2020届高考数学(理科)总复习课时跟踪练(五十三)直线的交点坐标与距离公式 (1)
两条直线的交点坐标与距离公式
l1上一点，设其关于l的对称点为（x，y），则
{ x + 0 - y - 2-1=0，
22
y +2 ×1
=-1,
x
{ x=-1，
得
即（1，0），
y=-1.
（-1，-1）为l2上两点，可得l2的方程为x-2y-1=0.
故应选B.）
.
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考点四 直线系方程的应用 求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点,且垂 直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程.
两直线的交点坐标与 距离公式
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一、两直线的交点
已知两条直线l1:A1x+B1y+C1=0与 l2:A2x+B2y+C2=0的交点坐标对应的是方程组
{A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0
的解，
.
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其中①当A1B2-A2B1≠0时,两条直线 相交于一点 ， ② 当条A直1线B2无-A交2B点1=,0即且A1C2-A2平C1行≠，0③（当或AB11BC22--AB22BC11=≠00且）A时1,C两2A即2C1=0(或重B合1C. 2-B2C1=0)时,两条直线有无数个公共点,
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＊对应演练＊
求过点P（-1，2）且与点A（2，3）和B（-4，5）距离 相等的直线l的方程.
解法一:设直线l的方程为y-2=k(x+1),
即kx-y+k+2=0.由题意知
| 2k - 3 + k + 2 | =
| -4k - 5 + k + 2 |
高一数学直线的交点坐标与距离公式课时训练
高一数学直线的交点坐标与距离公式课时训练数学是应用符号言语研讨数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。
查字典数学网为大家引荐了高一数学直线的交点坐标与距离公式课时训练，请大家细心阅读，希望你喜欢。
一、选择题1、M(sin, cos), N(cos, sin)，直线l: xcos+ysin+p=0 (p-1)，假定M, N到l的距离区分为m, n，那么(A)mn (B)mn (C)mn (D)以上都不对2、A, B, C为三角形的三个内角，它们的对边长区分为a, b, c，直线xsinA+ysinB+sinC=0到原点的距离大于1，那么此三角形为(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)不能确定3、过两直线x-y+1=0和x+y-=0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有(A)0条 (B)1条 (C)2条 (D)3条4、与直线2x+3y-6=0关于点(1, -1)对称的直线是(A)3x-2y+2=0 (B)2x+3y+7=0 (C)3x-2y-12=0 (D)2x+3y+8=05、假定直线y=ax+2与直线y=3x-b关于直线y=x对称，那么(A)a=, b=6 (B)a=, b=-2 (C)a=3, b=-2 (D)a=3, b=66、不论m取何值，直线(2m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过的定点的坐标是(A)(3, 2) (B)(2, -3) (C)(2, 3) (D)(-2, 3)7、函数f(x)=x+1，那么与曲线y=f(x+1)关于直线l: x+1=0成轴对称图形的曲线方程是(A)y=-x (B)y=-x-4 (C)y=-x+2 (D)y=x8、方程2x2+9xy+10y2-7x-15y+k=0表示两条直线，那么过这两直线的交点且与x-y+2=0垂直的直线方程是(A)x+y-1=0 (B)x+y-2=0 (C)x+y+1=0 (D)x+y+2=0二、填空题9、假定点P在直线x+3y=0上，且它到原点的距离与到直线x+3y-2=0的距离相等，那么点P的坐标是 .10、假定两平行直线3x-2y-1=0和6x+ay+c=0之间的距离是，那么的值为 .11、直线y=2x+1关于直线y+2=0对称的直线方程是 .12、直线l过点A(0, 1)，且点B(2, -1)到l的距离是点C(1, 2)到l的距离的2倍，那么直线l的方程是 .13、11.给出以下五个命题：① 过点(-1, 2)的直线方程一定可以表示为y-2=k(x+1);② 过点(-1, 2)且在x轴、y轴截距相等的的直线方程是x+y-1=0;③ 过点M(-1, 2)且与直线l: Ax+By+C=0(AB0)垂直的直线方程是B(x+1)+A(y-2)=0;④ 设点M(-1, 2)不在直线l:Ax+By+C=0(AB0)上，那么过点M且与l平行的直线方程是A(x+1)+B(y-2)=0;⑤ 点P(-1, 2)到直线ax+y+a2+a=0的距离不小于2，以上命题中，正确的序号是。
精品高三复习练习题：直线的交点坐标与距离公式
第三节 直线的交点坐标与距离公式强化训练当堂巩固1.如果点P 到点1(0)2A ,,B(11,32)及直线12x =-的距离都相等,那么满足条件的点P 有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个答案:B2.已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a 等于( )A.2B.2-C.21-D.21+ 答案:C解析:由22231121(1)a a d |-+||+|===,+-解得a=21-. 2.直线nx-y=n-1和直线ny-x=2n 的交点在第二象限,则实数n 的取值范围是( ) A.0<n<1B.n>1或12n <C.102n <<D.12n > 答案:C解析:解方程组 12nx y n ny x n -=-,⎧⎨-=,⎩ 得2111n n x y n n -=,=--. ∴01n n <-且2101n n ->,-解得102n <<. 3.过点P(1,2)且与原点O 距离最大的直线l 的方程为( )A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0D.3x+y-5=0答案:A解析:221OP k ==,距离最大时,直线l OP ⊥,则y-2=1(1)2x --,即x+2y-5=0. 4.直线2x-y-4=0上有一点P,它与两定点A(4,-1),B(3,4)的距离之差最大为 .答案:32解析:找A 关于l 的对称点A′,A′B 与直线l 的交点即为所求的P 点.设A′(a,b),则12144124022b a a b +⎧⨯=-,⎪-⎨+-⎪⨯--=,⎩ 解得 01a b =,⎧⎨=.⎩ 所以线段|A′B|=32.5.求过直线1l :10133y x =-+和2l :3x-y=0的交点并且与原点相距为1的直线l 的方程. 解:设所求直线l 的方程为310(3y x x λ+-+-y)=0,整理得(31)(3)100x y λλ++--=.由点到直线的距离公式可知22101(31)(3)d λλ,==,++-解得3λ=±. 代入所设,得到直线l 的方程为x=1或4x-3y+5=0.课后作业巩固提升见课后作业B题组一 两条直线的交点问题1.直线3x+5y-1=0与4x+3y-5=0的交点是( )A.(-2,1)B.(-3,2)C.(2,-1)D.(3,-2)答案:C2.经过直线2x-y+4=0与x-y+5=0的交点,且垂直于直线x-2y=0的直线的方程是( )A.2x+y-8=0B.2x-y-8=0C.2x+y+8=0D.2x-y+8=0答案:A题组二 有关直线的对称问题3.直线l :Ax+By+C=0关于点M(a,b)对称的直线方程为 .答案:Ax+By-2Aa-2Bb-C=0解析:在对称直线上任取一点P(x,y),则点P 关于点M 对称的点P′(x′,y′)必在直线l 上.由 22x x a y y b '+=,⎧⎨'+=,⎩得P′(2a -x,2b-y), ∴A(2a-x)+B(2b-y)+C=0,即Ax+By-2Aa-2Bb-C=0.4.已知点A 的坐标为(-4,4),直线l 的方程为3x+y-2=0,求:(1)点A 关于直线l 的对称点A′的坐标;(2)直线l 关于点A 的对称直线l ′的方程.解:(1)设点A′的坐标为(x′,y′).因为点A 与A′关于直线l 对称,所以AA′l ⊥,且AA′的中点在l 上,而直线l 的斜率是-3,所以 13AA k '=. 又因为 44AA y k x ''-=,'+所以4143y x '-='+. 又直线l 的方程为3x+y-2=0,AA′的中点坐标为44()22y x '+'-,, 所以4432022y x '+'-⋅+-=. 由以上两方程解得x′=2,y′=6.所以A′点的坐标为(2,6).(2)关于点A 对称的两直线l 与l′互相平行,于是可设l ′的方程为3x+y+c=0.在直线l 上任取一点M(0,2),其关于点A 对称的点为M′(x′,y′),于是M′点在l ′上,且MM′的中点为点A, 由此得02x '+=2442y '+-,=,即x′=-8,y′=6. 于是有M′(-8,6).因为M′点在l′上,所以3(8)6c ⨯-++=0,所以c=18.故直线l′的方程为3x+y+18=0.题组三 有关距离问题5.已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a 的值等于( ) A.79 B.13- C.79-或13- D.79或13答案:C解析:=解得a=13-或79a =-. 6.若动点1122()()A x y B x y ,,,分别在直线1l :x+y-7=0和2l :x+y-5=0上移动,则线段AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A. B. C. D.答案:C解析:由题意知,M 点的轨迹为平行于直线1l 、2l 且到1l 、2l 距离相等的直线l,其方程为x+y-6=0,∴M 到原点的距离的最小值为6322d ==. 7.点(1,cos )θ到直线xsin y θ+cos 10(θθ-=∈R )的距离d 的取值范围是 . 答案:[0,2]解析:由题意知222sin 1cos sin cos d θθθθ|+-|==+|sin θ-sin 2θ|=|(sin θ-211)24-|, 结合图象可知:02d ≤≤. 题组四 综合问题8.已知直线12l l ,的方程分别为1l :11120A x B y C l ++=,:2220A x B y C ++=,且1l 与2l 只有一个公共点,则( )A.11220A B A B -≠B.12210A B A B -≠C.1122A B A B ≠D.1212A A B B ≠ 答案:B9.点P(-1,3)到直线l:y=k(x-2)的距离的最大值等于( )A.2B.3C.32D.23答案:C解析:直线l :y=k(x-2)的方程化为kx-y-2k=0,所以点P(-1,3)到该直线的距离为222231212331111k k k k d k k k |+|++===+,+++ 由于2211k k ≤,+所以32d ≤, 即距离的最大值等于32. 10.已知点A(3,1),在直线x-y=0和y=0上分别有点M 和N 使△AMN 的周长最短,求点M 、N 的坐标.解:A(3,1)关于y=x 的对称点1(13)(A A ,,3,1)关于y=0的对称点2(31)A ,-,△AMN 的周长最小值为|12A A |,|12A A |1225A A =,的方程为2x+y-5=0.12A A 与x-y=0的交点为M,由 2500x y x y +-=⎧⎨-=⎩ 55()33M ⇒,,12A A 与y=0的交点N,由 2500x y y +-=⎧⎨=⎩ 5(0)2N ⇒,. 11.已知n 条直线:1l :1102x y C C -+=,=且2l :x-y+230C l =,:30x y C -+=,…n l ,: x y -+0n C =,其中123C C C <<<…n C <,这n 条平行直线中,每相邻两条之间的距离顺次为2,3,4,…,n.(1)求n C ;(2)求0n x y C -+=与x 轴、y 轴围成的图形的面积. 解:(1)由已知条件可得1l :20x y -+=,则原点O 到1l 的距离11d =, 由平行直线间的距离可得原点O 到n l 的距离n d 为1+2+…(1)2n n n ++=, ∵2n n C d =,∴2(1)2n n n C ⋅+=. (2)设直线n l :0n x y C -+=交x 轴于点M,交y 轴于点N,则△OMN 的面积12OMN S =V |OM|⋅|ON|222(1)1()24n n n C +==. 12.已知两直线1110a x b y ++=和2210a x b y ++=的交点为P(2,3),求过两点1122()()A a b B a b ,,,的直线方程. 解法一:∵P(2,3)是两条直线的交点,∴ 112223102310a b a b ++=,⎧⎨++=.⎩ 两式相减,得12122()3()0a a b b -+-=,且12a a ≠. ∴121223b b a a -=--. 故所求直线的方程为12111122()()3b b y b x a x a a a --=-=--,- 即1123(32)0x y b a +-+=.又11231a b +=-, ∴2x+3y+1=0.故过1122()()A a b B a b ,,,两点的直线方程为2x+3y+1=0. 解法二:∵点P 是已知两直线的交点, ∴ 112223102310a b a b ++=,⎧⎨++=.⎩ 可见1122()()A a b B a b ,,,都满足方程2x+3y+1=0, 故过A 、B 两点的直线方程为2x+3y+1=0.。
2020高考数学复习 同步练习 第二节 直线的交点与距离公式
第二节直线的交点与距离公式A组 2021高|考针对性练习之根底题型1.点A( -1,0),B(cos α,sinα),且|AB| =,那么直线AB的方程为( )A.y =x +或y = -x -B.y =x +或y = -x -C.y =x +1或y = -x -1D.y =x +或y = -x -2.如果平面直角坐标系内的两点A(a -1,a +1),B(a,a)关于直线l对称,那么直线l的方程为( )A.x -y +1 =0B.x +y +1 =0C.x -y -1 =0D.x +y -1 =03.直线2x -y +3 =0关于直线x -y +2 =0对称的直线方程是( )A.x -2y +3 =0B.x -2y -3 =0C.x +2y +1 =0D.x +2y -1 =04.假设两平行直线l1:x -2y +m =0(m>0)与l2:x +ny -3 =0之间的距离是,那么m +n =( )A.0B.1C. -1D.25.直线l过两直线7x +5y -24 =0和x -y =0的交点,且点(5,1)到直线l的距离为,那么直线l的方程是( )A.3x +y +4 =0B.3x -y +4 =0C.3x -y -4 =0D.x -3y -4 =06.点A( -3, -4),B(6,3)到直线l:ax +y +1 =0的距离相等,那么实数a的值为.7.经过两直线l1:x -2y +4 =0和l2:x +y -2 =0的交点P,且与直线l3:3x -4y +5 =0垂直的直线l的方程为.8.假设直线l与两直线y =1,x -y -7 =0分别交于M,N两点,且MN的中点是P(1, -1),那么直线l的斜率是.9.△ABC的一个顶点为A(5,1),AB边上的中线CM所在直线的方程为2x -y -5 =0,AC边上的高BH所在直线的方程为x -2y -5 =0,求直线BC的方程.10.光线从点A( -4, -2)射出,到直线y =x上的B点后被直线y =x反射到y轴上的C点,又被y 轴反射,这时反射光线恰好过点D( -1,6),求BC所在的直线方程.B组2021高|考针对性练习之提高题型11.假设动点P1(x1,y1),P2(x2,y2)分别在直线l1:x -y -5 =0,l2:x -y -15 =0上移动,那么P1P2的中点P到原点的距离的最|||小值是( )A. B.5 C. D.1512.A,B两点分别在两条互相垂直的直线2x -y =0和x +ay =0上,且AB线段的中点为P,那么线段AB的长为( )A.11B.10C.9D.813.设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为3,且|PA| =|PB|,假设直线PA的方程为x -y +1 =0,那么直线PB的方程是( )A.x +y -5 =0B.2x -y -1 =0C.x -2y +4 =0D.x +y -7 =014.直线l过点P(3,4),且点A( -2,2),B(4, -2)到直线l的距离相等,那么直线l的方程为( )A.2x +3y -18 =0B.2x -y -2 =0C.3x -2y +18 =0或x +2y +2 =0D.2x +3y -18 =0或2x -y -2 =015.如图,A( -2,0),B(2,0),C(0,2),E( -1,0),F(1,0),一束光线从F点出发射到BC上的D点,经BC反射后,再经AC反射,落到线段AE上(不含端点),那么直线FD的斜率的取值范围为.16.正方形的中|心为点C( -1,0),一条边所在的直线方程是x +3y -5 =0,求其他三边所在直线的方程.答案全解全析AA组2021高|考针对性练习之根底题型1.B 因为|AB| ===,所以cos α =,sin α =±,所以k AB=±,故直线AB的方程为y =±(x +1),即y =x +或y = -x -,选B.2.A 因为直线AB的斜率为= -1,所以直线l的斜率为1,设直线l的方程为y =x +b,由题意知直线l过点,所以=+b,即b =1,所以直线l的方程为y =x +1,即x -y +1 =0.应选A.3.A 设所求直线上任意一点P(x,y),P关于x -y +2 =0的对称点为P'(x0,y0),由得由点P'(x0,y0)在直线2x -y +3 =0上,∴2(y -2) -(x +2) +3 =0,即x -2y +3 =0.4.A ∵两平行直线l1:x -2y +m =0(m>0)与l2:x +ny -3 =0之间的距离为,∴∴n = -2,m =2(负值舍去).∴m +n =0.5.C 由得交点坐标为(2,2),当直线l的斜率不存在时,易知不满足题意.∴直线l的斜率存在.设直线l的方程为y -2 =k(x -2),即kx -y +2 -2k =0,∵点(5,1)到直线l的距离为,∴=,解得k =3.∴直线l的方程为3x -y -4 =0.6.答案-或-解析由题意及点到直线的距离公式得=,解得a = -或-.7.答案4x +3y -6 =0解析解法一:由方程组得即P(0,2).∵l⊥l3,∴直线l的斜率k = -,∴直线l的方程为y -2 = -x,即4x +3y -6 =0.解法二:∵直线l过直线l1和l2的交点,∴可设直线l的方程为x -2y +4 +λ(x +y -2) =0,即(1 +λ)x +(λ -2)y +4 -2λ =0.∵l与l3垂直,∴3(1 +λ) +( -4)(λ -2) =0,∴λ =11,∴直线l的方程为12x +9y -18 =0,即4x +3y -6 =0.8.答案-解析由题意,可设直线l的方程为y =k(x -1) -1(易知直线l的斜率存在),分别与y =1,x -y -7 =0联立可解得M,N.又因为MN的中点是P(1, -1),所以利用中点坐标公式可得k = -.9.解析依题意知k AC= -2,又A(5,1),∴l AC:2x +y -11 =0,由可解得C(4,3).设B(x0,y0),那么AB的中点M的坐标为,代入2x -y -5 =0,得2x0-y0-1 =0,由可解得故B( -1, -3),∴k BC=,∴直线BC的方程为y -3 =(x -4),即6x -5y -9 =0.10.解析作出草图,如图,设A关于直线y =x的对称点为A',D关于y轴的对称点为D',那么易得A'( -2, -4),D'(1,6).由反射角等于入射角易得A'D'所在直线经过点B与C.故BC所在的直线方程为=,即10x -3y +8 =0.B组提升题组11B组2021高|考针对性练习之提高题型高|考针对性练习之提高题型P1P2的中点B组2021高|考针对性练习之提高题型x -y -10 =0,那么原点到直线x -y -10 =0的距离为d ==5.12.B 依题意,a =2,P(0,5),设A(x,2x),B( -2y,y),故解得那么A(4,8),B( -4,2),∴|AB| ==10.13.D 由|PA| =|PB|知点P在AB的垂直平分线上,由点P的横坐标为3,且PA的方程为x -y +1 =0,得P(3,4).直线PA,PB关于直线x =3对称,直线PA上的点(0,1)关于直线x =3的对称点(6,1)在直线PB上,∴直线PB的方程为x +y -7 =0.14.D 依题意知,直线l的斜率存在,故设所求直线方程为y -4 =k(x -3),即kx -y +4 -3k =0,由,得=,∴k =2或k = -.∴直线l的方程为2x -y -2 =0或2x +3y -18 =0.15.答案(4, +∞)解析从特殊位置考虑.如图,∵点A( -2,0)关于直线BC:x +y =2的对称点为A1(2,4),∴=4,又点E( -1,0)关于直线AC:y =x +2的对称点为E1( -2,1),点E1( -2,1)关于直线BC:x +y =2的对称点为E2(1,4),此时直线E2F的斜率不存在,∴k FD>,即k FD∈(4, +∞).16.解析点C到直线x +3y -5 =0的距离d1==.设与直线x +3y -5 =0平行的边所在直线的方程是x +3y +m =0(m≠-5),那么点C到直线x +3y +m =0的距离d2==,解得m = -5(舍去)或m =7,所以与直线x +3y -5 =0平行的边所在直线的方程是x +3y +7 =0.设与x +3y -5 =0垂直的边所在直线的方程是3x -y +n =0,那么点C到直线3x -y +n =0的距离d3==,解得n = -3或n =9,所以与直线x +3y -5 =0垂直的两边所在直线的方程分别是3x -y -3 =0和3x -y +9 =0.。
高考理科数学新课标件直线的交点与距离公式
A、B分别为直线在X轴、Y轴上的截距；C为常数 项，表示直线与坐标原点的距离。
3
特殊情况
当A=0时，直线平行于Y轴；当B=0时，直线平 行于X轴。
直线方程的标准形式
点斜式
y-y1=k(x-x1)，其中(x1,y1)为直线上 一点，k为直线的斜率。
02
斜截式
y=kx+b，其中k为直线的斜率，b为 直线在Y轴上的截距。
利用点到平面的距离公式，计算空间中一 点到给定平面的距离。
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拓展延伸：空间直线与平面的位置关系
空间直线的方程
平面的方程
了解并掌握空间直线的点向式方程和一般 式方程，以及它们之间的转换关系。
熟悉并掌握平面的点法式方程、一般式方 程和截距式方程，以及它们之间的转换关 系。
空间直线与平面的位置关系判断
空间点到平面的距离计算
通过比较直线的方向向量与平面的法向量 之间的关系，判断直线与平面的位置关系 ，如平行、垂直或相交等。
两条平行线间距离公式的几何意义
两条平行线间的距离公式反映了平行 线之间的位置关系，即它们之间的距 离是恒定的，不随点的选取而改变。
掌握该公式有助于加深对平行线性质 的理解，提高解决几何问题的能力。
该公式在解决与平行线相关的几何问 题时具有广泛的应用，如计算两平行 线间的距离、判断点与直线的位置关 系等。
判定方法
若两直线的斜率不相等， 则两直线相交。
重合直线
定义
判定方法
在同一平面内，完全重合的两条直线 叫做重合直线。
若两直线的斜率和截距都相等，则两 直线重合。
性质
重合直线上任意两点间的距离为零， 且重合直线上任意一点都是两直线的 公共点。
直线的交点坐标与距离公式
13.3．1直线的交点坐标第二课时 交点线系【学习目标】1、理解交点线系2、交点线系的应用 【重难点】 1、交点线系 2、交点线系的应用 【学习过程】 复习引入：1、两直线的位置关系如何判定？2、怎样求两直线的交点坐标？3、解下列方程组 （1）⎩⎨⎧=++=-+0220243y x y x （2）⎩⎨⎧=++-=-+0)22(0243y x y x （3）⎩⎨⎧=++=-+0)22(20243y x y x4、由此我们猜想：当λ 变化时，方程()022243=+++-+y x y x λ表示什么图形？图形有何特点？表示直线，都经过同一点M你能找出M 点的坐标吗？()2,2- 该点坐标如何求？ 解方程组知识点一：交点线系一般地，方程 ()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ表示经过直线0:1111=++C y B x A l 和直线0:2222=++C y B x A l 交点（不含2l ）的直线的集合——直线束（简称交点线系）于是，过两条相交直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 交点的直线方程可设为()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（不含2l ），反之形如()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ的方程表示的直线过定点，定点即为1l 与2l 的交点。
例题1：（新课程导学P44例1改编）求经过两条直线042:1=+-y x l ，02:2=-+y x l 交点P ，且满足下列条件的直线l :的方程：（1）l 过点（2,1）； （2）l 与直线0543=+-y x 垂直； （3）l 与直线0543=+-y x 平行；巩固练习1：（课本P109习题3.3第5题）求满足下列条件的直线方程：（1）经过两直线024301032=-+=+-y x y x 和的交点，且垂直于直线0423=+-y x ； （2）经过两直线012082=+-=-+y x y x 和的交点，且平行于直线07-34=-y x ； 知识点二：含参直线过定点例2：两条直线y=kx+2k+1和x+2y-4=0，则y=kx+2k+1恒过点_____；若两直线的交点在第四象限，则k 的取值范围是__________巩固练习2：两条直线()23-+=x k y 和044=-+y x 的交点在第四象限，则k 的取值范围是__________ 【课堂检测】1、（新课程导学P44跟踪训练1-1（2））求经过两条直线02010-32=++=-y x y x 和交点，且与直线013=-+y x 平行的直线方程；2、（新课程导学P45达标检测第4题）当a 取不同值时，直线()()0312=+-++a y a x a 恒过一个定点，这个定点的坐标为 ________【拓展训练】【课堂小结】本节课我们主要学习了交点线系及其应用 【课后作业】作业与检测P88第3、6、7、11题 【课后反思】。
高三数学直线的交点坐标与距离公式
• 当 F 与 B 重合时， F 点坐标为 (2,0) ，由①式
得k＝－2＋
• 当k∈[－2＋ 大值为f(－2＋
，0]时，f(k)递减，f(k)的最 )＝32－16 ；
• 当k∈[－1，－2＋
－ • 在 [－ 2<f(－2＋ ]上递减； ，－2＋
• 2．点到直线距离公式
• 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
为： • 3．两平行线间的距离公式 • 已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：
• 1．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线y ＝x＋m平行，则|AB|的值为( )
•
A． 6 D．不能确定
B.
C．2
•
)时，可证f(k)在[－1，
)上递增，f(－1)＝ .
)＝32－16
【分析点评】
• 本题对直线方程，两点间的距离公式和分段 函数问题进行了综合考查，在考查
• 直线方程时是以折叠为背景，实质是考查对 称问题．
• (1)点与点关于点对称，图形与图形关于点对 称，主要利用中点坐标公式解决． • (2)图形与图形对称问题可转化为点与点对称 解决，对于点与点关于直线x＝0，
B2y＋C2＝0的交点：
• 1．可通过解方程组 若方程组有唯一解，则l1与l2相 • 交；若方程组无解，则直线 l ∥l ；若方 求得，
• 【例 1】 直线 l 被两条直线 l1 ： 4x ＋ y ＋ 3 ＝ 0
和 l2 ： 3x － 5y － 5 ＝ 0 截得的线段的中点为
P(－1,2)，求直线l的方程． • 解 答 ： 解 法 一 ： 设 直 线 l 与 l1 的 交点为 A(x0 ， y0) ，由已知条件，则直线 l 与 l2 的交
直线的交点坐标与距离公式
直线的交点坐标与距离公式在平面几何中，直线是直角坐标系中的基本图形之一、直线的交点坐标和距离公式在解决直线的相关问题时非常有用。
接下来，我将详细介绍直线的交点坐标和距离公式。
1.直线的交点坐标公式：设直线L1的方程为y=k1x+b1，直线L2的方程为y=k2x+b2、若L1和L2有交点，则交点的坐标(x0,y0)满足以下等式：k1x0+b1=k2x0+b2解上述等式可以得到交点的横坐标x0。
将x0带入其中一个直线的方程，可以求得交点的纵坐标y0。
如果两条直线平行，则它们没有交点。
2.直线的距离公式：设点P到直线L的距离为d。
L的一般方程为Ax+By+C=0。
点P的坐标为(x0,y0)。
则点P到直线L的距离d可以由以下公式计算：d=，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)以上就是直线的交点坐标和距离公式的基本内容。
下面我们将通过具体的例子来进一步理解和应用这些公式。
例1：求直线y=2x+3和y=-x+4的交点坐标。
解：将两个方程相等，得到：2x+3=-x+43x=1x=1/3将x=1/3带入其中一个方程，可以求得y的值：y=2*(1/3)+3=7/3因此，这两条直线的交点坐标为(1/3,7/3)。
例2：求点(1,-2)到直线3x-4y+5=0的距离。
解：由于A=3，B=-4，C=5，将这些值代入距离公式中，可以得到：d=，3*1-4*(-2)+5，/√(3^2+(-4)^2)=，3+8+5，/√(9+16)=16/√25=16/5因此，点(1,-2)到直线3x-4y+5=0的距离为16/5通过以上两个例子，我们可以看到直线的交点坐标和距离公式在解决直线相关问题时的重要性。
它们能够帮助我们简单、快速地求解直线的交点和距离，为我们的几何计算提供便利。
除了直线的交点坐标和距离公式，还有其他的直线相关的公式和定理，如直线的斜率公式、两直线垂直的判定等等。
通过深入学习和理解这些公式和定理，我们将能够更好地应用它们解决各种几何问题，提高我们的数学能力。
直线的交点坐标与距离公式
直线的交点坐标与距离公式首先，我们来看两条直线的交点坐标公式。
假设有两条直线L1和L2，它们的方程分别是：L1: ax + by = cL2: dx + ey = f其中a、b、c、d、e、f为已知常数，x和y为未知变量。
为了求解L1和L2的交点坐标(x0,y0)，我们可以通过以下步骤进行计算：1.将L1和L2的方程联立，得到以下方程组：ax + by = cdx + ey = f2.使用消元法或代入法解方程组，求解出x和y的值。
-对于消元法，我们可以通过消去x或y来求解另一个变量。
例如，可以通过将L1的方程乘以e，将L2的方程乘以b，然后将它们相减，得到可解的方程。
-对于代入法，我们可以先求解出一个变量，然后将它代入到另一个方程中求解另一个变量。
3.将求解得到的x和y的值代入L1或L2中，验证它们是否满足直线的方程。
通过上述步骤，我们可以求解出直线L1和L2的交点坐标(x0,y0)。
接下来，我们来看点到直线的距离公式。
假设有一条直线L，它的方程为：L: ax + by + c = 0其中a、b、c为已知常数，x和y为未知变量。
设点P的坐标为(x1,y1)，我们希望求出点P到直线L的距离d。
为了求解点到直线的距离d = ，ax1 + by1 + c，/ √(a^2 + b^2)使用上述公式，我们可以按照以下步骤来计算点到直线的距离：1. 将点P的坐标代入直线L的方程，计算得到ax1 + by1 + c的值。
2.将步骤1中计算得到的值代入到距离公式中，计算得到点P到直线L的距离d。
通过上述步骤，我们可以求解出点P到直线L的距离d。
总结起来，直线的交点坐标与距离公式是数学和几何问题求解的基本工具。
对于直线的交点坐标，我们通过联立直线的方程，并使用消元法或代入法来求解变量的值，从而得到交点的坐标。
对于点到直线的距离，我们使用距离公式，将点的坐标代入直线的方程，并进行运算，最后得到点到直线的距离。
这两个公式广泛应用于解决直线相关的几何和数学问题，例如计算两条直线的交点、判断点是否在直线上以及计算点到直线的最短距离等。
直线的交点坐标及距离公式习题(含答案)
直线的交点坐标与距离公式习题（含答案）一、单选题1．已知 满足时, 的最大值为 ,则直线 过定点（）A ．B ．C ．D ．2．椭圆上的点到直线 的最大距离为( )．A ．B ．C ．D ．3．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知 的顶点 ，若其欧拉线的方程为 ，则顶点 的坐标为（）A ．B ．C ．D ． 4．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k 的值是( ) A ．1 B ．-3 C ．1或 D ．-3或5．已知直线 和 互相平行，则实数m 的取值为（ ） A ．—1或3 B ．—1 C ．—3 D ．1或—36．在空间直角坐标系 中，若点 ， ，点 是点 关于 平面的对称点，则 A ． B ． C ． D ．7．已知直线 与直线 互相平行，则 （） A ．6 B ．7 C ．8 D ．98．已知双曲线 ：的左、右焦点分别为 ， ，以线段 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 ，且 满足，则 的离心率 满足（ ） A ． B ． C ． D ．9．已知点 在直线 上运动，则 的最小值为（） A ．B ．C ．D ．5二、填空题10．已知直线 的倾斜角为，直线 ： ，若 ，则实数 的值为__________． 11．经过点()2,1M 且与直线380x y -+=垂直的直线方程为__________．12．设是函数图象上的动点，当点到直线的距离最小时，____. 13．与直线平行，并且距离等于3的直线方程是__________．14．已知直线和直线互相垂直，则实数的值为__________；15．直线与直线的距离是________．16．已知直线，直线，则过定点_____________；当________时，与平行．17．已知实数满足，则的最大值为____________18．点关于直线的对称点是______.三、解答题19．如图：已知是圆与轴的交点，为直线上的动点，与圆的另一个交点分别为（1）若点坐标为，求直线的方程；（2）求证：直线过定点.20．已知椭圆，、 是其左右焦点，、 为其左右顶点，、 为其上下顶点，若，(1)求椭圆的方程；(2)过、 分别作轴的垂线、 ，椭圆的一条切线，与、 交于、 二点，求证：．21．已知的三个顶点，，．Ⅰ求BC边所在直线方程；Ⅱ边上中线AD的方程为，且，求m，n的值．22．光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点.(1)求点关于直线对称点的坐标；(2)求反射光线所在直线的一般式方程．23．已知直线1:220l x y ++=；2:40l mx y n ++=． （1）若12l l ⊥，求m 的值．（2）若12//l l ，且他们的距离为，求,m n 的值． 24．选修 :坐标系与参数方程选讲 在直角坐标系 中,曲线 :( 为参数).以 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 ,直线 的极坐标方程为( ). (Ⅰ) 求曲线 的极坐标方程与直线的直角坐标方程； (Ⅱ) 若直线 与 , 在第一象限分别交于 , 两点, 为 上的动点,求 面积的最大值. 25．如图，在平面直角坐标系 中，圆 ： 与 轴的正半轴交于点 ，以点 为圆心的圆 ： 与圆 交于 ， 两点. （1）当 时，求 的长； （2）当 变化时，求 的最小值；（3）过点 的直线 与圆A 切于点 ，与圆 分别交于点 ， ，若点 是 的中点，试求直线 的方程.26．已知直线l 经过点()P 2,5-，且斜率为 （1）求直线l 的方程．（2）求与直线l 平行，且过点()2,3的直线方程． （3）求与直线l 垂直，且过点()2,3的直线方程．27．如图，已知三角形的顶点为A (2,4)，B (0，－2)，C (－2,3)，求： (1)直线AB 的方程；(2)AB 边上的高所在直线的方程； (3)AB 的中位线所在的直线方程．参考答案1．A【解析】分析：由约束条件作出可行域，得到使目标函数取得最大值的最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得到，的关系，再代入直线由直线系方程得答案．详解：由，得，画出可行域，如图所示，数学结合可知在点处取得最大值，，即：，直线过定点.故选A.点睛：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，属中档题．2．D【解析】椭圆方程为可设椭圆上的任意一点坐标为到直线的距离，的最大值为，故选D.3．A【解析】【分析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标【详解】设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为代入欧拉线方程得：整理得：m-n+4=0 ①AB的中点为（1，2），AB的中垂线方程为，即x-2y+3=0．联立解得∴△ABC的外心为（-1，1）．则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8②联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．当m=0，n=4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（-4，0）．故选A【点睛】本题考查了直线方程，求直线方程的一般方法：①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．②待定系数法：先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等．4．D【解析】【分析】由题得，解方程即得k的值.【详解】由题得，解方程即得k=-3或.故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2)点到直线的距离.5．B【解析】【分析】利用两直线平行的等价条件求得实数m的值.【详解】∵两条直线x+my+6=0和（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，∴﹣ （ ﹣ ）解得 m=﹣1，故选：B．【点睛】已知两直线的一般方程判定两直线平行或垂直时，记住以下结论，可避免讨论：已知，，则，．6．D【解析】【分析】由对称性先求点C的坐标为，再根据空间中两点之间距离公式计算。
北师大版高考数学(理科)一轮复习测试：直线的交点坐标与距离公式
核心素养测评五十三直线的交点坐标与距离公式(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共35分)1.已知直线l1:x-2y+1=0与直线l2:mx-y=0平行，则实数m的值为( )A. B.- C.2 D.-2【解析】选A.由题意，=，即m=.2.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直，则实数m= ( )A.-4B.-1C.1D.4【解析】选C.k1=，k2=-，因为直线互相垂直，所以k1·k2=-1，即·=-1，所以m=1.3.点P(a，b)关于l:x+y-1=0对称的点仍在l上，则a2+b2的最小值= ( )A. B.1 C.2 D.0【解析】选A.因为点P(a，b)关于l:x+y-1=0对称的点仍在l上，所以点P(a，b)在直线l上，所以a+b-1=0，解得a+b=1.又≤a2+b2，所以a2+b2≥(当且仅当a=b时，等号成立).4.P点在直线3x+y-5=0上，且P到直线x-y-1=0的距离为，则P点坐标为( )A.(1，2)B.(2，1)C.(1，2)或(2，-1)D.(2，1)或(-1，2)【解析】选C.设P(x，5-3x)，则d==，解得x=1或x=2，故P(1，2)或(2，-1).5.若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2恒过定点( )A.(0，4)B.(0，2)C.(-2，4)D.(4，-2)【解析】选B.直线l1:y=k(x-4)恒过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2).又由于直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2，1)对称，故直线l2恒过定点(0，2).6.若直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是( )A.-6<k<-2B.-5<k<-3C.k<-6D.k>-2【解析】选A.解方程组得因为直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限，所以k+6>0且k+2<0，所以-6<k<-2.7.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则m+n等于( ) 世纪金榜导学号A. B. C. D.【解析】选A.由题意可知，纸的折痕应是点(0，2)与点(4，0)连线的中垂线，即直线y=2x-3，它也是点(7，3)与点(m，n)连线的中垂线，于是解得故m+n=.二、填空题(每小题5分，共15分)8.已知直线3x+4y-3=0与6x+my+14=0平行，则它们之间的距离是________________.【解析】由题意得=，m=8，即6x+8y+14=0⇒3x+4y+7=0，所以它们之间的距离是=2.答案:29.已知点A(-3，-4)，B(6，3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等，则实数a的值为________________. 世纪金榜导学号【解析】由已知及点到直线的距离公式，得=，解得a=-或-.答案:-或-10.已知坐标原点关于直线l1:x-y+1=0的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，-1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为________________.世纪金榜导学号【解析】设A(x0，y0)，依题意可得解得即A(-1，1).设点B(2，-1)到直线l2的距离为d，当d=|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，又-=，所以直线l2的方程为y-1=(x+1)，即3x-2y+5=0 .答案:3x-2y+5=0(15分钟35分)1.(5分)已知直线l1:(m-4)x-(2m+4)y+2m-4=0与l2:(m-1)x+(m+2)y+1=0，则“m=-2”是“l1∥l2”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件【解析】选B.m=-2时，可得l1:-6x-8=0，l2:-3x+1=0，l1∥l2时，可得(m-4)(m+2)+(2m+4)(m-1)=0，解得m=2或m=-2，所以“m=-2”是“l1∥l2”的充分不必要条件.2.(5分)已知动直线l:ax+by+c-2=0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)且Q(4，0)到动直线l的最大距离为3，则+的最小值为( )A. B. C.1 D.9【解析】选B.因为动直线l:ax+by+c-2=0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，所以a+bm+c-2=0，设点Q(4，0)到直线l的距离为d，当d=|PQ|时取最大值，所以=3，解得m=0.所以a+c=2，则+=(a+c)·=·≥=，当且仅当c=2a=时取等号.3.(5分)点A(1，3)，B(5，-2)，点P在x轴上使|AP|-|BP|最大，则P的坐标为( )A.(4，0)B.(13，0)C.(5，0)D.(1，0)【解析】选B.如图，作出点A(1，3)关于x轴对称的点A′(1，-3)，则|PA|-|PB|=|PA′|-|PB|≤|A′B|，当且仅当点P在A′B的延长线上时，取等号.由两点式可得直线A′B的方程为:y=x-.令y=0得x=13，所以点P的坐标为(13，0).4.(10分)已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点. 世纪金榜导学号(1)点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程.(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值.【解析】(1)经过两条已知直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+λ(x-2y)=0，即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0.所以=3.即2λ2-5λ+2=0，所以λ=2或.所以l的方程为x=2或4x-3y-5=0.(2)由解得交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立).(其余距离d与PA构成直角三角形，PA为它们的斜边)，所以d max=|PA|=.5.(10分)已知直线l1的方程为3x+4y-12=0，求l2的方程，使得: 世纪金榜导学号(1)l2与l1平行，且过点(-1，3).(2)l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4.【解题指南】(1)由l2与l1平行可设l2:3x+4y+m=0(m≠-12)，再代入点(-1，3)得m的值.(2)由l2与l1垂直可设l2:4x-3y+n=0，再得与坐标轴的交点，由面积公式求解.【解析】(1)设l2:3x+4y+m=0(m≠-12)，因为l2过点(-1，3)，将点(-1，3)代入得-3+4×3+m=0，解得m=-9，所以l2的方程为3x+4y-9=0.(2)设l2:4x-3y+n=0 ，设l2与x轴交于点A-，0，与y轴交于点B0，.所以S△AOB=·=4.n2=96，n=±4，所以l2的方程为4x-3y+4=0或4x-3y-4=0.关闭Word文档返回原板块。
《直线的交点坐标与距离公式》同步练习及答案
《2.3直线的交点坐标与距离公式》同步练习一、单选题1．过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A ．B ．C ．D ． 2．与直线关于轴对称的直线方程为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．两条平行线与间的距离为( )A ．B ．C ．D ．1 4．已知直线过点，且与直线平行，则的方程为（ ） A ． B ． C ． D ．5．已知点与直线：，则点关于直线的对称点坐标为 A ． B ． C ． D ．6．已知直线l 1：x+（m+1）y+m ＝0，l 2：mx+2y+1＝0，则“l 1∥l 2”的必要不充分条件是（ ） A ．m ＝﹣2 B ．m ＝1 C ．m ＝﹣2或m ＝1 D ．m ＝2或m ＝17．无论取何值，直线都恒过一个定点，则定点的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ． 8．已知点到直线的距离为1，则的值为（ ） AB ．D9．已知直线l 1：2x ﹣y ﹣2=0与直线l 2：3x+y ﹣8=0的交点为P ，则点P 到直线l ：y=﹣2x 的距离为（ ）(13)P -，230x y -+＝210x y +-＝250x y +-＝250x y +-＝270x y --＝210x y -+=x 210x y ++=210x y --=210x y +-=210x y -+=1:3410l x y 2:6870l x y 123565l (1,1)6540x y -+=l 56110x y +-=5610x y -+=65110x y --=6510x y --=()1,2P l 10x y ++=P l ()3,1--()2,4()3,2--()2,2-m ()()31411210m x m y m +++--=(8,9)-(9,8)-(15,14)-(14,15)-()()1,0a a >:20+-=l x y a 211A ．BCD ． 10．已知直线过直线与直线的交点，且点到直线的距离为2，则这样的直线的条数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 二、多选题11．下列说法正确的是（ ）A ．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2B ．点关于直线的对称点为C ．过，两点的直线方程为D ．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为12．已知直线，动直线，则下列结论错误．．的是（ ）A ．不存在，使得的倾斜角为90°B ．对任意的，与都有公共点C ．对任意的，与都不．重合D ．对任意的，与都不垂直．．． 13．已知直线，则下列结论正确的是（ ） A ．直线的倾斜角是B ．若直线则C ．点到直线的距离是D ．过与直线平行的直线方程是三、填空题14．已知两条平行直线与的距离为，则____________， _________.4565-l1:10l x y -+=2:2380l x y +-=()0,4P l l 20x y --=(0,2)1y x =+(1,1)11(,)x y 22(,)xy 112121y y x x y y x x --=--(1,1)x y 20x y +-=1:10l x y --=2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈k 2l k 1l 2l k 1l 2l k 1l 2l 10l y -+=l 6π:10,m x -+=l m ⊥l 22)l 40y --=1:10l ax y ++=2:30l x y -+=d a =d =15．直线关于点对称的直线的方程为_________. 16．将一张画有直角坐标系的图纸对折，使点与重合，若此时点恰与点D 重合，则点D 的坐标是________． 17．已知为正数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为________．四、解答题18．已知直线经过点，，直线经过，. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值.19．求经过直线和的交点，且平行于直线的直线的方程.20．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的角平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．21．已知直线l 1：ax －y ＋b ＝0；l 2：bx ＋y ＋a ＝0(a ∈R ，b ∈R)． (1)直线l 1，l 2能否平行？说明理由；(2)若直线l 1，l 2重合，求证：点P(a ，b)与点Q(b ，a)在同一条直线上； (3)求证：两条直线l 1，l 2的交点共线．22．已知直线及点．证明直线过某定点，并求该定点的坐标． 当点到直线的距离最大时，求直线的方程．23．三角形中，边和所在的直线方程分别为和，3450x y -+=(2,3)M -()0,2A ()4,0B ()0,4C ,m n 30nx my +-=2m n +1l (),1A m ()3,4B -2l ()1,C m ()1,1D m -+12//l l m 12l l ⊥m 1:3210l x y +-=2:5210l x y ++=3:360l x y -+=()():20++++-=l a b x a b y a b ()3,4P ()1l ()2P l l ABC AB AC 3100x y -+=20x y +-=的中点为.（1）求的坐标；（2）求角的内角平分线所在直线的方程. 答案解析一、单选题1．过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A ．B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】根据题意，易得直线的斜率为， 由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为，又知其过点， 由点斜式得所求直线方程为． 故选：A ．2．与直线关于轴对称的直线方程为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】设对称直线上的点为，则其关于轴的对称点在直线上， 所以即，选A.BC (3,1)M ,,A B C B (13)P -，230x y -+＝210x y +-＝250x y +-＝250x y +-＝270x y --＝230x y -+＝122-(13)-，32(1)210y x x y -=-+⇒+-＝210x y -+=x 210x y ++=210x y --=210x y +-=210x y -+=(),P x y x (),Q x y -210x y -+=()210x y --+=210x y ++=点睛：若直线，那么关于轴的对称直线的方程为，关于轴的对称直线的方程为，关于直线对称的直线的方程 .3．两条平行线与间的距离为( )A ．B ．C ．D ．1 【答案】A 【解析】直线. 故选：A4．已知直线过点，且与直线平行，则的方程为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】设直线的方程为，又因为该直线过点，所以，即，的方程为；故选D ．5．已知点与直线：，则点关于直线的对称点坐标为 A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】设关于直线：对称的点为，则，解得()22:00l Ax By C A B ++=+≠l x 0Ax By C -+=y 0Ax By C --=y x =0Bx Ay C ++=1:3410l x y 2:6870l x y 12356527:3402l x y --=51252==l (1,1)6540x y -+=l 56110x y +-=5610x y -+=65110x y --=6510x y --=l 650x y m -+=(1,1)056=+-m 1-=m l 6510x y --=()1,2P l 10x y ++=P l ()3,1--()2,4()3,2--()2,2-()1,2P l 10x y ++=(,)Q a b 2(1)11121022b a a b -⎧⨯-=-⎪⎪-⎨++⎪++=⎪⎩，即关于直线：对称的点为.故选C. 6．已知直线l 1：x+（m+1）y+m ＝0，l 2：mx+2y+1＝0，则“l 1∥l 2”的必要不充分条件是（ ） A ．m ＝﹣2 B ．m ＝1 C ．m ＝﹣2或m ＝1 D ．m ＝2或m ＝1 【答案】C 【解析】∵直线l 1：x+（m+1）y+m ＝0，l 2：mx+2y+1＝0， 若l 1∥l 2，则m （m+1）-2＝0，解得：m ＝﹣2或m ＝1 当m ＝1时，l 1与l 2重合，故“l 1∥l 2”⇔“m＝﹣2”， 故“l 1∥l 2”的必要不充分条件是“m＝-2或m ＝1”， 故选：C ．7．无论取何值，直线都恒过一个定点，则定点的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】由题直线，即，令， 解得，所以该直线过定点.故选：A8．已知点到直线的距离为1，则的值为（ ） AB ．D【答案】D 【解析】 由题因为,故.32a b =-⎧⎨=-⎩()1,2P l 10x y++=(3,2)--m ()()31411210m x m y m +++--=(8,9)-(9,8)-(15,14)-(14,15)-()()31411210m x m y m +++--=()341210m x y x y +-++-=3412010x y x y +-=⎧⎨+-=⎩89x y =-⎧⎨=⎩(8,9)-()()1,0a a >:20+-=l x y a 21111a =⇒=0a >1a =故选：D9．已知直线l 1：2x ﹣y ﹣2=0与直线l 2：3x+y ﹣8=0的交点为P ，则点P 到直线l ：y=﹣2x 的距离为（ ） A ．BCD ． 【答案】C 【解析】联立，得P （2，2），∴点P （2，2）到直线l ：y=﹣2x．故选：C10．已知直线过直线与直线的交点，且点到直线的距离为2，则这样的直线的条数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 【解析】方法一 由，得，即直线过点，设,因为,所以满足条件的直线有2条.故选C.方法二 依题意，设经过直线交点的直线的方程为，即 ①.由，化简得，解得或，代入①得直4565-220380x y x y --=⎧⎨+-=⎩d ==l 1:10l x y -+=2:2380l x y +-=()0,4P l l 230{2380x y x y -+=+-=1{2x y ==l 1,2()1,2Q 2PQ ==>l 12,l l l ()()238230x y x y R λλ+-+-+=∈()()232380x y λλλ++-+-=2=25-8-360λλ=-2λ=185线的方程为或，故选C. 二、多选题11．下列说法正确的是（ ）A ．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2B ．点关于直线的对称点为C ．过，两点的直线方程为D ．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 【答案】AB 【解析】A 中直线在坐标轴上的截距分别为2，，所以围成三角形的面积是2正确，B 中在直线上，且连线的斜率为，所以B 正确，C 选项需要条件，故错误，D 选项错误，还有一条截距都为0的直线.12．已知直线，动直线，则下列结论错误．．的是（ ）A ．不存在，使得的倾斜角为90°B ．对任意的，与都有公共点C ．对任意的，与都不．重合D ．对任意的，与都不垂直．．． 【答案】AC 【解析】逐一考查所给的选项：A.存在，使得的方程为，其倾斜角为90°，故选项不正确． B 直线过定点，直线过定点，故B 是正确的． C.当时，直线的方程为，即，与都重合，选项l 2y =4320x y -+=20x y --=(0,2)1y x =+(1,1)11(,)x y 22(,)x y 112121y y x x y y x x --=--(1,1)x y 20x y +-=2-0+121(,)22+1y x =+(0,2),(1,1)1-2121,y y x x ≠≠y x =1:10l x y --=2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈k 2l k 1l 2l k 1l 2l k 1l 2l 0k =2l 0x =1:10l x y --=()0,1-()()()2:1010l k x ky k k R k x y x +++=∈⇒+++=()0,1-12x =-2l 1110222x y --=10x y --=1l 2lC 错误；D.两直线重合，则：，方程无解，故对任意的，与都不垂直，选项D 正确． 故选：AC.13．已知直线，则下列结论正确的是（ ） A ．直线的倾斜角是B ．若直线则C ．点到直线的距离是D ．过与直线平行的直线方程是【答案】CD 【解析】对于A ．直线的斜率k ＝tanθ故直线l 的倾斜角是，故A 错误；对于B ．因为直线的斜率k′1，故直线l 与直线m 不垂直，故B错误；对于C ．点到直线l 的距离d 2，故C 正确；对于D ．过与直线l 平行的直线方程是y ﹣2x ﹣，整理得：，故D正确．综上所述，正确的选项为CD ． 故选：CD ． 三、填空题14．已知两条平行直线与的距离为，则____________， _________. 【答案】-1【解析】()()1110k k ⨯++-⨯=k 1l 2l 10l y -+=l 6π:10,m x -+=l m ⊥l 22)l 40y --=10l y -+==3π10m x -+=：3=)==()=40y --=1:10l ax y ++=2:30l x y -+=d a =d =因为，所以，两直线的距离为故答案为：-1；15．直线关于点对称的直线的方程为_________. 【答案】 【解析】设所求直线上任一点坐标为，点关于点对称的点为根据坐标中点公式可得：解得：① 点在直线②将①代入②可得： 整理可得：. 故答案为：.16．将一张画有直角坐标系的图纸对折，使点与重合，若此时点恰与点D 重合，则点D 的坐标是________．【答案】 【解析】设折线方程为，，故，中点为，故. 故.12l l 1a =-d ==3450x y -+=(2,3)M -34410x y --=(,)P x y P (2,3)M -()00,x y 002232x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪-=⎪⎩0046x xy y=-⎧⎨=--⎩——()00,x y 3450x y -+=∴003450x y -+=——3(4)4(6)50x y ----+=34410x y --=34410x y --=()0,2A ()4,0B ()0,4C 286,55⎛⎫⎪⎝⎭y kx b =+12AB k =-2k =AB ()2,13b =-23y x =-设，则，解得，. 故答案为：. 17．已知为正数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为________．【答案】9【解析】因为直线与直线互相垂直，因为n-（n-2）m=0,所以2m+n=mn ，从而有 ， 故答案为：9．四、解答题18．已知直线经过点，，直线经过，.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值.【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）∵，若，，； （2）∵，若，，. 19．求经过直线和的交点，且平行于直线(),D m n 41242322n m n m -⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⨯-⎪⎩285m =65n =286,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,m n 30nx my +-=2m n +30nx my +-=112=+m n 92225)12)(2(2=⨯+=++=+∴mn n m m n n m n m 1l (),1A m ()3,4B -2l ()1,C m ()1,1D m -+12//l l m 12l l ⊥m 3m =92m =-212k =-12//l l ∴114123k m -=-=--∴3m =212k =-12l l ⊥∴14123k m -==--∴92m =-1:3210l x y +-=2:5210l x y ++=的直线的方程.【答案】【解析】由，求得， 故直线和的交点为，设所求的直线的方程为，再把点代入，求得，故所求的直线的方程为.20．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的角平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．【答案】,【解析】由方程组解得点A 的坐标为(－1,0)． 又直线AB 的斜率k AB ＝1，x 轴是∠A 的平分线，所以k AC ＝－1，则AC 边所在的直线方程为y ＝－(x ＋1)．①又已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，故直线BC 的斜率k BC ＝－2，所以BC 边所在的直线方程为y －2＝－2(x －1)．②解①②组成的方程组得 即顶点C 的坐标为(5，－6)．21．已知直线l 1：ax －y ＋b ＝0；l 2：bx ＋y ＋a ＝0(a ∈R ，b ∈R)．(1)直线l 1，l 2能否平行？说明理由；(2)若直线l 1，l 2重合，求证：点P(a ，b)与点Q(b ，a)在同一条直线上；(3)求证：两条直线l 1，l 2的交点共线．【答案】(1)直线l 1，l 2不能平行．3:360l x y -+=350x y -+=32105210x y x y +-=⎧⎨++=⎩12x y =-⎧⎨=⎩1:3210l x y +-=2:5210l x y ++=()1,2-30x y c -+=()1,2-5c =350x y -+=()1,0-()5,6-210,0,x y y -+=⎧⎨=⎩5,6,x y =⎧⎨=-⎩(2)见解析(3) 见解析【解析】(1)由题意，假设直线与平行，则满足且，即且，显然矛盾， 所以直线不能平行．(2)证明：若直线重合，由（1）可知必有，故点与点在同一条直线上．(3)证明：若两条直线相交，可得，解方程组，得，故直线的交点为， 由此可得直线的交点都在直线上．22．已知直线及点．证明直线过某定点，并求该定点的坐标．当点到直线的距离最大时，求直线的方程．【答案】（1）证明见解析,定点坐标为（2）【解析】直线方程可化为：由，解得且， 直线恒过定点，其坐标为．直线恒过定点当点在直线上的射影点恰好是时，即时，点到直线的距离最大的斜率 1:0l ax y b -+=2:0l bx y a ++=12210A B A B -=12210B C B C -≠()0a b --=0a b --≠12,l l 12,l l 0a b +=(,)P a b (,)Q b a 12,l l 0a b +≠00ax y b bx y a -+=⎧⎨++=⎩1x y b a=-⎧⎨=-⎩(1,)b a --1x =-()():20++++-=l a b x a b y a b ()3,4P ()1l ()2P l l ()2,3-570x y ++=() 1l ()()2110a x y b x y ++++-=21010x y x y ++=⎧⎨+-=⎩2x =-3y =∴l A ()2,3-()2l ()2,3A -∴P l A PA l ⊥P l PA 431325PA k -==+直线的斜率 由此可得点到直线的距离最大时，直线的方程为，即．23．三角形中，边和所在的直线方程分别为和，的中点为.（1）求的坐标；（2）求角的内角平分线所在直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）边和所在的直线方程分别为和，∴两直线方程联立解得，∴点，∵的中点为，设，∴，解得， 即，(2)BC 直线方程为3x+y-10=0,设角的内角平分线所在直线的上的点为P （x ，y ），根据角平分线性质，P 点到AB 、BC 的距离相等，化简可得或者，根据三角形在坐标系中位置，可得角B 内角平分线所在直线的斜率为正值，∴l 15PAk k -==-P l l ()352y x -=-+570x y ++=ABC AB AC 3100x y -+=20x y +-=BC (3,1)M ,,A B C B ()1,3,(2,4),(4,2)A B C --2y x =AB AC 3100x y -+=20x y +-=1,3x y =-=()1,3A -BC (3,1)M 1122(,),(,)B x y C x y 11221212310020+=62x y x y x x y y -+=⎧⎪+-=⎪⎨⎪⎪+=⎩1212=24=42x x y y ⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=-⎩(2,4),(4,2)B C -B =+2100x y -=20x y -=ABC故为. 20x y -=。
高中数学-直线的交点坐标与距离公式 (知识导学+例题解析+达标训练)
高中数学-直线的交点坐标与距离公式一、知识导学：1、理解求两条直线交点的方法思想，能正确地通过解方程组确定交点坐标并通过求交点坐标判断两条直线的位置关系；2、通过沟通方程组的解的情况与相应两条直线的交点个数（位置关系） 情况，进一步渗透数形结合、坐标法思想。
3、掌握直角坐标系中两点间、点到直线和两条平行线的距离公式的推导 及应用，会用坐标法证明简单的几何问题。
二、基础知识：1、点的坐标与直线方程的关系：已知两条直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=相交。
几何元素及关系代数表示 点A A （a ，b ）直线l l ：0=++C By Ax 点A 在直线l 上0Aa Bb C ++=直线1l 、2l 的交点是A 点A 的坐标是方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解2、判断两条直线1l 、2l 的位置关系：通过解方程组确定交点坐标。
已知两条直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A ， 将方程联立，得⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A ，对于这个方程组解的情况有三种：（1）若方程组有唯一解⎩⎨⎧==00y y x x ，则1l 、2l 有___________的公共点，此解就是交点坐标),(00y x P ，即1l 与2l 相交。
1l 与2l 相交111221220A B A B A B A B ⇔≠⇔-≠ （2）若方程组无解，则1l 、2l _________公共点，即_________，1l 与2l 平行1221111122122200A B A B A B C B C B C A B C -=⎧⇔=≠⇔⎨-≠⎩ （3）若方程组有_________解，则1l 、2l 有_______公共点，即重合。
1l 与2l 重合1221111122122200A B A B A B C B C B C A B C -=⎧⇔==⇔⎨-=⎩ 例1、判断下列各对直线的位置关系。
2020高考数学理科大一轮复习导学案《直线的交点与距离公式》
直线的交点与距离公式知识点一 两条直线平行与垂直的判定1．两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1、l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为平行．2．两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2斜率存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔ k 1·k 2＝－1.1．直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为( D ) A ．－3 B ．－43 C ．2D ．3解析：由2a ＋2×(－3)＝0，得a ＝3.2．已知直线(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，那么k 的值为( C )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2解析：法1：把k ＝1代入已知两条直线，得－2x ＋3y ＋1＝0与－4x －2y ＋3＝0，此时两条直线的斜率不相等，所以两条直线不平行，所以k ≠1，排除A ，B ，D.法2：因已知两条直线平行，所以k ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧k ≠3，k －32(k －3)＝4－k －2≠13，解得k ＝3或k ＝5.知识点二 两条直线的交点设两条直线的方程为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解， (1)若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标； (2)若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行，反之，亦成立．3．直线2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为23.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝－8，代入y ＝ax －2得a ＝23. 4．点(a ，b )关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是(－b －1，－a －1)． 解析：设对称点的坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0－bx 0－a＝1，a ＋x 02＋b ＋y2＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y 0－b ＝x 0－a ，x 0＋y 0＋a ＋b ＋2＝0， 解之得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－b －1，y 0＝－a －1.即对称点坐标为(－b －1，－a －1)． 知识点三 两种距离1．点到直线的距离点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 2．两条平行线间的距离两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.5．直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是324.解析：先将2x ＋2y ＋1＝0化为x ＋y ＋12＝0，则两平行线间的距离为d ＝|2－12|2＝324.6．已知点A (3,2)和B (－1,4)到直线ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则a 的值为12或－4.解析：由平面几何知识得AB 平行于直线ax ＋y ＋1＝0或AB 中点在直线ax ＋y ＋1＝0上，所以a ＝12或－4.1．两直线平行或重合的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行或重合的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0.2．两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.3．过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.4．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．考向一 两条直线的平行与垂直【例1】 (1)已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a 等于( )A ．－1B ．2C ．0或－2D ．－1或2(2)已知两直线方程分别为l 1：x ＋y ＝1，l 2：ax ＋2y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝________.【解析】 (1)若a ＝0，两直线方程分别为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a ≠0；当a ≠0时，两直线平行，则有a －11＝2a ≠13， 解得a ＝－1或2.(2)因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1.即(－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1，解得a ＝－2. 【答案】 (1)D (2)－2(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.(1)若直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0和直线l 2：3x ＋ay ＋2＝0垂直，则实数a 的值为( D )A.12B.32C.14D.34(2)已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0平行，则2a ＋3b 的最小值为25.解析：(1)由已知得3(a －1)＋a ＝0，解得a ＝34.(2)由两直线平行可得，a (b －3)＝2b ，即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3b ＝1.又a ，b为正数，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝13＋6a b ＋6ba ≥13＋26ab ·6ba ＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，故2a ＋3b 的最小值为25. 考向二 两条直线的交点【例2】 (1)经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________________．(2)已知直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________．【解析】 (1)解法1：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0,2)．因为l ⊥l 3， 所以直线l 的斜率k ＝－43， 所以直线l 的方程为y －2＝－43x ， 即4x ＋3y －6＝0.解法2：因为直线l 过直线l 1和l 2的交点，所以可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0.因为l 与l 3垂直，所以3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l 的方程为12x ＋9y －18＝0，即4x ＋3y －6＝0.(2)直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2，y ＝－2，所以直线l 恒过定点(2，－2)．【答案】 (1)4x ＋3y －6＝0 (2)(2，－2)(1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程． (2)过定点问题把直线方程整理成m (A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0的形式，由⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0可求定点坐标．(1)经过两直线2x ＋y ＋4＝0和x －2y －3＝0的交点P (－1，－2)，且斜率是直线x －2y ＋5＝0的斜率的2倍的直线l 的方程为x －y －1＝0.(2)不论k 为何实数，直线(2k －1)x －(k ＋3)y －(k －11)＝0恒过一个定点，则这个定点的坐标是(2,3)．解析：(1)由题意得，两直线的交点P (－1，－2)，直线l 的斜率k ＝1，所以直线l 的方程为y ＋2＝x ＋1，即x －y －1＝0.(2)直线(2k －1)x －(k ＋3)y －(k －11)＝0，即k (2x －y －1)＋(－x －3y ＋11)＝0，根据k 的任意性可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －1＝0，－x －3y ＋11＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴不论k 取什么实数，直线(2k －1)x －(k ＋3)y －(k －11)＝0都经过定点(2,3)．考向三 距离问题【例3】 (1)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )A.95B.185C.2910D.295(2)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为______________________．【解析】 (1)因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离， 即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.(2)设所求直线的方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋4＝0， 由已知及点到直线的距离公式可得 |－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2， 解得k ＝2或k ＝－23，即所求直线的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. 【答案】 (1)C (2)2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；(2)利用两平行线间的距离公式要先把两直线方程中x ，y 的系数化为对应相等.(1)若直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.(2)若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则线段AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( A )A ．3 2B ．2 2C ．3 3D ．4 2解析：(1)方法1：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1， 即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意．方法2：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 的中点时，AB 的中点为(－1,4)．∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.(2)依题意知，线段AB 的中点M 在到直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0的距离都相等的直线(设为l )上，则M 到原点的距离的最小值为原点到直线l 的距离．设点M 所在直线l 的方程为x ＋y ＋m ＝0.根据平行线间的距离公式得|m ＋7|2＝|m ＋5|2，即|m ＋7|＝|m ＋5|，得m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0.根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2. 考向四 对称问题【例4】 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求：(1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程；(3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程．【解】 (1)设A ′(x ，y )，由已知条件得⎩⎨⎧ y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3313，y ＝413.∴A ′(－3313，413)．(2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎨⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′(613，3013)．设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)解法1：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4,3)，则M ，N 关于点A (－1，－2)的对称点M ′，N ′均在直线l ′上，易得M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)．再由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 解法2：∵l ∥l ′，∴设l ′的方程为2x －3y ＋C ＝0(C ≠1)．∵点A (－1，－2)到两直线l ，l ′的距离相等，∴由点到直线的距离公式，得|－2＋6＋C |22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32， 解得C ＝－9.∴l ′的方程为2x －3y －9＝0.解法3：设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，∵点P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.对称问题的解法以光线反射为代表的很多实际问题，都可以转化为对称问题，关于对称问题，一般常见的有：(1)点关于点的对称问题．利用中点坐标公式易得，如(a，b)关于(m，n)的对称点为(2m－a,2n－b)；(2)点关于线的对称点．点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线的斜率是已知直线斜率的负倒数(仅指斜率存在的情况，如斜率不存在时较简单)；(3)线关于线的对称线．一般要在线上取点，可在所求直线上任取一点，也可在已知直线上取特殊点对称；(4)特别地，当对称轴的斜率为±1时，可类比关于y＝x的对称问题采用代入法，如(1,3)关于y＝x＋1的对称点为(3－1,1＋1)，即(2,2)．(1)过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为x＋4y－4＝0.(2)如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(C)A．3 3 B．6C．210 D．2 5解析：(1)设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P 的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.(2)直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线经过的路程为|CD|＝62＋22＝210.。
高考数学一轮总复习 课时跟踪练(五十三)直线的交点坐标与距离公式 理(含解析)新人教A版-新人教A版
课时跟踪练(五十三)A 组 基础巩固1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是()A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定解析：直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率为k 2＝－12，则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1.故选C.答案：C2．已知点A (1，－2)，B (m ，2)且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是()A ．－2B ．－7C ．3D ．1解析：因为线段AB 的中点⎝⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，代入解得m ＝3. 答案：C3．已知直线l 1：mx ＋y －1＝0与直线l 2：(m －2)x ＋my －1＝0，则“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的()A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：由l 1⊥l 2，得m (m －2)＋m ＝0，解得m ＝0或m ＝1，所以“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件，故选A.答案：A4．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2恒过定点()A ．(0，4)B ．(0，2)C ．(－2，4)D ．(4，－2)解析：由于直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)，又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，所以直线l 2恒过定点(0，2)．答案：B5．若函数y ＝ax ＋8与y ＝－12x ＋b 的图象关于直线y ＝x 对称，则a ＋b ＝() A.12B ．－12C ．2 D ．－2解析：直线y ＝ax ＋8关于y ＝x 对称的直线方程为x ＝ay ＋8，所以x ＝ay ＋8与y ＝－12x ＋b 为同一直线，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，所以a ＋b ＝2. 答案：C6．若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝()A ．7 B.172C ．14D ．17 解析：直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，求得m ＝172，故选B. 答案：B7．(2019·某某一中月考)若点P 在直线l ：x －y －1＝0上运动，且A (4，1)，B (2，0)，则|PA |＋|PB |的最小值是()A.5B.6C ．3 D ．4解析：设A (4，1)关于直线x －y －1＝0的对称点为A ′(2，3)，所以|PA |＋|PB |＝|PA ′|＋|PB |，当P ，A ′，B 三点共线时，|PA |＋|PB |取得最小值，|A ′B |＝（2－2）2＋（3－0）2＝3.答案：C8．(2019·某某一模)两条平行线l 1，l 2分别过点P (－1，2)，Q (2，－3)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间距离的取值X 围是()A ．(5，＋∞)B ．(0，5]C ．(34，＋∞)D ．(0，34 ]解析：当PQ 与平行线l 1，l 2垂直时，|PQ |为平行线l 1，l 2间的距离的最大值，为（－1－2）2＋[2－（－3）]2＝34，所以l 1，l 2之间距离的取值X 围是(0，34 ]．故选D.答案：D9．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．解析：由题意知63＝m 4≠14－3，所以m ＝8，所以直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，所以两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2. 答案：210．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________．解析：设A ′(x ，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413 11．(2019·某某模拟)若直线l 与直线2x －y －2＝0关于直线x ＋y －4＝0对称，则l 的方程是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2， 即两直线的交点坐标为(2，2)，在直线2x －y －2＝0上取一点A (1，0)，设点A 关于直线x ＋y －4＝0的对称点的坐标为(a ，b )．则⎩⎪⎨⎪⎧b a －1＝1，a ＋12＋b 2－4＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －b －1＝0，a ＋b －7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3， 即对称点的坐标为(4，3)，则l 的方程为y －23－2＝x －24－2， 整理得x －2y ＋2＝0.答案：x －2y ＋2＝012．l 1，l 2是分别经过点A (1，1)，B (0，－1)的两条平行直线，当l 1与l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．解析：当AB ⊥l 1时，两直线l 1与l 2间的距离最大，由k AB ＝－1－10－1＝2，知l 1的斜率k ＝－12. 所以直线l 1的方程为y －1＝－12(x －1)， 即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝0B 组 素养提升13．(2019·某某模拟)设直线l 1：x －2y ＋1＝0与直线l 2：mx ＋y ＋3＝0的交点为A ；P ，Q 分别为l 1，l 2上的点，点M 为PQ 的中点，若AM ＝12PQ ，则m 的值为()A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：在△APQ 中，M 为PQ 的中点，且AM ＝12PQ ， 所以△APQ 为直角三角形，且∠PAQ ＝90°，所以l 1⊥l 2，所以1×m ＋(－2)×1＝0，解得m ＝2.故选A.答案：A14．(2019·某某模拟)设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0和x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b是关于x 的方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实数根，且0≤c ≤18，则这两条直线间距离的最大值为() A.24B.22C.12D. 2 解析：因为a ，b 是关于x 的方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，所以a ＋b ＝－1，ab ＝c .因为直线x ＋y ＋a ＝0和x ＋y ＋b ＝0之间的距离d ＝|a －b |2， 所以d 2＝（a ＋b ）2－4ab 2＝1－4c 2， 因为0≤c ≤18，所以12≤1－4c ≤1， 所以14≤1－4c 2≤12， 即d 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12， 所以这两条直线之间的距离的最大值为22.故选B. 答案：B15．以点A (4，1)，B (1，5)，C (－3，2)，D (0，－2)为顶点的四边形ABCD 的面积为________．解析：因为k AB ＝5－11－4＝－43， k DC ＝2－（－2）－3－0＝－43. k AD ＝－2－10－4＝34，k BC ＝2－5－3－1＝34. 则k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，所以四边形ABCD 为平行四边形．又k AD ·k AB ＝－1，即AD ⊥AB ，故四边形ABCD 为矩形．故S ＝|AB |·|AD |＝（1－4）2＋（5－1）2×（0－4）2＋（－2－1）2＝25. 答案：2516．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解析：易知A (0，0)，B (1，3)且两直线互相垂直，即△APB 为直角三角形，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝|AB |22＝102＝5. 当且仅当|PA |＝|PB |时，等号成立．答案：5。
第二课时直线的焦点坐标与距离公式
直线的交点坐标与距离公式一．求两条直线交点的坐标就是其方程组的解：{11122200A x B y C A x B y C ++=++= 的解.例1，判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：（1）12:340:6210l x y l x y -+=--= （2）12:3450:6810l x y l x y +-==-+ （3）12:0:3310l x y l x y -=+=例2.直线5x+4y-2m-1=0与直线2x+3y-m=0的交点在第四象限，求m 的取值范围.二．过两直线交点的直线系方程：如果两直线1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=相交，则方程111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=为过其交点的一系列直线的方程，当λ取遍所有实数时，此直线系包含了除直线2220A x B y C ++=之外过直线1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点的所有直线方程．例3.0)22(243=+++-+y x y x λ恒过定点（ ） 例4..直线，当变动时，所有直线都通过定点( )A. B.C.D.三．两点间的距离公式d= 222121()()x x y y -+-例5.已知点 A(-2，-1)，B(a ，3) 且| AB |= 5 ，则a 的值为( ) A.1 B.-5 C.1 或-5 D.-1 或5例6.已知点A(2，0)，B(0，2)，试在线段AB 上求一点P ，使得|OP| 最小，并求出这个最小值.四。
点到直线的距离公式设P 的坐标为 (00x y ，)，直线l 的方程为Ax+By+C=0，的距离为d= 0022Ax +By +C A +B,例7.求点P(3，-2)到下列直线的距离：例8．(2010·武汉模拟)已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值等于( )A.79 B ．－13 C ．－79或－13 D.79或13例9．(2010·孝昌模拟)若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则线段AB 的中点M 到原点的距离的最小值为 ( )A ．23B ．3 3C ．3 2D ．4 2 例10.过点P(1，2)引直线，使A(2，3)、B(4，-5)到它的距离相等，求这条直线的方程.五．两条直线间的距公式 一条直线20Ax By C ++=到另一条直线10Ax By C ++=的距离，d=1222C A +BC -例11．求两条平行线间的距离.例12.已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是( )例13.求与直线平行且到的距离为2的直线的方程.直线的交点坐标与距离公式练习1. 已知集合M ={(x ,y )∣x +y =2}，N ={(x ,y )∣x –y =4},那么集合M ∩N 为( ) A. {3,–1} B. 3,–1C. (3,–1)D.{(3,–1)}2. 已知M (5cos α,5sin α),N (4cos β,4sin β), 则|MN |的最大值( ) A. 9B. 7C. 5D. 33. 点P 在直线x +y –4=0上，O 为原点，则|OP|的最小值是( ) A ．2 B.6 C.22 D.10 4．已知点P (a , b )是第二象限的点，那么它到直线x –y =0的距离是 A.22(a –b ) B.b –a C.22(b –a ) D.22a b +5．一条直线经过P(1,2), 且与A(2,3)、B(4,－5)距离相等,则直线l 为( ) A. 4x +y －6=0 B. x +4y －6=0C. 3x +2y －7=0和4x +y －6=0D. 2x +3y －7=0, x +4y －6=0 6．若两平行直线3x –2y –1=0和6x +ay +c =0之间的距离是21313，则2c a+的值为 .7. 与两平行直线：l 1:：3x –y +9=0, l 2：3x –y –3=0等距离的直线方程为 .8．已知直线l 过直线y = – x + 1和y = 2x + 4的交点; 与直线x –3y + 2 = 0 垂直，求直线l 的方程．9．已知)2,2(-A ，)1,3(--B ，在直线12-=x y 上求一点M ，使|MA|+|MB|最小，并求出这个最小值.。
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课时跟踪练(五十三)
A 组 基础巩固
1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直
D ．不能确定
解析：直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率为k 2＝－1
2
，则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1.故选C.
★答案★：C
2．已知点A (1，－2)，B (m ，2)且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )
A ．－2
B ．－7
C ．3
D ．1
解析：因为线段AB 的中点⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，
代入解得m ＝3.
★答案★：C
3．已知直线l 1：mx ＋y －1＝0与直线l 2：(m －2)x ＋my －1＝0，则“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的( )
A ．充分不必要条件
B ．充要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：由l 1⊥l 2，得m (m －2)＋m ＝0，解得m ＝0或m ＝1，所以“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件，故选A.
★答案★：A
4．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2
恒过定点( )
A ．(0，4)
B ．(0，2)
C ．(－2，4)
D ．(4，－2)
解析：由于直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)，又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，所以直线l 2恒过定点(0，2)．
★答案★：B
5．若函数y ＝ax ＋8与y ＝－1
2x ＋b 的图象关于直线y ＝x 对称，
则a ＋b ＝( )
A.12
B ．－12
C ．2
D ．－2
解析：直线y ＝ax ＋8关于y ＝x 对称的直线方程为x ＝ay ＋8，所
以x ＝ay ＋8与y ＝－1
2x ＋b 为同一直线，可得⎩
⎨⎧a ＝－2，b ＝4，
所以a ＋b ＝
2.
★答案★：C
6．若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( )
A ．7
B.172
C ．14
D ．17
解析：直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以
|2m ＋3|
4＋36
＝10，求得
m ＝17
2
，故选B.
★答案★：B
7．(2019·嘉兴一中月考)若点P 在直线l ：x －y －1＝0上运动，且A (4，1)，B (2，0)，则|PA |＋|PB |的最小值是( )
A. 5
B. 6
C ．3
D ．4
解析：设A (4，1)关于直线x －y －1＝0的对称点为A ′(2，3)，所以|PA |＋|PB |＝|PA ′|＋|PB |，
当P ，A ′，B 三点共线时，|PA |＋|PB |取得最小值， |A ′B |＝
（2－2）2＋（3－0）2＝3.
★答案★：C
8．(2019·安阳一模)两条平行线l 1，l 2分别过点P (－1，2)，Q (2，－3)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间距离的取值范围是( )
A ．(5，＋∞)
B ．(0，5]
C ．(34，＋∞)
D ．(0，34 ]
解析：当PQ 与平行线l 1，l 2垂直时，|PQ |为平行线l 1，l 2间的距离的最大值，为
（－1－2）2＋[2－（－3）]2＝34，
所以l 1，l 2之间距离的取值范围是(0，34 ]．故选D. ★答案★：D
9．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．
解析：由题意知63＝m 4≠14
－3
，所以m ＝8，所以直线6x ＋my ＋14
＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，所以两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32
＋4
2
＝
2.
★答案★：2
10．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________．
解析：设A ′(x ，y )，
由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23
＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝4
13，
故A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫
－3313，413.
★答案★：⎝ ⎛⎭
⎪⎫－3313，413
11．(2019·唐山模拟)若直线l 与直线2x －y －2＝0关于直线x ＋y －4＝0对称，则l 的方程是________．
解析：由⎩⎨⎧2x －y －2＝0，x ＋y －4＝0，得⎩⎨⎧x ＝2，
y ＝2，
即两直线的交点坐标为(2，2)， 在直线2x －y －2＝0上取一点A (1，0)，
设点A 关于直线x ＋y －4＝0的对称点的坐标为(a ，b )．
则⎩⎪⎨⎪⎧b
a －1
＝1，a ＋12＋b 2－4＝0，
即⎩⎨⎧a －b －1＝0，a ＋b －7＝0，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝3，
即对称点的坐标为(4，3)， 则l 的方程为y －2
3－2＝x －24－2，
整理得x －2y ＋2＝0. ★答案★：x －2y ＋2＝0
12．l 1，l 2是分别经过点A (1，1)，B (0，－1)的两条平行直线，当l 1与l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．
解析：当AB ⊥l 1时，两直线l 1与l 2间的距离最大，由k AB ＝－1－10－1
＝2，知l 1的斜率k ＝－12
.
所以直线l 1的方程为y －1＝－1
2(x －1)，
即x ＋2y －3＝0. ★答案★：x ＋2y －3＝0
B 组 素养提升
13．(2019·临汾模拟)设直线l 1：x －2y ＋1＝0与直线l 2：mx ＋y ＋3＝0的交点为A ；P ，Q 分别为l 1，l 2上的点，点M 为PQ 的中点，若AM ＝1
2
PQ ，则m 的值为( )
A ．2
B ．－2
C ．3
D ．－3
解析：在△APQ 中，M 为PQ 的中点，且AM ＝1
2PQ ，
所以△APQ 为直角三角形，且∠PAQ ＝90°， 所以l 1⊥l 2，
所以1×m ＋(－2)×1＝0， 解得m ＝2.故选A. ★答案★：A
14．(2019·安庆模拟)设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0和x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是关于x 的方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实数根，且0≤c ≤1
8
，则这两条直线间距离的最大值为( )
A.24
B.22
C.12
D. 2
解析：因为a ，b 是关于x 的方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，所以a ＋b ＝－1，ab ＝c .
因为直线x ＋y ＋a ＝0和x ＋y ＋b ＝0之间的距离d ＝|a －b |
2，
所以d 2＝（a ＋b ）2－4ab 2＝1－4c
2，
因为0≤c ≤1
8，
所以1
2
≤1－4c ≤1，
所以14≤1－4c 2≤12
，
即d 2
∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤14，12，
所以这两条直线之间的距离的最大值为2
2.故选B.
★答案★：B
15．以点A (4，1)，B (1，5)，C (－3，2)，D (0，－2)为顶点的四边形ABCD 的面积为________．
解析：因为k AB ＝5－11－4＝－4
3，
k DC ＝2－（－2）－3－0
＝－4
3.
k AD ＝－2－10－4＝34，k BC ＝2－5－3－1＝3
4
.
则k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，所以四边形ABCD 为平行四边形． 又k AD ·k AB ＝－1，即AD ⊥AB ， 故四边形ABCD 为矩形． 故
S
＝
|AB |·|AD |
＝
（1－4）2＋（5－1）2
×
（0－4）2＋（－2－1）2＝25. ★答案★：25
16．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．
解析：易知A(0，0)，B(1，3)且两直线互相垂直，即△APB为直角三角形，
所以|PA|·|PB|≤|PA|2＋|PB|2
2＝
|AB|2
2＝
10
2＝5.
当且仅当|PA|＝|PB|时，等号成立．★答案★：5
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