S=1!+2!+…+n!的递归和非递归算法
递归算法和非递归算法的区别和转换
递归算法向非递归算法转换递归算法实际上是一种分而治之的方法，它把复杂问题分解为简单问题来求解。
对于某些复杂问题(例如hanio塔问题)，递归算法是一种自然且合乎逻辑的解决问题的方式，但是递归算法的执行效率通常比较差。
因此，在求解某些问题时，常采用递归算法来分析问题，用非递归算法来求解问题；另外，有些程序设计语言不支持递归，这就需要把递归算法转换为非递归算法。
将递归算法转换为非递归算法有两种方法，一种是直接求值，不需要回溯；另一种是不能直接求值，需要回溯。
前者使用一些变量保存中间结果，称为直接转换法；后者使用栈保存中间结果，称为间接转换法，下面分别讨论这两种方法。
1. 直接转换法直接转换法通常用来消除尾递归和单向递归，将递归结构用循环结构来替代。
尾递归是指在递归算法中，递归调用语句只有一个，而且是处在算法的最后。
例如求阶乘的递归算法：long fact(int n){if (n==0) return 1;else return n*fact(n-1);}当递归调用返回时，是返回到上一层递归调用的下一条语句，而这个返回位置正好是算法的结束处，所以，不必利用栈来保存返回信息。
对于尾递归形式的递归算法，可以利用循环结构来替代。
例如求阶乘的递归算法可以写成如下循环结构的非递归算法：long fact(int n){int s=0;for (int i=1; i<=n;i++)s=s*i; //用s保存中间结果return s;}单向递归是指递归算法中虽然有多处递归调用语句，但各递归调用语句的参数之间没有关系，并且这些递归调用语句都处在递归算法的最后。
显然，尾递归是单向递归的特例。
例如求斐波那契数列的递归算法如下：int f(int n){if (n= =1 | | n= =0) return 1;else return f(n-1)+f(n-2);}对于单向递归，可以设置一些变量保存中间结构，将递归结构用循环结构来替代。
问题描述n个作业{1,2,…,n}要在由2台机器M1和M2组成的流
业集S在机器M2的等待时间为b(1)情况下的一个最优调度。则
(1)，’(2)，…，’(n)是N的一个调度，这个调度所需的时间 为a(1)+T(S,b(1))<a(1)+T’。这与是N的最优调度矛盾。故
T’T(S,b(1))。从而T’=T(S,b(1))。即流水作业调度问题具有
最优子结构的性质。
3
流水作业调度
2. 递归结构
由流水作业调度问题的最优子结构性质可知：
T ( N ,0) min{a i T ( N {i}, bi )}
1 i n
T ( S , t ) min{ai T ( S {i}, bi max{ t ai ,0})}
iS
T(S,t)中的bi+max{t-ai,0}：
的最优值为m(i，j)，即m(i，j)是背包容量为j，可选 择物品为i，i+1，…，n时0-1背包问题的最优值。由01背包问题的最优子结构性质，可以建立计算m(i，j)的 递归式如下：
j wn vn m(n, j ) 0 0 j wn
j wi max{m(i 1, j ),m(i 1, j wi ) vi } m(i, j ) 0 j wi m(i 1, j )
2
流水作业调度
1. 最优子结构性质
设是n个流水作业的一个最优调度，所需的加工时间为 a(1)+T’。其中T’是在机器M2的等待时间为b(1)时，安 排作业(2)，…，(n)所需的时间。 记S=N-{(1)}，则有T’=T(S,b(1))。
由T的最优性可知，T’T(S,b(1))。若T’>T(S,b(1))，设’是作
递归算法及经典递归例子代码实现
递归算法及经典递归例子代码实现递归算法是一种在函数体内调用函数本身的算法。
通过递归，问题可以被分解为规模更小的子问题，直到达到基本情况，然后将所有的子问题的解合并起来，得到原始问题的解。
递归算法的实现通常包含两个要素：基本情况和递归调用。
基本情况是指不能再进一步分解的情况，一般是针对问题的最小输入。
递归调用是指在解决子问题之后，将问题规模缩小，然后调用自身来解决更小规模的问题。
下面将介绍三个经典的递归例子，并给出相应的代码实现。
1.阶乘计算：阶乘是指从1到给定的数字n之间所有整数的乘积。
它是递归问题的经典例子之一```pythondef factorial(n):if n == 0:return 1else:return n * factorial(n - 1)```在阶乘的递归实现中，基本情况是n等于0时，返回1、递归调用是将问题规模变为n-1，然后将得到的结果与n相乘。
通过递归调用，可以一直计算到n为1，然后将每个阶乘结果逐步合并返回，最终得到n的阶乘。
2.斐波那契数列：斐波那契数列是指从0和1开始，后续的数字都是前两个数字之和。
```pythondef fib(n):if n <= 0:return 0elif n == 1:return 1else:return fib(n - 1) + fib(n - 2)```在斐波那契数列的递归实现中，基本情况是n小于等于0时返回0，n等于1时返回1、递归调用是将问题规模分为两个子问题，分别计算n-1和n-2的斐波那契数，然后将两个子问题的结果相加返回。
通过递归调用，可以一直计算到n为0或1，然后将每个斐波那契数逐步合并返回，最终得到第n个斐波那契数。
3.二叉树遍历：二叉树遍历是指按照一定的顺序访问二叉树的所有节点。
```pythonclass TreeNode:def __init__(self, val=0, left=None, right=None):self.val = valself.left = leftself.right = rightdef inorderTraversal(root):if root is None:return []else:return inorderTraversal(root.left) + [root.val] + inorderTraversal(root.right)```在二叉树的中序遍历的递归实现中，基本情况是判断当前节点是否为空，如果为空则返回一个空列表。
递归算法详解完整版
递归算法详解完整版递归算法是一种重要的算法思想，在问题解决中起到了很大的作用。
它通过将一个大问题划分为相同或类似的小问题，并将小问题的解合并起来从而得到大问题的解。
下面我们将详细介绍递归算法的定义、基本原理以及其应用。
首先，我们来定义递归算法。
递归算法是一种通过调用自身解决问题的算法。
它通常包括两个部分：基础案例和递归步骤。
基础案例是指问题可以被直接解决的边界情况，而递归步骤是指将大问题划分为较小问题并通过递归调用自身解决。
递归算法的基本原理是"自顶向下"的思维方式。
即从大问题出发，不断将问题划分为较小的子问题，并解决子问题，直到达到基础案例。
然后将子问题的解合并起来，得到原始问题的解。
递归算法的最大特点是简洁而优雅。
通过将复杂问题分解为简单问题的解决方式，可以大大减少代码的复杂程度，提高程序的效率和可读性。
但是递归算法也有一些缺点，包括递归深度的限制和复杂度的不确定性。
过深的递归调用可能导致栈溢出，而不合理的递归步骤可能导致复杂度过高。
递归算法有许多应用场景，我们来介绍其中一些典型的应用。
1.阶乘问题：计算一个数的阶乘。
递归算法可以通过将问题划分为更小的子问题来解决。
例如，n的阶乘可以定义为n乘以(n-1)的阶乘。
当n 等于1时，我们可以直接返回1作为基础案例。
代码如下：```int factorial(int n)if (n == 1)return 1;}return n * factorial(n - 1);```2.斐波那契数列问题：求斐波那契数列中第n个数的值。
斐波那契数列的定义是前两个数为1，然后从第三个数开始，每个数都是前两个数的和。
递归算法可以通过将问题划分为两个子问题来解决。
当n等于1或2时，直接返回1作为基础案例。
代码如下：```int fibonacci(int n)if (n == 1 ， n == 2)return 1;}return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);```3.二叉树问题：对于给定的二叉树，递归算法可以通过递归调用左子树和右子树的解来解决。
6种基本算法 递归
6种基本算法递归递归是一种重要的算法思想，它在计算机科学中得到广泛应用。
本文将介绍六种基本的递归算法，并对其原理和应用进行讲解。
一、递归的基本概念递归是指一个函数在其定义中调用自身的过程。
递归算法通过将一个大问题划分为一个或多个相同或相似的子问题，然后通过解决子问题来解决原始问题。
递归算法具有简洁、优雅以及可读性强的特点，但同时也需要注意递归的停止条件，以避免无限递归的发生。
二、阶乘算法阶乘算法是递归算法中最经典的例子之一。
它的定义如下：```n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1```其中，n为一个非负整数。
阶乘算法可以通过递归的方式实现，即：```fact(n) = n * fact(n-1)```其中，停止条件为`n=0`时，返回1。
三、斐波那契数列算法斐波那契数列是一个无限序列，其定义如下：```F(0) = 0F(1) = 1F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n>1)```斐波那契数列算法可以通过递归的方式实现，即：```fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2)```其中，停止条件为`n=0`或`n=1`时，返回相应的值。
四、二分查找算法二分查找算法是一种高效的查找算法，它的基本原理是将已排序的数组分成两部分，然后判断目标值在哪一部分，并继续在该部分中进行查找，直到找到目标值或者查找范围为空。
二分查找算法可以通过递归的方式实现，即：```binarySearch(arr, target, start, end) = binarySearch(arr, target, start, mid-1) (target < arr[mid])= binarySearch(arr, target, mid+1, end) (target > arr[mid])= mid (target = arr[mid])```其中，`arr`为已排序的数组，`target`为目标值，`start`和`end`为查找范围的起始和结束位置。
常见递归算法
常见递归算法
常见的递归算法包括以下几种：
1. 斐波那契数列：斐波那契数列是一个经典的递归问题，每个数都是前两个数的和。
通过递归可以很容易地计算出斐波那契数列的每一项。
2. 树的遍历：在树的遍历中，递归是一种常见的实现方式。
例如，前序遍历、中序遍历和后序遍历都可以通过递归算法来实现。
3. 汉诺塔问题：汉诺塔问题是一个经典的递归问题，需要将一系列圆盘从一个柱子移动到另一个柱子，且在移动过程中不能将较大的圆盘放在较小的圆盘上面。
递归算法可以有效地解决这个问题。
4. 快速排序算法：快速排序是一种常用的排序算法，它采用了分治法的思想，通过递归将数组分成两部分并对其进行排序。
5. 归并排序算法：归并排序也是一种基于分治思想的排序算法，通过递归将数组分成子数组，然后合并它们以得到排序后的数组。
6. 二分查找算法：二分查找是一种在有序数组中查找特定元素的高效算法。
通过将数组一分为二并递归地在子数组中查找，可以快速缩小查找范围。
7. Tower of Hanoi（汉诺塔）问题：这是一个经典的数学谜题，需要将一系列圆盘从一个柱子移动到另一个柱子，遵循特定的规则。
递归算法可以用来解决这个问题。
这些只是一些常见的递归算法示例，递归在很多其他问题和算法中也有广泛应用。
递归的优点是代码简洁易懂，但需要注意防止递归深度过大导致栈溢出等问题。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的算法和数据结构来解决问题。
斐波那契数列（递归、非递归算法）
斐波那契数列（递归、⾮递归算法）题⽬斐波那契数，亦称之为斐波那契数列（意⼤利语： Successione di Fibonacci)，⼜称黄⾦分割数列、费波那西数列、费波拿契数、费⽒数列，指的是这样⼀个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递归的⽅法定义：F0=0，F1=1，Fn=Fn-1+Fn-2（n>=2，n∈N*），⽤⽂字来说，就是斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数列系数就由之前的两数相加。
限制时间限制：1秒空间限制：32768Kpackage com.algorithm;import java.util.Scanner;/*** ⼤家都知道斐波那契数列，现在要求输⼊⼀个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项。
n<=39* @⽇期：2018年6⽉30⽇下午10:11:43* @作者：Chendb*/public class Fibonacci {public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);int n = scanner.nextInt();System.out.println(fibonacciRecursion(n));System.out.println(fibonacci(n));}/*** 递归算法* @param n* @return*/public static int fibonacciRecursion(int n) {if (n < 1) {return 0;}if( n == 1 || n == 2) {return 1;}return fibonacciRecursion(n-1) + fibonacciRecursion(n-2);}/*** ⾮递归算法* @param n* @return*/public static int fibonacci(int n) {if (n < 1) {return 0;}if( n == 1 || n == 2) {return 1;}int result = 1;int preResult = 1; // n - 2项int currentResult = 1; // n - 1项for (int i = 3; i <= n; i++) {result = preResult + currentResult; // n = f(n-1) + f(n-2)preResult = currentResult; // f(n-2) = f(n-1)currentResult = result; // f(n-1) = n}return result;}}View Code。
常见算法及其运算实例分析
常见算法及其运算实例分析算法是计算机科学中最重要的一部分。
算法既是计算机科学的基础，又是计算机编程的核心。
了解算法，可以让我们更深入地理解计算机的运行原理，以及如何利用计算机处理各种问题。
本文将为大家介绍几个常见的算法及其运算实例分析。
一、递归算法递归算法是一种函数调用自身的算法。
递归算法具有简单、直观、可理解等优点。
但同时也存在着栈溢出、时间复杂度高等问题。
递归算法通常包含有一些关键参数，如递归的次数和递归深度等，这些参数的变化对于程序的运行和结果都有着重要的影响。
实例：斐波那契数列我们可以通过递归算法来实现斐波那契数列。
斐波那契数列的定义如下：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2）。
通过递归算法，可以很容易地实现斐波那契数列。
我们只需要以递归方式调用F函数即可，代码如下：```def F(n):if n==0:return 0elif n==1:return 1else:return F(n-1)+F(n-2)```二、分治算法分治算法是将问题分解成若干个子问题，然后递归地分别解决每个子问题，最终合并成一个整体的算法。
分治算法通常解决的问题都具备“可分解性”和“合并性”的特征。
实例：二分查找二分查找可以用分治算法来实现。
二分查找的思想是将数组分成两个区间，分别判断目标值是否在每个区间中。
如果目标值存在于某个区间中，则继续在该区间中进行查找；否则在另一个区间中进行查找。
通过分治算法，我们可以将二分查找优化成O(log n)的时间复杂度。
代码如下：```def binary_search(arr, left, right, target):if left > right:return -1mid = (left + right) // 2if arr[mid] == target:return midelif arr[mid] < target:return binary_search(arr, mid+1, right, target)else:return binary_search(arr, left, mid-1, target)```三、贪心算法贪心算法可以理解为通过每步选择中的局部最优解，从而达到全局最优的解决方案。
递归时间复杂度计算公式
递归时间复杂度计算公式（原创实用版）目录1.递归时间复杂度计算的基本概念2.递归时间复杂度的分类3.递归时间复杂度计算的方法和示例4.递归时间复杂度在实际问题中的应用正文一、递归时间复杂度计算的基本概念在计算机科学中，递归是一种函数调用自身的技术。
递归时间复杂度是指评估递归算法执行时间与问题规模之间关系的一种方法。
递归时间复杂度可以帮助我们在解决实际问题时，预测算法的运行速度，从而选择更加合适的算法。
二、递归时间复杂度的分类递归时间复杂度分为三种：O(1)、O(logn) 和 O(2^n)。
1.O(1)：表示递归时间复杂度为一常数，即不论问题规模如何变化，算法执行时间都保持不变。
2.O(logn)：表示递归时间复杂度与问题规模 logn 成正比。
随着问题规模的增大，算法执行时间增长速度逐渐降低。
3.O(2^n)：表示递归时间复杂度与问题规模 2^n 成正比。
随着问题规模的增大，算法执行时间呈指数级增长。
三、递归时间复杂度计算的方法和示例计算递归时间复杂度的方法通常是基于递归的深度和宽度进行分析。
下面以一个简单的递归问题为例，介绍计算递归时间复杂度的方法。
问题：计算一个数的阶乘。
解：假设 f(n) 表示 n 的阶乘，那么 f(n)=n*f(n-1)。
这是一个典型的递归问题。
在计算其时间复杂度时，需要考虑递归的深度和宽度。
假设问题规模为 n，当 n=1 时，f(1)=1，这是一个基本情况。
当 n>1 时，我们需要计算 n*f(n-1)，在计算 f(n-1) 时，需要遍历 n-1 个基本情况。
因此，在计算 f(n) 时，需要遍历 n 个基本情况和 n-1 个基本情况，总共需要遍历 n*(n-1) 个基本情况。
由于递归的时间复杂度与基本情况的数量成正比，因此，该问题的时间复杂度为 O(n)。
四、递归时间复杂度在实际问题中的应用在实际问题中，我们通常希望使用时间复杂度较低的算法来解决问题。
例如，在计算一个数的阶乘时，我们可以使用循环而非递归来提高算法的执行速度。
递归算法的非递归实现
递归的替代算法
递归是一种强大的编程技术，它允许函数在其定义中调用自身。
然而，递归并不是解决所有问题的最佳方法。
有时，使用迭代（即循环）或其他算法可能会更有效，更简洁，甚至更快。
下面是一些可以替代递归的算法和方法。
1. 迭代
迭代是递归的一种常见替代方法。
在许多情况下，递归函数可以通过使用循环（如for 循环或while循环）来重写。
迭代通常比递归更容易理解和调试，并且对于某些问题，迭代可能比递归更有效。
2. 动态规划
动态规划是一种用于解决递归问题的强大技术。
它通过将问题的解决方案存储在一个表（或其他数据结构）中，避免了递归中的重复计算。
这种方法通常比递归更快，因为它避免了不必要的重复计算。
3. 尾递归优化
尾递归是一种特殊的递归形式，其中递归调用是函数体中的最后一个操作。
一些编程语言（如Haskell）对尾递归进行了优化，使其具有与迭代相同的效率。
然而，并非所有编程语言都支持这种优化，因此尾递归可能并不总是最佳选择。
4. 栈模拟
对于某些递归问题，可以通过使用栈来模拟递归调用栈。
这种方法允许我们以迭代的方式模拟递归过程，从而避免了递归的深度限制。
5. 非递归数据结构
某些数据结构（如栈、队列、树等）可以以非递归方式实现。
使用这些数据结构可以避免需要递归的算法。
总的来说，选择递归还是其他算法取决于具体的问题和上下文。
在某些情况下，递归可能是最简洁和最直接的方法。
然而，在其他情况下，使用迭代、动态规划或其他技术可能会更有效、更简洁或更快。
因此，了解多种解决问题的方法是非常重要的。
斐波那契数列递归和非递归算法的区别
斐波那契数列是一个经典的数学问题，定义如下：F(0) = 0F(1) = 1F(n) = F(n-1) + F(n-2) （n ≥2）它的前几项为：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...现在我们来讨论递归和非递归算法在计算斐波那契数列上的区别：1. 递归算法：递归算法是一种自己调用自己的方法。
在计算斐波那契数列时，递归算法直接按照定义来实现，但效率较低，因为它会重复计算很多子问题。
递归实现代码示例（Python）：```def fibonacci_recursive(n):if n <= 1:return nelse:return fibonacci_recursive(n-1) + fibonacci_recursive(n-2)```递归算法的优点是实现简单易懂，但在计算较大的斐波那契数列时，会产生大量重复计算，导致时间复杂度呈指数级增长，效率较低。
2. 非递归算法：非递归算法（也称迭代算法）是通过循环来计算斐波那契数列，避免了重复计算，因此效率较高。
非递归实现代码示例（Python）：```def fibonacci_iterative(n):if n <= 1:return nelse:a, b = 0, 1for _ in range(n-1):a, b = b, a + breturn b```非递归算法通过保存之前的计算结果，避免了重复计算，使得时间复杂度为线性级别（O(n)），在计算较大的斐波那契数列时，效率远高于递归算法。
总结：递归算法和非递归算法在计算斐波那契数列上的区别主要在于实现方式和效率。
递归算法实现简单但效率低下，而非递归算法效率高，避免了重复计算，但代码相对复杂一些。
在实际应用中，如果需要计算大规模的斐波那契数列，推荐使用非递归算法来获得更高的性能。
递归与非递归程序的转换
3 递归非递归的转换方法1-表述2
讨论直接使用栈保存中间结果，从而将递归 算法转化为非递归算法的过程。以求N!为例,其递 归模型有一个递归体和一个递归出口两个式子,分 别称为(1)式和(2)式。
No Image
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3 递归非递归的转换方法1-表述2
设计一个栈,其结构如下：
struct
{ int vn;
– 问题求解的方法是递归的。例如汉诺塔问题，其求 解方法是递归的。
4
1 递归算法的设计
递归模型：递归模型是递归算法的抽象,它反 映递归问题的递归结构,例如,前面的递归算法 对应的递归模型如下：
– fun(0)=1
n=0 (1)
fun(n)=n*fun(n-1)
n>0 (2)
– 其中：第一个式子给出了递归的终止条件,我们称 之为递归出口；第二个式子给出了fun(n)的值与 fun(n-1)的值之间的关系，我们称之为递归体。
20
3 递归非递归的转换方法1-表述1
fun(5)
求
解
d1:fun(4)
过
d2:fun(3)
程
d3:fun(2)
fu n (5 )= 1 2 0 fu n (4 )= 2 4 fu n (3 )= 6 fu n (2 )= 2
d4:fun(1)
21
返回 1
3 递归非递归的转换方法1-表述1
自定义堆栈法：采用自定义堆栈替代系统堆栈 的方式实现递归函数的转换。
23
3 递归非递归的转换方法1-表述1
练习：
– 1 求N！的递归算法； – 2 求N！的栈模拟递归算法；
– 3 求斐波那契数的递归算法；
– 4 求斐波那契数的栈模拟递归算法。
斐波那契递归和非递归时间复杂度
斐波那契递归和非递归时间复杂度
斐波那契数列是一个非常经典的数列，它的定义是每个数字都是前两个数字之和，即F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(1) = F(2) = 1。
递归方式计算斐波那契数列是一种直观且简单的方法，但是在计算大数值时效率较低。
递归实现的时间复杂度是指数级别的，即O(2^n)。
这是因为在每一次递归调用中，都会产生两个新的递归调用，所以递归树的节点数量以指数的方式增长。
非递归方式计算斐波那契数列可以通过迭代的方式实现，避免了重复计算。
在非递归方式中，我们可以使用一个循环来计算每一个数字，从而得到斐波那契数列的结果。
非递归方式的时间复杂度是线性的，即O(n)。
这是因为在每一次循环中，只需要计算一次当前数字的值，而不需要重复计算之前的值。
总结起来，递归方式计算斐波那契数列的时间复杂度是指数级别的
O(2^n)，而非递归方式计算斐波那契数列的时间复杂度是线性的O(n)。
所以，在计算大数值时，非递归方式更加高效。
需要注意的是，非递归方式虽然在时间复杂度上更优，但是在空间复杂度上却比递归方式高。
递归方式的空间复杂度是O(n)，因为每一
次递归调用都会产生新的栈帧，而非递归方式的空间复杂度是O(1)，因为只需要保存前两个数字的值即可。
Java语言程序设计复习题（new）
Java语言程序设计复习题（new）一、选择1 Java源程序文件的扩展名为：A 。
（）A．.java B．.jar C．.class D．.txt2 下列选项中，反映了Java程序并发机制的特点。
（ B ）A．安全性B．多线程C．跨平台D．可移植3 下列描述中，错误的是。
（A ）A．Java要求编程者管理内存B．Java的安全性体现在多个层次上C．Java是面向对象程序设计语言D．Java有多线程机制4 JDK提供的java编译器为。
（B ）A．java.exe B．javac.exe C．javaprof.exe D．javap.exe 5 下列语句中，属于多分支语句的是 A 。
( )A．if语句B．for语句C．switch语句D．while 语句6 下列选项中, 不合法的标识符为 D 。
（）Ａ．MyGame Ｂ．_isHers Ｃ．_$doc D．2japro7线程生命周期中正确的状态是 C 。
（）A．新建状态、运行状态和死亡状态B．新建状态、运行状态、阻塞状态和死亡状态C．新建状态、就绪状态、运行状态、阻塞状态和死亡状态D．新建状态、就绪状态、运行状态、恢复状态和死亡状态8 下列不属于Swing GUI组件的是。
（）A．Jbutton B．Menu C．Jslider D．JT abbedPan 9 若特快订单是一种订单，则特快订单类和订单类的关系是C。
（）A．使用关系B．包含关系C．继承关系D．无关系10Java语言使用的字符码集是。
（ D ）A．ASCII B．BCD C．DCB D．Unicode 11 程序运行时若引发一个可识别的错误，就会产生一个异常类对象，该过程称为A。
（）A．捕获异常B．抛出异常C．声明异常D．嵌套异常12 设x = 1 , y = 2 , z = 3，则表达式y＋＝z－－/＋＋x的值是A 。
（）A．3 B．3.5 C．4 D．513不是类及类成员的访问控制符的是C 。
递归算法 终止条件
递归算法终止条件递归算法是计算机编程中重要的算法之一，特别是在树形结构、图形问题等领域中得到广泛应用。
递归算法的本质是将问题拆分成小问题，然后通过不停调用自身来解决这些小问题，直到到达终止条件为止。
因此，终止条件对于递归算法的正确性和效率至关重要。
在本篇文章中，我们将探讨递归算法的终止条件应该如何设定。
一、什么是递归算法递归算法是指在解决一个问题时，不断将规模减小的子问题通过调用自身来解决。
举个例子，我们可以用递归算法来计算斐波那契数列中第 n 项的值。
斐波那契数列的定义是：第1项和第2项都是1，从第3项开始，每一项都是前两项的和。
因此，斐波那契数列的前几项为1、1、2、3、5、8、……我们可以通过递归算法来计算斐波那契数列的第 n 项的值，代码如下所示：```pythondef fibonacci(n):if n == 1 or n == 2:return 1else:return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)```在这个代码中，我们将问题拆分成了两个较小的子问题：计算第 n-1 项和计算第n-2 项。
然后，我们通过调用自身来解决这些子问题。
最终，当 n 等于1或2时，我们知道斐波那契数列的第 n 项的值是1，因此我们返回1。
递归算法的终止条件指的是满足条件后递归过程停止的条件。
如果我们没有设置恰当的终止条件，递归可能会一直进行下去，直到程序崩溃或者内存溢出。
因此，合适的终止条件对于递归算法的正确性和效率至关重要。
一般来说，递归算法的终止条件应该满足以下两个条件：1. 能够即时停止递归过程。
当递归执行到某一层次时，终止条件应该能够满足，否则递归将会进入无限循环状态。
例如，在计算斐波那契数列中第 n 项的值时，我们需要设置当 n 等于1或2时递归停止。
因为当 n 等于1或2时，我们知道斐波那契数列的第 n 项的值是1。
当 n 大于2时，递归将会继续执行，计算出斐波那契数列前面的项。
递归算法必须具备的两个条件
递归算法必须具备的两个条件
递归算法是一种常见的算法思想，它可以将一个问题分解成更小的子问题来解决。
但是，递归算法并不是所有问题的最佳解决方案，因此在使用递归算法时，必须具备两个条件：基本情况和递归情况。
基本情况是指递归算法必须有一个终止条件，当满足这个条件时，递归算法就不再继续执行，而是返回结果。
如果没有基本情况，递归算法将会无限循环，导致程序崩溃。
例如，计算阶乘的递归算法中，基本情况是当n等于1时，返回1，否则继续递归计算n-1的阶乘。
递归情况是指递归算法必须能够将问题分解成更小的子问题，并且这些子问题与原问题具有相同的解决方法。
递归情况通常包括两个步骤：将问题分解成更小的子问题，然后递归调用自身来解决这些子问题。
例如，计算斐波那契数列的递归算法中，递归情况是将问题分解成计算n-1和n-2的斐波那契数列，然后递归调用自身来解决这些子问题。
在使用递归算法时，还需要注意一些问题。
首先，递归算法可能会导致栈溢出，因为每次递归调用都会在栈中创建一个新的函数调用帧，如果递归深度太大，栈就会溢出。
其次，递归算法可能会导致重复计算，因为同一个子问题可能会被多次计算，这会浪费计算资源。
因此，在使用递归算法时，需要考虑这些问题，并采取相应的措施来避免它们的发生。
递归算法是一种常见的算法思想，但是在使用递归算法时，必须具备基本情况和递归情况这两个条件。
同时，还需要注意栈溢出和重复计算等问题，以确保递归算法的正确性和效率。
生活中递归的例子
生活中递归的例子
1.阶乘计算：在数学中，n!（n的阶乘）等于1*2*3*…*n。
递归地可以表示为：如果n等于0或1，则返回1；否计算n*(n-1)的阶乘。
2. 斐波那契数列：Fibonacci数列包括有趣的性质，每个数字都是前两个数字的和。
递归可以表示为：如果n等于0或1，则返回n；否则返回Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2)。
3.文件夹的计数：计算文件夹下的所有文件和子文件夹的数量。
递归的思路是，对于每个文件夹，计算它下面的文件数量和每个子文件夹的数量。
递归结束条件是计算到了一个没有子文件夹的文件夹。
4.数组反转：将数组中的元素反转。
递归思路是，将首尾两个元素交换，并对剩余的元素进行递归操作。
递归结束条件是数组为空或只有一个元素。
5.树的遍历：树是一个由节点组成的层级结构。
有三种主要的遍历方式：前序遍历，中序遍历和后序遍历。
其中，前序遍历先遍历父节点，再遍历左子树和右子树。
中序遍历先遍历左子树，再遍历父节点和右子树。
后序遍历先遍历左子树，再遍历右子树和父节点。
对于每个节点，遍历操作可以递归地应用到它的左右子树中。
2n的算法
2n的算法什么是2n的算法2n的算法是指一种时间复杂度为O(2^n)的算法。
在计算机科学中，时间复杂度用来衡量算法的运行时间与输入规模之间的关系。
2n的算法意味着随着输入规模的增加，算法的运行时间呈指数级增长。
2n的算法的应用领域2n的算法通常用于解决组合优化问题，如旅行商问题、背包问题等。
这些问题的特点是，随着问题规模的增加，解空间呈指数级增长，因此需要使用指数级的算法来解决。
2n的算法的实现方式2n的算法通常通过递归的方式实现。
递归是一种将大问题分解为小问题的方法，通过解决小问题来解决大问题。
在2n的算法中，递归的关键在于将问题分解为两个或多个子问题，然后将子问题的解合并起来得到原问题的解。
2n的算法的优缺点2n的算法的主要优点是其简单性和直观性。
通过将问题分解为子问题，2n的算法可以直接解决复杂的组合优化问题。
此外，2n的算法还具有较好的可扩展性，可以应对不同规模的问题。
然而，2n的算法的主要缺点是其指数级的时间复杂度。
随着问题规模的增加，算法的运行时间呈指数级增长，这使得2n的算法在处理大规模问题时效率较低。
此外，2n的算法还可能导致内存消耗过大，因为在递归过程中需要保存大量的中间结果。
2n的算法的改进方法为了改进2n的算法的效率，可以采用以下几种方法：1.剪枝：在递归过程中，通过一些条件判断来减少无效的计算，从而减少算法的运行时间。
剪枝可以根据具体问题的特点进行设计，以提高算法的效率。
2.动态规划：动态规划是一种将问题分解为子问题，并将子问题的解保存起来的方法。
通过保存子问题的解，可以避免重复计算，从而提高算法的效率。
3.近似算法：近似算法是一种在有限时间内给出问题的近似解的方法。
近似算法可以在较短的时间内得到一个接近最优解的解，从而在实际应用中具有较高的效率。
2n的算法的应用举例旅行商问题旅行商问题是一个经典的组合优化问题，其目标是找到一条最短路径，使得旅行商可以从起点出发，经过所有城市恰好一次，最后回到起点。