+∞）B．（﹣2，﹣1]∪（1，2]C．（﹣∞，﹣2）∪（1，2]D．[﹣2，﹣1]【解答】解：∵，∴函数f（x）＝（x2﹣2）⊗（x﹣1）＝，由图可知，当c∈（﹣2，﹣1]∪（1，2]函数f（x）与y＝c的图象有两个公共点，∴c的取值范围是（﹣2，﹣1]∪（1，2]，故选：B．二、填空题（本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分.）（一）必做题（第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．）11．（5分）在△ABC中，若b＝3，c＝1，cos A＝，则a＝2．【解答】解：在△ABC中，若b＝3，c＝1，cos A＝，则由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc•cos A＝9+1﹣6×＝8，故a＝2，故答案为2．12．（5分）已知函数则f（f（2））＝﹣1．【解答】解：因函数所以f（2）＝﹣1则f（f（2））＝f（﹣1）＝﹣1故答案为：﹣113．（5分）设x、y满足条件，则z＝x+y的最小值是1．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图示：由图可知，画直线x+y＝0，平移直线过点A（1，0）∴x+y有最小值1．故答案为：1．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第14题的分．）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）已知圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，则圆C上点到直线l：ρcosθ﹣2ρsinθ+4＝0的最短距离为﹣1．【解答】解：由ρ＝2cosθ⇒ρ2＝2ρcosθ⇒x2+y2﹣2x＝0⇒（x﹣1）2+y2＝1，ρcosθ﹣2ρsinθ+4＝0⇒x﹣2y+4＝0，∴圆心到直线距离为：d＝＝．则圆C上点到直线l：ρcosθ﹣2ρsinθ+4＝0的最短距离为﹣1故答案为：﹣1．【几何证明选讲选做题】15．如图，P AB、PCD为⊙O的两条割线，若P A＝5，AB＝7，CD＝11，AC＝2，则BD等于6．【解答】解：设PC＝x，则根据割线定理得P A×PB＝PC×PD，即5（5+7）＝x（x+11），解之得x＝4（舍去﹣15）∴PC＝4，PD＝15∵四边形ABDC是圆内接四边形∴∠B＝∠ACP，∠D＝∠CAP，可得△P AC∽△PDB∴，即，可得BD＝6故答案为：6三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（12分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，周期为2π．（1）求f（x）的解析式；（2）若，求的值．【解答】解：（1）由题意可得＝2π，解得ω＝1，故函数f（x）＝sin（x+φ）．再由此函数为偶函数，可得φ＝kπ+，k∈z，结合0≤φ≤π可得φ＝，故f （x）＝cos x．（2）∵，∴cos（α+）＝．根据α+∈（0，），∴sin（α+）＝．∴＝2sin（α+）cos（α+）＝2××＝．17．（12分）为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）若从上表的第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．【解答】解：（1）由频率分布表可知：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8，所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于60×＝32人．…（4分）（2）设第三组的乘客为a，b，c，d，第四组的乘客为1，2；“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件A．…（5分）所得基本事件共有15种，即：ab，ac，ad，a1，a2，bc，bd，b1，b2，cd，c1，c2，d1，d2，12…（8分）其中事件A包含基本事件a1，a2，b1，b2，c1，c2，d1，d2，共8种，…（10分）由古典概型可得P（A）＝…（12分）18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A＝AB＝2，BC＝3．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）求四棱锥B﹣AA1C1D的体积．【解答】解：（1）证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的中点．∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1．（3分）∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D．（6分）（2）∵AA1⊥平面ABC，AA1⊂平面AA1C1C，∴平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C＝AC．作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA1C1C，（8分）∵AB＝BB1＝2，BC＝3，在Rt△ABC中，，，（10分）∴四棱锥B﹣AA1C1D的体积（12分）＝＝3．∴四棱锥B﹣AA1C1D的体积为3．（14分）19．（14分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，a3＝6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若S k＝110，求k的值；（3）设数列{}的前n项和为T n，求T2013的值．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵，∴d＝2，∴数列{a n}的通项公式a n＝2+2（n﹣1）＝2n；（2）∵．解得k＝10或k＝﹣11（舍去）；（3）∵，∴，∴＝1﹣．20．（14分）已知椭圆的离心率为，且经过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点P（0，2）的直线交椭圆C于A，B两点，求△AOB（O为原点）面积的最大值．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由，得．①…（2分）由椭圆C经过点，得．②…（3分）联立①②，解得b＝1，．…（4分）所以椭圆C的方程是．…（5分）（Ⅱ）解：易知直线AB的斜率存在，设其方程为y＝kx+2．将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去y得（1+3k2）x2+12kx+9＝0．…（7分）令△＝144k2﹣36（1+3k2）＞0，得k2＞1．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．…（9分）所以．…（10分）因为，设k2﹣1＝t（t＞0），则．…（13分）当且仅当，即时等号成立，此时△AOB面积取得最大值．…（14分）21．（14分）已知函数x2+bx+a（a，b∈R），且其导函数f′（x）的图象过原点．（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的图象在x＝3处的切线方程；（Ⅱ）若存在x＜0，使得f′（x）＝﹣9，求a的最大值；（Ⅲ）当a＞0时，求函数f（x）的零点个数．【解答】解：，f'（x）＝x2﹣（a+1）x+b由f'（0）＝0得b＝0，f'（x）＝x（x﹣a﹣1）．（Ⅰ）当a＝1时，，f'（x）＝x（x﹣2），f（3）＝1，f'（3）＝3所以函数f（x）的图象在x＝3处的切线方程为y﹣1＝3（x﹣3），即3x﹣y﹣8＝0；（Ⅱ）存在x＜0，使得f'（x）＝x（x﹣a﹣1）＝﹣9，，a≤﹣7，当且仅当x＝﹣3时，a＝﹣7，所以a的最大值为﹣7；（Ⅲ）当a＞0时，x，f'（x），f（x）的变化情况如下表：f（x）的极大值f（0）＝a＞0，f（x）的极小值又，，．所以函数f（x）在区间内各有一个零点，故函数f（x）共有三个零点．。

2015年广东省揭阳市高考一模数学试卷(文科)【解析版】

2015年广东省揭阳市高考一模数学试卷(文科)【解析版】

2015年广东省揭阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{4，5，6，8}，B＝{3，5，7，8}，则A∪B中元素的个数为（）A．5B．6C．7D．82．（5分）已知复数z＝（﹣8﹣7i）（﹣3i），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0）的离心率为（）A．B．C．2D．5．（5分）已知＝（sinα，cosα），＝（﹣2，1），若⊥，则tanα的值为（）A．﹣2B．2C．D．6．（5分）已知函数y＝log a x（a＞0，a≠1）的图象经过点（2，），则其反函数的解析式为（）A．y＝4x B．y＝log4x C．y＝2x D．y＝（）x 7．（5分）某单位200名职工的年龄分布情况如图示，该单位为了解职工每天的睡眠情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取40名职工进行调查．则应从40﹣50岁的职工中抽取的人数为（）A．8B．12C．20D．308．（5分）不等式组表示的平面区域的面积为（）A．14B．5C．3D．79．（5分）设l、m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A．若m∥l，m∥α，则l∥αB．若m⊥α，l⊥m，则l∥αC．若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥mD．若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥β10．（5分）对任意的a、b∈R，定义：min{a，b}＝；max{a，b}＝．则下列各式中恒成立的个数为（）①min{a，b}+max{a，b}＝a+b②min{a，b}﹣max{a，b}＝a﹣b③（min{a，b}）•（max{a，b}）＝a•b④（min{a，b}）÷（max{a，b}）＝a÷b．A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11-13题）11．（5分）不等式x2﹣3x﹣10＜0的解集为．12．（5分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a＝3，∠B＝2∠A，cos A＝，则b＝．13．（5分）已知函数f（x）＝x3对应的曲线在点（a k，f（a k））（k∈N*）处的切线与x轴的交点为（a k+1，0），若a1＝1，则＝．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）在极坐标系中，直线ρsin（θ+）＝2被圆ρ＝4截得的弦长为．【几何证明选讲选做题】15．如图，BE、CF分别为钝角△ABC的两条高，已知AE＝1，AB＝3，CF＝4，则BC边的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）若f（α）＝，α∈（0，），求cos2α的值．17．（12分）如图是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI）的趋势图．（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图4中补全这些数据的频率分布直方图；（2）当空气质量指数（AQI）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月（按30天计）某一天到达该市，根据以上信息，能否认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%？（图中纵坐标1/300即，以此类推）18．（14分）如图5，已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB＝，AB⊥平面BCD，E、F分别是AC、AD的中点．（1）求证：平面BEF⊥平面ABC；（2）设平面BEF∩平面BCD＝l，求证CD∥l；（3）求四棱锥B﹣CDFE的体积V．19．（14分）已知S n为数列{a n}的前n项和，S n＝na n﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2＝12．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）求证：++…+．20．（14分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点P是直线y＝x与抛物线C在第一象限的交点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点M，且直线l与抛物线的准线交于点Q，试探究，在坐标平面内是否存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．21．（14分）已知函数f（x）＝ax，g（x）＝lnx，其中a∈R．（1）若函数F（x）＝f（x）﹣g（x），当a＝1时，求函数F（x）的极值；（2）若函数G（x）＝f（sin（x﹣1））﹣g（x）在区间（0，1）上为减函数，求a的取值范围；（3）证明：＜ln（n+1）．2015年广东省揭阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{4，5，6，8}，B＝{3，5，7，8}，则A∪B中元素的个数为（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：∵A＝{4，5，6，8}，B＝{3，5，7，8}，∴A∪B＝{3，4，5，6，7，8}，故则A∪B中元素的个数为6个，故选：B．2．（5分）已知复数z＝（﹣8﹣7i）（﹣3i），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数z＝（﹣8﹣7i）（﹣3i）＝24i﹣21，则z在复平面内对应的点（﹣21，24）位于第二象限．故选：B．3．（5分）“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a＝1，b＝﹣1，满足a＞b，但a2＞b2不成立，若a＝﹣1，b＝0，满足a2＞b2，但a＞b不成立，故“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，故选：D．4．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0）的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0）的b＝2a，c＝＝a，即有e＝＝．故选：A．5．（5分）已知＝（sinα，cosα），＝（﹣2，1），若⊥，则tanα的值为（）A．﹣2B．2C．D．【解答】解：∵＝（sinα，cosα），＝（﹣2，1），⊥，∴＝﹣2sinα+cosα＝0，∴cosα＝2sinα，∴tanα＝＝．故选：C．6．（5分）已知函数y＝log a x（a＞0，a≠1）的图象经过点（2，），则其反函数的解析式为（）A．y＝4x B．y＝log4x C．y＝2x D．y＝（）x 【解答】解：∵y＝log a x（a＞0，a≠1）的图象经过点（2，），∴，解得a＝4．∴y＝log4x，则x＝4y，把x，y互换得到函数y＝log4x的反函数为y＝4x．故选：A．7．（5分）某单位200名职工的年龄分布情况如图示，该单位为了解职工每天的睡眠情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取40名职工进行调查．则应从40﹣50岁的职工中抽取的人数为（）A．8B．12C．20D．30【解答】解：由图表关系知，若抽取40名职工，则应从40﹣50岁的职工中抽取的人数为40×30%＝12，故选：B．8．（5分）不等式组表示的平面区域的面积为（）A．14B．5C．3D．7【解答】解：画出满足条件表示的平面区域，如图示：∴平面区域的面积是×4×＝7，故选：D．9．（5分）设l、m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A．若m∥l，m∥α，则l∥αB．若m⊥α，l⊥m，则l∥αC．若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥mD．若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥β【解答】解：对于A，若m∥l，m∥α，则l可能在α内，故A错误；对于B，若m⊥α，l⊥m，则l可能在α内，故B错误；对于C，若α∥β，l⊥α，得到l⊥β，结合m∥β，得到l⊥m；故C正确；对于D，若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α与β可能相交；故D错误；故选：C．10．（5分）对任意的a、b∈R，定义：min{a，b}＝；max{a，b}＝．则下列各式中恒成立的个数为（）①min{a，b}+max{a，b}＝a+b②min{a，b}﹣max{a，b}＝a﹣b③（min{a，b}）•（max{a，b}）＝a•b④（min{a，b}）÷（max{a，b}）＝a÷b．A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵对任意的a、b∈R，定义：min{a，b}＝；max{a，b}＝，∴min{a，b}取a，b中的最小值，max{a，b}取a，b的最大值．∴min{a，b}，max{a，b}分别取出a，b中的一个最大值与一个最小值，∴min{a，b}+max{a，b}＝a+b，（min{a，b}）•（max{a，b}）＝a•b，故①③成立；若a≤b，则有：min{a，b}﹣max{a，b}＝a﹣b，若a＞b，则min{a，b}﹣max{a，b}＝b﹣a≠a﹣b，故③不一定成立；若a≤b，且b≠0，则有：（min{a，b}）÷（max{a，b}）＝a÷b，若a＞b，且a≠0，（min{a，b}）÷（max{a，b}）＝b÷a≠a÷b．故④不一定成立．故选：B．二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11-13题）11．（5分）不等式x2﹣3x﹣10＜0的解集为{x|﹣2＜x＜5}．【解答】解：不等式x2﹣3x﹣10＜0可化为（x﹣5）（x+2）＜0，解得﹣2＜x＜5；∴该不等式的解集为{x|﹣2＜x＜5}．故答案为：{x|﹣2＜x＜5}．12．（5分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a＝3，∠B＝2∠A，cos A＝，则b＝2．【解答】解：△ABC中，由cos A＝，∠B＝2∠A，可得sin A＝，sin B＝sin2A ＝2sin A cos A＝2××＝．再由正弦定理可得＝，即＝，求得b＝2，故答案为：．13．（5分）已知函数f（x）＝x3对应的曲线在点（a k，f（a k））（k∈N*）处的切线与x轴的交点为（a k+1，0），若a1＝1，则＝3．【解答】解：由f'（x）＝3x2得曲线的切线的斜率，故切线方程为，令y＝0得，故数列{a n}是首项a1＝1，公比的等比数列，又＝，所以．故答案为：3．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）在极坐标系中，直线ρsin（θ+）＝2被圆ρ＝4截得的弦长为4．【解答】解：∵ρsin（θ+）＝2，∴ρsinθ+ρcosθ＝2，化成直角坐标方程为：x+y﹣2＝0，圆ρ＝4化成直角坐标方程为x2+y2＝16，圆心到直线的距离为：∴截得的弦长为：2×＝．故答案为：．【几何证明选讲选做题】15．如图，BE、CF分别为钝角△ABC的两条高，已知AE＝1，AB＝3，CF＝4，则BC边的长为．【解答】解：依题意，AE＝1，AB＝3，得，因△BEA∽△CF A得，所以AF＝2，AC＝6，所以EC＝7，所以．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）若f（α）＝，α∈（0，），求cos2α的值．【解答】解：（1）函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π，由得ω＝2；（2）由：得∵，∴，∴∴＝＝∴．17．（12分）如图是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI）的趋势图．（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图4中补全这些数据的频率分布直方图；（2）当空气质量指数（AQI）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月（按30天计）某一天到达该市，根据以上信息，能否认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%？（图中纵坐标1/300即，以此类推）【解答】解：（1）根据图中数据，列出频率分布表如下；根据频率分布表，画出频率分布直方图，如下；（2）由频率分布表知，该市本月前30天中空气质量优良的天数为2+5+7+5＝19，﹣﹣﹣（9分）∴此人到达当天空气质量优良的概率：；﹣﹣﹣（11分）∴可以认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%．﹣﹣﹣（12分）18．（14分）如图5，已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB＝，AB⊥平面BCD，E、F分别是AC、AD的中点．（1）求证：平面BEF⊥平面ABC；（2）设平面BEF∩平面BCD＝l，求证CD∥l；（3）求四棱锥B﹣CDFE的体积V．【解答】（1）证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，又BC⊥CD，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC，又E、F分别是AC、AD的中点，∴EF∥CD．∴EF⊥平面ABC又EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面ABC．（2）证明：∵CD∥EF，CD⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，∴CD∥平面BEF，又CD⊂平面BCD，且平面BEF∩平面BCD＝l，∴CD∥l．（2）解法1：由（1）知EF∥CD，∴△AEF～△ACD．∴，∴，∴＝．解法2：取BD中点G，连接FC和FG，则FG∥AB，∵AB⊥平面BCD，∴FG⊥平面BCD，由（1）知EF⊥平面ABC，∴V＝V F+V F﹣BCD＝＝﹣EBC．19．（14分）已知S n为数列{a n}的前n项和，S n＝na n﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2＝12．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）求证：++…+．【解答】（1）解：由S n＝na n﹣3n（n﹣1），得a1+a2＝2a2﹣3×2×（2﹣1），即a1＝a2﹣6，∵a2＝12，∴a1＝12﹣6＝6；（2）解：由S n＝na n﹣3n（n﹣1），得S n﹣1＝（n﹣1）a n﹣1﹣3（n﹣1）（n﹣2）（n≥2），两式作差得：a n＝na n﹣（n﹣1）a n﹣1﹣6n+6，即a n﹣a n﹣1＝6（n≥2）．∴数列{a n}是以6为首项，以6为公差的等差数列，∴a n＝6+6（n﹣1）＝6n；（3）证明：，则，∴++…+＝＝．20．（14分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点P是直线y＝x与抛物线C在第一象限的交点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点M，且直线l与抛物线的准线交于点Q，试探究，在坐标平面内是否存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）解法1：∵点P是直线y＝x与抛物线C在第一象限的交点，∴设点P（m，m）（m＞0），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∵抛物线C的准线为，由|PF|＝5结合抛物线的定义得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又点P在抛物线C上，∴m2＝2pm（m＞0）⇒m＝2p．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②﹣﹣﹣﹣﹣（3分）由①②联立解得p＝2，∴所求抛物线C的方程式为x2＝4y．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）[解法2：∵点P是直线y＝x与抛物线C在第一象限的交点，∴设点P（m，m）（m＞0），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∵抛物线C的焦点为，由|PF|＝5得，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又点P在抛物线C上，∴m2＝2pm（m＞0）⇒m＝2p．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）由①②联立解得p＝2，∴所求抛物线C的方程式为x2＝4y．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）]（2）解法1：由抛物线C关于y轴对称可知，若存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，则点N必在y轴上，设N（0，n），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）又设点，由直线l：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点M知，直线l 与抛物线C相切，由得，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴直线l的方程为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）令y＝﹣1得，∴Q点的坐标为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∵点N在以MQ为直径的圆上，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）要使方程（*）对x0恒成立，必须有解得n＝1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）∴在坐标平面内存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，其坐标为（0，1）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）[解法2：设点M（x0，y0），由l：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点M知，直线l与抛物线相切，由得，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴直线l的方程为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）令y＝﹣1得，∴Q点的坐标为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴以MQ为直径的圆方程为：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③﹣﹣﹣﹣（10分）分别令x0＝2和x0＝﹣2，由点M在抛物线C上得y0＝1，将x0，y0的值分别代入③得：（y﹣1）（y+1）+（x﹣2）x＝0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣④（y﹣1）（y+1）+（x+2）x＝0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣⑤④⑤联立解得或，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴在坐标平面内若存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，则点N必为（0，1）或（0，﹣1），将（0，1）的坐标代入③式得，左边＝＝2（1﹣y0）+2（y0﹣1）＝0＝右边，将（0，﹣1）的坐标代入③式得，左边＝不恒等于0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）∴在坐标平面内是存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，点N坐标为为（0，1）．﹣﹣（14分）21．（14分）已知函数f（x）＝ax，g（x）＝lnx，其中a∈R．（1）若函数F（x）＝f（x）﹣g（x），当a＝1时，求函数F（x）的极值；（2）若函数G（x）＝f（sin（x﹣1））﹣g（x）在区间（0，1）上为减函数，求a的取值范围；（3）证明：＜ln（n+1）．【解答】解：（1）∵当a＝1时，函数F（x）＝x﹣lnx，（x＞0）∴，令F'（x）＝0得x＝1，当x∈（0，1）时F'（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，F'（x）＞0，即函数F（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，∴函数F（x）在x＝1处有极小值，＝1﹣ln1＝1．∴F（x）极小（2）解法1：∵函数G（x）＝f（sin（x﹣1））﹣g（x）＝a sin（x﹣1）﹣lnx在区间（0，1）上为减函数∴在（0，1）上恒成立在（0，1）上恒成立，设，则，当x∈（0，1）时，sin（x﹣1）＜0，cos（x﹣1）＞0∴H'（x）＜0在（0，1）上恒成立，即函数H（x）在（0，1）上单调递减，∴当x∈（0，1）时，H（x）＞H（1）＝1，∴a≤1．解法2：∵函数G（x）＝f（sin（x﹣1））﹣g（x）＝a sin（x﹣1）﹣lnx在区间（0，1）上为减函数∴对∀x∈（0，1），（*）恒成立，∵x∈（0，1），∴cos（x﹣1）＞0，当a≤0时，（*）式显然成立；当a＞0时，（*）式⇔在（0，1）上恒成立，设h（x）＝x cos（x﹣1），易知h（x）在（0，1）上单调递增，∴h（x）＜h（1）＝1，∴⇒0＜a≤1，综上得a∈（﹣∞，1]．（3）由（2）知，当a＝1时，G（x）＝sin（x﹣1）﹣lnx＞G（1）＝0，⇒sin（x ﹣1）＞lnx，（**）∵对∀k∈N*有，在（**）式中令得，∴＝，即．第21页（共21页）。

【数学】广东省揭阳市第一中学2014-2015学年高二下学期第一次阶段考试(文)

【数学】广东省揭阳市第一中学2014-2015学年高二下学期第一次阶段考试(文)

广东省揭阳市第一中学2014-2015学年高二下学期第一次阶段考试文科数学试题一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．1．设全集U 是实数集R ，集合A ＝{y |y ＝3x ，x >0}，B ＝{x |y ＝2x －x 2}，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．{x |0≤x ＜1}B ．{x |0≤x ≤1}C ．{x | 1＜x ＜2}D ．{x | 1＜x ≤2}2．命题：“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是（ ）A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1B ．若－1<x <1，则x 2<1C ．若x >1或x <－1，则x 2>1D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1 3．如图所示的框图输出结果为（ ）A ．1023B ．1024C ．511D ．2047 4．函数f (x )=(x 2–2x )e x 的图像大致是（ ）A. B. C. D.5．设222,2,2x yx yM N P ++===0x y <<），则,,M N P 的大小关系为（ ） A ．M N P << B ．N P M << C ．P M N << D ．P N M <<6．观察各式：211=，22343++=，2345675++++=，2456789107++++++=，……，可以得出的一般结论是（ ）A ．2)23()2()1(n n n n n =-+⋅⋅⋅+++++ B ．2)12()23()2()1(-=-+⋅⋅⋅+++++n n n n n C ．2)13()2()1(n n n n n =-+⋅⋅⋅+++++ D ．2)12()13()2()1(-=-+⋅⋅⋅+++++n n n n nA ．B ．C ．D ．9．若关于x 的方程330x x m -+=在[02]，上有实根，则实数m 的取值范围是（ ）Ａ．[22]-， Ｂ．[02]， Ｃ．[20]-， Ｄ．(2)(2)-∞-+∞，，10．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，()f x ''是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数3231()122f x x x x =-++，则)20142013()20142()20141(f f f +⋅⋅⋅++＝（ ） A ．1 B ．2 C ．2013 D ．2014二、填空题:(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上). 11．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i )·(1＋i )＝bi ，则a ＋bi ＝________. 12．若函数在处取极值，则__________13．已知双曲线2213y x -=与抛物线22(0)y px p =>有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为M ，若||5MF =，则点M 的横坐标为 .14．记等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，利用倒序求和的方法得：1()2n n n a a S +=；类似地，记等比数列{}n b 的前n 项的积为n T ，且*0()n b n N >∈，试类比等差数列求和的方法，将n T 表示成首项1b 、末项n b 与项数n 的一个关系式，即n T = .三、解答题 (本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．（本小题满分12分）已知函数(x)f 22cos 2sin 4cos x x x =+-。

广东省揭阳市2015届高中毕业班高考第一次模拟考试文科综合试题

广东省揭阳市2015届高中毕业班高考第一次模拟考试文科综合试题

本试卷分选择题和非选择题两部分，共41题，共10页，满分300分。

考试用时150分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。

用2B铅笔将考生号填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各小题指定的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持试卷和答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共35小题，每小题4分，共140分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．当我国各地庆祝2015年来临的钟声敲响时，下列说法正确的是：A.告别“马年”，进入“羊年”B.2015年第一季度的开始C.世界各地都进入了2015年D.太阳直射点开始向北移动读“7月索马里洋流示意图”，回答2—3题。

2．有关图中区域叙述，正确的是：A.图中索马里洋流是暖流B.驱动索马里洋流的是盛行西风C.索马里洋流附近海域的渔业资源丰富主要是陆地径流带来丰富的营养物质D.索马里洋流附近海域的鱼群7月份相对1月份多3．索马里半岛沿海平原有一条沙漠带，与其形成无关．．的是：A.该地地势高，降水少B.季节性寒流的降温减湿，加剧干燥C.该地夏季西南风来自陆地比较干燥，降水少D.东北季风比较干燥，降水少4．读右图，一般而言，夏季日本太平洋沿岸河流径流量大于日本海沿岸河流，最主要的影响因素是：A.大气环流B.洋流C.地形D.海陆位置5．自然灾害的发生对人类影响是多方面的，下列说法不．符合实际的是：A.沙尘暴的降尘能增加土壤肥力B.咸潮能增加枯水期河流的水量，提高河流自净能力，改善水质C.台风的到来能缓解夏季的酷暑D.火山喷发可能会形成有用的矿物6．有关漫画中提及的“问题”说法正确的是：A.人口老龄化问题B.该问题发达地区比欠发达地区严重C.就业的性别歧视问题D.男青年婚娶困难加大读“我国某城市中心与郊外平原区对比图”，回答第7题。

揭阳一中等2015届高三上学期开学摸底联考试题(文数)

揭阳一中等2015届高三上学期开学摸底联考试题(文数)

2015届高三摸底考联考文科数学试题本试卷共4页，21题，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内。

2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。

3．答案一律写在答题区域内，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U R =，集合{|2},{|05},A x x B x x =≥=≤<则集合()U C A B =A ．{|02}x x <<B ．{|02}x x ≤<C ．{|02}x x <≤D ．{|02}x x ≤≤2．设复数z 满足2z i i ⋅=-，i 为虚数单位，则=zA ．2i -B ．12i +C ．12i -+D ．12i --3．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 A ．(,1)-∞- B.(1,)+∞ C.(1,1)(1,)-+∞ D. (,)-∞+∞4． 如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是 A ．36 B ．108C ．72D ．1805. 在ABC ∆中，若60,45,A B BC ︒︒∠=∠==AC =A.6．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 A ．123 B.38 C ．11 D ．37. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于( )A.D.18．已知实数4,,9m 构成一个等比数列，则圆锥曲线221xy m+=的离心率为第4题 图 第6题 图630.A 7.B 7630.或C 765.或D9.在下列条件下，可判断平面α与平面β平行的是 A. α、β都垂直于平面γ B. α内不共线的三个点到β的距离相等 C. l,m 是α内两条直线且l ∥β,m ∥β D. l,m 是异面直线,且l ∥α,m ∥α,l ∥β,m ∥β 10.对任意两个非零的平面向量,αβ，定义αβαβββ⋅=⋅．若平面向量,a b 满足0a b ≥>，a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b 和b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则b a =A ．12 B ．1 C ．32 D ．52二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14、15题为选做题。

2015年广东省揭阳市揭西县中考一模数学试卷(解析版)

2015年广东省揭阳市揭西县中考一模数学试卷(解析版)

2015年广东省揭阳市揭西县中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）﹣2的倒数是（）A．2B．﹣2C．D．﹣2．（3分）据国家统计局发布的数据显示，2015年一季度我国国内生产总值约为14060000000000元，这个数字用科学记数法表示为（）A．1.406×1013B．14.06×1012C．1.406×1012D．140.6×1011 3．（3分）一组数据是4，x，5，10，11共五个数，其平均数为7，则这组数据的众数是（）A．4B．5C．10D．114．（3分）把化为最简二次根式是（）A．B．C．D．5．（3分）下列运算正确的是（）A．a3+a＝2a4B．a6÷a﹣3＝a3C．a3•a3＝2a3D．（﹣2a2）3＝﹣8a66．（3分）计算+＝（）A．1B．C．D．7．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．8．（3分）如图是某几何体的三视图，则该几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．三棱柱D．三棱锥9．（3分）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（）A．2B．3C．D．1+10．（3分）如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D，E 分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE重叠压平，A与A′重合，若∠A＝70°，则∠1+∠2＝（）A．140°B．130°C．110°D．70°二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）分解因式：2x2﹣4x+2＝．12．（4分）如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y＝过点A，则k的值是．13．（4分）不等式组的解集是．14．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC中点，若DE＝2，则AB的长为．15．（4分）在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE＝2，则tan∠DBE的值是．16．（4分）如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB、AC分别交于点D、E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，过F作FH⊥BC，垂足为H．若AB＝8，则FH的长为．三．解答题（一）（每小题6分，共18分）17．（6分）计算：﹣|﹣2|+（﹣3）0﹣（）﹣1．18．（6分）先化简再求值：（﹣）÷（x﹣1），其中x＝．19．（6分）如图，已知线段a和b，a＞b，求作直角三角形ABC，使直角三角形的斜边AB＝a，直角边AC＝b．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）四．解答题（二）（每小题7分，共21分）20．（7分）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在A处，距离大路（BC）为30米，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处到C处所用的时间为5秒，∠BAC＝60°．（1）求B、C两点间的距离．（2）请判断此车是否超过了BC路段限速40千米/小时的速度．（参考数据：≈1.732，≈1.414）21．（7分）儿童节期间，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打8折优惠，能比标价省14元，已知书包标价比文具盒标价的3倍少6元，那么书包和文具盒的标价各是多少元．22．（7分）准备两组相同的牌，每组三张大小一样，三张牌的牌面数字分别为﹣1，0，1．从每组中各模出一张牌．（1）两张牌的牌面数字和等于1的概率是多？（2）两张牌的牌面数字和等于几的概率最大？（3）两张牌的牌面数字和大于0的概率是多少？五、解答题（三）（每小题9分，共27分）23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于一、三象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，﹣2），tan∠BOC＝．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式．（2）求△BOC的面积．（3）P是x轴上的点，且△P AC的面积与△BOC的面积相等，求P点的坐标．24．（9分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，过D点作PF∥AC交⊙O于F，交AB于点E，∠BPF＝∠ADC．（1）求证：BP是⊙O的切线；（2）求证：AE•EB＝DE•EF；（3）当⊙O的半径为，AC＝2，BE＝1时，求BP的长．25．（9分）如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y＝﹣x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B在二次函数y＝x2+bx+c 的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．（1）试求b、c的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动到何处时，有PQ⊥AC？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？2015年广东省揭阳市揭西县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）﹣2的倒数是（）A．2B．﹣2C．D．﹣【解答】解：∵﹣2×（）＝1，∴﹣2的倒数是﹣．故选：D．2．（3分）据国家统计局发布的数据显示，2015年一季度我国国内生产总值约为14060000000000元，这个数字用科学记数法表示为（）A．1.406×1013B．14.06×1012C．1.406×1012D．140.6×1011【解答】解：将14060000000000用科学记数法表示为1.406××1013．故选：A．3．（3分）一组数据是4，x，5，10，11共五个数，其平均数为7，则这组数据的众数是（）A．4B．5C．10D．11【解答】解：（4+x+5+10+11）÷5＝7，解得：x＝5，根据众数的定义可得这组数据的众数是5．故选：B．4．（3分）把化为最简二次根式是（）A．B．C．D．【解答】解：＝＝．故选：D．5．（3分）下列运算正确的是（）A．a3+a＝2a4B．a6÷a﹣3＝a3C．a3•a3＝2a3D．（﹣2a2）3＝﹣8a6【解答】解：A、a3与a不是同类项，不能合并，故错误；B、a6÷a﹣3＝a6﹣（﹣3）＝a9，故错误；C、a3•a3＝a6，故错误；D、正确；故选：D．6．（3分）计算+＝（）A．1B．C．D．【解答】解：原式＝＝＝1．故选：A．7．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A正确；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．故选：A．8．（3分）如图是某几何体的三视图，则该几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．三棱柱D．三棱锥【解答】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥．故选：A．9．（3分）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（）A．2B．3C．D．1+【解答】解：连接B′C，∵旋转角∠BAB′＝45°，∠BAC＝45°，∴B′在对角线AC上，∵AB＝AB′＝1，用勾股定理得AC＝，∴B′C＝﹣1，在等腰Rt△OB′C中，OB′＝B′C＝﹣1，在直角三角形OB′C中，由勾股定理得OC＝（﹣1）＝2﹣，∴OD＝1﹣OC＝﹣1∴四边形AB′OD的周长是：2AD+OB′+OD＝2+﹣1+﹣1＝2．故选：A．10．（3分）如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D，E 分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE重叠压平，A与A′重合，若∠A＝70°，则∠1+∠2＝（）A．140°B．130°C．110°D．70°【解答】解：∵四边形ADA′E的内角和为（4﹣2）•180°＝360°，而由折叠可知∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∠A＝∠A′，∴∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE＝360°﹣∠A﹣∠A′＝360°﹣2×70°＝220°，∴∠1+∠2＝180°×2﹣（∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE）＝140°．故选：A．二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）分解因式：2x2﹣4x+2＝2（x﹣1）2．【解答】解：2x2﹣4x+2，＝2（x2﹣2x+1），＝2（x﹣1）2．12．（4分）如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y＝过点A，则k的值是﹣4．【解答】解：根据题意，知|k|＝22＝4，k＝±4，又∵k＜0，∴k＝﹣4．故答案为：﹣4．13．（4分）不等式组的解集是x＞2．【解答】解：，解不等式①得，x＞﹣3，解不等式②得，x＞2，所以，不等式组的解集是x＞2．故答案为：x＞2．14．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC中点，若DE＝2，则AB的长为4．【解答】解：∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∴△ADC是直角三角形；∵E是AC的中点．∴DE＝AC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）；又∵DE＝2，AB＝AC，∴AB＝4．故答案为：4．15．（4分）在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE＝2，则tan∠DBE的值是2．【解答】解：设菱形ABCD边长为t，∵BE＝2，∴AE＝t﹣2，∵cos A＝，∴，∴＝，∴t＝5，∴AE＝5﹣2＝3，∴DE＝＝4，∴tan∠DBE＝＝＝2．故答案为：2．16．（4分）如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB、AC分别交于点D、E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，过F作FH⊥BC，垂足为H．若AB＝8，则FH的长为3．【解答】解：连接BE，∵BC为直径，∴∠BEC＝90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝60°，AE＝EC＝AC＝×8＝4，∵EF⊥AB，∴AF＝AE•cos60°＝4×＝2，∴BF＝AB﹣AF＝6，∵FH⊥BC，∴FH＝BF•sin60°＝6×＝3．故答案为：3．三．解答题（一）（每小题6分，共18分）17．（6分）计算：﹣|﹣2|+（﹣3）0﹣（）﹣1．【解答】解：原式＝5﹣2+1﹣5＝﹣1．18．（6分）先化简再求值：（﹣）÷（x﹣1），其中x＝．【解答】解：原式＝•＝•＝，当x＝，原式＝．19．（6分）如图，已知线段a和b，a＞b，求作直角三角形ABC，使直角三角形的斜边AB＝a，直角边AC＝b．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）【解答】解：如图，△ABC为所求作的直角三角形．四．解答题（二）（每小题7分，共21分）20．（7分）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在A处，距离大路（BC）为30米，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处到C处所用的时间为5秒，∠BAC＝60°．（1）求B、C两点间的距离．（2）请判断此车是否超过了BC路段限速40千米/小时的速度．（参考数据：≈1.732，≈1.414）【解答】解：（1）∵AC＝30米，∠BAC＝60°，∴在Rt△ABC中，BC＝AC•tan60°＝30（米），（2）∵此车从B处到C处所用的时间为5秒，∴小车在BC路段的速度为30÷≈37.4（千米/小时）∵37.4＜40∴此车在BC路段没有超速．21．（7分）儿童节期间，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打8折优惠，能比标价省14元，已知书包标价比文具盒标价的3倍少6元，那么书包和文具盒的标价各是多少元．【解答】解：设书包和文具盒的标价分别为x元、y元，依题意得：，解这个方程组，得；答：书包和文具盒的标价分别为51元、19元．22．（7分）准备两组相同的牌，每组三张大小一样，三张牌的牌面数字分别为﹣1，0，1．从每组中各模出一张牌．（1）两张牌的牌面数字和等于1的概率是多？（2）两张牌的牌面数字和等于几的概率最大？（3）两张牌的牌面数字和大于0的概率是多少？【解答】解：（1）画树状图得：则摸出的牌的所有可能的情况有：（﹣1，﹣1）（﹣1，0）（﹣1，1）（0，﹣1）（0，0）（0，1）（1，﹣1）（1，0）（1，1）；∵两张牌的牌面数字和等于1的有2种情况，∴两张牌的牌面数字和等于1的概率是：；（2）∵两张牌的牌面数字和等于﹣2的只有1种情况，两张牌的牌面数字和等于﹣1的有2种情况，两张牌的牌面数字和等于0的有3种情况，两张牌的牌面数字和等于1的有2种情况，两张牌的牌面数字和等于2的只有1种情况；∴两张牌的牌面数字和等于0的概率最大，是；（3）∵两张牌的牌面数字和大于0的有3种情况，∴两张牌的牌面数字和大于0的概率是：．五、解答题（三）（每小题9分，共27分）23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于一、三象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，﹣2），tan∠BOC＝．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式．（2）求△BOC的面积．（3）P是x轴上的点，且△P AC的面积与△BOC的面积相等，求P点的坐标．【解答】解：（1）过B作x轴的垂线，垂足为D，∵B的坐标为（n，﹣2），∴BD＝2，∵tan∠BOC＝，∴OD＝4，∴B的坐标为（﹣4，﹣2）把B（﹣4，﹣2）代入y＝得：k＝8，∴反比例函数为y＝，把A（2，m）代入y＝得：m＝4，∴A（2，4），把A（2，4）和B（﹣4，﹣2）代入y＝ax+b得：解得：a＝1，b＝2，∴一次函数的解析式为：y＝x+2；（2）在y＝x+2中，令y＝0，得x＝﹣2，∴CO＝2，∴S△BOC＝CO•BD＝×2×2＝2；（3）设P点的坐标为P（a，0）则由S△P AC＝S△BOC得：PC×4＝2，∴PC＝1，即||a+2|＝1，解得：a＝﹣3或a＝﹣1，即P的坐标为（﹣3，0）或（﹣1，0）．24．（9分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，过D点作PF∥AC交⊙O于F，交AB于点E，∠BPF＝∠ADC．（1）求证：BP是⊙O的切线；（2）求证：AE•EB＝DE•EF；（3）当⊙O的半径为，AC＝2，BE＝1时，求BP的长．【解答】（1）证明：连结BC，∵AB是ʘO的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°，又∵∠ABC＝∠ADC，∠ADC＝∠BPF，∵PF∥AC，∴∠CAB＝∠PEB，∴∠PEB+∠BPF＝90°，∴PB⊥AB，∴PB是ʘO的切线；（2）连结AF、BD．在△AEF和△DEB中，∠AEF＝∠DEB．∠AFE＝∠DBE，∴△AEF∽△DEB，∴＝，即AE•EB＝DE•EF；（3）在Rt△ABC中，BC2＝（2）2﹣22∴BC＝4，在Rt△ABC和Rt△EPB中，∠ABC＝∠ADC＝∠BPF，∴△ABC∽△EPB，∴＝，∴BP＝＝2．25．（9分）如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y＝﹣x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B在二次函数y＝x2+bx+c 的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．（1）试求b、c的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动到何处时，有PQ⊥AC？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？【解答】解：（1）由y＝﹣x+3，令x＝0，得y＝3，所以点A（0，3）；令y＝0，得x＝4，所以点C（4，0），∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴B点坐标为（﹣4，0），又∵四边形ABCD是平行四边形，∴D点坐标为（8，3），将点B（﹣4，0）、点D（8，3）代入二次函数y＝x2+bx+c，可得，解得：，故该二次函数解析式为：y＝x2﹣x﹣3．（2）∵OA＝3，OB＝4，∴AC＝5．①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP＝t，CQ＝t，AQ＝5﹣t，∵PQ⊥AC，∴∠AQP＝∠AOC＝90°，∠P AQ＝∠ACO，∴△APQ∽△CAO，∴＝，即＝，解得：t＝．即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQ⊥AC．②∵S四边形PDCQ+S△APQ＝S△ACD，且S△ACD＝×8×3＝12，∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，当动点P运动t秒时，AP＝t，CQ＝t，AQ＝5﹣t，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽△CAO可得：＝，解得：h＝（5﹣t），∴S△APQ＝t×（5﹣t）＝（﹣t2+5t）＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，S△APQ 达到最大值，此时S四边形PDCQ＝12﹣＝，故当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为．。

2015年广东省揭阳市高考一模【文科数学】试题+答案

2015年广东省揭阳市高考一模【文科数学】试题+答案

1揭阳市2015年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(文科)参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 导数公式：若()sin(1)f x x =-，则'()cos(1)f x x =-； 若()cos(1)f x x =-，则'()sin(1)f x x =--．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的．1．设集合{4,5,6,8},{3,5,7,8}A B ==，则A B 中元素的个数为 A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 2．已知复数(87)(3)z i i =---，则z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．“a b >”是 “22a b >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．双曲线222214x y a a -=(0)a >的离心率为A.C.2D.5．已知(sin ,cos ),2,1a b αα==（-），若a b ⊥，则tan α的值为 A. 2- B. 2 C.12 D. 12- 6．已知函数log a y x =(0,1)a a >≠的图象经过点1(2,)2，则其反函数的解析式为A. 4x y =B.4log y x =C.2xy = D. 1()2x y =7．某单位200名职工的年龄分布情况如图示，该单位为了 解职工每天的睡眠情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取 40名职工进行调查.则应从40-50岁的职工中抽取的人数为 A.8 B.12 C.20 D.30 8．不等式组5315+15 3.x y y x x y +≤⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，，表示的平面区域的面积为A. 14B.5C. 3D. 72FEACB9．设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是 A.若//,//,//m l m l αα则； B.若,,//m l m l αα⊥⊥则；C.若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则；D.若,//,,//,//m m l l αββααβ⊂⊂则.10. 对任意的a 、b R ∈，定义：min{,}a b =,().()a a b b a b <⎧⎨≥⎩；max{,}a b =,().()a ab b a b ≥⎧⎨<⎩.则下列各式中恒成立的个数为①min{,}max{,}a b a b a b =++ ②min{,}max{,}a b a b a b =--③(min{,})(max{,})a b a b a b =⋅⋅ ④(min{,})(max{,})a b a b a b =÷÷ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11－13题）11．不等式23100x x --<的解集为 ．12．在△ABC 中，A B C ∠∠∠、、的对边分别为a b c 、、，若3a =，2B A ∠=∠，cos A ，则b = ． 13．已知函数3()f x x =对应的曲线在点(,())()k k a f a k N *∈处的切线与x 轴的交点为1(,0)k a +，若11a =31010(1()3f a ++=- ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线sin()24πρθ+=被圆=4ρ截得的弦长为 .15．（几何证明选讲选做题）如图，BE 、CF 分别为钝角△ABC 的两条高，已知1,AE =3,AB CF ==则BC 边的长为 ．33648788451162139496612413415910288757145699398109977546196183120703612601 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3080日期（AQI ）指数40120160200三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.(本小题满分12分)已知函数()2sin()(0,)6f x x x R ωωπ=+>∈的最小正周期为π. （1）求ω的值； （2）若2()3f α=，(0,)8πα∈，求cos 2α的值.17.(本小题满分12分)图3是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI ）的趋势图.图3（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图4中补全这些数据的频率分布直方图； （2）当空气质量指数（AQI ）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月（按30天计）某一天到达该市，根据以上信息，能否认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%？（图中纵坐标1/300即1300，以此类推）图4418．（本小题满分14分）如图5，已知BCD ∆中，90,1BCD BC CD ∠===，AB =AB ⊥平面BCD ，E 、F 分别是AC 、AD 的中点．（1）求证：平面BEF ⊥平面ABC ；（2）设平面BEF 平面BCD l =，求证//CD l ； （3）求四棱锥B-CDFE 的体积V ．图519. (本小题满分14分)已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，3(1)n n S na n n =--（*n N ∈），且212a =．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）求证：1211113n S S S +++<．520. (本小题满分14分)已知抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，且||5PF =. （1）求抛物线C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M ，且直线l 与抛物线的准线交于点Q , 试探究，在坐标平面内是否存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出 点N 的坐标，若不存在，说明理由.21. (本小题满分14分)已知函数()f x ax =，()ln g x x =，其中a R ∈．（1）若函数()()()F x f x g x =-，当1a =时，求函数()F x 的极值；（2）若函数()(sin(1))()G x f x g x =--在区间(0,1)上为减函数，求a 的取值范围；（3）证明：11sinln(1)1nk n k =<++∑．6揭阳市2015年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：BBDAC ABDCB解析：10. 由定义知⑴、⑶恒成立，⑵⑷不恒成立，正确答案B.二、填空题： 11. {|25}x x -<<；12.13. 3；14..解析：13.由2'()3f x x =得曲线的切线的斜率23k k a =，故切线方程为323()k k k y a a x a -=-，令0y =得123k k a a +=123k k a a +⇒=，故数列{}n a 是首项11a =，公比23q =的等比数列，又310(f f f a +++101011210(1)3(1)1a q a a a q q-=+++==--，所以31010(31()3f a ++=-.15．依题意得BE =BEA ∽△CFA得AE BE ABAF FC AC==,所以2,AF =6,AC = BC =三、解答题： 16．解：（1）由2ππω=得=2ω----------------------------------------------------2分（2）解法1：由π2()2sin(2)63f αα=+=得π1sin(2)63α+= -----------------------3分∵(0,)8πα∈，∴5π2(,)6612ππα+∈， --------------------------------------------4分7∴πcos(2)6α+==-----------------------------------------6分 ∴cos 2cos[(2)]66ππαα=+-----------------------------------------------------8分 cos(2)cos sin(2)sin 6666ππππαα=+++ ----------------------------------------10分11132326=+⋅=----------------------------------------------------12分 [解法2：由π2()2sin(2)63f αα=+= 得π1sin(2)63α+=，--------------------------3分即1sin 2coscos 2sin663ππαα+=-------------------------------------------------5分⇒2cos 2sin 2αα-=①---------------------------------6分 将①代入22sin 2cos 21αα+=并整理得24cos 212cos 2230αα--=，---------------8分解得：cos 2α==--------------------②---------------------10分 ∵(0,)8πα∈ ∴024πα<<，∴cos 20α>，故②中负值不合舍去，----------------11分∴cos 2α=.-----------------------------------------------------------12分] 17．解：（1）---4分 ----8分8(2) 由频率分布表知，该市本月前30天中空气质量优良的天数为19，------------------9分 故此人到达当天空气质量优良的概率：190.63>0.630P =≈-------------------------------------------------------------11分 故可以认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60% ----------------------------12分18.解：（1）证明：AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD A B C D ∴⊥，----------------1分 又BC CD ⊥， AB BC B =， CD ∴⊥平面ABC ，------------------------------2分 又E 、F 分别是AC 、AD 的中点，∴//.EF CD ---------------------------------------3分 ∴EF ⊥平面ABC 又EF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面ABC -----------------------------------------4分 （2） CD // EF ，CD ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF ∴//CD 平面BEF ，----------------------------6分 又CD ⊂平面BCD ，且平面BEF 平面BCD l = ∴//CD l ．------------------------------------8分 （3）解法1：由（1）知EF //CD∴AEF ACD ∆∆------------------------------9分1,4AEF ACD S S ∆∆∴= ∴14B AEF B ACD V V --=------------------11分 331444B ACD A BCD BCD V V V S AB --∆∴===⋅111142=⨯⨯⨯=------------------14分[解法2：取BD 中点G ，连结FC 和FG ，则FG//AB ，-----9分∵AB ⊥平面BCD ，∴FG ⊥平面BCD ，-----------------10分 由（1）知EF ⊥平面ABC ， ∴F EBC F BCD V V V --=+1133EBC BCD S EF S FG ∆∆=⋅+⋅------12分1111113423228=⨯+⨯⨯⨯⨯=.----------------14分]19.解：（1）由2122232(21)S a a a =+=-⨯-和212.a =可得16a =，------------------2分 （2）解法1：当2n ≥时，由1n n n a S S -=-得13(1)(1)3(1)(2)n n n a na n n n a n n -=-------，---------------------------------4分9⇒1(1)(1)6(1)n n n a n a n ----=-16(2,)n n a a n n N *-⇒-=≥∈---------------------6分∴数列{}n a 是首项16a =，公差为6的等差数列，∴16(1)6n a a n n =+-=-------------8分 [解法2：当2n ≥时，由13(1)()3(1)n n n n S na n n n S S n n -=--=---------------------4分 可得1(1)3(1)n n n S nS n n ---=- 131n n S S n n -∴-=-,---------------------------------6分 ∴数列{}n S n 为首项161S=,公差为3的等差数列， 63(1)33nS n n n∴=+-=+，即233n S n n =+. ∴6n a n =---------------------------------------------------------------------8分] （3）证明：由（2）知1()3(1)2n n n a a S n n +==+-----------------------------------10分 11111()3(1)31n S n n n n ==-++--------------------------------------------------12分 12111111111[(1)()()]32231n S S S n n ∴+++<-+-++-+111(1)313n =-<+， 命题得证．---------------------------------------------------------------------14分20.解：(1)解法1： ∵点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，∴设点(,)(0)P m m m >,----------------------------------------------------------1分 ∵抛物线C 的准线为2p y =-，由||5PF =结合抛物线的定义得52pm +=-------①-----2分 又点P 在抛物线C 上，∴22m pm =(0)m >⇒2m p =.----------------------②-----3分由①②联立解得2p =，∴所求抛物线C 的方程式为24x y =.-------------------------5分[解法2：∵点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，∴设点(,)(0)P m m m >,----------------------------------------------------------1分10∵抛物线C 的焦点为(0,)2p F ，由||5PF =5=, 即22()252p m m +-=，-------------------------------------------①-------------2分 又点P 在抛物线C 上，∴22m pm =(0)m >⇒2m p =.--------------②-------------3分 由①②联立解得2p =，∴所求抛物线C 的方程式为24x y =.-------------------------5分] （2）解法1：由抛物线C 关于y 轴对称可知，若存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ， 则点N 必在y 轴上，设(0,)N n ，--------------------------------------------------6分又设点200(,)4x M x ，由直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M 知，直线l 与抛物线C 相切，由214y x =得1'2y x =，∴001'|2x x k y x ===，---------------------------------------7分 ∴直线l 的方程为2000()42x xy x x -=-，--------------------------------------------8分 令1y =-得2022x x x -=，∴Q 点的坐标为002(,1)2x x --，-----------------------------9分200002(,),(,1)42x x NM x n NQ n x ∴=-=-----------------------------------------10分∵点N 在以MQ 为直径的圆上，∴22220002(1)()(1)20(*)244x x x NM NQ n n n n n ⋅=--+-=-++-=--------------12分要使方程(*)对0x 恒成立，必须有21020n n n -=⎧⎨+-=⎩解得1n =，-------------------------13分∴在坐标平面内存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，其坐标为(0,1)．--------14分 [解法2：设点00(,)M x y ，由:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M 知，直线l 与抛物线相11 切，由214y x =得1'2y x =，∴001'|2x x k y x ===，-----------------------------------6分 ∴直线l 的方程为000()2x y y x x -=-，---------------------------------------------7分 令1y =-得002(1)y x x -=，∴Q 点的坐标为002(1)(,1)y x --，-------------------------8分 ∴以MQ 为直径的圆方程为：00002(1)()(1)()[]0y y y y x x x x --++--=--------③----10分 分别令02x =和02x =-，由点M 在抛物线C 上得01y =，将00,x y 的值分别代入③得：(1)(1)(2)0y y x x -++-=-------------------------------④ (1)(1)(2)0y y x x -+++=--------------------------------------------------------⑤④⑤联立解得0,1.x y =⎧⎨=⎩或0,1.x y =⎧⎨=-⎩，-----------------------------------------------12分 ∴在坐标平面内若存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 必为(0,1)或(0,1)-， 将(0,1)的坐标代入③式得，左边=00002(1)2(1)()[]y y x x --+--002(1)2(1)0y y =-+-==右边， 将(0,1)-的坐标代入③式得，左边=00002(1)()[]2(1)y x y x ---=-不恒等于0，------------------------------------13分 ∴在坐标平面内是存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，点N 坐标为为(0,1)．--14分]21.解：（1）∵当1a =时， 函数()ln F x x x =-，(0)x > ∴11'()1x F x x x-=-=，---------------------------------------------------------1分 令'()0F x =得1x =，12当(0,1)x ∈时'()0F x <，当(1,)x ∈+∞时，'()0F x >，即函数()F x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，---------------------------------------------------------------3分 ∴函数()F x 在1x =处有极小值，∴()F x 极小1ln11=-=.----------------------------------------------------------4分（2）解法1：∵函数()(sin(1))()G x f x g x =--=sin(1)ln a x x --在区间(0,1)上为减函数 ∴1'()cos(1)0G x a x x =--≤在(0,1)上恒成立1cos(1)a x x ⇔≤-在(0,1)上恒成立，----5分 设1()cos(1)H x x x =-，则()()()()()2222c o s 1s i n 1s i n 1c o s 1'()c o s (1)c o s (1)x x x x x x H x x x x x -------==-- ---7分 当()0,1x ∈时，()sin 10x -<，()cos 10x ->所以'()0H x <在()0,1上恒成立，即函数()H x 在()0,1上单调递减，-------------------8分∴当()0,1x ∈时，()(1)1H x H >=， ∴1a ≤.-----------------------------------------------------------------------9分[解法2：∵函数()(sin(1))()G x f x g x =--=sin(1)ln a x x --在区间(0,1)上为减函数 ∴对(0,1)x ∀∈ ，1'()cos(1)0G x a x x=--≤-----------（*）恒成立，--------------5分 ∵(0,1)x ∈，∴cos(1)0x ->，当0a ≤时，（*）式显然成立；----------------------------------------------------6分 当0a >时，（*）式⇔1cos(1)x x a≥-在(0,1)上恒成立， 设()cos(1)h x x x =-，易知()h x 在(0,1)上单调递增，-------------------------------7分 ∴()(1)1h x h <=， ∴11a≥01a ⇒<≤，------------------------------------------------------------8分 综上得(,1]a ∈-∞.-------------------------------------------------------------9分]（3）由（2）知，当1a =时，()sin(1)ln G x x x =--(1)0G >=,sin(1)ln x x ⇒->1sin(1)ln x x⇒-<，------------------------②----------------10分 ∵对k N *∀∈有(0,1)1k k ∈+， 在②式中令1k x k =+得11sin(1)sin ln 11k k k k k+-=<++，--------------------------12分 ∴11131sin sin sin ln 2ln ln 2312n n n ++++<++++13 341ln(2)ln(1)23n n n +=⋅⋅⋅=+， 即11sinln(1)1n k n k =<++∑．-------------------------------------------------------14分。

广东省揭阳市第一中学2014-2015学年高二上学期第二次阶段考试文科数学试题word版含答案

广东省揭阳市第一中学2014-2015学年高二上学期第二次阶段考试文科数学试题word版含答案

A ．{}23x x <≤B ．{}02x x x ><-或C ．{}23x x -<≤D ．{}02x x <<2.某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能．．．的是（ ）3.两灯塔A ，B 与海洋观察站C 的距离都等于a 千米, 灯塔A 在C 的北偏东30°, B 在C 的 南偏东60°，则A ，B 之间的相距（ ）千米. A ．a B ．a 3 C ．2aD ．a 24.已知平面向量(1,2),(2,),a b m ==-且a b ⊥，则32a b +=（ ） A.（－4,－10） B.（－4,7） C.（－3,－6） D.（7,4）5.设定点F 1 (0,－3)、F 2 (0,3)，动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．椭圆或线段 6.下列结论，不正确．．．的是（ ） A ．若p 是假命题，q 是真命题，则命题q p ∨为真命题． B ．若p q ∧是真命题，则命题p 和q 均为真命题． C ．命题“若sin sin x y =，则x y =”的逆命题为假命题．D ．命题“0,,22≥+∈∀y x R y x ”的否定是“0,,202000<+∈∃y x R y x ”.7.某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是（ ）A ．45B ．50C ．55D ．608.在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则ABCD数列{|a n |}的前18项和T 18的值是（ ） A.24 B.48 C.60 D.849.已知椭圆()222109x y a a+=>与双曲线22143x y -=有相同的焦点, 则a 的值为（ ）A B C ．4 D ．1010.已知椭圆12222=+by a x (a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P . 若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是（ ） A. 12 B. 22 C. 32 D. 13二、填空题:(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上).11.在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式为_________.12.若方程13322=++-k y k x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数k 的取值范围是________.13.已知x >0，y >0且20x y +=，则lg lg x y +的最大值是_________.14.如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=_________. 三、解答题 (本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.（本小题满分12分）已知数列{a n }中，a 1=2，点(1,0)在函数f ( x ) =2a n x 2 – a n +1x 的图像上. （1）求数列{a n }的通项；（2）设221log n n b a -=，求数列{b n }的前n 项和T n .16.（本小题满分12分）在△ABC 中，a b c 、、是角A B C 、、所对的边，且满足222a c b ac +-=．（1）求角B 的大小；A 1B 1C 1D 1AB C DE（2）设(sin ,cos 2),m A A n ==--，n),(6,1)m A A n ==--，求n m ⋅的最小值，并求此时角A 的大小.17.（本小题满分14分）如图,长方体1111D C B A ABCD -中，11==AA AB ,2=AD ,E 是BC 的中点.（1）求证：直线//1BB 平面DE D 1； （2）求证：平面AE A 1⊥平面DE D 1； （3）求三棱锥DE A A 1-的体积.18．（本小题满分14分）设12,F F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点，椭圆C 上的点3(1,)2A 到12,F F 两点的距离之和等于4. （1）求椭圆C 的方程；（2）设点P 是椭圆C 上的动点，1(0,)2Q ，求PQ 的最大值.19.（本小题满分14分）已知点（1，31）是函数,0()(>=a a x f x且1≠a ）的图象上一点，等比数列}{n a 的前n 项和为c n f -)(, 数列}{n b )0(>n b 的首项为c ，且前n 项和n S 满足n S －1-n S =n S +1+n S （2n ≥）.（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）若数列{}11+n n b b 前n 项和为n T ，问n T >20091000的最小正整数n 是多少?20.（本小题满分14分）已知),0,3(),0,3(21F F -动点P 满足,421=+PF PF记动点P 的轨迹为.E （1）求E 的方程；（2）曲线E 的一条切线为,l 过21,F F 作l 的垂线，垂足分别为,,N M 求N F M F 21 的值； （3）曲线E 的一条切线为,l l 与x 轴，y 轴分别交于B A ,两点，求AB 的最小值，并求此时切线的斜率.揭阳一中2014-2015学年度高二级第一学期第二次阶段测试16.解：(1)∵222a cb ac +-=，∴2221cos 22a cb B ac +-==，……………3分又∵0B π<<，∴3B π=． ………………………………5分（2）6sin cos 2m n A A ⋅=-- ………………………………………………………6分223112sin 6sin 12(sin )22A A A =--=--， ………………………8分∵203A π<<，∴0sin 1A <≤． ……………10分∴当2π=A 时，sin 1A =，m n ⋅取得最小值为5-． …………11分即m n ⋅的最小值为5-，此时 2π=A …………12分∴直线AE ⊥平面DE D 1, ………………………8分 而⊆AE 平面AE A 1,所以平面AE A 1⊥平面DE D 1.………………………10分 (3)=-DE A A V 1 =⨯=∆-ADE ADE A S AA V 1311312121131=⨯⨯⨯⨯. ………………………14分 18．解:（1）椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到12,F F 两点的距离之和是4，得24a =，即2a =，又3(1,)2A 在椭圆上，223()1212b∴+=， 解得23b =， 于是21c =所以椭圆C 的方程是22143x y += ………………………6分 (2).设(,)P x y ，则22143x y +=，22443x y ∴=- …………………….8分222222214111713()4()52343432PQ x y y y y y y y =+-=-+-+=--+=-++…10分又3y -≤≤ .....................................12分∴当32y =-时，max PQ =………………………14分∴12112333n nn a -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，*n N ∈； (5)分∵1n n S S --==Q()2n ≥又0n b>0>, 1=；∴数列构成一个首相为1公差为1的等差数列. (7)分()111n n =+-⨯=，即2n S n =∴当2n ≥，()221121n n n b S S n n n -=-=--=-； 又b 1=c =1满足上式21n b n ∴=-(*n N ∈) .....................9分（2）12233411111n n n T b b b b b b b b +=++++L ()1111133557(21)21n n =++++⨯⨯⨯-⨯+K 1111111111112323525722121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K …1111111111112323525722121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭....................12分由1000212009n n T n =>+得10009n >，即满足10002009n T >的最小正整数为112. ........14分 20.解：（1）可知.3221=F F 又因为,32421>=+PF PF所以点P 的轨迹是以21F F 、为焦点的椭圆。

广东省揭阳一中高二数学下学期第一次段考试卷 文(含解

广东省揭阳一中高二数学下学期第一次段考试卷 文(含解

广东省揭阳一中2014-2015学年高二下学期第一次段考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．设全集U是实数集R，集合A={y|y=3x，x＞0}，B={x|y=}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|0≤x≤1}C．{x|1＜x＜2} D．{x|1＜x≤2}2．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（）A．若x2≥1，则x≥1或x≤﹣1 B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1 D．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥13．如图所示的框图输出结果为（）A．1023 B．1024 C．511 D．20474．函数f（x）=（x2﹣2x）e x的图象大致是（）A．B．C．D．5．设M=（其中0＜x＜y），则M，N，P的大小关系为（）A．M＜N＜P B．N＜P＜M C．P＜M＜N D．P＜N＜M6．观察下列各式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，可以得出的一般结论是（）A．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=n2B．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n ﹣1）2C．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）=n2D．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）=（2n ﹣1）27．在平面直角坐标系中，不等式（a为常数）表示平面区域的面积为9，则的最小值为（）A．﹣1 B．C．D．﹣8．已知F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，P是双曲线C上一点，且|PF1|+|PF2|=6a，△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率e为（）A．B．2C．D．9．若方程x3﹣3x+m=0在[0，2]上有解，则实数m的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[0，2] C．[﹣2，0] D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）10．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=，则g（）+g（）+…+g（）（）A．2011 B．2012 C．2013 D．2014二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）.11．已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi=．12．若函数f（x）=在x=1处取极值，则a=．13．已知双曲线x2﹣=1与抛物线y2=2px（p＞0）有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为M，若|MF|=5，则点M的横坐标为．14．记等差数列{a n}的前n项的和为S n，利用倒序求和的方法得：；类似地，记等比数列{b n}的前n项的积为T n，且，试类比等差数列求和的方法，将T n表示成首项b1，末项b n与项数n的一个关系式，即T n=．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知函数f（x）=2cos2x+sin2x﹣4cosx．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值．16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，已知PB=PD=2，PA=．（1）证明：PC⊥BD；（2）若E为PA的中点，求三棱锥E﹣ABC的体积．17．研究某新药的疗效，利用简单随机抽样法给100个患者服用此药，跟踪调查后得如下表的数据．无效有效合计男性患者15 35 50女性患者4 46 50合计19 81 100请问：（1）请分别估计服用该药品男患者和女患者中有效者所占的百分比？（2）是否有99%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关？（写出必要过程）（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来更准确估计服用该药的患者中有效者所占的比例？说明理由．参考附表：K2=，期中n﹣a+b+c+dP（K2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706P（K2≥k0）0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82818．已知数列{a n}为等差数列，a3=5，a7=13，数列{b n}的前n项和为S n，且有S n=2b n﹣1．1）求{a n}、{b n}的通项公式；2）若c n=a n b n，{c n}的前n项和为T n，求T n．19．已知椭圆的右焦点为F（2，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△MOF是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=8，证明：直线AB过定点（）．20．已知函数f（x）=lnx﹣kx+1（k∈R）（Ⅰ）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（Ⅲ）证明：+++…+＜（n∈N*且n＞1）广东省揭阳一中2014-2015学年高二下学期第一次段考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．设全集U是实数集R，集合A={y|y=3x，x＞0}，B={x|y=}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|0≤x≤1}C．{x|1＜x＜2} D．{x|1＜x≤2}考点：Venn图表达集合的关系及运算．专题：集合．分析：欲求出图中阴影部分所表示的集合，先要弄清楚它表示的集合是什么，由图知，阴影部分表示的集合中的元素是在集合B中的元素但不在集合A中的元素组成的，即B∩C R A．解答：解：由图可知，图中阴影部分所表示的集合是B∩C R A，∵A={y|y=3x，x＞0}=（1，+∞），∴C R A=（﹣∞，1]，B={x|y=}，∴2x﹣x2≥0，解得0≤x≤2，即B=[0，2]，∴B∩C R A=[0，1]故选：B．点评：本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、二次不等式的解法等基础知识，属于基础题．2．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（）A．若x2≥1，则x≥1或x≤﹣1 B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1 D．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1考点：四种命题．分析：根据逆否命题的定义，直接写出答案即可，要注意“且”形式的命题的否定．解答：解：原命题的条件是““若x2＜1”，结论为“﹣1＜x＜1”，则其逆否命题是：若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1．故选D．点评：解题时，要注意原命题的结论“﹣1＜x＜1”，是复合命题“且”的形式，否定时，要用“或”形式的符合命题．3．如图所示的框图输出结果为（）A．1023 B．1024 C．511 D．2047考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：当i=1时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=1，i=1；当i=1时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=3，i=2；当i=2时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=7，i=3；当i=3时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=15，i=4；当i=4时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=31，i=5；当i=5时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=63，i=6；当i=6时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=127，i=7；当i=7时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=255，i=8；当i=8时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=511，i=9；当i=9时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=1023，i=10；当i=10时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为：1023，故选：A点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．4．函数f（x）=（x2﹣2x）e x的图象大致是（）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：数形结合．分析：本题是选择题，可采用排除法进行逐一排除，根据f（0）=0可知图象经过原点，以及根据导函数大于0时原函数单调递增，求出单调增区间，从而可以进行判定．解答：解：因为f（0）=（02﹣2×0）e0=0，排除C；因为f'（x）=（x2﹣2）e x，解f'（x）＞0，所以或时f（x）单调递增，排除B，D．点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数的图象等基础知识，考查了排除法，属于基础题．5．设M=（其中0＜x＜y），则M，N，P的大小关系为（）A．M＜N＜P B．N＜P＜M C．P＜M＜N D．P＜N＜M考点：基本不等式．分析：由基本不等式可得N＞P且M＞N，可得答案．解答：解：由基本不等式可得≥，∵0＜x＜y，∴＞，∴N＞P，再由基本不等式可得M=＞====N，∴P＜N＜M，故选：D．点评：本题考查基本不等式比较式子的大小，属基础题．6．观察下列各式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，可以得出的一般结论是（）A．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=n2B．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n ﹣1）2C．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）=n2D．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）=（2n ﹣1）2考点：归纳推理．专题：规律型．分析：分析已知中1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，各式子左右两边的形式，包括项数，每一个式子第一数的值等，归纳分析后，即可得到结论．解答：解：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，由上述式子可以归纳：左边每一个式子均有2n﹣1项，且第一项为n，则最后一项为3n﹣2右边均为2n﹣1的平方点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．7．在平面直角坐标系中，不等式（a为常数）表示平面区域的面积为9，则的最小值为（）A．﹣1 B．C．D．﹣考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用平面区域的面积求出a，的几何意义为区域内的点到定点D（﹣4，2）的斜率，利用数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：则a＞0，由，解得，即C（a，﹣a），由，解得，即A（a，a），则对应的平面区域的面积S=，解得a=3，即A（3，3），C（3，﹣3），则的几何意义为区域内的点到定点D（﹣4，2）的斜率，由图象知，CD的斜率最小，此时=，故选：D点评：本题主要考查线性规划的应用以及斜率的求解，根据面积公式求出a的取值是解决本题的关键．8．已知F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，P是双曲线C上一点，且|PF1|+|PF2|=6a，△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率e为（）A．B．2C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的定义和已知即可得出|PF1|，|PF2|，进而确定最小内角，再利用余弦定理和离心率计算公式即可得出．解答：解：设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，解得|PF1|=4a，|PF2|=2a．则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角为30°，∴（2a）2=（4a）2+（2c）2﹣2×4a×2c×，∴，解得e=．故选：C．点评：熟练掌握双曲线的定义、离心率计算公式、余弦定理是解题的关键．9．若方程x3﹣3x+m=0在[0，2]上有解，则实数m的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[0，2] C．[﹣2，0] D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）考点：函数在某点取得极值的条件；一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：计算题；数形结合．分析：因为是方程有解，转化为函数在[0，2]的函数值，利用导数求解即可．解答：解：由题意方程x3﹣3x+m=0在[0，2]上有解，则﹣m=x3﹣3x，x∈[0，2]求函数的值域即得实数m的取值范围令y=x3﹣3x，x∈[0，2]y'=3x2﹣3令y'＞0，解得x＞1，故此函数在[0，1]上减，在[1，2]上增，又x=1，y=﹣2；x=2，y=2；x=0，y=0∴函数y=x3﹣3x，x∈[0，2]的值域是[﹣2，2]故﹣m∈[﹣2，2]，∴m∈[﹣2，2]，故选A点评：本题考查学生对一元三次方程的图象的认识，以及对函数值正负与图象关系的利用10．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=，则g（）+g（）+…+g（）（）A．2011 B．2012 C．2013 D．2014考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：求出原函数的导函数，再求出导函数的导函数，由导函数的导函数等于0求出x的值，可得g（1﹣x）+g（x）=2，从而得到g（）+g（）+…+g（）的值．解答：解：∵g（x）=，∴g′（x）=x2﹣x﹣3，由g″（x）=2x﹣1=0，得x=．∴g（）=1∴g（x）的对称中心为（，1），∴g（1﹣x）+g（x）=2，∴g（）+g（）=g（）+g（）=…=2g（）=2g（）=2．∴g（）+g（）+…+g（）=2013故选C．点评：本题是新定义题，考查了函数导函数的零点的求法，考查了函数的性质，解答的关键是寻找函数值所满足的规律，是中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）.11．已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi=1+2i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的乘法展开等式的左边，通过复数的相等，求出a，b的值即可得到结果．解答：解：因为（a+i）（1+i）=bi，所以a﹣1+（a+1）i=bi，所以，解得a=1，b=2，所以a+bi=1+2i．故答案为：1+2i．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数相等条件的应用，考查计算能力．12．若函数f（x）=在x=1处取极值，则a=3．考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；压轴题．分析：先求出f′（x），因为x=1处取极值，所以1是f′（x）=0的根，代入求出a即可．解答：解：f′（x）==．因为f（x）在1处取极值，所以1是f′（x）=0的根，将x=1代入得a=3．故答案为3点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力．13．已知双曲线x2﹣=1与抛物线y2=2px（p＞0）有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为M，若|MF|=5，则点M的横坐标为3．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线和考查抛物线的性质，求出p，再根据抛物线的定义，到焦点的距离与到准线的距离相等，得到x0+=5，解得即可．解答：解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0）．双曲线x2﹣=1的焦点为（2，0）或（﹣2，0），∴=2，∵两曲线的一个交点为M，设点M的横坐标x0，|MF|=5，∴x0+=5，∴x0=5﹣=3，故答案为：3．点评：本题考查双曲线和考查抛物线的焦点，以及抛物线的定义，到焦点的距离与到准线的距离相等，考查学生的计算能力，比较基础．14．记等差数列{a n}的前n项的和为S n，利用倒序求和的方法得：；类似地，记等比数列{b n}的前n项的积为T n，且，试类比等差数列求和的方法，将T n表示成首项b1，末项b n与项数n的一个关系式，即T n=．考点：类比推理．专题：探究型．分析：等差数列与等比数列的定义的区别在于差与比，故类比倒序相加求和，可知倒序相乘求积，再利用等比数列的性质，即可得到结论．解答：解：由题意，T n=b1b2…b n①，倒序为T n=b n b n﹣1…b1②，①×②可得=（b1b2…b n）（b n b n﹣1…b1）=∵∴故答案为：点评：本题考查类比推理，解题的关键是类比解题的方法，类比倒序相加求和，可知倒序相乘求积．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知函数f（x）=2cos2x+sin2x﹣4cosx．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值．考点：三角函数的最值；二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）把x=代入到f（x）中，利用特殊角的三角函数值求出即可；（Ⅱ）利用同角三角函数间的基本关系把sin2x变为1﹣cos2x，然后利用二倍角的余弦函数公式把cos2x变为2cos2x﹣1，得到f（x）是关于cosx的二次函数，利用配方法把f（x）变成二次函数的顶点式，根据cosx的值域，利用二次函数求最值的方法求出f（x）的最大值和最小值即可．解答：解：（Ⅰ）=；（Ⅱ）f（x）=2（2cos2x﹣1）+（1﹣cos2x）﹣4cosx=3cos2x﹣4cosx﹣1=，因为cosx∈[﹣1，1]，所以当cosx=﹣1时，f（x）取最大值6；当时，取最小值﹣．点评：考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的余弦函数公式化间求值，此题以三角函数为平台，考查二次函数求最值的方法．16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，已知PB=PD=2，PA=．（1）证明：PC⊥BD；（2）若E为PA的中点，求三棱锥E﹣ABC的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连接BD，AC交于O点，由已知得PO⊥BD，BD⊥AC，从而BD⊥面PAC，由此能证明BD⊥PC．（2）由V E﹣ABC=V B﹣AEC，利用等积法能求出三棱锥E﹣ABC的体积．解答：（1）证明：连接BD，AC交于O点，∵PB=PD，∴PO⊥BD，又∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，而AC∩PO=O，∴BD⊥面PAC，∴BD⊥PC．（2）解：由（1）知BD⊥面PAC，==3，∴V E﹣ABC=V B﹣AEC===．点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．17．研究某新药的疗效，利用简单随机抽样法给100个患者服用此药，跟踪调查后得如下表的数据．无效有效合计男性患者15 35 50女性患者4 46 50合计19 81 100请问：（1）请分别估计服用该药品男患者和女患者中有效者所占的百分比？（2）是否有99%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关？（写出必要过程）（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来更准确估计服用该药的患者中有效者所占的比例？说明理由．参考附表：K2=，期中n﹣a+b+c+dP（K2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706P（K2≥k0）0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828考点：独立性检验的应用．专题：应用题．分析：（1）根据列联表可求得服用该药品男患者和女患者中有效者所占的人数，再求比例；（2）计算K2，同临界值表进行比较，得到有多大把把握认为服用此药的效果与患者的性别有关；（3）计算服用该药的患者中有效者无效者的比例，来判断分层抽样是否更切合实际．解答：解：（1）利用简单随机抽样法给50个患者服用此药，男性有35位有效，因此服用该药品男患者中有效者所占的百分比==70%．给50个患者服用此药，女性有46位有效，因此服用该药品男患者中有效者所占的百分比=92%．（2）根据所给的数据代入求观测值的公式得到K2=≈7.86由于93967＞6.635，所以有99%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关．（3）由（2）得结论知，服用此药的效果与患者的性别有关，并且从样本数据中能看出该地区男性比女性有效的比例有明显差异，因此在调查时，先确定此病的患者中男、女的比例，再把患者分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样的方法更好．点评：本题考查独立性检验的应用及分层抽样．本题解题的关键是正确代入所给的数据，求出观测值，这里不需要把观测值同临界值进行比较，是一个基础题．18．已知数列{a n}为等差数列，a3=5，a7=13，数列{b n}的前n项和为S n，且有S n=2b n﹣1．1）求{a n}、{b n}的通项公式；2）若c n=a n b n，{c n}的前n项和为T n，求T n．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知条件利用等差数列的通项公式能求出首项和公差，由此能求出a n=2n ﹣1（n∈N*）；由S n=2b n﹣1，能推导出{b n}是首项为1公比为2的等比数列，由此求出（n∈N*）．（2）由，利用错位相减法能求出{c n}的前n项和为T n．解答：解：（1）∵{a n}是等差数列，且a3=5，a7=13，设公差为d．∴，解得∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1（n∈N*）在{b n}中，∵S n=2b n﹣1当n=1时，b1=2b1﹣1，∴b1=1当n≥2时，由S n=2b n﹣1及S n﹣1=2b n﹣1﹣1，得b n=2b n﹣2b n﹣1，∴b n=2b n﹣1∴{b n}是首项为1公比为2的等比数列∴（n∈N*）（2）∵，∴①②①﹣②得==1+4（2n﹣1﹣1）﹣（2n﹣1）•2n=﹣3﹣（2n﹣3）•2n∴（n∈N*）点评：本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．19．已知椭圆的右焦点为F（2，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△MOF是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=8，证明：直线AB过定点（）．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由△MOF是等腰直角三角形，得c2=b2=4，再根据a2=b2+c2可求得a；（Ⅱ）分情况讨论：（1）当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为：y=kx+m，联立直线AB 方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及k1+k2=8可得关于k，m的关系式，消m代入直线AB方程可求得定点坐标；（2）若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，由已知可求得AB方程，易验证其过定点；解答：（Ⅰ）解：由△MOF是等腰直角三角形，得c2=b2=4，a2=8，故椭圆方程为：=1．（Ⅱ）证明：（1）若直线AB的斜率存在，设AB的方程为：y=kx+m，依题意得m≠±2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，则．由已知 k1+k2=8，可得，所以，即．所以，整理得．故直线AB的方程为，即y=k（）﹣2．所以直线AB过定点（）．（2）若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，设A（x0，y0），B（x0，﹣y0），由已知，得．此时AB方程为，显然过点（）．综上，直线AB过定点（）．点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆标准方程的求解，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力．20．已知函数f（x）=lnx﹣kx+1（k∈R）（Ⅰ）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（Ⅲ）证明：+++…+＜（n∈N*且n＞1）考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=．能求出函数f（x）的单调区间．（Ⅱ）由（1）知k≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数，而f（1）=1﹣k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，又由（1）知f（x）的最大值为f（），由此能确定实数k的取值范围．（Ⅲ）由（2）知，当k=1时，有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，且f（x）在（1，+∞）上是减函数，f（1）=0，即lnx＜x﹣1在x∈[2，+∞）上恒成立，由此能够证明+++…+＜（n∈N*且n＞1）解答：解：（Ⅰ）易知f（x）的定义域为（0，+∞），又f′（x）=当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．（Ⅱ）当k≤0时，f（1）=1﹣k＞0，不成立，故只考虑k＞0的情况又f′（x）=当k＞0时，当0＜x＜时，f′（x）＞0；当时，f′（x）＜0在上是增函数，在时减函数，此时要使f（x）≤0恒成立，只要﹣lnk≤0 即可解得：k≥1．（Ⅲ）当k=1时，有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，且f（x）在（1，+∞）上是减函数，f（1）=0，即lnx＜x﹣1在x∈（1，+∞）上恒成立，令x=n2，则lnn2＜n2﹣1，即2lnn＜（n﹣1）（n+1），∴（n∈N*且n＞1）∴+++…+＜=即：+++…+＜（n∈N*且n＞1）成立．点评：本题考查函数单调区间的求法，确定实数的取值范围，不等式的证明．考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．。

2015年学业水平考试文科数学试卷----(试卷)

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1 / 5绝密★启用前揭阳市2014-2015学年度高中三年级学业水平考试数学(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 样本数据12,,,n x x x的标准差，s =其中x 表示样本均值．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}210A x x =-=，(){}10B x x x =-=，则A B ⋃=A ．{}1,1-B ．{}0,1C ．{}0,1-D ．{}0,1,1-2．设i 为虚数单位，复数()21z i =+，则z 的共轭复数为A ．2i -B ．2iC ．22i -D ．22i +3．已知命题p ：四边形确定一个平面；命题q ：两两相交的三条直线确定一个平面．则下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ∨C ．()p q ⌝∨D ．()p q ∧⌝2 / 5六级一级二级三级四级五级0.22图1月用电量等级0.06频率0.180.120.304．已知函数()sin()f x x x π=--，[0,]x π∈，则函数()f x 的零点是．A ．π3 B ．π6 C ．π3或2π3 D ．（2π3，0） 5．若直线1:410l mx y +-=与直线2:(1)10l m x y -++=互相垂直，则m 的一个值为A ．12B．2 C．12 D ．06．已知数列}{n a 的前n 项和212n S n n =+，则2232a a -的值为 A ．9 B ．18 C ．21 D ．1127. 若变量,x y 满足约束条件2040330x y x y x y -+-≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩，且35z x y =+，则z 的最大值为A ．18B ．16C ．14D ．-28．已知||6a =，||4b =，a 与b 的夹角为120°，则(2)(3)a b a b +⋅-的值是.A ．-84B ．144C ．-48D ．-729．图1是某小区100户居民月用电等级的条形图，记月用电量为一级的用户数为A 1，月用电量为二级的用户数为A 2，……，以此类推，用电量为六级的用户数为A 6，图2是统计图1中居民月用电量在一定级别范围内的用户数的一个算法流程图．根据图1提供的信息，则图2中输出的s 值为A ．82B ．70C ．48D ．3010．已知函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +、(1)f x -都是奇函数，则3 / 5A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是偶函数C ．(3)f x +是偶函数D ．(5)f x +是奇函数二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11－13题）11．函数()ln(1)xf x e =-的定义域为 ．12．一几何体的三视图如图3示, 则该几何体的表面积为_______.13．在区域02,0 1.x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩中随机取一点(,)P x y ,则满足y ≥的概率为 .（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(,)(0,02)ρθρθπ≥≤<中，曲线2cos ρθ=与24cos 30ρρθ-+= 的交点的极坐标为 ． 15. （几何证明选讲选做题）如图4，锐角三角形ABC 是一块钢板的余料，边BC=24cm ，BC 边上的高 AD=12cm ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，则这个正方形零件的面积为 cm 2．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c 且a c >，已知5ac =，4cos 5B =，b =. （1）求a 和c 的值； （2）求cos()B C -的值.17．（本小题满分12分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取15件和5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：（1）已知甲厂生产的产品共120件，求乙厂生产的产品数量； （2）求乙厂5件产品中微量元素y 的标准差；（3）当产品中的微量元素x ，y 满足x ≥175且y ≥75时，该产品为优等品，用上述样本数据4 / 5EA DC B P估计乙厂生产的优等品的数量. 18．（本小题满分13分）如图5，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形， PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点． （1）证明：//PB 平面AEC ；（2）已知1AP =，AD =PB PD =，求三棱锥E-PAC 的体积．图519．（本小题满分14分）已知函数31()(1)1()2x f x f f ax b ===+3，，4，数列{}n x 满足113()2n n x x f x +==，． （1）求a b ，的值； （2）证明：数列1{1}nx -是等比数列，并求{}n x 的通项公式； （3）设131nn n x a +=-，证明：1214n a a a +++<．20.（本小题满分14分）已知椭圆C 的焦点分别为12(0,FF -,且椭圆C 经过点P . （1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线4x =-上，且0⋅=OA OB ，求|AB|的最小值. 21．（本小题满分14分） 已知函数()ln f x x ax =- ()a R +∈．（1）若曲线()y f x =过点(11)P -，，求曲线()y f x =在点P 处的切线方程； （2）求函数()f x 在区间1[,]e e上的最大值；（3）若方程()f x =0有两个不同的实数根x 1，x 2，'()f x 是()f x 的导函数，求证：12()02x x f +'<．5 / 5。

广东省揭阳市第一中学2015-2016学年高二上学期第一次阶段考试数学文科试题Word版含答案

广东省揭阳市第一中学2015-2016学年高二上学期第一次阶段考试数学文科试题Word版含答案

揭阳一中2015-2016学年度高二级第一学期阶段1考试文科数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分. 在四个备选项中，只有一项符合题目要求） 1．若三条线段的长度为5、6、7，则用这三条线段( ) A 能组成直角三角形 B 能组成锐角三角形 C 能组成钝角三角形 D 不能组成三角形 2．若向量(1,2),(3,4)AB BC ==；则AC =（ ）A ．(2,2)B ．(4,6)--C ．(,)-2-2D ．(,)463. 在△ABC 中，b = 8，c =38，S △ABC =316，则∠A 等于（ ）A. 30 ºB. 60º C . 60º 或120º D . 30º 或 150º4．已知数列}{n a 是等比数列，若951=⋅a a ，则=3a （ ） A ．3±B ．3- C.3 D ．35．在ABC ∆中，三内角分别为A 、B 、C ，且222sin sin sin sin sin ,A B C B C ≤+-则内角A的取值范围是（ ） A 0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C 0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 6．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知32=a ，116=a ，则7S 等于（ ）A. 13B. 35C. 49D. 637．在ABC ∆中，4a b B π===，则角A 等于（ ）A ．6πB ．3πC ．6π或56πD ．3π或23π8．设数列{}n a 是等差数列, 若135246105,99,a a a a a a ++=++=以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使n S 达到最大值的n 是（ ）A. 18B. 19C. 20D. 219.若A 、B 是锐角三角形ABC ∆的两个内角，如果点P 的坐标为(cos sin ,sin cos ),P B A B A --则点P 在直角坐标平面内位于（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 10.设函数()()f x x R ∈满足()()s i n f x f x xπ+=+，当0x π≤<时，()0,f x =则23()6f π= （ ）A12 B 2 C 0 D 12-11.已知方程22(2)(2)0x x m x x n -+-+=的四个根组成一个首项为14的等差数列，则m n -=（ ）A 1B 34C 12D 3812．给出下面的三个命题： ①函数|sin(2)|3y x π=+的最小正周期是2π； ②函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23sin πx y 在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,ππ上单调递增； ③45π=x 是函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=652sin πx y 的图象的一条对称轴.其中正确的命题个数（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.在ABC ∆中，若2=a ，7=+c b ，41cos -=B ，则=b . 14. 已知函数cos ,0()(1)1,0x x f x f x x π->⎧=⎨++≤⎩，则44()()33f f +-= _____________15.,,,,______.a ca b c a b b c m n+=成等比数列，m,n 分别是和的等差中项，则16.如图是一个有n 层(n ≥2)的六边形点阵．它的中心是一个点，算作第一层，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，……，第n 层每边有n 个点，则这个点阵的点数共有________个．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要文字说明，证明过程或演算过程.） 17. (本小题满分10分)已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，a 、b 、c 为其对应边，向量＝(－1，3)，＝(cos A ，sin A )，且⋅＝1. （1）求角A ；（2）若c ＝5，cos B cos C ＝b c ，求△ABC 的面积S .18. (本小题满分12分) 在ABC ∆中，=3sin BC AC ，C=2sinA （1）求AB 的值。

2015届广东省揭阳一中、潮州金山中学高三暑假联考数学文试题

2015届广东省揭阳一中、潮州金山中学高三暑假联考数学文试题

2015届广东省揭阳一中、潮州金山中学高三暑假联考数学文试题一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．若集合{}1,0A =-，{}0,1B =，则A B =A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．函数()f x = A ．(,1)-∞B ．(],1-∞C ．()(),11,1-∞-- D ．()(],11,1-∞--3．若复数11i z =+，22i z =，则21z z = A ．1i -+B ．1i +C ．22i -+4．以点(3,1)-为圆心且与直线340x y +=相切的圆的方程是 A ．()()22311x y ++-= B ． ()()22312x y ++-= C ．()()22311x y -++= D ．()()22312x y -++= 5．已知平面向量(1,2)=a ，(2,)y =b ，且//a b ，则2+a b = A ．(5,6)-B ．(3,6)C ．(5,4)D ．(5,10)6．若某程序框图如图1所示，则输出的n 的值是 ( )A. 3B. 4C. 5D. 6 7．“0x >”是“2430x x ++>”成立的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．非充分非必要条件D ．充要条件8．某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积是(图1)A ．36a πB ．33a π C ．323a πD ．3a π9．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 A ．sin y x =B ．2x y =C ．3y x x =-D．lg(y x =+10．已知变量x ，y 满足约束条件1440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，，目标函数z mx y =+仅在点()0,1处取得最小值，则m 的取值范围是A ． (),1-∞B ． ()1,+∞C ．(),4-∞D ．()4,+∞二、填空题:本大共5小题,考生作答4小题,每小题5分，满分20分. (一)必做题(11～13题)11． 从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________12．△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ,已知2b =,6B π=，4C π=，则△ABC 的面积为 .13.当k ＞0时，两直线kx －y ＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形面积的最大值为 .(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,圆θρsin 4=的圆心到直线)(3R ∈=θπθ 的距离OEDCBA是 .15. （几何证明选讲选做题）如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上,延长BC 到D 使CD BC =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若8=AB ,4=DC 则DE =_________.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．(本题满分12分)已知函数()2(sin cos )cos f x x x x =+． (1)求5()4f π的值； (2)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间．17. (本题满分12分). 小明家订了一份报纸，寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图，如图所示． （1）根据图中的数据信息，求出众数1x 和中位数2x （精确到整数分钟）；（2）小明的父亲上班离家的时间y 在上午7:007:30至之间，而送报人每天在1x 时刻前后半小时内把报纸送达（每个时间点送达的可能性相等），求小明的父亲在上班离家前能收到报纸（称为事件A ）的概率．DCBAFE18．(本题满分14分)如图所示的多面体中， ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，ED ⊥面ABCD ,3BAD π∠=．(1)求证：平//CF AED 面B 面；(2))若BF BD a ==，求四棱锥A BDEF -的体积．19．(本题满分14分)已知正项数列{}n a 满足:222(1)()0()n n a n n a n n n N +-+--+=∈，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足11b =，21n n S b =+()n N +∈．(1) 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设(21)nn nn b c a +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：21n T <．20．(本题满分14分)已知函数1ln )1(21)(2+++-=x a x a x x f （1）若3=x 是)(x f 的极值点，求)(x f 的极大值； （2）求实数a 的范围，使得1)(≥x f 恒成立.21．(本题满分14分)已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点P 是抛物线上的一点，且其纵坐标为4，4PF =． （1）求抛物线的方程；（2) 设点1122(,),(,)(0,1,2)i A x y B x y y i ≤=是抛物线上的两点，APB ∠的角平分线与x 轴垂直，求PAB ∆的面积最大时直线AB 的方程．xy7.577.56.5O ODCAFE文科数学答案17.解：（1）17:00x = ………………… 2分 由频率分布直方图可知26:507:10x <<即2410430x <<， ………………… 3分 ∴()2200.0033200.01174100.0233x ⨯+⨯+-⨯ =0.5 解得2419x =分即26:59x = ………………… 6分（2）设报纸送达时间为x ………………… 7分 则小明父亲上班前能取到报纸等价于6.57.577.5x y x y≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤⎩， ………………… 10分如图可知，所求概率为1381142P =-= ………………… 12分18．证明：（1）由ABCD 是菱形//BC AD ∴,BC ADE AD ADE ⊄⊂面面//BC ADE ∴面…………3分由BDEF 是矩形//BF DE ∴,BF ADE DE ADE ⊄⊂面面//BF ADE ∴面 ,,BC BCF BF BCF BCBF B ⊂⊂=面面//BCF ADE ∴面面………………6分（2）连接AC ，ACBD O =由ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥由ED ⊥面ABCD ,AC ABCD ⊂面ED AC ∴⊥,,ED BD BDEF ED BD D ⊂=面AO BDEF ∴⊥面，……………………10分则AO 为四棱锥A BDEF -的高 由ABCD 是菱形，3BAD π∠=，则ABD ∆为等边三角形，由BF BD a ==；则,AD a AO ==2BDEF S a =，2313A BDEF V a -=⋅=……14分 19．解：（1）由222(1)()0n n a n n a n n -+--+=,得2()(1)0n n a n n a ⎡⎤-++=⎣⎦. …………2分由于{}n a 是正项数列,所以2n a n n =+. (3)由21n n S b =+可得当2n ≥时，1121n n S b --=+，两式相减得1n n b b -=-， …………5分 ∴数列{}n b 是首项为1，公比1-的等比数列，1(1).n n b -∴=- …………7分 （2）方法一：∵1(21)21(1)(1)n n n n n b n c a n n -++==-⋅+…………8分 ∴2124141(41)(21)(41)(21)2(21)2(21)2(21)(21)n n n n n n n n c c n n n n n n n --+-+-+-+=-=-+-+ 211(21)(21)2121n n n n ==--+-+…………11分 21234212111111()()()13352121n n n T c c c c c c n n -∴=++++++=-+-++--+11 1.21n =-<+ …………14分方法二：∵11(21)2111(1)(1)()(1)1n n n n n n b n c a n n n n --++==-⋅=-⋅+++…………11分2123421211111111()()()()12233445n n n T c c c c c c -∴=++++++=+-+++-++11111()()1 1.21222121n n n n n ++-+=-<-++ …………14分 20．解：（1）xaa x x f ++-=')1()(3=x 是)(x f 的极值点 ∴03)1(3)3(=++-='aa f 解得3=a …………2分当3=a 时，xx x x x x x f )3)(1(34)(2--=+-=' 当x 变化时，x(0,1) 1 (1,3) 3 ),3(+∞)(x f '+ 0 - 0 + )(x f递增极大值递减极小值递增…………4分)(x f 的极大值为25)1(-=f …………6分（2）要使得1)(≥x f 恒成立，即0>x 时，0ln )1(212≥++-x a x a x 恒成立………8分 设x a x a x x g ln )1(21)(2++-=，则xa x x x a a x x g ))(1()1()(--=++-=' （ⅰ）当0≤a 时，由0)(<'x g 得单减区间为)1,0(，由0)(>'x g 得单增区间为),1(+∞ 021)1()(min ≥--==a g x g ，得21-≤a …………10分 （ii ）当10<<a 时，由0)(<'x g 得单减区间为)1,(a ，由0)(>'x g 得单增区间为),1(),,0(+∞a ，021)1(<--=a g 此时∴不合题意. …………10分 （iii ）当1=a 时，)(x f 在),0(+∞上单增，021)1(<--=a g 此时∴不合题意. …12分 （iv ）当a>1时，由0)(<'x g 得单减区间为),1(a ，由0)(>'x g 得单增区间为),(),1,0(+∞a ，021)1(<--=a g 此时∴不合题意. …………13分 综上所述：21-≤a 时，1)(≥x f 恒成立. …………14分21．解：（1）设0(,4)P x ，因为4PF =，由抛物线的定义得042px +=，又2042px =，3分 因此842pp +=，解得4p =，从而抛物线的方程为28y x =． …………6分 （2）由（1）知点P 的坐标为(2,4)P ，因为APB ∠的角平分线与x 轴垂直，所以可知,PA PB 的倾斜角互补，即,PA PB 的斜率互为相反数设直线PA 的斜率为k ，则:4(2)PA y k x -=-，由题意0k ≠， …………7分把42y x k k =+-代入抛物线方程得2832160y y k k--+=，该方程的解为4、1y ， 由韦达定理得184y k +=，即184y k =-，同理284y k=--，所以2121222121218188AB y y y y k y y x x y y --====--+-， …………9分 设:AB y x b =-+，把x y b =-+代入抛物线方程得2880y y b +-=， 由题意64320b ∆=+>，且1280y y b =-≥，从而20b -<≤。

广东省揭阳一中、金山中学2015届高考数学联考试卷(文科)

广东省揭阳一中、金山中学2015届高考数学联考试卷(文科)

广东省揭阳一中、金山中学2015届高考数学联考试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|lg（x﹣2）≥0}，B={x|x≥2}，全集U=R，则（∁U A）∩B=（）A．{x|﹣1＜x≤3} B．∅C．{x|x=3} D．{x|2≤x＜3}2．（5分）复数在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a n=a n﹣1+2n（n≥2），则a7=（）A．53 B．54 C．55 D．1094．（5分）已知一棱锥的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则该棱锥的体积为（）A．8B．16 C．32 D．485．（5分）对于函数f（x）=x2+mx+n，若f（a）＞0且f（b）＞0，则函数f（x）在区间（a，b）内（）A．一定有零点B．一定没有零点C．可能有两个零点D．至多有一个零点6．（5分）曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．e2B．2e2C．4e2D．7．（5分）下列程序框图的输出结果为（）A．B．C．D．8．（5分）设θ∈（，），则关于θ的方程2=tanθ的解的个数为（）A．0B．1C．2D．39．（5分）点A到图形C上每一个点的距离的最小值称为点A到图形C的距离．已知点A（1，0），圆C：x2+2x+y2=0，那么平面内到圆C的距离与到点A的距离之差为1的点的轨迹是（）A．.双曲线的一支B．.椭圆C．抛物线D．射线10．（5分）定义两种运算：a⊕b=，a⊗b=，则函数为（）A．奇函数B．偶函数C．奇函数且为偶函数D．非奇函数且非偶函数二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11-13题）11．（5分）（+）与垂直，且||=2||，则与的夹角为．12．（5分）若等比数列{a n}的前项n和为S n，且=5，则=．13．（5分）已知函数f（x）=（a＞1，x≥2）．①若∃x0∈C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：利用除法的运算法则：复数=﹣a﹣3i，由于在复平面内对应的点在第三象限，可得﹣a＜0，即可判断出．解答：解：∵复数==﹣a﹣3i，在复平面内对应的点在第三象限，∴﹣a＜0，解得a＞0．∴复数在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的充分不必要条件．故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则及其几何意义、充分不必要条件，属于基础题．3．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a n=a n﹣1+2n（n≥2），则a7=（）A．53 B．54 C．55 D．109考点：数列的求和；数列的概念及简单表示法．专题：等差数列与等比数列．分析：由于数列{a n}满足a1=1，a n=a n﹣1+2n（n≥2），利用“累加求和”a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，及等差数列的前n项和公式即可得出．解答：解：∵数列{a n}满足a1=1，a n=a n﹣1+2n（n≥2），∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n+2（n﹣1）+…+2×2+1=+1=n2+n﹣1，当n=1时也成立，∴．∴=55．故选：C．点评：本题考查了“累加求和”方法、等差数列的前n项和公式，属于基础题．4．（5分）已知一棱锥的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则该棱锥的体积为（）A．8B．16 C．32 D．48考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图可得该几何体是以底面为直角梯形的四棱锥，求出底面面积和高，代入可得答案．解答：解：该几何体是以底面为直角梯形的四棱锥，底面面积S==12，高h=4，故体积．故选：B点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知的三视图判断出几何体的形状是解答的关键．5．（5分）对于函数f（x）=x2+mx+n，若f（a）＞0且f（b）＞0，则函数f（x）在区间（a，b）内（）A．一定有零点B．一定没有零点C．可能有两个零点D．至多有一个零点考点：函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：结合二次函数的图象可知f（x）在区间（a，b）内的零点个数为0或2解答：解：由二次函数的图象可知f（x）在区间（a，b）内的零点个数为0或2故选C点评：本题考查对根的存在性定理的理解，准确把握根的存在性定理的条件和结论及它们之间的关系是解题的关键．6．（5分）曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．e2B．2e2C．4e2D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；作图题；导数的综合应用．分析：由题意作图，求导y′=，从而写出切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4）；从而求面积．解答：解：如图，y′=；故y′|x=4=e2；故切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4）；当x=0时，y=﹣e2，当y=0时，x=2；故切线与坐标轴所围三角形的面积S=×2×e2=e2；故选A．点评：本题考查了导数的求法及曲线切线的求法，同时考查了数形结合的思想，属于中档题．7．（5分）下列程序框图的输出结果为（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据程序框图，得到程序的计算功能为计算S=，直到不满足条件i＞2013即可得到结论．解答：解：根据程序框图可知该程序的功能是计算S=，则根据数列求和的裂项法法可得S==1﹣=1﹣，故选：C．点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件得到程序的计算功能是解决本题的关键，注意数列求和的基本方法．8．（5分）设θ∈（，），则关于θ的方程2=tanθ的解的个数为（）A．0B．1C．2D．3考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：首先可判断方程2=tanθ若有解，解在区间考点：轨迹方程．专题：计算题．分析：由题设条件能够推导出动点M（x，y）到两定点A（1，0），C（﹣1，0）的距离之差为2，由|AC|=2，知点M的轨迹是射线．解答：解：圆C：x2+2x+y2=0的圆心C（﹣1，0），半径r==1，设平面内到圆C的距离与到点A的距离之差为1的点的坐标为M（x，y），则（﹣1）﹣=1，∴﹣=2，即动点M（x，y）到两定点A（1，0），C（﹣1，0）的距离之差为2，∵|AC|=2，∴点M的轨迹是射线．故选D．点评：本题考查点的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意双曲线定义的灵活运用．10．（5分）定义两种运算：a⊕b=，a⊗b=，则函数为（）A．奇函数B．偶函数C．奇函数且为偶函数D．非奇函数且非偶函数考点：函数奇偶性的判断．专题：压轴题；新定义．分析：先利用新定义把f（x）的表达式找出来，在利用函数的定义域把函数化简，最后看f （x）与f（﹣x）的关系得结论．解答：解：有定义知f（x）==，由4﹣x2≥0且|x﹣2|﹣2≠0，得﹣2≤x＜0或0＜x≤2，即函数f（x）的定义域为{x|﹣2≤x＜0或0＜x≤2}，关于原点对称；f（﹣x）===﹣=﹣f（x），故f（x）是奇函数．故选：A．点评：本题是对函数新定义与奇偶性的综合考查，关于新定义的题，关键在于理解新定义，并会用新定义解题．二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11-13题）11．（5分）（+）与垂直，且||=2||，则与的夹角为120°．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题；平面向量及应用．分析：设||=1，则||=2||=2，再根据（+）与垂直，求出两向量夹角的余弦值，利用向量夹角的范围求出向量的夹角．解答：解：设||=1，∴||=2||=2，∵（+）⊥，∴（+）•=+•=0，∴=||||cos＜，＞=2cos=﹣1，∴cos=﹣，又0°≤cos≤180°．∴cos＜，＞=120°，故答案为：120°．点评：本题考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力．12．（5分）若等比数列{a n}的前项n和为S n，且=5，则=17．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的前n项和公式，求出公比即可得到结论．解答：解：若公比q=1，则=5，∴公比q≠1．由=5得，即q2=4，∴=．故答案为：17．点评：本题主要考查等比数列通项公式和前n项和公式的计算，要求熟练掌握相应的公式，考查学生的计算能力．13．（5分）已知函数f（x）=（a＞1，x≥2）．①若∃x0∈，故答案为：点评：本题主要考查函数最值的应用，根据函数的单调性之间的关系是解决本题的关键．（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）在极坐标系中，过点A（4，）引圆ρ=4sinθ的一条切线，则切线长为4．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先，将极坐标下的点A和圆的方程化为直角坐标下的相应的点和圆，然后，根据直角三角形中的边角关系，求解切线长即可．解答：解：由ρ=4sinθ，得x2+y2﹣4y=0，∴x2+（y﹣2）2=4，根据A（4，），得A（0，﹣4），设圆心为O，半径为r，则|OA|=6，切线长为d=，故答案为：4．点评：本题重点考查点、圆的极坐标方程和直角坐标的互化、切线长的计算等知识，属于中档题．（几何证明选讲选做题）15．如图，PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，且PA=2，PB=1，则AB 的长为．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；立体几何．分析：利用切割线定理，求出PC，BC，再利用△PAB∽△PCA，即可得出结论．解答：解：∵PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，∴PA2=PB•PC，∵PA=2，PB=1，∴PC=4，BC=3，∵△PAB∽△PCA，∴，∴，∴AB=．故答案为：．点评：本题考查切割线定理，考查三角形相似的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若x1=，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=S2，求角α的值．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：（I）根据三角函数定义求得x1=cosα，，再利用x1=，求得cosα，sinα，然后利用x2=cos（α+）=cosα﹣sinα求x2；（II）根据图形用α的三角函数表示S1、S2，利用S1=S2求得tan2α，分析2α的范围求得2α，从而求得α．解答：解：（I）由三角函数定义，得x1=cosα，，∵α∈（，），cosα=，∴sinα==，∴x2=cos（α+）=cosα﹣sinα=．（Ⅱ）解：依题意得y1=sinα，y2=sin（）．∴S1=x1y1=sin2α，S2=|x2|y2=sin（α+）|cos（α+）|=﹣sin（2α+），∵S1=S2∴sin2α=﹣sin（2α+）=﹣sin2α﹣cos2α，整理得tan2α=﹣，∵，∴＜2α＜π，∴2α=，即α=．点评：本题主要考查三角函数的定义及三角函数恒等变形，考查了学生运用三角函数的知识解决问题的能力．17．（12分）从某校2015届高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高．据测量，被抽取的学生的身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果分成八组得到的频率分布直方图如图．（Ⅰ）试估计这所学校2015届高三年级800名学生中身高在180cm以上（含180cm）的人数为多少；（Ⅱ）在样本中，若学校决定身高在185cm以上的学生中随机抽取2名学生接受某军校考官进行面试，求：身高在190cm以上的学生中至少有一名学生接受面试的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（I）由频率分布直方图，结合各组累积频率为1，及每组的频率=矩形的面积=矩形的高×组距，可求出身高介于185cm～190cm的频率，进而求出身高在180cm以上的累积频率，进而根据频数=频率×样本容量得到答案．（II）根据频数=频率×样本容量，可以求出身高介于185cm～190cm的学生人数和身高介于190cm～195cm的学生人数，进而由组合数公式，可求出从身高在185cm以上的学生中随机抽取2名学生的事件个数及身高在190cm以上的学生中至少有一名学生接受面试的事件个数，代入古典概型概率公式，可得答案．解答：解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，样本中身高介于185cm～190cm的频率为：1﹣（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06+0.016+0.008）×5=0.06，…（3分）∴800名学生中身高在180cm以上的人数为：800×（0.016×5+0.06+0.008×5）=144人．…（6分）（Ⅱ）样本中，身高介于185cm～190cm的学生人数为50×0.06=3人，身高介于190cm～195cm的学生人数为50×0.008×5=2人．…（8分）∴“身高在185cm以上的学生5人中随机抽取2名学生”的基本事件数共10种，…（10分）其中抽取的2名学生中“身高在190cm以上的学生中至少有一名学生”的基本事件数有=7种．∴所求事件的概率为…（12分）点评：本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，频率分面直方图，其中利用公式：频数=频率×样本容量计算出满足条件的各组人数是解答的关键．18．（14分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，且∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA1=，点P、M、N分别为BC1、CC1、AB1的中点．（1）求证：PN∥平面ABC；（2）求证：A1M⊥AB1C1；（3）求点M到平面AA1B1的距离．考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）证明PN∥平面ABC，利用线面平行的判定，只需证明PN∥AC；（2）证明A1M⊥AB1C1，只需证明AC1⊥A1M，B1C1⊥A1M；（3）利用，可求点M到平面AA 1B1的距离，解答：（1）证明：连结CB1，∵P是BC1的中点，∴CB1过点P，﹣﹣（1分）∵N为AB1的中点，∴PN∥AC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵AC⊂面ABC，PN⊄面ABC，∴PN∥平面ABC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）证法一：连结AC1，在直角△ABC中，∵BC=1，∠BAC=30°，∴AC=A1C1=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∵==，∴Rt△A1C1M～Rt△C1CA﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴∠A1MC1=∠CAC1，∴∠AC1C+∠CAC1=∠AC1C+∠A1MC1=90°∴AC1⊥A1M．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵B1C1⊥C1A1，CC1⊥B1C1，且C1A1∩CC1=C1∴B1C1⊥平面AA1CC1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴B1C1⊥A1M，又AC1∩B1C1=C1，故A1M⊥平面A B1C1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）证法二：连结AC1，在直角△ABC中，∵BC=1，∠BAC=30°，∴AC=A1C1=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）设∠AC1A1=α，∠MA1C1=β∵，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴α+β=90°即AC1⊥A1M．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵B1C1⊥C1A1，CC1⊥B1C1，且C1A1∩CC1=C1∴B1C1⊥平面AA1CC1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴B1C1⊥A1M，又AC1∩B1C1=C1故A1M⊥面A B1C1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）】（3）设点M到平面AA1B1的距离为h，由（2）知B1C1⊥平面AA1CC1∵﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴∴=．即点M到平面AA1B1的距离为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，考查点M到平面AA1B1的距离，用好等体积是关键．19．（14分）已知数列{a n}满足a n=3a n﹣1+3n﹣1（n∈N•，n≥2）且a3=95．（1）求a1，a2的值；（2）是否存在一个实数t，使得b n=（a n+t）（n∈N）且{b n}为等差数列？若存在，求出t的值，如不存在，请说明理由；（3）求数列{a n}的前n项和S n．考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）数列{a n}满足a n=3a n﹣1+3n﹣1（n∈N•，n≥2）且a3=95．分别令n=3，2，解出即可．（2）由a n=3a n﹣1+3n﹣1（n∈N•，n≥2），变形为，利用“累加求和”可得a n=．．假设存在一个实数t，使得b n=（a n+t）（n∈N）且{b n}为等差数列．b n+1﹣b n=一个常数即可．（3）由（2）可得：a n=．．可得数列{a n}的前n项和S n=++…+（2n+1）×3n]．，设T n=3×3+5×32+…+（2n+1）×3n，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（1）∵数列{a n}满足a n=3a n﹣1+3n﹣1（n∈N•，n≥2）且a3=95．令n=3时，=95，解得a2=23．令n=2时，﹣1=23，解得a1=5．∴a2=23，a1=5．（2）由a n=3a n﹣1+3n﹣1（n∈N•，n≥2），变形为，∴=++…++=++…++=（n﹣1）﹣+=+，∴a n=．假设存在一个实数t，使得b n=（a n+t）（n∈N）且{b n}为等差数列．则b n+1﹣b n=﹣==，当t=0时，b n+1﹣b n=3为一个常数．因此存在一个实数t=0，使得b n=（a n+t）（n∈N）且{b n}为等差数列．（3）由（2）可得：a n=．．∴数列{a n}的前n项和S n=++…+（2n+1）×3n]．设T n=3×3+5×32+…+（2n+1）×3n，则3T n=3×32+5×33+…+（2n﹣1）×3n+（2n+1）×3n+1，∴﹣2T n=3×3+2×32+2×33+…+2×3n﹣（2n+1）×3n+1=3+﹣（2n+1）×3n+1=﹣2n×3n+1，∴T n=n×3n+1．∴数列{a n}的前n项和S n=+×3n+1．点评：本题考查了递推式的应用、“累加求和法”、“错位相减法”、等差数列的定义、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（14分）如图，O为坐标原点，双曲线C1：﹣=1（a1＞0，b1＞0）和椭圆C2：+=1（a2＞b2＞0）均过点P（，1），且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．（Ⅰ）求C1、C2的方程；（Ⅱ）是否存在直线l，使得l与C1交于A、B两点，与C2只有一个公共点，且|+|=||？证明你的结论．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由条件可得a1=1，c2=1，根据点P（，1）在上求得=3，可得双曲线C1的方程．再由椭圆的定义求得a2=，可得=﹣的值，从而求得椭圆C2的方程．（Ⅱ）若直线l垂直于x轴，检验部不满足|+|≠||．若直线l不垂直于x轴，设直线l得方程为y=kx+m，由可得y1•y2=．由可得（2k2+3）x2+4kmx+2m2﹣6=0，根据直线l和C1仅有一个交点，根据判别式△=0，求得2k2=m2﹣3，可得≠0，可得|+|≠||．综合（1）、（2）可得结论．解答：解：（Ⅰ）设椭圆C2的焦距为2c2，由题意可得2a1=2，∴a1=1，c2=1．由于点P（，1）在上，∴﹣=1，=3，∴双曲线C1的方程为：x2﹣=1．再由椭圆的定义可得2a2=+=2，∴a2=，∴=﹣=2，∴椭圆C2的方程为：+=1．（Ⅱ）不存在满足条件的直线l．（1）若直线l垂直于x轴，则由题意可得直线l得方程为x=，或x=﹣．当x=时，可得A（，）、B（，﹣），求得||=2，||=2，显然，|+|≠||．同理，当x=﹣时，也有|+|≠||．（2）若直线l不垂直于x轴，设直线l得方程为y=kx+m，由可得（3﹣k2）x2﹣2mkx﹣m2﹣3=0，∴x1+x2=，x1•x2=．于是，y1•y2=k2x1•x2+km（x1+x2）+m2=．由可得（2k2+3）x2+4kmx+2m2﹣6=0，根据直线l和C1仅有一个交点，∴判别式△=16k2m2﹣8（2k2+3）（m2﹣3）=0，∴2k2=m2﹣3．∴=x1•x2+y1•y2=≠0，∴≠，∴|+|≠||．综合（1）、（2）可得，不存在满足条件的直线l．点评：本题主要考查椭圆的定义、性质、标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣ax2+x．（1）若f（1）=0，求函数f（x）的单调减区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值；（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：x1+x2≥．考点：函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）利用f（1）=0，确定a的值，求导函数，从而可确定函数的单调性；（2）构造函数F（x）=f（x）﹣ax+1，利用导数研究其最值，将恒成立问题进行转化，（3）将代数式f（x1）+f（x2）+x1x2放缩，构造关于x1+x2的一元二次不等式，解不等式即可．解答：解：（1）∵f（x）=lnx﹣ax2+x，f（1）=0，∴a=2，且x＞0．∴f（x）=lnx﹣x2+x，∴=，当f′（x）＜0，即x＞1时，函数f（x）的单调递减，∴函数f（x）的单调减区间（1，+∞）．（2）令F（x）=f（x）﹣ax+1=lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，则F′（x）=﹣ax+1﹣a=﹣=﹣a，当a≤0时，在（0，+∞）上，函数F（x）单调递增，且F（1）=2﹣＞0，不符合题意，当a＞0时，函数F（x）在x=时取最大值，F（）=ln+，令h（a）=ln+=，则根据基本函数性质可知，在a＞0时，h（a）单调递减，又∵h（1）=＞0，h（2）=＜0，∴符合题意的整数a的最小值为2．（3）∵a=﹣2，∴f（x）=lnx+x2+x，∴f（x1）+f（x2）+x1x2=lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x1x2+x2=（x1+x2）2+x1+x2+lnx1x2﹣x1x2令g（x）=lnx﹣x，则g′（x）=，∴0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）max=g（1）=﹣1，∴f（x1）+f（x2）+x1x2≤（x1+x2）2+（x1+x2）﹣1，即（x1+x2）2+（x1+x2）﹣1≥0，又∵x1，x2是正实数，∴x1+x2≥．点评：本题考查了函数性质的综合应用，属于难题．。

广东省揭阳市第一中学2015-2016学年高二上学期第一次阶段考试数学文科试卷 Word版含答案

广东省揭阳市第一中学2015-2016学年高二上学期第一次阶段考试数学文科试卷 Word版含答案

揭阳一中2015-2016学年度高二级第一学期阶段1考试 文科数学试卷 选择题（共12小题，每小题5分，共60分. 在四个备选项中，只有一项符合题目要求） 1．若三条线段的长度为5、6、7，则用这三条线段( )A 能组成直角三角形B 能组成锐角三角形C 能组成钝角三角形D 不能组成三角形 2．若向量；则（） A． B． C． D． 3. 在△ABC 中，b=8，c=，S△ABC=，则∠A 等于A. 30 oB. 60oC. 60o 或120o. 30o 或 150o 4．已知数列是等比数列，若，则 B． C. D． 5．中，三内角分别为A、B、C，且则内角A的取值范围是（） A B C D 6．设是等差数列的前n项和，已知，，则等于（）A. 13B. 35C. 49D. 63 7．在中，，则角等于（） A． B． C．或 D．或 8．设数列是等差数列, 若以表示的前项和，则使达到最大值的是A. 18B. 19C. 20D. 21 9.若A、B是锐角三角形的两个内角，如果点P的坐标为则点P在直角坐标平面内位于（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 10.设函数满足，当时，则=（） A B C 0 D 11.已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（）A 1BC D 12．给出下面的三个命题：①函数的最小正周期是②函数在区间上单调递增③是函数的图象的一条对称轴其中正确的命题个数 A．0 B．1 C．2 D．3中，若，，，则 . 14. 已知函数，则=_____________ 15. 16.如图是一个有n层(n≥2)的六边形点阵．它的中心是一个点，算作第一层，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，……，第n层每边有n个点，则这个点阵的点数共有________个． 已知A、B、C是ABC的三个内角，a、b、c为其对应边，向量＝(－1，)，＝(cosA，sinA)，＝1. 求A； 若c＝，＝，求ABC的面积S. 中， （1）求AB的值。

广东省揭阳一中2015届高三上学期期中考试数学(文)Word版含答案

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2014—2015学年度第一学期高三级期中联考数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}1,2,3,4,0U =----，集合{}{}1,2,0,3,4,0A B =--=--，则()U C A B ⋂=（）A.{}0B.{}3,4--C.{}1,2--D. φ2.已知点(cos ,tan )P αα在第三象限，则角α的终边在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C.第三象限D.第四象限 3．下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是（ ） A ．1y x =-B.tan y x = C ．3y x =D ．2log y x =4.已知函数()()()1,0,11,0.xx x f x f f a x -≤⎧==-⎨>⎩若，则实数a 的值等于( )A.2B.3C.4D.55． 下列函数中，周期为π，且在[,]42ππ上为增函数的是（ ） A ．sin()2y x π=+B ．cos()2y x π=-C ．sin(2)y x π=--D ．cos(2)y x π=+6．如图，在ABC ∆中，2CD DB =,记AB a =，AC b =，则AD =（ ）.A ．2133a b + B ．2133a b - C ．1233a b + D ．1233a b -7.设l 是直线,βα,是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若βαβα//,//,//则l lB ．若,//αl l ⊥β,则βα⊥C ．若βα⊥,l ⊥α,则l β//D ．若βα⊥, l //α,则l ⊥β8.若实数,x y 满足条件4200x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2x y +的最大值是 ( )A.8B.2C.4D.79. 若0≤x ≤2，则f(x)=()x x 38-的最大值( )A ．5B ．2C ．316D ．33410．定义在R 上的函数()f x ，若对任意12x x ≠，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+， 则称f(x)为“Z 函数”，给出下列函数：①32123y x x x =-+-；②2(sin cos )y x x x =-+；③1x y e =+；④ln ||,0,()0,0.x x f x x ≠⎧=⎨=⎩其中是“Z 函数”的个数为（ ）.A ．1B ．2C ．3D ．4二．填空题： 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11.ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且3,3,2π===C b a ,则ABC ∆的面积为 . 12. 若1sin()63πθ-=，则2cos(2)3πθ+的值为____________13. 已知函数2()2f x x x =-，()2g x ax =+(a>0)，若1[1,2]x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图，已知点D 在圆O 直径AB 的延长线上，过D 作圆O 的切线,切点为.C 若1CD BD ==,则圆O 的面积为 .15．(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系xOy 中，曲线l 的参数方程为,(3.x t t y t =⎧⎨=+⎩为参数)；以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系O ρθ，则曲线l 的极坐标方程为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．已知向量(sin ,a θ=与)cos ,1(θ=b（Ⅰ）若a 与b 互相垂直，求tan θ的值 （Ⅱ）若a b =，求sin(2)2πθ+的值17．(本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围 成的区域(含边界)上．(1)若PA →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．18. (本小题满分14分）已知44()sin cos cos f x x x x x a =-++ （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）把()y f x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，得到()y g x =的图像，求函数()y g x =的解析式；（Ⅲ）()y g x =在[0,]2π上最大值与最小值之和为3，求a 的值.如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA = PD ，60BAD ∠=︒，E 是AD 的中点，点Q 在侧棱PC 上．（Ⅰ）求证：AD ⊥平面PBE ；（Ⅱ）若Q 是PC 的中点，求证：PA ∥平面BDQ ; （Ⅲ）若2P BCDE Q ABCD V V --=，试求CPCQ的值．20.（本小题满分14分）已知函数()()322,3m x x h x ax ==-（1）若函数()()()f x m x h x =-在1x =处取得极值，求实数a 的值； （2）若函数()()()f x m x h x =-在(,)-∞+∞不单调，求实数a 的取值范围；（3）判断过点5(1,)2A -可作曲线()()23f x m x x =+-多少条切线，并说明理由．21．(本小题满分14分)已知函数2()ln 2x f x x kx =+-，其中常数k ∈R .(1) 求()f x 的单调增区间与单调减区间；（2）若()f x 存在极值且有唯一零点0x ，求k 的取值范围及不超过0x k的最大整数m .期中考数学（文科）参考答案及评分标准17. 解：(1)方法一：∵PA →＋PB →＋PC →＝0，又PA →＋PB →＋PC →＝(1－x ，1－y )＋(2－x ，3－y )＋(3－x ，2－y )＝(6－3x ，6－3y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2， …………4分 即OP →＝(2，2)，故|OP →|＝2 2. …………6分 方法二：∵PA →＋PB →＋PC →＝0，则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0， ∴OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2，2)，…………4分∴|OP →|＝2 2. …………6分 (2)∵OP →＝mAB →＋nAC →， ∴(x ，y )＝(m ＋2n ，2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ， …………8分 两式相减得，m －n ＝y －x ，令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1， 故m －n 的最大值为1. …………12分18. 解：（Ⅰ）44()sin cos cos ()f x x x x x x R =-+∈2222(sin cos )(sin cos )2x x x x x =-++a12cos 222cos 22sin 226x x x x x a π⎫⎛⎫=-=-=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭ …………4分 ()f x ∴的最小正周期22T ππ== …………6分 （Ⅱ）()2sin 26f x x a π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2sin 6y x a π⎛⎫−−−−−−−→=-+ ⎪⎝⎭横坐标变为原来的2倍纵坐标不变32sin +6y x a ππ⎛⎫−−−−−−→=+ ⎪⎝⎭向左移动个单位所以函数()2sin +6g x x a π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭…………10分 （Ⅲ）20, +,2663x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1sin 2+126x π⎛⎫∴≤≤ ⎪⎝⎭， 即max min ()2,2330.()1,g x a a a g x a =+⎧∴+==⎨=+⎩即 …………14分19. （Ⅰ） 证明：由E 是AD 的中点， PA =PD ，所以AD ⊥PE ； ………2分又底面ABCD 是菱形，∠BAD =60 所以AB =BD ，又因为E 是AD 的中点 ，所以AD ⊥BE ， ………4分 又PE ∩BE =E 所以AD ⊥平面PBE . ………… 5分（Ⅱ）证明：连接AC 交BD 于点O ，连OQ ；因为O 是AC 的中点，Q 是PC 的中点，所以OQ //PA ， ………………8分又PA ⊄平面BDQ ，OQ ⊂平面BDQ ，所以PA //平面BDQ . ……………… 9分 （Ⅲ）解：设四棱锥P -BCDE ，Q -A BCD 的高分别为21,h h .所以113P BCDE BCDE V S h -=⋅， 213Q ABCD ABCD V S h -=⋅, ………………10分 又因为ABCD Q BCDE P V V --=2，且底面积ABCD BCDE S S 43=， ………………12分所以3821==h h CQ CP . ……… 14分20.【解析】（1）∵233-)(x x x m =，ax ax x h 3-3)(2=，)(-)()(x h x m x f =，∴ a x a x x f 3)1(323)(2++-=' ……………………………………1分∵ 0)1(='f ∴0)1(3233=+-+a a ∴ 1-=a ……………………2分 ∴ )1)(1(3)(+-='x x x f ，显然在1=x 附近)(x f '符号不同，∴ 1=x 是函数)(x f 的一个极值点 ………………………………………3分 ∴ 1-=a 即为所求 ………………………………………………………4分 （2）∵233-)(x x x m =，ax ax x h 3-3)(2=，)(-)()(x h x m x f =，若函数)(x f 在),(∞+-∞不单调，则03)1(323)(2=++-='a x a x x f 应有二不等根 …………………………5分 ∴ 036)1(122>-+=∆a a ∴012>+-a a ……………………………7分∴ R a ∈………………………………… ……………8分 （3）∵233-)(x x x m =，∴x x x x x m x f 33-3)()(32-=+=，∴)1(3)(2-='x x f ，设切点),(00y x M ，则M 纵坐标03003x x y -=，又)1(3)(200-='x x f ，∴ 切线的斜率为1253)1(3003020-+-=-x x x x ，得021322030=+-x x ……10分设=)(0x g 21322030+-x x ，∴=')(0x g 02066x x - 由=')(0x g 0，得00=x 或10=x ，∴)(0x g 在),1(),0,(∞+-∞上为增函数，在)1,0(上为减函数， ∴ 函数=)(0x g 21322030+-x x 的极大值点为00=x ，极小值点为10=x ， ∵ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>=021)1(021)0(g g ∴ 函数=)(0x g 21322030+-x x 有三个零点 ……………13分∴ 方程021322030=+-x x 有三个实根 ∴ 过点)25,1(-A 可作曲线)(x f y =三条切线 ……………………………14分21.解:（1）211()(0).x kx f x x k x x x-+'=+-=>……………………………………1分① 当2k ≤时，1()20f x x k k k x '=+-≥-=-≥， 函数()f x 为增函数. …………………………………………………………………3分 ②当2k >时，12()()()x x x x f x x--'=，其中120x x <=<=…………………………………4分 ,(),()x f x f x '的取值变化情况如下表：………………………………………………………………………………………6分 综合①②知当2k ≤时，()f x 的增区间为(0,)+∞，无减区间；当2k >时，()f x 的增区间为⎛ ⎝与⎫+∞⎪⎪⎭，减区间为.…………………7分（2）由(1)知当2k ≤时，()f x 无极值；…………………………………………………8分当2k >时，101x <==<知 ()f x 的极大值1111()ln ()02x f x x x k =+-<，()f x 的极小值21()()0f x f x <<， 故()f x 在(]20,x 上无零点. ………………………………………………………………10分224(2)ln(2)2ln(2)02k f k k k k =+-=>，又21x k <=<， 故函数()f x 有唯一零点0x ，且()02,2x x k ∈.………………………………………11分又222()ln ln 22k k f k k k k =+-=-，记2()ln (2)2k g k k k =->，211()0,k g k k k k -'=-=<则22()(2)ln 2ln 2202g k g <=-=-<，从而()0f k <，002,1 2.x k x k k<<<<…………………………………………13分 故k 的取值范围是(2,),+∞不超过0x k的最大整数 1.m = ………………………14分。

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揭阳市2015年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(文科)参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 导数公式： 若()sin(1)f x x =-，则'()cos(1)f x x =-； 若()cos(1)f x x =-，则'()sin(1)f x x =--． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．1．设集合{4,5,6,8},{3,5,7,8}A B ==，则A B 中元素的个数为A ．5B ．6C ．7D ．8 2．已知复数(87)(3)z i i =---，则z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．“a b >”是 “22a b >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．双曲线222214x y a a -=(0)a >的离心率为 A.5 B.52C.2D. 35．已知(sin ,cos ),2,1a b αα==（-），若a b ⊥，则tan α的值为 A. 2- B. 2 C.12 D. 12- 6．已知函数log a y x =(0,1)a a >≠的图象经过点1(2,)2，则其反函数的解析式为A. 4xy = B.4log y x = C.2xy = D. 1()2xy =7．某单位200名职工的年龄分布情况如图1示，该单位为了解职工每天的睡眠情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取40名职工进行调查.则应从40-50岁的职工中抽取的人数为A.8B.12C.20D.308．不等式组5315+15 3.x y y x x y +≤⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，，表示的平面区域的面积为A. 14B.5C. 3D. 79．设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是 A.若//,//,//m l m l αα则；B.若,,//m l m l αα⊥⊥则；C.若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则；D.若,//,,//,//m m l l αββααβ⊂⊂则.40－50岁50岁以上40岁以下30%20%50%图110. 对任意的a 、b R ∈，定义：min{,}a b =,().()a a b b a b <⎧⎨≥⎩；max{,}a b =,().()a ab b a b ≥⎧⎨<⎩.则下列各式中恒成立的个数为①min{,}max{,}a b a b a b =++ ②min{,}max{,}a b a b a b =--③(min{,})(max{,})a b a b a b =⋅⋅ ④(min{,})(max{,})a b a b a b =÷÷ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11－13题）11．不等式23100x x --<的解集为 ．12．在△ABC 中，A B C ∠∠∠、、的对边分别为a b c 、、，若3a =，2B A ∠=∠，cos 63A =， 则b = ．13．已知函数3()f x x =对应的曲线在点(,())()k k a f a k N *∈处的切线与x 轴的交点为1(,0)k a +，若11a =，则333121010()()()21()3f a f a f a +++=- ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线sin()24πρθ+=被圆=4ρ截得的弦长为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图2，BE 、CF 分别为钝角△ABC 的两条高，已知1,AE =3,42,AB CF ==则BC 边的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.(本小题满分12分)已知函数()2sin()(0,)6f x x x R ωωπ=+>∈的最小正周期为π. （1）求ω的值； （2）若2()3f α=，(0,)8πα∈，求cos 2α的值.FEACB图23648788451162139496612413415910288757145699398109977546196183120703612601 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3080日期（AQI ）指数40120160200图3是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI ）的趋势图.图3（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图4中补全这些数据的频率分布直方图；（2）当空气质量指数（AQI ）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月（按30天计）某一天到达该市，根据以上信息，能否认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%？（图中纵坐标1/300即1300，以此类推）18．（本小题满分14分）如图5，已知BCD ∆中，90,1BCD BC CD ∠===，6AB =，AB ⊥平面BCD ，E 、F 分别是AC 、AD 的中点．（1）求证：平面BEF ⊥平面ABC ；（2）设平面BEF 平面BCD l =，求证//CD l ； （3）求四棱锥B-CDFE 的体积V ．图4图5已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，3(1)n n S na n n =--（*n N ∈），且212a =．（1）求1a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）求证：1211113n S S S +++<．20. (本小题满分14分)已知抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，且||5PF =.（1）求抛物线C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M ，且直线l 与抛物线的准线交于点Q ,试探究，在坐标平面内是否存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由.21. (本小题满分14分)已知函数()f x ax =，()ln g x x =，其中a R ∈．（1）若函数()()()F x f x g x =-，当1a =时，求函数()F x 的极值；（2）若函数()(sin(1))()G x f x g x =--在区间(0,1)上为减函数，求a 的取值范围；（3）证明：11sinln(1)1nk n k =<++∑．揭阳市2015年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(文科)参考答案一、选择题：BBDAC ABDCB 解析：10. 由定义知⑴、⑶恒成立，⑵⑷不恒成立，正确答案B. 二、填空题： 11. {|25}x x -<<；12.26；13. 3；14.43；15.57.解析：13.由2'()3f x x =得曲线的切线的斜率23k k a =，故切线方程为323()k k k y a a x a -=-，令0y =得123k k a a +=123k k a a +⇒=，故数列{}n a 是首项11a =，公比23q =的等比数列，又3331210()()()f a f a f a +++101011210(1)3(1)1a q a a a q q-=+++==--，所以333121010()()()321()3f a f a f a +++=-.15．依题意得22BE =，因△BEA ∽△CFA 得AE BE ABAF FC AC==,所以2,AF =6,AC = 2257BC BE EC =+=．三、解答题： 16．解：（1）由2ππω=得=2ω-------------------------------------2分（2）解法1：由π2()2sin(2)63f αα=+= 得π1sin(2)63α+= -----------------------3分∵(0,)8πα∈，∴5π2(,)6612ππα+∈， ---------------------------4分 ∴2ππ22cos(2)1sin (2)663αα+=-+=------------------------------------6分 ∴cos 2cos[(2)]66ππαα=+-----------------------------------------------8分 cos(2)cos sin(2)sin 6666ππππαα=+++ ---------------------------10分2231126132326+=⋅+⋅=-----------------------------------------12分 [解法2：由π2()2sin(2)63f αα=+= 得π1sin(2)63α+=，--------------------------3分即1sin 2coscos 2sin663ππαα+=-------------------------------------5分 ⇒2cos 23sin 23αα-=①--------------------------6分将①代入22sin 2cos 21αα+=并整理得24cos 212cos 2230αα--=， -----8分 解得：12246126cos 2726α±±==②----------------------------10分 ∵(0,)8πα∈ ∴024πα<<，∴cos 20α>，故②中负值不合舍去，--------11分∴126cos 26α+=.-----------------------------------------------12分] 17．解：（1）---4分 ----8分 (2) 由频率分布表知，该市本月前30天中空气质量优良的天数为19，------------9分 故此人到达当天空气质量优良的概率：190.63>0.630P =≈-------------------------------11分 故可以认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60% ------------12分 18.解：（1）证明：AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD A B C D ∴⊥，----------1分又BC CD ⊥， ABBC B =， CD ∴⊥平面ABC ，---------------------2分又E 、F 分别是AC 、AD 的中点，∴//.EF CD -----------------------------3分 ∴EF ⊥平面ABC又EF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面ABC ------------------------------4分 （2）CD // EF ，CD ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF∴//CD 平面BEF ，----------------------------6分 又CD ⊂平面BCD ，且平面BEF平面BCD l =∴//CD l ．------------------------------------8分 （3）解法1：由（1）知EF //CD ∴AEFACD ∆∆------------------------------9分1,4AEF ACD S S ∆∆∴= ∴14B AEF B ACD V V --=------------------11分 331444B ACD A BCD BCD V V V S AB --∆∴===⋅116116.428=⨯⨯⨯⨯=------------14分[解法2：取BD 中点G ，连结FC 和FG ，则FG//AB ，-----9分 ∵AB ⊥平面BCD ，∴FG ⊥平面BCD ，-----------------10分 由（1）知EF ⊥平面ABC ， ∴F EBC F BCD V V V --=+1133EBC BCD S EF S FG ∆∆=⋅+⋅------12分 1611166113423228=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=.----------------14分] 19.解：（1）由2122232(21)S a a a =+=-⨯-和212.a =可得16a =，---------2分 （2）解法1：当2n ≥时，由1n n n a S S -=-得13(1)(1)3(1)(2)n n n a na n n n a n n -=-------， ----4分⇒1(1)(1)6(1)n n n a n a n ----=-16(2,)n n a a n n N *-⇒-=≥∈-------------6分∴数列{}n a 是首项16a =，公差为6的等差数列，∴16(1)6n a a n n =+-=-------8分 [解法2：当2n ≥时，由13(1)()3(1)n n n n S na n n n S S n n -=--=----------------4分 可得1(1)3(1)n n n S nS n n ---=- 131n n S S n n -∴-=-,---------------------------------6分 ∴数列{}n S n 为首项161S=,公差为3的等差数列， 63(1)33nS n n n∴=+-=+，即233n S n n =+. ∴6n a n =-----------------------------------------------------8分] （3）证明：由（2）知1()3(1)2n n n a a S n n +==+-----------------------10分 11111()3(1)31n S n n n n ==-++-------------------------------------12分 12111111111[(1)()()]32231n S S S n n ∴+++<-+-++-+111(1)313n =-<+， 命题证．---------------------------------------------14分 20.解：(1)解法1： ∵点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点， ∴设(,)(0)P m m m >,---------------------------------------1分 ∵抛物线C 的准线为2p y =-，由||5PF =结合抛物线的定义得52pm +=①-----2分 又点P 在抛物线C 上，∴22m pm =(0)m >⇒2m p =.----------------②-----3分由①②联立解得2p =，∴所求抛物线C 的方程式为24x y =.-------------------------5分 [解法2：∵点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，∴设(,)(0)P m m m >,-----------------------------------------------1分∵抛物线C 的焦点为(0,)2p F ，由||5PF =得22()52pm m +-=, 即22()252p m m +-=，①------------------------------------2分 又点P 在抛物线C 上，∴22m pm =(0)m >⇒2m p =.②-------------3分由①②联立解得2p =，∴所求抛物线C 的方程式为24x y =.-------------------------5分] （2）解法1：由抛物线C 关于y 轴对称可知，若存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ， 则点N 必在y 轴上，设(0,)N n ，--------------------------------------6分又设点200(,)4x M x ，由直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M 知，直线l 与抛物线C 相切，由214y x =得1'2y x =，∴001'|2x x k y x ===，------------7分 ∴直线l 的方程为2000()42x xy x x -=-，---------------------------8分 令1y =-得2022x x x -=，∴Q 点的坐标为002(,1)2x x --，-------------------------9分200002(,),(,1)42x x NM x n NQ n x ∴=-=-----------------------------------10分∵点N 在以MQ 为直径的圆上，∴22220002(1)()(1)20(*)244x x x NM NQ n n n n n ⋅=--+-=-++-=------12分要使方程(*)对0x 恒成立，必须有21020n n n -=⎧⎨+-=⎩解得1n =，--------------13分∴在坐标平面内存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，其坐标为(0,1)．---14分[解法2：设点00(,)M x y ，由:l y k x m =+与抛物线C 有唯一公共点M 知，直线l 与抛物线相切，由214y x =得1'2y x =，∴001'|2x x k y x ===，----------------------6分∴直线l 的方程为000()2x y y x x -=-，-----------------------------7分 令1y =-得002(1)y x x -=，∴Q 点的坐标为002(1)(,1)y x --，--------------8分 ∴以MQ 为直径的圆方程为：00002(1)()(1)()[]0y y y y x x x x --++--=③----10分 分别令02x =和02x =-，由点M 在抛物线C 上得01y =，将00,x y 的值分别代入③得(1)(1)(2)0y y x x -++-=------------------④(1)(1)(2)0y y x x -+++=-------------------------------------------⑤④⑤联立解得0,1.x y =⎧⎨=⎩或0,1.x y =⎧⎨=-⎩，----------------------------12分∴在坐标平面内若存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 必为(0,1)或(0,1)-， 将(0,1)的坐标代入③式得， 左边=00002(1)2(1)()[]y y x x --+--002(1)2(1)0y y =-+-==右边， 将(0,1)-的坐标代入③式得， 左边=00002(1)()[]2(1)y x y x ---=-不恒等于0，-----------13分 ∴在坐标平面内是存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，点N 坐标为为(0,1)．--14分] 21.解：（1）∵当1a =时， 函数()ln F x x x =-，(0)x > ∴11'()1x F x x x-=-=，-----------------------------1分 令'()0F x =得1x =，当(0,1)x ∈时'()0F x <，当(1,)x ∈+∞时，'()0F x >，即函数()F x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，--------------------------------3分 ∴函数()F x 在1x =处有极小值，∴()F x 极小1ln11=-=.----------------------------------------------4分（2）解法1：∵函数()(sin(1))()G x f x g x =--=sin(1)ln a x x --在区间(0,1)上为减函数∴1'()cos(1)0G x a x x =--≤在(0,1)上恒成立1cos(1)a x x ⇔≤-在(0,1)上恒成立，----5分 设1()cos(1)H x x x =-，则()()()()()2222cos 1sin 1sin 1cos 1'()cos (1)cos (1)x x x x x x H x x x x x -------==-- ---7分 当()0,1x ∈时，()sin 10x -<，()cos 10x ->所以'()0H x <在()0,1上恒成立，即函数()H x 在()0,1上单调递减，--------8分 ∴当()0,1x ∈时，()(1)1H x H >=，∴1a ≤.-----------------------------------------------------9分[解法2：∵函数()(sin(1))()G x f x g x =--=sin(1)ln a x x --在区间(0,1)上为减函数 ∴对(0,1)x ∀∈ ，1'()cos(1)0G x a x x=--≤-（*）恒成立，--------------5分 ∵(0,1)x ∈，∴cos(1)0x ->，当0a ≤时，（*）式显然成立；------------------------------------------6分 当0a >时，（*）式⇔1cos(1)x x a≥-在(0,1)上恒成立， 设()cos(1)h x x x =-，易知()h x 在(0,1)上单调递增，--------------------7分 ∴()(1)1h x h <=， ∴11a≥01a ⇒<≤，-----------------------------------------8分 综上得(,1]a ∈-∞.-----------------------------------------------9分] （3）由（2）知，当1a =时，()sin(1)ln G x x x =--(1)0G >=,sin(1)ln x x ⇒->1sin(1)ln x x⇒-<，②----------------10分∵对k N *∀∈有(0,1)1kk ∈+， 在②式中令1k x k =+得11sin(1)sin ln 11k k k k k+-=<++，----------------12分∴11131sin sin sin ln 2ln ln 2312n n n ++++<++++341ln(2)ln(1)23n n n+=⋅⋅⋅=+，即11sinln(1)1nk n k =<++∑．------------------------------------------14分。

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