天津耀华滨海学校数学 二次函数达标检测卷(Word版 含解析)
天津耀华中学2021-2022学年高三压轴卷数学试卷含解析
2021-2022高考数学模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（ ）
A ．5i >
B ．8i >
C ．10i >
D ．12i >
2．已知(1)2i ai bi -=+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），则ab 等于（ ） A ．2
B ．-2
C ．
1
2
D ．12
-
3．若变量,x y ，满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩
，则22
x y +的最大值为（ ）
A ．3
B ．2
C ．
8113
D ．10
4．设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．过抛物线()2
:20E x py p =>的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设P 为抛物线上的一动点，(1,2)Q ，若
111||||4
AB CD +=，则||||PF PQ +的最小值是（ ）
A ．1
天津市滨海新区中考数学二模试卷含答案解析
天津市滨海新区中考数学二模试卷（解析版）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．计算2﹣3的结果是（）
A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5
2．tan45°的值等于（）
A．B． C．1 D．
3．下列图案中，可以看作是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
4．月球的半径约为1738000m，1738000这个数用科学记数法可表示为（）
A．1.738×106B．1.738×107C．0.1738×107D．17.38×105
5．一个几何体零件如图所示，则它的俯视图是（）
A．B．C．D．
6．与1+最接近的整数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣2，3）关于x轴的对称点坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（2，﹣3） C．（2，3）D．（﹣3，﹣2）
8．在反比例函数y=图象上有两点A（x1，y1），B （x2，y2），x1＜0＜x2，y1＜y2，则m的取值范围是（）
A．m＞B．m＜C．m≥D．m≤
9．如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）
A．AD=BD B．OD=CD C．∠CAD=∠CBD D．∠OCA=∠OCB
10．如图，将▱ABCD绕点C顺时针旋转一定角度后，得到▱EFCG，若BC与CG在同一直线上，点D落在EG上，则旋转的度数为（）
A．45° B．50°C．55°D．60°
11．今年来某县加大了对教育经费的投入，投入2500万元，投入3500万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A．2500x2=3500 B．2500（1+x）2=3500
天津市耀华中学2020_2021学年高一数学上学期第二次阶段检测试题含解析
所以直线 与函数 的图象有3个交点，
在直角坐标系中作出 的图象,如图，
若要使直线 与函数 的图象有3个交点，数形结合可得， .
故答案为： .
三.解答题：本大题共3小题，共28分，将解题过程及答案填写在答题纸上.
19.（1）计算： ；
（2）化简： .
【答案】（1）3；（2） .
6.已知3x=5y=a，且 + =2，则a的值为（ ）
A. B.15C. D.225
【答案】A
【解析】
【分析】
把指数式化为对数式，再利用对数的运算法则即可得出答案
【详解】
则
故选A
【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，在求解过程中指数与对数的互化是解题关键，属于基础题
7.若 ，则 的值是（）
A.-3B.3C.-9D.9
由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由 的近似值即可得出结果．
【详解】设 ，则 ，所以 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又 排除选项D； ，排除选项A，故选B．
【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【点睛】本题考查函数的图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意借助图象分析问题，属于中档题.
天津耀华滨海学校小升初数学期末试卷达标检测卷（Word版 含解析）
天津耀华滨海学校小升初数学期末试卷达标检测卷（Word 版 含解析）
一、选择题
1．李明的座位用数对表示是（4，5），张英的座位在李明的东偏南45°方向上，她的座位可能是（ ）。
A ．（3，4）
B ．（5，4）
C ．（5，6）
D ．（3，6） 2．六年级一班共有40人，实到36人，又来了2人，求现在的出勤率正确的算式是（ ）。
A ．()()362402100%+÷+⨯
B ．240100%÷⨯
C ．()36240100%+÷⨯
D ．()4036240100%--÷⨯ 3．一个三角形中最小的角是46度，这个三角形一定是（ ）三角形。
A ．直角
B ．锐角
C ．钝角 4．如果x 是一个大于0的数，那么x ＋79和x×79比较的结果是（ ）。 A ．x×79大 B ．x ＋79大 C ．无法确定
5．从右面观察，所看到的图形是（ ）。
A ．
B ．
C ．
6．一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要12天完成。下面说法有错误的是（ ）。
A ．甲每天可以完成这项工程的
110 B ．两队合作每天可以完成这项工程的
111012+ C ．甲的工作效率比乙的工作效率低 D ．甲乙两队合作一共需要6011
天 7．一个圆柱体和一个圆锥体，高一样，底面直径之比是2∶3，圆柱和圆锥体积之比是（ ）。
A ．2∶3
B ．4∶3
C ．4∶9
D ．3∶4
8．一种商品降价10%后再提价10%这种商品的价格（ ）
A ．不变
B ．低于原价
C ．高于原价
9．将正方形纸片对折三次（如图所示），再沿AB 剪去一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（ ）。
2023学年天津市耀华中学高三下学期二模数学试题+答案解析(附后)
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023年天津市耀华中学高三下学期二模数学试题
的。1.已知集合，
，则( )
A.
B.
C.
D.
2.已知下列命题：命题：“，”的否定是：“
，
”；
抛物线的焦点坐标为
；
已知，则是
的必要不充分条件；在
中，
是的充要条件．
其中真命题的个数为个( )A. 1 B. 2
C. 3
D. 4
3.函数
的部分图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
4.2022年北京冬季奥运会中国体育代表团共收获9金4银2铜，金牌数和奖牌数均创历史新高．获得的9枚金牌中，5枚来自雪上项目，4枚来自冰上项目．某体育院校随机调查了100名学生冬奥会期间观看雪
上项目和冰上项目的时间长度单位：小时，并按，分组，分别得到频率分布直方图如下：
估计该体育院校学生观看雪上项目和冰上项目的时间长度的第75百分位数分别是和，方差分别是
和，则( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
5.已知，，，则a，b，c的大小关系为.( )
A. B. C. D.
6.一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为( )
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中，双曲线C 过点，且其两条渐近线的方程分别为和，
则双曲线C 的标准方程为( )
A. B.
C. 或
D.
8.将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，
得到函数的图象对于下列四种说法，正确的是
函数的图象关于点成中心对称
函数在上有8个极值点
函数在区间上的最大值为，最小值为
函数在区间
上单调递增
A.
【三套打包】天津市耀华滨海学校人教版初中数学八年级下册第十六章《二次根式》单元试卷含答案
人教版八年级数学下册第十六章二次根式单元综合能力提升测试卷一、选择题(每小题3分，共30分)
1
有意义，则x的取值范围是( )
A. B. C.
D.
2．下列各式计算正确的是(
)
A. B.
C.
D.
3．下列各式中，正确的是（）．
A．
<3
B．
C．
D．
4．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）．
A．2.
0B
．2
2b
a
-C
．
x
1
D．a4
5（y>0）化为最简二次根式结果是（）．
A（y>0）B y>0）C（y>0）D．以上都不对
6．以下二次根式：；是同类二次根式的是（）．A．①和②B．②和③C．①和④D．③和④
7．化简）．
A B C．D．
8互为倒数，则( )
A. a=b-1
B. a=b+1
C. a+b=1
D. a+b=-1
9．当a≥0比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）．A B
C D．
10．若，则的值等于( )
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共30分）
2
x≠2
x>-2
x<-2
x≠-
=6
=3+=2= 220
x x
--=
()
2
2
21
x x
x x
-+
--+
11．若5-x 不是二次根式，则x 的取值范围是 。 12．已知a<2，=-2)2(a 。 13．当x=
人教版八年级下册 第十六章 二次根式 单元综合能力提升测试卷
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．化简二次根式得（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．25
2．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 3．计算：等于（ ） A ．
B ．
C ．
D ． 4．已知a
2a
＋2a
2
＋18a ＝10，则a 等于( ) A ．4 B ．±2 C ．2 D ．±4 5．估计32×
天津耀华嘉诚国际中学九年级数学上册第二单元《二次函数》测试卷(含答案解析)
一、选择题
1．设函数()()2
4310y kx k x k =+++<，若当x m <时，y 随着x 的增大而增大，则m
的值可以是（ ） A ．1 B ．0
C ．1-
D ．2-
2．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象大致如图所示，下列说法：
①2a +b ＝0；
②当﹣1＜x ＜3时，y ＜0；
③若（x 1，y 1）（x 2，y 2）在函数图象上，当x 1＜x 2时，y 1＜y 2； ④9a +3b +c ＝0， 其中正确的是（ ）
A ．①②④
B ．①④
C ．①②③
D ．③④
3．函数y ＝ax 2与y ＝ax ＋a ，在第一象限内y 随x 的减小而减小，则它们在同一直角坐标系中的图象大致位置是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．如果二次函数2
112
y x ax =-+，当1x ≤时，y 随x 的增大而减小，且关于x 的分式方程
4311x a
x x ++=--有正整数解，则所有符合条件的a 的值之和为（ ）． A ．9 B ．8 C ．4 D ．3
5．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，有下列5个结论：①0abc <；②420a b c ++>；③b a c <+；④230c b -<；⑤2(1)a b an bn n +>+≠，其中正确的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．已知2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则点(,)A ac bc 在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
2022-2023学年天津市耀华中学高二上学期期中考数学试卷含详解
天津市耀华中学2022-2023学年度第一学期期中学情调研
高二年级数学学科试卷
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共100分.考试用时100分钟.祝同学们考试顺利!
第I 卷（选择题共48分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填涂在答题卡上.
1.已知直线l 与直线1:230l x y -+=和2:210l x y --=平行且距离相等，则直线l 的方程为（
）
A.210x y -+=
B.210x y ++=
C.220
x y -+= D.220
x y ++=2.已知直线()1:13l ax a y +-=与2:22l x ay +=互相垂直，则实数=a （）
A.0a =或3a =-
B.0a =或3a =
C.0
a = D.3
a =3.过点()2,3的直线l 与圆C ：22430x y x +++=交于A ，B 两点，当弦AB 取最大值时，直线l 的方程为（）
A.3460
x y -+= B.3460
x y --= C.4380
x y -+= D.4380
x y +-=4.如图，在四面体OABC 中，,,OA a OB b OC c === ，且11,24
OE EA BF BC == ，则EF =
（
）
A.131344a b c -+
B.131344a b c ++
C.131344a b c
--+
D.131344
a b c
-++
5.已知圆M 的半径为1，若此圆同时与x 轴和直线y =相切，则圆M 的标准方程可能是（
2019届天津市耀华中学高三第二次校模拟考试数学(理)试题(解析版)
2019届天津市耀华中学高三第二次校模拟考试数学（理）试
题
一、单选题
1．若i
=（）
A．1i+B．1i-C．i D．i-
【答案】D
【解析】
2
2
3
i i
i
-+
===-.故选D．
【考点】复数的运算．
2．若满足约束条件，则的最大值是（）
A．1 B．C．4 D．2
【答案】A
【解析】试题分析：作出可行域，如图内部（含边界），作直线，平移直线，当它过点时，有最大值为1．故选A．
【考点】简单的线性规划．
3．阅读如图的框图，则输出的S=
A ．30
B ．29
C ．55
D ．54
【答案】D
【解析】由题意结合所给的流程图运行程序确定输出的值S 即可. 【详解】
由题意可知流程图运行过程如下： 首先初始化数据：0,1S k ==， 第一次循环，执行212,4k k S S k =+==+=，此时不满足4k >，继续循环； 第二次循环，执行213,13k k S S k =+==+=，此时不满足4k >，继续循环； 第三次循环，执行214,29k k S S k =+==+=，此时不满足4k >，继续循环； 第四次循环，执行215,54k k S S k =+==+=，此时满足4k >，输出54S =.
故选：D . 【点睛】
识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：
(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证． 4．设，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】试题分析：由题意
，
，
，显然
2022届天津耀华中学高考数学二模试卷含解析
2021-2022高考数学模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合{
}
2|4,M y y x x ==-∈Z 的真子集的个数为( )
A ．7
B ．8
C ．31
D ．32
2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．48122+
B ．60122+
C ．72122+
D ．84
3．若,x y 满足320020x y x y x y --≤⎧⎪
-≥⎨⎪+≥⎩
，且目标函数2(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为2，则416a b +的最小值为( )
A ．8
B ．4
C ．2
D ．6
4．记n S 为数列{}n a 的前n 项和数列{}n a 对任意的*
,p q ∈N 满足13p q p q a a a +=++.若37a =-，则当n S 取最小值时，
天津市耀华中学2023-2024学年高三上学期第二次月考数学试题(无答案)
天津市耀华中学2024届高三年级第二次月考
数学学科试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．祝同学们考试顺利!
第Ⅰ卷、（选择题 共45分）
一．选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填涂在答题卡上．
1．已知集合{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3,4}A =，集合{2,4}B =，则(
)V
A B ⋃=（ ）
A ．{2,4,5}
B ．{1,3,4}
C ．{1,2,4}
D ．{2,3,4,5}
2．设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则“10a <，且01q <<”是“对于任意*
N 都有1n n a a +>”的
（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
3．已知14
313
11
3,log ,log 44a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．c a b >>
D ．c b a >>
4．已知()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）
A ．()
cos()()2e e
x x
x f x π-=
+ B ．()
cos()
()2e e
x x
x f x π-=
- C ．()
e e cos()
()2
x
x x f x π--=
D ．()
e e sin()
()2
x
x x f x π-+=
2020年天津市耀华中学高考数学二模试卷 (解析版)
2020年天津市耀华中学高考数学二模试卷
一、选择题（共9小题）.
1．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝3x﹣2，x∈A}，则A∩B＝（）A．{1}B．{4}C．{1，3}D．{1，4}
2．已知x＝lnπ，y＝log52，，则（）
A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x
3．已知双曲线的右焦点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点重合，则该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为（）
A．B．C．D．
4．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝（）A．B．C．D．
5．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（）A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥β
C．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β
6．在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有（）
A．512B．192C．240D．108
7．已知函数f（x）＝1+cos2x﹣2sin2（x﹣），其中x∈R，则下列结论中正确的是（）A．f（x）是最小正周期为π的偶函数
B．f（x）的一条对称轴是
C．f（x）的最大值为2
D．将函数的图象左移得到函数f（x）的图象
8．函数y＝tan x+sin x﹣|tan x﹣sin x|在区间内的图象是（）
A．B．
C．D．
9．已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝|f（x）|﹣x+m恰有三个零点，则实数m的取值范围是（）
A．B．
C．D．
二、填空题
10．i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为．11．（x2﹣）8的展开式中x7的系数为（用数字作答）
天津市耀华中学2022-2023学年高三上学期第二次月考数学试题(解析版)
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【答案】C
【解析】
【详解】依题意， ，
显然，当n为奇数时有 ，
即有 ， ，…， ，
令 ，故 ，
所以数列 是首项为1，公差为3的等差数列，
故 ；
当n为偶数时有 ，
即 ， ，…， ，
于是，
，
故选：B．
9.已知函数 的图像在 轴上的截距为 ，在 轴右侧的第一个最高点的横坐标为 .关于该函数有下列四个说法：
① ；② ；
③函数在 上一定单调递增；④在 轴右侧的第一个最低点的横坐标为 .
3.函数 的图象大致是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析函数的奇偶性排除两个选项，再利用 时， 值为正即可判断作答.
【详解】函数 定义域为Fra Baidu bibliotek， ，即 是奇函数，A，B不满足；
当 时，即 ，则 ，而 ，因此 ，D不满足，C满足.
故选：C
4.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
二次函数达标检测卷(Word版 含解析)
二次函数达标检测卷（Word版含解析）
一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）
1．如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：
(Ⅰ)将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图②；
(Ⅱ)在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B′处，如图③，两次折痕交于点O；
(Ⅲ)展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图④．
（探究）
（1）证明：OBC≌OED；
（2）若AB＝8，设BC为x，OB2为y，是否存在x使得y有最小值，若存在求出x的值并求出y的最小值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）x=4，16
【解析】
【分析】
（1）连接EF，根据矩形和正方形的判定与性质以及折叠的性质，运用SAS证明
OBC≌OED即可；
（2）连接EF、BE，再证明△OBE是直角三角形，然后再根据勾股定理得到y与x的函数关系式，最后根据二次函数的性质求最值即可．
【详解】
（1）证明：连接EF．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝∠ADE＝∠DAF＝90°
由折叠得∠DEF＝∠DAF，AD＝DE
∴∠DEF＝90°
又∵∠ADE＝∠DAF＝90°，
∴四边形ADEF是矩形
又∵AD＝DE，
∴四边形ADEF是正方形
∴AD＝EF＝DE，∠FDE＝45°
∵AD＝BC，
∴BC＝DE
由折叠得∠BCO＝∠DCO＝45°
∴∠BCO＝∠DCO＝∠FDE．
∴OC＝OD．
在△OBC与△OED中，
BC DE
BCO FDE
OC OD
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
，
，
∴△OBC≌△OED（SAS）；
（2）连接EF、BE．
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天津耀华滨海学校数学二次函数达标检测卷（Word版含解析）一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）
1．图①，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线y＝1 2 x
﹣2相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；
（3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝1
2
x2﹣
3
2
x﹣2；（2）﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值
为4；（3）Q的坐标为（5
3
，﹣
28
9
）或（﹣
11
3
，
92
9
）．
【解析】
【分析】
（1）根据题意先求出点B、C的坐标，进而利用待定系数法即可求解；
（2）由题意过点P作PH//y轴交BC于点H，并设点P（x，1
2
x2﹣
3
2
x﹣2），进而根据S
＝S△PHB+S△PHC＝1
2
PH•（x B﹣x C），进行计算即可求解；
（3）根据题意分点Q在BC下方、点Q在BC上方两种情况，利用解直角三角形的方法，求出点H的坐标，进而分析求解．
【详解】
解：（1）对于直线y＝1
2
x﹣2，
令x＝0，则y＝﹣2，
令y＝0，即1
2
x﹣2＝0，解得：x＝4，
故点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2），抛物线过点A、B两点，则y＝a（x+1）（x﹣4），
将点C的坐标代入上式并解得：a＝1
2
，
故抛物线的表达式为y＝
1
2
x2
﹣
3
2
x﹣2①；
（2）如图2，过点P作PH//y轴交BC于点H，
设点P（x，
1
2
x2﹣
3
2
x﹣2），则点H（x，
1
2
x﹣2），
S＝S△PHB+S△PHC＝
1
2
PH•（x B﹣x C）＝
1
2
×4×（
1
2
x﹣2﹣
1
2
x2+
3
2
x+2）＝﹣x2+4x，
∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4；
（3）①当点Q在BC下方时，如图2，
延长BQ交y轴于点H，过点Q作QC⊥BC交x轴于点R，过点Q作QK⊥x轴于点K，∵∠ABQ＝2∠ABC，则BC是∠ABH的角平分线，则△RQB为等腰三角形，
则点C是RQ的中点，
在△BOC中，tan∠OBC＝
OC
OB
＝
1
2
＝tan∠ROC＝
RC
BC
，
则设RC＝x＝QB，则BC＝2x，则RB22
(2)
x x
5＝BQ，
在△QRB中，S△RQB＝
1
2
×QR•BC＝
1
2
BR•QK，即
1
2
2x•2x＝
1
2
5，
解得：KQ
5
∴sin∠RBQ＝
KQ
BQ
5
5x
＝
4
5
，则tanRBH＝
4
3
，
在Rt △OBH 中，OH ＝OB•tan ∠RBH ＝4×
43＝163，则点H （0，﹣16
3
）， 由点B 、H 的坐标得，直线BH 的表达式为y ＝4
3
（x ﹣4）②， 联立①②并解得：x ＝4（舍去）或53
， 当x ＝
53时，y ＝﹣289，故点Q （53，﹣289）； ②当点Q 在BC 上方时，
同理可得：点Q 的坐标为（﹣113，929
）； 综上，点Q 的坐标为（53，﹣289）或（﹣113，929
）． 【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、面积的计算等，注意分类讨论思维的应用，避免遗漏．
2．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，其中A （3，0），B （﹣1，0），与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，直线y ＝kx +b 1经过点A ，C ，连接CD ． （1）求抛物线和直线AC 的解析式：
（2）若抛物线上存在一点P ，使△ACP 的面积是△ACD 面积的2倍，求点P 的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q ，使线段AQ 绕Q 点顺时针旋转90°得到线段QA 1，且A 1好落在抛物线上？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2y x 2x 3=-++；3y x =-+ ；（2）（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）存在；（1，2）和（1，﹣3） 【解析】 【分析】
（1）将点A ，B 坐标代入抛物线解析式中，求出b ，c 得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A ，C 坐标代入直线AC 的解析式中，即可得出结论；
（2）利用抛物线的对称性得出BD ＝AD ，进而判断出△ABC 的面积和△ACP 的面积相等，即可得出结论；
（3）分点Q 在x 轴上方和在x 轴下方，构造全等三角形即可得出结论．