支持向量机原理
(完整版)支持向量机(SVM)原理及应用概述
支持向量机（SVM ）原理及应用一、SVM 的产生与发展自1995年Vapnik(瓦普尼克)在统计学习理论的基础上提出SVM 作为模式识别的新方法之后，SVM 一直倍受关注。
同年，Vapnik 和Cortes 提出软间隔(soft margin)SVM ，通过引进松弛变量i ξ度量数据i x 的误分类(分类出现错误时i ξ大于0)，同时在目标函数中增加一个分量用来惩罚非零松弛变量(即代价函数)，SVM 的寻优过程即是大的分隔间距和小的误差补偿之间的平衡过程；1996年，Vapnik 等人又提出支持向量回归 (Support Vector Regression ，SVR)的方法用于解决拟合问题。
SVR 同SVM 的出发点都是寻找最优超平面(注：一维空间为点；二维空间为线；三维空间为面；高维空间为超平面。
)，但SVR 的目的不是找到两种数据的分割平面，而是找到能准确预测数据分布的平面，两者最终都转换为最优化问题的求解；1998年，Weston 等人根据SVM 原理提出了用于解决多类分类的SVM 方法(Multi-Class Support Vector Machines ，Multi-SVM)，通过将多类分类转化成二类分类，将SVM 应用于多分类问题的判断：此外，在SVM 算法的基本框架下，研究者针对不同的方面提出了很多相关的改进算法。
例如，Suykens 提出的最小二乘支持向量机 (Least Square Support Vector Machine ，LS —SVM)算法，Joachims 等人提出的SVM-1ight ，张学工提出的中心支持向量机 (Central Support Vector Machine ，CSVM)，Scholkoph 和Smola 基于二次规划提出的v-SVM 等。
此后，台湾大学林智仁(Lin Chih-Jen)教授等对SVM 的典型应用进行总结，并设计开发出较为完善的SVM 工具包，也就是LIBSVM(A Library for Support Vector Machines)。
(完整版)支持向量机(SVM)原理及应用概述分析
支持向量机( SVM )原理及应用一、SVM 的产生与发展自1995年Vapnik (瓦普尼克)在统计学习理论的基础上提出SVM作为模式识别的新方法之后，SVMH直倍受关注。
同年，Vapnik和Cortes提出软间隔(soft margin)SVM,通过引进松弛变量i度量数据X i的误分类(分类出现错误时i大于0)，同时在目标函数中增加一个分量用来惩罚非零松弛变量(即代价函数)，SVM勺寻优过程即是大的分隔间距和小的误差补偿之间的平衡过程；1996年，Vapnik等人又提出支持向量回归(Support Vector Regression , SVR)的方法用于解决拟合问题。
SVF同SV啲出发点都是寻找最优超平面(注：一维空间为点；二维空间为线；三维空间为面；高维空间为超平面。
)，但SVR勺目的不是找到两种数据的分割平面，而是找到能准确预测数据分布的平面，两者最终都转换为最优化问题的求解；1998年，Weston等人根据SVM原理提出了用于解决多类分类的SVM方法(Multi-Class Support Vector Mach in es，Multi-SVM)，通过将多类分类转化成二类分类，将SVM^用于多分类问题的判断：此外，在SVMJ法的基本框架下，研究者针对不同的方面提出了很多相关的改进算法。
例如，Suykens提出的最小二乘支持向量机(Least Square Support Vector Machine ，LS— SVM 算法,Joachims等人提出的SVM-1ight，张学工提出的中心支持向量机(Central Support Vector Machine, CSVM)Scholkoph和Smola基于二次规划提出的v-SVM等。
此后，台湾大学林智仁(Lin Chih-Jen)教授等对SVM勺典型应用进行总结，并设计开发出较为完善的SVM工具包，也就是LIBSVM(A Library for Support Vector Machines) 。
SVM学习之五——支持向量机的原理
SVM学习之五——支持向量机的原理名词解释1——支持向量机：“机（machine，机器）”实际上是一个算法。
在机器学习领域，常把一些算法看作是一个机器（又叫学习机器，或预测函数，或学习函数）。
“支持向量”则是指训练集中的某些训练点的输入xi 。
它是一种有监督（有导师）学习方法，即已知训练点的类别，求训练点和类别之间的对应关系，以便将训练集按照类别分开，或者是预测新的训练点所对应的类别。
名词解释2——符号函数：sgn(a) = 1, a >= 0;sgn(a) = -1, a < 0.一般地，考虑 n 维空间上的分类问题，它包含 n 个指标和 l 个样本点。
记这 l 个样本点的集合为 T = {(x1,y1),...,(xl,yl)}，其中 xi 是输入指标向量，或称输入，或称模式，其分量称为特征，或属性，或输入指标；yi 是输出指标向量，或称输出，i = 1,...,l。
这 l 个样本点组成的集合称为训练集，所以我们也称样本点位训练点。
对于训练集来说，有线性可分、近似线性可分和线性不可分等三种情况，这就是分类问题的三种类型。
其实，无论是哪类问题，都有对应的分类机，这将在以下的内容中进行详细阐述。
那么，有人可能会问，什么叫线性可分？通俗地讲，就是可以用一条或几条直线把属于不同类别的样本点分开。
实际上，求解分类问题，就是要求出这条或这几条直线！那么，问题是：怎么求？这里先以二维两类线性可分的分类问题为例，做个详细的说明，然后再过渡到多类分类问题。
首先，回忆一下平面（二维）坐标系中某条直线的方程。
还记得直线的一般方程Ax + By + C = 0 （公式一）吧，我们引入向量的概念，则该方程可以写成{x,y}与{A,B}的内积加上C等于0，即{A,B}·{x,y} + C = 0你还记得法向量和方向向量的概念吗？其实{A,B}就是法向量，而{B，-A}就是方向向量了。
那么我们可以把直线的一般方程简化成为w·x + b = 0 （公式二）的形式（因为这个式子是大家最常用的嘛）。
支持向量机原理SVMPPT课件
回归分析
除了分类问题，SVM也可以用于 回归分析，如预测股票价格、预 测天气等。通过训练模型，SVM
能够预测未知数据的输出值。
数据降维
SVM还可以用于数据降维，通过 找到数据的低维表示，降低数据
的复杂性，便于分析和理解。
02 支持向量机的基本原理
线性可分与不可分数据
线性可分数据
在二维空间中，如果存在一条直线， 使得该直线能够将两类样本完全分开 ，则称这些数据为线性可分数据。
支持向量机原理 svmppt课件
目录
CONTENTS
• 引言 • 支持向量机的基本原理 • 支持向量机的数学模型 • 支持向量机的优化问题 • 支持向量机的核函数 • 支持向量机的训练和预测 • 支持向量机的应用案例 • 总结与展望
01 引言
什么是支持向量机
定义
支持向量机（Support Vector Machine，简称SVM）是一种监督学习算法， 用于分类和回归分析。它通过找到一个超平面来分隔数据集，使得分隔后的两 类数据点到该平面的距离最远。
支持向量机的优势和局限性
01
对大规模数据集效 率较低
对于大规模数据集，支持向量机 可能需要较长时间进行训练和预 测。
02
核函数选择和参数 调整
核函数的选择和参数调整对支持 向量机的性能有很大影响，需要 仔细选择和调整。
03
对多分类问题处理 不够灵活
对于多分类问题，支持向量机通 常需要采用一对一或一对多的策 略进行处理，可能不够灵活。
图像识别
• 总结词：支持向量机用于图像识别，通过对图像特征的提取和分类，实现图像 的自动识别和分类。
• 详细描述：支持向量机在图像识别中发挥了重要作用，通过对图像特征的提取 和选择，将图像数据映射到高维空间，然后利用分类器将相似的图像归为同一 类别，不相似图像归为不同类别。
svm支持向量机原理
svm支持向量机原理支持向量机（Support Vector Machine，简称SVM）是一种二分类模型，基本思想是寻找一个最优的超平面来将不同类别的数据分开。
SVM 可以用于分类、回归和异常检测等领域。
SVM 的核心思想是将数据映射到高维空间，使得样本在该空间中线性可分。
我们可以将数据集看做在一个n维空间中的点，其中n是特征数。
在这个空间中，我们希望找到一个超平面，它能够将不同类别的数据分开。
当然，可能存在很多条可以分离不同类别的超平面，而SVM算法的目标是找到能够最大化两条平面（即类别之间的间隔）距离的那条。
SVM的一个关键点是支持向量。
在图上，我们可以看到，支持向量就是离超平面最近的那些点。
如果这些点被移动或删除，超平面的位置可能会改变。
SVM最常用的内核函数是高斯核函数（Radial Basis Function，RBF），它将数据点映射到一些非线性的空间，增加了分类的准确性。
SVM算法的优点在于它们能够处理高维数据，而且不受维度灾难的限制。
此外，它们可以通过在核函数中使用不同的参数来适应不同的数据类型。
这种灵活性意味着即使在处理不同类型的数据时，SVM算法的表现也很出色。
SVM算法的缺点在于，当数据集非常大时，它们很难优化，需要很长时间来训练模型；另外，SVM算法的结果不够直观和易理解，而且对于离群点的处理也不是非常理想。
综上所述，SVM 是一种广泛应用的机器学习算法，它的优点包括精确性、适应性和高度灵活性。
当然，它的性能取决于应用场景和正确定义其参数的能力。
支持向量机的基本原理和使用方法(Ⅱ)
支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种常用的机器学习算法，它在分类和回归问题上表现出色。
SVM在处理高维度数据和非线性问题时表现优异，因此在实际应用中得到广泛的应用。
## SVM的基本原理SVM的基本原理是找到一个最优的超平面，将不同类别的样本分开。
这意味着找到一个能够最大化间隔（margin）的超平面，使得两个不同类别的样本点到这个超平面的距离尽可能大。
这个超平面被称为决策边界，而支持向量则是离这个超平面最近的样本点。
在数学上，寻找最优超平面可以被表示为一个凸优化问题。
通过最大化间隔，可以得到一个最优的分类器，从而更好地处理新的未知样本。
除了线性可分的情况，SVM还能处理线性不可分和非线性问题。
这是通过核函数（kernel function）来实现的。
核函数能够将输入特征映射到一个高维空间，从而使得原本在低维度空间中线性不可分的问题在高维度空间中成为线性可分的问题。
常用的核函数包括线性核、多项式核和高斯核等。
## SVM的使用方法在实际应用中，使用SVM可以分为以下几个步骤：1. 数据准备：首先需要准备数据集，并对数据进行预处理，包括数据清洗、特征选择、特征缩放等。
2. 模型选择：根据问题的性质和数据的特点，选择合适的SVM模型，包括线性SVM和非线性SVM。
对于非线性问题，还需要选择合适的核函数。
3. 参数调优：SVM有一些超参数需要调整，例如正则化参数C、核函数的参数等。
通过交叉验证等方法，选择最优的超参数。
4. 训练模型：使用训练数据集对SVM模型进行训练，得到最优的决策边界和支持向量。
5. 模型评估：使用测试数据集对训练好的SVM模型进行评估，包括计算分类准确率、精确率、召回率等指标。
6. 模型应用：在实际场景中，使用训练好的SVM模型对新的样本进行分类或回归预测。
在实际应用中，SVM有许多优点。
首先，SVM在处理高维度数据时表现出色，对于特征维度较高的数据，SVM能够更好地处理。
支持向量机基本原理
支持向量机基本原理介绍在机器学习领域中，支持向量机（Support Vector Machine，简称SVM）被广泛应用于分类和回归问题。
它是一种强大的监督学习算法，具有较好的泛化性能和统计效率。
本文将详细介绍支持向量机的基本原理。
支持向量机的基本概念超平面在支持向量机中，首先需要了解超平面的概念。
超平面是一个将n维空间分割成两个部分的(n-1)维平面。
在二维空间中，超平面是一条直线，可以将平面分为两个部分。
在三维空间中，超平面是一个平面，可以将空间分为两个部分。
在支持向量机中，我们寻找一个超平面，将样本点正确地划分为不同的类别。
支持向量在寻找超平面的过程中，支持向量是非常重要的概念。
支持向量是离超平面最近的样本点，它们决定了超平面的位置和方向。
在支持向量机中，只有支持向量对分类结果产生影响，其他样本点对于超平面的位置和方向没有影响。
间隔和最大间隔分类器在支持向量机中，我们希望找到的超平面能够使得不同类别的样本点之间的间隔最大化。
间隔是指离超平面最近的两个不同类别的支持向量之间的距离。
最大间隔分类器就是寻找一个超平面，使得这个间隔最大。
支持向量机的分类算法线性可分支持向量机在理想情况下，我们希望数据集是线性可分的，即存在一个超平面可以完美地将不同类别的样本点分开。
线性可分支持向量机的目标就是找到这个超平面。
为了找到最佳的超平面，我们需要定义一个优化问题。
优化问题的目标是最大化间隔，并且要求在超平面两侧的样本点属于不同的类别。
数学表达如下：通过求解这个优化问题，我们可以得到超平面的法向量w和截距b。
分类器可以表示为：软间隔支持向量机现实中的数据往往是不完美的，很难找到一个能够完美地将样本点分开的超平面。
为了解决这个问题，我们引入软间隔支持向量机。
软间隔支持向量机允许一些样本点出现在超平面的错误一侧。
通过引入松弛变量，优化问题变为：这里C是一个常数，用于控制超平面的错误分类。
C越大，超平面越倾向于正确分类，C越小，超平面容忍错误分类的程度越高。
支持向量机(SVM)原理及
支持向量机(SVM)原理及应用概述支持向量机（SVM ）原理及应用一、SVM 的产生与发展自1995年Vapnik(瓦普尼克)在统计学习理论的基础上提出SVM 作为模式识别的新方法之后，SVM 一直倍受关注。
同年，Vapnik 和Cortes 提出软间隔(soft margin)SVM ，通过引进松弛变量i ξ度量数据i x 的误分类(分类出现错误时i ξ大于0)，同时在目标函数中增加一个分量用来惩罚非零松弛变量(即代价函数)，SVM 的寻优过程即是大的分隔间距和小的误差补偿之间的平衡过程；1996年，Vapnik 等人又提出支持向量回归 (Support Vector Regression ，SVR)的方法用于解决拟合问题。
SVR 同SVM 的出发点都是寻找最优超平面(注：一维空间为点；二维空间为线；三维空间为面；高维空间为超平面。
)，但SVR 的目的不是找到两种数据的分割平面，而是找到能准确预测数据分布的平面，两者最终都转换为最优化问题的求解；1998年，Weston 等人根据SVM 原理提出了用于解决多类分类的SVM 方法(Multi-Class Support Vector Machines ，Multi-SVM)，通过将多类分类转化成二类分类，将SVM 应用于多分类问题的判断：此外，在SVM 算法的基本框架下，研究者针对不同的方面提出了很多相关的改进算法。
例如，Suykens 提出的最小二乘支持向量机 (Least Square Support Vector Machine ，LS —SVM)算法，Joachims 等人提出的SVM-1ight ，张学工提出的中心支持向量机 (Central Support Vector Machine ，CSVM)，Scholkoph 和Smola 基于二次规划提出的v-SVM 等。
此后，台湾大学林智仁(Lin Chih-Jen)教授等对SVM 的典型应用进行总结，并设计开发出较为完善的SVM 工具包，也就是LIBSVM(A Library for Support Vector Machines)。
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1.1 SVM概念简介
支持向量机（SVM）是 90 年代中期发展起来的基于统 计学习理论的一种机器学习方法，通过寻求结构化风 险最小来提高学习机泛化能力，实现经验风险和置信 范围的最小化，从而达到在统计样本量较少的情况下， 亦能获得良好统计规律的目的。
通俗来讲，它是一种二类分类模型，其基本模型定义 为特征空间上的间隔最大的线性分类器，即支持向量 机的学习策略便是间隔最大化，最终可转化为一个凸 二次规划问题的求解。
t
xty 2
定义核函数：K x, y xty2，则：xt y K x, y
输入空间
特征空间
3.1 核函数简介
上个例子说明：特征空间中两个矢量之间的内积可以 通过定义输入空间中的核函数直接计算得到。
这就启示我们可以不必定义非线性映射Φ而直接在输 入空间中定义核函数K来完成非线性映射。
这样做的条件是：
2.3 最大间隔分类器
重新回到SVM的优化问题：
我们将约束条件改写为：
2.3 最大间隔分类器
从KKT条件得知只有函数间隔是1（离超平面最近的
点）的线性约束式前面的系数 ，也就是说这些约
束式
，对于其他的不在线上的点( )，极值
不会在他们所在的范围内取得，因此前面的系数 .
注意每一个约束式实际就是一个训练样本。
同时将替换成w和b。以前的
，其中认为 。现在我们替换 为b，后面
替换为
（ 即 ）。
我们只需考虑 的正负问题，而不用关心g(z)，因此我 们这里将g(z)做一个简化，将其简单映射到y=-1和y=1上。 映射关系如下：
1.5 函数间隔与几何间隔
定义函数间隔为：
x是特征，y是结果标签。i表示第i个样本。（这是单
支持向量机
2014-2-21
本讲主要内容
一. 支持向量机 二. 最大间隔分类器 三. 核函数 四.软间隔优化 五.支持向量机总结
一. SVM— warming up
1.1 SVM概念简介 1.2 超平面 1.3 logistic回归 1.4 形式化表示 1.5 函数间隔与几何间隔
令 知
2.2拉格朗日对偶之不等式约束
原来要求的min f(w)可以转换成
求了。
利用对偶求解:
D的意思是对偶，
将问题转化为先求拉格朗日关
于w的最小值，将α和β看作是固定值。之后在
求最大值的话：
2.2拉格朗日对偶之不等式约束
下面解释在什么条件下两者会等价。假设f和g都是凸 函数，h是仿射的。并且存在w使得对于所有的i， 。 在这种假设下，一定存在 使得是 原问题的解， 是对偶问题的解。还有另外， 满足库恩-塔克条件 （Karush-Kuhn-Tucker, KKT condition），该条件如 下：
1.2 超平面
超平面H是从n维空间到n-1维空间的一 个映射子空间。
设d是n维欧式空间R中的一个非零向量， a是实数，则R中满足条件dX=a的点X所 组成的集合称为R中的一张超平面。
1.3 logistic回归
Logistic 回归目的是从特征学习出一个 0/1 分类模型，而这个模型是将特性的线 性组合作为自变量，由于自变量的取值 范围是负无穷到正无穷。因此，使用 logistic 函数（或称作 sigmoid 函数）将 自变量映射到(0,1)上，映射后的值被认 为是属于 y=1 的概率。
1. 定义的核函数K能够对应于特征空间中的内积； 2. 识别方法中不需要计算特征空间中的矢量本身，而只须计算
特征空间中两个矢量的内积。
3.1 核函数简介
1.3 logistic回归
形式化表示：
x
假设函数为： h (x) g( T
是 n 维特征向量，函数 g
x) 就是1
1 leogiTsx tic
函数。
其图中像如g图( z )所示1 ：1e z 可以看到，将无穷映 射到了(0,1)
1.4 形式化表示
结果标签是y=-1,y=1，替换logistic回归中的y=0和y=1。
的
最小值只与w和b有关。对w和b分别求偏导数。
2.3 最大间隔分类器
得到： 代入后，结果如下：
由于最后一项是0，因此简化为
2.3 最大间隔分类器
此时的拉格朗日函数只包含了变量。然而我们求出了 才能得到w和b。
接着是极大化的过程
2.3 最大间隔分类器
前面提到过对偶问题和原问题满足的几个条件，首先
三. 核函数
3.1 核函数简介 3.2 核函数有效性判定
3.1 核函数简介
建立一个R2R3的非线性映射 : x1, x2 t x12, 2x1x2, x22 t
计算R3中2个矢量的内积：
x t y x12, 2x1x2, x22
y12 ,
2 y1 y2 , y22
形式1： 形式2： 形式3：
2.2拉格朗日对偶之等式约束
问题：
目标函数是f(w)，通常解法是引入拉格朗日算子，这 里使用来表示β算子，得到拉格朗日公式为 ：
L是等式约束的个数。然后分别对w和β求偏导，使得 偏导数等于0，然后解出w和β。
2.2拉格朗日对偶之不等式约束Leabharlann 问题：利用拉格朗日公式变换：
由于目标函数和线性约束都是凸函数，而且这里不存 在等式约束h。存在w使得对于所有的i， 因此， 一定存在 使得 是原问题的解，是对偶问题的解。 在这里，求 就是 求了。
如果求出了 ， 原问题的解）。然后
根据即可求出w（也是 ，
即可求出b。即离超平面最近的正的函数间隔要等
于离超平面最近的负的函数间隔。
个样本） 全局函数间隔： 在训练样本上分类正例和负例确信度最小那个函数间隔
1.5 函数间隔与几何间隔
几何间隔：
全局几何间隔：
二. 最大间隔分类器
2.1 二次规划原问题建立
2.2 拉格朗日对偶 2.2.1 等式约束 2.2.1 不等式约束
2.3 最大间隔分类器
2.1 二次规划原问题建立
2.3 最大间隔分类器
实线是最大间隔超平面，假设×号的是正例，圆圈的 是负例。在虚线上的点就是函数间隔是1的点，那么他 们前面的系数 ，其他点都是 。这三个点称作支 持向量。构造拉格朗日函数如下：
2.3 最大间隔分类器
下面我们按照对偶问题的求解步骤来一步步进行，
首先求解
的最小值，对于固定的 ，