高等数学习题课

共80学时
现在我们利用上面的结果来计算工程上常用的广义积分 (也叫概
率积分)
D2 {( x, y) | x 2 y 2 2R 2 , x 0, y 0 ,
D1 {( x, y) | x 2 y 2 R 2 , x 0, y 0 ,
S
0

e
x2
dx ． 设
ba D1
2a lim
ba
a r b rdr
2 2 0
ba
0
0
a2 r 2
a2 r 2
2a lim (a a 2 b 2 ) 2a 2 .
ba
例2 求锥面
z x2 y2
2 被柱面 z 2 x 所割下部分的曲面面积．
解 所求曲面在 xOy面上的投影区域为
以这些元素为被积表达式，在闭区域 D 上积分，便得
M y x ( x, y) d , M x y ( x, y) d ,
D D
M ( x, y) d .
D
所以，薄片的重心的坐标为
x My M
x ( x, y) d
D
( x, y) d
I x yi2 mi ; I y xi2 mi .
i 1 i 1 n n
设一平面薄片占有 xOy面上的闭区域 D，在点 ( x, y )处的面密度为， ( x, y), 假定 ( x, y ) 在D 上连续．现在要求该薄片对于x 轴的转动惯量I x 以及对于y 轴的转动惯量 I y ． 应用元素法．在闭区域D 上任取一直径很小的闭区域d (同时 ( 也表示面积)， x, y ) 是这小闭区域上的一个点．因为d 的直径很小， 且 ( x, y ) 在 D上连续，所以薄片中相应于 d 部分的质量近似等于 ( x, y ) d，这部分质量可近似看作集中在点( x, y ) 上，于是可写出薄 片对于 x 轴以及对于 y 轴的转动惯量元素： dI x y 2 ( x, y) d , dI y x2 ( x, y) d .
A

Dz x
y y 1 d z dx z x
2
2
或
A
D yz
x x 1 dydz. y z
2
2
例1 求半径为a 的球的表面 积． 解 取上半球面方程为 z a 2 x 2 y 2 ，则它 在 xOy 面上的投影区域 D 可表示为 x2 y 2 a2 .
D
,y
Mx M
y ( x, y) d
D
( x, y) d
D
.
如果薄片是均匀的，即面密度为常量，则在上式中可把 提到 积分记号外面并从分子、分母中约去，于是，均匀薄片的重心的 坐标为 1 1 x xd , y yd , (1) AD AD 其中 A d 为闭区域D 的面积．此时薄片的重心完全由闭区域D 的
D ( x, y) 0 x2 y 2 2x ,
y


z
则有
A

D
z z 1 y dxdy x
2
2
o
y
D2பைடு நூலகம்
x 2 y 2 2x
x

D
x y 1 2 2 dxdy 2 2 x y x y 2dxdy 2 dxdy
D
2
2
D
o

1
图9-32
2 x

D
2 .
二、平面薄片的重心
( 设 xOy 平面上有n 个质点，它们分别位于点 x1, y1 ), ( x2 , y2 ), , ( xn , yn ) 处，质量分别为 m1 , m2 , , mn ．由力学知道，该质点系的重心的 坐标为 m x m y M M
D2
R2 2
应用例8的结果有

4 (1 e
2R 2
R2
x2 y 2
dxdy
),
于是上面的不等式可写成

4
(1 e
R e x 2 dx (1 e 2 R 2 ). ) 0 4
x2
从而

0
e
x
2
dx lim
R
e
0
R
dx

2
.
例9 计算球体 x 2 y 2 z 2 4a 2 被圆柱面 x 2 y 2 2ax(a 0) z 所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积(图9-23)． 解 由对称性，得
V 4
D
4a 2 x 2 y 2 dxdy 4 a r rdrd
2 2
o
D y
4
D
4 2 d
0

2a
2 a cos 0
4 a r rdr
2 2
x
y
图9-23（a）
32 3 a 2 (1 sin 3 ) d 0 3 32 3 2 a . 3 2 3
r 2a cos
D

o
图9-23（b）
D
形状所决定．我们把均匀平面薄片的重心叫做该平面薄片所占的平
面图形 D 的形心．因此，平面图形的形心，就可用公式(1)计算．
二十一讲
例3 求位于两圆 和 r 4 sin 之间的均匀薄片的重心(图9y 33． 2 r 4 sin 解 因为闭区域 D 关于 y 轴对称，所以 D 重心 C ( x , y ) （形心）必位于y 轴上，于是
x
在闭区域 D上任取一直径很小的闭区域d(这小 闭区域的面积也记作 d )．在 d 上取一点P( x, y )，对 应地曲面上有一点 M ( x, y, f ( x, y)) ，点M 在 xOy 面上的投 影即点 P ．点 M 处曲面 S 的切平面设为T (图9-29 )。 以小闭区域d 的边界为准线作母线平行于 z 轴的柱 面，这柱面在曲面 S 下截下一小片曲面，在切平面 T 上截下一小片平面．由于d 的直径很小，切平面 T 上的那一小片平面的面积dA 可以近似代替相应的 那小片曲面的面积．设点 M 处曲面 S 上的法线(指向 朝上)与 z 轴所成的角为 ，则
x2 y2
dxdy e
2
dxdy.
D2
因为
e dxdy e dx e e dxdy (1 e 4
x2 y 2 x2 0 S
x2 y 2 D1
R
R e x 2 dx , dy 0
) , e
n i s 2 r
n i s 2 r
1
o
图9-33
4 sin 2 sin
x
r 2 dr
三、平面薄片的转动惯量 设xOy 平面上有n 个质点，它们分别位于点( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),, ( xn , yn ) 处，质量分别为 m1 , m2 , , mn．由力学知道，该质点系对于 x 轴 以及对于 y 轴的转动惯量依次为：
y
S {( x, y) | 0 x R,0 y R .
D1
O
x2 y 2
D2
R
2R
显然 D1 S D2 (图9-22(b))．由于 e 从而有不等式
x2 y 2
0 ，
x
图9-22(b)
e
D1
x2 y2
dxdy e
S
R y2 0
T
dA
M
S
y
o

x
P
图9-29
dA
d dA . cos
dA

d
图9-30
因为cos
1 1 f ( x, y ) f ( x, y )
2 x 2 y
,
所以 dA 1 f x2 ( x, y) f y2 ( x, y) d .
这就是曲面S的面积元素，以它为被积表达式在闭区域 D 上积分，得
n n
x
y
M

i 1 n
i
i
M 其中 M mi 为该质点系的总质量， i 1
n
mi i 1
, y
x
M
n

i 1 n
i
i
mi i 1
n i 1
y
mi xi , M x mi y i 分别为该质点
i 1
系对 y 轴和 x 轴的静矩． 设一平面薄片占有xOy 面上的闭区域D ，在点( x, y ) 处的面密度 为 ( x, y) ，假定 ( x, y) 在 D 上连续，用元素法求薄片的重心坐标．在 ( 闭区域 D 上任取一直径很小的闭区域 d ，x, y )是闭区域 d上的一个 点．由于它的直径很小，且 ( x, y )在 D上连续，所以薄片中相应于d 的部分的质量近似等于 ( x, y) d ，这部分质量可近似看作集中在点 ( x, y ) 上 ，于是可写出静矩元素dM y 及 dM x ： dM y x ( x, y) d , dM x y ( x, y) d .
因为被积函数在闭区域 D 上无界，所以这是广义二重积分。应用 广义积分的计算方法，令 D1 ( x, y) x2 y2 b2 , 0 b a, 则 a A lim dxdy 2 2 2 b a a x y D1 2 b a rdr lim rdrd a lim d
z
o
由
z x
z , 2 2 2 y a x y