2018高考数学一轮复习第8章平面解析几何第3节圆的方程课时分层训练文北师大版
高考数学一轮复习第8章平面解析几何第3节圆的方程教学案理(含解析)北师大版
高考数学一轮复习第8章平面解析几何第3节圆的方程教学案理（含解析）北师大版第三节圆的方程[考纲传真] 1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心(a，b)，半径r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F＞0)圆心⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E2，半径12D2＋E2－4F点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.[常用结论]1．圆心为坐标原点，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．( )(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．( )(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0. ( ) [答案](1)√(2)×(3)×(4)√2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D [由题意得圆的半径为2，故该圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，故选D ．] 3．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A.14＜m ＜1 B ．m ＜14或m ＞1C ．m ＜14D ．m ＞1B [由16m 2－20m ＋4＞0得m ＜14或m ＞1.故选B ．]4．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．a ＝±1A [由题意可得(1－a )2＋(1＋a )2＜4，即－1＜a ＜1.故选A.]5．(教材改编)圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为________．(x －2)2＋y 2＝10 [设圆心坐标为C (a,0)， ∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上， ∴|CA |＝|CB |，即a ＋12＋1＝a －12＋9，解得a ＝2，所以圆心为C (2,0)， 半径|CA |＝2＋12＋1＝10，∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.]圆的方程【例1】 (1)圆E 经过三点A (0,1)，B (2,0)，C (0，－1)，则圆E 的标准方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342＋y 2＝2516C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝254(2)过点A (1，－1)，B (－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4(1)C (2)C [(1)设圆E 的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧E ＋F ＋1＝0，4＋2D ＋F ＝0，1－E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－32，E ＝0，F ＝－1.∴x 2＋y 2－32x －1＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516.故选C.(2)∵圆心在直线x ＋y －2＝0上，∴设圆心坐标为(a,2－a )． ∴圆的半径r ＝a －12＋2－a ＋12＝a ＋12＋2－a －12，解得a ＝1，r ＝2，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.故选C.] [规律方法] 求圆的方程的两种方法(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．(1)(2018·合肥二模)已知圆C ：(x －6)2＋(y －8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为( )A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝100 B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝100 C ．(x －3)2＋(y －4)2＝25D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝25(2)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．(1)C (2)(x －2)2＋(y －1)2＝4 [(1)由题意可知圆心C 为(6,8)，则以OC 为直径的圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.故选C.(2)设圆C 的圆心为(a ，b )(b ＞0)，由题意得a ＝2b ＞0，且a 2＝(3)2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1.所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.] 与圆有关的最值问题【例2】 已知M (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值； (2)求y －3x ＋2的最大值和最小值． [解] (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝2＋22＋7－32＝42，∴|MQ |m ax ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2. (2)可知y －3x ＋2表示直线MQ 的斜率k . 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0. 由直线MQ 与圆C 有交点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22， 可得2－3≤k ≤2＋3， ∴y －3x ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. [母题探究] (1)(变化结论)在本例的条件下，求y －x 的最大值和最小值．(2)(变换条件)若本例中条件“点Q (－2,3)”改为“点Q 是直线3x ＋4y ＋1＝0上的动点”，其它条件不变，试求|MQ |的最小值．[解] (1)设y －x ＝b ，则x －y ＋b ＝0.当直线y ＝x ＋b 与圆C 相切时，截距b 取到最值， ∴|2－7＋b |12＋－12＝22，∴b ＝9或b ＝1.因此y －x 的最大值为9，最小值为1.(2)∵圆心C (2,7)到直线3x ＋4y ＋1＝0上动点Q 的最小值为点C 到直线3x ＋4y ＋1＝0的距离，∴|QC |min ＝d ＝|2×3＋7×4＋1|32＋42＝7. 又圆C 的半径r ＝22， ∴|MQ |的最小值为7－2 2.[规律方法] 与圆有关的最值问题的三种几何转化法 (1)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题． (2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如m ＝(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．(1)设P (x ，y )是曲线x 2＋(y ＋4)2＝4上任意一点，则x －12＋y －12的最大值为( )A.26＋2 B ．26 C ．5D ．6(2)一束光线从点A (－1,1)出发，经x 轴反射到圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上的最短路径的长是( )A ．4B ．5C ．32－1D ．2 6(1)A (2)A [(1)x －12＋y －12的几何意义为点P (x ，y )与点A (1,1)之间的距离．易知点A (1,1)在圆x 2＋(y ＋4)2＝4的外部，由数形结合可知x －12＋y －12的最大值为1－02＋1＋42＋2＝26＋2.故选A.(2)由题意可得圆心C (2,3)，半径r ＝1，点A 关于x 轴的对称点A ′(－1，－1)，求得|A ′C |＝2＋12＋3＋12＝5，故最短路径为|A ′C |－r ＝5－1＝4，故选A.]与圆有关的轨迹问题【例3】 (2019·衡水调研)已知直角三角形ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．[解] (1)法一：设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1， 又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3， 所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0. 因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．法二：设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．[规律方法] 求与圆有关的轨迹问题的四种方法 (1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解． (2)定义法：根据圆的定义列方程求解． (3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3,0)连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝4C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝12C [设中点M (x ，y )，则动点A (2x －3,2y )．∵点A 在圆x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋(2y )2＝1，即(2x －3)2＋4y 2＝1.故选C.]1．(2018·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32]A [圆心(2,0)到直线的距离d ＝|2＋0＋2|2＝22，所以点P 到直线的距离d 1∈[2，32]．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为A (－2,0)，B (0，－2)，所以|AB |＝22，所以△ABP 的面积S ＝12|AB |d 1＝2d 1.因为d 1∈[2，32]，所以S ∈[2,6]，即△ABP 面积的取值范围是[2,6]．]2．(2015·全国卷Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10C [设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，∴M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)，∴|MN |＝46，故选C.]3．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 [由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0<m <4，r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，4－m 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.]。
2018版高考数学一轮总温习 第8章节 平面解析几何 8.3 圆的方程讲义 理
2．用几何法求圆的方程 利用圆的几何性质求方程，可直接求出圆心坐标和半径， 进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．
【变式训练 1】 (1)[2015·全国卷Ⅱ] 过三点 A(1,3)， B(4,2)，C(1，－7)的圆交 y 轴于 M，N 两点，则|MN|＝( )
(2)[2017·河南百校联盟]经过点 A(5,2)，B(3，－2)，且圆
心 在 直 线 2x － y － 3 ＝ 0 上 的 圆 的 方 程 为 (x_－ __2_)_2_＋__(_y－ ___1_)2_＝ __1_0_．
解 析 设 圆 的 方 程 为 (x－ a)2 ＋ (y－ b)2 ＝ r2(r>0)， 则
y－b x－a
形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形
如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值
问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为
动点到定点；的距离的平方的最值问题．
(2)与圆相关的最值，若几何意义明显时，可充分利用
几何性质，借助几何直观求解，否则可用代数法转化为函
5
5－2
B. 5
C. 5－2
7 D.
5
5－2
[解析] 如图所示，点 P 在半圆 C(实线部分)上，且由 题意知，C(1,0)，点 Q 在直线 l：x－2y－6＝0 上．过圆心 C 作直线 l 的垂线，垂足为 A，则|CA|＝ 5，|PQ|min＝|CA|－2 ＝ 5－2.
命题角度 4 建立目标函数求最值问题
所以yx的最大值为 3，最小值为－ 3.
命题角度 2 截距型最值
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8-3 圆的方程 文
(2)由(1)可知 M 的轨迹方程为以 N(1,3)为圆心，半径为 2的圆，由于|OP|＝|OM|，故 O 在线段 PM 的垂 直平分线上，又 P 在圆 N 上，从而 ON⊥PM.
因为 ON 的斜率为 3，所以 l 的斜率为－13， 故 l 的方程为 y＝－13x＋83. 又|OM|＝|OP|＝2 2，O 到 l 的距离为4 510， |PM|＝45 10，所以△POM 的面积为156.
命题角度 2 求与圆有关的轨迹方程
典例2
[2014·课标全国卷Ⅰ]已知点 P(2,2)，圆 C：x2＋y2－8y＝0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A，
B 两点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点．
(1)求 M 的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求 l 的方程及△POM 的面积．
小题快做 1.思考辨析 (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ ) (2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为 t 的一个圆．( × ) (3)方程 x2＋y2＋4mx－2y＝0 不一定表示圆．( × ) (4)若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外，则 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0.( √ )
D2＋E2－4F
2
.
4．若圆 x2＋(y－1)2＝5 内有一点为(2a，a＋1)，则 a 的取值为_(_－__1_,1_)__．
解析 把(2a，a＋1)代入方程得 (2a)2＋(a＋1－1)2<5 得－1<a&容之一，形式以选择题、填空题为主，且主要有以下命题角度.
第八章 平面解析几何
第3讲 圆的方程
考纲展示
三年高考总结
从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点， 1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方
2018版高考数学一轮总复习 第8章 平面解析几何 8.3 圆的方程模拟演练 文
2018版高考数学一轮总复习 第8章 平面解析几何 8.3 圆的方程模拟演练 文[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．[2017·福州质检]设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与圆的位置关系是( )A ．原点在圆上B ．原点在圆外C ．原点在圆内D ．不确定答案 B解析 将圆的一般方程化成标准方程为(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0<a <1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2>0，即＋a2＋＋2>2a ，所以原点在圆外．2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝1答案 A解析 设圆心坐标为(0，b )，则圆的方程为x 2＋(y －b )2＝1.又因为该圆过点(1,2)，所以12＋(2－b )2＝1，解得b ＝2，即圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.3．[2017·昆明一中模拟]若点A ，B 在圆O ：x 2＋y 2＝4上，弦AB 的中点为D (1,1)，则直线AB 的方程是( )A ．x －y ＝0B ．x ＋y ＝0C ．x －y －2＝0D ．x ＋y －2＝0答案 D解析 因为直线OD 的斜率为k OD ＝1，所以由垂径定理得直线AB 的斜率为k AB ＝－1，所以直线AB 的方程是y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0，故选D.4．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1答案 A解析 设M (x 0，y 0)为圆x 2＋y 2＝4上任一点，PM 中点为Q (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋42，y ＝y 0－22，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.代入圆的方程得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．若方程 16－x 2－x －m ＝0有实数解，则实数m 的取值范围( ) A ．－42≤m ≤4 2 B ．－4≤m ≤4 2 C ．－4≤m ≤4D ．4≤m ≤4 2 答案 B解析 由题意知方程16－x 2＝x ＋m 有实数解，分别作出y ＝16－x 2与y ＝x ＋m 的图象，如图，若两图象有交点，需－4≤m ≤4 2.6．[2016·浙江高考]已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．答案 (－2，－4) 5解析 由题可得a 2＝a ＋2，解得a ＝－1或a ＝2.当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a ＝2时，方程不表示圆．7．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________．答案 3－ 2解析 l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离d ＝32，则AB 边上的高的最小值为32－1.故△ABC 面积的最小值是12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝3－ 2.8．[2017·东城区调研]当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________.答案3π4解析 由题意知，圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2≤1，当半径r 取最大值时，圆的面积最大，此时k ＝0，r ＝1，所以直线方程为y ＝－x ＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π4.9．[2017·唐山调研]已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|PA |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )， 则x ＋2＋y 2＝2x －2＋y 2.化简可得(x －5)2＋y 2＝16，此方程即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示． 由直线l 2是此圆的切线，连接CQ ，则|QM |＝ |CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16，当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值， 此时|CQ |＝|5＋3|2＝42，则|QM |的最小值为32－16＝4.10．已知点(x ，y )满足(x －3)2＋(y －4)2＝9，求： (1)3x ＋4y 的最大值与最小值； (2)(x ＋1)2＋y 2的最小值．解 (1)解法一：设圆(x －3)2＋(y －4)2＝9的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝4＋3sin θ(θ为参数)，∴3x ＋4y ＝3(3＋3cos θ)＋4(4＋3sin θ) ＝25＋9cos θ＋12sin θ＝25＋15sin(θ＋φ)． ∴3x ＋4y 的最大值为40，最小值为10. 解法二：设3x ＋4y ＝t ，直线与圆有公共点， ∴|9＋16－t |5≤3⇔|t －25|≤15⇔10≤t ≤40. ∴t min ＝10，t max ＝40.(2)解法一：(x ＋1)2＋y 2＝(4＋3cos θ)2＋(4＋3sin θ)2＝41＋24(sin θ＋cos θ)＝41＋242sin ( θ＋π4)，∴其最小值为41－24 2.解法二：设M (x ，y )是圆上的点，圆外一点M 0(－1,0)，则(x ＋1)2＋y 2的几何意义是|MM 0|2，而|MM 0|最小值是|M 0C |－r ，即(42＋42－3)2＝41－24 2.[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．[2017·临汾模拟]若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1答案 A解析 由于圆心在第一象限且与x 轴相切，故设圆心为(a,1)(a >0)，又由圆与直线4x －3y ＝0相切可得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.12．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6]C ．[4,6)D ．(4,6]答案 A解析 易求圆心(3，－5)到直线4x －3y ＝2的距离为5.令r ＝4，可知圆上只有一点到已知直线的距离为1；令r ＝6，可知圆上有三点到已知直线的距离为1，所以半径r 取值范围在(4,6)之间符合题意．13．[2017·泰安模拟]已知对于圆x 2＋(y －1)2＝1上任一点P (x ，y )，不等式x ＋y ＋m ≥0恒成立，则实数m 的取值范围为________．答案 [2－1，＋∞)解析 因为x ＋y ＋m ＝0右上方的点满足：x ＋y ＋m >0，结合图象知，要使圆上的任一点的坐标都满足x ＋y ＋m ≥0，只需直线在如图所示的切线的左下方(含切线)，图中切线的纵截距－m ＝ －2＋1，故只需－m ≤－2＋1，即m ≥2－1即可．14．[2014·全国卷Ⅰ]已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165.。
2018届高考数学(文)大一轮复习教师用书第8章平面解析几何第3节圆的方程Word版含答案
第三节 圆的方程———————————————————————————————— 1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．圆的定义及方程2.点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)方程(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝t 2(t ∈R )表示圆心为(a ，b )，半径为t 的一个圆．( ) (3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( )(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( ) 由圆的定义及点与圆的位置关系，知(1)(3)(4)正确．(2)中，当t ≠0时，表示圆心为(－a ，－b )，半径为|t |的圆，不正确． (1)√ (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( ) A ．a ＜－2或a ＞23B ．－23＜a ＜0C ．－2＜a ＜0D ．－2＜a ＜23D3．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3 D ．2A4．(2017·西安质检)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．x 2＋(y －1)2＝15．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53 B.213C.253D.43(2)(2016·天津高考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________． (1)B (2)(x －2)2＋y 2＝91.直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． 2．待定系数法求圆的方程：①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．温馨提醒：解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．(2017·河南百校联盟联考)经过点A (5,2)，B (3，－2)，且圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程为________．x 2＋y 2－4x －2y －5＝0(或(x －2)2＋(y －1)2＝10)已知M (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)． (1)求|MQ |的最大值和最小值； (2)求y －3x ＋2的最大值和最小值． (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2.2分 又|QC |＝＋2＋－2＝42，∴|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2.5分 (2)可知y －3x ＋2表示直线MQ 的斜率k .6分 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0.8分 由直线MQ 与圆C 有交点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22， 可得2－3≤k ≤2＋3， ∴y －3x ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.12分 (变化结论)在本例的条件下，求y －x 的最大值和最小值． 设y －x ＝b ，则x －y ＋b ＝0.3分当直线y ＝x ＋b 与圆C 相切时，截距b 取到最值， ∴|2－7＋b |12＋－2＝22，∴b ＝9或b ＝1.10分因此y －x 的最大值为9，最小值为1.12分(变换条件结论)若本例中条件“点Q (－2,3)”改为“点Q 是直线3x ＋4y ＋1＝0上的动点”，其它条件不变，试求|MQ |的最小值．∵圆心C (2,7)到直线3x ＋4y ＋1＝0上动点Q 的最小值为点C 到直线3x ＋4y ＋1＝0的距离，∴|QC |min ＝d ＝|2×3＋7×4＋1|32＋42＝7.5分 又圆C 的半径r ＝22，∴|MQ |的最小值为7－2 2.12分1.处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，数形结合求解．2．某些与圆相关的最值可利用函数关系求最值．根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、函数的性质、利用基本不等式求最值是比较常用的．设P 为直线3x －4y ＋11＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，求四边形PACB 的面积的最小值．圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，2分 圆心为C (1,1)，半径为r ＝1.5分 根据对称性可知，四边形PACB 的面积为 2S △APC ＝2×12|PA |r ＝|PA |＝|PC |2－r 2.8分要使四边形PACB 的面积最小，则只需|PC |最小，最小时为圆心到直线l ：3x －4y ＋11＝0的距离d ＝|3－4＋11|32＋－2＝105＝2.10分 所以四边形PACB 面积的最小值为 |PC |2min －r 2＝4－1＝ 3.12分C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.2分 设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )． 由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.5分(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆． 由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上． 又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .7分因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.10分又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165.12分求与圆有关的轨迹问题的四种方法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解． (2)定义法：根据圆的定义列方程求解． (3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解． 已知点A (－1,0)，点B (2,0)，动点C 满足|AC |＝|AB |，求点C 与点P (1,4)所连线段的中点M 的轨迹方程. 【导学号：31222293】由题意可知：动点C 的轨迹是以(－1,0)为圆心，3为半径长的圆，方程为(x ＋1)2＋y 2＝9.3分设M (x 0，y 0)，则由中点坐标公式可求得C (2x 0－1,2y 0－4)，6分代入点C 的轨迹方程得4x 20＋4(y 0－2)2＝9， 化简得x 20＋(y 0－2)2＝94，10分故点M 的轨迹方程为x 2＋(y －2)2＝94.12分1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件，“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法．2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．1．二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F ＞0这一前提条件． 2．求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．3．求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线．课时分层训练(四十七) 圆的方程A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2D2．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为( )A．2 B.2 2C．1 D. 2D3．(2017·山西运城二模)已知圆(x－2)2＋(y＋1)2＝16的一条直径通过直线x－2y＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A．3x＋y－5＝0 B．x－2y＝0C．x－2y＋4＝0 D．2x＋y－3＝0D4．若圆心在x轴上，半径为5的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O 的方程是( )A．(x－5)2＋y2＝5 B．(x＋5)2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5D5．(2017·重庆四校模拟)设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )A．6 B．4C．3 D．2B二、填空题6．(2016·浙江高考)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．(－2，－4) 57．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．【导学号：31222294】x ＋y －1＝08．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________.【导学号：31222295】(x －1)2＋y 2＝2 三、解答题9．已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R ，若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程．【导学号：31222296】法一：依题意，点P 的坐标为(0，m )，2分 因为MP ⊥l ，所以0－m2－0×1＝－1，5分解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)，8分 圆的半径r ＝|MP |＝－2＋－2＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.12分法二：设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2，2分 依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )， 则⎩⎪⎨⎪⎧4＋m 2＝r 2，|2－0＋m |2＝r ，6分解得⎩⎨⎧m ＝2，r ＝22，10分所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.12分10．(2015·广东高考改编)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程． (1)由x 2＋y 2－6x ＋5＝0得(x －3)2＋y 2＝4，2分 所以圆C 1的圆心坐标为(3,0).5分 (2)设M (x ，y )，依题意C 1M →·OM →＝0，所以(x －3，y )·(x ，y )＝0，则x 2－3x ＋y 2＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94.7分又原点O (0,0)在圆C 1外，因此中点M 的轨迹是圆C 与圆C 1相交落在圆C 1内的一段圆弧．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋y 2＝0，x 2＋y 2－6x ＋5＝0，消去y 2得x ＝53，因此53＜x ≤3.10分所以线段AB 的中点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53＜x ≤3.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·佛山模拟)设P (x ，y )是圆(x －2)2＋y 2＝1上的任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．6B ．25C ．26D ．36D2．(2017·济南调研)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程是________．(x －2)2＋(y －1)2＝43．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．【导学号：31222297】(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ →·MQ →的最小值． (1)设圆心C (a ，b )， 由已知得M (－2，－2)，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，2分则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2， 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.5分 (2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2， PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2.8分 令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，所以PQ →·MQ →＝x ＋y －2 ＝2(sin θ＋cos θ)－2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2， 所以PQ →·MQ →的最小值为－4.12分。
2018版高考一轮总复习数学(理)习题第8章 平面解析几何8-3含答案
（时间：40分钟)1．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋（a－1)2＝0,若0<a<1，则原点与圆的位置关系是( ）A．原点在圆上 B．原点在圆外C．原点在圆内 D．不确定答案B解析将圆的一般方程化成标准方程为（x＋a）2＋(y＋1)2＝2a,因为0<a〈1，所以(0＋a)2＋（0＋1）2－2a＝(a－1）2>0，即错误!〉错误!，所以原点在圆外．2．圆心在y轴上，半径为1,且过点（1，2)的圆的方程为（）A．x2＋（y－2)2＝1 B．x2＋（y＋2）2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋（y－3)2＝1答案A解析设圆心坐标为(0，b)，则圆的方程为x2＋(y－b）2＝1.又因为该圆过点(1,2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，即圆的方程为x2＋(y－2）2＝1。
3．若点A,B在圆O：x2＋y2＝4上，弦AB的中点为D(1，1)，则直线AB的方程是( )A．x－y＝0 B．x＋y＝0C．x－y－2＝0 D．x＋y－2＝0答案D解析因为直线OD的斜率为k OD＝1，所以由垂径定理得直线AB的斜率为k AB＝－1，所以直线AB的方程是y－1＝－（x－1)，即x＋y－2＝0，故选D.4．点P（4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是（)A．(x－2）2＋（y＋1)2＝1 B．(x－2）2＋（y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2）2＝4 D．(x＋2）2＋(y－1)2＝1答案A解析设M(x0,y0)为圆x2＋y2＝4上任一点，PM中点为Q（x，y），则错误!∴错误!代入圆的方程得(2x－4)2＋（2y＋2）2＝4,即（x－2)2＋（y ＋1）2＝1。
5．若方程错误!－x－m＝0有实数解,则实数m的取值范围（) A．－4错误!≤m≤4错误!B．－4≤m≤4错误!C．－4≤m≤4D．4≤m≤42答案B解析由题意知方程16－x2＝x＋m有实数解,分别作出y＝错误!与y＝x＋m的图象，如图，若两图象有交点，需－4≤m≤4错误!.6．已知a∈R,方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．答案(－2，－4）5解析由题可得a2＝a＋2,解得a＝－1或a＝2。
2018高考数学一轮复习第8章平面解析几何课件文北师大版
[导学心语] 1．抓主线，构建知识体系：对直线、圆及圆锥曲线的基本定义、标准方程 和相关性质应熟练掌握，如对直线与圆锥曲线的位置关系的解法及解题思想应灵 活掌握． 2．依托基础知识，强化思想方法训练：直线、圆及圆锥曲线是数与形结合 的完美载体，要熟练运用坐标法和“数形结合”思想，另外，函数与方程的思想 是本章学习的另一个重点，应加强运用．
编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的， 为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。 • 作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。 • 二、听文科课要注重在理解中记忆 • 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然 后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间 的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。 • 三、听英语课要注重实践 • 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活 动，珍惜课堂上的每一个练习机会。
一轮复习北师大版第8章第3节 圆的方程课件
圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
C [设圆心 C 的坐标为(a，b)，半径为 r．因为圆心 C 在直线 x＋y －2＝0 上，
所以 b＝2－a． 又|CA|2＝|CB|2， 所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以 a＝1，b＝1． 所以 r＝2． 所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．]
A [P 是 x 轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN| 的最小值为|PC2|－3(图略)，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－ 4．作 C1 关于 x 轴的对称点 C′1(2，－3)．所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋ |PC2|≥|C1′C2|＝5 2，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5 2－4．]
联立①②③，解得E＝2， F＝0，
故所求圆的方程为 x2＋y2－2x＋2y＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝2．]
点评：(1)几何法的关键是定圆心． (2)已知圆心位置常设圆的标准形式，已知圆上三点常设圆的一 般式． (3)涉及圆的弦长问题，一般是利用半弦长、弦心距和半径构成 直角三角形求解． (4)方程 Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件为 A ＝B＞0，C＝0，D2＋E2－4AF＞0．
2．一束光线从点 A(－3，2)出发，经 x 轴反射到圆 C：(x－2)2 ＋(y－3)2＝1 上的最短路径的长度是( )
A．4 B．5 C．5 2－1 D．2 6－1
C [根据题意，设 A′与 A 关于 x 轴对称，且 A(－3，2)，则 A′ 的坐标为(－3，－2)，又由 A′C＝ 25＋25＝5 2，则 A′到圆 C 上的 点的最短距离为 5 2－1．故这束光线从点 A(－3，2)出发，经 x 轴反 射到圆 C：(x－2)2＋(y－3)2＝1 上的最短路径的长度是 5 2－1，故选 C．]
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课时分层训练(四十三) 圆的方程
A 组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1
B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1
C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2
D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2
D [圆的半径r ＝12＋12＝2，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.]
2．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为( )
A ．2
B ．22
C ．1
D ． 2 D [圆的方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2，则圆心坐标为(1，－2)．
故圆心到直线x －y －1＝0的距离d ＝|1＋2－1|2
＝ 2.] 3．(2017·山西运城二模)已知圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16的一条直径通过直线x －2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )
【导学号：66482381】
A ．3x ＋y －5＝0
B ．x －2y ＝0
C ．x －2y ＋4＝0
D ．2x ＋y －3＝0 D [易知圆心坐标为(2，－1)．
由于直线x －2y ＋3＝0的斜率为12
， ∴该直径所在直线的斜率k ＝－2.
故所求直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0.]
4．若圆心在x 轴上，半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O 的方程是( )
A ．(x －5)2＋y 2＝5
B ．(x ＋5)2＋y 2
＝5 C ．(x －5)2＋y 2＝5
D ．(x ＋5)2＋y 2＝5 D [设圆心为(a,0)(a ＜0)，
则r ＝|a ＋2×0|12＋22
＝5，解得a ＝－5， 所以圆O 的方程为(x ＋5)2＋y 2＝5.]
5．(2017·重庆四校模拟)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3
上的动点，则|PQ |的最小值为( )
A ．6
B ．4
C ．3
D ．2
B [如图所示，圆心M (3，－1)与直线x ＝－3的最短距离为|MQ |＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.]
二、填空题
6．(2017·南昌二模)以点(－1,3)为圆心且与直线x －y ＝0相切的圆的方程为________.
【导学号：66482382】
(x ＋1)2＋(y －3)2＝8 [因为圆与直线x －y ＝0相切，所以圆的半径r ＝
|－1－3|12＋－
＝22，所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝8.]
7．(2016·浙江高考)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
(－2，－4) 5 [由二元二次方程表示圆的条件可得a 2＝a ＋2，解得a ＝2或－1.当a
＝2时，方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，即x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，配方得⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝－54
<0，不表示圆； 当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，配方得(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.]
8．已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________． x ＋y －1＝0 [圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)，
则k CM ＝1－02－1
＝1. ∵过点M 的最短弦与CM 垂直，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－1(x －1)，即x ＋y －1＝0.]
三、解答题
9．已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R ，若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程．
[解] 法一：依题意，点P 的坐标为(0，m )，2分。