2012年中考数学思想方法专题讲座——分类讨论
2012年河北省中考数学研讨会资料--分类讨论思想专项训练
2012年河北省中考数学研讨会资料--分类讨论思想专项训练分类讨论思想当数学问题不宜统一方法处理时，我们常常根据研究对象性质的差异，按照一定的分类方法或标准，将问题分为全而不重，广而不漏的若干类，然后逐类分别讨论，再把结论汇总，得出问题的答案的思想。
这就是主要考查了分类讨论的数学思想方法。
一：【要点梳理】1.数学问题比较复杂时，有时可以将其分割成若干个小问题或一系列步骤，从而通过问题的局部突破来实现整体解决，正确应用分类思想，是完整接替的基础。
而在学业考试中，分类讨论思想也贯穿其中，命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度，很多压轴题也都设计分类讨论。
由此可见分类思想的重要性，在数学中，我们常常需要根据研究队形性质的差异，分个中不同情况予以观察，这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法的解题策略，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分级问题、解决问题的能力都是十分重要的。
2.分类讨论设计全部初中数学的知识点，其关键是要弄清楚引起分类的原因，明确分类讨论的对象和标准，应该按可能出现的情况做出既不重复，又不遗漏，分门别类加以讨论求解，再将不同结论综合归纳，得出正确答案。
3.热点内容(1).实数的分类。
(2).()()00a a a a a ≥==-⎧⎪⎨⎪⎩ (3).各类函数的自变量取值范围 (4).函数的增减性： 0,0,k k y x y k y x x =⎧⎨⎩ 时随的增大而增小时随的增大而减大0,20,a a y ax bx c ⎧⎪⎨⎪⎩=++ 时抛物线开口向上时抛物线开口向下 (5).点与直线的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与直线的位置关系。
(6).三角形的分类、四边形的分类二：【例题与练习】1.在平面直角坐标系内，已知点A （2，1），O 为坐标原点。
请你在坐标上确定点P ，使得三角形AOP 成为等腰三角性，在给出坐标西中把所有这样的点P 都找出来，画上实心点，并在旁边标上P1，P2，P3……（有k 个就表到P1，P2，Pk,不必写出画法0）.2.由于使用农药的原因，蔬菜都回残留一部分农药，对身体健康不利，用水清晰一堆青菜上残留的农药，对于水清晰一次的效果如下规定：用一桶水可洗掉青菜上残留农药的12，用水越多洗掉的农药越多，但总还有农药残留在青菜上，设用x 桶水清洗青菜0,0,k y x k y x y kx b ⎧⎪⎨⎪⎩=+ 时随的增大而增大时随的增大而减小后，青菜上残留的农药量比本次清晰的残留的农药比为y ，（1）试解释x=0，y=1的实际意义（2）设当x 取x 1,x 2使对应的y 值分别为y 1,y 2,如果x 1＞x 2＞1，试比较y 1，y 2，12的关系（直接写结论）（3）设121x y +=，现有a(a ＞0)桶水，可以清洗一次。
中学数学中重要的数学思想――分类讨论的思想
中学数学中重要的数学思想――分类讨论的思想依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做分类的思想。
“物以类聚，人以群分”。
将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做分类讨论的方法。
分类的思想是自然科学乃至社会科学研究中经常用到的，又叫做逻辑划分。
不论从宏观上还是从微观上对研究对象进行分类，都是深化研究对象、发展科学必不可少的思想。
因此分类讨论既是一种逻辑方法，也是一种数学思想。
需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。
应用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学、统一，不重复，不遗漏，并力求最简。
运用分类的思想，通过正确的分类，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答。
回顾总结中学数学教材中分类讨论的知识点，大致有：绝对值概念的定义；根式的性质；一元二次方程根的判别式与根的情况；二次函数二次项系数正负与抛物线开口方向；反比例函数k/x的反比例系数k，正比例函数的比例系数k，一次函数kx+b的斜率k 与图象位置及函数单调性关系；幂函数xn的幂指数n的正、负与定义域、单调性、奇偶性的关系；指数函数y=ax及其反函数y=logax中底数a的a＞1及0＜1对函数单调性的影响；等比数列前n项和公式中q=l与q≠1的区别；复数概念的分类；不等式性质中两边同乘(除)时正数与负数对不等号方向的影响；排列组合中的分类计数原理；圆锥曲线中离心率e的取值与椭圆、抛物线、双曲线的对应关系；直线与圆锥曲线位置关系的讨论；运用点斜式、斜截式直线方程时斜率k是否存在；曲线系方程中的参数与曲线类型；角终边所在象限与三角函数符号;……当你对以上各种情况“心中有数”时，分类讨论便不再令人望而生畏。
初中数学思想方法之分类讨论
初中数学思想方法之分类讨论数学是一门既抽象又具体的学科，它需要学生具备一定的思维方法和思想能力。
在初中数学中，分类讨论是一种常用的思想方法，它可以帮助学生分析问题、归纳规律并解决问题。
本文将详细介绍初中数学中分类讨论的基本思想和具体步骤，并通过例题来说明如何运用这种方法。
一、分类讨论的基本思想分类讨论是指将问题进行细化，将其分解成几个易于分析和解决的小问题，并分别进行讨论和解决。
通过这种方法可以更好地理解问题的本质，找到解题的关键点，并最终得到问题的解决办法。
分类讨论的基本思想包括以下几点：1.具体问题具体分析。
将问题进行细化后，每个小问题都有其独特的特点和解决思路，需要根据具体情况展开分析。
2.归纳总结。
在分析过程中，要总结出各个小问题之间的共同点和规律，以便更好地理解问题，并找到解决办法。
3.统一思考。
将各个小问题的解决办法进行归纳和整合，形成对大问题的解决思路。
二、分类讨论的具体步骤分类讨论的具体步骤可以简单概括为以下几点：1.理解问题。
仔细阅读题目，了解问题的背景和要求，确定需要解决的具体问题。
2.分析问题。
将大问题分解成几个小问题，每个小问题都有明确的目标和限制条件。
在分析过程中，可以通过画图、列举数据等方式进行辅助分析。
3.解决小问题。
按照特定的思路和方法，分别解决各个小问题。
在解决过程中，可以运用已经学过的数学知识、规律和公式。
4.总结归纳。
在解决小问题的过程中，要总结各个小问题之间的共同点和规律，归纳出解决大问题的关键思路和方法。
5.整合答案。
将各个小问题的解答整合成对大问题的解答。
在整合过程中，要仔细检查各个小问题的解答是否符合大问题的要求，并进行必要的修正和调整。
三、分类讨论的具体例题下面以一些常见的初中数学题目为例，说明如何运用分类讨论的方法解决问题。
例题1：现有一些白球和红球，共18个。
白球的个数不超过红球的个数。
问，最少有多少个红球？解题思路：根据题目要求和条件，可以将问题进行分类讨论。
2012年中考数学二轮复习考点解密 分类讨论(含解析)
2012年中考数学二轮复习考点解密 分类讨论Ⅰ、专题精讲：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行． Ⅱ、典型例题剖析【例1】如图3－2－1，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB 和双曲线．直线AB 与双曲线的一个交点为点C ，CD ⊥x 轴于点D ，OD ＝2OB ＝4OA ＝4．求一次函数和反比例函数的解析式．解：由已知OD ＝2OB ＝4OA ＝4，得A （0，－1），B （－2，0），D （－4，0）．设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ．点A ，B 在一次函数图象上，∴⎩⎨⎧=+--=,02,1b k b 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.1,21b k 则一次函数解析式是 .121--=x y点C 在一次函数图象上，当4-=x 时，1=y ，即C （－4，1）． 设反比例函数解析式为m y x=． 点C 在反比例函数图象上，则41-=m ，m ＝－4． 故反比例函数解析式是：xy 4-=．点拨：解决本题的关键是确定A 、B 、C 、D 的坐标。
【例2】如图3－2－2所示，如图，在平面直角坐标系中，点O 1的坐标为（－4，0），以点O 1为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，过点A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°角。
以点O 2（13，5）为圆心的圆与x 轴相切于点D.（1）求直线l 的解析式；（2）将⊙O 2以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移，同时直线l 沿x 轴向右平移，当⊙O 2第一次与⊙O 2相切时，直线l 也恰好与⊙O 2第一次相切，求直线l 平移的速度；（3）将⊙O2沿x 轴向右平移，在平移的过程中与x轴相切于点E ，EG 为⊙O 2的直径，过点A 作⊙O 2的切线，切⊙O 2于另一点F ，连结A O 2、FG ，那么FG ·A O 2的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。
分类讨论、方程函数、转化、数形结合——四大解题思想
分类讨论、方程函数、转化、数形结合——四大解题思想一、分类谈论初中数学中的分类讨论思想，是指把要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的类别，然后逐类进行研究、求解的一种数学解题思想。
分类讨论解题的实质，是将整体问题化为部分问题来解决，以增加题设条件分类讨论的原则是不重复、不遗漏。
讨论的方法是逐类进行，还必须注意综合讨论的结果，以使解题步骤完整二、方程函数思想方程思想是从数学问题的数量关系出发，将问题中的条件转化为各种数学模型。
函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题，求解函数解析式和灵活运用函数的性质特点是把握函数思想的关键。
同时，函数与方程密切相关，通过实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的函.数和方程思想可以使数学问题变得简捷、清晰，可以化紧为简、化难为易.三、转化思想转化与化归思想是指把待解决的问题通过转化归结为在已有范围内可解的问题的一种思维方式。
应用转化思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽可能地等价转化。
常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面的转化、常量与变量的转化、数学语言的转化等。
转化化归思想是解决数学问题的根本思想之一，解题的过程实际上就是转化的过程。
四、数形结合中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称为数形结合或形数结合。
作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。
数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题更直观、生动，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简便.。
初中数学思想方法篇——分类讨论
新梦想教育中高考名校冲刺教育中心【老师寄语：每天进步一点点，做最好的自己】解题思想之分类讨论一、注解：分类讨论思想又称为逻辑划分，是中学数学最常用的数学思想方法之一，也是中考数学中经常出现的数学思想。
分类讨论就是依据一定的标准，对问题进行分类，求解，然后综合出问题的答案。
当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按照可能出现的情况进行分类，分别讨论，得出各种不同情况下的相应结论。
分类原则：分类的对象是明确的；标准是统一的，不遗漏、不重复、分层次；不越级讨论。
分类方法：明确讨论的对象，确定对象的全体，然后确立分类标准，正确进行分类；逐步进行讨论，获取阶段性结果；归纳总结，综合得出结论。
二、实例运用：1.在实数中的运用【例1】若1a =，4b =且a b ＜0，则a+b= 【例2】若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，求m 。
2. 在代数式中的运用 【例3】若实数x 满足22110x x x x +++=，求1x x+的值。
【例4】分式22943x x x --+的值为0，则x= （ ）A 3B 3或-3C -3D 03. 在方程（组）中的运用【例5】已知关于x 的方程ax 2+2x-1=0有实根，求a 的取值范围。
【例6】黄金周期间，某商场购物有如下优惠方案：（1）一次性购物在100元内（不含100元）时，不享受优惠；（2）100元到300元（不含300元）时，一律享受9折优惠；（3）300元以上时，享受8折优惠。
张伟在本商场分两次购物，分别付款80元和252元。
如果改为在该商场一次性购买，需要支付多少钱？4.在不等式中的运用【例7】国家规定个人发表文章，出版图书获得稿费的纳税计算办法是：（1）稿费不高于800元的，不纳税；（2）稿费高于800元，不高于4000元的，缴纳超过800那部分的14%；（3）稿费高于4000元的，应缴纳全部稿费的12%。
已知某作家获得一笔稿费，并交纳个人所得税a元（a＞0），求这笔稿费有多少元。
数学中考专题15 数学思想方法-分类讨论
数学思想方法——分类讨论思想 【考向分析】分类讨论思想是重要的数学思想之一，在具体解题时，对一个较为复的问题往往要采取分类的方法，以达到化难为易的目的，这种方法是较为高级的数学思想方法，能将一个较为复杂的问题转化成较为简单的问题是重要的数学能力之一，在中考的综合题中，分类讨论思想所起的作用不容忽视.【典型例题】例1 如图（1）所示,OA ，OB 是⊙O 的两条半径，且OA ⊥OB ，点C 是OB 延长线上任意一点，过点C 作CD 切⊙O 于点D ，连接AD 交OC 于点E ，（1）求证CD=CE ；（2）若将图（1）中的半径OB 所在直线向上平移交OA 于F ，交⊙O 于B /，其他条件不变，（如图（2）所示，那么上述结论CD=CE 还成立吗？为什么？（3）若将图（1）中的半径OB 所在直一向上平行移动到⊙O 外的CF ，点E 是DA 的延长线与CF 的交点，其他条件不变（如图（3）所示，那么上述结论CD=CE 还成立吗？为什么？· AOE B CD（1）· A OE B /C D（2）F · AOE CD（3）F GF C例2 Rt ABC ∆中，90ACB =∠，M 为AB 中点，将线段BM 绕点B 顺时针旋转90°，得到线段BP ，连CP 、AP ，CP 交于AB 于O （如图1）（1）当AC=BC 时，求证：OPB ∆∽PAB ∆；（2）若BC=2，AC=b ，当b 为多长时，ACB ∆与ABP ∆相似？（3）图1中，将点A 沿直线AC 向下运动（其余条件不变），则Rt ABC ∆、PAB ∆、PBC ∆都会变化，如图2所示，如果点A 一直运动到BC 下方，如图3所示，请在图3中按题意把图画完整。
若CB=2，设AC=x ，BCP ∆的面积为1y ，PAB ∆的面积为2y ，试问1y 、2y 是否都为定值？若是，求出这个定值；若不是，求出其关于x 的函数关系式。
数学思想方法专题三：分类讨论思想
数学思想方法专题专题三：分类讨论思想分类讨论思想是一种重要的数学思想方法。
基本思路是将一个较复杂的数学问题分解（或分割）成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略。
对问题实行分类，其分类标准等于增加了一个已知条件，实现了有效增设，将大问题（或综合性问题）分解成小问题（或基础性问题），优化解题思路，降低问题难度。
分类讨论的原则：（1）不重不漏；（2）标准要统一，层次要分明；（3）能不分类的要尽量避免或尽量推迟，绝不无原则地讨论。
一、例题讲解1、甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。
若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）A 、150种B 、180种C 、300种D 、345种2、已知m R ∈，求函数()()2432f x m x x m =--+在区间[]0,1上的最大值。
3、已知数列{}n a 的前n 项和为232n S n n =-，求数列{}n a 的前n 项和n T4、设函数()()32114243f x x a x ax a =-+++，其中常数1a >． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若当0x ≥时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围。
数学思想方法专题三：分类讨论思想练习1、某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）A 、30种B 、35种C 、42种D 、48种2、已知函数()()()0101x f x x ≥⎧⎪=⎨<-⎪⎩，则不等式()()225x x f x +++≤的解集是3、设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则{|(2)0}x f x ->=（ ）A 、{|24}x x x <->或B 、{|04}x x x <>或C 、{|06}x x x <>或D 、{|22}x x x <->或4、函数x y a =在[]1,2上的最大值比最小值大2a ，则a 的值是5、已知椭圆2215x y m+=的离心率为5e =，则m 的值为6、已知直线l 和圆()22:21C x y -+=相切，并且直线l 在x 轴，y 轴上的截距相等，求直线l 的方程。
中考数学专题复习一分类讨论思想PPT课件
AC
∴AD=AC×sin 45°， 在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴AB=2AD=2AC×sin 45°=750 2 m．
答案：750 2 m
【知识归纳】解直角三角形实际应用的两点技能 1.转化：利用直角三角形或构造直角三角形解决实际问题，一 般先把实际问题转化为数学问题，若题目中无直角三角形，需 要添加辅助线(如作三角形的高等)构造直角三角形，再利用解 直角三角形的知识求解. 2.前提：解直角三角形时结合图形分清图形中哪个三角形是直 角三角形，哪条边是角的对边、斜边、邻边，此外正确理解俯 角、仰角、坡度、坡角等名词术语是解答此类题目的前提条件.
5.一次函数:已知一次函数与坐标轴围成的三角形的面积,求k 的值,常分直线交于坐标轴正半轴和负半轴讨论;确定反比例函 数与一次函数交点个数,常分一、三象限或二、四象限两种情 况讨论. 6.圆:圆的一条弦(直径除外)对两条弧,常分优弧和劣弧两种情 况讨论;求圆中两条平行弦的距离,常分两弦在圆心的同旁和两 旁两种情况讨论;圆与圆的相切,此时要考虑分外切和内切两种 情况讨论.
4.在几何中的应用:对于几何问题,我们常通过图形,找出边、 角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等.
【例2】(2013·兰州中考)已知反比例函数y1= k 的图象与
x
一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1，4)和点B(m，－2)． (1)求这两个函数的解析式. (2)视察图象，当x>0时，直接 写出y1>y2时自变量x的取值范围. (3)如果点C与点A关于x轴对称， 求△ABC的面积．
5.(2013·十堰中考)如图,在小山的东侧A点有一个热气球,由
中考数学总复习之分类讨论思想
（2）在△QAC中，S=
1 2
QA·DC=12 （
6－t)·12=36－６ｔ
在△APC中，S=
1 2
AP·BC=12 ·２ｔ·６＝６ｔ
D
C
QAPC的面积S=（３６－6t)+6t=36(cm2)
Q
由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，
四边形QAPC的面积始终保持不变。
A
P
B
（3）根据题意，可分为两种情况来研究
大家好
1
分类讨论
2
一. 数学思想方法的三个层次:
数学一般方法
配方法、换元法、 待定系数法、判别 式法、割补法等
数学思想 和方法
逻辑学中的方 法(思维方法)
数学思想方法
分析法、综合法、 归纳法、反证法等
函数和方程思想、分 类讨论思想、数形结 合思想、化归思想等
3
分类讨论思想
• 分类思想是根据数学本质属性的相同点和不 同点，将数学研究对象分为不同种类的一种 数学思想。分类以比较为基础，比较是分类 的前提，分类是比较的结果。
的内接三角形，
若BC=2 3 cm,
则角A的度数
是
。
A
B
C
B
C
A
13
三.与相似三角形有关的分类
1.在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边
从点A出发向B以2cm秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开
始向A以1cm/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用t秒
表示移动的时间（0＜x＜6）那么：
1. 一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是
-3≤x≤ 6，，相应的函数值的取值范围是
-5≤y≤-2 ，则这个函数的解析式 。
中考中的数学思想方法---分类讨论思想(方法指导及例题解析).doc
中考中的数学思想方法----分类讨论思想一、概述：当我们面对一大堆杂乱的人民币时，我们一般会先分10元，5元，2元，1元，5角，…… 等不同面值把人民币整理成一叠叠的，再分别数出各叠钱数，最后把各叠的钱数加起来得出这一堆人民币的总值。
这样做，比随意一张张地数的方法要快且准确的多，因为这种方法里渗透了分类讨论的思想。
在数学中，分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，把数学的研究对象区分为不同种类的一种数学思想，正确应用分类思想，是完整解题的基础。
而在中考中，分类讨论思想也贯穿其中，几乎在全国各地的重考试卷中都会有这类试题，命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度，很多压轴题也都涉及分类讨论，由此可见分类思想的重要性，下面精选了几道有代表性的试题予以说明。
二、例题导解：1、（上海市中考题）直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 .③解：①当6、8是直角三角形的两条直角边时，斜边长为10，此时这个三角形的外接圆半径等于21╳ 10 =5②当6是这个三角形的直角边，8是斜边时，此时这个三角形 的外接圆半径等于21╳ 8=4 2、（北京市中考题）在△ABC 中，∠B ＝25°，AD 是BC 边上的高，并且，则∠BCA 的度数为____________。
解：①如图1，当△ABC 是锐角三角形时， ∠BCA=90°-25°=65°①如图2，当△ABC 是钝角三角形时， ∠BCA=90°+25°=115°图1 图23、（济南市中考题）如图1，已知Rt ABC △中，30CAB ∠=，5BC =．过点A 作AE AB ⊥，且15AE =，连接BE 交AC 于点P ． （1）求PA 的长；（2）以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，试判断BE 与⊙A 是否相切，并说明理由；（3）如图2，过点C 作CD AE ⊥，垂足为D ．以点A 为圆心，r 为半径作⊙A ；以点C 为圆心，R 为半径作⊙C ．若r 和R 的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙A 和⊙C 相．切．，且使D 点在⊙A 的内部，B 点在⊙A 的外部，求r 和R 的变化范围． （1）在Rt ABC △中，305CAB BC ∠==，， 210AC BC ∴==． AE BC ∥，APE CPB ∴△∽△． ::3:1PA PC AE BC ∴==． :3:4PA AC ∴=，3101542PA ⨯==． （2）BE 与⊙A 相切．在Rt ABE △中，AB =15AE =，tan AE ABE AB ∴∠===60ABE ∴∠=． 又30PAB ∠=，9090ABE PAB APB ∴∠+∠=∴∠=，， BE ∴与⊙A 相切．（3）因为5AD AB ==，，所以r的变化范围为5r <<．当⊙A 与⊙C 外切时，10R r +=，所以R的变化范围为105R -<<； 当⊙A 与⊙C 内切时，10R r -=，所以R的变化范围为1510R <<+C Ｄ 图1 图24、（上海市普陀区中考模拟题）直角坐标系中，已知点P （－2，－1）， 点T （t，0）是x 轴上的一个动点.(1) 求点P 关于原点的对称点P '的坐标； (2) 当t 取何值时，△P 'TO 是等腰三角形？ 解：（1）点P 关于原点的对称点P '的坐标为（2，1）（2）5='P O .（a ）动点T 在原点左侧.当51='=O P O T 时，△TO P '∴点)0,5(1-T .（b ）动点T 在原点右侧.①当P T O T '=22时，△TO P '是等腰三角形.得：)0,45(2T .② 当O P O T '=3时，△TO P '是等腰三角形. 得：点)0,5(3T .③ 当O P P T '='4时，△TO P '是等腰三角形. 得：点)0,4(4T .综上所述，符合条件的t 的值为4,5,45,5-. 5、如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A (3,0),B (0,3)两点, ,点C 为线段AB 上的一动点,过点C 作CD ⊥x 轴于点D . (1)求直线AB 的解析式;(2)若S 梯形OBCD 求点C 的坐标; (3)在第一象限内是否存在点P ,使得以P ,O,B 为顶点的 三角形与△OBA 相似.若存在,请求出所有符合条件 的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.解：（1）直线AB 解析式为：y=33-x+3． （2）方法一：设点Ｃ坐标为（x ，33-x+3），那么OD ＝x ，CD ＝33-x+3． ∴OBCD S 梯形＝()2CD CD OB ⨯+＝3632+-x ． 由题意：3632+-x ＝334，解得4,221==x x （舍去） ∴ Ｃ（２，33） 方法二：∵ 23321=⨯=∆OB OA S AOB ,OBCD S 梯形＝334，∴63=∆ACD S ． 由OA=3OB ，得∠BAO ＝30°，AD=3CD ．∴ ACD S ∆＝21CD×AD ＝223CD ＝63．可得CD ＝33． ∴ AD=１，OD ＝２．∴C （２，33）． （３）当∠OBP ＝Rt ∠时，如图①若△BOP ∽△OBA ，则∠BOP ＝∠BAO=30°，BP=3OB=3，∴1P （3，33）． ②若△BPO ∽△OBA ，则∠BPO ＝∠BAO=30°,OP=33OB=1．∴2P （1，3）．当∠OPB ＝Rt ∠时③ 过点P 作OP ⊥BC 于点P(如图)，此时△PBO ∽△OBA ，∠BOP ＝∠BAO ＝30° 过点P 作PM ⊥OA 于点M ．方法一： 在Rt △PBO 中，BP ＝21OB ＝23，OP ＝3BP ＝23．∵ 在Rt △P ＭO 中，∠OPM ＝30°， ∴ OM ＝21OP ＝43；PM ＝3OM ＝433．∴3P （43，433）．方法二：设Ｐ（x ，33-x+3），得OM ＝x ，PM ＝33-x+3 由∠BOP ＝∠BAO,得∠POM ＝∠ABO ．∵tan ∠POM==OMPM =x x 333+-，tan ∠ABO=OBOA =3．∴33-x+3＝3x ，解得x ＝43．此时，3P （43，433）． ④若△POB ∽△OBA(如图)，则∠OBP=∠BAO ＝30°，∠POM ＝30°． ∴ PM ＝33OM ＝43． ∴ 4P （43，43）（由对称性也可得到点4P 的坐标）．当∠OPB ＝Rt ∠时，点P 在ｘ轴上,不符合要求.综合得，符合条件的点有四个，分别是：1P （3，33），2P （1，3），3P （43，433），4P （43，43）．。
2012中考数学专题二分类讨论的思想方法
答案：32或83
在实数中带有绝对值号，二次根式的化简中，应注意 讨论绝对值号内的数、被开方数中的字母的正负性，在保 证各式有意义的前提下进行化简求解
【例 3】已知 x 是实数，请化简|x－1|＋ x2
思路分析：根据|a|的化简法则，当 a≥0 时，|a|＝a，当 a<0 时，|a|＝－a， a2的化简与|a|相同，同样要讨论 a 的正负 性才能得到化简结果，因此要分别讨论，x，x－1 的正负性进 行化简．
答图2-1
5．(2010·西安)如图2－6，点A、B、P在⊙O上，且∠
APB＝50°，若点M是⊙O上的动点，要使△ABM为等腰三
角形，则所有符合条件的点M有 A．1个
(D )
B．2个
C．3个
D．4个
6．关于x的一元一次不等式(2m＋3)x>2m＋3的解是___
x>1或x<1
．
解析：分2m＋3>0和2m＋3<0两种情况讨论．
1．已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径
为1的圆的公共点个数所有可能的情况是 A．0,1,2,3
(C )
B．0,1,2,4
C．0,1,2,3,4
D．0,1,2,4,5
解析：可分为圆在三角形外；圆与一边相切(或过一个
顶点)；圆与一边相交；圆与三边相切；圆与两边相交等几
种情况．
2．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则
7．若分式2xx－＋13的值大于零，则 x 的取值范围是x_<_－__32_或_．x>1
解析：由题意得①2x－x＋13>>00 ，②2x－x＋13<<00
中考数学复习专题讲座(十)分类讨论思想
中考数学复习专题讲座(十)------分类讨论思想Ⅰ、专题精讲：1.我们在解数学题时，如果遇到题中的对象不确定，就要根据已知条件和题目的要求，分不同的情况作出符合题意的解答，这就是分类讨论。
2.分类讨论包括：①对字母的取值情况进行分析，并根据题意作出取舍；②在不同的数的范围内，准确求出代数式的不同表达形式③对符合题意的图形，作出不同形状、不同的位置关系。
3.分类讨论的原则：（1）分类中的每一部分都是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行;(4) 正确的分类讨论必须是全面的，既不重、也不漏． Ⅱ、典型例题剖析类型1：分式方程无解的分类讨论问题例题1： =+=-+-a 349332无解，求x x ax x 解：去分母，得：1.6,801a 31-a 21-31-a 21-211-a )3(4)3(3=-==∴=-=-=-=⇒-=++a a a x x ax x 或者或或由已知）（ 猜想：把“无解”改为“有增根”如何解？ 68-==a a 或 练习： ==--+a 2112无解，求x a x 类型2： “一元二次方程”系数的分类讨论问题例题2：已知方程01)12(22=+++x m x m 有实数根，求m 的取值范围。
（1） 当02=m 时，即m=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x=1-（2） 当02≠m 时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件得：41-m ,0144)12(22≥≥+=-+=∆即m m m ，且02≠m 综（1）（2）得，41-≥m 常见病症：（很多同学会从（2）直接开始而且会忽略02≠m 的条件）总结：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。
一般设置问题的方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。
这都是表明是二次方程，不需要讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求。
例题4：当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程0442=+-x mx 与0544422=--+-m m mx x 的根都是整数。
7、数学思想(二)：分类讨论思想
7、数学思想（二）：分类讨论思想一、应用题1、（2012•黔东南州）我州某教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标准均为每人每天120元，并且各自推出不同的优惠方案．甲家是35人（含35人）以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费；乙家是45人（含45人）以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收费．如果你是这个部门的负责人，你应选哪家宾馆更实惠些？二、平行四边形：先分类（三条对角线）；再画简图；后计算；最后确定最终图形1、已知平行四边形的三个顶点，求第四个顶点，常以什么为分类标准？这些平行四边形的面积之间有什么关系？(1)在平面直角坐标系中，若以点A(2，1)，B(5，1)，C(3，3)，D四点为顶点的四边形是平行四边形，请你写出点D的坐标. (2)若点C在过点A（2，1）的直线y=2x-3上，点B的坐标为（5，1），且以A，B，C为其中三个顶点的平行四边形的面积为6，求平行四边形第四个顶点D的坐标.2、若E 点在x 轴上，F 点在抛物线223y x x =--+上，(1,0),(0,3)A C 如果A 、C 、E 、F 构成平行四边形，写出点E 的坐标 .三、特殊三角形（直角三角形、等腰三角形或等腰直角三角形）1、已知：如图在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为56，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．中考演练1、（2012•绥化）如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）．（1）求G点坐标；（2）求直线EF解析式；（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．总结：1、分类讨论应用题，应验证结论是否把所有的情况全部考虑进去。
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中考数学思想方法专题讲座——分类讨论在数学中，当被研究的问题存在多种情况，不能一概而论时，就需要按照可能出现的各种情况分类讨论，从而得出各种情况下的结论，这种处理问题的思维方法叫分类讨论思想，它不仅是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略．在研究问题时，要认真审题，思考全面，根据其数量差异或位置差异进行分类，注意分类应不重不漏，从而得到完美答案.一、分类讨论应遵循的原则： 1、分类应按同一标准进行； 2、分类讨论应逐级进行； 3、分类应当不重复，不遗漏。
二、分类讨论的主要因素：1、题设本身为分类定义；2、部分性质、公式在不同条件下有不同的结论；3、部分定义、定理、公式和法则本身有范围或条件限制；4、题目的条件或结论不唯一时；5、含参数（字母系数）时，须根据参数（字母系数）的不同取值范围进行讨论；6、推理过程中，未知量的值，图形的位置或形状不确定。
三、分类类讨论的步骤：1、确定分类对象；2、进行合理分类；3、逐类讨论，分级进行；4、归纳并作出结论。
四、分类讨论的几种类型：类型一、与数与式有关的分类讨论热点1.在实数中带有绝对值号，二次根式的化简中，应注意讨论绝对值号内的数、被开方数中的字母的正负性，()()a aaa a≥==-⎧⎪⎨⎪⎩例1. =+==||，则5，3||若2baba。
分析：因b b2=||，故原题可转化为绝对值的问题进行讨论。
解：∵3||=a；∴x= ，∵b b2=||=5；∴x= ，，8|53|||时，5，3当=+=+==baba，2|5-3|||时，5-，3当==+==baba，2|53-|||时，5，3-当=+=+==baba，8|5-3-|||时，5-，3-当==+==baba故应填。
小结:二次根式的化简往往可转化为与绝对值相关的问题。
而去绝对值时一般要根据绝对值的概念进行分类讨论。
【练习】 1. 化简：①︱x︳=②=2. 已知│x│= 4,│y│=12，且xy<0，则xy= ．【点评】由xy<0知x，y异与应分x>0，y<0，及x<0，y>0两类．3．若||3,||2,,( )a b a b a b==>+=且则A．5或－1 B．－5或1; C．5或1 D．－5或－14．在数轴上，到－2的点的距离为3的点表示的数是．热点2：与函数及图象有关的分类讨论一次函数的增减性(k有正负之分)：【例1】已知直线y＝kx＋3与坐标轴围成的三角形的面积为2，则k的值等于．【例2】若一次函数当自变量x的取值范围是-1≤x≤3时，函数y的范围为-2≤y≤6，•则此函数的解析式为．0,0,k y xk y xy kx b⎧⎪⎨⎪⎩=+时随的增大而增大时随的增大而减小热点3：不等式中的分类讨论在根据不等式的基本性质解不等式时，当遇到含字母系数的一元一次不等式时，要根据系数的正负性，决定不等号的方向变化，此时需要讨论其正负性；在分式的值大于零或小于零时计算分式中某字母的取值范围，也要讨论分子分母的正负性，以此建立不等式或不等式组求解．【例1】不等式mx >n (m 、n 是常数且m ≠0)的解是 ．思路分析：x 前的系数m 的正负性不确定，故要对其讨论，再依据不等式基本性质求x 的取值．【例2】已知分式4－x 2x －3的值为负数，则x 的取值范围是 ． 思路分析：欲求x 的取值范围，需要建立关于x 的不等式(组)，由“两数相除，异号得负”知4－x 与2x －3异号，因此得⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x >02x －3<0或⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x <02x －3>0.分别解这两个不等式组即可．【练习】1．关于x 的一元一次不等式(2m ＋3)x >2m ＋3的解是 ．解析：分2m ＋3>0和2m ＋3<0两种情况讨论．2．若分式2x ＋3x －1的值大于零，则x 的取值范围是 ． 3.解不等式 (a +1)x ＞a 2-1.热点4：涉及问题中待定参数的变化范围的分类讨论。
【例1】 2(4)(21)0x m x m x m m ---+=关于的方程，当为何值时，方程有实数根？分析：方程有实数根，即方程有两个或一个实数根，相应的方程为一元二次方程或一元一次方程，所以对未知数最高次项的系数要分类讨论。
解：，047时，原方程化为4，即04当)1(=+-==-x m m 此方程为一元一次方程有且只有一个实数根；74=x ()2404当≠，即≠时，原方程为一元二次方程。
m m -当·时，∆=----≥[()]()214402m m m 即且≠时，方程有两个实数根，m m ≥-1124综合，当时，原方程有实数根。
()()12112m ≥- 方法小结：方程中最高次项的系数是含字母的不确定代数式，决定了它的取值的多种可能性，不能看到2x 项就简单地认为是一元二次方程。
类型二：三角形中的分类讨论。
热点3. 与等腰三角形有关的分类讨论：在等腰三角形中，无论边还是顶角、底角不确定的情况下，要分情况求解，有时要分钝角三角形、直角三角形、锐角三角形分别讨论解决．（1）与角有关的分类讨论【例1】已知等腰三角形的一个内角为75°，则其顶角为 ．【思路点拨】对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解.（2）与边有关的分类讨论【例2】已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于 ．【思路点拨】对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.（3）与高有关的分类讨论【例3】一等腰三角形的一腰上的高与另一腰成35°，则此等腰三角形的顶角是 度.【思路点拨】因不知此等腰三角形的顶角是钝角、直角、锐角，应分情况讨论.解：（1）当顶角为锐角时，（如图1）则顶角为90°－35°＝55°.（2）当顶角为直角时，不符合题意（如图2），应舍去.（3）当顶角为钝角时（如图3），顶角为180°－（90°－35°）＝125°。
故此等腰三角形的顶角为 。
【例4】若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为( )A ．75°或15°B ．36°或60°C ．75°D ．30°思路分析：由于不确定等腰三角形的顶角是锐角还是钝角，三角形的腰上的高在该三角形内或外，因此应分两种情况讨论，先画出草图如图2－1所示：热点4. 与直角三角形有关的分类讨论：在直角三角形中，如果没有指明哪条边是直角边、斜边，这需要根据实际情况讨论；当然，在不知哪个角是直角时，有关角的问题也需要先讨论后求解．【例1】已知直角三角形的两条边长分别为6和8,那么斜边上的高为 ．【练习】1．三角形两边的长分别是8和6，•第三边的长是一元二次方程x 2-16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）A ．24B ．24或8．48 D ．2．若直角三角形ABC 的三边长分别为4,2，m ，则m 的取值为 ．热点5.与相似三角形有关的分类讨论（1）对应边不确定【例1】如图，已知矩形ABCD 的边长AB=3cm,BC=6cm.．某一时刻，动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm ／s 的速度向B 点匀速运动；同时，动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm ／s 的速度向A 点匀速运动，问：是否存在时刻t ，使以A,M,N 为顶点的三角形与ΔACD 相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】经过 秒时，以A M N ，，为顶点的三角形与ACD △相似（2）对应角不确定【例2】 如图1，∠A=500，∠B=600，一直线l 与△ABC 的边AC 、AB 边相交于点D 、E两点，当∠ADE 为 度时，△ABC 与△ADE 相似.【思路点拨】显然∠C=700，∠A 是△ABC 和△ADE 的公共角，如果∠ADE 等于∠C 或∠B ，那么△ABC 与△ADE 相似. A B CE D l 图1 D解：（1）当∠ADE=∠C=700时，△ABC ∽△AED.（2）当∠ADE=∠B=600时，△ABC ∽△ADE.所以当∠ADE 等于 时，△ABC 与△ADE 相似.【例3】如图2－2，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，D 为AC 上一点且AD ＝2，点E 是AB 上一点，连接DE ，若以A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则AE 的长是 ．思路分析：由于没确定E 点位置，所以两个三角形对应顶点、对应边不确定，只有A 点为公共顶点确定，所以要分两种情况讨论：(1)当△ABC ∽△ADE 时，得AB AD ＝AC AE，代入数值，可求得AE ； (2)当△ABC ∽△AED 时，得AB AE ＝AC AD，又可求得另一个AE .。
【练习】1.在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从点A 出发向B 以2cm 秒的速度移动;点Q 沿DA 边从点D 开始向A 以1cm/秒的速度移动。
如果P 、Q 同时出发，用t 秒表示移动的时间（0＜x ＜6）那么：（1）当t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC 的面积；提出一个与计算结果有关的结论； （3）当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ ABC 相似？ 2. 已知，那么直线一定经过a b c b c a c a b k y kx k +=+=+==+()A. 第一、二象限B. 第二、三象限C. 第三、四象限D. 第一、二、三象限 分析：应用等比性质的前提是≠，所以要a b c d e f a c e b d fb d f ===++++++0分两种情况讨论。
解：分两种情况讨论：（1）当a ＋b ＋c ≠0时，由等比性质，得()()()a b b c c a c a b k k +++++++==，∴2 ∴直线经过第一、二、三象限y kx k x =+=+22。
（2）当a ＋b ＋c ＝0时，a ＋b ＝－c ， ∴k a b c c c=+=-=-1，∴直线经过第二、三、四象限，y kx k x =+=--1 综合（1）（2），直线y ＝kx ＋k 一定经过第 象限，故选 。
方法小结：部分定义、定理、公式和法则本身有范围或条件限制，在解答这类题时应引起充分注意！热点6.综合题中的分类讨论在一些综合性计算、证明题中，由于条件可能发生一些变化，这时，我们需要利用变化的条件考虑多种情况来解答问题，多数情况下应关注字母的正负性，未知数的取值范围，图形形状的改变等．【例1】如图2－5，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠A ＝90°，AD ＝6cm ，DC ＝4cm ，BC＝10，动点P 从A 出发以2cm/秒的速度沿AB 方向向点B 运动，动点Q 从点B 出发以3cm/秒的速度沿B →C →D 方向向点D 运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t s. 当t 为何值时，PC 与BQ 相互平分；思路分析：由于Q 运动路线为B →C →D ，所以应分点Q 在BC 上和点Q 在CD 上两种情况讨论解决．【巩固试题】1.若x 2+4(m-2)x+16是完全平方式，则m 等于 。