2020考研数学冲刺模拟卷-答案与解析(数学三)
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（Ⅰ）求 的边缘概率密度；
（Ⅱ）求 与 的协方差 ；
所以
所以正确答案为C.
二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)
【答案】 .
【解析】
.
(10)已知 ，则 .
【答案】 .
【解析】交换积分次序：
.
(11)设某产品的需求函数为 ，其中 为价格，则需求弹性函数为.
【答案】
【解析】
(12)设函数 具有一阶连续偏导数，且 ， ，
解得 对应的一个线性无关的特征向量为
当 时，解解齐次线性方程组
解得 对应的一个线性无关的特征向量为
当 时，解解齐次线性方程组
解得 对应的一个线性无关的特征向量为
因为矩阵 有三个不同的特征值，所以三个特征值对应的特征向量均正交
将 单位化得
从而正交变换矩阵 在正交变换 ，使得 .
（22）（本题满分11分）将三封信随机地投入编号为 的四个邮筒.记 为1号邮筒内信的数目， 为有信的邮筒数目.求：
（7）设二维随机变量 的联合分布函数为 ，边缘分布函数分别为 和 ，则
（A） （B）
（C） （D）
【答案】D.
【解析】设 ，则
所以
所以正确答案为D
（8）设总体 服从正态分布 ， ，…， 是取自总体 的简单随机样本，其均值、方差分别为 ， ．则
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C.
【解析】
而 ，且 与 相互独立
【答案】
【解析】
所以 相互独立 相互独立， 相互独立
同理
从而
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）求极限
【答案】 .
【解析】 ，令 ，则有
（16）（本题满分10分）计算积分 ，其中 是第一象限中以曲线 与 轴为边界的无界区域。
2018考研数学冲刺模拟卷（数学三）
答案与解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）若函数 在 处连续，则（）
(A) (B) (C) (D)
【答案】A.
【解析】 在 处连续 选A.
（2）二元函数 的极值点是（）
对于选项D，矩阵 经过初等行变换和列变换才可化为 ，所以选项D不正确
（6）设 ，
,其中 为任意实数，则
（A） 必线性相关（B） 必线性无关
（C） 必线性相关（D） 必线性无关
【答案】D.
【解析】
所以 ，从而选项A和B均不正确
，从而选项C不正确
利用排除法可得正确答案为D
对于选项D， ，
从而可得 ，所以 必线性无关
所以 的联合概率分布为
Y
X
1
2
3
0
3/64
9/32
3/32
1
0
9/64
9/32
2
0
9/64
0
3
1/64
0
0
（Ⅱ） 的所有可能取值为1,2,3
由 的联合分布律得
所以 的边缘分布
1
2
3
1/16
9/16
3/8
（Ⅲ） 的所有可能取值为1,2,3
从而
所以在 条件下，关于 的条件分布：
1
2
3
1/9
2/3
2/9
（23）（本题满分11分）已知 在直线 , , , 围成的区域D内服从二维均匀分布.
由(Ⅰ)中的
即
且 线性无关
所以 的基础解系为
由wenku.baidu.com
可得 的一个特解为
所以 的通解为：
.
（21）（本题满分11分）设二次型 的
矩阵合同于 .
(Ⅰ)求常数 ；
(Ⅱ)用正交变换法化二次型 为标准形.
【解析】(Ⅰ)此二次型对应的实对称矩阵
因为实对称矩阵 与 合同
所以
而 ，解得
(Ⅱ)
解得矩阵 的特征值为
当 时，解齐次线性方程组
(Ⅰ)求方程组 的通解；
(Ⅱ)求方程组 的通解.
【解析】(Ⅰ)由 的通解为
可得 ，即
所以 可由 线性表出， 可由 线性表出即 可由线性表出
从而
所以方程组 只有唯一解
②+2 ①得
所以程组 的唯一解为 ;
由(Ⅰ)可得 可由 线性表出， 可由线性表出
从而
所以
所以齐次线性方程组的 基础解系中有2个线性无关的解向量，非齐次线性房出租 有无穷多解
（Ⅰ） 的联合概率分布；
（Ⅱ） 的边缘分布；
（Ⅲ）在 条件下，关于 的条件分布.
【解析】（Ⅰ） 的所有可能取值为0,1,2,3； 的所有可能取值为1,2,3
从而 的所有可能取值为（0,1），（0,2），（0,3），（1,1），（1,2）（1,3）（2,1）（2,2）（2,3）（3,1）（3,2）（3,3）
（A） 的任意 阶子式都不等于零（B） 的任意 个列向量线性无关
（C）方程组 一定有无穷多解（D）矩阵 经过初等行变换可化为
【答案】C.
【解析】对于选项C， 所以选项C正确,
对于选项A和B，r(A)=m，由秩的定义可得，存在一个m阶行列式不为零，从而m阶行列式所在的列向量组线性无关，所以选项A和B不正确
(2) 由 ,知 在 内单调增,故(1)中的 是唯一的.
（19）（本题满分10分）设函数 在 内具有二阶导数，且 满足等式 ，若 求函数 的表达式.
【解析】(I)由于题目是验证，只要将二阶偏导数求出来代入题目中给的等式就可以了
同理
代入 ，得
，
即 .
则对应的特征方程为 ， ，故 .
由 得 ，即
（20）（本题满分11分）设 均为四维列向量， ，非齐次线性方程组 的通解为
【答案】 .
【解析】
（17）（本题满分10分）求
【答案】 .
【解析】原式=
.
（18）（本题满分10分）设 是区间 上的任一非负连续函数， 在区间 内可导,且 试证明在 内， 存在唯一实根.
【解析】(1)要证 ,使 ；令 ,要证 ,使 .可以对 的原函数 使用罗尔定理：
,
又由 在 连续 在 连续, 在 连续,在 可导.根据罗尔定理, ,使 .
则 .
【答案】 .
【解析】 故
，
因此 ，即 ，再由 ，可得
（13）设 为四维非零的正交向量，且 ，则 的所有特征值为.
【答案】0,0,0,0
【解析】设矩阵 的特征值为 ，则 的特征值为
由 为四维非零的正交向量
从而
所以 的特征值 的特征值为
所以4阶矩阵 的4个特征值均为0.
（14）设二维随机变量 服从正态分布 ，则 .
（A） （B） （C） （D）
【答案】D.
【解析】令
由 知， 为极值点.选D.
（3）设函数 可导，且 ，则（）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A.
【解析】 ，所以选A。
（4）设函数 收敛，则 （）
（A）1（B）2（C）-1（D）-2
【答案】C.
【解析】
因为原级数收敛，所以 .选C.
（5）设 为 阶矩阵，且 ，则下列结论正确的是
（Ⅱ）求 与 的协方差 ；
所以
所以正确答案为C.
二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)
【答案】 .
【解析】
.
(10)已知 ，则 .
【答案】 .
【解析】交换积分次序：
.
(11)设某产品的需求函数为 ，其中 为价格，则需求弹性函数为.
【答案】
【解析】
(12)设函数 具有一阶连续偏导数，且 ， ，
解得 对应的一个线性无关的特征向量为
当 时，解解齐次线性方程组
解得 对应的一个线性无关的特征向量为
当 时，解解齐次线性方程组
解得 对应的一个线性无关的特征向量为
因为矩阵 有三个不同的特征值，所以三个特征值对应的特征向量均正交
将 单位化得
从而正交变换矩阵 在正交变换 ，使得 .
（22）（本题满分11分）将三封信随机地投入编号为 的四个邮筒.记 为1号邮筒内信的数目， 为有信的邮筒数目.求：
（7）设二维随机变量 的联合分布函数为 ，边缘分布函数分别为 和 ，则
（A） （B）
（C） （D）
【答案】D.
【解析】设 ，则
所以
所以正确答案为D
（8）设总体 服从正态分布 ， ，…， 是取自总体 的简单随机样本，其均值、方差分别为 ， ．则
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C.
【解析】
而 ，且 与 相互独立
【答案】
【解析】
所以 相互独立 相互独立， 相互独立
同理
从而
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）求极限
【答案】 .
【解析】 ，令 ，则有
（16）（本题满分10分）计算积分 ，其中 是第一象限中以曲线 与 轴为边界的无界区域。
2018考研数学冲刺模拟卷（数学三）
答案与解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）若函数 在 处连续，则（）
(A) (B) (C) (D)
【答案】A.
【解析】 在 处连续 选A.
（2）二元函数 的极值点是（）
对于选项D，矩阵 经过初等行变换和列变换才可化为 ，所以选项D不正确
（6）设 ，
,其中 为任意实数，则
（A） 必线性相关（B） 必线性无关
（C） 必线性相关（D） 必线性无关
【答案】D.
【解析】
所以 ，从而选项A和B均不正确
，从而选项C不正确
利用排除法可得正确答案为D
对于选项D， ，
从而可得 ，所以 必线性无关
所以 的联合概率分布为
Y
X
1
2
3
0
3/64
9/32
3/32
1
0
9/64
9/32
2
0
9/64
0
3
1/64
0
0
（Ⅱ） 的所有可能取值为1,2,3
由 的联合分布律得
所以 的边缘分布
1
2
3
1/16
9/16
3/8
（Ⅲ） 的所有可能取值为1,2,3
从而
所以在 条件下，关于 的条件分布：
1
2
3
1/9
2/3
2/9
（23）（本题满分11分）已知 在直线 , , , 围成的区域D内服从二维均匀分布.
由(Ⅰ)中的
即
且 线性无关
所以 的基础解系为
由wenku.baidu.com
可得 的一个特解为
所以 的通解为：
.
（21）（本题满分11分）设二次型 的
矩阵合同于 .
(Ⅰ)求常数 ；
(Ⅱ)用正交变换法化二次型 为标准形.
【解析】(Ⅰ)此二次型对应的实对称矩阵
因为实对称矩阵 与 合同
所以
而 ，解得
(Ⅱ)
解得矩阵 的特征值为
当 时，解齐次线性方程组
(Ⅰ)求方程组 的通解；
(Ⅱ)求方程组 的通解.
【解析】(Ⅰ)由 的通解为
可得 ，即
所以 可由 线性表出， 可由 线性表出即 可由线性表出
从而
所以方程组 只有唯一解
②+2 ①得
所以程组 的唯一解为 ;
由(Ⅰ)可得 可由 线性表出， 可由线性表出
从而
所以
所以齐次线性方程组的 基础解系中有2个线性无关的解向量，非齐次线性房出租 有无穷多解
（Ⅰ） 的联合概率分布；
（Ⅱ） 的边缘分布；
（Ⅲ）在 条件下，关于 的条件分布.
【解析】（Ⅰ） 的所有可能取值为0,1,2,3； 的所有可能取值为1,2,3
从而 的所有可能取值为（0,1），（0,2），（0,3），（1,1），（1,2）（1,3）（2,1）（2,2）（2,3）（3,1）（3,2）（3,3）
（A） 的任意 阶子式都不等于零（B） 的任意 个列向量线性无关
（C）方程组 一定有无穷多解（D）矩阵 经过初等行变换可化为
【答案】C.
【解析】对于选项C， 所以选项C正确,
对于选项A和B，r(A)=m，由秩的定义可得，存在一个m阶行列式不为零，从而m阶行列式所在的列向量组线性无关，所以选项A和B不正确
(2) 由 ,知 在 内单调增,故(1)中的 是唯一的.
（19）（本题满分10分）设函数 在 内具有二阶导数，且 满足等式 ，若 求函数 的表达式.
【解析】(I)由于题目是验证，只要将二阶偏导数求出来代入题目中给的等式就可以了
同理
代入 ，得
，
即 .
则对应的特征方程为 ， ，故 .
由 得 ，即
（20）（本题满分11分）设 均为四维列向量， ，非齐次线性方程组 的通解为
【答案】 .
【解析】
（17）（本题满分10分）求
【答案】 .
【解析】原式=
.
（18）（本题满分10分）设 是区间 上的任一非负连续函数， 在区间 内可导,且 试证明在 内， 存在唯一实根.
【解析】(1)要证 ,使 ；令 ,要证 ,使 .可以对 的原函数 使用罗尔定理：
,
又由 在 连续 在 连续, 在 连续,在 可导.根据罗尔定理, ,使 .
则 .
【答案】 .
【解析】 故
，
因此 ，即 ，再由 ，可得
（13）设 为四维非零的正交向量，且 ，则 的所有特征值为.
【答案】0,0,0,0
【解析】设矩阵 的特征值为 ，则 的特征值为
由 为四维非零的正交向量
从而
所以 的特征值 的特征值为
所以4阶矩阵 的4个特征值均为0.
（14）设二维随机变量 服从正态分布 ，则 .
（A） （B） （C） （D）
【答案】D.
【解析】令
由 知， 为极值点.选D.
（3）设函数 可导，且 ，则（）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A.
【解析】 ，所以选A。
（4）设函数 收敛，则 （）
（A）1（B）2（C）-1（D）-2
【答案】C.
【解析】
因为原级数收敛，所以 .选C.
（5）设 为 阶矩阵，且 ，则下列结论正确的是