北京高考数学试题理科

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2023年全国统一高考数学试卷(理科)(甲卷)(解析版)

2023年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设集合A＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k+2，k∈Z}，U为整数集，则∁U（A⋃B）＝（）A．{x|x＝3k，k∈Z}B．{x|x＝3k﹣1，k∈Z}C．{x|x＝3k﹣2，k∈Z}D．∅【答案】A【解答】解：∵A＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k+2，k∈Z}，∴A∪B＝{x|x＝3k+1或x＝3k+2，k∈Z}，又U为整数集，∴∁U（A⋃B）＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选：A．2．（5分）若复数（a+i）（1﹣ai）＝2，a∈R，则a＝（）A．﹣1B．0C．1D．2【答案】C【解答】解：因为复数（a+i）（1﹣ai）＝2，所以2a+（1﹣a2）i＝2，即，解得a＝1．故选：C．3．（5分）执行下面的程序框图，输出的B＝（）A．21B．34C．55D．89【答案】B【解答】解：根据程序框图列表如下：A13821B251334n1234故输出的B＝34．故选：B．4．（5分）向量||＝||＝1，||＝，且+＝，则cos〈﹣，﹣〉＝（）【答案】D【解答】解：因为向量||＝||＝1，||＝，且+＝，所以﹣＝+，即2＝1+1+2×1×1×cos＜，＞，解得cos＜，＞＝0，所以⊥，又﹣＝2+，﹣＝+2，所以（﹣）•（﹣）＝（2+）•（+2）＝2+2+5•＝2+2+0＝4，|﹣|＝|﹣|＝＝＝，所以cos〈﹣，﹣〉＝＝＝．故选：D．5．（5分）已知正项等比数列{a n}中，a1＝1，S n为{a n}前n项和，S5＝5S3﹣4，则S4＝（）A．7B．9C．15D．30【答案】C【解答】解：等比数列{a n}中，设公比为q，a1＝1，S n为{a n}前n项和，S5＝5S3﹣4，显然q≠1，（如果q＝1，可得5＝15﹣4矛盾），可得＝5•﹣4，解得q2＝4，即q＝2，S4＝＝＝15．故选：C．6．（5分）有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（）A．0.8B．0.4C．0.2D．0.1【答案】A【解答】解：根据题意，在报名足球或乒乓球俱乐部的70人中，设某人报足球俱乐部为事件A，报乒乓球俱乐部为事件B，则P（A）＝＝，由于有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，则同时报名两个俱乐部的由50+60﹣70＝40人，则P（AB）＝＝，则P（B|A）＝＝＝0.8．故选：A．7．（5分）“sin2α+sin2β＝1”是“sinα+cosβ＝0”的（）A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件【答案】B【解答】解：sin2α+sin2β＝1，可知sinα＝±cosβ，可得sinα±cosβ＝0，所以“sin2α+sin2β＝1”是“sinα+cosβ＝0”的必要不充分条件，故选：B．8．（5分）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，则|AB|＝（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，可得c＝a，所以b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x，一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，圆的圆心（2，3），半径为1，圆的圆心到直线y＝2x的距离为：＝，所以|AB|＝2＝．故选：D．9．（5分）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）A．120B．60C．40D．30【答案】B【解答】解：先从5人中选1人连续两天参加服务，共有＝5种选法，然后从剩下4人中选1人参加星期六服务，剩下3人中选取1人参加星期日服务，共有＝12种选法，根据分步乘法计数原理可得共有5×12＝60种选法．故选：B．10．（5分）已知f（x）为函数向左平移个单位所得函数，则y＝f（x）与的交点个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：把函数向左平移个单位可得函数f（x）＝cos（2x+）＝﹣sin2x的图象，而直线＝（x﹣1）经过点（1，0），且斜率为，且直线还经过点（，）、（﹣，﹣），0＜＜1，﹣1＜﹣＜0，如图，故y＝f（x）与的交点个数为3．故选：C．11．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝4，PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，则△PBC的面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：解法一：∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，又PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，∴根据对称性易知∠PDB＝∠PCA＝45°，又底面正方形ABCD得边长为4，∴BD＝，∴在△PBD中，根据余弦定理可得：＝，又BC＝4，PC＝3，∴在△PBC中，由余弦定理可得：cos∠PCB＝＝，∴sin∠PCB＝，∴△PBC的面积为＝＝．解法二：如图，设P在底面的射影为H，连接HC，设∠PCH＝θ，∠ACH＝α，且α∈（0，），则∠HCD＝45°﹣α，或∠HCD＝45°+α，易知cos∠PCD＝，又∠PCA＝45°，则根据最小角定理（三余弦定理）可得：，∴或，∴或，∴或，∴tanα＝或tanα＝，又α∈（0，），∴tanα＝，∴cosα＝，sinα＝，∴，∴cosθ＝，再根据最小角定理可得：cos∠PCB＝cosθcos（45°+α）＝＝，∴sin∠PCB＝，又BC＝4，PC＝3，∴△PBC的面积为＝＝．故选：C．12．（5分）已知椭圆＝1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2＝，则|PO|＝（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：椭圆，F1，F2为两个焦点，c＝，O为原点，P为椭圆上一点，，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，不妨m＞n，可得m+n＝6，4c2＝m2+n2﹣2mn cos∠F1PF2，即12＝m2+n2﹣mn，可得mn＝，m2+n2＝21，＝（），可得|PO|2＝＝（m2+n2+2mn cos∠F1PF2）＝（m2+n2+mn）＝（21+）＝．可得|PO|＝．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高考全国卷数学理科试题及答案详解

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国新课标卷II)第一卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．(2021课标全国Ⅱ，理1)集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，那么M ∩N ＝( )．A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3}2．(2021课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，那么z ＝( )．A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i3．(2021课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项与为S n .S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，那么a 1＝( )．A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．(2021课标全国Ⅱ，理4)m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α，l β，那么( )．A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l5．(2021课标全国Ⅱ，理5)(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，那么a ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－16．(2021课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )．A ．1111+2310+++B ．1111+2!3!10!+++C ．1111+2311+++ D ．1111+2!3!11!+++7．(2021课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，那么得到的正视图可以为( )．8．(2021课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，那么( )．A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c 9．(2021课标全国Ⅱ，理9)a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩假设z ＝2x＋y 的最小值为1，那么a ＝( )．A ．14B ．12 C ．1 D ．210．(2021课标全国Ⅱ，理10)函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，以下结论中错误的选项是( )．A ．∃x0∈R ，f(x0)＝0B ．函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形C ．假设x0是f(x)的极小值点，那么f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D ．假设x0是f(x)的极值点，那么f′(x0)＝011．(2021课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，假设以MF 为直径的圆过点(0,2)，那么C 的方程为( )．A ．y2＝4x 或y2＝8xB ．y2＝2x 或y2＝8xC ．y2＝4x 或y2＝16xD ．y2＝2x 或y2＝16x12．(2021课标全国Ⅱ，理12)点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a ＞0)将△ABC 分割为面积相等的两局部，那么b 的取值范围是( )．A ．(0,1) B．112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ C．113⎛⎤- ⎥ ⎝⎦ D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 第二卷本卷包括必考题与选考题两局部，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

新课标Ⅰ高考数学理科真题试卷(含答案)

绝密(juémì)★启封(qǐ fēnɡ)并使用完毕前试题(shìtí)类型：A 2021年普通高等学校招生全国(quán ɡuó)统一考试理科(lǐkē)数学考前须知：1.本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部.第一卷1至3页，第二卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第一卷一.选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〔1〕设集合，，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔2〕设，其中x，y是实数，那么〔A〕1〔B〕〔C〕〔D〕2〔3〕等差数列前9项的和为27，，那么〔A〕100〔B〕99〔C〕98〔D〕97〔4〕某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.科网小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，那么他等车时间不超过10分钟的概率是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔5〕方程–=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，那么n的取值范围是〔A〕(–1,3) 〔B〕(–1,3) 〔C〕(0,3) 〔D〕(0,3)〔6〕如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.假设该几何体的体积是，那么它的外表积是〔A〕17π〔B〕18π〔C〕20π〔D〕28π〔7〕函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔8〕假设(jiǎshè)，那么(nà me)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔9〕执行右面(yòumiàn)的程序图，如果输入的，那么(nà me)输出x，y的值满足(mǎnzú)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕(10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的标准线于D、E两点.|AB|=，|DE|=，那么C的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面a过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，a//平面CB1D1，平面ABCD=m，a 平面ABA1B1=n，那么m、n所成角的正弦值为(A)(B) (C) (D)12.函数(hánshù)为的零点(línɡ diǎn)，为图像(tú xiànɡ)的对称轴，且()f x在单调(dāndiào)，那么的最大值为〔A〕11 〔B〕9 〔C〕7 〔D〕5第II卷本卷包括必考题(kǎo tí)和选考题两局部.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每题5分(13)设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，那么m=.(14)的展开式中，x3的系数是.〔用数字填写答案〕〔15〕设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，那么a1a2…a n的最大值为。

2023年全国统一高考数学试卷(理科)(乙卷)(解析版)

2023年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设z＝，则＝（）A．1﹣2i B．1+2i C．2﹣i D．2+i【答案】B【解答】解：∵i2＝﹣1，i5＝i，∴z＝＝＝1﹣2i，∴＝1+2i．故选：B．2．（5分）设集合U＝R，集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|﹣1＜x＜2}，则{x|x≥2}＝（）A．∁U（M∪N）B．N∪∁U M C．∁U（M∩N）D．M∪∁U N【答案】A【解答】解：由题意：M∪N＝{x|x＜2}，又U＝R，∴∁U（M∪N）＝{x|x≥2}．故选：A．3．（5分）如图，网格纸上绘制的是一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）A．24B．26C．28D．30【答案】D【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体是由两个直四棱柱组成的几何体．如图所示：故该几何体的表面积为：4+6+5+5+2+2+2+4＝30．故选：D．4．（5分）已知f（x）＝是偶函数，则a＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【答案】D【解答】解：∵f（x）＝的定义域为{x|x≠0}，又f（x）为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），∴，∴，∴ax﹣x＝x，∴a＝2．故选：D．5．（5分）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域{（x，y）|1≤x2+y2≤4}内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：如图，PQ为第一象限与第三象限的角平分线，根据题意可得构成A的区域为圆环，而直线OA的倾斜角不大于的点A构成的区域为图中阴影部分，∴所求概率为＝．故选：C．6．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）在区间（，）单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f（x）的图像的两条对称轴，则f（﹣）＝（）A．﹣B．﹣C．D．【答案】D【解答】解：根据题意可知＝，∴T＝π，取ω＞0，∴ω＝＝2，又根据“五点法“可得，k∈Z，∴φ＝，k∈Z，∴f（x）＝sin（2x）＝sin（2x﹣），∴f（﹣）＝sin（﹣）＝sin（﹣）＝sin＝．故选：D．7．（5分）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A．30种B．60种C．120种D．240种【答案】C【解答】解：根据题意可得满足题意的选法种数为：＝120．故选：C．8．（5分）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB ＝120°，若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积为（）A．πB．πC．3πD．3π【答案】B【解答】解：根据题意，设该圆锥的高为h，即PO＝h，取AB的中点E，连接PE、OE，由于圆锥PO的底面半径为，即OA＝OB＝，而∠AOB＝120°，故AB＝＝＝3，同时OE＝OA×sin30°＝，△PAB中，PA＝PB，E为AB的中点，则有PE⊥AB，又由△PAB的面积等于，即PE•AB＝，变形可得PE＝，而PE＝，则有h2+＝，解可得h＝，故该圆锥的体积V＝π×（）2h＝π．故选：B．9．（5分）已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C﹣AB﹣D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：如图，取AB的中点E，连接CE，DE，则根据题意易得AB⊥CE，AB⊥DE，∴二面角C﹣AB﹣D的平面角为∠CED＝150°，∵AB⊥CE，AB⊥DE，且CE∩DE＝E，∴AB⊥平面CED，又AB⊂平面ABC，∴平面CED⊥平面ABC，∴CD在平面ABC内的射影为CE，∴直线CD与平面ABC所成角为∠DCE，过D作DH垂直CE所在直线，垂足点为H，设等腰直角三角形ABC的斜边长为2，则可易得CE＝1，DE＝，又∠DEH＝30°，∴DH＝，EH＝，∴CH＝1+＝，∴tan∠DCE＝＝＝．故选：C．10．（5分）已知等差数列{a n}的公差为，集合S＝{cos a n|n∈N*}，若S＝{a，b}，则ab＝（）A．﹣1B．﹣C．0D．【答案】B【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，又公差为，∴，∴，其周期为＝3，又根据题意可知S集合中仅有两个元素，∴可利用对称性，对a n取特值，如a1＝0，，，•，或，，a3＝π，•，代入集合S中计算易得：ab＝．故选：B．11．（5分）设A，B为双曲线x2﹣＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（）A．（1，1）B．（﹣1，2）C．（1，3）D．（﹣1，﹣4）【答案】D【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为（x0，y0），，①﹣②得k AB＝＝9×＝9×，即﹣3＜9×＜3⇒，即或，故A、B、C错误，D正确．故选：D．12．（5分）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|＝，则•的最大值为（）A．B．C．1+D．2+【答案】A【解答】解：如图，设∠OPC＝α，则，根据题意可得：∠APO＝45°，∴＝＝cos2α﹣sinαcosα＝＝，又，∴当，α＝，cos（）＝1时，取得最大值．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2012年高考理科数学北京卷-答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（理科）答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】D
【解析】，利用二次不等式的解法可得或，易得．
【提示】求出集合，然后直接求解．
【考点】集合间的基本运算．
2.【答案】D
【解析】题目中表示的区域表示正方形区域，而动点可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此，故选D．
20.【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ1
（Ⅲ）
【解析】（Ⅰ）由题意可知，，，，
∴
（Ⅱ）先用反证法证明：
若，则，∴
同理可知，
∴ ，由题目所有数和为，即，
∴ 与题目条件矛盾
∴ ．
易知当时，存在
∴ 的最大值为1．
（Ⅲ）的最大值为．
首先构造满足的：
，．
经计算知，中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且，，．
下面证明是最大值．若不然，则存在一个数表，使得．
由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中．由于，故的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于．
设中有列的列和为正，有列的列和为负，由对称性不妨设，则．另外，由对称性不妨设的第一行行和为正，第二行行和为负．
【考点】由三视图求几何体的表面积．
8.【答案】C
【解析】由图可知6，7，8，9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C．
【提示】由已知中图像表示某棵果树前年的总产量与之间的关系，结合图像可得答案．
【考点】函数图像的应用．

2019年北京市高考数学试卷(理科)以及答案解析

绝密★本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（5分）已知复数z＝2+i，则z•＝（）A．B．C．3D．52．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．1B．2C．3D．43．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1，0）到直线l的距离是（）A．B．C．D．4．（5分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，则（）A．a2＝2b2B．3a2＝4b2C．a＝2b D．3a＝4b5．（5分）若x，y满足|x|≤1﹣y，且y≥﹣1，则3x+y的最大值为（）A．﹣7B．1C．5D．76．（5分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2﹣m1＝lg，其中星等为m k的星的亮度为E k（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10﹣10.17．（5分）设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|+|＞||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2＝1+|x|y就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是（）A．①B．②C．①②D．①②③二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2012年北京高考数学真题及答案(理科)

绝密★使用完毕前2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{A x=∈R|320}x+>，{B x=∈R|(1)(3)0}x x+->，则A B=I（A）(,1)-∞-（B）2(1,)3--（C）2(,3)3-（D）(3,)+∞（2）设不等式组2,2xy⎧⎨⎩≤≤≤≤表示的平面区域为D．在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A）π4（B）π22-（C）π6（D）4π4-（3）设,a b∈R．“0a=”是“复数ia b+是纯虚数”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（4）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（A）2（B）4（C）8（D）16数学（理）（北京卷）第1 页（共11 页）（5）如图，90ACB∠=︒，CD AB⊥于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E．则（A）CE CB AD DB⋅=⋅（B）CE CB AD AB⋅=⋅（C）2AD AB CD⋅=（D）2CE EB CD⋅=（6）从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（A）24（B）18（C）12（D）6（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（A）28+（B）30+（C）56+（D）60+（8）某棵果树前n年的总产量nS与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为（A）5（B）7（C）9（D）11BA DCE正（主）视图侧（左）视图俯视图42 3 4数学（理）（北京卷）第2 页（共11 页）数学（理）（北京卷）第 3 页（共 11 页）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

1977-1987年高考理科数学试题参考答案

(5,0)(1,0)(0,5)(3,-4)x =3yx O 15°45°A C B ED A CB 1977年普通高等学校招生考试(北京市)理科数学参考答案满分120分，120分钟1．（本小题满分10分）解：将两边平方，得2169x x x -=-+，即27100x x -+=,解得2,5x x ==, 经检验5x =是增根， ∴原方程的解是2x =． 2．（本小题满分10分）解：原式=1． 3.（本小题满分10分）解：lg 45=21lg 21032⨯=0.8266．4．（本小题满分10分）证明：∵22cos sin (1)cos tg αααα+⎛⎫+= ⎪⎝⎭222cos 2sin cos sin cos ααααα++= 21sin 2cos αα+=，∴等式成立． 5．（本小题满分10分）解：由 70,310x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得2,5x y ==．∴过点(2,5)和(1,1)的直线方程为 430x y --=．6．（本小题满分10分）解：七月份到十月份总产值为2100100(10.2)100(10.2)++++ 3100(10.2)++4100[(1.2)1]1.21⨯-=-100 1.0736536.80.2⨯==（万元）．7.（本小题满分10分）解：（1）2265(3)4y x x x =-+=--， ∴二次函数图象的顶点坐标为(3,4)-，对称轴方程为3x =．（2）如图（列表，描点略）．（3）令0x =，得5y =；令0y =，得1x =或5x =， ∴二次函数图象与坐标轴的交点坐标为(0,5),(1,0),(5,0)8．（本小题满分10分）解：由已知条件及图可得AC =20海里，∠BAC =450，∠ABC =300．由正弦定理可得20sin 21sin 2AC ACB B⋅===（海里）.9.（本小题满分10分）证：连接CE ,在△ABD 和△ACE 中，∠BAD =∠CAE ，∠ABD =∠AEC ， ∴△ABD ~△ACE ,∴AB ADCE AC= 即AD AE AC AB ⋅=⋅.10.（本小题满分10分）解：直线与椭圆的交点适合下面方程组：22, (1)1.(2)169y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩将（1）代入（2）得22()1169x x m ++=，即222532(16144)0x mx m ++-=，22(32)425(16144)m m ∆=-⋅⋅- 2576(25)m =-，当2576(25)0m ∆=-=，即5m =±时，直线与椭圆有一个交点；当2576(25)0m ∆=->，2250m -+>，即5m <时，直线与椭圆有二个交点；当2576(25)0m ∆=-<，即5m >时，直线与椭圆没有交点. 参考题1.（本小题满分10分）解：（1）当0x ≠时，22()2sin cos()f x x x xx x πππ-'=+2sincosx xxπππ=-；当0x =时，(0)(0)(0)limx f x f f x∆→∆+-'=∆20sin0limx x x xπ∆→∆-∆=∆ 0lim sin 0x x xπ∆→=∆=∆. ∴2sin cos .(0)()0(x 0)x x f x x xπππ⎧-≠⎪'=⎨⎪=⎩. （2）旋转体体积2aaV y dx π-=⎰22224(1)3aa xb dx ab a ππ-=-=⎰. 2. （本小题满分10分）解：（1）答：略.（2）证：由()f x 在点0x x =处连续，且0()0f x >，所以，由定义，对于给定的0()02f x ε=>，必存在0δ>, 当0x x δ->时，有00()()()2f x f x f x -<,从而000()()()()022f x f x f x f x >-=>，即在00(,)x x δδ-+内处处有()0f x >.1978年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案满分120分，120分钟（理科考生五，六两题选做一题.文科考生五，六两题选做一题，不要求做第七题）一、（下列各题每题4分，五个题共20分） 1.解：222444x xy y z -+-22(2)(2)x y z =--(22)(22)x y z x y z =---+2.解：设底面半径为r ，则22ra a π=，即2a r π=，∴22224a a V r a a ππππ⎛⎫=⋅=⋅=⎪⎝⎭. 3．解：∵lg(2)0x +≥, ∴21x +≥，即1x ≥-， ∴函数定义域[)1,-+∞.4.解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=22. 5. 解：原式12425b = . 二、（本题满分14分）解：1）0k >时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①1k >时,长轴在y 轴上，2a =，b =; ②1k =时,为半径2r =的圆; ③1k <时,长轴在x 轴上，a =，2b =.如图：2) 0k =时，方程为2y =图形是两条平行于x 轴的直线2±=y .如图.3）0k <时，方程为22124x y k-+=，这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y 轴上.如图：三、（本题满分14分）证：1)连接CA ，CB ，则∠ACB =900∠ACM =∠ABC , ∠ACD=∠ABC ， ∴∠ACM =∠ACD ， ∴△AMC ≌△ADC ， ∴CM =CD .同理CN =CD ，∴CD =CM =CN .2）∵CD ⊥AB ，∠ACD =900， ∴ CD 2=AD ·DB .由1）知AM=AD ，BN=BD ，∴CD 2=AM ·BN . 四、（本题满分12分）解：∵185b=，∴ 18log 5b =， ∴ 183618log 59log 45log 182⋅=⋅18181818log 5log 9log 18log 22a ba++==+-. 五、（本题满分20分）解：由条件得180A B C ++=︒， 2B A C =+，∴60,120B A C =︒+=︒.∵tan tan 2A C = ∴tan tan (1tan tan )tan()A C A C A C +=-+(13=-=，……② ∴由①，②知tan ,tan A C 是方程2(320x x -+=的两个根，解这个方程得121,2x x ==tan 1,tan 2A C ==tan 21A C ==， ∴45,75A C =︒=︒，或 75,45A C =︒=︒，∴45,60,75A B C =︒=︒=︒，或 75,60,45A B C =︒=︒=︒.∵顶点C 的对边c 上的高等于34，∴8,a b ====cos 45cos 60c AD DB b a =+=︒+︒4=，或8a ==，b ==cos 75cos 60c AD DB b a =+=︒+︒8=.六、（本题满分20分）证明：由223sin2sin 1αβ+= 得2c o s 23s i n βα=，由3sin 22sin 20αβ-= 得3sin 2sin 23sin cos 2βααα==， 2249sin cos 9sin ααα+22sin 2cos 21ββ=+=，即29sin 1α=.∵α为锐角，∴1sin 3α=.∴sin(2)sin cos2cos sin 2αβαβαβ+=+2sin (3sin )cos (3sin cos )ααααα=+ 223sin (sin cos )3sin 1αααα=+==.∵,αβ为锐角，∴22παβ+=.七、（本题满分20分）解：已知函数配方法得：2214524m m y x ++⎛⎫=+-⎪⎝⎭，1E DC BA ∴y 的极小值为454m +-. 1）由4504m +-=，得54m =-， ∴当54m =-时，y 的极值是0.2）设函数的顶点坐标为(,)x y ，则21122m x m +=-=--，45544m y m +=-=--，消去m 得1l ：34x y -=，∴不论m 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线1l 上. 当1,0,1m =-时，函数式分别为211()42y x +=-，293()42y x +=+， 251()42y x +=+（图略）.3）设l ：x y a -=为任一条平行于1l 的直线，与抛物线方程22(21)1y x m x m =+++-联立求解，消去y ，得22210x mx m a ++-+=，即2()1x m a +=-.当1-a ≥0，即a ≤1时，直线l 与抛物线相交，而a ＞1时，直线l 与抛物线不相交.当1a ≤时，x m =-直线l 与抛物线两交点的横坐标分别为m m --由条件知直线l 的倾斜角为45︒，直线l 被抛物线截出的线段长为[((m m ---=m 无关，因此直线l 被各抛物线截出的线段都相等.一九七八年副题理科数学参考答案满分120分，120分钟1．（下列各题每题4分，五个题共20分）（1）解：原式=(1)(3)x y x y ---+.(2)解：原式2130124=-+-=⎝⎭. （3）解：由255010x x ⎧->⎨+≠⎩得2x <且1x ≠-，∴函数的定义域∞(-,1)(1,2).（4）解：)(3312131322cm V ππ=-⋅⋅=. （5）解：原式=30. 2．（本题满分14分）解：由已知条件得121239,40x x x x +==-， ∴121212113940x x x x x x ++==-， 1211140x x ⋅=-， ∴所求方程为：2403910x x +-=. 3. （本题满分14分）证：∵AD 是 △ABC 的外接圆的切线，∴∠B =∠1，∴△ABD ∽△ACD ，∴22ABC AB ACD AC ∆=∆的面积的面积作AE ⊥BD 于点E ，则.2121CD BDAE CD AEBD ACD ABC =⋅⋅=∆∆的面积的面积 ∴CDBDAC AB ACD ABC ==∆∆22的面积的面积. 4．（本题满分12分）F aαN MEDCB A证：作ME BD ⊥ 于E ，由△ABC 是等边三角形知，在直角△MBE 中，12BE BM =，ME =，2tan 122MEED a BM α==-，BM =类似地，过N 作NF BC ⊥于F ，在直角△NFC中，可证：CN = 5．（本题满分20分）证：1）∵244(1)0p q m --+=，∴2414p q m -+=，∴432()444f x x px qx =-+ 222442()44p q p q p x --+⋅+2222(2x )(4)px p q x =---22244(2)()44p q p q px --+⋅+22222244(2x )2(2x )()44p q p q px px --=---⋅+2224(2x )4p q px -=--，∴()f x 恰好是一个二次三项式的平方.2）由条件得43224442(1)(1)x px qx p m m -+++++ 22(2)x ax b =++4322244(4)2x ax a b x abx b =-++++，∴22244(1)44 (2)2(1)2(3)(1)(4)p a q a b p m ab m b-=⎧⎪=+⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，由（1）得a p =-，代入（2）得244q p b -=，将,a b 代入（3）得242(1)24q p p m p -+=-⋅，即2[44(1)]0p p q m --+=，∵0p ≠，∴244(1)0p q m --+=.6．（本题满分14分）证：∵,a b 不同时为0， ∴①可变形为0x x +=，设in s y y ==，则上式即为sin cos cos sin sin()0x y x y x y -=-=， ∴()x y k k Z π-=+∈，即 ()x y k k Z π=+∈.∴sin 2cos 2A x B x C +-sin(22)cos(22)A y k B y k C ππ=+++- sin 2cos 2A y B y C =+-222sin cos (cos sin )A y y B y y C =---22222220ab a b A B C a b a b -=---=++，即22222()()0abA b a B a b C +-++=. 证（二）：当0,0a b =≠时，由①得cos 0x =，结合②得B C -=，∴22222()()0abA b a B a b C +-++=；同理可得，当0,0a b ≠=时，22222()()0a b A ba B ab C +-++=；当0,0a b ≠≠时，由由①得tan bx a=-，sin 2cos 2A x B x C +-B /P/Pl CBA O y x2222222sin cos cos sin sin cos sin cos x x x x A B C x x x x-=⋅+⋅-++2222tan 1tan 1tan 1tan x x A B C x x -=⋅+⋅-++ 2222222111b b a a A B C b b a a -⋅-=⋅+⋅-++ 22222220ab a b A B C a b a b -=-⋅+⋅-=++,即22222()()0abA b a B a b C +-++=.综上可知，结论成立. 7．（本题满分14分）解：1）直线l ，圆C 和抛物线Q的方程为:L y x =；2:x Q y =； 22:1C x y +=. 草图如右图所示. 2)由221y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得A点横坐标为2x =- 线段PA 的函数关系为1(),()322f x x x =-≤≤-；由2221y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得B 点横坐标为2x =，圆弧AB 的函数关系式为2())22f x x =-≤≤；抛物线上OB 一段的函数表达式为3()(02f x x =≤≤, POP S '∆=724OAB π=扇形S ， 14BOB S '∆=，71244π=+阴S .V D CBA βαPCBA1979年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案满分120分，120分钟一、（本题满分6分）证： 2()4()()z x x y y z ----22()4()4x z x z y y =+-++ 2(2)0x y z =-+=,∴22x z y +=,即,,x y z 成等差数列．二、（本题满分6分）解：原式221111111tan 1cot xx==--+--22211csc 1sin 1csc x xx===-．三、（本题满分6分）解：由条件知，甲中纯酒精与水的重量分别为1111m v m n +，1111n v m n +；乙中纯酒精与水的重量分别为2222m v m n +，2222n v m n +．混合后所得液体中纯酒精量为11221122m v m vm n m n +++112222111122()()()()m v m n m v m n m n m n +++=++；混合后所得液体中水的量为11221122n v n vm n m n +++112222111122()()()()n v m n n v m n m n m n +++=++．混合后所得液体中纯酒精与水之比是11222211[()()]:m v m n m v m n +++ 11222211[()()]n v m n n v m n +++．四、（本题满分6分）略．五、（本题满10分）解：作PC AB ⊥于C ，设PC d =，在直角三角形PAC 中， cot AC d α=；在直角三角形PBC 中，cot BC d β=，∴(cot cot )S AC BC d αβ=+=+．当d D ≤，即cot cot SDαβ+≥时，应向外国船发出警告．六、（本题满10分）证：设,,VA a VB b VC c ===，AB p =，,BC q CA r ==，则222222222,,p a b q b c r c a =+=+=+．在三角形ABC 中，由余弦定理得222222cos CAB ∠=20=>，∴CAB ∠是锐角．同理，∠ABC ， ∠BCA 也是锐角．七、本题满分12分）解：设年增长率为x ，则由条件得40100(1)500x +=,即40(1)5x +=.F 1ED C BA取自然对数有40ln(1)ln 5x +=. 又lg5=1-0.3=0.7 ， ln5=ln10lg5=2.3×0.7=1.61．利用ln(1)x x +≈,有x ≈ln5/40=1.61/40=0.04025≈4%．答：每年约增长百分之四．八、本题满分12分）证：连接CD ．∵∠CFD =900，∴CD 为圆O 的直径，又AB 切圆O 于D ，∴CD ⊥AB ．又在直角三角形ABC 中，∠ACB =900， ∴2AC =AD ·AB ，2BC =BD ·AB ， ∴22BD BCAD AC =．…⑴ 又∵2BD =BC ·BF ，2AD =AC ·AE ，∴22BD BC BFAD AC AE⋅=⋅．…⑵ 由（1）与（2）得44BC BF BC AC AE AC ⋅=⋅，∴33BF BC AE AC =．九、（本题满分14分）解：记已知数列为{}n a ，则由条件知：11lg(100sin )2(1)lg 242n n a n π-==--，∴数列{}n a 是递减等差数列，且其首项为2．设前k 项的和最大，则由条件得12(1)lg 20,212[(1)1]lg 20.2k k ⎧--≥⎪⎪⎨⎪---<⎪⎩ 解得 13.214.2k <≤，∵k N ∈，∴14k =．11414142a a S +=⨯ 91280.301014.302=-⨯≈．十、（本题满分18分）解：设OP 与x 轴正方向的夹角为α，点P 的坐标为(,)x y ,则OP =sin()PD OP θα=-(sin cos cos sin )OP θαθα=-sin cos x y θθ=-，sin()PF OP θα=+(sin cos cos sin )OP θαθα=+sin cos x y θθ=+由2PD PF PE ⋅=得22222sin cos ()x y h x θθ-=-，……① 22222cos 2cos 0x hx y h θθ-++=．由条件知2cos 0θ≠，332211O 3O 2O 1EDC (c ,0)B (b .0)A (0.a )O y x ∴2222220cos cos h h x x y θθ-++=，即 22222sin ()()cos cos h h x y θθθ-+=．这是以2(,0)cos h θ为圆心，2sin cos h θθ为半径的圆.所求轨迹是此圆在所给等腰三角形内的一部分．2．由PD PE PF +=得sin cos sin cos x y h x x y θθθθ-+-=+，即2cos x y h θ+=．…………………②此直线过点(,0)h 及(0,)2cos hθ．由①，②得222222sin cos 4cos x y y θθθ-=，即 22225cos sin y x θθ=，由PD PE PF +=知0y >，∴y x =．……………③由②，③得(1)x h θ+=，即1h x θ==tan y θ=∴所求点的坐标为P ．1980年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案满分120分，120分钟一、（本题满分6分）解：1. 55449(9)x y xy xy x y -=-2222(3)(3)xy x y x y =+-. 2. 559x y xy -22(3)()()xy x y x x =+. 3. 559x y xy -()()()()xy x x x x =.二、（本题满6分）证：设⊙1O ，⊙2O ， ⊙3O 的半径为1，2，3∵因这三个圆两两外切， ∴12233,5OO O O ==，134O O =，∴()()()222121323O O O O O O +=∴根据勾股定理的逆定理知△123O O O 为直角三角形. 三、（本题满分10分）证：取△ABC 最长一边BC 所在的直线为x 轴，经过A 的高线为y 轴，设,,A B C 的坐标分别为(0,),(,0),(,0)A a B b C c ，根据所选坐标系，如图，有0,0,0a b c ><>. 直线AB 的斜率AB ak b=-，直线AC 的斜率ACa k c=-；∴高线BE 斜率BE ck a=，高线CD 斜率CD b k a =高线BE 的方程为()cy x b a =-，……⑴高线CD 的方程为()by x c a=-，……⑵由（1）-（2）得 ()0b c x -=， ∵b c ≠，∴0x =.lB AP NMDC BA ∴高线CD 、BE 的交点的横坐标为0，也即交点在高线AO 上. ∴三条高线交于一点. 四、（本题满分10分）解：见课本. 五、（本题满分10分）证：用反证法假如平面N 与平面M 平行，则PA 也垂直于N ，因此PA 与PB 重合，B 点与A 点重合，但这与题设矛盾，∴平面N 与平面M 相交.设平面N 与平面M 的交线为l∵PA ⊥平面M ，∴PA ⊥l . 又∵PB ⊥平面N ， ∴PB ⊥l ，∴l ⊥平面PAB ，∴l ⊥AB . 六、（本题满分12分）解：1. M =1，1m =-，5210T k kππ⨯==. 2. ()f x 在它的每一个周期中都恰好有一个值是M 与一个值是m . 而任意两个整数间的距离都≥1.∴要使任意两个整数间函数()f x 至少有一个值是M 与一个值是m ，必须且只须使()f x 的周期1T ≤，即.4.3110,110 =≥≤ππk k∴32k =就是这样的最小正整数.七、（本题满分14分）解：设,,CD h AB c BD x ===，则AD c x =-， ∴△ACD 的面积为)(21x c h -， △BCD 的面积为hx 21，△ABC 的面积为hc 21，由题意得2111()(),222hx h c x hc =-⋅2()x c c x =-，即220x cx c +-=，解得12x -=或12c -（舍去）由直角三角形的性质，有2()AC AD AB c c x =⋅=-211()22c c c ⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，∴AC =， ∴215215sin -=-==c cAB AC B ， ∴B ∠=.八、（本题满分14分）证（一）：∵0απ<<， ∴cos22sin 2cot2sin 22sin2ααααα-=-22cos 22sin 22sincos 22αααα=-1cos 2sin 2sin ααα+=-2sin 2sin (1cos )sin αααα-+=24sin cos (1cos )sin αααα-+=24(1cos )cos (1cos )sin αααα--+=214(1cos )(cos )20sin ααα+-=-≤，A (m ,0)当且仅当1cos 2α=，即3πα=时取“=” .证（二）：即证：1cos 2sin 2sin ααα+≤.两端乘以sin α，问题化为证明 2sin αsin2α≤1+cos α.而 2sin αsin2α=4sin αcos 2α=4(1-cos 2α)cos α=4(1-cos α)(1+cos α)cos α ∴问题又化为证明不等式(1+cos α)[4(1-cos α)cos α-1]≤0，即（1+cos α)⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--221cos 4α≤0，∴不等式得证. ∵0απ<<,∴等号成立当且仅当cos α-21=0 即3πα=.九、（本题满分18分）解：设圆心为(,0)A m ，则圆的方程为22()1x a y -+=.设圆与抛物线的一个交点为000(,)(0)P x y x ≥，则00AP y k x a=-，圆A 在点P 处的切线斜率为010x ak y -=-，抛物线在P 点处的切线斜率201k y =.由在P 点处抛物线的切线与圆的切线垂直得0120011x a k k y y -=-⋅=-，即 200y x a =-.…………①由00(,)P x y 是圆与抛物线的交点得 2002y x = , ………………②2200()1x a y -+= . …………③ 由①，②式消去0y ,得0x a =-,将②代入③，得200()21x a x -+=, 将0x a =-代入，得24210a a --=，∴a =或a =.所求圆的方程为22(1x y +=.由对称性，圆与抛物线的另一交点00(,)x y -处的切线也互相垂直. 附加题（成绩不计入总分，只作参考）解：消去参数，得l ：;b mx y +=E ：.1)1(222=+-y ax 消去y ，整理得01)1(2)1(2222222=+-+-++a b a x mb a x m a 由条件知l ，E 有交点，∴22222224(1)4(1)(1)0a mb a m a b a ∆=--+-+≥，即.0)1(2)1(222≥-+--b bm m a对任意m 的值，要使这个不等式恒成立，条件是222210,(1)(1)0;a b a b ⎧->⎪⎨---≤⎪⎩或210,0.a b ⎧-=⎨=⎩即||1,a b >⎧⎪⎨≤≤⎪⎩或||1,0.a b =⎧⎨=⎩ 即⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤--≥.||1||1,1||22a a b a a a 即所求的条件.（注：也可数形结合，由点(0,)P b 在椭圆E 内或E 上求解）1981年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案满分120分，120分钟一、（本题满分6分）解：1.A∪B={实数},2.A∩B=φ.二、（本题满分6分）解：1.选举种数2412P=（种）.所有可能的选举结果：,,,,,AB AC AD BC BD CD，,,,,,BA CA DA CB DB DC.2.选举种数C43=4（种）.所有可能的选举结果：,,,ABC ABD ACD BCD.三、（本题满分8分）解：1.必要条件 2.充分条件3.充分条件4.充要条件四、（本题满分8分）证（一）：解析法：如图①，以C为原点，边CB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设B点的坐标为(,0)a，点A的坐标为(cos,sin)b C b C，则AB==2222cosc a b ab C=+-.同理可证2222cosa b c bc A=+-,2222cosb ac ac B=+-.证（二）：如图②，当ABC∆是直角三角形时，222222cosc a b a b ab C=+=+-.①②如图③，当ABC∆是锐角三角形时，sinAD b A=，cosBD BC CD a b C=-=-，在Rt ABD∆中，由勾股定理得222AB AD BD=+22(sin)(cos)b C a b C=+-，即2222cosc a b ab C=+-.③④如图④，当ABC∆是钝角三角形时，sinAD b C=cosBD CD CB b C a=-=-，在Rt ABD∆中，由勾股定理得222AB AD BD=+22(sin)(cos)b C b AC a=+-，即2222cosc a b ab C=+-.另外两个等式可以类似证明.五、（本题满分10分）解：x a b c x xa xbc x xa b x c a b x c---=----2000()0xx x x x a b ca ab x c==--->-+-，原不等式解是x a b c>++，且0x≠.六、（本题满分10分）用数学归纳法证明等式23sin cos cos cos cos22222sin2nnn x x x x xx ⋅⋅⋅⋅=对一切自然数n都成立.证：略七、（本题满分15分）解：1.所求人口数x（亿）是等比数列10,10×1.02,10×（1.02）2，……的第21项，即x=10×（1.02）20,两边取对数，得lg x=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859（亿) .2．设人口每年比上年平均递增率最高是y %，按题意得10×（1+y %)20≤12，（1+y %)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg(1+y %)≤lg1.2，即 lg(1+y %)≤0.00396，∴1+y %≤1.0092, y %≤0.0092. 答：略八、（本题满分17分）解：1.在平面P 内作直线AD ⊥a 于点D ；在平面Q 内，作直线BE ⊥a 于点E ，从点D 作a 的垂线与从点B 作a 的平行线∴∠ABC 等于AB 和a 所成的角∠ADC 为两面角P a Q --的平面角，∴∠ADC =1200AD =2，BCDE 为矩形，∴CD =BE =4.连接AC ，由余弦定理得.72=AC 又因AD ⊥a ,CD ⊥a ,所以a 垂直于△ACD 所在的平面BC ∥a 得知BC 垂直于△ACD 所在的平面，∴BC ⊥AC 在直角△ABC 中，,57sin ==∠AB AC ABC 57arcsin =∠∴ABC .2．在△ACD 所在的平面内，作AF ⊥CD 交CD 的延长线于点F因为△ACD 所在的平面⊥平面Q ， ∴AF ⊥平面Q在△ADE 中，∠ADE =600，2AD =， ∴AF =360sin 2=︒ 连接BF ，于是∠ABF 是AB 和平面Q 所成的角，而△ABF 为直角三角形，所以.103arcsin .103sin =∠==∠ABF AB AF ABF 九、（本题满分18分）解：1．①当直线l 的斜率不存在时，(2,0)P ． ②当直线l 的斜率为k 时，直线l 的方程为(2)1y k x =-+, …(1) 将（1）式代入双曲线方程，得[]22(2)112k x x -+-=，即2222(2)(42)4430k x k k x k k -+--+-=．… （2）又设111222(,),(,),(,)P x y P x y P x y ，则12,x x 是方程（2）的两个实根，且).02(22422221≠---=+k k k k x x由题意得212212()22k kx x x k -=+=-，122y y y +=12212(21)(4)122k k x x k -=+-+=-，显然2,0x y ==不能同时成立．由,x y 的表达式相除后消去k 得2214()8(1)21(277y x x ---=≠，且 0)y ≠．由①，②可得点P 的轨迹方程为2214()8(1)2177y x ---=． 2．设过点B 的直线方程为(1)1x t y =-+,代入双曲线方程2212y x -=得O F E DC B A []22(1)112y t y -+-=，即222(21)4(1)240t y t t y t t ---+-=（3）设133244(,),(,)Q x y Q x y ，则34,y y 是方程（3）的两个实根，且3424(1)21t t y y t -+=-如果B 是12Q Q 的中点，就有3424(1)21t t y y t -+=-=2，即12t =，代入（3）得1y =，从而1x =，∴ 12,Q Q 重合于点于点，∴满足题设中条件的直线不存在. 十、（附加题，本题满分20分，计入总分）证：由条件得122(1)k k k k kk u a a b a b b --=-+-+-=ba b a k k k +--+++111)1(由条件可得1a b AC BC AC AF FC -=-=-==, 21ab AC BC CD ===.∴1112(1)n n n n a b u a b------=+111(1)=n n n a b ab a b -----+1(1)n n n a b ab a b---=+，1(1)n n nn a b u a b---=+(1)()n n na b a b a b--=-+111(1)(1)n n n n n n a a b ab b a b+++-----=+∴11112(1)n n n n n n a b u u u a b+++----+==+.1982年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案满分120分，120分钟一、（本题满分6分）解：1．{}0；2．R ；3．R ；4．[]1,1-； 5．(0,)+∞；6．R 二、（本题满分8分）解：1.第15项146141520(1)()T C i =- 62038760C =-=-.2.122cos sin ()sin 33333x x x xy ''=-=- .三、（本题满分9分）解：1. 由已知条件得2360x y --=，图形是直线.2.由已知条件得,14)1(22=+-y x 图形是椭圆.四、（本题满分12分）解：设圆柱体半径为r 高为 (0)h h H <<. 由已知条件知△ACD ∽△AOB ， ∴H h rH R -=，即 ()Rr H h H=-，∴圆柱体体积2222()()R V h r h H h h H ππ==-.∵0h H <<， ∴22()422R H h H hV h h Hπ--=⋅⋅⋅⋅2322442727R H R H H ππ≤⋅⋅=，N MP (ρ,θ)BA O x KRQ PN M DCBA当且仅当2H h h -=，即3Hh =时， ()V h 最大，且2max 4()27V h R H π=.（注：可以用求导方法求解）五、（本题满分15分）解一：当1a >时，|log (1)|log (1)a a x x -=--，|log (1)|log (1)a a x x +=+，|log (1)||log (1)|a a x x --+ [log (1)log (1)]a a x x =--++2log (1)a x =--，∵1a >，01x <<，∴2011x <-<，∴2log (1)0a x -->， ∴|log (1)||log (1)|a a x x ->+. 当01a <<时，|log (1)|log (1)a a x x -=-， |log (1)|log (1)a a x x +=-+，2|log (1)||log (1)|log (1)a a a x x x --+=-. ∵1a >，01x <<，∴2011x <-<， ∴2log (1)0a x ->，∴|log (1)||log (1)|a a x x ->+. ∴当01,0,1x a a <<>≠时， |log (1)||log (1)|a a x x ->+.解二：|log (1)||log (1)|a a x x -+1log (1)|log (1)|log (1)a x a x x x +-==-+∵01x <<，∴11,011x x +><-<，2011x <-<， ∴|log (1)||log (1)|a a x x -+ 11|log (1)|log (1)x x x x ++=-=--11211log log 11x x xx x +++==--211log (1)1x x +=-->，∴|log (1)||log (1)|a a x x ->+.六、（本题满分16分）解：设P 的极点坐标为(,)P ρθ，则 ∠POM =αθ-， ∠NOP αθ=+，cos()OM ραθ=-， sin()PM ραθ=-, cos()ON ραθ=+， sin()PN ραθ=+. 1122PMON S OM PM ON PN =⋅+⋅四边形2[cos()sin()2ραθαθ=-- cos()sin()]αθαθ+++，由题意得2[cos()sin()2ραθαθ--2cos()sin()]c αθαθ+++=，即222cos 2sin 2c ρθα=，22222(cos sin )sin 2c ρθθα-=.令cos ,sin x y ρθρθ==，将上面极坐标方程化为普通方程为2222sin 2c x y α-=.这个方程表示双曲线由题意知，动点P 的轨迹是双曲线右面一支在∠AOB 内的一部分. 七、（本题满分16分）证：连结AC ，在△ABC 中， ∵,AM MB CN NB ==， ∴MN ∥AC . 在△ADC 中， ∵AQ QD =， CP PD =， ∴PQ ∥AC ， ∴MN ∥QP .A 3A 2A 1x 2=2qyy 2=2px x yO 同理，连接BD 可证MQ ∥NP ， ∴MNPQ 是平行四边形.取AC 的中点K ，连,BK DK . ∵AB BC =C ，∴BK ⊥AC ， ∵AD DC =，∴DK ⊥AC . ∴平面BKD 与AC 垂直.∵BD 在平面BKD 内，∴BD ⊥AC . ∵MQ ∥BD ，QP ∥AC ， ∴MQ ⊥QP ，即∠MQP 为直角. ∴MNPQ 是矩形. 八、（本题满分18分）解：不失一般性，设0,0p q >>. 又设22y px =的内接三角形顶点为111222333(,),(,),(,)A x y A x y A x y ，则2221122332,2,2y px y px y px ===.其中123,,y y y 互不相等，且1230y y y ≠. 由题意知，不妨设1223,A A A A 与抛物线22x qy =相切，要证13A A 也与抛物线22x qy =相切.∵12A A 与22x qy =相切， ∴12A A 不能与y 轴平行，即1212,x x y y ≠≠. ∴直线12A A 的方程是211121()y yy y x x x x --=--21112221212()()22y y p x x x x y y y y p p-=-=-+-，即 2111()()2()y y y y p x x +-=-， 2112()20y y y px y y +--=， ∴直线12A A 的方程是2112()20y y y px y y +--=.………①同理可得：直线23A A 的方程是2323()20y y y px y y +--=. 直线13A A 的方程是1313()20y y y px y y +--=.①与22x qy =联立得22112()420y y x pqx qy y +--=，……②由条件知方程②有两个相等的实根，222112168()0p q q y y y y ∆=++=，即221122()0p q y y y y ++=.………③由边23A A 与抛物线22x qy =相切，同理可得223232()0p q y y y y ++=.…………④由③-④得21122323()()0y y y y y y y y +-+=，即 1230y y y ++=.直线13A A 的方程与抛物线方程22x qy =联立得21313()420y y x pqx qy y +--=， 221313168()p q q y y y y ∆=++ 222112168()p q qy y y y =---222112168()0p q qy y y y =++=，∴直线13A A 与抛物线22x qy =相切， ∴只要1223,A A A A 与抛物线22x qy =相切，则13A A 也与抛物线22x qy =相切. 九、（附加题，本题满分20分，计入总分）解：1.∵11,n n a p a pa -==， ∴n n a p =.又1b q =,11(2)n n n b qa rb n --=+≥ ，22211()()q p r b qa rb q p r p r -=+=+=-, 3322322()()q p r b qa rb q p pr r p r-=+=++=-,… 猜想121()()n n n n n n q p r b q p p r r p r----=+++=-.用数学归纳法证明：当2n =时结论显然成立;假设当(2,)n k k k N =≥∈时，等式成立，即,)(rp r p q b k k k --=则1()k k kk k k rq p r b qa rb qp p r+-=+=+-11()k k q p r p r++-=-，即1n k =+时等式也成立. 所以对于一切自然数2n ≥，rp r p q b n n n --=)(都成立. 2．0,0q p r ≠>>，01rp<<.()n n n n q p r -=n n n =[1()]n n r q -==1983年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案满分120分，120分钟一、（本题满分10分）1．D 2．A 3．D 4．C 5．C 二、（本题满分12分）解：1.图形如下图所示.交点坐标是：(0,0),(1,1)O P -.2．曲线名称是：圆.图形如上所示. 三、（本题满分12分）解：1.(2cos2sin 2)x dy e x x dx -=- .2．)(1003416242614种=+⋅+⋅C C C C C ，或：)(1002012036310种=-=-C C .四、（本题满分12分）解：把第一列乘以ϕsin 加到第2列上，再把第三列乘以)cos (ϕ-加到第2列上，得sin cos()cos cos sin()sin sin cos 2cos ααϕαββϕβϕϕϕ+- sin cos()cos()cos cos sin()sin()sin sin cos 2cos 2cos ααϕαϕαββϕβϕβϕϕϕϕ+-+=----sin 0cos cos 0sin 0sin 0cos ααββϕϕ==. 五、（本题满分15分）解：1.∵i t t z |sin ||cos |+=（其中t 是实数），∴||r z ===αF 2F 1A 2A 1N My x OS N ABCMD≤∴42≤r .2. ∵复数i t t z |sin ||co s |+=的实部与虚部都是非负数，∴z 的幅角主值θ一定适合20π≤θ≤.由04πθ≤≤得01tg θ≤≤.由已知复数得0||≠=z r .∵tg θ==∴0||1tg θ≤≤，即11tgt -≤≤，∴()44k t k k Z ππππ-≤≤+∈.这就是所求的实数t 的取值范围. 六、（本题满分15分）证：由已知条件知，SN ⊥底面ABC ，NC 是斜线SC 在底面上的射影，AB ⊥NC ， ∴AB ⊥SC .……① 连接DM .∵AB ⊥DC ，AB ⊥SC ，∴AB ⊥面SCD ，又∵DM ⊂面SCD ，∴AB ⊥DM .∴∠MDC 是截面MAB 与底面ABC 所成二面角的平面角， ∴∠MDC =∠NSC在△MDC 和△NSC 中，因为∠MDC =∠NSC ，∠DCS 是公共角，∴∠DMC =∠NSC =900， ∴DM ⊥SC ，……②∴由①，②得 SC ⊥截面MAB . 七、（本题满分16分）解一：以椭圆焦点1F 为极点，射线12F F 为极轴建立极坐标系.由已知条件可知椭圆长半轴3a =，半焦距c =短半轴1b =，离心率e =左准线方程为4x =-, ∴焦点1F到左准线的距离p =， ∴椭圆的极坐标方程为θ-=θ-=ρcos 2231cos 1e ep .∴11||F M ρ==，22||F N ρ==，∴由1226||298cos MN ρρα=+==-得cos 2α=±，即6πα=或56πα=， ∴当6π=α或65π=α时，|MN |等于短轴的长.解二：以椭圆的中心为原点，12F F 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图）.由已知条件可知椭圆长半轴3a =，半焦距c =1b =，∴椭圆的方程为2219x y +=. 当2πα=时，易求得|MN |223≠，∴2πα≠.设直线MN 的方程为)()22(α=+=tg k x k y 其中.解方程组221,9(x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得0)18(9236)91(2222=-+++k x k x k .设1122(,),(,)M x y N x y ，则12,x x 是上述方程的两个根，且221212229(81),1919k x x x x k k -+=-=++，∴||MN ==222266661919k tg k tg αα++==++. 下同解法一.解三：建立直角坐标系得椭圆方程2219x y +=. 如解二.MN 所在直线的参数方程为cos (sin x t t y t αα⎧=-⎪⎨=⎪⎩是参数），代入椭圆方程得222(cos 9sin ))10t t ααα+--=. 设12,t t 是方程两根，则由韦达定理，1222cos 9sin t t ααα+=+， 12221cos 9sin t t αα-=+，12||||MN t t =-=226cos 9sin αα=+ 下同解一.解四：设|1F M |=x ,则 |2F M |=6x-|12F F |=24，21F F M α∠=，在△21F F M 中，由余弦定理得222(6)cos x x α-=+-，即cos 310x α-+=，∴α-=cos 2231x .同理，设|1F N |=y ，则|2F N |=6y -，在△21F F N 中，由余弦定理得222(6)cos()y y πα-=+--，即3cos 1y α+=，∴y =.∴||MN x y =+= 2698cos α=-. 下同解一. 八、（本题满分16分）解：1.由已知条件得110S a b ==≠且1(1)n n S bp n -=≥.∵当2n ≥时，121n n n n S a a a S a -=+++=+ ,∴21(1)(2)n n n n a S S bp p n --=-=-≥，∴),2()1()1(211≥=--=--+n p p bp p bp a a n n n n∴234,,,,,n a a a a 是一个公比为p 的等比数列.2.解：当2n ≥时，,)1()1(212111p bpp bp bp p bp S a S a n n n n n n n n =--=---++ 且由已知条件可知21p <， ∴数列2233,,,,n n a S a S a S 是公比为2p 的无穷递缩等比数列， ∴2233lim()n n n a S a S a S →∞+++222222(1)111a S b p p b pp p p-===---+. ∴1122lim lim()n n n n n W a S a S a S →∞→∞=+++112233lim lim()n n n n a S a S a S a S →∞→∞=++++22211b p b b p p=-=++.九、（本题满分12分）解：1.当e a b <<时，要证baa b >，只要证ln ln b a a b >，即只要证bba a ln ln >. 构造函数ln ()(0)xf x x x=<<+∞，则21l n ()x f x x -'=.当e x >时，21ln ()0xf x x-'=<， ∴函数ln ()(,)xf x e x=+∞在内是减函数. ∵e a b <<，∴()()f a f b >，即bba a ln ln >， ∴b a a b >.2.证一：由b aa b =，得ln ln b a a b =，即 bba a ln ln =. 构造函数ln ()(0)xg x x x=<<+∞，则 21ln ()xg x x -'=.∴在(0,1)内()0g x '>， ∴()g x 在(0,1)内是增函数. ∵01,0a b <<>,∴1ba <,1abb a =<.由1a b <及0a >,可推出1b <.由01,01a b <<<<,假如b a ≠，则根据()g x 在(0,1)内是增函数，得()()g a g b ≠，即bba a ln ln ≠，从而ab b a ≠这与b aa b =矛盾. ∴a b =.证二：∵01a <<，b aa b =，∴,log log b a a b a a =即aba log =假如a b <，则1>ab，且log log 1a a b a <=， ∴log a b b a >，这与log a bb a =矛盾. ∴a b ≥.假如a b >，则1<ab，且log log 1a a b a >=，这也与b aba log =矛盾，∴a b ≤， ∴a b =.证三：假如a b <，则可设ε+=a b ，其中0ε>.由于01a <<, 0ε>,∴根据幂函数或指数函数的性质，得1<εa ，1)1(>ε+a a ，∴ (1)a a a εε<+，(1)a aa a a a aεε<+，()a a a a εε+<+，即b a a b <.这与baa b =矛盾， ∴a 不能小于b .假如a b >，则1a b >>，可设a b ε=+,其中0ε>,同上可证得b aa b <.这于b aa b =矛盾所以a 不能大于b . ∴a b =.011O y x2O x c b a γβαpc b a γβα1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案（共八道大题，满分120分.第九题是附加题，满分10分，不计入总分）一、（本题满分15分）解：1-5 CCBAB 二、（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1．答：.84ππ或 2.答：(,2)-∞-.3．答：7{|,}12x x n n Z ππ=+∈ {|,}12x x n n Z ππ⋃=-+∈.4．答：-20. 5．答：0. 6．答：!647⋅P . 三、（本题满分12分）本题只要求画出图形.解：1． 2 ．四、（本题满分12分）证：设三个平面为,,αβγ，且.,,a b c =γ⋂β=γ⋂α=β⋂α ∵,c b αβαγ⋂=⋂=， ∴,c b αα⊂⊂，∴从而b 与c 或交于一点或互相平行.1．若b 与c 交于一点，设c b P ⋂=，则由P c ∈，且c β⊂，有P β∈；又由P b ∈，且b γ⊂，有P γ∈， ∴P a βγ∈⋂=，即,,a b c 交于一点（即P 点）.2.若c ∥b ,则由b γ⊂，有//c γ；又由c β⊂，且a βγ⋂=知，//c a∴ ,,a b c 互相平行. 五、（本题满分14分）设,,c d x 为实数，0c ≠，x 为未知数讨论方程1log)(-=+x xd cx 在什么情况下有解，有解时求出它的解.解：原方程有解的充要条件是：10, (1)0, (2)1, (3)(). (4)x d cx x d cx x d cx x x ->⎧⎪⎪+>⎪⎪⎨+≠⎪⎪⎪+=⎪⎩由条件（4）知1)(=+xdcx x ，∴ 12=+d cx .由0c ≠，可得21d x c-=.又由1)(=+x dcx x 及x ＞0，知0>+xdcx ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中.再由条件（3）及1)(=+xdcx x ，知.1≠x ∴原条件可简化为以下的等价条件组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≠>(6) .1x (5)1,x (1),02c d x 由条件（1）（6）知.01>-cd这个不等式仅在以下两种情形下成立： ①0,1c d ><;②0,1c d <>.再由条件（1）（5）及（6）可知d c -≠1 从而，当c ＞0,d ＜1且d c -≠1时，或者当c ＜0,d ＞1且d c -≠1时，原方程有解，它。

2019年高考北京卷理科数学真题(含答案)

16.如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；
（Ⅲ）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
【答案】(Ⅰ)见解析；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
【答案】(Ⅰ) ；
(Ⅱ)见解析；
(Ⅲ)见解析.
【解析】
【分析】
13.设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
【答案】(1). -1; (2). .
【解析】
【分析】
首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围.
很明显平面AEP的一个法向量为，
，
二面角F-AE-P的平面角为锐角，故二面角F-AE-P的余弦值为 .
(Ⅲ)易知，由可得，
则，
注意到平面AEF的一个法向量为：，
其且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内.
17.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

2019年北京卷高考理科数学试题及详细解析

（Ⅱ）求sin（B–C）的值．
解：(Ⅰ)由题意可得：，解得： .
(Ⅱ)由同角三角函数基本关系可得：，
结合正弦定理可得：，
很明显角C为锐角，故，
故 .
考点：余弦定理，正弦定理，平方关系与两角差得余弦公式.
16.如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．
如图所示,易知 ,
四边形的面积 ,很明显“心形”区域的面积大于 ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.
故选C.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.函数f(x)=sin22x的最小正周期是__________．
解：
10.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为__________．
易知：，
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；
（Ⅲ）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
解：(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，则PA⊥CD，
由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，
由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.
(Ⅱ)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．
解：（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付（60+80）-10=130元.

1977-1987年高考理科数学试题

15°45°B E D AC B 1977年普通高等学校招生考试理科(北京市)数学试题满分120分，120分钟1．（本小题满分10分）3x =-． 2．（本小题满分10分）计算1022-+．3. （本小题满分10分）已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45． 4．（本小题满分10分）证明：αα+=α+22cos 2sin 1)1(tg ．5．（本小题满分10分）求过两直线70x y +-=和310x y --=的交点且过(1,1)点的直线方程． 6．（本小题满分10分）某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？7. （本小题满分10分）已知二次函数265y x x =-+．(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程; (2)画出它的图象;(3)分别求出它的图象和x 轴，y 轴的交点坐标． 8．（本小题满分10分）一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A 处看见一灯塔B 在船的北450东方向，一小时后船在C 处看见这个灯塔在船的北150东方向，求这时船和灯塔的距离CB ．9. （本小题满分10分）有一个圆内接三角形ABC ，∠A 的平分线交BC 于D ，交外接圆于E ，求证：AD AE AC AB ⋅=⋅.10. （本小题满分10分）当m 取哪些值时，直线y x m =+与椭圆191622=+y x 有一个交点？有两个交点？没有交点？当它们有一个交点时，画出它的图象.参考题1. （本小题满分10分）（1）求函数2sin(0),()0(0)x x f x xx π⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 的导数.(2)求椭圆12222=+by a x 绕x 轴旋转而成的旋转体体积.2. （本小题满分10分）(1)试用ε-δ语言叙述“函数()f x 在点0x x =处连续的定义.（2）试证明：若()f x 在点0x x =处连续，且0()0f x >,则存在一个0x 的00(,)x x δδ-+，在这个邻域内，处处有()0f x >.c b a A B C D 1978年普通高等学校招生全国统一考试数学满分120分，120分钟（理科考生五，六两题选做一题，文科考生五，六两题选做一题，不要求做第七题）一、（下列各题每题4分，五个题共20分） 1.分解因式：222444x xy y z -+-.2.已知正方形的边长为a ，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积.3．求函数)2lg(x y +=的定义域.4.不查表求cos800cos350+cos100cos550的值.5.化简：1132123421(4)4(0.1)()ab a b ----⎛⎫⋅⎪⎝⎭.二、（本题满分14分）已知方程224kx y +=，其中k 为实数.对于不同范围的k 值，分别指出方程所代表图形的类型，并画出显示其数量特征的草图. 三、（本题满分14分）（如图）AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，直线MN 切半圆于C 点，AM ⊥MN 于M 点，BN ⊥MN 于N 点，CD ⊥AB 于D 点，求证：1)CD =CM =CN . 2)CD 2=AM ·BN四、（本题满分12分）已知18log 9(2),185b a a =≠=.求36log 45.五.（本题满分20分）已知△ABC 的三内角的大小成等差数列，tan tan 23A C =+,,A B C 的大小，又已知顶点C 的对边c 上的高等于3求三角形各边,,a b c 的长（提示：必要时可验证324)31(2+=+）六、（本题满分20分）已知,αβ为锐角，且223sin 2sin 1αβ+=，3sin22sin20αβ-=.求证22παβ+=.七、（本题满分20分，文科考生不要求作此题）已知函数22(21)1y x m x m =+++- (m R ∈）.1）m 是什么数值时，y 的极值是0？ 2）求证：不论m 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线1l 上.画出1,0,1m =-时抛物线的草图，来检验这个结论. 3）平行于1l 的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任一条平行于1l 而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等.1E DCB A F aαN MEDCBA B /P /PlC BA O y x一九七八年副题1．（1）分解因式：222223x xy y x y -++--(2)求25sin 30tan 0cot cos46ππ︒-︒+-的值（3）求函数lg(255)1x y x -=+的定义域（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm ，母线的长等于2cm ，求它的体积（5）计算1111222112510(2()30()()50093---+的值.2．已知两数12,x x 满足下列条件： 1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项;2）它们的积是等比数列2，-6，…的前4项和．求根为211,1x x 的方程．3.已知：△ABC 的外接圆的切线AD 交BC 的延长线于D 点，求证：CDBDAC AB ACD ABC ==∆∆22的面积的面积.4．（如图）CD 是BC 的延长线， AB BC CA CD a ====，DM 与 ,AB AC 分别交于M 点和N 点，且BDM α∠=.求证：BM CN ==5．设432()444f x x px qx =-+22(1)(1)(0)p m x m p ++++≠.求证：1）如果()f x 的系数满足244(1)0p q m --+=,那么()f x 恰好是一个二次三项式的平方. 2）如果()f x 与22()(2)F x x ax b =++表示同一个多项式，那么244(1)0p q m --+=. 6．已知：sin cos 0a x b x +=. ………① sin 2cos2A x B x C +=.………………② 其中,a b 不同时为0.求证：22222()()0abA b a B a b C +-++=.7．已知l为过点3()2P -而倾斜角为300的直线，圆C 为中心在坐标原点而半径等于1的圆，Q 表示顶点在原点而焦点在)0,82(的抛物线A 为l 和C 在第三象限的交点，B 为C 和Q 在第四象限的交点．1）写出直线l ，圆C 和抛物线Q 的方程，并作草图 2）写出线段PA ，圆弧AB 和抛物线上OB 一段的函数表达式． 3）设,P B ''依次为从,P B 到x 轴的垂足求由圆弧AB 和直线段,,,BB B P P P PA ''''所包含的面积．F 1E D CB A βαPC B A VD C BA1979年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）满分120分，120分钟一、（本题满分6分）若2()4()()0z x x y y z ----=,求证：,,x y z 成等差数列．二、（本题满分6分）化简：2111111csc x---．三、（本题满分6分）甲，乙二容器内都盛有酒精甲有1v 公斤，乙有2v 公斤甲中纯酒精与水（重量）之比为1m :1n ,乙中纯酒精与水之比为2m :2n ．问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？四、（本题满6分）叙述并证明勾股定理．五、（本题满10分）外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D 里以内的区域．设A 及B 是我们的观测站，A 及B 间的距离为S 里，海岸线是过A ，B 的直线，一外国船在P 点，在A 站测得∠BAP =α，同时在B 站测得∠ABP =β．问α及β满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？六、（本题满分10分）设三棱锥V ABC -中，∠AVB =∠BVC =∠CVA =直角．求证：△ABC 是锐角三角形．七、（本题满分12分）美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：0.1x <,可用：ln(1)x x +≈，取lg2=0.3,ln10=2.3) 八、（本题满分12分）设CEDF 是一个已知圆的内接矩形，过D 作该圆的切线与CE 的延长线相交于点A ，与CF 的延长线相交于点B 求证：33AC BC AE BF =．九、（本题满分14分）试问数列lg100，lg(100sin )4π，2lg(100sin )4π，…，1lg(100sin )4n π-前多少项的和的值最大？并求这最大值lg2=0.301) 十、（本题满分18分）设等腰△OAB 的顶点为2θ，高为h ．1．在△OAB 内有一动点P ，到三边OA ，OB ，AB 的距离分别为||,||,||PD PF PE ，并且满足关系2||||=||PD PF PE ．求P 点的轨迹．2．在上述轨迹中求出点P 的坐标，使得||+||=||PD PE PF ．332211O 3O 2O 1DC B A A (m ,0)lB A P N M1980年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）满分120分，120分钟一、（本题满分6分）将多项式559x y xy -分别在下列范围内分解因式：1．有理数范围;2.实数范围;3.复数范围二、（本题满6分）半径为1、2、3的三个圆两两外切.证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形.三、（本题满分10分）用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点. 四、（本题满分10分）证明对数换底公式：log log log a b a N N b=（,,a b N 是正数，且1,1a b ≠≠）. 五、（本题满分10分）直升飞机上一点P 在地面M 上的正射影是A ，从P 看地面上一物体B （不同于A ）.直线PB 垂直于飞机窗玻璃所在的平面N （如图）.证明：平面N 必与平面M 相交，且交线垂直于AB .六、（本题满分12分）设三角函数()sin(),53k f x ππ=+其中0k ≠.1．写出()f x 极大值M ，极小值m 与最小正周期; 2．试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数()f x 至少有一个值是M 与一个值是m . 七、（本题满分14分）CD 为直角三角形ABC 中斜边AB 上的高，已知△ACD 、△BCD 、△ABC 的面积成等比数列，求∠B （用反三角函数表示）.八、（本题满分14分）已知0απ<<，证明：2sin 2cot 2αα≤，并讨论α为何值时等号成立. 九、（本题满分18分）抛物线的方程是22y x =，有一个半径为1的圆，圆心在x 轴上运动问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂注：设00(,)P x y 是抛物线22y px =上一点，则抛物线在P 点处的切线斜率是0y P）.附加题（成绩不计入总分，只作参考）设直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+==;,mt b y t x （t 是参数），椭圆E 的参数方程是⎩⎨⎧θ=≠θ+=sin )0(,cos 1y a a x （θ是参数）问,a b 应满足什么条件，使得对于任意m 值来说，直线l 与椭圆E 总有公共点Q AB C a F E D P1981年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）满分120分，120分钟一、（本题满分6分）设A 表示有理数的集合，B 表示无理数的集合，即设A ={有理数}，B ={无理数}，试写出：1. A ∪B , 2. A ∩B . 二、（本题满分6分）在,,,A B C D 四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果. 三、（本题满分8分）下列各小题中，指出A 是B 的充分条件，还是必要条件，还是充要条件，或者都不是.1.A: 四边形ABCD 为平行四边形, B ：四边形ABCD 为矩形.2.A: 3a =，B ：|a |=33.A: 150θ=︒，B ：1sin 2θ=. 4.A: 点(,)a b 在圆222x y r +=上B: 222a b r +=. 四、（本题满分10分）写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明. 五、（本题满分10分）解不等式（x 为未知数）：.0>-----cx bac b x a c b a x六、（本题满分10分）用数学归纳法证明等式23sin cos cos cos cos 22222sin 2n n nx x x x xx ⋅⋅⋅⋅=对一切自然数n 都成立. 七、（本题满分15分）设1980年底我国人口以10亿计算.（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，八、（本题满分17分）在1200的二面角P a Q --的两个面P 和Q 内，分别有点A 和点B A 和点B 到棱a 的距离分别为2和4，且线段AB=10，1．求直线AB 和棱a 所成的角; 2．求直线AB 和平面Q 所成的角.九、（本题满分18分）给定双曲线.1222=-y x 1．过点(2,1)A 的直线l 与所给的双曲线交于两点12,P P ，求线段12P P 的中点P 的轨迹方程.2．过点(1,1)B 能否作直线m ，使m 与所给双曲线交于两点12,Q Q ，且点B 是线段12Q Q 的中点？这样的直线m 如果存在，求出它的方程;如果不存在，说明理由. 十、（附加题，本题满分20分，计入总分）已知以AB 为直径的半圆有一个内接正方形CDEF ，其边长为1（如图）设,AC a BC b ==，作数列1u a b =-，222u a ab b =-+，32233u a a b ab b =-+-，…………，122(1)k k k k k k u a a b a b b --=-+-+-.求证：12(3)n n n u u u n --=+≥.N M P (ρ,θ)BA Ox K R Q P N M DC BA 数学（理科）满分120分，120分钟一、（本题满分6分）填表：二、（本题满分8分）1．求20(1)i -+展开式中第15项的数值; 2．求3cos2xy =的导数. 三、（本题满分9分）在平面直角坐标系内，下列方程表示什么曲线？画出它们的图形.1．2113230634x y -=.2．1cos ,2sin .x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩四、（本题满分12分）已知圆锥体的底面半径为R ，高为H . 求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h （如图）. 五、（本题满分15分）设01,0x a <<>，1a ≠，比较|log (1)|a x -与|log (1)|a x +的大小（要写出比较过程）.如图：已知锐角∠AOB =2α内有动点P ，,PM OA PN OB ⊥⊥，且四边形PMON 的面积等于常数2c .今以O 为极点， ∠AOB 的角平分线Ox 为极轴，求动点P 的轨迹的极坐标方程，并说明它表示什么曲线.七、（本题满分16分）已知空间四边形ABCD 中,AB BC CD AD ==，,,,M N P Q 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点（如图）求证MNPQ 是一个矩形.八、（本题满分18分）抛物线22y px =的内接三角形有两边与抛物线22x qy =相切，证明这个三角形的第三边也与22x qy =相切. 九、（附加题，本题满分20分，计入总分）已知数列12,,,n a a a 和数列1b ,2b ,…,n b , …，其中111,,-===n n pa a q b p a ， 11(2)(,,n n n b qa rb n p q r --=+≥是已知常数，且0,0q p r ≠>>）. 1．用,,,p q r n 表示n b ，并用数学归纳法加以证明; 2．求22n n n na b +.函数使函数有意义的 x 的实数范围1 2x y -=2 2)(x y -= 3arcsin(sin )y x =4 sin(arcsin )y x =5 x y lg 10= 6x y 10lg =αF 2F 1A 2A 1N M y xO S N AB C M D 理科数学试题满分120分，120分钟一、（本题满分10分）本题共有5小题，每小题2分 1．两条异面直线，指的是 A.在空间内不相交的两条直线. B.分别位于两个不同平面内的两条直线. C.某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线.D.不在同一平面内的两条直线.2．方程220x y -=表示的图形是A.两条相交直线B.两条平行直线C.两条重合直线D.一个点3．三个数,,a b c 不全为零的充要条件是 A.,,a b c 都不是零B.,,a b c 中最多有一个是零C.,,a b c 中只有一个是零D.,,a b c 中至少有一个不是零4．设,34π=α则)arccos(cos α的值是 A.34π B.32π- C.32π D.3π5．3.0222,3.0log,3.0这三个数之间的大小顺序是 A.3.0log 23.023.02<< B.3.02223.0log 3.0<< C.3.02223.03.0log <<D.23.023.023.0log << 二、（本题满分12分）1．在同一平面直角坐标系内，分别画出两个方程y =y x -=的图形，并写出它们交点的坐标.2．在极坐标系内，方程θ=ρcos 5表示什么曲线？画出它的图形. 三、（本题满分12分） 1.已知x e y x2sin -=，求微分dy .2.一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学要从小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法.计算行列式（要求结果最简）：五、（本题满分15分） 1.证明：对于任意实数t ，复数 i t t z |sin ||cos |+=的模||z r =适合42≤r . 2.当实数t 取什么值时，复数 i t t z |sin ||cos |+=的幅角主值θ适合40π≤θ≤？六、（本题满分15分）如图，在三棱锥S ABC -中，S 在底面上的射影N 位于底面的高CD 上；M 是侧棱SC 上的一点，使截面MAB 与底面所成的角等于∠NSC ，求证SC 垂直于截面MAB .七、（本题满分16分）如图，已知椭圆长轴12||6A A =，焦距12||F F =，过椭圆焦点1F 作一直线，交椭圆于两点,M N .设21F F M α∠= (0)απ≤<，当α取什么值时，|MN |等于椭圆短轴的长？ϕϕϕβϕ-ββαϕ+ααcos 2cos sin sin )sin(cos cos )cos(sin八、（本题满分16分）已知数列{}n a 的首项1(0)a b b =≠，它的前n 项的和12n n S a a a =+++(1)n ≥,并且123,,,S S S 是一个等比数列，其公比为(0p p ≠且|p |＜1）.1.证明：234,,,,,n a a a a (即{}n a 从第二项起）是一个等比数列.2.设1122n n n W a S a S a S =+++ (1)n ≥ ,求n n W ∞→lim （用,b p 表示）.九、（本题满分12分） 1.已知,a b 为实数，并且e a b <<，其中e 是自然对数的底，证明baa b >. 2.如果正实数,a b 满足baa b =.且1a <，证明a b =.1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案（这份试题共八道大题，满分120分.第九题是附加题，满分10分，不计入总分）一、（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分.1．数集{}(21),X n n Z π=+∈与数集{}(41),Y n k Z π=±∈之间的关系是（ C ） A.X ⊂Y B.X ⊃Y C.X =Y D.X ≠Y2．如果圆220x y Gx Ey F ++++=与x轴相切于原点，那么 A.0,0,0F G E =≠≠ B.0,0,0E F G ==≠ C.0,0,0G F E ==≠ D.0,0,0G E F ==≠ 3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[812---n n 的值 A.一定是零 B.一定是偶数 C.是整数但不一定是偶数 D.不一定是整数 4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 A.]1,0(∈x B.)0,1(-∈x C.]1,0[∈x D.]2,0[π∈x 5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2θA.是第一象限角B.是第三象限角C.可能是第一象限角，也可能是第三象限角D.是第二象限角二、（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分 1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积.2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集. 4．求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项.5．求1321lim +-∞→n nn 的值.6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）. 三、（本题满分12分）本题只要求画出图形.1．设0(0)()1(0)x H x x ≤⎧=⎨>⎩，画出函数(1)y H x =-的图象.2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ的曲线.四、（本题满分12分）已知三个平面两两相交，有三条交线.求证这三条交线交于一点或互相平行.五、（本题满分14分）设,,c d x 为实数，0c ≠，x 为未知数讨论方程1log)(-=+x xd cx 在什么情况下有解，有解时求出它的解. 六、（本题满分16分）1．设0≠p ，实系数一元二次方程022=+-q pz z 有两个虚数根12,z z .再设12,z z 在复平面内的对应点是1,Z Z 以12,Z Z 为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长.（7分）2．求经过定点(1,2)M ，以y 轴为准线，O /C P E yxO F DB AAC 离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程.（9分）七、（本题满分15分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为,,a b c ，且c =10，34cos cos ==a b B A ，P 为△ABC 的内切圆上的动点.求点P 到顶点,,A B C 的距离的平方和的最大值与最小值.八、（本题满分12分）设2a >，给定数列{}n x ,其中1x a =,)2,1()1(221 =-=+n x x x n nn .求证：1．2n x >，且11(1,2)n nxn x +<=；2．如果3a ≤，那么112(1,2)2n n x n -≤+=；3．如果3a >，那么当lg34lg 3a n ≥ 时，必有13n x +<.九、（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O ，半径为1的圆与直线l 相切于点A ，一动点P 自切点A 沿直线l 向右移动时，取弧的长为AP 32，直线PC 与直线AO 交于点M .又知当AP =43π时，点P 的速度为v .求这时点M 的速度.(A )a 2xO xO OxaO xa 1985年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题满分120分，120分钟一、（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对的得3分、不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分1．如果正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为a ，那么四面体A ABD '-的体积是A .32aB .33aC .34aD .36a .2．tan 1x =是54x π=的A .必要条件B .充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要的条件3．在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间)2,0(π上的增函数又是以π为周期的偶函数？ A .).(2R x x y ∈= B .)(|sin |R x x y ∈= C.)(2cos R x x y ∈= D.)(2sin R x ey x ∈= 4．极坐标方程)0(sin >θ=ρa a 的图象是A BC D5．用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有 A.96个 B.78个 C.72个 D.64个二、（本题满分20分）本题共5小题，每一个小题满分4分.只要求直接写出结果） 1．求方程1)6sin(2=π+x 解集．2．设1||≤a ，求)arccos(arccos a a -+的值．3．求曲线64162+-=x y 的焦点． 4．设66565(31)x a x a x -=+++ 10a x a +,求6510a a a a ++++的值． 5．设函数()f x 的定义域是[]0,1，求函数2()f x 的定义域．三、（本题满分14分）1．解方程40.25log (3)log (3)x x -++40.25log (1)log (21)x x =-++．2．解不等式.152+>+x x四、（本题满分15分）如图，设平面AC 和BD 相交于BC ，它们所成的一个二面角为450，P 为平面AC 内的一点，Q 为面BD 内的一点．已知直线MQ 是直线PQ 在平面BD 内的射影，并且M 在BC 上．又设PQ 与平面BD 所成的角为β，∠CMQ (090)θθ=︒<<︒，线段PM 的长为a ，求线段PQ 的长．-θθZ 2Z 1O x y五、（本题满分15分）设O 为复平面的原点，1Z 和2Z 为复平面内的两动点，并且满足：（1）1Z 和2Z 所对应的复数的辐角分别为定值θ和θ-)20(π<θ<；（2）△12OZ Z 的面积为定值S ．求△12OZ Z 的重心Z 所对应的复数的模的最小值.六、（本题满分15分）已知两点(2,2),(0,2)P Q -以及一条直线l ：y x =．设长为2的线段AB 在直线l 上移动，如图求直线PA 和QB 的交点M的轨迹方程（要求把结果写成普通方程）．七、（本题满分14分）设(n a n n =++（1,2n =）．（1）证明不等式2)1(2)1(2+<<+n a n n n 对所有的正整数n 都成立．（2）设),2,1()1( =+=n n n a b nn 用定义证明1lim 2n n b →∞=．八、（本题满分12分）设,a b 是两个实数，{(,),,A x y x n y na b n ===+是整数}，2{(,),315,B x y x m y m m ===+是整数}，22{(,)144}C x y x y =+≤是平面xOy 内的点集合，讨论是否存在a 和b 使得：（1）A ∩B ≠φ（φ表空集），（2）(,)a bC ∈同时成立. 九、（附加题，本题满分10分）已知曲线326116y x x x =-+-.在它对应于]2,0[∈x 的弧段上求一点P ，使得曲线在该点的切线在y 轴上的截距为最小，并求出这个最小值．G 3G 2G 1S F E-θθεD1986年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题满分120分，120分钟一、（本题满分30分）1．在下列各数中，已表示成三角形式的复数是 A ．)4sin 4(cos2π-πi B ．)4sin 4(cos 2π+πiC ．)4cos 4(sin 2π-πiD ．)4cos 4(sin 2π-π-i2．函数1)2.0(+=-x y 的反函数是A ．1log 5+=x yB ．15log +=x yC ．)1(log 5-=x yD ．1log 5-=x y 3．极坐标方程34cos =θρ表示 A ．一条平行于x 轴的直线 B ．一条垂直于x 轴的直线 C ．一个圆 D ．一条抛物线4．函数x x y 2cos 2sin 2=是 A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为2π的偶函数 C ．周期为4π的奇函数D ．周期为4π的偶函数5．给出20个数： 87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．它们的和是A ．1789B ．1799C ．1879D ．1899 6．设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的 A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件7．如果方程220x y Dx Ey F ++++=22(40)D E F +->所表示的曲线关于直线y x =对称，那么必有 A ．D E = B ．D F = C ．E F = D ．D E F ==8．在正方形123SG G G 中，,E F 分别是12G G 及23G G 的中点，D 是EF 的中点，现在沿,SE SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使123,,G G G 三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S EFG-中必有 A ．SG ⊥△EFG 所在平面 B ．SD ⊥△EFG所在平面C ．GF ⊥△SEF 所在平面D ．DG ⊥△SEF 所在平面 9．在下列各图中，2y ax bx =+与(0)y ax b ab =+≠的图象只可能是A ．B ．C ．D ．10．当]0,1[-∈x 时，在下面关系式中正确的是A ．21arcsin )arccos(x x -=--πB ．21arccos )arcsin(x x -=--πC ．21arcsin arccos x x -=-πD ．21arccos arcsin x x -=-π 二、（本题满分24分） 1．求方程4)5.0(5252=-+x x 的解．2．已知1,2312+ω+ω--=ω求i 的值．3．在xoy 平面上，四边形ABCD 的四个顶点坐标依次为(0,0)，(1,0)，(2,1)，(0,3)．求这个四边形绕x 轴旋转一周所得O P y x P 2P 1M (-1,0)l 2l 1F (1,0)O C B A yx 到的几何体的体积．4．求11)2(3)2(3lim ++∞→-+-+n n nn n ．5．求523)12(xx -展开式中的常数项．6．已知1sin cos 2θθ-=，求33sin cos θθ-的值．三、（本题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆周上不同于,A B 的任一点，求证：平面PAC 垂直于平面PBC ．四、（本题满分12分）当sin 20x >时,求不等式)13(log )152(log 5.025.0+>--x x x 的解集．五、（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，在y 轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点,A B ．试在x 轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C ，使∠ACB 取得最大值．六、（本题满分10分）已知集合A 和集合B 各含有12个元素，A B 含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C 的个数：（1）C A B ⊂且C 中含有3个元素，（2）C A φ≠（φ表示空集）．七、（本题满分12分）过点(1,0)M -的直线1l 与抛物线24y x =交于12,P P 两点．记：线段12P P 的中点为P ；过点P 和这个抛物线的焦点F 的直线为2l ；1l 的斜率为k ．试把直线2l 的斜率与直线1l 的斜率之比表示为k 的函数，并指出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数．八、（本题满分12分）已知110,1x x >≠，且212(3)(1,2,)31n n n n x x x n x ++==+．试证：数列{}n x 或者对任意自然数n 都满足1n n x x +<,或者对任意自然数n 都满足1n n x x +>．九、（附加题，本题满分10分） 1．求2arctan y x x =的导数． 2．求过点(1,0)-并与曲线21++=x x y 相切的直线方程．1987年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题满分120分，120分钟一、（本题满分24分）本题共有8个小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内选对的得3分）1．设S，T是两个非空集合，且S T，T S，令X S T=，那么S X=A．X B．T C．φ D．S2．设椭圆方程为22221x ya b+=(0)a b>>，令22bac-=，那么它的准线方程为A．cay2±= B．cby2±=C．cax2±= D．cbx2±=3．设,a b是满足0ab<的实数，那么A．|a b+|>|a b-|B．|a b+|<|a b-|C．|a b-|<||a|-|b||D．|a b-|<|a|+|b|4．已知,,,E F G H为空间中的四个点，设命题甲：点,,,E F G H不共面，命题乙：直线EF和GH不相交．那么A．甲是乙的充分条件，但不是必要条件B．甲是乙的必要条件，但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲不是乙的充分条件，也不是乙必要条件5．在区间)0,(-∞上为增函数的是A．)(log21xy--= B．xxy-=1C．2)1(+-=xy D．21xy+=6．要得到函数)32sin(π-=xy的图象，只需将函数xy2sin=的图象（图略）A．向左平行移动3πB．向右平行移动3πC．向左平行移动6πD．向右平行移动6π7．极坐标方程θ+θ=ρcos2sin所表示的曲线是A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线8．函数])2,2[)(arccos(cosππ-∈=xxy的图象是A．B．C．D．二、（本题满分28分）本题共7小题，每一个小题满分4分只要求写出结果1．求函数3x2tgy=的周期2．已知方程22121x yλλ-=++表示双曲线，求λ的范围.3．若(1)nx+的展开式中，3x的系数等于x的系数的7倍，求n.4．求极限222122lim111nnn n n→∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭.5．在抛物线24y x=上求一点，使该点到直线45y x=-的距离为最短.6．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数求这种五位数的个数.7．一个正三棱台的下底和上底的周长分别为30cm和12cm，而侧面积等于两底面积之差，求斜高.三、（本题满分10分）求︒︒︒︒70sin50sin30sin10sin的值.⊆⊆AB C E D P四、（本题满分12分）如图，三棱锥P ABC -中，已知PA BC ⊥，PA BC l ==，,PA BC 的公垂线ED h =.求证三棱锥P ABC -的体积216V l h =.五、（本题满分12分）设对所有实数x ，不等式2222224(1)2(1)log 2log log 014a a a x x a a a++++>+恒成立，求a 的取值范围.六、（本题满分12分，共2个小题）设复数12z z 和满足关系式12120z z Az Az ++=，其中A 为不等于0的复数.证明：（1）212||||||z A z A A ++=；（2）1122z A z Az A z A++=++. 七、（本题满分12分，共3个小题）设数列 ,,,,21n a a a 的前n 项的和nS 与n a 的关系是,)1(11nn n b ba S +-+-=其中b 是与n 无关的常数，且1b ≠-. （1）求1-n n a a 和的关系式;（2）写出用n 和b 表示n a 的表达式; （3）当10<<b 时，求极限n n S ∞→lim .八、（本题满分10分）定长为3的线段AB 的两端点在抛物线2y x =上移动，记线段AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标.九、（附加题，本题满分10分，共2个小题，每小题5分，不计入总分）（1）求极限1lim 12xn x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）设y ),x 1ln(x y 2'+=求.。

2019年北京市高考数学试卷(理科)含答案

2019年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知复数2z i =+，则(z z = ) A ．3B ．5C ．3D ．52．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．已知直线l 的参数方程为13,(24x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数），则点(1,0)到直线l 的距离是( )A ．15B ．25C ．45D ．654．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，则( )A ．222a b =B ．2234a b =C ．2a b =D ．34a b =5．若x ，y 满足||1x y -，且1y -，则3x y +的最大值为( ) A ．7-B ．1C ．5D ．76．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足121252Em m lg E -=，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =．已知太阳的星等是26.7-，天狼星的星等是 1.45-，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A ．10.110B ．10.1C ．10.1lgD ．10.110-7．设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是( )A ．①B ．②C ．①②D ．①②③二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2023年高考全国甲卷理科数学试题(附答案解析)

绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷∙理科)数学注意事项:1 ．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3 ．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A ={x x =3k +1，k ∈Z }，B ={x x =3k +2，k ∈Z }，U 为整数集，则C U (A ∩B )=()A.{x x =3k ，k ∈Z }B.{x x =3k -1，k ∈Z }C.{x x =3k -2，k ∈Z }D.θ【答案】A2.若复数(a +i )(1-ai )=2，则a =()A.-1B.0C.1D.2【答案】C3.执行下面的程序框图，输出的B =()A.21B.34C.55D.89【答案】B4.向量a =b =1，c =2且a +b +c =0，则cos <a -b ，b -c >=()A.-15B.-25C.25D.45【答案】D5.已知数列{an }中，Sn 为{an }前n 项和，S 5=5S 3-4，则S 4=()A.7 B.9C.15D.20【答案】C6.有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，结束70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球，俱乐部的概率为()A.0.8 B.0.4C.0.2D.0.1【答案】A7.“ sin2α+sin2β=1 ”是“ cosα+cosβ=0 ”的()A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【答案】B8.已知双曲线x2a2+y2b2=1(a>0，b>0)的离心率为5，其中一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A，B两点，则AB=()A.15B.55C.255D.455【答案】D9.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为()A.120B.60C.40D.30【答案】B10.已知f(x)为函数y=cos(2x+π4)向左平移π6个单位所得函数，则y=f(x)与y=12x-12，交点个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】C11.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，AB=4，PC=PD=3，∠PCA=45° ,则△PBC的面积为A.22B.32C.42D.52【答案】C12.已知椭圆x29+y26=1，F1、F2为两个焦点，O为原点，P为椭有圆上一点，cos∠F1PF2=35，则OP=()A.25B.302C.35D.352【答案】B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2000北京理科高考数学真题与答案

2000【【题目】】一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) 设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n +2，则在映射f 下，象20的原象是 ( )(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5(2) 在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时针方向旋转，所得向3π量对应的复数是 ( )(A) 23 (B) i 32- (C)i 33-(D) 3i 3+(3) 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是 ( )(A) 23 (B) 32 (C) 6 (D)6(4) 已知βαsin sin >，那么下列命题成立的是( )(A) 若α、β是第一象限角，则βαcos cos > (B) 若α、β是第二象限角，则βαtg tg >(C) 若α、β是第三象限角，则βαcos cos > (D) 若α、β是第四象限角，则βαtg tg >(5) 函数x x y cos -=的部分图像是( )(6)《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于 ( )(A) 800~900元 (B) 900~1200元 (C) 1200~1500元 (D) 1500~2800元(7) 若1>>b a ，P =b a lg lg ⋅，Q =()b a lg lg 21+，R =⎪⎭⎫ ⎝⎛+2lg b a ，则( )(A) R <P <Q (B) P <Q <R (C) Q <P <R (D) P <R <Q(8) 以极坐标系中的点()1 , 1为圆心，1为半径的圆的方程是( )(A) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4cos 2πθρ(B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin 2πθρ(C) ()1cos 2-=θρ (D) ()1sin 2-=θρ(9) 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 ( )(A)ππ221+ (B) ππ441+(C) ππ21+(D)ππ241+ (10) 过原点的直线与圆03422=+++x y x 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )(A) x y 3= (B) x y 3-=(C) x y 33=(D) x y 33-=(11) 过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则qp 11+等于 ( )(A) a 2 (B)a21 (C) a 4(D)a4 (12) 如图，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为( )(A) 321arccos(B) 21arccos(C) 21arccos(D) 421arccos二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．(13) 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_____种(用数字作答)(14) 椭圆14922=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是________(15) 设{}n a 是首项为1的正项数，列且()011221=+-+++n n n n a a na a n (n =1，2，3，…)，则它的通项公式是n a =_______(16) 如图，E 、F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是_______．(要求：把可能的图的序号都．填上)三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(17) (本小题满分12分)(18) (本小题满分12分)(19) (本小题满分12分)(20) (本小题满分12分)(21) (本小题满分12分)(Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P =()t f ；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =()t g ；(Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？ (注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg ，时间单位：天) (22) (本小题满分14分)【【答案】】(1)C(2)B(3)D(4)D(5)D(6)C(7)B(8)C(9)A(10)C(11)C(12)D(13)252(14)(15)1n(16)②③(17)本小题主要考查三角函数的图像和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分12分(18)本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分．OHGC 1CDA BD 1B 1A 1(19)本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分12分．(20)本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力，满分12分．(21)本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分．(22)本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分．。

2022北京高考数学（理科）试题及答案

2022北京高考数学(理科)试题及答案北京卷着重基础以及数学能力的结合，突出对学生素养的考查。

试卷整体难度、区分度合理，对后续学生的复习有指导意义。

下面是小编分享的2022北京高考数学(理科)试题及答案，欢迎大家阅读。

2022北京高考数学(理科)试题及答案三角变换与三角函数的性质问题答题模板1.解题路线图①不同角化同角②降幂扩角③化f(x)=Asin(ωx+φ)+h④结合性质求解。

2.构建答题模板①化简：三角函数式的化简，一般化成y=Asin(ωx+φ)+h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式。

②整体代换：将ωx+φ看作一个整体，利用y=sin x，y=cos x的性质确定条件。

③求解：利用ωx+φ的范围求条件解得函数y=Asin(ωx+φ)+h的性质，写出结果。

④反思：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性。

高考数学大题常见丢分原因对题意缺乏正确的理解，应做到慢审题快做题;公式记忆不牢，考前一定要熟悉公式、定理、性质等;思维不严谨，不要忽视易错点;解题步骤不规范，一定要按课本要求，否则会因不规范答题失分，避免“对而不全”如解概率题，要给出适当的文字说明，不能只列几个式子或单纯的结论;计算能力差失分多，会做的一定不能放过，不能一味求快，例如平面解析中的圆锥曲线问题就要求较强的运算能力;高考数学答题注意什么针对基础较差、以二本为最高目标的考生而言要“以稳取胜”——这类考生除了知识方面的缺陷外，“会而不对，对而不全”是这类考生的致命伤。

丢分的主要原因在于审题失误和计算失误。

考试时要克服急躁心态，如果发现做不下去，就尽早放弃，把时间用于检查已做的题，或回头再做前面没做的题。

针对二本及部分一本的同学而言要“以准取胜”——他们基础比较扎实，但也会犯低级错误，所以，考试时要做到准确无误(指会做的题目)，除了最后两题的第三问不一定能做出，其他题目大都在“火力范围”内。

但前面可能遇到“拦路虎”，要敢于放弃，把会做的题做得准确无误，再回来“打虎”。