最新浙教版九年级数学上册《二次函数的应用》同步练习题及解析-精编试题.docx

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最新浙教版九年级数学上册《二次函数》单元测试题及解析-精编试题.docx

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第1章自我评价一、选择题(每小题2分,共20分)1.若函数y =(2-m)xm 2-3是二次函数,且图象的开口向上,则m 的值为(B)A.± 5B.- 5C. 5D.02.若抛物线y =x 2+2x +m -1与x 轴有两个不同的交点,则m 的取值范围是(A) A. m <2 B. m >2 C. 0<m ≤2 D. m <-23.在二次函数y =x 2-2x -3中,当0≤x ≤3时,y 的最大值和最小值分别是(A) A. 0,-4 B. 0,-3 C. -3,-4 D. 0,04.对于二次函数y =-14x 2+x -4,下列说法正确的是(B)A. 当x >0时,y 随x 的增大而增大B. 当x =2时,y 有最大值-3C. 图象的顶点坐标为(-2,-7)D. 图象与x 轴有两个交点(第5题)5.已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示.若y<0,则x的取值范围是(B)A. -1<x<4B. -1<x<3C. x<-1或x>4D. x<-1或x>36.在平面直角坐标系中,某二次函数图象的顶点坐标为(2,-1),此函数图象与x 轴相交于P,Q两点,且PQ=6.若此函数图象通过(1,a),(3,b),(-1,c),(-3,d)四点,则a,b,c,d中为正数的是(D)A. aB. bC. cD. d(第7题)7.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则|a-b+c|+|2a+b|=(D)A. a +bB. a -2bC. a -bD. 3a【解】 观察图象可知: 图象过原点,c =0; 抛物线开口向上,a >0;抛物线的对称轴0<-b2a<1,-2a <b <0.∴|a -b +c|=a -b ,|2a +b|=2a +b , ∴|a -b +c|+|2a +b|=a -b +2a +b =3a.8.已知抛物线y =x 2+bx +c(其中b ,c 是常数)过点A(2,6),且抛物线的对称轴与线段y =0(1≤x ≤3)有交点,则c 的值不可能是(A)A. 4B. 6C. 8D. 10【解】 ∵抛物线y =x 2+bx +c(其中b ,c 是常数)过点A(2,6),且抛物线的对称轴与线段y =0(1≤x ≤3)有交点,∴⎩⎪⎨⎪⎧4+2b +c =6,1≤-b 2×1≤3,解得6≤c ≤14.9.定义:若点P(a ,b)在函数y =1x的图象上,将以a 为二次项系数,b 为一次项系数构造的二次函数y =ax 2+bx 称为函数y =1x 的一个“派生函数”.例如:点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2,12在函数y =1x 的图象上,则函数y =2x 2+12x 称为函数y =1x 的一个“派生函数”.现给出以下两个命题:(1)存在函数y =1x的一个“派生函数”,其图象的对称轴在y 轴的右侧.(2)函数y =1x的所有“派生函数”的图象都经过同一点.下列判断正确的是(C)A. 命题(1)与命题(2)都是真命题B. 命题(1)与命题(2)都是假命题C. 命题(1)是假命题,命题(2)是真命题D. 命题(1)是真命题,命题(2)是假命题 【解】 (1)∵点P(a ,b)在y =1x上,∴a ,b 同号,∴-b2a<0,即对称轴在y 轴的左侧,∴存在函数y =1x的一个“派生函数”,其图象的对称轴在y 轴的右侧是假命题.(2)∵函数y =1x的所有“派生函数”为y =ax 2+bx ,∴当x =0时,y =0,∴所有“派生函数”都经过原点,∴函数y =1x的所有“派生函数”的图象都经过同一点是真命题.10.已知二次函数y =x 2+bx +c ,当x ≤1时,总有y ≥0;当1≤x ≤3时,总有y ≤0,则c 的取值范围是(B)A. c =3B. c ≥3C. 1≤c ≤3D. c ≤3(第10题解)【解】 ∵当x ≤1时,y ≥0;当1≤x ≤3时,y ≤0, ∴当x =1时,y =0.设y =x 2+bx +c =(x -1)(x -c). ∵当1≤x ≤3时,y ≤0, ∴得草图如解图. ∴c ≥3.二、填空题(每小题3分,共30分)11.抛物线y =(x +1)2-2的顶点坐标是(-1,-2).12.写出一个二次函数的表达式,使其图象的顶点恰好在直线y =x +2上,且开口向下,则这个二次函数的表达式可写为y =-x 2+2(答案不唯一).13.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,有下列结论:①abc>0;②a-b +c<0;③2a =b ;④4a +2b +c>0;⑤若点(-2,y 1)和⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-13,y 2在该图象上,则y 1>y 2.其中正确的结论是②④(填序号).(第13题)14.如图,已知点D(0,1),抛物线y =-x 2+2x +3与y 轴交于点C ,P 是抛物线上的动点.若△PCD 是以CD 为底的等腰三角形,则点P 的坐标为(1±2,2).(第14题)15.如图是二次函数y 1=ax 2+bx +c 和一次函数y 2=mx +n 的图象,观察图象,写出当y 2≥y 1时x 的取值范围:-2≤x ≤1.(第15题)16.抛物线y =ax 2+bx +c 上部分点的横坐标x ,纵坐标y 的对应值如下表: x ... -2 -1 0 1 2 ... y 046 6 4 …从上表可知,下列说法中,正确的是①③④(填序号).①此抛物线与x 轴的一个交点为(3,0);②此函数的最大值为6;③此抛物线的对称轴是直线x =12;④在对称轴左侧,y 随x 的增大而增大.17.若将二次函数y =x 2+kx -12的图象向右平移4个单位后经过原点,则k 的值是__1__.(第18题)18.如图,在平面直角坐标系中,点A 在抛物线y =x 2-2x +2上运动.过点A 作AC ⊥x 轴于点C ,以AC 为对角线作矩形ABCD ,连结BD ,则对角线BD 的最小值为__1__.19.已知二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)和正比例函数y =23x 的图象如图所示,则方程ax 2+⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b -23x +c =0(a ≠0)的两根之和__>__0(填“>”“<”或“=”).(第19题)【解】 方程ax 2+⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b -23x +c =0可化为ax 2+bx +c =23x ,故该方程的两根即为y =ax 2+bx +c与y =23x 的图象的交点的横坐标,由图象可知两根之和大于0.20.已知关于x 的一元二次方程ax 2-3x -1=0的两个不相等的实数根都在-1和0之间(不包括-1和0),则a 的取值范围是-94<a<-2.【解】 ∵关于x 的一元二次方程ax 2-3x -1=0有两个不相等的实数根, ∴Δ=(-3)2-4·a ·(-1)>0, 解得a>-94.设二次函数y =ax 2-3x -1,当x =0时,y =-1.∵一元二次方程ax 2-3x -1=0的两个实数根都在-1和0之间, ∴易得a<0,且当x =-1时,y<0.∴a ·(-1)2-3×(-1)-1<0,解得a<-2. 综上所述,a 的取值范围是-94<a<-2.三、解答题(共50分)21.(8分)已知以x 为自变量的二次函数y =-x 2+2x +m -1的图象与y 轴交于点(0,3).(1)求出m 的值并画出这个抛物线.(2)求出它与x 轴的交点坐标和抛物线的顶点坐标. (3)当x 取什么值时,抛物线在x 轴上方? (4)当x 取什么值时,y 随x 的增大而减小?(第21题解)【解】 (1)∵抛物线y =-x 2+2x +m -1与y 轴交于点(0,3),∴m -1=3, ∴m =4.图象如解图所示.(2)令y =0,则-x 2+2x +3=0,解得x 1=-1,x 2=3. ∴与x 轴的交点坐标为(-1,0),(3,0). ∵y =-x 2+2x +3=-(x -1)2+4,∴顶点坐标为(1,4).(3)当-1<x<3时,抛物线在x轴上方.(4)当x≥1时,y随x的增大而减小.(第22题)22.(6分)如图,正方形ABCD是一张边长为12 cm的皮革.皮雕师傅想在此皮革两相邻的角落分别切下△PDQ与△PCR后得到一个五边形PQABR,其中PD=2DQ,PC=RC,且P,Q,R三点分别在CD,AD,BC上.(1)当皮雕师傅切下△PDQ时,若DQ的长为x(cm),请用含x的式子表示此时△PDQ 的面积.(2)在(1)的条件下,当x的值为多少时,五边形PQABR的面积最大?【解】(1)设DQ=x(cm),则PD=2DQ=2x(cm),∴S△PDQ=12x·2x=x2(cm2).(2)∵PD=2x(cm),CD=12 cm,∴CR=PC=(12-2x)cm,∴S五边形PQABR=S正方形ABCD-S△PDQ-S△PCR=122-x 2-12(12-2x)2 =144-x 2-12(144-48x +4x 2) =-3(x -4)2+120,故当x =4时,五边形PQABR 的面积最大.(第23题)23.(6分)如图,正方形OABC 的边长为4,对角线OB ,AC 相交于点P ,抛物线L 经过O ,P ,A 三点,E 是正方形内的抛物线上的动点.(1)建立适当的平面直角坐标系,①直接写出O ,P ,A 三点的坐标.②求抛物线L 的函数表达式.(2)求△OAE 与△OCE 面积之和的最大值.(第23题解)【解】 (1)以O 为原点,线段OA 所在的直线为x 轴,线段OC 所在的直线为y 轴建立直角坐标系,如解图所示.①∵正方形OABC 的边长为4,对角线OB ,AC 相交于点P ,∴点O 的坐标为(0,0),点A 的坐标为(4,0),点P 的坐标为(2,2).②设抛物线L 的函数表达式为y =ax 2+bx +c.∵抛物线L 经过O ,P ,A 三点,∴⎩⎪⎨⎪⎧0=c ,0=16a +4b +c ,2=4a +2b +c ,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-12,b =2,c =0. ∴抛物线L 的函数表达式为y =-12x 2+2x. (2)∵E 是正方形内的抛物线上的动点,∴可设点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m ,-12m 2+2m (0<m <4), ∴S △OAE +S OCE =12OA ·y E +12OC ·x E =2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-12m 2+2m +2m =-m 2+6m =-(m -3)2+9,∴当m =3时,△OAE 与△OCE 的面积之和最大,最大值为9.24.(8分)王大伯决定销售一批风筝,经市场调研:蝙蝠形风筝进价为10元/个,当售价为12元/个时,销售量为180个,若售价每提高1元,销售量就会减少10个.请回答以下问题:(1)求蝙蝠形风筝销售量y(个)与售价x(元/个)之间的函数表达式(12≤x≤30).(2)王大伯为了让利给顾客,并同时获得840元的利润,售价应定为多少?(3)当售价定为多少时,王大伯获得的利润最大,最大利润是多少?【解】(1)根据题意可知:y=180-10(x-12)=-10x+300(12≤x≤30).(2)设王大伯获得的利润为W,则W=(x-10)y=-10x2+400x-3000.当W=840时,-10x2+400x-3000=840,解得x1=16,x2=24.∵王大伯为了让利给顾客,∴售价应定为16元.(3)W=-10x2+400x-3000=-10(x-20)2+1000,∴当x=20时,W取最大值,最大值为1000.答:当售价定为20元时,王大伯获得的利润最大,最大利润是1000元.25.(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,A,B,C分别为坐标轴上的三个点,且OA=1,OB=3,OC=4.(第25题)(1)求经过A ,B ,C 三点的抛物线的函数表达式.(2)在平面直角坐标系xOy 中是否存在一点P ,使得以A ,B ,C ,P 为顶点的四边形为菱形?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.(3)若M 为该抛物线上一动点,在(2)的条件下,请求出当|PM -AM|的最大值时点M 的坐标,并直接写出|PM -AM|的最大值.【解】 (1)设抛物线的函数表达式为y =ax 2+bx +c.由题意,得点A(1,0),B(0,3),C(-4,0),∴⎩⎪⎨⎪⎧a +b +c =0,c =3,16a -4b +c =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-34,b =-94,c =3. ∴经过A ,B ,C 三点的抛物线的函数表达式为y =-34x 2-94x +3.(第25题解)(2)在平面直角坐标系xOy 中存在一点P ,使得以点A ,B ,C ,P 为顶点的四边形为菱形.理由如下:∵OB =3,OC =4,OA =1,∴BC =AC =5.如解图,当点P 在点B 的右侧,且BP 平行且等于AC 时,四边形ACBP 为菱形, 此时BP =AC =5,且点P 到x 轴的距离等于OB ,∴点P 的坐标为(5,3).当点P 在第二、三象限时,以点A ,B ,C ,P 为顶点的四边形只能是平行四边形,不可能是菱形,则当点P 的坐标为(5,3)时,以点A ,B ,C ,P 为顶点的四边形为菱形.(3)设直线PA 的函数表达式为y =kx +b(k ≠0).∵点A(1,0),P(5,3),∴⎩⎪⎨⎪⎧5k +b =3,k +b =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =34,b =-34,∴直线PA 的函数表达式为y =34x -34. 当点M 与点P ,A 不在同一直线上时,根据三角形的三边关系可知|PM -AM|<PA , 当点M 与点P ,A 在同一直线上时,|PM -AM|=PA ,∴当点M 与点P ,A 在同一直线上时,|PM -AM|的值最大,即M 为直线PA 与抛物线的交点,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =34x -34,y =-34x 2-94x +3, 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1=1,y 1=0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2=-5,y 2=-92. ∴当点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-5,-92时,|PM -AM|的值最大,此时|PM -AM|的最大值为5.(第26题)26.(12分)如图,在平面直角坐标系中,直线y =-2x +10与x 轴,y 轴相交于A ,B 两点,点C 的坐标是(8,4),连结AC ,BC.(1)求过O ,A ,C 三点的抛物线的函数表达式,并判断△ABC 的形状.(2)动点P 从点O 出发,沿OB 以每秒2个单位的速度向点B 运动;同时,动点Q 从点B 出发,沿BC 以每秒1个单位的速度向点C 运动.规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t(s),当t 为何值时,PA =QA?(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M ,使以A ,B ,M 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.【解】 (1)∵直线y =-2x +10与x 轴,y 轴相交于A ,B 两点,∴点A(5,0),B(0,10).∵抛物线过原点,∴可设抛物线的函数表达式为y =ax 2+bx.∵抛物线过点A(5,0),C(8,4),∴⎩⎪⎨⎪⎧25a +5b =0,64a +8b =4,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =16,b =-56.∴抛物线的函数表达式为y =16x 2-56x. ∵点A(5,0),B(0,10),C(8,4),∴AB 2=52+102=125,BC 2=82+(10-4)2=100,AC 2=(8-5)2+42=25, ∴AC 2+BC 2=AB 2,∴△ABC 是直角三角形.(第26题解)(2)如解图,当点P ,Q 运动t(s)时,OP =2t ,CQ =10-t. 由(1)可得AC =OA =5,∠ACQ =∠AOP =90°, 又∵PA =QA ,∴Rt △AOP ≌Rt △ACQ(HL),∴OP =CQ ,∴2t =10-t ,∴t =103, 即当t =103时,PA =QA. (3)存在.∵y =16x 2-56x =16⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x -522-2524, ∴抛物线的对称轴为直线x =52. ∵点A(5,0),B(0,10),∴AB =5 5.设点M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52,m , ①当BM =BA 时,⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫522+(m -10)2=125, ∴m 1=20+5 192,m 2=20-5 192, ∴点M 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52,20+5 192,M 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52,20-5 192. ②当AM =AB 时,⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52-52+m 2=125, ∴m 3=5 192,m 4=-5 192,∴点M 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52, 5192,M 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52,- 5 192. ③当MA =MB 时,⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52-52+m 2=⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫522+(m -10)2, ∴m =5.∵此时点M 恰好是线段AB 的中点,构不成三角形,故舍去.综上所述,点M 的坐标为M 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52,20+5 192,M 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52,20-5 192,M 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52,5 192,M 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52,- 5 192.。

最新版2019-2020年浙教版九年级数学上册:二次函数的性质同步导学练及答案-精编试题

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1.3 二次函数的性质对于二次函数y=ax 2+bx+c ,a>0时,当x ≤-a b 2时,y 随x 的增大而减小,当x ≥-ab 2时,y 随x 的增大而增大,当x=-a b 2时,y 有最小值a b ac 442-;a<0时,当x ≤-ab 2 时,y 随x 的增大而增大,当x ≥-a b 2时,y 随x 的增大而减小,当x=-ab 2时,y 有最大值ab ac 442-.1.抛物线y=2x 2,y=-2x 2,y=21x 2共有的性质是(B). A.开口向下B.对称轴都是y 轴C.都有最低点D.y 随x 的增大而减小2.二次函数y=2x 2-x-1的顶点坐标是(C).A.(0,-1)B.(2,-1)C.(41,-89)D.(-41,89) 3.由二次函数y=6(x-2)2+1,可知(C).A.图象的开口向下B.图象的对称轴为直线x=-2C.函数的最小值为1D.当x <2时,y 随x 的增大而增大4.已知函数y=ax 2-2ax-1(a 是常数,a≠0),下列结论中,正确的是(D).A.当a=1时,函数图象过点(-1,1)B.当a=-2时,函数图象与x 轴没有交点C.若a >0,则当x ≥1时,y 随x 的增大而减小D.若a <0,则当x ≤1时,y 随x 的增大而增大5.如果抛物线y=21x 2+(m-3)x-m+2的对称轴是y 轴,那么m 的值是 3 . 6.已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x 2+bx+c 上两点,该抛物线的顶点坐标是 (1,4) .7.已知点A(2,m)与B(n ,4)关于抛物线y=x 2+6x 的对称轴对称,那么m+n 的值为 -4 .(第8题)8.如图所示,已知抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为直线x=1,点A ,B 均在抛物线上,且AB 与x 轴平行,若点A 的坐标为(0,23),则点B 的坐标为(2,23) . 9.已知抛物线y=x 2-x-1.(1)求该抛物线的顶点坐标、对称轴.(2)抛物线y=x 2-x-1与x 轴的交点为(m ,0),求代数式m 2+21m 的值. 【答案】(1)y=x 2-x-1=x 2-x+41-1-41=(x-21)2-45. 抛物线顶点坐标是(21,-45),对称轴是直线x=12. (2)把(m,0)代入得m 2-m -1=0,∴m-m 1=1.∴m 2+21m =(m -m 1)2+2=3.(第10题)10.如图所示,已知抛物线y=-x 2+mx+3与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,点B 的坐标为(3,0),抛物线与直线y=-23x+3交于C ,D 两点,连结BD ,AD. (1)求m 的值.(2)抛物线上有一点P ,满足S △ABP =4S △ABD ,求点P 的坐标.【答案】(1)∵抛物线y=-x 2+mx+3过点B(3,0),∴0=-9+3m+3,解得m=2. (2)由⎪⎩⎪⎨⎧+-=++-=323322x y x x y 得⎩⎨⎧==3011y x ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==492722y x .∴D (27,-49).∵S △ABP =4S △ABD ,∴21AB×|y P |=4×21AB×49.∴|y P |=9,y P =±9. 当y=9时,-x 2+2x+3=9,此方程无实数解;当y=-9时,-x 2+2x+3=-9,x 1=1+13,x 2=1-13, ∴P(1+13,-9)或P(1-13,-9).11.已知二次函数y=2x 2-9x-34,当自变量x 取两个不同的值x 1,x 2时,函数值相等,则当自变量x 取x 1+x 2时的函数值应当与(B)时的函数值相等. A.x=1B.x=0C.x=41D.x=49(第12题)12.如图所示,抛物线y1=a(x+2)2-3与y2=21 (x-3)2+1交于点A(1,3),过点A 作x 轴的平行线,分别交两条抛物线于点B ,C.给出下列①无论x 取何值,y 2的值总是正数;②a=1; ③当x=0时,y 2-y 1=4;④2AB=3AC.其中正确的结论是(D).A.①②B.②③C.③④D.①④13.已知二次函数y=ax 2-(a+1)x-2,当x >1时,y 随x 的增大而增大,当x <1时,y 随x 的增大而减小,则实数a 的值为 1 .(第14题)14.如图所示,在平面直角坐标系中,菱形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上,顶点C 的坐标为(4,3),D 是抛物线y=-x 2+6x 上一点,且在x 轴上方,则△BCD 面积的最大值为 15 .(第15题)15.如图所示,在平面直角坐标系中,已知直线y=-21x+4与y 轴交于点A ,与x 轴交于点B ,点C 的坐标为(-2,0).(1)求经过A ,B ,C 三点的抛物线的函数表达式.(2)如果M 为抛物线的顶点,连结AM ,BM ,求四边形AOBM 的面积.【答案】(1)当x=0时,y=-21x+4=4,则A(0,4),当y=0时,-21x+4=0,解得x=8,则B(8,0).设抛物线的函数表达式为y=a(x+2)(x-8),把A(0,4)代入,得a·2·(-8)=4,解得a=-41. ∴抛物线的函数表达式为y=-41 (x+2)(x-8),即y=-41x 2+23x+4.(第15题答图)(2)∵y=-41x 2+23x+4=-41 (x-3)2+425,∴M (3,425). 如答图所示,作MD⊥x 轴于点D.S 四边形AOBM =S 梯形AODM +S △BDM =21×(4+425)×3+21×(8-3)×425=31. 16.如图所示,二次函数y=21x 2+bx+c 的图象交x 轴于A ,D 两点,并经过点B ,若点A 的坐标是(2,0),点B 的坐标是(8,6).(第16题)(1)求该二次函数的表达式.(2)求函数图象的顶点坐标及点D 的坐标.(3)该二次函数的对称轴交x 轴于点C.连结BC ,并延长BC 交抛物线于点E ,连结BD ,DE ,求△BDE 的面积. 【答案】(1)∵y=21x 2+bx+c 的图象过点A (2,0),B (8,6),∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++⨯=++⨯68821222122c b c b ,解得⎩⎨⎧=-=64c b .∴二次函数表达式为y=21x 2-4x+6. (2)y=21x 2-4x+6=21(x-4)2-2,∴函数图象的顶点坐标为(4,-2).∵点A ,D 是y=21x 2+bx+c 与x 轴的两个交点,点A 的坐标为(2,0),对称轴为直线x=4,∴点D 的坐标为(6,0).(3)由题意得点C 的坐标为(4,0).设BC 所在直线的函数表达式为y=kx+b.∴⎩⎨⎧=+=+6804b k b k ,解得.∴BC 所在直线的函数表达式为y=23x-6.∵点E 是y=23x-6与y=21x 2-4x+6的交点,∴23x-6=21x 2-4x+6,解得x 1=3,x 2=8(舍去).当x=3时,y=-23,∴点E 的坐标为(3,-23).∴S △BDE =S=S △CDB +S △CDE =21×2×6+21×2×23=215.17.【株洲】已知二次函数y=ax 2+bx+c(a >0)的图象经过点A(-1,2),B(2,5),顶点坐标为(m ,n),则下列说法中,错误的是(B).A.c <3B.m ≤21C.n ≤2D.b <1(第18题)18.【泰州】二次函数y=x 2-2x-3的图象如图所示,若线段AB 在x 轴上,且AB 为23个单位,以AB 为边作等边△ABC ,使点C 落在该函数y 轴右侧的图象上,则点C 的坐标为(2,-3)或(1+7,3) .19.【江西】已知抛物线C1:y=ax 2-4ax-5(a >0).(1)当a=1时,求抛物线与x 轴的交点坐标及对称轴.(2)①试说明无论a 为何值,抛物线C 1一定经过两个定点,并求出这两个定点的坐标. ②将抛物线C 1沿这两个定点所在的直线翻折,得到抛物线C 2,直接写出C 2的函数表达式.(3)若(2)中抛物线C 2的顶点到x 轴的距离为2,求a 的值.(第19题)【答案】(1)当a=1时,抛物线的函数表达式为y=x 2-4x-5=(x-2)2-9,∴对称轴为直线x=2.∴当y=0时,x 2-4x-5=0,解得x=-1或x=5.∴抛物线与x 轴的交点坐标为(-1,0)或(5,0).(2)①抛物线C1的表达式为y=ax 2-4ax-5,整理得y=ax(x-4)-5.∵当ax(x-4)=0时,y=-5, ∴抛物线C 1一定经过两个定点(0,-5),(4,-5).②这两个点的连线为直线y=-5,将抛物线C 1沿直线y=-5翻折,得到抛物线C 2,开口方向变了,但是对称轴没变,∴抛物线C2的表达式为y=-ax 2+4ax-5.(3)抛物线C 2的顶点到x 轴的距离为2,则x=2时,y=2或-2;当y=2时,2=-4a+8a-5,解得a=47;当y=-2时,-2=-4a+8a-5,解得a=43,∴a=47或43.20.如图所示,抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为点M(-2,-4),它与x 轴交于A ,B 两点,且点A 的坐标为(-6,0),与y 轴交于点C .(1)求该抛物线的二次函数表达式.(2)求△ABC 的面积.(3)抛物线第三象限的图象上是否存在一点P ,使△APC 的面积最大?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.(第20题)【答案】(1)设此抛物线的函数表达式为y=a (x+2)2-4.∵函数图象经过点A (-6,0),∴0=a (-6+2)2-4,解得a=41.∴此抛物线的函数表达式为y=41(x+2)2-4,即y=41x 2+x-3. (2)∵点C 是函数y=41x 2+x-3的图象与y 轴的交点,∴点C 的坐标是(0,-3).当y=0时,41x 2+x-3=0,解得x 1=-6,x 2=2.∴点B 的坐标是(2,0).∴S △ABC =21|AB|·|OC|=21×8×3=12.(3)假设存在这样的点,如答图所示,过点P 作PE⊥x 轴于点E ,交AC 于点F.(第20题答图)设E (x ,0),则P(x ,41x 2+x-3).设直线AC 的函数表达式为y=kx+b.∵直线AC 过点A (-6,0),C (0,-3),∴⎩⎨⎧-==+-306b b k ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=321b k .∴直线AC 的函数表达式为y=-21x-3.∴点F 的坐标为(x ,-21x-3).∴|PF|=-21x-3-(41x 2+x-3)=-41x 2-23x.∴S △APC =S △APF +S △CPF =21|PF|·|AE|+21|PF|·|OE|=21|PF|·|OA|=21×-(41x 2-23x)×6=-43x 2-29x=-43(x+3)2+427.∴当x=-3时,S △APC 有最大值427,此时点P 的坐标是(-3,-415).。

九年级数学上册 1.4 二次函数的应用(第1课时)同步测试 (新版)浙教版

九年级数学上册 1.4 二次函数的应用(第1课时)同步测试 (新版)浙教版

1.4 二次函数的应用(第1课时)二次函数应用的一般步骤是:(1)设,设好x,y;(2)列,列出二次函数的解析式,并确定自变量的取值范围;(3)求,在自变量的取值范围内.........求出二次函数的最大值或最小值;(4)答.A组基础训练1.如图是二次函数y=-(x-3)2+4的图象,当-1≤x≤4时,该函数( )第1题图A.有最大值,最小值分别是3,0B.只有最大值是4,无最小值C.有最小值是-12,最大值是3D.有最小值是-12,最大值是42.用长6m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框,设AB宽为xm,则窗框的高AD为________m(用含x的代数式表示).第2题图3.如图,小李在推铅球,如果铅球运行时离地面的高度y(m)关于水平距离x(m)的二次函数表达式为y =-18x 2+12x +32,那么铅球运动过程中最高点距地面的距离为________米.第3题图4.将一条长为20cm 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,则这两个正方形面积之和的最小值是________cm 2.5.求下列二次函数的最大值或最小值. (1)y =x 2+4x -5; (2)y =-2x 2+2x -1; (3)y =3(x -1)(5-x ).6.王师傅想在一块直角三角形余料中挖取一块最大矩形材料做其他用途,其图形和数据如图,请你计算王师傅所取得最大矩形材料的面积.第6题图7.一条隧道的截面如图,它的上部是一个以AD 为直径的半圆O ,下部是一个矩形ABCD. (1)当AD =4m 时,求隧道截面上部半圆O 的面积;(2)已知矩形ABCD 相邻两边之和为8m ,半圆O 的半径为rm.①求隧道截面的面积S (m 2)关于半径r (m )的函数解析式(不要求写出r 的取值范围); ②当r 取何值时,隧道截面面积S 的值最大?第7题图8.(绍兴中考)有一个窗户形状如图1,上部由两个正方形组成的矩形,下部是一个矩形.如果制作窗框的材料总长为6m ,利用图2,解答下列问题:(1)若AB 为1m ,求此时窗户的透光面积;(2)如何设计这个窗户,使透光面积最大?请通过计算说明 .第8题图B组自主提高9.如图,有长为24m的篱笆,一面利用墙(墙的最大可利用长度为10m),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,且在BC上各开宽1m的门.设花圃宽AB长为x,则BC的长为____________(用含x的代数式表示).第9题图10.如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,点P从点A开始沿AB以1cm/s的速度向点B移动,点Q从点B开始沿BC以2cm/s的速度向点C移动,若点P,Q分别从点A,B 同时出发,设移动的时间为t(4≥t>0),△DPQ的面积为S,求S关于t的函数解析式,并求出S的最小值.第10题图11.如图,某公路隧道横截面为抛物线,其最大高度为6米,底部宽度OM为12米.现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立直角坐标系.(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标;(2)求这条抛物线的解析式;(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB,使C、D点在抛物线上,A、B点在地面OM上,则这个“支撑架”总长的最大值是多少?第11题图 C 组 综合运用12.如图,在△ABC 中,∠A =90°,∠C =30°,AB =1,两个动点P ,Q 同时从点A 出发,但点P 沿AC 运动,点Q 沿AB ,BC 运动,两点同时到达点C.(1)点Q 的速度是点P 的速度的多少倍?(2)设AP =x ,△APQ 的面积为y ,当点Q 在BC 上运动时,用x 表示y ,写出x 的取值范围,并求出y 的最大值.第12题图 参考答案1.4 二次函数的应用(第1课时)【课时训练】 1.D 2.⎝ ⎛⎭⎪⎫3-32x 3.2 4.12.55.(1)最小值-9; (2)最大值-34; (3)最大值12.6.34m 2,这时CE =32m ,CF =12m . 7.(1)S半圆=2πm 2; (2)①∵AD =2r ,AD +CD =8,∴CD =8-AD =8-2r ,∴S =12πr2+AD ·CD =12πr 2+2r(8-2r)=⎝ ⎛⎭⎪⎫12π-4r 2+16r ; ②∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12π-4<0,∴r = 168-π时隧道截面面积S 的值最大.8.(1)因为AB =1,小正方形的边长为12AB ,所以AD =(6-1-1-1-0.5)÷2=1.25.故此时窗户的透光面积为1×1.25=1.25m 2. (2)设AB =x ,则FD =0.5x ,AD =6-3.5x 2,因为AD>FD ,所以6-3.5x 2>0.5x ,化简得4.5x<6,解得x<43,所以x 的取值范围为0<x<43.因为窗户的透光面积S =AD ·AB ,所以S =(6-3.5x )x 2=3x -74x 2=-74⎝ ⎛⎭⎪⎫x -672+97.∴当x =67时,满足0<x<43,透光面积取最大值,最大值为97.9.(26-3x)m10.S =S 矩形ABCD -S △BPQ -S △CDQ -S △APD =48-12·2t(6-t)-12×6×(8-2t)-12×8·t =t2-4t +24,t =-b 2a=2时,S 最小=20cm 2.11.(1)M(12,0),P(6,6); (2)设y =a(x -6)2+6,把(0,0)代入得a =-16,∴y=-16(x -6)2+6; (3)设D(m ,n),则C(12-m ,n),设支架总长为S ,∴AD =CB =n =-16m 2+2m ,DC =12-2m ,∴S =2AD +DC =-13m 2+2m +12,当m =-b 2a=3时,S 最大=15.答:“支撑架”总长的最大值为15米.12.(1)∵∠A =90°,∠C =30°,AB =1,∴BC =2AB =2,AC =22-12= 3.∴AB +BC AC=33=3,即点Q 的速度是点P 的速度的3倍; (2)过点Q 作QE ⊥AC 于点E ,∵∠C =30°,∴CQ =2QE ,∵AB +BQ =3x ,∴CQ =3-3x ,∴QE =3-3x 2,∴y =12x ×3-3x 2=-34x 2+34x ,∵0<3-3x ≤2,∴33≤x <3,y =-34⎝ ⎛⎭⎪⎫x -322+3316,即y 有最大值,y 最大=3316.。

浙教版九年级数学上1.4二次函数的应用(2)同步练习含答案

浙教版九年级数学上1.4二次函数的应用(2)同步练习含答案

1.4二次函数的应用(二)一、选择题1某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数y=0.05x2(x>0),若该车某次的刹车距离为5m,则开始刹车时的速度为()A.40m/sB.20m/sC.10m/sD.5m/s2、二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示,则m的值是()A.﹣8 B.8C.±8 D. 63、如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示,若y<0,则x的取值范围是( )A.-1<x<4 B.-1<x<3C.x<-1或x>4 D.x<-1或x>34、(2013•德州)函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示,有以下结论:①b2﹣4c>0;②b+c+1=0;③3b+c+6=0;④当1<x<3时,x2+(b﹣1)x+c<0.其中正确的个数为()★5、二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表:512(1)二次函数y=ax2+bx+c有最小值,最小值为﹣3;(2)当时,y<0;(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点,且它们分别在y轴两侧.二、填空题6、小红把班级勤工助学挣得的班费500元按一年期;已知年利率为x,一年到期后银行将本金和利息自动按;定期转存,设两年到期后,本、利和为y元,则y与x;的函数关系式为7、小明在某次投篮中,球的运动路线是抛物线的一部分,如图所示,若命中篮圈中心,则他与篮底的距离L是8、已知:如图,抛物线y=a(x-1)2+c与x轴交于点A(1-,0)和点B,将抛物线沿x轴向上翻折,顶点P落在点P'(1,3)处,则原抛物线的函数表达式为________9、同时抛掷A、B两个均匀的小立方体(每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6),设两立方体朝上的数字分别为x、y,并以此确定点P(x,y),那么点P落在抛物线y=﹣x2+3x 上的概率为__________★10、如图,抛物线的顶点为与轴交于点,若平移该抛物线使其顶点沿直线移动到点,点的对应点为,则抛物线上段扫过的区域(阴影部分)的面积为三、解答题11、炮弹的运行轨道若不计空气阻力是一条抛物线.现测得我军炮位A与射击目标B的水平距离为600 m,炮弹运行的最大高度为1 200 m.(1)求此抛物线的解析式.(2)若在A、B之间距离A点500 m处有一高350 m的障碍物,计算炮弹能否越过障碍物12、某商店进行促销活动,如果将进价为8元/件的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现采用提高售价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品的单价每涨1元,其销售量就要减少10件,问将售价定为多少元/件时,才能使每天所赚的利润最大?并求出最大利润.13、九(1)班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销售量的相关信息如下表:每天销量(件)200-2x已知该商品的进价为每件30元,设销售该商品的每天利润为y元(1) 求出y与x的函数关系式(2) 问销售该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少?(3) 该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4800元?请直接写出结果14、水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售,经过还价,实际价格每千克比原来少2元,发现原来买这种80千克的钱,现在可买88千克。

最新浙教版九年级数学上学期《二次函数的应用》同步练习题及解析.docx

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1.4 二次函数的应用(二)1.小敏在某次投篮中,球的运动路线是抛物线y =-15x 2+3.5的一部分(如图所示).若命中篮圈中心,则他与篮底的距离l 是(C)A.3 mB.3.5 mC.4 mD.4.5 m(第1题)2.某商家销售某种商品,当单价为10元时,每天能卖出200个.现在采用提高售价的方法来增加利润,已知商品单价每上涨1元,每天的销售量就少10个,则每天的销售金额最大为(B)A. 2500元B. 2250元C. 2160元D. 2000元3.某服装店购进单价为15元的童装若干件,销售一段时间后发现:当售价为25元时,平均每天能售出8件,而当售价每降低2元,平均每天能多售出4件.当每件的定价为__22__元时,该服装店平均每天的销售利润最大.(第4题)4.教练对小明推铅球的录像进行技术分析,发现铅球行进高度y(m)关于水平距离x(m)的函数表达式为y=-112(x-4)2+3(如图所示),由此可知铅球推出的距离是__10__m.(第5题)5.甲船和乙船分别从A港和C港同时出发,各沿图中箭头所指的方向航行(如图所示).现已知甲、乙两船的速度分别是16海里/时和12海里/时,且A,C两港之间的距离为10海里.问:经过多长时间,甲船和乙船之间的距离最短?最短距离为多少?(注:题中的“距离”都是指直线距离,图中AC⊥CB.)【解】设经过t(h),甲船和乙船分别到达A′,B′处,则A′B′=A′C2+B′C2=(10-16t)2+(12t)2=400t2-320t+100=400(t-0.4)2+36(t>0).当t=0.4时,400(t-0.4)2+36有最小值36,∴当t =0.4时,A ′B ′=36=6(海里).即经过0.4 h ,两船之间的距离最短,为6海里.6.向上抛掷一个小球,小球在运行过程中,离地面的距离为y(m),运行时间为x(s),y 与x 之间存在的关系为y =-12x 2+3x +2.问:小球能达到的最大高度是多少?【解】 ∵a =-12<0,∴y 有最大值.当x =-32×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=3时,y 最大=4×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12×2-324×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=132,即小球能达到的最大高度是132m.7.已知直角三角形的两直角边之和为2,则斜边长的最小值为__2__.【解】 设一条直角边长为x ,则另一条直角边长为2-x. 由勾股定理得,斜边长=x 2+(2-x )2=2(x -1)2+2,∴斜边长的最小值为2.8.某电商销售一款夏季时装,进价为40元/件,售价为110元/件,每天销售20件,每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a>0).未来30天,这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动,即从第1天起每天的单价均比前一天降1元.通过市场调研发现,该时装单价每降1元,每天销量就增加4件.在这30天内,要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t为正整数)的增大而增大,a的取值范围应为0<a<6.【解】设未来30天每天获得的利润为y元,则y=(20+4t)(110-40-t-a).化简,得y=-4t2+(260-4a)t+1400-20a.∵此抛物线开口向下,∴对称轴应为直线x=-260-4a2×(-4)>29.5,解得a<6.又∵a>0,∴a的取值范围应为0<a<6.9.一个足球被从地面向上踢出,它距地面的高度h(m)与足球被踢出后经过的时间t(s)之间的函数表达式为h=at2+19.6t.已知足球被踢出后经过4 s落地,则足球距地面的最大高度是19.6m.【解】由题意,得t=4时,h=0,∴0=16a+19.6×4,解得a=-4.9.∴h=-4.9t2+19.6t.∴足球距地面的最大高度是-19.624×(-4.9)=19.6(m).10.如图,排球运动员站在O处练习发球,将球从点O正上方2 m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足函数表达式y=a(x-6)2+h.已知球网与点O的水平距离为9 m,高度为2.43 m,球场的边界距点O的水平距离为18 m.(第10题)(1)当h=2.6时,求y关于x的函数表达式(不要求写出自变量x的取值范围).(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请计算说明.(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围.【解】(1)当h=2.6时,设y=a(x-6)2+2.6.∵抛物线过点(0,2),∴36a+2.6=2,解得a=-160.∴y=-160(x-6)2+2.6.(2)当x=9时,y=-160×9+2.6=2.45>2.43,∴球能越过球网.当x=18时,y=-160×122+2.6=0.2>0,∴球会出界.(3)设y =a(x -6)2+h.当抛物线过点(0,2),(9,2.43)时,得⎩⎪⎨⎪⎧36a +h =2,9a +h =2.43,解得h =19375.∵要越过球网,∴h>19375.当抛物线过点(0,2),(18,0)时,得⎩⎪⎨⎪⎧36a +h =2,144a +h =0,解得h =83.∵要不出边界,∴h ≥83.综上所述,h ≥83.11.某商贸公司购进某种水果的成本为20元/千克,经过市场调研发现,这种水果在未来48天的售价p(元/千克)与时间t(天)之间的函数表达式为p =⎩⎪⎨⎪⎧14t +30(1≤t ≤24,t 为整数),-12t +48(25≤t ≤48,t 为整数),且其日销售量y(kg)与时间t(天)的关系如下表: 时间t(天)136102040…日销售量y(kg) 118 114 108 100 80 40 …(1)已知y 与t 之间的变化规律符合一次函数关系,试求第30天的日销售量是多少?(2)问:哪一天的销售利润最大?最大日销售利润为多少?(3)在实际销售的前24天中,公司决定每销售1 kg 水果就捐赠n 元利润(n <9)给“精准扶贫”对象.现发现:在前24天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大,求n 的取值范围.【解】 (1)设y =kt +b.把t =1,y =118;t =3,y =114代入,得⎩⎪⎨⎪⎧k +b =118,3k +b =114,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =-2,b =120.∴y =-2t +120.当t =30时,y =-2×30+120=60. ∴第30天的日销售量是60 kg. (2)设第x 天的销售利润为w 元. 当1≤t ≤24时,由题意,得w =(-2t +120)⎝ ⎛⎭⎪⎫14t +30-20=-12(t -10)2+1250,∴当t =10时,w 最大,为1250. 当25≤t ≤48时,w =(-2t +120)⎝ ⎛⎭⎪⎫-12t +48-20=t 2-116t +3360.∵对称轴为直线x =58,a =1>0, ∴在对称轴左侧w 随t 的增大而减小, ∴当t =25时,w 最大,为1085.综上所述,第10天利润最大,最大利润为1250元. (3)设每天扣除捐赠后的日销售利润为m 元.由题意,得m =(-2t +120)⎝ ⎛⎭⎪⎫14t +30-20-(-2t +120)n =-12t 2+(10+2n)t +1200-120n.∵在前24天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大,∴-10+2n2×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12≥24,∴n ≥7.又∵n <9,∴n 的取值范围为7≤n <9.。

浙教版数学九年级上1.4二次函数的应用同步练习含答案初三数学试卷分析

浙教版数学九年级上1.4二次函数的应用同步练习含答案初三数学试卷分析

1.4二次函数的应用(三)一、选择题1若关于x的方程x2-mx+n=0没有实数解则抛物线y=x2-mx+n与x轴的交点个数为( ) A. 2个 B. 1个 C. 0个 D. 不能确定2根据下列表格的对应值:(A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限★5.当-2≤x≤1时,二次函数y=-(x-m)2+m2+1有最大值4,则实数m的值为()A.- √3B. √3或- √3C.m=-√3或m=2D.2或√3或7/4二、填空题6、在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx(k为常数)与抛物线y=x2-2交于A,B两点,且A 点在y轴左侧,P点的坐标为(0,-4),连接PA,PB.有以下说法:①PO2=PA•PB;②当k>0时,(PA+AO)(PB-BO)的值随k的增大而增大;③当k=时,BP2=BO•BA;④△PAB面积的最小值为.其中正确的是________.(写出所有正确说法的序号)7、已知二次函数y=-x2+x-0.2,当自变量x取m时,对应的函数值大于0,当自变量x分别取m-1,m+1时对应函数值y1、y2,则比值y1、y2满足_______8、科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度,将这种植物分别放在不同温度的环境中,经过一定时间后,测试出这种植物高度的增长情况,部分数据如表:温度t/℃﹣4 ﹣2 0 1 4植物高度增长量l/mm 41 49 49 46 25科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系.由此可以推测最适合这种植物生长的温度为℃.9、教练对小明推铅球的录像进行技术分析,发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=-(x-4)2+3,由此可知铅球推出的距离是______m.★10、如图的一座拱桥,当水面宽AB为12m时,桥洞顶部离水面4m,已知桥洞的拱形是抛物线,以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣(x﹣6)2+4,则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是.三、解答题11、如图,一小球从斜坡O点处抛出,球的抛出路线可用二次函数y=4x-x2的图象表示,斜坡可以用一次函数y=x的图象表示.(1)求小球到达最高点的坐标;(2)若小球的落点是A,求点A的坐标12、如图在直角坐标系XOY中,抛物线y=x2-2x+k与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C (0,-3),顶点为M.(1)求A、B两点间的距离;(2)求顶点M的坐标;(3)求四边形OBMC的面积;(4)在x轴下方且在抛物线上有一动点D,求四边形OBDC面积的最大值.13、如图,一位运动员在距篮下4米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最大高度3.5米,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线的表达式;(2)已知该运动员身高1.8米,在这次跳投中,球在头顶上方0.25米处出手,问:球出手时,他跳离地面的高度是多少14、某水渠的横截面呈抛物线形,水面的宽为AB(单位:米)。

初中数学浙教版九年级上册1.4 二次函数的应用 同步练习

初中数学浙教版九年级上册1.4 二次函数的应用 同步练习

初中数学浙教版九年级上册1.4 二次函数的应用同步练习一、单选题(共10题;共20分)1.长方形的周长为24cm,其中一边为xcm(其中x>0),面积为,则这样的长方形中y与x的关系可以写为()A. B. C. D.2.教练对小明推铅球的录像进行技术分析,发现某次铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=-(x-4)2+3,由此可知小明这次的推铅球成绩是()A. 3mB. 4mC. 8mD. 10m3.如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系h=20t﹣5t2.下列叙述正确是()A. 小球的飞行高度不能达到15mB. 小球的飞行高度可以达到25mC. 小球从飞出到落地要用时4sD. 小球飞出1s时的飞行高度为10m4.向上发射一枚炮弹,经秒后的高度为,且时间与高度的关系式为,若此时炮弹在第秒与第秒时的高度相等,则在下列哪一个时间的高度是最高的()A. 第秒B. 第秒C. 第秒D. 第秒5.宾馆有50间房供游客居住,当每间房每天定价为180元时,宾馆会住满;当每间房每天的定价每增加10元时,就会空闲一间房.如果有游客居住,宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.当房价定为元时,宾馆当天的利润为10890元.则有()A. B.C. D.6.如图,坐标平面上,二次函数y=﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,其顶点为D,且k>0.若△ABC与△ABD的面积比为1:4,则k值为()A. 1B.C.D.7.某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠足够长的墙体,中间用一道围栏隔开,并在如图所示的两处各留1m宽的门,所有围栏的总长(不含门)为26m,若要使得建成的饲养室面积最大,则利用墙体的长度为( )A. 14B. 13C. 9D. 78.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值y与自变量x的四组对应值如表所示则方程ax2+bx+c=0的根的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 不能确定9.已知直线y=mx+n和抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示,且抛物线与x轴交于点(-1, 0)、(2,0),抛物线与直线交点的横坐标为1和,那么不等式mx+n <ax2+bx+c <0的解集是( )\A. 1<x<2B. x<或x>1C. <x<2D. -1<x<210.设一元二次方程的两根分别为,且,则满足()A. B. C. D. 且二、填空题(共6题;共6分)11.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+3x+2与y轴交于点A,点B是拋物线的顶点,点C与点A是抛物线上的两个对称点,点D在x轴上运动,则四边形ABCD的两条对角线的长度之和的最小值为________。

浙教版数学九年级上册1.1 二次函数 同步精练 (含答案)

浙教版数学九年级上册1.1 二次函数 同步精练 (含答案)

1.1二次函数同步精练一、单选题1.在抛物线245y x x =--上的一个点的坐标为()A .()0,4-B .()2,0C .()1,0D .()1,0-2.下列函数中为二次函数的是()A .31y x =-B .231y x =-C .2y x=D .323y x x =+-3.在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为()02x x <<的小正方形,如果设剩余部分的面积为y ,那么y 关于x 的函数解析式为()A .22y x x =+B .24y x =-C .24y x =-D .42y x=-4.下列实际问题中的y 与x 之间的函数表达式是二次函数的是()A .正方体集装箱的体积y m 3,棱长x mB .高为14m 的圆柱形储油罐的体积y m 3,底面圆半径x mC .妈妈买烤鸭花费86元,烤鸭的重量y 斤,单价为x 元/斤D .小莉驾车以108km/h 的速度从南京出发到上海,行驶x h ,距上海y km 5.若函数()2211m m y m x --=+是关于x 的二次函数,则m 的值是()A .2B .1-或3C .3D .1-6.下列函数关系中,可以看做二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)模型的是()A .在一定距离内,汽车行驶的速度与行驶的时间的关系B .正方形周长与边长之间的关系C .正方形面积和正方形边长之间的关系D .圆的周长与半径之间的关系7.当函数21(1)23a y a x x +=-++是二次函数时,a 的取值为()A .1a =B .1a =±C .1a ≠D .1a =-8.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该商店可以自行定价.若每件商品售为x 元,则可卖出(350-10x )件商品,那么商品所赚钱y 元与售价x 元的函数关系为()A .2105607350y x x =--+B .2105607350y x x =-+-C .210350y x x=-+D .2103507350y x x =-+-9333,…,3n =个根号,一般地,对于正整数a,b ,如果满足n a =个根号时,称(),a b 为一组完美方根数对.如上面()3,6是一组完美方根数对.则下面4个结论:①()4,12是完美方根数对;②()9,91是完美方根数对;③若(),380a 是完美方根数对,则20a =;④若(),x y 是完美方根数对,则点(),P x y 在抛物线2y x x =-上.其中正确的结论有()A .1个B .2个C .3个D .4个10.函数y=ax2+bx+c(a ,b ,c 是常数)是二次函数的条件是()A .a≠0,b≠0,c≠0B .a<0,b≠0,c≠0C .a>0,b≠0,c≠0D .a≠011.下列函数关系中,可以看作二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)模型的是()A .在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B .我国人口年自然增长率为1%,这样我国人口总数随年份的变化关系C .竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)D .圆的周长与圆的半径之间的关系12.在平面直角坐标系中,抛物线245y x x =-+与y 轴交于点C ,则该抛物线关于点C 成中心对称的抛物线的表达式为()A .245y x x =--+B .245y x x =++C .245y x x =-+-D .245y x x =---二、填空题13.若22(2)32my m x x -=++-是二次函数,则m 的值是________.14.把y =(3x-2)(x +3)化成一般形式后,一次项系数与常数项的和为________.15.当m=_____时,函数y=(m ﹣4)256mm x -++3x 是关于x 的二次函数.16.如果函数y =(m ﹣1)x 2+x (m 是常数)是二次函数,那么m 的取值范围是_____.17.开口向下的抛物线y =(m 2-2)x 2+2mx +1的对称轴经过点(-1,3),则m =_____.三、解答题18.下列函数中,哪些是二次函数?(1)y =3x —1;(2)232y x =+;(3)3232y x x =+;(4)2221y x x =-+;(5)2()1y x x x =-+;(6)2y x x-=+19.已知函数238()226mm y m x x --=+++是关于x 的二次函数,求满足条件的m 的值.20.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=45°,AC =P 从点A 出发,沿AB 以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动.过点P 作PD ⊥AC 于点D (点P 不与点A ,B 重合),作∠DPQ=45°,边PQ 交射线DC 于点Q .设点P 的运动时间为t 秒.(1)线段DC 的长为(用含t 的式子表示).(2)当点Q 与点C 重合时,求t 的值.(3)设△PDQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ,求S 与t 之间的函数关系式.参考答案1--10DBCBC CDBCD 11--12CA13.214.115.116.m ≠117.-118.解∶(1)不是二次函数,因为自变量的最高次数是1.(2)是二次函数,因为符合二次函数的概念.(3)不是二次函数,因为自变量的最高次数是3.(4)是二次函数,因为符合二次函数的概念.(5)不是二次函数,因为原式整理后为y =-x .(6)不是二次函数,因为x -2为分式,不是整式.故(2)(4)是二次函数.19解∶根据题意得∶2382m m -=-,且 20m +≠,解得m =5,即满足条件的m 的值为5.20.解:(1)∵PD ⊥AC ,∴90ADP ∠=︒,∵∠A=45°,∴45APD ∠=︒,∴AD DP =,在Rt ADP △中,由勾股定理得:22222AP AD DP AD =+=,∵点P 的运动时间为t 秒,动点P 从点A 出发,沿AB 以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动,∴2AP t =,∴()2222t AD =,解得:AD =,∵AC =∴=-=DC AC AD ;(2)∵PD ⊥AC ,∠A=∠DPQ=45°,∴∠A=∠PQD=45°,∴PA=PQ ,∴AD=DQ ,∵点Q 与点C 重合,∴AD+DQ=AC ,∴2AD=AC ,即=解得1t =;(3)①当0<t ≤1时,212PDQ PDA S S S AD DP t ===⋅== ,②当1<t <2时,如图,设PQ 交BC 于点E ,则2AQ AD =,QC AQ AC =-=-,∴22114122(()=⋅=-=- QCE S QC CE t ∴22241384()=-=--=-+- PQD QCE S S S t t t t .。

二次函数 浙教版九年级数学上册同步练习(含答案)

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二次函数一、单选题1.下列各式中,y 是x 的二次函数的是( )A .31y x =-B .21y x =C .231y x x =+-D .321y x =-2.一个边长为2厘米的正方形,如果它的边长增加()0x x >厘米,则面积随之增加y 平方厘米,那么y 与x 之间满足的函数关系是( )A .正比例函数B .反比例函数C .一次函数D .二次函数3.若函数y =(a ﹣1)x 2+2x +a 2﹣1是二次函数,则( )A .a ≠1B .a ≠﹣1C .a =1D .a =±14.以x 为自变量的函数:①(2)(2)y x x =+-;①2(2)y x =+;①2123y x x =+-;①()21y x x x =--.是二次函数的有( )A .①①B .①①①C .①①①D .①①①①5.已知函数:①y =2x ﹣1;①y =﹣2x 2﹣1;①y =3x 3﹣2x 2;①y=2(x+3)2-2x 2;①y =ax 2+bx +c ,其中二次函数的个数为( )A .1B .2C .3D .4 6.若函数()2211mm y m x --=+是关于x 的二次函数,则m 的值是( )A .2B .1-或3C .3D .1-7.设y =y 1﹣y 2,y 1与x 成正比例,y 2与x 2成正比例,则y 与x 的函数关系是( ) A .正比例函数B .一次函数C .二次函数D .以上均不正确8.在二次函数y =﹣x 2+5x ﹣2中,a 、b 、c 对应的值为( )A .a =1,b =5,c =﹣2B .a =﹣1,b =5,c =2C .a =﹣1,b =5,c =﹣2D .a =﹣1,b =﹣5,c =﹣29.二次函数y =x (1﹣x )﹣2的一次项系数是( )A .1B .﹣1C .2D .﹣210.在半径为4cm 的圆中,挖去了一个半径为xcm 的圆面,剩下一个圆环的面积为ycm 2,则y 与x 的函数关系式为( )A .216y x ππ=-+B .24y x π=-C .2(2)y x π=-D .2(4)y x =-+ 11.函数2y ax bx c =++ (a ,b ,c 为常数)是二次函数的条件是( ).A .0a ≠或0c ≠B .0a ≠C .0b ≠且0c ≠D .0a b c ++≠ 12.在一定条件下,若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t 2+2t ,则当t=4时,该物体所经过的路程为( )A .88米B .68米C .48米D .28米13.下列实际问题中,可以看作二次函数模型的有( )①正常情况下,一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数b 与这个人的年龄a 之间的关系为b =0.8(220-a );①圆锥的高为h ,它的体积V 与底面半径r 之间的关系为V =13πr 2h (h 为定值); ①物体自由下落时,下落高度h 与下落时间t 之间的关系为h =12gt 2(g 为定值); ①导线的电阻为R ,当导线中有电流通过时,单位时间所产生的热量Q 与电流I 之间的关系为Q =RI 2(R 为定值).A .1个B .2个C .3个D .4个二、填空题14.如图,在长方形ABCD 中,8cm AB =,6cm AD =,点M ,N 从A 点出发,点M 沿线段AB 运动,点N 沿线段AD 运动(其中一点停止运动,另一点也随之停止运动).若设cm AM AN x ==,阴影部分的面积为2cm y ,则y 与x 之间的关系式为______.15.已知y =()22m m m x --+3是x 的二次函数,则m =_____. 16.在实数范围内定义一种运算“①”,其运算法则为a ①b =22a ab -,根据这个法则,若(3)y x =+①2,则y =________(写成一般式).17.一个边长为2厘米的正方形,如果它的边长增加()0x x >厘米,则面积随之增加y 平方厘米,那么y 关于x 的函数解析式为____.18.把y =(3x -2)(x +3)化成一般形式后,一次项系数与常数项的和为________.三、解答题19.圆的半径为3,若半径增加x,则面积增加y.求y与x的函数关系式.20.如果水流的速度为a m/min(定量),那么每分钟的进水量Q(m3)与所选择的水管直径D(m)之间的函数关系式是什么21.证明:对于任何实数m,y=(m2+2m+3)x2+2012x﹣1都是y关于x的二次函数.22.已知函数y=(k2﹣k)x2+kx+k+1(k为常数).(1)若这个函数是一次函数,求k的值;(2)若这个函数是二次函数,则k的值满足什么条件?23.根据下列条件求函数的表达式:(1)已知变量x,y,t满足:y=t2﹣2,x=3﹣t.求y关于x的函数表达式;(2)已知二次函数y=ax2+bx+c,当x=1时,y=2;当x=﹣2时,y=﹣7;当x=﹣1时,y=0.求这个二次函数的表达式.参考答案1.C解:A 、y =3x -1是一次函数,故此选项不合题意;B 、21y x=不是二次函数,故此选项不合题意; C 、y =3x 2+x -1是二次函数,故此选项符合题意;D 、y =2x 3-1不是二次函数,故此选项不合题意;故选:C .2.D解:由题意得,222(2)24y x x x =+-=+y ∴与x 之间满足的函数关系是二次函数,故选:D .3.A解:由题意得:a ﹣1≠0,解得:a ≠1,故选:A .4.C解:①2(2)(2)=4y x x x =+--,符合二次函数的定义,故①是二次函数; ①2(2)y x =+,符合二次函数的定义,故①是二次函数;①2123y x x =+-,符合二次函数的定义,故①是二次函数;①()2221=y x x x x x x x =----=-,不符合二次函数的定义,故①不是二次函数. 所以,是二次函数的有①①①,故选:C .5.A解:y =2x ﹣1是一次函数;y =﹣2x 2﹣1是二次函数;y =3x 3﹣2x 2不是二次函数;①y=2(x+3)2-2x 2222121821218x x x x =++-=+,不是二次函数; y =ax 2+bx +c ,没告诉a 不为0,故不是二次函数;故二次函数有1个;故答案选A .6.C解:①函数()2211m m y m x --=+是关于x 的二次函数,①2212m m --=,且10m +≠,由2212m m --=得,3m =或1m =-,由10m +≠得,1m ≠-,①m 的值是3,故选:C .7.C解:设y 1=k 1x ,y 2=k 2x 2,则y =k 1x ﹣k 2x 2,所以y 是关于x 的二次函数,故选:C .8.C解:①y =﹣x 2+5x ﹣2,①a =﹣1,b =5,c =﹣2,故选:C .9.A①()2122y x x x x =--=-+-,①二次函数y =x (1﹣x )﹣2的一次项系数是1.故选:A .10.A解:圆的面积公式是2S r π=,原来的圆的面积=2416ππ⋅=,挖去的圆的面积=2x π,①圆环面积216y x ππ=-.故选:A .11.B解:由二次函数定义可知,自变量x 和应变量y 满足2y ax bx c =++ (a ,b ,c 为常数,且0a ≠)的函数叫做二次函数;故选:B .12.A解:当t =4时,路程2252542488s t t =+=⨯+⨯=(米).故本题应选A.13.C解:形如y=ax 2+bx+c (a 、b 、c 是常数且a≠0)的函数是二次函数,由二次函数的定义可得①①①是二次函数,故选C .14.y =-212x +48 解:由题意得:21122AMN S AM AN x =⋅=, ①阴影部分的面积=6×8-212x ,即:y =-212x +48. 故答案是:y =-212x +48. 15.-1解:由题意得:m 2﹣m =2,且m ﹣2≠0,解得:m =﹣1,故答案为:﹣1.16.223y x x =+-解:由题意可得:2(3)22(3)y x x =+-⨯+整理,得:226941223y x x x x x =++--=+-故答案为:223y x x =+-17.24y x x =+解:原边长为2厘米的正方形面积为:2×2=4(平方厘米),边长增加x 厘米后边长变为:x +2,则面积为:(x +2)2平方厘米,①y =(x +2)2−4=x 2+4x .故答案为:y =x 2+4x .18.1解:y =(3x -2)(x +3)=3x 2+7x -6①一次项系数为7,常数项为-6①一次项系数与常数项的和为7+(-6)=1故答案为:1.19.26(0)y x x x ππ=+>.解:由题意得:2(3)9y x ππ=+-⨯,即:26(0)y x x x ππ=+>.20.Q =24aD π.解::函数关系式为Q =a·π·(2D )2= 24aD π. 21.证明见解析.解:①()2222321212m m m m m ++=+++=++又①()210m +≥①()22223212120m m m m m ++=+++=++>①对于任何实数m ,y=(m 2+2m+3)x 2+2012x ﹣1都是y 关于x 的二次函数. 22.(1)k =1;(2)k ≠0且k ≠1解:(1)若这个函数是一次函数,则k 2﹣k =0且k ≠0,解得k =1;(2)若这个函数是二次函数,则k 2﹣k ≠0,解得k ≠0且k ≠1.23.(1)y =x 2﹣6x +7;(2)y =﹣2x 2+x +3.解:(1)①y =t 2﹣2,x =3﹣t ,x 2=(3﹣t )2=t 2﹣6t+9,①y =x 2+6t ﹣11=x 2﹣6(3﹣t )+7=x 2﹣6x+7;(2)把x =1,y =2;x =﹣2,y =﹣7;x =﹣1,y =0分别代入原式得: 24270a b c a b c a b c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪-+=⎩,解得:213a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩,故这个二次函数的表达式为:y =﹣2x 2+x+3.。

新课标-最新浙教版九年级数学上学期《二次函数》单元检测题及答案解析-精编试题

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第1章二次函数检测题班级姓名学号一、选择题(每小题3分,共30分)1.已知二次函数y=a(x+1)2-b(a≠0)有最小值1,则a、b的大小关系为()A.a>bB.a<bC.a=bD.不能确定2.二次函数y=x2-8x+c的最小值是0,那么c的值等于()(A)4 (B)8 (C)-4 (D)163.在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-4先向右平移2个单位,再向上平移2个单位,得到的抛物线的解析式是()A.y=(x+2)2+2B.y=(x-2)2-2C.y=(x-2)2+2D.y=(x+2)2-24.一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能是()5.已知抛物线的顶点坐标是,则和的值分别是()A.2,4B.C.2,D.,06.若二次函数y=ax2+c,当x取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x取x1+x2时,函数值为()(A)a+c(B)a-c(C)-c(D)c7.对于任意实数,抛物线总经过一个固定的点,这个点是()A.(1,0)B.(,0)C.(,3)D. (1,3)8.如图2,已知:正方形ABCD边长为1,E、F、G、H分别为各边上的点,且AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH的面积为,AE为,则关于的函数图象大致是()图2(A)(B)(C)(D)9.已知M、N两点关于y轴对称,且点M在双曲线y=上,点N在直线y=x+3上,设点M 的坐标为(a,b),则二次函数y=-abx2+(a+b)x()A.有最大值,最大值为B.有最大值,最大值为C.有最小值,最小值为D.有最小值,最小值为10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴为直线x=-.下列结论中,正确的是()A.abc>0B.a+b=0C.2b+c>0D.4a+c<2b二、填空题(每小题3分,共30分)11.已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)在二次函数y=(x-1)2+1的图象上,若x1>x2>1,则y1 y2(填“>”“=”或“<”).12.如果二次函数16的图象顶点的横坐标为1,则的值为.13.请写出一个开口向上,对称轴为直线x=2,且与y轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的解析式.14.对于二次函数,已知当由1增加到2时,函数值减少3,则常数的值是.15.某一型号飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)与滑行时间x(单位:s)之间的函数关系式是y=60x-1.5x2,该型号飞机着陆后需滑行s才能停下来.16.设三点依次分别是抛物线与轴的交点以及与轴的两个交点,则△的面积是.17.若函数y=a(x-h)2+k的图象经过原点,最小值为8,且形状与抛物线y=-2x2-2x+3相同,则此函数关系式______.18.抛物线y=(m-4)x2-2mx-m-6的顶点在x轴上,则m=______.19.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标是(5,0),(-2,0),则方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解是_______.20.有一个二次函数的图象,三位同学分别说出了它的一些特点:甲:对称轴为直线;乙:与轴两个交点的横坐标都是整数;丙:与轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个点为顶点的三角形面积为3.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式__________________.三、解答题(共60分)21.(8分)当k分别取-1,1,2时,函数y=(k-1)x2-4x+5-k都有最大值吗?请写出你的判断,并说明理由;若有,请求出最大值.22.(8分)炮弹的运行轨道若不计空气阻力是一条抛物线.现测得我军炮位A与射击目标B 的水平距离为600 m,炮弹运行的最大高度为1 200 m.(1)求此抛物线的解析式.(2)若在A、B之间距离A点500 m处有一高350 m的障碍物,计算炮弹能否越过障碍物.23.(8分)某商店进行促销活动,如果将进价为8元/件的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现采用提高售价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品的单价每涨1元,其销售量就要减少10件,问将售价定为多少元/件时,才能使每天所赚的利润最大?并求出最大利润.24.(8分)已知二次函数y=(t+1)x2+2(t+2)x+在x=0和x=2时的函数值相等.(1)求二次函数的解析式;(2)若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A(-3,m),求m和k的值.25.(8分)小磊要制作一个三角形的钢架模型,在这个三角形中,长度为x(单位:cm)的边与这条边上的高之和为40 cm,这个三角形的面积S(单位:cm2)随x(单位:cm)的变化而变化.(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围).(2)当x是多少时,这个三角形面积S最大?最大面积是多少?26.(10分)如图,一位运动员在距篮下4米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最大高度3.5米,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线的表达式;(2)已知该运动员身高1.8米,在这次跳投中,球在头顶上方0.25米处出手,问:球出手时,他跳离地面的高度是多少?第1章二次函数检测题参考答案一、选择题1. A 解析:∵二次函数y=a(x+1)2-b(a≠0)有最小值1,∴a>0且x=-1时,-b=1.∴a>0,b=-1.∴a>b.2.C 解析:由函数图象可知,所以.3.B 解析:根据平移规律“左加右减”“上加下减”,将抛物线y=x2-4先向右平移2个单位得y=(x-2)2-4,再向上平移2个单位得y=(x-2)2-4+2=(x-2)2-2.4.C 解析:当时,二次函数图象开口向下,一次函数图象经过第二、四象限,此时C,D符合.又由二次函数图象的对称轴在轴左侧,所以,即,只有C符合.同理可讨论当时的情况.5.B 解析: 抛物线的顶点坐标是(),所以,解得.6.D 解析:由于函数图象开口向下,所以在对称轴左侧随的增大而增大,由对称轴为直线,知的取值范围是.7.D 解析:当时,,故抛物线经过固定点(1,3).8.D 解析:画出抛物线简图可以看出,所以.9. B 解析:∵点M的坐标为(a,b),∴点N的坐标为(-a,b).∵点M在双曲线y=上,∴ab=.∵点N(-a,b)在直线y=x+3上,∴-a+3=b.∴a+b=3.∴二次函数y=-abx2+(a+b)x=-x2+3x=-(x-3)2+.∴二次函数y=-abx2+(a+b)x有最大值,最大值是.10. D 解析:由图象知a>0,c<0,又对称轴x=-=-<0,∴b>0,∴abc<0.又-=-,∴a=b ,a+b ≠0.∵ a=b,∴ y=ax 2+bx+c=bx 2+bx+c.由图象知,当x =1时,y =2b+c <0,故选项A,B,C 均错误.∵ 2b+c <0,∴ 4a-2b+c <0.∴ 4a+c <2b,D 选项正确.二、填空题11. > 解析:∵ a =1>0,对称轴为直线x=1,∴ 当x >1时,y 随x 的增大而增大.故由x 1>x 2>1可得y 1>y 2. 12.13.解析:因为当时,, 当时,,所以.14.(5,-2)15. 600 解析:y=60x-1.5x 2=-1.5(x-20)2+600,当x=20时,y 最大值=600,则该型号飞机着陆时需滑行600 m 才能停下来.16.解析:令,令,得,所以,所以△的面积是.17.18.本题答案不唯一,只要符合题意即可,如222218181818113377775555y x x y x x y x x y x x =-+=-+-=-+=-+-或或或 三、解答题19. 分析:先求出当k 分别取-1,1,2时对应的函数,再根据函数的性质讨论最大值. 解:(1)当k=1时,函数y=-4x+4为一次函数,无最值.(2)当k=2时,函数y=x 2-4x+3为开口向上的二次函数,无最大值.(3)当k=-1时,函数y=-2x 2-4x+6=-2(x+1)2+8为开口向下的二次函数,对称轴为直线x=-1,顶点坐标为(-1,8),所以当x=-1时,y 最大值=8.综上所述,只有当k=-1时,函数y=(k-1)x 2-4x+5-k 有最大值,且最大值为8. 点拨:本题考查一次函数和二次函数的基本性质,熟知函数的性质是求最值的关键. 20.解:将整理得.因为抛物线向左平移2个单位,再向下平移1个单位得,所以将向右平移2个单位,再向上平移1个单位即得,故,所以.示意图如图所示.21.解:(1)建立直角坐标系,设点A为原点,则抛物线过点(0,0),(600,0),从而抛物线的对称轴为直线.又抛物线的最高点的纵坐标为1 200,则其顶点坐标为(300,1 200),所以设抛物线的解析式为,将(0,0)代入所设解析式得,所以抛物线的解析式为.(2)将代入解析式,得,所以炮弹能越过障碍物.22.分析:日利润=销售量×每件利润,每件利润为元,销售量为[件,据此得关系式.解:设售价定为元/件.由题意得,,∵,∴当时,有最大值360.答:将售价定为14元/件时,才能使每天所赚的利润最大,最大利润是360元.23. 分析:(1)根据抛物线的对称轴为直线x==1,列方程求t的值,确定二次函数解析式.(2)把x=-3,y=m代入二次函数解析式中求出m的值,再代入y=kx+6中求出k的值.解:(1)由题意可知二次函数图象的对称轴为直线x=1,则-=1,∴t=-.∴y=-x2+x+.(2)∵二次函数图象必经过A点,∴m=-×(-3)2+(-3)+=-6.又一次函数y=kx+6的图象经过A点,∴-3k+6=-6,∴k=4.24. 分析:(1)由三角形面积公式S=得S与x之间的关系式为S=·x(40-x)=-x2+20x.(2)利用二次函数的性质求三角形面积的最大值.解:(1)S=-x2+20x.(2)方法1:∵a=-<0,∴S有最大值.∴当x=-=-=20时,S有最大值为==200.∴当x为20 cm时,三角形面积最大,最大面积是200 cm2.方法2:∵a=-<0,∴S有最大值.∴当x=-=-=20时,S有最大值为S=-×202+20×20=200.∴当x为20 cm时,三角形面积最大,最大面积是200 cm2..点拨:最值问题往往转化为求二次函数的最值.25. 分析:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+b,将(0,11)和(8,8)代入即可求出a,b;(2)令h= 6,解方程(t-19)2+8=6得t1,t2,所以当h≥6时,禁止船只通行的时间为|t2-t1|.解:(1)依题意可得顶点C的坐标为(0,11),设抛物线解析式为y=ax2+11.由抛物线的对称性可得B(8,8),∴8=64a+11.解得a=-,抛物线解析式为y=-x2+11.(2)画出h=(t-19)2+8(0≤t≤40)的图象如图所示.当水面到顶点C的距离不大于5米时,h≥6,当h=6时,解得t1=3,t2=35.由图象的变化趋势得,禁止船只通行的时间为|t2-t1|=32(小时).答:禁止船只通行的时间为32小时.点拨:(2)中求出符合题意的h的取值范围是解题的关键,本题考查了二次函数在实际问题中的应用.26.分析:(1)由函数的图象可设抛物线的表达式为,依题意可知图象经过的点的坐标,由此可得的值.进而求出抛物线的表达式.(2)当时,,从而可求得他跳离地面的高度.解:(1)设抛物线的表达式为.由图象可知抛物线过点(0,3.5),(1.5,3.05),所以解得所以抛物线的表达式为.学而不思则罔,思而不学则殆。

2018-2019学年最新浙教版九年级数学上册:二次函数同步导学练及答案-精编试题

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第1章二次函数1.1 二次函数形如y=ax 2+bx+c(a ,b ,c 为常数,a ≠0)的函数称为二次函数,y=ax 2+bx+c (a ≠0)为二次函数的一般式.1.下列四个函数:①y=-x ;②y=x ;③y=x1;④y=x 2.其中二次函数的个数为(A). A.1B.2C.3D.42.下列函数中,当x=0时,y=0的是(C). A.y=x2B. y=x 2-1C.y=5x 2-3xD.y=-3x+7 3.二次函数y=2x(x-3)的二次项系数与一次项系数之和为(D).A.2B.-2C.-1D.-44.某工厂第一年的利润为20万元,第三年的利润为y 万元.设该公司利润的平均年增长率为x,则y 关于x 的二次函数的表达式为(B).A.y=20(1-x)2B.y=20(1+x)2C.y=(1-x)2+2D.y=(1-x)2-205.已知函数y=kx k2+k 是关于x 的二次函数,那么k= 1或-2.6.对于二次函数 y =2x 2-bx +3,当x =1时,y=1,则b 的值为 4 . 7.已知函数y=x 2-6x+9,当x= 3 时,函数值为0. 8.小汽车刹车距离s(m)关于速度v(km/h)的二次函数表达式为s=1001v 2.一辆小汽车正以100km/h 的速度行驶,突然发现前方80m 处停着一辆故障车,此时小汽车刹车会 (填“会”或“不会”)有危险.9.已知y=(m -4)x m2-3m-2+2x -3是二次函数,求m 的值.【答案】由题意得⎩⎨⎧≠-=--042232m m m ,解得m=-1. 10.已知二次函数y=ax 2+bx+c ,当x=0时,y=7;当x=1时,y=0;当x=-2时,y=9.求它的函数表达式.【答案】根据题意得,⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=92407c b a c b a c ,解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=752c b a .∴它的函数表达式为y=-2x 2-5x+7.11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是(B).A.xy+x 2=2B.x 2-2y+2=0C.y=21xD.y 2-x=012.从地面竖直向上抛出一个小球,小球的高度h(m)关于小球运动时间t(s)的二次函数表达式为h=30t-5t 2.则小球从抛出到回落到地面所需要的时间是(A). A.6sB.4sC.3sD.2s13.若y=ax 2+bx+c ,则由表格中信息可知y 关于x 的二次函数的表达式为(A).14.已知函数y=(m+2)x m2-2+2是二次函数,则m 的值为 2 .15.某批发市场批发甲种水果,根据以往经验和市场行情,预计夏季某一段时间内,甲种水果的销售利润y(万元)与进货量x(t)近似满足二次函数表达式y=ax 2+bx(其中a ≠0,a ,b 为常数,x ≥0),且进货量x 为1t 时,销售利润y 为1.4万元;进货量x 为2t 时,销售利润y 为2.6万元.求y 关于x 的二次函数的表达式.【答案】由题意得⎩⎨⎧=+=+6.2244.1b a b a ,解得⎩⎨⎧=-=5.11.0b a .∴y 关于x 的二次函数表达式为y=-0.1x 2+1.5x .16.下列函数中,属于二次函数的是(B).A.y=-4x+5B.y=x(2x-3)C.y=(x+4)2-x 2D.y=21x(第17题)17.【常德】如图所示,正方形EFGH 的顶点在边长为2的正方形ABCD 的边上.若设AE=x ,正方形EFGH 的面积为y ,则y 关于x 的函数表达式为 y=2x 2-4x+4 .18.如图所示,△ABC 与△DEF 是两个全等的等腰直角三角形,BC=EF=8,∠C=∠F=90°,且点C ,E ,B ,F 在同一条直线上,将△ABC 沿CB 方向平移,AB 与DE 相交于点P.设CE=x ,△PBE 的面积为S ,求:(1)S 关于x 的函数表达式,并指出自变量的取值范围.(2)当x=3时,求△PBE 的面积.【答案】(1)∵CE=x ,BC=8,∴EB=8-x.∵△ABC 与△DEF 是两个全等的等腰直角三角形,∴∠ABC=∠DEF=45°∴△PBE 是等腰直角三角形.∴PB=PE=22EB=22 (8-x).∴S=21PB·PE=21×22 (8-x)×22 (8-x)=41 (8-x)2=41x 2-4x+16. (第18题)∵8-x >0,∴x<8.又∵x≥0,∴0≤x <8.S 关于x 的函数表达式为S=41x 2-4x+16,自变量的取值范围是0≤x <8. (2)当x=3时,S △PBE =41 (8-3)2=425.。

九年级数学上册 第2.4二次函数的应用同步练习 浙教版

九年级数学上册 第2.4二次函数的应用同步练习 浙教版

二次函数的应用
【知识要点】
运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值,首先用应当求出函数解析式和自变量的取值范围,求得的最大值或最小值对用的字变量的值必须在自变量的取值范围内 课内同步精练
●A 组 基础练习
1 二次函数=2-3-4的顶点坐标是 , 对称轴是直线 ,与轴的交点是 ,当= 时,有最 ,是
2 二次函数=a 2bc 的图象如图所示,则a 的符号是 ,b 的符号
是 ,c 的符号是 当 时, >0,当 时,=0,
当 时, 2m0 C (0,0)a y a c x
=≠>0,b 94
0,则( ) A >5 <<5 C >5或<-1 D >1或2<-5
●B 组 提高训练
7 学开车的人不仅需要熟悉交通规则、掌握驾驶要领,还要掌握为使车子停止前进而刹车后汽车继续滑行的距离.资料显示,当路况良好、路面于燥时,刹车后汽车滑行的距离与车速之间的对应关系如表所示:
车速(m/h )
48 64 80 96 112 滑行距离m 36 72
1绘制汽车滑行的距离(单位:m )相对于车速v (单位:m/h )的图象.
2证明汽车滑行的距离(单位:m )及车速v (单位: m / h )之间有如下的关系: 23316512
s v v =+ 3利用以上信息估计上表所未填出的车速及所对应的汽车滑行的距离.
4在路况不良时,表中的滑行距离须分别修正为 45, 72, 105, 144及189m ,在这种情况下, 2中的函数关系应如何调整。

最新浙教版九年级数学上学期《二次函数的应用》同步练习题2及解析.docx

最新浙教版九年级数学上学期《二次函数的应用》同步练习题2及解析.docx

1.4 二次函数的应用(一)1.已知二次函数y =(a -1)x 2+2ax +3a -2的图象的最低点在x 轴上,则a =__2__,此时函数的表达式为y =x 2+4x +4.(第2题)2.用长为8 m 的铝合金材料做成如图所示的矩形窗框,要使窗户的透光面积最大,那么这个窗户的最大透光面积是__83__m 2.(第3题)3.如图,假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m ,则所围成矩形ABCD 的最大面积是(C) A. 60 m 2 B. 63 m 2 C. 64 m 2 D. 66 m 24.如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上,顶点C 的坐标为(4,3).D 是抛物线y =-x 2+6x 上一点,且在x 轴上方.求△BCD 面积的最大值.(第4题)【解】 ∵点C(4,3), ∴菱形OABC 的边长=32+42=5.∵抛物线y =-x 2+6x 的顶点坐标为(3,9), ∴△BCD 面积的最大值为S =12×5×(9-3)=15.5.如图,在梯形ABCD 中,AB ∥DC ,∠ABC =90°,∠A =45°,AB =30,BC =x ,其中15<x<30.过点D 作DE ⊥AB 于点E ,将△ADE 沿直线DE 折叠,使点A 落在点F 处,DF 交BC 于点G.(1)用含x 的代数式表示BF 的长.(2)设四边形DEBG 的面积为S ,求S 关于x 的函数表达式. (3)当x 为何值时,S 有最大值?并求出这个最大值.(第5题)【解】 (1)∵DE =BC =x ,∠A =45°,DE ⊥AE , ∴AE =DE =x.由折叠知,EF =AE =x , ∴BF =AF -AB =2x -30. (2)∵S △DEF =12EF ·DE =12x 2,S △BFG =12BF ·BG =12(2x -30)2,∴S =12x 2-12(2x -30)2=-32x 2+60x -450. (3)∵15<x<30, ∴当x =602×32=20时,S 有最大值,S 最大=150.6.竖直上抛的小球离地高度是关于它运动时间的二次函数,小军相隔1 s 依次竖直向上抛出两个小球,假设两个小球离手时离地高度相同,在各自抛出后1.1 s 时到达相同的最大离地高度,第一个小球抛出后t 秒时在空中与第二个小球的离地高度相同,则t =__1.6__.【解】 设各自抛出后1.1 s 时到达相同的最大离地高度为h ,则小球的高度y =a(t -1.1)2+h.由题意,得a(t -1.1)2+h =a(t -1-1.1)2+h , 解得t =1.6.7.如图,从1×2的矩形ABCD 的较短边AD 上找一点E ,过这点剪下两个正方形,它们的边长分别是AE ,DE ,当剪下的两个正方形的面积之和最小时,点E 应选在(A)(第7题)A. AD 的中点B. AE ∶ED =(5-1)∶2C. AE ∶ED =2∶1D. AE ∶ED =(2-1)∶2【解】 设AE =x ,剪下的两个正方形的面积之和为y ,则DE =1-x ,y =AE 2+DE 2=x 2+(1-x)2=2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+12. ∴当x =12时,y 取得最小值,此时E 是AD 的中点.(第8题)8.如图,在矩形OABC 中,OA =3,OC =2,F 是AB 上的一个动点(F 不与A ,B 重合),过点F 的反比例函数y =kx(k >0)的图象与BC 边交于点E.(1)当F 为AB 的中点时,求该函数的表达式.(2)当k 为何值时,△EFA 的面积最大,最大面积是多少. 【解】 (1)∵在矩形OABC 中,OA =3,OC =2, ∴点B(3,2).∵F 为AB 的中点,∴点F(3,1).∵点F 在反比例函数y =kx(k >0)的图象上,∴k =3,∴该函数的表达式为y =3x(x >0).(2)由题意知E ,F 两点的坐标分别为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2,2,F ⎝ ⎛⎭⎪⎫3,k 3,∴S △EFA =12AF ·BE =12×13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫3-12k ,=12k -112k 2 =-112(k 2-6k +9-9) =-112(k -3)2+34. ∴当k =3时,△EFA 的面积最大,最大面积是34.9.如图,BD 是正方形ABCD 的对角线,BC =2,边BC 在其所在的直线上平移,将通过平移得到的线段记为PQ ,连结PA ,QD ,并过点Q 作QO ⊥BD ,垂足为O ,连结OA ,OP .(1)请直接写出线段BC 在平移过程中,四边形APQD 是什么四边形? (2)请判断OA ,OP 之间的数量关系和位置关系,并加以证明.(3)在平移变换过程中,设y =S △OPB ,BP =x(0≤x ≤2),求y 与x 之间的函数表达式,并求出y 的最大值.(第9题)【解】 (1)四边形APQD 为平行四边形. (2)OA =OP ,OA ⊥OP .理由如下: ∵四边形ABCD 是正方形,∴AB =BC =PQ ,∠ABO =∠OBQ =45°. ∵OQ ⊥BD ,∴∠PQO =45°,∴∠ABO =∠OBQ =∠PQO ,∴OB =OQ , ∴△AOB ≌△OPQ(SAS). ∴OA =OP ,∠AOB =∠POQ , ∴∠AOP =∠BOQ =90°,∴OA ⊥OP .(第9题解①)(3)如解图①,过点O 作OE ⊥BC 于点E. ①当点P 在点B 右侧时, BQ =x +2,OE =x +22,∴y =12·x +22·x=14()x +12-14. 又∵0≤x ≤2,∴当x =2时,y 有最大值2.(第9题解②)②如解图②,当点P 在点B 左侧时, BQ =2-x ,OE =2-x 2,∴y =12·2-x 2·x=-14()x -12+14. 又∵0≤x ≤2,∴当x =1时,y 有最大值14.综上所述,y 的最大值为2.。

新浙教版九年级数学上册同步测试:1.4 二次函数的应用(1)

新浙教版九年级数学上册同步测试:1.4 二次函数的应用(1)

新浙教版九年级数学上册同步测试:1.4 二次函数的应用(1)一、填空题1.如图,在平面直角坐标系xOy中,若动点P在抛物线y=ax2上,⊙P恒过点F(0,n),且与直线y=﹣n始终保持相切,则n=(用含a的代数式表示).二、解答题2.已知△ABC中,边BC的长与BC边上的高的和为20.(1)写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式,并求出面积为48时BC的长;(2)当BC多长时,△ABC的面积最大?最大面积是多少?(3)当△ABC面积最大时,是否存在其周长最小的情形?如果存在,请说出理由,并求出其最小周长;如果不存在,请给予说明.3.如图,在平面直角坐标系中,直线AB交x轴于点A(5,0),交y轴于点B,AO是⊙M的直径,其半圆交AB于点C,且AC=3.取BO的中点D,连接CD、MD和OC.(1)求证:CD是⊙M的切线;(2)二次函数的图象经过点D、M、A,其对称轴上有一动点P,连接PD、PM,求△PDM的周长最小时点P的坐标;(3)在(2)的条件下,当△PDM的周长最小时,抛物线上是否存在点Q,使S△QAM =S△PDM?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.4.如图①,在平面直角坐标系中,点P(0,m2)(m>0)在y轴正半轴上,过点P作平行于x 轴的直线,分别交抛物线C1:y=x2于点A、B,交抛物线C2:y=x2于点C、D.原点O关于直线AB的对称点为点Q,分别连接OA,OB,QC和QD.【猜想与证明】填表:m 1 2 3由上表猜想:对任意m(m>0)均有=.请证明你的猜想.【探究与应用】(1)利用上面的结论,可得△AOB与△CQD面积比为;(2)当△AOB和△CQD中有一个是等腰直角三角形时,求△CQD与△AOB面积之差;【联想与拓展】如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E,过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F.在y轴上任取一点M,连接MA、ME、MD和MF,则△MAE与△MDF面积的比值为.5.如图,抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,与x轴交于点A(﹣3,0)和点B(1,0).与y轴交于点C,顶点为D.(1)求顶点D的坐标.(用含a的代数式表示);(2)若△ACD的面积为3.①求抛物线的解析式;②将抛物线向右平移,使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P,且∠PAB=∠DAC,求平移后抛物线的解析式.6.如图,四边形ABCD是等腰梯形,下底AB在x轴上,点D在y轴上,直线AC与y轴交于点E (0,1),点C的坐标为(2,3).(1)求A、D两点的坐标;(2)求经过A、D、C三点的抛物线的函数关系式;(3)在y轴上是否在点P,使△ACP是等腰三角形?若存在,请求出满足条件的所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.7.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(1,0),(5,0),(3,﹣4).(1)求该二次函数的解析式;(2)当y>﹣3,写出x的取值范围;(3)A、B为直线y=﹣2x﹣6上两动点,且距离为2,点C为二次函数图象上的动点,当点C运动到何处时△ABC的面积最小?求出此时点C的坐标及△ABC面积的最小值.8.如图.在平面直角坐标系中,边长为的正方形ABCD的顶点A、B在x轴上,连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上,BF与AD交于点E.(1)求证:△OAD≌△EAB;(2)求过点O、E、B的抛物线所表示的二次函数解析式;(3)在(2)中的抛物线上是否存在点P,其关于直线BF的对称点在x轴上?若有,求出点P的坐标;(4)连接OE,若点M是直线BF上的一动点,且△BMD与△OED相似,求点M的坐标.9.如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCO是梯形,其中A(6,0),B(3,),C(1,),动点P从点O以每秒2个单位的速度向点A运动,动点Q也同时从点B沿B→C→O的线路以每秒1个单位的速度向点O运动,当点P到达A点时,点Q也随之停止,设点P,Q运动的时间为t(秒).(1)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式;(2)当点Q在CO边上运动时,求△OPQ的面积S与时间t的函数关系式;(3)以O ,P ,Q 顶点的三角形能构成直角三角形吗?若能,请求出t 的值;若不能,请说明理由;(4)经过A ,B ,C 三点的抛物线的对称轴、直线OB 和PQ 能够交于一点吗?若能,请求出此时t 的值(或范围),若不能,请说明理由).10.已知关于x 的二次函数y=x 2﹣2mx +m 2+m 的图象与关于x 的函数y=kx +1的图象交于两点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2);(x 1<x 2)(1)当k=1,m=0,1时,求AB 的长;(2)当k=1,m 为任何值时,猜想AB 的长是否不变?并证明你的猜想.(3)当m=0,无论k 为何值时,猜想△AOB 的形状.证明你的猜想. (平面内两点间的距离公式).11.直线y=x ﹣2与x 、y 轴分别交于点A 、C .抛物线的图象经过A 、C 和点B (1,0). (1)求抛物线的解析式;(2)在直线AC 上方的抛物线上有一动点D ,当D 与直线AC 的距离DE 最大时,求出点D 的坐标,并求出最大距离是多少?12.如图1所示,已知直线y=kx +m 与x 轴、y 轴分别交于点A 、C 两点,抛物线y=﹣x 2+bx +c 经过A 、C 两点,点B 是抛物线与x 轴的另一个交点,当x=﹣时,y 取最大值.(1)求抛物线和直线的解析式;(2)设点P 是直线AC 上一点,且S △ABP :S △BPC =1:3,求点P 的坐标;(3)直线y=x+a与(1)中所求的抛物线交于点M、N,两点,问:①是否存在a的值,使得∠MON=90°?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.②猜想当∠MON>90°时,a的取值范围.(不写过程,直接写结论)(参考公式:在平面直角坐标系中,若M(x1,y1),N(x2,y2),则M、N两点之间的距离为|MN|=)13.如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+与直线y=x交于点A,点B在直线y=x+上,∠BOA=90°.抛物线y=ax2+bx+c过点A,O,B,顶点为点E.(1)求点A,B的坐标;(2)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标;(3)设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C,直线BC交抛物线于点D,过点E作FE∥x轴,交直线AB于点F,连接OD,CF,CF交x轴于点M.试判断OD与CF是否平行,并说明理由.14.如图1,已知直线l:y=﹣x+2与y轴交于点A,抛物线y=(x﹣1)2+k经过点A,其顶点为B,另一抛物线y=(x﹣h)2+2﹣h(h>1)的顶点为D,两抛物线相交于点C.(1)求点B的坐标,并说明点D在直线l上的理由;(2)设交点C的横坐标为m.①交点C的纵坐标可以表示为:或,由此进一步探究m关于h的函数关系式;②如图2,若∠ACD=90°,求m的值.15.如图1,过点A(0,4)的圆的圆心坐标为C(2,0),B是第一象限圆弧上的一点,且BC⊥AC,抛物线y=x2+bx+c经过C、B两点,与x轴的另一交点为D.(1)点B的坐标为(,),抛物线的表达式为;(2)如图2,求证:BD∥AC;(3)如图3,点Q为线段BC上一点,且AQ=5,直线AQ交⊙C于点P,求AP的长.16.如图①,若二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣2,0),B(3,0)两点,点A关于正比例函数y=x的图象的对称点为C.(1)求b、c的值;(2)证明:点C在所求的二次函数的图象上;(3)如图②,过点B作DB⊥x轴交正比例函数y=x的图象于点D,连结AC,交正比例函数y=x的图象于点E,连结AD、CD.如果动点P从点A沿线段AD方向以每秒2个单位的速度向点D运动,同时动点Q从点D沿线段DC方向以每秒1个单位的速度向点C运动.当其中一个点到达终点时,另一个点随之停止运动,连结PQ、QE、PE.设运动时间为t秒,是否存在某一时刻,使PE平分∠APQ,同时QE平分∠PQC?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.17.如图,抛物线y=﹣x2+4与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点P是抛物线上的一个动点且在第一象限,过点P作x轴的垂线,垂足为D,交直线BC于点E.(1)求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式;(2)求△ODE面积的最大值及相应的点E的坐标;(3)是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.18.如图,在直角坐标系xOy中,二次函数y=x2+(2k﹣1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点.(1)求这个二次函数的解析式;(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B,使△AOB的面积等于6,求点B的坐标;(3)对于(2)中的点B,在此抛物线上是否存在点P,使∠POB=90°?若存在,求出点P的坐标,并求出△POB的面积;若不存在,请说明理由.19.已知二次函数y=a (x ﹣m )2﹣a (x ﹣m )(a ,m 为常数,且a ≠0).(1)求证:不论a 与m 为何值,该函数的图象与x 轴总有两个公共点.(2)设该函数的图象的顶点为C ,与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于D 点.①当△ABC 的面积为1时,求a 的值.②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时,求m 的值.20.如图,抛物线y=ax 2+bx +c 经过点A (﹣3,0),B (1,0),C (0,﹣3).(1)求抛物线的解析式;(2)若点P 为第三象限内抛物线上的一点,设△PAC 的面积为S ,求S 的最大值并求出此时点P 的坐标;(3)设抛物线的顶点为D ,DE ⊥x 轴于点E ,在y 轴上是否存在点M ,使得△ADM 是直角三角形?若存在,请直接写出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.21.已知二次函数y=ax 2+bx +c (a >0)的图象与x 轴交于A (x 1,0)、B (x 2,0)(x 1<x 2)两点,与y 轴交于点C ,x 1,x 2是方程x 2+4x ﹣5=0的两根.(1)若抛物线的顶点为D ,求S △ABC :S △ACD 的值;(2)若∠ADC=90°,求二次函数的解析式.22.已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0,a≠c)过点A(1,0),顶点为B,且抛物线不经过第三象限.(1)使用a、c表示b;(2)判断点B所在象限,并说明理由;(3)若直线y2=2x+m经过点B,且与该抛物线交于另一点C(),求当x≥1时y1的取值范围.23.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c经过点A(,0)和点B(1,),与x轴的另一个交点为C.(1)求抛物线的函数表达式;(2)点D在对称轴的右侧,x轴上方的抛物线上,且∠BDA=∠DAC,求点D的坐标;(3)在(2)的条件下,连接BD,交抛物线对称轴于点E,连接AE.①判断四边形OAEB的形状,并说明理由;②点F是OB的中点,点M是直线BD的一个动点,且点M与点B不重合,当∠BMF=∠MFO 时,请直接写出线段BM的长.优质文档第11页(共11页)24.已知抛物线y 1=ax 2+bx +c (a ≠0)的顶点坐标是(1,4),它与直线y 2=x +1的一个交点的横坐标为2.(1)求抛物线的解析式;(2)在给出的坐标系中画出抛物线y 1=ax 2+bx +c (a ≠0)及直线y 2=x +1的图象,并根据图象,直接写出使得y 1≥y 2的x 的取值范围;(3)设抛物线与x 轴的右边交点为A ,过点A 作x 轴的垂线,交直线y 2=x +1于点B ,点P 在抛物线上,当S △PAB ≤6时,求点P 的横坐标x 的取值范围.。

浙教版数学九年级上册同步测试:1.4 二次函数的应用.docx

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浙教版九年级数学上册同步测试:1.4 二次函数的应用一、解答题1.如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M,连接PB.(1)求该抛物线的解析式;(2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D,使得△BCD的面积最大?若存在,求出D点坐标及△BCD面积的最大值;若不存在,请说明理由.(3)在(1)中的抛物线上是否存在点Q,使得△QMB与△PMB的面积相等?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.2.如图,已知二次函数的图象M经过A(﹣1,0),B(4,0),C(2,﹣6)三点.(1)求该二次函数的解析式;(2)点G是线段AC上的动点(点G与线段AC的端点不重合),若△ABG与△ABC相似,求点G的坐标;(3)设图象M的对称轴为l,点D(m,n)(﹣1<m<2)是图象M上一动点,当△ACD的面积为时,点D关于l的对称点为E,能否在图象M和l上分别找到点P、Q,使得以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.3.如图,抛物线y=ax2+c(a≠0)与y轴交于点A,与x轴交于B,C两点(点C在x轴正半轴上),△ABC为等腰直角三角形,且面积为4,现将抛物线沿BA方向平移,平移后的抛物线过点C时,与x轴的另一点为E,其顶点为F,对称轴与x轴的交点为H.(1)求a、c的值.(2)连接OF,试判断△OEF是否为等腰三角形,并说明理由.(3)现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上,一直角边始终过点E,另一直角边与y轴相交于点P,是否存在这样的点Q,使以点P、Q、E为顶点的三角形与△POE全等?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.4.已知关于x的一元二次方程x2+2x+=0有两个不相等的实数根,k为正整数.(1)求k的值;(2)当此方程有一根为零时,直线y=x+2与关于x的二次函数y=x2+2x+的图象交于A、B两点,若M是线段AB上的一个动点,过点M作MN⊥x轴,交二次函数的图象于点N,求线段MN的最大值及此时点M的坐标;(3)将(2)中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,图象的其余部分保持不变,翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象,若直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点,求b的值.5.如图,已知一条直线过点(0,4),且与抛物线y=x2交于A,B两点,其中点A的横坐标是﹣2.(1)求这条直线的函数关系式及点B的坐标.(2)在x轴上是否存在点C,使得△ABC是直角三角形?若存在,求出点C的坐标,若不存在,请说明理由.(3)过线段AB上一点P,作PM∥x轴,交抛物线于点M,点M在第一象限,点N(0,1),当点M 的横坐标为何值时,MN+3MP的长度最大?最大值是多少?6.已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(m﹣2,0)和B(2m+1,0)(点A在点B的左侧),与y 轴相交于点C,顶点为P,对称轴为l:x=1.(1)求抛物线解析式.(2)直线y=kx+2(k≠0)与抛物线相交于两点M(x1,y1),N(x2,y2)(x1<x2),当|x1﹣x2|最小时,求抛物线与直线的交点M与N的坐标.(3)首尾顺次连接点O、B、P、C构成多边形的周长为L,若线段OB在x轴上移动,求L最小值时点O,B移动后的坐标及L的最小值.7.如图,抛物线y=﹣x2+6x交x轴正半轴于点A,顶点为M,对称轴MB交x轴于点B.过点C(2,0)作射线CD交MB于点D(D在x轴上方),OE∥CD交MB于点E,EF∥x轴交CD于点F,作直线MF.(1)求点A,M的坐标.(2)当BD为何值时,点F恰好落在该抛物线上?(3)当BD=1时①求直线MF的解析式,并判断点A是否落在该直线上.②延长OE交FM于点G,取CF中点P,连结PG,△FPG,四边形DEGP,四边形OCDE的面积分别记为S1,S2,S3,则S1:S2:S3=.8.如图,抛物线y=ax2+bx+c为x轴的一交点为A(﹣6,0),与y轴的交点为C(0,3),且经过点G (﹣2,3).(1)求抛物线的表达式;(2)点P是线段OA上一动点,过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q,设△CPQ的面积为S,求S的最大值;(3)若点B是抛物线与x轴的另一定点,点D、M在线段AB上,点N在线段AC上,∠DCB=∠CDB,CD是MN的垂直平分线,求点M的坐标.9.若关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a>0,c>0,a,b,c是常数)与x轴交于两个不同的点A(x1,0),B(x2,0)(0<x1<x2),与y轴交于点P,其图象顶点为点M,点O为坐标原点.(1)当x1=c=2,a=时,求x2与b的值;(2)当x1=2c时,试问△ABM能否为等边三角形?判断并证明你的结论;(3)当x1=mc(m>0)时,记△MAB,△PAB的面积分别为S1,S2,若△BPO∽△PAO,且S1=S2,求m的值.10.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与⊙M相交于A、B、C、D四点,其中A、B两点的坐标分别为(﹣1,0),(0,﹣2),点D在x轴上且AD为⊙M的直径.点E是⊙M与y轴的另一个交点,过劣弧上的点F作FH⊥AD于点H,且FH=1.5(1)求点D的坐标及该抛物线的表达式;(2)若点P是x轴上的一个动点,试求出△PEF的周长最小时点P的坐标;(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△QCM是等腰三角形?如果存在,请直接写出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.11.已知抛物线y=x 2+c 与x 轴交于A (﹣1,0),B 两点,交y 轴于点C .(1)求抛物线的解析式;(2)点E (m ,n )是第二象限内一点,过点E 作EF ⊥x 轴交抛物线于点F ,过点F 作FG ⊥y 轴于点G ,连接CE 、CF ,若∠CEF=∠CFG .求n 的值并直接写出m 的取值范围(利用图1完成你的探究).(3)如图2,点P 是线段OB 上一动点(不包括点O 、B ),PM ⊥x 轴交抛物线于点M ,∠OBQ=∠OMP ,BQ 交直线PM 于点Q ,设点P 的横坐标为t ,求△PBQ 的周长.12.已知抛物线y=ax 2+bx +c 的顶点为(1,0),与y 轴的交点坐标为(0,).R (1,1)是抛物线对称轴l 上的一点.(1)求抛物线y=ax 2+bx +c 的解析式;(2)若P 是抛物线上的一个动点(如图一),求证:点P 到R 的距离与点P 到直线y=﹣1的距离恒相等;(3)设直线PR 与抛物线的另一交点为Q ,E 为线段PQ 的中点,过点P 、E 、Q 分别作直线y=﹣1的垂线.垂足分别为M 、F 、N (如图二).求证:PF ⊥QF .13.如图,抛物线y=x 2﹣4x 与x 轴交于O ,A 两点,P 为抛物线上一点,过点P 的直线y=x +m 与对称轴交于点Q .(1)这条抛物线的对称轴是 ,直线PQ 与x 轴所夹锐角的度数是 ;(2)若两个三角形面积满足S △POQ =S △PAQ ,求m 的值;(3)当点P 在x 轴下方的抛物线上时,过点C (2,2)的直线AC 与直线PQ 交于点D ,求:①PD +DQ 的最大值;②PD •DQ 的最大值.14.如图,在平面直角坐标系中,⊙A与x轴相交于C(﹣2,0),D(﹣8,0)两点,与y轴相切于点B(0,4).(1)求经过B,C,D三点的抛物线的函数表达式;(2)设抛物线的顶点为E,证明:直线CE与⊙A相切;(3)在x轴下方的抛物线上,是否存在一点F,使△BDF面积最大,最大值是多少?并求出点F的坐标.15.如图,抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A(2,0),点B(3,3),BC⊥x轴于点C,连接OB,等腰直角三角形DEF的斜边EF在x轴上,点E的坐标为(﹣4,0),点F与原点重合(1)求抛物线的解析式并直接写出它的对称轴;(2)△DEF以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向移动,运动时间为t秒,当点D落在BC边上时停止运动,设△DEF与△OBC的重叠部分的面积为S,求出S关于t的函数关系式;(3)点P是抛物线对称轴上一点,当△ABP是直角三角形时,请直接写出所有符合条件的点P坐标.16.如图,已知抛物线y=﹣(x2﹣7x+6)的顶点坐标为M,与x轴相交于A,B两点(点B在点A的右侧),与y轴相交于点C.(1)用配方法将抛物线的解析式化为顶点式:y=a(x﹣h)2+k(a≠0),并指出顶点M的坐标;(2)在抛物线的对称轴上找点R,使得CR+AR的值最小,并求出其最小值和点R的坐标;(3)以AB为直径作⊙N交抛物线于点P(点P在对称轴的左侧),求证:直线MP是⊙N的切线.17.如图,在平面直角坐标系中,顶点为A(1,﹣1)的抛物线经过点B(5,3),且与x轴交于C,D 两点(点C在点D的左侧).(1)求抛物线的解析式;(2)求点O到直线AB的距离;(3)点M在第二象限内的抛物线上,点N在x轴上,且∠MND=∠OAB,当△DMN与△OAB相似时,请你直接写出点M的坐标.18.如图,在平面直角坐标系xOy中,以M为顶点的抛物线与x轴分别相交于B,C两点,抛物线上一点A的横坐标为2,连接AB,AC,正方形DEFG的一边GF在线段BC上,点D,E在线段AB,AC上,AK⊥x轴于点K,交DE于点H,下表给出了这条抛物线上部分点(x,y)的坐标值:x …﹣2 0 4 8 10 …y …0 5 9 5 0 …(1)求出这条抛物线的解析式;(2)求正方形DEFG的边长;(3)请问在抛物线的对称轴上是否存在点P,在x轴上是否存在点Q,使得四边形ADQP的周长最小?若存在,请求出P,Q两点的坐标;若不存在,请说明理由.19.抛物线y=ax2+bx+c,若a,b,c满足b=a+c,则称抛物线y=ax2+bx+c为“恒定”抛物线.(1)求证:“恒定”抛物线y=ax2+bx+c必过x轴上的一个定点A;(2)已知“恒定”抛物线y=x2﹣的顶点为P,与x轴另一个交点为B,是否存在以Q为顶点,与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线,使得以PA,CQ为边的四边形是平行四边形?若存在,求出抛物线解析式;若不存在,请说明理由.20.如图所示,抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且A(﹣2,0)、B(4,0),其原点为D,连接BD,点P是线段BD上的一个动点(不与B、D重合),过点P作y轴的垂线,垂足为E,连接BE.(1)求抛物线的解析式,并写出原点D的坐标;(2)设P点的坐标为(x,y),△PBE的面积为S,求S与x之间的函数关系式,写出自变量x的取值范围,并求出S的最大值;(3)在(2)的条件下,当S取值最大值时,过点P作x轴的垂线,垂足为F,连接EF,△PEF沿直线EF折叠,点P的对应点为点P′,请直接写出P′点的坐标,并判断点P′是否在该抛物线上.21.已知抛物线C1:y=ax2+bx+(a≠0)经过点A(﹣1,0)和B(3,0).(1)求抛物线C1的解析式,并写出其顶点C的坐标;(2)如图1,把抛物线C1沿着直线AC方向平移到某处时得到抛物线C2,此时点A,C分别平移到点D,E处.设点F在抛物线C1上且在x轴的下方,若△DEF是以EF为底的等腰直角三角形,求点F的坐标;(3)如图2,在(2)的条件下,设点M是线段BC上一动点,EN⊥EM交直线BF于点N,点P为线段MN的中点,当点M从点B向点C运动时:①tan∠ENM的值如何变化?请说明理由;②点M到达点C 时,直接写出点P经过的路线长.22.如图,边长为1的正方形ABCD一边AD在x负半轴上,直线l:y=x+2经过点B(x,1)与x轴,y轴分别交于点H,F,抛物线y=﹣x2+bx+c.(1)求A,D两点的坐标及抛物线经过A,D两点时的解析式;(2)当抛物线的顶点E(m,n)在直线l上运动时,连接EA,ED,试求△EAD的面积S与m之间的函数解析式,并写出m的取值范围;(3)设抛物线与y轴交于G点,当顶点E在直线l上运动时,以A,C,E,G为顶点的四边形能否成为平行四边形?若能,求出E点坐标;若不能,请说明理由.23.已知抛物线y=x2﹣2mx+m2+m﹣1(m是常数)的顶点为P,直线l:y=x﹣1(1)求证:点P在直线l上;(2)当m=﹣3时,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,与直线l的另一个交点为Q,M是x 轴下方抛物线上的一点,∠ACM=∠PAQ(如图),求点M的坐标;马鸣风萧萧(3)若以抛物线和直线l的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形,请直接写出所有符合条件的m的值.初中数学试卷鼎尚图文**整理制作马鸣风萧萧。

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1.4 二次函数的应用(二)
1.小敏在某次投篮中,球的运动路线是抛物线y =-1
5x 2+3.5的一部分(如图所
示).若命中篮圈中心,则他与篮底的距离l 是(C)
A.3 m
B.3.5 m
C.4 m
D.4.5 m
(第1题)
2.某商家销售某种商品,当单价为10元时,每天能卖出200个.现在采用提高售价的方法来增加利润,已知商品单价每上涨1元,每天的销售量就少10个,则每天的销售金额最大为(B)
A. 2500元
B. 2250元
C. 2160元
D. 2000元
3.某服装店购进单价为15元的童装若干件,销售一段时间后发现:当售价为25元时,平均每天能售出8件,而当售价每降低2元,平均每天能多售出4件.当每件的定价为__22__元时,该服装店平均每天的销售利润最大.
(第4题)
4.教练对小明推铅球的录像进行技术分析,发现铅球行进高度y(m)关于水平距离
x(m)的函数表达式为y=-
1
12
(x-4)2+3(如图所示),由此可知铅球推出的距离是
__10__m.
(第5题)
5.甲船和乙船分别从A港和C港同时出发,各沿图中箭头所指的方向航行(如图所示).现已知甲、乙两船的速度分别是16海里/时和12海里/时,且A,C两港之间的距离为10海里.问:经过多长时间,甲船和乙船之间的距离最短?最短距离为多少?(注:题中的“距离”都是指直线距离,图中AC⊥CB.)
【解】设经过t(h),甲船和乙船分别到达A′,B′处,则A′B′=A′C2+B′C2
=(10-16t)2+(12t)2
=400t2-320t+100
=400(t-0.4)2+36(t>0).
当t=0.4时,400(t-0.4)2+36有最小值36,
∴当t =0.4时,A ′B ′=36=6(海里).
即经过0.4 h ,两船之间的距离最短,为6海里.
6.向上抛掷一个小球,小球在运行过程中,离地面的距离为y(m),运行时间为x(s),y 与x 之间存在的关系为y =-1
2
x 2+3x +2.问:小球能达到的最大高度是多少?
【解】 ∵a =-1
2
<0,∴y 有最大值.
当x =-
3
2×⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫-12=3时,
y 最大=4×⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫-12×2-32
4×⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫-12=132,
即小球能达到的最大高度是13
2
m.
7.已知直角三角形的两直角边之和为2,则斜边长的最小值为__2__.
【解】 设一条直角边长为x ,则另一条直角边长为2-x.
由勾股定理得,斜边长=x 2+(2-x )2=2(x -1)2+2,∴斜边长的最小值

2.
8.某电商销售一款夏季时装,进价为40元/件,售价为110元/件,每天销售20件,每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a>0).未来30天,这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动,即从第1天起每天的单价均比前一天降1元.通过市场调研发现,该时装单价每降1元,每天销量就增加4件.在这30天内,要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t为正整数)的增大而增大,a的取值范围应为0<a<6.
【解】设未来30天每天获得的利润为y元,则
y=(20+4t)(110-40-t-a).
化简,得y=-4t2+(260-4a)t+1400-20a.
∵此抛物线开口向下,∴对称轴应为直线x=-260-4a
2×(-4)
>29.5,解得a<6.
又∵a>0,∴a的取值范围应为0<a<6.
9.一个足球被从地面向上踢出,它距地面的高度h(m)与足球被踢出后经过的时间t(s)之间的函数表达式为h=at2+19.6t.已知足球被踢出后经过4 s落地,则足球距地面的最大高度是19.6m.
【解】由题意,得t=4时,h=0,
∴0=16a+19.6×4,解得a=-4.9.
∴h=-4.9t2+19.6t.
∴足球距地面的最大高度是
-19.62
4×(-4.9)
=19.6(m).
10.如图,排球运动员站在O 处练习发球,将球从点O 正上方2 m 的A 处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足函数表达式y =a(x -6)2+h.已知球网与点O 的水平距离为9 m ,高度为2.43 m ,球场的边界距点O 的水平距离为18 m.
(第10题)
(1)当h =2.6时,求y 关于x 的函数表达式(不要求写出自变量x 的取值范围). (2)当h =2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请计算说明. (3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h 的取值范围. 【解】 (1)当h =2.6时,设y =a(x -6)2+2.6. ∵抛物线过点(0,2),∴36a +2.6=2,
解得a =-1
60.∴y =-1
60
(x -6)2+2.6.
(2)当x =9时,y =-1
60
×9+2.6=2.45>2.43,
∴球能越过球网.
当x =18时,y =-1
60
×122+2.6=0.2>0,
∴球会出界.
(3)设y =a(x -6)2+h.
当抛物线过点(0,2),(9,2.43)时,
得⎩
⎪⎨⎪⎧36a +h =2,9a +h =2.43,解得h =19375.
∵要越过球网,∴h>193
75
.
当抛物线过点(0,2),(18,0)时,
得⎩
⎪⎨⎪⎧36a +h =2,144a +h =0,解得h =83.
∵要不出边界,∴h ≥8
3
.
综上所述,h ≥8
3
.
11.某商贸公司购进某种水果的成本为20元/千克,经过市场调研发现,这种水果在未来48天的售价p(元/千克)与时间t(天)之间的函数表达式为
p =⎩⎪⎨⎪⎧1
4
t +30(1≤t ≤24,t 为整数),-1
2
t +48(25≤t ≤48,t 为整数),
且其日销售量y(kg)与时间t(天)的关系如下表:
时间t(天) 1 3 6 10 20 40 …
日销售量
y(kg) 118
114 108 100 80 40 …
(1)已知y 与t 之间的变化规律符合一次函数关系,试求第30天的日销售量是多少?
(2)问:哪一天的销售利润最大?最大日销售利润为多少?
(3)在实际销售的前24天中,公司决定每销售1 kg 水果就捐赠n 元利润(n <9)给“精准扶贫”对象.现发现:在前24天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大,求n 的取值范围.
【解】 (1)设y =kt +b.
把t =1,y =118;t =3,y =114代入,得⎩⎪⎨⎪⎧k +b =118,3k +b =114,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =-2,b =120.
∴y =-2t +120.
当t =30时,y =-2×30+120=60. ∴第30天的日销售量是60 kg. (2)设第x 天的销售利润为w 元. 当1≤t ≤24时,由题意,得
w =(-2t +120)⎝ ⎛⎭
⎪⎪

14t +30-20
=-1
2
(t -10)2+1250,
∴当t =10时,w 最大,为1250. 当25≤t ≤48时,
w =(-2t +120)⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫-12t +48-20 =t 2-116t +3360.
∵对称轴为直线x =58,a =1>0, ∴在对称轴左侧w 随t 的增大而减小, ∴当t =25时,w 最大,为1085.
综上所述,第10天利润最大,最大利润为1250元. (3)设每天扣除捐赠后的日销售利润为m 元.
由题意,得m =(-2t +120)⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫14t +30-20-(-2t +120)n =-12t 2+(10+2n)t +1200-120n.
∵在前24天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大,
∴-
10+2n
2×⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
-12≥24,∴n ≥7.
又∵n <9,∴n 的取值范围为7≤n <9.。

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