传递函数的定义
第三节系统的传递函数
当 初 始 条 件 为 零 时 ， 对 式 2 4 5 进 行 拉 氏 变 换 ， 得 ( ) n n -1 m m -1 a s+ a s + 鬃 ?a s +a X s =( b s +b s + () ( ) 0 1 n -1 n 0 0 1 鬃 ?b s +b X s m -1 m ) i()
式中
T ─ 时 间 常 数 ； z ─ 阻 尼 比 ， 0 ＜ z ＜1。
振荡环节另一种常用的标准形式为 w n2 G (s)= 2 s + 2zw n s + w n2 式中
1 wn ─ 无 阻 尼 自 然 振 荡 频 率 ， wn = 。 T
图2-1所示的机械移动系统和图2-3所示的RLC路，当 0<ξ<1时，其运动规律可用振荡环节描述。
当输入量为单位阶跃信号时，输出量就是脉冲 函数，这在实际中是不可能的。因此，理想的微分 环节不能实现，在实际中用来执行微分作用的都是 近似的，称为实际微分环节，其传递函数具有如下 形式：
KTD s G (s) = TD s + 1
例图 为无源微分 电路，设电压ui (t )为 输入量，电阻R两端电 压u0 (t )为输出量。
例 如 图 2 1 1 所 示 为 机 械 转 动 系 统 ， 它 由 惯 性 负 载 和 粘 性 摩 檫 阻 尼 器 构 成 ， 以 转 矩 T 为 输 入 量 ， 以 角 i 速 度 w 为 输 出 量 。
B Ti J
dw(t) 其 运 动 方 程 式 为 ： J +B w(t)= T t) i( dt W (s) 1 K 其 传 递 函 数 为 ： G(s)= = = T s) Js+ B Ts+1 i( J 1 式 中 T= , K= 。 B B
自动控制原理传递函数知识点总结
自动控制原理传递函数知识点总结自动控制原理是研究自动控制系统中信号传递、处理、转换等基本理论和方法的学科。
传递函数是描述线性时不变系统的数学模型，它对于分析和设计控制系统起着重要的作用。
下面将对自动控制原理中关于传递函数的知识点进行总结。
一、传递函数的定义传递函数是用来描述线性时不变系统输入-输出关系的数学函数。
对于连续时间系统，传递函数可以表示为：G(s) = Y(s) / X(s)其中，G(s)为传递函数，Y(s)为系统的输出信号，X(s)为系统的输入信号，s为复变量。
对于离散时间系统，传递函数可以表示为：G(z) = Y(z) / X(z)其中，G(z)为传递函数，Y(z)为系统的输出信号，X(z)为系统的输入信号，z为复变量。
二、传递函数的性质1. 时域特性：传递函数可以通过拉氏变换将时域的微分、积分方程转换为频域的代数方程，从而简化系统的分析和设计。
2. 稳定性：传递函数的稳定性与其极点位置有关。
当所有极点均位于左半平面时，传递函数是稳定的；当存在极点位于右半平面时，传递函数是不稳定的。
3. 零点和极点：传递函数的零点是使得传递函数为零的点，极点是使得传递函数无穷大的点。
零点和极点的位置对系统的动态性能和稳定性有重要影响。
4. 频率响应：传递函数的频率响应是指系统对不同频率输入信号的响应特性。
频率响应可以通过传递函数的频域分析获得，包括幅频特性和相频特性。
三、传递函数的常见形式1. 一阶系统传递函数：一阶系统的传递函数形式为：G(s) = K / (s + a)其中，K为传递函数的增益，a为系统的时间常数。
2. 二阶系统传递函数：二阶系统的传递函数形式为：G(s) = K / (s^2 + 2ζω_ns + ω_n^2)其中，K为传递函数的增益，ζ为阻尼比，ω_n为自然频率。
3. 传递函数的因果性：因果系统的传递函数在复平面上的极点全部位于左半平面，即Re(s) < 0。
非因果系统的传递函数在复平面上的极点存在于右半平面，即Re(s) > 0。
微分方程传递函数的定义
求解微分方程可求出系统的输出响应，但如果方程阶次较高，则计算非常繁琐，因此对系统的设计分析不便，所以应用传递函数将实数中的微分运算变成复数中的代数运算，可使问题分析大大简化。
一、传递函数的概念及意义（1）传递函数的定义：线性系统在零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比。
线性定常系统微分方程的一般表达式:其中x c为系统输出量，x r为系统输入量在初始情况为零时，两端取拉氏变换：移项后得：上式中Xc(s)输出量的拉氏变换；Xr(s)输入量的拉氏变换；W(s) 为系统或环节的传递系数。
（2）传递函数的两种表达形式a.传递函数的零极点表示形式b.传递函数的时间常数表示形式（3）关于传递函数的几点说明a.传递函数的概念只适应于线性定常系统。
b.传递函数只与系统本身的特性参数有关，而与输入量变化无关。
c.传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动规律。
d.传递函数分子多项式阶次低于或至多等于分母多项式的阶次。
二、典型环节的传递函数及其暂态特性无论什么样的系统，它的传递函数都是一些基本因子相乘积而得到的。
这些基本因子就是典型环节对应的传递函数。
把复杂的物理系统划分为若干个典型环节，利用传递函数和框图来进行研究，这是研究系统的一种重要方法。
（1）比例环节（放大环节/无惯性环节）特点：输入量与输出量的关系为一种固定的比例关系（见下图）。
（2）惯性环节特点：只包含一个储能元件，使其输出量不能立即跟随输入量的变化，存在时间上的延迟（见下图）。
（3）积分环节特点：输出量随时间成正比地无限增加（见下图）。
(4）振荡环节特点：振荡的程度与阻尼系数有关（见下图）。
（5）微分环节特点：是积分环节的逆运算，其输出量反映了输入信号的变化趁势（见下图）。
实践中，理想的微分环节难以实现。
（6）延迟环节（时滞环节、滞后环节）特点：输出信号经过一段延迟时间τ后，可完全复现输入信号（见下图）。
25 第五节 传递函数的定义及基本环节的传递函数
第五节 传递函数的定义及基本环节的传递函数一旦建立起系统的线性化数学模型，就能用拉氏变换这个数学工具对其进行求解，从而得到系统的输出响应。
但这种方法随输入函数的变化而变化显得繁琐，最主要的还是难以从方程本身判断系统的动态特性。
因此引入传递函数的概念，用来描述单输入、单输出系统。
推广之，还可以用传递矩阵描述多输入、多输出系统，进一步深化对系统的认识。
一、传递函数的定义零初始条件下，系统（元件）输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为系统（元件）的传递函数，有时也称转移函数。
记为。
()G s ()()()Y s G s X s = 零初始条件含义1、指输入作用在0t =以后才加入，因此输入量及其各阶导数在0t =时均为0（与其本身无关）。
2、输入作用加入前，系统是相对静止的，因此系统的输出量及其各阶导数在0t =时也全为0。
二、传递函数的特性()()()111111n n n n m m m m Y s G s X s a s a s a s a b s b s b s b −−−00−=++++=++++m n ≥1、对于线性定常系统，传递函数是的有理分式，且。
对于单独一个元件，可能有。
S m ≥n m n <()G s TS = (微分元件)2、传递函数是系统（元件）动态规律的固有描述，仅与其结构参数有关，不随输入量变化。
三、系统基本环节的传递函数一个系统可看作是由许多基本环节组成的，这些基本环节主要有；1、比例环节（放大环节）——输出量与输入量成正比的环节()()()()() Y sG s K Y s KX sX s==⇒=2、惯性环节（非周期环节）由于有储能元件，故对突变形式的输入信号，不能立即送出去。
()1K G s TS =+ K —放大系数，T —时间常数 3、微分环节——输出正比于输入的微分的环节 ()()y t x t =()()()()()Y s Y s SX S G s S X S =⇒== 4、积分环节——输出正比于输入的积分的环节()()y t x t dt =∫()()()()()11Y s Y s X S G s S X =⇒=S S= 5、振荡环节该环节含有两种储能元件，在信号传递过程中，因能量的转换而使其输出带有振荡的性质。
2.2-6传递函数
因为组成系统的元部件或多或少存在惯 性，所以G(s)的分母阶次大于等于分子阶 次，即 n,是m有理真分式，若 ,我们m 就 n 说这是物理不可实现的系统。
c(t)
a1
d dt
c(t
)
a0c(t
)
bm
dm dt m
r(t)
bm1
d m1 dt m1
r(t)
b1
d dt
r(t)
b0r(t
)
y(t)为系统的输出，r(t)为系统输入，则零 初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到 系统传递函数为：
G(s)
Y (s) R(s)
bmsm ansn
bm1sm1 an1sn1
一、传递函数的定义和概念
以上一节RLC电路的微分方程为例：
LC
d
2uC (t) dt 2
RC
duC (t) dt
uC
(t )
ur
(t )
设初始状态为零，对上式进行拉氏变换，得到：
LCs2Uc (s) RCsUc (s) Uc (s) Ur (s) （LCs2 RCs 1）Uc (s) Ur (s)
例 电枢控制式直流电动机
电枢回路： ur Ri Eb
[Ur (s) Eb (s)] / R I (s)
电枢反电势：Eb ce m
ce m (s) Eb (s)
电磁力矩： Mm cmi
cm I (s) Mm (s)
力矩平衡： Jmm fmm Mm Mm (s) /(Jm s fm ) m (s)
I1 ( s )
第六章 传递函数
第六章 传递函数对于线性定常系统，传递函数是常用的一种数学模型，它是在拉氏变换的基础上建立的。
用传递函数描述系统可以免去求解微分方程的麻烦，间接地分析系统结构及参数与系统性能的关系，并且可以根据传递函数在复平面上的形状直接判断系统的动态性能，找出改善系统品质的方法。
因此，传递函数是经典控制理论的基础，是一个极其重要的基本概念。
第一节 传递函数的定义一、传递函数的定义1、定义对于线性定常系统，在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉()()C s R s ==零初始条件输出信号的拉氏变换传递函数输入信号的拉氏变换2、推导设线性定常系统的微分方程的一般形式为1011110111()()()()()()()()n n n n nn m m m m mm d d d a c t a c t a c t a c t dtdtdtd d d b r t b r t b r t b r t dtdtdt------++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++◆ 式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，r(t)、c(t)及其各阶导数在t=0时的值均为零，即零初始条件。
◆a ， 1a ，…，na 及b ， 1b ，…，mb 均为系统结构参数所决定的实常数。
对上式中各项分别求拉氏变换，并令C(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s 的代数方程为：11011011[]()[]()nn mm n n m m a s a sa s a C sb sb sb s b R s ----++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++于是，由定义得到系统的传递函数为：10111011()()()()()m m m m nn n nb s b sb s b C s M s G s R s a s a sa s a N s ----++⋅⋅⋅++===++⋅⋅⋅++其中，1011()m m m m M s b s b s b s b --=++⋅⋅⋅++ 1011()n n n n N s a s a s a s a --=++⋅⋅⋅++ N(s)=0称为系统的特征方程，其根称为系统特征根。
传递函数的概念
传递函数的概念传递函数是指零初始条件下线性系统响应（即输出）量的拉普拉斯变换（或z变换）与激励（即输入）量的拉普拉斯变换之比。
记作G（s）=Y（s）/U（s），其中Y（s）、U（s)分别为输出量和输入量的拉普拉斯变换。
传递函数是描述线性系统动态特性的基本数学工具之一，经典控制理论的主要研究方法——频率响应法和根轨迹法——都是建立在传递函数的基础之上。
传递函数是研究经典控制理论的主要工具之一。
基本释义把具有线性特性的对象的输入与输出间的关系，用一个函数（输出波形的拉普拉斯变换与输入波形的拉普拉斯变换之比）来表示的，称为传递函数。
原是控制工程学的用语，在生理学上往往用来表述心脏、呼吸器官、瞳孔等的特性。
系统的传递函数与描述其运动规律的微分方程是对应的。
可根据组成系统各单元的传递函数和它们之间的联结关系导出整体系统的传递函数，并用它分析系统的动态特性、稳定性，或根据给定要求综合控制系统，设计满意的控制器。
以传递函数为工具分析和综合控制系统的方法称为频域法。
它不但是经典控制理论的基础，而且在以时域方法为基础的现代控制理论发展过程中，也不断发展形成了多变量频域控制理论，成为研究多变量控制系统的有力工具。
传递函数中的复变量s在实部为零、虚部为角频率时就是频率响应。
传递函数也是《积分变换》里的概念。
对复参数s，函数f(t)*e^(-st)在（-∞，+∞）的积分，称为函数f(t)的（双边）拉普拉斯变换，简称拉氏变换（如果是在[0,+∞)内积分，则称为单边拉普拉斯变换，记作F(s)，这是个复变函数。
设一个系统的输入函数为x(t），输出函数为y(t)，则y(t)的拉氏变换Y(s)与x(t)的拉氏变换X(s)的商：W(s)=Y(s)/X(s)称为这个系统的传递函数。
传递函数是由系统的本质特性确定的，与输入量无关。
知道传递函数以后，就可以由输入量求输出量，或者根据需要的输出量确定输入量了。
传递函数的概念在自动控制理论里有重要应用。
传递函数的定义,零点,极点,特征方程
传递函数的定义,零点,极点,特征方程【引言】在探讨传递函数的定义、零点、极点和特征方程之前，我们首先要了解传递函数的基本概念。
传递函数是描述线性时不变系统输入与输出之间关系的一种数学函数。
它是控制工程中最为常用的理论工具之一，对于分析和设计控制系统具有重要意义。
通过对传递函数的分析，我们可以全面了解系统的动态特性，从而帮助我们实现恰当的控制和优化。
【传递函数的定义】传递函数是描述线性时不变系统输入与输出之间关系的函数。
在控制工程中，一般使用 Laplace 变换来表示传递函数。
传递函数可以用来描述系统对输入信号的响应情况，其数学表达式通常具有分子和分母的形式，形如 H(s)=Y(s)/X(s)，其中 H(s) 为传递函数，Y(s) 为系统的输出信号的 Laplace 变换，X(s) 为系统的输入信号的 Laplace 变换。
通过传递函数，我们可以了解系统对各种输入信号的响应情况，从而为控制系统的设计和分析提供依据。
【零点和极点】传递函数的分子和分母多项式的根分别称为传递函数的零点和极点。
零点和极点决定了传递函数的动态特性，对于系统的稳定性和动态响应具有重要影响。
零点是使传递函数等于零的值，其位置可以直接影响系统的传递特性。
当传递函数的零点位于频域图中的某一点时，系统对该频率的输入信号会受到抑制；当零点位于实轴上时，系统会产生共振现象，从而导致系统的不稳定性。
极点是使传递函数的分母多项式等于零的值，其位置决定了系统的稳定性和动态响应。
当极点全部位于左半平面时，系统为稳定系统；当存在极点位于右半平面时，系统为不稳定系统；若存在虚轴上的极点，则会影响系统的频率响应特性。
【特征方程】特征方程可以由传递函数的分母多项式推导得出，是描述系统的稳定性及动态响应的重要方程之一。
特征方程的根即为传递函数的极点，通过解特征方程可以得到系统的固有频率和阻尼比，从而帮助我们全面了解系统的动态特性。
【个人观点】对于控制工程领域的从业者来说，深入理解传递函数的定义、零点、极点和特征方程对于系统分析和控制设计至关重要。
《自动控制原理》第二章传递函数
输出信号的拉氏变换 传递函数 = 输入信号的拉氏变换 零初始条件
C ( s) G(s) = R( s)
autocumt@ 1 中国矿业大学信电学院
一、 传递函数的定义和主要性质
设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述： 设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：
dn d n −1 d a 0 n c (t ) + a1 n −1 c (t ) + ⋅ ⋅ ⋅ + a n −1 c (t ) + a n c (t ) dt dt dt d m −1 d dm = b0 m r (t ) + b1 m −1 r (t ) + ⋅ ⋅ ⋅ + bm −1 r (t ) + bm r (t ) dt dt dt
autocumt@
15
中国矿业大学信电学院
自动控制原理
4、振荡环节
特点：包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时，两个 包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时， 包含两个独立的储能元件 储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。 储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。
z1 n 2 (t) = n1 (t) z2
G(s) = N 2 (s) z1 = =K N1 (s) z 2
传递函数： 传递函数：
autocumt@
9
中国矿业大学信电学院
其它一些比例环节
自动控制原理
R2 R1
r (t )
Ec
R
c (t )
ic (t )
r1
r2
r (t )
c(t )
C
例：积分电路 积分电路
i1 (t )
R1
2.3传递函数
二、传递函数的性质和含义
（关于传递函数的说明）
1．传递函数是描述线性定常系统的重要数 学模型之一，是系统动态数学模型，传递 函数的概念只适用于线性定常系统；
2．传递函数描述的是输出变量与输入变量 间的关系，传递函数只取决于系统本身的 结构、参数，与系统输入量无关；
3．传递函数是复变量s的有理分式函数， 其分子分母都是s的有理多项式，所有的系
这是一个脉冲面积（强度）为T 、宽度为零、幅值
为无穷大的理想脉冲，显然在实际中是无法实现的。
一阶微分环节：
这是一个比例环节与微分环节的并联组合， 称为一阶微分环节，或实用微分环节。
一阶微分环节的实现电路：
5．振荡环节
振荡环节一般含有两个环节的特点是，其输出信号比输人信号 延迟一段时间。
3、输入——偏差
偏差信号E(s)对于给定 输入R(s)与干扰输入N(s) 的闭环传递函数
⑴ 给定输人R(s)单独作用时
方框图：
闭环传递函数：
⑵ 扰动输人N(s)单独作用时
方框图：
闭环传递函数：
⑶ 系统在R(s)、N(s)同时作用下的总偏差
总偏差为各自独立作用下的偏差之和，即
在上面推导中，各闭环传递函数都具有相 同的分母，这反映了系统闭环传递函数的 共同规律，即分母多项式反映了系统的固 有特性。
7．传递函数常用形式之二：时间常数表达式
特点： 各因式项中的常数项均为1（若不是
零）；
各因式中s项的系数τi和Ti 称为各
环节的 时间常数，
k 称为系统增益或放大系数。
三、典型环节的传递函数
1．比例环节（放大环节）
特点是输出量能够不失真、不延迟，成比 例地复现输人信号。
传 递 函 数
（1）传递函数只适用于线性定常系统。由于传递函数是基于拉氏变换将原来的线 性常系数微分方程从时域变换至复频域而得到的，故仅用于描述线性定常系统。
（2）传递函数是在零初始条件下定义的，因此它表示了在系统内部没有任何能量 储存条件下的系统描述。如果系统内部有能量储存，传递函数中将会出现系统在
1.1 传递函数的定义
传递函数的概念是在用拉氏变换求解线性微分方程的基础上提出的，它是
经典控制理论中应用最广泛的一种动态数学模型。
设描述n阶线性定常系统的微分方程为
dnc(t) dn1c(t)
dc(t)
a0 dtn a1 dtn1 an1 dt anc(t)
b0
d m r (t ) dt m
记作
G(s)
C(s) R(s)
b0 s m a0 s n
b1sm1 a1sn1
bm1s bm an1s an
(n
m)
G(s) 反映了系统输出与输入之间的关系，描述了系统的特性，即为线性定
常系统的传递函数。
【定义 2-1】 线性定常系统中，在零初始条件下，系统输出量拉氏变换与输入
R(s) L (t) 1
所以，系统在单位脉冲输入信号 (t)作用下输出量的拉氏变换为 C(s) G(s)
故有：
g(t) L1 C(s) L1 G(s)
可见，传递函数 G(s) 的拉氏反变换是系统在单位脉冲输入信号 (t) 作
用下的输出量，它完全描述了系统的动态特性，所以是系统的数学模型，通常 也称为脉冲响应函数。
b1
d m 1r (t ) dt m1
bm1
dr(t) dt
bm r (t )
式中 c(t) ——系统输出量；
自动控制理论第二章传递函数_图文
§2.6 一般反馈控制系统
传递函数的各种术语 误差传函 扰动传函 一般控制作用
1. 一般控制系统
前向通道传函 闭环系统的开环传函 系统闭环传递函数 系统在给定作用下的输出
1、由系统输入到系统输出端的信号通路定义为系统 前向主通路(道)[简称主通路或前向通路]
②方框：表示输入、输出信号之间的传递 关系。
③引出点(测量点)：表示信 号引出或测量位置，从同一 点引出的信号完全相同。
④比较点(综合点)：表示两个或两个以上 的信号，在该点相加、减。注意，比较点 处信号的运算符号必须标明正(+)、负(-)， 一般不标者取正号。同时进行运算的信号 必须具有相同的量纲。
梅逊公式
回路总增益 (闭环传函)
第i条前向通 道余子式
第i个前向 通道增益
特征式
例：三级RC滤波网络如
图所示，求传递函数G(s)。
解： 前向通路1条 独立回路5个
两两不接触回路6个
三三不接触回路 特征式 余子式 传递函数
例：试求取图示系统的传递函数
解：前向通路3条
独立回路2个
例：系统结构图如图所示，试求其传递函数
积分器框图
特性：调节系统稳态误差，也称为无差 环节。
电压的传递函数
三、纯微分环节
定义：环节的输出响应正比于输入信号的变化率 。
微分方程 传递函数
测速发电机
四、惯性环节
定义：环节的输出不能立即复现输入，而是经过 一定时间后才能复现输入的变化。
微分方程
传递函数
运算放大器
五、振荡环节
定义：在输入作用下，环节输出响应随时间变化的 过渡过程总是在某一稳定值上下出现衰减振荡，而 最终趋于稳定值。
2.6.12.6传递函数的定义和性质
解： 先求微分方程，再求传递函数。根据基尔霍夫定
律，得
=
+ ∙ +
duc
其中 i=C
dt
+
ur
-
i
R
L
C
uc
传递函数的定义和性质
将上式整理得: LC
d2uc
dt2
+ RC
duc
dt
+ uc= ur
拉氏变换：LCs2 Uc (s) + RCsUc(s) + Uc (s) = Ur (s)
入作用之前，系统是相对静止的（输出的各阶导
数在零时刻的值为0）
（2）系统输入是在t=0时刻以后才作用于系统，
即在输入没加入之前（t≤0），认为输入恒等于
零（输入的各阶导数在零时刻的值均为零）
（3）传递函数是在零初始条件下定义的，因而
它不能反映在非零初始条件下系统的运动情况
传递函数的定义和性质
例
求图示RLC串联电路的传递函数。设输入量为ur，
传递函数的定义和性质
传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之一，本课
主要内容均以其为基础。利用传递函数，可以：
不必求解微分方程就可以研究零初始条件下系统在输入作
用下的动态过程
了解系统参数或结构变化时对系统动态过程的影响
可以对系统性能的要求转化为对传递函数的要求
使系统的分析和设计大为简化
传递函数的定义和性质
i
i=1
n
(T s+1)
j
上式中 τi──分子各因子的时间常数 ；
j=1
Tj──分母各因子的时间常数 ；
K ──时间常数形式传递函数的增益；通常称为传递系数。
传递函数的定义
传递函数的定义
传递函数是一种概念，主要应用于数学上，用来表示复杂系统的性质和行为，
这种函数定义基于一组间接变量，并且依赖于输入和输出之间的关系。
传递函数具有许多用途，使得它成为控制理论和计算机科学方面的重要工具，
例如可用于系统建模和数据可视化。
此外，它还可用于确定某种复杂行为发生的条件以及允许制定更加精确的协议、模型和策略。
传递函数中包含了一些特征，比如转移函數。
它能够用来描述一个系统在各种
输入条件下的输出情况。
这一功能可以帮助研究人员评估某个系统中观察到的行为，从而更好地了解它。
此外，传递函数还应用于控制系统。
它可以用来识别系统中的重要参数，从而
帮助研究人员了解控制体系的结构和特征，使其能够有效地控制系统的行为。
历史上，传递函数一直被认为是系统分析和模型化的重要工具，也是一类启发
式技术，用于计算待解决问题的解决过程。
总之，传递函数是一种重要的数学模型，具有重要的实用价值。
它被广泛地应
用于控制理论和计算机科学方面，可以帮助我们更加精准地了解系统的复杂行为，从而针对特定系统采取有效的控制措施。
传递函数求导数
传递函数求导数摘要：一、传递函数定义1.传递函数的背景和意义2.传递函数的数学表达式二、传递函数求导数的方法1.利用链式法则求导2.利用隐函数求导法则求导3.利用参数方程求导法则求导三、求导数的实际应用1.控制系统分析2.信号处理3.通信系统设计正文：传递函数是控制理论、信号处理和通信系统设计等领域中一个非常重要的概念。
它描述了输入信号与输出信号之间的关系，可以用来分析系统的稳定性和动态性能。
本文将介绍如何求传递函数的导数，并探讨其在实际应用中的重要性。
首先，我们需要了解传递函数的定义。
传递函数是指输入信号x(t) 与输出信号y(t) 之间的关系，可以用数学表达式G(s) = Y(s)/X(s) 表示，其中s 是复变量，X(s) 和Y(s) 分别是输入信号x(t) 和输出信号y(t) 的拉普拉斯变换。
接下来，我们来探讨如何求传递函数的导数。
根据求导法则，我们可以采用以下三种方法求传递函数的导数：1.利用链式法则求导：对于一般的传递函数G(s)，我们可以利用链式法则求导。
具体步骤如下：G"(s) = d/ds (Y(s)/X(s))= Y"(s) * X(-s) - Y(s) * X"(-s)其中，Y"(s) 和X"(s) 分别表示输出信号y(t) 和输入信号x(t) 的导数的拉普拉斯变换。
2.利用隐函数求导法则求导：对于由参数方程描述的传递函数G(s)，我们可以利用隐函数求导法则求导。
具体步骤如下：G"(s) = d/ds (Y(s)/X(s))= (dY(s)/ds * X(s) - Y(s) * dX(s)/ds) / X(s)^2其中，dY(s)/ds 和dX(s)/ds 分别表示输出信号y(t) 和输入信号x(t) 的导数的拉普拉斯变换。
3.利用参数方程求导法则求导：对于由参数方程描述的传递函数G(s)，我们还可以利用参数方程求导法则求导。
传递函数求导数
传递函数求导数【原创版】目录1.传递函数的定义2.传递函数求导数的方法3.传递函数求导数的例子4.传递函数求导数的应用正文一、传递函数的定义传递函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入的函数。
这种函数关系在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
例如，如果一个函数描述了物体的位移，另一个函数描述了物体的速度，那么这两个函数之间就存在传递关系。
传递函数可以用符号 f(x) → g(x) 表示。
二、传递函数求导数的方法求传递函数的导数是研究函数关系的重要方法。
根据链式法则，传递函数的导数可以通过以下公式求解：(df/dx) * (dg/du) = d(f(g(u)))/du其中，f(x) 和 g(x) 分别是两个传递函数，x 和 u 是它们的自变量，df/dx 和 dg/du 分别是函数 f(x) 和 g(x) 的导数。
三、传递函数求导数的例子假设我们有两个传递函数：f(x) = x^2 和 g(x) = 2x + 1。
首先，我们需要求出这两个函数的导数：df/dx = 2xdg/dx = 2接下来，我们使用链式法则计算它们的导数：(df/dx) * (dg/du) = (2x) * (2) = 4x因此，传递函数 f(g(x)) = (2x + 1)^2 的导数为 4x。
四、传递函数求导数的应用求传递函数的导数在实际问题中有很多应用，例如在物理学中，研究物体的位移、速度和加速度之间的关系时就需要用到这种方法。
此外，在经济学中，求解两个经济变量之间的传递函数导数可以帮助我们更好地了解它们之间的关系。
总之，传递函数求导数是研究函数关系的重要方法，它在各个领域中都有着广泛的应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 2s 1)L 2 T2s 1)L
( i s 1)
(Tjs 1)
2 62
其分子、分母各因式中常数项均为1（若不是零）， 式中i, Ti称为各环节的时间常数，因此又称时间 常数表达式。包括以下几种典型的基本环节。
1 放大环节 2 纯微分 3 一阶微分环节 4 二阶微 分环节 5 积分环节 6 惯性环节 7 振荡环节 8 延迟环节
2.3.2 传递函数的性质和含义
1. 传递函数是线性定常系统数学模型的另一种表达形式。 传递函数的形式完全取决于系统本身的结构和参数， 与输入信号的形式无关。它与系统微分方程是一一对 应的，即与微分方程中各导数项的系数相对应，所以 传递函数也是系统的动态数学模型。 对同一系统， 若谈到传递函数，必须首先指明输入量和输出量。否 则，得到的传递函数形式可能不同。
下午4时15分
5. 传递函数可表示成有理分式的形式， 又可写成零、极点表示的形式。
m
G(s)
C(s) R( s )
K
g
s zi
i 1 n
s pj
j 1
2 59
6. 传递函数还可用时间常数的形式来表示。
m1
m2
K
i s 1
(
2 k
s2
2
k
k
s
1)
G(s)
i 1 n1
k 1 n2
若相加点由方框之后移到方框之前，应在移动之路上串入 具有相同传递函数倒数的方框。 若相加点由方框之前移到方框之后，应在移动之路上串入 具有相同传递函数的方框。
（2）分支点的移动和互换
若分支点由方框之后移到方框之前，应在移动之路上串入 具有相同传递函数的方框。 若分支点由方框之前移到方框之后，应在移动之路上串入 具有传递函数倒数的方框。
也就是变换前、后有关部分的输入量、 输出量之间的关系保持不变。因此，方 框图变换是一种等效变换。因为传递函 数和变量的关系式是代数方程，所以方 框图变换是一些简单的代数运算。
环节的合并
下午4时15分
信号分支点或相加点的移动
1. 环节的合并
串连环节的等效
下午4时15分
并联环节的等效 反馈环节的等效
（1） 串连环节的等效
延迟环节的方框图
R e s C
2.3.5 复阻抗与传递函数
由电路原理知元件复数阻抗的概念。 R、L、C负载的复数阻抗对照表
下午4时15分
例：求如图所示的比例积分控制器的传递函数
i2 R2 C2
i1 R1
ui (t)
-
+ R0
u0 (t)
解： (1) Z1 R1;
Z2
R2
1 C2s
(2) Ui s U0 s
uc
ur
d2y m dt 2
f
dy dt
ky
F
6. 延迟环节
延迟环节又称滞后环节。延迟环节的输出经一个
延迟时间 后，完全复现输入信号。微分方程为：
c(t) r(t )
由拉氏变换的延迟定理得： C(s) e s R(s)
传递函数为： G(s) C(s) e s R( s )
2－68
下午4时15分
ansn an1sn1 L a1s a0 C s bm sm bm1sm1 L b1s b0 R(s)
下午4时15分
2 57
系统的传递函数
C s
G(s)
R s
bm sm ansn
bm1sm1 L an1sn1 L
b1s b0 a1s a0
M(s) D(s)
2 58
C(s) G(s) R(s)
则： 传递函数框图
R(s)
下午4时15分
G(s)
C(s)
• 传递函数同单位脉冲响应函数之间的关系：系 统的单位脉冲响应g(t)与传递函数G(s)的关系 是时域t到复域s的单值变换关系。
G(s) L[g (t)] g (t) L1[G(s)]
下午4时15分
下午4时15分
2.3.4 典型环节的传递函数
1. 比例环节 2. 积分环节 3. 微分环节 4. 惯性环节 5. 二阶振荡环节 6.) Kr(t) t 0
G(s) C(s) K const R(s)
2－63
下午4时15分
R
K
C
比例环节的方块图
3. 方框图的绘制
❖ 建立控制系统方框图的步骤如下：
1. 列出系统的原始微分方程（组）。 2. 对原始方程组进行拉氏变换，并根据
变换式的输入输出关系，给出各个单 元相应的方框图。将信号的拉氏变换 标在信号线附近。 3. 按照系统中信号传递的顺序，依次将 各环节的动态方框图连接起来，便构 成系统的方框图。
2.3 传递函数
2.3.1 传递函数的定义 2.3.2 传递函数的性质和含义 2.3.3 传递函数的零点和极点 2.3.4 典型环节的传递函数 2.3.5 复阻抗与传递函数
下午4时15分
2.3.1 传递函数的定义
定义： 线性定常连续系统的传递函数，定义为
零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输 入量的拉氏变换之比。
R
G
s
1 Ts＋1
C
下午4时15分
5. 二阶振荡环节
振荡环节微分方程式：
T2
d 2c(t) dt 2
2 T
dc(t ) dt
c(t) r(t)
传递函数：
G(s)
T
2s2
1
2T
s
1
2－67
振荡环节的方框图
R
1
C
T 2s2 2T s 1
下午4时15分
LC
d 2uc dt 2
RC
duc dt
Z1
Z2
下午4时(135分)
G
s
U0 Ui
s s
Z2 Z1
R2C2s 1 s 1
R1C 2 s
Ts
2.4 控制系统的传递函数方框图及其简化
2.4.1 方框图的概念和绘制 2.4.2 方框图的等效变换规则 2.4.3 典型闭环系统框图及其传递函数 2.4.4 用梅逊公式求传递函数
下午4时15分
s Tj s 1 (Tl2s2 2 lTl s 1)
下午4时15分
j 1
l 1
2 60
例：给定两个动力学系统如图所示，分别写出 传递函数．并比较两个系统有什么不同。
下午4时15分
力学系统的输入特性
求传递函数必须确定输入输出信号，这两个系统的 输入信号不一样，一个是F，一个是x，所以传递 函数也不一样。但系统的本质特性是完全一样的， 即特征方程一样
2.3.3 传递函数的零点和极点
传递函数的分子多项式和分母多项式经因
式分解后可写为如下形式：
m
G(s)
C(s) R(s)
b0(s+z 1 )(s+z 2 )L a0(s+p1)(s+p 2 )L
(s+z m ) (s+p m )
Kg
i 1 n
s zi s pj
j1
2 61
式中，zi (i 1, 2,L , m) 是分子多项式的零点， 称为传递函数的零点，对暂态特性有一定影响；
c(t) dr(t) r(t)
dt
c(t )
2
d 2r(t ) dt 2
2
dr (t ) dt
r(t)
相应的传递函数
G(s) Ks
G(s) s 1 G(s) 2s2 2 s 1
微分环节的方框图
R G s 2s2 2 s 1 C
下午4时15分
注：微分环节要配 合某些环节，如惯 性环节使用。
下午4时15分
例：位置随动系统如图所示。试建立系统的方框图
下午4时15分
解：将系统的微分方程在零初始条件下进行拉氏 变换，得到方程组:
下午4时15分
随动系统的方框图
Ka
p32例2.2RC滤波网络方框图的绘制
下午4时15分
iR
L
di dt
uc
ur
uc
1 C
idt
I (s)R
LsI (s) Uc (s)
下午4时15分
下午4时15分
注意：这里所 说的等效是对 输出Y而言的。 等效的原则： 必须保持相加 点移动前、后 输出信号Y与输 入信号X1、X2 之间的函数关 系不变，即图a、 b、c所示的函 数关系分别为:
2.4.1 方框图的概念和绘制
1. 概念：
控制系统的方框图或框图，又称为动态 方框图或方框图，在方框中标明其传递函数， 按照信号传递方向把各方框依次连接起来的 一种图形。
2. 四个基本组成要素：
a. 函数方块 b. 信号线 c. 分支点（引出点） d. 综合点（相加点）
下午4时15分
下午4时15分
2. 积分环节
符合积分运算关系的环节称为积分环节。
1
积分环节微分方程式为： uo (t ) T ui (t )dt
传递函数为： G(s) Uo(s) 1 Ui (s) Ts
2－64
积分环节方框图
下午4时15分
ui 1 uo Ts
下午4时15分
3. 微分环节
微分方程式
c(t) K dr(t) dt
n
G s Gi s i 1
（2） 并联环节的等效
下午4时15分
两个环节的传递函数为：
G1 s
X X
1 r
s s
;
G2 s
X2 s Xr s
Xc s X1s X2 s
等效传递函数：
Gs
Xc Xr
s s
X1s X2 s Xr s
G1 s