八年级数学期末压轴题汇编
【压轴题】初二数学上期末试卷(含答案)
【压轴题】初二数学上期末试卷(含答案)一、选择题1．如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上（ ）根木条.A ．1B ．2C ．3D ．42．如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别一点M N 、为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P . 若点P 的坐标为11,423a a ⎛⎫ ⎪-+⎝⎭，则a 的值为( )A ．1a =-B ．7a =-C ．1a =D ．13a = 3．若长度分别为,3,5a 的三条线段能组成一个三角形，则a 的值可以是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．8 4．若b a b -=14，则a b 的值为（ ） A ．5 B ．15 C ．3 D ．135．如果2220m m +-=，那么代数式2442m m m m m +⎛⎫+⋅ ⎪+⎝⎭的值是()A ．2-B ．1-C ．2D ．3 6．下列运算中，结果是a 6的是( )A ．a 2•a 3B ．a 12÷a 2C ．(a 3)3D ．(﹣a)6 7．如图，在ABC ∆中，90︒∠=C ，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于( )A．4B．3C．2D．18．如图，AB∥CD，BC∥AD，AB=CD，BE=DF，图中全等的三角形的对数是（）A．3B．4C．5D．69．若（x﹣1）0＝1成立，则x的取值范围是（）A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x≠0D．x≠110．若△ABC三边分别是a、b、c，且满足（b﹣c）（a2＋b2）＝bc2﹣c3，则△ABC是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰或直角三角形11．如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD．若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是（）A．70°B．44°C．34°D．24°12．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A．A B．B C．C D．D二、填空题13．如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：_____，使△AEH≌△CEB．14．将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5=__．15．关于x 的分式方程12122a x x-+=--的解为正数，则a 的取值范围是_____． 16．若x 2+kx+25是一个完全平方式，则k 的值是____________. 17．已知m n t y z x z x y x y z==+-+-+-，则()()()y z m z x n x y t -+-+-的值为________.18．如图，030A B ∠=︒，点P 为AOB ∠内一点，8OP =.点M 、N 分别在OA OB 、上，则PMN 周长的最小值为________.19．因式分解：328x x -=______．20．某公司销售一种进价为21元的电子产品，按标价的九折销售，仍可获利20%，则这种电子产品的标价为_________元.三、解答题21．已知：如图，//AD BC ，DB 平分ADC ∠,CE 平分BCD ∠，交AB 于点E ，BD 于点O ，求证：点O 到EB 与ED 的距离相等.22．如图，∠A ＝∠B ，AE ＝BE ，点D 在 AC 边上，∠1＝∠2，AE 和BD 相交于点O ． 求证：△AEC ≌△BED ；23．（1）计算：()108613333π-⎛⎫--÷+ ⎪⎝⎭ （2）因式分解：22312x y -24．为推进垃圾分类，推动绿色发展，某工厂购进甲、乙两种型号的机器人用来进行垃圾分类，甲型机器人比乙型机器人每小时多分20kg ，甲型机器人分类800kg 垃圾所用的时间与乙型机器人分类600kg 垃圾所用的时间相等。
人教版八年级上册数学 期末专题《压轴题专练》(含答案)
人教版八年级上册数学期末专题《压轴题专练》1.如图 1，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 上一点，且∠ACD=∠B ；（1）求证：CD⊥AB ，并指出你在证明过程中应用了哪两个互逆的真命题；（2）如图 2，若AE 平分∠BAC ，交CD 于点F ，交BC 于E ．求证：∠AEC=∠CFE ；（3）如图 3，若E 为BC 上一点，AE 交CD 于点F ，BC=3CE ，AB=4AD ，△ABC 、△CEF 、△ADF 的面积分别为S 、S 、 △CEF △ABC S ，且S =36，则S ﹣S = ．（仅填结果） △ADF △ABC △CEF 2.已知△ABC 的面积是 60，请完成下列问题：△ADF （1）如图 1，若AD 是△ABC 的BC 边上的中线，则△ABD 的面积_______△ACD 的面积（填“＞”“＜”或“=”）（2）如图 2，若CD 、BE 分别是△ABC 的AB 、AC 边上的中线，求四边形ADOE 的面积可以用如下方法：连接AO ，由 AD=DB 得：S =S ，同理 ：S =S ，设 S =x ，S =y ，则S =x ，S =y 由题意得：S = S =30，S = S △AEO △ADO △BDO △CEO △AEO △ADO △CEO △BDO△ABE △ABC △ADC =30，可列方程组为： ，解得_______，通过解这个方程组可得四边形ADOE 的面积为_______．△ABC （3）如图 3，AD ：DB=1：3，CE ：AE=1：2，请你计算四边形ADOE 的面积，并说明理由．3.阅读下列材料：某同学遇到这样一个问题：如图1,在△ABC 中,AB=AC,BD 是△ABC 的高．P 是BC 边上一点,PM,PN 分别与直线AB ，AC 垂直,垂足分别为点M,N.求证：BD=PM+PN ．他发现，连接AP ，有S =S +S ，即 △ACP .由AB=AC,可得BD=PM+PN ．△ABC △ABP 他又画出了当点P 在CB 的延长线上,且上面问题中其他条件不变时的图形,如图 2 所示.他猜想此时BD ，PM ，PN 之 间的数量关系是：BD=PN-PM ．请回答：（1）请补全以下该同学证明猜想的过程；证明：连接AP ．∵， ∴．∵AB=AC ，∴BD=PN-PM．（2）参考该同学思考问题的方法，解决下列问题：在△ABC中，AB=AC=BC，BD是△ABC的高．P是△ABC所在平面上一点，PM，PN，PQ分别与直线AB，AC，BC垂直，垂足分别为点M，N，Q．①图3，若点P在△ABC的内部，则BD，PM，PN，PQ之间的数量关系是：；②②若点P在如图4 所示位置，利用图4 探究得出此时BD，PM，PN，PQ之间数量关系是: ．4.如图1，在平面直角坐标系中，已知A(a，0)，B(b，3)，C(4，0)，且满足(a+b)2+|a﹣b+6|=0，线段AB 交y 轴于F 点.(1)求点A、B 的坐标；(2)点D 为y 轴正半轴上一点，若ED∥AB，且AM，DM 分别平分∠CAB，∠ODE，如图 2，求∠AMD的度数；(3)如图 3，(也可以利用图1)①求点F 的坐标；②坐标轴上是否存在点P，使得△ABP 和△ABC的面积相等？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.5.问题情境：如图1，在直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD=∠C（不需要证明）；特例探究：如图2，∠MAN=90°，射线AE 在这个角的内部，点B、C 在∠MAN的边AM、AN 上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D.证明：△ABD≌△CAF；归纳证明：如图3，点B，C 在∠MAN的边AM、AN 上，点E，F 在∠MAN内部的射线AD 上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF 的外角.已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC.求证：△ABE≌△CAF；拓展应用：如图4，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC.点D 在边BC 上，CD=2BD，点E、F 在线段AD 上，∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为.6.如图，AD是△ABC的角平分线，点F，E分别在边AC，AB上，且FD=BD.(1)求证：∠B+∠AFD=180°；(2)如果∠B+2∠DEA=180°，探究线段AE，AF，FD之间满足的等量关系，并证明.7.（1）如图（1）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE=BD+CE；（2）如图（2）将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．8.如图1，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．（1）直接写出∠AFC的度数：60°；（2）请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（3）如图2，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段A E、CD与AC之间的数量关系并说明理由．9.已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M，N分别是射线AE，AF上的点，且PM=PN．(1)如图1，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时，求证：BM=CN；(2)在（1）的条件下，直接写出线段AM，AN与AC之间的数量关系________；(3)如图2，当点M在线段AB的延长线上，点N在线段AC上时，若AC：PC=2：1，且PC=4，求四边形ANPM的面积．10.（1）如图1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F.①求证：OE=BE；②若△ABC的周长是25，BC=9，试求出△AEF的周长；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，试探求∠BAC与∠PAC的数量关系式.11.观察发现：如图1，OP平分∠MON，在OM，ON上分别取OA，OB，使OA=OB，再在OP上任取一点D，连接AD，BD.请你猜想AD与BD之间的数量关系，并说明理由.拓展应用：如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F，请你写出FE与FD之间的数量关系，并说明理由.12.如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动.(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由.(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？7.（1）如图（1）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE=BD+CE；（2）如图（2）将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．8.如图1，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．（1）直接写出∠AFC的度数：60°；（2）请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（3）如图2，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段A E、CD与AC之间的数量关系并说明理由．9.已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M，N分别是射线AE，AF上的点，且PM=PN．(1)如图1，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时，求证：BM=CN；(2)在（1）的条件下，直接写出线段AM，AN与AC之间的数量关系________；(3)如图2，当点M在线段AB的延长线上，点N在线段AC上时，若AC：PC=2：1，且PC=4，求四边形ANPM的面积．10.（1）如图1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F.①求证：OE=BE；②若△ABC的周长是25，BC=9，试求出△AEF的周长；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，试探求∠BAC与∠PAC的数量关系式.11.观察发现：如图1，OP平分∠MON，在OM，ON上分别取OA，OB，使OA=OB，再在OP上任取一点D，连接AD，BD.请你猜想AD与BD之间的数量关系，并说明理由.拓展应用：如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F，请你写出FE与FD之间的数量关系，并说明理由.12.如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动.(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由.(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？。
八年级数学上册期末压轴20题(解析版)
八年级上册数学压轴题专题练习（解析版）一、压轴题1．如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点 P在线段 AB上以1cm/s的速度由点 A向点 B运动，同时，点 Q在线段 BD上由点 B向点 D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点 Q的运动速度与点 P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段 PC和线段 PQ的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点 Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．2．在Rt ABC中，∠ACB=90︒，∠A=30︒，BD是ABC的角平分线，DE⊥AB于点E.（1）如图1，连接EC，求证：EBC是等边三角形；（2）如图2，点M是线段CD上的一点（不与点C,D重合），以BM为一边，在BM下方作∠BMG=60︒，MG交DE延长线于点G.求证：AD=DG+MD；（3）如图3，点N是线段AD上的点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG=60︒，NG交DE延长线于点G.直接写出ND，DG与AD数量之间的关系.3．在《经典几何图形的研究与变式》一课中，庞老师出示了一个问题：“如图1，等腰直角三角形的三个顶点分别落在三条等距的平行线l1，l2，l3上，∠BAC=90︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB的长度”.在研究这道题的解法和变式的过程中，同学们提出了很多想法：（1）小明说：我只需要过B、C向l1作垂线，就能利用全等三角形的知识求出AB的长.（2）小林说：“我们可以改变ABC的形状.如图2，AB=AC，∠BAC=120︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB的长.”（3）小谢说：“我们除了改变ABC的形状，还能改变平行线之间的距离.如图3，等边三角形ABC三个顶点分别落在三条平行线l1，l2，l3上，且l1与l2之间的距离为1，l2与l3之间的距离为2，求AB的长、”请你根据3位同学的提示，分别求出三种情况下AB的长度.4．在ABC中，AB=AC，D是直线AB上一点，E在直线BC上，且DE=DC．（1）如图1，当D在AB上，E在CB延长线上时，求证：∠EDB=∠ACD；（2）如图2，当ABC为等边三角形时，D是BA的延长线上一点，E在BC上时，作EF//AC，求证：BE=AD；（3）在（2）的条件下，∠ABC的平分线BF交CD于点F，连AF，过A点作AH⊥CD于点H，当∠EDC=30︒，CF=6时，求DH的长度．5．（阅读材科）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，则△ABD≌△ACE．（材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．（深入探究）（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正确的有．(将所有正确的序号填在横线上)．（延伸应用）（3）如图3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，试探究∠A与∠C的数量关系．6．阅读下面材料，完成(1)-(3)题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，以AB为边向AB左侧作等边△ABE，直线CE与直线AD交于点F．请探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自已的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠DFC的度数可以求出来．”小强：“通过观察和度量，发现线段DF和CF之间存在某种数量关系．”小伟：“通过做辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．”......老师：“若以AB为边向AB右侧作等边△ABE，其它条件均不改变，请在图2中补全图形,探究线段EF、AF、DF三者的数量关系，并证明你的结论．”（1）求∠DFC的度数；（2）在图1中探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明；（3）在图2中补全图形，探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．7．（1）填空①把一张长方形的纸片按如图①所示的方式折叠，EM，FM为折痕，折叠后的C点落在B 1M或B1M的延长线上，那么EMF的度数是________；②把一张长方形的纸片按如图②所示的方式折叠，B点与M点重合，EM，FM为折痕，折叠后的C点落在A1M或A1M的延长线上，那么EMF的度数是_______．（2）解答：①把一张长方形的纸片按如图③所示的方式折叠，EM，FM为折痕，折叠后的C点落在B1M或B1M的延长线上左侧，且EMF80，求C1MB1的度数；②把一张长方形的纸片按如图④所示的方式折叠，B点与M点重合，EM，FM为折痕，折叠后的C点落在A1M或A1M的延长线右侧，且EMF60，求C1MA1的度数．（3）探究：把一张四边形的纸片按如图⑤所示的方式折叠，EB，FB为折痕，设ABC，EBF，A1BC1，求，，之间的数量关系．8．已知ABC和ADE都是等腰三角形，AB AC，AD AE，DAE BAC．（初步感知）（1）特殊情形：如图①，若点D，E分别在边AB，AC上，则DB__________EC．（填＞、＜或=）（2）发现证明：如图②，将图①中的ADE绕点A旋转，当点D在ABC外部，点E 在ABC内部时，求证：DB EC．（深入研究）（3）如图③，ABC和ADE都是等边三角形，点C，E，D在同一条直线上，则∠CDB的度数为__________；线段CE，BD之间的数量关系为__________．（4）如图④，ABC和ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90︒，点C、D、E在同一直线上，AM为ADE中DE边上的高，则∠CDB的度数为__________；线段AM，BD，CD之间的数量关系为__________．（拓展提升）（5）如图⑤，ABC和ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90︒，将ADE绕点A逆时针旋转，连结BE、CD．当AB=5，AD=2时，在旋转过程中，△ABE与ADC的面积和的最大值为__________．9．直角三角形ABC中，∠ACB=90︒，直线l过点C．（1）当AC=BC时，如图1，分别过点A和B作AD⊥直线l于点D，BE⊥直线l于点E，ACD与△CBE是否全等，并说明理由；（2）当AC=8cm，BC=6cm时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接BF、CF，点M是AC上一点，点N是CF上一点，分别过点M、N作MD⊥直线l于点D，NE⊥直线l于点E，点M从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为C，点N从点F出发，以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动，终点为F，点M,N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒，当△CMN为等腰直角三角形时，求t的值．10．已知：ABC中，过B点作BE⊥AD，∠ACB=90︒，AC=BC．(1)如图1，点D在BC的延长线上，连AD，作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD=BF；(2)如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE=AD，连BE交AC 于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；(3)如图3，点D在CB延长线上，AE=AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC=3MC，请直接写出DB的值．BC11．（1）在等边三角形ABC中，①如图①，D，E分别是边AC，AB上的点且AE=CD，BD与EC交于点F，则∠BFE的度数是度；②如图②，D，E分别是边AC，BA延长线上的点且AE=CD，BD与EC的延长线交于点F，此时∠BFE的度数是度；（2）如图③，在△ABC中，AC=BC，∠ACB是锐角，点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，点D，E分别在AC，OA的延长线上，AE=CD，BD与EC的延长线交于点F，若∠ACB=α，求∠BFE的大小．（用含α的代数式表示）．12．已知ABC，P是平面内任意一点（A、B、C、P中任意三点都不在同一直线上）．连接 PB、PC，设∠PBA＝s°，∠PCA＝t°，∠BPC＝x°，∠BAC＝y°．（1）如图，当点 P在ABC内时，①若 y＝70，s＝10，t＝20，则 x＝；②探究 s、t、x、y之间的数量关系，并证明你得到的结论．（2）当点 P在ABC外时，直接写出 s、t、x、y之间所有可能的数量关系，并画出相应的图形．13．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=60°，则∠1+∠2=；（2）若点P在线段AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．14．探索发现：11111111 =1-;=-;=-……1⨯222⨯3233⨯434根据你发现的规律，回答下列问题：（1）11＝，＝；n⨯(n+1)4⨯5111⋅+++1⨯22⨯33⨯4+1n⨯(n+1)（2）利用你发现的规律计算：（3）利用规律解方程：111112x-1 ++++=x(x+1)(x+1)(x+2)(x+2)(x+3)(x+3)(x+4)(x+4)(x+5)x(x+5) 15．数学活动课上，老师出了这样一个题目：“已知：MF⊥NF于F，点A、C分别在NF和MF上，作线段AB和CD（如图1），使∠FAB-∠MCD=90︒．求证：AB//CD”．（1）聪聪同学给出一种证明问题的辅助线：如图2，过A作AG//FM，交CD于G．请你根据聪聪同学提供的辅助线（或自己添加其它辅助线），给出问题的证明．（2）若点E在直线CD下方，且知∠BED=30︒，直接写出∠ABE和∠CDE之间的数量关系．16．现给出一个结论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；该结论是正确的，用图形语言可以表示为：如图1在∆ABC中，∠C=90︒,若点D为AB的中点，则CD=请结合上述结论解决如下问题：1AB．2已知，点P是射线BA上一动点（不与A,B重合）分别过点A,B向直线CP作垂线，垂足分别为E,F,其中Q为AB的中点（1）如图2，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系____________；QE与QF的数量关系是__________（2）如图3，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明．(3)如图4，当点P在线段BA的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并写出主要证明思路．17．在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC=40°，则∠ACE=，∠DCE=，BC、DC、CE之间的数量关系为；（2）设∠BAC=α，∠DCE=β．①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．（3）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为15°，试探究∠ACB的度数（直接写出结果，无需写出求解过程）．18．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四边形ABCD的面积．解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE=AC=2，∠EAB=∠CAD，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四边形ABCD =S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN的面积．19．（1）如图1，ABC和DCE都是等边三角形，且B，C，D三点在一条直线上，连接AD，BE相交于点P，求证：BE=AD．（2）如图2，在BCD中，若∠BCD<120︒，分别以BC，CD和BD为边在BCD外部作等边ABC，等边△CDE，等边BDF，连接AD、BE、CF恰交于点P．①求证：AD=BE=CF；②如图2，在（2）的条件下，试猜想PB，PC，PD与BE存在怎样的数量关系，并说明理由．20．阅读并填空：如图，ABC是等腰三角形，AB=AC，D是边AC延长线上的一点，E在边AB上且联接DE交BC于O，如果OE OD，那么CD=BE，为什么？解：过点E作EF AC交BC于F所以∠ACB=∠EFB（两直线平行，同位角相等）∠D=∠OEF（________）在OCD与△OFE中⎧∠COD=∠FOE(________)⎪⎨OD=OE⎪∠D=∠OEF⎩所以△OCD≌△OFE，（________）所以CD=FE（________）因为AB=AC（已知）所以∠ACB=∠B（________）所以∠EFB=∠B（等量代换）所以BE=FE（________）所以CD=BE【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题⎧t=2⎧t=1⎪1．（1）全等，垂直，理由详见解析；（2）存在，⎨或⎨3x=1x=⎩⎪2⎩【解析】【分析】（1）在t =1的条件下，找出条件判定△ACP和△BPQ全等，再根据全等三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质，可证∠CPQ= 90°，即可判断线段 PC和线段 PQ的位置关系;（2）本题主要在动点的条件下，分情况讨论，利用三角形全等时对应边相等的性质进行解答即可.【详解】(1)当t=1时，AP= BQ=1, BP= AC=3,又∠A=∠B= 90°，在△ACP和△BPQ中，AP=BQ{∠A=∠BAC=BP∴△ACP≌△BPQ(SAS).∴∠ACP=∠BPQ ,∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP = 90*.∴∠CPQ= 90°，即线段PC与线段PQ垂直；(2)①若△ACP ≌△BPQ ，则AC= BP ，AP= BQ ，⎧3=4-t ⎨t =xt⎩解得⎨⎧t =1;x =1⎩②若△ACP ≌△BQP ，则AC= BQ ，AP= BP ，⎧3=xt ⎨t =4-t⎩⎧t =2⎪解得：⎨3x =⎪⎩2⎧t =2⎧t =1⎪综上所述,存在⎨或⎨3使得△ACP 与△BPQ 全等.x =1x =⎩⎪⎩2【点睛】本题主要考查三角形全等与动点问题，熟练掌握三角形全等的性质与判定定理，是解决本题的关键.2．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）结论：AD =DG -ND ，证明见解析．【解析】【分析】（1）先根据直角三角形的性质得出∠ABC =60︒，再根据角平分线的性质可得CD =ED ，然后根据三角形的判定定理与性质可得BC =BE ，最后根据等边三角形的判定即可得证；（2）如图（见解析），延长ED 使得DF =MD ，连接MF ，先根据直角三角形的性质、等边三角形的判定得出∆MDF 是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出∠F =∠MDB ,MF =MD ,∠FMG =∠DMB ，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证；（3）如图（见解析），参照题（2），先证∆HDN 是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出∠H =∠NDG ,NH =ND ,∠HNB =∠DNG ，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证．【详解】（1）∠ACB =90︒,∠A =30︒∴∠ABC =90︒-∠A =60︒BD 是∠ABC 的角平分线，DE ⊥AB∴CD =ED⎧CD=ED在∆BCD和∆BED中，⎨BD=BD⎩∴∆BCD≅∆BED(HL)∴BC=BE∴∆EBC是等边三角形；（2）如图，延长ED使得DF=MD，连接MF∠ACB=90︒,∠A=30︒，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB∴∠ADE=∠BDE=60︒,AD=BD∴∠MDF=∠ADE=60︒,∠MDB=180︒-∠ADE-∠BDE=60︒∴∆MDF是等边三角形∴MF=DM,∠F=∠DMF=60︒∠BMG=60︒∴∠DMF+∠DMG=∠BMG+∠DMG，即∠FMG=∠DMB⎧∠F=∠MDB=60︒⎪在∆FMG和∆DMB中，⎨MF=MD⎪∠FMG=∠DMB⎩∴∆FMG≅∆DMB(ASA)∴GF=BD，即DF+DG=BD∴AD=DF+DG=MD+DG即AD=DG+MD；（3）结论：AD=DG-ND，证明过程如下：如图，延长BD使得DH=ND，连接NH由（2）可知，∠ADE=60︒,∠HDN=180︒-∠ADE-∠BDE=60︒,AD=BD ∴∆HDN是等边三角形∴NH=ND,∠H=∠HND=60︒∠BNG=60︒∴∠HND+∠BND=∠BNG+∠BND，即∠HNB=∠DNG⎧∠H=∠NDG=60︒⎪在∆HNB和∆DNG中，⎨NH=ND⎪∠HNB=∠DNG⎩∴∆HNB≅∆DNG(ASA)∴HB =DG ，即DH +BD =DG∴ND +AD =DG即AD =DG -ND ．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2）和（3），通过作辅助线，构造一个等边三角形是解题关键．3．（1）5；（2）【解析】【分析】（1）分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于M ，N 两点，证明△ABM ≌△CAN ，得到AM=CN ，AN=BM ，即可得出AB ；（2）分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于点P ，Q 两点，在l 1上取M ，N 使∠AMB=∠CNA=120°，证明△AMB ≌△CAN ，得到CN=AM ，再通过△PBM 和△QCN 算出PM 和NQ 的值，得到AP ，最后在△APB 中，利用勾股定理算出AB 的长；（3）在l 3上找M 和N ，使得∠BNC=∠AMC=60°，过B 作l 3的垂线，交l 3于点P ，过A 作l 3的垂线，交l 3于点Q ，证明△BCN ≌△CAM ，得到CN=AM ，在△BPN 和△AQM 中利用勾股定理算出NP 和AM ，从而得到PC ，结合BP 算出BC 的长，即为AB.【详解】解：（1）如图，分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于M ，N 两点，由题意可得：∠BAC=90°，∵∠NAC+∠MAB=90°，∠NAC+∠NCA=90°，∴∠MAB=∠NCA ，在△ABM 和△CAN 中，221221；（3）33⎧∠AMB =∠CNA ⎪⎨∠MAB =∠NCA ，⎪AB =AC ⎩∴△ABM ≌△CAN （AAS ），∴AM=CN=2，AN=BM=1，∴AB=22+12=5；（2）分别过点B，C向l1作垂线，交l1于P，Q两点，在l1上取M，N使∠AMB=∠CNA=120°，∵∠BAC=120°，∴∠MAB+∠NAC=60°，∵∠ABM+∠MAB=60°，∴∠ABM=∠NAC，在△AMB和△CNA中，⎧∠AMB=∠CNA⎪⎨∠ABM=∠NAC，⎪AB=AC⎩∴△AMB≌△CNA（AAS），∴CN=AM，∵∠AMB=∠ANC=120°，∴∠PMB=∠QNC=60°，∴PM=11 BM，NQ=NC，22∵PB=1，CQ=2，设PM=a，NQ=b，∴a2+12=4a2，b2+22=4b2，解得：a=323，b=，332⎛23⎫43=∴CN=AM=22+ ，⎪3⎪3⎝⎭∴AB=AP2+BP2=(AM+PM)2+BP2=221；3（3）如图，在l3上找M和N，使得∠BNC=∠AMC=60°，过B作l3的垂线，交于点P，过A作l3的垂线，交于点Q，∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°，∴∠BCN+∠ACM=120°，∵∠BCN+∠NBC=120°，∴∠NBC=∠ACM，在△BCN和△CAM中，⎧∠BNC=∠CMA⎪⎨∠NBC=∠MAC，⎪BC=AC⎩∴△BCN≌△CAM（AAS），∴CN=AM，BN=CM，∵∠PBN=90°-60°=30°，BP=2，∴BN=2NP，在△BPN中，BP2+NP2=BN2，即22+NP2=4NP2，解得：NP=23，3∵∠AMC=60°，AQ=3，∴∠MAQ=30°，∴AM=2QM，在△AQM中，AQ2+QM2=AM2，即32+QM2=4QM2，解得：QM=3，∴AM=23=CN，∴PC=CN-NP=AM-NP=在△BPC中，BP2+CP2=BC2，43，3⎛43⎫221即BC=BP2+CP2=22+ ，=⎪3⎪3⎝⎭2∴AB=BC=221.3【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线之间的距离，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是利用平行线构造全等三角形，再利用全等三角形的性质以及勾股定理求解.4．（1）见解析；（2）见解析；（3）3【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和外角的性质即可得到结论；（2）过E作EF∥AC交AB于F，根据已知条件得到△ABC是等边三角形，推出△BEF是等边三角形，得到BE=EF，∠BFE=60°，根据全等三角形的性质即可得到结论；（3）连接AF，证明△ABF≌△CBF，得AF=CF，再证明DH=AH=【详解】解：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵DE=DC，∴∠E=∠DCE，∴∠ABC-∠E=∠ACB-∠DCB，即∠EDB=∠ACD；（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∴△BEF是等边三角形，∴BE=EF，∠BFE=60°，∴∠DFE=120°，∴∠DFE=∠CAD，在△DEF与△CAD中，1CF=3．2⎧∠EDF=∠DCA⎪⎨∠DFE=∠CAD，⎪DE=CD⎩∴△DEF≌△CAD（AAS），∴EF=AD，∴AD=BE；（3）连接AF，如图3所示：∵DE=DC，∠EDC=30°，∴∠DEC=∠DCE=75°，∴∠ACF=75°-60°=15°，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，在△ABF和△CBF中，⎧AB=BC⎪⎨∠ABF=∠CBF，⎪BF=BF⎩△ABF≌△CBF（SAS），∴AF=CF，∴∠FAC=∠ACF=15°，∴∠AFH=15°+15°=30°，∵AH⊥CD，∴AH=11AF=CF=3，22∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，∴∠BDE=75°-60°=15°，∴∠ADH=15°+30°=45°，∴∠DAH=∠ADH=45°，∴DH=AH=3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形和直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等边三角形的判定和性质，证明三角形全等是解决问题的关键．5．（1）证明见解析；（2）①②③；（3）∠A+∠C=180°．【解析】【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC=60°，再判断出△BCF≌△ACO，得出∠AOC=120°，进而得出∠AOE=60°，再判断出BF＜CF，进而判断出∠OBC＞30°，即可得出结论；（3）先判断出△BDP是等边三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，进而判断出△ABD≌△CBP （SAS），即可得出结论．【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，⎧AB＝AC⎪⎨∠BAD＝∠CAE，⎪AD＝AE⎩∴△ABD≌△ACE；（2）如图2，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，⎧AB＝AC⎪⎨∠BAD＝∠CAE，⎪AD＝AE⎩∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，①正确，∠ADB=∠AEC，记AD与CE的交点为G，∵∠AGE=∠DGO，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°，②正确，在OB上取一点F，使OF=OC，∴△OCF是等边三角形，∴CF=OC，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB，∴∠BCF=∠ACO，∵AB=AC，∴△BCF≌△ACO（SAS），∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正确，连接AF，要使OC=OE，则有OC=∵BD=CE，∴CF=OF=1 CE，21BD，2∴OF=BF+OD，∴BF＜CF，∴∠OBC＞∠BCF，∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，∴∠OBC＞30°，而没办法判断∠OBC大于30度，所以，④不一定正确，即：正确的有①②③，故答案为①②③；（3）如图3，延长DC至P，使DP=DB，∵∠BDC=60°，∴△BDP是等边三角形，∴BD=BP，∠DBP=60°，∵∠BAC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．【点睛】此题考查三角形综合题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解题的关键．6．（1）60°；（2）EF=AF+FC，证明见解析；（3）AF=EF+2DF，证明见解析．【解析】【分析】（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，根据三角形内角和可得2α＋60＋2β＝180°，从而有α＋β＝60°，即可得出∠DFC的度数；（2）在EC上截取EG＝CF，连接AG，证明△AEG≌△ACF，然后再证明△AFG为等边三角形，从而可得出EF＝EG＋GF＝AF＋FC；（3）在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，证明方法类似（2），先证明△ABG≌△EBF，再证明△BFG为等边三角形，最后可得出结论．【详解】解：（1）∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴可设∠BAD＝∠CAD＝α，又△ABE为等边三角形，∴AE=AB=AC，∠EAB=60°，∴可设∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，2α＋60°＋2β＝180°，∴α＋β＝60°，∴∠DFC=α＋β＝60°；（2）EF=AF+FC，证明如下：∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠FDC=90°，∵∠CFD＝60°，则∠DCF=30°，∴CF＝2DF，在EC上截取EG＝CF，连接AG，又AE=AC，∴∠AEG=∠ACF，∴△AEG≌△ACF（SAS）,∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF，又∠CAF=∠BAD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠GAF＝∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG=∠60°，∴△AFG为等边三角形，∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC，即EF=AF+FC；（3）补全图形如图所示，结论：AF=EF+2DF．证明如下：同（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β，∴∠CAE＝180°－2β，∴∠BAE＝2α＋180°－2β＝60°，∴β－α＝60°，∴∠AFC=β－α＝60°，又△ABE为等边三角形，∴∠ABE=∠AFC=60°，∴由8字图可得：∠BAD＝∠BEF，在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，又AB=BE ，∴△ABG ≌△EBF （SAS ），∴BG ＝BF ，又AF 垂直平分BC ，∴BF=CF ，∴∠BFA=∠AFC=60°，∴△BFG 为等边三角形，∴BG=BF ，又BC ⊥FG ，∴FG=BF=2DF ，∴AF ＝AG ＋GF ＝BF ＋EF ＝2DF ＋EF ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是常用辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．7．90︒，45︒；20︒，30︒；a +γ=2β，a -γ=2β.【解析】【分析】（1）①如图①知∠EMC 1=11∠BMC 1，∠C 1MF =∠C 1MC 得22∠EMF =1(∠BMC 1+∠C 1MC )可求出解.2111∠ABC 1,∠C 1BF =∠C 1BC 得∠EBF =(∠ABC 1+∠C 1BC )可222②由图②知∠EBA 1=求出解.（2）①由图③折叠知∠CMF =∠FMC 1,∠BME =∠EMB 1，可推出(∠BMC -∠EMF )-∠EMF =∠C 1MB 1，即可求出解.②由图④中折叠知∠CMF =∠C 1MF ,∠ABE =∠A 1BE ，可推出290︒-60︒+∠A 1MC 1=90︒，即可求出解.（3）如图⑤-1、⑤-2中分别由折叠可知，a -β=β-γ、a -β=β+γ，即可求得()a +γ=2β、a -γ=2β.【详解】解：（1）①如图①中，11∠EMC 1=∠BMC 1，∠C 1MF =∠C 1MC ，22∴∠EMF =∠EMC 1+∠C 1MF =故答案为90︒.②如图②中，11(∠BMC 1+∠C 1MC )=⨯180︒=90︒，2211∠EBA 1=∠ABC 1,∠C 1BF =∠C 1BC ，22∴∠EBF =∠EBC 1+∠C 1BF =故答案为45︒.（2）①如图③中由折叠可知，11(∠ABC 1+∠C 1BC )=⨯90︒=45︒，22∠CMF =∠FMC 1,∠BME =∠EMB 1，∠C 1MF +∠EMB 1-∠EMF =∠C 1MB 1，∴∠CMF +∠BME -∠EMF =∠C 1MB 1，∴(∠BMC -∠EMF )-∠EMF =∠C 1MB 1，∴180︒-80︒=∠C 1MB 1=20︒；②如图④中根据折叠可知，∠CMF =∠C 1MF ,∠ABE =∠A 1BE ，︒2∠CMF +2∠ABE +∠AMC =90，11︒∴2(∠CMF +∠ABE )+∠AMC 11=90，(∴2(90∴290︒-∠EMF +∠A 1MC 1=90︒，︒)-60︒+∠A 1MC 1=90︒，)︒∴∠AMC =30；11（3）如图⑤-1中，由折叠可知，a -β=β-γ，∴a +γ=2β；如图⑤-2中，由折叠可知，a -β=β+γ，∴a -γ=2β.【点睛】本题考查了图形的变换中折叠属全等变换，图形的角度及边长不变及一些角度的计算问题，突出考查学生的观察能力、思维能力以及动手操作能力，本题是代数、几何知识的综合运用典型题目.8．（1）=；（2）证明见解析；（3）60°，BD=CE；（4）90°，AM+BD=CM ；（5）7【解析】【分析】（1）由DE ∥BC ，得到DB EC =，结合AB=AC ，得到DB=EC ；AB AC（2）由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；（3）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理证明△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质求出结论；（4）根据全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论；（5）根据旋转的过程中△ADE的面积始终保持不变，而在旋转的过程中，△ADC的AC始终保持不变，即可．【详解】[初步感知]（1）∵DE∥BC，∴DB EC=，AB AC∵AB=AC，∴DB=EC，故答案为：=，（2）成立．理由：由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中⎧AD＝AE⎪⎨∠DAB＝∠EAC，⎪AB＝AC⎩∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB=CE；[深入探究]（3）如图③，设AB，CD交于O，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中⎧AD＝AE⎪⎨∠DAB＝∠EAC，⎪AB＝AC⎩∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB=CE，∠ABD=∠ACE，∵∠BOD=∠AOC，∴∠BDC=∠BAC=60°；（4）∵△DAE 是等腰直角三角形，∴∠AED=45°，∴∠AEC=135°，在△DAB 和△EAC 中⎧AD ＝AE⎪⎨∠DAB ＝∠EAC，⎪AB ＝AC⎩∴△DAB ≌△EAC （SAS ），∴∠ADB=∠AEC=135°，BD=CE ，∵∠ADE=45°，∴∠BDC=∠ADB-∠ADE=90°，∵△ADE 都是等腰直角三角形，AM 为△ADE 中DE 边上的高，∴AM=EM=MD ，∴AM+BD=CM ；故答案为：90°，AM+BD=CM ；【拓展提升】（5）如图，由旋转可知，在旋转的过程中△ADE 的面积始终保持不变，△ADE 与△ADC 面积的和达到最大，∴△ADC 面积最大，∵在旋转的过程中，AC 始终保持不变，∴要△ADC 面积最大，∴点D 到AC 的距离最大，∴DA ⊥AC ，∴△ADE 与△ADC 面积的和达到的最大为2+故答案为7．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，旋转过程中面积变化分析，解本题的关键是三角形全等的判定．9．（1）全等，理由见解析；（2）t=3.5秒或5秒1×AC×AD=5+2=7，2【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DAC=∠ECB ，利用AAS 定理证明△ACD ≌△CBE ；（2）分点F 沿C→B 路径运动和点F 沿B→C 路径运动两种情况，根据等腰三角形的定义列出算式，计算即可；【详解】解：（1）△ACD 与△CBE 全等．理由如下：∵AD ⊥直线l ，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠ECB ，在△ACD 和△CBE 中，⎧∠ADC =∠CEB⎪⎨∠DAC =∠ECB，⎪CA =CB⎩∴△ACD ≌△CBE （AAS ）；（2）由题意得，AM=t ，FN=3t ，则CM=8-t ，由折叠的性质可知，CF=CB=6，∴CN=6-3t ，点N 在BC 上时，△CMN 为等腰直角三角形，当点N 沿C→B 路径运动时，由题意得，8-t=3t-6，解得，t=3.5，当点N 沿B→C 路径运动时，由题意得，8-t=18-3t ，解得，t=5，综上所述，当t=3.5秒或5秒时，△CMN 为等腰直角三角形；【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．10．（1）见详解，（2）BD =2CF ，证明见详解，（3）【解析】【分析】（1）欲证明BF =AD ，只要证明∆BCF ≅∆ACD 即可；（2）结论：BD =2CF ．如图2中，作EH ⊥AC 于H ．只要证明∆ACD ≅∆EHA ，推出CD =AH ，EH =AC =BC ，由∆EHF ≅∆BCF ，推出CH 2．3=CF 即可解决问题；（3）利用（2）中结论即可解决问题；【详解】（1）证明：如图1中，BE⊥AD于E，∴∠AEF=∠BCF=90︒，∠AFE=∠CFB，∴∠DAC=∠CBF，BC=AC，∴∆BCF≅∆ACD(AAS)，∴BF=AD．（2）结论：BD=2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∠AHE=∠ACD=∠DAE=90︒，∴∠DAC+∠ADC=90︒，∠DAC+∠EAH=90︒，∴∠ADC=∠EAH，AD=AE，∴∆ACD≅∆EHA，∴CD=AH，EH=AC=BC，CB=CA，∴BD=CH，∠EHF=∠BCF=90︒，∠EFH=∠BFC，EH=BC，∴∆EHF≅∆BCF，∴FH=FC，∴BD=CH=2CF．（3）如图3中，作EH⊥AC于交AC延长线于H．∠AHE=∠ACD=∠DAE=90︒，∴∠DAC+∠ADC=90︒，∠DAC+∠EAH=90︒，∴∠ADC=∠EAH，AD=AE，∴∆ACD≅∆EHA，∴CD=AH，EH=AC=BC，CB=CA，∴BD=CH，∠EHM=∠BCM=90︒，∠EMH=∠BMC，EH=BC，∴∆EHM≅∆BCM，∴MH=MC，∴BD=CH=2CM．AC=3CM，设CM=a，则AC=CB=3a，BD=2a，∴DB2a2==．BC3a3【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．另外对于类似连续几步的综合题，一般前一步为后一步提供解题的条件或方法．11．（1）①60°；②60°；（2）∠BFE =α．【解析】【分析】（1）①先证明△ACE≌△CBD得到∠ACE=∠CBD，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠CBD+∠BCF；②先证明△ACE≌△CBD得∠ACE=∠CBD=∠DCF，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA；（2）证明△AEC≌△CDB得到∠E=∠D，则∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．【详解】（1）如图①中，∵△ABC是等边三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD，∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°．故答案为60．（2）如图②中，∵△ABC是等边三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∴∠CAE=∠BCD=′120°∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°．故答案为60．（3）如图③中，∵点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，∴OC=OA，∴∠EAC=∠DCB=α，∵AC=BC，AE=CD，∴△AEC≌△CDB，∴∠E=∠D，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．【点睛】本题综合考查了三角形全等以及三角形外角和定理.12．（1）①100；②x=y+s+t；（2）见详解．【解析】【分析】（1）①利用三角形的内角和定理即可解决问题；②结论：x=y+s+t．利用三角形内角和定理即可证明；（2）分6种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）①∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=110°，∵∠PBA=10°，∠PCA=20°，∴∠PBC+∠PCB=80°，∴∠BPC=100°，∴x=100，故答案为：100．②结论：x=y+s+t．理由：∵∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+∠PBA+∠PCA+∠PBC+∠PCB=180°，∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠A+∠PBA+∠PCA=∠BPC，∴x=y+s+t．（2）s、t、x、y之间所有可能的数量关系：如图1：s+x=t+y；如图2：s+y=t+x；如图3：y=x+s+t；如图4：x+y+s+t=360°；如图5：t=s+x+y；如图6：s=t+x+y；【点睛】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．13．(1)150°；(2)∠1＋∠2＝90°＋α；(3)∠1＝90°＋∠2＋α，理由详见解析；(4)∠2＝90°＋∠1－α，理由详见解析【解析】【分析】(1)先用平角的得出，∠CDP=180°-∠1，∠CEP=180°-∠2，最后用四边形的内角和即可；(2)同(1)方法即可；(3)利用平角的定义和三角形的内角和即可得出结论；(4)利用三角形的内角和和外角的性质即可得出结论．【详解】解：(1)∵∠1+∠CDP=180°，∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α=90°+60°=150°，故答案为：150；(2)∵∠1+∠CDP=180°，∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α，故答案为：∠1+∠2=90°+α；(3)∠1＝90°＋∠2＋∠α．理由如下：如图3，设DP与BE的交点为F，∵∠2＋∠α＝∠DFE，∠DFE＋∠C＝∠1，∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α．(4)∠2＝90°＋∠1－∠α，理由如下：如图4，设PE 与AC 的交点为G ，∵∠PGD ＝∠EGC ，∴∠α＋180°－∠1＝∠C ＋180°－∠2，∴∠2＝90°＋∠1－∠α．故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了四边形的内角和，三角形的内角和，三角形的外角的性质，平角的定义，解本题的关键是将∠1，∠2，α转化到一个三角形或四边形中，是一道比较简单的中考常考题．14．（1）【解析】【分析】（1）根据简单的分式可得，相邻两个数的积的倒数等于它们的倒数之差，即可得到和1111n -,-；（2）；（3）见解析．45n n +1n +114⨯51n ⨯(n +1)（2）根据（1）规律将乘法写成减法的形式，可以观察出前一项的减数等于后一项的被减数，因此可得它们的和.（3）首先利用（2）的和的结果将左边化简，再利用分式方程的解法求解即可.【详解】111111=-=-，解：（1）；n (n +1)n n +14⨯545故答案为1111-,-45n n +111111+-+-+22334+111n -=1-= ;n n +1n +1n +1（2）原式＝1-1111-+-+（3）已知等式整理得：x x +1x +1x +2112x -1-=所以，原方程即：，x x +5x (x +5)方程的两边同乘x （x +5），得：x +5﹣x ＝2x ﹣1，解得：x ＝3，检验：把x ＝3代入x （x +5）＝24≠0，∴原方程的解为：x ＝3．【点睛】+112x -1-=x +4x +5x (x +5)本题主要考查学生的归纳总结能力，关键在于根据简单的数的运算寻找规律,是考试的热点.15．（1）见解析；（2）∠ABE -∠CDE =30︒【解析】（1）根据聪聪提供的辅助线作法进行证明，先由平行线的性质得：∠AGC=∠MCD，∠F+∠GAF=90︒，再证明∠MCD=∠BAG，可得结论；（2）根据平行线的性质和三角形的外角性质可得结论．【详解】解：（1）证明：如图2，过A作AG//FM，交CD于G，∴∠AGC=∠MCD，∠F+∠GAF=90︒，FN⊥FM，∴∠F=90︒，∴∠GAF=90︒，∠FAB-∠MCD=90︒，∴∠FAB-∠GAF=∠MCD=∠BAG，∴AB//CD；（2）解：∠ABE-∠CDE=30︒，理由如下：如图3，AB//CD，∴∠BPD=∠ABE，∠BPD=∠CDE+∠BED，∠BED=30︒，∴∠BPD-∠CDE=30︒，∴∠ABE-∠CDE=30︒．。
2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编(乘法公式)解析版
2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编乘法公式考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题满分20分每小题2分）1．（2分）（2022春•碑林区校级期末）如图正方形ABCD的边长为x其中AI＝5 JC＝3 两个阴影部分都是正方形且面积和为60 则重叠部分FJDI的面积为（）A．28 B．29 C．30 D．31【思路引导】利用正方形和长方形的性质将ID与DJ的关系表示出来再利用阴影部分面积和为60即可求出ID与DJ从而得到长方形FJDI的长和宽即可求解．【完整解答】解：设ID＝y DJ＝z∵两个阴影部分都是正方形∴DN＝ID＝x DM＝DJ＝y∵四边形ABCD为正方形∴AD＝CD∵AD＝AI+ID CD＝CJ+DJ∴AI+ID＝CJ+DJ∵AI＝5 CJ＝3∴5+y＝3+z∴y＝z﹣2∵阴影部分面积和为60∴y2+z2＝60将y＝z﹣2代入y2+z2＝60中得：（z﹣2）2+z2＝60解得：z＝1+或z＝1﹣（舍）∴y＝z﹣2＝﹣1∴ID＝﹣1 DJ＝1+∴S长方形FJDI＝ID•DJ＝（﹣1）×（1+）＝28．故选：A．2．（2分）（2022春•埇桥区校级期中）如图两个正方形的边长分别为a b如果a+b＝5 ab＝6 则阴影部分的面积为（）A．2.5 B．2 C．3.5 D．1【思路引导】用a和b表示出阴影部分面积再通过完全平方式的变换可求出阴影部分面积．【完整解答】解：S阴影＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝（a2+b2）﹣ab＝（a+b）2﹣ab把a+b＝5 ab＝6代入得：原式＝×25﹣×6＝3.5．故选：C．（2022春•碑林区校级期中）如图有两个正方形A B现将B放置在A的内部得到图甲将A B 3．（2分）并列放置以正方形A与正方形B的边长之和为新的边长构造正方形得到图乙若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和8 则正方形A B的面积之和为（）A．8 B．9 C．10 D．12【思路引导】设出大小正方形得边长a b用a和b表示出阴影部分的面积找出相应关系即可求解．【完整解答】解：设大小正方形边长分别为a bS阴1＝（a﹣b）2＝1 即a2+b2﹣2ab＝1S阴2＝（a+b）2﹣a2﹣b2＝8 得：ab＝4．∴a2+b2﹣2×4＝1∴a2+b2＝9．故选：B．4．（2分）（2022春•包河区期中）已知（2022﹣m）（2020﹣m）＝2021 那么（2022﹣m）2+（2020﹣m）2的值为（）A．4046 B．2023 C．4042 D．4043【思路引导】利用完全平方公式变形即可．【完整解答】解：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab．∴（2022﹣m）2+（2020﹣m）2＝[（2022﹣m）﹣（2020﹣m）]2+2×（2022﹣m）（2020﹣m）＝4+2×2021＝4046．故选：A．5．（2分）（2022•重庆模拟）下列四种说法中正确的有（）①关于x y的方程2x+6y＝199存在整数解．②若两个不等实数a b满足2（a4+b4）＝（a2+b2）2则a b互为相反数．③若（a﹣c）2﹣4（a﹣b）（b﹣c）＝0 则2b＝a+c．④若x2﹣yz＝y2﹣xz＝z2﹣xy则x＝y＝z．A．①④B．②③C．①②④D．②③④【思路引导】①对数的讨论利用小学知识可解决；②利用完全平方公式整理得到两个数的平方相等则两数相等或者互为相反数；③重新整理得到完全平方公式即得结论；④两两组合相等两数差为0 然后因式分解即得结论．【完整解答】①因为x y为整数时 2x+6y＝2（x+3y）是偶数而199是奇数它们不可能相等；故①错误．②由2（a4+b4）＝（a2+b2）2得：2a4+2b4＝a4+2a2b2+b4a4+b4﹣2a2b2＝0（a2﹣b2）2＝0∴a2﹣b2＝0∴a2＝b2∵a≠b∴a＝﹣b即a b互为相反数；故②正确．③若（a﹣c）2﹣4（a﹣b）（b﹣c）＝0 则2b＝a+c（a﹣c）2﹣4（a﹣b）（b﹣c）＝0a2﹣2ac+c2﹣4ab+4ac+4b2﹣4bc＝0a2+2ac+c2﹣4b（a+c）+4b2＝0（a+c）2﹣4b（a+c）+4b2＝0（a+c﹣2b）2＝0∴a+c﹣2b＝0∴2b＝a+c；故③正确．④∵x2﹣yz＝y2﹣xz＝z2﹣xy∴x2﹣yz﹣y2+xz＝0y2﹣xz﹣z2+xy＝0∴（x+y+z）（x﹣y）＝0（x+y+z）（y﹣z）＝0．∴x+y+z＝0或x﹣y＝0 y﹣z＝0∴x＝y＝z或x+y+z＝0故④错误．综上所述四种说法中正确的有②③故选：B．6．（2分）（2022•南京模拟）如图点C是线段BG上的一点以BC CG为边向两边作正方形面积分别是S1和S2两正方形的面积和S1+S2＝40 已知BG＝8 则图中阴影部分面积为（）A．6 B．8 C．10 D．12【思路引导】设BC＝a CG＝b建立关于a b的关系最后求面积．【完整解答】解：设BC＝a CG＝b则S1＝a2S2＝b2a+b＝BG＝8．∴a2+b2＝40．∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64∴2ab＝64﹣40＝24∴ab＝12∴阴影部分的面积等于ab＝×12＝6．故选：A．7．（2分）（2021秋•望城区期末）如果4x2+2kx+25是一个完全平方式那么k的值是（）A．20 B．±20 C．10 D．±10【思路引导】利用完全平方公式的特点即“首平方尾平方二倍底数乘积放中央”可知2kx为二倍底数乘积进而可得到答案．【完整解答】解：∵4x2+2kx+25＝（2x±5）2∴2kx＝±2×2x•5＝±20x∴k＝±10故选：D．8．（2分）（2021秋•凉山州期末）2×（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1的计算结果是（）A．332+1 B．332﹣1 C．331D．332【思路引导】把因数2写成3﹣1后利用平方差公式依次计算即可得出结果．【完整解答】解：2×（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（38﹣1）（38+1）（316+1）+1＝（316﹣1）（316+1）+1＝332﹣1+1＝332故选：D．9．（2分）（2021秋•望城区期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差那么这个正整数就称为“智慧数”例如：7＝7×1＝（4+3）×（4﹣3）＝42﹣32 7就是一个智慧数 8＝4×2＝（3+1）×（3﹣1）＝32﹣12 8也是一个智慧数则下列各数不是智慧数的是（）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【思路引导】根据“智慧数”的定义对每个选项进行判断即可得出答案．【完整解答】解：∵2021＝2021×1＝（1011+1010）（1011﹣1010）＝10112﹣10102∴2021是智慧数∴选项A不符合题意；∵2022不能写成两个正整数的平方差∴2022不是智慧数∴选项B符合题意；∵2023＝2023×1＝（1012+1011）（1012﹣1011）＝10122﹣10112∴2023是智慧数∴选项C不符合题意；∵2024＝1012×2＝（507+505）（507﹣505）＝5072﹣5052∴2024是智慧数∴选项D不符合题意；故选：B．10．（2分）（2021秋•井研县期末）如图所示将四张全等的长方形硬纸片围成一个正方形根据图形阴影部分面积的关系可以直观地得到一个关于a b的恒等式为（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab D．a2+ab＝a（a+b）【思路引导】用两种方法正确的表示出阴影部分的面积再根据图形阴影部分面积的关系即可直观地得到一个关于a b的恒等式．【完整解答】解：方法一阴影部分的面积为：（a﹣b）2方法二阴影部分的面积为：（a+b）2﹣4ab所以根据图形阴影部分面积的关系可以直观地得到一个关于a b的恒等式为（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．故选：C．二．填空题（共10小题满分20分每小题2分）11．（2分）（2022春•仪征市期末）计算20222﹣2020×2024的结果是 4 ．【思路引导】运用平方差公式进行简便运算．【完整解答】解：20222﹣2020×2024＝20222﹣（2022﹣2）（2022+2）＝20222﹣（20222﹣22）＝20222﹣20222+22＝4．故答案为：4．12．（2分）（2022春•文登区期末）如图由四张大小相同的矩形纸片拼成一个大正方形和一个小正方形．如果大正方形的面积为75 小正方形的面积为3 则矩形的宽AB为2．【思路引导】根据图形的面积设矩形的长为a宽为b得出（a+b）2＝75 （a﹣b）2＝3 进而得到a+b＝5a﹣b＝求出b即可．【完整解答】解：设矩形的长为a宽为b则有（a+b）2＝75 （a﹣b）2＝3所以a+b＝5a﹣b＝所以b＝2即矩形的AB为2故答案为：2．13．（2分）（2022春•钱塘区期末）如图边长为6的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为a b（a＜6 b ＜6）的长方形若长方形的周长为16 面积为15.75 则图中阴影部分面积S1+S2+S3＝12.5 ．【思路引导】由长方形的周长16 面积为15.75 确定a+b＝8 ab＝15.75 通过观察图形分别用含有a 和b的式子表示出阴影部分的面积S1S2S3然后整理化简S1+S2+S3通过完全平方公式计算出a2+b2从而求出值．【完整解答】解：由题知a+b＝16÷2＝8 ab＝15.75．∴（a+b）2＝64a2+2ab+b2＝64a2+b2＝64﹣2ab＝64﹣2×15.75＝32.5∵S1＝（6﹣b）2S3＝（6﹣a）2S2＝[b﹣（6﹣a）]2＝（a+b﹣6）2∴阴影部分面积S1+S2+S3＝（6﹣b）2+（6﹣a）2+（a+b﹣6）2＝36﹣12b+b2+36﹣12a+a2+（8﹣6）2＝a2+b2﹣12b﹣12a+76＝a2+b2﹣12（b+a）+76＝32.5﹣12×8+76＝12.5．故答案为：12.5．14．（2分）（2022•三水区一模）现有两个正方形A B．如图所示进行两种方式摆放：方式1：将B放在A 的内部得甲图；方式2：将A B并列放置构造新正方形得乙图．若甲图和乙图阴影部分的面积分别为1和12 则正方形A B的面积之和为13 ．【思路引导】设正方形A的边长为a正方形B的边长为b由图形得出关系式求解即可．【完整解答】解：设正方形A的边长为a正方形B的边长为b由图甲得a2﹣b2﹣2（a﹣b）b＝1即a2+b2﹣2ab＝1由图乙得（a+b）2﹣a2﹣b2＝12得：2ab＝12所以a2+b2＝13故答案为：13．15．（2分）（2022春•海安市校级月考）若（2021﹣A）（2020﹣A）＝2022 则（2021﹣A）2+（A﹣2020）2＝4045 ．【思路引导】根据完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2即可求出答案．【完整解答】解：设x＝2021﹣A y＝2020﹣A∴x﹣y＝2021﹣A﹣2020+A＝1∵（2021﹣A）（2020﹣A）＝2022∴xy＝2022∴原式＝x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝1+2×2022＝4045故答案为：4045．16．（2分）（2022春•杏花岭区校级月考）①（x﹣1）•（x+1）＝x2﹣1②（x﹣1）•（x2+x+1）＝x3﹣1③（x﹣1）•（x3+x2+x+1）＝x4﹣1……A题：猜想（x﹣1）•（x49+x48+…+x+1）＝x50﹣1 ．B题：当（x﹣1）•（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0 代数式x2023﹣1＝﹣2或0 ．【思路引导】（1）由规律可得（x﹣1）•（x n﹣1+…+x5+x4+x3+x2+x+1）＝x n﹣1 再根据数值可得其答案；（2）可由（x﹣1）•（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1＝0 求出x的值再代入x2023﹣1得其值．【完整解答】解：（1）（x﹣1）•（x49+x48+…+x+1）＝x50﹣1故答案为x50﹣1；（2）∵（x﹣1）•（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1＝0 ∴x＝1或﹣1当x＝﹣1时x2023﹣1＝（﹣1）2023﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2；当x＝1时x2023﹣1＝12023﹣1＝1﹣1＝0 ∴x2023﹣1＝﹣2或0故答案为﹣2或0．17．（2分）（2022春•新华区月考）有甲乙丙三种纸片若干张（数据如图a＞b）．（1）若要用这三种纸片紧密拼接成一个边长为（2a+b）大正方形则需要取甲纸片 4 张．（2）取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形使其面积为a2+nab+12b2则n可能的整数值有 3 个．【思路引导】（1）通过拼成的正方形面积求解．（2）通过分解第三项求确定n．【完整解答】解：（1）大正方形的面积为；（2a+b）2＝4a2+4ab+b2．∴需要甲纸片4张乙纸片4张丙1张故答案为：4．（2）∵12b2＝b•12b＝2b•6b＝3b•4b∴n＝1+12＝13或n＝2+6＝8或n＝3+4＝7．故答案为：3．18．（2分）（2021春•龙岗区期中）计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+＝．【思路引导】本题是平方差公式的应用把多项式：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+转化为（5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+＝（532﹣1）+的形式然后再利用平方差公式计算（516•2﹣1）+＝．【完整解答】解：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+＝（5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+＝（532﹣1）+＝．19．（2分）（2021秋•黔江区期末）4x2+Q+1是完全平方式请你写一个满足条件的单项式Q是±4x或4x4或﹣4x2或﹣1 ．【思路引导】设这个单项式为Q如果这里首末两项是2x和1这两个数的平方那么中间一项为加上或减去2x和1积的2倍故Q＝±4x；如果这里首末两项是Q和1 则乘积项是4x2＝2•2x2所以Q＝4x4；如果该式只有4x2项或1 它也是完全平方式所以Q＝﹣1或﹣4x2．【完整解答】解：∵4x2+1±4x＝（2x±1）2；4x2+1+4x4＝（2x2+1）2；4x2+1﹣1＝（±2x）2；4x2+1﹣4x2＝（±1）2．∴加上的单项式可以是±4x 4x4﹣4x2﹣1中任意一个．故答案为±4x或4x4或﹣4x2或﹣1．20．（2分）（2022春•宁阳县期末）请看杨辉三角（1）并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律则（a+b）6的第三项的系数为15 ．【思路引导】通过观察可以看出（a+b）6的展开式为6次7项式a的次数按降幂排列b的次数按升幂排列各项系数分别为1 6 15 20 15 6 1．【完整解答】解：由题意可得：（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6则（a+b）6的第三项的系数为：15．故答案为：15．三．解答题（共8小题满分60分）21．（4分）（2022春•南京期中）计算：（1）（x+3）2﹣（x+3）（x﹣3）（2）（x+2y﹣1）（x+2y+1）【思路引导】（1）直接利用完全平方公式以及平方差公式计算得出答案；（2）直接利用完全平方公式以及平方差公式计算得出答案．【完整解答】解：（1）（x+3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝x2+6x+9﹣（x2﹣9）＝6x+18；（2）（x+2y﹣1）（x+2y+1）＝（x+2y）2﹣1＝x2+4y2+4xy﹣1．22．（6分）（2022春•榆阳区期末）如图某地有一块长为（a+4b）米宽为（a+3b）米的长方形地块规划部门计划将阴影部分进行绿化中间边长为（a+b）米的空白正方形地块将修建一个凉亭．（1）求绿化部分的总面积（用含有a b的代数式表示）；（2）若a＝2 b＝5 求出此时绿化部分的总面积．【思路引导】（1）求出长方形地块的面积和正方形凉亭的面积再相见得出答案；（2）把a＝2 b＝5代入（1）的式子计算即可．【完整解答】解：（1）由题意得：长方形地块的面积＝（a+4b）（a+3b）＝（a2+7ab+12b2）（平方米）正方形凉亭的面积为：（a+b）2＝（a2+2ab+b2）（平方米）则绿化面积S＝（a2+7ab+12b2）﹣（a2+2ab+b2）＝（5ab+11b2）（平方米）；（2）∵a＝2 b＝5∴绿化总面积S＝5ab+11b2＝5×2×5+11×52＝325（平方米）．23．（8分）（2022春•永丰县期末）如图将一个边长为a+b的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形）请认真观察图形解答下列问题：（1）用图1可以验证的乘法公式是（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）如果图1中的a b（a＞b）满足a2+b2＝57 ab＝12 求（a+b）2的值；（3）如图2 点C是线段AB上的一点以AC BC为边向两边作正方形面积分别是S1和S2设AB＝8 两正方形的面积和S1+S2＝28 求图中阴影部分面积．【思路引导】（1）利用面积相等求解；（2）代入完全平方公式求解；（3）代入公式整体求解．【完整解答】解：（1）正方形面积整体计算是：（a+b）2分割计算是：a2+2ab+b2；∴（a+b）2＝a2+2ab+b2．故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（2）（a+b）2＝a2+2ab+b2＝57+2×12＝81；（3）设AC＝m BC＝n则m+n＝8 m2+n2＝28∴2mn＝（m+n）2﹣（m2+n2）＝64﹣28＝36所以阴影部分得面积为：0.5mn＝9．24．（8分）（2022春•邗江区期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3 ab＝1 求a2+b2的值；解：因为a+b＝3 所以（a+b）2＝9 即：a2+2ab+b2＝9 又因为ab＝1 所以a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法解决下列问题：（1）若x+y＝8 x2+y2＝40 求xy的值；（2）填空：①若（4﹣x）x＝5 则（4﹣x）2+x2＝ 6 ；②若（4﹣x）（5﹣x）＝8 则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝17 ．（3）如图在长方形ABCD中AB＝25 BC＝15 点E．F是BC CD上的点且BE＝DF＝x分别以FC CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN若长方形CEPF的面积为200平方单位求图中阴影部分的面积和．【思路引导】（1）利用完全平方公式的变形求解；（2）利用完全平方公式的变形结合引入新参数简化计算；（3）理解题意转化问题再利用完全平方公式的变形求解．【完整解答】解：（1）∵2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝64﹣40＝26∴xy＝13．（2）①令a＝4﹣x b＝x则a+b＝4 ab＝5∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣10＝6.\∴（4﹣x）2+x2＝6故答案为：6．②令a＝4﹣x b＝5﹣x则a﹣b＝﹣1 ab＝8∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝1+16＝17∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝17故答案为：17．（3）由题意得：（25﹣x）（15﹣x）＝200令a＝25﹣x b＝15﹣x则：a﹣b＝10 ab＝200∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝100+400＝500∴（25﹣x）2+（15﹣x）2＝500所以阴影部分的面积和为500平方米．25．（8分）（2022春•渠县期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3 ab＝1 求a2+b2的值．解：因为a+b＝3所以（a+b）2＝9 即：a2+2ab+b2＝9 又因为ab＝1所以a2+b2＝7根据上面的解题思路与方法解决下列问题：（1）若x+y＝8 x2+y2＝40 求xy的值；（2）填空：若（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8 则（4﹣x）2+（x﹣5）2＝17 ．（3）如图点C是线段AB上的一点以AC BC为边向两边作正方形设AB＝6 两正方形的面积和S1+S2＝18 求图中阴影部分面积．【思路引导】（1）根据完全平方公式得出2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）整体代入求值即可；（2）根据完全平方公式将（4﹣x）2+（5﹣x）2转化为[（4﹣x）﹣（5﹣x）]2+2（4﹣x）（5﹣x）再整体代入求值即可；（3）设AC＝m CF＝n可得m+n＝6 m2+n2＝18 求出0.5mn即可．【完整解答】解：（1）2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝64﹣40＝24∴xy＝12（2）由（4﹣x）﹣（5﹣x）＝﹣1∴[（4﹣x）﹣（5﹣x）]2＝（4﹣x）2﹣2（4﹣x）（5﹣x）+（5﹣x）2＝（﹣1）2；又∵（4﹣x）（5﹣x）＝8∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝1+2（4﹣x）（5﹣x）＝1+2×8＝17；故答案为：17．（3）设AC＝m CF＝n∵AB＝6∴m+n＝6又∵S1+S2＝18∴m2+n2＝18由完全平方公式可得（m+n）2＝m2+2mn+n2∴62＝18+2mn∴mn＝9∴S阴影部分＝0.5×mn＝0.5×9＝4.5答：阴影部分的面积为4.5．26．（8分）（2022春•郴州期末）两个边长分别为m和n的正方形如图放置（图1）其未叠合部分（阴影）面积为S1；若在图1中大正方形的右上角再摆放一个边长为n的小正方形（如图2）两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．（1）用含m n的代数式分别表示S1S2；（2）若m﹣n＝10 mn＝20 求S1+S2的值；（3）若S1+S2＝30 求图3中阴影部分的面积S3．【思路引导】（1）S1可以看作两个正方形的面积差即S1＝m2﹣n2S2是长为2n﹣m高为n的长方形的面积即S2＝（2n﹣m）•n＝2n2﹣mn；（2）将S1+S2＝m2﹣n2+2n2﹣mn变形为（m﹣n）2+mn再代入计算即可；（3）由S1+S2＝30 可得到m2+n2﹣mn＝30 由图3看得出S3＝（m2+n2﹣mn）整体代入计算即可．【完整解答】解：（1）S1可以看作两个正方形的面积差即S1＝m2﹣n2S2是长为2n﹣m高为n的长方形的面积即S2＝（2n﹣m）•n＝2n2﹣mn；（2）∵m﹣n＝10 mn＝20∴S1+S2＝m2﹣n2+2n2﹣mn＝m2+n2﹣mn＝（m﹣n）2+mn＝100+20＝120；（3）∵S1+S2＝m2+n2﹣mn＝30∴S3＝m2+n2﹣m2﹣n（m+n）＝m2﹣mn+n2＝（m2+n2﹣mn）＝×30＝15．27．（8分）（2021秋•蒙阴县期末）图1 是一个长为2m宽为2n的长方形沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的面积为（m﹣n）2；（2）观察图2 三个代数式（m+n）2（m﹣n）2mn之间的等量关系是（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；（3）若x+y＝﹣6 xy＝2.75 求x﹣y；（4）观察图3 你能得到怎样的代数恒等式呢？【思路引导】（1）表示出阴影部分的边长即可得出其面积；（2）大正方形的面积减去矩形的面积即可得出阴影部分的面积也可得出三个代数式（m+n）2（m﹣n）2mn之间的等量关系．（3）根据（2）所得出的关系式可求出（x﹣y）2继而可得出x﹣y的值．（4）利用两种不同的方法表示出大矩形的面积即可得出等式．【完整解答】解：（1）图②中的阴影部分的面积为（m﹣n）2故答案为：（m﹣n）2；（2）（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2故答案为：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；（3）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝25则x﹣y＝±5；（4）（2m+n）（m+n）＝2m（m+n）+n（m+n）＝2m2+3mn+n2．28．（10分）（2021春•姑苏区期中）学习整式乘法时老师拿出三种型号的卡片如图1：A型卡片是边长为a的正方形B型卡片是边长为b的正方形C型卡片是长和宽分别为a b的长方形．（1）选取1张A型卡片 2张C型卡片 1张B型卡片在纸上按照图2的方式拼成一个为（a+b）的大正方形通过不同方式表示大正方形的面积可得到乘法公式（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）请用这3种卡片拼出一个面积为a2+5ab+6b2的长方形（数量不限）在图3的虚线框中画出示意图并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽；（3）选取1张A型卡片 4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF的长度固定不变DG的长度可以变化图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1S2．若S＝S2﹣S1则当a与b满足a＝2b时S为定值且定值为a2．（用含a或b的代数式表示）【思路引导】（1）用两种方法表示图2的面积即可得出公式；（2）由a2+5ab+6b2可得A型卡片1张B型卡片6张C型卡片5张；（3）设DG长为x求出S1S2即可解决问题．【完整解答】解：（1）方法1：大正方形的面积为（a+b）2方法2：图2中四部分的面积和为：a2+2ab+b2因此有（a+b）2＝a2+2ab+b2故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（2）如图（3）设DG长为x．∵S1＝a[x﹣（a+2b）]＝ax﹣a2﹣2ab S2＝2b（x﹣a）＝2bx﹣2ab ∴S＝S2﹣S1＝（2bx﹣2ab）﹣（ax﹣a2﹣2ab）＝（2b﹣a）x+a2由题意得若S为定值则S将不随x的变化而变化可知当2b﹣a＝0时即a＝2b时S＝a2为定值故答案为：a＝2b a2。
人教版八年级上册数学期末动点问题压轴题专题训练(含答案)
人教版八年级上册数学期末动点问题压轴题专题训练1．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，点E在边AC的延长线上，且DA＝DE．(1)求证：△BAD＝△EDC：(2)用等式表示线段CD，CE，AB之间的数量关系，并证明．2．如图，已知△ ABC是边长为10cm的等边三角形，点F为AC的中点，动点D，E同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC匀速运动，其中点D运动的速度是1cm/s，点E运动的速度是2cm/s，设运动时为t 秒．(1)当t为何值时，△ AFD与△ CFE全等；(2)当t为何值时，△ BDE为直角三角形．3．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．(1)如图1，当点D在边BC上时，求证：△BD＝CE，△AC＝CE＋CD；(2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC＝CE＋CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由．4．在等边△ABC中，(1)如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，△BAP＝20°，求△AQB的度数；(2)点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．△依题意将图2补全；△求证：P A＝PM．5．如图，在三角形ABC中，D是射线BC上一动点．(1)如图1，点D在BC边上（不与点B，C重合），△ 按要求作图：分别过点D作DE BA∥交边AB于点F；∥交边AC于点E，作DF CA△ 在△的条件下，判断△EDF与△A的数量关系，并说明理由；(2)如图2，若点D在BC的延长线上，DF CA∥，△EDF=△A，试判断DE与BA的位置关系，并说明理由．6．如图1，等腰Rt△ABC中，△BAC＝90°，AB＝AC，D，E分别是AC和BC上的动点，BD△AE，垂足为F．(1)求证△CAE=△ABD；(2)连接DE，满足△AEB=△DEC，求证：BD=DE+AE；(3)点G在BD的延长线上，连接EG，满足△AEB=△GEC，试写出AE，EG，BG之间的数量关系，并证明．7．已知：如图，ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为()s t，解答下列各问题：(1)ABC的面积为多少？△是等边三角形？(2)当t为何值时，PBQ△是直角三角形时，求t的值．(3)当PBQA a，将点A向右平移b个单位得到点B，其中a，b满足8．如图△所示，点A的坐标为(0,)+-=．a b50(2)如图△，坐标轴上有两个动点P ，Q ，点P 从A 点出发沿y 轴负方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O 点出发以每秒2个单位长度的速度沿x 轴正方向运动，点P 、Q 同时出发，点P 到达O 点时整个运动结束．设运动时间为t 秒，问t 为何值时，使得12OBP BOQ S S =△△？并求出此时点P 和点Q 的坐标； (3)如图△所示，点F 为x 轴上一点，作△BOF 的平分线OG ，且OG △FB ，垂足为G ，△AOB 的平分线OE 与射线FB 交于点E ，求△E 的度数．9．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(a ，0)，(b ，0)，且a ，b 满足()23-20a b ++=．现同时将点A ，B 分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC ，BD ，CD ．(1)直接写出A ，B 两点的坐标为：A ___________， B ___________．(2)若点P 是线段AC 上的一个动点，Q 是线段CD 的中点，连接PQ ，PO ，当点P 在线段AC 上移动时（不与点A ，C 重合），请找出PQD ∠，OPQ ∠，POB ∠的数量关系，并证明你的结论．(3)在坐标轴上是否存在点M ，使三角形MAD 的面积与三角形ACD 的面积相等？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，试说明理由．10．已知：直线AD BC ∥，动点P 在直线EF 上运动，探究ADP ，DPC ∠，BCP ∠之间的关系．(1)【问题发现】若25ADP ∠=︒，35BCP ∠=︒，求DPC ∠的度数．(2)【结论猜想】当点P 在线段AB 上时，猜想ADP ，DPC ∠，BCP ∠三个角之间的数量关系，并说明理(3)【拓展延伸】若点P 在射线AE 上或者在射线BF 上时（不包括端点），试着探究ADP ，DPC ∠，BCP ∠之间的关系是否会发生变化，请挑选一种情形画出图形，写出结论，并说明理由．11．ABC 中，70C ∠=︒，点D ，E 分别是ABC 边AC ，BC 上的点，点P 是一动点，令1PDA ∠=∠，2PEB ∠=∠，DPE α∠=∠．初探：(1)如图1，若点P 在线段AB 上，且60α∠=︒，则12∠+∠=_____________； (2)如图2，若点P 在线段AB 上运动，则△1，△2，α∠之间的关系为_____________； (3)如图3，若点P 在线段AB 的延长线上运动，则△1，△2，α∠之间的关系为_____________； 再探：(4)如图4，若点P 运动到ABC 的内部，写出此时△1，△2，α∠之间的关系，并说明理由．12．如图，AB 、CD 被AC 所截，AB CD ∥，△CAB ＝108°，点P 为直线AB 上一动点（不与点A 重合），连CP ，作△ACP 和△DCP 的平分线分别交直线AB 于点E 、F ．(1)当点P 在点A 的右侧时△若△ACP ＝36°，则此时CP 是否平分△ECF ，请说明理由． △求△ECF 的度数．(2)在点P 运动过程中，直接写出△APC 与△AFC 之间的数量关系．(1)求证：AB CD ∥；(2)如图2，若3ABE EBF ∠=∠，120BFD ∠=︒，试求CDFBDF∠∠的值；(3)如图3，若H 是直线CD 上一动点（不与D 重合），BI 平分HBD ∠，则EBI ∠与BHD ∠的数量关系为______．14．如图1，在△ABC 中，BO AC ⊥于点O ，3,1AO BO OC ===，过点A 作AH BC ⊥于点H ，交BO 于点P ．(1)求线段OP 的长度；(2)连接OH ，求证：点O 到△AHC 的两边距离相等；(3)如图2，若点D 为AB 的中点，点M 为线段BO 延长线上一动点，连接MD ，过点D 作DN DM ⊥交线段OA 延长线于N 点，则BDM ADN S S ∆∆-的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．15．在ABC 中，BAC ABC ∠>∠，三个内角的平分线交于点O ．(1)填空：如图1，若80BCA ∠=︒，则BOA ∠的大小为________度；(3)如图2，CO 的延长线交AB 于点E ，点M 是AB 边上的一动点（不与点E 重合），过点M 作MN CE ⊥于点N ，请探索AMN ∠、ABC ∠、BAC ∠三者之间的数量关系．16．如图1，CE 平分ACD ∠，AE 平分BAC ∠，90EAC ACE ∠+∠=︒(1)请判断AB 与CD 的位置关系并说明理由；(2)如图2，在（1）的结论下，当90E ∠=︒保持不变，移动直角顶点E ，使MCE ECD ∠=∠，当直角顶点E 点移动时，问BAE ∠与MCD ∠是否存在确定的数量关系？(3)如图3，在（1）的结论下，P 为线段AC 上一定点，点Q 为直线CD 上一动点，当点Q 在射线CD 上运动时（点C 除外），CPQ CQP ∠+∠与BAC ∠有何数量关系？17．如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，AB ＝AC ＝10cm ，BC ＝8cm ，动点P 从点B 出发，沿BC 方向以每秒3cm 的速度向点C 运动；同时动点Q 从点C 出发，沿CA 方向以每秒3cm 的速度向点A 运动，运动时间是t 秒．(1)在运动过程中，当点C 位于线段PQ 的垂直平分线上时，求出t 的值；(2)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使△BPD 和△CQP 全等，若存在，求出t 的值．若不存在，请说明理由．18．如图，△ABC是边长是12cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：(1)当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何?请说明理由．(2)在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形?若能，请求出t，若不能，请说明理由．(3)则当t为何值时，△BPQ是直角三角形?2,0，以线段OA为边在第四象限内作等边AOB，点C 19．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为()OC>，连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边CBD，连接DA．为x轴正半轴上一动点()2(1)求证：OBC ABD≌；(2)是否存在点C，使得ACD△为直角三角形．若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；(3)是否存在点C，使得ACD△为等腰三角形．若存在，请求出AC的长；若不存在，请说明理由．B-(0,4)点4(6,)A -．(1)如图1，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿BA 方向运动，同时动点Q 从点O 出发，以每秒3个单位长度的速度沿y 轴向上运动，当点P 运动到点A 时，P 、Q 同时停止运动，设点P 运动时间为t 秒．用含t 的式子表示P ，Q 两点的坐标．(2)如图2，点D 为线段OA （端点除外）上某一点，当点D 在线段上运动时，过点D 作直线EF 交x 轴正半轴于E ，交直线AB 于F ，,EOD AFD ∠∠的平分线相交于点N ，若ODF α∠=，请用含α的式子表示ONF ∠的大小，并说明理由．答案1． (2)AB ＝CD +CE 2．(1)103t =(2)t ＝2或53．(2)AC+CD ＝CE ，4．(1)80°5．(1)；△△EDF =△A ， (2)DE BA ∥，6． (3)BG =AE +EG ，7．(1)2cm (2)3 (3)2或48．(1)(0,2)A ，(3,2)B (2)65t =，点0,54P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12,05Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭ (3)△E ＝45°9．(1)（−3，0）；（2，0）(2)△DQP ＋△QPO ＋△BOP ＝360°； (3)（0，163）或（0，−43）或（−8，0）或（2，0）10．(1)60°；(2)△DPC =△ADP +△PCB(3)△PCB =△DPC +△ADP ；或△ADP =△DPC +△PCB11．(1)130︒；(2)1270α∠+∠=︒+∠； (3)1270α∠-∠=︒+∠； (4)12430α∠+∠=︒-∠，12．(1)△平分，；△36°(2)当点P 在点E 的右侧时，2APC AFC ∠=∠；当点P 、点E 在点A 的左侧，点F 在点A 的右侧时，2180AFC APC ∠+∠=︒；当点P 、点E 、点F 均在点A 的左侧时， 2180AFC APC ∠-∠=︒．13． (2)4(3)△BHD =2△EBI 或△EBI =90°-12△BHD14．(1)OP =1；(3)不变，9415．(1)130(3)2360AMN ABC BAC ∠=∠-∠+︒或2AMN BAC ABC ∠=∠-∠16．(1)平行，(2)存在，1902BAE MCD ∠+∠=︒(3)BAC PQC QPC ∠=∠+∠17．(1)43t = (2)当1t =时，△BPD △△CQP18．(1)PQ 与AB 垂直，(2)能，当4s t =时，△BPQ 是等边三角形(3) 2.4s t =或6s t =，△BPQ 是直角三角形19． (2)C （4,0）(3)不存在，20．(1)P （2t ，-4），Q （0，3t ）； (2)12ONF α∠=，。
压轴题05：分式与分式方程综合专练20题(解析版)八年级数学下学期期末精选题汇编(北师大版)
压轴题05：分式与分式方程综合专练20题（解析版）一、单选题1．若关于x的方程3133x axx x++=--有正整数解，且关于y的不等式组252510ya y-⎧<⎪⎨⎪--≤⎩至少有两个奇数解，则满足条件的整数a有（）个A．0B．1C．2D．3【答案】D【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出正整数方程的解，代入检验确定出a的值，再表示出不等式组的解集，由解集至少有两个奇数解确定出整数a的值，求出之和即可．【详解】解：31 33x axx x++= --解得：6 xa =∴方程有正整数解且63a≠即2a≠∴136 a=、、解不等式组252510ya y-⎧<⎪⎨⎪--≤⎩解得1521yy a⎧<⎪⎨⎪≥-⎩关于y的不等式组至少有两个奇数解∴15a-≤∴6a≤∴满足条件得整数a有3个，故选：D．【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．若关于x的分式方程61xx-＝3＋1axx-的解为整数，且一次函数y＝（10﹣a）x＋a的图象不经过第四象限，则符合题意的整数a的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】根据题意求得满足条件的a 的值，从而可以得到满足条件的所有整数a 的个数．【详解】解：∴一次函数y ＝（10﹣a ）x ＋a 的图象不经过第四象限，∴1000a a ->⎧⎨≥⎩， 解得010a ≤<， 由分式方程61x x -＝3＋1ax x -得，x ＝33a -， ∴分式方程61x x -＝3＋1ax x -的解为整数，且x≠1， ∴a ＝0，2，4，∴符合题意的整数a 的个数3个，故选：C ．【点睛】本题主要考查分式方程的解和一次函数的图象及性质，掌握一次函数的图象及性质以及正确的解分式方程是解题的关键．3．若整数a 使得关于x 的不等式组341242()x x x a x +⎧+>⎪⎨⎪-≤-⎩的解集为2x <-，且关于y 的分式方程2311a y y y -=+++的解为负数，则所有符合条件的整数a 的和为（ ）A ．0B ．－3C ．－5D ．－8【答案】D【分析】先解不等式组中的两个不等式，由不等式组的解集可得5,a ≥- 再解分式方程，由分式方程的解为负数可得：a ＜5, 且3,a ≠ 结合a 为整数，从而可得答案．【详解】 解：341242()x x x a x +⎧+>⎪⎨⎪-≤-⎩①②由∴得：22x +＞34+x ， x ＜2,-由∴得：324,x a ≤+24,3a x +∴≤ 又由不等式组的解集为2x <-，242,3a +∴≥- 246,a ∴+≥-5,a ∴≥-2311a y y y -=+++ 233,a y y ∴=-++5,2a y -∴= 方程2311a y y y -=+++的解为负数， 52a -∴＜0, a ∴＜5,由10,y +≠1,y ∴≠-51,2a -∴≠- 3,a ∴≠综上：5a -≤＜5且3,a ≠由a 为整数，5a ∴=-或4a =±或3a =-或2a =±或1a =±或0a =，则所有符合条件的整数a 的和为：8.-故选：.D【点睛】本题考查的是由一元一次不等式组的解集求解参数的取值范围，分式方程的负数解问题，掌握以上知识是解题的关键．4．若整数a 使得关于x 的分式方程2x x -＋12a x+-＝2的解为非负数，且一次函数y ＝﹣（a ＋3）x ＋a ＋2的图象经过一、二、四象限，则所有符合条件的a 的和为（ ）A ．﹣3B ．2C ．1D ．4【答案】D【分析】先求出方程的解x ＝3﹣a ≥0，求出a ≤3，根据分式方程的分母x ﹣2≠0求出a ≠1，根据一次函数y ＝﹣（a ＋3）x ＋a ＋2的图象经过一、二、四象限求出﹣（a ＋3）＜0且a ＋2＞0，求出a ＞﹣2，再求出答案即可．【详解】 解：2x x -＋12a x+-＝2， 方程两边乘以x ﹣2得：x ﹣a ﹣1＝2x ﹣4，解得：x ＝3﹣a ，∴关于x 的分式方程2x x -＋12a x +-＝2的解为非负数， ∴3﹣a ≥0，解得：a ≤3，∴一次函数y ＝﹣（a ＋3）x ＋a ＋2的图象经过一、二、四象限，∴﹣（a ＋3）＜0且a ＋2＞0，解得：a ＞﹣2，∴﹣2＜a ≤3，∴分式方程的分母x ﹣2≠0，∴x ＝3﹣a ≠2，即a ≠1，∴a 为整数，∴a 为﹣1，0，2，3，和为﹣1＋0＋2＋3＝4，故选：D ．【点睛】本题考查了解分式方程，一次函数的图象和性质，解一元一次不等式等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键．5．在ABC 中，AE 、BF 、CP 分别在边BC 、CA 、AB 上的高线，已知AE 、BF 、CP 相交于一点D ，且2019AD BD CD DE DF DP ++=，则AD BD CD DE DF DP⋅⋅的值等于（ ）A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022 【答案】C【分析】设BDC S a ，ADC S b ，ABD S c ，则AD b c DE a +=，BD a c DF b +=，cD DP C a b +=，然后对所求式子变形整理，整体代入计算即可．【详解】解：设BDC S a ，ADC S b ，ABD S c ， 则ADC ABD ADC ABD BDE DEC BDE DEC S S S S S S S S AD b c DE a+====++， 同理可得：BD a c DF b +=，c D DP C a b +=， ∴2019a c a b b c b c a +++++=， ∴AD BD CD DE DF DP ⋅⋅ b c a c a b a b c+++=⋅⋅ ()()()b c a c a b abc+++= 222222a b a c abc ac ab abc b c bc abc+++++++= ()()()()ac a c ab a c ab b c bc b c abc abc++++++=+ a c a c b c b c b c c a++++=+++ 2a c a b b c b c a+++=+++ 20192=+2021=，故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的面积计算，分式的混合运算，正确化简所求式子是解题的关键．6．若数a 使关于x 的不等式组36222()4x x x a x +⎧<+⎪⎨⎪-+⎩的解集为x ＜﹣2，且使关于y 的分式方1311--=-++y a y y 的解为负数，则符合条件的所有整数a 的个数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组的解集为x ＜﹣2确定出a 的范围，再由分式方程的解为负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a 的值，进而求出符合条件的a 的个数．【详解】 解：解不等式组36222()4x x x a x +⎧<+⎪⎨⎪-+⎩，得：224x x a <-⎧⎨+⎩， 由不等式组的解集为x ＜﹣2，得到2a +4≥﹣2，解得：a ≥﹣3； 分式方程1311--=-++y a y y 去分母得：1﹣y ﹣a ＝﹣3（y +1）， 解得：y ＝42a -， 由分式方程的解为负数以及分式有意义的条件，得412402a a -⎧≠-⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩， 解得：a ＜4且a ≠2；∴﹣3≤a ＜4且a ≠2，∴a ＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，∴符合条件的所有整数a 的个数为6个；故选：C ．【点睛】此题主要考查分式方程与不等式组的求解运用，解题的关键是熟知分式方程与不等式组的解法．7．若关于x 的不等式组()3222x x a x x ⎧-->-⎪⎨+<⎪⎩有解，关于y 的分式方程13244ay y y -+=---有整数解，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．5【答案】B【分析】先解不等式组，由不等式组有解，可得a ＜4，再解分式方程，当2a ≠且1a ≠时，分式方程的解为：4,2y a =--再由,y a 为整数，分类讨论可得答案． 【详解】解：()3222x x a x x ⎧-->-⎪⎨+<⎪⎩①② 由∴得：36x x -+＞2,-2x ∴-＞8,- x ＜4,由∴得：a x +＜2,x x ＞,a关于x 的不等式组()3222x x a x x ⎧-->-⎪⎨+<⎪⎩有解， a ∴＜4， 13244ay y y -+=---， ()1324,ay y ∴--=--24,ay y ∴-=-()24,a y ∴-=-当2a =时，方程无解，则2,a ≠44,22y a a -∴==--- 检验：40,y -≠440,2a ∴--≠- 44,2a ∴≠-- 21,a ∴-≠-1,a ∴≠,y a 为整数，21a ∴-=± 或22a -=±或24,a -=±3a ∴=或1a =或4a =或0a =或6a =或2,a =-a ∴＜4， 2,a ≠1,a ≠∴ 3a =或0a =或 2.a =-经检验：3a =或0a =或2a =-符合题意，()302 1.∴++-=故选：.B本题考查的是一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，分类讨论数学思想，掌握以上知识是解题的关键．8．若关于x 的不等式组52(+)11231x x a ⎧>⎪⎨⎪-<⎩无解，且关于y 的分式方程34122y a y y ++=--有非负整数解，则满足条件的所有整数a 的和为（ ）A ．8B ．10C ．16D ．18 【答案】C【分析】先由不等式组无解，求解8a ≤，再求解分式方程的解22a y +=，由方程的解为非负整数，求解2a ≥-且2a ≠，再逐一确定a 的值，从而可得答案． 【详解】 解：52+11{231x x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭-<①②由∴得：2511x +>，∴3x >，由∴得：31x a <+， ∴13x a <+， ∴关于x 的不等式组52+11{231x x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭-<无解， ∴1+33a ≤， ∴19a +≤，∴8a ≤， ∴34122y a y y++=--， ∴()342y a y -+=-， ∴22a y +=， ∴20y -≠， ∴222a +≠，∴关于y 的分式方程34122y a y y++=--有非负整数解， ∴202a +≥， ∴2a ≥-， ∴22a +为整数， ∴2a =-或0a =或4a =或6a =或8a =．∴2046816-++++=．故选：C ．【点睛】本题考查的由不等式组无解求解字母系数的范围，分式方程的非负整数解，熟练掌握解不等式组的方法和解分式方程是解题关键，解题时要注意分式方程的解得到y ≠2这一隐含条件．二、填空题9．若223411a a a ++-为不超过3的整数，则整数=a ______． 【答案】0或-1或-3【分析】 先将223411a a a ++-整理得到4331a +≤-，根据题意即可确定a 的值． 【详解】 解：22341(3+1)(1)313(1)4431(1)(1)111a a a a a a a a a a a a ++++-+====+-+----， 因为223411a a a ++-为不超过3的整数， ∴4331a +≤-，且431a +-为整数， ∴ 401a ≤-， 因为a 为整数，所以符合条件的a=0或-1或-3，故答案为：0或-1或-3．【点睛】 本题主要考查了分式的化简，解题的关键是将将223411a a a ++-整理得到431a +-．10．若数a 使关于x 的不等式组2122274x x x a-⎧≤-+⎪⎨⎪+>-⎩，有且仅有四个整数解，且使关于y 的分式方程2222a y y+=--有非负数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是________________． 【答案】1【分析】先解不等式组，根据不等式组有且仅有四个整数解，得出−4＜a≤3，再解分式方程2222a y y+=--，根据分式方程有非负数解，得到a≥−2且a≠2，进而得到满足条件的整数a 的值之和．【详解】 解不等式组2122274x x x a -⎧≤-+⎪⎨⎪+>-⎩①②，由∴得，x≤3；由∴得，x ＞47a +-； ∴不等式组有且仅有四个整数解， ∴−1≤47a +-＜0， ∴−4＜a≤3， 解分式方程2222a y y+=--，可得y ＝12（a ＋2）， 又∴分式方程有非负数解，∴y≥0，且y≠2， 即12（a ＋2）≥0，12（a ＋2）≠2，解得a≥−2且a≠2，∴−2≤a≤3，且a≠2，∴满足条件的整数a 的值为−2，−1，0，1，3，∴满足条件的整数a 的值之和是1．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了分式方程的解，解题时注意：使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．11．2022年北京冬奥会正在火热举办中，冰雪项目中高质量的“人造雪”受到人们的广泛关注，它的生产实际上是一个科学技术难题：要首先通过过滤装置将自然水过滤成纯净的水，接着用制冰装置将纯净的水制成片状的纯冰，再通过碎冰装置把已经造好的纯冰粉碎成粉末，最后，通过把粉末状的冰晶和空气等原料混合加工成“人造雪”．现有若干千克自然水和100千克纯冰，准备将它们加工成人造雪，共8名技术人员，分为甲、乙两组同时工作，甲组负责自然水提纯后加工成纯冰，乙组负责将纯冰加工成人造雪．已知甲组人员每人每小时可将10千克自然水加工成5千克纯冰，乙组人员每人每小时可将10千克纯冰加工成20千克人造雪（不考虑冰雪融化及其他损耗）；若加工t 小时后，纯冰质量与人造雪的质量之比为1：8；又加工了几个小时后，自然水全部使用完；接着继续将所有纯冰都加工成人造雪，一共加工产生了700千克人造雪；当自然水正好全部使用完，此时纯冰质量与人造雪质量之比为______． 【答案】1:12##112【分析】设有x 人在甲组，则有(8-x )在乙组，根据纯冰质量与人造雪的质量之比为1：8，列出方程()():20158010018:8t tx t x ⎡⎤+=⎣⎦--，从而()4017t x t-=，根据,x t 都为正整数（＜8x ），且40不能被7整除，从而得出x =5，于是得出共加工了8小时，乙组为3人，然后根据将所有纯冰都加工成人造雪，一共加工产生了700千克人造雪，得出自然水正好全部使用完时，纯冰质量和人造雪质量，即可求出答案． 【详解】解：设有x 人在甲组，则有(8-x )在乙组， t 小时后，有纯冰的质量为：()5100108tx t x +--51008010tx t tx =+-+ 1580100tx t =-+（千克）有人造雪的质量为()208t x -千克根据题意可得：()():20158010018:8t tx t x ⎡⎤+=⎣⎦-- ()()815801002108t x tx t ⎡⎤⨯=--+⨯⎣⎦12064080016020tx t t tx -+=- 140800800tx t =-()4017t x t-=,x t 都为正整数（＜8x ），且40不能被7整除，∴40能被t整除，t-1能被7整除；∴t=8，x=5．∴ 8-x =3，因此甲组有5人，乙组有3人．生产700千克人造雪需要纯冰的质量为：7002010350÷⨯= （千克），原有纯冰100千克， ∴自然水加工而成的纯冰的质量为：350100250-= （千克），∴甲组生产纯冰的总时间为：2505510÷÷=（小时），自然水用完时，乙组共生产的人造雪的质量为10320600⨯⨯=（千克），此时还剩下的纯冰的质量为：100250600201050+-÷⨯=（千克）， ∴此时纯冰与人造雪的质量比为：150:6001:1212==故答案为：1:12或112【点睛】本题主要考查了列方程解应用题，根据题意找出题目中的等量关系列出方程是解题的关键．12．某知名服装品牌在北碚共有A 、B 、C 三个实体店．由于疫情的影响，第一季度A 、B 、C 三店的营业额之比为3:4:5，随着疫情得到有效的控制和缓解，预计第二季度这三个店的总营业额会增加，其中B店增加的营业额占总增加的营业额的27，第二季度B 店的营业额占总营业额的413，为了使A 店与C 店在第二季度的营业额之比为5∴4，则第二季度A 店增加的营业额与第二季度总营业额的比值为______________． 【答案】726【分析】设第一季度A 、B 、C 三店的营业额分别为34,5x x x ，，第二季度A 店、C 店的营业额为5y 、4y ，根据题意求得y 与x 的关系2y x =，第二季度B 店的营业额4y ，第二季度总营业额为13y ，则第二季度A 店增加的营业额与第二季度总营业额的比值为5313y xy-，即可求解． 【详解】解：∴第一季度A 、B 、C 三店的营业额之比为3:4:5∴设第一季度A 、B 、C 三店的营业额分别为34,5x x x ，∴第二季度A 店与C 店在第二季度的营业额之比为5∴4∴设第二季度A 店、C 店的营业额为5y 、4y ，B 店的营业额为z ∴第二季度B 店的营业额占总营业额的413， ∴45413z y y z =++，解得4z y =∴第二季度总营业额为13y∴B店增加的营业额占总增加的营业额的2 7∴44213127y xy x-=-，解得2y x=第二季度A店增加的营业额与第二季度总营业额的比值为537 1326 y xy-=【点睛】此题考查了分式方程的应用，理解题意设合适的未知数，弄清楚题中的等量关系是解题的关键．13．随着我国疫情的有效控制，各地打造了众多春游景点供市民休闲娱乐．某区特别打造了多彩植物园、亲子游乐园、劳动体验园吸引游客．3月份多彩植物园、亲子游乐园、劳动体验园接待游客数量之比为3:3:4．为增加游客数量，该地区通过发抖音、转发朋友圈等多种方式加大宣传力度，预计4月份三个园区接待的游客总人数在3月份的基础上会增加．但因为多彩植物园中部分花期已过，多彩植物园的游客人数在3月份的基础上将减少13．这样4月份，多彩植物园接待的游客总人数占三个园区接待游客总人数的17，而亲子游乐园、劳动体验园4月份接待游客人数之比将达到3:2，则亲子游乐园新增的人数与4月份这三个园区的总人数之比是___________【答案】3 10【分析】设3月多彩植物园、亲子游乐园、劳动体验园接待游客数量分别为3a，3a，4a，求出4月多彩植物园的人数，得到4月接待总人数，设4月亲子游乐园人数为m，根据4月亲子游乐园、劳动体验园4月份接待游客人数之比将达到3：2，得到365m a=，再根据题意求出比值．【详解】解：设3月多彩植物园、亲子游乐园、劳动体验园接待游客数量分别为3a，3a，4a，则4月多彩植物园的游客人数为3a（1-13）=2a，∴4月接待总人数为2a÷17=14a，∴4月亲子游乐园、劳动体验园接待游客数量为12a，设4月亲子游乐园人数为m，则劳动体验园人数为12a-m，由题意可得：3 122ma m=-，解得：365m a =，∴4月亲子游乐园新增的人数与4月份这三个园区的总人数之比为：363514a a a-=310， 故答案为：310． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，题干较长，解题时要细心认真读题，理清题中的条件，用字母表示出相关量，再进行运算．14．今年是脱贫攻坚关键年，大学生小赵利用电商平台帮助家乡售卖当地土特产。
填空题压轴题-2022-2023学年八年级数学下册期末解答压轴题必刷专题训练(华师大版)(解析版)
填空题压轴题【答案】145【详解】解：如图以DAB V 和FAQ △中：DA =∴()SAS DAB FAQ V V ≌，【答案】①②③④⑤⑥【详解】解：如图，过点∵四边形ABCD 是正方形，∴A C D ÐÐÐ==∴AEB EBC ÐÐ=∵FEB EBC ÐÐ=∴AEB BEF ÐÐ=5．如图，已知在△ABC中，AB 作平行四边形MCNB，连接MN【答案】24 5【详解】如图，设MN、BC交于点6．如图，在平面直角坐标系xoyAB AD为边作使2DP AP=，以,【答案】49【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB//CD∴∠E=∠DAE，又∵AE平分∠BAD，【答案】①④⑤【详解】解：∵四边形ABCD ∴AB CD =，AD BC =．设点P 到AB ，BC ，CD ，DA【答案】()453，【详解】解：从正方形的观点考虑，右下角对应的横坐标为1时，共有右下角对应的横坐标为2时，共有右下角对应的横坐标为3时，共有右下角对应的横坐标为4时，共有【答案】10 21【详解】解：设1A，2A，3A【答案】（10112-，10112）【详解】解：∵过点（1，0）作∴1A （1，2），把2y =代入y x =-得2x =-，即把2x =-代入2y x =得4y =-，即同理可得4A （4，4-），5A （32），…直线21y kx k =+-与直线(1)2y k x k =+++那么，COD ABDC S S =V 四边形【答案】22n+【详解】解：对于直线y=x+1∵A0B1∥x轴，∴B1的纵坐标为将y=1代入1122y x=+中得：∴A0B1=1=20，∵A1B1∥y轴，∴A1的横坐标为【答案】404432æöç÷èø【详解】解：∵直线1l ：112y x =-+与直线2l ：332y x =-+与y 轴交于点B ，∴AB 2\=，112BC AB ==，∵BC ⊥AB ，∴()1,3C -，∴四边形PECF 是矩形，∴PC=EF，∴PA=EF，故②正确；∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ABD=∠BDC=∠DBC=45°，∵∠PFC=∠BCD=90°，∴PF∥BC，∴∠DPF=45°，∵∠DFP=90°，∴△FPD 是等腰直角三角形，故①正确；在△PAB 和△PCB 中，AB CB ABP CBP BP BP ìïÐÐíïî＝＝＝ , ∴△PAB≌△PCB，∴∠BAP=∠BCP，在矩形PECF 中，∠PFE=∠FPC=∠BCP，∴∠PFE=∠BAP．故④正确；∵点P 是正方形对角线BD 上任意一点，∴AD 不一定等于PD ，只有∠BAP=22.5°时，AD=PD ，故③错误，故答案为①②④．38．如图，在矩形ABCD 中，5AB =，12BC =，P 是矩形ABCD 内一点，沿PA 、PB 、PC 、PD 把这个矩形剪开，然后把两个阴影三角形拼成一个四边形，则这个四边形的面积为_________；这个四边形周长的最小值为________.【答案】 30 26【详解】如解图①，过点P 作PE AB ^于点E ，延长EP 交CD 于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC BCD Ð=Ð=°，5CD AB ==.∴四边形EBCF 是矩形.∴EF BC =.又∵12BC =，故答案为：30，26.39．如图，在△ABC 中，Ð，90BAC Ð=°，点A 为(3P 、A 、C 为顶点的三角形和△全等，则P 点坐标为___________【答案】(6)2-，或(81)，或则90AOB AMP Ð=Ð=°，在AOB V 和V AMP 中，AOB OAB AB ÐìïÐíïî∴(AAS)AOB AMP V V ≌，∴3AM AO ==，2MP OB == ，∴此时点P 的坐标为(6)2-，；②如图，过点C 作CP AC ^，使CP AB =，则(HL)ABC CPA V V ≌．过P 作PF x ^轴于F ，过点C 作CE x ^轴于点E ，作CD y ^轴于点D ．∵90OBA OAB Ð+Ð=°，90EAC OAB Ð+Ð=°，∴OBA EAC Ð=Ð．又∵90BOA AEC Ð=Ð=°，AB AC =，∴(AAS)BOA AEC V V ≌，∴3OD CE OA ===，2AE OB ==，∴5CD OE ==．∵CD x ∥轴，∴DCA FAC Ð=Ð．∵45BCA PAC Ð=Ð=°，∴DCA BCA FAC PAC Ð-Ð=Ð-Ð，即DCB FAP Ð=Ð．又∵90CDB AFP Ð=Ð=°，CB AP =，∴(AAS)CDB AFP V V ≌，∴321PF BD OD OB ==-=-=，5AF CD ==,∴358OF OA AF =+=+=，∴此时点P 的坐标为(81)，；③如图，作CP AC ^，使CP AB =，连接BP ，则(SAS)ABC CPA V V ≌，∵90BAC PCA Ð=Ð=°，且CP AB = ，∴四边形ABPC 是矩形，∴90AB BP ABP =Ð=°， ，即90ABO PBM Ð+Ð=°，过点P 作PM y ^轴，则90BPM PBM Ð+Ð=°，∴ABO BPM Ð=Ð，在△AOB 和△BMP 中，AOB BMP ABO BPM AB BP Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴()AOB BMP AAS V V ≌，∴3BM OA ==，2PM OB == ，∴此时点P 的坐标为(25)，；④当点P 与点B 重合时，点P 的坐标为(0)2，．综上可知，点P 的坐标为(6)2-，或(81)，或(25)，或(0)2，．。
初二下学期数学期末综合压轴题100题锦集
初二下学期数学期末综合压轴题100题锦集1.△ABC是等边三角形，D是射线BC上的一个动点（与点B、C 不重合），△ADE是以AD为边的等边三角形,过点E作BC的平行线,交射线AC于点F,连接BE．（1）如图E 13.1，当点D在线段BC上运动时．① 求证：△AEB≌△ADC；② 探究四边形BCFE是怎样特殊的四边形？并说明理由；（2）如AFDFDCE图（备用图）图13.113.2，当点D在BC的延长线上运动时，请直接写出（1）中的两个结论是否仍图然成立；（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCFE是菱形？并说明理由．，B60°，BC2．点O是AC的2．如图，在Rt△ABC中，ACB90°中点，过点O的直线l与AB边相交于点D．过点C作CE∥AB交直线l于点E，设AOD=．（1）当等于多少度时，四边形EDBC是等腰梯形？并求此时AD的长；EDBC90°（2）当时，判断四边形是否为菱形，并说明理由．-1）3.如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（－2，，且P（-1，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；．．（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以 OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，设点Q的横坐标为n，求平行四边形OPCQ周长（周长用n 的代数式表示），并写出其最小值．．．第3题图14．如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DBE中, ∠BDE=∠ACB=90°,且BE在AB边上,取AE的中点F,CD的中点G,连结GF.（1）FG与DC的位置关系是 ,FG与DC的数量关系是；（2）若将△BDE绕B点逆时针旋转180°，其它条件不变,请完成下图，并判断（1）中的结论是否仍然成立? 请证明你的结论.AAF第3题图2D EG C BC B4.例：如图1，△ABC是等边三角形，点M是边BC的中点，∠AMN=60°，且MN交三角形外角的平分线CN于点N．求证：AM=MN．思路点拨：取的AB中点P，连结PM易证△APM ≌△MCQ从而AM=MN．问题解决： (1)如图2，四边形ABCD是正方形，点M是边BC的中点，CN是正方形ABCD的外角∠DCQ的平分线．①填空：当∠AMN = °时，AM=MN；②证明①的结论．(2)请根据例题和问题(1)的解题过程，在正五边形ABCDE中推广出一个类似的真命题．（请在图3中作出相应图形，标注必要的字母，并写出已知和结论，无需证明．）第5题图2 第5题图3 第5题图15.如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE，②AF⊥DE（不须证明）．（1）如图②，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF，则上面的结论①、②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”）（2）如图③，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）如图④，在（2）的基础上，连接AE和EF，若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请先判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种，并写出证明过程．6．如图，正方形OABC的面积为4，点D为坐标原点，点B在函数y的图象上，点P(m，n)是函数y k(k0,x0)xk(k0,x0)的图象上异于B的任意一点，过点Px分别作x轴、)，轴的垂线，垂足分别为E、F．(1)设矩形OEPF的面积为s1，求s2；(2)从矩形DEPF的面积中减去其与正方形OABC重合的面积，剩余面积记为．s2写出．s2与m的函数关系式，并标明m的取值范围．7.在直角坐标系xoy中,将面积为3的直角三角形AGO沿直线y=x翻折，得到三角形CHO，连接AC，已知反比例函数y k x0的图象过A、C两点，如图①. x（1）k的值是 .（2）在直线y=x图象上任取一点D，作AB⊥AD，AC⊥CB，线段OD交AC于点F，交AB于点E， P为直线OD上一动点，连接PB、PC、CE.㈠如图②，已知点A的横坐标为1，当四边形AECD为正方形时，求三角形PBC的面积. ㈡如图③，若已知四边形PEBC为菱形，求证四边形PBCD是平行四边形.㈢若D、P两点均在直线y=x上运动，当ADC=60°，且三角形PBC的周长最小时，请直接写出三角形PBC与四边形ABCD的面积之比.8．（1）如图6，点E，F，M，N分别是菱形ABCD四条边上的点，若AE=BF=CM=DN，求证：四边形EFMN是平行四边形.（2）如图7，当E，F，M，N分别是菱形ABCD四条边的中点时，试判断四边形EFMN的形状，并说明理由.9、如图，在四边形ABFC中，∠ACB=90，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF=AE。
期末考试勾股定理与几何翻折压轴题专项训练—2023-2024学年八年级数学下学期(人教版)(解析版)
期末考试勾股定理与几何翻折压轴题专项训练【例题精讲】例1．（三角形翻折问题）如图，在Rt ABC △中，9086ABC AB BC ∠=︒==，，，分别在AB AC ，边上取点E F ，，将AEF △沿直线EF 翻折得到A EF '△，使得点A 的对应点A '恰好落在CB 延长线上，当60EA B '∠=︒时，AE 的长为 ，当A F AC '⊥时，AF 的长为 ．【答案】 32− 407【分析】由折叠的性质可得AE A E '=，先求出30A EB '∠=︒，从而可得1122A B A E AE ''==，再由勾股定理可得BE AE =，最后由AE BE AB +=，进行计算即可；令A F '交AB 于G ，连接CG ，由折叠的性质可得：A EA F '∠=∠，AFE A FE '∠=∠，AEF A EF '∠=∠，AF A F '=，由A F AC '⊥得出90A FA A FC ''∠=∠=︒，45AFE A FE '∠=∠=︒，证明()ASA A FC AFG '≌得到CF FG =，设CF FG x ==，则10AF x =−，AG ，根据1122ACG S AC FG AG BC =⋅=⋅建立方程，解方程即可得出CF 的长，即可求解．【详解】解：由折叠的性质可得：AE A E '=，90ABC ∠=︒，18090A BE ABC '∴∠=︒−∠=︒，60EA B '∠=︒，9030A EB EA B ''∴∠=︒−∠=︒，1122A B A E AE ''∴==，BE AE∴==，AE BE AB+=，8AE AE∴=，32AE∴=−如图，令A F'交AB于G，连接CG，A F AC'⊥，90A FA A FC''∴∠=∠=︒，由折叠的性质可得：A EA F'∠=∠，AFE A FE'∠=∠，AEF A EF'∠=∠，AF A F'=，90AFE A FE'∠+∠=︒，45AFE A FE'∴∠=∠=︒，设A EA Fα'∠=∠=，则45FEB AFEα∠=∠=+︒，180135AEF FEB A EFα'∴∠=︒−∠=︒−=∠，()13545902A EB A EF BEFααα''∴∠=∠−∠=︒−−︒+=︒−，902EA B A EBα''∴∠=︒−∠=，FA C EA B EA F Aα'''∴∠=∠−∠==∠，在A FC'和AFG中，CA F AA F AFA FC AFG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠''⎩'，()ASAA FC AFG'∴≌，CF FG∴=，在Rt ABC△中，9086ABC AB BC∠=︒==，，，10AC∴，设CF FG x==，则10AF x=−，AG∴==1122ACGS AC FG AG BC=⋅=⋅，106x∴⋅=，整理得：271809000x x+−=，即29014400749x⎛⎫+=⎪⎝⎭，9012077x∴+=±，解得：307x=或30x=−（不符合题意，舍去），307CF∴=，30401077AF AC CF∴=−=−=，故答案为：32−407．【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式、等腰直角三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．例2．（坐标系中折叠问题）如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCO的边OC OA、分别在x轴、y轴上，6AB=，点E在边BC上，将长方形ABCO沿AE折叠，若点B的对应点F 恰好是边OC的三等分点，则点E的坐标是．【答案】⎛−⎝⎭或(−【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，由折叠的性质可得6AF AB==，BE EF=，90AFE B∠=∠=︒，再分当点F靠近点C时，24CF OF==，，当点F靠近点O 时，则42CF OF==，，两种情况利用勾股定理先求出OA的长，进而得到BC的长，设出CE 的长，进而得到EF的长，在Rt EFC△中，由勾股定理建立方程求解即可．【详解】解：在长方形ABCO 中，6CO AB ==，90BCO B AOC ∠=∠=∠=︒， 由折叠的性质可得6AF AB ==，BE EF =，90AFE B ∠=∠=︒，F 恰好是边OC 的三等分点，∴当点F 靠近点C 时，24CF OF ==，，在Rt AFO V中，OA =，∴BC OA ==设CE x =，则BE EF x ==，在Rt EFC △中，由勾股定理得到222EF CF CE =+，∴()2222xx =+，解得x =，∴点E的坐标是⎛− ⎝⎭； 当点F 靠近点O 时，则42CF OF ==，，在Rt AFO V中，OA ==∴BC OA ==设CE x =，则BE EF x ==，在Rt EFC △中，由勾股定理得到222CF CE =+，∴()2224x x =+，解得x =∴点E的坐标是(−；综上所述，点E的坐标是⎛− ⎝⎭或(−，故答案为：⎛− ⎝⎭或(−．例3．（四边形折叠问题）如图，已知矩形ABCD ，4AB =，5BC =，点P 是射线BC 上的动点，连接AP ，AQP △是由ABP 沿AP 翻折所得到的图形．(1)当点Q 落在边AD 上时，QC = ；(2)当直线PQ 经过点D 时，求BP 的长；(3)如图2，点M 是DC 的中点，连接MP 、MQ ．①MQ 的最小值为 ；②当PMQ 是以PM 为腰的等腰三角形时，请直接写出BP 的长．【答案】(2)2BP =或8BP =(3) 2.9BP =或4BP =或10BP =【分析】（1）根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可；（2）分点P 在线段BC 上，点P 在线段BC 的延长线上，两种情况，进行讨论求解；（3）①连接AM ，勾股定理求出AM 的长，折叠求出AQ 的长，根据MQ AM AQ ≥−，求出最小值即可；②分PM MQ =和PM PQ =两种情况，再分点P 在线段BC 上，点P 在线段BC 的延长线上，进行讨论求解即可．【详解】（1）解：当点Q 落在边AD 上时，如图所示，∵矩形ABCD ，4AB =，5BC =，∴4,5CD AB AD BC ====，90BAD B BCD ADC ∠=∠=∠=∠=︒，∵翻折，∴4,90AQ AB AQP B ==∠=∠=︒，∴1DQ AD AQ =−=，在Rt CDQ △中，CQ ==（2）当直线PQ 经过点D 时，分两种情况：当点P 在线段BC 上时，如图：∵翻折，∴4AQ AB ==，90AQP B ∠=∠=︒，BP PQ =，∴90AQD ∠=︒，∴3DQ ==，设BP PQ x ==，则：5PC BC BP x =−=−，3DP DQ PQ x =+=+，在Rt PCD △中，222DP CP CD=+，即：()()222345x x +=+−，∴2x =；∴2BP =；②当P 在线段BC 的延长线上时：∵翻折，∴4,90AQ AB Q B ==∠=∠=︒，BP PQ =，∴3DQ ==，设BP PQ x ==，则：5PC BP BC x =−=−，3DP PQ DQ x =−=−，在Rt PCD △中，222DP CP CD =+，即：()()222345x x −=+−，∴8x =；∴8BP =；综上：2BP =或8BP =；（3）①连接AM ，∵M 是CD 的中点， ∴122DM CM CD ===，∴AM =∵翻折，∴4AQ AB ==，∵MQ AM AQ ≥−，∴当,,A Q M 三点共线时，MQ 的值最小，即：4MQ AM AQ =−=4；②当PM PQ =时，如图：∵翻折，∴BP PQ PM ==，设BP x =，则：,5PM x CP BC BP x ==−=−，在Rt PCM 中，222PM CM PC =+，即：()22225x x =+−，解得： 2.9x =，即： 2.9BP =；当PM QM =，点P 在线段BC 上时，如图：∵,QM PM DM CM ==，90D C ∠=∠=︒，∴()HL MDQ MCP ≌，∴CP DQ =，点Q 在AD 上，由（1）知：1DQ =，∴1CP DQ ==，∴4BP BC CP =−=；当点P 在BC 的延长线上时：如图：此时点M 在AP 上，连接BM ，∵翻折，∴BM MQ PM ==，∵MC BP ⊥，∴210BP BC ==；综上： 2.9BP =或4BP =或10BP =．质，综合性强，难度大，属于压轴题．利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．【模拟训练】1．如图，在长方形ABCD 中，点E 是AD 的中点，将ABE 沿BE 翻折得到FBE ，EF 交BC 于点H ，延长BF DC 、相交于点G ，若8DG =，10BC =，则DC = ．【答案】258【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，连接EG ，根据点E 是AD 的中点得DE AE EF ==，根据四边形ABCD 是长方形得90D A ∠=∠=︒，根据将ABE 沿BE 翻折得到FBE 得90BFE D A ∠=∠=∠=︒，利用HL 证明Rt Rt EFG EDG △≌△，得8FG DG ==，设DC x =，则8CG DG DC x =−=−，8BG BF FG AB FG DC FG x =+=+=+=+，在Rt BCG V △中，根据勾股定理得，222CG BC BG +=，进行计算即可得．【详解】解：如图所示，连接EG ，∵点E 是AD 的中点，∴DE AE EF ==，∵四边形ABCD 是长方形，∴90D A ∠=∠=︒，∵将ABE 沿BE 翻折得到FBE ，∴90BFE D A ∠=∠=∠=︒在Rt EFG △和Rt EDG △中，EF ED EG EG =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL EFG EDG V V ≌，∴8FG DG ==，设DC x =，则8CG DG DC x =−=−，8BG BF FG AB FG DC FG x =+=+=+=+，在Rt BCG 中，根据勾股定理得，222CG BC BG +=，∴222(8)10(8)x x −+=+，解得258x =，故答案为：258．2．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，254AB =，154=AC ，点D 是AB 边上的一个动点，连接CD ，将BCD △沿CD 折叠，得到CDE ，当DE 与ABC 的直角边垂直时，AD 的长是 ．【答案】154或54【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，分DE BC ⊥和DE AB ⊥两种情况进行求解即可得到答案，根据题意，正确画出图形是解题的关键．【详解】解：如图，当DE BC ⊥时，延长ED 交BC 于点F ，CE 与AB 相交于点M ，∵EF BC ⊥，∴90EFC EFB ∠=∠=︒，∴90E ECF ∠+∠=︒，由折叠得，B E ∠=∠，CE CB =，MCD FCD ∠=∠，∴90B ECF ∠+∠=︒，∴90CMB ∠=︒，即C M A B ⊥，∵90ACB ∠=︒，254AB =，154=AC ，∴5BC ==， ∵1122ABC S AC BC AB CM ==△，∴11512552424CM ⨯⨯=⨯⨯，解得3CM =，∴4BM =，∵90CFD CMD FCD MCD CD CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()AAS CFD CMD ≌，∴3CF CM ==，DF DM =，∴532BF BC CF =−=−=，设DF DM x ==，则4BD x =−，在Rt BFD 中，222DF BF BD +=，∴()22224x x +=−， 解得32x =， ∴35422BD =−=， ∴25515424AD AB BD =−=−=；当DE AB ⊥时，如图，设DE 与AC 相交于点M ，由折叠可得，BCD ECD ∠=∠，DE DB =，ED BD =，5EC BC ==，∵DE AB ⊥，90ACB ∠=︒，∴DE BC ∥，∴EDC BCD ∠=∠，∴EDC ECD ∠=∠，∴5ED EC ==，∴5BD ED ==， ∴255544AD AB BD =−=−=；综上，AD 的长是154或54， 故答案为：154或54．3．如图，等边三角形ABC 中，16AB BD AC =⊥，于点D ，点E F 、分别是BC DC 、上的动点，沿EF 所在直线折叠CEF △，使点C 落在BD 上的点C '处，当BEC '△是直角三角形时，BE 的值为 ．【答案】24−或323【分析】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，折叠的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．由等边三角形的性质可得30DBC ∠=︒，分9090BEC BC E ''∠=︒∠=︒，两种情况讨论，由直角三角形的性质即可求解．【详解】解：ABC 是等边三角形，BD AC ⊥，30,DBC ∴∠=︒ 由折叠的性质可得：,CE C E '=若90,BEC ∠'=︒且30,C BE ∠'=︒,2,BE E B E C C ∴='''=16,BE CE BC +==16,CE +=8,E E C C ∴'==24BE ∴=−若90,30,E C B E C B ∠'=︒='∠︒2,,BE E B C E C ∴'''=16,BE CE BC +==16,3CE E C =='∴ 32.3BE ∴=故答案为∶ 24−323．4．如图，在ABC 中，120ACB ∠=︒，8AC =，4BC =，将边BC 沿CE 翻折，使点B 落在AB 上的点D 处，再将边AC 沿CF 翻折，使点A 落在CD 的延长线上的点A '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段FA '的长为 ．【答案】【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．过点A 作AH BC ⊥交BC 的延长线于H ，由直角三角形的性质可求142HC AC ==，AH =AB 的长，由面积法可求CE 的长，由折叠的性质可求90BEC DEC ∠=∠=︒，BCE DCE ∠=∠，ACF DCF ∠=∠，然后再求解即可．【详解】解：如图，过点A 作AH BC ⊥，交BC 的延长线于H ，120ACB ∠=︒，ACB H HAC ∠=∠+∠，30HAC ∴∠=︒，142HC AC ∴==，AH ==，448BH ∴=+=，AB ∴1122ACB S BC AH AB CE =⨯⨯=⨯⨯，4CE ∴=，CE ∴，将边BC 沿CE 翻折，使点B 落在AB 上的点D 处，再将边AC 沿CF 翻折，90BEC DEC ∴∠=∠=︒，BCE DCE ∠=∠，ACF DCF ∠=∠，1602ECF ACB ∴∠=∠=︒，30CFE ∴∠=︒，EF ∴，在Rt BCE中，BE ===，AF AB EF BE ∴=−−==FA AF '∴==故答案为：5．如图，点D 是ABC 的边AB 的中点，将BCD △沿直线CD 翻折能与ECD 重合，若4AB =，2CD =，1AE =，则点C 到直线AB 的距离为 ．【答案】【分析】连接BE ，延长CD 交BE 于点G ，作CH AB ⊥于点H ，如图所示，由折叠的性质及中点性质可得AEB △为直角三角形，且G 为BE 中点，从而CG BE ⊥，由勾股定理可得BE的长，再根据2ABC BDC S S =△△，即11222AB CH CD BG ⋅=⨯⋅，从而可求得CH 的长．【详解】解：连接BE ，延长CD 交BE 于点G ，作CH AB ⊥于点H ，如图所示，由折叠的性质可得：BD ED =，CB CE =，∴CG 为BE 的中垂线， ∴12BG BE =，∵点D 是AB 的中点，4AB =，2CD =，1AE =， ∴122BD AD AB ===，CBD CAD S S =，AD DE =，∴DBE DEB ∠=∠，DEA DAE ∠=∠，∵180EDA DEA DAE ∠+∠+∠=︒，即22180DEB DEA ∠+∠=︒，∴90DEB DEA ∠+∠=︒，即90BEA ∠=︒，∴BE∴12BG BE ==， ∵2ABC BDCS S =△△， ∴11222AB CH CD BG ⋅=⨯⋅，∴422CH =⨯，∴CH ，∴点C 到直线AB 的距离为．故答案为：．【点睛】本题考查翻折变换，线段中垂线的判定，等腰三角形的性质，点到直线的距离，直角三角形的判定，勾股定理，利用面积相等求相应线段的长，解题的关键是得出CG 为BE 的中垂线，2ABC BDC S S =△△．6．如图，在ABC 中，90,A AB AC ∠=︒==D 为AC 边上一动点，将C ∠沿过点D 的直线折叠，使点C 的对应点C '落在射线CA 上，连接BC '，当Rt ABC '△的某一直角边等于斜边BC '长度的一半时，CD 的长度为 ．【答案】 或 【分析】由翻折得，12CD CC '=，分三种情况：①当点C '在边AC 上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时；②当点C '在CA 的延长线上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时；③当点C '在CA 的延长线上，且12AB BC '=（即2BC AB '==时，分别根据勾股定理求出AC '的长，再求出CC '的长即可 【详解】解：由翻折得，12CD CC '=，分三种情况：①当点C '在边AC 上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时，90,A AB AC ∠=︒==∴由勾股定理得，222BC AC AB ''−=，即222(2)AC AC ''−=，AC '∴=CC '∴CD ∴；②当点C '在CA 的延长线上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时，同理得AC 'CC '∴CD ∴；③当点C '在CA 的延长线上，且12AB BC '=（即2BC AB '==由勾股定理得，222AC BC AB ''=−，即22218AC '=−=，AC '∴=CC '∴CD ∴=，0>，CD AB ∴>，此时点D 不在边AC 上，不符合题意，舍去，综上，当Rt ABC '△的某一直角边等于斜边BC '长度的一半时，CD 的长度为或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查图形的翻折变换（折叠问题），勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用折叠的性质及勾股定理是解答本题的关键，同时要注意分类思想的运用．7．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，P 为斜边AB 上的一动点（不包含A ，B 两端点），以CP 为对称轴将ACP △翻折得到A CP '，连结BA '．当A P AB '⊥时，BA '的长为 ．【答案】【分析】当A P AB '⊥时，过点C 作CD AB ⊥于D ，可知125CD =，95AD =，得出PDC △为等腰直角三角形，得到PD CD =，求出PA '和BP 的长，利用勾股定理即可求出BA '的长．【详解】过点C 作CD AB ⊥于D ，在Rt ADC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，∴5AB = ∵1122AC BC AB CD ⨯=⨯，125CD ∴=，在Rt ADC 中，3AC =∴95AD ==，当A P AB '⊥时，如图由折叠性质可知12∠=∠，PA PA '=，又1290A PA '∠=∠+∠=︒145∠=∠2=︒∴，又2390∠+∠=︒，345∴∠=︒，23∴∠=∠，125PD CD ∴==，又PA PD AD =+，12921555PA ∴=+=，又PA PA '=，215PA '∴=，又BP AB PA =−，214555BP ∴=−=，在Rt BPA '△中，90BPA ∠='︒，222BP PA BA ∴='+，2224214575525BA ⎛⎫⎛⎫'∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，BA '∴=，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．8．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，D 为AB 上一点，连接DC ，将BDC 沿DC 翻折，得到EDC △，连接AE ，若AE CE =，4BC =，则D 到CE 的距离是 ．【答案】2【分析】本题考查等腰直角三角形中的折叠问题，涉及等边三角形判定与性质，勾股定理应用、面积法等知识．设BE 交CD 于G ，过E 作EF BC ⊥交BC 延长线于F ，根据将BDC 沿DC 翻折，得到EDC △，AC BC =，AE CE =，可得ACE △是等边三角形，即知60ACE ∠=︒，而90ACB ∠=︒，故150BCE ∠=︒，30ECF ∠=︒，可得75BCD ECD ∠=∠=︒，122EF CE ==，CF =BE =15CBE ∠=︒，可得90BGC ∠=︒，即CG BE ⊥，从而12BG BE GE ===，由勾股定理得CG ，在Rt BDG △中，DG ，即得CD DG CG =+，由面积法可得D 到CE 的距离是2． 【详解】解：设BE 交CD 于G ，过E 作EF BC ⊥交BC 延长线于F ，如图：将BDC 沿DC 翻折，得到EDC △，4BC CE ∴==，BCD ECD ∠=∠，AC BC =，AE CE =，AC BC CE AE ∴===，ACE ∴是等边三角形，60ACE ∴∠=︒，90ACB ∠=︒，150BCE ∴∠=︒，30ECF ∠=︒，75BCD ECD ∴∠=∠=︒，122EF CE ==，CF =在Rt BEF △中，BE ==BCE 中，BC CE =，150BCE ∠=︒，15CBE ∴∠=︒，18090BGC BGC BCD ∴∠=︒−∠−∠=︒，即CG BE ⊥，12BG BE GE ∴==，CG ∴===，45ABC ∠=︒，15CBE ∠=︒，30DBG ∴∠=︒，在Rt BDG△中，DG =，CD DG CG ∴=+=，设D 到CE 的距离是h ，2DCE S CE h DC GE ∆=⋅=⋅，324DC GE h CE ⋅∴===，故答案为：2．9．在生活中、折纸是一种大家喜欢的活动、在数学中，我们可以通过折纸进行探究，探寻数学奥秘．【纸片规格】三角形纸片ABC ，120ACB ∠=︒，CA CB =，点D是底边AB 上一点．【换作探究】(1)如图1，若6AC =，AD =CD ，求CD 的长度；(2)如图2，若6AC =，连接CD ，将ACD 沿CD 所在直线翻折得到ECD ，点A 的对应点为点.E 若DE 所在的直线与ABC 的一边垂直，求AD 的长；(3)如图3，将ACD 沿CD 所在直线翻折得到ECD ，边CE 与边AB 交于点F ，且DE BC ∥，再将DFE △沿DF 所在直线翻折得到DFG ，点E 的对应点为点G ，DG 与CE 、BC 分别交于H ，K ，若1KH =，请直接写出AC 边的长．【答案】(1)(2)3或(3)3【分析】（1）作CE AB ⊥于E ，求得30A B ==︒∠∠，从而得出132CE AC ==，AE AC =进而得出DE AE AD =−=（2）当DE AB ⊥时，连接AE ，作CG AB ⊥于G ，依次得出45DAE DEA ∠=∠=︒，304575CAE CAD DAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，75CEA CAE ∠=∠=︒，30ACE ∠=︒，15ACD DCE ∠=∠=︒，45CDG CAB DAC ∠=∠+∠=︒，从而DG CG =，进一步得出结果；当ED AC ⊥时，设ED 交AC 于点W CE ，交AB 于V ，可推出90AVC ∠=︒，60ACE ∠=︒，从而30ACD DCE ∠=∠=︒，进一步得出结果；当DE BC ⊥时，可推出180ACB BCE ∠+∠=︒，从而90ACD DCE ∠=∠=︒，进一步得出结果；（3）可推出CKH 和CDH △及CHK 是直角三角形，且30HCK ∠=︒，30HDF ∠=︒，45DCH ∠=︒，进一步得出结果．【详解】（1）解：如图1，作CE AB ⊥于E ，90AEC ∴∠=︒，CA CB =，120ACB ∠=︒，30A B ∴∠=∠=︒，132CE AC ∴==，AE =，DE AE AD ∴=−==CD ∴=；（2）解：如图2，当DE AB ⊥时，连接AE ，作CG AB ⊥于G ，由翻折得：AD DE =，CAD CED =∠∠，AC CE =，45DAE DEA ∠∠∴==︒，304575CAE CAD DAE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，75CEA CAE ∴∠=∠=︒，30ACE ∴∠=︒，15ACD DCE ∴∠=∠=︒，45CDG CAB DAC ∴∠=∠+∠=︒，DG CG ∴=，由（1）知：3CG =，AG =3AD AG DG ∴=−=；如图3，当ED AC ⊥时，设ED 交AC 于点W CE ，交AB 于V ，90E ACE ∴∠+∠=︒，E A ∠=∠，90A ACE ∴∠+∠=︒，90AVC ∴∠=︒，60ACE∴∠=︒，30ACD DCE∴∠=∠=︒，ACD A∴∠=∠，AD CD∴=，3CV =，CD∴=，AD CD∴==如图4，当DE BC⊥时，30E A∠=∠=︒，60BCE∴∠=︒，180ACB BCE∴∠+∠=︒，90ACD DCE∴∠=∠=︒，AD∴=，综上所述：3AD=或（3）解：如图5，∵DE BC ∥，30B C ∠=∠=︒，30BCF E ∴∠=∠=︒，30EDF B ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，90ACE ∴∠=︒，1452ECD ACD ACE ∴∠=∠=∠=︒，将DFE △沿DF 所在直线翻折得到DFG ，30GDF EDF ∴∠=∠=︒，60EDG ∴∠=︒，90CHK EHD ∴∠=∠=︒，DH CH ∴=1FH ∴==，1CF CH FH ∴=+，3AC ∴==．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形．10．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为线段BC 延长线上一点，以AD 为腰作等腰直角DAF △，使90DAF ∠=︒，连接CF ．(1)请判断CF 与BC 的位置关系，并说明理由；(2)若8BC =，4CD BC =，求线段AD 的长；(3)如图2，在（2）的条件下，将DAF △沿线段DF 翻折，使点A 与点E 重合，连接CE ，求线段CE 的长．【答案】(1)CF BC ⊥，理由见解析(2)(3)【分析】（1）证明()SAS ABD ACF △≌△，则ADB AFC ∠=∠，如图1，记AD CF 、的交点为O ，根据180FAO AFO AOF DCO CDO COD ∠+∠+∠=︒=∠+∠+∠，AOF COD ∠=∠，可得90FAO DCO ∠=∠=︒，进而可得CF BC ⊥；（2）如图2，过A 作AH BC ⊥于H ，则142BH CH AH BC ====，6DH =，由勾股定理得，AD =（3）由翻折的性质可知，DE AD =，45EDF ADF ∠=∠=︒，90ADE ∠=︒，如图3，过A 作AM BC ⊥于M ，过E 作EN BC ⊥于N ，证明()AAS ADM DEN ≌，则46DN AM EN DM ====，，6CN =，由勾股定理得，CE =计算求解即可．【详解】（1）解：CF BC ⊥，理由如下：∵等腰直角DAF △，90DAF ∠=︒，∴AD AF =，又∵90BAC ∠=︒，∴BAC CAD DAF CAD ∠+∠=∠+∠，即BAD CAF ∠=∠，∵AB AC =，BAD CAF ∠=∠，AD AF =，∴()SAS ABD ACF △≌△，∴ADB AFC ∠=∠，如图1，记AD CF 、的交点为O ，∵180FAO AFO AOF DCO CDO COD ∠+∠+∠=︒=∠+∠+∠，AOF COD ∠=∠，∴90FAO DCO ∠=∠=︒，∴CF BC ⊥；（2）解：∵8BC =，4CD BC =，∴2CD =，如图2，过A 作AH BC ⊥于H ，∵ABC 是等腰直角三角形， ∴142BH CH AH BC ====，∴6DH =，由勾股定理得，AD =∴线段AD 的长为（3）解：由翻折的性质可知，DE AD =，45EDF ADF ∠=∠=︒，∴90ADE ∠=︒，如图3，过A 作AM BC ⊥于M ，过E 作EN BC ⊥于N ，∴90AMD DNE ∠=︒=∠，同理（2）可知，4AM =，6MD =，∵90ADM EDN EDN DEN ∠+∠=︒=∠+∠，∴ADM DEN ∠=∠，∵90AMD DNE ∠=︒=∠，ADM DEN ∠=∠，AD DE =，∴()AAS ADM DEN ≌，∴46DN AM EN DM ====，，∴6CN =，由勾股定理得，CE =，∴线段CE 的长为【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，折叠的性质是解题的关键．11．如图1，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，5AC =，12BC =，点D 为BC 边上一动点，将ACD 沿直线AD 折叠，得到AFD △，请解决下列问题．(1)AB =______；当点F 恰好落在斜边AB 上时，CD =______；(2)连接CF ，当CBF V 是以CF 为底边的等腰三角形时，请在图2中画出相应的图形，并求出此时点F 到直线AC 的距离；(3)如图3，E 为边BC 上一点，且4，连接EF ，当DEF 为直角三角形时，CD = ．（请写出所有满足条件的CD 长）【答案】(1)13，103(2)画图见解析，600169(3)52或或5或10【分析】（1）根据勾股定理可得AB 的长，再利用等积法求出CD 即可；（2）过点F 作FG AC ^，交CA 的延长线于G ，首先由等积法求出CH 的长，再根据勾股定理求出AH 的长，再次利用等积法可得FG 的长；（3）分90DEF ∠=︒或90EDF ∠=︒或90EFD ∠=︒分别画出图形，从而解决问题．【详解】（1）解：在Rt ABC △中，由勾股定理得，13AB ，当点F 落在AB 上时，由折叠知，CD DF =， ∴111222AC CD AB DF AC BC ⋅+⋅=⋅，51360CD CD ∴+=，103CD ∴=，故答案为：13，103；（2）过点F 作FG AC ^，交CA 的延长线于G ，BC BF =，AC AF =，AB ∴垂直平分CF ， 由等积法得6013AC BC CH AB ⋅==，在Rt ACH 中，由勾股定理得，2513AH ===， 1122ACF S AC FG CF AH =⋅=⋅△，6025260013135169CF AH FG AC ⨯⨯⋅∴===；（3）当90DEF ∠=︒时，当点D 在CE 上时，作FH AC ⊥于H ，则4HF CE ==，5AF AC ==，3AH ∴=，2CH EF AC AH ∴==−=，设CD x =，则4DE x =−，在Rt EDF 中，由勾股定理得，222(4)2x x =−+， 解得52x =，52CD ∴=， 当点D 在EB 上时，同理可得538CH AC AH =+=+=，设CD DF x ==，则4DE x =−，在Rt EDF 中，由勾股定理得，222(4)8x x −+=，解得10x =，10CD ∴=，当90DFE ∠=︒时，由勾股定理得AE设CD DF x ==，则520x +=，x ∴，CD ∴=；当90FDE ∠=︒时，则45ADC ADF ∠=∠=︒，5CD AC ∴==，综上：52CD =或或5或10，故答案为：52或或5或10．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了翻折的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，利用等积法求垂线段的长是解题的关键．。
等腰三角形问题综合-2021-2022学年人教版数学八年级上学期期末压轴题精选汇编(广东专用)
编者的话：本专辑选材于人教版广东地区近两年最新期中、期末考题，包含详细解析、思路点拨等，对于期末考试的复习成系统性，把每个章节重难点考察内容进行总结，分选择题、填空题、解答题三种类型，难度为基础提升和压轴，欢迎下载使用。
【玩转压轴题】考题4：等腰三角形问题综合（原卷版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于（ ）A．腰上的高B．腰上的中线C．底角的平分线D．顶角的平分线2．（2021·广东白云·八年级期末）如图，∠ABE＝∠ACD，∠EBC＝∠DCB，则下列结论正确的有（ ）①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE；④CD＝BE．A．1个B．2个C．3个D．4个3．（2021·广东高州·八年级期中）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BE和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，则下列结论中，①∠ABE＝∠ACD；②BE＝CD；③OC＝OB；④CD⊥AB，BE⊥AC，正确的是（）A．①B．①②C．①②③D．②③④4．（2021·广东·佛山市华英学校八年级期中）如图，等边三角形ABC中，D、E分别在AB、BC边上，且AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G．下列结论：①AE =CD ；②∠AFC =120°；③△ADF 是等腰三角形；④12FG AG =，其中正确的结论是（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④5．（2021·广东·西关外国语学校八年级期中）如图，已知△ABC 和△DCE 是等边三角形，点B ，C ，E 在同一直线上，AE ，AC 与CD ，BD 分别交于点F 、G ．连接GF ，下列结论：①AE ＝BD ；②AG ＝DF ；③GF ∥BE ，④CF ＝GF ，其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．（2021·广东·南山实验教育集团南海中学八年级开学考试）如图，45AOB Ð=°，点M 、N 分别在射线OA 、OB 上，6MN =，OMN V 的面积为12，P 是直线MN 上的动点，点P 关于OA 对称的点为1P ，点P 关于OB 对称点为2P ，当点P 在直线NM 上运动时，12OPP V 的面积最小值为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．187．（2021·广东实验中学越秀学校八年级期中）如图所示，60AOB Ð=°，点P 是AOB Ð内一定点，并且2OP =，点M 、N 分别是射线OA ，OB 上异于点O 的动点，当PMN V 的周长取最小值时，点O 到线段MN 的距离为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．1．58．（2021·广东·深圳市高级中学八年级开学考试）如图，在V ABC 中，BD 、CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，AM ⊥CE 于P ，交BC 于M ，AN ⊥BD 于Q ，交BC 于N ，∠BAC ＝110°，AB ＝6，AC ＝5，MN ＝2，结论①AP ＝MP ；②BC ＝9；③∠MAN ＝30°； ④AM ＝AN ．其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．（2021·广东·汕头市龙湖实验中学八年级开学考试）如图，D 是AB 边上的中点，将V ABC 沿过D 点的直线折叠，使点A 落在BC 上F 处，若∠B ＝50°，则∠BDF 的大小为（ ）A ．50°B ．80°C ．90°D ．100°10．（2021·广东·东莞市沙田瑞风实验学校八年级期中）如图，在ABC D 中，AB BC =，AB ⊥BC ，BE ⊥AC ，∠1=∠2，AD =AB ．下列结论中，正确的个数是（ ） ①∠1=∠EFD ；②BE =EC ；③BF =DF =CD ；④FD //BCA ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．（2021·广东·广州市第十六中学八年级开学考试）已知等腰ABCV中，一腰AC上的中线BD将ABCV的周长分成9cm和15cm两部分，则这个三角形的腰长和底边长分别为_______．12．（2021·广东·汕头市龙湖实验中学八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE=36°，DE交线段AC于点E，点D在运动过程中，若△ADE是等腰三角形，则∠BDA的度数为_________．13．（2021·广东·珠海市文园中学八年级期中）如图，△ABC的面积为12，AB＝AC，BC ＝4，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F，若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为___．14．（2021·广东·广州市越秀区育才实验学校八年级期中）△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动，若点Q的运动速度为___米/秒，△BPD能够与△CQP全等．15．（2020·广东·广州外国语学校附属学校八年级期末）已知：如图，△ABC是等边三角形，延长AC到E，C为线段AE上的一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ,OC．以下五个结论：①AD=BE；②AP=BO；③PQ//AE；④∠AOB=60°；⑤OC平分∠AOE；结论正确的有_________（把你认为正确的序号都填上）16．（2020·广东福田·八年级期中）如图，已知等腰△ABC ，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥BC 于点D ，点P 是BA 延长线上一点，点O 是线段AD 上一点，OP=OC ，下面结论：①∠APO=∠ACO ；②∠APO+∠PCB=90°；③PC=PO ；④AO+AP=AC ；其中正确的有________.(填上所有正确结论的序号)17．（2020·广东·广州市育才中学八年级期中）如图，在等腰ABC D 中， 5AB AC AD ==，是ABC D 的高，4,3,AD BD E F ==、分别是AB AD 、上一动点，则BF EF +的最小值为__________．18．（2021·广东·佛山市华英学校八年级期中）如图，已知∠AOB ＝a ，在射线OA 、OB 上分别取点OA 1＝OB 1，连接A 1B 1，在B 1A 1、B 1B 上分别取点A 2、B 2，使B 1B ＝B 1A 2，连接A 2B 2，…，按此规律，记∠A 2B 1B 2＝θ1，∠A 3B 2B 3＝θ2，…，∠A n +1B n B n +1＝θn ，则θ2021﹣θ2020的值为__．19．（2021·广东·广州市培正中学八年级期中）如图，平面直角坐标系中O 是原点，等边△OAB 的顶点A 的坐标是（2，0），点P 以每秒1个单位长度的速度，沿O →A →B →O →A …的路线作循环运动，点P 的坐标是__________________．20．（2020·广东·广州大学附属中学八年级期中）在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是边BC 上一点，连接AD ，若∠BAD ＋3∠CAD ＝90°，DC ＝a ，BD ＝b ，则AB ＝________. （用含a ，b 的式子表示）三、解答题21．（2020·广东·龙华新区实验学校八年级期中）解答下列问题：（1）模型建立：如图1，点C 为线段AB 外一个动点，已知AB ＝a ，AC ＝b ．当点C 位于BA 的延长线上时，线段BC 取得最大值，则最大值为_________（用含a ，b 的式子表示）；（2）模型运用：如图2，点C 为线段AB 外一个动点，若AB ＝10，AC ＝3，分别以AC ，BC 为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，连接AE ，DB ．①求证：AE ＝DB ；②请直接写出线段AE 的最大值；（3）灵活运用：如图3，AB ＝6，点M 为线段AB 外一个动点，且AM ＝2，MB ＝MN ，∠BMN ＝90°，请直接写出线段AN 的最大值．22．（2021·广东·广州市真光中学八年级期中）如图，等边ABC D 中，A ，B 关于y 轴对称，AD AC ^交y 轴负半轴于点D ，()0,6C ．（1）如图1，求D 点坐标；（2）如图2，E 为x 轴负半轴上任一点，以CE 为边作等边CEF D ，FA 的延长线交y 轴于点G ，求OG 的长；（3）如图3，在（1）的条件下，以D 为顶点作60°的角，它的两边分别与CA 、BC 交于点M 和N ，连接MN ．探究线段AM 、MN 、NB 之间的关系，并子以证明．23．（2021·广东·佛山市南海石门实验中学八年级月考）如图，在ABC V 中，2ACB B Ð=Ð，BAC Ð平分线AO 交BC 于点D ，点H 为AO 上一动点，过H 作直线l AO ^于H ，分别交直线AB 、AC 、BC 于点N 、E 、M ．（1）当直线l 经过点C 时（如图2），求证：BN CD =；（2）当M 是线段BC 的中点时，写出线段CE 和线段CD 之间的数量关系，并证明；（3）请直接写出BN 、CE 和CD 之间的数量关系．24．（2021·广东白云·八年级期末）如图，△ABD 和△BCE 都是等边三角形，∠ABC ＜105°，AE 与DC 交于点F ．（1）求证：AE ＝DC ；（2）求∠BFE 的度数；（3）若AF ＝9.17cm ，BF ＝1.53cm ，CF ＝7.53cm ，求CD ．25．（2021·广东·珠海市文园中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正方向匀速运动，设点B的运动时间为t秒，过点B作CB⊥AB，且CB＝AB．（1）若∠CBO＝60°，则BC＝ ；（2）求点C的坐标（用含t的代数式表示）；（3）是否存在时间t（t≥2），使得△BOC为等腰三角形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．26．（2021·广东河源·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm．动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）．（1）当0＜t＜10.5时，是否存在点P，使四边形PQDC是平行四边形？若存在，请求出所有满足要求的t 的值；若不存在，请说明理由；（2）当t 为何值时，以C ，D ，Q ，P 为顶点的四边形面积等于60cm 2？（3）当0＜t ＜10.5时，是否存在点P ，使△PQD 是等腰三角形（不考虑QD ＝PD ）？若存在，请直接写出t 的值．27．（2021·广东广州·八年级期中）已知，在等腰ABC V 中，,=^AB AC AD BC 于点D ．以AC 为边作等边ACE V ，直线BE 交直线AD 于点F ，连接FC ．（1）如图1，120180,BAC ACE °<Ð<°V 与ABC V 在直线AC 的异侧，且FC 交AE 于点M ．①求证：FEA FCA Ð=Ð；②猜想线段,,FE FA FB 之间的数量关系，并证明你的结论：（2）当60120BAC °<Ð<°，且ACE V 与ABC V 在直线AC 的同侧时，利用图2探究线段FE FA FB ,,之间的数量关系，并直接写出你的结论．28．（2021·广东·广州市越秀区育才实验学校八年级期中）如图，点A （a ，0）、B （0，b ），且a 、b 满足（a ﹣2）2+|2b ﹣4|＝0．（1）如图1，求△AOB 的面积；（2）如图2，点C 在线段AB 上，（不与A 、B 重合）移动，AB ⊥BD ，且∠COD ＝45°，猜想线段AC 、BD 、CD 之间的数量关系并证明你的结论；（3）如图3，若P 为x 轴上异于原点O 和点A 的一个动点，连接PB ，将线段PB 绕点P 顺时针旋转90°至PE ，直线AE 交y 轴于点Q ，当P 点在x 轴上移动时，线段BE 和线段BQ 中哪一条线段长为定值，并求出该定值．29．（2021·广东·中山大学附属中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A(a，0)、B(﹣b，0)且a、b a﹣2b+2|＝0．（1）求证：∠OAB＝∠OBA；（2）如图1，若BE⊥AE，求∠AEO的度数；（3）如图2，若D是AO的中点，DE//BO，F在AB的延长线上，∠EOF＝45°，连接EF，试探究OE和EF的数量和位置关系．30．（2021·广东·广州市南武实验学校八年级期中）如图，四边形MNPO中，MP与NQ 交于点0，∠QMP=18°，∠MNQ=42°，∠MON=114°，∠MPN=78°．（1）求证：MQ=NQ；（2）求∠MPQ的度数；（3）若PQ=10，V是线段MP上的一动点，求QV的最小值．。
压轴题04：因式分解综合专练20题(解析版)-八年级数学下学期期末精选题汇编(北师大版)
压轴题04：因式分解综合专练20题（解析版）一、单选题1．若x﹣2y﹣2＝0，x2﹣4y2＋4m＝0（0＜m＜1），则多项式2mx﹣x2﹣4my﹣4y2﹣4xy的值可能为（）A．﹣1B．0C．716D．167【答案】C【分析】根据因式分解将多项式分解，利用0＜m＜1即可得0＜﹣（2m﹣1）2＋1＜1，进而可得结果．【详解】解：∵x﹣2y﹣2＝0，x2﹣4y2＋4m＝0（0＜m＜1），∵x﹣2y＝2，∵4m＝4y2﹣x2＝（2y＋x）（2y﹣x），∵x＋2y＝﹣2m，∵2mx﹣x2﹣4my﹣4y2﹣4xy＝（2mx﹣4my）﹣（x2＋4y2＋4xy）＝2m（x﹣2y）﹣（x2＋4y2＋4xy）＝2m（x﹣2y）﹣（x＋2y）2＝4m﹣4m2＝﹣（2m﹣1）2＋1，∵0＜m＜1，∵0＜2m＜2，∵﹣1＜2m﹣1＜1，∵0＜（2m﹣1）2＜1，∵0＜﹣（2m﹣1）2＋1＜1．故选：C．【点睛】本题考查了因式分解，不等式的性质等知识，能将已知条件变形和将多项式因式分解是解题关键．2．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为和谐数．那么，不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）A ．6858B ．6860C ．9260D ．9262 【答案】B【分析】根据“和谐数”的概念找出公式：(2k +1)3﹣(2k ﹣1)3＝2(12k 2+1)（其中k 为非负整数），然后再分析计算即可．【详解】解：(2k +1)3﹣(2k ﹣1)3＝[(2k +1)﹣(2k ﹣1)][(2k +1)2+(2k +1)(2k ﹣1)+(2k ﹣1)2]＝2(12 k 2+1)（其中 k 为非负整数），由2(12k 2+1)≤2019得，k ≤9，∵k ＝0，1，2，…，8，9，即得所有不超过2019的“和谐数”，它们的和为[13﹣(﹣1)3]+(33﹣13)+(53﹣33)+…+(173﹣153)+(193﹣173)＝193+1＝6860．故选：B ．【点睛】本题考查了新定义，以及立方差公式，有一定难度，重点是理解题意，找出其中规律是解题的关键所在．3．已知三个实数a ，b ，c 满足20a b c -+=，20a b c ++<，下列结论正确的是（ ）A ．0b <，20b ac -≥B ．0b <，20b ac -≤C ．0b >，20b ac -≥D ．0b >，20b ac -≤【答案】A【分析】先把20a b c -+=变形为2b a c =+，然后整体代入20a b c ++<即可求出0b <，把2a cb +=代入2b ac -进行化简成21()4a c -，即可判断2b ac -0≥.【详解】解：∵20a b c -+=，∵2b a c =+，又20a b c ++<，∵40b <，∵0b <，∵2b a c =+， ∵2a c b +=，∵22222221()()024244244a c a ac c a ac c b ac ac ac a c +-=-=++-=-+=-≥ . 故选：A.【点睛】 此题考查了不等式的性质，完全平方公式等知识点，把2a cb +=代入20a b c ++<化简是解题的关键. 4．下列四种说法中正确的有（ ）∵关于x 、y 的方程26199x y +=存在整数解．∵若两个不等实数a 、b 满足442222()()a b a b +=+，则a 、b 互为相反数．∵若2()4()()0a c a b b c ---=-，则2b a c =+．∵若222x yz y xz z xy ---==，则x y z ==．A ．∵∵B ．∵∵C ．∵∵∵D ．∵∵∵ 【答案】B【分析】将26x y +提公因式2得2(3)x y +，由x 、y 为整数，则2(3)x y +为偶数，因为199为奇数，即原等式不成立，即可判断∵；将442222()()a b a b +=+，整理得222()0a b -=，即得出22a b =，由于实数a 、b 不相等，即得出a 、b 互为相反数，故可判断∵；2()4()()0a c a b b c ---=-整理得2(2)0a c b +-=，即得20a c b +-=，即2a c b +=，故可判断∵；由222x yz y xz z xy ---==，得出2222x xz y yz y xy z xz ⎧+=+⎨+=+⎩，即可变形为222211()()2211()()22x z y z y x z x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩，可以得出x y z ==或0x y z ++=，故可判断∵． 【详解】∵262(3)x y x y +=+，∵如果x 、y 为整数，那么2(3)x y +为偶数，∵199为奇数，∵26199x y +=不存在整数解，故∵错误；442222()()a b a b +=+444422222a b a b a b +++=442220a b a b +-=222()0a b -=∵22a b =，∵实数a 、b 不相等，∵a 、b 互为相反数，故∵正确；2()4()()0a c a b b c ---=-222244440a ac c ab ac b bc -+-++-=()()22440a c b a c b +-++=2(2)0a c b +-=∵20a c b +-=，即2a c b +=，故∵正确；∵222x yz y xz z xy ---==∵2222x xz y yz y xy z xz ⎧+=+⎨+=+⎩， ∵2222222211441144x xz z y yz z y xy x z xz x ⎧++=++⎪⎪⎨⎪++=++⎪⎩，即222211()()2211()()22x z y z y x z x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩， ∵11()2211()22x z y z y x z x ⎧+=±+⎪⎪⎨⎪+=±+⎪⎩， ∵x y z ==或0x y z ++=，故∵不一定正确．综上可知正确的有∵∵．故选B ．【点睛】本题考查因式分解，整式的混合运算．熟练掌握完全平方公式是解题关键．5．若实数a 、b 满足221a b +=，则3ab a b ++的最小值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1D ．3【答案】A【分析】将3ab a b ++化为（a +3）（b +1）-3的的形式，由221a b +=求得（a +3）（b +1）≥0，进而解答即可；【详解】解：由221a b +=，可得a 2≤1，b 2≤1，∵﹣1≤a ≤1，﹣1≤b ≤1，3ab a b ++=a （b +1）+3（b +1）-3=（a +3）（b +1）-3，∵a +3＞0，b +1≥0，∵（a +3）（b +1）≥0，当b =-1时，3ab a b ++有最小值﹣3，故选：A ；【点睛】本题考查了等式的变形，不等式的性质；通过变形来判断代数式（a +3）（b +1）的取值范围是解题关键． 6．已知多项式22A x y m =++和22B y x n =-+（m ，n 为常数），以下结论中正确的是（ ） ∵当2x =且1m n +=时，无论y 取何值，都有0A B +≥；∵当0m n ==时，A B ⨯所得的结果中不含一次项；∵当x y =时，一定有A B ≥；∵若2m n +=且0A B +=，则x y =；∵若m n =，1-=-A B 且x ，y 为整数，则1x y +=．A ．∵∵∵B ．∵∵∵C ．∵∵∵D ．∵∵∵ 【答案】B【分析】主要是运用整式的运算法则及因式分解等知识对各项进行一一判断即可．【详解】∵当2x =且1m n +=时，A +B =()222424211y m y n y y y +++-+=++=+，∵无论y 取何值，总有()201y +≥，∵无论y 取何值，都有0A B +≥，故∵正确；∵当0m n ==时，()()22223322224A B x y y x x y x y xy ⨯=+-=-+-， ∵A B ⨯所得的结果中不含一次项；故∵正确；∵当x y =时，()222222224A B x y m y x n x x m x x n x m n -=++--+=++-+-=+-，其结果与0无法比较大小，故∵错误；∵若2m n +=且0A B +=，则2222222220A B x y m y x n x y y x +=+++-+=++-+=，变形得：()()22110x y -++=，∵x =1，y =-1，∵x =-y ，故∵错误；∵若m n =，1-=-A B 且x ，y 为整数，则()222222221A B x y m y x n x y y x -=++--+=+-+=- 222210x y x y -+++=变形得：()()22111x y +--=-，因式分解得：()()21x y x y +-+=-，∵x ，y 为整数，则必有1x y +=．故∵正确；故选：B【点睛】本题主要考查的是整式运算及因式分解的应用，解决本题的关键是熟练掌握运用乘法公式进行计算及因式分解．7．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此 4，12，20 都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（ ）A ．56B ．60C ．62D ．88【答案】B【分析】设这两个连续偶数分别2m 、2m+2（m 为自然数），则“神秘数”=（2m+2）2-（2m ）2=（2m+2+2m ）（2m+2-2m ）=4(2m+1)，因为m 是自然数，要判断一个数是否是“神秘数”，只需根据该数=4(2m+1)列方程求解即可，若解出m 是自然数就符合，否则不符合．【详解】解：设这两个连续偶数分别2m 、2m+2（m 为自然数），∵“神秘数”=（2m+2）2-（2m ）2=（2m+2+2m ）（2m+2-2m ）=4(2m+1)，A 、若4(2m+1)=56，解得m=132，错误；B 、若4(2m+1)=60，解得m=7，正确；C 、若4(2m+1)=62，解得m=294，错误； D 、若4(2m+1)=88，解得m=212，错误； 故选：B ．【点睛】此题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式以及对题中新定义的理解是解题的关键．8．如图，ABC ∆中，,2,90AB a BC a B ==∠=，将ABC ∆沿BC 方向平移b 个单位得DEF ∆（其中,,A B C 的对应点分别是,,D E F ），设DE 交AC 于点G ，若ADG ∆的面积比CEG ∆的大8，则代数式()a a b -的值为（ ）A ．8B ．8-C ．16D ．16-【答案】B【分析】 根据平移的性质可得，AD=b ，则ABED S ab =长方形，由,2,90AB a BC a B ==∠=，可得2122ABC S a a a =⨯⨯=，根据题意可得，ADG ABC CEG ABED S S S S =-+长方形，再结合8ADG CEG S S =+即可求出()a a b -的值.【详解】∵,2,90AB a BC a B ==∠=， ∵2122ABC S a a a =⨯⨯=， 由平移可知，AD=b ，∵ABED S ab =长方形，∵ADG ∆的面积比CEG ∆的大8，∵8ADG CEG SS =+， ∵ADG ABC CEG ABED S S S S =-+长方形，∵8CEG ABC CEG ABED S S S S +=-+长方形，∵28ab a -=，∵()8a a b --=，∵()8a a b -=-.故选B.【点睛】本题考查列代数式，平移的性质，因式分解的应用，解题的关键是根据题目中的条件得到ADG ABC CEG ABED S S S S =-+长方形.二、填空题9．某商场为了促销准备开展两轮抽奖活动．第一轮的奖品有A 、B 、C ．奖品A 、B 、C 的数量比是1：2：3，B 与C 的单价之和是A 的单价的三分之一，A 、B 、C 的单价之和超过25元且不超过50元．第二轮的奖品有D 、E 、F ．奖品E 的数量比B 的数量少20％，F 的数量也比D 的数量少20％，D 的单价比A 的单价多三分之一，E 的单价是B 的单价的两倍，F 的单价与C 单价相同．已知第二轮奖品D 和F 的总价比第一轮三种奖品总价少407元，第一轮和第二轮奖品数量总和超过260件且不超过360件，若所有奖品的单价和数量都是整数，则奖品A 的总价为________元．【答案】735【分析】设奖品A 、B 、C 分别有5,10,15n n n 个，单价分别为3,,a b c 元，且,,a b c 都是整数，根据第二轮奖品D 和F 的总价比第一轮三种奖品总价少407元，第一轮和第二轮奖品数量总和超过260件且不超过360件，列出方程和不等式组，进而根据题意因式分解得到，()()554407a c n m +-=，分类讨论求得,m n 的值，进而根据不等式求得a 的值，代入15an 即可求解．【详解】 解：奖品A 、B 、C 的数量比是1：2：3，设奖品A 、B 、C 分别有5,10,15n n n 个，单价分别为3,,a b c 元，且,,a b c 都是整数 则13325350b c a a b c ⎧+=⨯⎪⎨⎪<++≤⎩，25450a ∴<≤ 解得1161242a <≤， 设奖品D 的数量为5m 个，奖品E 的数量比B 的数量少20％，则E 的数量为()10120%8n n -=个，F 的数量也比D 的数量少20％，则F 的数量为4m 个，D 的单价比A 的单价多三分之一，E 的单价是B 的单价的两倍，F 的单价与C 单价相同．D ∴的单价为4a ，E 的单价为2b ，F 的单价为c ，第二轮奖品D 和F 的总价比第一轮三种奖品总价少407元，∴204407151015am cm an bn cn ++=++即()()151015204407n a b c m a c ++-+=b c a +=255204407an nc am cm ∴+--=()()55454407a n m c n m -+-=()()554407a c n m +-=4071137=⨯ ∵1161242a <≤， ∵125125542a <≤即113156242a <≤ 0c >，113156242a c ∴<+≤ ∵537a c +=，5411n m -=时 即4115m n += ， 第一轮和第二轮奖品数量总和超过260件且不超过360件，26030584360n m n m ∴<+++≤即130********n m <+≤4115m n += 即94347197197m <≤ 当m =5时，451131,55n ⨯+==n 不是整数，不符合题意，舍去， 当m =6时，46117,5n ⨯+==n 是整数，符合题意， 当m =7时，471139,55n ⨯+==n 不是整数，不符合题意，舍去，即6,7,m n == 1131562,537,42a a c <≤+= ∵a 为正整数，∵5a 为5的倍数，∵只有5a =35，c =2符合题意，∵a =7，c =2，∵奖品A 的总价为5n ×3a =5×7×3×7=735，故答案为∵735．【点睛】本题考查了整除，三元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，因式分解的应用，根据题意列出方程组和不等式组是解题的关键．10．若多项式429n n k ++可化为()2a b +的形式，则单项式k 可以是__________． 【答案】36n 或36n -或814或636n 【分析】根据完全平方公式展开式的首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同；中间项是首末两项的底数的积的2倍，对多项式进行分类讨论，分别求出k 即可．【详解】解：∵当4n 和29n 作为平方项，k 作为乘积项，则多项式429n n k ++可化为：()223±n n ，即42224329(3)69++=±=±+n n k n n n n n ， ∵36=±k n ；∵当4n 和k 作为平方项，29n 作为乘积项，则多项式429n n k ++可化为：(22n ，即4222429(++==++n n k n n k ，∵229=n ，解得：814=k ； ∵当29n 和k 作为平方项，4n 作为乘积项，则多项式429n n k ++可化为：(23n ，即42229(39++==++n n k n n k ，∵4=n ，解得：636=n k ； 故答案为：36n 或36n -或814或636n ． 【点睛】此题考查了运用完全平方公式分解因式．掌握完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+和分类讨论是解此题的关键．11．某水果店售卖A ，B ，C ，D 四种水果套餐，其中A ，B 两种水果的单价相同，D 种水果的单价是C 种水果单价的7倍，第一天，A ，C 两种水果的销量相同，B 种水果的销量是D 种水果销量的7倍，结果第一天A ，B 两种水果的总销售额比C 、D 两种水果的总销售额多126元，且四种水果第一天的单价与销量均为正整数，到了第二天的时候，由于D 种水果不易保存，摊主便将D 种水果打八折售卖，其他三种水果单价不变，结果第二天除了B 种水果销量下降了20%，其他几种水果的销量跟第一天一样，若A 种水果与C 种水果的单价之差超过6元但不超过13元，B 种水果和D 种水果第一天的单价之和不超过35元，则第二天四种水果总销售额最多为____元．【答案】215.8##42155##10795【分析】首先设A 、B 的单价为y 元，C 的单价为x 元，A 的销量为a ，D 的销量为b ，可得D 的单价为7x 元，C 的销量为a ，B 的销量为7b ，根据题意列出不等式，由第一天的单价与销量均为正整数确定出各参数的值，再代入第二天的总销售额确定出最大值即可．【详解】解：设A 、B 的单价为y 元，C 的单价为x 元，A 的销量为a ，D 的销量为b ，则D 的单价为7x 元，C 的销量为a ，B 的销量为7b ； 根据题意可得613735y x y x <-≤⎧⎨+≤⎩， 由第一天A 、B 两种水果的总销售额比C 、D 两种水果的总销售额多126元，得到（a +7b ）y ﹣（a +7b ）x ＝126，∵（a +7b ）（y ﹣x ）＝126，∵单价与销量均为正整数，∵y ﹣x ＝7或y ﹣x ＝9；a +7b ＝18或a +7b ＝14；再由613735y x y x <-≤⎧⎨+≤⎩，可得x 的取值为3或2或1； 当y ﹣x ＝7时，a +7b ＝18，此时x +y 的取值可以为13，11，9；a ＝11，b ＝1或a ＝4，b ＝2；当y ﹣x ＝9时，a +7b ＝14，此时x +y 的取值可以为15，13，11；a ＝7，b ＝1；第二天四种水果的总销售额为a （x +y ）+5.6b （x +y ）＝（x +y ）（a +5.6b ），若总销售额最多，则a ＝11，b ＝1，x +y ＝13，∵销售额＝13×16.6＝215.8元，故答案为：215.8．【点睛】本题考查了因式分解及根据不等式确定方程整数解的应用，解题关键是：（1）理清各数量间的关系，正确列出方程及不等式；（2）确定出方程的整数解．12．某校在“3.12”植树节来临之际，特从初一、初二、高一、高二四个年级中抽调若干学生去植树。
(新)八年级上册数学各种类型典型压轴题练习试题全汇编
（新）八年级上册数学典型压轴题练习试题汇编一、压轴(1) 选填题 (一)多结论证明1.如图,AD 是△ABC 的中线,E ,F 分别是AD 和AD 延长线上的点,且DE ＝DF ,连接BF ,CE ,下列说法:①CE ＝BF ;②△ABD 和△ACD 面积相等;③BF ∥CE ;④△BDF ≌△CDE ,其中正确的有( )A .1个B .2个C .3个D .4个FBAC2.如图,在△ABC 中,AB ＝AC ,∠BAC ＝90°,BD 平分∠ABC 交AC 于D ,AE ⊥BD 于E ,CF ∥AE 交BD 的延长线于F ;给出四个结论:①∠ACF ＝12∠ABC ;②CF ＝12BD ;③BE ＝2AE ＋DF ;④CF ＝AE ＋DE ,其屮正确的结论有( )A .1个B .2个C .1个D .2个AC3.如图,在Rt △ABC 中,AB ＝CB ,BO ⊥AC ，把△ABC 折叠,使AB 落在AC 上,点B 与AC 上的点E 重合,展开后,折痕AD 交BO 于点F ,连接DE ,EF ,下列四个结论:①AB ＝2BD ；②图中有4对全等三角形;③若将△DEF 沿EF 折叠,则点D 一定不会落在AC 上；④BD ＝BF ,其中正确的是( )A .①②③④B .②③④C .①③④D .②④DBC4.如图,在△ABC 中,∠BAC ＝90°,AD 是高,BE 是中线,CF 是角平分线,CF 交AD 于点G ,交BE 于点H ,下列说法:①△ABE 的面积＝△BCE 的面积;②∠AFG ＝∠AGF ；③∠FAG ＝2∠ACF ;④BH ＝CH ,其中正确的是( )A .①②③④B .①②③C .②④D .①③5.如图,Rt △ACB 中,∠ACB ＝90°,△ABC 的角平分线AD 、BE 相交于点P ,过P 作PF ⊥AD 交BC 的延长线于点F ，交AC 于点H ,则下列结论:①∠APB ＝135°;②BF ＝BA ；③PH ＝PD ；④连接CP ，CP 平分∠ACB ,其中正确的是( )A .①②③B .①②④C .①③④D .①②③④DC6.如图,△ABC 中，∠ABC ＝45°,AD ⊥BC 于D 点,BE ⊥AC 于E 点,AD 与BE 交于点F ,连接CF ,DE ,下列结论:①AC ＝BF ；②∠BED ＝45°;③BE ＝AE ＋2DC ;④若∠ABF ＝30°,则BF CFAB＝1, 其中正确结论的序号是()A .①②③B .①②③④C .①③④D .①③④DABC（二）几何计算7.如图,在△ABC 中,∠BAC ＝∠BCA ＝44°,M 为△ABC 内一点,且∠MCA ＝30°,∠MAC ＝16°，则∠BMC 的度数为( )A .120°;B .126°C .144°D .150°BCA8.如图，设△ABC 和△CDE 都是等边三角形，若∠AEB ＝70°，则∠EBD 的度数是( )A .115°B .20°C .125°D .130°DC9.如图，△ABC 中,点D 是BC 上一点，已知∠DAC ＝30°,∠DAB ＝75°,CE 平分∠ACB 交AB 于点E 、连DE ,则∠DEC ＝( )A .10°B .15°C .20°D .25°BACD10.在△ABC 和△BDE 中,点C 在边BD 上,边AC 交边BE 于点F .若AC ＝BD ,AB ＝ED ,BC ＝BE ,则∠ACB 等于( )A .∠EDBB .∠BEDC .12∠AFB C .2∠ABFBADC11.如图,已知△ABC 的面积为8cm 2,BP 为∠ABC 的角平分线,AP 垂直BP 于点P ,则△PBC 的面积为( )A .3.5B .3.9C .4D .4.2DACB12.已知:四边形ABCD 中,对角线BD 平分∠ABC ,∠ACB ＝72°,∠ABC ＝50°,并且∠BAD ＋∠CAD ＝180°,那么∠BDC 的度数为________.DAB(三)多解与画图13.在△ABC 中,AC ＝BC ,∠ACB ＝90°,CE 是过C 点的一条直线,AD ⊥CE 于D ,BE ⊥CE 于E ,DE ＝4cm ,AD ＝2cm ,则BE ＝( )A . 2cmB . 2cmC .6cm 或2cmD .6cm14.△ABC 中,AD 是高,∠BAD ＝60°,∠CAD ＝20°,AE 平分∠BAC ,则∠EAD 的度数为____________. 15.如图,在平面直角坐标系中,点A (12，6),∠ABO ＝90°,一动点从点 B 出发以2厘米/秒的速度沿射线BO 运动,点D 在y 轴上,D 点随着C 点运动而运动,且始终保持OA ＝C D .当点C 经过_____秒时，△OAB 与△OCD 全等.16.已知△ABC 中,AB ＝AC ,BD ⊥AC 于D ,AC ＝2BD ,则∠BAC ＝______.17.如图,在△ABC 中,AB ＝BC ,∠ABC ＝100°,边BA 绕点B 顺时针旋转m °(0＜m ＜180)得到线段BD ，连接AD ,D C .若△ADC 为等腰三角形,则m 所有可能的取值是________.DAC18.如图,等腰Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°将线段AB 绕点A 逆时针旋转，旋转后B 点的对应点为D ,连接C D .若AB ∥CD ,则∠CAD 的度数是_______.CA B19.D 为等腰Rt △ABC 斜边BC 上一点(不与B 、C 童合),DE ⊥BC 于点D ,交直线BA 于点E ,作∠EDF ＝45°,DF 交AC 于F ,连接EF ,BD ＝nDC ，当n ＝________时，△DEF 为等腰直角三角形.20.在平面直角坐标系中,已知A (0,2),B (2,0),若在坐标轴上取点C ,使△ABC 为等腰三角形，满足条件的点C 的个数是( )A .6B .7C .8D .9（四）最值问题21.如图,在△ABC 中,∠C ＝90°,AC ＝BC ＝6,D 为AB 的中点,点E ,F 分别在AC ,BC 边上运动(点E不与点A 、C 重合)且保持∠EDF ＝90°，连接EF ，在此运动过程中,S △CEF 的最大值为______.FA CBE22.如图，在四边形ABCD 中,∠A ＝∠C ＝90°,∠ABC ＝α,在AB 、BC 上分别一点E 、F ,使△DEF 的周长最小，此时,∠EDF ＝( )A .αB .90°－αC .2D .180°－2αDBF23.如图,P 为∠AOB 内一定点,M ,N 分别是射线OA ,OB 上一点,当△PMN 周长最小时,∠MPN ＝110°,则∠AOB ＝( )A .35°B .40°C .45°D .50°O24.如图,在等腰△ABC 中,AB ＝AC ＝5,∠ACB ＝75°,AD ⊥BC 于D ,点M ,N 分别是线段AB ,线段AD 上的动点，则MN ＋BN 的最小值是( )A .3BC .4.5D .6AD25.如图,OE 是等边△AOB 的中线,OB ＝4,C 是直线OE 上一动点,以AC 为边在直线AC 下方作等边△ACD ,连接ED ,下列说法正确的是( )A .ED 的最小值是2B .ED 的最小值是1C .ED 有最大值D .ED 没有最大值也没有最小值D26.如图,AD 为等边△ABC 的高,E ,F 分别为线段AD 、AC 上的动点,且AE ＝CF ，当BF ＋CE 取得最小值时,∠AFB ＝( )A .112.5°B .105°C .90°D .82.5°DABC27.如图,等腰△ABC 底边BC 的长为4cm ,面积是12cm 2,腰AB 的垂直平分线EF 交AC 于点F ,若D 为BC 边上的中点,M 为线段EF 上一动点,则△BDM 的周长最小值为_______.B28.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°,∠A ＝30°.若点M ,N 分别是线段AB ,AC 上两个动点,BC ＝4,则MC ＋MN 的最小值为_____.BCAN二、压轴(2)几何合题29.在△ABC 中,AB ＝AC ，CD 为AB 边上的高 (1)如图1,求证;∠BAC ＝2∠BCD ；(2)如图2.∠ACD 的平分线CE 交AB 于E ,过E 作EF ⊥BC 于F ,EF 与CD 交点G .若ED ＝m ,BD ＝n ,含有m 、n 的代式表示△EGC 的面积.图2图1FBBCA CA30.射线AE 为△ABC 的外角平分线,点P 为射线AE 上不与A 点重合的一个动点. (1)如图1,若BP 平分∠ABC ,且∠ACB ＝30°,则∠APB ＝______;(直接写出结果) (2)如图1,求证:不论P 在何处,总有AB ＋AC ＜PB ＋PC ;(3)如图2,若点P 在AE 上,作PM ⊥BA 交BA 的延长线于M 点,且∠BPC ＝∠BAC ,求AC ABAM-的值.图1图2BBE31.如图,Rt △ACB 中,∠ACB ＝90°,AB ＝BC ,E 点为射线CB 上一动点,连接AE ,作AF ⊥AE 且AF ＝AE(1)如图1,过F 点作FD ⊥AC 交AC 于D 点,求证:EC ＋CD ＝DF ;(2)如图2,连接BF 交AC 于G 点,若AGCG＝3求证:E 点为BC 的中点; (3)E 点在射线CB 上,连接BF 与直线AC 交于G 点，若43BC BE =，则AGCG＝________.图1图2BFBF32.如图，在等腰△ABC 中,AC ＝BC ,D ,E 分别为AB ,BC 上一点,∠CDE ＝∠A. (1)如图1,若BC ＝BD ,求证:CD ＝DE ;(2)如图2,过点C 作CH ⊥DE ,垂足为点H ,若CD ＝BD ,EH ＝1,求DE －BE 的值.图1图2AABCBC33.已知△ABC 中,AC ＝B C .(1)如图1,分别过A ,B 作AM ⊥BC ,BN ⊥AC ,垂足分别为M ,N ,AM 与BN 相交于点P ,求证:AP ＝BP . (2)如图2，分别在AC 的右侧、BC 的左侧作等边△ACE 和等边△BCD ,AE 与BD 相交于点F ,连接CF 并延长交AB 于点G 求证:点G 是AB 的中点;（3）在(2)的条件中,当∠ACE 的大小发生变化时,设直线CD 与直线AE 相交于点H .直接写出: 当∠ACB ＝_______度时，使得AH ＝C D .图2图1DEABC C34.如图1,已知等腰△ABC 中,AB ＝AC ,AD 为BC 边上的中线,以AB 为边向外作等边△ABE ,直线CE 与直线AD 交于点F .(1)若AF ＝10,DF ＝3,试求EF 的长；(2)若以AB 为边向内作等边△ABE ,其它条件均不改变,用尺规作图补全图2(保留作图痕迹)，并直接写出EF ,AF ,DF 三者的数量关系____________.图1图2EBC ACA35.已知:在△ABC 中,∠B ＝60°，D ,F 分别为AB ,BC 上的点,且AF ,CD 交于点F . (1)如图1,若AE ,CD 为△ABC 的角平分线； ①求证:∠AFC ＝120°;②若AD ＝6,CE ＝4,求AC 的长;(2)如图2,若∠FAC ＝∠FCA ＝30°,求证:AD ＝CE .图2图1AACBCB36.如图,等腰△ABC 中,∠ACB ＝90°,AC ＝BC ,D 为AB 上一点. (1)如图1,若AD ＝AC ,且BE ⊥CD 于点E . ①求∠BCD 的度数;②求CDBE的值; (2)如图2,若F 为CD 上一点,且在线段BC 的垂直平分线上,∠BCD ＝15°,求证:AF ＝B C.图2图1BCCAA35．已知：在△ABC 中，∠B =60°，D ，E 分别为AB ，BC 上的点，且AE ，CD 交于点F ． （1）如图1，若AE ，CD 为ABC 的角平分线； ①求证：∠AFC =120°；②若AD =6，CE =4，求AC 的长； （2）如图2，若∠FAC =∠FCA =30°，求证：AD =CE ．FDECABFDB EC A36．如图，等腰△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，D 为AB 上一点． （1）如图1，若AD =AC ，且BE ⊥CD 于点E ．①求∠BCD 的度数；②求BECD的值；（2）如图2，若F 为CD 上一点，且在线段BC 上垂直平分线上，∠BCD =15°，求证：AF =BC ．A C DE BBFD AC37．（1）如图1，△ABC 中，∠BAC =90°，AB =BC ，直线m 经过点A ，BD ⊥m ，CE ⊥m ，垂足分别为D ，E ，求证：DE =BD +CE ；（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D ，A ，E 三点都在直线m 上，并且满足∠BDA =∠AEC =∠BAC ，求证：DE =BD +CE ；（3）如图3，D ，E 是D ，A ，E 三点所在直线m 上的两动点（D ，A ，E 三点互不重合），点F 为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD ，CE ．若∠BDA =∠AEC =∠BAC ，求证：△DEF 为等边三角形．D AE mCBD A mE CBB FCmEA D38．等腰Rt △ABC 中，CA =CB ，∠ACB =90°，点O 是AB 的中点． （1）如图1，求证：CO =BO ；（2）如图2，点M 在边AC 上，点N 在BC 的延长线上，MN -AM =CN ，求∠MON 的度数； （3）如图3，AD ∥BC ，OD ∥AC ，AD 与OD 交于点D ，Q 是OB 的中点，连接CQ ，DQ ，试判断线段CQ 与DQ 的关系，并给出证明．B O A CNMCA O B39．在△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线． （1）如图1，∠C =2∠DBC ，∠A =60°，求证：△ABC 为等边三角形； （2）如图2，若∠A =2∠C ，BC =8，AB =4．8，求AD 的长度；（3）如图3，若∠ABC =2∠ACB ，∠ACB 的平分线OC 与BD 相交于点O ，且OC =AB ，求∠A 的度数．DCB ACDB AB CODA40．在△ABC 中，∠ACB =90°．（1）如图1，点B 与点D 关于直线AC 对称，连接AD ，点E ，F 分别是线段CD ，AB 上的点（点E 不与点D ，C 重合），且∠AEF =∠ABC ，∠ABC =2∠CAE ，求证：BF =DE ； （2）如图2，若AC =BC ，BD ⊥AD ，连接DC ，求证：∠ADC =45°；（3）如图3，若AC =BC ，点D 在AB 的延长线上，以DC 为斜边作等腰直角△DCE ，过直角顶点E 作EF ⊥AC 于点F ，求证：点F 是AC 的中点．DECBF AACDBDBECF A41．在等腰△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点P 为AC 上一点，M 为BC 上一点． （1）若AM ⊥BP 于点E ．①如图1，BP 为△ABC 的角平分线，求证：PA =PM ； ②如图2，BP 为△ABC 的中线，求证：BP =AM +MP ；（2）如图3，若点N 在AB 上，AN =CP ，AM ⊥PN ，求AMPN的值．MEPCB A EPMABCNPMABC42．如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ．F 为BC 延长线上一点，连接AF ，BD ⊥AF 于点D ，BD 与AC 交于点E 点． （1）求证：CE =CF ；（2）如图2，若M 为AB 的中点，N 为AE 的中点，P 为BF 的中点，连接MN ，PN ，求∠MNP 的度数；（3）如图3，以AB 为边作Rt △AHB ，∠AHB =90°，过点C 作CG ⊥BH 于G ，若AH =2，CG =5，请直接写出BH 的长为 ．ED FCBAPENMA BCFDABC三、压轴（3）代几综合题43．如图1，在平面直角坐标系中，A （a ，0），B （b ，0），050101022=++-+b a b a ，点C 在y 轴正半轴上．（1）求证：OA =OB ；（2）已知：BD ⊥AC 于D ，DE 平分∠BDC ，交y 轴于点E ，求点E 的坐标；（3）如图2，当∠OAC =60°，且OC =35，点M 为x 轴负半轴上一动点，以CM 为边，在CM 的右侧作等边△CMN ，连接ON ，当ON 最短时，求ON 的长度．44．如图1，直线AB 分别交x 轴，y 轴于A ，B 两点，OC 平分∠AOB 交AB 于点C ，点D 为线段AB 上一点，过D 作DE ∥OC 交y 轴于点E ．已知AO =m ，BO =n ，且m ，n 满足0236122=-++-m n n n ．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）若点D 为AB 的中点，求OE 的长；（3）如图2，若点P （x ，-2x +6）为直线AB 在x 轴下方的一点，点E 是y 轴正半轴上的一动点，以E 为直角顶点作等腰直角△PEF ，使点F 在第一象限，且F 点的横，纵坐标始终相等，求点P 的坐标．45．如图，直线AB 交x 轴于点A （a ，0），交y 轴于点B （0，b ），且a ，b 满足0)5(2=-++a b a ．（1）点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；（2）如图1，若点C 的坐标为（-3，-2），且BE ⊥AC 于点E ，OD ⊥OC 交BE 的延长线于点D ，试求出点D 的坐标；（3）如图2，M ，N 分别为OA ，OB 边上的点，OM =ON ，OP ⊥AN 交AB 于点P ，过点P 作PG ⊥BM 交AN 的延长线于点G ，请写出线段AG ，OP 与PG 之间的数量关系，并证明你的结论．46．如图，在平面直角坐标系中，A （8，0），点B 在第一象限，△OAB 为等边三角形，OC ⊥AB ，垂足为C ．（1）直接写出点C 的横坐标；（2）作点C 关于y 轴的对称点D ，连DA 交OB 于点E ，求OE 的长；（3）P 为y 轴上一动点，连接PA ，以PA 为边在PA 所在直线的下方作等边△PAH ，当OH 最短时，求点H 的横坐标．47．平面直角坐标系中，点A （a ，0），点B （0，b ），已知a ，b 满足++-+b a b a 882232=0． （1）求点A ，点B 的坐标；（2）如图1，点E 为线段OB 上一点，连接AE ，过A 作AF ⊥AE ，且AF =AE ，连接BF 交x 轴于于点D ，若点D （-1，0），求点E 的坐标；（3）在（2）条件下，如图2，过E 作EH ⊥OB 交AB 于点H ，点M 是射线EH 上一点（点M 不在线段EH 上），连接MO ，作∠MON =45°，ON 交线段BA 的延长线于点N ，连接MN ，探究线段MN 与OM 的关系．48．在平面直角坐标系中，点A （0，a ），B （b ，0）分别在y 轴与x 轴正半轴上，满足0)16(2=-+-ab b a（1）a = ，b = ，∠OAB 的度数是 ；（2）如图1，已知C （0，1），在第一象限内存在点D ，CD 交AB 于E ，AE 为△ACD 的中线，3=∆ACD S ，求点D 的坐标；（3）如图2，已知P （2，0），连接PA ，在AB 上有一点F ，满足∠APB =∠OPF ，连接OF ，请给出三条线段PA ，PF ，FO 之间的数量关系，并证明你的结论．三、压轴（3）代几综合题43.如图1，在平面直角坐标系中，A （a ，0）、B （b ，0），a 2＋b 2－10a ＋10b ＋50＝0，点C 在y 轴正半轴上.（1）求证：OA ＝OB ；（2）已知：BD ⊥AC 于D ，DE 平分∠BDC ，交y 轴于点E ，求点E 的坐标；（3）如图2，当∠OAC ＝60º，且OC ＝53，点M 为x 轴负半轴上一动点，以CM 为边，在CM 的右侧作等边△CMN ，连接ON ，当ON 最短时，求ON 长度.图1 图244.如图1，直线AB 分别交x 轴，y 轴于A ,B 两点，OC 平分∠AOB 交AB 于点C ，点D 为线段AB 上一点，过D 作DE ∥OC 交y 轴于点E ，已知AO ＝m ，BO ＝n ，且m ,n 满足0236122=-++-m n n n ;（1）求A ,B 两点的坐标；（2）若点D 为AB 的中点，求OE 的长？（3）如图2，若点P （x ,－2x ＋6）为直线AB 在x 轴下方的一点，点E 是y 轴正半轴上的一动点，以E 为直角顶点作等腰直角△PEF ，使点F 在第一象限，且F 点的横，纵坐标始终相等，求点P 的坐标？图1 图245.如图，直线AB 交x 轴点A （a ，0），交y 轴于点B （0，b ），且a ，b 满足()052=-++a b a .（1）点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；（2）如图1，若点C 的坐标为（－3，－2），且BE ⊥AC 于点E ，OD ⊥OC 交BE 的延长线于点D ，试求点D 的坐标；（3）如图2，M ，N 分别为OA ，OB 边上的点，OM ＝ON ，OP ⊥AN 交AB 与点P ，过点P 作PG ⊥BM 交AN 的延长线于点G ，请写出线段AG ，OP 与PG 之间的数量关系，并证明你的结论.图1 图246. 如图，在平面直角坐标系中，A （8，0），点B 在第一象限，△OAB 为等边三角形，OC ⊥AB ，垂足为点C .（1）直接写出点C 的横坐标 ；（2）作点C 关于y 轴的对称点D ，连DA 交OB 于点E ，求OE 的长；（3）P 为y 轴上的一动点，连接PA ，以PA 为边在PA 所在直线的下方作等边△PAH .当OH 最短时，求点H 的坐标.47.平面直角坐标系中，点A （a ，0），点B （0，b ），已知a 、b 满足0328822=++-+b a b a ； （1）求点A 、点B 的坐标；（2）如图1，点E 为线段OB 上一点，连接AE ，过A 作AF ⊥AE ，且AF ＝AE ，连接BF 交x 轴于点D ，若点D （1-，0），求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，如图2，过E 作EH ⊥OB 交AB 于H ，点M 是射线EH 上一点（点M 不在线段EH 上），连接MO ，作∠MON ＝45°，ON 交线段BA 的延长线于点N ，连接MN ，探究线段MN 与OM 的关系.图1图248.在平面直角坐标系中，点A （0，a ），点B （b ，0）分别在y 轴和x 轴正半轴上，满足()0162=-+-ab b a .（1）a ＝ ，b ＝ ，∠OAB 的度数是 ；（2）如图1，已知C （0，1），在第一象限内存在点D ，CD 交AB 于E ，AE 为△ACD 的中线，S △ACD ＝3，求点D 的坐标；（3）如图2，已知P （2，0），连接PA ，在AB 上有一点F ，满足∠APB ＝∠OPF ，连接OF ，情给出三条线段PA ，PF ，FO 之间的数量关系，并证明你的结论.图1图249.如图，已知A （a ，0）、B （0，b ）,且a ，b 满足：0328822=++++b a b a .D 为第一象限内一点，连接BD ，连接AD 交y 轴于C 点，且AC ＝CD （1）求A 、B 点坐标；（2）如图1，若20=ABD S △，求D 点坐标；（3）如图2，过B 作BE ⊥y 轴，且BE ＝2OC ，连接AE ，问线段AE 和BD 有何数量和位置关系，请证明你的结论.图1图250.如图，已知A （－a ，0）、B （a ，0），点P 为第二象限内一动点，但始终保持PA ＝ a ，∠PAB 的平分线AE 与线段PB 的垂直平分线CD 交于点D ，作DF ⊥AB 于点F . （1）若P 点坐标为（－2，2），求点C 的坐标 （2）求点D 的横坐标（用a 表示）（3）当点P 运动到某一位置时，恰好点C 落在y 轴上，直接写出CDCE＝图1图251.已知，点A （0，a ）、B （b ，0）、C （c ，0），其中a ＝|x ＋2|＋|1－x |，且x 满足点（x ＋1，2x －1）关于x 轴对称的点在第一象限，b 、c 满足|3b ＋9|＋（c ＋4）2＝0.（1）如图1，在△AOC 内有一点D ，连AD 并延长交OC 于点P ，点E 在AC 上，且∠AED ＝∠AOD ，∠PDE ＝∠PDO ，若CE ＝2，求①△AOC 的周长；②OPCP 的值（2）如图2，点M 在线段AB 上（不与A ，B 重合）移动，过点A 作NA ⊥AB 于A ，且∠MON ＝45°，探究线段AN 、BM 、MN 之间的数量关系并证明你的结论。
2024八年级下册期末压轴题集训(原卷版)
2024八年级下册期末压轴题集训一（原卷版）1、我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题．如图1，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．（1）请直接用含a和b的代数式表示S1＝，S2＝；写出利用图形的面积关系所得到的公式：（用式子表达）；（2）请依据（1）得到的公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1；（3）请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．2、如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB上，AD＝AE，连接DE，BD，点F，P，G别为DE，BD，BC的中点．（1）线段PF与PG的数量关系是，位置关系是；（2）把△ADE绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，连接PF，PG，FG，判断△FPG的形状，并说明理由；（3）若AD＝3，AB＝7，△ADE绕点A在平面内旋转过程中，请直接写出△FPG的面积取得最大值时BD的长．3、经调研发现，目前市场上有A，B两种类型的笔记本比较畅销．某超市计划最多投入6900元购进A，B两种类型的笔记本共500本，其中B型笔记本的进货单价比A型笔记本的进货单价多3元；用2400元购进A型笔记本与用3000元购进B型笔记本的数量相同．（1）求A，B两种类型笔记本的进货单价；（2）若A型笔记本每本的售价定为16元，B型笔记本每本的售价定为20元，该超市计划购进A型笔记本m本，两种类型的笔记本全部销售后可获利润为y元．①请直接写出y与m之间的函数关系式为：；②该超市如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？4、在等边△ABC中，AB＝6，点D是射线CB上一点，连接AD．（1）如图1，当点D在线段CB上时，在线段AC上取一点E，使得CE＝BD，求证：AD＝BE；（2）如图2，当点D在CB延长线上时，将线段AD绕点A逆时针旋转角度θ（0°＜θ＜180°）得到线段AF，连接BF，CF．①当AF位于∠BAC内部，且∠DAF恰好被AB平分时，若BD＝2，求CF的长度；②如图3，当θ＝120°时，记线段BF与线段AC的交点为G，猜想DC与AG的数量关系，并说明理由．5、如图，已知函数y1＝﹣x+b，y2＝mx﹣1，其中y1的图象经过点（3，0）．（1）当y1＞0时，x的取值范围是；（2）当x＞2时，对于x的每一个值，都有y1＜y2，求m的取值范围；（3）若m＝1，，求A、B的值．6、如图，△ABC是等边三角形，，点F是∠BAC的平分线上一动点，将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到AE，连接CF、EF．（1）尺规作图：在AF的上方找点D，使得DE⊥AF且DE＝AC；（2）在（1）的条件下，连接CD、DF．①求证：AE+CD＞AC；②求证：△CDF是等边三角形；③当△DEF是等腰三角形时，求AF的长度？7、【探索发现】“旋转”是一种重要的图形变换，图形旋转过程中蕴含着众多数学规律，以图形旋转为依托构建的解题方法是解决几何问题的常用方法．如图1，在正方形ABCD中，点E在AD上，点F在CD上，∠EBF＝45°．某同学进行如下探索：第一步：将△ABE绕点B顺时针旋转90°，得到△CBG，且F、C、G三点共线；第二步：证明△BEF≌△BGF；第三步：得到∠AEB和∠FEB的大小关系，以及AE、CF、EF之间的数量关系；请完成第二步的证明，并写出第三步的结论．【问题解决】如图2，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，将△ABP绕点B顺时针旋转，旋转角度小于90°，得到△A'BP'，当P、A′、P′三点共线时，这三点所在直线与CD交于点Q，要求使用无刻度的直尺与圆规找到Q点位置，某同学做法如下：连接AC，与BP交于点O，以O为圆心，OB为半径画圆弧，与CD相交于一点，该点即为所求的点Q．请证明该同学的做法．（前面【探索发现】中的结论可直接使用，无需再次证明）【拓展运用】如图3，在边长为2的正方形ABCD中，点P在AD上，BP与AC交于点O，过点O作BP的垂线，交AB于点M，交CD于点N，设AP+AB＝x（2≤x≤4），AM＝y，直接写出y关于x的函数表达式．8、如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．（1）求证：BE＝DE；（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．①求证：矩形DEFG是正方形；②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．9、【探究发现】如图①，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F．求证：四边形AFCE是菱形；（2）【类比应用】如图②，直线EF分别交矩形ABCD的边AD，BC于点E，F，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D'，若AB＝3，BC＝4，求四边形ABFE的周长；（3）【拓展延伸】如图③，直线EF分别交平行四边形ABCD的边AD，BC于点E，F，将平行四边形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D'，若，BC＝4，∠C＝45°，求EF的长．10、阅读材料：在数轴上，x＝2表示一个点；在平面直角坐标系中，x＝2表示一条直线；以二元一次方程x+y＝2的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y＝﹣x+2的图象，它也是一条直线．如图1，在平面直角坐标系中，不等式x≤2表示一个平面区域，即直线x＝2及其左侧的部分；如图2，不等式y≤﹣x+2也表示一个平面区域，即直线y＝﹣x+2及其下方的部分．请根据以上材料回答问题：（1）图3阴影部分（含边界）表示的是（填写不等式）表示的平面区域；（2）如图4，请求出表示阴影部分平面区域（含边界）的不等式组；（3）如图5，点A在x轴上，点B的坐标为（0，1），且∠ABO＝60°，点P为△ABO内部一点（含边界），过点P分别作PC⊥OA，PD⊥AB，PE⊥BO，垂足分别为C，D，E，若PC≤PE≤PD，则所有点P组成的平面区域的面积为．11、【课本重现】已知：如图1，D，E分别是等边△ABC的两边AB，AC上的点，且AD＝CE．若BE，CD交于点F，则∠EFD＝°；【迁移拓展】如图2，已知点D是等边△ABC的AB边上一点，点E是AC延长线上一点，若AD＝CE，连接ED，EB．求证：ED＝EB；【拓展延伸】如图3，若点D，E分别是等边三角形ABC的边BA，AC延长线上一点，且连接DE，以DE为边向右侧作等边△DEF，连接AF，求△ADF的面积．12、【综合与实践】生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，上面的图案常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．（1）如图1，在▱ABCD中，AB＝2，AD＝3，∠BAD＝60°，图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线AD方向平移而成，其中，平移的距离是.同理，再进行一次切割平移，可得图3，即图4可以看成由平行四边形经过两次切割平移而成．我们可以用若干个如图4所示的图形，平面镶嵌成如图5的图形，则图5的面积是．（2）小明家浴室装修，在墙中央留下了如图6所示的空白，经测量可以按图7所示，全部用边长为1的正三角形瓷砖镶嵌．小明调查后发现：一块边长为1的正三角形瓷砖比一块边长为1的正六边形瓷砖便宜40元；用500元购买正三角形瓷砖与用2500元购买正六边形瓷砖的数量相等．①请问两种瓷砖每块各多少元？②小明对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为1的正三角形瓷砖和边长为1的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少，按小明的想法，将空白处全部镶嵌完，购买瓷砖最少需要元．13、在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是射线AB上的动点，AE垂直于直线CD于点E，交直线BC于点F．（1）【探索发现】如图①，若点D在AB的延长线上，点E在线段CD上时，请猜想CF，BD，AB之间的数量关系为；（2）【拓展提升】如图②，若点D在线段AB上（不与点A，B重合），试猜想CF，BD，AB之间的数量关系，并说明理由；（3）【灵活应用】当AB＝3，时，直接写出线段BD的长为．14、如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为（﹣2，﹣1）．（1）将△ABC向上平移6个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）以（0，﹣1）为对称中心，画出△ABC关于该点对称的△A2B2C2；（3）经探究发现，△A1B1C1和△A2B2C2成中心对称，则对称中心坐标为；（4）已知点P为x轴上不同于O、D的动点，当P A+PC＝时，∠OPC＝∠DP A．15、问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边△ABC的边BC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE．（1）【猜想证明】试猜想BD与CE的数量关系，并加以证明；（2）【探究应用】如图2，点D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE，若B、D、E三点共线，求证：EB平分∠AEC；（3）【拓展提升】如图3，若△ABC是边长为2的等边三角形，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接CE．点D在运动过程中，△DEC的周长最小值＝（直接写答案）．。
八年级数学上册期末压轴100题：第十一章20题(含答案)
6．①③④
【分析】
利用高线和同角的余角相等，三角形内角和定理即可证明①，再利用等量代换即可得到③
④均是正确的，②缺少条件无法证明．
【详解】
（1）求∠E的度数．
（2）点P为直线AC上的一个动点，过点P作PF∥AE，且PF＝AE，连DF．
①如图2，当点P在点C的右侧，且∠PFD＝25°时，判断DE与DF的位置关系，并说明理由．
②在整个运动中，是否存在点P，使得∠PFD＝2∠EDF？若存在，请求出∠PFD的度数，若不存在，请说明理由．
18．如图1，点E是直线AB，CD内部一点，AB//CD，连接EA，ED．
8．31
【分析】
直线a，b交于点A，与边框的交点分别为B，C，由对顶角的性质可求解∠ABC和∠ACB的度数，再根据三角形的内角和定理可求解．
【详解】
解：直线a，b∠交于点A，与边框的交点分别为B，C，如图，
∵∠1＝71°，∠2＝78°，
∴∠ABC＝∠1＝71°，∠ACB＝∠2＝78°，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
（4）如图（4），直线 平分 的外角 ， 平分 的外角 ，猜想 与 、 的数量关系是________．
13．同学们以“一块直角三角板和一把直尺”开展数学活动，提出了很多数学问题，请你解答：
（1）如图1，∠α和∠β具有怎样的数量关系？请说明理由；
（2）如图2，∠DFC的平分线与∠EGC的平分线相交于点Q，求∠FQG的大小；
（3）如图3，若将（2）中的“点E在射线OC上”改为“点E在射线OD上”，其他条件不变，直接写出∠EGF的度数（用含有a的代数式表示）
压轴题：一元一次不等式及不等式组综合专练20题(解析版)八年级数学下学期期末精选题汇编(北师大版)
压轴题02：一元一次不等式及不等式组综合专练20题（解析版）一、单选题1．已知关于x 的不等式组100x x a ->⎧⎨-≤⎩，有以下说法： ①如果它的解集是1＜x ≤4，那么a ＝4；①当a ＝1时，它无解；①如果它的整数解只有2，3，4，那么4≤a ＜5；①如果它有解，那么a ≥2．其中说法正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据各结论中a 的取值情况逐一判断即可．【详解】解：由x ﹣1＞0得x ＞1，由x ﹣a ≤0得x ≤a ，①如果它的解集是1＜x ≤4，那么a ＝4，此结论正确；①当a ＝1时，它无解，此结论正确；①如果它的整数解只有2，3，4，那么4≤a ＜5，此结论正确；①如果它有解，那么a ＞1，此结论错误；故选：C ．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．2．正整数n 小于100，并且满足等式236n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[][]1.5122==，，则满足等式的正整数的个数为（） A ．2B ．3C ．12D ．16【答案】D【分析】利用不等式[x ]≤x 即可求出满足条件的n 的值．【详解】 解：若2n ，3n ，6n 有一个不是整数， 则22n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＜或者33n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＜或者66n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＜， ∴][][236236n n n n n n n ⎡⎤++++=⎢⎥⎣⎦＜， ∴2n ，3n ，6n 都是整数，即n 是2，3，6的公倍数，且n ＜100， ∴n 的值为6，12，18，24，......96，共有16个，故选：D ．【点睛】本题主要考查不等式以及取整，关键是要正确理解取整的定义，以及[x ]≤x ＜[x ]+1式子的应用，这个式子在取整中经常用到．3．定义，图象与x 轴有两个交点的函数y ＝24()24()x x m x x m -+≥⎧⎨+<⎩叫做关于直线x ＝m 的对称函数，它与x 轴负半轴交点记为A ，与x 轴正半轴交点记为B 例如：如图：直线l ：x ＝1，关于直线l 的对称函数y ＝24(1)24(1)x x x x -+≥⎧⎨+<⎩与该直线l 交于点C ，当直线y ＝x 与关于直线x ＝m 的对称函数有两个交点时，则m 的取值范围是（ ）A ．0≤m ≤43B ．－2＜m ≤43C ．－2＜m ≤2D ．－4＜m ＜0【答案】B【分析】 根据定义x 轴上存在,A B 即可求得22m -<<，根据题意联立,24,y x y x =⎧⎨=+⎩,24,y x y x =⎧⎨=-+⎩即可求得m 的范围，结合定义所求范围即可求解 【详解】①一次函数图象与x 轴最多只有一个交点，且关于m 的对称函数()24,24()x x m y x x m ⎧-+≥=⎨+<⎩，与x 轴有两个交点， ①组成该对称函数的两个一次函数图象的部分图象都与x 轴有交点．①240x ±+=解得2x =或2-①22m -<<．①直线y ＝x 与关于直线x ＝m 的对称函数有两个交点，①直线y =x 分别与直线24()y x x m =-+≥和24()y x x m =+<各有一个交点．对于直线y =x 与直线24()y x x m =+<，联立可得,24,y x y x =⎧⎨=+⎩解得4,4x y =-⎧⎨=-⎩， ①直线y =x 与直线24()y x x m =+<必有一交点(4,4)--．对于直线y =x 与直线24()y x x m =-+≥，联立可得,24,y x y x =⎧⎨=-+⎩解得4,343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ①22m -<<， ①43x =必须在x m ≥的范围之内才能保证直线y =x 与直线24()y x x m =-+≥有交点． ①43m ≤． ①423m -<≤． ①m 的取值范围是423m -<≤． 故选B【点睛】本题考查了新定义，两直线交点问题，一次函数的性质，掌握一次函数的性质，数形结合是解题的关键．4．如图，长方形ABKL ，延CD 第一次翻折，第二次延ED 翻折，第三次延CD 翻折，这样继续下去，当第五次翻折时，点A 和点B 都落在①CDE ＝α内部（不包含边界），则α的取值值范围是（ ）A ．3645α︒<≤B ．3036α︒<≤C ．3645α︒≤<D ．3036α︒<<【答案】D【分析】 利用翻折前后角度总和不变，由折叠的性质列代数式求解即可；【详解】解：第一次翻折后2a +①BDE =180°，第二次翻折后3a +①BDC =180°，第三次翻折后4a +①BDE =180°，第四次翻折后5a +①BDC =180°，若能进行第五次翻折，则①BDC ≥0，即180°-5a ≥0，a ≤36°，若不能进行第六次翻折，则①BDC ≤a ，即180°-5a ≤a ，a ≥30°，当a =36°时，点B 落在CD 上，当a =30°时，点B 落在ED 上，①30°＜a ＜36°，故选：D ；【点睛】本题考查了图形的规律，折叠的性质，一元一次不等式的应用；掌握折叠前后角度的变化规律是解题关键．5．关于x 的不等式组255332x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩ 只有5个整数解，则a 的取值范围是（ ） A ．1162a -<<-B ．1162a -≤<-C ．1162a -<≤-D ．1162a -≤≤- 【答案】C【分析】先解x 的不等式组255332x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩，然后根据整数解的个数确定a 的不等式组，解出取值范围即可． 【详解】 解：不等式组255332x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩， 解得：2032x x a <⎧⎨>-⎩， 不等式组只有5个整数解，即解只能是15x =，16，17，18，19，a ∴的取值范围是：32143215a a -≥⎧⎨-<⎩， 解得：1162a -<≤-． 故选：C ．【点睛】 本题考查了一元一次不等式组的整数解，难度适中，关键是根据整数解的个数确定关于a 的不等式组．6．若实数a 使得关于x 的不等式组52232x a x x x +≤-⎧⎪⎨--<⎪⎩有且只有2个整数解，且使得关于x 的一次函数()15y a x a =+-+不过第四象限，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．7B ．9C ．12D ．14【答案】C【分析】先解不等式组，根据不等式组的解只有2个整数解，列出关于a 的不等式，求出此时a 的取值范围；再根据一次函数的图像不过第四象限，列出关于a 的不等式组，再次求出a 的取值范围，两项综合求出a 最终的取值范围，则问题得解．【详解】 52232x a x x x +≤-⎧⎪⎨--<⎪⎩①② 解不等式①得：24a x +≥， 解不等式①得：4＜x ，不等式有解，则解为：244a x +≤＜， ①不等式组有两个整数解，则这两个整数解为3，2， ①2124a +≤＜，解得26a ≤＜； ①一次函数()15y a x a =+-+不过第四象限，①则有1050a a +⎧⎨-+≥⎩＞，解得15a -≤＜； 综上：25a ≤＜①a 的整数值有：3，4，5，则其和为：3+4+5=12，故选：C ．【点睛】本题考查了解不等式组和一次函数的图像的性质，根据不等式组只有两个整数解和函数不过第四象限等条件求出a 的取值范围是解答本题的关键．7．对于实数,a b ，定义符号{},min a b 其意义为：当a b ≥时，{},min a b b =；当a b <时，{},min a b a =．例如：21{},1min -=-，若关于x 的函数2{}1,3y min x x =--+，则该函数的最大值是（ ）A ．1B ．43C ．53D ．2【答案】C【分析】根据定义先列不等式：213x x --+和213x x --+，确定其{21y min x =-，3}x -+对应的函数，画图象可知其最大值．【详解】解：由题意得：213y x y x =-⎧⎨=-+⎩，解得：4353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 当213x x --+时，43x， ∴当43x 时，{21y min x =-，3}3x x -+=-+，由图象可知：此时该函数的最大值为53； 当213x x --+时，43x， ∴当43x 时，{21y min x =-，3}21x x -+=-， 由图象可知：此时该函数的最大值为53； 综上所述，{21y min x =-，3}x -+的最大值是当43x =所对应的y 的值， 如图所示，当43x =时，53y =，故选：C【点睛】本题考查了新定义、一元一次不等式及一次函数的交点问题，认真阅读理解其意义，并利用数形结合的思想解决函数的最值问题．8．已知正整数a ，b ，c ，d 满足：a <b <c <d ，a +b +c +d =2022，22222022d c b a -+-=，则这样的4元数组(a ，b ，c ，d )共有（ ）A ．251组B ．252组C ．502组D ．504组【答案】D【分析】根据题意得出321a b c d +≤+≤+≤，继而得出()()()()()()222220222022d c b a d c d c b a b a d c b a =-+-=-++-+≥+++=，再由已知条件构造()10102a c a a =+≥++，即可解答．【详解】因为a ，b ，c ，d 为正整数，且a b c d <<<，所以321a b c d +≤+≤+≤．所以()()()()()()222220222022d c b a d c d c b a b a d c b a =-+-=-++-+≥+++=．因此1d c -=，1b a -=，即1d c =+，1b a =+．所以()()112022a b c d a a c c +++=+++++=，因此1010a c +=．又2a c +≤，所以()10102a c a a =+≥++，因此1504a ≤≤．所以符合条件的4元数组(),,,a b c d 为(),1,1010,1011a a a a +--，其中1504a ≤≤．所以符合条件的4元数组有504组．故选：D ．【点睛】本题考查了整式的应用，解题的关键是根据题目已知等式构造不等式，属于竞赛题．二、填空题9．重庆云阳巴阳镇精准化发展枇杷产业切实带动低收入农户增收，成为一大“亮点”——“万亩枇杷，醉美巴阳”成为了重庆云阳的一大名片.今年5月又是一个丰收季，全镇枇杷种植面积达1万余亩，种植了“普通”、“白肉”、“大五星”三个品种的枇杷，其中6000亩用于村民集体采摘，其余部分用于游客自助采摘．这6000亩中种植“白肉”枇杷的面积是“普通”枇杷面积的2倍，“大五星”枇杷面积不超过“白肉”枇杷面积的1.2倍，种植“白肉”的面积不超过2300亩，现在正值采摘季节，若干村民进行采摘，每人每天可以采摘“普通”枇杷1.8亩，或“白肉”枇杷1.2亩，或“大五星”枇杷2亩，这6000亩枇杷预计20天采摘完，则需要村民_______人参与采摘．【答案】191人【分析】设“普通”枇杷面积x 亩，则“白肉”枇杷面积为2x 亩，“大五星”枇杷面积为()60003x -亩，有m 人采摘，采摘“普通”枇杷a 天， “白肉”枇杷为b 天，“大五星”枇杷为()20a b --天，先求解x 的范围，再用含m 的代数式表示x ，再解不等式组即可得到答案．【详解】解：设“普通”枇杷面积x 亩，则“白肉”枇杷面积为2x 亩，“大五星”枇杷面积为()60003x -亩，有m 人采摘，采摘“普通”枇杷a 天， “白肉”枇杷为b 天，“大五星”枇杷为()20a b --天，根据题意得：600032 1.222300x x x -≤⨯⎧⎨≤⎩ 解得：100001150,9x ≤≤同时可得：()1.81.2222060003am x bm xm a b x ⎧=⎪=⎨⎪--=-⎩55,,93am x bm x ∴== 101040224060003,93m ma mb m x x x ∴--=--=- 整理得：36054000,13m x -=∴ 10000360540001150,913m -≤≤ 1300003605400014950,9m ∴≤-≤ 616000360689509m ∴≤≤， 1019190191,8136m ∴≤≤ m 为正整数，∴ 191.m =故答案为：191.【点睛】本题考查不等式组的实际应用，解题的关键是仔细阅读找出题中的等量关系与不等关系列方程与不等式组．10．某商家需要更换店面的瓷砖，商家打算用1500元购买彩色和单色两种地砖进行搭配，并且把1500元全部花完．已知每块彩色地砖25元，每块单色地砖15元，根据需要，购买的单色地砖数要超过彩色地砖数的2倍，并且单色地砖数要少于彩色地砖数的3倍，那么符合要求的一种购买方案是________．【答案】购买24块彩色地砖，60块单色地砖 或 购买27块彩色地砖，55块单色地砖【分析】设购买x 块彩色地砖，购买单色地砖y 块，进而由题意得到2x ＜y ＜3x ，再根据总费用为1500元，且x 、y 均为正整数，将y 用x 的代数式表示，然后解一元一次不等式组即可求解．【详解】解：设购买x 块彩色地砖，购买单色地砖y 块，则2x ＜y ＜3x ，25x +15y =1500， ①1500255100(1)153x y x ， 又已知有：23xy x ，①510033510023x x x x ⎧-<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，解得3003001411x ， 又x 为正整数，且30021.414，30027.311，①x =22，23，24，25，26，27；由(1)式中，x y ，均为正整数，①x 必须是3的倍数，①24x =或27x =，当24x =时，单色砖的块数为15002425=6015； 当27x =时，单色砖的块数为15002725=5515； 故符合要求的购买方案为：购买24块彩色地砖，60块单色地砖 或 购买27块彩色地砖，55块单色地砖．【点睛】本题考查了一元一次不等式的实际应用，本题的关键点是将单色砖的块数用彩色砖的块数的代数式表示，进而解不等式组，注意实际问题考虑解为正整数的情况．11．春暖花开，又到了踏青赏花的好季节，某植物园决定在今年4月份购进一批花苗：绣球花苗、蔷薇花苗、铁线莲花苗和月季花苗．已知每株绣球花苗的价格是每株蔷薇花苗价格的12，每株月季花苗的价格是每株铁线莲花苗价格的3倍．另外，购进的绣球花苗数量是铁线莲花苗数量的2倍，蔷薇花苗的数量是月季花苗数量的3倍，且铁线莲花苗和蔷薇花苗的总数量不超过600株．已知一株绣球花苗和一株铁线莲花苗的价格之和为30元，最后，购进绣球花苗和蔷薇花苗的总费用比铁线莲花苗和月季花苗的总费用多14400元，则今年4月用于购进铁线莲花苗和月季花苗的总费用的最大值为______元．【答案】7200．【分析】根据题意可设蔷薇花苗价格为x 元，每株铁线莲花苗价格为y 元，则绣球花苗价格为12x 元，月季花苗为3y 元，根据已知关系列出不等关系3600a b +，表示购进铁线莲花苗和月季花苗的总费用，利用不等关系求解．【详解】解：设每株蔷薇花苗价格为x 元，每株铁线莲花苗价格为y 元，则绣球花苗价格为12x 元，月季花苗为3y 元，由题意得，1302x y +=①，设购进铁线莲花苗数量为a ，月季花苗数量为b ，则绣球花苗为2a ，蔷薇花苗为3b ， 由题意可知，3600a b +，1231440032x a x b a y b y ⨯+⨯-=⋅+⨯， 整理得(3)()14400a b x y +-=，3600a b +， 24x y ∴-①，由①得602x y =-代入①得，60224y y --，解得12y ，用于购进铁线莲花苗和月季花苗的总费用为，3(3)ay by a b y +=+，3600a b +，12y ，∴用于购进铁线莲花苗和月季花苗的总费用的最大值为600127200⨯=（元)，故答案为：7200． 【点睛】本题以购买的最大费用为背景考查了一元一次不等式的应用，关键根据数量关系表示未知量，然后根据不等关系求解．12．小李和小张大学毕业后准备合伙开一家工作室创业．他们在某写字楼租了一间空高为3米的房间作办公地点（如图），准备装修后开始办公．小李和小张分别提出两套装修方案（如表格）．其中，每平方米木地板的装修费用与每平方米木质吊顶的装修费用之和等于每平方米复合材料墙面的装修费用；每平方米地砖的装修费用与每平方米乳胶漆的装修费用之和等于每平方米木质墙面的装修费用，以上各项装修单价均为整数．每平方米木地板、木质墙面、木质吊顶的装修费用之和不少于600元；每平方米复合材料墙面比木质墙面的装修费用多，且差价不大于90元，不少于80元．经测算，小李方案的总装修费用比小张方案的总装修费用多1260元．若x ，y 均为整数，且满足y<x<2y ，则小张的方案装修总费用最少为________元．【答案】234041401260y y +- 【分析】设每平方米木地板a 元，木制吊顶b 元，地砖m 元，乳胶漆n 元，则复合材料墙面()a b +元，木质墙面m n 元，根据题意列出不等式组，得到340345a b m n +≥⎧⎨+≥⎩，根据“小李方案的总装修费用比小张方案的总装修费用多1260元”列式即可求解． 【详解】解：设每平方米木地板a 元，木制吊顶b 元，地砖m 元，乳胶漆n 元， 则复合材料墙面()a b +元，木质墙面m n 元，根据题意可得6008090a b m n a b m n +++≥⎧⎨≤+--≤⎩，解得340345a b m n +≥⎧⎨+≥⎩，小李的总花费()()()()()2336xya xyb m n y x xy a b m n x y ++++=++++， 小张的总花费()()()()()2336xym xyn a b y x xy m n a b x y ++++=++++， ①()()()()()()661260xy a b m n x y xy m n a b x y ++++-+-++=， ①2y x y <<，①()()()61260xy a b m n x y ++++-()23406345126034041401260y y y y y y ≥⋅⨯+⨯+-=+-， 故答案为：234041401260y y +-． 【点睛】本题考查不等式组的实际应用，根据题意列出不等式是解题的关键．13．如图，设BAC θ∠=（090θ︒<<︒）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上．从点1A开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中12A A为第一根小棒，且11223341AA A A A A A A====⋅⋅⋅=，若只能摆放4根小棒，则θ的范围为________．【答案】18°≤θ＜22.5°．【分析】根据等边对等角可得①BAC=①AA2A1，①A2A1A3=①A2A3A1，①A3A2A4=①A3A4A2，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得θ1=2θ，θ2=3θ，θ3=4θ，求出第三根小木棒构成的三角形，然后根据三角形的内角和定理和外角性质列出不等式组求解即可．【详解】解：如图，①小木棒长度都相等，①①BAC=①AA2A1，①A2A1A3=①A2A3A1，①A3A2A4=①A3A4A2，由三角形外角性质得，θ1=2θ，θ2=3θ，θ3=4θ；①只能摆放4根小木棒，①490 590θθ︒︒⎧<⎨≥⎩，解得18°≤θ＜22.5°．故答案为：18°≤θ＜22.5°．【点睛】本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，也考查了一元一次不等式组的应用，列出不等式组是解题的关键．14．若不等式231x x x a-+++-≥对一切数x都成立，则a的取值范围是________．【答案】5a ≤ 【分析】要使不等式231x x x a -+++-≥对一切数x 都成立，则a 需小于等于231x x x -+++-的最小值，再分3x <-、31x -≤<、12x ≤<和2x ≥四种情况，分别化简绝对值求出最小值即可得．【详解】要使不等式231x x x a -+++-≥对一切数x 都成立，则a 需小于等于231x x x -+++-的最小值， 由题意，分以下四种情况： （1）当3x <-时，2312313x x x x x x x -+++-=---+-=-，此时39x ->； （2）当31x -≤<时，2312316x x x x x x x -+++-=-+++-=-，此时569x <-≤； （3）当12x ≤<时，2312314x x x x x x x -+++-=-+++-=+，此时546x ≤+<； （4）当2x ≥时，2312313x x x x x x x -+++-=-+++-=，此时36x ≥；综上，231x x x -+++-的最小值为5， 则5a ≤， 故答案为：5a ≤． 【点睛】本题考查了化简绝对值、一元一次不等式组等知识点，将问题转化为求231x x x -+++-的最小值是解题关键．15．已知非负实数x y 、、z 满足123234x y z ---==，记23M x y z =++．则M 的最大值减去最小值的差为________． 【答案】283． 【分析】 设123234x y z k ---===，将x y 、、z 用k 表示出来，由x y 、、z 均为非负实数得关于k 的不等式组，求出k 取值范围，再将23M x y z =++转化为k 的代数式，由k 的范围即可确定M 的最大值和最小值，从而即可求差． 【详解】 设123234x y z k ---===， ①21x k =+，23y k =-，43z k =+， ①0x ≥，0y ≥，0z ≥，①210230430k k k +≥⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩， 解不等式组得1223k -≤≤，①23M x y z =++，①()()()21238142343M k k k k =+++=+-+， ①58108143k ≤+≤,即58103M ≤≤， M 的最大值为583，最小值为10， M 的最大值减去最小值的差58281033=-=， 故答案为：283． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，解题关键是设比例式值为k ，通过已知确定k 的取值范围． 三、解答题16．商店销售10台A 型和20台B 型电脑的利润为40000元，销售20台A 型和10台B 型电脑的利润为3500元．（1）求每台A 型电脑和B 型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的2倍，设购进A 型电脑x 台，这100台电脑的销售总利润为y 元． ①求y 关于x 的函数关系式：①该商店购进A 型、B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？（3）实际进货时，厂家对A 型电脑出厂价下调()0100m m <<元，且限定商店最多购进A 型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．【答案】（1）A 100元，B 150元；（2）①5015000y x =-+；①A 34台，B 66台；（3）当050m <<时，A 34台B 66台；当50m =时，A 34~70内均可；当50100m <<时，A 70台B 30台 【分析】（1）设每台A 型加湿器和B 型加湿器的销售利润分别为a 元，b 元，然后根据题意列出二元一次方程组解答即可；（2）①据题意得即可确定y 关于x 的函数关系式，利用A 型利润与B 型利润即可求出总利润y 与x 的关系，并确定x 的范围即可；①根据一次函数的增减性，解答即可；（3）根据题意列出函数数关系式，分以下三种情况①0<m<50，①m=50，① 50 <m < 100时，m-50 >0结合函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）设每台A 型电脑的销售利润为a 元，每台B 型电脑的销售利润为b 元，根据题意得：1020400020103500a b a b +=⎧⎨+=⎩ 解得=100150a b ⎧⎨=⎩ 答：每台A 型电脑的销售利润为100元，每台B 型电脑的销售利润为150元；（2）①设购进A 型电脑x 台，每台A 型电脑的销售利润为100元，A 型电脑销售利润为100x 元, 每台B 型电脑的销售利润为150元，B 型电脑销售利润为()150100x -元()100150100y x x =+-，即这100台电脑的销售总利润为:5015000y x =-+；1002x x -≤，解得1333x ≥．且x 为正整数，150********y x x ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭，其中x 为正整数，①5015000y x =-+中，k=500-<，y ∴随x 的增大而减小．x 为正整数，1333x ≥ ①当34x =时，y 取得最大值，此时10066x -=．答：商店购进A 型电脑34台，B 型电脑66台，才能使销售总利润最大； （3）根据题意得()()100150100y m x x =++-，即()5015000y m x =-+，其中133703x ≤≤，且x 为正整数．①当050m <<时，k=500m -<，y ∴随x 的增大而减小，①当34x =时，y 取得最大值，即商店购进34台A 型电脑和66台B 型电脑才能获得最大利润； ①当50m =时，k=500m -=，15000y ∴=，即商店购进A 型电脑数量满足133703x ≤≤的整数时，均获得最大利润；①当50 <m < 100时，k=500m ->，y ∴随x 的增大而增大．①当70x =时，y 取得最大值．即商店购进70台A 型电脑和30台B 型电脑才能获得最大利润． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，掌握一次函数的增减性是解答本题的关键．17．某市A ，B 两个蔬菜基地得知黄岗C ，D 两个灾民安置点分别急需蔬菜240t 和260t 的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A 蔬菜基地有蔬菜200t ，B 蔬菜基地有蔬菜300t ，现将这些蔬菜全部调运C ，D 两个灾区安置点，从A 地运往C ，D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 地运往C ，D 两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B 地运往C 处的蔬菜为x 吨． （1）请填写下表，用含x 的代数式填空，结果要化简：（2）设A ，B 两个蔬菜基地的总运费为w 元，求出w 与x 之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；（3）经过抢修，从B 地到C 处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m 元()0m >，其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案．【答案】（1）()240x -，()40x -，()300x -；（2）29200w x =+；A →C ：200吨，A →D ： 0吨，B →C ：40吨，B →D ：260吨；（3）2m =时，在40240x ≤≤的前提下调运方案的总费用不变；215m <<时，240x =总费用最小，其调运方案为：A →C ：0吨，A →D ： 200吨，B →C ：240吨，B →D ：60吨； 【分析】（1）根据题意，从A 处调运到C 处的数量为（240-x ）t ；从A 处调往D 处的数量为[200-（240-x ）]t ；则从B 调运到D 处的数量为（300-x ）t ；（2）根据调运总费用等于四种调运单价乘以对应的吨数的积的和，易得w 与x 的函数关系，根据调运的数量非负即可不等式组，求得x 的范围，从而可求得总费用的最小的调运方案；（3）由题意可得w 与x 的关系式，根据x 的取值范围不同而有不同的解，分情况讨论：当0<m <2时；当m =2时；当2<m <15时，根据一次函数的性质即可解决． 【详解】 （1）填表如下：故答案为：()240x -，()40x -，()300x -；（2）w 与x 之间的函数关系为：()()()202402540151830029200w x x x x x =-+-++-=+ 由题意得：240040003000x x x x -≥⎧⎪-≥⎪⎨≥⎪⎪-≥⎩ ①40240x ≤≤①在29200w x =+中，20> ①w 随x 的增大而增大 ①当40x =时，总运费最小此时调运方案为：（3）由题意得()()()()2024025401518300w x x m x x =-+-+-+- 即()29200w m x =-+，其中40240x ≤≤ ①02m <<，（2）中调运方案总费用最小；2m =时，在40240x ≤≤的前提下调运方案的总费用不变；215m <<时，240x =总费用最小，其调运方案如下：【点睛】本题是一次函数在实际问题中的应用，具有较强的综合性与较大的难度．它考查了一次函数的性质，求一次函数的解析式，解一元一次方程组等知识，用到分类讨论思想．18．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2．P 是BC 的中点，点Q 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿A →D →C →B →A 的方向终点A 运动，设点Q 运动的时间为x 秒． （1）点Q 在运动的路线上和点C 之间的距离为1时，x ＝ 秒． （2）若①DPQ 的面积为S ，用含x 的代数式表示S （0≤x ＜7）．（3）若点Q 从A 出发3秒后，点M 以每秒3个单位长度的速度沿A →B →C →D 的方向运动，M 点运动到达D 点后立即沿着原路原速返回到A 点．当M 与Q 在运动的路线上相距不超过2时，请直接写出相应x 的取值范围．【答案】（1）5或7；（2）42(02)11(26)2212(67)x x S x x x x -≤<⎧⎪⎪=-<≤⎨⎪-<<⎪⎩，（3）45x ≤≤或79x ≤≤或1012x ≤≤．【分析】（1）根据题意，点Q 与点C 的距离为1，设Q 运动的路程为a ，则61a -=，根据速度为1，进而求得时间x ；（2）分三种情况讨论，①点Q 在AD 边上运动；①点Q 在CD 边上运动；①点Q 在BC 边上运动；根据情形写出①DPQ 的面积即可；（3）分三种情形讨论，①M 点未到达D 点时，①M 点原路原速返回时，根据情形分相遇和追及问题写出路程差不超过2时，①当M 点回到点A ，当M 与Q 在运动的路线上相距不超过2时，列出不等式组求解即可，注意两点运动的总时间会影响取值范围，即M 点先停止运动． 【详解】 （1）4,2AB AD ==，∴246AD DC +=+=，设Q 运动的路程为a ，依题意则，61a -=， 解得5a =或7a =，速度为每秒1个单位长度，515x ∴=÷=或者717x =÷=，故答案为：5或7；（2）速度为每秒1个单位长度，Q 运动的时间为x 秒． ∴点Q 的路程为1x x ，①点Q 在AD 边上运动；2,4AD CD BC ===，∴2DQ DA AQ x =-=-,11(2)422S DQ DC x ∴=⨯=⨯-⨯42x =-（02x ≤<），①点Q 在CD 边上运动；P 是BC 的中点，112PC BC ∴==，2DQ x AD x =-=-，111(2)11222S DQ CP x x =⨯=-⨯=-（26x <≤）， ①点Q 在CP 边上运动，6PQ t AD DC t =--=-，11(6)421222S PQ CD x x ∴=⨯=-⨯=-（67x <<）， 综合①①①得：42(02)11(26)2212(67)x x S x x x x -≤<⎧⎪⎪=-<≤⎨⎪-<<⎪⎩，（3）速度为每秒1个单位长度，Q 运动的时间为x秒．∴点Q 的路程为1x x ，设M 的运动时间为t ，根据题意，Q 从A 出发3秒后，M 才出发，则3t x =-，即3x t =+，M 的路程为3t ，Q 点的路程为3t +，42410DC BC AB ++=++=,∴M 点全路程所用时间为2010233⨯÷=秒， 则Q 点的全路程所用时间为12112÷=秒，分三种情形讨论，①M 点未到达D 点时，Q 点出发3秒后，,M Q 共同完成的路程为39AD DC BC AB +++-=根据题意，当M 与Q 在运动的路线上相距不超过2时，则，9(33)2t t -++≤，即9(33)2(33)92t t t t -++≤⎧⎨++-≤⎩， 解得12t ≤≤，45x ∴≤≤，①M 点原路原速返回时，根据题意，当M 与Q 在运动的路线上相距不超过2时，则，(310)2t t --≤，即(310)2(310)2t t t t --≤⎧⎨--≤⎩，解得46t ≤≤，79x ∴≤≤．①当M 点回到点A ，根据题意，当M 与Q 在运动的路线上相距不超过2时，则1012x ≤≤； 综合①①①可得x 的取值范围为45x ≤≤或79x ≤≤或1012x ≤≤．【点睛】本题考查了动点问题，路程问题，一元一次不等式的应用，弄清动点运动的方向和路程是解题的关键． 19．在平面直角坐标系xOy 中，对于M 、N 两点给出如下定义：若点M 到x 、y 轴的距离中的最大值等于点N 到x 、y 轴的距离中的最大值，则称M 、N 两点互为“等距点”，例如：点P （2，2）与Q （-2，-1）到x 轴、y 轴的距离中的最大值都等于2，它们互为“等距点”．已知点A 的坐标为（1，3）．（1）在点B （5，3）、C （﹣3，1）、D （﹣2，﹣2）中，点 与点A 互为“等距点”（2）已知直线l ：4y kx k =--① 若k =1，点E 在直线l 上，且点E 与点A 互为“等距点”，求点E 的坐标；①若直线l 上存在点F ，使得点F 与点A 互为“等距点”，求k 的取值范围（直接写出结果）．【答案】（1）C ；（2）①(2,3)E -或(3,2)-；① 12k ≥或14k ≤-． 【分析】（1）根据新定义“等距点”的定义即可求解； （2）①k=1可得5y x =- 设,5E m m -（）， 讨论353m m =-=或 即可，①设(),4F f kf k --，根据点F与点A 互为“等距点”，分两种情况讨论即可：343f kf k ⎧=⎪⎨--≤⎪⎩和343f kf k ⎧≤⎪⎨--=⎪⎩． 【详解】解：（1）①点A （1，3）到x 、y 轴的距离中最大值为3，点C （﹣3，1）到x 、y 轴的距离中最大值为3，①与A 点是“等距点”的点是C ．（2）①①直线l ：4y kx k =--当k=1时，5y x =- ，①点A （1，3）到x 、y 轴的距离中最大值为3，点E 到点A 互为“等距点”，点E 到坐标轴的最大距离为3，设,5Em m -（） ， ①EM m =,5EN m =- ①353m m ⎧=⎪⎨-≤⎪⎩或35=3m m ⎧≤⎪⎨-⎪⎩解得：3m =或=2m当3m =时，52m -=-，点E （3，﹣ 2），当=2m 时，53m -=-，点E （2，﹣3），故点E （3，﹣ 2）或E （2，﹣3），① 点F 在直线l ：4y kx k =--上，设(),4F f kf k --， ①343f kf k ⎧=⎪⎨--≤⎪⎩①②或343f kf k ⎧≤⎪⎨--=⎪⎩③④ 由①得到：3f =±，当3f =时，243k -≤，解得1722k ≤≤， 当3f =-时，443k --≤，解得7144k -≤≤-， 由①得到：43kf k --=±，当43kf k --=，即7k f k+=时，则73k k +≤， 解得72k ≥或74k ≤-， 当43kf k --=-，即1k f k+=时，则13k k +≤， 解得12k ≥或14k ≤-， 综上所述：12k ≥或14k ≤-． 【点睛】本题考查新定义的应用和点坐标到坐标轴之间的距离，涉及到一元一次不等式，解题的关键是正确理解题意，学会利用分类讨论的思想．20．在平面直角坐标系中，若P 、Q 两点的坐标分别为()11,P x y 和()22,Q x y ，则定12x x -和12y y -中较小的一个（若它们相等，则任取其中一个）为P 、Q 两点的“直角距离小分量”，记为min (,)d P Q ．例如：(2,3),(0,2)P Q -，因为12122,0,|20|2x x x x =-=-=--=；12123,2,|32|1y y y y ==-=-=，而|32||20|-<--，所以min (,)|32|1d P Q =-=．（1）请直接写出()3,2A -和()1,1B -的直角距离小分量()min ,d A B =_________；（2）点D 是坐标轴上的一点，它与点()3,1C -的直角距离小分量()min ,2d C D =，求出点D 的坐标； （3）若点(1,22)M m m +-满足以下条件：a ）点M 在第一象限；b ）点M 与点()5,0N 的直角距离小分量()min ,2d M N <c ）45MON ∠>︒，O 为坐标原点．请写出满足条件的整点（横纵坐标都为整数的点）M 的坐标_______．【答案】（1）3；（2）(0,1)D 或(0,3)D -；（3）(5,6)M 或(6,8)【分析】（1）根据新概念求得即可；（2）分两种情况，根据“直角距离小分量”的定义得出即可；（3）根据题意得出10220m m +>⎧⎨->⎩，解出m 的取值范围，再由45MON ∠>︒可推导出2211OM m K m -=>+，解出m 的取值范围，根据横纵坐标都为整数的点取m 的值即可．【详解】解：（1）(3,2)A -，(1,1)B -，|31|4∴+=>|21|3--=，()min ,3d A B ∴=；故答案为3；（2）点D 是坐标轴上的一点，若D 在x 轴上，设(a,0)D ，由于|01|12+=<与题意矛盾，故点D 是在y 轴上的一点，|1|2b ∴+=，解得：1b =或3-，(0,1)D ∴或(0,3)D -；（3）由题意得：10220m m +>⎧⎨->⎩， 解得1m ， |15||4|,|220|2|1|m m m m +-=---=-，∴[]222(4)2(1)312m m m ---=-+， 当12m <<时，()min ,2|1|2d M N m =-<，解得：02m <<，当2m ≥时，()min ,|4|2d M N m =-<，解得：26m <<，m ∴的取值范围是：02m <<或26m <<，45MON ∠>︒恰好为OM l 的倾斜角，1OM K ∴>，2211OM m K m -=>+， 解得：1m <-或3m >综上：m 的取值范围是：36m <<，横纵坐标都为整数，4m ∴=和5，(5,6)M ∴或(6,8)，故答案为：(5,6)M 或(6,8)．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，解一元一次不等式组，解题的关键是根据新概念列出不等式组．。
人教版八年级上册数学期末压轴题训练
八年级上学期数学期末压轴题训练1．已知,ABC AB AC =．(1)若90BAC ∠=︒，作BCE ，点A 在BCE 内．①如图1，延长CA 交BE 于点D ，若75,2EBC BD DE ∠=︒=，则DCE ∠的度数为 ； ①如图2，DF 垂直平分BE ，点A 在DF 上，3ADAF=ABD AFCS S 的值；(2)如图3，若120BAC ∠=︒，点E 在AC 边上，10EBC ∠=︒，点D 在BC 边上，连接,,40DE AD CAD ∠=︒，求BED ∠的度数． 2．如图，在ABCD 中，过点C 分别向AB ，AD 作垂线，垂足分别为E ，F ，ABC ∠的平分线分别交CE ，CF ，CD 于点M ，N ，P ．(1)求证：CMN 为等腰三角形；(2)若11134AF FD CF === 求线段CM 的长；(3)若AD CF =，试探究线段CM ，FD ，AB 之间的数量关系，并说明理由．3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 、B 分别为x 轴正半轴和y 轴正半轴上的点，点A （0，5），连接AB ，252AOB S =△．(1)如图1，求点B 的坐标；(2)如图2，点C 为AB 中点，点P 为线段BC 上一动点，点P 的纵坐标为m ，连接OC ，若①POC 的面积为S ，用含m 的式子表示S （不要求写出m 的取值范围）；(3)如图3，在（2）条件下，点E 为y 轴点A 上方一点，点F 为y 轴负半轴上一点，AE ＝OF ，连接BE ，若射线OP ①BE4．在ABC 中，BD 平分ABC ∠，CE 平分ACB ∠，BD 和CE 交于点O ，其中令BAC x ∠=，BOC y ∠=．(1)【计算求值】如图1，①如果50x =︒，则y =______；①如果130y =︒，则x =______．(2)【猜想证明】如图2请你根据（1）中【计算求值】的心得猜想写出y 与x 的关系式为y =______，并请你说明你的猜想的正确性．(3)【解决问题】如图3，某校园内有一个如图2所示的三角形的小花园，花园中有两条小路，BD 和CE 为三角形的角平分线，交点为点O ，在O 处建有一个自动浇水器，需要在BC 边取一处接水口F ，经过测量得知120BAC ∠=︒，12000OD OE ⋅=米2，170BC BE CD --=米，请你求出水管OF 至少要多长？（结果取整数）5．在平面直角坐标系中，已知M （0，4），N （3，2），线段MN 平移得到线段PQ ，使点M 的对应点为P ，点N 的对应点为Q ，若点P 的坐标为()2,1--，点Q 的坐标为(),a b ，(1)=a ___________，b =___________；(2)若点E 为x 轴正半轴上的一个动点，探究MNE ∠、NEQ ∠和EQP ∠之间的数量关系并证明；（注：MNE ∠、NEQ ∠和EQP ∠均为大于0︒且小于180︒的角）(3)将线段MN 向下平移得到线段AB ，从使得点N 的对应点B 落在x 轴上，点M 的对应点A 落在y 轴上，动点C 从点B 出发，以每秒钟移动3个单位长度的速度沿x 轴向左运动，动点D 从点A 出发，以每秒钟移动2个单位长度的速度沿y 轴向下运动，直线BD 与直线AC 交于点F ，设点F 的坐标为(),m n ．动点C 和动点D 同时出发且它们的运动时间为t 秒．①在01t <<时，试探究ADF △与BCF △的面积关系，并说明理由； ①若在点C 、D 的运动过程中，ABF △的面积为7，请直接写出m 的值．6．已知，在平面直角坐标系中，AB x ⊥轴于点B ，点(,)A a b |3|0b -=0，平移线段AB 使点A 与原点重合，点B 的对应点为点C ．(1)=a ______，b =______，点C 坐标为__________； (2)图1，点(,)D m n 是线段CB 上一个动点．①连接OD ，利用,,OBC OBD OCD △△△的面积关系，可以得到m 、n 满足一个固定的关系式，请写出这个关系式：________；①过点A 作直线l x ∥轴，在l 上取点M ，使得2MA =，若CDM 的面积为4，请求出点D 的坐标．(3)如图2，以OB 为边作BOG AOB ∠=∠，交线段BC 于点G ，E 是线段OB 上一动点，连接CE 交OG 于点F ，当点E 在线段OB 上运动过程中，OFC FCGOEC∠+∠∠的值是否发生变化？若变化说明理由，若不变，求其值．7．已知：(,0)A a ，(0,)B b ．(1)当a ，b 满足225010()++=+a b a b 时，连接AB ，如图1． ①求：AO BO +的值．①点M 为线段AB 上的一点（点M 不与A ，B 重合，其中BM ＞AM ），以点M 为直角顶点，OM 为腰作等腰直角①MON ，连接BN ，求证：∠=∠BNO BMO ．(2)当3a =-，6b =，连接AB ，若点(9,0)D ，过点D 作DE AB ⊥于点E ，点B 与点C 关于x 轴对称，点F 是线段DE 上的一点（点F 不与点E ，D 重合）且满足DF AB =，连接AF ，试判断线段AC 与AF 之间的位置关系和数量关系，并证明你的结论．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (a ，0)，B (c ，c )，C (0，c )，且满足（a ﹣c +4）22c a -+0，P 点从A 点出发沿x 轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q 点从O 点出发沿y 轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．（1）求点B 的坐标及AO 和BC 位置关系；（2）当P 、Q 分别是线段AO ，OC 上时，连接PB ，QB ，使2PAB QBC S S △△＝，求出点P 的坐标； （3）在P 、Q 的运动过程中，当①CBQ ＝30°时，请探究①OPQ 和①PQB 的数量关系，并说明理由．9．直线AB 、CD 相交于点O ，①AOC ＝α，点F 在直线AB 上且在点O 的右侧，点E 在直线CD 上（点E 与点O 不重合），连接EF ，直线EM 、FN 交于点G ．（1）如图1，若点E 在射线OC 上，α＝60°，EM 、FN 分别平分①CEF 和①AFE ，求①EGF 的度数；（2）如图2，点E 在射线OC 上，①MEF ＝m ①CEF ，①NFE ＝（1﹣2m ）①AFE ，若①EGF 的度数与①AFE 的度数无关，求m 的值及①EGF 的度数（用含有α的代数式表示）；（3）如图3，若将（2）中的“点E 在射线OC 上”改为“点E 在射线OD 上”，其他条件不变，直接写出①EGF 的度数（用含有a 的代数式表示）10．问题提出：（1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图，ABC 中，7AC =9BC =，10AB =，P 为AC 上一点，当AP =______时，ABP 与CBP 是偏等积三角形；问题探究：（2）如图，ABD △与ACD 是偏等积三角形，2AB =，6AC =，且线段AD 的长度为正整数，过点C 作//CE AB 交AD 的延长线于点E ，求AE 的长度； 问题解决：(090)BCE <∠<︒．①ACD 与BCE 是偏等积三角形吗？请说明理由；①已知60m BE =，ACD 的面积为22100m ．如图，计划修建一条经过点C 的笔直的小路CF ，F 在BE 边上，FC 的延长线经过AD 中点G ．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价．11．如图①，将长方形纸片沿对角线剪成两个全等的直角三角形ABC 、EDF ，其中8cm AB =，6cm BC ，10cm AC =．现将ABC ∆和EDF ∆按如图①的方式摆放（点A 与点D 、点B 与点E 分别重合）．动点P 从点A 出发，沿AC 以2cm/s 的速度向点C 匀速移动；同时，动点Q 从点E 出发，沿射线ED 以a cm/s （0<<3a ）的速度匀速移动，连接PQ 、CQ 、FQ ，设移动时间为t s （05t ≤≤）．（1）当2t =时，2AQF BQC S S ∆∆=，求a 的值；（2）当以P 、C 、Q 为顶点的三角形与BQC ∆全等时，则=a ___________；（3）如图①，在动点P 、Q 出发的同时，ABC ∆也以3cm/s 的速度沿射线ED 匀速移动，当以A 、P 、Q 为顶点的三角形与EFQ ∆全等时，求a 与t 的值．12．如图1，在平面直角坐标系中，线段AB 与x 轴负半轴交于点A （0α，），与y 轴正半轴交于点B （0b ，），若a 、b 满足224a b b =-- （1）求A 、B 两点的坐标；（2）如图2，C 、D 在坐标轴上，且CD ①AB ，点F 在①ABO 的内部，连F A ，连FC 并延长至点G ，若①BAF =2①F AO ，①AFG =120°，求①DCG ：①GCE 的值； （3）设P （m n ，），且0m n +=，若2ABPOBPSS≥，请直接写出m 的取值范围13．已知：如图四边形ABCD是正方形，①EAF＝45°．（1）如图1，若点E，F分别在边BC、CD上，延长线段CB至G，使得BG＝DF，若BE＝4，BG＝3，求EF的长；（2）如图2，若点E，F分别在边CB、DC延长线上时，求证：EF＝DF﹣BE；（3）如图3，如果四边形ABCD不是正方形，但满足AB＝AD，①BAD＝①BCD＝90°，①EAF＝45°，且BC＝8，DC ＝12，CF＝6，请你直接写出BE的长．14．直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．（1）如图1，已知AE BE 、分别是BAO ∠和ABO ∠角的平分线，点AB 、在运动的过程中，AEB ∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出AEB ∠的大小．（2）如图2，已知AB 不平行CD AD BC ，、分别是BAP ∠和ABM ∠的角平分线，又DE CE 、分别是ADC ∠和BCD∠的角平分线，点AB 、在运动的过程中，CED ∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出CED ∠的度数．（3）如图3，延长BA 至G ，已知BAO OAG ∠∠、的角平分线与BOQ ∠的角平分线及反向延长线相交于E F 、，在AEF △中，如果有一个角是另一个角的3倍，则ABO ∠的度数为____（直接写答案）15．在平面直角坐标系中，点A 的坐标()0,4，点C 的坐标()6,0， 点P 是x 轴上的一个动点，从点C 出发，沿x 轴的负半轴方向运动，速度为2个单位/秒，运动时间为秒，点B 在x 轴的负半轴上，且AOC 的面积：AOB 的面积3:1=．（1）求点B 的坐标；（2）若点D 在y 轴上，是否存在点P ，使以P D O 、、为顶点的三角形与AOB 全等？若存在，直接写出点D 坐标；若不存在，请说明理由；（3）点Q 是y 轴上的一个动点，从点A 出发，向y 轴的负半轴运动，速度为2个单位/秒．若P 、Q 分别从C 、A 两点同时出发，求：t 为何值时，以P Q O 、、三点构成的三角形与AOB 全等．16．已知，如图①，点D ，E ，F ，G 是ABC 三边上的点，且//FG AC ， （1）若EDC FGC ∠=∠，试判断DE 与BC 是否平行，并说明理由．（2）如图①，点M 、N 分别在边AC 、BC 上，且//MN AB ，连结GM ，若60A ∠=，55C ∠=，4FGM MGC ∠=∠，求GMN ∠的度数．（3）点M 、N 分别在射线AC 、BC 上，且//MN AB ，连结GM ．若A α∠=，ACB β∠=，FGM n MGC ∠=∠，直接写出GMN ∠的度数（用含α，β，n 的代数式表示）17．如图1，在ABC 中，ACB ∠为锐角，点D 为射线BC 上一点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作等腰直角ADF △，90DAF ∠=︒，AD AF =． （1）如果AB AC =，90BAC ∠=︒，①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图2，线段CF ，BD 所在直线的位置关系为______，线段CF ，BD 的数量关系为______；①当点D 在线段BC 的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB AC ≠，BAC ∠是锐角，点D 在线段BC 上，CF BC ⊥能成立吗？若不能，说明理由，若能，直接写出ACB ∠的度数．18．已知点C 是①MAN 平分线上一点，①BCD 的两边CB 、CD 分别与射线AM 、AN 相交于B ，D 两点，且①ABC +①ADC ＝180°．过点C 作CE ①AB ，垂足为E ．（1）如图1，当点E 在线段AB 上时，求证：BC ＝DC ；（2）如图2，当点E 在线段AB 的延长线上时，探究线段AB 、AD 与BE 之间的等量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，若①MAN ＝60°，连接BD ，作①ABD 的平分线BF 交AD 于点F ，交AC 于点O ，连接DO 并延长交AB 于点G ．若BG ＝1，DF ＝2，求线段DB 的长．参考答案：1．(1)①15︒；①ABD AFCSS的值为13(2)30BED ∠=︒【分析】（1）①连接AE ，由已知易得30DBA ∠=︒，继而可知2BD AD =，则有AD AE =，30AED DAE ︒∠=∠=，所以AB AE AC ==，得ACE △是等腰三角形，再由三角形外角的性质即可求解．①过C 点作CH FD ⊥交延长线于H ，构造K 字形全等ABD CAH ≌，得CHAD ，AH BD =，再由AB AC AE ==可得45BEC ∠=︒，进而可得ED DF =，而BD DE =，即有BD AF AD =+，再由三角形面积公式可求比值．（2）以AB 为边作等边三角形，由ABC 是顶角为120︒的等腰三角形，易得BC 垂直平分,AN AD ND =，由40DAC ∠=︒可知20NAD DNA ︒∠=∠=，再在BE 上取M 点，使20MAB ABM ︒∠=∠=，由ASA 即可判定ABM AND △≌△，所以AM AD =，再由已有条件易得AM AE =，所以ADE 是等腰三角形，进而求出,AED BED ∠∠度数即可． 【解析】（1）解：①连接AE ，①,90AB AC BAC =∠=︒， ①=45ABC ∠︒， ①75EBC ∠=︒， ①30ABD ∠=︒，①在Rt △ABD 中，2,60BD AD BDA ︒=∠=， 又①2BD DE =， ①DE DA =，①30DEA DAE ︒∠=∠=， ①30ABD DEA ︒∠=∠=， ①AB AE =，①AE AC =， ①AEC ACE ∠=∠，又①30AEC ACE EAD ∠︒+∠=∠=， ①15DCE ∠=︒， 故答案为：15︒．①解：连接AE ，过C 点作CH FD ⊥交延长线于H ，①DF 垂直平分BE ，即90,ADE ADB DE DB ∠=∠=︒=， ①AB AE =，①90ABD BAD ∠+∠=︒， 又①90BAC ∠=︒， ①90CAH BAD ︒∠+∠=， ①ABD CAH ∠=∠， 在ABD △和CAH 中， ADB CHA ABD CAH AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①(AAS)ABD CAH ≌， ①,CH AD AH BD ==， ①AB AC AE ==，又①BAC ABE AEB ACE AEC ∠=∠+∠+∠+∠， ①290BEC BAC ∠=∠=︒， ①45BEC ∠=︒，①Rt FDE △是等腰直角三角形， ①DF DE =， ①DB DF =，①3ADAF=3AD =， ①3BD AD AF AF =+=+， ①111,222ABDAFC S BD AD S AF CH AF AD ∆=⋅=⋅=⋅， ①313ABD AFCS BD AF AFS AF +== 故ABD AFCS S的值为13（2）解：以AB 为边作等边ABN ，连接DN ，①120,BAC AB AC ∠=︒=， ①30ABD ∠=︒， ①BD 垂直平分AN ， ①AD ND =， ①40DAC ∠=︒， ①20NAD DNA ︒∠=∠=，在BE 上取M 点，使20MAB ∠=︒， ①10EBC ∠=︒， ①20EBA MAB ︒∠=∠=， 在ABM 和ADN △中，BAM NADABM AND AB AN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①(AAS)ABM AND ≌， ①AM AD =，①20,10,30EBA MAB EBC C ︒∠=∠=∠∠=︒︒=，①40,40AME AEM ︒︒∠=∠=，①AM AE =， ①AD AE =， ①40DAC ∠=︒， ①70AED ∠=︒，①704030BED AED AEB ∠=∠-∠=︒-︒=︒．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是作出辅助线构造K 字形全等和旋转全等，找出图形中等腰三角形．这也是本题的难点． 2．(1)见解析; (2)2;(3)CM FD AB +=，见解析【分析】()1由平行四边形的性质及角平分线的定义证出CMN CNM ∠=∠ ，则可得出结论；()2过点M 作MH BC ⊥于H ，由平行四边形的面积求出CE 的长，由勾股定理求出BE 的长，设CM x =，165MH ME x ==- 证明M BEM BH ∆∆≌，由全等三角形的性质求出125BH BE ==，由勾股定理可求出答案； ()3在射线FA 上截取FQ CM =，连接CQ ，证明N CFQ BC ∆∆≌，由全等三角形的性质证出,CQF CNB FCQ CBN ∠=∠∠=∠ ，由平行四边形的性质及角平分线的定义证出DQ DC =，则可得出结论．（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，AD //BC CF AD ⊥，CF BC ∴⊥90°BCF ∴∠= 90°CBN CNB ∴∠+∠=CE AB ⊥，°90EBC ∴∠=90°EBM EMB ∴∠+∠=BP 平分ABC ∠ABP CBP ∴∠=∠ EMB CNB ∴∠=∠ EMB CMN∠=∠CMN CNM ∴∠=∠ CMN ∴∆为等腰三角形；（2）过点M 作MH BC ⊥于H11134AF DF CF ===3,4FD CF ∴== ∴ 134AD AF FD =+=+= 90°CFD ∠= ，根据勾股定理5CD AB ∴==,CE AB CF AD ⊥⊥ 在ABCD 中，由面积相等，有：AB CE AD CF ⋅=⋅ 即544CE =⨯516CE = 165CE ∴=90°CEB ∠= 165CE =，4BC =22216121655BE BC CE ∴=-=-=（） BP 平分ABC ∠，MH BC ⊥，ME AB ⊥MH ME ∴=设CM x =，165MH ME x ==-,,BEM BHM EBM HBM BM BM ∠=∠∠=∠= 125BH BE ==85CH ∴= 90°MHC ∠=22216855x x ∴-+=（）（） 2x ∴=2CM ∴=；（3）线段CM ，FD ，AB 之间的数量关系为CM FD AB +=理由如下：在射线FA 上截取FQ CM = 连接CQ ，,CM CN FQ CM==FQ CN ∴=AD CF =∵，AD BC =，①BC CF =90°CFQ BCN ∠=∠= ∴NCFQ BC ∆∆≌CQF CNB FCQ CBN ∴∠=∠∠=∠，四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD∴ABP CPB ∴∠=∠BP 平分ABC ∠ ABP CBN ∴∠=∠CBN CPN ∴∠=∠FCQ CPN ∴∠=∠CPN PCN FCQ PCN ∴∠+∠=∠+∠ BNC PCQ ∴∠=∠ PCQ FQC ∴∠=∠ DQ DC ∴=CM FD CD ∴+= CD AB = CM FD AB ∴+=【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 3．(1)B （5，0）； (2)S △POC ＝254－52m ； (3)E （0，7）．【分析】（1）根据三角形面积252AOB S =△，即可求出B （5，0）； （2）证明①AOC ①①BOC （SSS ），根据S △AOC +S △BOC ＝S △AOB ＝252，可得S △BOC ＝254，过点P 作PH ①OB 于点H ，表示出yP ＝m ，PH ＝m ．所以S △OPB ＝12OB ·PH ＝12×5m ＝52m ，进一步可求出S △POC ＝S △BOC －S △BOP ＝254－52m ； （3）延长OC 交BE 于点G ，过点C 作CK ①OA 于点K ．证明①CAK ①①COK （AA S ），①BCG ①①OCP （A S A ），①P AF ①①GOE （S A S ），可得：BG ：GE ＝OP ：PF ＝5：7．过点G 分别作GM ①OA 于点M ，GN ①OB 于点N ．证明GM ＝GN ．根据S △EOG ＝12OE ·GM ＝12GE ·OD ，S △BOG ＝12OB ·GN ＝12BG ·OD ，可得OE ：OB ＝GE ：GB ＝7：5，进一步可求出OE ＝7，即E （0，7）．【解析】（1）解：①A （0，5）， ①OA ＝5．①S △AOB ＝12OA ·OB ＝52OB ＝252，①OB ＝5， ①B （5，0），（2）解：①点C 为AB 中点， ①AC ＝B C ．在①AOC 和①BOC 中， OA OBAC BC OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩①①AOC ①①BOC （SSS ）， ①S △AOC ＝S △BOC ，又①S △AOC +S △BOC ＝S △AOB ＝252， ①S △BOC ＝254． 过点P 作PH ①OB 于点H ，如图2，①yP＝m，①PH＝m．①S△OPB＝12OB·PH＝12×5m＝52m，①S△POC＝S△BOC－S△BOP＝254－52m．（3）解：如图3，延长OC交BE于点G，过点C作CK①OA于点K．①①AKC＝①BKC＝90°，①①AOC①①BOC，①①AOC＝①BOC，又①①AOC+①BOC＝90°，①①COK＝45°．同理，①CAK＝45°，①①CAK＝①COK，在①CAK和①COK中，CK CKCKA CKO ⎪=⎨⎪∠=∠⎩①①CAK ①①COK （AA S ）， ①CA ＝CO ， 又①CA ＝CB ， ①CO ＝C B ． ①①AOC ①①BOC ， ①①ACO ＝①BCO ， 又①①ACO +①BCO ＝180°， ①①OCP ＝90°，①①BCG ＝180°－①OCP ＝180°－90°＝90°． ①①BCG ＝①OCP ． ①OP ①BE 于点D ， ①①BDP ＝90°．在Rt ①OCP 中，①COP ＝90°－①OPC ； 在Rt ①BDP 中，①CBG ＝90°－①BPD ， 又①①OPC ＝①BPD ， ①①COP ＝①CBG ． 在①BCG 和①OCP 中， CBG COP BCG OCP CB CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①BCG ①①OCP （A S A ）， ①CG ＝CP ，BG ＝OP①AP ＝AC +CP ＝OC +CG ＝OG ， ①AE ＝OF ，①AE +OA ＝OF +OA ，即OE ＝AF ， 在①P AF 和①GOE 中，AF OEAP OG ⎪=⎨⎪=⎩①①P AF ①①GOE （S A S ）， ①PF ＝GE ．①BG ：GE ＝OP ：PF ＝5：7．过点G 分别作GM ①OA 于点M ，GN ①OB 于点N ． ①①AOG ＝①BOG ， ①OG 平分①AOB ， 又①GM ①OE ，GN ①OB ， ①GM ＝GN ．①S △EOG ＝12OE ·GM ＝12GE ·OD ，S △BOG ＝12OB ·GN ＝12BG ·OD ， ①OE ：OB ＝GE ：GB ＝7：5 又①OB ＝5， ①OE ＝7， ①E （0，7）【点评】本题考查直角坐标系与三角形的综合，难度较大，解题的关键是掌握全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理，并能够熟练运用． 4．(1)①115°；①80°； (2)y =90°+12x ；理由见解析；(3)OF 至少要71米．【分析】（1）如图1，根据三角形的内角和定理由①BAC =50°可求得①ABC +①ACB = 130°，再根据角平分线的定义得①DBC =12①ABC ，①ECB =12①ACB ，从而可求得∠DBC +①ECB = 1130=652⨯︒︒，于是可求得y 的值，①先由三角形的内角和定理求得①OBC +①OCB =50°，再由BD 平分①ABC ， CE 平分①ACB ，求得①ABC +①ACB =2①OBC +2①OCB =100°，从而即可求得x ；（2）如图2，用三角形的内角和求得①ABC +①ACB = 180°-x ，再角平分线求得①DBC =12①ABC ，①ECB=12①ACB，于是可得①DBC+①ECB=12( 180°-x ) =90°-12x，最后利用三角形的内角和即可得y=90°+12x，（3）如图3，在BC_上取点M和N，使BM=BE，CN=DC，先证明①BEO①①BMO，①ODC①①ONC，得①BOM=①BOE，①NOC=①DOC，OM=OE，ON=OD，从而由①BAC= 120°，得①OBC+①OCB=180302A︒-∠=︒，于是有①BOM=①NOC=30°，计算①MON=90°，从而得S△OMN=6000（米2），于是即可利用面积求得OF的最小值．（1）解①如图1，①①x=50°即①BAC=50°，①BAC+①ABC+①ACB=180°，①①ABC+①ACB= 130°，①BD平分①ABC，CE平分①ACB，①①DBC=12①ABC，①ECB=1 2①ACB，∠∠DBC+①ECB= 12(①ABC+①ACB ) =1130=652⨯︒︒，①①BOC+∠DBC+①ECB=180°，①y=①BOC=180°-65°=115°，故答案为① 115°；①①y=130°即①BOC=130°，①BOC+①OBC+①OCB=180°，①①OBC+①OCB=50°，①BD平分①ABC，CE平分①ACB，①①ABC=2①OBC，①ACB=2①OCB，①①ABC+①ACB=2①OBC+2①OCB=100°，①①BAC+①ABC+①ACB=180°，①x=①BAC=180°- 100°=80°，故答案为① 80°；（2）解：如图2，y=90°+12x，理由如下：①①BAC=x，①BAC+①ABC+①ACB= 180°，①①ABC+①ACB= 180°-x，①BD平分①ABC，CE平分①ACB，①①DBC=12①ABC，①ECB=12①ACB，①①DBC+①ECB=12(①ABC+①ACB) =12( 180°-x ) =90°-1 2x，①①BOC+①DBC+①ECB=180°，①y=①BOC=180°- ( 90°-12x ) =90°+12x，故答案为①y =90°+12x ；（3）解：如图3，在BC _上取点M 和N ，使BM =BE ， CN =DC ，①BD ， CE 分别是①ABC 、①ACB 的角平分线，①①EBO =①MBO ，①DCO =①NCO ，①BO =BO ， CO =CO ，BM =BE ， CN =DC ，①①BEO ①①BMO ，①ODC ①①ONC ，①①BOM =①BOE ，①NOC =①DOC ， OM =OE ，ON =OD ， ①①BAC = 120°，①①OBC +①OCB =180302A︒-∠=︒，①①BOE =①OBC +①OCB =30°=①DOC ，①BOC =150°，①①BOM =①NOC =30°，①①MON =①BOC -①BOM -①NOC =150°-30°-30°=90°，①S △OMN =11200060002OM ON OE OD ==⨯=（米2），①BC - BE -CD = 170米， ①MN = BC -BM -CN = BC - BE -CD = 170米，①①OMN 的底边MN 上的高为：260001200017071MN ⨯÷=÷≈（米）①OF 至上要71米，答①出水管OF 至少要71米．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形面积等知识，作辅助线，利用角平分线构造全等三角形是解题的关键． 5．(1)1,3a b ==- (2)NEQEQPMNE 或360MNENEQEQP 或PQFMNENEQ(3)①ADF BCF S S =△△；①m 的值为2-或5.【分析】（1）由由()0,4M 平移到()2,1P --确定平移的方式，从而可得答案；（2）分三种情况讨论：如图，当E 在NQ 的左边时，连接NQ ，如图，当E 在NQ 的右边，直线MN 的左边时，（包括E 在这两条直线上），如图，当E 在直线MN 的右边时，记直线MN 与EQ 的交点为F ，再根据平行线的性质，三角形的内角和定理与三角形的外角的性质可得答案；（3）①当01t <<时，如图，由题意可得：0,2,3,0,A B2,3,22,33,AD t BC t OD t OC t 记四边形OCFD 的面积为m ，再分别表示两个三角形的面积即可得到答案；①由7,ABFS可得,C D 都在负半轴上，再分两种情况讨论：交点F 在第三象限，如图，证明2,3nm 即2,,3F m m 作A ，F 作x 轴的平行线，过F ，B 作y轴的平行线，交点分别即为L ，P ，Q ，则四边形LFQP 为矩形，再利用面积列方程，如图，当交点F 在第一象限，同理利用面积列方程即可． (1)解：由()0,4M 平移到2,1,P 而()3,2N 平移到,,Q a b ①321,253,a b(2)如图，当E 在NQ 的左边时，连接NQ ，由平移可得：,MN PQ ∥180,MNQ PQN EQPMNEENQEQN180,NEQ ENQ EQN ,NEQEQPMNE如图，当E 在NQ 的右边，直线MN 的左边时，（包括E 在这两条直线上），MNQ PQN QNE NEQ NQE同理可得：180,180, MNE NEQ EQP360,如图，当E在直线MN的右边时，记直线MN与EQ的交点为F，PQF NFE同理：,NFE MNE NEQ,①PQF MNE NEQ(3)①当01t<<时，如图，由题意可得：0,2,3,0,A B 2,3,22,33,AD t BC t OD t OC t记四边形OCFD 的面积为m ， 123333,2ADF AOC SS m t m t m 132233,2BCF BOD S S mt m t m ①.ADF BCF SS ①7,ABF S 则,C D 都在负半轴上，交点F 在第三象限，如图，同理可得：,ADF BCF S S 而,,F m n 1123,22t m t n解得：2,3n m即2,,3F m m7,ABFS作A，F作x轴的平行线，过F，B作y轴的平行线，交点分别即为L，P，Q，则四边形LFQP为矩形，2112123223237,322323m m m m m m解得：2,m=-如图，当交点F在第一象限，同理可得：21211222337, 323223m m m m m m解得：5,m=综上：m的值为2-或5.【点评】本题考查的是坐标与图形，坐标系内图形的平移，平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，利用割补法求解图形的面积，一元一次方程的应用，整式的乘法运算，本题的综合程度高，清晰的分类讨论是解本题的关键．6．(1)6，3，(0,3)-(2)①26m n-=；①(2,2)-或(4,)1-(3)OFC FCGOEC∠+∠∠的值为2，证明见解析【分析】（1）利用非负数的性质求解即可；（2）①如图1，过点D 分别作DM x ⊥轴于点M ，DN y ⊥轴于点N ，连接OD ，利用面积法求解即可；①如图11-中，设直线AM 交y 轴于T ，连接DT ，CM ，CM '．分两种情形：当点M 在点A 的左侧时，设(,3)2m D m -，根据4CDM CTD DTM CTM S S S S ∆∆∆∆=+-=，构建方程求解，当点M '在点A 的右侧时，同法可得；（3）OFC FCG OEC∠+∠∠的值不变，值为2．利用平行线的性质，三角形的外角的性质证明即可．（1）解：|3|0b -=0,30b ≥-≥， 60a ∴-=，30b -=，6a ∴=，3b =，3AB OC ==，且C 在y 轴负半轴上，(0,3)C ∴-，故答案为：6，3，(0,3)-；（2）①过点D 分别作DM x ⊥轴于点M ，DN y ⊥轴于点N ，连接OD ，如图所示：AB x ⊥轴于点B ，且点A (6,3)，D (,)m n ，C (0,3)-，6OB ∴=，3OC =，MD n =-，ND m =，Δ192BOC S OB OC ∴=⨯=， 又ΔΔΔBOC BOD COD S S S =+1122OB MD OC ND =⨯+⨯116()322n m =⨯⨯-+⨯⨯ 332m n =-， ∴3392m n -=，26m n ∴-=， m ∴、n 满足的关系式为26m n -=，故答案为：26m n -=；①设直线AM 交y 轴于T ，连接DT ，CM ，CM '，如图所示：当点M 在点A 的左侧时，设(,3)2m D m -， 4CDM CTD DTM CTM S S S S ∆∆∆∆=+-=， ∴11164(33)4642222m m ⨯⨯+⨯⨯-+-⨯⨯=， 解得2m =，(2,2)D ∴-，当点M '在点A 的右侧时，设(,3)2m D m -， 4CDM CTD DTM CTM S S S S '''∆∆∆∆=+-=，11168338642222m m ⎛⎫∴⨯⨯+⨯⨯-+-⨯⨯= ⎪⎝⎭， 解得4m =，∴(4,1)D -，综上所述，满足条件的点D 的坐标为(2,2)-或(4,)1-，故答案为：(2,2)-或(4,)1-；（3）OFC FCG OEC∠+∠∠的值不变，值为2． 理由如下：线段OC 是由线段AB 平移得到，//BC OA ∴，AOB OBC ∴∠=∠，又BOG AOB ∠=∠，BOG OBC ∴∠=∠，根据三角形外角性质，可得2OGC OBC ∠=∠，OFC FCG OGC ∠=∠+∠，22OFC FCG FCG OBC ∴∠+∠=∠+∠2()FCG OBC =∠+∠2OEC =∠， ∴22OFC FCG OEC OEC OEC∠+∠∠==∠∠． 【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查了非负数，坐标与图形，平行线的性质以及平移的性质，解决问题的关键是作辅助线，运用面积法，角的和差关系以及平行线的性质进行求解．7．(1)10；证明见解析；(2)AC AF ⊥，AC AF =，理由见解析；【分析】（1）①利用225010()++=+a b a b 可求出5a =，5b =，即可求出=10+AO BO ；①作NC AB ⊥交AB 与点C ，OF AB ⊥交AB 与点F ，证明()△≌△CNM DMO AAS ，再证明45=∠=︒∠BNC ENM ，利用∠+∠=∠CNE ENM DMO ，∠+∠=∠CNE BNC DMO 即可证明∠=∠BNO BMO ；（2）证明()△≌△ABC FDA SAS ，得到AC AF =，=∠∠FDA BCA ，再利用等量代换证明AC AF ⊥；【解析】（1）解：①由图可知=++AO BO a b ，①225010()++=+a b a b①22010251025+-+-=+a b a b ，即()()2255=0-+-a b ，①5a =，5b =，①=10+AO BO ；①作NC AB ⊥交AB 与点C ，OF AB ⊥交AB 与点F ，如图，①90∠+∠=︒NMC BMO ，90∠+∠=︒DOM BMO ，①∠=∠NMC DOM ，在CNM 和DMO 中，NMC DOM NCM MDO MN OM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()△≌△CNM DMO AAS ，①∠=∠CNM DMO ，CN DM =，CM DO =，①OA OB =90BOA ∠=︒，①==OD BD DA ，①CM BD =，①-=-CM CD BD CD ，即DM BC =，①DM CN =，①BC CN =，①45=∠=︒∠BNC ENM ，①∠+∠=∠CNE ENM DMO ，①∠+∠=∠CNE BNC DMO ，即∠=∠BNO BMO ，（2）解：AC AF ⊥，AC AF =，理由如下：假设DE 交BC 于点G ，有已知可知：()30A -,，()0,6B ，()0,6C -，()9,0D ， ①AD BC =，①DE AB ⊥①90BED ∠=︒①90∠+∠=︒EBG EGB ，90∠+∠=︒GDO OGD 且∠=∠EGB OGD ，①=∠∠EBG GDO ，在ABC 和FDA △中，=DF AB EBG GDO AD BC =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩①()△≌△ABC FDA SAS ，①AC AF =，=∠∠FDA BCA ，①90∠+∠=︒OAC BCA ，①90∠+∠=︒OAC FDA ，①AC AF ⊥，【点评】本题考查三角形全等的判定，等量代换，绝对值非负性的应用，直角坐标系中的图形，（1）的关键是证明()△≌△CNM DMO AAS ，（2）的关键证明()△≌△ABC FDA SAS ． 8．（1）B (﹣4，﹣4)，BC //AO ；（2）P (﹣4，0)；（3）①PQB ＝①OPQ +30°或①BQP +①OPQ ＝150°，见解析【分析】（1）根据非负数的性质分别求出a 、c ，得到点B 的坐标，根据坐标与图形性质判断AO 和BC 位置关系；（2）过B 点作BE AO ⊥于E ，根据三角形的面积公式求出AP ，得到点P 的坐标；（3）分点Q 在点C 的上方、点Q 在点C 的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可．【解析】解：（1）2(4)20a c c a -++-+，又2(4)0a c -+20c a -+，40a c ∴-+=，20c a -+=，解得，8a =-，4c =-，则点B 的坐标为(4,4)--，点B 的坐标为(4,4)--，点C 的坐标为(0,4)-，//BC AO ．（2）过B 点作BE AO ⊥于E ，设时间经过t 秒，2PAB QBC S S ∆∆=，则2AP t =，OQ t =，4CQ t ∴=-， 4BE =，4BC =，111244222APB S AP BE AP BE t t ∆∴=⋅⋅=⋅⋅=⨯⨯=， 11(4)48222BCQ S CQ BC t t ∆=⋅⋅=⨯-⨯=-， 2APB BCQ S S ∆∆=，42(82)t t ∴=-，解得：2t =，24AP t ∴==，4OP OA AP ∴=-=，∴点P 的坐标为(4,0)-．（3）30PQB OPQ ∠=∠+︒或150BQP OPQ ∠+∠=︒．理由如下：①当点Q 在点C 的上方时，过Q 点作//QH AO ，如图2所示，OPQ PQH ∴∠=∠，//BC AO ，//QH AO ，//QH BC ∴，30HQB CBQ ∴∠=∠=︒，OPQ CBQ PQH BQH ∴∠+∠=∠+∠，PQB OPQ CBQ ∴∠=∠+∠，即30PQB OPQ ∠=∠+︒；①当点Q 在点C 的下方时；过Q 点作//HJ AO 如图3所示，OPQ PQJ ∴∠=∠，//BC AO ，//QH AO ，//QH BC ∴，//QH BC ∴，30HQB CBQ ∴∠=∠=︒，180HQB BQP PQJ ∴∠+∠+∠=︒，30180BQP OPQ ∴︒+∠+∠=︒，即150BQP OPQ ∠+∠=︒，综上所述，30PQB OPQ ∠=∠+︒或150BQP OPQ ∠+∠=︒． 【点评】本题考查了三角形综合题，考查的是三角形的面积计算、坐标与图形性质、平行线的性质、三角形内角和定理，掌握非负数的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．9．（1）①EGF＝60°；（2）m＝13，①EGF＝60°﹣13α；（3）①EGF＝120°+13α，见解析．【分析】（1）利用三角形外角的性质以及角平分线的性质求解；（2）（3）利用三角形外角的性质，得出①EGF与①AFE的关系式，进而求解．【解析】（1）①EM、FN分别平分①CEF和①AFE，①①MEF＝12①CEF，①EFG＝12①AFE，①①EGF＝①MEF﹣①EFG，①①EGF＝12①CEF﹣12①AFE＝12（①CEF﹣①AFE）＝12①COF，而①AOC＝α＝60°，①①COF＝180°﹣60°＝120°，①①EGF＝60°；（2）①①CEF﹣①AFE＝①COF＝180°﹣α，①①CEF＝180°﹣α+①AFE，①①MEF＝m①CEF，①①MEF＝m（180°﹣α+①AFE），①①EGF＝①MEF﹣①NFE，①①EGF＝m（180°﹣α+①AFE）﹣（1﹣2m）①AFE＝m（180°﹣α）+（3m﹣1）①AFE，①①EGF的度数与①AFE的度数无关，①3m﹣1＝0，即m＝13，①①EGF＝13（180°﹣α）＝60°﹣13α；（3）①①BOC＝①CEF+①AFE＝180°﹣α，①①CEF＝180°﹣α﹣①AFE，①①MEF＝m①CEF＝m（180°﹣α﹣①AFE），而①NFE＝（1﹣2m）①AFE，①①EGF＝180°﹣①MEF﹣①NFE＝180°﹣m（180°﹣α﹣①AFE）﹣（1﹣2m）①AFE＝180°﹣m（180°﹣α）+（3m﹣1）①AFE，①①EGF的度数与①AFE的度数无关，①3m ﹣1＝0，即m ＝13，①①EGF ＝180°﹣13（180°﹣α）＝120°+13α．【点评】本题重点考察三角形外角的性质，熟练掌握是解决问题的关键．10．（1）72；（2）6；（3）①是偏等积三角形，理由见解析；①42000元【分析】（1）当AP CP =时，则72AP =，证ABP CBP S S ∆∆=，再证ABP ∆与CBP ∆不全等，即可得出结论；（2）由偏等积三角形的定义得ABD ACD S S ∆∆=，则BD CD =，再证()CDE BDA AAS ∆≅∆，则2CE AB ==，ED AD =，得2AE ED AD AD =+=，然后由三角形的三边关系求解即可；（3）①过A 作AM DC ⊥于M ，过B 作BN CE ⊥于N ，证()ACM BCN AAS ∆≅∆，得AM BN =，则ACD BCE S S ∆∆=，再证ACD ∆与BCE ∆不全等，即可得出结论；①过点A 作//AN CD ，交CG 的延长线于N ，证得()AGN DGC AAS ∆≅∆，得到AN CD =，再证()ACN CBE SAS ∆≅∆，得ACN CBE ∠=∠，由余角的性质可证CF BE ⊥，然后由三角形面积和偏等积三角形的定义得12BCE S BE CF ∆=⋅，2100BCE ACD S S ∆∆==，求出70()CF m =，即可求解． 【解析】解：（1）当72AP CP ==时，ABP ∆与CBP ∆是偏等积三角形，理由如下： 设点B 到AC 的距离为h ，则12ABP S AP h ∆=⋅，12CBP S CP h ∆=⋅，ABP CBP S S ∆∆∴=，10AB =，7BC =，AB BC ∴≠，AP CP =，PB PB =， ABP ∴∆与CBP ∆不全等， ABP ∴∆与CBP ∆是偏等积三角形，故答案为：72；（2）设点A 到BC 的距离为n ，则12ABD S BD n ∆=⋅，12ACD S CD n ∆=⋅，ABD ∆与ACD ∆是偏等积三角形，ABD ACD S S ∆∆∴=，BD CD ∴=，//CE AB ，ECD B ∴∠=∠，E BAD ∠=∠，在CDE ∆和BDA ∆中，ECD B E BAD CD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()CDE BDA AAS ∴∆≅∆，2CE AB ∴==，ED AD =，2AE ED AD AD ∴=+=，线段AD 的长度为正整数，AE ∴的长度为偶数，在ACE ∆中，6AC =，2CE =，6262AE ∴-<<+，即：48AE <<，6AE ∴=；（3）①ACD ∆与BCE ∆是偏等积三角形，理由如下： 过A 作AM DC ⊥于M ，过B 作BN CE ⊥于N ，如图3所示：则90AMC BNC ∠=∠=︒，ACB ∆、DCE ∆是等腰直角三角形，90ACB DCE ∴∠=∠=︒，AC BC =，CD CE =，3603609090180BCN ACD ACB DCE ∴∠+∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，180ACM ACD ∠+∠=︒， ACM BCN ∴∠=∠，在ACM ∆和BCN ∆中，AMC BNC ACM BCN AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ACM BCN AAS ∴∆≅∆，AM BN ∴=，12ACD S CD AM ∆=⋅，12BCE S CE BN ∆=⋅，ACD BCE S S ∆∆∴=，180BCE ACD ∠+∠=︒，090BCE ︒<∠<︒， ACD BCE ∴∠≠∠，CD CE =，AC BC =，ACD ∴∆与BCE ∆不全等， ACD ∴∆与BCE ∆是偏等积三角形；①如图4，过点A 作//AN CD ，交CG 的延长线于N ，则N GCD ∠=∠，G 点为AD 的中点，AG GD ∴=，在AGN ∆和DGC ∆中，N GCDAGN DGC AG DG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AGN DGC AAS ∴∆≅∆，AN CD ∴=，CD CE =，AN CE ∴=， //AN CD ，180CAN ACD ∴∠+∠=︒，90ACB DCE ∠=∠=︒，3609090180ACD BCE ∴∠+∠=︒-︒-︒=︒， BCE CAN ∴∠=∠，在ACN ∆和CBE ∆中，AN CE CAN BCE AC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ACN CBE SAS ∴∆≅∆，ACN CBE ∴∠=∠，1809090ACN BCF ∠+∠=︒-︒=︒， 90CBE BCF ∴∠+∠=︒，90BFC ∴∠=︒，CF BE ∴⊥．由①得：ACD ∆与BCE ∆是偏等积三角形，12BCE S BE CF ∆∴=⋅，2100BCE ACD S S ∆∆==， 22210070()60BCE S CF m BE ∆⨯∴===， ∴修建小路CF 的总造价为：6007042000⨯=（元）．【点评】本题考查了新定义“偏等积三角形”的定义、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握“偏等积三角形”的定义，证明①A CM①①BCN 和①ACN ①①CBE 是解题的关键，属于中考常考题型． 11．（1）83；（2）32；（3）2a =时，2t =或 2.3a =时，5t =．【分析】（1）由题意得①BAF =①ABC =90°，BQ =at =2a ，AF =BC ，由三角形面积得2AQ =BQ ，则AB =32BQ =8,，得BQ =163=2a ，即可求得a 的值；（2）由题意得点P 与B 为对应顶点，PQ =BQ =at ，PC =BC =6，①CPQ =①ABC =90°，则AP =AC -PC =4，PQ ①AC ，得t =2，则PQ =BQ -2a ，最后根据三角形面积关系即可解答； （3）分两种情况：①AP 与EQ 为对应边，AQ 与EF 为对应边，则AP =EQ ，AQ =EF =10，求出a =2，BQ =BE -EQ =t ，则AQ =AB +BQ =8+t =10，解得t =2；①AP 与EF 为对应边，AQ 与EQ 为对应边，则AP =EF =10，AQ =EQ ，求出t -5，则AQ =EQ =5a ，得BQ =15-5a 或BQ =5a -15，最后求出a的值即可．【解析】解：（1）由题意得①BAF=①ABC=90°，BQ=at=2a，AF=BC，①112,,,22 AQF BQC AQF BQCS S S AF AQ S BC BQ ∆∆∆∆==⨯=⨯①2AQ=BQ,AQ=12BQ①AB=AQ+BQ=32BQ=8,即BQ=163①BQ=163=2a，即a=83；（2）①以P、C、Q为顶点的三角形与①BQC全等，CQ是公共边，①点P与B为对应顶点，PQ=BQ=at，PC=BC=6，①CPQ=①ABC=90°①AP=AC-PC= 10-6=4，PQ①AC，①AP=2t=4，即t=2①PQ=BQ=2a①①ABC的面积=①ACQ的面积+①BCQ的面积①1118610226222a a⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯，解得a=32；（3）由题意得：①A=①E，则①A与①E为对应角，分两种情况：①AP与EQ为对应边，AQ与EF为对应边，则AP=EQ，AQ=EF=10，①EQ=at①at=2t，即a=2①EQ=2t①BE=3t①BQ=BE-EQ=t，①AQ= AB+BO=8+t=10解得：t=2；①AP与EF为对应边，AQ与EQ为对应边，则AP=EF=10，AQ=EQ，①2t=10①t=5，①AQ=EQ=5a，①BE=3t= 15①BQ=15-5a或BQ=5a-15当BQ =15-5a 时，AQ =15-5a +8=23-5a 或AQ =8-（15-5a ）=5a -7， ①5a =23-5a 或5a =5a -7（无意义），解得a =2.3；当BQ =5a -15时，AQ =5a -15+8=5a -7或AQ =8-（5a -15）=23-5a ①5a =5a -7（无意义）或5a =7-5a 解得：a =0.7，不合题意舍去； 综上所述，a =2时，t =2或a =2.3时，t =5．【点评】本题主要考查全等三角形的综合问题及动点问题，根据题意找到动点之间的联系以及掌握分类讨论思想成为解答本题的关键．12．（1）点(4,0)A -，点(0,2)B ；（2）2；（3）4m ≤-或405m -≤<或0m > 【分析】（1）由非负数的性质可求2b =，4a =-，即可求解；（2）设FAO α∠=，则2BAO α∠=，用α分别表示DCG ∠和GCE ∠，即可求解； （3）分三种情况讨论，利用面积的和差关系可求解． 【解析】解：（1）224a b b =--，20b ∴-≥，20b -≥，2b ∴=，4a ∴=-，∴点(4,0)A -，点(0,2)B ；（2）设FC 与AD 交于点T ，设FAO α∠=，则2BAO α∠=，//AB CD ，3ODC BAO α∴∠=∠=，18012060FTA αα∴∠=︒-︒-=︒-，60OTC FTA α∴∠=∠=︒-，90(60)30OCT αα∴∠=︒-︒-=︒+，30GCE OCT α∴∠=∠=︒+， 903DCE DOC ODC α∠=∠+∠=︒+， 602DCG DCE GCE α∴∠=∠-∠=︒+， :2DCG GCE ∴∠∠=；（3）如图21-，当点P 在AB 的上方时，0m n +=，m n ∴=-，点(4,0)A -，点(0,2)B ；4∴=OA ，2OB =，2ABP OBP S S ∆∆≥，∴11114()2()4222()2222m m m ⨯⨯-+⨯⨯--⨯⨯⨯⨯⨯-，4m ∴≤-，当点P '在AB 的下方，且在x 轴的上方时，即0m <，2ABP OBP S S ∆∆≥，∴1111424()2()22()2222m m m ⨯⨯-⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯⨯-，45m ∴≥-，405m ∴-≤<， 当点P ''在x 轴的下方时，即0m >，2ABP OBP S S ∆∆≥，∴11114242222222m m m ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯≥⨯⨯⨯，4m ∴≥-， 0m ∴>，综上所述：4m ≤-或405m -≤<或0m >．【点评】本题是三角形综合题，考查了平行线的性质，非负性，三角形内角和定理，三角形的外角性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 13．（1）EF ＝7；（2）见解析；（3）BE ＝5613【分析】（1）由“SAS ”可证①ABG ①①ADF ，可得AG ＝AF ，①DAF ＝①BAG ，由“SAS ”可证①GAE ①①F AE ，可得EF ＝GE ＝BE +BG ＝7；（2）在DF 上截取DM ＝BE ，由“SAS ”可证①ABE ①①ADM ，可得AE ＝AM ，①EAB ＝①DAM ，由“SAS ”可证①AEF ①①AMF ，可得EF ＝FM ，可得结论；（3）同（2）可证EF ＝DF ﹣BE ，可得BE +EF ＝18，由勾股定理可得EF 2＝CF 2+CE 2，可求BE 的长．【解析】证明：（1）①四边形ABCD 是正方形， ①AB ＝AD ＝BC ＝CD ，①D ＝①ABC ＝90°， ①AB ＝AD ，①D ＝①ABG ，BG ＝DF ， ①①ABG ①①ADF （SAS ）， ①AG ＝AF ，①DAF ＝①BAG ， ①①EAF ＝45°， ①①DAF +①BAE ＝45°， ①①BAG +①BAE ＝45°＝①GAE ， ①①GAE ＝①EAF ， 又①AG ＝AF ，AE ＝AE ， ①①GAE ①①F AE （SAS ）， ①EF ＝GE ，①EF ＝GE ＝BE +BG ＝4+3＝7； （2）如图2，在DF 上截取DM ＝BE ，①AD＝AB，①ABE＝①ADM＝90°，DM＝BE，①①ABE①①ADM（SAS），①AE＝AM，①EAB＝①DAM，①①EAF＝45°，且①EAB＝①DAM，①①BAF+①DAM＝45°，①①MAF＝45°＝①EAF，又①AE＝AM，AF＝AF，①①AEF①①AMF（SAS），①EF＝FM，①DF＝DM+FM，①DF＝BE+EF，①EF＝DF﹣BE；（3）如图，在DF上截取DM＝BE，同（2）可证EF＝DF﹣BE，①DF＝BE+EF＝CF+DC＝18，。
八年级数学人教版上期末试卷期末测试压轴题模拟训练(二)(解析版)(人教版)
期末测试压轴题模拟训练（二）一、单选题1．如图在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点G ，过点G 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点G 作GD AC ⊥于D ，下列四个结论：其中正确的结论有（ ）个．①EF BE CF =+；②90BGC A ∠=︒+∠；③点G 到ABC 各边的距离相等；④设GD m =,AE AF n +=，则AEF S mn =△；⑤AEF 的周长等于+AB AC 的和．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【详解】解：①∵∵ABC 和∵ACB 的平分线相交于点G ，∵∵EBG =∵CBG ，∵BCG =∵FCG ．∵EF ∵BC ，∵∵CBG =∵EGB ，∵BCG =∵CGF ，∵∵EBG =∵EGB ，∵FCG =∵CGF ，∵BE =EG ，GF =CF ，∵EF =EG +GF =BE +CF ，故①正确；②∵∵ABC 和∵ACB 的平分线相交于点G ，∵∵GBC +∵GCB =12（∵ABC +∵ACB ）=12（180°-∵A ）， ∵∵BGC =180°-（∵GBC +∵GCB ）=180°-12（180°-∵A ）=90°+12∵A ，故②错误； ③∵∵ABC 和∵ACB 的平分线相交于点G ，∵点G 也在∵BAC 的平分线上，∵点G 到∵ABC 各边的距离相等，故③正确；④连接AG ，作GM ∵AB 于M ，如图所示：∵点G 是∵ABC 的角平分线的交点，GD =m ，AE +AF =n ，∵GD =GM =m ，∵S ∵AEF =12AE •GM +12AF •GD =12（AE +AF ）•GD =12nm ，故④错误．⑤∵BE =EG ，GF =CF ，∵AE +AF +EF =AE +AF +EG +FG =AE +AF +BE +CF =AB +AC ，即∵AEF 的周长等于AB +AC 的和，故⑤正确，故选：C ．2．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）A ．BDE BAC ∠=∠B ．BAD B =∠∠C ．DE DC =D ．AE AC =【答案】B 【详解】解：由题意可得：AD 平分∵BAC ,DE ∵AB ,在∵ACD 和∵AED 中∵AED =∵C ，∵EAD =∵CAD ,AD =AD ，∵∵ACD ∵∵AED （AAS ）∵DE =DC ,AE =AC ,即C 、D 正确；在Rt ∵BED 中，∵BDE =90°-∵B ，在Rt ∵BED 中，∵BAC =90°-∵B∵∵BDE =∵BAC ，即选项A 正确；选项B ，只有AE =EB 时，才符合题意．故选B ．3．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，D 是边AB 上的点，过点D 作DE AB ⊥交BC 于点F ，交AC 的延长线于点B ，连接CD ，DCA DAC ∠=∠，则下列结论：①CD BD =；②点D 为AB 的中点；③ADC 是等边三角形；④若30E ∠=︒，则DE EF CF =+；⑤若30E ∠=︒，则ADE ACB ≌，正确的是（ ）A ．①②⑤B ．①②④⑤C ．②③④⑤D ．①③④【答案】B 【详解】解：∵在∵ABC 中，∵ACB =90°，DE ∵AB ，∵∵ADE =∵ACB =90°，∵∵A +∵B =90°，∵ACD +∵DCB =90°， ∵∵DCA =∵DAC ，∵AD =CD ，∵DCB =∵B ；∵CD =BD ，故①正确；∵AD =CD ，∵CD =BD =AD ，即D 为AB 中点，故②正确；但不能判定∵ADC 是等边三角形；故③错误； ∵若∵E =30°，∵∵A =60°，∵∵ACD 是等边三角形，∵∵ADC =60°，∵∵ADE =∵ACB =90°，∵∵EDC =∵BCD =∵B =30°，∵CF =DF ，∵DE =EF +DF =EF +CF ．故④正确．∵若∵E =30°，则∵ACD 是等边三角形，在∵ADE 和∵ACB 中，A A AD AC ADE ACB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∵∵ADE ∵∵ACB （ASA ），故⑤正确；故选：B ． 4．如图，AD ∵BC ，∵D ＝∵ABC ，点E 是边DC 上一点，连接AE 交BC 的延长线于点H ，点F 是边AB 上一点，使得∵FBE ＝∵FEB ，作∵FEH 的角平分线EG 交BH 于点G ．若∵BEG ＝40°，则∵DEH 的度数为（ ）A ．50°B ．75°C ．100°D ．125°【答案】C 【详解】解：设∵FBE =∵FEB =α，则∵AFE =2α，∵FEH 的角平分线为EG ，设∵GEH =∵GEF =β，∵AD ∵BC ，∵∵ABC +∵BAD =180°，∵∵D =∵ABC ，∵∵D +∵BAD =180°，∵AB ∵CD ，∵∵BEG =40°，∵∵BEG =∵FEG -∵FEB =β-α=40°，∵∵AEF =180°-∵FEG -∵HEG =180°-2β，在∵AEF 中，180°-2β+2α+∵FAE =180°，∵∵FAE =2β-2α=2（β-α）=80°， ∵AB ∵CD ，∵∵CEH =∵FAE =80°，∵∵DEH =180°-∵CEH =100°．故选：C ．5．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了()(1,2,3,4,)n a b n +=的展开式的系数规律（按n 的次数由大到小的顺序）1 1 1()a b a b +=+1 2 1 222()2a b a ab b +=++1 3 3 1 +=+++33223()33a b a a b ab b1 4 6 4 1 4322344()464a b a a b a b ab b +=++++… … 请依据上述规律，写出20212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中含2019x 项的系数是（ ）A ．-2021B ．2021C ．4042D ．-4042 【答案】D 【详解】解：根据规律可以发现：20212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭第一项的系数为1，第二项的系数为2021，∵第一项为：x 2021，第二项为：20202020201922202120214042xx x x x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭故选：D二、填空题目 6．已知：∵ABC 是三边都不相等的三角形，点P 是三个内角平分线的交点，点O 是三边垂直平分线的交点，当P 、O 同时在不等边∵ABC 的内部时，那么∵BOC 和∵BPC 的数量关系是___．【答案】4360BPC ∠-︒【详解】解：BP 平分ABC ∠，CP 平分ACB ∠，12PBC ABC ∴∠=∠，12PCB ACB ∠=∠， 180()BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠180(=︒-11)22ABC ACB ∠+∠1180()2ABC ACB =︒-∠+∠1180(180)2BAC =︒-︒-∠1902BAC =︒+∠，即2180BAC BPC ∠=∠-︒； 如图，连接AO ．点O 是这个三角形三边垂直平分线的交点，OA OB OC ∴==，OAB OBA ∴∠=∠，OAC OCA ∠=∠，OBC OCB ∠=∠，1802AOB OAB ∴∠=︒-∠，1802AOC OAC ∠=︒-∠，360()BOC AOB AOC ∴∠=︒-∠+∠360(18021802)OAB OAC =︒-︒-∠+︒-∠，22OAB OAC =∠+∠2BAC =∠ 2(2180)BPC =∠-︒4360BPC =∠-︒，故答案为：4360BPC ∠-︒．7．如图，在ABC 中，A α∠=，ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠；1A BC ∠与1A CD ∠的平分线相交于点2A ，得2A ；；2019A BC ∠与2019A CD ∠的平分线相交于点2020A ，得2020A ∠，则2020A ∠=______．【答案】20202α【详解】根据题意，A α∠=，ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A ，∵11118022A ABC ACB ACD ∠=︒-∠-∠-∠ ∵ACD A ABC ∠=∠+∠，∵111802A ABC ACB A ∠=︒-∠-∠-∠ ∵180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒ ，∵112A A ∠=∠ 同理，得2121112222A A A α∠=∠=⨯∠=；323111122222A A A α∠=∠=⨯⨯∠=；43411111222222A A A α∠=∠=⨯⨯⨯∠=；… 1122n n n A A α-∠=∠=，∵202020202A α∠=，故答案为：20202α． 8．已知23,32a b ==，则1111a b +=++_______． 【答案】1． 【详解】解：∵2a +1＝2a ×2＝3×2＝6，3b +1＝3b ×3＝2×3＝6， ∵11111(2)62a a a +++==，11111(3)63b b b +++==，∵11111111666236a b a b +++++⋅==⨯=， ∵11111a b +=++．故答案为：1． 三、解答题9．如图，在Rt ABC 中，90,40ACB A ∠=︒∠=︒，ABC 的外角CBD ∠的平分线BE 交AC 的延长线于点E ． （1）补全图形；（2）求CBE ∠的度数；（3）已知F 为AC 延长线上一点，连接DF ，若25AFD ∠=︒，请判断BE 与DF 的位置关系为________．【答案】（1）见解析；（2）65︒；（3）//BE DF ，理由见解析【详解】解：（1）根据题意作图如下：（2）在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，40A ∠=︒，9050ABC A ∴∠=︒-∠=︒，130CBD ∴∠=︒． BE 是CBD ∠的平分线，1652CBE CBD ∴∠=∠=︒； （3）//BE DF ，理由如下；90ACB ∠=︒，65CBE ∠=︒，906525CEB ∴∠=︒-︒=︒．又25F ∠=︒，25F CEB ∴∠=∠=︒，//DF BE ∴．10．如图，ABC 中，过点A ，B 分别作直线AM ，BN ，且AM //BN ，过点C 作直线DE 交直线AM 于D ，交直线BN 于E ，设AD ＝a ，BE ＝b ．（1）如图1，若AC ，BC 分别平分∵DAB 和∵EBA ，求∵ACB 的度数；（2）在（1）的条件下，若a ＝1，b ＝52，求AB 的长； （3）如图2，若AC ＝AB ，且∵DEB ＝∵BAC ＝60°，求DC 的长．（用含a ，b 的式子表示）【答案】（1）90°；（2）72；（3）DC ＝b −a ． 【详解】解：（1）如图1，∵AC 平分∵MAB ，∵∵CAB ＝∵MAC ＝12∵MAB ，同理，∵CBA ＝∵NBC ＝12∵NBA ， ∵AM ∵BN ，∵∵MAB ＋∵NBA ＝180°，∵∵BAC ＋∵ABC ＝12 (∵MAB ＋NBA )＝90°，∵∵ACB ＝180°−（∵CAB ＋∵ABC ）＝180°−90°＝90°；（2）如图1，在AB 上取一点F ，使AF ＝AD ＝1，连接CF ，在∵AFC 和∵ADC 中，AF AD FAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵AFC ∵∵ADC （SAS ），∵∵ADC ＝∵AFC ，∵AM ∵BN ，∵∵ADC ＋∵BEC ＝180°，∵∵AFC ＋∵BFC ＝180°，∵∵BFC ＝∵BEC ，∵∵FBC ＝∵EBC ，BC ＝BC ，∵∵BFC ∵∵BEC （AAS ），∵EB ＝BF ＝52，∵AB ＝AF ＋BF ＝1＋52＝72； （3）如图2，在EB 上截取EH ＝EC ，连接CH ，∵AC ＝AB ，∵BAC ＝60°，∵∵ABC 为等边三角形，∵AC ＝BC ，∵ACB ＝60°，∵EC ＝EH ，∵DEB ＝60°，∵∵ECH 为等边三角形，∵∵ECH ＝∵EHC ＝60°，∵∵BHC ＝120°，∵AM ∵BN ，∵∵ADC ＋∵DEB ＝180°，∵∵ADC ＝120°，∵∵ADC ＝∵CHB ，∵DAC ＋∵DCA ＝60°，∵∵DCA ＋∵ACB ＋∵HCB ＋∵ECH ＝180°，∵∵DAC ＋∵HCB ＝60°，∵∵DAC ＝∵HCB ，∵∵DAC ∵∵HCB （AAS ），∵AD ＝CH ＝HE ，CD ＝BH ，∵AD ＋DC ＝BE ，∵DC ＝BE −AD ＝b −a ．11．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(8,0)，点B 为y 轴正半轴上的一个动点，以B 为直角顶点，AB 为直角边在第一象限作等腰Rt ABC △．（1）如图1，若OB ＝6，则点C 的坐标为__________；（2）如图2，若OB ＝8，点D 为OA 延长线上一点，以D 为直角顶点，BD 为直角边在第一象限作等腰Rt BDE △，连接AE ，求证：AE ∵AB ；（3）如图3，以B 为直角顶点，OB 为直角边在第三象限作等腰Rt OBF △．连接CF ，交y 轴于点P ，求线段BP 的长．【答案】（1）(6,14)；（2）证明见解析；（3）4．【详解】解：（1）如图1，过点C 作CH y ⊥轴于H ，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，90CHB ABC AOB ∴∠=∠=∠=︒，90BCH HBC HBC ABO ∴∠+∠=∠+∠=︒，ABO BCH ∴∠=∠，在ABO 和BCH 中，AOB BHC ABO BCH AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)ABO BCH ∴≌△△， 6CH OB ∴==，8BH AO ==，14OH OB BH ∴=+=，∴点(6,14)C ，故答案为：(6,14)；（2）过点E 作EF x ⊥轴于F ，已知等腰Rt BDE △，90BDE ∴∠=︒，BD DE =，90EFD BDE BOD ∴∠=∠=∠=︒，90BDO EDF BDO DBO ∴∠+∠=∠+∠=︒，DBO EDF ∴∠=∠，在BOD 和DFE △中，BOD DFE DBO EDF BD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)BOD DFE ∴≌△△，8BO DF ∴==，OD EF =， 点A 的坐标为(8,0)，∵在等腰Rt ABC △中，45BAO ∴∠=︒，8OA OB ==， 8OA DF ∴==，OD AF EF ∴==，45EAF AEF ∴∠=∠=︒，90BAE ∴∠=︒，AE AB ∴⊥；（3）过点C 作CG y ⊥轴G ，由（1）可知：ABO BCG ≌△△， BO GC ∴=，8AO BG ==，BF BO =，90OBF ∠=︒，在等腰Rt OBF △中，BF BO =，=90FBO ∠︒，BF GC ∴=，90CGP FBP ∠=∠=︒， 又CPG FPB ∠=∠，(AAS)CPG FPB ∴≌△△，=GP PB ∴，142BP BG ∴==．祝福语祝你考试成功!。
人教版八年级上册数学期末动点问题压轴题专题训练(含解析)
人教版八年级上册数学期末动点问题压轴题专题训练(1)当时，点C 的坐标为 ．(2)动点A 在运动的过程中，试判断发生变化，请说明理由．(3)当时，在坐标平面内是否存在一点若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(1)如图1，当点在边上时．①求证：；②求证：；(2)如图2，当点在边的延长线上时，其他条件不变，请写出2a =3a =D BC ABD ACE ≌△△BC DC CE =+D BC(1)请直接写出点A 和点B 的坐标；(2)请判断的形状并说明理由；(3)下列结论：①四边形为定值．请选择一个正确的结论并说明理由．(1)求证：；(2)求的面积；(3)点M ，N 分别是线段，上的动点，连接，求的最小值．DEF OEDF OEF DFE ∠+∠CD CE =CDE BC BD MN 12MN DN +(1)求出点的坐标.(2)求证：.(3)数学活动小组进行深入探究后发现变，你同意这个说法吗？请说明理由B OD BC =(1)如图①，请找出图中与相等的角，并说明理由；(2)如图②，交轴于点，过点作轴于点，求证：平分；(3)如图③，若，点在轴正半轴移动，且，取，连交轴OAB ∠BC x M C CD x ⊥,2D AM CD =AD BAC ∠()3,0A B y OB OA >()0,3P CP x边三角形，使其与点在直线的两侧，与直线相交于点（点与点A 不重合），连接．(1)如图，当时，①求证：；②在点A 运动的过程中，的度数是否会发生改变？如果会请说明理由，如果不会请求出的度数；(2)在点A 运动的过程中，试探究线段，，之间的数量关系．11．在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在第一象限，，．(1)如图1，求证：是等边三角形；(2)如图1，若点M 为y 轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交轴于点，求证：；(3)如图2，若，，点为的中点，连接、交于，请问、与之间有何数量关系，并证明你的结论．12．在平面直角坐标系中，点A 为y 轴正半轴上一点，点B 为x 轴上一动点，连接ABD C AB DC l E E EB 120BAC ∠<︒ABE ACE =∠∠DCB ∠DCB ∠EA EB ED A y B OB AB =150BOP ∠=︒OAB BM BMN NA x P 2AP AO =BC BO ⊥BC BO =D CO AC DB E AE BE CE，以为腰作等腰，．(1)如图1，点B 在x 轴负半轴上，点C 的坐标是，直接写出点A 和点B 的坐标；(2)如图2，点B 在x 轴负半轴上，交x 轴于点D ，若平分．且点C 的纵坐标是，求线段的长；(3)如图3，点B 在x 轴正半轴上，以为边在左侧作等边，连接，，若，且，求的面积．13．等腰直角中，，，，点、分别是轴，轴上两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点.(1)如图1，已知点的横坐标为，直接写出点的坐标；(2)如图2，若点为轴上的固定点，且，当点在轴正半轴运动时，分别以、为直角边在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，连接交轴于点，问当点在轴的正半轴上运动时，的长度是否变化？若变化请说明理由；若不变化，请求出的长度.14．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点、分别位于轴和轴AB AB Rt ABC △90BAC ∠=︒(2,2)-AC BD ABC ∠3-BD BC BC BCE EO CO 60COE ∠=︒8CO =AOC ABC 90BAC ∠=︒AB AC =ABC C ∠=∠B A x y AC x D BC y E C 2-A A x ()6,0A -B y OB AB BOD ABC CD y P B y BP BP O ()6,0B -()0,6A x y上，连接，交轴于点．(1)求点的坐标；(2)动点从出发以个单位/秒的速度沿轴向终点运动，连接，将线段绕着点逆时针旋转后得到线段，与为对应点．连接、，为的面积，用含的式子表示；(3)在（）的条件下，连接，过点作于，交轴于，交于，若，求点的坐标．15．如图①，在中，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒．(1)如图①，当的面积等于面积的一半时，求的值：(2)如图②，点在边上，点在边上，在的边上，若另外有一个动点与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，以为顶点的三角形恰好与全等，求点的运动速度．16．如图，在平面直角坐标系中，，点在轴正半轴上，．AB CA AB ⊥x C C P B 2x C AP AP A 90︒AQ P Q PQ CQ S PCQ △t S 2BQ A AH BQ ⊥G x H PQ AC M :2:1APM AQM S S = H Rt ABC △90,12cm,16cm,20cm B AB BC AC ∠=︒===P A AB BC CA →→A 2cm /s t ABP ABC t D BC 4cm CD =E AC 5cm,,3cm CE ED BC ED =⊥=ABC Q P A AC CB BA →→A ,,A P Q EDC △Q ()0,9A B x 45OAB ∠=︒(1)求出点坐标；(2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴正半轴运动，同时点从点出发，以相同速度沿轴向左运动，连接，过点作交直线于点，连接，设点的运动时间为，请用含的式子表示的面积；(3)在(2)的条件下，直线与直线交于点，当时，求点坐标．17．已知中，，过点的直线交轴于，其中是方程组的解，(1)求的值(2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动，运动时间为秒；请用含的式子表示线段的长度；并直接写出此时的取值范围；(3)在（2）的条件下，当为何值时，直线与直线互相垂直．18．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴的B P O 1y Q B x PQ O OG PQ ⊥AB G PG P t t OPG PQ AB H 72OPG S =△H AOB OA OB a ==A AM x (),0M b ,a b 3830a b a b +=⎧⎨+=⎩,a b P A AO t t OP t t BP AM AB(1)如图1求的长；(2)如图2动点E 在第二象限，点E 的坐标为，连接，，请写出面积s 与t 的关系；(3)在（2）的条件下，如图3点F 在第一象限，连接、、，，连接，当，求的值．OD (,)t m DE OE ODE FE FD FA 30ADF ∠=FE FA =EB 12,4EBO ODA ODA EFA EOB ∠=∠∠+∠=∠t m +参考答案：1．(1)(2)动点A 在运动的过程中，的值不变，(3)或或【分析】本题考查全等三角形判定及性质．（1）根据题意过点C 作轴于点，证明出，利用全等性质即可得到本题答案；（2）由（1）得，利用全等性质及点坐标表示线段长即可得到本题答案；（3）根据题意分3种情况讨论P 点位置，利用全等三角形性质及判定即可得到本题答案．【详解】（1）解：如下图，过点C 作轴于点E ，则，，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴．在和中，∴（AAS ），∵，∴，∴，∴；（2）解：动点A 在运动的过程中，的值不变．理由如下：(2,3)-+c d (4,)1-(3,2)--(2,1)-CE y ⊥E ACE BAO ≌ACE BAO ≌CE y ⊥CEA AOB ∠=∠ABC ,90AC BA BAC =∠︒＝90ACE CAE BAO CAE ∠+∠=︒=∠+∠ACE BAO ∠=∠ACE △BAO CEA AOB ACE BAOAC BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ACE BAO ≌(0,1),(0,2)B A -12BO AE AO CE ====，123OE =+=2,3C -(）+c d由（1）知，，∵，，∴，∴，∴，又∵点C 的坐标为，∴，即的值不变；（3）解：存在一点P ，使与全等，符合条件的点P 的坐标是或或，分为三种情况讨论：①如下图，过点P 作轴于点E ，则，∴，∴，在和中，，∴（AAS ），∴，∴，即点P 的坐标是，②如下图，过点C 作轴于点M ，过点P 作轴于点E ，ACE BAO ≌(0,1)B (0,)A a -1,BO AE AO CE a ====1OE a =+(,1)C a a --(,)c d 11c d a a +=--=-+c d PAB ABC (4,)1-(3,2)--(2,1)-PE x ⊥90PBA AOB PEB ∠=∠=∠=︒90,90EPB PBE PBE ABO ∠+∠=︒∠+∠=︒EPB ABO ∠=∠PEB △BOA △EPB OBA PEB BOA PB BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩PEB BOA △≌△1,3PE BO EB AO ====314OE =+=(4,)1-CM x ⊥PE x ⊥则．∵，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴（AAS ），∴．∵，∴，即点P 的坐标是；③如下图，过点P 作轴于点E ，则．∵，∴，∴，90CMB PEB ∠=∠=︒CAB PAB △≌△45,PBA CBA BC BP ∠=∠=︒=90CBP ∠=︒90,90MCB CBM CBM PBE ∠+∠=︒∠+∠=︒MCB PBE ∠=∠CMB BEP △MCB EBP CMB BEP BC PB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩CMB BEP △≌△,PE BM CM BE ==3,4),10C B -(（，）2,413PE OE BE BO ==-=-=(3,2)--PE x ⊥90BEP BOA ∠=∠=︒CAB PBA △≌△,90AB BP CAB ABP =∠=∠=︒90,90ABO PBE PBE BPE ∠+∠=︒∠+∠=︒∴．在和中，，∴（AAS ），∴，∴，即点P 的坐标是，综上所述，符合条件的点P 的坐标是或或．2．(1)①见解析；②见解析；(2)，见解析【分析】本题主要考查了等边三角形，全等三角形．（1）①根据等边三角形的性质得出，，，根据得出，从而说明三角形全等；②根据全等的性质得出，然后根据即得；（2）根据等边三角形的性质得出，，，根据得出，从而说明，根据全等的性质得出，然后根据即得．【详解】（1）证明：①∵和是等边三角形，∴，，．∴，∴．在和中，，∴；②∵，ABO BPE ∠=∠BOA △PEB △ABO BPE BOA PEB BA PB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩BOA PEB △≌△1,3PE BO BE OA ====312OE BE BO =-=-=(2,1)-(4,)1-(3,2)--(2,1)-BC CD CE +=AB AC =AD AE =60BAC DAE ∠=∠=︒BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠BAD EAC ∠=∠BD CE =BC BD CD =+AB AC =AD AE =60BAC DAE ∠=∠=︒BAC DAC DAE DAC ∠+∠=∠+∠BAD EAC ∠=∠ABD ACE ≌△△BD CE =+=BC CD BD ABC ADE V 60BAC DAE ∠=∠=︒AB BC AC ==AD DE AE ==BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠BAD CAE ∠=∠ABD △ACE △AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS ABD ACE △≌△ABD ACE ≌△△∵，，∴，∴是等腰直角三角形，即∵点D 是线段中点，∴，，(0,6)A (6,0)B 6O A O B ==AOB ∠AB OD AB ⊥12OD AD AB ==∠∵，，∴在中，∵在（1）中已求出根据翻折可知：、∴N 点关于的对称点H 在根据对称性有：∴，∴是等边三角形，∵N 点关于的对称点是点H ，3BD =30CBD ∠=︒DG Rt BDG △12DG BD =CE CD =11BDC BKC △BE BK DBC KBC ∠=∠60BDK DBC KBC ∠=∠+∠=︒BDK BE NH如图，，即：，在中，PNC DNC∠=∠24PNC αβ∠==2αβ=MCN DCM DCN x β∠=∠+∠=+MCN △180MCN DCN NMC ∠+∠+∠=2180x βαα+++=︒3180x βα++=︒解得：，．II．当点在线段上时，如图，，，即：，在中，，，即：联立得：，解得：，此时：，不合题意舍去；III ．当点在线段上时，如图，，52550x βα=︒⎧⎪=︒⎨⎪=︒⎩∴5DCM ∠=︒N PD 180PNC DNC ∠+∠=︒∴24180αβ+=︒290αβ+=︒∴MCN DCM DCN x β∠=∠+∠=+ CMN PCN MCN CMN x βα∠=∠+∠=++∴4180PCN NDC x βαβ∠+∠=+++=︒5180x βα++=︒2602905180x x ααββα+=︒⎧⎪+=︒⎨⎪++=︒⎩11.2526.2537.5x βα=︒⎧⎪=︒⎨⎪=︒⎩11.2526.5PCN DCN ∠=︒<∠=︒N DM PNC DNC ∠=∠【详解】（1）解：过点B 作轴于点D ，∵，∴，∵轴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵轴，∴，∴，∴，在和中，BD y ⊥()()6,0,0,3A C -6,3OA OC ==BD y ⊥90BCD CBD ∠+∠=︒90ACB ∠=︒90BCD ACO ∠+∠=︒ACO CBD ∠=∠ACO △CBD △90AOC CDB ACO CBDAC BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩≌ACO CBD 6,3OA CD OC BD ====()0,3C ()3,3B -90ACB ∠=︒90BCF ∠=︒90CBF F ∠+∠=︒BE y ∥90AEF ∠=︒90CAD F ∠+∠=︒CAD CBF ∠=∠CAD CBF V∴，∴，∵，∴∴．【点睛】本题主要考查了三角形综合，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应边相等，对应角相等；折叠前后对应角相等；角平分线上的点到两边距离相等．7．(1)(2)见解析(3)的度数总是保持不变，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，坐标与图形；（1）根据等腰三角形的性质解答即可；（2）根据等式的性质得出，进而利用证明与全等，进而解答即可；（3）根据全等三角形的性质得出，进而利用平角的定义解答即可．【详解】（1）解：如图所示，过作轴于，()Rt Rt HL EFO EFN ≌FN FO =(),0F t FO t=-2FG HG t +=-()2,0-COD ∠BAC OAD ∠=∠SAS BAC OAD AOD ABO ∠=∠A AE x ⊥E），点C 是的中点，，D 作轴于点F ，，，4=AB 114222AB ==⨯=DF x ⊥90DFO =︒90FDO DOF +∠=︒），的坐标为，关于x 轴的对称点，则的坐标为，交x 轴于点，则为定值，此时的周长最小．作轴于点Q ，114222AB '==⨯=M '()0,2M '''M ''M AM ''P PAM C AM AP ''=+ AM 'PAM '△()4,4A -AQ y ⊥对于（3），作轴，先证明，可得，再得出，进而得出，根据等腰直角三角形的性质和判定即可得出答案．【详解】（1）．理由：，；（2）证明：如图②中，延长交的延长线于点．．∵，，，．，即．垂直平分，平分．（3）的长度不变，．理由：如图③中，过点作轴于点．．．CH y ⊥≌CHB BOA △△,3===CH BO BH OA 3==OA OP ==OB PH CH OAB OBC ∠=∠90,90OAB OBA OBC OBA ∠+∠=∠+∠=︒︒ OAB OBC ∴∠=∠AB CD T ,90,90,AD CD ADT T BAM BCT BAM ⊥∴∠=∴∠+∠=∴∠=∠︒︒ BC BA ===90CB T A B M ∠∠︒()CBT ABM ASA ∴≌△△CT AM ∴=2,2AM CD CT CD =∴= CD DT =,AD CT AD ⊥∴ CT ,AC AT AD ∴=∴BAC ∠OQ 3OQ =C CH y ⊥H 90,90CHB BOA HBC HCB ∴∠=∠=∴∠+∠=︒︒90,90,ABC OBA HBC HCB OBA ∠=∴∠+∠=︒︒∴∠=∠．．，．．，．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，同角的余角相等，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质和判定等，构造辅助线是解题的关键．10．(1)①见解析；②不变，(2)或【分析】（1）①根据垂直平分线的性质得出，再由等边对等角及各角之间的数量关系求解即可；②设与交于点M ，根据等边三角形的性质及各角之间的关系得出，即可求解；（2）分两种情况进行分析：当时，当时，分别利用全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质分析求解即可．【详解】（1）证明：①点A 、E 在线段的垂直平分线l 上，∴，∴，∴，即；②在点A 运动的过程中，的度数不变，理由如下：如图，设与交于点M ，(),CB AB CHB BOA AAS =∴ ≌△△,3∴===CH BO BH OA ()()3,0,0,3,3A P OA OP ∴== ,BH OP OB PH CH ∴=∴==90,45CHP CPH OPQ ∠=∴∠=∠=︒︒ 90,45∠=∴∠=︒=︒∠ POQ OQP OPQ 3OQ OP ∴==30DCB ∠=︒ED EB EA =+EB ED EA=+AC AB EC EB ==，AB CD 260ECB ∠=︒120BAC ∠<︒120BAC ∠>︒BC ,AC AB EC EB ==,ABC ACB EBC ECB ∠∠∠∠==ABC EBC ACB EBC ∠∠∠∠-=-ABE ACE ∠∠=DCB ∠AB CD∵是等边三角形，∴ ，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即；（2）当时，在上截取，连接，∵，∴，由(1)得直线，，∴，∴是等边三角形，∴ ，∴，即，ABD ,60AB AD BAD ∠==︒AD AC =ADC ACE ∠∠=,ABE ADC EBC ECB ∠∠∠∠==,180,180AMD EMB BED ABE EMB BAD ADC AMD ∠∠∠∠∠∠∠∠==︒--=︒--60BED BAD ∠∠==︒,EBC ECB BED EBC ECB ∠∠∠∠∠+==260ECB ∠=︒30DCB ∠=︒120BAC ∠<︒ED EF EA =AF ED DF EF =+ED DF EA =+l BC ⊥30DCB ∠=︒903060AED ∠=︒-︒=︒AEF 60,EAF BAD AE AF ∠∠==︒=–EAF BAF BAD BAF ∠∠∠∠=-BAE DAF ∠∠=∴，∴，∵，∴；当时，如图所示在上截取，连接，∵，∴，由(1)得直线，，，∴，∴F 是等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴；综上可得：或．【点睛】题目主要考查线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等，理解题意，作出相应辅助线是解题关键，同时注意进行分类讨论．11．(1)见解析(2)见解析(3)，证明见解析【分析】（1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得结论；(SAS)BAE DAF ≌ EB DF =ED DF EA =+ED EB EA =+120BAC ∠>︒EB EF EA =AF EB BF EF =+EB BF EA =+l BC ⊥30DCB ∠=︒BE BC =903060AEB AEC ∠∠==︒-︒=︒AE 60,EAF BAD AE AF ∠∠==︒=–EAF DAF BAD DAF ∠∠∠∠-=EAD BAF ∠∠=(SAS)BAF DAE ≌ BF ED =EB BF EA =+EB ED EA =+ED EB EA =+EB ED EA =+AE BE CE =+60︒（2）根据证明，得，由8字形可得，最后由含角的直角三角形的性质可得结论；（3）如图2，在上截取，先证，方法是根据题意得到三角形为等边三角形，三角形为等腰直角三角形，确定出度数，根据，且，得到度数，进而确定出为，再由，得到，再由，且夹角，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到，得到三角形为等边三角形，得到，由，等量代换即可得证．【详解】（1）解：证明：，，，，是等边三角形；（2）证明：由（1）知：是等边三角形，，是等边三角形，，，，，，，，，，，，SAS MBO NBA ≌OMB ANB ∠∠=60FAM FBN ∠∠==︒30︒AC AG CE =60AEB ∠=︒ABO BOC ABD ∠AB BC =150ABC ∠=︒BAE ∠AEB ∠60︒AG CE =AE CG =AB CB =BAC BCA ∠=∠SAS BCG BAE BG BE =BEG BE EG =AE EG AG =+150BOP ∠=︒ 90AOP ︒=∠60AOB ∴∠=︒OB AB = OAB ∴ OAB 60ABO ∴∠=︒BMN BM BN ∴=60MBN ∠=︒MBO NBA ∴∠=∠AB OB = (SAS)MBO NBA ∴△≌△OMB ANB ∴∠=∠AFM BFN ∠=∠ 60FAM FBN ∴∠=∠=︒60OAP FAM ∠=∠=︒ 90AOP ︒=∠30APO ∴∠=︒；（3），理由如下：如图2，在上截取，连接，，即，，，，为的中点，平分，即，，，，，，，在和中，，，，为等边三角形，，．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，以及含角的直角三角形的性质，添加辅助线．12．(1)，2AP AO ∴=AE BE CE =+AC AG EC =BG AG EG CE EG +=+AE CG =BC BO ⊥ BC BO =90OBC ∴∠=︒D CO BD ∴OBC ∠45CBD OBD ∠=∠=︒60ABO ∠=︒ 105ABD ∴∠=︒150ABC ∠=︒AB OB BC == 15BAC BCA ∴∠=∠=︒154560AEB ∴∠=︒+︒=︒ABE CBG AB CB BAE BCG AE CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)ABE CBG ∴△≌△BG BE ∴=BEG ∴△BE EG ∴=AE AG EG CE BE ∴=+=+30︒()02A ，()40B -，∴，∵∴，∵，∴，，90ADC BOA ∠=︒=∠90CAD BAO ABO ∠+∠=︒=∠CAD ABO ∠=∠(2,2)C -2CD =2OD =∴，，∴，；（2）解：如图2，作轴，交轴于，交的延长线于，∴，∵平分，∴，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴的长为6；（3）解：∵为等边三角形，∴，，如图3，在上截取，使，连接，2AO CD ==4BO AD AO OD ==+=()02A ，()40B -，CM x ⊥x N BA M 90BNM BNC ∠=︒=∠BD ABC ∠MBN CBN ∠=∠BN BN =90BNM BNC ∠=︒=∠()ASA MBN CBN ≌3MN CN ==∥CM AO ACM CAO ∠=∠90CAO BAO ABD BAO ∠+∠=︒=∠+∠CAO ABD ∠=∠ACM ABD ∠=∠AC AB =90MAC DAB ∠=︒=∠()ASA ACM ABD ≌6BD CM CN MN ==+=BD BCE BE CE =60BEC EBC ECB ∠=∠=∠=︒OC OF OF OE =EF∴是等边三角形，∴，∴∵，∴，∴，OEF OE EF =60OEF ∠=︒=∠OEF BEF BEC ∠-∠=∠-∠OE EF =BEO CEF ∠=∠()SAS BEO CEF ≌OBE FCE ∠=∠13．(1)(2)【分析】（1）如图①,过作 轴于, 证明可得从而可得答案；（2）如图①,过点作 轴于点.证明 ,可得 ,再证明,从而可得: .【详解】（1）解: 如图①,过作 轴于，∴,∵,∴,∴,∵,∴.∴,，∴，∴，故答案为 : .（2）的长度不变,理由如下:如图②, 过点作 轴于点.()0,23BP =C CF y ⊥F ,ACF BAO ≌CF AO =C CE y ⊥E CBE BAO ≌,6CE BO BE AO ===CPE DPB ≌3BP EP ==C CF y ⊥F 90,90CFA AOB ACF CAF ∠=∠=︒∠+∠=︒90BAC ∠=︒90CAF OAB ∠+∠=︒ACF OAB ∠=∠AC AB =()AAS ACF BAO ≌CF AO =2c x =- 2CF AO ==()0,2A ()0,2BP C CE y ⊥E∵ ,∴∵∴ .∵90ABC ∠=︒90CBE ABO ∠+∠=︒90BAO ABO ∠+∠=︒CBE BAO ∠=∠90CEB AOB ∠=∠=∵，∴，在和中，90BAC PAQ ∠=∠=︒BAP CAQ ∠=∠BAP △CAQ AB AQ =⎧∴四边形为正方形，∴，过作于点，∵AOCN 6OA CN OC ===T TL CN ⊥L AH BQ⊥AOH TLQ ≌∴，解得；②当点在上，点∴，解得；3AP DE cm AQ EC ===，352x =103x =cm/s P AB 5AP EC cm AQ ==，532x =65x =cm/s∴点P 的路程为∴点P 的路程为3AP ED AQ EC ===，AB +1216205AQ =++-=4543x =5AP EC cm AQ ==，AB +1216203AQ =++-=4345x =从出发，以每小时从出发，以相同速度沿，①当在线段上时，P O Q B OQ ∴=AP =t P AO，等腰，，设，，为的一个外角，RO PO ∴=∴POR 45R BAO ∴∠=∠=︒QPO α∠=45RPQ α∴∠=︒-QON BOG α∠==∠ABO ∠ OBG，，，，90HTA ∴∠=︒45HAT OAB ∠=∠=︒45HAT AHT ∴∠=∠=︒HT AT ∴=由（1）知，，则，∵直线与直线互相垂直，∴，()1.0M -1OM =BP AM 90MNB ∠=︒。
浙教版八年级(下)数学期末特殊平行四边形压轴题专项汇编(3)(含详解)
浙教版八年级（下）数学期末特殊平行四边形压轴题专项汇编（3）（含详解）1．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形ABCD的外角∠DCG的平分线CF于点F．（1）如图2，取AB的中点H，连接HE，求证：AE＝EF．（2）如图3，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变结论“AE＝EF”仍然成立吗？如果正确，写出证明过程：如果不正确，请说明理由．2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．3．定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．（1）如图1，正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF 是准矩形；（2）如图2，准矩形ABCD中，M、N分别AD、BC边上的中点，若AC=2MN，求AB2、BC2、CD2、AD2之间的关系．4．如图，以△ABC的各边为边长，在边BC的同侧分别作正方形ABDI，正方形BCFE，正方形ACHG，连接AD，DE，EG．（1）求证：△BDE≌△BAC；（2）①设∠BAC＝α，请用含α的代数式表示∠EDA，∠DAG；②求证：四边形ADEG是平行四边形；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？请说明理由．5．已知：如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点G是射线AB上的一个动点，以DG为边向右作正方形DGEF，作EH⊥AB于点H．（1）若点G在点B的右边．试探索：EH﹣BG的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由．（2）连接EB，在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，求∠EBH的度数．6．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．7．已知：在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD 的边AB、BC、DA上．（1）如图1，四边形EFGH 为正方形，AE ＝2，求GC 的长．（2）如图2，四边形EFGH 为菱形，设BF ＝x ，△GFC 的面积为S ，且S 与x 满足函数关系S ＝621x ．在自变量x 的取值范围内，是否存在x ，使菱形EFGH 的面积最大？若存在，求x 的值，若不存在，请说明理由．8．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，∠CAB 的平分线分别交BD 、BC 于E 、F ，作BH ⊥AF 于点H ，分别交AC 、CD 于点G 、P ，连接GE 、GF ． （1）求证：△OAE ≌△OBG ．（2）试问：四边形BFGE 是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由．9．已知，如图，O 为正方形对角线的交点，BE 平分∠DBC ，交DC 于点E ，延长BC 到点F ，使CF ＝CE ，连接DF ，交BE 的延长线于点G ，连接OG ． （1）求证：△BCE ≌△DCF ．（2）判断OG与BF有什么关系，证明你的结论．（3）若DF2＝8﹣42，求正方形ABCD的面积？10．如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，（1）如图1，连接AG、CE，试判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明；（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），如图2，连接AG、CE相交于点M，连接MB，当角β发生变化时，∠EMB的度数是否发生变化？若不变化，求出∠EMB的度数；若发生变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，过A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，请求出线段CM与BN的数量关系．参考答案与解析1．（1）证明：取AB的中点H，连接EH；如图1所示∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EF；∴∠1+∠AEB ＝90°，∠2+∠AEB ＝90° ∴∠1＝∠2，∵BH ＝BE ，∠BHE ＝45°，且∠FCG ＝45°， ∴∠AHE ＝∠ECF ＝135°，AH ＝CE ， 在△AHE 和△ECF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠ECF AHE CEAH 21， ∴△AHE ≌△ECF （ASA ）， ∴AE ＝EF ；（2）解：AE ＝EF 成立，理由如下：如图2，延长BA 到M ，使AM ＝CE ， ∵∠AEF ＝90°， ∴∠FEG +∠AEB ＝90°． ∵∠BAE +∠AEB ＝90°， ∴∠BAE ＝∠FEG ， ∴∠MAE ＝∠CEF ． ∵AB ＝BC ， ∴AB +AM ＝BC +CE ， 即BM ＝BE ． ∴∠M ＝45°， ∴∠M ＝∠FCE ． 在△AME 与△ECF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠ECF M CEAM CEF MAE ， ∴△AME ≌△ECF （ASA ）， ∴AE ＝EF ．2．（1）证明：能．理由如下：在△DFC 中，∠DFC ＝90°，∠C ＝30°，DC ＝4t ， ∴DF ＝2t ， 又∵AE ＝2t ， ∴AE ＝DF ，∵AB ⊥BC ，DF ⊥BC ， ∴AE ∥DF ， 又∵AE ＝DF ，∴四边形AEFD 为平行四边形， 当AE ＝AD 时，四边形AEFD 为菱形，即60﹣4t ＝2t ，解得t ＝10．∴当t ＝10秒时，四边形AEFD 为菱形．（2）①当∠DEF ＝90°时，由（1）知四边形AEFD 为平行四边形， ∴EF ∥AD ，∴∠ADE ＝∠DEF ＝90°， ∵∠A ＝60°， ∴∠AED ＝30°， ∴AD=21AE ＝t ， 又AD ＝60﹣4t ，即60﹣4t ＝t ，解得t ＝12；②当∠EDF ＝90°时，四边形EBFD 为矩形，在Rt △AED 中∠A ＝60°，则∠ADE ＝30°， ∴AD ＝2AE ，即60﹣4t ＝4t ，解得t=215． ③若∠EFD ＝90°，则E 与B 重合，D 与A 重合，此种情况不存在． 综上所述，当t=215或12秒时，△DEF 为直角三角形．3．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ∠A ＝∠ABC ＝90°， ∴∠EAF +∠EBC ＝90°， ∵BE ⊥CF ，∴∠EBC +∠BCF ＝90°， ∴∠EBF ＝∠BCF ， ∴△ABE ≌△BCF ， ∴BE ＝CF ，∴四边形BCEF 是准矩形；（2）解：连接AN 、DN ，过点C 作CE ∥BD ，过点B 作BE ∥DC ， 则四边形BECD 为平行四边形，连接DE ，则D 、N 、E 三点共线，过点B 作BF ⊥CE 于F ，过点D 作DG ⊥EC 交EC 延长线于点G ，如图2所示： ∵四边形BECD 为平行四边形， ∴BE ＝DC ，BE ∥DC ，ED ＝2DN ， ∴∠BEF ＝∠DCG ， 在△BEF 和△DCG 中，⎪⎩=DC BE ∴△BEF ≌△DCG （AAS ）， ∴BF ＝DG ，EF ＝CG ，在Rt △BFC 中，BC 2＝BF 2+FC 2＝BF 2+（EC ﹣EF ）2，在Rt △DEG 中，DE 2＝DG 2+EG 2＝DG 2+（EC +CG ）2＝BF 2+（EC +EF ）2， ∴BC 2+DE 2＝2BF 2+2EC 2+2EF 2＝2（BF 2+EF 2）+2EC 2＝2BE 2+2EC 2＝2BD 2+2CD 2， ∴BC 2+4DN 2＝2BD 2+2CD 2，∴DN 2=41（2BD 2+2CD 2﹣BC 2） 同理：AN 2=41（2AB 2+2AC 2﹣BC 2），MN 2=41(2AN 2+2DN 2﹣AD 2)=41(BD 2+CD 221-BC 2+AB 2+AC 221-BC 2﹣AD 2)=41（AC 2+CD 221-BC 2+AB 2+AC 221-BC 2﹣AD 2）21=AC 2+41（AB 2+CD 2﹣BC 2﹣AD 2），∵AC 2=MN ，∴MN 221=AC 2， ∴MN 2＝MN 2+41（AB 2+CD 2﹣BC 2﹣AD 2），即：41（AB 2+CD 2﹣BC 2﹣AD 2）＝0，∴AB 2+CD 2＝BC 2+AD 2．4．（1）证明：∵四边形ABDI 、四边形BCFE 、四边形ACHG 都是正方形， ∴AC ＝AG ，AB ＝BD ，BC ＝BE ，∠GAC ＝∠EBC ＝∠DBA ＝90°． ∴∠ABC ＝∠EBD （同为∠EBA 的余角）． 在△BDE 和△BAC 中，⎪BE⎩=BC∴△BDE≌△BAC（SAS），（2）①解：∵△BDE≌△BAC，∠ADB＝45°，∴∠EDA＝α﹣45°，∵∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣α＝225°﹣α，②证明：∵△BDE≌△BAC，∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．（3）解：结论：当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．理由：由①知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．∵四边形ABDI是正方形，=AB．∴AD2又∵四边形ACHG是正方形，∴AC＝AG，=AB．∴AC2=AB时，四边形ADEG是正方形．∴当∠BAC＝135°且AC25．解：（1）EH﹣BG的值是定值，∵EH⊥AB，∴∠GHE＝90°，∴∠GEH+∠EGH＝90°，又∠AGD+∠EGH＝90°，∴∠GEH＝∠AGD，∵四边形ABCD与四边形DGEF都是正方形，∴∠DAG＝90°，DG＝GE，∴∠DAG＝∠GHE，在△DAG和△GHE中，⎪DG⎩=GE∴△DAG≌△GHE（AAS）；∴AG＝EH，又AG＝AB+BG，AB＝4，∴EH＝AB+BG，∴EH﹣BG＝AB＝4；（2）（I）当点G在点B的左侧时，如图1，同（1）可证得：△DAG≌△GHE，∴GH＝DA＝AB，EH＝AG，∴BH＝AG＝EH，又∠GHE＝90°，∴△BHE是等腰直角三角形，∴∠EBH＝45°；（II）如图2，当点G在点B的右侧时，由△DAG≌△GHE．∴GH＝DA＝AB，EH＝AG，∴AG＝BH，又EH＝AG，∴EH＝HB，又∠GHE＝90°，∴△BHE是等腰直角三角形，∴∠EBH＝45°；（III）当点G与点B重合时，如图3，同理△DAG≌△GHE，∴GH＝DA＝AB，EH＝AG＝AB，∴△GHE（即△BHE）是等腰直角三角形，∴∠EBH＝45°综上，在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，∠EBH都等于45°．6．解：（1）∵MN∥BC，∴∠3＝∠2，又∵CF平分∠GCO，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴FO＝CO，同理：EO＝CO，∴EO＝FO．（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，∴四边形AECF 是平行四边形，由（1）可知，FO ＝CO ，∴AO ＝CO ＝EO ＝FO ，∴AO +CO ＝EO +FO ，即AC ＝EF ，∴四边形AECF 是矩形．（3）当点O 运动到AC 的中点时，且△ABC 满足∠ACB 为直角的直角三角形时，四边形AECF 是正方形．∵由（2）知，当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形，∵MN ∥BC ，∴∠AOE ＝∠ACB∵∠ACB ＝90°，∴∠AOE ＝90°，∴AC ⊥EF ，∴四边形AECF 是正方形．7．解：（1）如图1，过点G 作GM ⊥BC ，垂足为M ．由矩形ABCD 可知：∠A ＝∠B ＝90°，由正方形EFGH 可知：∠HEF ＝90°，EH ＝EF ，∴∠1+∠2＝90°，又∠1+∠3＝90°，∴∠3＝∠2，∴△AEH ≌△BFE ．∴BF ＝AE ＝2，同理可证：△MGF ≌△BFE ，∴GM ＝BF ＝2，FM ＝BE ＝8﹣2＝6，∴CM ＝BC ﹣BF ﹣FM ＝12﹣2﹣6＝4，在Rt △CMG 中，由勾股定理得：CG=524222=+；（2）如图2，过点G 作GM ⊥BC ，垂足为M ，连接HF ，由矩形ABCD 得：AD ∥BC ，∴∠AHF ＝∠HFM ，由菱形EFGH 得：EH ∥FG ，EH ＝FG ，∴∠EHF ＝∠HFM ，∴∠AHE ＝∠GFM ，又∠A ＝∠M ＝90°，EH ＝FG ，∴△MGF ≌△AEH ，∴GM ＝AE ，又 BF ＝x ，∴S △GFC 21=FC•GM 21=（12﹣x ）•GM ＝621-x ， ∴GM ＝1，∴AE ＝GM ＝1，BE ＝8﹣1＝7，∵H 在边AD 上，∴菱形边长EH 的最大值14511222=+=，即EH ＝EF 145=， 此时BF ＝x ()6496181452==--=， ∴0≤x ≤64，∵EH ＝EF ，由勾股定理得：AH 2222248171x x EH +=-+=-=，∴S 菱形EFGH ＝BM •AB ﹣2⨯⨯217x ﹣2248121x +⨯⨯⨯=8（x +FM ）﹣7x ﹣FM ＝x +7248x +， ∴当x 最大时，菱形EFGH 的面积最大，即当x ＝64时，菱形EFGH 的面积最大．8．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴OA ＝OB ，∠AOE ＝∠BOG ＝90°．∵BH ⊥AF ，∴∠AHG ＝∠AHB ＝90°，∴∠GAH +∠AGH ＝90°＝∠OBG +∠AGH ，∴∠GAH ＝∠OBG ，即∠OAE ＝∠OBG ．在△OAE 与△OBG 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠BOG AOE OBOA OBG OAE ， ∴△OAE ≌△OBG （ASA ）；（2）解：四边形BFGE 为菱形；理由如下：在△AHG 与△AHB 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠AHB AHG AHAH BAH GAH ， ∴△AHG ≌△AHB （ASA ），∴GH ＝BH ，∴AF 是线段BG 的垂直平分线，∴EG ＝EB ，FG ＝FB ．∵∠BEF ＝∠BAE +∠ABE ＝67.5°，∠BFE ＝90°﹣∠BAF ＝67.5°， ∴∠BEF ＝∠BFE ，∴EB ＝FB ，∴EG ＝EB ＝FB ＝FG ，∴四边形BFGE 是菱形；9．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝DC ，∠BCE ＝∠DCF ＝90°，在△BCE 和△DCF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CF CE DCF BCE DC BC ，∴△BCE ≌△DCF （SAS ）；（2）OG ∥BF 且OG=21BF ， 理由：如图，∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠CDB ＝∠CBD ＝45°，∵BE 平分∠DBC ，∴∠2＝∠3=21∠CBD ＝22.5°， 由（1）知，△BCE ≌△DCF ，∴∠CDF ＝∠3＝22.5°，∴∠BDF ＝∠CDB +∠CDF ＝67.5°，∴∠F ＝180°﹣∠CBD ﹣∠BDF ＝67.5°＝∠BDF ，∴BD ＝BF ，而BE 是∠CBD 的平分线，∴DG ＝GF ，∵O 为正方形ABCD 的中心，∴DO ＝OB ，∴OG 是△DBF 的中位线，∴OG ∥BF 且OG=21BF ； （3）设BC ＝x ，则DC ＝x ，BD=2x ，由（2）知△BGD ≌△BGF ， ∴BF ＝BD ，∴CF ＝（2-1）x ，∵DF 2＝DC 2+CF 2，∴x 2+[（2-1）x ]2＝8﹣42，解得x 2＝2，∴正方形ABCD 的面积是2．10．解：（1）AG ＝EC ，AG ⊥EC ，理由为：∵正方形BEFG ，正方形ABCD ，∴GB ＝BE ，∠ABG ＝90°，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，在△ABG 和△BEC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BC BA EBC ABC BE BG ，∴△ABG ≌△BEC （SAS ），∴CE ＝AG ，∠BCE ＝∠BAG ，延长CE 交AG 于点M ，∴∠BEC ＝∠AEM ，∴∠ABC ＝∠AME ＝90°，∴AG ＝EC ，AG ⊥EC ；（2）∠EMB 的度数不发生变化，∠EMB 的度数为45°理由为： 过B 作BP ⊥EC ，BH ⊥AM ，在△ABG 和△CEB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=EB BG EBC ABG BC AB ，∴△ABG ≌△CEB （SAS ），∴S △ABG ＝S △EBC ，AG ＝EC ，∴21EC •BP=21AG •BH ， ∴BP ＝BH ，∴MB 为∠EMG 的平分线，∵∠AMC ＝∠ABC ＝90°，∴∠EMB=21∠EMG=21×90°＝45°；（3）CM=2BN ，理由为：在NA 上截取NQ ＝NB ，连接BQ ， ∴△BNQ 为等腰直角三角形，即BQ=2BN ，∵∠AMN ＝45°，∠N ＝90°，∴△AMN 为等腰直角三角形，即AN ＝MN ，∴MN ﹣BN ＝AN ﹣NQ ，即AQ ＝BM ，∵∠MBC +∠ABN ＝90°，∠BAN +∠ABN ＝90°，∴∠MBC ＝∠BAN ，在△ABQ 和△BCM 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BCAB MBC BAN BMAQ ，∴△ABQ ≌△BCM （SAS ），∴CM ＝BQ ，则CM=2BN ．故答案为：CM=2BN。
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八年级数学期末压轴题汇编一、选择题 1 、如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含3 0 ° 内角的菱形 E F G H （不重叠无缝隙） ．若①②③④四 2 个平行四边形面积的和为1 4 c m ，四边形 A B C D 面积 2 是1 1 c m ，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（ A ．4 8 c B ．3 6 c C ．2 4 c D ．1 8 c m m m m）2 、在直线 l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1 ，2 ， 3 ， 正放置的四个正方形的面积依次是 S 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， S 1 + S 2 + S 3 + S 4 =（ S S S 则 ）A ．4B ．5C ．6D ．73 、如图：边长为1 2 的大正方形中有两个小正方形，若两个 小正方形的面积分别为 S 1 、S 2 ，则 S 1 + S 2 的值为（ ） A ．6 0 B ．6 4 C ．6 8 D ．7 24、如图，在正方形 ABCD 中，AB=1，E，F 分别是边 BC， CD 上的点，连接 EF、AE、AF，过 A 作 AH⊥ 于点 H． EF 若 EF=BE+DF，那么下列结论：① 平分∠ AE BEF； ② FH=FD；③ EAF=45° S△EAF=S△ABE+S△ADF；⑤ CEF ∠ ；④ △ 的周长为 2．其中正确结论的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．55 、如图，矩形 A B C D 中，A B = 1 ，A D = 2 ，M 是 C D 的中点， 点 P 在矩形的边上沿 A ⇒ B ⇒ C ⇒ M 运动，则△A P M 的面积 y 与点 P 经过的路程 x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）1A．C．D．B ．二、填空题 1、如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥ BC，BC=4AD=4 2 ， ∠ B=45 度．直角三角板含 45° 角的顶点 E 在边 BC 上移动， 一直角边始终经过点 A，斜边与 CD 交于点 F．若△ABE 为等腰三角形，则 CF 的长等于 ． 2、如图，正方形边长为 6，一个直角三角形的直角顶点 在点 A，两直角边分别与 CD 交于点 F，与 CD 延长线交 于点 E，则四边形 AECF 的面积为 ．三、解答题 1、如图所示，四边形 ABCD 是正方形，M 是 AB 延长线上一点，直角三角尺的一条直角边 经过点 D，且直角顶点 E 在 AB 边上滑动（点 E 不与点 A，B 重合） ，另一直角边与∠ CBM 的平分线 BF 相交于点 F． （1）如图 1 所示，当点 E 在 AB 边的中点位置时： ① 通过测量 DE，EF 的长度，猜想 DE 与 EF 满足的数量关系是 ； ② 连接点 E 与 AD 边的中点 N，猜想 NE 与 BF 满足的数量关系是 ； ③ 请证明你的上述两个猜想； （2）如图 2 所示，当点 E 在 AB 边上的任意位置 时，请你在 AD 边上找到一点 N，使得 NE=BF， 进而猜想此时 DE 与 EF 有怎样的数 量关系．22、如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直角梯形 OABC 的边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴上，OC=4， OAB 45 ，且直角梯形 OABC 的面积为 16。
0（1）求点 B 的坐标； （2）点 P 从 O 出发，以 2 个单位/秒的速度沿 x 轴正半轴匀速运动；点 Q 从点 A 同时出发， 以 2 个单位/秒的速度沿线段 AB 向终点 B 匀速运动．当点 Q 到达终点时，点 P 也停止运 动．过点 Q 作 QH⊥ 轴于点 H，连接 PQ，设点 P 运动的时间为 t 秒，△PQH 的面积为 S， x 求 S 与 t 的函数关系式，并直接写出自变量 t 的取值范围； （3）在（2）的条件下，点 M 为 y 轴上一点，点 N 为射线 AB 上一点，在点 P、Q 运动过 程中，若四边形 MPQN 为菱形，求 t 的值．3 、 如图， 四边形 ABCD 是正方形， G 是直线 BC 上的任意一点， 点 DE⊥ 于点 E， AG BF∥ DE， 交 AG 于 F． （1）当点 G 在线段 BC 上时，如图 1，求证：DE-BF=EF； （2）当点 G 在线段 CB 的延长线上时，如图 2，线段 DE、BF、EF 之间的数量关系是 ； （3）（2） 在 的条件下， 连接 AC， F 作 FP∥GC， AC 于点 P， ADE 30 , GB 过 交 若04 3, 3求 DP 的长．34、已知，如图，正方形 ABCD 的边长为6，菱形 EFGH 的三个顶点 E、G、H 分别在正方 形 ABCD 的边 AB、CD、DA 上，AH=2，连接 CF． （1）当 DG=2时，求证：∠ EHG=90° ； （2）求证：∠ AEH=∠ CGF； （3）设 DG=x，用含 x 的代数式表示△FCG 的面积．5、如图 1，将三角板放在正方形 ABCD 上，使三角板的直角顶点 E 与正方形 ABCD 的顶点 A 重合，三角板的一边交 CD 于点 F，另一边交 CB 的延长线于点 G． （1）求证：EF=EG； （2） 如图 2， 移动三角板， 使顶点 E 始终在正方形 ABCD 的对角线 AC 上， 其他条件不变．1） （ 中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．6、如 图 （ 1） △ABC 与 △EFD 为 等 腰 直 角 三 角 形， AC 与 DE 重 合 ，AB=EF=10 ， ， ∠ BAC=∠ DEF=90° ，固定△ABC，将△EFD 绕点 A 顺时针旋转，当 DF 边与 AB 边重合时， 旋转中止，不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设 DE、DF（或它们的延长线）分别交 BC（或它的延长线）于 G、H 点，如图（2） ，则始终有△AGC∽ HGA∽ HAB．设 CG=x， △ △ BH=y． （1）求 y 关于 x 的关系表达式（只要求根据图（2）的情况说明理由） ；4（2）问：当 x 为何值时，△AGH 是等腰三角形？请写出你的推理过程．7、已知：△ABC 是一张等腰直角三角形纸板，∠ B=90° ，AB=BC=1． （1）要在这张纸板上剪出一个正方形，使这个正方形的四个顶点都在△ABC 的边上．小林 设计出了一种剪法， 如图 1 所示． 请你再设计出一种不同于图 1 的剪法， 并在图 2 中画出来． （2）若按照小林设计的图 1 所示的剪法来进行裁剪，记图 1 为第一次裁剪，得到 1 个正方 形，将它的面积记为 S1，则 S1= ；在余下的 2 个三角形中还按照小林设计的剪 法进行第二次裁剪（如图 3） ，得到 2 个新的正方形，将此次所得 2 个正方形的面积的和记 为 S2，则 S2= ；在余下的 4 个三角形中再按照小林设计的剪法进行第三 次裁剪（如图 4） ，得到 4 个新的正方形，将此次所得 4 个正方形的面积的和记为 S3；按照 同样的方法继续操作下去…， n 次裁剪得到 第 个新的正方形， 它们的面积的和 Sn= ．8 、已知： 如图， 直线 y = k x + b 与 x 轴交于点 A ， 且与双曲线 y = 2 ）和点 C （n ，- 4 ） ．m 交于点 B（4 ， xm 的解析式； x m （2 ）根据图象写出关于 x 的不等式 k x + b ＜ 的解集； x（1 ）求直线 y = k x + b 和双曲线 y = （3 ）点 D 在直线 y = k x + b 上，设点 D 的纵坐标为 t （t ＞0 ） ． 过点 D 作平行于 x 轴的直线交双曲线 y = 的面积为m 于点 E 。
若△A D E x7 ，请直接写出所有满足条件的 t 的值． 259、已知：如图，平面直角坐标系 xOy 中，正方形 ABCD 的边长为 4，它的顶点 A 在 x 轴的 正半轴上运动，顶点 D 在 y 轴的正半轴上运动（点 A，D 都不与原点重合） ，顶点 B，C 都 在第一象限，且对角线 AC，BD 相交于点 P，连接 OP． （1）当 OA=OD 时，点 D 的坐标为 ， ∠ POA= ° ； （2）当 OA＜OD 时，求证：OP 平分∠ DOA； （3）设点 P 到 y 轴的距离为 d，则在点 A，D 运动的过程中，d 的取值范围是什么？10、以四边形 ABCD 的边 AB、AD 为边分别向外侧作等边三角形 ABF 和 ADE，连接 EB、 FD，交点为 G．（1）当四边形 ABCD 为正方形时（如图 1） ，EB 和 FD 的数量关系是 ； （2）当四边形 ABCD 为矩形时（如图 2） ，EB 和 FD 具有怎样的数量关系？请加以证明； （3） 四边形 ABCD 由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中， EGD 是否发生变化？ ∠ 如果改变，请说明理由；如果不变，请在图 3 中求出∠ EGD 的度数．61 1 、我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方， 则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称正方形、长方形、直角 梯形（任选两个均可） ； （2）如图 1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0） ，A（3，0） ，B（0，4） ，请你画出以 格点为顶点，OA，OB 为勾股边且对角线相等的勾股四边形 OAMB； （3） 如图 2， 将△ABC 绕顶点 B 按顺时针方向旋转 60° 得到△DBE， ， 连接 AD， ∠ DC， DCB=30 2 2 2 度．求证：DC +BC =AC ，即四边形 ABCD 是勾股四边形．12、如图，在 Rt△ABC 中，∠ B=90° ，BC= 5 3 ， C=30° ，∠ ．点 D 从点 C 出发沿 CA 方向 以每秒 2 个单位长的速度向点 A 匀速运动，同时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以每秒 1 个单 位长的速度向点 B 匀速运动， 当其中一个点到达终点时， 另一个点也随之停止运动． 设点 D、 E 运动的时间是 t 秒（t＞0） ．过点 D 作 DF⊥ 于点 F，连接 DE、EF． BC （1）求证：AE=DF； （2）四边形 AEFD 能够成为菱形吗？如果能， 求出相应的 t 值；如果不能，说明理由． （3）当 t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由713、以四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角 顶点分别为 E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形 EFGH． （1）如图 1，当四边形 ABCD 为正方形时，我们发现四边形 EFGH 是正方形；如图 2，当 四边形 ABCD 为矩形时，请判断：四边形 EFGH 的形状（不要求证明） ； （2）如图 3，当四边形 ABCD 为一般平行四边形时，设∠ ADC=α（0° ＜α＜90° ， ） ① 试用含 α 的代数式表示∠ HAE； ② 求证：HE=HG； ③ 四边形 EFGH 是什么四边形？并说明理由．14、已知：如图，正比例函数 y ax 的图像与反比例函数 y k 的图象交于点 A（3，2） x（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象回答，在第一象限内，当 x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值； （3）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中 0＜m＜3，过点 M 作直线 MN∥ 轴， x 交 y 轴于点 B； 过点 A 作直线 AC∥ 轴交 x 轴于点 C， y 交直线 MB 于点 D． 当四边形 OADM 的面积为 6 时，请判断线段 BM 与 DM 的大小关系，并说明理由．8。