电磁场原理习题与解答

第五章习题答案

2sin ()2a vt a B dS N a k vt +-=+-⎰

5-2 如题图所示，一半径为a 的金属圆盘，在垂直方向的均匀磁场B 中以等角速度ω旋转，

其轴线与磁场平行。在轴与圆盘边缘上分别接有一对电刷。这一装置称为法拉第发电机。试

证明两电刷之间的电压为2

2ω

Ba 。

证明：，选圆柱坐标， ρφe vB e B e v B v E z ind

=⨯=

⨯= 其中 φρωe v

=

2

2

ω

ρρωρερ

ρa B d B e d e v B l d E a

a

l ind ===

=⎰⎰

⎰∙∙∴

证毕 5-4 一同轴圆柱形电容器，其内、外半径分别为cm r 11=、cm r 42=，长度cm l 5.0=，极板间介质的介电常数为04ε，极板间接交流电源，电压为V t 10026000u πsin =。求

s t 0.1=时极板间任意点的位移电流密度。

解法一：因电源频率较低，为缓变电磁场，可用求静电场方法求解。忽略边沿效应，电容器中的场为均匀场，选用圆柱坐标，设单位长度上内导体的电荷为τ，外导体电荷为τ-，因

题图5-2

z

v

ρ

此有

ρρ

πετe 2E 0

=

21r r <<ρ

1

200222

1

2

1

r r

d dl E u r r r r ln πετρρπετ==

=

⎰

⎰

∙

1

202r r

u ln =∴

πετ 所以 ρρe r r u E 1

2

ln =

， ρρ

εe r r u

D 1

2 ln =

2A/m ρ

ρππρ

ε

ρ

ε

e t 10010026000r r e t

u r r t

D J 1

21

2d

cos ln ln ⨯=∂∂=

∂∂=

当s t 1=时

2

5

12A/m 10

816100100260004108584ρρ

ρ

π

πρ

e e J d

--⨯=⨯⨯⨯⨯=.cos ln .

解法二：用边值问题求解，即

⎪⎩

⎪

⎨⎧=====∇4

01u 02ρϕρϕϕ 由圆柱坐标系有

0)(1=∂∂∂∂ρ

ϕ

ρρρ (1)

解式(1)得

21ln c c +=ρϕ

由边界条件得： 4

u c 1ln -

= u c 2=

u 4

u +-

=∴

ρϕln ln

所以 ρρπϕe 4

t 10026000E

ln sin =

-∇=

ρρπεεe 4

t 100260004E D 0

ln sin ==

ρπρπεe 1004

t 100260004t J 0D

⨯=∂∂=ln cos 当s t 1=时

)(.2

5D m

A

e 10816J ρρ -⨯=

5-5由圆形极板构成的平板电容器)(d a >>见题图所示，其中损耗介质的电导率为γ、介电系数为ε、磁导率为μ，外接直流电源并忽略连接线的电阻。试求损耗介质中的电场强度、磁场强度和坡印廷矢量，并根据坡印廷矢量求出平板电容器所消耗的功率。 d

z U

J E e γγ==

22I U

e e d

φφγρπρ=

所以坡印亭矢量为：2

×

H=()U

S E e ργρ=-

外部空间进入电容器的总功率，即电容器消耗的功率为：

2

2

2s

U S dS R d

γ-=

⎰5-7解：

设电容器间的电流为I ，取以坐标原点O 至介质中任意点的距离ρ为半径的球面，有：

24C C s

J dS J I πρ==⎰

I J e ρ=

题图5-5

C

J I E e ρ=

=

4b

a

I E dl πρ=⎰⎰

4m

ab U abU b a

πγ=-4D s

ab J dS b πεω-=

⎰

(4cos m abU b πγ=

-采用圆柱坐标系

z U E e = cos t t d

ε==∂∂则有：

2l

H

dl I πρ==⎰cos 2m U H te d

φωερ

ω=

5-9 在交变电磁场中，某材料的相对介电常数为81=r ε，电导率为S/m 24.=γ。分别求频率Hz 11k f =、MHz 12=f 以及GHz 13=f 时位移电流密度和传导电流密度的比值。 解：传导电流C J 和位移电流D J 分别由以下公式计算

E J γ=C ， t

D

J D ∂∂=

所以传导电流和位移电流的幅值比为：

()8

-904.2 4.29.31081811102C D J K J f f

γεωεωππ⨯=====

⨯⨯⨯ 分别将三种频率代入式(1)中得：

5101039K 3⨯=.＝f 2101039K 6⨯=.＝f 930K 910.＝=f

5-11题图所示的一对平行长线中有电流t I t i m ωsin )(=。求矩形线框中的感应电动势。