§2.3.3直线与平面垂直的性质导学案

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学案11：2.3.3 直线与平面垂直的性质～2.3.4 平面与平面垂直的性质

2.3.3直线与平面垂直的性质~2.3.4平面与平面垂直的性质【知识导图】【学法指导】1.线面垂直、面面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系，提供了它们之间相互转化的依据．因此，在应用时要善于运用转化的思想．2．利用面面垂直的性质定理时，找准两平面的交线是解题的关键．3．学习线面垂直的性质定理时，要注意区分与其相似的几个结论．【自主预习】知识点一直线与平面垂直的性质文字语言垂直于同一个平面的两条直线符号语言}a⊥αb⊥α⇒图形语言①线面垂直⇒线线平行；作用②作平行线1．直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．2．定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．知识点二平面与平面垂直的性质文字语言两个平面垂直，则垂直于的直线与另一个平面α⊥βα∩β＝l⇒a⊥β符号语言}图形语言①面面垂直⇒垂直；作用②作面的垂线对面面垂直的性质定理的理解1．定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．2．已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．[小试身手]1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β2．已知△ABC和两条不同的直线l，m，l⊥AB，l⊥AC，m⊥AC，m⊥BC，则直线l，m的位置关系是()A．平行B．异面C．相交D．垂直3.如图，BC是Rt△BAC的斜边，P A⊥平面ABC，PD⊥BC于点D，则图中直角三角形的个数是()A．3 B．5C．6 D．84．如果三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则顶点在底面的正投影是底面三角形的______心．【课堂探究】类型一线面垂直的性质定理的应用例1在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥BD1.方法归纳线面垂直的性质定理是证明两直线平行的重要依据，证明两直线平行的常用方法：(1)a∥b，b∥c⇒a∥c.(2)a∥α，a⊂β，β∩α＝b⇒a∥b.(3)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.(4)a⊥α，b⊥α⇒a∥b.跟踪训练1如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC的中点，AD⊥平面ABC，D为FG的中点，且AF＝AG，EF＝EG.求证：BC∥FG.类型二面面垂直的性质定理的应用例2如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE ＝EF＝1，求证：CF⊥平面BDE.方法归纳(1)两个平面垂直的性质定理可作为判定线面垂直的依据．当已知两个平面垂直时，可在一个平面内作交线的垂线，即是另一平面的垂线．(2)证明线面垂直的常用方法：①线面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理；③a∥b，b⊥α⇒a⊥α.跟踪训练2在三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，平面P AB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.类型三垂直关系的综合应用例3如图，在几何体ABCDPE中，底面ABCD是边长为4的正方形，P A⊥平面ABCD，P A∥EB，且P A＝2EB＝4 2.(1)证明：BD∥平面PEC；(2)若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG.方法归纳空间线线垂直、线面垂直、面面垂直是重点考查的位置关系，证明时一般是已知垂直关系考虑性质定理，求证垂直关系考虑判定定理．跟踪训练3如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝ 2.等边三角形ADB以AB为轴转动．(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．【参考答案】【自主预习】知识点一直线与平面垂直的性质平行 a ∥b知识点二平面与平面垂直的性质一个平面内交线垂直 a ⊂α a ⊥l线面[小试身手]1．解析：⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n n ⊥β⇒m ⊥β，故选B. 答案：B2．解析：因为直线l ⊥AB ，l ⊥AC ，所以直线l ⊥平面ABC ，同理直线m ⊥平面ABC ，根据线面垂直的性质定理得l ∥m .答案：A3.解析：由P A ⊥平面ABC ，知△P AC ，△P AD ，△P AB 均为直角三角形，又PD ⊥BC ，P A ⊥BC ，P A ∩PD ＝P ，∴BC ⊥平面P AD .∴AD ⊥BC ，易知△ADC ，△ADB ，△PDC ，△PDB 均为直角三角形．又△BAC 为直角三角形，所以共有8个直角三角形，故选D.答案：D4．解析：三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则三条交线两两互相垂直，易证投影是底面三角形的垂心．答案：垂【课堂探究】类型一线面垂直的性质定理的应用例1【证明】如图所示，连接A 1C 1，C 1D ，B 1D 1，BD .∵AC ∥A 1C 1，EF ⊥AC ，∴EF ⊥A 1C 1.又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1，∴EF⊥平面A1C1D①.∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1.∵四边形A1B1C1D1为正方形，∴A1C1⊥B1D1，又B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1D，而BD1⊂平面BB1D1D，∴A1C1⊥BD1.同理DC1⊥BD1.又DC1∩A1C1＝C1，∴BD1⊥平面A1C1D②.由①②可知EF∥BD1.跟踪训练1证明：连接DE，AE，因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥BC.因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC，又AD∩AE＝A，所以BC⊥平面ADE.因为AF＝AG，D为FG的中点，所以AD⊥FG，同理ED⊥FG，又ED∩AD＝D，所以FG⊥平面ADE，所以BC∥FG.类型二面面垂直的性质定理的应用例2【证明】如图，设AC∩BD＝G，连接EG，FG.由AB＝2易知CG＝1，则EF＝CG＝CE.又EF∥CG，所以四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF，CF⊂平面ACEF，所以BD⊥CF.又BD ∩EG ＝G ，所以CF ⊥平面BDE .跟踪训练2证明：如图所示，在平面P AB 内作AD ⊥PB 于点D .∵平面P AB ⊥平面PBC ，且平面P AB ∩平面PBC ＝PB ，∴AD ⊥平面PBC .又BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC .∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC .∵P A ∩AD ＝A ，∴BC ⊥平面P AB .又AB ⊂平面P AB ，∴BC ⊥AB .类型三垂直关系的综合应用例3【证明】 (1)如图，连接AC 交BD 于点O ，取PC 的中点F ，连接OF ，EF .∵四边形ABCD 为正方形，∴O 为AC 的中点，∴OF ∥P A ，且OF ＝12P A . ∵EB ∥P A ，且EB ＝12P A ，∴EB ∥OF ，且EB ＝OF ， ∴四边形EBOF 为平行四边形，∴EF ∥BD .又EF ⊂平面PEC ，BD ⊄平面PEC ，∴BD ∥平面PEC .(2)如图，连接PB ，∵EB AB ＝BA P A ＝12，∠EBA ＝∠BAP ＝90°，∴△EBA ∽△BAP ， ∴∠PBA ＝∠BEA ，∴∠PBA ＋∠BAE ＝∠BEA ＋∠BAE ＝90°，∴PB ⊥AE . ∵P A ⊥平面ABCD ，P A ⊂平面APEB ，∴平面ABCD ⊥平面APEB .∵BC ⊥AB ，平面ABCD ∩平面APEB ＝AB ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面APEB ，∴BC ⊥AE .又BC∩PB＝B，BC⊂平面PBC，PB⊂平面PBC，∴AE⊥平面PBC.∵G为BC上的动点，∴PG⊂平面PBC，∴AE⊥PG.跟踪训练3解：(1)如图所示，取AB的中点E，连接DE，CE.因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，CE⊂平面ABC可知DE⊥CE.由已知可得DE＝3，EC＝1.在Rt△DEC中，CD＝DE2＋EC2＝2.(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明：①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.又因AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE.又CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.。

直线与平面垂直的性质1导学案

§2.3.3直线与平面垂直的性质班级：_______姓名：_______ 三维目标1、探究直线与平面垂直的性质定理，培养学生的空间想象能力、实事求是等严肃的科学态度和品质。

2、掌握直线与平面垂直的性质定理的应用，提高逻辑推理能力。

教学重、难点直线与平面垂直的性质定理及其应用教学设计问题提出：1、直线与平面垂直的定义是什么？如何判定直线与平面垂直？2、直线与平面垂直的判定定理，解决了直线与平面垂直的条件问题；反之，在直线与平面垂直的条件下，能得到哪些结论？知识探究（一）：直线与平面垂直的性质定理思考1：如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱AA 1，BB 1，CC 1，DD 1所在直线与底面ABCD 的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？思考2：如果直线a ，b 都垂直于同一条直线l ，那么直线a ，b 的位置关系如何？思考3：一个平面的垂线有多少条？这些直线彼此之间具有什么位置关系？思考4：如果直线a ，b 都垂直于平面α，由观察可知a//b ，从理论上如何证明这个结论？证明此结论的方法叫做什么法？思考5：根据上述分析，得到一个什么结论？思考6：上述定理通常叫做直线与平面垂直的性质定理。

用符号语言怎么表述？该定理有什么功能作用？思考7：线a ，b 分别在正方体ABCD －A ’B ’C ’D ”中两个不同的平面内，欲使a ∥b ，则a ，b 应满足什么条件？知识探究（二）：线与平面垂直的性质探究AA 1BC D B 1C 1D 1思考1：设a ，b 为直线，α为平面，若a ⊥α，b//a ，则b 与α的位置关系如何？为什么？思考2：设a ，b 为直线，α为平面，若a ⊥α，b//α，则a 与b 的位置关系如何？为什么？思考3：设l 为直线，α，β为平面，若l ⊥α，α//β，则l 与β的位置关系如何？为什么？思考4：设l 为直线，α、β为平面，若l ⊥α，l ⊥β，则平面α、β的位置关系如何？为什么？理论迁移例1：如图，已知,,l CA αβα=⊥ 于点A ，CB β⊥ 于点B ，,,a a AB α⊂⊥ 求证：//a l 。

2.3.3 直线与平面垂直的性质学案

2.3.3 直线与平面垂直的性质(学案) 高一备课组一、堂前回顾：直线与平面垂直的判定定理是什么？二、学习新知：1、注意观察右面两个图，在长方体ABCD－A ’B ’C ’D ”中，棱AA ’、BB ’、CC ’、DD ’都与平面ABCD 垂直，它们之间具有什么什么关系？2、右图中，已知直线a ，b 和平面α，如果a ⊥α，b ⊥α那么直线a ，b 是否平行呢？直线与平面垂直的性质定理：在上述第2个问题中，假定b 与a 不平行，且b ∩α＝O ，b ’是经过点O 与直线a 平行的直线，直线b 与b ’确定平面β，设α∩β＝c ，因为a ⊥α，b ⊥α，所以a ⊥c ，b ⊥c ，又因为b ’∥a ，所以b ’⊥c ，这样在平面β内，经过直线c 上同一点O 就有两条直线b ，b ’与c 垂直，显然不可能，因此b ∥a 。

一般地，我们得到直线与平面垂直的性质定理定理垂直于同一平面的两条直线平行。

,a αb αa b ^^O判定两条直线平行的方法很多，直线与平面垂直的定理告诉我们，可以由两条直线与一个平面垂直判定两条直线平行。

直线与平面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系。

3、直线与平面垂直的性质的应用例4、设直线a，b分别在正方体ABCD－A’B’C’D”中两个不同的平面内，欲使a∥b，则a，b应满足什么条件？分析：结合两直线平行的判定定理，考虑a，b满足的条件。

解：a，b满足下面条件中的任何一个，都能使a∥b，（1）a，b同垂直于正方体一个面；（2）a，b分别在正方体两个相对的面内且共面；（3）a，b平行于同一条棱；（4）如图，E，F，G，H分别为B’C’，CC’，AA’，AD的中点，EF所在的直线为a，GH所在直线为b，等等。

评述：此题能充分考察学生对所学知识的应用，达到巩固知识的目的。

思考：你还能找出其他一些条件吗？练习：P73并说明理由或举出反例1：2：作业：P787、8。

学案2：2.3.3 直线与平面垂直的性质

2.3.3直线与平面垂直的性质课前预习学案一、预习目标：通过对图形的观察，知道直线于平面垂直的性质二、预习内容：1、直线与平面垂直的判定方法有哪些？2、在空间，过一点，有几条直线与已知平面垂直？过一点，有几个平面与已知直线垂直？3、判断题（判断下列命题是否正确）（1）、在平面中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。

（2）、在空间中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。

（3）、垂直于同一平面的两直线互相平行。

（4）、垂直于同一直线的两平面互相平行。

4、若直线和平面如果垂直，则其应具备的性质是什么？三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中课内探究学案一、学习目标：（1）明确直线与平面垂直的性质定理。

（2）利用直线与平面垂直的性质定理解决问题。

学习重点：直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单应用。

学习难点：直线和平面垂直的性质定理和推论的证明，等价转化思想的渗透。

二、学习过程探究一、直线与平面垂直的性质1、如图，长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱A A′、B B′、C C′、D D′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？2、已知：a ，b 。

求证：b ∥a （由1让学生自行证明）得直线与平面垂直的性质定理三种语言刻画探究二、定理的应用例1已知变式1：下列命题中错误的是（）A 、若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这个平面上的所有直线。

B 、若一个平面通过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。

C 、若一直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线必平行于这个平面D 、若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则也和这条直线垂直。

（四）课堂检测1、课本页：1、2.2、设直线a,b 分别在正方体ABCD—A′B′C′D′中两个不同的平面内,欲使b ∥a ,a 、b 应满足什么条件？课后巩固练习与提高1．若表示直线，表示平面，下列条件中，能使的是（）α⊥α⊥βαβα//,,求证⊥⊥ll 71P ,,a b c αa α⊥2．已知与是两条不同的直线，若直线平面，①若直线，则；②若，则；③若，则；④，则。

学案4：2.3.3 直线与平面垂直的性质~2.3.4 平面与平面垂直的性质

2.3.3直线与平面垂直的性质~2.3.4平面与平面垂直的性质学习目标：1.掌握直线与平面垂直的性质定理及其应用2.掌握平面与平面垂直的性质定理及其应用3.通过探索发现线面垂直和面面垂直的性质规律及其转化关系，培养空间想象能力、逻辑思维能力、和类比思维能力。

知识链接：问题1：直线与平面垂直的判定定理是_______________________________.问题2：平面与平面垂直的判定定理是_______________________________.问题3：两个平面垂直的定义是什么? .探究问题1.已知直线b a ,和平面α，如果αα⊥⊥b a ,，那么直线b a ,一定平行吗？直线与平面垂直的性质定理：符号表示：证明：探究问题2.（1）如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的一条直线与另一个平面垂直吗？（2）如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内能否找到一条直线与另一个平面垂直？，怎么画出来？请在下图中画出来平面与平面垂直的性质定理：这个定理实现了什么关系的转化?符号表示：证明：预习自测1.判断下列命题是否正确.（1）两条平行线中的一条垂直于某条直线，则另一条也垂直于这条直线；（）（2）两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面；（）（3）两个平行平面中的一个垂直于某个平面，则另一个也垂直于这个平面；（）（4）垂直于同一条直线的两条直线互相平行；（）（5）垂直于同一条直线的两个平面互相平行；（）（6）垂直于同一个平面的两个平面互相平行.（）2.两个平面互相垂直，下列命题A 、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线B 、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线C 、一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面D 、过一个平面内任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.正确的个数是个3.对于直线,m n 和平面,αβ，能得出αβ⊥的一个条件是（）A.,m n m ⊥∥α，n ∥βB. m n ⊥，m αβ⋂=，n α⊂C. m ∥n ，n β⊥ ，m α⊂D. m ∥n ，,m n αβ⊥⊥例题剖析例1.CA α⊥于点A ，CB β⊥于点B ，l αβ=，a α⊂，且a AB ⊥.求证：a ∥l .例2.如图，已知平面,,αβαβ⊥，直线a 满足,a a βα⊥⊄，试判断直线a 与平面α的位置关系.探究：设平面α⊥平面β，点P 在平面α内，过点P 作平面β的垂线a ，则直线a 与平面α具有什么位置关系？请说明理由.例3.如图所示，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC. 求证：BC ⊥平面PAC例4.如图，P 是四边形ABCD 外一点，四边形ABCD 是60DAB ︒∠=,边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD .若G 为AD 的中点.(1) 求证:BG ⊥面PAD(2) 求证:AD PB ⊥参考答案预习自测1.判断下列命题是否正确.（1）正确（2）正确（3）正确（4）错误（5）正确（6）错误2. 13. C例题剖析例1.证明：∵CA α⊥且 a α⊂∴CA ⊥a ,又∵a AB ⊥（已知），CA AB A =,CA ⊂面CAB,AB ⊂ 面CAB.∴a ⊥面CAB. ① 另外CA α⊥，CB β⊥，l αβ=，∴CA ⊥l , CB ⊥l 又CA CB C =,CA ⊂面CAB,CB ⊂ 面CAB.∴l ⊥面CAB ②由①②知a ∥l例2 略例3.证明：过A 点做PC 的垂线交PC 与点M.连接AM∵平面PAC ⊥平面PBC ，且PAC∩PBC=PC, AM ⊂平面PAC ∴AM ⊥平面PBC, BC ⊂平面PBC,∴AM ⊥BC, ①又PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ∴PA ⊥BC ②又PA∩AM=A ，AM ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC.③∴由①②③知 BC ⊥平面PAC例4. 证明：（1）解：（1）证明：连结BD ．∵ABCD 为棱形，且∠DAB=60°， ∴△ABD 为正三角形．又G 为AD 的中点，∴BG ⊥AD ．又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD=AD ，∴BG ⊥平面PAD ．（2）∵PAD 为正三角形且G 为AD 的中点.∴PG ⊥AD ① 由（1）知BG ⊥AD 且PG∩BG=G ， PG ⊂PBG, BG ⊂PBG.② 由①②知 AD ⊥PBG又PB ⊂PBG ∴AD PB ⊥。

2.3.3-4 直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质学案(人教A版必修2)

2．3.3 直线与平面垂直的性质 2．3.4 平面与平面垂直的性质【课标要求】1．掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理． 2．能运用性质定理解决一些简单问题. 【核心扫描】1．线面垂直、面面垂直性质定理的应用．(重点) 2．线线、线面、面面垂直关系的相互转化．(难点)新知导学1．温馨提示：线与直线平行的结论．(2)该定理可用来判定两直线平行，揭示了“平行”与“垂直”这两种特殊位置关系之间的转化．温馨提示其他性质(1)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．即α⊥β，A ∈α，A ∈b ，b ⊥β⇒b ⊂α.(2)如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内．即α⊥β，b ⊥β⇒b ∥α或b ⊂α.互动探究探究点1 垂直于同一直线的两个平面有什么关系？提示平行(可用此结论判定面面平行)．探究点2 两个平面均垂直于一个平面，这两个平面有什么关系？提示关系不能确定，平行、相交(垂直)都有可能．类型一利用线面垂直性质定理证平行问题【例1】如图所示，在正方体A1B1C1D1-ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.[思路探索]分别证明EF、BD都垂直平面ACB1即可．1证明如图所示：连接AB1，B1D1，B1C1，BD.∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C.又B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.[规律方法]线面垂直的性质是证明线线平行的方法之一，还可进而证明线面、面面平行．【活学活用1】如图所示，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE ＝AB＝2a，CD＝a，F为BE的中点．求证：DF∥平面ABC.证明取AB的中点G，连接FG、GC，则FG为△BEA中位线，∴FG∥AE.∵AE⊥平面ABC，FG∥AE，∴FG⊥平面ABC.∵FG⊥平面ABC，CD⊥平面ABC，∴FG ∥CD .又FG ＝12AE ＝CD ＝a .∴四边形CDFG 为平行四边形，FD ∥CG .∵FD ∥CG .CG ⊂平面ABC ，∴DF ∥平面ABC . 类型二利用面面垂直的性质定理证垂直问题【例2】如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．已知α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l . 求证：l ⊥γ.[思路探索] 根据直线和平面垂直的判定定理，可在γ内构造两相交直线分别与平面α，β垂直；或者由面面垂直的性质易在α，β内作出平面γ的垂线，再设法证明l 与其平行即可．证明法一在γ内取一点P ，作P A 垂直α与γ的交线于A ，PB 垂直β与γ的交线于B ，则P A ⊥α，PB ⊥β.∵l ＝α∩β，∴l ⊥P A ，l ⊥PB .又P A ∩PB ＝P ，且P A ⊂γ，PB ⊂γ， ∴l ⊥γ.法二在α内作直线m 垂直于α与γ的交线，在β内作直线n 垂直于β与γ的交线， ∵α⊥γ，β⊥γ，∴m ⊥γ，n ⊥γ.∴m ∥n .又n ⊂β，∴m ∥β.又m ⊂α，α∩β＝l ， ∴m ∥l .∴l ⊥γ.[规律方法] 面面垂直的性质是作平面的垂线的重要方法，因此，在有面面垂直的条件下，若需要平面的垂线，要首先考虑面面垂直的性质．【活学活用2】如图，在三棱锥P ABC 中，P A ⊥平面ABC ，平面P AB ⊥平面PBC .求证：BC ⊥AB .证明在平面P AB 内，作AD ⊥PB 于D . ∵平面P AB ⊥平面PBC ，且平面P AB ∩平面PBC ＝PB .∴AD ⊥平面PBC .又BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC .又∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴P A ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AB . 又AB ⊂平面P AB ，∴BC ⊥AB .类型三利用面面垂直的性质定理求二面角【例3】在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝BC ＝CD ＝a ，∠ABC ＝90°，∠BCD ＝135°，沿AC 将四边形折成直二面角B -AC -D .(1)求证：平面ABC ⊥平面BCD ；(2)求平面ABD 与平面ACD 所成的角的度数． [思路探索] 关于折叠问题，关键明确在折叠前后哪些量发生变化，如线与线的位置关系，角的大小等，要抓住不变量来解题．(1)证明如图所示，其中图(1)是平面四边形，图(2)是折后的立体图．在四边形ABCD 中， ∵AB ＝BC ，AB ⊥BC ， ∴∠ACB ＝45°，而∠BCD ＝∠ACB ＋∠ACD ＝135°， ∴∠ACD ＝90°，即CD ⊥AC .又平面ABC 与平面ACD 的二面角的平面为直角，且平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，∴CD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面BCD ，∴平面ABC ⊥平面BCD . (2)解过点B 作BE ⊥AC ，E 为垂足，则BE ⊥平面ACD . 又过点E 在平面ACD 内作EF ⊥AD ，F 为垂足，连接BF . 由已知可得BF ⊥AD ， ∴∠BFE 是二面角B -AD -C 的平面角．∵E 为AC 的中点，∴AE ＝12AC ＝22a .又sin ∠DAC ＝CD AD ＝33，EF ＝33AE ，∴EF ＝22a ·33＝66a ，tan ∠BFE ＝BEEF＝ 3.∴∠BFE ＝60°，即平面ABD 与平面ACD 所成的角的度数为60°.[规律方法] 当一个平面与二面角的一个面垂直时，常利用面面垂直的性质作出二面角面的垂线，而作出平面角．【活学活用3】如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，且P A ＝AD ＝2，E 、F 分别为AD 、PC 中点．(1)求异面直线EF 和PB 所成角的大小； (2)求证：平面PCE ⊥平面PBC ； (3)求二面角E -PC -D 的大小．(1)解如图，取PB 的中点G ，连接FG 、AG ， ∵E 、F 分别为AD 、PC 中点，∴FG 綉12BC ，AE 綉12BC ，∴FG 綉AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴AG ∥FE ，∵P A ＝AD ＝AB ，∴AG ⊥PB ，即EF ⊥PB ， ∴EF 与PB 所成的角为90°.(2)证明由(1)知AG ⊥PB ，AG ∥EF ， ∵P A ⊥平面ABCD ，∴BC ⊥P A ， ∵BC ⊥AB ，AB ∩BC ＝B ， ∴BC ⊥平面P AB ，∴BC ⊥AG ，又∵PB ∩BC ＝B ， ∴AG ⊥平面PBC ， ∴EF ⊥平面PBC ， ∵EF ⊂平面PCE ，∴平面PCE ⊥平面PBC .(3)解作EM ⊥PD 于点M ，连接FM ， ∵CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥EM ， ∴EM ⊥平面PCD ，EM ⊥PC ，由(2)知EF ⊥平面PBC ，∴EF ⊥PC ，又EM ∩EF ＝E ， ∴PC ⊥平面EFM ， ∴FM ⊥PC ，∴∠MFE 是二面角E -PC -D 的平面角或其补角．∵P A ＝AD ＝2，∴EF ＝AG ＝2，EM ＝22，∴sin ∠MFE ＝EM EF ＝12，∴∠MEF ＝30°，即二面角E -PC -D 的大小为30°. 方法技巧转化思想在垂直关系转换中的应用线线垂直、线面垂直和面面垂直的转换关系如下：当证明垂直关系时，要灵活地应用垂直之间的转换关系．当运用平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直．【示例】如图所示，在四棱锥V -ABCD 中，底面四边形ABCD 是正方形，侧面三角形VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD .(1)证明AB ⊥平面VAD ；(2)求面VAD 与面VDB 所成的二面角的平面角的正切值． [思路分析] (1)用面面垂直的性质 (2)由(1)利用垂线法作平面角．(1)证明 ∵底面四边形ABCD 是正方形， ∴AB ⊥AD .又∵平面VAD ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，且平面VAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴AB ⊥平面VAD .(2)解如图所示，取VD 的中点E ，连接AE ，BE . ∵△VAD 是正三角形，∴AE ⊥VD ，AE ＝32AD .∵AB ⊥平面VAD ， ∴AB ⊥VD .又∵AE ∩AB ＝A ， ∴VD ⊥平面ABE .∴BE ⊥VD .因此∠AEB 就是所求二面角的平面角，于是tan ∠AEB ＝233.[题后反思] 证明垂直问题，要结合条件充分利用已知或证出的垂直关系的性质灵活地进行垂直间的转化．课堂达标1．平面α⊥平面β，a⊥α，则有()．A．a∥βB．a∥β或a⊂βC．a与β相交D．a⊂β解析由已知易得：a∥β或a⊂β.答案 B2．(2012·济宁高一检测)已知平面α⊥平面β，则以下说法正确的个数是()．①平面α内的直线必垂直平面β内的无数条直线；②在平面β内垂直于平面α与平面β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线；③α内的任意一条直线必垂直于β；④过β内的任意一点作平面α与平面β的交线的垂线，此直线必垂直于α.A．4 B．3C．2 D．1解析①②正确，③④不正确．答案 C3．已知a、b为直线，α、β为平面．在下列四个命题中，正确的命题是________．①若a⊥α，b⊥α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；④若α∥b，β∥b，则α∥β.解析由“垂直于同一平面的两直线平行”知①真；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知②假；由“垂直于同一直线的两平面平行”知③真；易知④假．答案①③4．已知α、β、γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，给出下列四个命题：①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；③若l上有两个点到α的距离相等，则l∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β.其中正确命题的序号是________．解析①也可能是直线l⊂α；②正确；③中的两个点可以在平面的两侧；④正确．答案②④5．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，P A⊥平面ABCD，且P A ＝AB，点E是PD的中点．(1)求证：AC⊥PB；(2)求证：PB∥平面AEC；(3)求二面角E-AC-B的大小．(1)证明(1)由P A⊥平面ABCD可得P A⊥AC.又AB⊥AC，所以AC⊥平面P AB，所以AC⊥PB.(2)证明如图，连接BD交AC于点O，连接EO，则EO是△PDB的中位线，∴EO∥PB.又EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB∥平面AEC.(3)解如图，取AD的中点F，连接EF，FO，则EF是△P AD的中位线，∴EF∥P A.又P A⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.同理，FO 是△ADC 的中位线， ∴FO ∥AB ，∴FO ⊥AC . 因此，∠EOF 是二面角E -AC -D 的平面角．又FO ＝12AB ＝12P A ＝EF ，∴∠EOF ＝45°.而二面角E -AC -B 与二面角E -AC -D 互补，故所求二面角E -AC -B 的大小为135°.课堂小结1．直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结合，利用垂直关系可判断平行，反过来由平行关系也可判定垂直，即两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面．2．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理．3．灵活进行线线、线面、面面垂直关系之间的转换，是判定和运用垂直关系的关键．。

高一数学必修二2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质导学案(解析版)

2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质一、课标解读1.掌握直线和平面垂直的性质定理和推论的内容、推导和简单应用。

2.掌握等价转化思想在解决问题中的运用.3.使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理.4.能运用性质定理解决一些简单问题.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系.二、自学导引问题1：如图，长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，棱A A ′、B B ′、C C ′、D D ′所在直线都垂直于平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？问题2：已知：a α⊥，b α⊥。

求证：b ∥a直线和平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

符号语言作用：a b问题3：黑板所在平面与地面所在平面垂直，你们能否在黑板上画一条直线与地面垂直呢？问题4：如图，长方体ABCD－A'B'C'D中，平面A'ADD’与平面ABCD垂直，直线A'A垂直于其交线AD，平面A'ADD’内的直线A'A与平面ABCD垂直吗？问题5：设α⊥β，α∩β＝CD，A B α，AB⊥CD，AB∩CD＝B，研究直线AB与平面β的位置关系。

归纳得到平面与平面垂直的性质定理：定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

想一想：用符号语言如何表述这个定理?三、典例精析例1 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，D A AC EF 1及与异面直线都垂直相交. 求证：EF ∥1BD变式训练1 如图所示，已知SA 垂直于ABCD 所在平面，过A 且垂直于SC 的平面分别交 .,,,,G F E SD SC SB 于求证：SB AE ⊥例2 如图所示，平面⊥⊥PAC ABC PAB 平面平面,平面ABC ，⊥AE 平面PBC ,E 为垂足.（1）求证：ABC PA 平面⊥（2）当E 为PBC ∆的垂心时，求证：ABC ∆是直角三角形变式训练2 如图所示，是所在平面外一点，是四边形ABCD ABCD P60=∠DAB 且边长ABCD PAD a 面垂直于底面为正三角形，其所在平的菱形，侧面. (1) 若PAD BG AD G 平面边的中点，求证：为⊥ (2) 求证：PB AD ⊥四、自主反馈 1．两异面直线在平面α内的射影（）A ．相交直线B ．平行直线C ．一条直线—个点D ．以上三种情况均有可能2．若两直线a 与b 异面，则过a 且与b 垂直的平面（）A ．有且只有—个B ．可能存在也可能不存在C ．有无数多个D ．—定不存在3．在空间，下列哪些命题是正确的（）①平行于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③平行于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同—个平面的两条直线互相平行．A ．仅②不正确B ．仅①、④正确C ．仅①正确D ．四个命题都正确4．若平面α的斜线l 在α上的射影为l ′，直线b ∥α，且b ⊥l ′，则b 与l （）A ．必相交B ．必为异面直线C ．垂直D ．无法确定5．下列命题①平面的每条斜线都垂直于这个平面内的无数条直线；②若一条直线垂直于平面的斜线，则此直线必垂直于斜线在此平面内的射影； ③若平面的两条斜线段相等，则它们在同一平面内的射影也相等；④若一条线段在平面外并且不垂直于这个平面，则它的射影长一定小于线段的长．其中，正确的命题有（）A ．1个B ．2个C ．3个 n 4个6．在下列四个命题中，假命题为（）A ．如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直B ．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边C ．过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于a 的平面内D ．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面7．已知P 是四边形ABCD 所在平面外一点且P 在平面ABCD 内的射影在四边形ABCD 内，若P 到这四边形各边的距离相等，那么这个四边形是（）A ．圆内接四边形B ．矩形C ．圆外切四边形D ．平行四边形8．在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，P A ⊥平面ABC ，P A ＝8，则P 到BC 的距离等于（）A ．5B ．52C ．35D ．45答案2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质例1 证明：连接BD C B AB ,,11ABCD AC ABCD DD 平面平面⊂⊥,1D DD BD BD AC AC DD =⊥⊥∴11,, 又111,BD AC B BDD AC ⊥∴⊥∴平面C AB BD C B BD 1111,平面同理可证⊥∴⊥C BD A AD EF AC EF 11//,,又⊥⊥C AB EF C B EF 11,平面⊥∴⊥∴1//BD EF ∴例2 证明（1）在平面F AC DF D ABC 于作内取一点⊥,AC ABC PAC 且交线为平面平面,⊥AP DF PAC PA PAC DF ⊥∴⊂⊥∴,,平面平面AP DG G AB DG ⊥⊥同理可证于作,D DF DG ABC DF DG = 内，且都在平面,ABC PA 平面⊥∴(2)连接H PC BE 于并延长交BE PC PBC E ⊥∴∆的垂心，是又已知AE PC PBC AE ⊥∴的垂线，是平面AB PC ABE PC ⊥∴⊥∴,平面PAC AB AB PA ABC PA 平面平面又⊥∴⊥∴⊥,, 是直角三角形即ABC AC AB ∆⊥∴,变式训练1.SA BC ABCD BC ABCD SA ⊥∴⊂⊥,平面，平面证明：SAB SA SAB AB A SA AB AB BC 平面平面⊂⊂=⊥,,, BC AE SAB AE SAB BC ⊥∴⊂⊥∴,,平面平面 SC AE AEFG AE AEFG SC ⊥∴⊂⊥,,平面平面 SBC BC SBC SC C BC SC 平面平面又⊂⊂=,, SB AE SBC SB SBC AE ⊥∴⊂⊥∴,,平面平面2.略自主反馈1．D 2．B 3．B 4．C 5．A 6．A 7．C 8．D。

学案9：2.3.3 直线与平面垂直的性质

2.3.3 直线与平面垂直的性质【学习目标】1．理解且能证明直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．2．能够灵活地应用线面垂直的性质定理证明相关问题．【知识梳理】直线与平面垂直的性质定理 ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α______证明两条直线____名师点拨直线与平面垂直的性质定理给出了判断两条直线平行的另一种方法，即“线面垂直，则线线平行”，它揭示了“平行”与“垂直”关系的内在联系．【做一做】在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或平行【重点难点】1．理解直线与平面垂直的性质定理剖析：(1)直线与平面垂直的性质定理考查的是在直线与平面垂直的条件下，可得出什么结论．(2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同一个平面垂直)．(3)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．(4)定理的推证过程采用了反证法．(5)垂直于同一条直线的两个平面互相平行．2．直线与平面垂直的性质剖析：(1) ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αb ⊂α l ⊥b ； (2) ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α a ∥b ； (3) ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α b ⊥α； (4) ⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa ⊥α a ⊥β； (5) ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊥β α∥β.【典型例题】题型：证明两条直线平行【例】如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，EF 与异面直线AC ，A 1D 都垂直相交．求证：EF ∥BD 1.反思：当题中垂直条件很多，但又需证明两条直线的平行关系时，就要考虑直线与平面垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化．【随堂练习】1．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中真命题的是( )①若m ⊥n ，n α，则m ⊥α；②若a⊥α，aβ，则α⊥β；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若mα，nβ，α∥β，则m∥n.A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④2．已知直线m平面α，直线n平面α，m∩n＝M，直线a⊥m，a⊥n，直线b⊥m，b⊥n，则直线a，b的位置关系是__________．3．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝__________.4．已知直线l，m，a，b，l⊥a，l⊥b，m⊥a，m⊥b，且a，b是异面直线，求证：l∥m. 5．如图所示，已知α∩β＝l，EA⊥α于A，EB⊥β于B，aα，a⊥AB.求证：a∥l.【参考答案】【知识梳理】平行a∥b平行【做一做】B【典型例题】证明：连接AB1，B1C，BD，B1D1，如图所示．∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD，BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.∴AC⊥BD1，同理BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1.【随堂练习】1．B 2.平行 3.64. 证明：如图所示，在直线b上任取一点O，过O作a′∥a，则直线b，a′确定一个平面α.∵a′∥a，l⊥a，∴l⊥a′.又∵l⊥b，a′∩b＝O，∴l⊥α.同理可证m⊥α，∴l∥m.5．证明：∵EA⊥α，EB⊥β，α∩β＝l，∴l⊥EA，l⊥EB.又∵EA∩EB＝E，EA平面EAB，EB平面EAB，∴l⊥平面EAB.又∵aα，EA⊥α，∴a⊥EA.又∵a⊥AB，AB∩EA＝A，AB平面EAB，EA平面EAB，∴a⊥平面EAB.∴a∥l.。

人教A版数学必修二第二章第十二课时导学案2.3.3

§2.3.3 直线与平面垂直的性质学习目标1. 理解和掌握直线与平面垂直的性质定理及其应用；2. 了解反证法证题的思路和步骤；3. 掌握平行与垂直关系的转化.~ P71，找出疑惑之处）70复习1：①什么是二面角？什么是二面角的平面角？②当两个平面所成的二面角____________时，这两个平面互相垂直.复习2：两个平面垂直的判定定理是_______________________________________________. 复习3：①垂直于同一直线的两条直线的位置关系是____________；②垂直于同一平面的两个平面的位置关系是___________.二、新课导学※探索新知探究：直线与平面垂直的性质定理问题1：学校广场竖着三根旗杆，它们与地面的位置关系如何？你感觉它们之间的位置关系又是什么样的？问题2：如图12-1，长方体的四条棱AA'、BB'、CC'和DD'与底面ABCD是什么关系？它们之间又是什么关系？.图12-1反思：由以上两个问题，你得出了什么结论？自己能试着证明吗？和其它同学讨论讨论，看看难在哪里？※典型例题例1 如图12-2，已知直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，求证：a∥b.图12-2小结：由于无法直接运用平行直线的判定知识来证明a ∥b ,我们假设,a b 不平行,进而推出“经过直线上同一点有两条直线与该直线垂直”的错误结论，说明假设不正确，即原命题正确：a ∥b .这种证明命题的方法叫做“反证法”.新知：直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行.反思：这个定理揭示了什么?例2 判断下列命题是否正确，并说明理由.⑴两条平行线中的一条垂直于某条直线，则另一条也垂直于这条直线；⑵两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面；⑶两个平行平面中的一个垂直于某个平面，则另一个也垂直与这个平面；⑷垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑸垂直于同一条直线的两个平面互相平行；⑹垂直于同一个平面的两个平面互相平行.小结：体会“平行”与“垂直”之间的转化.※ 动手试试练1. 如图12-3，CA α⊥于点A ，CB β⊥于点B ，l αβ=，a α⊂，且a AB ⊥，求证：a ∥l .图12-3练2. 如图12-4，AB 是异面直线,a b 的公垂线（与,a b 都垂直相交的直线），a α⊥，b β⊥，c αβ=，求证：AB ∥c .三、总结提升※ 学习小结1. 直线与平面垂直的性质定理及应用；2. “平行”与“垂直”关系的相互转化.※ 知识拓展设,a m 和l 是直线，,αβ是平面，则直线与平面垂直还有下列性质： (1)l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭； (2)//l m m l αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭ (3)//l l ααββ⊥⎫⎬⊥⎭ 你能把它们用图形表示出来吗？学习评价※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列四个命题中错误的是（）.A.,a b a αα⊥⊥⇒∥bB.,a a α⊥∥b b α⇒⊥C.,a b α⊥∥,a b α⇒⊥D.,a a b b α⊥⊥⇒∥α2. 平面α外不共线的三点,,A B C 到α的距离都相等，则正确的结论是（）.A.平面ABC 必平行于αB.平面ABC 必垂直于αC.平面ABC 必与α相交D.存在ABC ∆的一条中位线平行于α或在α内3. 已知平面α和平面β相交,a 是α内一条直线，则有（）.A.在β内必存在与a 平行的直线B.在β内必存在与a 垂直的直线C.在β内不存在与a 平行的直线D.在β内不一定存在与a 垂直的直线4. 直线a α⊥，直线b β⊥，且α∥β，则a ___b .5. 设直线,a b 分别在正方体''''ABCD A B C D -中两个不同的平面内，欲使//a b ，,a b 应满足________________________.(至少写出2个不同答案)课后作业1. 已知a α⊄，a b ⊥，b α⊥，求证：a ∥α.2. 如图12-5，在三棱锥中，PA PB =，AB BC ⊥，若M 是PC 的中点，试确定AB 上点N 的位置，使得MN AB ⊥.图12-5。

2.3.3直线与平面垂直的性质

§2.3.3直线与平面垂直的性质【学习目标】1.理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．2．能够灵活地应用线面垂直的性质定理证明相关问题．3．理解并掌握“平行”与“垂直”之间的相互转化．【重点】直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单应用。

【难点】直线和平面垂直的性质定理和推论的证明，等价转化思想的渗透。

预习案一、复习旧知：写出下列定理的符号语言。

1.直线与平面垂直的判定定理：2.平面与平面垂直的判定：符号语言：二、预习新知：1.完成课本P70 思考部分；2.直线与平面垂直的性质定理：（1）垂直于同一个平面的两条直线；（2）符号语言：⇒⎭⎬⎫ 三、预习自测：1.完成课本P71 练习题1，2。

2.在空间中，下列哪些命题是正确的( )①平行于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③平行于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行．A ．仅②不正确B ．仅①、④正确C ．仅①正确D ．四个命题都正确3.直线l 、m 与平面α、β、γ满足γβ =l ，α//l ，γ⊥m ，则必有( )A ．βγα//m 且⊥B ．m l ⊥⊥且γαC ．m l m ⊥且β//D ．γαβα⊥且//4.已知直线m ，n 与平面α，β，给出下列三个命题：①若n m n m //,//,//则αα；②若m n n m ⊥⊥则,,//αα；③若βαβα⊥⊥则,//,m m ；.其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．35.m 、n 是空间两条不同直线，α、β是两个不同平面，下面有四个命题：①n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,//,； ②βαβα//,//,n m n m ⇒⊥⊥；③βαβα⊥⇒⊥n m n m //,//,； ④ββαα⊥⇒⊥n n m m //,//,.其中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)α探究案例1．如图，n m ,是两条相交直线，b a ,是与n m ,都垂直的两条直线，且直线l 与b a ,都相交.求证：21∠=∠.巩固练习：1、如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，EF 是异面直线AC 及A 1D 的公垂线．求证：EF ∥ BD 1.【小结】直线与平面垂直的性质：（1）定义：若αα⊂⊥b a ,，则b a ⊥；（2）性质定理：αα⊥⊥b a ,，则b a //；【综合提高】1、直线a 和b 在正方体1111D C B A ABCD -的两个不同平面内，使b a //成立的条件是 (填序号）(1)a 和b 垂直于正方体的一个面；（2）a 和b 在正方体两个相对的面内，且共面；（3）a 和b 平行于同一条棱；（4）a 和b 在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直。

2.3.3-4直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质导学案

罗田一中高一数学必修2导学案编者：刘秀丹审核：杨德兵学生____________一．学习目标1.掌握直线与平面垂直的性质定理及平面与平面垂直的性质定理的应用。

2.进一步理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化及转化的数学思想。

3.通过探索发现线面垂直和面面垂直的性质规律，培养空间想象能力、逻辑思维能力和类比思维能力。

二．自学导引1.直线与平面垂直的性质定理：_________________________________________. （线面垂直→线线平行）.符号表示：_______________________________.拓展:直线与平面垂直的其它性质：⑴ 直线与平面垂直，则直线垂直于平面内的所有直线；⑵ 垂直于同一条直线的两个平面互相平行2.平面与平面垂直的性质定理： _________________________________________ __________________________________________.（面面垂直→线面垂直）符号表示：拓展:两个平面垂直的其它性质：⑴ 如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于另外一个平面的直线,必在这个平面内；⑵ 如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个平面的交线垂直于这个平面；⑶ 三个两两垂直的平面，它们的交线也两两垂直.三.典型例题：题型一直线与平面垂直的性质的应用例一．已知,l CA αβα⋂=⊥与A ，B ,CB a a AB βα⊥⊂⊥于点，，求证//a l［规律方法］利用线面垂直的性质证明线线平行，关键是找（构造）出平面，使所证直线都与该平面垂直。

［变式1］已知一条直线l 和一个平面α平行，求证:直线l 上各点到平面α的距离相等题型二平面与平面垂直的性质的应用例二．在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面V AD 是等边三角形，平面VAD⊥底面ABCD.(1) 求证：AB ⊥平面VAD.(2) 求平面VAD 与平面VDB 所成的二面角的正切值。

21-22版：2.3.3　直线与平面垂直的性质~2.3.4　平面与平面垂直的性质(创新设计)

@《创新设计》
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课前预习
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规律方法证明线线平行常用的方法（1）利用线线平行定义：证共面且无公共点. （2）利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线. （3）利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行. （4）利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直. （5）利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.
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（1）证明 ∵O，M分别为AB，VA的中点，∴OM∥VB. ∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC， ∴VB∥平面MOC. （2）证明 ∵AC＝BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB. 又∵平面VAB⊥平面ABC，且平面VAB∩平面ABC＝AB，OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面 VAB. ∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB.
∴DD1⊥AC. 又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，DD1，BD⊂平面BDD1B1， ∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1⊂平面BDD1B1，
@《创新设计》
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∴AC⊥BD1. 同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，AC，B1C⊂平面AB1C， ∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C. 又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，AC，B1C⊂平面AB1C， ∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.
【训练3】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为 CD的中点. (1)求证：BD⊥平面PAC； (2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE. (1)证明因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD. 因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC. 又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.

《2.3.3 直线与平面垂直的性质》和《2.3.4 平面与平面垂直的性质》教学设计

《空间中直线、平面的垂直关系》教学设计一、教材内容解析本节课的内容是探究空间直线与平面、平面与平面垂直的性质，选自人教A 版教材《2.3.3 直线与平面垂直的性质》和《2.3.4 平面与平面垂直的性质》。

空间中直线、平面的垂直关系是一种非常重要的的位置关系，它不仅应用广泛，而且是空间问题平面化的典范。

这类问题求解的关键是根据线面、面面之间的互化关系，借助创设辅助线和面，找出符号语言和图形语言之间的关系。

通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。

本节内容是学习了线面垂直和面面垂直判定之后的进一步探究，进一步巩固“观察模型——直观感知——操作确认——推理证明——拓展应用”定理学习模式，培养学生空间概念，空间想象能力以及逻辑推理能力。

二、教学目标设置根据本课教材的特点，新大纲对本节课的教学要求，结合学生身心发展的合理需要，确定以下教学目标：（1）知识与技能目标：①让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理的正确认识；②会证明性质定理，并能运用性质定理解决一些简单问题。

（2）过程与方法目标：①通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生逻辑推理能力；②了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系，掌握转化思想在解决问题中的运用；③通过类比空间中直线与平面的平行关系、平面与平面的平行关系的学习方法来探究本节课中的垂直关系。

（3）情感态度与价值观目标：①让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣；②提高学生的合情推理能力和空间想象力，培养学生的质疑思辨、创新精神；③进一步体会几何中的公理化体系，提升学生的科学素养。

教学重点：学生经历“观察模型——直观感知——操作确认——推理证明——拓展应用”定理学习过程，培养空间想象能力和逻辑推理能力，感悟数学中的“转化”的思想，并能类比此方法用于其它数学命题的学习，解决更多的生活中的实际问题，所以性质定理的发现及证明是本节课的重点。

学案12：2.3.3 直线与平面垂直的性质～2.3.4 平面与平面垂直的性质

2.3.3 直线与平面垂直的性质～2.3.4 平面与平面垂直的性质【学习目标】1．掌握直线与平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；2．掌握两个平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；3．能综合运用直线与平面、平面与平面的垂直、平行的判定和性质定理解决有关问题．【要点梳理】要点一、直线与平面垂直的性质1.基本性质文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线. 符号语言：,l m l m αα⊥⊂⇒⊥图形语言：2.性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：,//l m l m αα⊥⊥⇒图形语言：3．直线与平面垂直的其他性质（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.（2）若l α⊥于A ，AP l ⊥，则AP α⊂.（3）垂直于同一条直线的两个平面平行.（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面.要点诠释：线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化.要点二、平面与平面垂直的性质1．性质定理文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：,,,m l l m l αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥图形语言：要点诠释：面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到.这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法.2．平面与平面垂直性质定理的推论如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.要点三、垂直关系的综合转化线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条件与结论的桥梁．【典型例题】类型一：直线与平面垂直的性质例1．设a，b为异面直线，AB是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线）.（1）若a，b都平行于平面α，求证：AB⊥α；αβ=，求证：AB∥c.（2）若a，b分别垂直于平面α，β，且c【思路点拨】（1）依据直线和平面垂直的判定定理证明AB⊥α，可先证明线与线的平行.（2）由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明AB∥c.【总结升华】由第（2）问的证明可以看出，利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造平面，使所证线皆与该平面垂直.如题中，通过作出辅助线BB＇，构造出平面，即由相交直线b与BB＇确定的平面，然后借助于题目中的其他垂直关系证明.举一反三：【变式1】设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m例2．如图，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，P A=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明：AE⊥CD；（2）证明：PD⊥平面ABE．【思路点拨】（1）由P A⊥底面ABCD，可得CD⊥P A，又CD⊥AC，故CD⊥面P AC，从而证得CD⊥AE；（2）由等腰三角形的底边中线的性质可得AE⊥PC，由（Ⅰ）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再由AB⊥PD可得PD⊥面ABE.【总结升华】直线与平面垂直的性质定理（以及补充性质）是线线、线面垂直以及线面、面面平行相互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们．举一反三：==，ABED是边长为1的正方形，平【变式1】如图，三角形ABCD中，AC BC AB面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点.（1）求证：GF∥底面ABC；（2）求证：AC⊥平面EBC；（3）求几何体ADEBC的体积V.类型二：平面与平面垂直的性质例3．如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.【总结升华】证法1、证法2都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线，这是证法1、证法2的关键.证法3利用两个平面垂直的推论，则较为简捷.由此可见，我们必须熟练掌握这一推论.举一反三：【变式1】已知△ABC，AB=AC=3a，BC=2a，D为BC的中点，在空间平移△ABC到△A1B1C1，连接对应顶点，且满足AA1 平面ABC，AA1=3a.如图所示，E是CC1上一点，且CE=2a，求二面角D—AE—C的正弦值.【总结升华】面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法（即若有两个平面垂直，则在一个平面内作垂直于交线的直线，则该直线必垂直于另一个平面），利用它可以作出二面角的平面的角、直线与平面所成的角、平面的垂线等.类型三：综合应用例4．如图，四边形ABCD 为矩形，四边形ADEF 为梯形，AD ∥FE ，∠AFE =60°，且平面ABCD ⊥平面ADEF ，122AF FE AB AD ====，点G 为AC 的中点.（1）求证：EG ∥平面ABF ；（2）求三棱锥B —AEG 的体积；（3）试判断平面BAE 与平面DCE 是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由.【思路点拨】（1）取AB 中点M ，连接MG ，则EF ∥MG ，①即得证.（2）转换三棱锥B —AEG 为E —ABG 即可求得体积.（3）只要证明AE ⊥CDE 即可.例5．如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=，,D E 分别为,AC AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将ADE △沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A F CD ⊥，如图2．(1)求证：//DE 平面1A CB ；(2)求证：1A F BE ⊥；(3)线段1A B 上是否存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ ？说明理由．【思路点拨】这是个折叠问题，要注意折叠前和折叠后线段的数量和位置关系的变化.举一反三：【变式1】如下图，已知三棱锥P—ABC中，平面P AB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足.（1）求证：P A⊥平面ABC；（2）当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.【总结升华】证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直一线面垂直——面面垂直来实现的.因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，每一垂直的判定就是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的.【变式2】如图，已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD为菱形，P A⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．（1）判定AE 与PD 是否垂直，并说明理由．（2）设AB =2，若H 为PD 上的动点，若△AHE P —ABCD 的体积．【总结升华】本题综合了直线与平面平行的判定、直线与平面垂直的性质和棱柱、棱锥、棱台的体积等几个知识点．在题中出现了探究性问题，请同学们留意在解题过程中“空间问题平面化的思路”，是立体几何常用的数学思想．【变式3】四棱锥S ABCD -中，//AB CD ,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，2,1AB BC CD SD ====．(1)证明：SD SAB ⊥；(2)求AB 与平面SBC 所成角的正弦值．【参考答案】【典型例题】类型一：直线与平面垂直的性质例1．证明：（1）如图（1），在α内任取一点P，设直线a与点P确定的平面与平面α的交线为a＇，设直线b与点P确定的平面与平面α的交线为b＇.∵a∥α，b∥α，∴a∥a＇，b∥b＇.又∵AB⊥α，AB⊥b，∴AB⊥a＇，AB⊥b＇，∴AB⊥α.（2）如图，过B作BB＇⊥α，则AB⊥BB＇.又∵AB⊥b，∴AB垂直于由b和BB＇确定的平面.∵b⊥β，∴b⊥c，∵BB＇⊥α，∴BB＇⊥c.∴c也垂直于由BB＇和b确定的平面，故c∥AB.举一反三：【变式1】【答案】B【解析】两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.例2．【证明】（1）在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥P A．又CD⊥AC，P A∩AC=A，∴CD⊥面P AC，∵AE⊂面P AC，故CD⊥AE．（2）由P A=AB=BC，∠ABC=60°，可得P A=AC，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，由（1）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，故AE⊥PD．由（1）知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD．而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．∵P A⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD．又∵AB∩AE=A，∴PD⊥面ABE举一反三：【变式1】【证明】（1）证法一：取BE的中点H，连接HF、GH，（如图）∵G、F分别是EC和BD的中点，∴HG∥BC，HF∥DE，又∵ADEB为正方形，∴DE∥AB，从而HF∥AB∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC，HF∩HG=H，∴平面HGF∥平面ABC，∴GF∥平面ABC证法二：取BC的中点M，AB的中点N，连接GM、FN、MN（如图）∵G、F分别是EC和BD的中点，∴GM∥BE，且12GM BE=，NF∥DA，且12NF DA=，又∵ADEB为正方形∴BE∥AD，BE=AD∴GM∥NF且GM=NF，∴MNFG为平行四边形∴GF∥MN，又MN⊂平面ABC，∴GF∥平面ABC 证法三：连接AE，∵ADEB为正方形，∴AE ∩BD =F ，且F 是AE 中点，∴GF ∥AC ，又AC ⊂平面ABC ，∴GF ∥平面ABC（2）∵ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB ，∴GF ∥平面ABC又∵平面ABED ⊥平面ABC ，∴BE ⊥平面ABC ∴BE ⊥AC又∵CA 2+CB 2=AB 2，∴AC ⊥BC ，∵BC ∩BE =B ，∴AC ⊥平面BCE（3）连接CN ，因为AC =BC ，∴CN ⊥AB ，又平面ABED ⊥平面ABC ，CN ⊂平面ABC ，∴CN ⊥平面ABED.∵三角形ABC 是等腰直角三角形，∴1122CN AB ==， ∵C —ABED 是四棱锥， ∴111113326C ABED ABED V S CN -=⋅=⨯⨯= 类型二：平面与平面垂直的性质例3．【解】已知：αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，求证：l γ⊥.证法1：如图（左），在γ内取一点P ，作P A 垂直于α与γ的交线于A ， PB 垂直于β与γ的交线于B ，则P A ⊥α，PB ⊥β，∵l αβ=，∴l ⊥P A ，l ⊥PB.∵P A γ⊂，PB γ⊂，P A ∩PB =P ，∴l γ⊥.证法2：如图（右），在α内作直线m 垂直于α与γ的交线，在β内作直线n 垂直于β与γ的交线，∵αγ⊥，βγ⊥，∴m γ⊥，n γ⊥，∴m ∥n.又n β⊂，∴m ∥β，∴m ∥l ，∴l γ⊥.证法3：如图，在l 上取一点A ，过A 作直线m ，使m γ⊥.∵αγ⊥，且A l α∈⊂，∴m α⊂，同理m β， ∴m l αβ==，即l 与m 重合，∴l γ⊥.举一反三：【变式1】【解】 ∵AA 1⊥平面ABC ，CC 1∥AA 1，∴CC 1⊥平面ABC.又CC 1⊂平面ACE ，∴平面ACE ⊥平面ABC.作DH ⊥AC 于H ，DH ⊥平面AEC ，作HF ⊥AE 于F ，连接DF ，则DF ⊥AE ，∴∠DFH 是二面角D —AE —C 的平面角.在Rt △ADC 中，AD DC DH AC ⋅==.在Rt △ADE （易证得）中，AD DE DF AE ⋅==.在Rt △DHF 中，sin DH DFH DF ∠==∴二面角D —AE —C 类型三：综合应用例4．【证明】（1）证明：取AB 中点M ，连FM ，GM.∵G 为对角线AC 的中点，∴GM ∥AD ，且12GM AD =，又∵FE ∥12AD ，∴GM ∥FE 且GM =FE. ∴四边形GMFE 为平行四边形，即EG ∥FM.又∵EG ⊄平面ABF ，FM ⊂平面ABF ，∴EG ∥平面ABF .（2）作EN ⊥AD ，垂足为N ，由平面ABCD ⊥平面AFED ，面ABCD ∩面AFED =AD ，得EN ⊥平面ABCD ，即EN 为三棱锥E —ABG 的高∵在△AEF 中，AF =FE ，∠AFE =60°，∴△AEF 是正三角形∴∠AEF =60°，由EF ∥AD 知∠EAD =60°，∴sin 60EN AE =⋅︒=∴三棱锥BAEG 的体积为11122332B AEG E ABG ABG V V S EN --==⋅=⨯⨯⨯= （3）平面BAE ⊥平面DCE ，证明如下： ∵四边形ABCD 为矩形，且平面ABCD ⊥平面AFED ，∴CD ⊥平面AFED ，∴CD ⊥AE∵四边形AFED 为梯形，FE ∥AD ，且∠AEF =60°，∴∠F AD =120°又在△AED 中，EA =2，AD =4，∠EAD =60°，由余弦定理，得ED =∴222EA ED AD +=，∴ED ⊥AE又∵ED ∩CD =D ，∴AE ⊥平面DCE又 AE ⊂面BAE ，∴平面BAE ⊥平面DCE例5．【解】(1)证明：因为D ，E 分别为AC ，AB 的中点，所以DE ∥BC ，又因为DE ⊄平面A 1CB ，所以DE ∥平面A 1CB ．(2)证明：由已知得AC ⊥BC 且DE ∥BC ，所以DE ⊥AC ．所以DE ⊥A 1D ．DE ⊥CD ，所以DE ⊥平面A 1DC ．而A 1F ⊂平面A 1DC ，所以DE ⊥A 1F ．又因为A 1F ⊥CD ，所以A 1F ⊥平面BCDE ．所以A 1F ⊥BE ．(3)解：线段A 1B 上存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ．理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P,Q，则PQ∥BC．又因为DE∥BC，所以DE∥PQ，所以平面DEQ即为平面DEP．由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C．又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP．所以A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ．故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ．举一反三：【变式1】证明：（1）如下图（左），在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F.因为平面P AC⊥平面ABC，且交线为AC，所以DF⊥平面P AC.又P A 平面P AC，所以DF⊥P A.作DG⊥AB于G，同理可证DG⊥P A.又因为DG、DF都在平面ABC内，且DG∩DF=D，所以P A⊥平面ABC.（2）连接BE并延长交PC于H，如上图（右）.因为E是△PBC的垂心，所以PC⊥BE.又已知AE是平面PBC的垂线，所以PC⊥AE.所以PC⊥平面ABE，所以PC⊥AB.又因为P A⊥平面ABC，所以P A⊥AB，所以AB⊥平面P AC，所以AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.【变式2】【证明】（1）AE ⊥PD因为四边形ABCD 是菱形，∠ABC =60°，∴△ABC 为等边三角形．因为E 是BC 的中点，∴AE ⊥BC ，结合BC ∥AD ，得AE ⊥AD∵P A ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥AEP A ∩AD =A ，且P A ⊂平面P AD ，AD ⊂平面P AD∴AE ⊥平面P AD ，又PD ⊂平面P AD ，∴AE ⊥PD（2）由（1），EA ⊥平面P AD ，∴EA ⊥AH ，即△AEH 为直角三角形，Rt ⊥EAH 中，AE =当AH 最短时，即AH ⊥PD 时，△AEH 面积的最小此时，12EAH S EA AH AH ∆=⋅=⇒=又AD =2，所以∠ADH =45°，所以P A =2，P ABCD V -=【变式3】【解】（1）取AB 中点E ，连结DE 、SE ，∴四边形BCDE 为矩形，DE =CB =2，∵侧面SAB 为等边三角形，∴,SE AB SE ⊥=又∵SD =1，222ED SE SD =+，∴DSE ∠为直角．又∵,,AB DE AB SE DE SE E ⊥⊥=，∴AB ⊥平面SDE ，∴AB SD ⊥．又SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直．∴SD ⊥平面SAB ．（2）作SF DE ⊥垂足为F ，FG ⊥BC ，垂足为G ，连结SG∵AB ⊥平面SDE ，∴平面ABCD ⊥平面SED ，∴SF ⊥平面ABCD ，∵BC ABCD ⊂平面，∴SF BC ⊥，又 ∵FG ⊥BC ，SF FG F =，∴BC ⊥平面SFG ，∵BC SBC ⊂平面，∴平面SBC ⊥平面SFG ．作FH SG ⊥，H 为垂足，则FH ⊥平面SBC ．又∵在Rt SDE ∆中，SD SE SF DE ⨯==，在Rt SFG ∆中，SG ===∴SF FG FH SG ⨯===，即F 到平面SBC ．∵ED //BC ，∴ED //平面SBC ，∴E 到平面SBC 的距离d ．设AB 与平面SBC 所成的角为α，则sin d EB α==．。

2.3.3 直线与平面垂直的性质--讲义练习及答案

2.3.3 直线与平面垂直的性质
1.C 如图1，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，D E ，分别为的中点，点为线段上的一点．将沿折起到1A DE △的位置，使1A F CD ⊥，如图2．
(1)求证：1A F BE ⊥；
(2)线段1A B 上是否存在点Q ，使面1A CQ ⊥平面DEQ ？说明理由．
2.3.3 直线与平面垂直的性质
参考答案
1.(1)证明：由已知得AC BC ⊥且//DE BC ，所以DE AC ⊥．
所以1DE A D ⊥，DE CD ⊥．所以DE ⊥平面1A DC ．
而1A F ⊂平面1A DC ，所以1DE A F ⊥．又因为1A F CD ⊥，所以1A F ⊥平面BCDE ．所以1A F BE ⊥．
(2) 当点Q 为线段1A B 的中点时，面1A CQ ⊥面DEQ ．理由如下：取1A B 中点Q ，1A C 中点P ，连接PQ 、EQ 、DP ，所以四边形DEQP 是平行四边形，因为1DE A D ⊥，DE DC ⊥，所以DE ⊥ 面1A DC ，所以DE DP ⊥，所以BC DP ⊥，又因为1A D DC =，P 是1A C 中点，所以1DP AC ⊥，所以DP ⊥面1ACB ，所以面DEQP ⊥面1
ACB ，即面1A CQ ⊥面DEQ ． AC AB ，F CD ADE △
DE。

《直线与平面垂直的判定》导学案

ABCDα直线与平面垂直的判定（一）学习目标2.掌握直线与平面垂直的判定定理及其简单应用.学习过程1.当两条直线的夹角为，这两条直线互相垂直，它们的位置关系是或 .2.预习教材6466~P P ,找出疑惑之处. 二．新课导学探究一：直线与平面垂直的概念思考：生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？我们经常说“立竿见影”．在阳光下观察直立于地面的竿及它在地面的影子．问题1：①竿所在直线和地面影子所在直线是什么位置关系?②竿所在直线和地面内任意一条直线是什么位置关系?问题2：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？由此你能得到什么启发，你觉得怎样能用你学过的知识给出线面垂直的定义.反思：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？②如果一条直线与一个平面不垂直,那么这条直线是否与这个平面内的任何直线都不垂直?③如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？探究二：直线与平面垂直的判定定理准备一个三角形纸片，三个顶点分别记作A ，B ，C ．如图，过△ABC 的顶点A 折叠纸片，得到折痕A D ，将折叠后的纸片打开竖起放置在桌面上．（使BD 、DC 边与桌面接触）问题3：①如何翻折才能使折痕A D 与桌面所在的平面α垂直？②由折痕A D B C ⊥，翻折之后垂直关系，即A D C D ⊥，AD BD ⊥发生变化吗？思考：如图，有一根旗杆A B 高8m ，它的顶端A 挂有两条长10m 的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点(和旗杆脚不在同一条直线上),C D .如果这两点都和旗杆脚B 的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？【练一练】1.如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两条边； ②梯形的两条边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．试问这条直线是否与平面垂直，并对你的判断说明理由.2.判断正误:如果三条共点直线两两垂图1D CAB图2DBA CAA 'BB 'C 'DD 'A VBCKC 直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面． ( ) 例1：已知：b a //，α⊥a ．求证：α⊥b ．例2：正方体////ABCD A B C D -中，求证://AC BDD B ⊥.练一练 1. 如图，空间中直线l 和三角形的两边A C ,B C 同时垂直，则这条直线和三角形的第三边A B 的位置关系是（）A .平行B .垂直C .相交D .不确定2.如图，直四棱柱////ABCD A B C D - 中，底面四边形A B C D 满足什么条件时,///A CB D ⊥？三．总结提升四．课后作业1.判断下列命题是否正确，并说明理由．（1）正方体''''ABCD A B C D -中，棱'BB 和底面A BC D 垂直．（2）正三棱锥P A B C -中，M 为棱B C 的中点，则棱B C 和平面P A M 垂直． 2.如图，圆O 所在一平面为α，A B 是圆O 的直径，C 是圆周上一点,且P A A C ⊥, P A A B ⊥,求证：（1）P A B C ⊥；（2）B C ⊥平面PAC ；（3）图中哪些三角形是直角三角形.3.如图，在三棱锥V A B C -中，V A V C =，A B B C =．求证：V B A C ⊥．变式引申如图，在三棱锥V A B C -中，V A V C =，A B B C =，K 是A C 的中点．若E 、F 分别是A B 、B C 的中点，试判断直线E F 与平面V K B 的位置关系．ACEFK V B。

学案13：2.3.3 直线与平面垂直的性质～2.3.4 平面与平面垂直的性质

2.3.3 直线与平面垂直的性质~2.3.4 平面与平面垂直的性质学习目标1．理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．(重点)2．能应用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题．(重点、难点)3．理解“平行”与“垂直”之间的相互转化．(易错点)基础·初探教材整理1直线与平面垂直的性质定理预习自测1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行．()(2)垂直于同一平面的两条直线互相平行．()(3)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．()教材整理2平面与平面垂直的性质定理2.在长方体ABCDA1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是()A．平行B．EF⊂平面A1B1C1D1C．相交但不垂直D．相交且垂直合作学习类型1 线面垂直性质定理的应用例1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．名师指津1．直线与平面垂直的性质定理是线线、线面垂直以及线面、面面平行的相互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们．2．当题中垂直条件很多，但又需证平行关系时，就要考虑垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化．跟踪训练1．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.类型2 面面垂直性质定理的应用例2如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB＝60°，侧面P AD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD的中点，求证：BG⊥平面P AD；(2)求证：AD⊥PB.名师指津1．证明或判定线面垂直的常用方法(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a、b为直线，α为平面)；(4)若a⊥α，α∥β，则a⊥β(a为直线，α，β为平面)．2．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线．跟踪训练2．如图，四棱锥VABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.求证：平面VBC⊥平面VAC.探究共研型探究点垂直关系的综合应用探究1如图，A，B，C，D为空间四点．在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝2，等边△ADB以AB为轴转动．当平面ADB⊥平面ABC时，能否求CD的长度？探究2在上述问题中，当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．探究3试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系．例3如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.名师指津1．证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．2．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．跟踪训练3．如图，在三棱锥PABC中，E，F分别为AC，BC的中点．(1)求证：EF∥平面P AB；(2)若平面P AC⊥平面ABC，且P A＝PC，∠ABC＝90°.求证：平面PEF⊥平面PBC.课堂检测1．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β2．已知长方体ABCDA1B1C1D1，在平面AB1上任取一点M，作ME⊥AB于E，则() A．ME⊥平面ACB．ME⊂平面ACC．ME∥平面ACD．以上都有可能3．如图，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝________.4．如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD 与平面BCD所成的角是________.5．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD.求证：AD⊥平面PCD.参考答案基础·初探教材整理1直线与平面垂直的性质定理平行a∥b预习自测1. 【答案】(1)√(2)√(3)√【解析】由线面垂直的定义和性质可知(1)、(2)、(3)均正确．教材整理2 平面与平面垂直的性质定理一个平面内交线垂直 a ⊂α a ⊥l 预习自测 2. 【答案】D【解析】在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1且平面A 1ABB 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝A 1B 1，又EF ⊂面A 1ABB 1，EF ⊥A 1B 1，∴EF ⊥平面A 1B 1C 1D 1，答案D 正确．合作学习例1 证明：(1)∵ADD 1A 1为正方形，∴AD 1⊥A 1D .又∵CD ⊥平面ADD 1A 1. ∴CD ⊥AD 1.∵A 1D ∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC . 又∵MN ⊥平面A 1DC ，∴MN ∥AD 1. (2)连接ON ，在△A 1DC 中， A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC . ∴ON12DC 12AB ，∴ON ∥AM . 又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM . ∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点．跟踪训练1．证明：因为EA ⊥α，α∩β＝l ，即l ⊂α，所以l ⊥EA . 同理l ⊥EB .又EA ∩EB ＝E ，所以l ⊥平面EAB . 因为EB ⊥β，a ⊂β，所以EB ⊥a ，又a ⊥AB ，EB ∩AB ＝B ，所以a⊥平面EAB.由线面垂直的性质定理，得a∥l.例2证明：(1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形，∵G是AD的中点，∴BG⊥AD.∵平面P AD⊥平面ABCD，且平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面P AD.(2)如图，连接PG.∵△P AD是正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD.又∵PG∩BG＝G.∴AD⊥平面PBG.而PB⊂平面PBG.∴AD⊥PB.跟踪训练2．证明：∵平面VAB⊥底面ABCD，且BC⊥AB.∴BC⊥平面VAB，∴BC⊥VA，又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA，又VB∩BC＝B，∴VA⊥平面VBC，∵VA⊂平面VAC.∴平面VBC⊥平面VAC.探究1解：取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE ⊥CE，由已知可得DE＝3，EC＝1，在Rt△DEC中，CD＝DE2＋EC2＝2.探究2证明：①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时，由探究1知AB⊥DE.又因AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE，CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.探究3【答案】垂直问题转化关系如下所示：例3证明：(1)因为平面P AD⊥底面ABCD，且P A⊥AD，所以P A⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，所以BE∥平面P AD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知P A⊥底面ABCD，所以P A⊥CD.又AD∩P A＝A，所以CD⊥平面P AD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.跟踪训练3．证明：(1)∵E，F分别为AC，BC的中点，∴EF∥AB.又EF⊄平面P AB，AB⊂平面P AB，∴EF∥平面P AB.(2)∵P A＝PC，E为AC的中点，∴PE⊥AC.又∵平面P AC⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC.又∵F为BC的中点，∴EF∥AB.∵∠ABC＝90°，∴BC⊥EF.∵EF∩PE＝E，∴BC⊥平面PEF.又∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEF.课堂检测1．【答案】D【解析】如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D项叙述是错误的．2．【答案】A【解析】由于ME⊂平面AB1，平面AB1∩平面AC＝AB，且平面AB1⊥平面AC，ME⊥AB，则ME⊥平面AC.3．【答案】13【解析】因为AF⊥平面ABCD，所以ED⊥平面ABCD，所以△EDC为直角三角形，CE＝ED2＋CD2＝13.4．【答案】45°【解析】过A作AO⊥BD于O点，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD.∴∠ADO＝45°.5．证明：在矩形ABCD中，AD⊥CD，因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面PCD.。

2.3.3直线与平面垂直的性质(导案)

a l b ab A
la l b
l
b

A
a
2
思考:一个平面的垂线有多少条？这些
直线彼此之间具有什么位置关系？
3
线面垂直的性质定理：
垂直于同一平面的两直线互相平行.
图形语言：
a b
α
符号语言：
a ，D-A1B1C1D1中，M 是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC 求证： (1) MN∥AD1 (2) M是AB的中点.
2.3.3直线与平面垂直的性质
学习目标
1.掌握直线与平面垂直的性质定理。 2.能运用性质定理解决一些简单问题。
知识回顾温故知新
1.直线与平面垂直的定义
如果直线 l 与平面内的任意一条直线都垂直记作 l ．，我们说直线 l 与平面互相垂直，
2.直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

∴AB⊥α
9
平面和平面垂直的性质定理
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。符号表示：

b
l
a

b b l bl
线面垂直
10
面面垂直
定理应用
如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形， BC 2 AB=2，，侧面PAB是等边三角形，且侧面 PAB⊥底面ABCD。（1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角。 P
β α l β
β α l
β
8
已知α β, α β CD, AB β, AB CD于B. 求证 : AB α.

示范教案2.3.3直线与平面垂直的性质

直线与平面垂直的性质整体设计教学分析空间中直线与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中直线与平面垂直的性质定理不仅是由线面关系转化为线线关系，而且将垂直关系转化为平行关系，因此直线与平面垂直的性质定理在立体几何中有着特殊的地位和作用.本节重点是在巩固线线垂直和面面垂直的基础上，讨论直线与平面垂直的性质定理的应用.三维目标1.探究直线与平面垂直的性质定理，培养学生的空间想象能力、实事求是等严肃的科学态度和品质.2.掌握直线与平面垂直的性质定理的应用提高逻辑推理的能力.重点难点直线与平面垂直的性质定理及其应用.课时安排1课时教学过程复习直线与平面垂直的定义：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.直线和平面垂直的画法及表示如下：图1如图1，表示方法为：a ⊥α.由直线与平面垂直的定义不难得出：⎭⎬⎫⊥⊂ααb a ⇒b ⊥a. 导入新课思路1.(情境导入)大家都读过茅盾先生的《白杨礼赞》，在广阔的西北平原上，矗立着一排排白杨树，它们像哨兵一样守卫着祖国疆土.一排排的白杨树，它们都垂直地面，那么它们之间的位置关系如何呢？思路2.(事例导入)如图2，长方体ABCD —A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？图2推进新课新知探究提出问题①回忆空间两直线平行的定义.②判断同垂直于一条直线的两条直线的位置关系？③找出恰当空间模型探究同垂直于一个平面的两条直线的位置关系.④用三种语言描述直线与平面垂直的性质定理.⑤如何理解直线与平面垂直的性质定理的地位与作用？讨论结果：①如果两条直线没有公共点，我们说这两条直线平行.它的定义是以否定形式给出的，其证明方法多用反证法.②如图3，同垂直于一条直线的两条直线的位置关系可能是：相交、平行、异面.图3③如图4，长方体ABCD —A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于所在的平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？图4 图5棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面ABCD ，它们之间互相平行. ④直线和平面垂直的性质定理用文字语言表示为：垂直于同一个平面的两条直线平行，也可简记为线面垂直、线线平行.直线和平面垂直的性质定理用符号语言表示为：⎭⎬⎫⊥⊥ααb a ⇒b ∥a. 直线和平面垂直的性质定理用图形语言表示为：如图5.⑤直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系，而且揭示了平行与垂直之间的内在联系.应用示例思路1例1 证明垂直于同一个平面的两条直线平行.解:已知a ⊥α,b ⊥α.求证：a ∥b.图6证明：（反证法）如图6，假定a 与b 不平行，且b∩α=O,作直线b′，使O ∈b′,a ∥b′. 直线b′与直线b 确定平面β，设α∩β=c,则O ∈c.∵a ⊥α,b ⊥α,∴a ⊥c,b ⊥c.∵b′∥a,∴b′⊥c.又∵O ∈b,O ∈b′,b ⊂β,b′⊂β,a ∥b′显然不可能，因此b ∥a.例2 如图7，已知α∩β=l,EA ⊥α于点A,EB ⊥β于点B,a ⊂α,a ⊥AB.求证:a ∥l.图7证明：⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫=⋂⊥⊥EB l EA l l EB EA βαβα,⇒l ⊥平面EAB. 又∵a ⊂α,EA ⊥α,∴a ⊥EA.又∵a ⊥AB,∴a ⊥平面EAB.∴a ∥l.思路2例1 如图8,已知直线a ⊥b ，b ⊥α，a ⊄α.求证：a ∥α.图8证明：在直线a 上取一点A ，过A 作b′∥b ，则b′必与α相交，设交点为B ，过相交直线a 、b′作平面β，设α∩β=a′,∵b′∥b ，a ⊥b,∴a ⊥b′.∵b ⊥α，b′∥b,∴b′⊥α.又∵a′⊂α,∴b′⊥a′.由a ，b′，a′都在平面β内，且b′⊥a ，b′⊥a′知a ∥a′.∴a ∥α.例2 如图9，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.（1）求证：MN ⊥CD ；（2）若∠PDA=45°，求证:MN ⊥面PCD.图9证明：(1)取PD 中点E,又N 为PC 中点,连接NE,则NE ∥CD,NE=21CD. 又∵AM ∥CD,AM=21CD, ∴AM NE.∴四边形AMNE 为平行四边形.∴MN ∥AE.∵⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥ADP AE ADP CD AD CD PA CD ABCD CD ABCD PA 平面平面平面平面⇒CD ⊥AE.(2)当∠PDA=45°时,Rt △PAD 为等腰直角三角形,则AE ⊥PD.又MN ∥AE,∴MN ⊥PD,PD∩CD=D.∴MN ⊥平面PCD.变式训练已知a 、b 、c 是平面α内相交于一点O 的三条直线，而直线l 和平面α相交，并且和a 、b 、c 三条直线成等角.求证：l ⊥α.证明：分别在a 、b 、c 上取点A 、B 、C 并使AO=BO=CO.设l 经过O ，在l 上取一点P ，在△POA 、△POB 、△POC 中，∵PO=PO=PO ，AO=BO=CO ，∠POA=∠POB=∠POC ，∴△POA ≌△POB ≌△POC.∴PA=PB=PC.取AB 的中点D,连接OD 、PD ，则OD ⊥AB ，PD ⊥AB.∵PD∩OD=D,∴AB ⊥平面POD.∵PO ⊂平面POD,∴PO ⊥AB.同理,可证PO ⊥BC.∵AB ⊂α，BC ⊂α，AB∩BC=B,∴PO ⊥α，即l ⊥α.若l 不经过点O 时，可经过点O 作l′∥l.用上述方法证明l′⊥α，∴l ⊥α.知能训练如图10，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a,（1）求证：BD 1⊥平面B 1AC;（2）求B 到平面B 1AC 的距离.图10（1）证明：∵AB ⊥B 1C ，BC 1⊥B 1C,∴B 1C ⊥面ABC 1D 1.又BD 1⊂面ABC 1D 1,∴B 1C ⊥BD 1.∵B 1B ⊥AC ，BD ⊥AC,∴AC ⊥面BB 1D 11⊂面BB 1D 1D,∴AC ⊥BD 1.∴BD 1⊥平面B 1AC.（2）解:∵O ∈BD,∴连接OB 1交BD 1于E.又O ∈AC ，∴OB 1⊂面B 1AC.∴BE ⊥OE ，且BE 即为所求距离.∵1BD BD OB BE =,∴BE=1BD BD ·OB=a a aa 332232=•. 拓展提升已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD 在平面α内，AB ∶CD=4∶6，AB 到α的距离为10 cm ，求梯形对角线的交点O 到α的距离.图11 解：如图所示，过B 作BE ⊥α交α于点E ，连接DE, 过O 作OF ⊥DE 交DE 于点F,∵AB ∥CD ，AB ⊄α，CD ⊂α，∴AB ∥α.又BE ⊥α,∴BE 即为AB 到α的距离，BE=10 cm 且∠BED=90°.∵OF ⊥DE,∴OF ∥BE,得BDOD BE OF =. ∵AB ∥CD,∴△AOB ∽△COD.∴46==AB CD OB OD ，得53106==BD OD . 又BDOD BE OF =，BE=10 cm, ∴OF=53×10=6（cm ）. ∵OF ∥BE ，BE ⊥α.∴OF ⊥α，即OF 即为所求距离为6 cm.课堂小结知识总结：利用线面垂直的性质定理将线面垂直问题转化为线线平行，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题. 作业课本习题2.3 B 组1、2.设计感想线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和纽带，空间中直线与平面垂直的性质定理不仅是由线面关系转化为线线关系，而且将垂直关系转化为平行关系，因此直线与平面垂直的性质定理在立体几何中有着特殊的地位和作用，因此它是高考考查的重点.本节不仅选用了大量经典好题，还选用了大量的2007高考模拟题，相信能够帮助大家解决立体几何中的重点难点问题.示范教案(Unit 1 Friendship)单元规则本单元的话题是“朋友和友谊”(friends and friendship)和“人际关系”(interpersonal relationships)，中心话题是“友谊”(friendship)，具体涉及“朋友是不是仅限于人类”“朋友的真实含义”以及“如何与人相处的问题”，语言技能和语言知识等，几乎所有的内容都是围绕“友谊”(friendship)这一中心话题展开的。

2..3..3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质

第三课时直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质<一）教学目标1．知识与技能<1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；<2）能运用性质定理解决一些简单问题；<3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系.2．过程与方法<1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；3．情感、态度与价值观通过“直观感知、操作确认、推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.<二）教学重点、难点两个性质定理的证明.<三）教学方法学生依据已有知识和方法，在教师指导下，自主地完成定理的证明、问题的转化.教学过问题，那么直线、b一定平行吗？已知求证：b∥a.证明：假定，设b′是经过∵a∥b′，∴b′⊥a即经过同一点、b′都与因此垂直于同一个平面简化为：线面垂直1黑板所在平面与地2．例1 设=CD，AB⊥CD，AB⊥CD =证明：在BE⊥CD，垂足为知AB⊥CD,BE是内的两条相交直线，所以AB⊥3．平面与平面垂两个平面垂直，则简记为：面面垂直∵∴A′A⊥面ABCD直，有条件用，能否利用AB垂生：在面即可.师：为什么呢？，线a，试判断直线a与平面的位置关解：在交线，与的位因为，所以又因为a∥即直线与平面例设平面面作平面垂线，试判断直线与平面的位置关系？证明c，过线据平面与平面垂直的性质定理有.因为过一点有且只有一条直线与平面垂与直线垂合，因此生：在直于、的交线即可学生写．判断下列命题，且a⊥，则b与的位置关系是 .b.2，那么平面有直平.，那么平面一定存在直线平行于平面.，那么平面内一定不存在直线垂直于平面.如⊥平面，，那么<2）已知两个平面a∥a⊥AB，试判断直线与直线的位置关系答案：平行、相交或在平面内面垂直线线垂直备选例题例1 把直角三角板ABC的直角边BC放置桌面，另一条直角边AC与桌面所在的平面垂直，a是内一条直线，若斜边AB与a垂直，则BC是否与a垂直？FxPXwNtn6W【解读】【评析】若BC与垂直，同理可得AB与也垂直，其实质是三垂线定理及逆定理，证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法：“线线垂直→线面垂直→线线垂直” ．FxPXwNtn6W 例 2 求证：如果两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．已知⊥r，⊥r，∩= l，求证：l⊥r．FxPXwNtn6W【分析】根据直线和平面垂直的判定定理可在r内构造两相交直线分别与平面、垂直．或由面面垂直的性质易在、内作出平面r的垂线，再设法证明l与其平行即可．FxPXwNtn6W 【证明】法一：如图，设∩r = a ，∩r =b，在r内任取一点P．过点P在r内作直线m⊥a，n⊥b．FxPXwNtn6W∵⊥r，⊥r，∴m⊥a，n⊥<面面垂直的性质）．又∩= l，∴l⊥m，l⊥n．又m∩n = P，m，n r∴l⊥r．法二：如图，设∩r = a，∩r = b，在内作m⊥a，在内作n⊥b．∵⊥r，⊥r，∴m⊥r，n⊥r．∴m∥n，又n，m，∴m∥，又∩= l，m，∴m∥l，又m⊥r，∴l⊥r．【评析】充分利用面面垂直的性质构造线面垂直是解决本题的关键．证法一充分利用面面垂直、线面垂直、线线垂直相互转化；证法二涉及垂直关系与平行关系之间的转化．此题是线线、面面垂直转化的典型题，通过一题多解，对沟通知识和方法，开拓解题思路是有益的．FxPXwNtn6W申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。