抽屉原理
什么是抽屉原理
什么是抽屉原理
抽屉原理是一种用以解释某种情况下的现象或情况的原理，常常用于说明在一定条件下，将若干物体均匀放置在一定数量的抽屉或容器中，那么必然会有至少一个抽屉或容器中放置的物体数量超过平均值。
此原理源自于数学和概率统计学中的原理。
抽屉原理的具体内容可以通过以下例子来说明：假设有10个
苹果，要将它们放入5个抽屉中，不论如何放置，至少会有一个抽屉中放置的苹果数量超过平均值，即至少会有一个抽屉中放置2个或以上的苹果。
这个原理适用于很多不同的情况，包括计算机科学、组合数学、概率统计学等领域。
例如，在计算机科学中，抽屉原理可以用来解释哈希函数的冲突现象，即在将大量的键映射到有限数量的哈希槽中时，必然会有多个键映射到同一个槽中。
需要注意的是，抽屉原理并不是指完全相同的物体或情况，而是指在一定条件下的某种相似性的现象。
它虽然不能提供精确的答案，但对于解释和推断问题有一定的参考价值，因为它揭示了现实世界中很多不可避免的规律和现象。
抽 屉 原 理
抽 屉 原 理一、知识点介绍 抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决．二、抽屉原理的定义（1）举例桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。
（2）定义一般情况下，把n ＋1或多于n ＋1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。
我们称这种现象为抽屉原理。
三、抽屉原理的解题方案（一）、利用公式进行解题苹果÷抽屉＝商……余数余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里（2）余数＝x ()()11x n - ， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里（3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里（二）、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法．抽屉原理习题1．一个篮球运动员在15分钟内将球投进篮圈20次，证明总有某一分钟他至少投进两次.2．有黑、白、黄筷子各8只，不用眼睛看，任意地取出筷子来，使得至少有两双筷子不同色，那么至少要取出多少只筷子才能做到？3．证明：在1，2，3，…，10这十个数中任取六个数，那么这六个数中总可以找到两个数，其中一个是另一个的倍数.4．证明：任意502个整数中，必有两个整数的和或差是998的倍数.5．任意写一个由数字1，2，3组成的30位数，从这30位数任意截取相邻三位，可得一个三位数，证明：在从各个不同位置上截得的三位数中至少有两个相等.6．证明：把任意10个自然数用适当的运算符号连接起来，运算的结果总能被1890整除. 7．七条直线两两相交，所得的角中至少有一个角小于26°.8．用2种颜色涂3行9列共27个小方格，证明：不论如何涂色，其中必至少有两列，它们的涂色方式相同.9．用2种颜色涂5×5共25个小方格，证明：必有一个四角同色的矩形出现.10．求证存在形如11…11的一个数，此数是1987的倍数.抽屉原理习题答案（苹果数总是比抽屉数少）1、平均分假设，每分钟投进一个，那么还有5个球没时间投，无论在哪个一分钟内投都能够使得这一分钟投进至少两球。
抽屉原理
抽屉原理【知识要点】抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狭利克雷明确地提出来的，因此，也称为狭利克雷原理。
把3个苹果放进2个抽屉里，一定有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果。
这个人人皆知的常识就是抽屉原理在日常生活中的体现。
用它可以解决一些相当复杂甚至无从下手的问题。
原理1：把n+1个元素分成n类，不管怎么分，则一定有一类中有2个或2个以上的元素。
原理2：把m个元素任意放入n（n＜m）个集合，则一定有一个集合至少要有k个元素。
其中k＝商（当n能整除m时）商＋1 （当n不能整除m时）原理3：把无穷多个元素放入有限个集合里，则一定有一个集合里含有无穷多个元素。
【解题步骤】第一步：分析题意。
分清什么是“东西”，什么是“抽屉”，也就是什么作“东西”，什么可作“抽屉”。
第二步：制造抽屉。
这个是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉。
根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路。
第三步：运用抽屉原理。
观察题设条件，结合第二步，恰当应用各个原则或综合运用几个原则，以求问题之解决。
【例题讲解】例1、教室里有5名学生正在做作业，今天只有数学、英语、语文、地理四科作业。
求证：这5名学生中，至少有两个人在做同一科作业。
证明：将5名学生看作5个苹果，将数学、英语、语文、地理作业各看成一个抽屉，共4个抽屉。
由抽屉原理1，一定存在一个抽屉，在这个抽屉里至少有2个苹果，即至少有两名学生在做同一科的作业。
例2、木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？分析与解答：把3种颜色看作3个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必须大于3大于3的最小数字是4。
故至少取出4个小球才能符合要求。
例3、班上有50名学生，将书分给大家，至少要拿多少本，才能保证至少有一个学生能得到两本或两本以上的书。
抽屉原理
一．第一抽屉原理原理1：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。
证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，这不可能.原理2：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。
证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn 个物体,与题设不符，故不可能。
原理3：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。
二．第二抽屉原理把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。
例1：400人中至少有2个人的生日相同.例2：我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同.例3: 从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。
例4:从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。
例5：从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。
三．抽屉原理与整除问题整除问题：把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类，叫做m的剩余类或同余类，用[0]，[1]，[2]，…，[m-1]表示.每一个类含有无穷多个数，例如[1]中含有1，m+1，2m+1，3m+1，….在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理，可以证明：任意n+1个自然数中，总有两个自然数的差是n的倍数。
(证明：n+1个自然数被n整除余数至少有两个相等（抽屉原理），不妨记为m=a1*n+b n=a2*n+b，则m-n整除n)。
例1 证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。
四．经典练习：1．木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色不相同，则最少要取出多少个球？解析：把3种颜色看作3个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必须大于7，故至少取出8个小球才能符合要求。
抽屉原理是什么意思
抽屉原理是什么意思抽屉原理（也称为鸽巢原理）是数学中的一个重要原理，它描述的是一种概率现象。
抽屉原理可以简单地概括为：如果有n+1个物体要放进n个抽屉中，那么无论如何放置，至少有一个抽屉中必然会有两个或更多物体。
抽屉原理最早可以追溯到古希腊数学家彼得·建设者（Peter C. D）在1939年提出的鸽巢定理，后来由是美国数学家罗森（R. R*) 在1964年将其普及并以抽屉原理的名字命名。
这个原理的简单解释是很容易理解的。
假设有5个苹果和4个抽屉，我们需要将这些苹果放入抽屉中去。
无论如何摆放，必然会有至少一个抽屉中放入了两个或更多的苹果。
这是因为若将5个苹果放入4个抽屉，我们只能在某一个抽屉中放2个苹果，而按照抽屉原理的规定，至少会有一个抽屉中放入了两个或更多的物体。
抽屉原理的应用非常广泛，不仅仅局限于数学领域。
它可以应用于各个领域，如计算机科学、生物学、物理学等。
在计算机科学中，抽屉原理可以用于解决许多问题。
例如，在散列函数中，如果我们将 n个关键字映射到 m个槽位中（假设 n>m），那么至少会有一个槽位中有多个关键字映射。
这是因为抽屉原理告诉我们，无论以何种方式映射，始终会有两个关键字映射到同一个槽位上。
生物学中，抽屉原理可以用于解释遗传学中的基因频率。
在一个种群中，如果有 n 个个体，而有 m 种不同的基因，则至少会有个体携带相同的基因，而原因也是抽屉原理的应用。
物理学中，抽屉原理可以类比于波动理论。
例如，如果我们在一条线上有 n 个波峰，而只有 m 个波谷（n>m），则必然会有至少两个波峰在同一个波谷之间。
抽屉原理指导我们认识到，波动现象中特定的波峰和波谷的存在不能无限地隔离。
在生活中，我们也可以看到抽屉原理的应用。
例如，如果我们参加一个聚会，那么如果参与人数超过了场地的容纳能力，那么至少会有两个人被安排坐在同一张桌子上。
总结一下，抽屉原理是一种重要的概率现象，可以简单地概括为：在一定条件下，将多个物体放置到较少的容器中，必然会出现某个容器放入了两个或更多物体。
抽屉原理
抽屉原理抽屉原理，又叫狄利克雷抽屉原理，它是一个重要而又基本的数学原理。
抽屉原理（一）：把多于n 个的元素，按任一确定的方式分成n 个集合，那么存在一个集合中至少含有两个元素。
抽屉原理（二）：把多于m ×n 个元素分成n 个集合，那么一定有一个集合中至少有m +1个元素。
抽屉原理（三）：把m 1+m 2+…+m n +k (k ≥1)个元素分成n 个集合，那么，存在一个i ，在第i 个集合中至少有m i +1个元素。
应用抽屉原理来解题，首先要审题，即要分清什么作为“元素”，什么作为“抽屉”；其次要根据题目的条件和结论，结合有关的数学知识，恰当地设计抽屉，这是应用抽屉原理解题的关键。
一、分割图形造“抽屉”例1．在边长为1的等边三角形内（包括边界），任意选定10个点，求证：至少有三个点，它们两两之间的距离不大于12． 证明：如右图，等边三角形ABC 三边中点为D 、E 、F ，DE 、EF 、FD 把边长为1的三角形分成了四个边长为12的正三角形．10个点都在这四个正三角形“抽屉”中，根据抽屉原理（二），至少有三个点落入同一个区域里，此三个点可连成一个三角形，任意两点之间的距离不大于12．例2．在边长为1的正方形内，任意给定5个点，试证：其中必有两个点，它们之间的距离不超过22． 例3．在3×4的长方形中，放置6个点.试证：可以找到两个点，它们的距离不大于5．例4．在半径为1的圆内任给6个点.求证：其中必有两个点，它们之间的距离不超过1．例5．在直径为5的圆中放入10个点.求证：其中必有两个点，它们之间的距离小于2．二、利用余数造“抽屉”例6．求证：任意互异的8个整数中，一定存在6个整数x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，使得(x 1−x 2)(x 3−x 4)(x 5−x 6) 恰是105的倍数．分析：105=3×5×7，而3、5、7两两互质，所以只要能找到两个数，比如x1，x2，使得x1−x2是7的倍数，同理x3−x4是5的倍数，x5−x6是3的倍数，题目即得证．证明：根据抽屉原理（一），在任意8个整数中，必有两个整数被7除同余，那么，它们的差一定是7的倍数．假设这两个数为x1，x2，使得x1−x2=7k1．在余下的6个数中，必有两个数被5除同余，这两个数的差一定是5的倍数，假设两数为x3，x4，则有x3−x4=5k2．在余下的4个数中，必有两个整数被3除所得余数相同，那么它们的差一定是3的倍数，假设两数为x5，x6，则有x5−x6=3k3．(x1−x2)(x3−x4)(x5−x6)=7k1∙5k2∙3k3=105×(k1∙k2∙k3)所以，从任意8个互异的整数中，一定可以找到6个数x1，x2，x3，x4，x5，x6，使得(x1−x2)(x3−x4)(x5−x6)恰是105的倍数．例7．求证：在任给的52个整数中，必有两个数，它们的差恰是100的倍数．例8．求证：从任意n个自然数a1，a2，a3，…，a n中，总可以找到若干个数，它们的和是n的倍数．三、竞赛题选例例9．时钟的表盘上按标准的方式标着1、2、3、4……、11、12这12个数，在其上任意做n个120°的扇形，每一个都恰好覆盖4个数，每两个覆盖的数不全相同。
什么叫抽屉原理
什么叫抽屉原理抽屉原理，又称鸽巢原理，是离散数学中的一个重要概念。
它在计算机科学、信息论、密码学等领域有着广泛的应用。
抽屉原理的核心思想是，如果有n个物品要放到m个抽屉里，且n大于m，那么至少有一个抽屉里会放多于一个物品。
抽屉原理最早的数学表述可以追溯到德国数学家Dirichlet提出的“鸽巢原理”，他认为如果有n只鸽子要放到m个巢里，且n大于m，那么至少有一个巢里会放多于一个鸽子。
这个概念后来被推广到了更一般的情况，即n个物品放到m个抽屉中。
抽屉原理的应用非常广泛。
在计算机科学中，抽屉原理被用来证明哈希算法的冲突不可避免，也被用来解决一些图论中的问题。
在信息论中，抽屉原理被用来证明数据压缩算法的存在性。
在密码学中，抽屉原理被用来分析密码学算法的安全性。
可以说，抽屉原理是离散数学中最基本的原理之一，它的重要性不言而喻。
抽屉原理的证明方法有很多种，其中比较直接的一种方法是采用反证法。
假设所有的抽屉里都放了不多于一个物品，然后根据n个物品和m个抽屉的关系，通过推理可以得出矛盾，从而证明了抽屉原理的成立。
除了直接的证明方法，抽屉原理还可以通过一些具体的例子来加深理解。
比如，假设有11个苹果要放到10个抽屉里，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里会放多于一个苹果。
这个例子直观地展示了抽屉原理的成立。
在实际应用中，抽屉原理可以帮助我们解决一些实际问题。
比如，在生活中，如果有12个月要安排在10个月份里，那么至少会有一个月份有安排了多于一个的活动。
在排课的情况下，如果有11个学生要安排在10节课里，那么至少会有一节课有多于一个的学生安排在其中。
这些都是抽屉原理在实际生活中的应用。
总的来说，抽屉原理是离散数学中一个非常重要的概念，它在计算机科学、信息论、密码学等领域有着广泛的应用。
通过理论证明和具体例子的分析，我们可以更好地理解抽屉原理的内涵和应用，为我们在实际问题中的解决提供了有力的工具。
抽屉原理
抽屉原理（又名鸽笼原理）什么是“抽屉原理”？举个简单例子来说明：把3个苹果分放在2个抽屉里，必定有1个抽屉里放了2个或2个以上苹果。
这就是“抽屉原理”。
道理很简单，谁都能理解，很容易用反证法证明。
用数学语言表达如下：抽屉原理一：把多于n个物体(n为正整数），放到n个抽屉里，必定有1个抽屉里放2个或2个以上的物体。
抽屉原理二：把多于m×n个物体（m、n为正整数），放到n个抽屉里，必定有1个抽屉里放m+1个或m+1个以上的物体。
以上原理是德国数学家狄利克雷首先发现的，所以也叫狄利克雷原理。
它是一个重要而又基本的数学原理。
应用它可以解决一些有趣的看起来相当复杂的问题。
举两个简单的例子：1．第四次人口普查表明，我国50岁以下的人口已经超过8亿。
试证明：在我国至少有2人的出生时间相差不超过2秒钟。
解：50年的秒数约等于15.8亿秒，设2秒为1个抽屉，抽屉总数小于8亿个，所以至少有2人的出生时间相差不超过2秒钟。
2．某工厂生产一种天平托盘1000付，要求每付两个托盘的重量相差≤1毫克，而该厂的冲床设备生产的产品重量误差是±5毫克，问该厂用这种冲床设备，至少要生产多少个托盘才能配出1000付符合要求的托盘？解：设10个重量相差为1毫克以内的抽屉：（－5＜－4），（－4＜－3），（－3＜－2）……（+3＜+4），（+4≤+5）。
最差的情况是每一个抽屉都是奇数，那么有10个托盘不能配对，所以只要生产2010个合格托盘，就能配出1000付符合要求的托盘。
以下几道题，请读者自己解：1．证明：在25人中，至少有3人属相相同。
2．6个小朋友，每人至少有1本书，一共有20本书，试证明：至少有2个小朋友有相同数量的书。
（提示：如果每人的书数量都不相同，至少要21本书。
）3．在2行5列的2×5的方格子中，随意用红、绿两种颜色染上，证明：不管怎样染，至少有两列着色完全相同.关于抽屉原理关于整除问题a.任意n+1个自然数中，总有两个自然数的差是n的倍数例1：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。
抽屉原理
抽屉原理抽屉原理又叫鸽笼原理，是德国数学家狄里克雷首先发现的，所以又叫狄里克雷原理。
这类问题似乎都有“存在”、“必有”、“至少有”这样的字眼。
在解决这类问题时，只要求证明存在，一般并不要求指出哪一个，也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来。
一、原理抽屉原理(一)：把多于．．n个的物体任意分放进n个空抽屉里（n是非0自然数），那么一定有．．．．了2个物体。
．．．1个抽屉里至少放进抽屉原理(二)：把多于．．k．n个的物体任意分放进n个空抽屉里（k、n都是非0自然数），那么一定有．．．．了（k+1）个．．．1个抽屉里至少放进物体。
抽屉原理（一）是抽屉原理（二）的特殊情况。
二、解决抽屉原理问题的关键：1、确认什么是被投放的“物体”，什么是“抽屉”；2、正确构造“抽屉”——最重要的关键；3、分清问题属于下述三类问题中的哪一类。
三、抽屉原理问题的三种类型和解法（一）已知被投物体的个数和抽屉数，求某一个抽屉里至少可以放进的物体个数。
方法：要把a个物体放进n个空抽屉，如果a÷n＝b……c （c≠0且c﹤n），那么一定有一个抽屉至少可以放进（b．＋．1．）个物体。
而不是（b+c）个物体。
（二）已知被投物体的个数和某一个抽屉里至少可以放进的物体个数，求抽屉数。
方法：（被投物体的个数-1）÷（某一个抽屉里至少可以放进的物体个数－1）＝n……c (c﹤n)，则n就是所求的抽屉数。
（三）已知抽屉数和某一个抽屉里至少可以放进的物体个数，求被投物体的个数。
方法：抽屉数×（某一个抽屉里至少可以放进的物体个数－1）＋1，就是所求的被投物体的个数。
（2011—04—21）。
抽屉原理
抽屉原理
抽屉原理（也称鸽笼原理：通常把鸽子比做苹果,把笼子比做抽屉)，它是德国数学家狄利克雷首先明确提出来的，它有两个基本原理。
抽屉原理1：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。
抽屉原理2：将多于m×n件物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于(m+1)件。
理解抽屉原理要注意几点：
(1)抽屉原理是讨论物品与抽屉的关系，要求物品数比抽屉数或抽屉数的倍数多，至于多多少，这倒无妨。
(2)“任意放”的意思是不限制把物品放进抽屉里的方法，不规定每个抽屉中都要放物品，即有些抽屉可以是空的，也不限制每个抽屉放物品的个数。
(3)抽屉原理只能用来解决存在性问题，“至少有一个”的意思就是存在，满足要求的抽屉可能有多个，但这里只需保证存在一个达到要求的抽屉就够了。
(4)将a件物品放入n个抽屉中，如果a÷n=m……b，其中b是自然数，那么由抽屉原理2就可得到，至少有一个抽屉中的物品数不少于(m+1)件。
抽屉原理
抽屉原理知识点1. 最不利原则在日常生活和生产中，我们常常会遇到求最少值的问题，解答这类问题，常常需要从最不利的情况出发分析问题，这就是最不利原则。
最不利原则就是从“极端糟糕”的情况开始考虑问题，也就是说：找出最坏的情况是应用最不利原则解题的关键。
2. 抽屉原理抽屉原理I：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。
假定n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到2件，那么每一个抽屉中的物品或者是l 件，或者没有。
这样n个抽屉中所放物品的总数就不会超过n件。
这与有多于n件物品的假设相矛盾。
说明抽屉原理I成立。
抽屉原理Ⅱ：将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1件。
假定这n个抽屉中，每一个抽屉中的物品都不到(m十1)件，即每个抽屉里的物品不多于m件，这样n个抽屉中可放物品的总数就不会超过m×n件。
这与多于m×n件物品的假设相矛盾。
说明原来的假设不成立。
所以抽屉原理Ⅱ成立。
运用抽屉原理解题的步骤(1)确定什么作为“抽屉”；(2)把什么当作“物品”；(3)如果满足“物品”的数量多于“抽屉”的个数，则可以根据抽屉原理得出结论。
说明：对于有些问题，同样可以运用最不利原则解答。
典型例题例1 橱柜里有木筷子6根，竹筷子8根，从中最少摸出多少根筷子，才能保证有两双不同的筷子?提示“有两双不同的筷子”，实际上就是指木筷子、竹筷子各一双，即起码要有2+2＝4(根)。
题目要求“保证有两双不同的筷子”，只摸出4根筷子是保证不了的。
从最坏的情况来考虑，一个人先摸出8根筷子，可能都是竹筷子，实际只满足了有一双筷子的要求，那么再摸2根，必然出现一双木筷子，合起来就是10根筷子。
这就是所说的“最不利情况”。
解由于先摸出8根筷子，都是竹筷子，只满足两双不同筷子要求的一部分，是最坏的情况，再摸出2根，必有一双木筷子出现。
8+2＝10(根)，所以，从中最少摸出l0根筷子，才能保证有两双不同的筷子。
抽屉原理
抽屉原理（一）一．基本原理抽屉原理一：把m 个元素分成n 类个则至少有一类有⎥⎦⎤⎢⎣⎡>n m n m ),(．抽屉原理二：把无穷多个元素分成有限类，则至少有一类包含无穷多个元素．二．实例精选１．有10人参加某次会议，每一位代表至少认识其余９位中的一位，证明：这１０人中至少有两人认识的人数相等．２．在前2189个正整数中任取８个数，求证：存在两个数，它们之间的比值在]3,31[内．３．已知整数{}1,0,1,,,,,,,,10211021-∈i x x x x a a a 使得对列证明：存在一个非零数 ， 和式10102211x a x a x a +++ 能被1001整除．４．任意给定正整数m ，求证：一定有m 的某一整数倍，它完全由０和１两数字组成．５．设n a a a n 是,,,21 个任意给定的整数，求证：其中一定可以找到紧连在一起的若干个数，使得它们的和可被n 整除．６．任意给定１０个自然数，试证明：可以用减、乘两种运算把它们适当连起来，其结果能被１８９０整除．７．（１）任意１００个整数，求证一定可以从中找出若干个整数，使得它们的和被100整除； （２）证明：从任意200个整数中，一定可以找出１００个数，它们的和能被１００整除．８．对于n+1个不同的自然数，如果每一个数都小于2n ，那么从中选出三个数，使其中两个数之和等于第三个数．９．设集合{}证明：,2,,3,2,1n A =（１）若Ｂ是Ａ的任一n+1阶子集，Ｂ中一定存在两个数是互素的；（２）一个可被另阶子集中存在两个数，的任意1+n A 一个整除．１０．证明：在任意的１１个无穷小数中，一定可以找到两个小数，它们的差或者含有无穷多个数字０或者含有无穷多个数字９．三．练习１．证明任意５２个正整数，一定可以找到两个数a ，b ，使a+b 或b a -被１４０整除．２．从１，４，７，１０，100,97, 这些数中，任取20个不同的整数形成一个集合A ，求证：A 中必有两组不同的数，其和都是104．３．证明：对任何自然数n ，必有其某一整数倍，使之包含9,,2,1,0 中的每一个数字． ４．设有一十进制无穷小数{}为是偶数，是奇数，且n i a a a a a a a A 21321,9,,2,1,0(.0 ∈= 为有理数的个位数，求证：A )2(21>+--n a a n n ．５．已知2n 个自然数满足下列两个条件：n a a a 221,,, .4)2(;21)1(221221n a a a n a a a n n =+++≤≤≤≤≤ 求证：)21(2n i a n i ≤≤必可表示为若干个之和．６．设m 为任一偶数，有m 个正整数，其中每一个均不超过m ，并且所有这些数的和为２m ，求证：一定可以把这m 个正整数分为两组，使得每组中各数之和均为m ．抽屉原理（二）一．基本原理抽屉原理一：把m 个元素分成n 类个则至少有一类有⎥⎦⎤⎢⎣⎡>n m n m ),(．抽屉原理二：把无穷多个元素分成有限类，则至少有一类包含无穷多个元素．二．抽屉的构造方法１．整除性问题：常以剩余类为抽屉；２．集合问题：常以元素的性质划分集合构造抽屉； ３．其它问题：常将状态不同的元素分类构造抽屉．三．例题精选１．平面上有定点Ａ，Ｂ和任意四点4321,,,P P P P ，求证：这四点中一定有两点j i P P , 31|s i n s i n |)(≤∠-∠≠B AP B AP j i j i 使得． 解：将正弦值的范围［０，１］分成三个区间：]1,32[],32,31[],31,0[即可．２．平面上任意５个整点，两两连接线段的中点之中一定有一个整点． 解：５个点的纵横坐标的奇偶性必有两个相同．３．坐标平面上任意给定１３个整点，其中任三点不共线，求证：必有以其中３点为顶点的三角形，其重心是整点．解：横坐标模３的余数为０，１，２，１３个点至少有５个点的横坐标模３同余；这５个点的纵坐标模３的余数为０，１，２各有一个，则取这３个，它们的纵，横坐标的和模３余０；否则，必有３个模３同余．得证．４．设正方形ＡＢＣＤ被９条直线相截，每条都把它分成２个四边形，且两者面积之比都是3:2，证明：至少有３条直线共点．解：与一组对边相交的直线至少有５条，至少有三条过点Ｐ或Ｑ５．在边长为１的正三角形内，任取７个点，其中任意三点不共线，证明：其中必有三点构成的三角形的面积不超过123． 解：关键：６．在边长为１的正方形内（包括边界）任意放１０１个点，任何三点都不共线，证明：总可以找三点，以这三点为顶点的三角形面积不大于1． 解：法一：P ∙Q∙关键：把正方形５０等分，再证明矩形内接三角形面积不超过矩形面积的一半． 法二：直接把正方形分成100个小正方形，逐步减少抽屉个数，经行33次后，必有 一个小正方形中有3个点．７．在直径为５的圆内任意放入１０个点，证明：存在两个点，它们间的距离小于２．关键：3254412225224254<-=⋅⋅⋅-+=AB８．从全世界每个城市各起飞１架飞机，分别落在离它最近的一个城市（若有几个距离一样近，可任选１个）．证明：每个城市降落的飞机一定不会超过６架． 关键：假设降落到Ａ城市的飞机多于６架，以Ａ为中心，以到它较远的Ｂ城的距离作圆，将圆６等分为６ 个区域，则至少有２架落入同一区域， 由DA CA CD ,60或则≤︒≤∠CAD ，故飞机Ｄ 应降落在Ｃ城，而不是Ａ城，矛盾．９．４９个学生解３个问题，每个问题的得分是从０到７的整数，证明存在两个学生Ａ，Ｂ，对每个问题，Ａ的得分都不小于Ｂ的得分．OACBＡＢＣＤ４四．练习１．设点Ｐ是正n 边形的一个内点，证明：该正n 边形存在两个顶点Ａ和Ｂ，使得ππ≤∠<-A P B n)21(．２．平面上任意给定６个点（它们无三点共线），试证明：总能找到三点，使得这三点为顶点的三角形的内角中有不超过︒30的角．３．边长为４的正三角形内任意放入１１个点，求证：其中有两个点，它们之间的距离不超过332． ４．圆上（圆内和边界）任取８个点，则至少有２个点，其距离小于半径．５．半径为１９的圆Ｃ内有６５０个点，证明：存在内半径为２，外半径为３的圆环，它至少盖住其中的１０个点．。
什么是抽屉原理
什么是抽屉原理抽屉原理，又称鸽巢原理，是一种基本的组合数学原理。
它最早由德国数学家德尔·费歇特在19世纪提出，并由意大利数学家拉蒂亚在20世纪初给出了更为精确的表述。
抽屉原理在计算机科学、密码学、概率论等领域都有着广泛的应用。
抽屉原理的核心思想是，如果有n个物品要放到m个抽屉中，且n>m，那么至少有一个抽屉中至少有两个物品。
这个原理的直观解释是，如果有更多的物品要放到较少的抽屉中，那么必然会出现某个抽屉里放不下的情况，从而导致至少有一个抽屉里有多个物品。
抽屉原理的应用非常广泛。
在密码学中，抽屉原理可以用来证明一些密码学算法的安全性，例如生日攻击。
在概率论中，抽屉原理可以用来证明一些概率事件的发生概率。
在计算机科学中，抽屉原理可以用来分析算法的时间复杂度和空间复杂度。
除了上述应用之外，抽屉原理还有一些更加有趣的应用。
例如在生活中，我们经常会遇到这样的情况，一个班级有30个学生，但是只有25个座位，那么根据抽屉原理，至少会有5个学生共用一个座位。
再比如，如果一个国家有1000万人口，但是只有1000个不同的姓氏，那么根据抽屉原理，至少会有10000个人拥有相同的姓氏。
抽屉原理在解决实际问题时，通常需要结合一些其他的数学知识和技巧。
例如在证明某个事件必然发生时，需要通过逻辑推理和数学推导来进行论证。
在计算机科学中，抽屉原理通常与数据结构和算法相结合，用来分析和设计高效的算法。
总之，抽屉原理是一种非常基础但又非常重要的数学原理，它在解决实际问题时有着广泛的应用。
通过理解和掌握抽屉原理，我们可以更好地理解和应用数学知识，提高解决实际问题的能力。
希望本文对抽屉原理有所帮助，谢谢阅读。
第10讲 抽屉原理
第10讲 抽屉原理抽屉原理又叫鸽笼原理、狄里克雷( P. G. Dirchlet,1805～1895,德国)原理、重叠原理、鞋盒原理. 这一最简单的思维方式在解题过程中却可以演变出很多奇妙的变化和颇具匠心的运用. 抽屉原理常常结合几何、整除、数列和染色等问题出现,抽屉原理I ：把1+n 件东西任意放入n 只抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两件东西。
抽屉原理II ：把m件东西放入n 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里至少有⎥⎦⎤⎢⎣⎡n m 件东西。
抽屉原理III ：如果有无穷件东西，把它们放在有限多个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含无穷件东西。
应用抽屉原理解题，关键在于构造抽屉。
构造抽屉的常见方法有：图形分割、区间划分、整数分类（剩余类分类、表达式分类等）、坐标分类、染色分类等等，下面举例说明。
A 类例题例1 如图，分别标有1到8的两组滚珠均匀放在内外两个圆环上，开始时相对的滚珠所标数字都不相同，当两个圆环按不同方向转动时，必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对．分析 转动一周形成7个内外两环两对数字相同的时刻，以此构造抽屉。
证明 内外两个圆环转动可把一个看成是相对静止的，只有一个外环在转动．当外环转动一周后，每个滚珠都会有一次内环上标有相同数字的滚珠相对的时刻，这样的时刻将出现8次．但一开始没有标有相同数字的滚珠相对，所以外环转动一周的过程中最多出现7个时刻内外标有相同数字的滚珠相对，故必有一个时刻内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对．说明 转动一周内外两环两对的8个时刻排除显然不合题意的初始时刻是本题的突破口。
例2 7月份的天热得人都不想工作，只想呆在有空调的房间里．可小张却没有办法休假，因为他是一个空调修理工，为了让更多人好好休息，他只能放弃自己的休息．在过去的7月份里，小张每天至少修理了一台空调．由于技术过硬，每一台空调都能在当天修理好．8月1日结算的时候，大家发现小张在7月份一共修理了56台空调．求证：存在连续的若干天（也可以是1天），在这些天里，小张恰好修理了5台空调． 分析 本题的难点在于将题中结论转化为抽屉原理的数学模型。
抽屉原理
抽屉原理抽屉原理又称鸽巢原理，最先由德国数学家狄利克雷明确地提出来的。
因此，也称为狄利克雷原理。
原理1:如果把x+k(k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。
原理2:如果把mx+k(x>k≥1）)个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多的元素。
例1：六年级有367名学生,①有没有两个学生的生日是同一天?②至少有多少名同学是在同一个月出生?[分析]①把一年的天数看成抽屉，把学生人数看成元素。
一年最多有366天，把367个元素放到366个抽屉中至少有一个抽屉中有两个元素，就是至少有两个学生的生日是同一天。
②把一年的月份数看成抽屉,把学生数看成元素。
一年有12个月，把367个元素放入12个抽屉中，根据原理2可以求出:367÷12= 30……7，,即至少有31名同学是同一个月出生。
解:①平年有365天，闰年有366天。
把367名同学放入366个抽屉中，至少有一个抽屉里有两个人，因此肯定有两个同学的生日是同一天。
②367÷12=30（个）……73(名))30+1 =31(名)答:肯定有两个同学在同一天出生；至少有31名同学在同一个月出生。
[温馨提示]利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是抽屉，哪些是元素，区分清楚后按照①构造抽屉，指出元素；②把元素放入(或取出)抽屉；③说明理由，得出结论。
练习一：1.37只鸽子飞回6个鸽舍，至少有几只鸽子飞回同一个鸽舍?2.从一副扑克牌(去掉大小王)中任意取出14 支牌，至少有几支是同一个花色? 至少有几支是同一个点数?例2：夏令营组织2000名营员活动,其中有爬山、参观博物馆和到海滩游玩三个项目。
规定每人必须参加一项或两项活动。
那么至少有几名营员参加的活动项目完全相同?[分析]本题的抽屉不是那么明显，因为问的是“至少有几名营员参加的活动项目完全相同”，所以应该把活动项目当成抽屉，营员当成物品。
抽屉原理
抽屉原理一．什么是抽屉原理？实例1：把3个苹果放在两个抽屉里，不论怎样放，“必有一个抽屉里至少放了2个苹果”。
实例2：把七只山雀,任意装入3只鸟笼内，则其中必有一只鸟笼至少装有3只山雀。
上述问题共同点都是在“任意放入”的条件下，得出“必然的结论”，这就是抽屉原理的基本思想二．抽屉原理的几种常见形式原理1。
把m 件物体，任意放在)(m n n <个抽屉里，则其中必有一个抽屉里至少放有两件物体。
原理2。
把)1(≥+k k mn 个物体放进n 个抽屉，则至少有一个抽屉里要放进1+m 个或更多个物体原理3。
把)1(321≥++++k k m m m m n 个物体放入n 个抽屉里，那么或在第一个抽屉里至少放入11+m 个物体，或在第二个抽屉里至少放入12+m 个物体，……，或在第n 个抽屉里至少放入1+n m 个物体。
原理4。
把m 个物体任意放在n 只抽屉里，那么总有一只抽屉里，至多有⎥⎦⎤⎢⎣⎡n m 个物体。
三．构造抽屉的几种常用方法在运用抽屉原理解题时，怎样才能构造出符合条件的抽屉呢？关键要合理地进行分类，无论怎样分类，都应当先确定分类的对象，再确定分类的标准，下面就常见的的设计抽屉的方法介绍如下1．分割图形构造抽屉例1． 在边长为1的正三角形中任意放置五个点，则必有两点，它们之间的距离不超过21。
分析：在正三角形内（包括边界）任意两点间的距都不超过其边长（其它多边形无此性质），根据这个性质，如果能把原来正三角形划分为四个边长为21的正三角形即可 解：设正三角形ABC 边长为1，连接三边中点DE 、EF 、FD ，则构成四个边长为21的小正三角形，任意放置五个点，依据抽屉原理，至少在一个小正三角形内（包括边界）不少于两点，它们之间的距离不大于小正三角形的边长。
即证。
例2． 在一个边长为1的正方形内任意给定9点，求证：在以这些点为顶点的各个三角形中，必有一个三角形，它的面积不大于81。
分析：首先要考虑这个正方形需要分割几块，才能保证在某一块里至少有3个点，根据抽屉原理319=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡k ，可知,4=k 这就是说，把正方形分割成4块， 证明：将正方形分成四个面积为41的小正方形，根据抽屉原理2，至少有一个小正方形EFGH 所含（在内部或周界上）的给定点不少于3149=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡个，设为A 、B 、C ，显然，若A 、B 、C共线，则命题成立，如果它们不共线，总可以用如图的方法将ABC ∆部分，那么212121==+≤+=∆∆∆EFGH MFGN EMNH CBD ABD ABC S S S S S S例3． 把93⨯的矩形分成27个单位小方格，将每个小方格任意涂上红色或蓝色。
小学六年级抽屉原理
抽屉原理，即鸽笼原理，是一种常见的组合数学原理。它有广泛的应用范围， 在日常生活中也能找到很多实例来说明。
什么是抽屉原理？
定义
抽屉原理，也称鸽笼原理，指将多个物体放入较少的位置时，必然会出现至少一个位置有多 个物体。
来历
抽屉原理的名称源于一种著名的推理谬误，即"一个房间里至少有两个人的生日相同"。
应用范围
抽屉原理在数学、计算机科学、密码学等领域有广子时，至少有一种 颜色的袜子会出现多个。
信箱
当有多个人要放信时，必然会有 一个信箱收到多封信。
彩色抽屉
当你有多个物体要放入有限的彩 色抽屉时，必然会有至少一个抽 屉颜色重复。
抽屉原理的意义和作用
1 组合数学的基础
2
个班级选修了相同的课程。
在一个较大的人群中，至少会有两人生
日相同的概率非常高。
3
专业分配
在一个大学里，选择了相同专业的学生 必定分配到同一学院。
结论和总结
抽屉原理是一种重要的数学原理，具有广泛的应用范围。通过抽屉原理，我 们能更好地理解和解决许多实际问题。
抽屉原理是组合数学中的 基本原理，为解决组合问 题提供了有力的工具。
2 问题求解灵感
抽屉原理常常启发人们从 不同角度思考和解决实际 问题。
3 实用性
抽屉原理的应用在我们的 日常生活中随处可见，帮 助我们更好地理解和处理 事物。
抽屉原理的实际问题解决
1
选课班级
在一个学校的多个班级中，至少会有一
生日相同
什么是抽屉原理
什么是抽屉原理学习总结一：什么是抽屉原理？（1）举例桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉能够放一个，有的能够放两个，有的能够放五个，但最终我们会发现至少我们能够找到一个抽屉里面至少放两个苹果。
（2）定义一般状况下，把n＋1或多于n＋1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。
我们称这种现象为抽屉原理。
学习总结二：抽屉原理是什么桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。
这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。
抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就能够代表一个元素，假如有n+1个元素放到n个集合中去，其中必定有一个集合里至少有两个元素。
”抽屉原理有时也被称为鸽巢原理。
它是组合数学中一个重要的原理。
第一抽屉原理原理1：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。
证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n×1，而不是题设的n+k（k≥1），故不可能。
原理2：把多于mn（m乘以n）（n不为0）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于（m+1）的物体。
证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体，那么n个抽屉至多放进mn个物体，与题设不符，故不可能。
原理3：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。
原理1、2、3都是第一抽屉原理的表述。
第二抽屉原理把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体（例如，将3×5-1=14个物体放入5个抽屉中，则必定有一个抽屉中的物体数少于等于3-1=2）。
在上方的第一个结论中，由于一年最多有366天，因此在367人中至少有2人出生在同月同日。
这相当于把367个东西放入366个抽屉，至少有2个东西在同一抽屉里。
在第二个结论中，不妨想象将5双手套分别编号，即号码为1，2，。
抽屉原理
抽屉原理内容提要：第一抽屉原理：把（mn+1）个物体放入n 个抽屉中，其中必有一个抽屉中至少有（m+1）个物体。
第二抽屉原理：把（mn －1）个物体放入n 个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m —1）个物体。
（1）如果用{}n m 表示不小于n m 的最小整数，例如{37＝3，{}236= 。
那么抽屉原则可定义为：m 个元素分成n 个集合（m 、n 为正整数m>n ）,则至少有一个集合里元素不少于{}n m 个。
（2）根据{}n m 的定义，己知m 、n 可求{}nm ； 己知{}n m ，则可求n m 的范围，例如己知{}n m ＝3，那么2＜nm ≤3；己知{}3x ＝2，则 1＜3x ≤2，即3＜x ≤6，x 有最小整数值4。
例题：例1某校有学生2000人，问至少有几个学生生日是同一天？分析：我们把2000名学生看作是苹果，一年365天（闰年366天）看作是抽屉，即把m （2000）个元素，分成n(366)个集合，至少有一个集合的元素不少于{n m个 解：∵=3662000536617 ∴{}3662000＝6 答：至少有6名学生的生日是同一天例2.从1到10这十个自然数中，任意取出6个数，其中至少有两个是倍数关系，试说明这是为什么。
解：我们把1到10的奇数及它们的倍数放在同一集合里，则可分为5个集合，它们是：｛1，2，4，8，｝，｛3，6，｝，｛5，10｝，｛7｝，｛9｝。
∵要在5个集合里取出6个数，∴至少有两个是在同一集合，而在同一集合里的任意两个数都是倍数关系。
（本题的关键是划分集合，想一想为什么9不能放在3和6的集合里）。
例3．从1-100的自然数中，任意取出51个数，证明其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。
分析：本题似乎茫无头绪，从何入手？其关键何在？其实就在“两个数”，其中一个是另一个的整数倍。
我们要构造“抽屉”，使得每个抽屉里任取两个数，都有一个是另一个的整数倍，这只有把公比是正整数的整个等比数列都放进去同一个抽屉才行，这里用得到一个自然数分类的基本知识：任何一个正整数都可以表示成一个奇数与2的方幂的积，即若m ∈N+,K ∈N+，n ∈N,则m=(2k-1)·2n ，并且这种表示方式是唯一的，如1=1×2°，2=1×21，3=3×2°，…… 证明：因为任何一个正整数都能表示成一个奇数乘2的方幂，并且这种表示方法是唯一的，所以我们可把1-100的正整数分成如下50个抽屉（因为1-100中共有50个奇数）：（1）{1，1×2，1×22，1×23，1×24，1×25，1×26}；（2）{3，3×2，3×22，3×23，3×24，3×25}；（3）{5，5×2，5×22，5×23，5×24}；（4）{7，7×2，7×22，7×23}；（5）{9，9×2，9×22，9×23}；（6）{11，11×2，11×22，11×23}；……（25）{49，49×2}；（26）{51}；…… （50）{99}。
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抽屉原理：
学习目标：
1、经历探究“抽屉原理”的过程，初步了解“抽屉原理”。
2、会利用抽屉原理解决实际问题。
3、通过“抽屉原理”的灵活运用感受数学的魅力。
重点：灵活运用“抽屉原理”解决实际问题。
难点：理解“抽屉原理”。
思考：将4枝铅笔放进3个文具盒中，有几种方法？
抽屉原理一
（1）把4个铅笔放进3个文具盒中，总有1个文具盒中至少有2枝铅笔，同理，把5枝铅笔放进4个文具盒中，总有一个文具盒中至少放进2枝铅笔……. 得出：只要放的铅笔数比文具盒的数量多1，就总有一个文具盒中至少放进2枝铅笔。
（2）如果放的铅笔数比文具盒的数量多2，也是总有一个文具盒中至少放进2枝铅笔。
如果放的铅笔数比文具盒的数量多3，也是总有一个文具盒中至少放进2枝铅笔。
………
针对性练习：
金星小学六年级有30名学生是2月份出生的，所以六年级至少有2名学生的生日是在2月份的同一天，为什么？
抽屉原理二：
把5本书平均放在2个抽屉里，不管怎样放，总有一个抽屉至少放进3本书。
为什么？如果一共有7本书怎样呢？9本书呢？
过程讲解：
（2）用假设法证明：
把5本书平均分成2分，5÷2=2……1，假设每隔抽屉放进2本书，还剩1本，把剩下的这一本书放进任何一个抽屉中，该抽屉中就有3本书了。
由此可以证明，把5本书放进2个抽屉中，不管怎样放，总有一个抽屉中至少有3本书。
用上面的方法分别证明把7本书和9本书放进2个抽屉中会怎样。
针对性练习：
1、因为11÷3=3……2，所以把11本书放进3个抽屉中，总有一个抽屉至少放
5本书。
（）
2、大风车幼儿园大班有25个小朋友，班里有60件玩具，若把这些玩具全部分
给班里的小朋友，会有人得到3件或者3件以上的玩具吗？
3、学校图书馆有科普读物、故事书、连环画三种图书，每名学生从中任意借阅
2本，那么至少要有（）名学生借阅才能保证其中一定有2个人所借阅的2本图书是完全一样的。
4、王老师借来了历史、文艺和科普三种书若干本．每个同学从中任意借一本或两本，那么至少要（）同学借阅才能保证一定有两人借的图书一样。
5．某班有41名学生，班里要建立一个小书库，同学们可以任意借阅，小书库中至少要有（）本书，才能保证有一名同学一次至少能借阅到2本书．
知识点3：用“抽屉原理”解决简单的实际问题
例题：盒子里有同样大小的红球和篮球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出几个球？
把实际问题转化为“抽屉问题”解答：
（1）把“摸球问题”与“抽屉问题”练习起来：即把红、蓝两种颜色看做2个“抽屉”（同种颜色就是同一个抽屉），要摸出的球看做是分放的物体。
（2）根据抽屉原理一，只要分放的物体个数比抽屉数多，就能保证一定有一个抽屉至少有2个物体，可以推断出“要保证至少要一个抽屉放进去2个球，分放的球的个数至少比抽屉数多1”。
因此，要从两种颜色的球中保证摸出两个同色的，至少要摸出3个球。
考试真题：
1、小东玩掷骰子游戏，要保证掷出的骰子总数至少有2次相同，小东至少要掷
（）次骰子。
2、李阿姨给幼儿园的孩子买衣服，有红、黄、白三种颜色，结果总是至少有2个孩子的衣服颜色一样，她至少给（）个孩子买衣服。
3、赵叔叔要给房间的四面墙壁上涂上不同的颜色，结果至少有两面的颜色是一致，颜料的颜色最多有（）种。
4、把25个玻璃球最多放进（）个盒子里，才能保证至少有一个盒子里有5个玻璃球。
5、布袋里有4中不同颜色的小球若干个，最少取出（）个小球就能保证其中一定有3个小球的颜色相同。
6、有49个学生共同参加体操表演，其中最小的有8岁，最大的有11岁，参加体操表演的学生中是否一定有2个学生是童年同月出生的？
7、把280张卡片分给若干个学生，每人都要分到，但都不得超过10张，试说明：至少有6名学生得到的卡片数是一样的。
作业：
1、有12个小朋友，阿姨至少要拿（）只苹果分给小朋友，方能保证至少有一个小朋友能得到两只或两只以上的苹果。
2、请说明：一个班里有59名同学，那么其中至少有两个同学在同一个星期里过生日。
3、请说明：在1米长的线段上随意点上5个点，那么至少有两个点的距离小于25厘米。
4、有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋里随意摸出3枚棋子。
证明这5个人中至少有两个小朋友摸出棋子的颜色的配组是一样的。
6、学校体育用品仓库里有许多足球，排球和篮球。
现有66名同学来仓库拿球，要求每人至少拿一个球，至多拿2个球。
问:至少有多少同学所拿的球种类是完全一样的？
7、证明在380人中至少有两个人的生日相同。
8、停车场上有60辆客车，各种客车座位数不同，最少有26个座，最多的有44座，这些客车中至少有多少辆车的座位是相同的？
9、篮子里有苹果、梨、桃和橘子四种水果，如果至少每个小朋友都从中任意拿2个水果，那么至少有多少个小朋友，能保证至少有2个小朋友拿的水果完全一样？
10、体育组有足球、篮球和排球，上体育课前，老师让11名同学往操场拿球，每人最多拿2个。
试证明：至少有2个同学拿球的情况完全一样。
11、育英小学六年级的同学要从10名候选人中投票选举三好学生，规定每名同学必须从这10人中任选2名。
问：至少有多少人参加投票，才能保证必有不少于5名同学投了相同2个候选人的票？。