2012年漳州一中毕业班质量检查(理科数学)-参考答案

2012年漳州一中高中毕业班质量检查数学（理科）答案与评分标准一、选择题（每小题5分，本大题共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ADBDCADDCC二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.4 12.[)2,+∞ 13.14 14.2315.19三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（本小题满分13分）解：(Ⅰ)∵点(,)n n a S 在直线21y x =-上，∴21n n S a =-，1121(2)n n S a n --=-≥∴1122n n n n S S a a ---=-，即：12(2)n n a a n -=≥， ……………5分 当1n =时，1121S a =-，∴11a =，∴数列}{n a 是以1a 为首项，2为公比的等比数列，∴12n n a -=（N n *∈） ……………7分 (Ⅱ) 21log n n b a n +==， 12n n n a b n -+=+， ……………9分1(122)(12)n n T n -=+++++++L L12(1)(1)211222nnn n n n -++=+=-+- ……………13分 17. （本小题满分13分）解：(Ⅰ)重量超过505克的产品的数量是：40(0.050.01)512⨯+⨯=件； ……………3分(Ⅱ)随机变量Y 的取值为：0,1,2. ……………4分则22824063(0)130C P Y C ===，11122824028(1)65C C P Y C ===，21224011(2)130C P Y C === ………7分 所以随机变量Y 的分布列为：Y 0 1 2P63130 2865 11130……………8分（Ⅲ）在样本中，重量超过505克的产品的频率为120.340=， 所以估计总体中重量超过505克的产品的概率为0.3， ……………10分 设从流水线上任取5件产品中重量超过505克的数量记为ξ，因流水线上产品数量巨大，所以(5,0.3)B ξ . ……………11分 所以2235(2)(0.3)(0.7)0.03P C ξ==⋅≈ ……………13分 18．（本小题满分13分）解：(Ⅰ)在平行四边形ACDE 中，2,4,60AE AC E ︒==∠=，点B 为DE 中点，ABE ∴∆为正三角形，CBD ∆为等腰三角形120BDC ︒∠= ，30CBD ︒∴∠=90ABC ︒∴∠=，即AB BC ⊥ ………3分1AA ⊥ 面ABC ，BC ⊂面ABC 1AA BC ∴⊥，………4分BC ∴⊥平面11A ABB∴平面1A BC ⊥平面11A ABB ………5分（Ⅱ）解法一：BC ⊥ 平面11A ABB ，1A B BC ∴⊥，又AB BC ⊥ 1A BA ∴∠为二面角1A BC A --的平面角，即1A BA α∠= ……………6分在1Rt A AB ∆中，112,4,25AB AA AB ===，1125sin 5AA A B α∴==，15cos 5AB A B α==……………7分 以B 为坐标原点，1,,BC BA BB 分别为,,x y z 轴如图建立空间直角坐标系B xyz -，其中1(0,2,0),(23,0,0),(0,2,4),(23,2,0)A C A AC =-，设(,,)n x y z = 为平面1A BC 的一个法向量，则100n BA n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即：240230y z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩ 令1z =，得平面1A BC 的一个法向量(0,2,1)n =-……………10分 则||45sin 5||||45AC n AC n β⋅===⨯……………11分 0,2πβ<<225cos 1sin 5ββ∴=-=252555sin()sin cos cos sin 15555αβαβαβ+=+=⨯+⨯=， …………13分（Ⅱ）解法二、与方法一相同得出255sin ,cos 55αα==…………7分 xyz在平面11A ABB 内过点A 作1AF AB ⊥于F ，连结CF ， 面1A BC ⊥面11A ABB ，且面1A BC ⋂面11A ABB =1A B∴AF ⊥平面1A BC ，ACF ∴∠为直线AC 与平面1A BC 所成的角，即ACF β∠= ……………9分在1Rt A AB ∆中，11455AA AB AF A B ⋅==， …………10分 在Rt ACF ∆中， 5sin 5AF AC β==，0,2πβ<< 25cos 5β∴= ……………11分 252555sin()sin cos cos sin 15555αβαβαβ∴+=+=⨯+⨯= ……………13分19．（本小题满分13分）解：(Ⅰ)抛物线24y x =的焦点为(1,0)，∴1c =， ……………1分又22e =，2,1a b ∴==， ∴椭圆C 的方程为2212x y += ……………3分(Ⅱ)当圆M 的切线l 的斜率不存在时，6:3l x =±， 当l 的方程为63x =时，代入椭圆方程解得：6666(,),(,)3333A B -，所以以AB 为直径的圆的方程为2262()33x y -+=， ……………5分 由椭圆的对称性知： 当l 的方程为63x =-时，以AB 为直径的圆的方程为2262()33x y ++=， 所以两圆的公共点为(0,0)O . ……………7分 若以AB 为直径的圆过定点，则此定点为(0,0)O ，往证任意以AB 为直径的圆均过此定点. 设圆M 的切线l 方程为y kx m =+，则圆心(0,0)到直线l 的距离2||231m d k ==+， 即：2232(1)m k =+， (9)分由2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得：222(12)42(1)0k x kmx m +++-=，设1122(,),(,)A x y B x y ， 由韦达定理得：12221224212(1)21km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， ……………11分 2212121212(1)()OA OB x x y y k x x km x x m ⋅=+=++++22222222(1)4(1)2121m k m k m k k -=+-+++ 22232(1)021m k k -+==+所以任意以AB 为直径的圆都经过定点(0,0)O . ……………13分 20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()43x f x e x '=+-， ……………1分∵0(0)320f e '=-=-<，(1)10f e '=+>，∴(0)(1)0f f ''⋅<． ∴()f x '在区间[0,1]上存在零点， ……………2分 令 ()()43x h x f x e x '==+-，则()40x h x e '=+>， ∴()f x '在区间[0,1]上单调递增，∴)(x f 在区间[0,1]上存在唯一的极小值点． ……………3分 取区间[0,1]作为起始区间，用二分法逐次计算如下：①(0.5)0.60f '≈>，而(0)0f '<，∴极值点所在区间是[0,0.5]； ②又(0.3)0.50f '≈-<，∴极值点所在区间是[0.3,0.5]；∵|0.50.3|0.2-=，∴区间[0.3,0.5]内任意一点即为所求． …………… 5分 （Ⅱ）解：由25()(3)12f x x a x ≥+-+得：21102x e x ax ---≥， 令21()1(0)2xg x e x ax x =---≥，则(0)0g = …………… 6分 ()x g x e x a '=--，令()x h x e x a =--，则()1x h x e '=-，0x ≥ ，()0h x '∴≥，所以()h x 在[)0,+∞上单调递增，()(0)1h x h a ∴≥=-， ……………8分 ①当1a ≤时，()0h x ≥恒成立，即()0g x '≥，所以()g x 在[)0,+∞上单调递增， ()(0)0g x g ∴≥=，1a ∴≤ ……………10分 ②当1a >时，取1x a =，则1()2a h x e a =-， ……………11分 令()2(1)x F x e x x =->，则()220x F x e e '=->->，()F x ∴在()1,+∞上单调递增，()(1)20F x F e ∴>=->即：1()0h x >，又(0)10h a =-< ，由零点存在定理知：函数()h x 在[)0,+∞上存在零点， 又()h x 在[)0,+∞上单调递增，所以存在唯一的零点，记为0x0()0h x ∴=，即：0()0g x '= ……………13分当[)00,x x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在[)00,x 上单调递减，()(0)0g x g ∴≤=，这与()0g x ≥对[)0,x ∈+∞恒成立矛盾.综合①②得：1a ≤. ……………14分 （备注：可取1ln 2x a =，这里只须找到符合1()0h x >的1x 即可） 21．（1）（本小题满分7分）解：设曲线C 上任意一点(,)P x y ，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点'(',')P x y ，则00a b ⎛⎫⎪⎝⎭''x x y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即''ax x b y y =⎧⎨=⎩ ……………2分 又点'(',')P x y 在曲线'C 上，所以22''14x y +=,即222214a xb y +=， ……………4分 又点(,)P x y 在曲线C ：221x y +=上，2241a b ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩，又0,0a b >> ，21a b =⎧∴⎨=⎩. ……………7分（2）（本小题满分7分） 解：（I ）把极坐标系下的点(4,)2P π化为直角坐标得(0,4)P ，(0,4)P 满足方程40x y -+=，∴点P 在直线l 上. ……………2分（II ）解法一、因为点Q 是曲线C 上的点，故可设点Q 的坐标为(3cos ,sin )αα， 所以点Q 到直线l 的距离|2cos()4||3cos sin 4|6()22d R παααα++-+==∈ ……………5分所以当cos()16πα+=-时，d 取得最小值 2. ……………7分解法二、曲线C 的普通方程为：2213x y +=， ……………1分 平移直线l 到l '使之与曲线C 相切，设:0l x y m '-+=，由22013x y m x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得：223()3x x m ++=，即：2246330x mx m ++-= ……………2分 由2223648(1)48120m m m ∆=--=-=，解得：2m =， ……………5分 曲线C 上的点Q 到l 距离的最小值|42|22d -==. ……………7分 （3）（本小题满分7分） 解：由柯西不等式：22222221111(2)(3)1()()(23)2323x y z x y z ⎡⎤⎡⎤++++≥+⨯+⨯⎣⎦⎢⎥⎣⎦. ……………3分 22249(0)x y z a a ++=> ,249()36a x y z ∴≥++，即7766a ax y z -≤++≤ ……………5分 当490x y z ==>时，x y z ++取最大值76a， ……………6分 所以776a=，解得：36a =. ……………7分。