全等三角形判定定理SAS第一课时

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全等三角形的判定(SAS)(第1课时)(课件)七年级数学下册(沪教版)

解：
∵ A C∥ D E （已知）
A
ACB EDF（两直线平行，内错角相等）
BD FC（已知） BDDC FCDC（等式性质）
BD
CF
即BC FD 在△ABC和△EFD 中
AC ED（已知）
ACB EDF（已证）
BC FD（已证）
△ ABC≌ △ EFD（ S.AS.）
则∆BAC 3）如果 AC
≌= E∆FD，E∠F A
=
∠E，AB
=
ED
则 ∆CAB ≌ ∆FED
2. 如图，AO＝BO，CO＝DO，试问△ ACO和△ BDO全等吗？
指范围
解在△ ACO和△ BDO中，
AO＝BO，摆齐条件
∠ACO＝ ∠ BOD，(对顶角相等)， CO＝DO，
所以 △ ACO≌△ BDO (SAS )
1.已知条件为“两边及其夹角对应相等”
如图14-21,在△ABC和△A'B'C'中,已知AB=A'B'.∠A= ∠ A',AC=A'C',那么△ABC≌△A'B'C'
说理过程如下: 把△ABC放到△A‘B’C‘上，使 ∠A的顶点与 ∠A’的顶点重合;由于 ∠A= ∠ A‘,因此可以使射线 AB、AC 分别落在射线A’B‘、A’C‘上.因为AB=A’B‘,AC=A’C‘所以点 BC 分别与点 BC重合，这样 △ABC 和△A’B‘C’重合，即 △ABD（已知）
∠BAC ∠DA（E 已证）
AC
AE（已知）
△ BAC≌ △ DAE（ S.A.S ）
先处理已知条件，得到所需条件

三角形全等的判定1(SAS)

6
5
③
2.在下列图中找出全等三角形，并把它们用直线连起来.
30º
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ Ⅲ
Ⅳ Ⅳ
5 cm
30º
Ⅵ
Ⅴ
30º
Ⅷ
Ⅶ
范例学习
例1:
已知：如图，AD∥BC，AD=CB 求证：△ADC≌△CBA
A D 1
分析：观察图形，结合已知条件，知， AD=CB，AC=CA，但没有给出两组对应边的夹角（∠1，∠2）相等。所以，应设法先证明∠1=∠2，才能 B 使全等条件充足。
课的内容
• 1，确定一个三角形形状需要几个元素 • 2，判断两个三角形全等至少需要几个条件 • 3，利用SAS判断三角形全等
复习：全等三角形的性质
若△AOC≌△BOD，对应边: AC= BD ， AO= BO ， CO= DO ，对应角有: ∠A= ∠B ， ∠C= ∠D ， ∠AOC= ∠BOD ;
B
C
归纳总结，继续探究
• 确定一个三角形的形状，大小需要三个元素，确定三角形形状，大小的条件能否作为判断三角形全等的条件呢？
操作:
1.只给一个条件(一组对应边相等或一组对应角相等).
①只给一条边长为4cm：
②只给一个角为60°：
可以发现只给一个条件画出的三角形不能保证一定全等
60°
60°
A D
B
C
E
F
在人工湖的岸边有A、B两点，难以直接量出A、B两点间的距离。你能设计一种量出A、B两点之间距离的方案吗？
A
B
C
如图，在湖泊的岸边有A、B两点，难以直接量出A、B两点间的距离。你能设计一种量出A、B两点之间距离的方案吗？

全等三角形判定定理SAS第一课时

A
O B
B'
A'
先根据边角边定理可证得△AOB≌△A'OB'后，再根据全等三角形对应边相等的性质得出A'B'=AB 。 2、如下图，已知AD∥BC，AD=BC，那么△ADC和△CBA是全等三角形吗？
A
D
B
C
、如下图，已知AB=AC，其中E，F分别是AC，AB的中点。小明说：“线段BE和 CF相等。” 你认为他说得对吗？
为了预算这条隧道的造价，必须知道隧道的长度，即这座山 A、B两处的距离，你能想出一个办法，测出AB的长度吗？分析：要想直接测出AB的长度是不可能的，怎么办？我们应在大山外的开阔地选择一合适的地点O，使得从点 O可以到达A 、B两处，并测出AO与BO的长度。连结 AO并延长AO至A' ，使OA'=OA ；连结BO并延长BO 至B'，使OB'=OB ，再连结A'B'，然后只需证 A'B'=A B，问题就解决了。显然我们根据边角边定理易证 △A' B'O≌△ABO，再根据全等三角形的性质可得出： A B A'B'=AB。
温故知新：
回顾：1、什么样的两个三角形叫全等三角形？
答：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。
2、下列两个三角形是否全等？
A A′
B
C
B′
C′
（通过图形的平移可知两个三角形是全等的）
再想：3、再看下列两个三角形是否全等？ B' A A' A'
．
O
B B'
（通过图形的旋转可知两个三角形是全等的）
A B D E F C

11全等三角形判定一(ASA,SAS)(基础)知识讲解

全等三角形的判定一（ASA ，SAS ）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“角边角”，判定方法2——“边角边”；能运用它们判定两个三角形全等．2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“角边角”全等三角形判定1——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.要点诠释：如图，如果∠A ＝∠，AB ＝，∠B ＝∠，则△ABC ≌△.要点二、全等三角形判定2——“边角边”1. 全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝，∠A ＝∠，AC ＝，则△ABC ≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】'A ''A B 'B '''A BC ''A B 'A ''A C '''A BC1、如图，已知AD ，BC 相交于点O ，OB=OD ，∠ABD=∠CDB求证：△AOB≌△COD．【思路点拨】由OB=OD ，得出∠OBD=∠ODB，进而得出，∠ABO=∠CDO，再利用ASA 证明即可．【答案与解析】解：∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∵∠ABD=∠CDB，∴∠ABO=∠CDO，在△AOB 和△COD 中，，∴△AOB≌△COD（ASA ）．【总结升华】此题考查全等三角形的判定，关键是得出∠ABO=∠CDO．举一反三：【变式】如图，AB ∥CD ，AF ∥DE ，BE ＝CF.求证：AB ＝CD.【答案】证明：∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C.∵AF ∥DE ，，∴∠AFB ＝∠DEC.又∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE.在△ABF 和△DCE 中，∴△ABF ≌△DCE （ASA ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）.B C BF CEAFB DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩2、已知：如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2．求证：BC ＝DE ．【思路点拨】由条件AB ＝AD ，AC ＝AE ，需要找夹角∠BAC 与∠DAE ，夹角可由等量代换证得相等.【答案与解析】证明： ∵∠1＝∠2∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠DAE在△ABC 和△ADE 中∴△ABC ≌△ADE （SAS ）∴BC ＝DE （全等三角形对应边相等）【总结升华】证明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量.3、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD＝90°），连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案】AE ＝CD ，并且AE ⊥CD证明：延长AE 交CD 于F ，∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形∴AB ＝BC ，BD ＝BE在△ABE 和△CBD 中∴△ABE ≌△CBD （SAS ）∴AE ＝CD ，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC ＝90°∴AE ⊥CD【总结升华】通过观察，我们也可以把△CBD 看作是由△ABE 绕着B 点顺时针旋转90°得到的.尝试着从变换的角度看待全等.举一反三：AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩90AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩【变式】如图，在Rt△ABC 中，AB=AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE=45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB 连接EF ，证明△AED≌△AEF．【答案】证明：∵△AFB 是△ADC 绕点A 顺时针旋转90°得到的，∴AD=AF，∠FAD=90°，又∵∠DAE=45°，∴∠FAE=90°﹣∠DAE=90°﹣45°=45°=∠DAE，又AE=AE ，在△ADE 与△AFE 中，，∴△ADE≌△AFE（SAS ）．类型三、全等三角形判定的实际应用4、在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为了炸掉敌军的碉堡，要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出了这样一个办法：他面向碉堡站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部.然后，他转身向后，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己这岸的某一点上.接着，他用步测的办法量出了自己与该点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离.这名战士的方法有道理吗？请画图并结合图形说明理由.【答案与解析】设战士的身高为AB ，点C 是碉堡的底部，点D 是被观测到的我军阵地岸上的点，由在观察过程中视线与帽檐的夹角不变，可知∠BAD ＝∠BAC ，∠ABD ＝∠ABC ＝90°.在△ABD 和△ABC 中，∴△ABD ≌△ABC （ASA ）∴BD ＝BC.这名战士的方法有道理.【总结升华】解决本题的关键是结合图形说明那名战士测出的距离就是阵地与碉堡的距离，可以先画出示意图，然后利用全等三角形进行说明.解决本题的关键是建立数学模型，将实际问题转化为数学问题并运用数学知识来分析和解决.ABD ABC AB ABBAD BAC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩。

三角形全等的判定(SAS)课件

A
40°
B A B
D D
C (2)
C
F
(1) E
△ADC≌△CBA
根据“S.A.S.”
△ABC≌△EFD 根据“S.A.S.”
例1、如图：OC平分∠AOB，P为OC上一点。若分别在OA、 OB上分别取M、N两点，使OM=ON。求证：△POM≌△PON 注意步骤和格式哦！！！
讨论：运用S.A.S.证明三角形的全等要注意些什么？
归纳：
• 如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。(简记为边角边或S.A.S.)
在这个命题中，需要把握哪几个关键词语？
几何语言：
在△ABC和△DEF中
∵
AB DE B E BC FE
∴ △ABC≌△DEF（S.A.S.)
分别找出各题中的全等三角形
下图是某同学设计的简单图案，图中的 △ABE≌△ADC吗？知道为什么吗？
你也能设计出一个含有全等三角形的图案吗？和小组内成员一起试一试。
按要求作图： 1、作一个△ABC. 2、作出△ABC中BC边上的中线AD并延长AD到点E，使DE=AD. 3、连结CE. 问：图中有全等的三角形吗？说说你的理由。

在此结论下，你还能写出些什么结论？
思考：你能从中总结出一种证明等线段、等角的方法吗？
如图：OC平分∠AOB，P为OC上一点，N为 OB上一点，在OA上取一点M，使PM=PN。 △POM与△PON还会全等吗？
S.S.A.不能证明两个三角形全等！！！
注意：两边必须一夹角。
练习：完成练习册 P61第2、4、8题
如果有三个要素对应相等呢？
自学内容：教材P69（“做一做”以上内容）

三角形全等的判定(第一课时)

数$。
SSS判定定理的证明
第十步
根据三角形的性质，我们知道三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，即$angle A+angle B=angle C$。
第十一步
根据三角形的性质，我们知道三角形的一个内角等于与它相邻的两个外角之差的一半，即$angle A=frac{1}{2}(angle B+angle C)$。
第三步，由全等三角形的性质，我们知道$BC = AC$。
ASA判定定理和AAS判定定理的应用
应用一
当已知两个三角形有两个角和一个角的对边分别相等时，我们可以使用ASA或AAS判定定理来判断这两个三角形是否全等。
应用二
当已知两个三角形有一个角、一边和另一角的对边分别相等时，我们可以使用ASA或AAS判定定理来判断这两个三角形是否全等。
三角形全等的判定(第一课时)
目录 Contents
• 三角形全等的基本概念 • 三角形全等的SSS判定 • 三角形全等的SAS判定 • 三角形全等的ASA判定和AAS判定 • 三角形全等的特殊情况
01
三角形全等的基本概念
三角形全等的定义
01
三角形全等是指两个三角形能够完全重合，即它们的形状和大小都相同。
实例二
在平面几何中，我们经常需要证明两个三角形是全等的。利用SAS判定定理，我们可以很容易地证明两个三角形是全等的。例如，已知三角形ABC和三角形DEF，其中AB=DE，BC=EF，并且角A=角D，角B=角E。根据SAS判定定理，我们可以证明三角形ABC和三角形DEF是全等的。
04
三角形全等的ASA判定和 AAS判定
ASA判定定理和AAS判定定理的证明
第三步，由全等三角形的性质，我们知道$BC = AC$。 AAS判定定理证明

3.4.1.1三角形全等的判定定理SAS

例题解答
例3、如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD平、如图所示，中，平分∠BAC，试说明△ABD≌△ACD . ，试说明△ ≌
A
B
D
C
例题解答
平分∠ 例4、如图，已知、如图，已知AD=CD，BD 平分∠ADC. 问：， ∠A=∠ C 吗？ ∠ A
B C D
归纳：归纳：判定两条线段相等或二个角相等可以通过从它们所在的两个三角形全等而得到。全等而得到。
B
C
练一练
（2）如图，在△AEC和△ADB中，）如图，和中 AE =AD (已知) 已知) _____= ______( 公共角 ) ∠A ∠A ( AC= AB (已知) 已知) ∴ △AEC≌△ADB( SAS) ≌ ( D
C
A
E
B
练一练
3、如图，E为AC上一点，AB=AD，∠1=∠2，、如图，为上一点上一点，， ∠ ，全等吗？ △ABC与△ADC全等吗？△BEC与△DEC全等与全等吗与全等请说明理由. 吗？请说明理由
A
B
C
Dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
练一练
1、在下列图中找出全等三角形：、在下列图中找出全等三角形：
30º
1
2
3 Ⅲ
Ⅳ 4
5 cm
30º
6 5
30º
8 7
练一练
2、在下列推理中填写需要补充的条件，使结论、在下列推理中填写需要补充的条件，成立：成立：（1）如图，在△AOB和△DOC中，）如图，和中 D A AO=DO (已知) 已知) AOB ∠ DOC ∠_____=∠_____ ( 对顶角相等) O BO=CO (已知) 已知) 所以，所以，△AOB≌△DOC( SAS). ≌ (

人教版数学八上第6讲全等三角形判定一(SSS,SAS)(基础)知识讲解(1)

全等三角形判定一（SSS ，SAS ）（基础）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，和判定方法2——“边角边”； 2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等. 【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“边边边” 全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定2——“边角边” 1. 全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边边边”1、已知：如图，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分∠PRQ ．【思路点拨】由中点的定义得PM ＝QM ，RM 为公共边，则可由SSS 定理证明全等. 【答案与解析】证明：∵M 为PQ 的中点（已知）， ∴PM ＝QM在△RPM 和△RQM 中，()(),,RP RQ PM QM RM RM ⎧=⎪=⎨⎪=⎩已知公共边∴△RPM ≌△RQM （SSS ）．∴ ∠PRM ＝∠QRM （全等三角形对应角相等）．即RM 平分∠PRQ.【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到，如：公共边、公共角、对顶角等条件隐含在题目或图形之中. 把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的性质和判定. 举一反三：【变式】已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠DBC.【答案】证明：连接DC ，在△ACD 与△BDC 中()AD BC AC BDCD DC ⎧=⎪=⎨⎪=⎩公共边∴△ACD≌△BDC（SSS ）∴∠CAD ＝∠DBC （全等三角形对应角相等）类型二、全等三角形的判定2——“边角边”2、已知：如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2．求证：BC ＝DE ．【思路点拨】由条件AB ＝AD ，AC ＝AE ，需要找夹角∠BAC 与∠DAE ，夹角可由等量代换证得相等.【答案与解析】证明： ∵∠1＝∠2∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠DAE 在△ABC 和△ADE 中AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADE （SAS ）∴BC ＝DE （全等三角形对应边相等）【总结升华】证明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量.3、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD ＝90°），连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案】AE ＝CD ，并且AE ⊥CD 证明：延长AE 交CD 于F ，∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形 ∴AB ＝BC ，BD ＝BE 在△ABE 和△CBD 中90AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CBD （SAS ） ∴AE ＝CD ，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等） ∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC ＝90° ∴AE ⊥CD【总结升华】通过观察，我们也可以把△CBD 看作是由△ABE 绕着B 点顺时针旋转90°得到的.尝试着从变换的角度看待全等.举一反三：【变式】已知：如图，AP 平分∠BAC ，且AB ＝AC ，点Q 在PA 上，求证：QC ＝QB【答案】证明：∵ AP 平分∠BAC ∴∠BAP ＝∠CAP 在△ABQ 与△ACQ 中∵∴△ABQ ≌△ACQ(SAS) ∴ QC ＝QB类型三、全等三角形判定的实际应用4、“三月三，放风筝”．下图是小明制作的风筝，他根据DE ＝DF ，EH ＝FH ，不用度量，就知道∠DEH ＝∠DFH ．请你用所学的知识证明．【答案与解析】证明：在△DEH 和△DFH 中，DE DF EH FH DH DH ⎧⎪⎨⎪=⎩＝＝∴△DEH ≌△DFH(SSS) ∴∠DEH ＝∠DFH ．【总结升华】证明△DEH ≌△DFH ，就可以得到∠DEH ＝∠DFH ，我们要善于从实际问题中抽离出来数学模型，这道题用“SSS ”定理就能解决问题. 举一反三：【变式】工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，∠AOB 是一个任意角，在边OA ，边OB 上分别取OD ＝OE ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D 、E 重合，这时过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线，你能先说明△OPE 与△OPD 全等，再说明OP 平分∠AOB 吗？【答案】证明：在△OPE 与△OPD 中∵OE OD OP OP PE PD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ △OPE ≌△OPD （SSS ）∴ ∠EOP ＝∠DOP(全等三角形对应角相等) ∴ OP 平分∠AOB.【巩固练习】一、选择题1. △ABC 和△'''A B C 中，若AB ＝''A B ，BC ＝''B C ，AC ＝''A C .则（） A.△ABC ≌△'''A C B B. △ABC ≌△'''A B C C. △ABC ≌△'''C A B D. △ABC ≌△'''C B A2. 如图，已知AB ＝CD ，AD ＝BC ，则下列结论中错误的是（） A.AB ∥DC B.∠B ＝∠D C.∠A ＝∠C D.AB ＝BC3. 下列判断正确的是（） A.两个等边三角形全等B.三个对应角相等的两个三角形全等C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等D.直角三角形与锐角三角形不全等4. 如图，AB 、CD 、EF 相交于O ，且被O 点平分，DF ＝CE ，BF ＝AE ，则图中全等三角形的对数共有（）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对5. 如图，将两根钢条'AA ，'BB 的中点O 连在一起，使'AA ，'BB 可以绕着点O 自由转动，就做成了一个测量工件，则''A B 的长等于内槽宽AB ，那么判定△OAB ≌△''OA B 的理由是( )A.边角边B.角边角C.边边边D.角角边6. 如图，已知AB ⊥BD 于B ，ED ⊥BD 于D ，AB ＝CD ，BC ＝ED ，以下结论不正确的是（） A.EC ⊥AC B.EC ＝AC C.ED ＋AB ＝DB D.DC ＝CB二、填空题7. 如图，AB ＝CD ，AC ＝DB ，∠ABD ＝25°，∠AOB ＝82°，则∠DCB ＝_________.8. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 互相平分，则图中全等三角形共有_____对.9. 如图，在△ABC 和△EFD 中，AD ＝FC ，AB ＝FE ，当添加条件_______时，就可得△ABC ≌△EFD （SSS ）10. 如图，AC ＝AD ，CB ＝DB ，∠2＝30°，∠3＝26°，则∠CBE ＝_______.11. 如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD＝AE，AB＝AC，若∠B ＝20°，则∠C＝_______．12. 已知，如图，AB＝CD，AC＝BD，则△ABC≌，△ADC≌ .三、解答题13. 已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠ADC＝∠BCD，AD＝BC，求证：CO＝DO．14. 已知：如图，AB∥CD，AB＝CD．求证：AD∥BC．分析：要证AD∥BC，只要证∠______＝∠______，又需证______≌______．证明：∵ AB∥CD （），∴∠______＝∠______ （），在△______和△______中，⎪⎩⎪⎨⎧===),______(______),______(______),______(______ ∴ Δ______≌Δ______ （）． ∴ ∠______＝∠______ （）． ∴ ______∥______（）．15. 如图，已知AB ＝DC ，AC ＝DB ，BE ＝CE 求证：AE ＝DE.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B ；【解析】注意对应顶点写在相应的位置. 2. 【答案】D ；【解析】连接AC 或BD 证全等. 3. 【答案】D ； 4. 【答案】C ；【解析】△DOF ≌△COE ，△BOF ≌△AOE ，△DOB ≌△COA. 5. 【答案】A ；【解析】将两根钢条'AA ，'BB 的中点O 连在一起，说明OA ＝'OA ，OB ＝'OB ，再由对顶角相等可证.6. 【答案】D ；【解析】△ABC ≌△EDC ，∠ECD ＋∠ACB ＝∠CAB ＋∠ACB ＝90°，所以EC ⊥AC ，ED ＋AB ＝BC ＋CD ＝DB.二.填空题7. 【答案】66°；【解析】可由SSS 证明△ABC ≌△DCB ，∠OBC ＝∠OCB ＝82412︒=︒，所以∠DCB ＝ ∠ABC ＝25°＋41°＝66°8. 【答案】4；【解析】△AOD ≌△COB ，△AOB ≌△COD ，△ABD ≌△CDB ，△ABC ≌△CDA. 9. 【答案】BC ＝ED ； 10.【答案】56°；【解析】∠CBE ＝26°＋30°＝56°. 11.【答案】20°；【解析】△ABE ≌△ACD （SAS ） 12.【答案】△DCB ，△DAB ；【解析】注意对应顶点写在相应的位置上. 三.解答题13.【解析】证明：在△ADC 与△BCD 中，,,,DC CD ADC BCD AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()...ADC BCD SAS ACD BDC OC OD ∠=∠=∴△≌△∴∴ 14. 【解析】3，4； ABD ，CDB ；已知；1，2；两直线平行，内错角相等； ABD ，CDB ； AB ，CD ，已知； ∠1＝∠2，已证； BD ＝DB ，公共边； ABD ，CDB ，SAS ；3，4，全等三角形对应角相等； AD ，BC ，内错角相等，两直线平行.15.【解析】证明：在△ABC 和△DCB 中AB DC AC DB BC =CB ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝∴△ABC ≌△DCB （SSS ） ∴∠ABC ＝∠DCB ，在△ABE 和△DCE 中ABC DCB AB DC BE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCE （SAS ） ∴AE ＝DE.DBA。

沪科版八年级数学上册教案《三角形全等的判定》

《三角形全等的判定》教学设计第1课时《SAS》教学目标：1．掌握三角形全等的“SAS”判定，能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题；2．经历探索三角形全等条件的过程，体验利用操作、归纳获得数学结论的过程；3．在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。

教学重点：掌握三角形全等的“SAS”判定，能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题。

教学难点：在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。

教学过程：一、情境导入小伟作业本上画的三角形被墨迹污染了，他想画一个与原来完全一样的三角形，他该怎么办？请你帮助小伟想一个办法，并说明你的理由．想一想：要画一个三角形与小伟画的三角形全等，需要几个与边或角的大小有关的条件？只知道一个条件(一角或一边)行吗？两个条件呢？三个条件呢？让我们一起来探索三角形全等的条件吧！二、合作探究探究点一：利用“SAS ”判定三角形全等【类型一】两边及夹角分别相等的两个三角形全等如图，A 、D 、F 、B 在同一直线上，AD ＝BF ，AE ＝BC ，且AE ∥BC .求证：△AEF ≌△BCD .解析：由AE ∥BC ，根据平行线的性质，可得∠A ＝∠B ，由AD ＝BF 可得AF ＝BD ，又AE＝BC ，根据“SAS ”即可证得△AEF ≌△BCD .证明：∵AE ∥BC ，∴∠A ＝∠B .∵AD ＝BF ，∴AF ＝BD .在△AEF 和△BCD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝BC ，∠A ＝∠B ，AF ＝BD ，∴△AEF ≌△BCD (SAS )．方法总结：判定两个三角形全等时，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【类型二】两边及对角分别相等的两个三角形不全等下列能判断△ABC ≌△A ′B ′C ′的条件是( )A ．∠B ＝135°，∠B ′＝135°，AB ＝B ′C ′，BC ＝C ′A ′B ．AB ＝A ′B ′，BC ＝B ′C ′，∠B ＝∠B ′C ．AB ＝A ′B ′，AC ＝A ′C ′，∠B ＝∠B ′＝45°D ．AB ＝BC ＝CA ，A ′B ′＝B ′C ′＝C ′A ′，∠B ＝∠A ′解析：∵△ABC ≌△A ′B ′C ′，∴确定了两个三角形的对应顶点，A 与A ′对应，B 与B ′对应，C 与C ′对应．选项A 中BC ＝C ′A ′不是对应边因此不能判定两三角形全等，A 错误；选项B 中AB ＝A ′B ′，BC ＝B ′C ′，∠B ＝∠B ′中，符合判定定理“SAS ”，所以可判断△ABC ≌△A ′B ′C ′，B 正确；选项C 中它们的对应关系是“SSA ”，因此也无法判定两三角形全等，故C 错误；选项D 中不是对应边相等，因此也无法判定两三角形全等，D 错误．故选B.方法总结：解答此类问题时，一般采用排除法，即先根据三角形全等的判定方法“SAS ”逐一判断排除，然后确定符合条件的答案．探究点二：三角形全等的判定(“SAS ”)与性质的综合运用如图，D 在AB 上，E 在AC 上，AB ＝AC ，AD ＝AE .求证：∠B ＝∠C .解析：本题考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟知判定一般的三角形全等的方法．利用“SAS ”证明△ABE ≌△ACD ，再利用全等三角形的对应角相等即可．证明：在△ABE 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠A ＝∠A AE ＝AD ，，∴△ABE ≌△ACD (SAS )，∴∠B ＝∠C .方法总结：解决此类题型常用的方法是：直接应用全等三角形的判定性质定理证明即可，注意在证明三角形全等时隐含的条件，如公共边、公共角、对顶角．如图，已知A 、B 两点被一个池塘隔开，无法直接测量，但两点可以到达，现给出一种方案：找两点C 、D ，使AD ∥BC ，且AD ＝BC ，量出CD 的长即得AB 的长．请说明理由．解析：由平行线的性质得到∠DAC ＝∠BCA ，然后通过证△ADC ≌△CBA (SAS )得到AB ＝CD .解：AB ＝CD ；理由如下：如图，∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠BCA .∵在△ADC 与△CBA 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CB ，∠DAC ＝∠BCA AC ＝CA ，，∴△ADC ≌△CBA (SAS )，∴AB ＝CD .方法总结：解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．三、板书设计两边及其夹角分别相等的两个三角形⎩⎪⎨⎪⎧三角形全等的“SAS”判定：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.“SSA”不能判定两个三角形全等.教学反思：教学过程中，利用一个联系实际生活的问题对得到的知识加以运用，引导学生通过操作、观察、探索、交流、发现、思考，得出判定三角形全等的条件；最后再同样通过探究让学生认识到“两边及其中一边的对角对应相等”的条件不能判定两个三角形全等，培养学生的独立思考与发散思维的能力．例题和练习以层层递进的形式以及学生自我提出问题的方式达到对知识的巩固；通过学生对例题和练习的思考，语言表述说理过程，板演推理过程和课件展示解题过程以及对解题过程中书写的规范要求和注意点的强调，培养学生严谨的逻辑思维、语言表达能力和规范的书写能力。

全等三角形的判定(SSS、SAS)

谢谢观赏
E A
D
B
例2、如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离，为什么？证明：在△ABC和△DEC中，有
CA CD 1 2 （对顶角） CB CE ∴△ABC≌△DEC(SSS)
〈=〉三边对应相等
例1、如图所示， ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证 : ABD A S ACD。
证明：∵ D是BC的中点
∴BD=CD
在 B D 注意：列出三个条件解题经验：找三边
C
ABD和 ACD中
AB AC BD CD AD AD (公共边） ∴ ABD ACD（SSS）
∴ ∠AED=∠BCD=∠C 又∵ ∠C=90°
B E A
C
D
∴ ∠AED=90°，即DE⊥AB
2、如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求证∠A=∠D.
A
D
证明: ∵ EF是公共边，BE=CF ∴ BF=CE 在△ABF和△DCE中，有
BF CE B C AB DC
B
E
F
C
∴△ABF≌△DCE(SAS) ∴ ∠A=∠D
*这节课你学了什么? *你有什么收获呢？
*三角形全等的判定定理及其应用：
1、（SSS）：三边对应相等的三角形全等
技巧：找三边——对应相等——全等；
2、（SAS）：两边及夹角对应相等的三角形全等技巧: 找两边及夹角——对应相等——全等

三角形全等的判定定理1(SAS)

A
A
B
C
图一
在图一中， ∠A
是AB和AC的夹角，
符合图一的条件，它可称为“两边夹角”。
B
图二
C
符合图二的条件，通常说成“两边和其中一边的对角”
还记得作一个角等于已知角的方法吗？
做一做：先任意画出△ABC.再画一个△A′B′C′, 使 A′B′=AB, A′C′=AC,∠A′=∠A.(即有两边和它们的夹角分别相等).把画好的△A′B′C′剪下,放到△ABC 上,它们全等吗?
画法： 1. 画∠MA′N=∠A； 2. 在射线A′M上截取A′B′=AB； 3. 在射线A′N上截取A′C′=AC； 4. 连接B′C′， ∴△A′B′C′就是所求的三角形.
探究的结果反映了什么规律? 三角形全等判定一：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.(可以简写成“边角边”或“SAS”)
④ 两角一边
任意画△ABC，使AB=3cm，BC=4cm，剪下来，观察任意
两个同学的三角形是否能够重合.
思考：满足两边对应相等的两个三角形是否全等？
A
D
B
C
E
F
AB=DE
BC=EF
提示：不一定全等.
探索三角形全等的条件：两边一角
思考：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边
与这一个角的位置上有几种可能性呢？
追问1 当满足一个条件时, △ABC 与△A′B′C′
全等吗？
追问2 当满足两个条件时, △ABC 与△A′B′C′
全等吗？
① 两边
两个条件
② 一边一角 ③ 两角
追问3 当满足三个条件时， △ABC 与△A′B′C′ 全等吗？满足三个条件时，又分为几种情况呢？

三角形全等的判定SAS完美版PPT

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(可以简写成“边角边〞或“SAS〞)
用符号语言表达为：在△ABC与△A′B′C′中
A
A′
AC=A′C′
∠C=∠C′ BC=B′C′
C C′
B
B′
∴△ABC≌△A′B′C′〔SAS〕
探究探索边边角
C
10cm 8cm
8cm
45°
A
B
B′
显然：△ABC与△AB′C不全等
SSA不存在
A
A
B
C
SSA不能
A
判定全等
B
C
DD
B D
两边及一角对应相等的两个三角形全等吗？
①两边及夹角对应相等的两个三角形全等〔SAS)；
②两边及其中一边的的对角对应相等的两个三角形不一定全等．
SSA 不成立
③ 现在你知道哪些三角形全等的判定方法？
SSS, SAS
解决问题如图，有一池塘，要测池塘
思考：一个三角形的两边和一角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？
A
图二
B
C
在图中,∠B是边AC的对角, ∠C是边AB的对角
符合图中的条件，常说成“两边和其中
一边的对角〞
探究两边及其夹角
先任意画出一个ABC,再画一个A′B′C′,使A′B′=AB, A′C′=AC, ∠A′=∠A,把画好的 A′B′C′,放到ABC上,它们能全等吗?
个时，有四种情况:
(1) 三个角 (2) 三条边 (3) 两边一角
不能!
SSS ?
(4) 两角一边
探究探讨三角形全等的条件：两边一角
思考：一个三角形的两边和一角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？

全等三角形判定定理1(SAS)

第1题 A
B 全等三角形判定定理1(SAS)
备课人：秦梅
学习目标：1、知道判定三角形全等的第一种方法“边角边”的内容，并能用数
学语言表述这个定理。

2、能利用“边角边”判定两个三角形全等，并能利用这个定理进行
简单的推理和计算。

学习重点：全等三角形“边角边”的判定方法的应用.
预习导学：
一、预学（独学）
请阅读课本9396p p -
二、预习导学（对学）
1、结合课本的操作和研究总结出确定一个三角形至少需要几个元素。

（结合课本说出你的探究过程）
2、已知： ABC ∆,求作：111A B C ∆，使11A B AB =，1B B ∠=∠，11B C BC =
3、比较ABC ∆与111A B C ∆的关系，由此你能得出什么结论？
三、合作学习（群学）
1、例题1 已知：如图， AD BC ∥, AD BC =，求证ADC CBA ∆∆≌.
2、已知：如图， AB AC =, AD AE =.求证：ABE ACD ∆∆≌.
3、已知：如图，AC 和BD 相交于点O ，OA=OC ，OB=OD
求证：DC ∥AB
4、已知：如图，AB=DB ，CB=EB ，1=2∠∠，求证：A D ∠=∠.
5、完成课本95p 例2.
四、小结与反思. A
C B O
D C A B B
D A C
E D C。

全等三角形的判定(导学案SAS)

15.2 全等三角形的判定第1课时（SAS ）【预习导读】1、你还记得如何作一个角等于已知角吗？2、只给定三角形中的一个或两个元素能确定一个三角形吗？试试看!3、从课本探究中可知，确定一个三角形需几个元素？这几个元素满足什么条件？已知三角形两边及其夹角，如何利用尺规作一个三角形与已知三角形两边及其夹角分别相等？4、如何验证“确定三角形的形状和大小的条件可以作为判定三角形全等的条件?”5、判定三角形全等的方法是什么？三角形全等在实际生活中有何应用？【预习作业】1、△ABC 和△DEF 中，AB=DE ，BC=EF ，使△ABC ≌△DEF 的条件是（） A ．∠A=∠DB ．∠B=∠EC ．∠C=∠FD ．以上都不对2、下列说法错误的是（）A ．全等三角形是指边、角分别对应相等的两个三角形B ．符号“SAS ”表示判别两个三角形全等的方法C ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等D ．有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等3、△ABC 和△DEF ，满足以下条件一定全等的是（）A ．AB=DE ，∠B=∠E ，AC=DFB ．AB=DF ，∠A=∠D ，AC=DEC ．BC=EF ，∠B=∠E ，AB=DFD ．AB=DF ，∠A=∠F ，BC=EF4、如图1，已知AD 平分∠BAC ，要使△ABD ≌△ACD ，根据“SAS ”需要添加条件 .5、如图2，AB=AD ，AC 平分∠BAD ，证明：⑴△ABC ≌△ADC ⑵BC=DC (3) ∠B=∠`D图1图26、思考：如果“两边及其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形全等吗？”画一画：三角形的两条边分别为4cm和3cm，长度为3cm的边所对的角为30度,画出这个三角形，把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，由此你发现了什么？把你的发现和同伴交流。

【课堂训练】一、选择题1、对下列各组条件，不能判定△ABC≌△A′B′C′的一组是（）A．∠A=∠A′，AB=A′B′，AC=A′C′ B．∠B=∠B′，AB=A′B′，AC=A′C′C．∠C=∠C′，BC=B′C′，AC=A′C′ D．AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′2、下列结论错误的是（）A．两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等B．三边分别对应相等的两个三角形全等C．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等D．边长相等的等边三角形全等3、下列各条件中，能作出惟一三角形的是（）A．已知三个角 B．已知两边和其中一边的对角C．已知三角形的周长 D．已知两边和他们的夹角4、如图3，AD⊥BC于D，BD=DC，E在AD上，则图中全等三角形共（）A．1对 B．2对图3图9ACDBE FC ．3对D ．4对5、已知：如图4，AC 和BD 相交于点O ，且BO=DO ，AO=CO ，那么下列判断中正确的是（）A ．只能证明△AOB ≌△COD B ．只能证明△AOD ≌△COBC ．只能证明△AOB ≌△COD 和△ADB ≌△CBDD二、填空题6、如图5个条件是7、如图6，在△ABC 8、如图7,AC=DB,9、如图8，由AD ∥BC ，AD ＝CB ．得△______≌______．10、如图9，AB ∥CD ，BC ∥AD ，AB=CD ，BE=DF ，图中全等三角形有对．三、解答题11、如图，已知M 是AB 中点,MC=MD,∠1＝∠2 求证：AC=BD.图4ABCD第12题图5 图812、如图：在△ABE 和△ACF 中，AB=AC, BF=CE.求证：⑴AF=AE ⑵△ABE ≌△ACF13、小明做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH, ED=FD ，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH 吗？证明你的说法.14、如图，已知A B C △中，10A B A C ==厘米，8B C =厘米，点D 为A B 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，B P D △与CQP △是否全等，请说明理由；【课后提升】一、选择题1、下列说法：①腰和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；②两个直角边对应相等的两个直角三角形全等；③等腰三角形的顶角平分线把这个等腰三角形分成两个全等三角形；④直角三角形斜边上的中线把这个三角形分成两个全等三角形.其中正确的有（） A 、1个 B 、2个 C 、3个D 、4个2、如图，，，，，则等于（）A ．B ．C ．D ．3、如图2，AD ⊥BC ，D 为BC 的中点，那么结论不正确的有（）A 、△ABD ≌△ACDB 、∠B=∠CC 、AD 平分∠BAC D 、△ABC 是等边三角形4、已知:如图3,AC 、BD 交于O 点,OA=OC,OB=OD.则不正确的结果是（）A 、AB=CDB 、AB∥CDC 、∠A=∠D D 、∠A=∠C5、在△ABC 和C B A '''∆中，∠C ＝C '∠，且b-a=a b '-',b+a=a b '+',则这两个三角形（）A 、不一定全等B 、不全等C 、无法判断D 、全等，根据“SAS”二、填空题 6、如图4，已知A CF E=，BC D E =，点A 、D 、B 、F 在一条直线上，要使△ABC ≌△FDE ，根据“SAS ”需要添加条件是．7、如图5，在△ABC 和△BAD 中，BC = AD ，使△ABC ≌△BAD ．根据“SAS ”需要添加条件是．8、如图6，点D ，E 分别在AC ，AB 上．分别将“BD=CE ”记为①，“CD=BE ” 记为②，“AB=AC ”记为③．添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③以①为结论构成命题2．命题1是命题2的命题，命题2是命题．（选择“真”或“假”填入空格）．DABC图5图4AC D BEF图2图39、如图7，将两根钢条'A A 、'B B 的中点O 连在一起，使'A A 、'B B 可以绕着点0自由转动，就做成了一个测量工件，则''A B 的长等于内槽宽AB ，那么判定△AOB ≌△''A O B 的理由是．10、已知:如图8,AB=BE,∠1=∠2,∠ADE=120°,AE 、BD 相交于F,求∠3的度数为_____．三、解答题11、如图，AB ＝DB ，BC ＝BE ，∠1＝∠2，证明：△ABE ≌△DBC12、已知：如图，∠3＝∠4，CB=DB,求证：∠1＝∠2.13、如图，已知△ABC 为等边三角形，点D 、E 分别在BC 、AC 边上，AD 与BE 相交于点F ，且CD=AE 。

sas全等三角形判定定理

sas全等三角形判定定理
SAS（边-角-边）全等三角形判定定理指如果两个三角形的其中两条边和它们之间所夹的角度相等，则这两个三角形是全等的。

具体来说，如果两个三角形中的一条边和它所对的角度分别相等，而另一条边也相等，则这两个三角形是全等的。

例如，若已知两个三角形ABC和DEF，满足AB=DE，BC=EF，∠BAC=∠EDF，则可判定这两个三角形全等。

其中AB和DE为S，∠BAC和∠EDF为A，BC和EF为S，由此可得SAS全等三角形判定定理。

这个定理可以用来解决各种问题，包括建筑设计、测绘学、航空航天工程等领域的空间问题。

三角形全等的判定定理1(SAS)

自主操作
画一个三角形，使它的两边分别10cm、 8cm，且这两边的夹角为45°,把你画的三角形剪下来与同学的进行比较、交流，你发现了什么？
如果三角形的两条边长分别为acm、bcm，且
这两边的夹角为β，那么这样作出的三角形
能否也互相重合呢？
A
已知：△ABC
B
C
求作：△A`B`C`，使A`B`=AB=a, ∠B`=∠B=β,B`C`=BC=b.
并延长到D，使CD=CA。连接BC并延长到E，使CE=CB。连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离，为什么？
证明：在△ABC和 △DEC中，
CA=CD
A
B
∠1=∠2
1
CB=CE
C·
∵△ABC≌ △DEC (SAS)
2
∴AB=DE
E
D
两边及一角分别相等的两三角形全等吗？
A
B
C1
C2
今天你学到
1.如图所示,根据题目条件，判断下面
当的三角形是否全等．
堂检测
⑴ AC＝DF，∠C＝∠F，BC＝EF； ⑵ BC＝BD， ∠ABC＝∠ABD．
例4、如图，在湖泊的岸边有A,B两点，难以直接测出 A,B两点的距离，你能设计一种量出A,B两点的距离的方案吗？说出你这样设计的理由。
A
B
可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC
2.给出两个条件：
①一边长4cm，一内角30°：
30°
30°
②两内角分别为30°和60°：
三角形全等的探究
30°
30°60°
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
30° 60°
③两边长分别为2cm和4cm：