(完整word版)支持向量机(SVM)原理及应用概述分析
(完整版)支持向量机(SVM)原理及应用概述
支持向量机（SVM ）原理及应用一、SVM 的产生与发展自1995年Vapnik(瓦普尼克)在统计学习理论的基础上提出SVM 作为模式识别的新方法之后，SVM 一直倍受关注。
同年，Vapnik 和Cortes 提出软间隔(soft margin)SVM ，通过引进松弛变量i ξ度量数据i x 的误分类(分类出现错误时i ξ大于0)，同时在目标函数中增加一个分量用来惩罚非零松弛变量(即代价函数)，SVM 的寻优过程即是大的分隔间距和小的误差补偿之间的平衡过程；1996年，Vapnik 等人又提出支持向量回归 (Support Vector Regression ，SVR)的方法用于解决拟合问题。
SVR 同SVM 的出发点都是寻找最优超平面(注：一维空间为点；二维空间为线；三维空间为面；高维空间为超平面。
)，但SVR 的目的不是找到两种数据的分割平面，而是找到能准确预测数据分布的平面，两者最终都转换为最优化问题的求解；1998年，Weston 等人根据SVM 原理提出了用于解决多类分类的SVM 方法(Multi-Class Support Vector Machines ，Multi-SVM)，通过将多类分类转化成二类分类，将SVM 应用于多分类问题的判断：此外，在SVM 算法的基本框架下，研究者针对不同的方面提出了很多相关的改进算法。
例如，Suykens 提出的最小二乘支持向量机 (Least Square Support Vector Machine ，LS —SVM)算法，Joachims 等人提出的SVM-1ight ，张学工提出的中心支持向量机 (Central Support Vector Machine ，CSVM)，Scholkoph 和Smola 基于二次规划提出的v-SVM 等。
此后，台湾大学林智仁(Lin Chih-Jen)教授等对SVM 的典型应用进行总结，并设计开发出较为完善的SVM 工具包，也就是LIBSVM(A Library for Support Vector Machines)。
支持向量机简介与基本原理
支持向量机简介与基本原理支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种常用的机器学习算法，被广泛应用于模式识别、数据分类以及回归分析等领域。
其独特的优势在于可以有效地处理高维数据和非线性问题。
本文将介绍支持向量机的基本原理和应用。
一、支持向量机的基本原理支持向量机的基本思想是通过寻找一个最优超平面，将不同类别的数据点分隔开来。
这个超平面可以是线性的，也可以是非线性的。
在寻找最优超平面的过程中，支持向量机依赖于一些特殊的数据点，称为支持向量。
支持向量是离超平面最近的数据点，它们对于确定超平面的位置和方向起着决定性的作用。
支持向量机的目标是找到一个超平面，使得离它最近的支持向量到该超平面的距离最大化。
这个距离被称为间隔（margin），最大化间隔可以使得分类器更具鲁棒性，对新的未知数据具有更好的泛化能力。
支持向量机的求解过程可以转化为一个凸优化问题，通过求解对偶问题可以得到最优解。
二、支持向量机的核函数在实际应用中，很多问题并不是线性可分的，此时需要使用非线性的超平面进行分类。
为了解决这个问题，支持向量机引入了核函数的概念。
核函数可以将低维的非线性问题映射到高维空间中，使得原本线性不可分的问题变得线性可分。
常用的核函数有线性核函数、多项式核函数、高斯核函数等。
线性核函数适用于线性可分问题，多项式核函数可以处理一些简单的非线性问题，而高斯核函数则适用于复杂的非线性问题。
选择合适的核函数可以提高支持向量机的分类性能。
三、支持向量机的应用支持向量机在实际应用中有着广泛的应用。
在图像识别领域，支持向量机可以用于人脸识别、物体检测等任务。
在生物信息学领域，支持向量机可以用于蛋白质分类、基因识别等任务。
在金融领域，支持向量机可以用于股票市场预测、信用评估等任务。
此外，支持向量机还可以用于文本分类、情感分析、异常检测等领域。
由于其强大的分类性能和泛化能力，支持向量机成为了机器学习领域中的重要算法之一。
svm支持向量机原理
svm支持向量机原理支持向量机（Support Vector Machine，简称SVM）是一种二分类模型，基本思想是寻找一个最优的超平面来将不同类别的数据分开。
SVM 可以用于分类、回归和异常检测等领域。
SVM 的核心思想是将数据映射到高维空间，使得样本在该空间中线性可分。
我们可以将数据集看做在一个n维空间中的点，其中n是特征数。
在这个空间中，我们希望找到一个超平面，它能够将不同类别的数据分开。
当然，可能存在很多条可以分离不同类别的超平面，而SVM算法的目标是找到能够最大化两条平面（即类别之间的间隔）距离的那条。
SVM的一个关键点是支持向量。
在图上，我们可以看到，支持向量就是离超平面最近的那些点。
如果这些点被移动或删除，超平面的位置可能会改变。
SVM最常用的内核函数是高斯核函数（Radial Basis Function，RBF），它将数据点映射到一些非线性的空间，增加了分类的准确性。
SVM算法的优点在于它们能够处理高维数据，而且不受维度灾难的限制。
此外，它们可以通过在核函数中使用不同的参数来适应不同的数据类型。
这种灵活性意味着即使在处理不同类型的数据时，SVM算法的表现也很出色。
SVM算法的缺点在于，当数据集非常大时，它们很难优化，需要很长时间来训练模型；另外，SVM算法的结果不够直观和易理解，而且对于离群点的处理也不是非常理想。
综上所述，SVM 是一种广泛应用的机器学习算法，它的优点包括精确性、适应性和高度灵活性。
当然，它的性能取决于应用场景和正确定义其参数的能力。
《数据挖掘与数据分析(财会)》支持向量机(SVM)及应用
||||
因为 平 + 0 在平面内，所以其值为0。原式变为：
= + 0 =
||||
X在平面
内的分
量
=
||||
但是，距离应该是正数，但计算出来的可能为正，也可能为负，因
此需要加上绝对值
||
=
||||
但加上绝对值，无法微分，因此，我们加上一些约束
也就是说：
是平面（线） + 0 的法线
4
总结
假设直线（平面）的方程为 + = ，和点
集{ , , … . }那么，哪些点距离直线最近？
根据几何知识，能够使得| + |最小的点，
距离平面最近。
5
SVM原理以及基本概念
2.SVM基本概念
2.1 点到分离面的距离
大智移云下的财务管理创新思维
问题的提出
在平面上有这样的两组数据，如何将他们进行分类，
以便于在将来新的数据加入进来能将新的数据划分到
某一方：
1
SVM原理以及基本概念
1. 什么是SVM
SVM （support vectors machine，SVM ，支持向量机）
支持向量机（又名支持向量网络）一种二类分类模型，它的基本模型是的定
当()大于0时，我们规定 = 1，当()小于0时， = −1
因此，点到平面的距离就变成了：r =
||||
. .
8
= ||||2
= −1.
= 1.
> 0
<0
> 0.
即： + 0 > 0 = 1, −1
支持向量机原理及应用
支持向量机原理及应用支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是机器学习中一种强大的分类和回归方法。
它的原理是通过将数据映射到高维空间中，找到一个最优的超平面来实现分类或回归任务。
SVM在许多领域都有广泛的应用，例如图像分类、文本分类、生物信息学和金融等。
SVM的核心思想是找到一个能够最大化分类边界的超平面。
超平面是一个能够将分类样本分开的线性空间。
SVM通过将输入样本映射到高维空间中，使得线性可分问题变为了线性可分的问题。
在高维空间中，SVM选择一个能够最大化样本间距的超平面，这就是SVM的原理之一SVM的另一个重要原理是核技巧。
在非线性可分问题中，SVM使用核函数将数据映射到高维空间中，通过在高维空间中找到一个超平面来实现分类。
核函数可以将原始空间中的非线性问题转化为高维空间中的线性问题，从而大大提高了SVM的分类准确率。
SVM的应用非常广泛，其中最经典的应用之一是图像分类。
图像分类是指根据图像的内容将其归入特定的类别。
SVM可以利用其强大的分类能力来将图像分为属于不同类别的准确性高。
在图像分类中，SVM通常使用特征向量作为输入来训练模型，然后使用该模型将新的图像分类为预定义的类别。
SVM在文本分类中也有广泛的应用。
文本分类是指将文本归类为不同的类别，例如将电子邮件分类为垃圾邮件或非垃圾邮件。
SVM可以利用其在高维空间中找到超平面的能力，找出文字特征与类别之间的关系，从而实现文本分类。
SVM在文本分类中的应用有助于提高准确性和效率，特别是在大规模数据集上。
此外，SVM还在生物信息学中发挥重要作用。
生物信息学包括生物学、计算机科学和统计学等领域，用于研究和解释生物学数据。
SVM可以用于分析和预测生物学数据，如基因表达数据和蛋白质序列。
SVM在生物信息学中的应用有助于揭示生物学的内在规律，提高疾病诊断和治疗方法的准确性。
此外，SVM还被广泛应用于金融领域。
金融领域需要对股票市场、外汇市场和其他金融市场进行预测和分析。
支持向量机原理
支持向量机原理支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种二分类模型，它的基本模型是定义在特征空间上的间隔最大的线性分类器。
支持向量机的学习策略是间隔最大化，可形式化为一个求解凸二次规划问题。
SVM是一种分类算法，它的基本原理是找到一个超平面，将不同类别的数据分隔开来，使得两个类别的数据点到超平面的距离最大化。
支持向量机的原理主要包括间隔、支持向量、对偶问题和核函数等几个方面。
首先，我们来看支持向量机的间隔。
在支持向量机中，间隔是指两个异类样本最近的距离，而支持向量机的目标就是要找到一个超平面，使得所有样本点到这个超平面的距离最大化。
这个距离就是间隔，而支持向量机的学习策略就是要最大化这个间隔。
其次，支持向量机的支持向量。
支持向量是指离超平面最近的那些点，它们对超平面的位置有影响。
支持向量决定了最终的超平面的位置，而其他的点对超平面的位置没有影响。
因此，支持向量是支持向量机模型的关键。
然后，我们来看支持向量机的对偶问题。
支持向量机的原始问题是一个凸二次规划问题，可以通过求解对偶问题来得到最终的分类超平面。
通过对偶问题，我们可以得到支持向量的系数，从而得到最终的分类超平面。
最后，我们来看支持向量机的核函数。
在实际应用中，很多时候样本不是线性可分的，这时就需要用到核函数。
核函数可以将原始特征空间映射到一个更高维的特征空间，使得样本在这个高维特征空间中线性可分。
常用的核函数有线性核、多项式核和高斯核等。
综上所述，支持向量机是一种非常强大的分类算法，它通过最大化间隔来得到最优的分类超平面，支持向量决定了最终的超平面的位置，对偶问题可以通过求解对偶问题来得到最终的分类超平面，而核函数可以处理非线性可分的情况。
支持向量机在实际应用中有着广泛的应用，是一种非常重要的机器学习算法。
希望本文对支持向量机的原理有所帮助，让读者对支持向量机有更深入的理解。
支持向量机作为一种经典的机器学习算法，有着重要的理论意义和实际应用价值。
支持向量机算法的原理
支持向量机算法的原理支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种广泛应用于分类和回归问题的机器学习算法。
它的原理基于统计学习理论中的结构风险最小化原则，通过寻找一个最优的超平面来实现数据的分类。
在SVM中，数据被看作是高维空间中的点，每个点都有一个与之对应的特征向量。
这些特征向量的维度取决于特征的数量。
SVM的目标是找到一个超平面，使得其能够尽可能地将不同类别的数据点分隔开。
超平面是一个d维空间中的d-1维子空间，其中d为特征向量的维度。
在二维空间中，超平面即为一条直线，可以完全将两类数据点分开。
在更高维的空间中，超平面可以是一个曲面或者是一个超平面的组合。
为了找到最优的超平面，SVM引入了支持向量的概念。
支持向量是离超平面最近的数据点，它们决定了超平面的位置和方向。
通过最大化支持向量到超平面的距离，SVM能够找到一个最优的超平面，使得分类误差最小化。
SVM的核心思想是将低维空间中的数据映射到高维空间中，使得原本线性不可分的数据变得线性可分。
这一映射是通过核函数实现的。
核函数能够计算两个数据点在高维空间中的内积，从而避免了显式地进行高维空间的计算。
常用的核函数有线性核、多项式核和高斯核等。
SVM的训练过程可以简化为一个凸优化问题。
通过最小化结构风险函数，SVM能够找到一个最优的超平面，使得分类误差最小化。
结构风险函数由经验风险项和正则化项组成。
经验风险项衡量了分类器在训练集上的错误率，正则化项则防止过拟合。
SVM的优点是具有较好的泛化性能和较强的鲁棒性。
由于最大化支持向量到超平面的距离，SVM对异常值不敏感，能够有效地处理噪声数据。
此外，SVM还可以通过引入松弛变量来处理非线性可分的问题。
然而，SVM也存在一些限制。
首先，SVM对于大规模数据集的训练时间较长，且对内存消耗较大。
其次，选择合适的核函数和参数是一个挑战性的问题，不同的核函数和参数可能会导致不同的分类结果。
简述向量机的基本原理及应用
简述向量机的基本原理及应用一、向量机的基本原理向量机（Support Vector Machine，简称SVM）是一种非常流行且强大的机器学习算法，广泛应用于分类和回归问题。
它基于统计学习理论中的结构风险最小化原则，通过最大化分类间隔来进行分类。
1. 支持向量机的概念在支持向量机中，将数据点看作特征空间（高维空间）中的点，将向量看作特征空间中的向量。
支持向量机通过划分特征空间，找到一个超平面（决策边界），将不同类别的数据点分开。
2. 线性可分支持向量机当数据点能够被一个超平面完全分离的时候，称为线性可分。
线性可分支持向量机的目标是找到一个最佳的超平面，使得正负样本点到该超平面的距离最大。
这个最佳的超平面称为最优划分超平面。
3. 线性不可分支持向量机在实际应用中，数据点往往不是完全线性可分的。
对于线性不可分的情况，可以使用核函数（Kernel Function）将低维非线性可分问题映射到高维空间，从而实现线性划分的目的。
二、向量机的应用支持向量机作为经典的机器学习算法，在许多领域得到了广泛的应用。
1. 图像分类支持向量机在图像分类中具有良好的性能。
通过将图像数据表示为高维向量，将其映射到特征空间中，支持向量机可以对图像进行分类，例如人脸识别和手写体数字识别。
2. 文本分类支持向量机在文本分类中也具有很高的准确率。
通过将文本数据表示为向量空间模型（Vector Space Model），将其映射到特征空间中，支持向量机可以对文本进行分类，例如垃圾邮件过滤和情感分析。
3. 金融预测支持向量机在金融预测中有广泛的应用。
对于股票市场、外汇市场和期权市场等金融市场的预测，支持向量机可以通过对历史数据的学习，预测未来的价格趋势，帮助投资者做出决策。
4. 生物信息学支持向量机在生物信息学中也得到了广泛的应用。
通过对基因序列等生物数据的分析，支持向量机可以对蛋白质结构、基因功能和突变预测等问题进行分类和预测，帮助科研人员进行生物信息学研究。
支持向量机 原理
支持向量机原理支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种监督学习算法，被广泛应用于二分类、多分类和回归分析。
SVM的核心思想是通过在不同类别的样本之间找到一个最优的超平面，来实现样本的最优分类和回归预测。
SVM的原理涉及到线性代数、几何和优化理论等多个领域。
一、线性可分支持向量机在介绍SVM原理之前，首先需要了解线性可分支持向量机的基本概念。
给定一个训练数据集，包含了一些正样本和负样本，在二维空间中，我们可以将正样本用红色点表示，负样本用蓝色点表示，如下图所示：（插入一张二维散点图）我们可以观察到，有无穷多个超平面可以将正负样本完全分开。
但是，我们希望找到一个具有"最大间隔"的超平面，因为最大间隔超平面具有更好的泛化能力。
那么，如何定义最大间隔超平面呢？我们定义超平面为：w·x + b = 0，其中w为法向量，x为特征向量，b为截距。
我们希望最大化w·x + b对于所有正样本的值为1，对于所有负样本的值为-1，即：w·x_i + b >= 1, 若y_i=1w·x_i + b <= -1, 若y_i=-1其中y_i为样本的标签。
为了简化推导，我们可以将以上两个约束条件合并为：y_i(w·x_i + b) >= 1，对所有样本成立。
在上述约束条件下，我们的目标是最大化超平面到正负样本的最小距离，即最大化间隔。
假设超平面与正样本最近的点为x_+，与负样本最近的点为x_-，则最大间隔为d = x_+ - x_-我们可以通过最大化间隔的倒数来实现最小化间隔，即最小化0.5 * w ^2，其中w 为w的范数。
综上所述，我们的目标可以定义为一个最优化问题：min 0.5 * w ^2s.t. y_i(w·x_i + b) >= 1，对所有样本成立。
二、线性不可分支持向量机现实中的数据往往是复杂的，很难通过一个超平面将正负样本完全分开。
支持向量机(SVM)原理及
支持向量机(SVM)原理及应用概述支持向量机（SVM ）原理及应用一、SVM 的产生与发展自1995年Vapnik(瓦普尼克)在统计学习理论的基础上提出SVM 作为模式识别的新方法之后，SVM 一直倍受关注。
同年，Vapnik 和Cortes 提出软间隔(soft margin)SVM ，通过引进松弛变量i ξ度量数据i x 的误分类(分类出现错误时i ξ大于0)，同时在目标函数中增加一个分量用来惩罚非零松弛变量(即代价函数)，SVM 的寻优过程即是大的分隔间距和小的误差补偿之间的平衡过程；1996年，Vapnik 等人又提出支持向量回归 (Support Vector Regression ，SVR)的方法用于解决拟合问题。
SVR 同SVM 的出发点都是寻找最优超平面(注：一维空间为点；二维空间为线；三维空间为面；高维空间为超平面。
)，但SVR 的目的不是找到两种数据的分割平面，而是找到能准确预测数据分布的平面，两者最终都转换为最优化问题的求解；1998年，Weston 等人根据SVM 原理提出了用于解决多类分类的SVM 方法(Multi-Class Support Vector Machines ，Multi-SVM)，通过将多类分类转化成二类分类，将SVM 应用于多分类问题的判断：此外，在SVM 算法的基本框架下，研究者针对不同的方面提出了很多相关的改进算法。
例如，Suykens 提出的最小二乘支持向量机 (Least Square Support Vector Machine ，LS —SVM)算法，Joachims 等人提出的SVM-1ight ，张学工提出的中心支持向量机 (Central Support Vector Machine ，CSVM)，Scholkoph 和Smola 基于二次规划提出的v-SVM 等。
此后，台湾大学林智仁(Lin Chih-Jen)教授等对SVM 的典型应用进行总结，并设计开发出较为完善的SVM 工具包，也就是LIBSVM(A Library for Support Vector Machines)。
请简述 SVM(支持向量机)的原理以及如何处理非线性问题。
请简述 SVM(支持向量机)的原理以及如何处理非线性问题。
支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种常用的机器学习算法，常用于分类和回归问题。
它的原理是基于统计学习理论和结构风险最小化原则，通过寻找最优超平面来实现分类。
SVM在处理非线性问题时，可以通过核函数的引入来将数据映射到高维空间，从而实现非线性分类。
一、SVM原理支持向量机是一种二分类模型，它的基本思想是在特征空间中找到一个超平面来将不同类别的样本分开。
具体而言，SVM通过寻找一个最优超平面来最大化样本间的间隔，并将样本分为两个不同类别。
1.1 线性可分情况在特征空间中，假设有两个不同类别的样本点，并且这两个类别可以被一个超平面完全分开。
这时候我们可以找到无数个满足条件的超平面，但我们要寻找具有最大间隔（Margin）的超平面。
Margin是指离超平面最近的训练样本点到该超平面之间距离之和。
我们要选择具有最大Margin值（即支持向量）对应的决策函数作为我们模型中使用。
1.2 线性不可分情况在实际问题中，很多情况下样本不是线性可分的，这时候我们需要引入松弛变量（Slack Variable）来处理这种情况。
松弛变量允许样本点处于超平面错误的一侧，通过引入惩罚项来平衡Margin和错误分类的数量。
通过引入松弛变量，我们可以将线性不可分问题转化为线性可分问题。
同时，为了防止过拟合现象的发生，我们可以在目标函数中加入正则化项。
1.3 目标函数在SVM中，目标函数是一个凸二次规划问题。
我们需要最小化目标函数，并找到最优解。
二、处理非线性问题SVM最初是用于处理线性可分或近似线性可分的数据集。
然而，在实际应用中，很多数据集是非线性的。
为了解决这个问题，SVM引入了核函数（Kernel Function）。
核函数可以将数据从低维空间映射到高维空间，在高维空间中找到一个超平面来实现非线性分类。
通过核技巧（Kernel Trick），SVM 可以在低维空间中计算高维空间中样本点之间的内积。
支持向量机在金融分析中的应用
支持向量机在金融分析中的应用一、概述支持向量机（Support Vector Machine，简称SVM）是一种基于统计学习理论的二类分类模型，由于其具有良好的分类性能、较好的鲁棒性和泛化能力，在金融分析领域得到了广泛的应用。
二、SVM的原理SVM是一种基于最大间隔分类准则的模型，其基本思想是找到一个超平面，使得不同类别的样本距离该超平面的距离最大。
这个距离也就是所谓的“间隔”，而最大间隔分类准则就是在所有可能的超平面中，选择间隔最大的超平面作为最优超平面。
在SVM 中，样本点作为超平面的支持向量点起到了至关重要的作用。
三、SVM在金融分析中的应用1.股票价格预测SVM可以通过学习历史股票价格等数据，来预测未来股票价格的涨跌情况。
通过构建一个二分类模型，将涨（或跌）作为一个类别，而不涨（或不跌）作为另一个类别，SVM可以通过对不同的因素进行分析，包括股票历史价格、交易量等，来预测未来的股票价格。
2.信用风险评估SVM可以通过学习客户的历史信用记录、收入情况、负债水平等信息，将客户分为可信和不可信两个类别。
这样可以通过建立一个分类模型，来评估借款人的信用风险，从而帮助金融机构做出更好的贷款决策。
3.欺诈检测SVM可以通过分析客户的交易历史，来判断是否存在欺诈行为。
例如，在银行卡的交易数据中，可以通过分析不同交易商户、交易金额等因素，来判断是否存在异常交易行为，从而及时发现潜在的欺诈风险。
4.数字货币价格预测SVM可以通过分析数字货币的历史价格、交易量等因素，来预测数字货币的未来价格走势。
这样可以帮助投资者做出更好的投资决策，也可以帮助数字货币平台制定更有效的市场策略。
四、SVM的优点和局限1.优点SVM具有较好的泛化能力，且能够处理高维度的数据，具有较好的分类性能和鲁棒性。
SVM采用间隔最大化的方法进行分类，从而提高了分类的精度。
2.局限SVM需要依赖超平面来进行分类，对于非线性的数据，需要进行特殊的处理。
支持向量机简介及原理解析
支持向量机简介及原理解析支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种常用的机器学习算法，广泛应用于分类和回归问题。
它的原理基于统计学习理论和结构风险最小化原则，具有较强的泛化能力和鲁棒性。
本文将介绍SVM的基本概念、原理以及其在实际应用中的优势。
一、SVM的基本概念SVM是一种监督学习算法，其目标是通过构建一个最优的超平面来实现数据的分类。
在二分类问题中，SVM将数据点分为两个类别，并尽量使得两个类别之间的间隔最大化。
这个超平面被称为“决策边界”，而距离决策边界最近的样本点被称为“支持向量”。
二、SVM的原理SVM的原理可以分为线性可分和线性不可分两种情况。
对于线性可分的情况，SVM通过构建一个最优的超平面来实现分类。
最优的超平面是使得两个类别之间的间隔最大化的超平面，可以通过最大化间隔的优化问题来求解。
对于线性不可分的情况，SVM引入了“松弛变量”和“软间隔”概念。
松弛变量允许一些样本点出现在错误的一侧，软间隔则允许一定程度的分类错误。
这样可以在保持间隔最大化的同时，允许一些噪声和异常点的存在。
三、SVM的优势SVM具有以下几个优势：1. 高效性：SVM在处理高维数据和大规模数据时表现出色。
由于SVM只依赖于支持向量，而不是整个数据集，因此可以减少计算量和内存消耗。
2. 泛化能力：SVM通过最大化间隔来寻找最优的决策边界，具有较强的泛化能力。
这意味着SVM可以很好地处理未见过的数据，并具有较低的过拟合风险。
3. 鲁棒性：SVM对于噪声和异常点具有较好的鲁棒性。
通过引入松弛变量和软间隔，SVM可以容忍一定程度的分类错误，从而提高了模型的鲁棒性。
4. 可解释性：SVM的决策边界是由支持向量决定的，这些支持向量可以提供关于数据分布的重要信息。
因此，SVM具有较好的可解释性，可以帮助我们理解数据背后的规律。
四、SVM的应用SVM广泛应用于分类和回归问题，包括图像识别、文本分类、生物信息学等领域。
支持向量机(SVM)简述
第1 2章12.1 案例背景12.1.1 SVM概述支持向量机(Support Vector Machine，SVM)由Vapnik首先提出，像多层感知器网络和径向基函数网络一样，支持向量机可用于模式分类和非线性回归。
支持向量机的主要思想是建立一个分类超平面作为决策曲面，使得正例和反例之间的隔离边缘被最大化；支持向量机的理论基础是统计学习理论，更精确地说，支持向量机是结构风险最小化的近似实现。
这个原理基于这样的事实：学习机器在测试数据上的误差率（即泛化误差率）以训练误差率和一个依赖于VC维数(Vapnik - Chervonenkis dimension)的项的和为界，在可分模式情况下，支持向量机对于前一项的值为零，并且使第二项最小化。
因此，尽管它不利用问题的领域内部问题，但在模式分类问题上支持向量机能提供好的泛化性能，这个属性是支持向量机特有的。
支持向量机具有以下的优点：①通用性：能够在很广的各种函数集中构造函数；②鲁棒性：不需要微调；③有效性：在解决实际问题中总是属于最好的方法之一；④计算简单：方法的实现只需要利用简单的优化技术；⑤理论上完善：基于VC推广性理论的框架。
在“支持向量”x(i)和输入空间抽取的向量x之间的内积核这一概念是构造支持向量机学习算法的关键。
支持向量机是由算法从训练数据中抽取的小的子集构成。
支持向量机的体系结构如图12 -1所示。
图12-1 支持向量机的体系结构其中K为核函数，其种类主要有：线性核函数：K(x,x i)=x T x i;多项式核函数：K(x,x i)=(γx T x i+r)p,γ>0;径向基核函数：K(x,x i )=exp(-γ∥x −x i ∥2), γ>0;两层感知器核函数：K(x,x i )=tanh(γx T x i+r )。
1．二分类支持向量机C - SVC 模型是比较常见的二分类支持向量机模型，其具体形式如下：1)设已知训练集：T ={(x 1,y 1),…,(x i ,y i )}∈(X ×Y )ι其中，x i ∈X =R n ,y i ∈Y ={1,-1}( i =1,2,…,ι);x i 为特征向量。
SVM原理简介
SVM原理简介SVM是我在做模式识别的时候⽤得最多的⼀种分类器。
以下是我通过学习后对SVM原理的理解与总结，记录下来以便⾃⼰复习。
1、SVM原理概述SVM是从线性可分情况下的最优分类⾯发展⽽来的，图⼀中三⾓形点和圆形点分别代表两类样本，假设：，i=1,...,n,我们要寻找⼀个分类超平⾯H：，使得：假设分别为过各类中离分类超平⾯最近的样本并且平⾏于分类超平⾯的超平⾯，它们之间的距离叫做分类间隔。
最优分类超平⾯要求不但能把两类样本正确分开，⽽且要求分类间隔最⼤。
易知分类间隔为2/||W||，使分类间隔最⼤，等价于与使||W||最⼩。
所以求最优分类超平⾯求解下例问题：H1，H2上的训练样本点就称作⽀持向量。
图⼀利⽤Lagrange优化⽅法可以把上述最优分类⾯问题转化为其对偶问题：其中αi为与每个样本对应的Lagrange乘⼦，容易证明解中有⼀部分（通常是少部分），若αi不为零，对应的样本就是⽀持向量。
解上述问题后得到的最优分类函数是:在线性不可分的情况下，可以增加⼀个松弛项，使求解最优分类超平⾯变为下述问题：即折衷考虑最少分错样本与最⼤分类间隔，得到⼴义最优分类超平⾯，其中C为惩罚系数。
对应的对偶问题变为：对于⾮线性问题，可以通过⾮线性变换转化为某个⾼维空间中的线性问题，在变换空间求解最优分类⾯。
在最优分类⾯中采⽤适当的内积函数K(x i,x j)就可以实现某⼀⾮线性变换后的线性分类：分类函数变为：这就是⽀持向量机。
总结起来，SVM的基本思想如图⼆所⽰：图⼆2、核函数⽬前研究最多的核函数主要有四类：通常来讲，RBF核函数可以作为⼀个SVM模型的最佳选择。
RBF核通过⾮线性映射将样本映射到⼀个⾼维空间中，因此，相较于线性核函数，它能很好地处理类别标签与属性之间为⾮线性关系的情况。
⽽且，线性核可以看做RBF核的⼀种特殊情况，在某些参数下，线性核具有与RBF核相同的表现。
另外，研究显⽰sigmoid核在某些参数下也与RBF核具有相同表现。
svm 原理
svm 原理支持向量机（Support Vector Machine，简称SVM）是一种二分类模型，它的基本模型是定义在特征空间上的间隔最大的线性分类器。
SVM的基本原理是找到一个超平面，使得离该平面最近的样本点到该平面的距离尽可能远，从而实现对样本的最优分类。
在SVM中，我们首先要了解的是什么是支持向量。
支持向量是指离超平面最近的那些点，这些点在SVM中起着决定性作用。
因为超平面是由支持向量完全决定的，所以SVM的训练过程可以看作是求解支持向量的过程。
SVM的原理可以通过以下几个关键步骤来解释：1. 构建超平面，在SVM中，我们的目标是找到一个超平面，可以将不同类别的样本点分开。
这个超平面可以用一个线性方程来表示，即wx + b = 0，其中w是法向量，b是位移项，x是样本点的特征向量。
通过不断调整w和b的数值，我们可以找到一个最优的超平面，使得不同类别的样本点能够被最大化地分开。
2. 最大间隔，在构建超平面的过程中，SVM的目标是找到一个最大间隔超平面，即使得支持向量到超平面的距离最大化。
这样做的好处是可以使得模型对噪声数据具有很强的鲁棒性，同时也可以提高模型的泛化能力。
3. 引入核函数，在实际应用中，很多样本点并不是线性可分的，这时我们就需要引入核函数来将样本点映射到高维空间中，从而使得样本点在高维空间中线性可分。
常用的核函数有线性核、多项式核、高斯核等，通过选择不同的核函数，可以使得SVM模型适用于不同的数据集。
4. 求解最优化问题，在SVM中，我们需要求解一个凸优化问题来得到最优的超平面。
这个问题可以通过拉格朗日乘子法来进行求解，最终得到超平面的法向量w和位移项b。
总的来说，SVM的原理是基于最大间隔超平面的构建，通过求解最优化问题来得到最优的超平面参数，从而实现对样本的最优分类。
同时，通过引入核函数，SVM可以处理非线性可分的数据集，具有很强的泛化能力和鲁棒性。
在实际应用中，SVM作为一种强大的分类器被广泛应用于文本分类、图像识别、生物信息学等领域，取得了很好的效果。
支持向量机svm的基本原理
支持向量机svm的基本原理支持向量机（Support Vector Machine），简称“SVM”，是一种二分类、多分类和回归分析的有效机器学习方法。
SVM算法可以得到最优（精准）的超平面，将给定的数据正确的分类。
一、支持向量机的基本原理：1、构建最优超平面：SVM通过构建最优超平面来解决分类问题，其中最优超平面是给定数据集中“支持向量”到超平面的距离最大的超平面。
2、支持向量：支持向量是隐含在超平面中的最关键的样本点，它们与超平面的距离最大。
3、确定决策边界：在SVM中，根据支持向量确定的超平面即为最优决策边界（decision boundary），也就是样本空间中的一条分割线。
4、求解最优化方程：支持向量机就是要求解支持向量到超平面的距离最大，也就是要求解一个最优化问题。
二、SVM应用原理1、线性可分：SVM适用于线性可分的数据，其可以通过构建最优超平面来分割给定数据，使得不同类别数据落在不同的区域中。
2、核函数：SVM可以使用核函数（kernel function）来处理非线性可分的数据，可以将非线性可分的数据映射到更高维空间，使得数据可以在更高维空间中线性可分。
3、正则化：正则化是一种用来处理模型复杂度的方法，特别是在使用SVM时，正则化起到了控制模型复杂度，避免过拟合的作用。
4、泛化能力：SVM算法具有良好的泛化能力，即便在训练样本数量小的情况下也能得到较好的预测效果。
三、SVM参数调整原理1、核函数的选择：核函数作为SVM的一个重要参数，它决定着可用的数据表示和分类性能。
选择合适的核函数可以提升SVM的精度。
2、正则化参数的选择：正则化是SVM的一个重要参数，调整正则化参数可以调节模型的复杂度，在避免过拟合的同时，使得模型具有良好的泛化能力。
3、惩罚参数C的调整：惩罚参数C决定着数据集中类别内部数据点紧凑性的程度，它也可以调节过拟合与欠拟合的问题。
4、支持向量中各参数调整：SVM通过支持向量确定最优超平面，引入各参数调整可以解决非线性可分的问题，并调节拟合精度。
svm算法原理
svm算法原理
支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种二分类模型，其核心思想是找到一个最优超平面，将不同类别的样本分隔开来，并使得两类样本之间的间隔最大化。
SVM的基本原理和思想如下：
1. 数据特征转换：将输入数据映射到一个高维空间，使得数据在新空间中能够线性可分。
这种映射通常使用核函数来实现，常见的核函数包括线性核、多项式核和高斯核。
2. 寻找最优超平面：在新的高维空间中，SVM算法通过在样本中寻找能够最大化间隔的超平面来分类数据。
最优超平面是离支持向量（距离最近的样本点）最远的超平面，并且能够使得两个类别的样本点都正确分类。
3. 求解最优化问题：SVM的求解过程是一个凸优化问题。
采用拉格朗日乘子法将求解最优超平面的问题转化为求解一组线性方程的问题。
这些线性方程的解即为最优化问题的解，也即最优超平面的参数。
4. 核函数的选择：核函数的选择对于SVM的性能和效果非常重要。
不同的核函数可以导致不同维度的数据特征转换，从而影响分类结果。
5. 延伸：除了二分类问题，SVM也可以应用于多分类问题。
一种常用的方法是使用“一对其余”（one-vs-rest）的策略，将
多分类问题转化为多个二分类问题，最后根据分类的置信度进行集成判断。
总结来说，SVM通过将样本映射到高维空间，并在其中寻找最优超平面，从而实现对数据进行分类。
其优点是能够处理高维数据和非线性数据，并在模型参数训练过程中更加稳定，但其计算复杂度较高，对数据量和样本类别均衡性要求较高。
支持向量机(SVM)、支持向量机回归(SVR)：原理简述及其MATLAB实例
支持向量机（SVM）、支持向量机回归（SVR）：原理简述及其MATLAB实例一、基础知识1、关于拉格朗日乘子法和KKT条件1）关于拉格朗日乘子法2）关于KKT条件2、范数1）向量的范数2）矩阵的范数3）L0、L1与L2范数、核范数二、SVM概述1、简介2、SVM算法原理1）线性支持向量机2）非线性支持向量机二、SVR：SVM的改进、解决回归拟合问题三、多分类的SVM1. one-against-all2. one-against-one四、QP（二次规划）求解五、SVM的MATLAB实现：Libsvm1、Libsvm工具箱使用说明2、重要函数：3、示例支持向量机（SVM）：原理及其MATLAB实例一、基础知识1、关于拉格朗日乘子法和KKT条件1）关于拉格朗日乘子法首先来了解拉格朗日乘子法，为什么需要拉格朗日乘子法呢？记住，有需要拉格朗日乘子法的地方，必然是一个组合优化问题。
那么带约束的优化问题很好说，就比如说下面这个：这是一个带等式约束的优化问题，有目标值，有约束条件。
那么你可以想想，假设没有约束条件这个问题是怎么求解的呢？是不是直接 f 对各个 x 求导等于 0，解 x 就可以了，可以看到没有约束的话，求导为0，那么各个x均为0吧，这样f=0了，最小。
但是x都为0不满足约束条件呀，那么问题就来了。
有了约束不能直接求导，那么如果把约束去掉不就可以了吗？怎么去掉呢？这才需要拉格朗日方法。
既然是等式约束，那么我们把这个约束乘一个系数加到目标函数中去，这样就相当于既考虑了原目标函数，也考虑了约束条件。
现在这个优化目标函数就没有约束条件了吧，既然如此，求法就简单了，分别对x求导等于0，如下：把它在带到约束条件中去，可以看到，2个变量两个等式，可以求解，最终可以得到,这样再带回去求x就可以了。
那么一个带等式约束的优化问题就通过拉格朗日乘子法完美的解决了。
更高一层的，带有不等式的约束问题怎么办？那么就需要用更一般化的拉格朗日乘子法，即KKT条件，来解决这种问题了。
支持向量机入门word版本
SVM入门SVM入门（一）SVM的八股简介支持向量机(Support Vector Machine)是Cortes和Vapnik于1995年第一提出的，它在解决小样本、非线性及高维模式识别中表现出许多特有的优势，并能够推行应用到函数拟合等其他机械学习问题中[10]。
支持向量机方法是建立在统计学习理论的VC 维理论和结构风险最小原理基础上的，根据有限的样本信息在模型的复杂性（即对特定训练样本的学习精度，Accuracy）和学习能力（即无错误地识别任意样本的能力）之间寻求最佳折衷，以期获得最好的推广能力[14]（或称泛化能力）。
以上是常常被有关SVM 的学术文献引用的介绍，有点八股，我来一一分解并说明一下。
Vapnik是统计机械学习的大牛，这想必都不用说，他出版的《Statistical Learning Theory》是一本完整论述统计机械学习思想的名著。
在该书中详细的论证了统计机械学习之因此区别于传统机械学习的本质，就在于统计机械学习能够精准的给出学习成效，能够解答需要的样本数等等一系列问题。
与统计机械学习的周密思维相较，传统的机械学习大体上属于摸着石头过河，用传统的机械学习方式构造分类系统完全成了一种技术，一个人做的结果可能专门好，另一个人差不多的方式做出来却很差，缺乏指导和原那么。
所谓VC维是对函数类的一种气宇，能够简单的明白得为问题的复杂程度，VC维越高，一个问题就越复杂。
正是因为SVM关注的是VC维，后面咱们能够看到，SVM解决问题的时候，和样本的维数是无关的（乃至样本是上万维的都能够，这使得SVM很适合用来解决文本分类的问题，固然，有如此的能力也因为引入了核函数）。
结构风险最小听上去文绉绉，其实说的也无非是下面这回事。
机械学习本质上确实是一种对问题真实模型的逼近（咱们选择一个咱们以为比较好的近似模型，那个近似模型就叫做一个假设），但毫无疑问，真实模型必然是不明白的（若是明白了，咱们干吗还要机械学习？直接用真实模型解决问题不就能够够了？对吧，哈哈）既然真实模型不明白，那么咱们选择的假设与问题真实解之间究竟有多大差距，咱们就无法得知。
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支持向量机（SVM ）原理及应用一、SVM 的产生与发展自1995年Vapnik(瓦普尼克)在统计学习理论的基础上提出SVM 作为模式识别的新方法之后，SVM 一直倍受关注。
同年，Vapnik 和Cortes 提出软间隔(soft margin)SVM ，通过引进松弛变量i ξ度量数据i x 的误分类(分类出现错误时i ξ大于0)，同时在目标函数中增加一个分量用来惩罚非零松弛变量(即代价函数)，SVM 的寻优过程即是大的分隔间距和小的误差补偿之间的平衡过程；1996年，Vapnik 等人又提出支持向量回归 (Support Vector Regression ，SVR)的方法用于解决拟合问题。
SVR 同SVM 的出发点都是寻找最优超平面(注：一维空间为点；二维空间为线；三维空间为面；高维空间为超平面。
)，但SVR 的目的不是找到两种数据的分割平面，而是找到能准确预测数据分布的平面，两者最终都转换为最优化问题的求解；1998年，Weston 等人根据SVM 原理提出了用于解决多类分类的SVM 方法(Multi-Class Support Vector Machines ，Multi-SVM)，通过将多类分类转化成二类分类，将SVM 应用于多分类问题的判断：此外，在SVM 算法的基本框架下，研究者针对不同的方面提出了很多相关的改进算法。
例如，Suykens 提出的最小二乘支持向量机 (Least Square Support Vector Machine ，LS —SVM)算法，Joachims 等人提出的SVM-1ight ，张学工提出的中心支持向量机 (Central Support Vector Machine ，CSVM)，Scholkoph 和Smola 基于二次规划提出的v-SVM 等。
此后，台湾大学林智仁(Lin Chih-Jen)教授等对SVM 的典型应用进行总结，并设计开发出较为完善的SVM 工具包，也就是LIBSVM(A Library for Support Vector Machines)。
LIBSVM 是一个通用的SVM 软件包，可以解决分类、回归以及分布估计等问题。
二、支持向量机原理SVM 方法是20世纪90年代初Vapnik 等人根据统计学习理论提出的一种新的机器学习方法，它以结构风险最小化原则为理论基础，通过适当地选择函数子集及该子集中的判别函数，使学习机器的实际风险达到最小，保证了通过有限训练样本得到的小误差分类器，对独立测试集的测试误差仍然较小。
支持向量机的基本思想：首先，在线性可分情况下，在原空间寻找两类样本的最优分类超平面。
在线性不可分的情况下，加入了松弛变量进行分析，通过使用非线性映射将低维输入空间的样本映射到高维属性空间使其变为线性情况，从而使得在高维属性空间采用线性算法对样本的非线性进行分析成为可能，并在该特征空间中寻找最优分类超平面。
其次，它通过使用结构风险最小化原理在属性空间构建最优分类超平面，使得分类器得到全局最优，并在整个样本空间的期望风险以某个概率满足一定上界。
其突出的优点表现在：(1)基于统计学习理论中结构风险最小化原则（注:所谓的结构风险最小化就是在保证分类精度（经验风险）的同时，降低学习机器的VC 维，可以使学习机器在整个样本集上的期望风险得到控制。
）和VC维理论(注：VC维（Vapnik-Chervonenkis Dimension）的概念是为了研究学习过程一致收敛的速度和推广性，由统计学理论定义的有关函数集学习性能的一个重要指标。
)，具有良好的泛化能力，即由有限的训练样本得到的小的误差能够保证使独立的测试集仍保持小的误差。
(2)支持向量机的求解问题对应的是一个凸优化问题，因此局部最优解一定是全局最优解。
(3)核函数的成功应用，将非线性问题转化为线性问题求解。
(4)分类间隔的最大化，使得支持向量机算法具有较好的鲁棒性。
由于SVM自身的突出优势，因此被越来越多的研究人员作为强有力的学习工具，以解决模式识别、回归估计等领域的难题。
1．最优分类面和广义最优分类面SVM是从线性可分情况下的最优分类面发展而来的，基本思想可用图1来说明。
对于一维空间中的点，二维空间中的直线，三维空间中的平面，以及高维空间中的超平面，图中实心点和空心点代表两类样本，H为它们之间的分类超平面，H1，H2分别为过各类中离分类面最近的样本且平行于分类面的超平面，它们之间的距离△叫做分类间隔(margin)。
图1 最优分类面示意图W所谓最优分类面要求分类面不但能将两类正确分开，而且使分类间隔最大。
将两类正确分开是为了保证训练错误率为0，也就是经验风险最小(为O)。
使分类空隙最大实际上就是使推广性的界中的置信范围最小？，从而使真实风险最小。
推广到高维空间，最优分类线就成为最优分类面。
设线性可分样本集为}1,1{,,,...,1),,(x _-+∈∈=y R x n i y d i i 是类别符号。
d 维空间中线性判别函数的一般形式为是类别符号。
d 维空间中线性判别函数的一般形式为b x w x g +⋅=)(（主：w 代表Hilbert 空间中权向量；b 代表阈值。
），分类线方程为0=+⋅b x w ？。
将判别函数进行归一化，使两类所有样本都满足1|)(|=x g ，也就是使离分类面最近的样本的1|)(|=x g ，此时分类间隔等于||||/2w ？，因此使间隔最大等价于使||||w (或2||||w )最小。
要求分类线对所有样本正确分类，就是要求它满足n i b x w y i ,...,2,1,01])[(=≥-+⋅ （1-1）满足上述条件(1-1)，并且使2||||w 最小的分类面就叫做最优分类面，过两类样本中离分类面最近的点且平行于最优分类面的超平面H 1，H 2上的训练样本点就称作支持向量(supportvector)，因为它们“支持”了最优分类面。
利用Lagrange （拉格朗日）优化方法可以把上述最优分类面问题转化为如下这种较简单的对偶问题，即：在约束条件，01=∑=i n i iy α （1-2a ）n i i ,...,2,1,0=≥α (1-2b)下面对i α（主：对偶变量即拉格朗日乘子）求解下列函数的最大值：∑∑==-=nj i j i j i j i ni x x y y 1,1i )(21Q αααα）（ ？（1-3） 若*α为最优解，则∑==n i i y w 1**αα（1-4） 即最优分类面的权系数向量是训练样本向量的线性组合。
注释（1-3）式由来：利用Lagrange 函数计算如下，实例计算：图略，可参见PPTx1 =(0, 0), y1 = +1x2 =(1, 0), y2 = +1x3 =(2, 0), y3 = -1x4 =(0, 2), y4 = -1 2121(,,)((())1)li i i i L w b w y x w b αα==-⋅⋅+-∑(,,)0(,,)0L w b L w b b w αα∂∂==∂∂110l li i i i i i i a y w y x α====∑∑121,111()()0,1,...,,0()sgn(())l li i j i j i j i i j li i i i li i i i W y y x x i l and y f x y x x b ααααααα=====-⋅≥===⋅⋅+∑∑∑∑可调用Matlab 中的二次规划程序，求得α1, α2, α3, α4的值，进而求得w 和b 的值。
这是一个不等式约束下的二次函数极值问题，存在唯一解。
根据k ühn-Tucker 条件，解中将只有一部分(通常是很少一部分)i α不为零，这些不为0解所对应的样本就是支持向量。
求解上述问题后得到的最优分类函数是：})(sgn{})sgn{()(1****∑=+⋅=+⋅=ni i i i b x x y b x w x f α (1-5) 根据前面的分析，非支持向量对应的i α均为0，因此上式中的求和实际上只对支持向量进行。
*b 是分类阈值，可以由任意一个支持向量通过式(1-1)求得(只有支持向量才满足其中的等号条件)，或通过两类中任意一对支持向量取中值求得。
从前面的分析可以看出，最优分类面是在线性可分的前提下讨论的，在线性不可分的情况下，就是某些训练样本不能满足式(1-1)的条件，因此可以在条件中增加一个松弛项参数0i ≥ε，变成：n i b x w y i i i ,...,2,1,01])[(=≥+-+⋅ε (1-6)对于足够小的s>0，只要使∑==ni i F 1)(σσεε (1-7) 最小就可以使错分样本数最小。
对应线性可分情况下的使分类间隔最大，在线性不可分2221234223341()()(444)2Q αααααααααα=+++--++123412013/41/41120312002144231113,02224()3220w b g x x x αααα=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=---=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=--=情况下可引入约束：k c ≤2||w || （1-8）在约束条件(1-6)幂1(1-8)下对式(1-7)求极小，就得到了线性不可分情况下的最优分类面，称作广义最优分类面。
为方便计算，取s=1。
为使计算进一步简化，广义最优分类面问题可以迸一步演化成在条件(1-6)的约束条件下求下列函数的极小值：)(),(21,1∑=+=n i i C w w w εεφ）（ (1-9) 其中C 为某个指定的常数，它实际上起控制对锩分样本惩罚的程度的作用，实现在错分样本的比例与算法复杂度之间的折衷。
求解这一优化问题的方法与求解最优分类面时的方法相同，都是转化为一个二次函数极值问题，其结果与可分情况下得到的(1-2)到(1-5)几乎完全相同，但是条件(1-2b)变为：n i C ,...,1,0i =≤≤α (1-10)2．SVM 的非线性映射对于非线性问题，可以通过非线性交换转化为某个高维空间中的线性问题，在变换空间求最优分类超平面。
这种变换可能比较复杂，因此这种思路在一般情况下不易实现。
但是我们可以看到，在上面对偶问题中，不论是寻优目标函数（1-3）还是分类函数(1-5)都只涉及训练样本之间的内积运算）（i x x ⋅。
设有非线性映射H R d →Φ:将输入空间的样本映射到高维(可能是无穷维)的特征空间H 中，当在特征空间H 中构造最优超平面时，训练算法仅使用空间中的点积，即)()(j i x x φφ⋅，而没有单独的)(i x φ出现。