2012年上海高考数学理科试题及答案

2012年上海高考数学(理科)试卷

一、填空题(本大题共有14题，满分56分) 1.计算：

i

i

+-13= (i 为虚数单位). 2.若集合}012|{>+=x x A ，}21|{<-=x x B ，则B A = . 3.函数1

sin cos 2)(-=

x

x x f 的值域是 .

4.若)1,2(-=n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 (结果用反三角

函数值表示).

5.在6

)2

(x

x -的二项展开式中，常数项等于 .

6.有一列正方体，棱长组成以1为首项，21

为公比的等比数列，体积分别记为V 1,V 2,…,V n ,…，则=+++∞

→)(lim 21n n V V V .

7.已知函数|

|)(a x e

x f -=(a 为常数).若)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数，则a 的取值范围

是 .

8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为 . 9.已知2

)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g . 10.如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6

πα=

.若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则

=)(θf .

11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 (结果用最简分数表示).

12.在平行四边形ABCD 中，∠A=3π

, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD |

|||CD CN BC BM =

，则AN AM ⋅的取值范围是 . 13.已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ，若中A (0,0)，B (

2

1,5)，C (1,0).函数

)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为 .

14.如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c ，且AB+BD=AC+CD=2a ，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是 .

二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 15.若i 21+是关于x 的实系数方程02

=++c bx x 的一个复数根，则

( )

(A)3,2==c b .

(B)3,2=-=c b .

(C)1,2-=-=c b .(D)1,2-==c b .

16.在ABC ∆中，若C B A 2

2

2

sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是 ( )

(A)锐角三角形.

(B)直角三角形.

(C)钝角三角形.

(D)不能确定.

17.设4

43211010≤<<<≤x x x x ，5510=x . 随机变量1ξ取值1x 、2x 、3x 、4x 、5x 的概

率均为0.2，随机变量2ξ取值

2

2

1x x +、

2

3

2x x +、

2

4

3x x +、

2

5

4x x +、

2

15x x +的概率也为0.2. 若记1ξD 、

2ξD 分别为1ξ、2ξ的方差，则

( )

(A)1ξD >2ξD .

(B)1ξD =2ξD .

(C)1ξD <2ξD .

(D)1ξD 与2ξD 的大小关系与1x 、2x 、3x 、4x 的取值有关.

18.设251sin πn n n a =，n n

a a a S +++= 21. 在10021,,,S S S 中，正数的个数是 ( )

(A)25. (B)50. (C)75. (D)100.

三、解答题(本大题共有5题，满分74分)

19.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.已知AB=2，AD=22，P A=2.求：

(1)三角形PCD 的面积；(6分) (2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小.(6分)

A

B

C

D

A B C

D P E

20.已知函数)1lg()(+=x x f .

(1) 若1)()21(0<--

(2) 若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数

)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.(8分)

21.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰在失

事船的正南方向12海里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径

可视为抛物线249

12x y =

；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救

援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7.

(1)当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；(6分)

(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?(8分)