练习一

练习一1．如图，在四棱台1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是平行四边形，1DD ⊥平面ABCD ，2AB AD =，11AD A B =，60BAD ∠=.（1）证明：BD ⊥平面11ADD A ；（2）证明：1//CC 平面1A BD .1．已知直线11cos :sin x t C y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），2:1C ρ=． （1）当3πα=时，求1C 与2C 的交点坐标；（2）以坐标原点O 为圆心的圆与1C 相切，切点为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．2．如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，//EF 平面ABCD ，1EF =，FB FC =，90BFC ∠=，AE =H 是BC 的中点.（1）求证：//FH 平面BDE ；（2）求证：AB ⊥平面BCF ；2．已知在直角坐标系x y O 中，圆锥曲线C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），定点()3,0-A ，21,F F 是圆锥曲线C 的左、右焦点．（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点1F 且平行于直线2AF 的直线l 的极坐标方程；（2）设（1）中直线l 与圆锥曲线C 交于N M ,两点，求N F M F 11⋅．3．在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA 1=4，点D 在棱AB 上．(1)求证：AC ⊥B 1C ；（2）若D 是AB 中点，求证：AC 1∥平面B 1CD.3．已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 2=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y m t x 2123（t 为参数）. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）设点P )0,(m ，若直线l 与曲线C 交于B A ,两点，且1|=⋅PB PA |||，求实数m 的值.4．如图,E 是以AB 为直径的半圆弧上异于A ，B 的点，矩形ABCD 所在平面垂直于该半圆所在的平面，且AB=2AD=2。

(1).求证:EA ⊥EC;(2).设平面ECD 与半圆弧的另一个交点为F 。

①求证：EF//AB ；②若EF=1，求三棱锥E —ADF 的体积3．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合．曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 3+=ρθρθ，直线l的参数方程为1x y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数，t ∈R)．试在曲线C 上求一点M ，使它到直线l 的距离最大．1．（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）先用余弦定理确定BD 与AD 的等量关系，利用勾股定理得到BD AD ⊥，再用1DD ⊥平面ABCD 得到1DD BD ⊥，最后利用直线与平面垂直的判定定理得到BD ⊥平面11ADD A ；（2）连接AC 、11AC ，设AC BD E =，连接1EA ，利用棱台底面的相似比得到11//AC EC ，从而证明四边形11AECC 为平行四边形，得到1//CC AE ，最后利用直线与平面平行的判定定理得到1//CC 平面1A BD .试题解析：（1）2AB AD =，60BAD ∠=，在ABD ∆中，由余弦定理得22222cos603BD AD AB AD AB AD =+-⋅⋅=，222AD BD AB ∴+=，因此，AD BD ⊥1DD ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，1DD BD ∴⊥，又1AD DD D =，BD ∴⊥平面11ADD A ；（2）连接AC 、11AC ，设AC BD E =，连接1EA ， 四边形ABCD 是平行四边形，12EC AC ∴=，由棱台定义及112AB AD A B ==知11//AC EC ，且11AC EC =，∴四边形11A ECC 是平行四边形，因此11//CC EA又1EA ⊂平面1A BD ，1CC ⊄平面1A BD ，1//CC ∴平面1A BD .考点：1.直线与平面垂直的判定；2.直线与平面平行的判定1．（1）（1,0），1,22⎛- ⎝⎭； （2）P 点轨迹的参数方程为21sin 21sin cos 2x y ααα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，P 点轨迹是圆心为1(,0)4，半径为14的圆【解析】试题分析：解：（1）当3α=π时，1C的普通方程为1)y x =-，2C 的普通方程为221x y +=联立方程组)2211y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 解得1C 与2C 的交点为（1,0），1,22⎛- ⎝⎭5分 （2）1C 的普通方程为sin cos sin 0x y ααα--=A 点坐标为2(sin ,cos sin )ααα-．∴当α变化时，P 点轨迹的参数方程为 21sin 21sin cos 2x y ααα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数）P 点轨迹的普通方程为2211()416x y -+= 故P 点轨迹是圆心为1(,0)4，半径为14的圆． 10分考点：本题考查直线的参数方程，圆的极坐标方程点评：解决本题的关键是掌握参数方程与普通方程相互转化，极坐标方程与直角坐标系方程相互转化2．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）13. 【解析】试题分析：（1）连接AC 交BD 于点O ，取BC 的中点H ，连接OH 、EO ，先证明1//2EF CD ，再利用中位线证明1//2OH CD ，利用传递性证明//OH EF ，进而证明四边形EOHF 为平行四边形，进而得到//FH EO ，最后利用直线与平面平行的判定定理证明//FH 平面BDE ；（2）证法一是取AB 的中点M ，先证明四边形EMBF 为平行四边形得到//BF EM ，然后通过勾股定理证明AB EM ⊥从而得到AB BF ⊥，然后结合四边形ABCD 为正方形得到AB BC ⊥，最后利用直线与平面垂直的判定定理证明AB ⊥平面BCF ；证法二是连接AC 交BD 于点O ，先利用勾股定理证明EO AO ⊥，利用//EO FH 得到FH AO ⊥，再利用等腰三角形BFC 中三线合一得到FH BC ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理证明FH ⊥平面ABCD ，进而得到AB FH ⊥，然后结合四边形ABCD 为正方形得到AB BC ⊥，最后利用直线与平面垂直的判定定理证明AB ⊥平面BCF ；（3）将五面体分割为四棱锥E ABCD -与三棱锥E BCF -，利用（2）中的结论AB ⊥平面BCF 得到EF ⊥平面BCF 从而计算三棱锥E BCF -的体积，利用结论FH ⊥平面ABCD 以及//EO FH 得到EO ⊥平面ABCD 以此计算四棱锥E ABCD -的体积，最终将两个锥体的体积相加得到五面体ABCDEF 的体积.试题解析：（1）连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则O 是AC 的中点，连接OH 、EO ，OH FE DCB A H 是BC 的中点，//OH AB ∴，12OH AB =， //EF 平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =，//EF AB ∴， 1EF =，//OH EF ∴，OH EF =，∴四边形EOHF 为平行四边形，//EO FH ∴，EO FH =，EO ⊂平面BDE ，FH ⊄平面BDE ，//FH ∴平面BDE ；（2）证法1：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，M OH F E DC B A由（1）知，//EF MB ，且EF MB =，∴四边形EMBF 为平行四边形，//EM FB ∴，EM FB =，在Rt BFC ∆中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =EM ∴=在AME ∆中，AE =1AM =，EM = 2223AM ME AE ∴+==，AM EM ∴⊥，AM FB ∴⊥，即AB FB ⊥，四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴⊥，FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，AB ∴⊥平面BCF ；证法2：在Rt BFC ∆中，H 为BC 的中点，112FH BC ∴==. 在AEO ∆中，AE =112AO AC FH ====， 222AO EO AE ∴+=，AO EO ∴⊥，//FH EO ，AO FH ∴⊥，FH BC ⊥，BC ⊂平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ，AO BC C =，FH ∴⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，FH AB ∴⊥.四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴⊥.BC ⊂平面BCF ，FH ⊂平面BCF ，BC FH H =，AB ∴⊥平面BCF .H OA B C DE F（3）连接EC ，在Rt BFC ∆中，112FH BC ==，1EO FH ∴==. 由（2）知AB ⊥平面BCF ，且//EF AB ，EF ∴⊥平面BCF .FH ⊥平面ABCD ，//EO FH ，EO ∴⊥平面ABCD .∴四棱锥E ABCD -的体积为113ABCD V EO S =⋅⋅正方形2141233=⨯⨯=. ∴三棱锥E BCF -的体积为213BCF V EF S =⋅⋅∆21111323=⨯⨯⨯=. ∴五面体ABCDEF 的体积为1253V V V =+=. 考点：1.直线与平面平行；2直线与平面垂直；3.分割法求多面体的体积2．（1）33sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πθρ；（2）51211=⋅N F M F . 【解析】试题分析：（1)将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取恰当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法；(2）将参数方程转化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若y x ,有范围限制，要标出y x ,的取值范围；（3）直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式θρcos =x 及θρsin =y 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为极坐标方程要通过变形，构造形如θρcos ，θρsin ，2ρ的形式，进行整体代换，其中方程的两边同乘以（或同除以）ρ及方程的两边平方是常用的变形方法.试题解析：解：（1）圆锥曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 3cos 2y x （θ为参数）， 所以普通方程为C ：13422=+y x 2分 )1(3:,3)0,1(),0,1(),3,0(12+==∴--x y l k F F A 3分∴直线极坐标方程为：3)3sin(23cos 3sin =-⇒+=πθρθρθρ 5分（2）直线的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=2321ty t x （为参数）， 7分代入椭圆方程得012452=--t t 8分51221-=∴t t 9分 512||||11=∴N F M F 10分 考点：1、极坐标方程的应用；2、直线与椭圆的位置关系.3. (1)详见解析；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）要证明AC ⊥B 1C ，根据线面垂直的判定定理，只要转化证明AC ⊥平面BB 1C 1C 即可；（2）要证明AC 1∥平面B 1CD ，根据线面的判定定理，只要转换证明DE//AC 1即可. 试题解析：(1)证明：在△ABC 中，因为AB=5，AC=4，BC=3，所以AC 2+BC 2=AB 2，所以AC ⊥BC ．因为直三棱柱ABC-A 1B 1C 1，所以CC 1⊥AC ，因为BC ∩AC=C ，所以AC ⊥平面BB 1C 1C ．所以AC ⊥B 1C ． 6分（2）连结BC 1，交B 1C 于E ，连接DE ．因为直三棱柱ABC-A 1B 1C 1，D 是AB 中点，所以侧面BB 1C 1C 为矩形，DE 为△ABC 1的中位线，所以DE//AC 1．因为DE ⊂平面B 1CD ，AC 1⊄平面B 1CD ，所以AC 1∥平面B 1CD ． 12分考点：空间位置关系的证明.3．（1）1)1(22=+-y x ，03=--m y x ；（2）1或21+或21-【解析】试题分析：首先把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，把直线的参数方程中的参数t 消去化为普通方程，把直线的参数方程代入圆的标准方程得到关于t 的一元二次方程，由于直线与圆有两个交点，方程有两个实根，所以要求判别式为正，解得m 的范围，利用根与系数关系表示12tt ，利用直线的参数方程参数t 的几何意义可知1|2|||||||221=-==⋅m m t t PB PA ，解出m 后要求符合m 的范围即可；试题解析：（Ⅰ）由θρcos 2=，得：θρρcos 22=，∴x y x 222=+，即1)1(22=+-y x ， ∴曲线C 的直角坐标方程为1)1(22=+-y x . 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y m t x 2123，得m y x +=3，即03=--m y x ，∴直线l 的普通方程为03=--m y x . （Ⅱ）将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y m t x 2123代入1)1(22=+-y x ，得：12112322=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+t m t ， 整理得：02)1(322=-+-+m m t m t ，由0>∆，即0)2(4)1(322>---m m m ，解得：31<<-m .设21,t t 是上述方程的两实根，则m m t t m t t 2),1(322121-=--=+，又直线l 过点)0,(m P ，由上式及t 的几何意义得1|2|||||||221=-==⋅m m t t PB PA ，解得：1=m 或21±=m ，都符合31<<-m ，因此实数m 的值为1或21+或21-.考点：极坐标与参数方程；4.（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析，V =. 【解析】试题分析：本题主要考查线面的位置关系、几何体的体积等基础知识，意在考查考生的空间想象能力推理论证能力．第一问，由AB 为圆的直径，得EB AE ⊥，利用面面垂直的性质得⊥CB 平面ABE ，再利用线面垂直的性质得到AE CB ⊥，利用线面垂直的判定得⊥AE 平面CBE ，最后利用线面垂直即可得到所证结论；第二问，利用线面平行的判定得CD ∥平面ABE ，利用线面平行的性质得CD ∥EF ，再根据平行线间的传递性得EF ∥AB ，利用等体积转换法求三棱锥的体积.试题解析：（1）∵E 是半圆上异于A ，B 的点，∴EB AE ⊥，又∵平面ABCD ⊥平面ABE ，且AB CB ⊥，由面面垂直性质定理得⊥CB 平面ABE ，又⊂AE 平面ABE ，∴AE CB ⊥∵B BE BC = ，∴⊥AE 平面CBE又⊂EC 平面CBE∴EC AE ⊥ 4分（2）①由CD ∥AB ，得CD ∥平面ABE ，又∵平面CDE 平面EF ABE =，∴根据线面平行的性质定理得CD ∥EF ，又CD ∥AB ，∴EF ∥AB 8分②11==132E ADF D AEF V V --⨯⨯ 12分 考点：线面的位置关系、几何体的体积.4．解：曲线C 的普通方程是2213x y +=． 直线l的普通方程是0x ． 设点M的直角坐标是,sin )θθ，则点M 到直线l 的距离是d ==．因为)4+≤πθ，所以 当πsin()14θ+=-，即ππ2π(42k k θ+=-∈Z)，即3π2π(4k k θ=-∈Z)时，d 取得最大值．此时==θθ．综上，点M的极坐标为7π)6或点M的直角坐标为(时，该点到直线l 的距离最大． 10分 【解析】试题分析：把参数方程、极坐标方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离求最大值 考点：参数方程、极坐标方程化成普通方程；直线与圆的位置关系点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系应用．。