人教A版数学必修二第二章《空间点、直线、平面之间的位置关系》练习题

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《必修2》第二章“点、直线、平面之间的位置关联”测验题(含谜底)

《必修2》第二章“点、直线、平面之间的位置关系”测试题一、选择题：(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的)1.若直线l 不平行于平面α，则下列结论成立的是（）A.α内所有的直线都与l 异面B.α内不存在与l 平行的直线C.α内所有的直线都与l 相交D.直线l 与平面α有公共点 2. 给出下列命题：（1）和直线a 都相交的两条直线在同一个平面内；（2）三条两两相交的直线在同一平面内；（3）有三个不同公共点的两个平面重合；（4）两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．33.空间四边形ABCD 中，若AB AD AC CB CD BD =====，则AC 与BD 所成角为( )A.030B.045C.060D.090 4.给出下列命题：（1）直线l 与平面α不平行，则l 与平面α内的所有直线都不平行；（2）直线l 与平面α不垂直，则l 与平面α内的所有直线都不垂直；（3）异面直线,a b 不垂直，则过直线a 的任何平面与直线b 都不垂直；（4）若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面其中错误命题的个数为（）A.0B.1C.2D.35．正方体1111ABCD A B C D -中，与对角线1AC 异面的棱有（）条 A.3 B.4 C.6 D.86. 点P 为ABC ∆所在平面外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，若PA PB PC ==，则点O 是ABC ∆的（）BA.内心B.外心C.重心D.垂心 7.如图长方体中，AB AD ==1CC =，则二面角 1C BD C --的大小为（）A ．300B.450C.600D.900AB CD A 1B 11D 18.已知直线,,a b c 及平面,αβ，下列命题正确的是（）A.若,,,a b c a c b αα⊂⊂⊥⊥，则c α⊥B.若,//b a b α⊂ ，则//a αC.若//,a b ααβ=，则//a b D.若,a b αα⊥⊥，则//a b9.平面α与平面β平行的条件可以是（）A.α内有无穷多条直线与β平行；B.直线l //α,l //βC.直线m α⊂,直线n β⊂,且m //β,n //αD.α内的任何直线都与β平行 10. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM 与ED 平行． ②CN 与BE 是异面直线．③CN 与BM 成60˚角． ④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）Ａ．①②③ Ｂ．②④ Ｃ．③④Ｄ．②③④二、填空题：(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)11．已知两条相交直线a ，b ，a α平面∥则b 与α的位置关系是．12．空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若AC BD a ==，且AC 与BD 所成的角为90，则四边形EFGH 的面积是． 13．如图，ABC 是直角三角形，90ABC ∠=，P A ⊥平面ABC ，此图形中有个直角三角形.14．已知a b ，是一对异面直线，且a b ，成70角，P 为空间一定点，则在过P 点的直线中与a b ，所成的角都为70的直线有条．15．已知平面αβ//，P 是平面αβ，外的一点，过点P 的直线m 与平面αβ，分别交于A C ，两点，过点P 的直线n 与平面αβ，分别交于B D ，两点，若698PA AC PD ===，，，则BD 的长为。

人教版高中数学必修二第二章《点、直线、平面之间的位置关系》(内含答案解析)

人教版高中数学必修二第二章《点、直线、平面之前的位置关系》（内含答案解析）一、选择题1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的()A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有【解析】过a和平面内n条直线的交点只有一个平面β，所以平面α与平面β只有一条交线，且与直线a平行，这条交线可能不是这n条直线中的一条也可能是．故选B.【答案】B2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A．平行 B．相交C．异面 D．平行或异面【解析】条件即为线面平行的性质定理，所以a∥b，又a与α无公共点，故选C.【答案】C3．下列命题中不正确的是()A．两个平面α∥β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面βB．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线【解析】选项A中直线a可能与β平行，也可能在β内，故选项A不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以选项C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知，选项B，D也正确，故选A.【答案】A4．如图2221，四棱锥P ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面P AD，则()图2221A．MN∥PDB．MN∥P AC．MN∥ADD．以上均有可能【解析】∵MN∥平面P AD，MN⊂平面P AC，平面P AD∩平面P AC＝P A，∴MN∥P A.【答案】B5．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，动点C()A．不共面B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．无论点A，B如何移动都共面【解析】无论点A、B如何移动，其中点C到α、β的距离始终相等，故点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．【答案】D二、填空题6．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．图229【解析】①设MP中点为O，连接NO.易得AB∥NO，又AB⊄平面MNP，所以AB∥平面MNP.②若下底面中心为O，易知NO∥AB，NO⊄平面MNP，所以AB与平面MNP不平行．③易知AB∥MP，所以AB∥平面MNP.④易知存在一直线MC∥AB，且MC⊄平面MNP，所以AB与平面MNP不平行．【答案】①③7．在如图2210所示的几何体中，三个侧面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是平行四边形，则平面ABC与平面A1B1C1平行吗？______(填“是”或“否”)．图2210【解析】因为侧面AA1B1B是平行四边形，所以AB∥A1B1，因为AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1，同理可证：BC∥平面A1B1C1.又因为AB∩BC＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以平面ABC∥平面A1B1C1.【答案】是三、解答题8．如图2123，长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．(1)求证：D1E∥BF；(2)求证：∠B1BF＝∠D1EA1.图2123【证明】(1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.在矩形ABB1A1中，易得EM═∥A1B1，∵A1B1═∥C1D1，∴EM═∥C1D1，∴四边形EMC1D1为平行四边形，∴D1E∥C1M.在矩形BCC1B1中，易得MB═∥C1F，∴BF═∥C1M.∴D1E∥BF.(2)∵ED1∥BF，BM∥EA1，又∠B1BF与∠D1EA1的对应边方向相同，∴∠B1BF＝∠D1EA1.9．如图2124，正方体ABCDEFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角．图2124【解】(1)如图，因为CG∥BF，所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH，因为HD═∥EA，EA═∥FB，所以HD═∥FB，所以四边形HFBD为平行四边形，所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA、AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又依题意知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角是30°.10．如图2125是正方体的平面展开图，在这个正方体中，图2125①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是()A．①②③B．②④C．③④ D．②③④【解析】由题意画出正方体的图形如图：显然①②不正确；③CN与BM成60°角，即∠ANC＝60°，正确；④正确．【答案】C11．在四面体ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．若BD、AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1.求EF的长度．【解】如图，取BC中点O，连接OE、OF，∵OE∥AC，OF∥BD，∴OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC、BD所成的角为60°.∴∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝21.当∠EOF＝120°时，取EF的中点M，连接OM，则OM⊥EF，EF＝2EM＝2×43＝23.。

高中数学人教A版2019必修第二册空间点直线平面之间的位置关系同步练习(解析版)

8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系基础巩固1.一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线,则它与另一条()A.相交B.异面C.相交或异面D.平行2.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定()A.与a,b都相交B.只能与a,b中的一条相交C.至少与a,b中的一条相交D.与a,b都平行3.下列命题中正确的个数是()①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线平行③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点A.0B.1C.2D.34.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A.不存在B.有1条C.有2条D.有无数条5.已知直线l和平面α,无论直线l与平面α具有怎样的位置关系,在平面α内总存在一条直线与直线l()A.相交B.平行C.垂直D.异面6.若a,b是两条异面直线,且a∥平面α,则b与α的位置关系是.7.如图的直观图,用符号语言表述为(1),(2).8.如图,正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点,问(1)AM和CN是否是异面直线?(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.能力提升9.若平面α∥β,直线a⊂α,点B∈β,则在β内过点B的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条直线与a平行C.存在无数条直线与a平行D.存在唯一一条与a平行的直线10.已知下列说法:①若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b;②若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线;③若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b一定不相交;④若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面;⑤若两个平面α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交.其中正确的序号是.(将你认为正确的序号都填上)11.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的关系并证明你的结论.素养达成12.如图所示,已知平面α∩β=l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且A∉l,B∉l,C∉l,直线AB与l不平行,那么平面ABC 与平面β的交线与l有什么关系?证明你的结论.8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系基础巩固答案1.一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线,则它与另一条()A.相交B.异面C.相交或异面D.平行【答案】C【解析】一条直线与两条平行线中的一条异面,则它与另一条可能相交,也可能异面.故选C.2.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定()A.与a,b都相交B.只能与a,b中的一条相交C.至少与a,b中的一条相交D.与a,b都平行【答案】C【解析】如图,a′与b异面,但a′∥c,故A错;a与b异面,且都与c相交,故B错;若a∥c,b∥c,则a∥b,与a,b异面矛盾,故D错.3.下列命题中正确的个数是()①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线平行③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】对于①,当直线l与α相交时,直线l上有无数个点不在平面α内,故①不正确;对于②,直线l与平面α平行时,l与平面α内的直线平行或异面,故②不正确:对于③,当两条平行直线中的一条与一个平面平行时,另一条与这个平面可能平行,也有可能在这个平面内,故③不正确;对于④,由线面平行的定义可知④正确.4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A.不存在B.有1条C.有2条D.有无数条【答案】D【解析】由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1,由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l,在平面ADD1A1内与l平行的直线有无数条,且它们都不在平面D1EF内,则它们都与平面D1EF平行,故选D.5.已知直线l和平面α,无论直线l与平面α具有怎样的位置关系,在平面α内总存在一条直线与直线l()A.相交B.平行C.垂直D.异面【答案】C【解析】当直线l与平面α平行时,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直;当直线l⊂平面α时,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直;当直线l与平面α相交时,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直,所以无论直线l与平面α具有怎样的位置关系,在平面α内总存在一条直线与直线l垂直.故选C.6.若a,b是两条异面直线,且a∥平面α,则b与α的位置关系是.【答案】b与α平行或相交或b在α内【解析】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设平面ABCD为α,A1B1为a,则a∥α,当分别取EF,BC1,BC为b 时,均满足a与b异面,于是b∥α,b∩α=B,b⊂α(其中E,F为棱的中点).7.如图的直观图,用符号语言表述为(1),(2).【答案】(1)a∩b=P,a∥平面M,b∩平面M=A;(2)平面M∩平面N=l,a∩平面N=A,a∥平面M【解析】(1)a∩b=P,a∥平面M,b∩平面M=A(2)平面M∩平面N=l,a∩平面N=A,a∥平面M8.如图,正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点,问(1)AM和CN是否是异面直线?(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.【答案】(1) 不是异面直线;(2)是异面直线,证明见解析.【解析】由于M,N分别是A1B1和B1C1的中点,可证明MN∥AC,因此AM与CN不是异面直线.由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大,判断的方法可用反证法.(1)不是异面直线.理由:因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点,所以MN∥A1C1.又因为A1A C1C,所以A1ACC1为平行四边形.所以A1C1∥AC,得到MN∥AC,所以A,M,N,C在同一个平面内, 故AM和CN不是异面直线.(2)是异面直线,证明如下:假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1D内,则B∈平面CC1D1D,C∈平面CC1D1D.所以BC⊂平面CC1D1D,这与ABCD A1B1C1D1是正方体相矛盾.所以假设不成立,故D1B与CC1是异面直线.能力提升9.若平面α∥β,直线a⊂α,点B∈β,则在β内过点B的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条直线与a平行C.存在无数条直线与a平行D.存在唯一一条与a平行的直线【答案】D【解析】因为α∥β,B∈β,所以B∉α.因为a⊂α,所以B,a可确定平面γ且γ∩α=a,设γ与β交过点B的直线为b,则a∥b.因为a,B在同一平面γ内.所以b唯一,即存在唯一一条与a平行的直线.10.已知下列说法:①若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b;②若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线;③若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b一定不相交;④若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面;⑤若两个平面α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交.其中正确的序号是.(将你认为正确的序号都填上)【答案】③④【解析】①错.a与b也可能异面.②错.a与b也可能平行.③对.因为α∥β,所以α与β无公共点.又因为a⊂α,b⊂β,所以a与b无公共点.④对.由③知a与b无公共点,那么a∥b或a与b异面.⑤错.a与β也可能平行.11.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的关系并证明你的结论.【答案】a,b无公共点, a∥β,证明见解析.【解析】a∥b,a∥β,理由:由α∩γ=a知a⊂α且a⊂γ,由β∩γ=b知b⊂β且b⊂γ,因为α∥β,a⊂α,b⊂β,所以a,b无公共点.又因为a⊂γ,且b⊂γ,所以a∥b.因为α∥β,所以α与β无公共点,又a⊂α,所以a与β无公共点,所以a∥β.素养达成12.如图所示,已知平面α∩β=l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且A∉l,B∉l,C∉l,直线AB与l不平行,那么平面ABC 与平面β的交线与l有什么关系?证明你的结论.【答案】平面ABC与β的交线与l相交,证明见解析.【解析】平面ABC与β的交线与l相交.证明:因为AB与l不平行,且AB⊂α,l⊂α,所以AB与l一定相交,设AB∩l=P,则P∈AB,P∈l.又因为AB⊂平面ABC,l⊂β,所以P∈平面ABC,P∈β.所以点P是平面ABC与β的一个公共点,而点C也是平面ABC与β的一个公共点,且P,C是不同的两点,所以直线PC就是平面ABC与β的交线.即平面ABC∩β=PC,而PC∩l=P,所以平面ABC与β的交线与l相交.。

《必修2》第二章“点、直线、平面之间的位置关系”测试题(含答案)

人教A版高中必修二试题第二章空间点、直线、平面之间的位置关系测试题

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作第二章空间点、直线、平面之间的位置关系测试题一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分）1. 已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么（）A ．α∥βB ．α与β相交C ．α与β重合D ．α∥β或α与β相交2. 两条直线a ，b 满足a ∥b ，b α⊂，则a 与平面α的关系是( )A.a ∥αB.a 与α相交C.a 与α不相交D.a α⊂3.对于命题：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两直线平行；④垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有( )A. 1 个B. 2个C. 3个D. 4个4. 经过平面外两点与这个平面平行的平面（）A ．只有一个B ．至少有一个C ．可能没有D ．有无数个5.过三棱柱111ABC A B C -的任意两条棱的中点作直线，其中与平面11ABB A 平行的直线共有（）A. 3条B. 4条C. 5条D. 6条6. a ，b 是两条异面直线，下列结论正确的是（）A.过不在a ，b 上的任一点P ，可作一个平面与a ，b 平行B.过不在a ，b 上的任一点P ，可作一条直线与a ，b 相交C.过不在a ，b 上的任一点P ，可作一条直线与a ，b 都平行D.过a 可以并且只可以作一平面与b 平行7.n m ,是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A ．,,m n m n αα若则‖‖‖B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖8.如图1，正四面体ABCD 的棱长均为a ，且AD ⊥平面α于A ，点B ，C ，D 均在平面α外，且在平面α同一侧，则点B 到平面α的距离是（）A ．2aB ．3aC ． 22aD ．33aαA B CD图1 图29.如图2，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，,2PA ABC PA AB ⊥=平面，则下列结论正确的是Ａ.PB AD ⊥ Ｂ.平面PAB PBC ⊥平面C. 直线BC ∥平面PAE Ｄ.PD ABC ︒直线与平面所成的角为4510.点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD=AD ，则PA 与BD 所成角的度数为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°11.已知二面角l αβ--的大小为50，P 为空间中任意一点，则过点P 且与平面α和平面β所成的角都是025的直线的条数为（）A ．2B ．3C ．4D ．512.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，顶点1B 到对角线1BD 和到平面11A BCD 的距离分别为h 和d ，则下列命题中正确的是（）A ．若侧棱的长小于底面的边长，则hd的取值范围为(0,1) B ．若侧棱的长小于底面的边长，则h d 的取值范围为223(,)23 C ．若侧棱的长大于底面的边长，则h d 的取值范围为23(,2)3 D ．若侧棱的长大于底面的边长，则h d 的取值范围为23(,)3+∞ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.给出下列命题: ①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行；③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直.其中正确命题的个数为 .14.已知平面α，β，γ，直线l ，m 满足：γα⊥，γ∩α＝m ,γ∩β＝l ，m l ⊥.由上述条件可推出的结论有_______.①β⊥m ；②α⊥l ；③γβ⊥；④βα⊥.15如图3，△ABC 和△DBC 所在两平面互相垂直，且AB=BC=BD=a,∠CBA=∠CBD=120°,则AD 与平面BCD 所成的角为 .16在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，则BD 1与过点A ，E ，C 的平面的位置关系是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.(10分)如图4，在正三棱柱111C B A ABC -中，点D 是棱BC 的中点．求证：(1)D C AD 1⊥；(2)1//A B 平面1ADC ． C BAA B CD18. (12分)如图5，已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，90BAC ∠=，M ，N 分别是11A B ，BC的中点．（1）证明：1AB AC ⊥；（2）判断直线MN 和平面11ACC A 的位置关系，并加以证明．19.(12分) 如图6，在正方体1111D C B A ABCD -中，E ，F 分别为棱AD ，AB 的中点．(1)求证：平面11C CAA ⊥平面11D CB ；(2)如果1=AB ，一个动点从点F 出发在正方体的表面上依次经过棱1BB ,11C B ,11D C ,D D 1,DA 上的点，最终又回到点F ，指出整个路线长度的最小值并说明理由.20.(12分)如图7，四棱锥S —ABCD 的底面是边长为2a 的菱形，且2SA SC a ==2SB SD a ==，点E 是SC 上的点，且(02).SE a λλ=<≤（1）求证：对任意的(0,2]λ∈，都有BD AE ⊥；（2）若SC ⊥平面BED ，求直线SA 与平面BED 所成角的大小.21.(12分)某厂根据市场需求开发折叠式小凳，如图8所示. 凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管. 考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：① 凳子高度为30cm ，② 三根细钢管相交处的节点O 与凳面三角形ABC 重心的连线垂直于凳面和地面.（1）若凳面是边长为20cm 的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45，确定节点O 分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）；（2）若凳面是顶角为120的等腰三角形，腰长为24cm ，节点O分细钢管上下两段之比为2:3. 确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm ）A B C OAB B 1C C 1A 1 M N ABCD A 1 B 1 C 1 D 1E F22.(12分)如图9所示，在边长为12的正方形AA'A 1'A 1中，点B ，C 在线段AA'上，且AB ＝3，BC＝4，作BB 1//AA 1，分别交A 1A 1'、AA 1'于点B 1，P ，作CC 1//AA 1，分别交A 1A 1'，AA 1'于点C 1，Q ，将该正方形沿BB 1，CC 1折叠，使得A'A 1'与AA 1重合，构成如图10所示的三棱柱ABC －A 1B 1C 1．（1）在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，求证：AB⊥平面BCC 1B 1；（2）求平面APQ 将三棱柱ABC －A 1B 1C 1分成上、下两部分几何体的体积之比．参考答案一、选择题 1~6 DC BC D D 7~12 DAD C BC提示:3.对于①平行于同一直线的两个平面平行，反例为：把一支笔放在打开的课本之间；②是对的,③是错的；④是对的5.取1111,,,AC BC B C AC 中点,,,E F M N ，直线分别为,,,,,EF MN EN EM FM FN 都与平面11ABB A 平行.6.如图所示，在直线a 上任取一点P ，过P 作b ′∥b ，则a ∩b ′=P.那么a 与b ′确定一个平面α.因为b ∥b ′，b ′⊂α，b ⊄α，所以b ∥α.所以过a 可以作一个平面α与b 平行.假设还可作一平面β与b 平行，则α∩β=a ，b ∥α，b ∥β，所以a ∥b.这与a 、b 异面相矛盾，即假设不成立.所以只有一个平面α.综上所述，过a 有且只有一个平面与b 平行.故选D.7. ,m n 均为直线，其中,m n 平行α，,m n 可以相交也可以异面，故A 不正确；m ⊥α，n ⊥α则同垂直于一个平面的两条直线平行；选D8．取AD 的中点M ，易证AD ⊥平面BCM ，故平面BCM //平面α，平面BCM到平面α的距离为2a ，即为B 到平面α的距离. 图9 A B CA' A 1 B 1 C 1 A 1' P Q 图ABCA 1B 1C 1 P Q9.因AD 与AB 不相互垂直，排除A ；作PB AG ⊥于G ，因平面⊥PAB 平面ABCDEF ，而AG 在平面ABCDEF 上的射影在AB 上，而AB 与BC 不相互垂直，故排除B ；由EF BC //，而EF 是平面PAE 的斜线，故排除C ，故选择D.10.将图形补成一个正方体如图，则PA 与BD 所成角等于BC′与BD所成角即∠DBC′．在等边三角形DBC′中，∠DBC′=60°，即PA 与BD所成角为60°．12.设底面边长为1，侧棱长为(0)λλ>，过1B 作1111,B H BD B G A B ⊥⊥.在11Rt BB D ∆中，21112,2B D B D λ==+，由三角形面积关系得11112122B D BB h B H B D λλ⋅===+ 设在正四棱柱中，由于1,BC AB BC BB ⊥⊥，所以BC ⊥平面11AA B B ，于是1BC B G ⊥，所以1B G ⊥平面11A BCD ，故1BG 为点1B 到平面11A BCD 的距离，在11Rt A B B ∆中，又由三角形面积关系得1111211A B BB d B G A B λλ⋅===+于是2222112122h d λλλ⋅+==⋅-++，于是当1λ>，所以222123,1132λλ+><-<+，所以23(,2)3h d ∈ 二、填空题 13.1个 14. ②④ 15. 45° 16.BD 1∥平面AEC提示：13.①②③错误,④正确.14. 因为γ∩β＝l ，所以l ∈β，l ∈γ，又因为γα⊥，γ∩α＝m ，m l ⊥，所以l ⊥α，所以βα⊥.故填②④.15.作AO ⊥CB 的延长线，连接OD ，则OD 即为AD 在平面BCD 上的射影，因为AO =OD =23a ,所以∠ADO =45°. 16.连接AC ，BD 相交于一点O ，连接OE ，AE ，EC .因为四边形ABCD 为正方形，所以DO ＝BO .而DE ＝D 1E ，所以EO 为△DD 1B 的中位线，所以EO ∥D 1B ,所以BD 1∥平面AEC .三、解答题 17.证明:（1）因为三棱柱111C B A ABC -是正三棱柱，所以⊥C C 1平面ABC ，又⊂AD 平面ABC ，所以AD C C ⊥1.又点D 是棱BC 的中点，且ABC ∆为正三角形，所以AD BC ⊥. 因为1BC C C C =，所以⊥AD 平面11B BCC ，又因为1DC ⊂平面11B BCC ，所以D C AD 1⊥． C BAABC DE(2)连接C A 1交1AC 于点E ，再连接DE ．因为四边形11ACC A 为矩形，所以E 为C A 1的中点，又因为D 为BC 的中点，所以1//ED A B .又1A B ⊄平面1ADC ，ED ⊂平面1ADC ，所以1//A B 平面1ADC ．18.证明：(1)因为1CC ⊥平面ABC ，又AB ⊂平面ABC ，所以1CC ⊥AB ．由条件90BAC ∠=，即AC ⊥AB ，且1AC CC C =Ç，所以AB ⊥平面11ACC A ．又1AC ⊂平面11ACC A ，所以1AB AC ⊥．（2）MN ∥平面11ACC A ，证明如下：设AC 的中点为D ，连接DN ，1A D ．因为D ，N 分别是AC ，BC 的中点，所以DN //=12AB ．又1A M =1211A B ，11A B //=AB ，所以1A M //=DN ．所以四边形1A DNM 是平行四边形．所以1A D ∥MN ．因为1A D ⊂平面11ACC A ，MN ⊄平面11ACC A ，所以MN ∥平面11ACC A ． 19.（1）证明:因为在正方体1AC 中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以 AA 1⊥B 1D 1. 又因为在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，所以 B 1D 1⊥平面CAA 1C 1. 又因为 B 1D 1⊂平面CB 1D 1，所以平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．(2)最小值为 32.如图，将正方体六个面展开成平面图形，从图中F 到F ，两点之间线段最短，而且依次经过棱BB 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1D ，DA 上的中点，所求的最小值为 32. 20解：（1）连结BD ，AC ，设BD 与AC 交于O. 由底面是菱形，得.BD AC ⊥SB SD =，O 为BD 中点，.BD SO ∴⊥又AC SO O ⋂=，BD ∴⊥面SAC.又AE ⊂面SAC ，.BD AE ∴⊥（2）取SC 的中点F ，连结OF ，OE ，//.SA OF ∴OF ∴与平面EDB 所成的角就是SA 与平面EDB 所成的角.SC ⊥平面BED ，FE ∴⊥面BED ，E 为垂足，EOF ∴∠为所求角.在等腰CSB ∆中，2,2SC BC a SB a ===，F F得底边SB 上的高为7.2CH a =SC BE SB CH ∴⋅=⋅，727222a a BE a a⋅∴==. 所以在2271,2,42Rt BES SE a a a ∆=-=中所以11.22EF a a a ∴=-= 在Rt FEO ∆中，1,sin .2EF OF a EOF OF =∴∠==即直线SA 与平面BED 所成角为.6π 21解：（1）设△ABC 的重心为H ，连结OH . 由题意，得2033BH =. 设细钢管上下两段之比为λ.已知凳子高度为30. 则301OH λλ=+. 因为节点O 与凳面三角形ABC 重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行.所以OBH ∠就是OB 与平面ABC 所成的角，亦即45OBH ∠=. 30203,13BH OH λλ==+因为所以，解得230.63923λ=≈-. 即节点O 分细钢管上下两段的比值约为0.63.（2）设120,24B AB BC ∠===所以，243AC =.设△ABC 的重心为H ，则8,87BH AH ==，由节点O 分细钢管上下两段之比为2:3，可知12OH =.设过点A B C ,,的细钢管分别为,,AA BB CC '''，则2255103760.822AA CC OA OH AH ''===+=≈， 2255101336.122BB OB OH BH '==+=≈，所以对应于A B C ,,三点的三根细钢管长度分别为60.8cm ，36.1cm 和60.8cm . 22.（1）证明:在正方形AA'A 1'A 1中，因为A'C ＝AA'－AB －BC ＝5，所以三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面三角形ABC 的边AC ＝5．因为AB ＝3，BC ＝4，所以AB 2＋BC 2＝AC 2．所以AB⊥BC．因为四边形AA'A 1'A 1为正方形，BB 1//AA 1，所以AB⊥BB 1．而BC∩BB 1＝B ，BC ⊂平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B 1，所以AB⊥平面BCC 1B 1．(2)解：因为AB⊥平面BCC 1B 1，所以AB 为四棱锥A －BCQP 的高．因为四边形BCQP 为直角梯形，且BP ＝AB ＝3，CQ ＝AB ＋BC ＝7，所以梯形BCQP 的面积为S BCQP ＝12(BP ＋CQ)×BC＝20．所以四棱锥A －BCQP 的体积V A －BCQP ＝13S BCQP ×AB＝20．由(1)，知BB 1⊥AB，BB 1⊥BC，且AB∩BC＝B ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ．所以BB 1⊥平面ABC ．所以三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直棱柱．所以三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为V ABC －A 1B 1C 1＝S △ABC ×BB 1＝72．故平面APQ 将三棱柱ABC －A 1B 1C 1分成上、下两部分的体积之比为72－2020＝135．。

高中数学(人教A版)必修第二册课后习题：空间点、直线、平面之间的位置关系【含答案及解析】

第八章立体几何初步8.4空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系课后篇巩固提升必备知识基础练1.如图所示,用符号语言可表示为()A.α∩β=lB.α∥β,l∈αC.l∥β,l⊄αD.α∥β,l⊂α2.在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(平面AA1C1C、平面ABC1D1、平面ADC1B1、平面BB1D1D、平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中,与棱AA1平行的平面共有()A.2个B.3个C.4个D.5个,结合图形可知AA1∥平面BB1C1C,AA1∥平面DD1C1C,AA1∥平面BB1D1D.3.(多选题)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则以下四个结论正确的是()A.直线AM与CC1是相交直线B.直线AM与BN是平行直线C.直线BN与MB1是异面直线D.直线AM与DD1是异面直线AM与CC1不同在任何一个平面内,直线AM与BN不同在任何一个平面内,故A,B错误;直线BN与MB1不同在任何一个平面内,直线AM与DD1不同在任何一个平面内,故C,D正确.4.如果空间的三个平面两两相交,那么()A.不可能只有两条交线B.必相交于一点C.必相交于一条直线D.必相交于三条平行线,可能相交于一点,也可能相交于一条直线,还可能相交于三条平行线,故选A.5.若两个平面内分别有一条直线,且这两条直线是异面直线,则这两个平面的公共点()A.有有限个B.有无数个C.不存在D.不存在或有无数个,直线AB与直线CC1异面,平面ABCD与平面CDD1C1相交,有无数个公共点;平面ABB1A1与平面CDD1C1平行,没有公共点.6.以下说法正确的是()A.若直线a不平行于平面α,则直线a与平面α相交B.直线a和b是异面直线,若直线c∥a,则c与b一定相交C.若直线a和b都和平面α平行,则a和b也平行D.若点M∈l,点N∈l,N∉α,M∈α,则直线l与平面α相交a不平行于平面α,则直线a与平面α相交,或a⊂α,故A错误;若直线a和b是异面直线,若直线c∥a,则c与b相交或异面,故B错误;若直线a和b都和平面α平行,则a和b可能平行,可能相交,也可能异面,故C错误;若点M,N∈l,N∉α,M∈α,则直线l和平面α相交,故D正确.故选D.7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱有条.,知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱有CD,A1B1,AD,B1C1,AA1,CC1共6条.8.已知直线a,平面α,β,且a∥α,a∥β,则平面α与β的位置关系是.a∥α,a∥β,所以平面α与β相交(如图①)或平行(如图②).9.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有条.,与平面ABB1A1平行的直线有6条:D1E1,E1E,ED,DD1,D1E,DE1.10.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,面对角线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何?B1∈平面A1B1C1D1,D1∈平面A1B1C1D1,∴B1D1⊂平面A1B1C1D1.∵B1∈平面BB1C1C,D1∉平面BB1C1C,∴直线B1D1∩平面BB1C1C=B1.同理直线B1D1与平面AA1B1B、平面AA1D1D、平面CC1D1D都相交.在平行四边形B1BDD1中,B1D1∥BD,B1D1与BD无公共点,∴B1D1与平面ABCD无公共点,∴B1D1∥平面ABCD.关键能力提升练11.若a,b是异面直线,且a∥平面α,那么b与平面α的位置关系是()A.b∥αB.b与α相交C.b⊂αD.以上三种情况都有可能a,b是异面直线,且a∥平面α,则根据空间中线面的位置关系可得,b∥a,或b⊂α,或b与α相交.12.(多选题)以下结论中,正确的是()A.过平面α外一点P,有且仅有一条直线与α平行B.过平面α外一点P,有且仅有一个平面与α平行C.过直线l外一点P,有且仅有一条直线与l平行D.过直线l外一点P,有且仅有一个平面与l平行①所示,过点P有无数条直线都与α平行,这无数条直线都在平面β内,过点P有且只有一个平面与α平行,故A错,B正确;如图②所示,过点P只有一条直线与l平行,但有无数个平面与l平行,故C正确,D错.13.(多选题)下列说法中正确的是()A.若直线a不在平面α内,则a∥αB.若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥αC.若l∥α,则直线l与平面α内任何一条直线都没有公共点D.平行于同一平面的两直线可以相交中,直线a也可能与平面α相交,故A错误;B中,直线l与平面α相交时,l上也有无数个点不在平面α内,故B错误;C中,当l∥α时,l与α没有公共点,所以l与α内任何一条直线都没有公共点,故C正确;D中,平行于同一个平面的直线,可以平行也可以相交,也可以是异面直线,故D正确.14.一个正方体的平面展开图如图所示,A,B,C,D为原正方体的顶点,则在原来的正方体中()A.AB∥CDB.AB与CD相交C.AB⊥CDD.AB与CD异面,则在原来的正方体中,由异面直线的定义可知AB与CD异面.故选D.15.下列命题正确的有.(填序号)①若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内;②若直线l与平面α相交,则l与平面α内的任意直线都是异面直线;③若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线平行或异面;④若直线a⊂平面α,平面α∩平面β=b,a∥b,则a∥β.显然是正确的;②中,直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面,所以②是错误的;③中,直线l与平面α没有公共点,所以直线l与平面α内的直线没有公共点,即它们平行或异面,所以③是正确的;因为a∥b,所以a与b无公共点.又因为a⊂α,且α与β的公共点都在直线b上,所以a 与β无公共点,故a与β平行,故④是正确的.16.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的关系,并证明你的结论.∥b,a∥β.证明如下.由α∩γ=a知a⊂α,且a⊂γ,由β∩γ=b知b⊂β,且b⊂γ.∵α∥β,a⊂α,b⊂β,∴a,b无公共点.又∵a⊂γ,且b⊂γ,∴a∥b.∵α∥β,∴α与β无公共点.又a⊂α,∴a与β无公共点,∴a∥β.学科素养创新练17.若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是()A.平面α内的所有直线与a异面B.平面α内不存在与a平行的直线C.平面α内存在唯一的直线与a平行D.平面α内的直线与a都相交a与平面α相交,则平面α内的直线与a可能相交,也可能异面,不可能平行.故选B.18.(多选题)已知a,b是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,则下列说法中正确的是()A.若a∥b,b⊂α,则直线a平行于平面α内的无数条直线B.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线C.若α∥β,a⊂α,则a∥βD.若α∩β=b,a⊂α,则a,b一定相交中,a∥b,b⊂α,则a∥α或a⊂α,所以不管a在平面内还是平面外,结论都成立,故A正确;B中,直线a与b没有交点,所以a与b可能异面,也可能平行,故B错误;C中,直线a与平面β没有公共点,所以α∥β,故C正确;D中,直线a与平面β有可能平行,所以a,b可能相交,也可能平行,故D错误.。

人教版高中数学必修二第二章《点、直线、平面之间位置关系》(内含解析)

人教版高中数学必修二第二章《点、直线、平面之前的位置关系》（内含解析）一、选择题1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是()A．相交 B．异面C．平行 D．不确定【解析】因为l⊥AB，l⊥AC且AB∩AC＝A，所以l⊥平面ABC.同理可证m⊥平面ABC，所以l∥m，故选C.【答案】C2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β【解析】A中，m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中，m，n可能为异面直线；C中，m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．【答案】D3．已知平面α、β和直线m、l，则下列命题中正确的是()A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β【解析】选项A缺少了条件l⊂α；选项B缺少了条件α⊥β；选项C缺少了条件α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件．故选D.【答案】D4．如图2342，P A⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是()图2342A．PD⊥BD B．PD⊥CDC．PB⊥BC D．P A⊥BD【解析】若PD⊥BD，则BD⊥平面P AD，又BA⊥平面P AD，则过平面外一点有两条直线与平面垂直，不成立，故A不正确；因为P A⊥矩形ABCD，所以P A⊥CD，AD⊥CD，所以CD⊥平面P AD，所以PD⊥CD，同理可证PB⊥BC.因为P A⊥矩形ABCD，所以由直线与平面垂直的性质得P A⊥BD.故选A.【答案】A5．如图2343所示，三棱锥P ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面P AC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是()图2343A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点【解析】∵平面P AC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面P AC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面P AC，∴AC⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC.∴∠ACB＝90°.∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．【答案】D二、填空题6．如图239，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是________．图239【解析】∵EA⊥α，CD⊂α，根据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA.同样，∵EB⊥β，CD⊂β，则有EB⊥CD.又EA∩EB＝E，∴CD⊥平面AEB.又∵AB⊂平面AEB，∴CD⊥AB.【答案】CD⊥AB7．如图2310所示，P A ⊥平面ABC ，在△ABC 中，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数有________．图2310【解析】 BC ⊂平面ABC PA ⊥平面ABC ⇒PA ∩AC ＝A AC ⊥BC ⇒BC ⊥平面P AC ⇒BC ⊥PC ，∴直角三角形有△P AB 、△P AC 、△ABC 、△PBC .【答案】 4三、解答题8．如图2311，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .求证：AE ⊥BE .图2311【证明】 ∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE .又AE ⊂平面ABE ，∴AE ⊥BC .∵BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，∴AE ⊥BF .又∵BF ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BF ∩BC ＝B ， ∴AE ⊥平面BCE .又BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE .9．如图2312所示，三棱锥ASBC 中，∠BSC ＝90°，∠ASB ＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求直线AS与平面SBC所成的角．图2312【解】因为∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB与△SAC都是等边三角形．因此AB＝AC.如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，则AD⊥BC.设SA＝a，则在Rt△SBC中，BC＝a，CD＝SD＝22a.在Rt△ADC中，AD＝＝22a.则AD2＋SD2＝SA2，所以AD⊥SD.又BC∩SD＝D，所以AD⊥平面SBC.因此∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角．在Rt△ASD中，SD＝AD＝22a，所以∠ASD＝45°，即直线AS与平面SBC所成的角为45°.10．(2015·淮安高二检测)如图2313，四棱锥SABCD的底面ABCD 为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有________个．图2313①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．【解析】因为SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD.因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD.又BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正确．因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB∥平面SCD，故②正确．因为AD是SA在平面ABCD内的射影，所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD.故③正确．因为AB∥CD，所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，故④正确．【答案】411．如图2314，AB为⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.图2314【证明】(1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.又P A⊥平面ABM，∴P A⊥BM.又∵P A∩AM＝A，∴BM⊥平面P AM.又AN⊂平面P AM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.。

《第二章点、直线、平面之间的位置关系》试卷及答案_高中数学必修2_人教A版

《第二章点、直线、平面之间的位置关系》试卷(答案在后面)一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、在空间直角坐标系中，点A的坐标为（1，2，3），点B的坐标为（4，5，6），则线段AB的中点坐标是：A.（2.5，3.5，4.5）B.（2，3，4）C.（3，4，5）D.（5，6，7）2、在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，3），点B（4，5，6），若直线l通过点A且垂直于向量AB，则直线l的方程可以表示为（）A. x + y + z = 10B. x + 2y + 3z = 10C. x + 2y + 3z = 0D. x - 2y + 3z = 03、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别为棱AB和BB1的中点，点G为棱A1B1的中点，则直线EF和直线CG的位置关系是（）A、平行B、相交C、异面D、垂直4、在三维空间中，若点A（1,2,3），点B（4,5,6），点C（7,8,9）不共线，且直线l同时垂直于直线AB和BC，则直线l的方向向量是（）A. （1,1,1）B. （3,3,3）C. （6,6,6）D. （3,2,1）5、在空间直角坐标系中，若点A的坐标为(1, 2, 3)，点B的坐标为(-2, 1, 0)，则直线AB的方向向量可以表示为：A. (3, -1, 2)B. (1, -2, -3)C. (3, 2, -1)D. (2, 3, 1)6、已知在长方体(ABCD−A1B1C1D1)中，下列哪一组的两条直线是异面直线？A、直线(A1D1)和直线(BC)B、直线(A1B1)和直线(BD)C、直线(AD)和直线(A1B1)D、直线(A1D)和直线(BC1)7、在空间中，已知直线AB和CD不平行，且它们的交点为F，点E既不在直线AB 上，也不在直线CD上。

若点G是直线AB上的一点，点H是直线CD上的一点，且点E、点G、点H三点共面，则下列说法错误的是（）A、直线EF和CH可能互相平行．B、直线EG和CH可能互相垂直．C、直线EF和GH可能互相垂直．D、直线EG和GH可能互相垂直．8、若一条直线与一个平面平行，则该直线与平面内任何直线的关系是：A)平行B)垂直C)异面D)平行或异面二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、下列命题中，正确的是（）。

高中数学第二章《空间点、直线、平面之间的位置关系》练习新人教A版必修2

高中数学第二章《空间点、直线、平面之间的位置关系》练习新人教A版必修2
高一数学必修二第二章《空间点、直线、平面之间的位置关系》练习
一、基础知识（阅读理解填充）
1、公理1
公理2
公理3
公理4（平行的传递性）
公理1是证明的依据，公理2是证明的依据，公理3
是证明的依据，公理4是判断的依据。

2、空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角
3、空间两直线的位置关系有
4、异面直线的定义
5、异面直线所成的角：
①定义
②取值范围
③两条异面直线互相垂直：
6、空间中直线与平面的位置关系有
7、平面与平面的位置关系有
二.基础练习
1、下列命题：①和直线a都相交的两条直线在同一个平面内；②三条两两相交的直线在同一个平面内；③
2、
3、
系是( ).
(A) 相交或平行 (B) 相交或异面 (C) 平行或异面 (D) 相交、平行或异面
6.若P为两条异面直线l,m外的任意一点，则( ).
(A)过点P有且仅有一条直线与l,m都平行(B)过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直
(C)过点P有且仅有一条直线与l,m都相交(D)过点P有且仅有一条直线与l,m都异面
三、典型例题
1、正方体ABCD-A
1B
1
C
1
D
1
中，对角线A
1
C与平面BDC
1
交
于点O，AC、BD交于点M，求证：点C
1
、O、M共线。

变式练习：如图，设E、F、G、H分别是空间四边形ABCD 各边中点，P、Q分别是两条对角线的中点，证EG、FH、PQ三线共点。

高中数学第二章《点、直线、平面之间的位置关系》练习(提高版) 新人教A版必修2

高中数学第二章《点、直线、平面之间的位置关系》练习（提高版）新人教A 版必修2一、选择题（共12小题，每小题 5分，共60分）1．关于空间中点、线、面之间的关系描述正确的是（）A ．若直线a 在平面α外，则α//aB ．若点A 在直线a 上，则a A ∈C ．若直线a 与b 不相交，则b a //D ．若b a ⊥，则a 与b 必相交 2．已知直线a 、b ，且a ∥α，b ⊂α，则（）A ．a ∥bB ．a 与b 相交C ．a 与b 异面D ．a 与b 平行或异面 3．在正方体1111D C B A ABCD -中，与对角线1BD 异面的棱有（）条 A ． 3 B ． 4 C ． 6 D ． 8 4．直线⊥a 平面α，直线a b ⊥，则b 和α的位置关系是（）A ．α⊥bB ．b ∥αC ．α⊂bD ．b ∥α或α⊂b 5．已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（） A ．βαβα⊂⊂n m ,,//n m //⇒ B ．αα//,//n m n m //⇒ C ．n m m =⊂βαβα ,,//n m //⇒ D ．αα⊂n m ,//n m //⇒6．三棱锥A —BCD 的棱长全相等, E 是AD 中点, 则直线CE 与直线BD 所成角的余弦值为（）A ．63B.23 C ．633 D ．217．如果正四棱锥的侧面积等于底面积的2倍，则侧面与底面所成的角等于（） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°8．如下图，⊥PD 矩形ABCD 所在的平面，图中相互垂直的平面有（）对A ．2B ．3C ．4D ．59．下列推断错误的是（）A ．一条直线与两个平行平面所成的角相等B ．两个平行平面与第三个平面所成的角相等C ．两条平行直线与同一个平面所成的角相等DABCPD ．两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 10．如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中： ①BM ∥平面DE ②CN ∥AF③ED 与AF 成的角为60 ④平面BMD ∥平面AFN其中正确的序号是（）A ．①④B ．①②④C ．①③④D ．①②③④ 11．已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，在下列命题中正确的是（）①m l ⊥⇒βα// ②m l //⇒⊥βα ③βα⊥⇒m l // ④βα//⇒⊥m l A ．①② B ．③④ C ．②④ D ．①③ 在空间四边形ABCD 中，CD AB =，且异面直线AB 与CD 所成的角为60，E 、F 分别为边BC 和AD 的中点，则异面直线EF 和AB 所成的角为 ( )A ． 30B ． 45C ． 60D ． 30或60填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13．如图长方体中，32==AD AB ，21=CC ，则二面角C BD C --1的大小为． 14．α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①n m ⊥ ②βα⊥ ③β⊥m ④α⊥n . 以其中三个作为条件，余下一个作为结论，请写出正确的一个命题：______________________________.15．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，AD ∥BC ， 90BAD ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，且AB AD PA ==， M 、N 分别为PC 、PB 的中点，则直线BD 与平面ADMN 所成的角为_______.16．以下是关于直线、平面的平行与垂直关系推断：①若b a ⊥，且c a //，则c b ⊥ ②若b a ⊥，且b c ⊥，则c a // ③若βα⊥，且βγ⊥，则γα// ④若α⊥a ，且β⊂a ，则βα⊥ 其中不对的有．（只填序号）DA BCEFGA BCDA1B1C1 D1NM PDCBA 三、解答题（共6小题，其中第17小题10分，其他各题12分，共70分）17．( 10分) 在正方体1111D C B A ABCD -中，且O 为底面正方形1111D C B A 的中心．（1）求证：⊥C A 1平面BD C 1； (2 ) 求证：AO ∥平面BD C 1．18．(12分) 已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 是PC 的中点，在DE 上任取一点F ，过点F 和AP 作平面交平面BDE 于FG , 求证：GF AP //.19．(12分) 如图，PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.（1）求证：//MN 平面PAD ；（2）求证：MN CD ⊥；（3）若4PDA π∠=，求证：MN ⊥平面PCD C20．( 12分) 如图，已知△ABC 是正三角形，EA 、CD 都垂直于平面ABC ，且 DC AB EA ==,F 是BE 的中点. (1)求证：//FD 平面ABC ； (2)求证：⊥AF 平面EDB ．1D 1C 1B 1A D CBAo21．（12分）如图，O 是正方形ABCD 的中心，⊥PO 底面ABCD ，E 是PC 的中点，且2=PO ，2=AB ．（1）求证：//PA 平面BDE ；（2）求证：平面⊥PAC 平面BDE ；（3）求二面角A BD E --的大小．22．（12分）如图，在矩形ABCD 中，33=AB ，3=BC ，沿对角线BD 将BCD ∆折起，使点C移到P 点，且P 在平面ABD 上的射影O 恰好落在AB 上. （1）求证：⊥PB 平面PAD ；（2）求证：平面PAD ⊥平面PBD ；（3）求点A 到平面PBD 的距离；（4）求直线AB 与平面PBD 所成角的正弦值．A B()P C DOAB CD。

新课标数学(人教A版)必修2 第二章《点、直线、平面之间的位置关系》练习题

新课标数学（人教A 版）必修2第二章《点、直线、平面之间的位置关系》练习题一、选择题1．【陕西·理】已知平面α外不共线的三点,,A B C 到α的距离都相等,则正确的结论是A. 平面ABC 必平行于αB. 平面ABC 必与α相交C. 平面ABC 必不垂直于αD. 存在ABC ∆的一条中位线平行于α或在α内 2．【上海·理】若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（A ）充分非必要条件；（B ）必要非充分条件；（C ）充要条件；（D ）非充分非必要条件． 3．【上海·文】如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。

在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（A ）48 （B ）18 （C ）24 （D ）36 4．【四川·理】已知二面角l αβ--的大小为060，m n 、为异面直线，且m n αβ⊥⊥，，则m n 、所成的角为（A ）030 （B ）060 （C ）090 （D ）0120 5．【四川·理】已知球O 半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，A 、B 两点和A 、C两点的球面距离都是4π，B 、C 两点的球面距离是3π，则二面角B C OA --的大小是（A ）4π （B ）3π （C ）2π（D ）23π 7．【天津·理】设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是A ．βαβα⊥⇒⊥⊂⊥n m n m ,, B ．n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,// C ．n m n m ⊥⇒⊥⊥βαβα//,, D ．ββαβα⊥⇒⊥=⊥n m n m ,,I8．【北京·文】设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．的是 A ．AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若AB =AC ，DB =DC ，则AD =BC D ．若AB =AC ，DB =DC ，则AD ⊥BC9．【天津·文】若l 为一条直线，αβγ，，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①αγβγαβ⊥⊥⇒⊥，；②αγβγαβ⊥⇒⊥，∥；③l l αβαβ⊥⇒⊥，∥．其中正确的命题有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．【浙江·理】如图，O 是半径为1的球心，点A 、B 、C 在球面上，OA 、OB 、OC 两两垂直，E 、F 分别是大圆弧»AB 与»AC 的中点，则点E 、F 在该球面上的球面距离是（A ）4π （B ）3π （C ）2π（D ）24π11．【浙江·文】如图，正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都为2，E F 、分别为AB 、A 1C 1的中点，则EF的长是（A ）2 （B ）3 （C ）5 （D ）712．【重庆·文】若P 是平面α外一点，则下列命题正确的是（A ）过P 只能作一条直线与平面α相交（B ）过P 可作无数条直线与平面α垂直（C ）过P 只能作一条直线与平面α平行（D ）过P 可作无数条直线与平面α平行 13．【重庆·理】对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l（A ）平行（B ）相交（C ）垂直（D ）互为异面直线 14．【福建·理】对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是（A ）若,,m m n α⊥⊥则n α∥ （B ）若m αα∥,n ∥,则m ∥n（C ）若,m n αα⊂∥,则m ∥n （D ）若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n 15．【湖北·理】关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题：① 若//m α，//n β且//αβ，则//m n ； ② 若m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③ 若m α⊥，//n β且//αβ，则m n ⊥； ④ 若//m α，n β⊥且αβ⊥，则//m n 。

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