必修5新学案---均值不等式)

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第三章3.2第1课时均值不等式-人教B版高中数学必修5学案

§3.2 均值不等式第1课时均值不等式学习目标 1.理解均值不等式的内容及证明．2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小．3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式．知识点一算术平均值与几何平均值对任意两个正实数a ，b ，数a ＋b2叫做a ，b 的算术平均值，数ab 叫做a ，b 的几何平均值，两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．知识点二均值不等式常见推论 1．均值定理如果a ，b ∈R ＋a ＝b 时，等号成立，以上结论通常称为均值定理，又叫均值不等式．均值定理可叙述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值． 2．常见推论(1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R )； (2)b a ＋ab≥2(a ，b 同号)； (3)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．1．对于任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ．( √ ) 2．n ∈N ＋时，n ＋2n ≥22．( √ )3．x ≠0时，x ＋1x ≥2．( × )4．a >0，b >0时，1a ＋1b ≥4a ＋b ．( √ )题型一常见推论的证明例1 证明不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．证明 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0， ∴a 2＋b 2≥2ab ．引申探究1．求证a ＋b2≥ab (a ＞0，b ＞0)．证明方法一a ＋b 2－ab ＝12[(a )2＋(b )2－2a · b ]＝12· (a －b )2≥0，当且仅当a ＝b ，即a ＝b 时，等号成立．方法二由例1知，a 2＋b 2≥2ab ．∴当a ＞0，b ＞0时有(a )2＋(b )2≥2a b ，即a ＋b ≥2ab ，a ＋b2≥ab ．2．证明不等式⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R )．证明由例1，得a 2＋b 2≥2ab ， ∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ，两边同除以4，即得⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时，取等号．反思感悟 (1)作差法与不等式性质在证明中常用，注意培养应用意识．(2)不等式a 2＋b 2≥2ab 和均值不等式ab ≤a ＋b 2成立的条件是不同的，前者要求a ，b 都是实数，后者要求a ，b 都是正数．跟踪训练1 当a ＞0，b ＞0时，求证：21a ＋1b ≤ab .证明 ∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ≥2ab ＞0， ∴1a ＋b ≤12ab ，∴2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ．又∵2ab a ＋b ＝21a ＋1b ，∴21a ＋1b ≤ab (当且仅当a ＝b 时取等号)．题型二用均值不等式证明不等式例2 已知x ，y 都是正数．求证：(1)y x ＋xy≥2；(2)(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3.证明 (1)∵x ，y 都是正数，∴x y >0，yx >0，∴y x ＋xy≥2 y x ·x y ＝2，即y x ＋xy≥2，当且仅当x ＝y 时，等号成立． (2)∵x ，y 都是正数，∴x ＋y ≥2xy >0， x 2＋y 2≥2x 2y 2>0，x 3＋y 3≥2x 3y 3>0， ∴(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3) ≥2xy ·2x 2y 2·2x 3y 3＝8x 3y 3，即(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3，当且仅当x ＝y 时，等号成立．反思感悟利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项：①多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；②同向不等式相加是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用均值不等式证明的可重新组合，形成均值不等式模型，再使用．跟踪训练2 已知a ，b ，c 都是正实数，求证：(a ＋b )(b ＋c )·(c ＋a )≥8abc . 证明 ∵a ，b ，c 都是正实数，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0， ∴(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥2ab ·2bc ·2ca ＝8abc ，即(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．题型三用均值不等式比较大小例3 某工厂生产某种产品，第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x (a ，b ，x 均大于零)，则( ) A ．x ＝a ＋b2B ．x ≤a ＋b2C ．x ＞a ＋b2D ．x ≥a ＋b2答案 B解析第二年产量为A ＋A ·a ＝A (1＋a )，第三年产量为A (1＋a )＋A (1＋a )·b ＝A (1＋a )(1＋b )．若平均增长率为x ，则第三年产量为A (1＋x )2．依题意有A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b )， ∵a ＞0，b ＞0，x ＞0， ∴(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )≤⎣⎡⎦⎤(1＋a )＋(1＋b )22，∴1＋x ≤2＋a ＋b 2＝1＋a ＋b2，∴x ≤a ＋b2(当且仅当a ＝b 时，等号成立)．反思感悟均值不等式a ＋b2≥ab 一端为和，一端为积，使用均值不等式比较大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．跟踪训练3 设a ＞b ＞1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝lg a ＋lg b2，R ＝lga ＋b2，则P ，Q ，R 的大小关系是( ) A ．R 0， ∴lga ＋b 2＞lg ab ＝12(lg a ＋lg b )，即R ＞Q ．② 综合①②，有P <Q <R ．演绎：从一般到特殊典例 (1)当x ＞0，a ＞0时，证明x ＋ax ≥2a ；(2)当x ＞－1时，证明x 2＋7x ＋10x ＋1≥9.证明 (1)∵x ＞0，a ＞0，∴ax＞0．由均值不等式可知，x ＋ax ≥2x ·ax＝2a ．当且仅当x ＝a 时，等号成立． (2)x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5．∵x ＞－1，∴x ＋1＞0． ∴(x ＋1)＋4x ＋1≥24＝4，∴(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥9，即x 2＋7x ＋10x ＋1≥9．当且仅当x ＝1时，等号成立．[素养评析] 逻辑推理主要有两类：从特殊到一般，从一般到特殊，演绎就是从一般到特殊的一种推理形式．在本例中，“一般”指均值不等式a ＋b 2≥ab ．当我们对a ，b 赋予特殊值．如令a ＝x ，b ＝ax ，就有x ＋ax≥2a ；①再令①中的x ＝x ＋1，a ＝4，就有x ＋1＋4x ＋1≥24．均值不等式的应用关键就是给a ，b 赋予什么样的值．1．若0<a a ＋b 2>ab >bB ．b >ab >a ＋b2>aC ．b >a ＋b 2>ab >aD ．b >a >a ＋b2>ab答案 C解析 ∵0<a a ＋b ，∴b >a ＋b2>ab ．∵b >a >0，∴ab >a 2，∴ab >a ．故b >a ＋b2>ab >a ．2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C ．2xx 2＋1≤1D ．x ＋1x ≥2答案 C解析对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立；对于C ，x 2＋1≥2x ，∴2xx 2＋1≤1成立．故选C ． 3．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A ．a ＋d 2>bcB ．a ＋d2<bcC ．a ＋d 2＝bcD ．a ＋d 2≤bc答案 A解析因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d 2＝b ＋c2>bc ．4．lg 9×lg 11与1的大小关系是( ) A ．lg 9×lg 11>1 B ．lg 9×lg 11＝1 C ．lg 9×lg 11<1 D ．不能确定答案 C解析 ∵lg 9>0，lg 11>0， ∴lg 9×lg 11<⎝⎛⎭⎫lg 9＋lg 1122＝⎣⎡⎦⎤lg(9×11)22＝⎝⎛⎭⎫lg 9922<⎝⎛⎭⎫lg 10022＝1，即lg 9×lg 11<1．5．设a >0，b >0，给出下列不等式： ①a 2＋1>a ； ②⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ≥4； ③(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4；④a 2＋9>6a ．其中恒成立的是________．(填序号) 答案 ①②③解析由于a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0，故①恒成立；由于a ＋1a ≥2，b ＋1b ≥2，∴⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ≥4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立，故②恒成立；由于a ＋b ≥2ab ，1a ＋1b≥21ab，故(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故③恒成立；当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故④不恒成立．综上，恒成立的是①②③．1．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取等号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时，a ＋b 2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b ．2. 在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式．一、选择题1．a ，b ∈R ，则a 2＋b 2与2|ab |的大小关系是( ) A ．a 2＋b 2≥2|ab | B ．a 2＋b 2＝2|ab | C ．a 2＋b 2≤2|ab | D ．a 2＋b 2>2|ab |答案 A解析 ∵a 2＋b 2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0，∴a 2＋b 2≥2|ab |(当且仅当|a |＝|b |时，等号成立)． 2．若a ，b ∈R 且ab >0，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋a b≥2答案 D解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误；对于B ，C ，当a <0，b <0时，显然错误；对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab ≥2b a ·ab＝2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．3．对于a ＞0，b ＞0，下列不等式中不正确的是( ) A ．ab 2＜1a ＋1bB ．ab ≤a 2＋b 22C ．ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22D ．⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22答案 A解析当a ＞0，b ＞0时，因为21a ＋1b ≤ab ，所以2ab ≤1a ＋1b ，当且仅当a ＝b 时等号成立，故A 不正确；显然B ，C ，D 均正确．4．设f (x )＝ln x ,0<a pD ．p ＝r >q 答案 B解析因为0<a ab ．又因为f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2>f (ab )，即p <q ．而r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln(ab )＝ln ab ，所以r ＝p ，故p ＝r <q ，故选B.5．已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是( ) A ．a ＋b ＋1ab≥2 2 B ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 C ．a 2＋b 2ab ≥2abD ．2ab a ＋b>ab答案 D 解析 a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab ≥ 22，当且仅当a ＝b ＝22时，等号成立，A 成立； (a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab＝4，当且仅当a ＝b 时，等号成立，B 成立； ∵a 2＋b 2≥2ab >0，∴a 2＋b 2ab ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，C 成立；∵a ＋b ≥2ab ，且a ，b ∈(0，＋∞)， ∴2ab a ＋b ≤1，2aba ＋b≤ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，D 不成立．6．下列说法正确的是( )A ．若x ≠k π，k ∈Z ，则⎝⎛⎭⎫sin 2x ＋4sin 2x min ＝4 B ．若a <0，则a ＋4a≥－4C ．若a >0，b >0，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg bD ．若a <0，b <0，则b a ＋a b ≥2答案 D解析对于A ，x ≠k π，k ∈Z ，则sin 2x ∈(0,1]．令t ＝sin 2x ，则y ＝t ＋4t ，函数y 在(0,1]上单调递减，所以y ≥5，即sin 2x ＋4sin 2x ≥5，当sin 2x ＝1时，等号成立．对于B ，若a <0，则－a >0，－4a >0．∴a ＋4a ＝－⎣⎡⎦⎤(－a )＋⎝⎛⎭⎫－4a ≤－4，当且仅当a ＝4a ，即a ＝－2时，等号成立．对于C ，若a ∈(0，1)，b ∈(0，1)，则lg a <0，lg b <0，不等式不成立．对于D ，a <0，b <0，则b a >0，ab >0，∴b a ＋ab≥2b a ·ab＝2，当且仅当b a ＝ab ，即a ＝b 时，等号成立．二、填空题7．设正数a ，使a 2＋a －2＞0成立，若t ＞0，则12log a t ________log a t ＋12.(填“＞”“≥”“≤”或“＜”) 答案 ≤解析 ∵a 2＋a －2＞0，∴a ＞1或a ＜－2(舍)， ∴y ＝log a x 是增函数，又t ＋12≥ t ，∴log a t ＋12≥log a t ＝12log a t ． 8．设a ，b 为非零实数，给出不等式：①a 2＋b 22≥ab ；②a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22；③a ＋b 2≥ab a ＋b；④a b ＋b a ≥2．其中恒成立的不等式是________．答案 ①②解析由重要不等式a 2＋b 2≥2ab ，可知①正确；a 2＋b 22＝2(a 2＋b 2)4＝(a 2＋b 2)＋(a 2＋b 2)4≥a 2＋b 2＋2ab 4＝(a ＋b )24＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，可知②正确；当a ＝b ＝－1时，不等式的左边为a ＋b2＝－1，右边为ab a ＋b＝－12，可知③不正确；当a ＝1，b ＝－1时，可知④不正确．9．已知a ＞b ＞c ，则(a －b ) (b －c )与a －c2的大小关系是____________________________．答案(a －b ) (b －c )≤a －c2解析因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，所以a －c 2＝(a －b )＋(b －c )2≥(a －b ) (b －c )，当且仅当a －b ＝b －c 时，等号成立．10．设a ＞1，m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a ＋1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系是________．(用“＞”连接) 答案 m ＞p ＞n解析 ∵a ＞1，∴a 2＋1＞2a ＞a ＋1，∴log a (a 2＋1)＞log a (2a )＞log a (a ＋1)，故m ＞p ＞n ．三、解答题11．设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c ．证明 ∵a ，b ，c 都是正数， ∴bc a ，ca b ，abc也都是正数， ∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋abc ≥2b ，三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 12．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab ≥8；(2)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9．证明 (1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)． (2)方法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a，同理，1＋1b ＝2＋a b， ∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)．方法二 ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab．由(1)知，1a ＋1b ＋1ab≥8，故⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．13．设0<a <12 答案 C解析 ∵0<a <10，－log b a ＞0，∴(－log a b )＋(－log b a )＝(－log a b )＋⎝⎛⎭⎫－1log a b ≥2，当且仅当ab ＝1时，等号成立，∴log a b ＋log b a ≤－2．14．设x ，y 为正实数，且xy －(x ＋y )＝1，则( )A ．x ＋y ≥2(2＋1)B ．xy ≤2＋1C ．x ＋y ≤(2＋1)2D ．xy ≥2(2＋1) 答案 A解析 ∵x ，y 为正实数，且xy －(x ＋y )＝1，xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，∴⎝⎛⎭⎫x ＋y 22－(x ＋y )－1≥0，解得x ＋y ≥2(2＋1)，当且仅当x ＝y ＝1＋2时取等号．。

2020-2021学年苏教版必修五均值不等式学案

2020-2021学年苏教版必修五均值不等式学案
不等式性质定理的证明，是学生容易产生困惑的内容．成因有三：其一，初学不等式证明，学生对证题过程、证题技巧感到陌生；其二，学生对实数理论与不等式性质之间的逻辑关系了解得不够透彻；其三，对不等式性质定理的证明中，所采用的比较法、综合法、数学归纳法、反证法的必要性，了解得不深不透．既然有()2
2222⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+b a b a ，那么在求最值时，下面两个平均值不等式222b a ab +≤，()22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab ，到底应该使用哪个？如果使用()2
2⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab 时，是否没有取到最大值222b a +呢？原因是对不等式()2
2222⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+b a b a ，222b a ab +≤，()22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab 中，等号成立的条件的忽略．当a = b 时，2
2222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b a b a ，222b a ab +=，22⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b a ab 均成立．因此，使用222b a ab +≤与22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab 求a = b 的最大值均可．
使用比较法证明不等式的难点在于解不等式变形的形式不惟一．有时变形为连乘积，有时变形为几个式子的完全平方和等应归结为一句，变形到容易讨论差数（或差式）是正还是负的形式．。

高中数学人教版必修5——第十三讲均值不等式(解析版)

高中数学人教版必修5——第十三讲均值不等式(解析版)第十三讲均值不等式(解析版)在高中数学的学习中，均值不等式是一条非常重要的数学定理。

它能够帮助我们找到一组数的平均值与其他特定的数值之间的关系。

本文将详细解析高中数学人教版必修5中的第十三讲——均值不等式。

一、均值不等式的定义和性质均值不等式实际上是按平均值来衡量一组数与其他数值之间的大小关系。

它包含了算术平均值、几何平均值和平方平均值等不同的形式。

算术平均值是最为熟悉的一种形式，它表示一组数相加后除以元素个数得到的结果。

几何平均值是将一组数相乘后开根号得到的结果。

平方平均值是将一组数的平方相加后除以元素个数再开根号得到的结果。

在不等式的关系中，对于正实数来说，有以下几个性质：1. 当所有元素相等时，算术平均值、几何平均值和平方平均值相等。

2. 当所有元素不相等时，算术平均值大于几何平均值，而几何平均值大于平方平均值。

3. 对于正实数来说，算术平均值大于几何平均值，并且它们都大于平方平均值。

二、均值不等式的应用均值不等式在数学问题的解决中具有广泛的应用。

它可以帮助我们证明和推导其他重要的数学关系。

1. 证明与推导在证明和推导方面，均值不等式可以帮助我们解决一些复杂的不等式问题。

通过运用不同形式的均值不等式，我们可以逐步地推导出更为严格的不等式关系。

例如，在求证某个不等式问题时，我们可以使用算术平均值与几何平均值之间的关系来逐步推导出正确的结论。

2. 理解与比较均值不等式还能够帮助我们理解和比较数列的大小关系。

通过对数列的算术平均值、几何平均值和平方平均值的比较，我们可以得出一些关于数列性质的结论。

例如，当一组数的算术平均值大于几何平均值时，就能够说明这组数存在着某种程度的波动和不均匀性。

三、均值不等式的例题解析下面，我们将通过一些例题来具体解析均值不等式的应用。

例题1：已知a、b、c为正实数，证明(a+b)(a+c)(b+c)≥8abc。

解析：我们可以通过均值不等式来证明这个不等式关系。

人教B版高中数学必修5-3.2导学案2-均值不等式

3．2 均值不等式（一）一、学习目标：1．掌握均值定理的推导2．培养学生应用均值定理分析问题、解决问题的能力.二、重点难点：重点：均值定理的推导极其应用难点：均值定理在实际问题中的应用三、学习过程：（一）自学教材，填空1.正数a 、b 的算术平均数为；几何平均数为．2.均值不等式是。

其中前者是，后者是．如何给出几何解释？3.在均值不等式中a 、b 既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证；另外等号成立的条件是．4.试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件（1）a 2+b 2 （）（2）2b a （）（3）a b ＋ba （）（4）ab≤ （）（5）x ＋x 1 (x>0)（6）x ＋x1 (x<0) 5.在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b 或ab 是否为值，并且还需要注意等号是否成立．（二）典型例题例1.已知a 、b 、c ∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证a 1 +b 1+c1≥9．例2.（1）一个矩形的面积为100m 2。

问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长为36m 。

问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？（三）课堂训练1.已知a 、b ∈（0，1）且a≠b ，下列各式中最大的是（）A ．a 2+b 2B ．2abC ．2a bD ．a +b2.判断下列不等式的证明过程中的正误，并指出错因。

（1）若a 、b ∈R ，则a b ＋ba ≥2b a a b ∙＝2（）（2）若x 、y ∈R ＋，则lgx ＋lgy≥2y x lg lg ∙（）（3）x ∈R －，则x ＋x4≥－2x x 4∙＝－4（）（4）若x ∈R ，则x 2＋x -2≥2x x -∙22＝2（）3.x ∈R ，下列不等式恒成立的是（）A ．x 2+1≥xB ．112+x <1 C ．lg(x 2+1)≥lg(2x) D ．x 2+4>4x 4.设x>0，则函数y=2－x 4－x 的最大值为；此时x 的值是。

高中数学必修5-均值不等式

均值不等式复习（学案）基础知识回顾 1．均值不等式：ab ≤a ＋b2(1)均值不等式成立的条件：_______________.(2)等号成立的条件：当且仅当____________时取等号． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．注意：使用均值不等式求最值，前提是“一正、二定、三相等” 3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，均值不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用均值不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1) 如果积xy 是定值p ，那么当且仅当________时，__________有最_____值是_____(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当_____时，____有最______值是_______.(简记：和定积最大) 双基自测1．函数y ＝x ＋1x(x ＞0)的值域为( )．A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1.其中正确的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．33．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( )．A.1a ＋1b有最大值4B ．ab 有最小值14C.a ＋b 有最大值 2D ．a 2＋b 2有最小值224.若实数b a ,满足2=+b a ，则ba33+的最小值是( )A ．18 B. 6 C. 32 D. 432 5.若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值围是 . 6.若+∈R y x ,,且12=+y x ，则yx 11+的最小值为 . 典型例题类型一利用均值不等式求最值1．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)的最小值为____________.2．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．3. 当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． 4. 已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________； 5. 若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．6. 已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．7. 已知532,(0,0)x y x y+=>>,则xy 的最小值是_____________ 8．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________．类型二. 证明题1.已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c≥9.2.正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc类型三. 恒成立问题 1.若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值围是________．2.已知不等式1()()9ax y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为巩固练习1．已知x ＞0，y ＞0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则2()a b cd+的最小值是A ．0B ．1C ．2D ．42．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )．A.13B.12C.34D.233．把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为( )．A ．4B ．8C ．16D ．324. 设x 、y 为正数，则有(x+y)(1x ＋4y)的最小值为（）A ．15B ．12C ．9D ．65. 已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 .6. 已知54x <，则函数14245y x x =-+-的最大值为 7. 已知x 、y 为正实数，且121+=x y，则x+y 的最小值。

人教B版必修五 3.2均值不等式一学案

下问题
1、均值不等式成立的前提条件是什么？等号成立的条件是什么？
2、两个正数的算术平均值和几何平均值含义
3、求两个正数的和的最小值，积必须满足条件是什么？求两个正数的积的最大值，和必须满足条件是什么？
【自我检测】
一.判断下列解法是否正确？为什么？
1.求函数的值域
解：，当且仅当时等号成立
所以当时，函数有最小值2
2.求函数的值域
解：，，
所以函数有最小值2.
3.求函数的值域
解：，
，当且仅当时等号成立，
=6，所以函数有最小值6.
二求下列函数的最值：
1.函数 2.函数
3.设，则函数
4、设，求函数的最小值
合作探究：利用均值不等式求最值
【探究1】例1、若，求的最小值
3．设，求的最小值
规律总结
课堂小结
本节课学了哪些重要内容？
本节反思
反思一下本节课，你收获到了什么
若，求的最大值
变式1求函数的最小值
2、求函数）的最小值
3求函数的最小值
【探究2】例2：求函数的最大值
变式练习：求函数的最值为
【探究3】例3.已知 , 求的最小值
变式练习(1)：已知： , ，求的最小值
(2)已知： , ，求的最小值
【当堂检测】
1.若，则的最小值是
2.求函数的最小值,以及相应的的值
均值不等式（）月（）日
编者:审稿人：全组人员星期授课类型：新授课
学习目标
1.通过知识梳理准确记忆均值不等式及其几个重要的不等式.
2.通过自我检测的训练，能应用均值不等式求最值，会灵活对函数变形进而应用均值不等式．

高中数学均值不等式教案

高中数学均值不等式教案
一、教学目标：
1. 了解均值不等式的定义及性质；
2. 掌握均值不等式的应用方法；
3. 进一步提高解题能力。

二、教学重点：
1. 均值不等式的应用；
2. 锻炼解题的能力。

三、教学难点：
1. 熟练掌握均值不等式的条件；
2. 熟练掌握均值不等式的应用方法。

四、教学过程：
1. 导入：通过一道简单的数学题目引入均值不等式的概念，引发学生的兴趣。

2. 学习：讲解均值不等式的定义及性质，并通过例题讲解均值不等式的应用方法。

3. 操练：让学生练习一些相关的习题，巩固所学知识。

4. 拓展：引导学生拓展思维，尝试更加复杂的问题，提高解题能力。

5. 总结：对学生掌握的知识进行总结，强调均值不等式在解题中的重要性。

五、课后作业：
1. 完成相关习题；
2. 拓展练习，提高解题能力。

六、教学反思：
本节课教学内容较为简单，但要求学生掌握均值不等式在解题中的应用方法，需要不断练习和巩固。

在今后的教学中，应该加强对学生解题能力的培养，使他们能够灵活运用所学知识解决问题。

数学：3.2《均值不等式》教案 (新人教B版必修5)

3.2 均值不等式教案教学目标：推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理.利用均值定理求极值.了解均值不等式在证明不等式中的简单应用教学重点：推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理利用均值定理求极值教学过程一、复习：1、复习不等式的性质定理及其推论1：a>b ⇔b<a2：a>b,b>c ⇒a>c(或c<b,b<a ⇒c<a)(传递性)3：a>b ⇒a+c>b+c(或ac ⇒a>c-b(移项法则)(2)：a>b,c>d ⇒a+c>b+d4、若a>b,且c>0，那么ac>bc ；若a>b,且c<0，那么ac<bc.(1)、若a>b>0,且c>d>0，则ac>bd(2)、若a>b>0,则a n >b n (n ∈+N ,且n>1)(3)、若a>b>0,则n n b a > (n ∈+N ,且n>1)2、定理变式：如果a,b ∈R ，那么a 2+b 2≥2ab （当且仅当a=b 时，等号成立）3、均值定理：如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 证明：∵,2)()(22ab b a ≥+b a ≥+∴ab b a ≥+2显然，当且仅当ab b a b a =+=2,时说明：ⅰ）我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数ⅱ）ab ba ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实数，而后者要求a,b 都是正数ⅲ）“当且仅当”的含义是等价3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”以长为a +b 的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C ，使AC=a,CB=b 过点C 作垂直于直径AB 的弦DD ′,那么CB CA CD ⋅=2，即ab CD =这个圆的半径为2b a +，显然，它不小于CD ，即ab b a ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合；即a=b 时，等号成立应用例题：例1、已知a 、b 、c ∈R ，求证：不等式的左边是根式，而右边是整式，应设法通过适当的放缩变换将左边各根式的被开方式转化为完全平方式，再利用不等式的性质证得原命题。

人教新课标版数学高二-人教B版必修5学案 3.2 均值不等式 (二)

3．2 均值不等式 (二)1.熟练掌握均值不等式及变形的应用.2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题．1．已知x ，y 都是正数，若x ＋y ＝s (和为定值)，那么xy 有最大值还是最小值？如何求？答 xy 有最大值．由均值不等式，得s ＝x ＋y ≥2xy ，所以xy ≤s 24，当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24. 2．已知x ，y 都是正数，若xy ＝p (积为定值)，那么x ＋y 有最大值还是最小值？如何求？答 x ＋y 有最小值. 由均值不等式，得x ＋y ≥2xy ＝2p .当x ＝y 时，x ＋y 取得最小值2p .1．用均值不等式求最值的结论(1)设x ，y 为正实数，若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24. (2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p .2．均值不等式求最值的条件(1)x ，y 必须是正数；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足.要点一均值不等式与最值例1 (1)若x >0，求函数y ＝x ＋4x的最小值，并求此时x 的值； (2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值； (3)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值；(4)已知x >0，y >0，且 1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．解 (1)当x >0时，x ＋4x ≥2 x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4x，即x 2＝4，x ＝2时取等号． ∴函数y ＝x ＋4x(x >0)在x ＝2时取得最小值4. (2)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2≤2hslx3y3h 2x ＋(3－2x )243－x＋(3－x )6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×19x (x ＋1)＋90032(3－2t ＋1)＋3(x －2)＋1x －2． (2)∵a v ＋b v ≥2ab ，当且仅当av ＝b v ，即v ＝ab 时，取“＝”．若a b ≤c ，当v ＝ab 时，y min ＝2s ab ；若ab >c ，下面用单调性来求y 的最小值．设0<v 1<v 2≤c ，y 1－y 2＝s (a v 1＋b v 1－a v 2－b v 2)＝s (v 1－v 2)(b －a v 1v 2)＝s (v 1－v 2)b v 1v 2－a v 1v 2.∵v 1－v 2<0,0<v 1<v 2≤c ，∴b v 1v 2<bc 2<a ，∴y 1－y 2>0.∴y ＝s (b v ＋a v )在(0，c (6－y )＋y 2hslx3y3h 2＝272. 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5.(2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y . 方法一 ∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24，∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝4. 故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．方法二由xy ＝24，得x ＝24y .∴l ＝4x ＋6y ＝96y ＋6y ＝6(16y ＋y )≥6×216y·y ＝48. 当且仅当16y＝y ，即y ＝4时，等号成立，此时x ＝6. 故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．。

人教新课标版数学高二-人教B版必修5学案 3.2 均值不等式 (一)

3．2 均值不等式 (一)1.理解均值不等式的内容及证明.2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式．下列说法中，正确的有________． (1) a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2；(2)(a ±b )2≥0； (3) a 2＋b 2≥(a ＋b )2；(4) (a ＋b )2≥(a －b )2. 答案 (1)(2)解析当a ，b 同号时，有a 2＋b 2≤(a ＋b )2，所以(3)错误；当a ，b 异号时，有(a ＋b )2≤(a －b )2，所以(4)错误．1．重要不等式对于任意实数a ，b ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．均值定理如果a ，b ∈R ＋a ＝b 时，等号成立．3．算术平均值与几何平均值对任意两个正实数a ，b ，数a ＋b2叫做a ，b 的算术平均值，数ab 叫做a ，b 的几何平均值．故均值定理可以表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值． 4．均值定理的常用推论(1)ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．(2)当ab >0时，b a ＋a b ≥2；当ab <0时，b a ＋ab ≤－2.(3)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R ).要点一均值不等式的证明例1 证明下列不等式，并指出“＝”号成立的条件：(1)a 2＋b 2≥2ab ； (2) ab ≤a ＋b2( a >0，b >0)．证明 (1) ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0， ∴a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，取“＝”．(2) ∵a ＋b －2ab ＝(a )2＋(b )2－2a ·b ＝(a －b )2≥0. ∴a ＋b ≥2ab .∴ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，取“＝”．规律方法a 2＋b 2≥2ab对a 、b ∈R 都成立，a ＋b2≥ab 成立的条件是a ，b ∈R ＋，两个不等式“＝”号成立的条件都是a ＝b .跟踪演练1 还有一种证明ab ≤a ＋b2( a >0，b >0)的方法叫做分析法，下面设计了分析法证明这个不等式的过程，你能不能把过程中留的空填正确？要证：a ＋b2≥ab (a >0，b >0) ① 只要证：a ＋b ≥________② 要证②，只要证a ＋b －________≥0③ 要证③，只要证 (________－________)2≥0④显然， ④是成立的，当且仅当a ＝b 时， ④的等号成立．答案 2ab 2abab要点二均值不等式的直接应用例2 (1)已知a ，b ，c 为任意的实数，求证a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . (2)已知a ，b ，c 为不全相等的正数，求证a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca . 证明 (1)∵ a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca . ∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，即a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .(2)∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴a ＋b ≥2 ab ＞0，b ＋c ≥2 bc ＞0，c ＋a ≥2ca ＞0. ∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )，即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca .规律方法在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式．跟踪演练2 已知x ，y 都是正数．求证：(1)y x ＋xy≥2；(2)(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3.证明 (1)∵x ，y 都是正数， ∴x y ＞0，yx ＞0，∴x y ＋yx≥2x y ·y x ＝2，即x y ＋yx≥2.当且仅当x ＝y 时，等号成立． (2)∵x ，y 都是正数，∴x ＋y ≥2xy ＞0，x 2＋y 2≥2x 2y 2＞0，x 3＋y 3≥2x 3y 3＞0. ∴(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥2xy ·2x 2y 2·2x 3y 3＝8x 3y 3.即(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3，当且仅当x ＝y 时，等号成立．要点三含条件的不等式的证明例3 已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.证明 ∵a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．规律方法使用均值不等式证明问题时，要注意条件是否满足，同时注意等号能否取到，问题中若出现“1”要注意“1”的整体代换，多次使用均值不等式，要注意等号能否同时成立．跟踪演练3 已知a ，b ，x ，y ∈R ，且a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1，求证：ax ＋by ≤1.证明 ∵a 2＋x 2≥2ax ，b 2＋y 2≥2by ， ∴a 2＋x 2＋b 2＋y 2≥2ax ＋2by ，又∵a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1， ∴2ax ＋2by ≤2，∴ax ＋by ≤1.1．不等式m 2＋1≥2m 中等号成立的条件是( ) A ．m ＝1 B ．m ＝±1 C ．m ＝－1 D ．m ＝0 答案 A2．若0<a a ＋b 2>ab >bB ．b >ab >a ＋b2>aC ．b >a ＋b 2>ab >aD ．b >a >a ＋b2>ab答案 C解析 ∵0<a a ＋b ，∴b >a ＋b2.∵b >a >0，∴ab >a 2，∴ab >a .故b >a ＋b2>ab >a .3．如果0<a Q >MB ．Q >P >MC ．Q >M >PD ．M >Q >P 答案 B解析 P ＝log 12a ＋b 2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )＝log 12ab ，M ＝12log 12(a ＋b )＝log 12a ＋b ，∴只需比较a ＋b 2，ab ，a ＋b 的大小，显然a ＋b2>ab ，又因为a ＋b 2<a ＋b (由a ＋b >(a ＋b )24，也就是a ＋b4<1)，∴a ＋b >a ＋b 2>ab .而y ＝log 12x 为减函数，故Q >P >M ，选B.4．已知0<a <1,00，b >0，∴a ＋b ≥2ab ，a 2＋b 2≥2ab ， ∴四个数中最大数应为a ＋b 或a 2＋b 2. 又∵0<a <1,0<b <1， ∴a 2＋b 2－(a ＋b )＝a 2－a ＋b 2－b ＝a (a －1)＋b (b －1)<0， ∴a 2＋b 2<a ＋b ，∴a ＋b 最大．方法二令a ＝b ＝12，则a ＋b ＝1，2ab ＝1，a 2＋b 2＝12，2ab ＝2×12×12＝12，再令a ＝12，b ＝18，a ＋b ＝12＋18＝58，2ab ＝212·18＝12， ∴a ＋b 最大．1．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时，a ＋b2＝ab ；另一方面：当a ＋b 2＝ab 时，也有a ＝b .2．由均值不等式变形得到的常见的结论： (1)ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22；(2)ab ≤a ＋b2≤ a 2＋b 22(a ，b ∈R +)；(3)b a ＋ab≥2(a ，b 同号)；(4)(a ＋b )(1a ＋1b)≥4(a ，b ∈R +)；(5)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .一、基础达标1．若0<a 0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b≥2 答案 D解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误．对于B 、C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab≥2b a ·a b＝2. 3．若x >0，y >0，且x ＋y ＝4，则下列不等式中恒成立的是( ) A.1x ＋y ≤14 B.1x ＋1y ≥1 C.xy ≥2 D.1xy≥1 答案 B解析若x >0，y >0，由x ＋y ＝4，得x ＋y4＝1，∴1x ＋1y ＝14(x ＋y )(1x ＋1y )＝14(2＋y x ＋x y )≥14(2＋2)＝1(当且仅当x ＝y ＝2时取等号)． 4．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的个数为( ) ①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 ∵ab ≤(a ＋b 2)2＝1，∴①正确；∵(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤2＋a ＋b ＝4，∴a ＋b ≤2，故②不正确； ∵a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝2，∴③正确；∵a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝2＝2(4－3ab )＝8－6ab ≥8－6＝2， ∴④不正确；故正确的为①③，共2个．故选C.5．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________．答案恒成立，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，2恒成立⇔ax ≤x 2＋1，x ∈(0,1恒成立． ∵x ∈(0,115，＋∞)解析令f (x )＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3，∵x >0，∴x ＋1x ≥2，∴f (x )≤12＋3＝15，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立，即f (x )的最大值为15.若使不等式恒成立，只需a ≥15即可．12．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab ≥8； (2)(1＋1a )(1＋1b)≥9.证明 (1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2(1a ＋1b )，∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋ba ≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．(2)方法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋ba ，同理，1＋1b ＝2＋a b ，∴(1＋1a )(1＋1b )＝(2＋b a )(2＋ab )＝5＋2(b a ＋ab)≥5＋4＝9.∴(1＋1a )(1＋1b )≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．方法二 (1＋1a )(1＋1b )＝1＋1a ＋1b ＋1ab .由(1)知，1a ＋1b ＋1ab ≥8，故(1＋1a )(1＋1b )＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9.三、探究与创新13．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1.求证： (1a －1)(1b －1)(1c －1)≥8. 证明 ∵a ＋b ＋c ＝1， ∴(1a －1)(1b －1)(1c－1) ＝(a ＋b ＋c a －1)(a ＋b ＋c b －1)(a ＋b ＋c c －1)＝(b a ＋c a )(a b ＋c b )(a c ＋b c ) ＝a c ＋b c ＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋2 ＝(b a ＋a b )＋(c b ＋b c )＋(c a ＋ac )＋2. ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)， ∴b a ＋a b ≥2，c b ＋b c ≥2，c a ＋ac ≥2， ∴(b a ＋a b )＋(c b ＋b c )＋(c a ＋ac)≥6，∴(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立.。

高三数学必修5(B版)_《均值不等式》参考教案2

3.2均值不等式【教学目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式2a b ab +≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值；能够解决一些简单实际问题。

3．情态与价值：通过本节的学习，引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a b ab +≤的证明过程；【教学难点】基本不等式2a b ab +≤等号成立条件及其应用，利用基本不等式2a b ab +≤求最大值、最小值。

【教学过程】一、课题导入基本不等式2a b ab +≤的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

二、讲授新课1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。

这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。

由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。

2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a3．思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2a b ab +≤ 特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥，通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a b ab +≤2）从不等式的性质推导基本不等式2a b ab +≤ 用分析法证明：要证 2a b ab +≥ （1）只要证 a+b ≥ （2）要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3）要证（3），只要证（ - ）2 （4）显然，（4）是成立的。

2019-2020学年高中数学人教B版必修5学案：3.2均值不等式学案

3.2 均值不等式1．探索并了解均值不等式的证明过程，理解均值不等式成立的条件，等号成立的条件及几何意义． 2．会用均值不等式解决简单的问题．3．掌握运用均值不等式a ＋b2≥ab 求最值的常用方法及需注意的问题．1．重要不等式：对于任意实数a ，b ，有a 2＋b 2____2ab ，当且仅当______时，等号成立．(1)重要不等式成立的条件是a ，b ∈R .它既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的代数式，因此应用范围较广；(2)等号成立的条件是当且仅当a ＝b ，即当a ＝b 时，等号成立；反之，等号成立时有a ＝b .【做一做1】不等式a ＋1≥2a(a ＞0)中等号成立的条件是( )． A ．a ＝2 B ．a ＝1 C ．a ＝12D ．a ＝02．(1)均值不等式：如果a ，b ∈R ＋，那么__________，当且仅当______时，等号成立．也叫基本不等式． (2)对任意两个正实数a ，b ，数a ＋b 2叫做a ，b 的______，数ab 叫做a ，b 的________，故基本不等式用语言叙述是____________________________________．公式变形：(1)a ＋b ≥2ab ，ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R ＋)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)a ＋1a ≥2(a ∈R ＋)，当且仅当a ＝1时，等号成立．(3)a b ＋ba ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．【做一做2－1】若x ＞0，则x ＋2x的最小值为________．【做一做2－2】已知0＜x ＜13，则函数y ＝x (1－3x )的最大值是__________．3．已知x ，y 都为正数，则(1)若x ＋y ＝S (和为定值)，则当______时，积xy 取得最大值________． (2)若xy ＝P (积为定值)，则当______时，和x ＋y 取得最小值________．(1)应用上述性质时注意三点：①各项或各因式均为正；②和或积为定值；③各项或各因式能取得相等的值．即“一正二定三相等”．(2)应用上述时，有时需先配凑成和或积为定值的情况，再应用．【做一做3】已知x ，y 都是正数，(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是________； (2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是________．一、使用均值不等式求最值的注意事项剖析：(1)a ，b 都是正实数，即所求最值的代数式中的各项必须都是正数，否则就会得出错误答案．例如，当x ＜0时，函数f (x )＝x ＋1x≥2x×1x ＝2，所以函数f (x )的最小值是2.由于f (－2)＝－2＋1－2＝－52＜2，很明显这是一个错误的答案．其原因是当x ＜0时，不能直接用均值不等式求f (x )＝x ＋1x 的最值．因此，利用均值不等式求最值时，首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数．其实，当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－x ＋1－x≥2－1－x＝2，此时有f (x )≤－2.因此，当所求最值的代数式中的各项不都是正数时，应利用变形，转化为各项都是正数的代数式．(2)ab 与a ＋b 有一个是定值，即当ab 是定值时，可以求a ＋b 的最值；当a ＋b 是定值时，可以求ab 的最值．如果ab 和a ＋b 都不是定值，那么就会得出错误答案．例如，当x ＞1时，函数f (x )＝x ＋1x －1≥2x x －1，所以函数f (x )的最小值是2xx －1.由于2xx －1是一个与x 有关的代数式，很明显这是一个错误的答案．其原因是没有掌握均值不等式求最值的条件：ab 与a ＋b 有一个是定值．其实，当x ＞1时，有x －1＞0，则函数f (x )＝x ＋1x －1＝[(x －1)＋1x －1]＋1≥2－1x －1＋1＝3.因此，当ab 与a ＋b 没有一个是定值时，通常把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值的形式．(3)等号能够成立，即存在正数a ，b 使均值不等式两边相等，也就是存在正数a ，b 使得ab ＝a ＋b2.如果忽视这一点，就会得出错误答案．例如，当x ≥2时，函数f (x )＝x ＋1x≥2x×1x＝2，所以函数f (x )的最小值是2.很明显x ＋1x 中的各项都是正数，积也是定值，但是等号成立的条件是当且仅当x ＝1x ，即x ＝1，而函数的定义域是x ≥2，所以这是一个错误的答案．其原因是均值不等式中的等号不成立．其实，根据解题经验，遇到这种情况时，一般就不再用均值不等式求最值了，此时该函数的单调性是确定的，可以利用函数的单调性求得最值．利用函数单调性的定义可以证明，当x ≥2时，函数f (x )＝x ＋1x 是增函数，函数f (x )的最小值是f (2)＝2＋12＝52.因此在使用均值不等式求最值时，上面三个条件缺一不可，通常将这三个条件总结成口诀：一正、二定、三相等．二、教材中的“思考与讨论”均值不等式与不等式a 2＋b 2≥2ab 的关系如何？请对此进行讨论．剖析：(1)在a 2＋b 2≥2ab 中，a ，b ∈R ；在a ＋b ≥2ab 中，a ，b ∈R ＋.(2)两者都带有等号，等号成立的条件从形式上看是一样的，但实质不同(范围不同)． (3)证明的方法都是作差比较法． (4)都可以用来求最值．题型一利用均值不等式比较大小【例1】已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，试比较a 2＋b 2＋c 2，ab ＋bc ＋ca ，13的大小．分析：变形利用不等式找出a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小，结合条件a ＋b ＋c ＝1再找两代数式与13的关系，从而确定它们的大小．反思：要想运用均值不等式，必须把题目中的条件或要解决的问题“化归”到不等式的形式并让其符合运用不等式的条件．化归的方法是把题目中给的条件配凑变形，或利用一些基本公式和一些常见的代换进行变形．题型二利用均值不等式求最值【例2】已知x ，y ∈(0，＋∞)，且2x ＋y ＝1，求1x ＋1y 的最小值．分析：1x ＋1y→1x ＋1y→1x ＋1y＋→利用均值不等式求解反思：求最值问题第一步就是“找”定值，观察、分析、构造定值是问题突破口．定值找到还要看“＝”是否成立，不管题目是否要求指出等号成立的条件，都要验证“＝”是否成立．题型三利用均值不等式证明不等式【例3】已知a ，b ，c 都是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .分析：注意到a ＋b ＋c ＝1，故可运用“常数代换”的策略将所证不等式的左边的“1”代换成字母形式．反思：这是一道条件不等式的证明题，充分利用条件是证题的关键，此题要注意“1”的整体代换及三个“＝”必须同时取到．题型四利用均值不等式解恒成立问题【例4】已知不等式(x ＋y )(1x ＋ay)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，求正实数a 的最小值．分析：反思：恒成立问题是数学问题中非常重要的问题，在此类问题的解法中，利用均值不等式和不等式的传递性求解是最重要的一种方法，在高考中经常考查．题型五易错辨析【例5】已知0＜x ＜1，求f (x )＝2＋log 5x ＋5log5x 的最值．错解：f (x )＝2＋log 5x ＋5log5x≥2＋2log5x·5log5x＝2＋25，∴f (x )的最小值为2＋2 5.错因分析：a ＋b ≥2ab 的前提条件是a ，b ∈R ＋，∵0＜x ＜1，∴log 5x ＜0.∴5log5x ＜0.∴不能直接使用均值不等式．【例6】求f (x )＝x2＋4x2＋3＋1的最小值．错解：因为f (x )＝x2＋4x2＋3＋1＝x2＋3＋1x2＋3＋1＝x2＋3＋1x2＋3＋1≥2＋1＝3，所以f (x )＝x2＋4x2＋3＋1的最小值为3.错因分析：忽视了等号成立的条件，事实上方程x2＋3＝1x2＋3无解，所以等号不成立，正确的处理方法是：利用函数的单调性求最值．1对于任意实数a ，b ，下列不等式一定成立的是( )． A ．a ＋b ≥2ab B ．a ＋b2≥abC ．a 2＋b 2≥2ab D ．b a ＋a b≥22已知a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝4，那么ab ( )． A ．有最大值2，有最小值－2 B ．有最大值2，但无最小值 C ．有最小值2，但无最大值 D ．有最大值2，有最小值03设x ，y 为正数，则(x ＋y )(1x ＋4y )的最小值为( )．A ．6B ．9C ．12D ．15 4若x ＞3，那么当x ＝________时，y ＝x ＋1x －3取最小值________． 5已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________．答案：基础知识·梳理 1．≥ a ＝b 【做一做1】B2．(1)a ＋b 2≥ab a ＝b (2)算术平均值几何平均值两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值【做一做2－1】2 2 x ＞0⇒x ＋2x ≥22，当且仅当x ＝2x，即x ＝2时，等号成立．【做一做2－2】112 ∵0＜x ＜13，∴1－3x ＞0.∴y ＝x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13[3x ＋(1－3x)2]2＝112，当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立．∴x ＝16时，函数取得最大值112.3．(1)x ＝y 14S 2(2)x ＝y 2P【做一做3】(1)215 (2)2254 (1)当xy ＝15时，x ＋y ≥2xy ＝215，当且仅当x ＝y ＝15时，等号成立．所以x ＋y 的最小值为215；(2)当x ＋y ＝15时，xy ≤x ＋y 2＝152，所以xy ≤2254，当且仅当x ＝y ＝152时，等号成立．所以xy 的最大值为2254.典型例题·领悟【例1】解：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2ac ＋2bc .① ∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋ac ＋bc .②①式两边分别加上a 2＋b 2＋c 2，得 3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2＝1，∴a 2＋b 2＋c 2≥13.由②式，得3(ab ＋bc ＋ca )≤a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝(a ＋b ＋c )2＝1，∴ab ＋bc ＋ca ≤13.综上，知a 2＋b 2＋c 2≥13≥ab ＋bc ＋ca .【例2】解：1x ＋1y ＝(1x ＋1y )(2x ＋y )＝2＋2x y ＋y x ＋1＝3＋2x y ＋yx ≥3＋22x y ·yx＝3＋22，当且仅当2x y ＝yx，即⎩⎪⎨⎪⎧y x＝22x ＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋2，y ＝22＋2时等号成立．∴1x ＋1y的最小值为3＋2 2. 【例3】证明：∵a ＋b ＋c ＝1，∴(1－a )(1－b )(1－c )＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )．又∵a ，b ，c 都是正实数， ∴a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，a ＋c 2≥ac ＞0.∴(a ＋b)(b ＋c)(a ＋c)8≥abc .∴(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．【例4】解：∵(x ＋y )(1x ＋a y )＝1＋a ＋y x ＋axy，又x ＞0，y ＞0，a ＞0， ∴y x ＋ax y ≥2y x ·ax y＝2a ， ∴1＋a ＋y x ＋axy≥1＋a ＋2a ，∴要使(x ＋y )(1x ＋ay )≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只需1＋a ＋2a ≥9恒成立即可．∴(a ＋1)2≥9，即a ＋1≥3，∴a ≥4， ∴正实数a 的最小值为4.【例5】正解：∵0＜x ＜1，∴log 5x ＜0.∴(－log 5x )＋(－5log5x )≥2(－log5x)·(－5log5x )＝2 5.∴log 5x ＋5log5x ≤－2 5.∴f (x )≤2－2 5. 当且仅当log 5x ＝5log5x ，即x ＝5－5时，等号成立，此时f (x )有最大值2－2 5.【例6】正解：f (x )＝x2＋4x2＋3＋1＝x2＋3＋1x2＋3＋1＝x2＋3＋1x2＋3＋1.令t ＝x2＋3(t ≥3)，则原函数变为f (x )＝t ＋1t ＋1，在区间[3，＋∞)上是增函数．所以当t ＝3时，f (x )＝t ＋1t ＋1取得最小值433＋1.所以当t ＝3，即x ＝0时，f (x )＝x2＋4x2＋3＋1取得最小值433＋1.随堂练习·巩固1．C 均值不等式要考虑正负情况，如果a ，b 不能保证是正值，则选项A ，B ，D 都不一定成立，只有选项C 对任意实数恒成立．2．A 这里没有限制a ，b 的正负，则由a 2＋b 2＝4，a 2＋b 2≥2|ab |，得|ab |≤2，所以－2≤ab ≤2，可知ab 的最大值为2，最小值为－2.3．B 因为x ，y 为正数，所以(x ＋y )(1x ＋4y )＝1＋4＋y x ＋4xy≥9，当且仅当y ＝2x 时，等号成立，故选B.4．4 5 y ＝x ＋1x －3＝x －3＋1x －3＋3≥2(x －3)×1x －3＋3＝5，当且仅当x －3＝1x －3，即x ＝4时，y 取最小值5.5．116因为x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，所以xy ＝14x ·4y ≤14(x ＋4y 2)2＝116，当且仅当x ＝4y ＝12，即x ＝12，y ＝18时，等号成立．所以xy 的最大值为116.。

人教新课标版数学高二B必修5学案 3.2 均值不等式(一)

明目标、知重点 1.理解均值定理的内容及证明.2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用均值定理证明简单的不等式．1．重要不等式对于任意实数a ，b ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．均值定理如果a ，b ∈R ＋，那么a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．3．算术平均值与几何平均值对任意两个正实数a ，b ，数a ＋b2叫做a ，b 的算术平均值，数ab 叫做a ，b 的几何平均值．故均值定理可以表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值． 4．均值定理的常用推论(1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R )； (2)b a ＋ab≥2(a ，b 同号)； (3)当ab >0时，b a ＋a b ≥2；当ab <0时，b a ＋ab ≤－2；(4)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．在学习等差数列和等比数列时，我们知道两个正数a ，b 的等差中项和等比中项分别为a ＋b2、ab ，那么这两个中项有什么大小关系呢？能不能相等？什么条件下相等？本节我们就来研究这个问题．探究点一重要不等式a 2＋b 2≥2ab 思考如何证明不等式a 2＋b 2≥2ab? 答证明：∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0， ∴a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，取“＝”．小结一般地，对于任意实数a 、b ，我们有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．通常我们称a 2＋b 2≥2ab 为重要不等式．探究点二基本不等式 ab ≤a ＋b2思考1 如果a >0，b >0，用a ，b 分别代替a 2＋b 2≥2ab 中的a ，b 会得到怎样的不等式？答得到a ＋b ≥2ab . 思考2 如何证明不等式ab ≤a ＋b2(a >0，b >0)? 答证明：∵a ＋b －2ab ＝(a )2＋(b )2－2a ·b ＝(a －b )2≥0. ∴a ＋b ≥2ab .∴ab ≤a ＋b2. 思考3 对任意两个正实数a ，b ，数a ＋b2叫做a ，b 的算术平均值，数ab 叫做a ，b 的几何平均值．那么均值定理如何用它们表述？答两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．小结 (1)如果a ，b ∈R ＋，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，称为均值不等式，也称它为基本不等式．(2)均值不等式用语言表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．思考4 如果把ab 看作是正数a ，b 的等比中项，a ＋b2看作是正数a ，b 的等差中项，该定理如何叙述？答两个正数的等比中项不大于它们的等差中项．思考5 不等式a 2＋b 2≥2ab 与ab ≤a ＋b2成立的条件相同吗？如果不同各是什么？答不同，a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ；ab ≤a ＋b2成立的条件是a ，b 均为正实数．例1 已知ab >0，求证：b a ＋ab ≥2，并推导出式中等号成立的条件．证明因为ab >0，所以b a >0，ab>0，根据均值不等式，得b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2，即b a ＋a b≥2. 当且仅当b a ＝ab时，即a 2＝b 2时式中等号成立，因为ab >0，即a ，b 同号，所以式中等号成立的条件是a ＝b .反思与感悟证明中把b a ，ab ，分别看作均值不等式中的a ，b 从而能够应用均值不等式；在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式．跟踪训练1 已知a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . 证明 ∵a >0，b >0，c >0，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0. ∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )，即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .跟踪训练2 已知a ，b ，c 都是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证： 1a ＋1b ＋1c≥9. 证明 ∵a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．探究点三均值不等式的应用例2 已知函数y ＝x ＋16x ＋2，x ∈(－2，＋∞)，求此函数的最小值．解因为x >－2，所以x ＋2>0，由均值不等式，得x ＋16x ＋2＝(x ＋2)＋16x ＋2－2 ≥2(x ＋2)16x ＋2－2＝6，当且仅当x ＋2＝16x ＋2即x ＝2时，取“＝”．因此，当x ＝2时，函数有最小值6.反思与感悟应用均值不等式求函数的最值应满足的条件：(1)两数均为正数；(2)必须出现定值(和为定值或积为定值)；(3)等号要取到(等号成立取得的值要在定义域范围内)；(4)若多次应用时，则每一个等号要同时取到．跟踪训练3 已知函数y ＝x ＋1x ，x ∈(－∞，0)，求函数的最大值．解因为x <0，所以1x <0，则－x >0，1(－x )>0，x ＋1x ＝－(由均值不等式得) ≤－2(－x )1(－x )＝－2，当且仅当－x ＝1(－x )即x ＝－1时，取“＝”．因此当x ＝－1时，函数有最大值－2.1．已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．5 答案 C2．若0<a a ＋b 2>ab >bB ．b >ab >a ＋b2>aC ．b >a ＋b 2>ab >aD ．b >a >a ＋b2>ab答案 C解析 ∵0<a a ＋b ，∴b >a ＋b2.∵b >a >0，∴ab >a 2，∴ab >a .故b >a ＋b2>ab >a .3．设a 、b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( ) A ．6 B ．4 2 C ．2 6 D ．8 答案 B解析 ∵a ＋b ＝3， ∴2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝28＝4 2.4．设b >a >0，且a ＋b ＝1，则此四个数12，2ab ，a 2＋b 2，b 中最大的是( )A ．bB ．a 2＋b 2C ．2ab D.12答案 A解析由a ＋b ＝1，b >a >0，得1>b >12，0<a <12，∵b －(a 2＋b 2)＝b (1－b )－a 2＝ab －a 2＝a (b －a )>0， ∴b >a 2＋b 2≥2ab ，即b 最大． 5．设a >0，b >0，给出下列不等式： ①a 2＋1>a ；②⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ≥4； ③(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4；④a 2＋9>6a . 其中恒成立的是________．(填序号) 答案 ①②③解析由于a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0，故①恒成立；由于a ＋1a ≥2，b ＋1b≥2.∴⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ≥4，故②恒成立；由于a ＋b ≥2ab ，1a ＋1b ≥21ab，故(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4，故③恒成立；当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故④不恒成立．1．均值不等式a ＋b 2≥ab 与不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件不同；前者是a >0，b >0，而后者是a 、b ∈R ，两个不等式中都有等号，当且仅当a ＝b 时，等号成立．2．由a 2＋b 2≥2ab (a 、b ∈R )与均值不等式a ＋b2≥ab (a >0，b >0)可得到以下几种常见变形及结论：(1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)； (2)ab ≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )(3)ab ≤(a ＋b2)2(a ，b ∈R )；(4)b a ＋ab≥2(ab >0) (5)a ＋ka ≥2k (a >0，k >0)；(6)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)或ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a 、b ∈R )．一、基础过关1．若a ，b ，c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23，则2a ＋b ＋c 的最小值是( ) A.3－1 B.3＋1 C ．23＋2 D ．23－2答案 D解析由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23⇒a (a ＋b )＋(a ＋b )c ＝(a ＋b )(a ＋c )＝4－23，而2a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(a ＋c )≥2(a ＋b )(a ＋c )＝24－23＝2(3－1)．∴当且仅当a ＋b ＝a ＋c ，即b ＝c 时等号成立．2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b≥2 答案 D解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误．对于B 、C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab≥2b a ·a b＝2. 3．若x >0，y >0，且x ＋y ＝4，则下列不等式中恒成立的是( ) A.1x ＋y ≤14 B.1x ＋1y ≥1 C.xy ≥2 D.1xy≥1 答案 B解析若x >0，y >0，由x ＋y ＝4，得x ＋y4＝1，∴1x ＋1y ＝14(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝14⎝⎛⎭⎫2＋y x ＋x y ≥14(2＋2)＝1. 4．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1 D.14答案 B解析由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b ＝3，所以a ＋b ＝1. 因为a >0，b >0，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．5．若a <1，则a ＋1a －1有最____(填“大”或“小”)值，为__________．答案大－1解析 ∵a <1，∴a －1<0，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a ≥2(a ＝0时取等号)， ∴a －1＋1a －1≤－2，∴a ＋1a －1≤－1.6．若不等式x 2－ax ＋1≥0对一切x ∈(0,1恒成立 ⇔ax ≤x 2＋1，x ∈(0,1恒成立． ∵x ∈(0,1hslx3y3h ，x ＋1x≥2，∴a ≤2.7．设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .证明 ∵a 、b 、c 都是正数，∴bc a 、ca b 、abc 也都是正数．∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋abc ≥2b ，三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c . 二、能力提升8．已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是( ) A ．a ＋b ＋1ab≥22 B ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 C.a 2＋b 2ab ≥2abD.2ab a ＋b >ab 答案 D 解析 ∵a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab≥22，A 成立； (a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab＝4，B 成立；a 2＋b 2≥2ab >0，∴a 2＋b 2ab ≥2ab ，C 成立；a ＋b ≥2ab ，∴2ab a ＋b ≤1，2aba ＋b ≤ab .9．设0<a <12答案 C解析 ∵0<a <10，∴(－log a b )＋(－log b a )＝(－log a b )＋⎝⎛⎭⎫－1log a b ≥2， ∴log a b ＋log b a ≤－2.10．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎡⎭⎫15，＋∞ 解析 ∵x >0，∴xx 2＋3x ＋1>0，易知a >0.∴x 2＋3x ＋1x ≥1a ，∴1a ≤x ＋1x ＋3.∵x >0，x ＋1x ＋3≥2x ·1x＋3＝5(x ＝1时取等号)， ∴1a ≤5.∴a ≥15. 11．已知x >y >0，xy ＝1，求证：x 2＋y 2x －y ≥2 2.证明 ∵xy ＝1，∴x 2＋y 2x －y ＝(x －y )2＋2xy x －y ＝(x －y )2＋2x －y ＝(x －y )＋2x －y≥2(x －y )·2x －y＝2 2.当且仅当⎩⎨⎧x －y ＝2x －yxy ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋22y ＝6－22时取等号．12．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab ≥8；(2)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 证明 (1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． (2)方法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理，1＋1b ＝2＋a b ，∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．方法二 ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab . 由(1)知，1a ＋1b ＋1ab≥8，故⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9. 三、探究与拓展13．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.证明 ∵a ，b ，c 均为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a，同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c. 由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘得 ⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c＝8. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．。

2021新人教B版必修五3.2《均值不等式》word学案

2021新人教B版必修五3.2《均值不等式》word学案3．2均值不等式学案[预览符合标准]⒈正数a、b的算术平均数为；几何平均数为．2.平均不平等是。

前者是，后者是。

如何给出几何解释？⒊在均值不等式中a、b既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证；另外等号成立的条件是．4.试着根据平均不等式写出以下变形形式，并指出所需条件）a?b（）2ba1（3）＋（）（4）x＋(x>0)abx1（5）x＋（x<0）（6）ab≤（）x（1）a+b()（2）二25.当使用平均不等式计算最大值和最小值时，我们必须注意a+B或AB是否为值，以及等号是否为真6．⑴函数f(x)=x(2－x)的最大值是；此时x的值为___________________；．⑵函数f(x)=2x(2－x)的最大值是；此时x的值为___________________；⑶函数f(x)=x(2－2x)的最大值是；此时x的值为___________________；⑷函数f(x)=x(2＋x)的最小值是；此时x的值为___________________。

【典例解析】例1：如果a、B、C∈ (0, + ∞), a+B+C=1，验证例⒉（1）已知x<111 + + ≥ 9.abc51，求函数y=4x-2+的最大值。

44x？519?＝ 1.求X+y的最小值。

xy22（2） X>0，Y>0，和（3）已知a、b为常数，求函数y=(x-a)+(x-b)的最小值。

[标准实践]一、多项选择题：⒈下列命题正确的是（）ａ．a+1>2aｂ．│x+2A.B14│≥ 2C。

≤ 2D。

SiNx+最小值为4。

xsinxab1x2?2⒉以下各命题(1)x+2的最小值是1；（2）最小值是2；(3)若a>0,b>0,a+b=12倍？1x？十二则（a+11）（B+）的最小值是4，正确的数字是（ABA.0b.1C.2D.3）⒊设a>0,b>0则不成立的不等式为（ａ．ba22＋≥2.ｂ．a+b≥2abab2a2112ｃ．＋≥a＋bｄ．?? 2+baaba?b⒋设a、b?r，若a+b=2，则＋11? 的最小值等于（）abａ．1ｂ．2ｃ．3ｄ．4⒌已知a?b>0，下列不等式错误的是（）a2？b22ab2ａ．a+b≥2abｂ．A.ｃ．ab？ｄ．ab？？一a?b2a?b?12二二．填空题：⒍ 如果a和B是正数，且a+B=4，则AB的最大值为____;⒎ 如果已知x>1.5，则函数y=2x+4的最小值是_________．2倍？3a2b2？8.已知a和B是常数，0xx2x？3x4？9⒐ （1）设a=，B=62，C=和X≠ 0，尝试判断a、B和C的大小。