黑龙江省大庆铁人中学2018届高三上学期期中考试数学(理)试卷

大庆铁人中学2015级高三·上学期期中考试数学(理)试题考试时间：2017年11月22日答题时长（分钟）：120 分值：150第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1. 已知集合A ={x |x 2-2x -3≤0}，B ={x |4x ≥2}，则A ∪B =（ ）A.]3,21[B.)3,21[ C. )3,(-∞ D. ),1[+∞-2. 已知复数，则=+||z zA .B .C . D3. 已知向量)1,2(),2,1(),1,3(=-=-=，若),,(R y x y x ∈+=则=+y x （ ）2.A 1.B 0.C 21.D4.已知函数f (x )＝322--x x ，则该函数的单调递增区间为 ( )A. (－∞，1]B. [3，＋∞)C. (－∞，－1]D. [1，＋∞) 5.已知)3sin(2)(πω-=x x f ，则“∀x ∈R ，f （x +π）=f （x ）”是“ω=2”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件6.若{}n a 是等差数列，0103>+a a ，011<S ，则在11321,,,S S S S 中最小的是（ ） A .4S B .5S C . 6S D . 9S7.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，则sin α＝( )A.45 B ．－45 C.35 D ．－35 8.P 0(x 0，y 0)是曲线y ＝3ln x ＋x ＋k (k ∈R)上的一点，曲线在点P 0处的切线方程 为4x －y －1＝0，则实数k 的值为( )A ．2B ．－2C ．－1D ．－49.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A. 10B. 12C. 14D. 1610.已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在(]0,∞-上是增函数设()7log 4f a =，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3log 21f b ，()6.02.0f c =，则c b a ,,的大小关系是( )A.．a b c << B ．a c b << C.．c a b << D.．c b a <<11. 已知△ABC 中，||10,16,BC AB AC D =⋅=- 为边BC 的中点，则||AD等于A. 6B. 5C. 4D. 312.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<--+=10,23,01,311)(2x x x x x x g ,若方程g (x )－mx －m ＝0有且仅有两个不等的实根，则实数m 的取值范围是( ) A ．)2,0[]2,49( --B ．]2,0[]2,411( -- C ． ]2,0[]2,49( --D ．)2,0[]2,411( -- 第(II)卷 (非选择题，共90分)二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）． 13．函数()2()log 6f x x =-的定义域是________．14. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2,111+==+n n S a a ，则=n a ________． 15.已知△ABC 是边长为2的等边三角形，设点D ，E 分别是AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得,2=则=∙BC AF _________________．16.已知函数)(x f 的导函数为)('x f ，若函数)(x f 满足xxx f x xf ln )()('=+ ， 且ee f 1)(=，则不等式:e x e f x f ->+-+)1()1(的解集为__________________ 三．解答题（本大题共6小题，第17题10分,其余每题12分，解题写出详细必要的解答过程）17.(本小题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*∈+=N n n n S n (,22）（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式. （Ⅱ）设11+=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.(本小题满分12分） 设函数)2sin()6sin()(πωπω-+-=x x x f ，其中0＜ω＜3，已知0)6(=πf . （Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数)(x f y =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数)(x g y =的图象，求)(x g 在]43,4[ππ-上的最小值．19.(本小题满分12分）已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n （n ∈N +），{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2+b 3=12，b 3=a 4-2a 1，S 11=11b 4． （Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式；（Ⅱ）求数列{a 2n b 2n -1}的前n 项和n T （n ∈N +）． 20.(本小题满分12分）已知向量2,1),(sin ,cos 1)m x n x x ==- ，函数1()2f x m n =⋅+ ，（Ⅰ）若()0,,4x f x π⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦，求cos 2x 的值； （Ⅱ）在ABC ∆中，角,,A B C 对边分别是,,a b c，且满足2cos 2b A c ≤，当B 取最大值时，1,a ABC =∆面积为43，求sin sin a c A C ++的值.21. (本小题满分12分）已知函数x xa x a x f ++=22ln )(（Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）若对任意m ，n ∈(0，e)且m ≠n ，有1)()(<--nm n f m f 恒成立，求实数a 的取值范围．22.(本小题满分12分）已知函数.)(2ax x e x f x --=．（Ⅰ）若曲线)(x f y =在点x =0处的切线斜率为1，求函数f （x ）在[0，1]上的最值； （Ⅱ）令)(21)()(22a x x f x g -+=，若0≥x 时，0)(≥x g 恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当0=a 且0>x 时，证明:1ln )(2+--≥-x x x x ex x f ．大庆铁人中学2015级高三·上学期期中考试数学(理)试题答案一、选择题： DDCB CCCA BCDA 二、填空题：13]6,3[- 14.⎩⎨⎧≥⋅==-)2(23)1(,12n n a n n 15．2116),0(e 三．解答题：17、解：当1=n 时，31=a当2≥n 时，=-=-1n n n S S a 12+n 满足1=n ，12+=∴n a n (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝＝＝.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝＝.=)32(3]32131[21+=+-n nn 18、（6+6）解：（Ⅰ）函数f （x ）=sin （ωx -）+sin （ωx -） =sin ωx cos -cos ωx sin -sin （-ωx ） =sin ωx -cos ωx =sin （ωx -），又f （）=sin （ω-）=0， ∴ω-=k π，k ∈Z ， 解得ω=6k +2，又0＜ω＜3， ∴ω=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）=sin （2x -），将函数y =f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y =sin（x -）的图象； 再将得到的图象向左平移个单位，得到y =sin （x +-）的图象，∴函数y =g （x ）=sin （x -）； 当x ∈[-，]时，x -∈[-，]， ∴sin （x -）∈[-，1]， ∴当x =-时，g （x ）取得最小值是-×=-．19、（6+6）解：（1）)62sin()(π+=x x f ，3262640ππππ≤+≤∴≤≤x x 656243,,4626223321ππππππ<+<<+<∴<<x or x36)62cos(4626=+∴<+≤∴ππππx x 6323]6)62cos[(2cos +=-+=∴ππx x （2）2)由2b cos A ≤2c －a ，得2sin B cos A ≤2sin C －sin A, 所以2sin B cos A ≤2sin(A ＋B )－sin A ，所以2sin B cos A ≤2(sin A cos B ＋cos A sin B )－sin A, 所以2sin A cos B ≥sin A ，所以cos B ≥23， π<<B 0 得60π≤<B 有3,43,30.1=∴=︒==c S B a 由余弦定理的,1=b 且sin sin a c A C ++2sin ==Bb20.（5+7） 解：（I ）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ． 由已知b 2+b 3=12，得b 1（q +q 2）=12，而b 1=2，所以q +q 2-6=0． 又因为q ＞0，解得q =2．所以，b n =2n ． 由b 3=a 4-2a 1，可得3d -a 1=8①． 由S 11=11b 4，可得a 1+5d =16②， 联立①②，解得a 1=1，d =3，由此可得a n =3n -2． 所以，数列{a n }的通项公式为a n =3n -2，数列{b n }的通项公式为b n =2n． （II ）设数列{a 2n b 2n -1}的前n 项和为T n ， 由a 2n =6n -2，b 2n -1=4n ，有a 2n b 2n -1=（3n -1）4n ，故T n =2×4+5×42+8×43+…+（3n -1）4n， 4T n =2×42+5×43+8×44+…+（3n -1）4n +1，上述两式相减，得-3T n =2×4+3×42+3×43+…+3×4n -（3n -1）4n +1 ==-（3n -2）4n +1-8 得T n =．所以，数列{a 2n b 2n -1}的前n 项和为．21、（6+6）解：(1)由题意知2')2)(()(x a x a x x f -+=①当a ＝0时，f ′＝1>0，所以f 在上单调递增；②当a >0时，由f ′<0得0<x <a ，由f ′>0得x >a ，所以f 在上单调递减，在上单调递增；③当a <0时，由f ′<0得0<x <－2a ，由f ′>0得x >－2a ， 所以f 在上单调递减，在上单调递增．综上，a ＝0时，f 在),0(+∞上单调递增；a >0时，f 在),0(a 上单调递减，在),(+∞a 上单调递增；a <0时，f 在)2,0(a -上单调递减，在),2(+∞-a 上单调递增． (2)若m >n ，由1)()(<--nm n f m f <1得n n f m m f -<-)()(若m <n ，由1)()(<--nm n f m f 得n n f m m f ->-)()(令g ＝x x f -)(＝a ln x ＋xa22所以)(x g 在),0(e 上单调递减，又)0()2(2)(222'>-=-=x xa x a x a x a x g ①当a ＝0时，g ′＝0，不符合题意；②当a >0时，由g ′<0得0<x <2a ，由g ′>0得x >2a ，所以g 在)2,0(a 上单调递减，在),2(+∞a 上单调递增，所以2a ≥e ，即a ≥； ③当a <0时，在),0(+∞上，都有g ′<0，所以g 在),0(+∞上单调递减，即在),0(e 上也单调递减．综上，实数a 的取值范围为),2[)0,(+∞-∞e(2)0)(,0)0(),,0(,0)2()(≤≤≤-=e h h e a x a x h 即可22. （3+6+3）解：（1）∵f ′（x ）=e x -2x -a ，∴f ′（0）=1-a =1，∴a =0， ∴f ′（x ）=e x -2x ，记h （x ）=e x -2x ，∴h ′（x ）=e x -2，令h ′（x ）=0得x =ln2． 当0＜x ＜ln2时，h ′（x ）＜0，h （x ）单减；当ln2＜x ＜1时，h ′（x ）＞0，h （x ）单增， ∴h （x ）min =h （ln2）=2-2ln2＞0，故f ′（x ）＞0恒成立，所以f （x ）在[0，1]上单调递增， ∴f （x ）min =f （0）=1，f （x ）max =f （1）=e -1． （2）∵g （x ）=e x -（x +a ）2，∴g ′（x ）=e x -x -a ． 令m （x ）=e x -x -a ，∴m ′（x ）=e x -1，当x≥0时，m′（x）≥0，∴m（x）在[0，+∞）上单增，∴m（x）min=m（0）=1-a．（i）当1-a≥0即a≤1时，m（x）≥0恒成立，即g′（x）≥0，∴g（x）在[0，+∞）上单增，∴g（x）min=g（0）=1-≥0，解得-≤a≤，所以-≤a≤1．（ii）当1-a＜0即a＞1时，∵m（x）在[0，+∞）上单增，且m（0）=1-a＜0，当1＜a＜e2-2时，m（ln（a+2））=2-ln（2+a）＞0，∴∃x0∈（0，ln（a+2）），使m（x0）=0，即e=x0+a．当x∈（0，x0）时，m（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）单减；当x∈（x0，ln（a+2））时，m（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）单增．∴g（x）min=g（x0）=e-（x0+a）2=e-e=e（1-e）≥0，∴e≤2可得0＜x0≤ln2，由e=x0+a，∴a=e-x0．记t（x）=e x-x，x∈（0，ln2]，∴t′（x）=e x-1＞0，∴t（x）在（0，ln2]上单调递增，∴t（x）≤t（ln2）=2-2ln2，∴1＜a≤2-2ln2，综上，a∈[-，2-ln2]．（3）证明：f（x）-ex≥x ln x-x2-x+1等价于e x-x2-ex≥x lnx-x2-x+1，即e x-ex≥x lnx-x+1．∵x＞0，∴等价于-ln x--e+1≥0．令h（x）=-ln x--e+1，则h′（x）=．∵x＞0，∴e x-1＞0．当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单减；当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单增．∴h（x）在x=1处有极小值，即最小值，∴h（x）≥h（1）=e-1-e+1=0，∴a=0且x＞0时，不等式f（x）-ex≥x ln x-x2-x+1成立．。