2018高考数学一轮复习第8章平面解析几何第3节圆的方程课时分层训练文北师大版

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高考数学一轮复习第8章平面解析几何第3节圆的方程教学案理(含解析)北师大版

高考数学一轮复习第8章平面解析几何第3节圆的方程教学案理（含解析）北师大版第三节圆的方程[考纲传真] 1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心(a，b)，半径r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F＞0)圆心⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E2，半径12D2＋E2－4F点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.[常用结论]1．圆心为坐标原点，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．( )(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．( )(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0. ( ) [答案](1)√(2)×(3)×(4)√2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D [由题意得圆的半径为2，故该圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，故选D ．] 3．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A.14＜m ＜1 B ．m ＜14或m ＞1C ．m ＜14D ．m ＞1B [由16m 2－20m ＋4＞0得m ＜14或m ＞1.故选B ．]4．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．a ＝±1A [由题意可得(1－a )2＋(1＋a )2＜4，即－1＜a ＜1.故选A.]5．(教材改编)圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为________．(x －2)2＋y 2＝10 [设圆心坐标为C (a,0)， ∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上， ∴|CA |＝|CB |，即a ＋12＋1＝a －12＋9，解得a ＝2，所以圆心为C (2,0)，半径|CA |＝2＋12＋1＝10，∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.]圆的方程【例1】 (1)圆E 经过三点A (0,1)，B (2,0)，C (0，－1)，则圆E 的标准方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342＋y 2＝2516C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝254(2)过点A (1，－1)，B (－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4(1)C (2)C [(1)设圆E 的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧E ＋F ＋1＝0，4＋2D ＋F ＝0，1－E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－32，E ＝0，F ＝－1.∴x 2＋y 2－32x －1＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516.故选C.(2)∵圆心在直线x ＋y －2＝0上，∴设圆心坐标为(a,2－a )． ∴圆的半径r ＝a －12＋2－a ＋12＝a ＋12＋2－a －12，解得a ＝1，r ＝2，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.故选C.] [规律方法] 求圆的方程的两种方法(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．(1)(2018·合肥二模)已知圆C ：(x －6)2＋(y －8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为( )A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝100 B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝100 C ．(x －3)2＋(y －4)2＝25D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝25(2)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．(1)C (2)(x －2)2＋(y －1)2＝4 [(1)由题意可知圆心C 为(6,8)，则以OC 为直径的圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.故选C.(2)设圆C 的圆心为(a ，b )(b ＞0)，由题意得a ＝2b ＞0，且a 2＝(3)2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1.所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.] 与圆有关的最值问题【例2】已知M (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值； (2)求y －3x ＋2的最大值和最小值． [解] (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝2＋22＋7－32＝42，∴|MQ |m ax ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2. (2)可知y －3x ＋2表示直线MQ 的斜率k . 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0. 由直线MQ 与圆C 有交点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22，可得2－3≤k ≤2＋3， ∴y －3x ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. [母题探究] (1)(变化结论)在本例的条件下，求y －x 的最大值和最小值．(2)(变换条件)若本例中条件“点Q (－2,3)”改为“点Q 是直线3x ＋4y ＋1＝0上的动点”，其它条件不变，试求|MQ |的最小值．[解] (1)设y －x ＝b ，则x －y ＋b ＝0.当直线y ＝x ＋b 与圆C 相切时，截距b 取到最值， ∴|2－7＋b |12＋－12＝22，∴b ＝9或b ＝1.因此y －x 的最大值为9，最小值为1.(2)∵圆心C (2,7)到直线3x ＋4y ＋1＝0上动点Q 的最小值为点C 到直线3x ＋4y ＋1＝0的距离，∴|QC |min ＝d ＝|2×3＋7×4＋1|32＋42＝7. 又圆C 的半径r ＝22， ∴|MQ |的最小值为7－2 2.[规律方法] 与圆有关的最值问题的三种几何转化法 (1)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题． (2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如m ＝(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．(1)设P (x ，y )是曲线x 2＋(y ＋4)2＝4上任意一点，则x －12＋y －12的最大值为( )A.26＋2 B ．26 C ．5D ．6(2)一束光线从点A (－1,1)出发，经x 轴反射到圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上的最短路径的长是( )A ．4B ．5C ．32－1D ．2 6(1)A (2)A [(1)x －12＋y －12的几何意义为点P (x ，y )与点A (1,1)之间的距离．易知点A (1,1)在圆x 2＋(y ＋4)2＝4的外部，由数形结合可知x －12＋y －12的最大值为1－02＋1＋42＋2＝26＋2.故选A.(2)由题意可得圆心C (2,3)，半径r ＝1，点A 关于x 轴的对称点A ′(－1，－1)，求得|A ′C |＝2＋12＋3＋12＝5，故最短路径为|A ′C |－r ＝5－1＝4，故选A.]与圆有关的轨迹问题【例3】 (2019·衡水调研)已知直角三角形ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．[解] (1)法一：设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0. 因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．法二：设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．[规律方法] 求与圆有关的轨迹问题的四种方法 (1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解． (2)定义法：根据圆的定义列方程求解． (3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3,0)连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝4C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝12C [设中点M (x ，y )，则动点A (2x －3,2y )．∵点A 在圆x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋(2y )2＝1，即(2x －3)2＋4y 2＝1.故选C.]1．(2018·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32]A [圆心(2,0)到直线的距离d ＝|2＋0＋2|2＝22，所以点P 到直线的距离d 1∈[2，32]．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为A (－2,0)，B (0，－2)，所以|AB |＝22，所以△ABP 的面积S ＝12|AB |d 1＝2d 1.因为d 1∈[2，32]，所以S ∈[2,6]，即△ABP 面积的取值范围是[2,6]．]2．(2015·全国卷Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10C [设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，∴M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)，∴|MN |＝46，故选C.]3．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 [由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0<m <4，r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，4－m 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.]。

2018版高考数学一轮总温习第8章节平面解析几何 8.3 圆的方程讲义理

(3)解方程组，求出 D，E，F 或 a，b，r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程．
2．用几何法求圆的方程利用圆的几何性质求方程，可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．
【变式训练 1】 (1)[2015·全国卷Ⅱ] 过三点 A(1,3)， B(4,2)，C(1，－7)的圆交 y 轴于 M，N 两点，则|MN|＝( )
(2)[2017·河南百校联盟]经过点 A(5,2)，B(3，－2)，且圆
心在直线 2x － y － 3 ＝ 0 上的圆的方程为 (x_－ __2_)_2_＋__(_y－ ___1_)2_＝ __1_0_．
解析设圆的方程为 (x－ a)2 ＋ (y－ b)2 ＝ r2(r>0)，则
y－b x－a
形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形
如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值
问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为
动点到定点；的距离的平方的最值问题．
(2)与圆相关的最值，若几何意义明显时，可充分利用
几何性质，借助几何直观求解，否则可用代数法转化为函
5
5－2
B. 5
C. 5－2
7 D.
5
5－2
[解析] 如图所示，点 P 在半圆 C(实线部分)上，且由题意知，C(1,0)，点 Q 在直线 l：x－2y－6＝0 上．过圆心 C 作直线 l 的垂线，垂足为 A，则|CA|＝ 5，|PQ|min＝|CA|－2 ＝ 5－2.
命题角度 4 建立目标函数求最值问题
所以yx的最大值为 3，最小值为－ 3.
命题角度 2 截距型最值

高考数学一轮复习第八章平面解析几何 8-3 圆的方程文

(2)由(1)可知 M 的轨迹方程为以 N(1,3)为圆心，半径为 2的圆，由于|OP|＝|OM|，故 O 在线段 PM 的垂直平分线上，又 P 在圆 N 上，从而 ON⊥PM.
因为 ON 的斜率为 3，所以 l 的斜率为－13，故 l 的方程为 y＝－13x＋83. 又|OM|＝|OP|＝2 2，O 到 l 的距离为4 510， |PM|＝45 10，所以△POM 的面积为156.
命题角度 2 求与圆有关的轨迹方程
典例2
[2014·课标全国卷Ⅰ]已知点 P(2,2)，圆 C：x2＋y2－8y＝0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A，
B 两点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点．
(1)求 M 的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求 l 的方程及△POM 的面积．
小题快做 1.思考辨析 (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ ) (2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为 t 的一个圆．( × ) (3)方程 x2＋y2＋4mx－2y＝0 不一定表示圆．( × ) (4)若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外，则 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0.( √ )
D2＋E2－4F
2
.
4．若圆 x2＋(y－1)2＝5 内有一点为(2a，a＋1)，则 a 的取值为_(_－__1_,1_)__．
解析把(2a，a＋1)代入方程得 (2a)2＋(a＋1－1)2<5 得－1<a&容之一，形式以选择题、填空题为主，且主要有以下命题角度.
第八章平面解析几何
第3讲圆的方程
考纲展示
三年高考总结
从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点， 1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方

2018版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何 8.3 圆的方程模拟演练文

2018版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何 8.3 圆的方程模拟演练文[A 级基础达标](时间：40分钟)1．[2017·福州质检]设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与圆的位置关系是( )A ．原点在圆上B ．原点在圆外C ．原点在圆内D ．不确定答案 B解析将圆的一般方程化成标准方程为(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0<a <1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2>0，即＋a2＋＋2>2a ，所以原点在圆外．2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝1答案 A解析设圆心坐标为(0，b )，则圆的方程为x 2＋(y －b )2＝1.又因为该圆过点(1,2)，所以12＋(2－b )2＝1，解得b ＝2，即圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.3．[2017·昆明一中模拟]若点A ，B 在圆O ：x 2＋y 2＝4上，弦AB 的中点为D (1,1)，则直线AB 的方程是( )A ．x －y ＝0B ．x ＋y ＝0C ．x －y －2＝0D ．x ＋y －2＝0答案 D解析因为直线OD 的斜率为k OD ＝1，所以由垂径定理得直线AB 的斜率为k AB ＝－1，所以直线AB 的方程是y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0，故选D.4．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1答案 A解析设M (x 0，y 0)为圆x 2＋y 2＝4上任一点，PM 中点为Q (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋42，y ＝y 0－22，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.代入圆的方程得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．若方程 16－x 2－x －m ＝0有实数解，则实数m 的取值范围( ) A ．－42≤m ≤4 2 B ．－4≤m ≤4 2 C ．－4≤m ≤4D ．4≤m ≤4 2 答案 B解析由题意知方程16－x 2＝x ＋m 有实数解，分别作出y ＝16－x 2与y ＝x ＋m 的图象，如图，若两图象有交点，需－4≤m ≤4 2.6．[2016·浙江高考]已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．答案 (－2，－4) 5解析由题可得a 2＝a ＋2，解得a ＝－1或a ＝2.当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a ＝2时，方程不表示圆．7．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________．答案 3－ 2解析 l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离d ＝32，则AB 边上的高的最小值为32－1.故△ABC 面积的最小值是12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝3－ 2.8．[2017·东城区调研]当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________.答案3π4解析由题意知，圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2≤1，当半径r 取最大值时，圆的面积最大，此时k ＝0，r ＝1，所以直线方程为y ＝－x ＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π4.9．[2017·唐山调研]已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|PA |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，则x ＋2＋y 2＝2x －2＋y 2.化简可得(x －5)2＋y 2＝16，此方程即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．由直线l 2是此圆的切线，连接CQ ，则|QM |＝ |CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16，当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值，此时|CQ |＝|5＋3|2＝42，则|QM |的最小值为32－16＝4.10．已知点(x ，y )满足(x －3)2＋(y －4)2＝9，求： (1)3x ＋4y 的最大值与最小值； (2)(x ＋1)2＋y 2的最小值．解 (1)解法一：设圆(x －3)2＋(y －4)2＝9的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝4＋3sin θ(θ为参数)，∴3x ＋4y ＝3(3＋3cos θ)＋4(4＋3sin θ) ＝25＋9cos θ＋12sin θ＝25＋15sin(θ＋φ)． ∴3x ＋4y 的最大值为40，最小值为10. 解法二：设3x ＋4y ＝t ，直线与圆有公共点， ∴|9＋16－t |5≤3⇔|t －25|≤15⇔10≤t ≤40. ∴t min ＝10，t max ＝40.(2)解法一：(x ＋1)2＋y 2＝(4＋3cos θ)2＋(4＋3sin θ)2＝41＋24(sin θ＋cos θ)＝41＋242sin ( θ＋π4)，∴其最小值为41－24 2.解法二：设M (x ，y )是圆上的点，圆外一点M 0(－1,0)，则(x ＋1)2＋y 2的几何意义是|MM 0|2，而|MM 0|最小值是|M 0C |－r ，即(42＋42－3)2＝41－24 2.[B 级知能提升](时间：20分钟)11．[2017·临汾模拟]若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1答案 A解析由于圆心在第一象限且与x 轴相切，故设圆心为(a,1)(a >0)，又由圆与直线4x －3y ＝0相切可得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.12．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6]C ．[4,6)D ．(4,6]答案 A解析易求圆心(3，－5)到直线4x －3y ＝2的距离为5.令r ＝4，可知圆上只有一点到已知直线的距离为1；令r ＝6，可知圆上有三点到已知直线的距离为1，所以半径r 取值范围在(4,6)之间符合题意．13．[2017·泰安模拟]已知对于圆x 2＋(y －1)2＝1上任一点P (x ，y )，不等式x ＋y ＋m ≥0恒成立，则实数m 的取值范围为________．答案 [2－1，＋∞)解析因为x ＋y ＋m ＝0右上方的点满足：x ＋y ＋m >0，结合图象知，要使圆上的任一点的坐标都满足x ＋y ＋m ≥0，只需直线在如图所示的切线的左下方(含切线)，图中切线的纵截距－m ＝－2＋1，故只需－m ≤－2＋1，即m ≥2－1即可．14．[2014·全国卷Ⅰ]已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165.。

2018届高考数学(文)大一轮复习教师用书第8章平面解析几何第3节圆的方程Word版含答案

第三节圆的方程———————————————————————————————— 1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．圆的定义及方程2.点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)方程(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝t 2(t ∈R )表示圆心为(a ，b )，半径为t 的一个圆．( ) (3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( )(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( ) 由圆的定义及点与圆的位置关系，知(1)(3)(4)正确．(2)中，当t ≠0时，表示圆心为(－a ，－b )，半径为|t |的圆，不正确． (1)√ (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( ) A ．a ＜－2或a ＞23B ．－23＜a ＜0C ．－2＜a ＜0D ．－2＜a ＜23D3．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3 D ．2A4．(2017·西安质检)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．x 2＋(y －1)2＝15．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53 B.213C.253D.43(2)(2016·天津高考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________． (1)B (2)(x －2)2＋y 2＝91.直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． 2．待定系数法求圆的方程：①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．温馨提醒：解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．(2017·河南百校联盟联考)经过点A (5,2)，B (3，－2)，且圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程为________．x 2＋y 2－4x －2y －5＝0(或(x －2)2＋(y －1)2＝10)已知M (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)． (1)求|MQ |的最大值和最小值； (2)求y －3x ＋2的最大值和最小值． (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2.2分又|QC |＝＋2＋－2＝42，∴|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2.5分 (2)可知y －3x ＋2表示直线MQ 的斜率k .6分设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0.8分由直线MQ 与圆C 有交点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22，可得2－3≤k ≤2＋3， ∴y －3x ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.12分 (变化结论)在本例的条件下，求y －x 的最大值和最小值．设y －x ＝b ，则x －y ＋b ＝0.3分当直线y ＝x ＋b 与圆C 相切时，截距b 取到最值， ∴|2－7＋b |12＋－2＝22，∴b ＝9或b ＝1.10分因此y －x 的最大值为9，最小值为1.12分(变换条件结论)若本例中条件“点Q (－2,3)”改为“点Q 是直线3x ＋4y ＋1＝0上的动点”，其它条件不变，试求|MQ |的最小值．∵圆心C (2,7)到直线3x ＋4y ＋1＝0上动点Q 的最小值为点C 到直线3x ＋4y ＋1＝0的距离，∴|QC |min ＝d ＝|2×3＋7×4＋1|32＋42＝7.5分又圆C 的半径r ＝22，∴|MQ |的最小值为7－2 2.12分1.处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，数形结合求解．2．某些与圆相关的最值可利用函数关系求最值．根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、函数的性质、利用基本不等式求最值是比较常用的．设P 为直线3x －4y ＋11＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，求四边形PACB 的面积的最小值．圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，2分圆心为C (1,1)，半径为r ＝1.5分根据对称性可知，四边形PACB 的面积为 2S △APC ＝2×12|PA |r ＝|PA |＝|PC |2－r 2.8分要使四边形PACB 的面积最小，则只需|PC |最小，最小时为圆心到直线l ：3x －4y ＋11＝0的距离d ＝|3－4＋11|32＋－2＝105＝2.10分所以四边形PACB 面积的最小值为 |PC |2min －r 2＝4－1＝ 3.12分C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.2分设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.5分(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上．又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .7分因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.10分又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165.12分求与圆有关的轨迹问题的四种方法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解． (2)定义法：根据圆的定义列方程求解． (3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．已知点A (－1,0)，点B (2,0)，动点C 满足|AC |＝|AB |，求点C 与点P (1,4)所连线段的中点M 的轨迹方程. 【导学号：31222293】由题意可知：动点C 的轨迹是以(－1,0)为圆心，3为半径长的圆，方程为(x ＋1)2＋y 2＝9.3分设M (x 0，y 0)，则由中点坐标公式可求得C (2x 0－1,2y 0－4)，6分代入点C 的轨迹方程得4x 20＋4(y 0－2)2＝9，化简得x 20＋(y 0－2)2＝94，10分故点M 的轨迹方程为x 2＋(y －2)2＝94.12分1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件，“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法．2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．1．二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F ＞0这一前提条件． 2．求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．3．求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线．课时分层训练(四十七) 圆的方程A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2D2．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为( )A．2 B.2 2C．1 D. 2D3．(2017·山西运城二模)已知圆(x－2)2＋(y＋1)2＝16的一条直径通过直线x－2y＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A．3x＋y－5＝0 B．x－2y＝0C．x－2y＋4＝0 D．2x＋y－3＝0D4．若圆心在x轴上，半径为5的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O 的方程是( )A．(x－5)2＋y2＝5 B．(x＋5)2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5D5．(2017·重庆四校模拟)设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )A．6 B．4C．3 D．2B二、填空题6．(2016·浙江高考)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．(－2，－4) 57．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．【导学号：31222294】x ＋y －1＝08．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________.【导学号：31222295】(x －1)2＋y 2＝2 三、解答题9．已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R ，若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程．【导学号：31222296】法一：依题意，点P 的坐标为(0，m )，2分因为MP ⊥l ，所以0－m2－0×1＝－1，5分解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)，8分圆的半径r ＝|MP |＝－2＋－2＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.12分法二：设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2，2分依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )，则⎩⎪⎨⎪⎧4＋m 2＝r 2，|2－0＋m |2＝r ，6分解得⎩⎨⎧m ＝2，r ＝22，10分所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.12分10．(2015·广东高考改编)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程． (1)由x 2＋y 2－6x ＋5＝0得(x －3)2＋y 2＝4，2分所以圆C 1的圆心坐标为(3,0).5分 (2)设M (x ，y )，依题意C 1M →·OM →＝0，所以(x －3，y )·(x ，y )＝0，则x 2－3x ＋y 2＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94.7分又原点O (0,0)在圆C 1外，因此中点M 的轨迹是圆C 与圆C 1相交落在圆C 1内的一段圆弧．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋y 2＝0，x 2＋y 2－6x ＋5＝0，消去y 2得x ＝53，因此53＜x ≤3.10分所以线段AB 的中点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53＜x ≤3.12分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·佛山模拟)设P (x ，y )是圆(x －2)2＋y 2＝1上的任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．6B ．25C ．26D ．36D2．(2017·济南调研)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程是________．(x －2)2＋(y －1)2＝43．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．【导学号：31222297】(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ →·MQ →的最小值． (1)设圆心C (a ，b )，由已知得M (－2，－2)，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，2分则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.5分 (2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2， PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2.8分令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，所以PQ →·MQ →＝x ＋y －2 ＝2(sin θ＋cos θ)－2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2，所以PQ →·MQ →的最小值为－4.12分。

2018版高考一轮总复习数学(理)习题第8章平面解析几何8-3含答案

（时间：40分钟)1．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋（a－1)2＝0,若0<a<1，则原点与圆的位置关系是( ）A．原点在圆上 B．原点在圆外C．原点在圆内 D．不确定答案B解析将圆的一般方程化成标准方程为（x＋a）2＋(y＋1)2＝2a,因为0<a〈1，所以(0＋a)2＋（0＋1）2－2a＝(a－1）2>0，即错误!〉错误!，所以原点在圆外．2．圆心在y轴上，半径为1,且过点（1，2)的圆的方程为（）A．x2＋（y－2)2＝1 B．x2＋（y＋2）2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋（y－3)2＝1答案A解析设圆心坐标为(0，b)，则圆的方程为x2＋(y－b）2＝1.又因为该圆过点(1,2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，即圆的方程为x2＋(y－2）2＝1。

3．若点A,B在圆O：x2＋y2＝4上，弦AB的中点为D(1，1)，则直线AB的方程是( )A．x－y＝0 B．x＋y＝0C．x－y－2＝0 D．x＋y－2＝0答案D解析因为直线OD的斜率为k OD＝1，所以由垂径定理得直线AB的斜率为k AB＝－1，所以直线AB的方程是y－1＝－（x－1)，即x＋y－2＝0，故选D.4．点P（4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是（)A．(x－2）2＋（y＋1)2＝1 B．(x－2）2＋（y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2）2＝4 D．(x＋2）2＋(y－1)2＝1答案A解析设M(x0,y0)为圆x2＋y2＝4上任一点，PM中点为Q（x，y），则错误!∴错误!代入圆的方程得(2x－4)2＋（2y＋2）2＝4,即（x－2)2＋（y ＋1）2＝1。

5．若方程错误!－x－m＝0有实数解,则实数m的取值范围（) A．－4错误!≤m≤4错误!B．－4≤m≤4错误!C．－4≤m≤4D．4≤m≤42答案B解析由题意知方程16－x2＝x＋m有实数解,分别作出y＝错误!与y＝x＋m的图象，如图，若两图象有交点，需－4≤m≤4错误!.6．已知a∈R,方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．答案(－2，－4）5解析由题可得a2＝a＋2,解得a＝－1或a＝2。

2018高考数学一轮复习第8章平面解析几何课件文北师大版

[导学心语] 1．抓主线，构建知识体系：对直线、圆及圆锥曲线的基本定义、标准方程和相关性质应熟练掌握，如对直线与圆锥曲线的位置关系的解法及解题思想应灵活掌握． 2．依托基础知识，强化思想方法训练：直线、圆及圆锥曲线是数与形结合的完美载体，要熟练运用坐标法和“数形结合”思想，另外，函数与方程的思想是本章学习的另一个重点，应加强运用．
编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的，为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。 • 作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。 • 二、听文科课要注重在理解中记忆 • 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。 • 三、听英语课要注重实践 • 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活动，珍惜课堂上的每一个练习机会。

一轮复习北师大版第8章第3节圆的方程课件

圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
C [设圆心 C 的坐标为(a，b)，半径为 r．因为圆心 C 在直线 x＋y －2＝0 上，
所以 b＝2－a．又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以 a＝1，b＝1．所以 r＝2．所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．]
A [P 是 x 轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN| 的最小值为|PC2|－3(图略)，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－ 4．作 C1 关于 x 轴的对称点 C′1(2，－3)．所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋ |PC2|≥|C1′C2|＝5 2，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5 2－4．]
联立①②③，解得E＝2， F＝0，
故所求圆的方程为 x2＋y2－2x＋2y＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝2．]
点评：(1)几何法的关键是定圆心． (2)已知圆心位置常设圆的标准形式，已知圆上三点常设圆的一般式． (3)涉及圆的弦长问题，一般是利用半弦长、弦心距和半径构成直角三角形求解． (4)方程 Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件为 A ＝B＞0，C＝0，D2＋E2－4AF＞0．
2．一束光线从点 A(－3，2)出发，经 x 轴反射到圆 C：(x－2)2 ＋(y－3)2＝1 上的最短路径的长度是( )
A．4 B．5 C．5 2－1 D．2 6－1
C [根据题意，设 A′与 A 关于 x 轴对称，且 A(－3，2)，则 A′ 的坐标为(－3，－2)，又由 A′C＝ 25＋25＝5 2，则 A′到圆 C 上的点的最短距离为 5 2－1．故这束光线从点 A(－3，2)出发，经 x 轴反射到圆 C：(x－2)2＋(y－3)2＝1 上的最短路径的长度是 5 2－1，故选 C．]

2018高考一轮北师大版数学文课件：第八章平面解析几

[法一：∵圆过A(5,2)，B(3，
2a－b－3＝0，设所求圆的圆心为C(a，b)，则有 1 b＝－2a－4，解得a＝2，且b＝1. 因此圆心坐标C(2,1)，半径r＝|AC|＝ 10. 故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
1
2
2 3 2 ＋ 3 ＝
21 3 .
(2)因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a>0， 2a 4 5 所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝ 5 ， 5 解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝ 4＋5＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.]
[规律方法]
[变式训练1] (2017· 河南百校联盟联考)经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为________. 【导学号：66482379】
x2＋y2－4x－2y－5＝0(或(x－2)2＋(y－1)2＝10) －2)两点， ∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上． 1 易知线段AB的垂直平分线方程为y＝－2(x－4)．
＋y
2 0
＋Dx0＋Ey0＋
[解析] 由圆的定义及点与圆的位置关系，知(1)(3)(4)正确． (2)中，当t≠0时，表示圆心为(－a，－b)，半径为|t|的圆，不正确．
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．(教材改编)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是 ( ) 【导学号：66482378】 2 A．a＜－2或a＞3 C．－2＜a＜0 2 B．－3＜a＜0 2 D．－2＜a＜3
(2)(2016· 天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0， 5 )在圆C上， 4 5 且圆心到直线2x－y＝0的距离为 5 ，则圆C的方程为________．

高考数学一轮复习第八章平面解析几何圆的方程学案理含解析北师大版

高考数学一轮复习第八章平面解析几何：第三节圆的方程命题分析预测学科核心素养本节是命题的热点，主要考查圆的方程，多以选择题和填空题形式考查，难度中等．本节通过圆的方程的求法考查数学运算和直观想象核心素养．授课提示：对应学生用书第171页知识点一圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2（r ＞0）圆心C （a ，b ）半径为r 一般x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D 2＋E 2－4F ＞0）充要条件： D 2＋E 2－4F ＞0圆心坐标：⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2半径r ＝ 12D 2＋E 2－4F• 温馨提醒 •二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是D 2＋E 2－4F >0，与一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的判别式Δ＝b 2－4ac 相类似，表述的都是一次项的平方和减去二次项与常数项积的4倍，只有把条件理解了、记清楚了，才不会陷入命题人设置的这个“陷阱”．1．若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是_________．解析：将x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0化为圆的标准方程得⎝⎛⎭⎫x ＋m 22＋（y －1）2＝m24－2．由其表示圆可得m 24－2＞0，解得m ＜－22或m ＞22．答案：（－∞，－22）∪（22，＋∞）2．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋（a ＋2）y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是，半径是_________．解析：由题可得a 2＝a ＋2，解得a ＝－1或a ＝2．当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，表示圆，故圆心为（－2，－4），半径为5．当a ＝2时，方程不表示圆．答案：（－2，－4） 53．圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A （－1，1）和B （1，3），则圆C 的方程为_________．解析：设圆心坐标为C （a ，0），因为点A （－1，1）和B （1，3）在圆C 上，所以|CA |＝|CB |，即（a ＋1）2＋1＝（a －1）2＋9，解得a ＝2，所以圆心为C （2，0），半径|CA |＝（2＋1）2＋1＝10，所以圆C 的方程为（x －2）2＋y 2＝10．答案：（x －2）2＋y 2＝10 知识点二点与圆的位置关系平面上的一点M （x 0，y 0）与圆C ：（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2之间存在着下列关系：（1）d ＞r ⇔M 在圆外，即（x 0－a ）2＋（y 0－b ）2＞r 2⇔M 在圆外；（2）d ＝r ⇔M 在圆上，即（x 0－a ）2＋（y 0－b ）2＝r 2⇔M 在圆上；（3）d ＜r ⇔M 在圆内，即（x 0－a ）2＋（y 0－b ）2＜r 2⇔M 在圆内Ｗ．1．（2021·南昌二中月考）若坐标原点在圆（x －m ）2＋（y ＋m ）2＝4的内部，则实数m 的取值范围是（） A ．（－1，1） B ．（－3，3） C ．（－2，2）D ．⎝⎛⎭⎫－22，22 解析：∵原点（0，0）在圆（x －m ）2＋（y ＋m ）2＝4的内部， ∴（0－m ）2＋（0＋m ）2＜4，解得－2＜m ＜2．答案：C2．若点（1，1）在圆（x －a ）2＋（y ＋a ）2＝4的内部，则实数a 的取值范围是_________．解析：因为点（1，1）在圆内，所以（1－a ）2＋（a ＋1）2＜4，即－1＜a ＜1．答案：（－1，1）授课提示：对应学生用书第171页题型一圆的方程求法[例] 求满足下列条件的圆的方程：（1）过点A （4，1）的圆C 与直线l ：x －y －1＝0相切于点B （2，1）；（2）已知圆C 经过P （－2，4），Q （3，－1）两点，且在x 轴上截得的弦长等于6． [解析] （1）法一：由已知k AB ＝0，所以AB 的中垂线方程为x ＝3． ①过点B 且垂直于直线x －y －1＝0的直线方程为y －1＝－（x －2），即x ＋y －3＝0， ②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，所以圆心坐标为（3，0），半径r ＝（4－3）2＋（1－0）2＝2，所以圆C 的方程为（x －3）2＋y 2＝2．法二：设圆方程为（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2（r ＞0），因为点A （4，1），B （2，1）都在圆上，故⎩⎪⎨⎪⎧（4－a ）2＋（1－b ）2＝r 2，（2－a ）2＋（1－b ）2＝r 2，又因为b －1a －2＝－1，解得a ＝3，b ＝0，r ＝2，故所求圆的方程为（x －3）2＋y 2＝2．（2）设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D 2＋E 2－4F ＞0），将P ，Q 两点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20， ①3D －E ＋F ＝－10. ②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0． ③ 设x 1，x 2是方程③的两根，由|x 1－x 2|＝6，即（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝36，得D 2－4F ＝36， ④由①②④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8，或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0．故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0．求圆的方程的两种方法（1）几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．（2）待定系数法：①若已知条件与圆心（a ，b ）和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．[对点训练]已知圆C 经过直线x ＋y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝4的交点，且圆C 的圆心在直线2x －y －3＝0上，则圆C 的方程为_________．解析：设所求圆的方程为（x 2＋y 2－4）＋a （x ＋y ＋2）＝0，a ≠0，即x 2＋y 2＋ax ＋ay －4＋2a ＝0，所以圆心为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 2，因为圆心在直线2x －y －3＝0，所以－a ＋a2－3＝0，所以a ＝－6．所以圆的方程为x 2＋y 2－6x －6y －16＝0，即（x －3）2＋（y －3）2＝34．答案：（x －3）2＋（y －3）2＝34题型二与圆有关的轨迹问题[例] （2021·衡水中学调研）已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A （－1，0），B （3，0）．求：（1）直角顶点C 的轨迹方程；（2）直角边BC 的中点M 的轨迹方程．[解析] （1）法一：设C （x ，y ），因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0．因为AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0．因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0（y ≠0）．法二：设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D （1，0），由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2．由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D （1，0）为圆心，2为半径的圆（由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点）．所以直角顶点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（y≠0）．（2）设M（x，y），C（x0，y0），因为B（3，0），M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝x0＋32，y＝y0＋02，所以x0＝2x－3，y0＝2y．由（1）知，点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（y≠0），将x0＝2x－3，y0＝2y代入得（2x －4）2＋（2y）2＝4，即（x－2）2＋y2＝1．因此动点M的轨迹方程为（x－2）2＋y2＝1（y≠0）．求与圆有关的轨迹方程的方法[对点训练]如图，已知点A（－1，0）与点B（1，0），C是圆x2＋y2＝1上的动点，连接BC并延长至点D，使得|CD|＝|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程．解析：设动点P的坐标为（x，y），由题意可知P是△ABD的重心．令动点C的坐标为（x0，y0），由A（－1，0），B（1，0），可知点D的坐标为（2x0－1，2y0），由重心坐标公式得⎩⎨⎧x ＝－1＋1＋2x 0－13，y ＝2y 03，解得⎩⎨⎧x 0＝3x ＋12，y 0＝3y2（y ≠0），代入x 20＋y 20＝1并整理得⎝⎛⎭⎫x ＋132＋y 2＝49（y ≠0）．故所求轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x ＋132＋y 2＝49（y ≠0）．题型三与圆有关的最值、范围问题[例] （2021·兰州市高三诊断考试）已知圆C ：（x －1）2＋（y －4）2＝10和点M （5，t ），若圆C 上存在两点A ，B 使得MA ⊥MB ，则实数t 的取值范围是（） A ．[－2，6] B ．[－3，5] C ．[2，6]D ．[3，5][解析] 法一：当MA ，MB 是圆C 的切线时，∠AMB 取得最大值．若圆C 上存在两点A ，B 使得MA ⊥MB ，则MA ，MB 是圆C 的切线时，∠AMB ≥90°，∠AMC ≥45°，且∠AMC ＜90°，如图，所以|MC |＝（5－1）2＋（t －4）2≤10sin 45°＝20，所以16＋（t －4）2≤20，所以2≤t ≤6．法二：由于点M （5，t ）是直线x ＝5上的点，圆心的纵坐标为4，所以实数t 的取值范围一定关于t ＝4对称，故排除选项A ，B ．当t ＝2时，|CM |＝25，若MA ，MB 为圆C 的切线，则sin ∠CMA ＝sin ∠CMB ＝1025＝22，所以∠CMA ＝∠CMB ＝45°，即MA ⊥MB ，所以t ＝2时符合题意，故排除选项D ． [答案] C与圆有关的最值、范围问题一是利用数形结合思想进行临界分析，二是利用条件建立目标函数转化为函数最值或值域问题．[对点训练]（2021·厦门模拟）设点P （x ，y ）是圆：x 2＋（y －3）2＝1上的动点，定点A （2，0），B （－2，0），则P A →·PB →的最大值为_________．解析：由题意，知P A →＝（2－x ，－y ），PB →＝（－2－x ，－y ），所以P A →·PB →＝x 2＋y 2－4，由于点P （x ，y ）是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋（y －3）2＝1，故x 2＝－（y －3）2＋1，所以P A →·PB →＝－（y －3）2＋1＋y 2－4＝6y －12．由圆的方程x 2＋（y －3）2＝1，易知2≤y ≤4，所以当y ＝4时，P A →·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12．答案：12与圆有关的轨迹问题中的核心素养直观想象——从课本习题看“阿波罗尼斯”圆历史背景：阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德一起被称为亚历山大时期的数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要的研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中，“阿波罗尼斯”圆是他的研究成果之一．[例] 已知点M 与两个定点O （0，0），A （3，0）的距离之比为12，求点M 的轨迹方程．[解析] 如图所示，设动点M （x ，y ），连接MO ，MA ，有：|MA |＝2|MO |，即（x －3）2＋y 2＝2x 2＋y 2，化简得：x 2＋y 2＋2x －3＝0，即（x ＋1）2＋y 2＝4 ①，则方程①即为所求点M 的轨迹方程，它表示以C （－1，0）为圆心，2为半径的圆．若对此题进行二次开发，从系统的高度切入，可以进行从特殊到一般的推广探究，还可以分析挖掘出这道题的几何背景，题中所求出的圆，我们习惯上称这种圆为“阿波罗尼斯”圆．“阿波罗尼斯”圆不仅是具有数学文化的探究素材，而且在高考中以它为背景的考题也经常出现．[对点训练]阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，“阿波罗尼斯”圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A ，B 的距离之比为λ（λ＞0，λ≠1），那么点M 的轨迹就是“阿波罗尼斯”圆．下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆O ：x 2＋y 2＝1上的动点M 和定点A ⎝⎛⎭⎫－12，0，B （1，1），则2|MA |＋|MB |的最小值为（） A ．6 B ．7 C ．10D ．11解析：当点M 在x 轴上时，点M 的坐标为（－1，0）或（1，0）．若点M 的坐标为（－1，0），则2|MA |＋|MB |＝2×12＋（1＋1）2＋12＝1＋5；若点M 的坐标为（1，0），则2|MA |＋|MB |＝2×32＋（1－1）2＋12＝4．当点M 不在x 轴上时，取点K （－2，0），连接OM ，MK （图略），因为|OM |＝1，|OA |＝12，|OK |＝2，所以|OM ||OA |＝|OK ||OM |＝2．因为∠MOK ＝∠AOM ，所以△MOK ∽△AOM ，则|MK ||MA |＝|OM ||OA |＝2，所以|MK |＝2|MA |，则2|MA |＋|MB |＝|MB |＋|MK |．易知|MB |＋|MK |≥|BK |，可知|MB |＋|MK |的最小值为|BK |．因为B （1，1），K （－2，0），所以（2|MA |＋|MB |）min ＝|BK |＝（－2－1）2＋（0－1）2＝10．综上，易知2|MA |＋|MB |的最小值为10．答案：C。

高考数学一轮复习第八章平面解析几何8-3圆的方程学案文北师大版

第三节圆的方程授课提示：对应学生用书第156页〖基础梳理〗1．圆的定义、方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫作圆标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0) 圆心：(a ，b ) 半径：r一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0条件：D 2＋E 2－4F >0圆心：⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2 半径：r ＝12D 2＋E 2－4F2.点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)点M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2. (2)点M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)点M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.1．方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件：A ＝C ≠0，B ＝0，且D 2＋E 2－4F＞0.2．以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直径的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.〖四基自测〗1．(基础点：圆的一般方程与标准方程的互化)圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2，3) B ．(－2，3) C ．(－2，－3) D.(2，－3) 〖答案〗D2．(基础点：求圆的方程)过点A (1，－1)，B (－1，1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4 D.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 〖答案〗C3．(基础点：求圆的方程)△AOB 中，A (4，0)，B (0，3)，O (0，0)，则△AOB 外接圆的方程为____________________．〖答案〗x 2＋y 2－4x －3y ＝04．(易错点：二元二次方程表示圆的条件)若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是________．〖答案〗(－2，23)授课提示：对应学生用书第156页考点一求圆的方程挖掘求圆的方程/ 自主练透〖例〗 (1)圆心在y 轴上，半径长为1，且过点A (1，2)的圆的方程是( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝4〖解析〗根据题意可设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝1，因为圆过点A (1，2)，所以12＋(2－b )2＝1，解得b ＝2，所以所求圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1. 〖答案〗 A(2)圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程为________．〖解析〗法一：几何法设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上，所以可设点C 的坐标为(2a ＋3，a )．又该圆经过A ，B 两点，所以|CA |＝|CB |，即（2a ＋3－2）2＋（a ＋3）2＝（2a ＋3＋2）2＋（a ＋5）2，解得a ＝－2，所以圆心C 的坐标为(－1，－2)，半径r ＝10，故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 法二：待定系数法设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）2＋（－3－b ）2＝r 2，（－2－a ）2＋（－5－b ）2＝r 2，a －2b －3＝0，解得a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10，故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 法三：待定系数法设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－D2－2×⎝⎛⎭⎫－E 2－3＝0，4＋9＋2D －3E ＋F ＝0，4＋25－2D －5E ＋F ＝0，解得D ＝2，E ＝4，F ＝－5.故所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0.〖答案〗 x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0 (3)在平面直角坐标系xOy 中，以点A (1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．〖解析〗因为直线与圆相切，所以半径等于圆心到直线的距离，r ＝|m －0－2m －1|1＋m 2＝|m ＋1|1＋m 2＝（1＋m ）21＋m 2＝1＋2m 1＋m 2，因为1＋m 2≥2m ，所以2m 1＋m 2≤1，所以r ≤1＋1＝2，所以半径最大的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.〖答案〗 (x －1)2＋y 2＝2〖破题技法〗求圆的方程的方法方法解读适合题型几何法通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系，进而求得圆的基本量(圆心、半径)和方程，常用的几何性质如下：(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线题设条件中有明显的几何特征续表方法解读适合题型待定系数法(1)根据条件设出圆的方程，一般地，若题目中有与圆心和半径有关的信息，选择标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，若已知圆上三点坐标(或三点坐标易求)，选择一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0；(2)由题目给出的条件，列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组；(3)解出a ，b ，r 或D ，E ，F ，代入标准方程或一般方程题设条件中有明显的代数特征1．将本例(1)改为圆心在y 轴上，且过点(3，1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＝0〖解析〗根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0，故选B. 〖答案〗B2．本小题(3)改为：在平面直角坐标系xOy 中，过点A (1，0)作直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )的垂线，垂足为B ，以A ，B 的连线段为直径的所有圆中，半径最大的圆的一般方程为________．〖解析〗因为直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )过定点 C (2，－1)，所以直径AB 的最大值为|AC |＝2，所以所求半径最大的圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝12，化为一般方程为x 2＋y 2－3x ＋y ＋2＝0. 〖答案〗x 2＋y 2－3x ＋y ＋2＝0考点二与圆有关的轨迹问题挖掘1 直接法求与圆有关的轨迹方程/ 自主练透〖例1〗已知点M 与两个定点O (0，0)，A (3，0)的距离的比为12，则点M 的轨迹方程为________．〖解析〗设点M (x ，y )，由题意得x 2＋y 2（x －3）2＋y 2＝12，整理得x 2＋y 2＋2x －3＝0. 〖答案〗 x 2＋y 2＋2x －3＝0将本题改为“M 与A (3，0)，O (0，0)距离之比为λ”，则动点M 的轨迹方程是什么？其轨迹是什么图形．〖解析〗由题意得x 2＋y 2（x －3）2＋y 2＝1λ，整理得(1－λ2)x 2＋(1－λ2)y 2－6x ＋9＝0.当λ＝1时，轨迹方程为x ＝32，表示OA 的垂直平分线．当λ≠1时，方程为(x －31－λ2)2＋y 2＝9λ2（1－λ2）2，表示为以(31－λ2，0)为圆心，半径为3λ|1－λ2|的圆．挖掘2 相关点(代入法)求轨迹方程/ 自主练透〖例2〗 (1)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任意一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D.(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 〖解析〗设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，代入x2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.〖答案〗 A(2)已知圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝9，过点A (2，3)作圆C 的任意弦，则这些弦的中点P 的轨迹方程为________．〖解析〗设P (x ，y )，圆心C (1，1)．因为P 点是过点A 的弦的中点，所以P A →⊥PC →.又因为P A →＝(2－x ，3－y )，PC →＝(1－x ，1－y )．所以(2－x )·(1－x )＋(3－y )·(1－y )＝0.所以点P 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －2)2＝54.〖答案〗 ⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －2)2＝54〖破题技法〗与圆有关的轨迹问题的四种求法将本例(1)变为P (4，－2)，A 是x 2＋y 2＝4的动点．M 是线段P A 上的点满足|PM ||MA |＝λ(λ＞0)，则动点M 的轨迹还是圆吗？〖解析〗由题意得PM →＝λMA →，设M (x ，y )，A (x 0，y 0)，∴(x －4，y ＋2)＝λ(x 0－x ，y 0－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝λ（x 0－x ），y ＋2＝λ（y 0－y ），∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝（1＋λ）x －4λ，y 0＝（1＋λ）y ＋2λ.∵x 20＋y 20＝4， ∴[（1＋λ）x －4]2λ2＋[（1＋λ）y ＋2]2λ2＝4，即(x －41＋λ)2＋(y ＋21＋λ)2＝4λ2（1＋λ）2表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫41＋λ，－21＋λ为圆心，半径为2λ1＋λ的圆．。

2018届高中数学北师大版（文）第8章平面解析几何单元测试52Word版含答案

2018届⾼中数学北师⼤版（⽂）第8章平⾯解析⼏何单元测试52Word版含答案课时作业52 椭圆⼀、选择题1．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的⼀个焦点，且椭圆的另外⼀个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．12解析：由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a(F 是椭圆的另外⼀个焦点)，∴周长为4a ＝4 3.答案：C2．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离⼼率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D .1925或21解析：若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，即5－k 3＝45，解得k ＝－1925；若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5，若c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21. 答案：C3．(20172湖北⼋校联考)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y5＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A .514B .513C .49D .59解析：由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2.设线段PF 1的中点为M ，则有OM∥PF 2，∵OM⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2，∴|PF 2|＝b 2a ＝53.⼜∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，∴|PF 2||PF 1|＝533313＝513，故选B . 答案：B4．(20162新课标全国卷Ⅰ)直线l 经过椭圆的⼀个顶点和⼀个焦点，若椭圆中⼼到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离⼼率为( )A .13B .12C .23D .34解析：解法1：不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c,0)，b>0，c>0，则直线l 的⽅程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bcb 2＋c 2＝1432b，解得b 2＝3c 2，⼜b 2＝a 2－c 2，所以c 2a 2＝14，即e 2＝14，所以e ＝12(e ＝－12舍去)，故选B .解法2：不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c,0)，b>0，c>0，则直线l 的⽅程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bcb 2＋＝1432b，所以bc a ＝1432b，所以e ＝c a ＝12，故选B .答案：B5．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，在长轴A 1A 2上任取⼀点M ，过M 作垂直于A 1A 2的直线，与椭圆的⼀个交点为P ，则使得PF 1→2PF 2→<0的点M 的概率为( )A .22B .223 C .63D .12解析：设P(x ，y)，PF 1→＝(－c －x ，－y)，PF 2→＝(c －x ，－y)，∵PF 1→2PF 2→＝(－c －x ，－y)2(c－x ，－y)＝x 2＋y 2－c 2＝x 2＋? ??1－x 24－3＝3x 24－2<0，∴－2632PF 2→<0的点M 的概率为23263232＝63.答案：C6．(20172湖北武昌调研)已知椭圆x 2a 2＋yb 2＝1(a>b>0)的左焦点F(－c,0)关于直线bx ＋cy ＝0的对称点P 在椭圆上，则椭圆的离⼼率是( )A .24B .34C .33D .22解析：设左焦点F(－c,0)关于直线bx ＋cy ＝0的对称点为P(m ，n)，则n m ＋c 2? ????－b c ＝－1，b2m －c 2＋c2n 2＝0n m ＋c ＝c b ，bm －bc ＋nc ＝0，所以m ＝b 2c －c 3b 2＋c 2＝ a 2－2c 2 c a 2＝(1－2e 2)c ，n ＝c 2b ＋bc 2b 2＋c 2＝2bc 2a2＝2be 2.因为点P(m ，n)在椭圆上，所以 1－2e 22c 2a 2＋4b 2e 4b 2＝1，即(1－2e 2)2e 2＋4e 4＝1，即4e 6＋e 2－1＝0，将各选项代⼊知e ＝22符合，故选D . 答案：D ⼆、填空题7．直线x －2y ＋2＝0过椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1的左焦点F 1和⼀个顶点B ，则椭圆的⽅程为________．解析：直线x －2y ＋2＝0与x 轴的交点为(－2,0)，即为椭圆的左焦点，故c ＝2. 直线x －2y ＋2＝0与y 轴的交点为(0,1)，即为椭圆的顶点，故b ＝1.故a 2＝b 2＋c 2＝5，椭圆⽅程为x 25＋y 2＝1.答案：x 25＋y 2＝18．设AB 是椭圆的长轴，点C 在椭圆上，且∠CBA＝π4，若AB ＝4，BC ＝2，则椭圆的两个焦点之间的距离为________．解析：如图，设椭圆的标准⽅程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，由题意知，2a ＝4，a ＝2，∵∠CBA＝π4，BC ＝2，∴点C 的坐标为C(－1,1)．⼜∵点C 在椭圆上，∴14＋1b 2＝1，∴b 2＝43，∴c 2＝a2－b 2＝4－43＝83，c ＝263，则椭圆的两个焦点之间的距离为463.答案：4639．(20172安徽江南⼗校联考)椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的右顶点为A ，经过原点的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，若|PQ|＝a ，AP⊥PQ，则椭圆C 的离⼼率为________．解析：不妨设点P 在第⼀象限，由对称性可得|OP|＝|PQ|2＝a2，在Rt △POA 中，cos ∠POA＝|OP||OA|＝12，故∠POA＝60°，易得P ? ????14a ，34a ，代⼊椭圆⽅程得：116＋3a 216b 2＝1，故a 2＝5b 2＝5(a 2－c 2)，则c 2a 2＝45，所以离⼼率e ＝255.答案：255三、解答题10．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点为F 2(1,0)，点H ? 2，2103在椭圆上．。

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第3讲圆的方程1．已知点A (1，－1)，B (－1，1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝ 2C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4 解析：选A.AB 的中点坐标为(0，0)，|AB |＝[1－（－1）]2＋（－1－1）2＝22，所以圆的方程为x 2＋y 2＝2.2．(2016·合肥质检)过坐标原点O 作单位圆x 2＋y 2＝1的两条互相垂直的半径OA ，OB ，若在该圆上存在一点C ，使得OC →＝aOA →＋bOB →(a ，b ∈R )，则以下说法正确的是( ) A ．点P (a ，b )一定在单位圆内 B ．点P (a ，b )一定在单位圆上 C ．点P (a ，b )一定在单位圆外D ．当且仅当ab ＝0时，点P (a ，b )在单位圆上解析：选B.因为OC →2＝(aOA →＋bOB →)2，且OA →⊥OB →，所以a 2＋b 2＋2abOA → ·OB →＝a 2＋b 2＝1，因此点P (a ，b )一定在单位圆上，故选B.3．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1解析：选A.由于圆心在第一象限且与x 轴相切，故设圆心为(a ，1)，a ＞0，又圆与直线4x－3y ＝0相切，可得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.4．(2016·辽宁省五校联考)直线x －2y －2k ＝0与直线2x －3y －k ＝0的交点在圆x 2＋y 2＝9的外部，则k 的取值范围为( )A ．k ＜－35或k ＞35B ．－35＜k ＜35C ．－34＜k ＜34D ．k ＜－34或k ＞34解析：选A.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2k ＝0，2x －3y －k ＝0得交点坐标为(－4k ，－3k )．由题意知(－4k )2＋(－3k )2＞9，解得k ＞35或k ＜－35，故选A.5．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1，0)且被x 轴分成两段弧长的比为1∶2，则圆C 的方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝43B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝13C ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43D ．x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ±332＝13解析：选C.由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π，设圆心(0，a )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ±332＝43.6．(2016·洛阳统考)若直线l ：ax ＋by ＋1＝0(a ≥0，b ≥0)始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y＋1＝0的周长，则a 2＋b 2－2a －2b ＋3的最小值为( ) A.45 B.95C ．2 D.94解析：选B.因为直线ax ＋by ＋1＝0始终平分圆x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，所以圆心(－2，－1)在直线ax ＋by ＋1＝0上，从而2a ＋b －1＝0.a 2＋b 2－2a －2b ＋3＝(a －1)2＋(b －1)2＋1，而(a －1)2＋(b －1)2表示点(1，1)与直线2a ＋b －1＝0上任一点距离的平方，其最小值d 2min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|2×1＋1×1－1|22＋122＝45，所以a 2＋b 2－2a －2b ＋3的最小值为45＋1＝95，故选B. 7．(2014·高考陕西卷)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．解析：圆C 的圆心为(0，1)，半径为1，标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：x 2＋(y －1)2＝18．(2016·太原模拟)已知点P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，点C 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆心，那么|PC |的最小值是________．解析：点C 到直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点P 的最小距离即为点C 到直线3x ＋4y ＋8＝0的距离，而圆心C 的坐标是(1，1)，因此最小距离为|3×1＋4×1＋8|5＝3.答案：39．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________．解析：因为圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，所以其圆心为(－1，2)，且5－a >0，即a <5.又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，所以2＝－2＋b ，所以b ＝4.所以a －b ＝a －4<1. 答案：(－∞，1)10．已知圆C 过点(1，0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 截得的弦长为22，则圆的方程为________．解析：由题意设圆心为(m ，0)(m ＞0)，则圆的半径r ＝|1－m |，圆心到直线l ：y ＝x －1的距离d ＝|m －1|2，又直线l ：y ＝x －1被圆C 截得的弦长为22，所以2|1－m |2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|m －1|22＝22，整理得|1－m |＝2，解得m ＝3(m ＝－1不符合题意，舍去)，则r ＝2，故圆的方程为(x －3)2＋y 2＝4.答案：(x －3)2＋y 2＝411．求适合下列条件的圆的方程．(1)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)； (2)过三点A (1，12)，B (7，10)，C (－9，2)．解：(1)法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a ，（3－a ）2＋（－2－b ）2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r ，解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2.所以圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. 法二：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r ＝（1－3）2＋（－4＋2）2＝22，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(2)设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0.1．已知两点A (0，－3)、B (4，0)，若点P 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 面积的最小值为( )A ．6 B.112C ．8 D.212解析：选B.如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，这时△ABP 的面积最小．直线AB的方程为x 4＋y －3＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离为d ＝|3×0－4×1－12|32＋（－4）2＝165，所以△ABP 的面积的最小值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫165－1＝112.2．在以O 为原点的直角坐标系中，点A (4，－3)为△OAB 的直角顶点，已知|AB |＝2|OA |，且点B 的纵坐标大于0.(1)求AB →的坐标；(2)求圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程．解：(1)设AB →＝(x ，y )，由|AB |＝2|OA |，AB →·OA →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝100，4x －3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－8.若AB →＝(－6，－8)，则y B ＝－11与y B >0矛盾．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－8舍去，即AB →＝(6，8)．(2)圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0，即(x －3)2＋(y ＋1)2＝(10)2，其圆心C (3，－1)，半径r ＝10，因为OB →＝OA →＋AB →＝(4，－3)＋(6，8)＝(10，5)，所以直线OB 的方程为y ＝12x .设圆心C (3，－1)关于直线y ＝12x 的对称点的坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a －3＝－2，b －12＝12·a ＋32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10.3．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4，0)的距离等于线段OF 的长？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆C 的圆心为C (a ，b )，则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝8. 因为直线y ＝x 与圆C 相切于原点O ，所以O 点在圆C 上，且OC 垂直于直线y ＝x ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝8，b a＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2. 由于点C (a ，b )在第二象限，故a <0，b >0，所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8. (2)假设存在点Q 符合要求，设Q (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧（x －4）2＋y 2＝16，（x ＋2）2＋（y －2）2＝8，解之得x ＝45或x ＝0(舍去)．所以存在点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，125，使Q 到定点F (4，0)的距离等于线段OF 的长．。

高考数学一轮复习第八章平面解析几何第三节圆的方程课时规范练文含解析北师大版

第八章平面解析几何第三节圆的方程课时规范练A 组——基础对点练1．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2B ．(x －1)2＋(y －1)2＝2C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8D ．(x －1)2＋(y －1)2＝8解析：由题意知，直径的两端点分别为(0，2)，(2，0)，所以圆心为(1，1)，半径为 2.故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.答案：B2．已知a ∈R ，若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则此圆的圆心坐标为( )A ．(－2，－4)B ．⎝⎛⎭⎫－12，－1C ．(－2，－4)或⎝⎛⎭⎫－12，－1 D.不确定答案：A3．(2020·太原模拟)两条直线y ＝x ＋2a ，y ＝2x ＋a 的交点P 在圆(x －1)2＋(y －1)2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－15，1 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－15∪(1，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫－15，1 D.⎝⎛⎦⎤－∞，－15∪[1，＋∞) 解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2a ，y ＝2x ＋a ，解得P (a ，3a )，因为点P 在圆内，所以(a －1)2＋(3a －1)2＜4，所以－15＜a ＜1. 答案：A4．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝9解析：因为圆心(2，－1)到直线3x －4y ＋5＝0的距离d ＝|3×2－4×（－1）＋5|32＋（－4）2＝3，所以圆的半径为3，即圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.答案：C5．一个圆经过点(0，1)，(0，－1)和(2，0)，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为( )A ．(x －32)2＋y 2＝254B ．(x ＋34)2＋y 2＝2516C ．(x －34)2＋y 2＝2516 D.(x －34)2＋y 2＝254解析：由题意可得圆经过点(0，1)，(0，－1)和(2，0)，设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1＝r 2，（2－a ）2＝r 2，解得a ＝34，r 2＝2516，则该圆的标准方程为(x －34)2＋y 2＝2516. 答案：C6．(2020·贵阳监测)经过三点A (－1，0)，B (3，0)，C (1，2)的圆的面积S ＝( )A ．πB ．2πC ．3π D.4π解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A (－1，0)，B (3，0)，C (1，2)的坐标代入圆的方程可得⎩⎪⎨⎪⎧1－D ＋F ＝0，9＋3D ＋F ＝0，1＋4＋D ＋2E ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝－3，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4，所以圆的半径r ＝2，所以S ＝4π.故选D.答案：D7．(2020·河南六校联考)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4B ．(x －1)2＋(y －3)2＝4C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x －2)2＋(y －2)2＝4解析：设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为A (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，∴a ＝1，b ＝3，∴A (1，3)，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选B.答案：B 8．已知方程x 2＋y 2－2x ＋2y ＋F ＝0表示半径为2的圆，则实数F ＝________．解析：方程x 2＋y 2－2x ＋2y ＋F ＝0可化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2－F ，因为方程x 2＋y 2－2x ＋2y ＋F ＝0表示半径为2的圆，所以F ＝－2.答案：－29．已知圆C 的圆心在x 轴上，并且经过点A (－1，1)，B (1，3)，若M (m ，6)在圆C 内，则m 的取值范围为________．解析：设圆心为C (a ，0)，由|CA |＝|CB |，得(a ＋1)2＋12＝(a －1)2＋32，解得a ＝2.半径r ＝|CA |＝（2＋1）2＋12＝10.故圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.由题意知(m －2)2＋(6)2＜10，解得0＜m ＜4.答案：(0，4)10．已知直角三角形ABC 的斜边为AB ，且A (－1，0)，B (3，0)，则直角顶点C 的轨迹方程为________．解析：设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1.又因为k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3且k AC ·k BC ＝－1，所以y x ＋1·y x －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0. 因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．答案：x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)B 组——素养提升练11．(2020·广西南宁联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知(x 1－2)2＋y 21＝5，x 2－2y 2＋4＝0，则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为( ) A.55 B ．15C.1215D.1155 解析：由已知得点(x 1，y 1)在圆(x －2)2＋y 2＝5上，点(x 2，y 2)在直线x －2y ＋4＝0上，故(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2表示圆(x －2)2＋y 2＝5上的点和直线x －2y ＋4＝0上点的距离平方，而距离的最小值为|2＋4|1＋4－5＝55，故(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为15.故选B. 答案：B12．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m ＞0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5 D.4解析：根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3，4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m ，因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC |＝32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.答案：B13．(2020·泰安市模拟)已知对于圆x 2＋(y －1)2＝1上任一点P (x ，y )，不等式x ＋y ＋m ≥0恒成立，则实数m 的取值范围为________．解析：因为x ＋y ＋m ＝0右上方的点满足：x ＋y ＋m >0，结合图像知，要使圆上的任一点的坐标都满足x ＋y ＋m ≥0，只需直线在如图所示的切线的左下方(含切线)，图中切线的纵截距－m＝－2＋1，故只需－m≤－2＋1，即m≥2－1即可．答案：[2－1，＋∞)14．(2020·贵阳市一模)由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．解析：设直线上一点为P，切点为Q，圆心为M，则|PQ|即切线长，MQ为圆M的半径，长度为1，|PQ|＝|PM|2－|MQ|2＝|PM|2－1.要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离．设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，则d＝|3－0＋1|12＋（－1）2＝2 2.所以|PM|的最小值为2 2.所以|PQ|＝|PM|2－1≥（22）2－1＝7.答案：715．(2020·聊城模拟)已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点．(1)求m＋2n的最大值；(2)求n－3m＋2的最大值和最小值．解析：(1)因为x2＋y2－4x－14y＋45＝0的圆心C(2，7)，半径r＝22，设m＋2n＝t，将m＋2n＝t看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d＝|1×2＋2×7－t|12＋22≤22，解上式得：16－210≤t≤16＋210，所以，所求的最大值为16＋210.(2)记点Q (－2，3)．因为n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k . 由直线MQ 与圆C 有公共点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤2 2.可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. 16．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程．解析：(1)由已知得直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1，2)，则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在直线CD 上得a ＋b －3＝0.①又∵直径|CD |＝410，∴|P A |＝210，∴(a ＋1)2＋b 2＝40.② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2，∴圆心为P (－3，6)或P (5，－2)，∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.。