2010年全国高考文科数学试题及答案-全国卷2
全国II高考数学文科试卷带答案
2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 1. 设全集{}*|<6U x x =∈N ,集合{}=1,3A ,{}3,5B =,则()U AB =ð ( ).A.{}1,4B.{}1,5C.{}2,4D.{}2,5 【测量目标】集合的基本运算、集合间的关系. 【考查方式】由集合算出并集，取其在全集中的补集. 【参考答案】C【试题解析】∵{}1,3A =,{}3,5B =，∴{1,3,5}AB =，∴(){2,4}U AB =ð， 故选C .2. 不等式32x x -+＜0的解集为 ( ). A.{}23x x -<< B.{}2x x <- C.{}2x x <-或{}3x > D.{}3x x > 【测量目标】解一元二次不等式.【考查方式】解不等式，直接算出其结果即可. 【参考答案】A 【试题解析】302x x -<+()()32<0x x ⇒-+ 23x ∴-<<，故选A.3. 已知2sin 3α=，则cos(2)x α-= ( ).A.3-B.19-C.19【测量目标】三角函数间的互化.【考查方式】二倍角公式及诱导公式，求得结果. 【参考答案】B【试题解析】 ∵ 2sin 3α=∴21cos(π2)cos 2(12sin )9ααα-=-=--=-4. 函数()()1ln 1>1y x x =+-的反函数是 ( ).A. ()1e 1>0x y x +=-B. 1e1(>0)x y x -=+C. ()1e 1x y x +=-∈RD. ()1e 1x y x -=+∈R 【测量目标】反函数与对数函数间的互化. 【考查方式】将原函数化简，直接求得反函数. 【参考答案】D【试题解析】∵函数()()1ln 1>1y x x =+-，∴ 11ln(1)1,1e,e 1y x x y x y ---=--==+ 故选D.5. 若变量,x y 满足约束条件1325x y x x y -⎧⎪⎨⎪+⎩……… ，则2z x y =+的最大值为 ( ).A.1B.2C.3D.4 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值. 【考查方式】由约束条件作出可行域，找出最优解. 【参考答案】C【试题解析】画出可行域，作出目标函数线， 可得直线与y x = 与325x y +=的交点为最优解点，∴即为（1，1），当1,1x y ==时max 3z =，故选C.6. 如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么127a a a ++⋅⋅⋅+= ( ). A.14 B. 21 C. 28 D. 35 【测量目标】等差数列的性质和前n 项和. 【考查方式】运用等差中项，简单的数列求和. 【参考答案】C 【试题解析】34512,a a a ++=44,a =()127174177282a a a a a a ∴++⋅⋅⋅+=⨯⨯+==.故选C.7. 若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则 ( ).A.1,1a b ==B.1,1a b =-=C.1,1a b ==-D. 1,1a b =-=- 【测量目标】函数导数的几何性质. 【考查方式】利用切线方程求解曲线方程. 【参考答案】A 【试题解析】∵2x y x aa='=+=，∴1a =，(0,)b 在切线10x y -+=，∴1b =8. 已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为 ( ).D. 34【测量目标】三棱锥的概念、线面、面面位置关系. 【考查方式】找出线面角，求出正弦值，数形结合的思想. 【参考答案】D【试题解析】过A 作AE BC ⊥交BC 于E ，连结SE ，过A 作AF 垂直于交SE 于F ，连接BF ，∵正三角形ABC ，∴E 为BC 中点，（步骤1）∵BC AE ⊥，SA BC ⊥，∴BC ⊥面,SAE ∴BC AF ⊥，又AF SE ⊥，∴AF ⊥面SBC ，（步骤2） ∵ABF ∠为直线AB 与面SBC 所成角，由正三角形边长3， ∴AE =3AS =，∴SE = 32AF =，∴ 3sin 4ABF ∠=.（步骤3）9. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 ( ).A. 12种B.18种C. 36种D.54种 【测量目标】排列组合的典型应用.【考查方式】特殊元素先考虑，算出总的种类. 【参考答案】B【试题解析】∵先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有24C 6=，余下放入最后一个信封，∴共有243C 18=.10. ABC △中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB =a , CA =b , a =1，b =2,则CD = ( ). A.13a +23b B.23a +13b C.35a +45b D.45a +35b 【测量目标】向量的线性运算. 【考查方式】向量之间的相加减. 【参考答案】B【试题解析】∵CD 为角平分线，∴ 12BD BC AD AC ==，（步骤1）∵ AB CB CA =-=-a b ，∴ 222333AD AB ==-a b ，（步骤2） ∴ 22213333CD CA AD =+=+-=+b a b a b .（步骤3）11. 与正方体ABCD -1111A B C D 的三条棱111AB CC A D 、、所在直线的距离相等的点 ( ). （A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个 【测量目标】空间立体几何的基本性质. 【考查方式】作图，利用观察法求解. 【参考答案】D【试题解析】∵到三条互相垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，∴三个圆柱面有无数个交点，故选D.12. 已知椭圆C ：()22221>>0x y a b a b+=的离心率为2，过右焦点F 且斜率为()>0k k 的直线于C 相交于A B 、两点，若3AF FB =，则k = ( ). A.1D.2 【测量目标】直线与椭圆的位置关系.【考查方式】由向量关系，间接进行求解参数k . 【参考答案】B 【试题解析】设1122(,),(,)A x yB x y ，∵ 3AF FB =，∴ 123y y =-，（步骤1）∵2e =，设2,a t c ==，b t =，∴ 222440x y t +-=，（步骤2）设直线AB方程为x sy =+.代入消去x ，∴222(4)0s y t ++-=， ∴2121224t y y y y s +==-+，（步骤3）22222234t y y s -=-=-+，解得 212s =，k = B.（步骤4）（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知α是第二象限的角,1tan 2=-α，则cos α=__________. 【测量目标】同角三角函数间的相互转化.【考查方式】由三角函数的等式关系进行转化，直接求解余弦值.【参考答案】 【试题解析】1tan 2=-α， sin 1cos 2⇒=-αα，即1sin cos 2=-αα，（步骤1） 又22sin cos 1+=αα，cos ∴=α，（步骤2） 又α为第二象限角，cos ∴=α（步骤3） 14. 91x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数是_________.【测量目标】二项式定理.【考查方式】二项式展开式中的系数求解. 【参考答案】84.【试题解析】∵ 9191C ()r rr r T xx-+=， ∴ 923,3r r -==， ∴ 39C 84=. 15. 已知抛物线()2:2>0C y px p =的准线1，过()1,0M的直线与l 相交于A ，与C 的一个交点为B ，若AM MB =，则p =_________【测量目标】抛物线的标准方程和简单的几何性质. 【考查方式】直线方程与抛物线方程联立求解p . 【参考答案】2【试题解析】设直线AB：y =（步骤1）代入22y px =得23(62)30x p x +--+=， 又∵ AM MB =，∴122x p =+，（步骤2）解得24120p p +-=，解得2,6p p ==-或（舍去）,故2p =.（步骤3）16. 已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，4AB =，若3OM ON ==，则两圆圆心的距离MN = .【测量目标】球、直线与圆的概念及基础知识. 【考查方式】解三角形求两圆半径,进而计算圆心距. 【参考答案】3 【试题解析】∵3ON =，球半径为4，∴小圆N，(步骤1) ∵小圆N 中弦长4AB =，作NE 垂直于AB ，∴NE =，（步骤2）同理可得ME =ONE 中，∵NE =，3ON =，∴ π6EON ∠=，（步骤4） ∴ π3MON ∠=，∴ 3.MN =（步骤5）三、解答题；本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）ABC △中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=，求AD . 【测量目标】同角三角函数的基本关系、正弦定理.【考查方式】利用同角三角函数关系、差角公式及正弦定理求解边长. 【试题解析】ADC B BAD ∠=∠+∠ >A D C B∴∠∠,（步骤1） 又3cos >05ADC ∠=cos >0B ∴，（步骤2） 12cos 13B =,4sin 5ADC ∠=，()sin sin BAD ADC B ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC B ADC B =∠-∠3365=.（步骤3） sin sin B BAD AD BD ∠=533sin 132533sin 65BD BAD BAD⨯⋅⇒===∠. AD ∴的长为25.18.（本小题满分12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1212112()a a a a +=+，34534511164()a a a a a a ++=++ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； (Ⅱ）设21()n n nb a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【测量目标】等比数列通项公式、前n 项和、方程组解法. 【考查方式】由题设等式关系求解通项公式和前n 项和.【试题解析】（Ⅰ）设公比为q ，则11n n a a q -=.由已知有111123411123411111211164a a q a a q a q a q a q a q a q a q ⎧⎛⎫+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++=++ ⎪⎪⎝⎭⎩，（步骤1） 化简得21261264a q a q ⎧=⎨=⎩（步骤2）又10a >，故12,1q a == 所以12n n a -=.（步骤3）(Ⅱ）由（Ⅰ）知221211112424n n n n n n n b a a a a --⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，因此 ()11111441244n n n T n --⎛⎫=++++++++ ⎪⎝⎭，（步骤4） ()111411424421141314nn n n n n ---=++=-++--.（步骤5）19.（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，A C B C =，111AA A B =，D 为1BB 的中点，E 为1AB 上的一点，13AE EB =,（Ⅰ）证明：DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线； （Ⅱ）设异面直线1AB 与CD 的夹角为45°, 求二面角111A AC B --的大小.【测量目标】空间立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基础知识.【考查方式】线面垂直定理的应用，找出异面直线所成角,由边长解三角形. 【试题解析】（Ⅰ）证明：连接1A B ,记1A B 与1AB 的交点为F , 平面11A ABB 为正方形11A B AB ∴⊥,且1AF FB =，（步骤1）又13AE EB = , 1F E E B ∴=，（步骤2）又D 为1BB 的中点 , 1//,DE BF DE AB ∴⊥.（步骤3）作,CG AB G ⊥为垂足，由AC BC =知，G 为AB 中点， 又由底面ABC ⊥平面11A ABB ,得11CG AA B B ⊥平面,（步骤4） 连接DG ,则DG ∥1AB ,故DE DG ⊥.由三垂线定理得，DE CD ⊥,DE ∴为异面直线1AB 与CD 的公垂线. （步骤5）（Ⅱ）DG ∥1AB ,故CDG ∠为异面直线1AB 与CD 的夹角，=45CDG ∠，（步骤6）设2AB =,则1AB DG CG AC == 作111,B H A C H ⊥为垂足，（步骤7） 底面111A B C ⊥平面11AAC C故111,B H AAC C ⊥平面又作1,HK AC K ⊥为垂足，连接1B K ,（步骤8） 由三垂线定理得，11,B K AC ⊥1B KH ∴∠为二面角111A AC B --的平面角.（步骤9） 1HK AC ⊥,平面11A ABB 为正方形,111π2C KH AAC ∴∠=∠=, 又111AC A HC K ∠=∠,111C KH C AA ∴∠=∠,1C KH ∴△∽11C A A △.111B H ∴==1HC ==111221AA C HKH AC ⋅===, 11tan B H B KH KH ∴∠===∴二面角111A ACB --的平面角的大小为（步骤10）20.（本小题满分12分）如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为1234T T T T 、、、，电源能通过123,T T T 、、的概率都是P ，电源能通过4T 的概率是0.9，电源能否通过各元件相互独立.已知123T T T 、、中至少有一个能通过电流的概率为0.999. （Ⅰ）求P ；（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率.【测量目标】互斥事件、对立事件及独立事件的概率.【考查方式】由互斥事件与独立事件的概率,设出基本事件，并求出概率.【试题解析】（Ⅰ）根据题意得，记电流能通过i T 为事件i A ，i=1,2,3,4.A 表示事件：123,T T T 、、中至少有一个能通过电流.易得123A A A 、、相互独立，且123A A A A =⋅⋅,（步骤1）()()31109990001P A P ..,=-=-=计算得，0.9.P =（步骤2）（Ⅱ）根据题意，记B 表示事件:电流能在M 与N 之间通过，有 ()()()44134123111B A A A A A A A A =+-+--，则()()()()44134123(111)P B P A A A A A A A A =+-+--=0.90.10.90.90.10.10.90.90.09891+⨯⨯+⨯⨯⨯=.(步骤3)21.（本小题满分12分）已知函数32()33 1.f x x ax x =-++（Ⅰ）设2a =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()f x 在区间()2,3内至少有一个极值点，求a 的取值范围.【测量目标】利用导数研究函数的单调区间、极值.【考查方式】利用函数导数、单调性，求解的a 取值范围.【试题解析】（Ⅰ）当2a =时，32()631f x x x x =-++，(()322f x x x '=--，（步骤1）当(,2x ∈-∞-时，()0,()f x f x '>在(,2-∞-单调递增；当(2x ∈+时，()0,()f x f x '<在(2单调递减；当()2x ∈+∞时，()0,()f x f x '>在()2+∞单调递增；综上，()f x 的单调递减区间是(2+；()f x 的单调递增区间是((),223,-∞++∞. （Ⅱ）()22()31f x x a a ⎡⎤'=-+-⎣⎦，当210a -…时，()0,()f x f x '…为增函数，故()f x 无极值点；当210a -<时，()0f x '=有两个根1x a =2x a =由题意知，23a < ①，或23a << ②， ①式无解，②式的解为5543a <<，因此a 的取值范围是55,43⎛⎫ ⎪⎝⎭.22.（本小题满分12分） 已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>相交于B D 、两点，且BD 的中点为()1,3M .（Ⅰ）求C 的离心率；（Ⅱ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，17DF BF ⋅=证明：过A B D 、、三点的圆与x 轴相切.【测量目标】双曲线的简单几何性质、圆锥曲线的中的定点问题.【考查方式】直线与双曲线消元后，根据中点坐标公式，解离心率；由离心率条件及点坐标证明等式，得出相关结论.【试题解析】（Ⅰ）由题意知，l 的方程为：2y x =+，代入C 的方程，并化简，得()2222222440b ax a x a a b ----=，（步骤1） 设11(,)B x y 、()22,D x y ， 则212224a x x b a +=-，22212224a a b x x b a +=-- ①（步骤2） 由(1,3)M 为BD 的中点知1212x x +=，故2221412a b a ⨯=- 即223b a =， ②（步骤3）故2c a = 所以C 的离心率2c e a==.（步骤4）（Ⅱ）由①②知，C 的方程为：22233x y a -=， 2121243(,0),(2,0),2,02a A a F a x x x x ++==-<， 故不妨设12,x a x a -剠，（步骤5）12BF a x ===-，22FD x a ===-，()()1222BF FD a x x a ⨯=--()2121242x x a x x a =-++- 2548a a =++.（步骤6）又17BF FD ⋅=，故254817a a ++=，解得1a =，或95a =-（舍去），故126BD x =-==.(步骤7)连结MA ，则由(1,0),(1,3)A M 知3MA =，从而MA MB MD ==，且MA x ⊥轴，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆经过A 、B 、D 三点，且在点A 处与x 轴相切，所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.（步骤8）。
2010年全国统一高考数学试卷(文科)(全国新课标)
2010年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2010•全国新课标）已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|≤4，x∈Z}，则A ∩B＝（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2} 2．（5分）（2010•全国新课标）平面向量，已知＝（4，3），＝（3，18），则夹角的余弦值等于（）A．B．C．D．3．（5分）（2010•全国新课标）已知复数Z＝，则|z|＝（）A．B．C．1D．24．（5分）（2010•全国新课标）曲线y＝x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y＝x﹣1B．y＝﹣x+1C．y＝2x﹣2D．y＝﹣2x+2 5．（5分）（2010•全国新课标）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，2），则它的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）（2010•全国新课标）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）（2010•全国新课标）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa28．（5分）（2010•全国新课标）如果执行如图的框图，输入N＝5，则输出的数等于（）A．B．C．D．9．（5分）（2010•全国新课标）设偶函数f（x）满足f（x）＝2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}＝（）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜﹣2或x＞2}10．（5分）（2010•全国新课标）若cosα＝﹣，α是第三象限的角，则sin（α+）＝（）A．B．C．D．11．（5分）（2010•全国新课标）已知▱ABCD的三个顶点为A（﹣1，2），B（3，4），C（4，﹣2），点（x，y）在▱ABCD的内部，则z＝2x﹣5y的取值范围是（）A．（﹣14，16）B．（﹣14，20）C．（﹣12，18）D．（﹣12，20）12．（5分）（2010•全国新课标）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2010•全国新课标）圆心在原点上与直线x+y﹣2＝0相切的圆的方程为．14．（5分）（2010•全国新课标）设函数y＝f（x）为区间（0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法计算由曲线y＝f（x）及直线x＝0，x ＝1，y＝0所围成部分的面积S，先产生两组（每组N个），区间（0，1]上的均匀随机数x1，x2，…，x n和y1，y2，…，y n，由此得到N个点（x，y）（i﹣1，2…，N）．再数出其中满足y1≤f（x）（i＝1，2…，N）的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为．15．（5分）（2010•全国新课标）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的（填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱．16．（5分）（2010•全国新课标）在△ABC中，D为BC边上一点，BC＝3BD，AD＝，∠ADB＝135°．若AC＝AB，则BD＝．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（2010•全国新课标）设等差数列{a n}满足a3＝5，a10＝﹣9．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．18．（10分）（2010•全国新课标）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若AB＝，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．19．（10分）（2010•全国新课标）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：男女性别是否需要志愿者需要4030不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828附：K2＝．20．（10分）（2010•全国新课标）设F1，F2分别是椭圆E：x2+＝1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（Ⅰ）求|AB|；（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b 的值．21．（2010•全国新课标）设函数f（x）＝x（e x﹣1）﹣ax2（Ⅰ）若a＝，求f（x ）的单调区间；（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．22．（10分）（2010•全国新课标）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE＝∠BCD．（Ⅱ）BC2＝BE•CD．23．（10分）（2010•全国新课标）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α＝时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．24．（10分）（2010•全国新课标）设函数f（x）＝|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y＝f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．2010年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2010•全国新课标）已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|≤4，x∈Z}，则A ∩B＝（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}【分析】由题意可得A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，从而可求【解答】解：∵A＝{x||x|≤2}＝{x|﹣2≤x≤2}B＝{x|≤4，x∈Z}＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}则A∩B＝{0，1，2}故选：D．【点评】本题主要考查了集合的交集的求解，解题的关键是准确求解A，B，属于基础试题2．（5分）（2010•全国新课标）平面向量，已知＝（4，3），＝（3，18），则夹角的余弦值等于（）A．B．C．D．【分析】先设出的坐标，根据a＝（4，3），2a+b＝（3，18），求出坐标，根据数量积的坐标公式的变形公式，求出两个向量的夹角的余弦【解答】解：设＝（x，y），∵a＝（4，3），2a+b＝（3，18），∴∴cosθ＝＝，故选：C．【点评】本题是用数量积的变形公式求向量夹角的余弦值，数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直，实际上在数量积公式中可以做到知三求一．3．（5分）（2010•全国新课标）已知复数Z＝，则|z|＝（）A．B．C．1D．2【分析】由复数的代数形式的乘除运算化简可得Z＝，由复数的模长公式可得答案．【解答】解：化简得Z＝＝＝•＝•＝•＝，故|z|＝＝，故选：B．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及复数的模长，属基础题．4．（5分）（2010•全国新课标）曲线y＝x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y＝x﹣1B．y＝﹣x+1C．y＝2x﹣2D．y＝﹣2x+2【分析】欲求在点（1，0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x＝1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：验证知，点（1，0）在曲线上∵y＝x3﹣2x+1，y′＝3x2﹣2，所以k＝y′|x﹣1＝1，得切线的斜率为1，所以k＝1；所以曲线y＝f（x）在点（1，0）处的切线方程为：y﹣0＝1×（x﹣1），即y＝x﹣1．故选：A．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．5．（5分）（2010•全国新课标）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，2），则它的离心率为（）A．B．C．D．【分析】先求渐近线斜率，再用c2＝a2+b2求离心率．【解答】解：∵渐近线的方程是y＝±x，∴2＝•4，＝，a＝2b，c＝＝a，e＝＝，即它的离心率为．故选：D．【点评】本题考查双曲线的几何性质．6．（5分）（2010•全国新课标）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．【解答】解：通过分析可知当t＝0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，故选：C．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题．7．（5分）（2010•全国新课标）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则长方体的对角线即为球的直径，即球的半径R满足（2R）2＝6a2，代入球的表面积公式，S＝4πR2，即可得到答案．球【解答】解：根据题意球的半径R满足（2R）2＝6a2，所以S＝4πR2＝6πa2．球故选：B．【点评】长方体的外接球直径等于长方体的对角线长．8．（5分）（2010•全国新课标）如果执行如图的框图，输入N＝5，则输出的数等于（）A．B．C．D．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S＝的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S＝的值．∵S＝＝1﹣＝故选：D．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．9．（5分）（2010•全国新课标）设偶函数f（x）满足f（x）＝2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}＝（）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜﹣2或x＞2}【分析】由偶函数f（x）满足f（x）＝2x﹣4（x≥0），可得f（x）＝f（|x|）＝2|x|﹣4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．【解答】解：由偶函数f（x）满足f（x）＝2x﹣4（x≥0），可得f（x）＝f（|x|）＝2|x|﹣4，则f（x﹣2）＝f（|x﹣2|）＝2|x﹣2|﹣4，要使f（|x﹣2|）＞0，只需2|x﹣2|﹣4＞0，|x﹣2|＞2解得x＞4，或x＜0．应选：B．【点评】本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算．10．（5分）（2010•全国新课标）若cosα＝﹣，α是第三象限的角，则sin（α+）＝（）A．B．C．D．【分析】根据α的所在的象限以及同角三角函数的基本关系求得sinα的值，进而利用两角和与差的正弦函数求得答案．【解答】解：∵α是第三象限的角∴sinα＝﹣＝﹣，所以sin（α+）＝sinαcos+cosαsin＝﹣＝﹣．故选：A．【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数，以及同角三角函数的基本关系的应用．根据角所在的象限判断三角函数值的正负是做题过程中需要注意的．11．（5分）（2010•全国新课标）已知▱ABCD的三个顶点为A（﹣1，2），B（3，4），C（4，﹣2），点（x，y）在▱ABCD的内部，则z＝2x﹣5y的取值范围是（）A．（﹣14，16）B．（﹣14，20）C．（﹣12，18）D．（﹣12，20）【分析】根据点坐标与向量坐标之间的关系，利用向量相等求出顶点D的坐标是解决问题的关键．结合线性规划的知识平移直线求出目标函数的取值范围．【解答】解：由已知条件得⇒D（0，﹣4），由z＝2x﹣5y得y＝，平移直线当直线经过点B（3，4）时，﹣最大，即z取最小为﹣14；当直线经过点D（0，﹣4）时，﹣最小，即z取最大为20，又由于点（x，y）在四边形的内部，故z∈（﹣14，20）．如图：故选B．【点评】本题考查平行四边形的顶点之间的关系，用到向量坐标与点坐标之间的关系，体现了向量的工具作用，考查学生线性规划的理解和认识，考查学生的数形结合思想．属于基本题型．12．（5分）（2010•全国新课标）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）【分析】画出函数的图象，根据f（a）＝f（b）＝f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab＝1，则abc＝c∈（10，12）．故选：C．【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2010•全国新课标）圆心在原点上与直线x+y﹣2＝0相切的圆的方程为x2+y2＝2．【分析】可求圆的圆心到直线的距离，就是半径，写出圆的方程．【解答】解：圆心到直线的距离：r＝，所求圆的方程为x2+y2＝2．故答案为：x2+y2＝2【点评】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是基础题．14．（5分）（2010•全国新课标）设函数y＝f（x）为区间（0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法计算由曲线y＝f（x）及直线x＝0，x ＝1，y＝0所围成部分的面积S，先产生两组（每组N个），区间（0，1]上的均匀随机数x1，x2，…，x n和y1，y2，…，y n，由此得到N个点（x，y）（i﹣1，2…，N）．再数出其中满足y1≤f（x）（i＝1，2…，N）的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为．【分析】由题意知本题是求∫01f（x）dx，而它的几何意义是函数f（x）（其中0≤f（x）≤1）的图象与x轴、直线x＝0和直线x＝1所围成图形的面积，积分得到结果．【解答】解：方法一：∵∫01f（x）dx的几何意义是函数f（x）（其中0≤f（x）≤1）的图象与x轴、直线x＝0和直线x＝1所围成图形的面积，∴根据几何概型易知∫01f（x）dx≈．方法二：这种随机模拟的方法是在[0，1]内生成了N个点，而满足几条曲线围成的区域内的点是N1个，所以根据比例关系＝，而正方形的面积为1，所以随机模拟方法得到的面积为．故答案为：．【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到．15．（5分）（2010•全国新课标）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的①②③⑤（填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱．【分析】一个几何体的正视图为一个三角形，由三视图的正视图的作法判断选项．【解答】解：一个几何体的正视图为一个三角形，显然①②⑤正确；③是三棱柱放倒时也正确；④⑥不论怎样放置正视图都不会是三角形；故答案为：①②③⑤【点评】本题考查简单几何体的三视图，考查空间想象能力，是基础题．16．（5分）（2010•全国新课标）在△ABC中，D为BC边上一点，BC＝3BD，AD＝，∠ADB＝135°．若AC＝AB，则BD＝2+．【分析】先利用余弦定理可分别表示出AB，AC，把已知条件代入整理，根据BC＝3BD推断出CD＝2BD，进而整理AC2＝CD2+2﹣2CD得AC2＝4BD2+2﹣4BD把AC＝AB，代入整理，最后联立方程消去AB求得BD的方程求得BD．【解答】用余弦定理求得AB2＝BD2+AD2﹣2AD•BD cos135°AC2＝CD2+AD2﹣2AD•CD cos45°即AB2＝BD2+2+2BD①AC2＝CD2+2﹣2CD②又BC＝3BD所以CD＝2BD所以由（2）得AC2＝4BD2+2﹣4BD（3）因为AC＝AB所以由（3）得2AB2＝4BD2+2﹣4BD（4）（4）﹣2（1）BD2﹣4BD﹣1＝0求得BD＝2+故答案为：2+【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．考查了学生创造性思维能力和基本的推理能力．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（2010•全国新课标）设等差数列{a n}满足a3＝5，a10＝﹣9．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．【分析】（1）设出首项和公差，根据a3＝5，a10＝﹣9，列出关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项．（2）由上面得到的首项和公差，写出数列{a n}的前n项和，整理成关于n的一元二次函数，二次项为负数求出最值．【解答】解：（1）由a n＝a1+（n﹣1）d及a3＝5，a10＝﹣9得a1+9d＝﹣9，a1+2d＝5解得d＝﹣2，a1＝9，数列{a n}的通项公式为a n＝11﹣2n（2）由（1）知S n＝na1+d＝10n﹣n2．因为S n＝﹣（n﹣5）2+25．所以n＝5时，S n取得最大值．【点评】数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性．18．（10分）（2010•全国新课标）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若AB＝，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【分析】（Ⅰ）要证平面PAC⊥平面PBD，只需证明平面PAC内的直线AC，垂直平面PBD内的两条相交直线PH，BD即可．（Ⅱ），∠APB＝∠ADB＝60°，计算等腰梯形ABCD的面积，PH是棱锥的高，然后求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】解：（1）因为PH是四棱锥P﹣ABCD的高．所以AC⊥PH，又AC⊥BD，PH，BD都在平PHD内，且PH∩BD＝H．所以AC⊥平面PBD．故平面PAC⊥平面PBD（6分）（2）因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB＝．所以HA＝HB＝．因为∠APB＝∠ADB＝60°所以PA＝PB＝，HD＝HC＝1．可得PH＝．等腰梯形ABCD的面积为S＝ACxBD＝2+（9分）所以四棱锥的体积为V＝×（2+）×＝．（12分）【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，计算能力，推理能力，是中档题．19．（10分）（2010•全国新课标）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：性别是否需要志愿者男女需要4030不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．P （K 2≥k ）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828附：K 2＝．【分析】（1）由样本的频率率估计总体的概率，（2）求K 2的观测值查表，下结论；（3）由99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，则可按性别分层抽样．【解答】解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为（2）K 2的观测值因为9.967＞6.635，且P （K 2≥6.635）＝0.01，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．（3）根据（2）的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女两层，并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好．【点评】本题考查了抽样的目的，独立性检验的方法及抽样的方法选取，属于基础题．20．（10分）（2010•全国新课标）设F1，F2分别是椭圆E：x2+＝1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（Ⅰ）求|AB|；（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．【分析】（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|＝4，再由|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，能够求出|AB|的值．（2）L的方程式为y＝x+c，其中，设A（x1，y1），B（x1，y1），则A，B两点坐标满足方程组，化简得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2＝0．然后结合题设条件和根与系数的关系能够求出b的大小．【解答】解：（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|＝4又2|AB|＝|AF2|+|BF2|，得（2）L的方程式为y＝x+c，其中设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点坐标满足方程组．，化简得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2＝0．则．因为直线AB的斜率为1，所以即．则．解得．【点评】本题综合考查椭圆的性质及其运用和直线与椭圆的位置关系，解题时要注意公式的灵活运用．21．（2010•全国新课标）设函数f（x）＝x（e x﹣1）﹣ax2（Ⅰ）若a＝，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．【分析】（I）求导函数，由导数的正负可得函数的单调区间；（II）f（x）＝x（e x﹣1﹣ax），令g（x）＝e x﹣1﹣ax，分类讨论，确定g（x）的正负，即可求得a的取值范围．【解答】解：（I）a＝时，f（x）＝x（e x﹣1）﹣x2，＝（e x ﹣1）（x+1）令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞0；令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜0；∴函数的单调增区间是（﹣∞，﹣1），（0，+∞）；单调减区间为（﹣1，0）；（II）f（x）＝x（e x﹣1﹣ax）．令g（x）＝e x﹣1﹣ax，则g'（x）＝e x﹣a．若a≤1，则当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）为增函数，而g（0）＝0，从而当x≥0时g（x）≥0，即f（x）≥0．若a＞1，则当x∈（0，lna）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数，而g（0）＝0，从而当x∈（0，lna）时，g（x）＜0，即f（x）＜0．综合得a的取值范围为（﹣∞，1]．另解：当x＝0时，f（x）＝0成立；当x＞0，可得e x﹣1﹣ax≥0，即有a≤的最小值，由y＝e x﹣x﹣1的导数为y′＝e x﹣1，当x＞0时，函数y递增；x＜0时，函数递减，可得函数y取得最小值0，即e x﹣x﹣1≥0，x＞0时，可得≥1，则a≤1．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．22．（10分）（2010•全国新课标）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE＝∠BCD．（Ⅱ）BC2＝BE•CD．【分析】（I）先根据题中条件：“”，得∠BCD＝∠ABC．再根据EC是圆的切线，得到∠ACE＝∠ABC，从而即可得出结论．（II）欲证BC2＝BE x CD．即证．故只须证明△BDC～△ECB即可．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以∠BCD＝∠ABC．又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC所以∠ACE＝∠BCD．（5分）（Ⅱ）因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC～△ECB，故．即BC2＝BE×CD．（10分）【点评】本题主要考查圆的切线的判定定理的证明、弦切角的应用、三角形相似等基础知识，考查运化归与转化思想．属于基础题．23．（10分）（2010•全国新课标）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α＝时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【分析】（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．【解答】解：（Ⅰ）当α＝时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2＝1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1的普通方程为x sinα﹣y cosα﹣sinα＝0①．则OA的方程为x cosα+y sinα＝0②，联立①②可得x＝sin2α，y＝﹣cosαsinα；A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，P点轨迹的普通方程．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．【点评】本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．24．（10分）（2010•全国新课标）设函数f（x）＝|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y＝f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．【分析】（I）先讨论x的范围，将函数f（x）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II）根据函数y＝f（x）与函数y＝ax的图象可知先寻找满足f（x）≤ax的零界情况，从而求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）＝，函数y＝f（x）的图象如图所示．（Ⅱ）由函数y＝f（x）与函数y＝ax的图象可知，极小值在点（2，1）第21页（共21页）当且仅当a ＜﹣2或a ≥时，函数y ＝f （x ）与函数y ＝ax 的图象有交点．故不等式f （x ）≤ax 的解集非空时，a 的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及利用函数图象解不等式，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题．10。
2010年高考文科数学试题(全国卷2)
凤山县杭东黄铁矿矿山应急救援预案一、目的为了加强矿山应急救援工作，提高对突发事件的应急处理能力，提高救援队伍的业务管理和技术水平，培养指战员顽强的战斗作风，保证能迅速、有效地处理矿井各种灾害事故，保障国家财产、资源和员工生命安全，为适应本矿生产发展的需要，特制定本矿应急处理救援预案。
二、企业慨况：1、位置及交通矿区位于凤山县北西部，地理坐标为东经106°50′40″～106°52′07″，北纬24°36′36″～24°38′27″，属凤山县金牙乡及更沙乡管辖。
凤山—更沙的乡级油路通过矿区中部，路程46km，从凤山有二级公路与外部相连，交通比较方便，见下图。
经地质资料核实矿体块段矿石的储量为342.07万吨，矿体金属量56.3万吨，硫平均品位16.46%。
因其含对冶炼的有害砷、铁、氧化钙等元素含量较低，属难得的优质冶炼硫酸原料。
同时，因矿石中Al2O3的含量也达30%以上，含TiO2也达到4.23%左右,具有的一定的开发利用潜力。
凤山县杭东黄铁矿一直归凤山县硫磺厂（国营）专营，是凤山县硫磺厂生产硫磺的生产原料。
该厂1957年投产。
生产初期由于硫磺销路很好，生产效益不错,为地方经济发展作了较大的贡献。
随着市场经济改革的不断深入，凤山县硫磺厂由于生产规模小，生产成本太高，在硫磺市场中缺乏竞争能力,导致后期逐年出现严重亏损。
由于没有资金进行其它产品的市场开发或扩大生产规模，企业负债越来越高，最终于1997年被迫仃产。
大部份原厂的职工到目前尚无法安置就业工作，严重影响职工的正常稳定生活。
成了凤山县财政经济和社会的沉重包袱！为了能继续开发利用杭东黄铁矿资源和解决部分职工的再就业问题，并利用本地这一资源优势带动凤山县其它经济的良性发展，凤山县人民政府通过招商引资，与柳州有色冶炼股份有限公司达成了合作协议，决定由柳州有色冶炼股份有限公司兼并凤山县国营硫磺厂，由柳州有色冶炼股份有限公司继续投资开发这一矿体。
2010年全国统一高考数学试卷(文科)(全国大纲版ⅱ)
2010年全国统一高考数学试卷（文科）（全国大纲版Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）设全集U＝{x∈N+|x＜6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则∁U（A∪B）＝（）A．{1，4}B．{1，5}C．{2，4}D．{2，5}2．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）不等式＜0的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜3}B．{x|x＜﹣2}C．{x|x＜﹣2或x＞3}D．{x|x＞3} 3．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知sinα＝，则cos（π﹣2α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．4．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）函数的反函数是（）A．y＝e2x﹣1﹣1（x＞0）B．y＝e2x﹣1+1（x＞0）C．y＝e2x﹣1﹣1（x∈R）D．y＝e2x﹣1+1（x∈R）5．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．46．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5＝12，那么a1+a2+…+a7＝（）A．14B．21C．28D．357．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1＝0，则（）A．a＝1，b＝2B．a＝﹣1，b＝2C．a＝1，b＝﹣2D．a＝﹣1，b＝﹣2 8．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种10．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝，＝，||＝1，||＝2，则＝（）A．+B．+C．+D．+11．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无数个12．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知椭圆T：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若＝3，则k＝（）A．1B．C．D．2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知α是第二象限的角，tanα＝﹣，则cosα＝．14．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）（x+）9展开式中x3的系数是．（用数字作答）15．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p＝．16．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB＝4，若OM＝ON＝3，则两圆圆心的距离MN＝．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sin B＝，cos∠ADC＝，求AD．18．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知{a n}是各项均为正数的等比数列a1+a2＝2（），a3+a4+a5＝64++）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（a n+）2，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE＝3EB1．（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小．20．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求P；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．21．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知函数f（x）＝x3﹣3ax2+3x+1（1）设a＝2，求f（x）的单调增区间；（2）设f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a的取值范围．22．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|＝17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．2010年全国统一高考数学试卷（文科）（全国大纲版Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）设全集U＝{x∈N+|x＜6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则∁U（A∪B）＝（）A．{1，4}B．{1，5}C．{2，4}D．{2，5}【分析】由全集U＝{x∈N+|x＜6}，可得U＝{1，2，3，4，5}，然后根据集合混合运算的法则即可求解．【解答】解：∵A＝{1，3}，B＝{3，5}，∴A∪B＝{1，3，5}，∵U＝{x∈N+|x＜6}＝{1，2，3，4，5}，∴∁U（A∪B）＝{2，4}，故选：C．【点评】本题考查了集合的基本运算，属于基础知识，注意细心运算．2．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）不等式＜0的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜3}B．{x|x＜﹣2}C．{x|x＜﹣2或x＞3}D．{x|x＞3}【分析】本题的方法是：要使不等式小于0即要分子与分母异号，得到一个一元二次不等式，讨论x的值即可得到解集．【解答】解：∵，得到（x﹣3）（x+2）＜0即x﹣3＞0且x+2＜0解得：x＞3且x＜﹣2所以无解；或x﹣3＜0且x+2＞0，解得﹣2＜x＜3，所以不等式的解集为﹣2＜x＜3故选：A．【点评】本题主要考查学生求不等式解集的能力，是一道基础题．3．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知sinα＝，则cos（π﹣2α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】先根据诱导公式求得cos（π﹣2a）＝﹣cos2a进而根据二倍角公式把sinα的值代入即可求得答案．【解答】解：∵sin a＝，∴cos（π﹣2a）＝﹣cos2a＝﹣（1﹣2sin2a）＝﹣．故选：B．【点评】本题考查了二倍角公式及诱导公式．考查了学生对三角函数基础公式的记忆．4．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）函数的反函数是（）A．y＝e2x﹣1﹣1（x＞0）B．y＝e2x﹣1+1（x＞0）C．y＝e2x﹣1﹣1（x∈R）D．y＝e2x﹣1+1（x∈R）【分析】从条件中中反解出x，再将x，y互换即得．解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换位，2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．【解答】解：由原函数解得x＝e2y﹣1+1，∴f﹣1（x）＝e2x﹣1+1，又x＞1，∴x﹣1＞0；∴ln（x﹣1）∈R∴在反函数中x∈R，故选：D．【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y＝f（x）反求出x＝Φ（y）；（2）交换x＝Φ（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．5．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】先根据约束条件画出可行域，设z＝2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z＝2x+y过可行域内的点B时，从而得到m值即可．【解答】解：作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y＝x与3x+2y＝5的交点为最优解点，∴即为B（1，1），当x＝1，y＝1时z max＝3．故选：C．【点评】本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5＝12，那么a1+a2+…+a7＝（）A．14B．21C．28D．35【分析】由等差数列的性质求解．【解答】解：a3+a4+a5＝3a4＝12，a4＝4，∴a1+a2+…+a7＝＝7a4＝28故选：C．【点评】本题主要考查等差数列的性质．7．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1＝0，则（）A．a＝1，b＝2B．a＝﹣1，b＝2C．a＝1，b＝﹣2D．a＝﹣1，b＝﹣2【分析】由y＝x2+ax+b，知y′＝2x+a，再由曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x﹣y+1＝0，求出a和b．【解答】解：∵y＝x2+ax+b，∴y′＝2x+a，＝2+a，∵y′|x＝1∴曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为y﹣b＝（2+a）（x﹣1），∵曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x﹣y+1＝0，∴a＝﹣1，b＝2．故选：B．【点评】本题考查利用导数求曲线上某点切线方程的应用，解题时要认真审题，仔细解答．8．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】由图，过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE 于F，连BF，由题设条件证出∠ABF即所求线面角．由数据求出其正弦值．【解答】解：过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴E为BC中点，∵BC⊥AE，SA⊥BC，∴BC⊥面SAE，∴BC⊥AF，AF⊥SE，∴AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长2，∴AE＝，AS＝3，∴SE＝2，AF＝，∴sin∠ABF＝．故选：D．【点评】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角．9．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种【分析】本题是一个分步计数问题，首先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有C42，余下放入最后一个信封，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数问题，∵先从3个信封中选一个放1，2，有＝3种不同的选法；根据分组公式，其他四封信放入两个信封，每个信封两个有＝6种放法，∴共有3×6×1＝18．故选：B．【点评】本题考查分步计数原理，考查平均分组问题，是一个易错题，解题的关键是注意到第二步从剩下的4个数中选两个放到一个信封中，这里包含两个步骤，先平均分组，再排列．10．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝，＝，||＝1，||＝2，则＝（）A．+B．+C．+D．+【分析】由△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，根据三角形内角平分线定理，我们易得到，我们将后，将各向量用，表示，即可得到答案．【解答】解：∵CD为角平分线，∴，∵，∴，∴故选：B．【点评】本题考查了平面向量的基础知识，解答的核心是三角形内角平分线定理，即若AD为三角形ABC的内角A的角平分线，则AB：AC＝BD：CD11．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无数个【分析】由于点D、B1显然满足要求，猜想B1D上任一点都满足要求，然后想办法证明结论．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1上建立如图所示空间直角坐标系，并设该正方体的棱长为1，连接B1D，并在B1D上任取一点P，因为＝（1，1，1），所以设P（a，a，a），其中0≤a≤1．作PE⊥平面A1D，垂足为E，再作EF⊥A1D1，垂足为F，则PF是点P到直线A1D1的距离．所以PF＝；同理点P到直线AB、CC1的距离也是．所以B1D上任一点与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离都相等，所以与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点有无数个．故选：D．【点评】本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法．12．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知椭圆T：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若＝3，则k＝（）A．1B．C．D．2【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据求得y1和y2关系根据离心率设，b＝t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去x，根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而根据y1和y2关系求得k．【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），∵，∴y1＝﹣3y2，∵，设，b＝t，∴x2+4y2﹣4t2＝0①，设直线AB方程为，代入①中消去x，可得，∴，，解得，故选：B．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题问题综合性强，要求考生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知α是第二象限的角，tanα＝﹣，则cosα＝．【分析】根据，以及sin2α+cos2α＝1可求出答案．【解答】解：∵＝，∴2sinα＝﹣cosα又∵sin2α+cos2α＝1，α是第二象限的角∴故答案为：【点评】本题考查了同角三角函数的基础知识．14．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）（x+）9展开式中x3的系数是84．（用数字作答）【分析】本题考查二项式定理的展开式，解题时需要先写出二项式定理的通项T r+1，因为题目要求展开式中x3的系数，所以只要使x的指数等于3就可以，用通项可以解决二项式定理的一大部分题目．【解答】解：写出（x+）9通项，∵要求展开式中x3的系数∴令9﹣2r＝3得r＝3，∴C93＝84故答案为：84．【点评】本题是一个二项展开式的特定项的求法．解本题时容易公式记不清楚导致计算错误，所以牢记公式．它是经常出现的一个客观题．15．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p＝2．【分析】设直线AB的方程与抛物线方程联立消去y得3x2+（﹣6﹣2p）x+3＝0，进而根据，可知M为A、B的中点，可得p的关系式，解方程即可求得p．【解答】解：设直线AB：，代入y2＝2px得3x2+（﹣6﹣2p）x+3＝0，又∵，即M为A、B的中点，∴x B+（﹣）＝2，即x B＝2+，得p2+4P﹣12＝0，解得p＝2，p＝﹣6（舍去）故答案为：2【点评】本题考查了抛物线的几何性质．属基础题．16．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB＝4，若OM＝ON＝3，则两圆圆心的距离MN＝3．【分析】根据题意画出图形，欲求两圆圆心的距离，将它放在与球心组成的三角形MNO 中，只要求出球心角即可，通过球的性质构成的直角三角形即可解得．【解答】解法一：∵ON＝3，球半径为4，∴小圆N的半径为，∵小圆N中弦长AB＝4，作NE垂直于AB，∴NE＝，同理可得，在直角三角形ONE中，∵NE＝，ON＝3，∴，∴，∴MN＝3．故填：3．解法二：如下图：设AB的中点为C，则OC与MN必相交于MN中点为E，因为OM＝ON＝3，故小圆半径NB为C为AB中点，故CB＝2；所以NC＝，∵△ONC为直角三角形，NE为△ONC斜边上的高，OC＝∴MN＝2EN＝2•CN•＝2××＝3故填：3．【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，还考查球、直线与圆的基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sin B＝，cos∠ADC＝，求AD．【分析】先由cos∠ADC＝确定角ADC的范围，因为∠BAD＝∠ADC﹣B所以可求其正弦值，最后由正弦定理可得答案．【解答】解：由cos∠ADC＝＞0，则∠ADC＜，又由知B＜∠ADC可得B＜，由sin B＝，可得cos B＝，又由cos∠ADC＝，可得sin∠ADC＝．从而sin∠BAD＝sin（∠ADC﹣B）＝sin∠ADC cos B﹣cos∠ADC sin B＝＝．由正弦定理得，所以AD＝＝．【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现．这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变．解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化．18．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知{a n}是各项均为正数的等比数列a1+a2＝2（），a3+a4+a5＝64++）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（a n+）2，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由题意利用等比数列的通项公式建立首项a1与公比q的方程，然后求解即可（2）由b n的定义求出通项公式，在由通项公式，利用分组求和法即可求解【解答】解：（1）设正等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意得：∴a n＝2n﹣1（6分）（2）∴b n的前n项和T n＝（12分）【点评】（1）此问重基础及学生的基本运算技能（2）此处重点考查了高考常考的数列求和方法之一的分组求和，及指数的基本运算性质19．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE＝3EB1．（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小．【分析】（1）欲证DE为异面直线AB1与CD的公垂线，即证DE与异面直线AB1与CD 垂直相交即可；（2）将AB1平移到DG，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角，在三角形B1KH中求出此角即可．【解答】解：（1）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F．因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF＝FB1，又AE＝3EB1，所以FE＝EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1．作CG⊥AB，G为垂足，由AC＝BC知，G为AB中点．又由底面ABC⊥面AA1B1B．连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD．所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线．（2）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG＝45°设AB＝2，则AB1＝，DG＝，CG＝，AC＝．作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C．又作HK ⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角．B1H＝，C1H＝，AC1＝，HK＝tan∠B1KH＝，∴二面角A1﹣AC1﹣B1的大小为arctan．【点评】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力．三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段．通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处．20．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求P；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．【分析】（1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将T1，T2，T3至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得p．（Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，根据电路图，可得B＝A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3，由互斥事件的概率公式，代入数据计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，记电流能通过T i为事件A i，i＝1、2、3、4，A表示事件：T1，T2，T3，中至少有一个能通过电流，易得A1，A2，A3相互独立，且，P（）＝（1﹣p）3＝1﹣0.999＝0.001，计算可得，p＝0.9；（Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，有B＝A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3，则P（B）＝P（A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3）＝0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9＝0.9891．【点评】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，注意先明确事件之间的关系，进而选择对应的公式来计算．21．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知函数f（x）＝x3﹣3ax2+3x+1（1）设a＝2，求f（x）的单调增区间；（2）设f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a的取值范围．【分析】（1）求导函数，利用导数大于0，可得f（x）的单调增区间；（2）f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于方程f′（x）＝0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜﹣1）的条件下在区间（2，3）有解．【解答】解：（1）f（x）的定义域是R，f′（x）＝3x2﹣6ax+3，当a＝2时，f′（x）＝3x2﹣12x+3＝3（x2﹣4x+1），令f′（x）＞0，可得x2﹣4x+1＞0解得：或∴f（x）的单调增区间是；（2）∵f′（x）＝3x2﹣6ax+3，而f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于方程3x2﹣6ax+3＝0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜﹣1）的条件下在区间（2，3）有解．∴由3x2﹣6ax+3＝0可得a＝，令g（x）＝，求导函数可得g′（x）＝∴g（x）在（2，3）上单调递增，∴＜＜，∴＜a＜，此时满足△＞0，故a的取值范围是＜a＜．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点转化为方程f′（x）＝0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜﹣1）的条件下在区间（2，3）有解．22．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|＝17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．【分析】（Ⅰ）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出a，b的关系式即求得离心率．（Ⅱ）利用离心率将条件|FA||FB|＝17，用含a的代数式表示，即可求得a，则A点坐标可得（1，0），由于A在x轴上所以，只要证明2AM＝BD即证得．【解答】解：（Ⅰ）由题设知，l的方程为：y＝x+2，代入C的方程，并化简，得（b2﹣a2）x2﹣4a2x﹣a2b2﹣4a2＝0，设B（x1，y1），D（x2，y2），则，，①由M（1，3）为BD的中点知．故，即b2＝3a2，②故，∴C的离心率．（Ⅱ）由①②知，C的方程为：3x2﹣y2＝3a2，A（a，0），F（2a，0），．故不妨设x1≤﹣a，x2≥a，，，|BF|•|FD|＝（a﹣2x1）（2x2﹣a）＝﹣4x1x2+2a（x1+x2）﹣a2＝5a2+4a+8．又|BF|•|FD|＝17，故5a2+4a+8＝17．解得a＝1，或（舍去），故＝6，连接MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|＝3，从而MA＝MB＝MD，且MA⊥x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．【点评】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力．。
2010年全国统一高考数学试卷(文科)(全国大纲版ⅱ)
2010年全国统一高考数学试卷（文科）（全国大纲版Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）设全集U＝{x∈N+|x＜6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则∁U（A∪B）＝（）A．{1，4}B．{1，5}C．{2，4}D．{2，5}2．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）不等式＜0的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜3}B．{x|x＜﹣2}C．{x|x＜﹣2或x＞3}D．{x|x＞3} 3．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知sinα＝，则cos（π﹣2α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．4．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）函数的反函数是（）A．y＝e2x﹣1﹣1（x＞0）B．y＝e2x﹣1+1（x＞0）C．y＝e2x﹣1﹣1（x∈R）D．y＝e2x﹣1+1（x∈R）5．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．46．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5＝12，那么a1+a2+…+a7＝（）A．14B．21C．28D．357．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1＝0，则（）A．a＝1，b＝2B．a＝﹣1，b＝2C．a＝1，b＝﹣2D．a＝﹣1，b＝﹣2 8．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种10．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝，＝，||＝1，||＝2，则＝（）A．+B．+C．+D．+11．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无数个12．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知椭圆T：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若＝3，则k＝（）A．1B．C．D．2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知α是第二象限的角，tanα＝﹣，则cosα＝．14．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）（x+）9展开式中x3的系数是．（用数字作答）15．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p＝．16．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB＝4，若OM＝ON＝3，则两圆圆心的距离MN＝．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sin B＝，cos∠ADC＝，求AD．18．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知{a n}是各项均为正数的等比数列a1+a2＝2（），a3+a4+a5＝64++）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（a n+）2，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE＝3EB1．（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小．20．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求P；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．21．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知函数f（x）＝x3﹣3ax2+3x+1（1）设a＝2，求f（x）的单调增区间；（2）设f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a的取值范围．22．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|＝17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．2010年全国统一高考数学试卷（文科）（全国大纲版Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）设全集U＝{x∈N+|x＜6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则∁U（A∪B）＝（）A．{1，4}B．{1，5}C．{2，4}D．{2，5}【分析】由全集U＝{x∈N+|x＜6}，可得U＝{1，2，3，4，5}，然后根据集合混合运算的法则即可求解．【解答】解：∵A＝{1，3}，B＝{3，5}，∴A∪B＝{1，3，5}，∵U＝{x∈N+|x＜6}＝{1，2，3，4，5}，∴∁U（A∪B）＝{2，4}，故选：C．【点评】本题考查了集合的基本运算，属于基础知识，注意细心运算．2．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）不等式＜0的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜3}B．{x|x＜﹣2}C．{x|x＜﹣2或x＞3}D．{x|x＞3}【分析】本题的方法是：要使不等式小于0即要分子与分母异号，得到一个一元二次不等式，讨论x的值即可得到解集．【解答】解：∵，得到（x﹣3）（x+2）＜0即x﹣3＞0且x+2＜0解得：x＞3且x＜﹣2所以无解；或x﹣3＜0且x+2＞0，解得﹣2＜x＜3，所以不等式的解集为﹣2＜x＜3故选：A．【点评】本题主要考查学生求不等式解集的能力，是一道基础题．3．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知sinα＝，则cos（π﹣2α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】先根据诱导公式求得cos（π﹣2a）＝﹣cos2a进而根据二倍角公式把sinα的值代入即可求得答案．【解答】解：∵sin a＝，∴cos（π﹣2a）＝﹣cos2a＝﹣（1﹣2sin2a）＝﹣．故选：B．【点评】本题考查了二倍角公式及诱导公式．考查了学生对三角函数基础公式的记忆．4．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）函数的反函数是（）A．y＝e2x﹣1﹣1（x＞0）B．y＝e2x﹣1+1（x＞0）C．y＝e2x﹣1﹣1（x∈R）D．y＝e2x﹣1+1（x∈R）【分析】从条件中中反解出x，再将x，y互换即得．解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换位，2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．【解答】解：由原函数解得x＝e2y﹣1+1，∴f﹣1（x）＝e2x﹣1+1，又x＞1，∴x﹣1＞0；∴ln（x﹣1）∈R∴在反函数中x∈R，故选：D．【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y＝f（x）反求出x＝Φ（y）；（2）交换x＝Φ（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．5．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】先根据约束条件画出可行域，设z＝2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z＝2x+y过可行域内的点B时，从而得到m值即可．【解答】解：作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y＝x与3x+2y＝5的交点为最优解点，∴即为B（1，1），当x＝1，y＝1时z max＝3．故选：C．【点评】本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5＝12，那么a1+a2+…+a7＝（）A．14B．21C．28D．35【分析】由等差数列的性质求解．【解答】解：a3+a4+a5＝3a4＝12，a4＝4，∴a1+a2+…+a7＝＝7a4＝28故选：C．【点评】本题主要考查等差数列的性质．7．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1＝0，则（）A．a＝1，b＝2B．a＝﹣1，b＝2C．a＝1，b＝﹣2D．a＝﹣1，b＝﹣2【分析】由y＝x2+ax+b，知y′＝2x+a，再由曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x﹣y+1＝0，求出a和b．【解答】解：∵y＝x2+ax+b，∴y′＝2x+a，＝2+a，∵y′|x＝1∴曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为y﹣b＝（2+a）（x﹣1），∵曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x﹣y+1＝0，∴a＝﹣1，b＝2．故选：B．【点评】本题考查利用导数求曲线上某点切线方程的应用，解题时要认真审题，仔细解答．8．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】由图，过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE 于F，连BF，由题设条件证出∠ABF即所求线面角．由数据求出其正弦值．【解答】解：过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴E为BC中点，∵BC⊥AE，SA⊥BC，∴BC⊥面SAE，∴BC⊥AF，AF⊥SE，∴AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长2，∴AE＝，AS＝3，∴SE＝2，AF＝，∴sin∠ABF＝．故选：D．【点评】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角．9．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种【分析】本题是一个分步计数问题，首先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有C42，余下放入最后一个信封，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数问题，∵先从3个信封中选一个放1，2，有＝3种不同的选法；根据分组公式，其他四封信放入两个信封，每个信封两个有＝6种放法，∴共有3×6×1＝18．故选：B．【点评】本题考查分步计数原理，考查平均分组问题，是一个易错题，解题的关键是注意到第二步从剩下的4个数中选两个放到一个信封中，这里包含两个步骤，先平均分组，再排列．10．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝，＝，||＝1，||＝2，则＝（）A．+B．+C．+D．+【分析】由△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，根据三角形内角平分线定理，我们易得到，我们将后，将各向量用，表示，即可得到答案．【解答】解：∵CD为角平分线，∴，∵，∴，∴故选：B．【点评】本题考查了平面向量的基础知识，解答的核心是三角形内角平分线定理，即若AD为三角形ABC的内角A的角平分线，则AB：AC＝BD：CD11．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无数个【分析】由于点D、B1显然满足要求，猜想B1D上任一点都满足要求，然后想办法证明结论．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1上建立如图所示空间直角坐标系，并设该正方体的棱长为1，连接B1D，并在B1D上任取一点P，因为＝（1，1，1），所以设P（a，a，a），其中0≤a≤1．作PE⊥平面A1D，垂足为E，再作EF⊥A1D1，垂足为F，则PF是点P到直线A1D1的距离．所以PF＝；同理点P到直线AB、CC1的距离也是．所以B1D上任一点与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离都相等，所以与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点有无数个．故选：D．【点评】本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法．12．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知椭圆T：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若＝3，则k＝（）A．1B．C．D．2【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据求得y1和y2关系根据离心率设，b＝t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去x，根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而根据y1和y2关系求得k．【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），∵，∴y1＝﹣3y2，∵，设，b＝t，∴x2+4y2﹣4t2＝0①，设直线AB方程为，代入①中消去x，可得，∴，，解得，故选：B．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题问题综合性强，要求考生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知α是第二象限的角，tanα＝﹣，则cosα＝．【分析】根据，以及sin2α+cos2α＝1可求出答案．【解答】解：∵＝，∴2sinα＝﹣cosα又∵sin2α+cos2α＝1，α是第二象限的角∴故答案为：【点评】本题考查了同角三角函数的基础知识．14．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）（x+）9展开式中x3的系数是84．（用数字作答）【分析】本题考查二项式定理的展开式，解题时需要先写出二项式定理的通项T r+1，因为题目要求展开式中x3的系数，所以只要使x的指数等于3就可以，用通项可以解决二项式定理的一大部分题目．【解答】解：写出（x+）9通项，∵要求展开式中x3的系数∴令9﹣2r＝3得r＝3，∴C93＝84故答案为：84．【点评】本题是一个二项展开式的特定项的求法．解本题时容易公式记不清楚导致计算错误，所以牢记公式．它是经常出现的一个客观题．15．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p＝2．【分析】设直线AB的方程与抛物线方程联立消去y得3x2+（﹣6﹣2p）x+3＝0，进而根据，可知M为A、B的中点，可得p的关系式，解方程即可求得p．【解答】解：设直线AB：，代入y2＝2px得3x2+（﹣6﹣2p）x+3＝0，又∵，即M为A、B的中点，∴x B+（﹣）＝2，即x B＝2+，得p2+4P﹣12＝0，解得p＝2，p＝﹣6（舍去）故答案为：2【点评】本题考查了抛物线的几何性质．属基础题．16．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB＝4，若OM＝ON＝3，则两圆圆心的距离MN＝3．【分析】根据题意画出图形，欲求两圆圆心的距离，将它放在与球心组成的三角形MNO 中，只要求出球心角即可，通过球的性质构成的直角三角形即可解得．【解答】解法一：∵ON＝3，球半径为4，∴小圆N的半径为，∵小圆N中弦长AB＝4，作NE垂直于AB，∴NE＝，同理可得，在直角三角形ONE中，∵NE＝，ON＝3，∴，∴，∴MN＝3．故填：3．解法二：如下图：设AB的中点为C，则OC与MN必相交于MN中点为E，因为OM＝ON＝3，故小圆半径NB为C为AB中点，故CB＝2；所以NC＝，∵△ONC为直角三角形，NE为△ONC斜边上的高，OC＝∴MN＝2EN＝2•CN•＝2××＝3故填：3．【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，还考查球、直线与圆的基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sin B＝，cos∠ADC＝，求AD．【分析】先由cos∠ADC＝确定角ADC的范围，因为∠BAD＝∠ADC﹣B所以可求其正弦值，最后由正弦定理可得答案．【解答】解：由cos∠ADC＝＞0，则∠ADC＜，又由知B＜∠ADC可得B＜，由sin B＝，可得cos B＝，又由cos∠ADC＝，可得sin∠ADC＝．从而sin∠BAD＝sin（∠ADC﹣B）＝sin∠ADC cos B﹣cos∠ADC sin B＝＝．由正弦定理得，所以AD＝＝．【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现．这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变．解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化．18．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知{a n}是各项均为正数的等比数列a1+a2＝2（），a3+a4+a5＝64++）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（a n+）2，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由题意利用等比数列的通项公式建立首项a1与公比q的方程，然后求解即可（2）由b n的定义求出通项公式，在由通项公式，利用分组求和法即可求解【解答】解：（1）设正等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意得：∴a n＝2n﹣1（6分）（2）∴b n的前n项和T n＝（12分）【点评】（1）此问重基础及学生的基本运算技能（2）此处重点考查了高考常考的数列求和方法之一的分组求和，及指数的基本运算性质19．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE＝3EB1．（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小．【分析】（1）欲证DE为异面直线AB1与CD的公垂线，即证DE与异面直线AB1与CD 垂直相交即可；（2）将AB1平移到DG，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角，在三角形B1KH中求出此角即可．【解答】解：（1）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F．因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF＝FB1，又AE＝3EB1，所以FE＝EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1．作CG⊥AB，G为垂足，由AC＝BC知，G为AB中点．又由底面ABC⊥面AA1B1B．连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD．所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线．（2）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG＝45°设AB＝2，则AB1＝，DG＝，CG＝，AC＝．作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C．又作HK ⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角．B1H＝，C1H＝，AC1＝，HK＝tan∠B1KH＝，∴二面角A1﹣AC1﹣B1的大小为arctan．【点评】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力．三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段．通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处．20．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求P；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．【分析】（1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将T1，T2，T3至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得p．（Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，根据电路图，可得B＝A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3，由互斥事件的概率公式，代入数据计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，记电流能通过T i为事件A i，i＝1、2、3、4，A表示事件：T1，T2，T3，中至少有一个能通过电流，易得A1，A2，A3相互独立，且，P（）＝（1﹣p）3＝1﹣0.999＝0.001，计算可得，p＝0.9；（Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，有B＝A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3，则P（B）＝P（A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3）＝0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9＝0.9891．【点评】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，注意先明确事件之间的关系，进而选择对应的公式来计算．21．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知函数f（x）＝x3﹣3ax2+3x+1（1）设a＝2，求f（x）的单调增区间；（2）设f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a的取值范围．【分析】（1）求导函数，利用导数大于0，可得f（x）的单调增区间；（2）f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于方程f′（x）＝0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜﹣1）的条件下在区间（2，3）有解．【解答】解：（1）f（x）的定义域是R，f′（x）＝3x2﹣6ax+3，当a＝2时，f′（x）＝3x2﹣12x+3＝3（x2﹣4x+1），令f′（x）＞0，可得x2﹣4x+1＞0解得：或∴f（x）的单调增区间是；（2）∵f′（x）＝3x2﹣6ax+3，而f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于方程3x2﹣6ax+3＝0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜﹣1）的条件下在区间（2，3）有解．∴由3x2﹣6ax+3＝0可得a＝，令g（x）＝，求导函数可得g′（x）＝∴g（x）在（2，3）上单调递增，∴＜＜，∴＜a＜，此时满足△＞0，故a的取值范围是＜a＜．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点转化为方程f′（x）＝0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜﹣1）的条件下在区间（2，3）有解．22．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|＝17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．【分析】（Ⅰ）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出a，b的关系式即求得离心率．（Ⅱ）利用离心率将条件|FA||FB|＝17，用含a的代数式表示，即可求得a，则A点坐标可得（1，0），由于A在x轴上所以，只要证明2AM＝BD即证得．【解答】解：（Ⅰ）由题设知，l的方程为：y＝x+2，代入C的方程，并化简，得（b2﹣a2）x2﹣4a2x﹣a2b2﹣4a2＝0，设B（x1，y1），D（x2，y2），则，，①由M（1，3）为BD的中点知．故，即b2＝3a2，②故，∴C的离心率．（Ⅱ）由①②知，C的方程为：3x2﹣y2＝3a2，A（a，0），F（2a，0），．故不妨设x1≤﹣a，x2≥a，，，|BF|•|FD|＝（a﹣2x1）（2x2﹣a）＝﹣4x1x2+2a（x1+x2）﹣a2＝5a2+4a+8．又|BF|•|FD|＝17，故5a2+4a+8＝17．解得a＝1，或（舍去），故＝6，连接MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|＝3，从而MA＝MB＝MD，且MA⊥x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．【点评】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力．。
2010年全国统一高考数学试卷(文科)(全国大纲版ⅱ)
2010年全国统一高考数学试卷（文科）（全国大纲版Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）设全集U＝{x∈N+|x＜6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则∁U（A∪B）＝（）A．{1，4}B．{1，5}C．{2，4}D．{2，5}2．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）不等式＜0的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜3}B．{x|x＜﹣2}C．{x|x＜﹣2或x＞3}D．{x|x＞3} 3．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知sinα＝，则cos（π﹣2α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．4．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）函数的反函数是（）A．y＝e2x﹣1﹣1（x＞0）B．y＝e2x﹣1+1（x＞0）C．y＝e2x﹣1﹣1（x∈R）D．y＝e2x﹣1+1（x∈R）5．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．46．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5＝12，那么a1+a2+…+a7＝（）A．14B．21C．28D．357．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1＝0，则（）A．a＝1，b＝2B．a＝﹣1，b＝2C．a＝1，b＝﹣2D．a＝﹣1，b＝﹣2 8．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种10．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝，＝，||＝1，||＝2，则＝（）A．+B．+C．+D．+11．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无数个12．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知椭圆T：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若＝3，则k＝（）A．1B．C．D．2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知α是第二象限的角，tanα＝﹣，则cosα＝．14．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）（x+）9展开式中x3的系数是．（用数字作答）15．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p＝．16．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB＝4，若OM＝ON＝3，则两圆圆心的距离MN＝．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sin B＝，cos∠ADC＝，求AD．18．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知{a n}是各项均为正数的等比数列a1+a2＝2（），a3+a4+a5＝64++）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（a n+）2，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE＝3EB1．（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小．20．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求P；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．21．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知函数f（x）＝x3﹣3ax2+3x+1（1）设a＝2，求f（x）的单调增区间；（2）设f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a的取值范围．22．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|＝17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．2010年全国统一高考数学试卷（文科）（全国大纲版Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）设全集U＝{x∈N+|x＜6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则∁U（A∪B）＝（）A．{1，4}B．{1，5}C．{2，4}D．{2，5}【分析】由全集U＝{x∈N+|x＜6}，可得U＝{1，2，3，4，5}，然后根据集合混合运算的法则即可求解．【解答】解：∵A＝{1，3}，B＝{3，5}，∴A∪B＝{1，3，5}，∵U＝{x∈N+|x＜6}＝{1，2，3，4，5}，∴∁U（A∪B）＝{2，4}，故选：C．【点评】本题考查了集合的基本运算，属于基础知识，注意细心运算．2．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）不等式＜0的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜3}B．{x|x＜﹣2}C．{x|x＜﹣2或x＞3}D．{x|x＞3}【分析】本题的方法是：要使不等式小于0即要分子与分母异号，得到一个一元二次不等式，讨论x的值即可得到解集．【解答】解：∵，得到（x﹣3）（x+2）＜0即x﹣3＞0且x+2＜0解得：x＞3且x＜﹣2所以无解；或x﹣3＜0且x+2＞0，解得﹣2＜x＜3，所以不等式的解集为﹣2＜x＜3故选：A．【点评】本题主要考查学生求不等式解集的能力，是一道基础题．3．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知sinα＝，则cos（π﹣2α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】先根据诱导公式求得cos（π﹣2a）＝﹣cos2a进而根据二倍角公式把sinα的值代入即可求得答案．【解答】解：∵sin a＝，∴cos（π﹣2a）＝﹣cos2a＝﹣（1﹣2sin2a）＝﹣．故选：B．【点评】本题考查了二倍角公式及诱导公式．考查了学生对三角函数基础公式的记忆．4．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）函数的反函数是（）A．y＝e2x﹣1﹣1（x＞0）B．y＝e2x﹣1+1（x＞0）C．y＝e2x﹣1﹣1（x∈R）D．y＝e2x﹣1+1（x∈R）【分析】从条件中中反解出x，再将x，y互换即得．解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换位，2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．【解答】解：由原函数解得x＝e2y﹣1+1，∴f﹣1（x）＝e2x﹣1+1，又x＞1，∴x﹣1＞0；∴ln（x﹣1）∈R∴在反函数中x∈R，故选：D．【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y＝f（x）反求出x＝Φ（y）；（2）交换x＝Φ（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．5．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】先根据约束条件画出可行域，设z＝2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z＝2x+y过可行域内的点B时，从而得到m值即可．【解答】解：作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y＝x与3x+2y＝5的交点为最优解点，∴即为B（1，1），当x＝1，y＝1时z max＝3．故选：C．【点评】本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5＝12，那么a1+a2+…+a7＝（）A．14B．21C．28D．35【分析】由等差数列的性质求解．【解答】解：a3+a4+a5＝3a4＝12，a4＝4，∴a1+a2+…+a7＝＝7a4＝28故选：C．【点评】本题主要考查等差数列的性质．7．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1＝0，则（）A．a＝1，b＝2B．a＝﹣1，b＝2C．a＝1，b＝﹣2D．a＝﹣1，b＝﹣2【分析】由y＝x2+ax+b，知y′＝2x+a，再由曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x﹣y+1＝0，求出a和b．【解答】解：∵y＝x2+ax+b，∴y′＝2x+a，＝2+a，∵y′|x＝1∴曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为y﹣b＝（2+a）（x﹣1），∵曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x﹣y+1＝0，∴a＝﹣1，b＝2．故选：B．【点评】本题考查利用导数求曲线上某点切线方程的应用，解题时要认真审题，仔细解答．8．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】由图，过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE 于F，连BF，由题设条件证出∠ABF即所求线面角．由数据求出其正弦值．【解答】解：过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴E为BC中点，∵BC⊥AE，SA⊥BC，∴BC⊥面SAE，∴BC⊥AF，AF⊥SE，∴AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长2，∴AE＝，AS＝3，∴SE＝2，AF＝，∴sin∠ABF＝．故选：D．【点评】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角．9．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种【分析】本题是一个分步计数问题，首先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有C42，余下放入最后一个信封，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数问题，∵先从3个信封中选一个放1，2，有＝3种不同的选法；根据分组公式，其他四封信放入两个信封，每个信封两个有＝6种放法，∴共有3×6×1＝18．故选：B．【点评】本题考查分步计数原理，考查平均分组问题，是一个易错题，解题的关键是注意到第二步从剩下的4个数中选两个放到一个信封中，这里包含两个步骤，先平均分组，再排列．10．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝，＝，||＝1，||＝2，则＝（）A．+B．+C．+D．+【分析】由△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，根据三角形内角平分线定理，我们易得到，我们将后，将各向量用，表示，即可得到答案．【解答】解：∵CD为角平分线，∴，∵，∴，∴故选：B．【点评】本题考查了平面向量的基础知识，解答的核心是三角形内角平分线定理，即若AD为三角形ABC的内角A的角平分线，则AB：AC＝BD：CD11．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无数个【分析】由于点D、B1显然满足要求，猜想B1D上任一点都满足要求，然后想办法证明结论．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1上建立如图所示空间直角坐标系，并设该正方体的棱长为1，连接B1D，并在B1D上任取一点P，因为＝（1，1，1），所以设P（a，a，a），其中0≤a≤1．作PE⊥平面A1D，垂足为E，再作EF⊥A1D1，垂足为F，则PF是点P到直线A1D1的距离．所以PF＝；同理点P到直线AB、CC1的距离也是．所以B1D上任一点与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离都相等，所以与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点有无数个．故选：D．【点评】本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法．12．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知椭圆T：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若＝3，则k＝（）A．1B．C．D．2【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据求得y1和y2关系根据离心率设，b＝t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去x，根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而根据y1和y2关系求得k．【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），∵，∴y1＝﹣3y2，∵，设，b＝t，∴x2+4y2﹣4t2＝0①，设直线AB方程为，代入①中消去x，可得，∴，，解得，故选：B．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题问题综合性强，要求考生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知α是第二象限的角，tanα＝﹣，则cosα＝．【分析】根据，以及sin2α+cos2α＝1可求出答案．【解答】解：∵＝，∴2sinα＝﹣cosα又∵sin2α+cos2α＝1，α是第二象限的角∴故答案为：【点评】本题考查了同角三角函数的基础知识．14．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）（x+）9展开式中x3的系数是84．（用数字作答）【分析】本题考查二项式定理的展开式，解题时需要先写出二项式定理的通项T r+1，因为题目要求展开式中x3的系数，所以只要使x的指数等于3就可以，用通项可以解决二项式定理的一大部分题目．【解答】解：写出（x+）9通项，∵要求展开式中x3的系数∴令9﹣2r＝3得r＝3，∴C93＝84故答案为：84．【点评】本题是一个二项展开式的特定项的求法．解本题时容易公式记不清楚导致计算错误，所以牢记公式．它是经常出现的一个客观题．15．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p＝2．【分析】设直线AB的方程与抛物线方程联立消去y得3x2+（﹣6﹣2p）x+3＝0，进而根据，可知M为A、B的中点，可得p的关系式，解方程即可求得p．【解答】解：设直线AB：，代入y2＝2px得3x2+（﹣6﹣2p）x+3＝0，又∵，即M为A、B的中点，∴x B+（﹣）＝2，即x B＝2+，得p2+4P﹣12＝0，解得p＝2，p＝﹣6（舍去）故答案为：2【点评】本题考查了抛物线的几何性质．属基础题．16．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB＝4，若OM＝ON＝3，则两圆圆心的距离MN＝3．【分析】根据题意画出图形，欲求两圆圆心的距离，将它放在与球心组成的三角形MNO 中，只要求出球心角即可，通过球的性质构成的直角三角形即可解得．【解答】解法一：∵ON＝3，球半径为4，∴小圆N的半径为，∵小圆N中弦长AB＝4，作NE垂直于AB，∴NE＝，同理可得，在直角三角形ONE中，∵NE＝，ON＝3，∴，∴，∴MN＝3．故填：3．解法二：如下图：设AB的中点为C，则OC与MN必相交于MN中点为E，因为OM＝ON＝3，故小圆半径NB为C为AB中点，故CB＝2；所以NC＝，∵△ONC为直角三角形，NE为△ONC斜边上的高，OC＝∴MN＝2EN＝2•CN•＝2××＝3故填：3．【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，还考查球、直线与圆的基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sin B＝，cos∠ADC＝，求AD．【分析】先由cos∠ADC＝确定角ADC的范围，因为∠BAD＝∠ADC﹣B所以可求其正弦值，最后由正弦定理可得答案．【解答】解：由cos∠ADC＝＞0，则∠ADC＜，又由知B＜∠ADC可得B＜，由sin B＝，可得cos B＝，又由cos∠ADC＝，可得sin∠ADC＝．从而sin∠BAD＝sin（∠ADC﹣B）＝sin∠ADC cos B﹣cos∠ADC sin B＝＝．由正弦定理得，所以AD＝＝．【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现．这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变．解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化．18．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知{a n}是各项均为正数的等比数列a1+a2＝2（），a3+a4+a5＝64++）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（a n+）2，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由题意利用等比数列的通项公式建立首项a1与公比q的方程，然后求解即可（2）由b n的定义求出通项公式，在由通项公式，利用分组求和法即可求解【解答】解：（1）设正等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意得：∴a n＝2n﹣1（6分）（2）∴b n的前n项和T n＝（12分）【点评】（1）此问重基础及学生的基本运算技能（2）此处重点考查了高考常考的数列求和方法之一的分组求和，及指数的基本运算性质19．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE＝3EB1．（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小．【分析】（1）欲证DE为异面直线AB1与CD的公垂线，即证DE与异面直线AB1与CD 垂直相交即可；（2）将AB1平移到DG，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角，在三角形B1KH中求出此角即可．【解答】解：（1）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F．因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF＝FB1，又AE＝3EB1，所以FE＝EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1．作CG⊥AB，G为垂足，由AC＝BC知，G为AB中点．又由底面ABC⊥面AA1B1B．连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD．所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线．（2）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG＝45°设AB＝2，则AB1＝，DG＝，CG＝，AC＝．作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C．又作HK ⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角．B1H＝，C1H＝，AC1＝，HK＝tan∠B1KH＝，∴二面角A1﹣AC1﹣B1的大小为arctan．【点评】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力．三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段．通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处．20．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求P；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．【分析】（1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将T1，T2，T3至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得p．（Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，根据电路图，可得B＝A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3，由互斥事件的概率公式，代入数据计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，记电流能通过T i为事件A i，i＝1、2、3、4，A表示事件：T1，T2，T3，中至少有一个能通过电流，易得A1，A2，A3相互独立，且，P（）＝（1﹣p）3＝1﹣0.999＝0.001，计算可得，p＝0.9；（Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，有B＝A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3，则P（B）＝P（A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3）＝0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9＝0.9891．【点评】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，注意先明确事件之间的关系，进而选择对应的公式来计算．21．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知函数f（x）＝x3﹣3ax2+3x+1（1）设a＝2，求f（x）的单调增区间；（2）设f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a的取值范围．【分析】（1）求导函数，利用导数大于0，可得f（x）的单调增区间；（2）f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于方程f′（x）＝0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜﹣1）的条件下在区间（2，3）有解．【解答】解：（1）f（x）的定义域是R，f′（x）＝3x2﹣6ax+3，当a＝2时，f′（x）＝3x2﹣12x+3＝3（x2﹣4x+1），令f′（x）＞0，可得x2﹣4x+1＞0解得：或∴f（x）的单调增区间是；（2）∵f′（x）＝3x2﹣6ax+3，而f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于方程3x2﹣6ax+3＝0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜﹣1）的条件下在区间（2，3）有解．∴由3x2﹣6ax+3＝0可得a＝，令g（x）＝，求导函数可得g′（x）＝∴g（x）在（2，3）上单调递增，∴＜＜，∴＜a＜，此时满足△＞0，故a的取值范围是＜a＜．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点转化为方程f′（x）＝0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜﹣1）的条件下在区间（2，3）有解．22．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|＝17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．【分析】（Ⅰ）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出a，b的关系式即求得离心率．（Ⅱ）利用离心率将条件|FA||FB|＝17，用含a的代数式表示，即可求得a，则A点坐标可得（1，0），由于A在x轴上所以，只要证明2AM＝BD即证得．【解答】解：（Ⅰ）由题设知，l的方程为：y＝x+2，代入C的方程，并化简，得（b2﹣a2）x2﹣4a2x﹣a2b2﹣4a2＝0，设B（x1，y1），D（x2，y2），则，，①由M（1，3）为BD的中点知．故，即b2＝3a2，②故，∴C的离心率．（Ⅱ）由①②知，C的方程为：3x2﹣y2＝3a2，A（a，0），F（2a，0），．故不妨设x1≤﹣a，x2≥a，，，|BF|•|FD|＝（a﹣2x1）（2x2﹣a）＝﹣4x1x2+2a（x1+x2）﹣a2＝5a2+4a+8．又|BF|•|FD|＝17，故5a2+4a+8＝17．解得a＝1，或（舍去），故＝6，连接MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|＝3，从而MA＝MB＝MD，且MA⊥x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．【点评】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力．。
2010年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版Ⅱ)解析版
2010年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版Ⅱ）解析版参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设全集{|6}U x N x +=∈<，集合{1A =，3}，{3B =，5}，则()(U A B =ð )A ．{1，4}B ．{1，5}C ．{2，4}D ．{2，5}【考点】1H ：交、并、补集的混合运算 【专题】11：计算题【分析】由全集{|6}U x N x +=∈<，可得{1U =，2，3，4，5}，然后根据集合混合运算的法则即可求解． 【解答】解：{1A =，3}，{3B =，5}，{1AB ∴=，3，5}，{|6}{1U x N x +=∈<=，2，3，4，5}， (){2U AB ∴=ð，4}，故选：C ．【点评】本题考查了集合的基本运算，属于基础知识，注意细心运算． 2．（5分）不等式302x x -<+的解集为( ) A ．{|23}x x -<< B ．{|2}x x <- C ．{|2x x <-或3}x > D ．{|3}x x >【考点】73：一元二次不等式及其应用 【专题】11：计算题【分析】本题的方法是：要使不等式小于0即要分子与分母异号，得到一个一元二次不等式，讨论x 的值即可得到解集． 【解答】解：302x x -<+，得到(3)(2)0x x -+< 即30x ->且20x +<解得：3x >且2x <-所以无解； 或30x -<且20x +>，解得23x -<<， 所以不等式的解集为23x -<< 故选：A ．【点评】本题主要考查学生求不等式解集的能力，是一道基础题． 3．（5分）已知2sin 3α=，则cos(2)(πα-= )A ．B ．19-C ．19D 【考点】GO ：运用诱导公式化简求值；GS ：二倍角的三角函数 【专题】11：计算题【分析】先根据诱导公式求得cos(2)cos2a a π-=-进而根据二倍角公式把sin α的值代入即可求得答案． 【解答】解：2sin 3a =， 21cos(2)cos2(12sin )9a a a π∴-=-=--=-．故选：B ．【点评】本题考查了二倍角公式及诱导公式．考查了学生对三角函数基础公式的记忆． 4．（5分）函数1(1)(1)2ln x y x +-=>的反函数是( ) A ．211(0)x y e x -=-> B ．211(0)x y e x -=+>C ．211()x y e x R -=-∈D ．211()x y e x R -=+∈【考点】4H ：对数的运算性质；4R ：反函数 【专题】11：计算题；16：压轴题 【分析】从条件中1(1)(1)2ln x y x +-=>中反解出x ，再将x ，y 互换即得．解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x 、y 换位，2、解：解出y ，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数． 【解答】解：由原函数解得x e=211y -+，1()f x e -∴=211x -+，又1x >，10x ∴->；(1)ln x R ∴-∈∴在反函数中x R ∈，故选：D ．【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式()y f x =反求出()x y =Φ；（2）交换()x y =Φ中x 、y 的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．5．（5分）若变量x ，y 满足约束条件1325x y x x y -⎧⎪⎨⎪+⎩………，则2z x y =+的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【考点】7C ：简单线性规划 【专题】31：数形结合【分析】先根据约束条件画出可行域，设2z x y =+，再利用z 的几何意义求最值，只需求出直线2z x y =+过可行域内的点B 时，从而得到m 值即可． 【解答】解：作出可行域，作出目标函数线， 可得直线与y x =与325x y +=的交点为最优解点，∴即为(1,1)B ，当1x =，1y =时3max z =．故选：C ．【点评】本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 6．（5分）如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127(a a a ++⋯+= ) A ．14B ．21C ．28D ．35【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n 项和 【分析】由等差数列的性质求解．【解答】解：3454312a a a a ++==，44a =， 1712747()7282a a a a a a +∴++⋯+=== 故选：C ．【点评】本题主要考查等差数列的性质．7．（5分）若曲线2y x ax b =++在点(1,)b 处的切线方程是10x y -+=，则( ) A ．1a =，2b =B ．1a =-，2b =C ．1a =，2b =-D ．1a =-，2b =-【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用【分析】由2y x ax b =++，知2y x a '=+，再由曲线2y x ax b =++在点(1,)b 处的切线方程为10x y -+=，求出a 和b ． 【解答】解：2y x ax b =++，2y x a ∴'=+， 1|2x y a ='=+，∴曲线2y x ax b =++在点(1,)b 处的切线方程为(2)(1)y b a x -=+-，曲线2y x ax b =++在点(1,)b 处的切线方程为10x y -+=， 1a ∴=-，2b =．故选：B ．【点评】本题考查利用导数求曲线上某点切线方程的应用，解题时要认真审题，仔细解答． 8．（5分）已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，3SA =，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为( )A B C D ．34【考点】MI ：直线与平面所成的角 【专题】11：计算题【分析】由图，过A 作AE 垂直于BC 交BC 于E ，连接SE ，过A 作AF 垂直于SE 交SE 于F ，连BF ，由题设条件证出ABF ∠即所求线面角．由数据求出其正弦值．【解答】解：过A 作AE 垂直于BC 交BC 于E ，连接SE ，过A 作AF 垂直于SE 交SE 于F ，连BF ， 正三角形ABC ，E ∴为BC 中点，BC AE ⊥，SA BC ⊥， BC ∴⊥面SAE ，BC AF ∴⊥，AF SE ⊥，AF ∴⊥面SBC ，ABF ∠为直线AB 与面SBC 所成角，由正三角形边长2，AE ∴，3AS =，SE ∴=32AF =， 3sin 4ABF ∴∠=． 故选：D ．【点评】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角．9．（5分）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有( ) A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种【考点】9D ：排列、组合及简单计数问题 【专题】11：计算题【分析】本题是一个分步计数问题，首先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有24C ，余下放入最后一个信封，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数问题，先从3个信封中选一个放1，2，有133C =种不同的选法；根据分组公式，其他四封信放入两个信封，每个信封两个有222422226C C A A =种放法， ∴共有36118⨯⨯=．故选：B ．【点评】本题考查分步计数原理，考查平均分组问题，是一个易错题，解题的关键是注意到第二步从剩下的4个数中选两个放到一个信封中，这里包含两个步骤，先平均分组，再排列．10．（5分）ABC ∆中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若C B a =，CA b =，||1a =，||2b =，则(CD = ) A ．1233a b +B ．2133a b +C ．3455a b +D ．4355a b +【考点】9B ：向量加减混合运算【分析】由ABC ∆中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，根据三角形内角平分线定理，我们易得到12BD BC AD AC ==，我们将CD CA AD =+后，将各向量用a ，b 表示，即可得到答案．【解答】解：CD 为角平分线，∴12BD BC AD AC ==， AB CB CA a b =-=-，∴222333AD AB a b ==-， ∴22213333CD CA AD b a b a b =+=+-=+ 故选：B ．【点评】本题考查了平面向量的基础知识，解答的核心是三角形内角平分线定理，即若AD 为三角形ABC 的内角A 的角平分线，则::AB AC BD CD =11．（5分）与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点()A ．有且只有1个B ．有且只有2个C ．有且只有3个D ．有无数个【考点】LO ：空间中直线与直线之间的位置关系 【专题】16：压轴题【分析】由于点D 、1B 显然满足要求，猜想1B D 上任一点都满足要求，然后想办法证明结论．【解答】解：在正方体1111ABCD A B C D -上建立如图所示空间直角坐标系，并设该正方体的棱长为1，连接1B D ，并在1B D 上任取一点P ， 因为1(1DB =，1，1)，所以设(P a ，a ，)a ，其中01a 剟．作PE ⊥平面1A D ，垂足为E ，再作11EF A D ⊥，垂足为F ， 则PF 是点P 到直线11A D 的距离．所以PF ；同理点P 到直线AB 、1CC所以1B D 上任一点与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离都相等，所以与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点有无数个． 故选：D ．【点评】本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法．12．（5分）已知椭圆2222:1(0)x y T a b a b+=>>，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与T 相交于A ，B 两点，若3AF FB =，则(k = )A ．1B C D ．2【考点】KH ：直线与圆锥曲线的综合 【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，根据3AF FB =求得1y 和2y 关系根据离心率设2,a t c ==，b t =，代入椭圆方程与直线方程联立，消去x ，根据韦达定理表示出12y y +和12y y ，进而根据1y 和2y 关系求得k ． 【解答】解：1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 3AF FB =，123y y ∴=-，e =，设2,a t c ==，b t =， 222440x y t ∴+-=①，设直线AB 方程为x sy =+，代入①中消去x ，可得222(4)0s y t ++-=，∴2121224t y y y y s +==-+，22222234t y y s -=-=-+，解得212s =，k =故选：B ．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题问题综合性强，要求考生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知α是第二象限的角，1tan 2α=-，则cos α= ．【考点】GG ：同角三角函数间的基本关系 【分析】根据sin tan cos ααα=，以及22sin cos 1αα+=可求出答案． 【解答】解：1sin tan 2cos ααα=-=，2sin cos αα∴=- 又22sin cos 1αα+=，α是第二象限的角∴cos α=故答案为： 【点评】本题考查了同角三角函数的基础知识．14．（5分）91()x x+展开式中3x 的系数是 84 ．（用数字作答）【考点】DA ：二项式定理【分析】本题考查二项式定理的展开式，解题时需要先写出二项式定理的通项1r T +，因为题目要求展开式中3x 的系数，所以只要使x 的指数等于3就可以，用通项可以解决二项式定理的一大部分题目．【解答】解：写出91()x x +通项992991()r r r r r C x C x x--=，要求展开式中3x 的系数∴令923r -=得3r =，3984C ∴=故答案为：84．【点评】本题是一个二项展开式的特定项的求法．解本题时容易公式记不清楚导致计算错误，所以牢记公式．它是经常出现的一个客观题．15．（5分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线l ，过(1,0)M l 相交于A ，与C 的一个交点为B ，若AM MB =，则p = 2 ． 【考点】8K ：抛物线的性质 【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】设直线AB 的方程与抛物线方程联立消去y 得23(62)30x p x +--+=，进而根据AM MB =，可知M 为A 、B 的中点，可得p 的关系式，解方程即可求得p ．【解答】解：设直线:AB y =22y px =得23(62)30x p x +--+=， 又AM MB =，即M 为A 、B 的中点，()22B px ∴+-=，即22B p x =+，得24120p P +-=， 解得2p =，6p =-（舍去） 故答案为：2【点评】本题考查了抛物线的几何性质．属基础题．16．（5分）已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，4AB =，若3OM ON ==，则两圆圆心的距离MN = 3 ． 【考点】JE ：直线和圆的方程的应用；ND ：球的性质【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】根据题意画出图形，欲求两圆圆心的距离，将它放在与球心组成的三角形MNO 中，只要求出球心角即可，通过球的性质构成的直角三角形即可解得． 【解答】解法一：3ON =，球半径为4，∴小圆N ，小圆N 中弦长4AB =，作NE 垂直于AB ，NE ∴=，同理可得ME =，在直角三角形ONE 中， 3NE =，3ON =，∴6EON π∠=， ∴3MON π∠=，3MN ∴=．故填：3．解法二：如下图：设AB 的中点为C ，则OC 与MN 必相交于MN 中点为E ，因为3OM ON ==，故小圆半径NBC 为AB 中点，故2CB =；所以NC =ONC ∆为直角三角形，NE 为ONC ∆斜边上的高，OC =2223ON MN EN CNCO ∴====故填：3．【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，还考查球、直线与圆的基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题． 三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=，求AD ． 【考点】GG ：同角三角函数间的基本关系；HP ：正弦定理【分析】先由3cos 5ADC ∠=确定角ADC 的范围，因为BAD ADC B ∠=∠-所以可求其正弦值，最后由正弦定理可得答案． 【解答】解：由3cos 05ADC ∠=>，则2ADC π∠<， 又由知B ADC <∠可得2B π<，由5sin 13B =，可得12cos 13B =， 又由3cos 5ADC ∠=，可得4sin 5ADC ∠=．从而4123533sin sin()sin cos cos sin 51351365BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-=∠-∠=⨯-⨯=．由正弦定理得sin sin AD BDB BAD=∠， 所以533sin 132533sin 65BD BAD BAD⨯===∠． 【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现．这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变．解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化．18．（12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列1212112()a a a a +=+，34534511164()a a a a a a ++=++ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设21()n n nb a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【考点】88：等比数列的通项公式；8E ：数列的求和 【专题】11：计算题【分析】（1）由题意利用等比数列的通项公式建立首项1a 与公比q 的方程，然后求解即可 （2）由n b 的定义求出通项公式，在由通项公式，利用分组求和法即可求解【解答】解：（1）设正等比数列{}n a 首项为1a ，公比为q ，由题意得：12111126222114111(1)2(1)1221264(1)64(1)n n a q q a q a a q a q a q a q q q q q a q -⎧+=+⎪⎧==⎧⎪⎪⇔⇔∴=⎨⎨⎨==⎪⎩⎩⎪++=++⎪⎩（6分） （2）1211111(2)4()224n n n n n b ----=+=++ n b ∴的前n 项和11(1)1(14)141424()2111433414nn n n n T n n --=++=-++--（12分） 【点评】（1）此问重基础及学生的基本运算技能（2）此处重点考查了高考常考的数列求和方法之一的分组求和，及指数的基本运算性质19．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，D 为1BB 的中点，E 为1AB 上的一点，13AE EB =．（Ⅰ）证明：DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线；（Ⅱ）设异面直线1AB 与CD 的夹角为45︒，求二面角111A AC B --的大小．【考点】LM ：异面直线及其所成的角；LQ ：平面与平面之间的位置关系 【专题】11：计算题；14：证明题【分析】（1）欲证DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线，即证DE 与异面直线1AB 与CD 垂直相交即可；（2）将1AB 平移到DG ，故C D G ∠为异面直线1AB 与CD 的夹角，作1HK AC ⊥，K 为垂足，连接1B K ，由三垂线定理，得11B K AC ⊥，因此1B KH ∠为二面角111A AC B --的平面角，在三角形1B KH 中求出此角即可．【解答】解：（1）连接1A B ，记1A B 与1AB 的交点为F ． 因为面11AA BB 为正方形，故11A B AB ⊥，且1AF FB =， 又13AE EB =，所以1FE EB =， 又D 为1BB 的中点， 故//DE BF ，1DE AB ⊥．作CG AB ⊥，G 为垂足，由AC BC =知，G 为AB 中点． 又由底面ABC ⊥面11AA B B ．连接DG ，则1//DG AB ， 故DE DG ⊥，由三垂线定理，得DE CD ⊥． 所以DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线．（2）因为1//DG AB ，故CDG ∠为异面直线1AB 与CD 的夹角，45CDG ∠=︒设2AB =，则1AB =DG CG =AC =．作111B H AC ⊥，H 为垂足，因为底面111A B C ⊥面11AACC ，故1B H ⊥面11AAC C ．又作1HK AC ⊥，K 为垂足，连接1B K ，由三垂线定理，得11B K AC ⊥，因此1B KH ∠为二面角111A AC B --的平面角．1B H =1C H 1AC =HK =1tan B KH ∠=∴二面角111A AC B --的大小为【点评】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力．三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段．通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处． 20．（12分）如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为1T ，2T ，3T ，4T ，电流能通过1T ，2T ，3T 的概率都是P ，电流能通过4T 的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知1T ，2T ，3T 中至少有一个能通过电流的概率为0.999． （Ⅰ）求P ；（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率．【考点】5C ：互斥事件的概率加法公式；8C ：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式【专题】11：计算题【分析】（1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将1T ，2T ，3T 至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得p ．（Ⅱ）根据题意，B 表示事件：电流能在M 与N 之间通过，根据电路图，可得44134123(1)(1)(1)B A A A A A A A A =+-+--，由互斥事件的概率公式，代入数据计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，记电流能通过i T 为事件i A ，1i =、2、3、4，A 表示事件：1T ，2T ，3T ，中至少有一个能通过电流，易得1A ，2A ，3A 相互独立，且123A A A A =，3()(1)10.9990.001P A p =-=-=， 计算可得，0.9p =；（Ⅱ）根据题意，B 表示事件：电流能在M 与N 之间通过， 有44134123(1)(1)(1)B A A A A A A A A =+-+--， 则P （B ）44134123((1)(1)(1))P A A A A A A A A =+-+-- 0.90.10.90.90.10.10.90.9=+⨯⨯+⨯⨯⨯0.9891=．【点评】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，注意先明确事件之间的关系，进而选择对应的公式来计算． 21．（12分）已知函数2()1f x x ax lnx =-++-． （Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()f x 在区间1(0,)2上是减函数，求实数a 的取值范围．【考点】3D ：函数的单调性及单调区间；3E ：函数单调性的性质与判断 【专题】16：压轴题【分析】（1）求单调区间，先求导，令导函数大于等于0即可．（2）已知()f x 在区间1(0,)2上是减函数，即()0f x '…在区间1(0,)2上恒成立，然后用分离参数求最值即可．【解答】解：（Ⅰ）当3a =时，2()31f x x x lnx =-++-∴21(231)()23x x f x x x x--+'=-+-=解()0f x '>， 即：22310x x -+<函数()f x 的单调递增区间是1(,1)2．（Ⅱ）1()2f x x a x'=-+-， ()f x 在1(0,)2上为减函数，1(0,)2x ∴∈时120x a x-+-…恒成立．即12a x x+…恒成立． 设1()2g x x x =+，则21()2g x x '=-1(0,)2x ∈时，214x >，()0g x ∴'<，()g x ∴在1(0,)2上递减，1()()32g x g ∴>=，3a ∴…．【点评】本题考查函数单调性的判断和已知函数单调性求参数的范围，此类问题一般用导数解决，综合性较强．22．（12分）已知斜率为1的直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>相交于B 、D 两点，且BD 的中点为(1,3)M ． （Ⅰ）求C 的离心率；（Ⅱ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，||||17DF BF =，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．【考点】9J ：直线与圆的位置关系；KC ：双曲线的性质；KH ：直线与圆锥曲线的综合 【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题【分析】（Ⅰ）由直线过点(1,3)及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD 两点的中点为(1,3)，可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出a ，b 的关系式即求得离心率．（Ⅱ）利用离心率将条件||||17FA FB =，用含a 的代数式表示，即可求得a ，则A 点坐标可得(1,0)，由于A 在x 轴上所以，只要证明2AM BD =即证得．【解答】解：（Ⅰ）由题设知，l 的方程为：2y x =+，代入C 的方程，并化简， 得2222222()440b a x a x a b a ----=，设1(B x ，1)y ，2(D x ，2)y ，则212224a x x b a +=-，22212224a a b x x b a +=--，①由(1,3)M 为BD 的中点知1212x x+=．故2221412a b a ⨯=-，即223b a =，②故2c a ， C ∴的离心率2ce a==． （Ⅱ）由①②知，C 的方程为：22233x y a -=，(,0)A a ，(2,0)F a ，21212432,2a x x x x ++==-． 故不妨设1x a -…，2x a …，1||2BF a x =-，2||2FD x a =-，22121212||||(2)(2)42()548BF FD a x x a x x a x x a a a =--=-++-=++． 又||||17BF FD =，故254817a a ++=． 解得1a =，或95a =-（舍去），故12|||6BD x x =-， 连接MA ，则由(1,0)A ，(1,3)M 知||3MA =， 从而MA MB MD ==，且MA x ⊥轴，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆经过A 、B 、D 三点，且在点A 处与x 轴相切， 所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．【点评】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力．。
2010年高考大纲全国卷 II文科数学试题及答案 (云南、贵州、甘肃、青海、新疆、内蒙古)
2010年高考大纲全国卷 II 理科数学试题及答案文科数学(必修+选修)(云南、贵州、甘肃、青海、新疆、内蒙古)一、选择题（1）设全集{}*U 6x N x =∈<，集合{}{}A 1,3B 3,5==，,则U ()AB =ð（ ）（A ）{}1,4 （B ）{}1,5 （C ）{}2,4 （D ）{}2,5【解析】 C ：本题考查了集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查.∵ A={1,3}。
B={3,5}，∴ {1,3,5}AB =，∴(){2,4}UC A B =故选 C .（2）不等式32x x -+＜0的解集为（A ）{}23x x -<< （B ）{}2x x <- （C ）{}23x x x <->或 （D ）{}3x x >【解析】A ：本题考查了不等式的解法∵302x x -<+，∴ 23x -<<，故选A （3）已知2sin 3α=，则cos(2)x α-=（A）3-B ）19-（C ）19（D）3【解析】B ：本题考查了二倍角公式及诱导公式，∵ SINA=2/3，∴21cos(2)cos 2(12sin )9πααα-=-=--=-（4）函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是 （A ）y=1x e +-1(x>0) (B) y=1x e-+1(x>0)(C) y=1x e+-1(x ∈R) (D ）y=1x e -+1 (x ∈R)【解析】D ：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，∵函数Y=1+LN （X-1）(X>1)，∴ 11ln(1)1,1,1y x x y x ey e ---=--==+另法（一点定乾坤――反函数选择题最快捷的方法）：原函数过点(11e -+,0)，反函数必过点(0,11e -+),符合条件的只有选项D.(5)若变量x,y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则z=2x+y 的最大值为（A ）1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析】C ：本题考查了线性规划的知识。
2010年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标)(带答案)
2010年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2} 2．（5分）平面向量，已知=（4，3），=（3，18），则夹角的余弦值等于（）A．B．C．D．3．（5分）已知复数Z=，则|z|=（）A．B．C．1D．24．（5分）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y=x﹣1B．y=﹣x+1C．y=2x﹣2D．y=﹣2x+2 5．（5分）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，2），则它的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa28．（5分）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．9．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜0或x ＞6}D．{x|x＜﹣2或x＞2}10．（5分）若cos α=﹣，α是第三象限的角，则sin（α+）=（）A．B．C．D．11．（5分）已知▱ABCD的三个顶点为A（﹣1，2），B（3，4），C（4，﹣2），点（x，y）在▱ABCD的内部，则z=2x﹣5y的取值范围是（）A．（﹣14，16）B．（﹣14，20）C．（﹣12，18）D．（﹣12，20）12．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）圆心在原点上与直线x+y﹣2=0相切的圆的方程为．14．（5分）设函数y=f（x）为区间（0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法计算由曲线y=f（x）及直线x=0，x=1，y=0所围成部分的面积S，先产生两组（每组N个），区间（0，1]上的均匀随机数x1，x2，…，x n和y1，y2，…，y n，由此得到N个点（x，y）（i﹣1，2…，N）．再数出其中满足y1≤f（x）（i=1，2…，N）的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为．15．（5分）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的（填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱．16．（5分）在△ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD=，∠ADB=135°．若AC=AB，则BD=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）设等差数列{a n}满足a3=5，a10=﹣9．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．18．（10分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若AB=，∠APB=∠ADB=60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．19．（10分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：性别男女是否需要志愿者需要4030不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．P（K2≥k）0.0500.0100.0013.841 6.63510.828附：K2=．20．（10分）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（Ⅰ）求|AB|；（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．21．设函数f（x）=x（e x﹣1）﹣ax2（Ⅰ）若a=，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．22．（10分）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD．23．（10分）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．24．（10分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．2010年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题．【分析】由题意可得A={x|﹣2≤x≤2}，B={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，从而可求【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}B={x|≤4，x∈Z}={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}则A∩B={0，1，2}故选：D．【点评】本题主要考查了集合的交集的求解，解题的关键是准确求解A，B，属于基础试题2．（5分）平面向量，已知=（4，3），=（3，18），则夹角的余弦值等于（）A．B．C．D．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】先设出的坐标，根据a=（4，3），2a+b=（3，18），求出坐标，根据数量积的坐标公式的变形公式，求出两个向量的夹角的余弦【解答】解：设=（x，y），∵a=（4，3），2a+b=（3，18），∴∴cosθ==，故选：C．【点评】本题是用数量积的变形公式求向量夹角的余弦值，数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直，实际上在数量积公式中可以做到知三求一．3．（5分）已知复数Z=，则|z|=（）A．B．C．1D．2【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】由复数的代数形式的乘除运算化简可得Z=，由复数的模长公式可得答案．【解答】解：化简得Z===•=•=•=，故|z|==，故选：B．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及复数的模长，属基础题．4．（5分）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y=x﹣1B．y=﹣x+1C．y=2x﹣2D．y=﹣2x+2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】1：常规题型；11：计算题．【分析】欲求在点（1，0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：验证知，点（1，0）在曲线上∵y=x3﹣2x+1，y′=3x2﹣2，所以k=y′|x﹣1=1，得切线的斜率为1，所以k=1；所以曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为：y﹣0=1×（x﹣1），即y=x﹣1．故选：A．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．5．（5分）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，2），则它的离心率为（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题．【分析】先求渐近线斜率，再用c2=a2+b2求离心率．【解答】解：∵渐近线的方程是y=±x，∴2=•4，=，a=2b，c==a，e==，即它的离心率为．故选：D．【点评】本题考查双曲线的几何性质．6．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，故选：C．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题．7．（5分）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题．【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则长方体的对角线即为球的直径，即球的半径R满足（2R）2=6a2，代入球的表面积公式，S球=4πR2，即可得到答案．【解答】解：根据题意球的半径R满足（2R）2=6a2，=4πR2=6πa2．所以S球故选：B．【点评】长方体的外接球直径等于长方体的对角线长．8．（5分）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【专题】28：操作型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．∵S==1﹣=故选：D．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．9．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜0或x ＞6}D．{x|x＜﹣2或x＞2}【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题．【分析】由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．【解答】解：由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，则f（x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使f（|x﹣2|）＞0，只需2|x﹣2|﹣4＞0，|x﹣2|＞2解得x＞4，或x＜0．应选：B．【点评】本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算．10．（5分）若cos α=﹣，α是第三象限的角，则sin（α+）=（）A．B．C．D．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】根据α的所在的象限以及同角三角函数的基本关系求得sinα的值，进而利用两角和与差的正弦函数求得答案．【解答】解：∵α是第三象限的角∴sinα=﹣=﹣，所以sin（α+）=sinαcos+cosαsin=﹣=﹣．故选：A．【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数，以及同角三角函数的基本关系的应用．根据角所在的象限判断三角函数值的正负是做题过程中需要注意的．11．（5分）已知▱ABCD的三个顶点为A（﹣1，2），B（3，4），C（4，﹣2），点（x，y）在▱ABCD的内部，则z=2x﹣5y的取值范围是（）A．（﹣14，16）B．（﹣14，20）C．（﹣12，18）D．（﹣12，20）【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据点坐标与向量坐标之间的关系，利用向量相等求出顶点D的坐标是解决问题的关键．结合线性规划的知识平移直线求出目标函数的取值范围．【解答】解：由已知条件得⇒D（0，﹣4），由z=2x﹣5y得y=，平移直线当直线经过点B（3，4）时，﹣最大，即z取最小为﹣14；当直线经过点D（0，﹣4）时，﹣最小，即z取最大为20，又由于点（x，y）在四边形的内部，故z∈（﹣14，20）．如图：故选B．【点评】本题考查平行四边形的顶点之间的关系，用到向量坐标与点坐标之间的关系，体现了向量的工具作用，考查学生线性规划的理解和认识，考查学生的数形结合思想．属于基本题型．12．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）【考点】3A：函数的图象与图象的变换；3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；4H：对数的运算性质；4N：对数函数的图象与性质．【专题】13：作图题；16：压轴题；31：数形结合．【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc 的范围即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选：C．【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）圆心在原点上与直线x+y﹣2=0相切的圆的方程为x2+y2=2．【考点】J1：圆的标准方程；J9：直线与圆的位置关系．【分析】可求圆的圆心到直线的距离，就是半径，写出圆的方程．【解答】解：圆心到直线的距离：r=，所求圆的方程为x2+y2=2．故答案为：x2+y2=2【点评】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是基础题．14．（5分）设函数y=f（x）为区间（0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法计算由曲线y=f（x）及直线x=0，x=1，y=0所围成部分的面积S，先产生两组（每组N个），区间（0，1]上的均匀随机数x1，x2，…，x n和y1，y2，…，y n，由此得到N个点（x，y）（i﹣1，2…，N）．再数出其中满足y1≤f（x）（i=1，2…，N）的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为．【考点】CE：模拟方法估计概率；CF：几何概型．【分析】由题意知本题是求∫01f（x）dx，而它的几何意义是函数f（x）（其中0≤f（x）≤1）的图象与x轴、直线x=0和直线x=1所围成图形的面积，积分得到结果．【解答】解：∵∫01f（x）dx的几何意义是函数f（x）（其中0≤f（x）≤1）的图象与x轴、直线x=0和直线x=1所围成图形的面积，∴根据几何概型易知∫01f（x）dx≈．故答案为：．【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到．15．（5分）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的①②③⑤（填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】一个几何体的正视图为一个三角形，由三视图的正视图的作法判断选项．【解答】解：一个几何体的正视图为一个三角形，显然①②⑤正确；③是三棱柱放倒时也正确；④⑥不论怎样放置正视图都不会是三角形；故答案为：①②③⑤【点评】本题考查简单几何体的三视图，考查空间想象能力，是基础题．16．（5分）在△ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD=，∠ADB=135°．若AC=AB，则BD=2+．【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先利用余弦定理可分别表示出AB，AC，把已知条件代入整理，根据BC=3BD推断出CD=2BD，进而整理AC2=CD2+2﹣2CD 得AC2=4BD2+2﹣4BD把AC=AB，代入整理，最后联立方程消去AB求得BD的方程求得BD．【解答】用余弦定理求得AB2=BD2+AD2﹣2AD•BDcos135°AC2=CD2+AD2﹣2AD•CDcos45°即AB2=BD2+2+2BD ①AC2=CD2+2﹣2CD ②又BC=3BD所以CD=2BD所以由（2）得AC2=4BD2+2﹣4BD（3）因为AC=AB所以由（3）得2AB2=4BD2+2﹣4BD （4）（4）﹣2（1）BD2﹣4BD﹣1=0求得BD=2+故答案为：2+【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．考查了学生创造性思维能力和基本的推理能力．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）设等差数列{a n}满足a3=5，a10=﹣9．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【分析】（1）设出首项和公差，根据a3=5，a10=﹣9，列出关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项．（2）由上面得到的首项和公差，写出数列{a n}的前n项和，整理成关于n的一元二次函数，二次项为负数求出最值．【解答】解：（1）由a n=a1+（n﹣1）d及a3=5，a10=﹣9得a1+9d=﹣9，a1+2d=5解得d=﹣2，a1=9，数列{a n}的通项公式为a n=11﹣2n（2）由（1）知S n=na1+d=10n﹣n2．因为S n=﹣（n﹣5）2+25．所以n=5时，S n取得最大值．【点评】数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性．18．（10分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若AB=，∠APB=∠ADB=60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直．【专题】11：计算题；14：证明题；35：转化思想．【分析】（Ⅰ）要证平面PAC⊥平面PBD，只需证明平面PAC内的直线AC，垂直平面PBD内的两条相交直线PH，BD即可．（Ⅱ），∠APB=∠ADB=60°，计算等腰梯形ABCD的面积，PH是棱锥的高，然后求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】解：（1）因为PH是四棱锥P﹣ABCD的高．所以AC⊥PH，又AC⊥BD，PH，BD都在平PHD内，且PH∩BD=H．所以AC⊥平面PBD．故平面PAC⊥平面PBD（6分）（2）因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB=．所以HA=HB=．因为∠APB=∠ADB=60°所以PA=PB=，HD=HC=1．可得PH=．等腰梯形ABCD的面积为S=ACxBD=2+（9分）所以四棱锥的体积为V=×（2+）×=．（12分）【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，计算能力，推理能力，是中档题．19．（10分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：男女性别是否需要志愿者需要4030不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．P（K2≥k）0.0500.0100.0013.841 6.63510.828附：K2=．【考点】BL：独立性检验．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】（1）由样本的频率率估计总体的概率，（2）求K2的观测值查表，下结论；（3）由99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，则可按性别分层抽样．【解答】解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为（2）K2的观测值因为9.967＞6.635，且P（K2≥6.635）=0.01，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．（3）根据（2）的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女两层，并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好．【点评】本题考查了抽样的目的，独立性检验的方法及抽样的方法选取，属于基础题．20．（10分）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（Ⅰ）求|AB|；（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】15：综合题．【分析】（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4，再由|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，能够求出|AB|的值．（2）L的方程式为y=x+c，其中，设A（x1，y1），B（x1，y1），则A，B 两点坐标满足方程组，化简得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0．然后结合题设条件和根与系数的关系能够求出b的大小．【解答】解：（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得（2）L的方程式为y=x+c，其中设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点坐标满足方程组．，化简得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0．则．因为直线AB的斜率为1，所以即．则．解得．【点评】本题综合考查椭圆的性质及其运用和直线与椭圆的位置关系，解题时要注意公式的灵活运用．21．设函数f（x）=x（e x﹣1）﹣ax2（Ⅰ）若a=，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】15：综合题；53：导数的综合应用．【分析】（I）求导函数，由导数的正负可得函数的单调区间；（II）f（x）=x（e x﹣1﹣ax），令g（x）=e x﹣1﹣ax，分类讨论，确定g（x）的正负，即可求得a的取值范围．【解答】解：（I）a=时，f（x）=x（e x﹣1）﹣x2，=（e x ﹣1）（x+1）令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞0；令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜0；∴函数的单调增区间是（﹣∞，﹣1），（0，+∞）；单调减区间为（﹣1，0）；（II）f（x）=x（e x﹣1﹣ax）．令g（x）=e x﹣1﹣ax，则g'（x）=e x﹣a．若a≤1，则当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）为增函数，而g（0）=0，从而当x≥0时g（x）≥0，即f（x）≥0．若a＞1，则当x∈（0，lna）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数，而g（0）=0，从而当x∈（0，lna）时，g（x）＜0，即f（x）＜0．综合得a的取值范围为（﹣∞，1]．另解：当x=0时，f（x）=0成立；当x＞0，可得e x﹣1﹣ax≥0，即有a≤的最小值，由y=e x﹣x﹣1的导数为y′=e x﹣1，当x＞0时，函数y递增；x＜0时，函数递减，可得函数y取得最小值0，即e x﹣x﹣1≥0，x＞0时，可得≥1，则a≤1．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．22．（10分）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明；NB：弦切角．【专题】14：证明题．【分析】（I）先根据题中条件：“”，得∠BCD=∠ABC．再根据EC是圆的切线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论．（II）欲证BC2=BE x CD．即证．故只须证明△BDC～△ECB即可．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以∠BCD=∠ABC．又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE=∠ABC所以∠ACE=∠BCD．（5分）（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，所以△BDC～△ECB，故．即BC2=BE×CD．（10分）【点评】本题主要考查圆的切线的判定定理的证明、弦切角的应用、三角形相似等基础知识，考查运化归与转化思想．属于基础题．23．（10分）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【考点】J3：轨迹方程；JE：直线和圆的方程的应用；Q4：简单曲线的极坐标方程；QJ：直线的参数方程；QK：圆的参数方程．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．【解答】解：（Ⅰ）当α=时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①．则OA的方程为xcosα+ysinα=0②，联立①②可得x=sin2α，y=﹣cosαsinα；A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，P点轨迹的普通方程．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．【点评】本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．24．（10分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．【考点】3A：函数的图象与图象的变换；7E：其他不等式的解法；R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；13：作图题；16：压轴题．【分析】（I）先讨论x的范围，将函数f（x）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II）根据函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知先寻找满足f（x）≤ax的零界情况，从而求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）=，函数y=f（x）的图象如图所示．（Ⅱ）由函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知，极小值在点（2，1）当且仅当a＜﹣2或a≥时，函数y=f（x）与函数y=ax的图象有交点．故不等式f（x）≤ax的解集非空时，a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及利用函数图象解不等式，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题．。
2010年全国高考文科数学试题及答案-全国2
绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷）文科数学第Ⅰ卷 （选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式(+)()+()P A B P A P B = S=4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ∙=∙ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 34V R 3π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径P ()(1)(0,1,2,,)k k n k n n k C p p k n -=-=一、选择题（1）设全集{}*U 6x N x =∈<，集合{}{}A 1,3B 3,5==，,则U ()A B =ð（ ）（Ａ）{}1,4 （Ｂ）{}1,5 （Ｃ）{}2,4 （Ｄ）{}2,5 （２）不等式302x x -<+的解集为（ ） （Ａ）{}23x x -<< （Ｂ）{}2x x <- （Ｃ）{}23x x x <->或 （Ｄ）{}3x x >（3）已知2sin 3α=，则cos(2)πα-=(A) (B) 19- (C) 19 (D) （4）函数1ln(1)(1)y x x =+->的反函数是(A) 11(0)x y e x +=-> (B) 11(0)x y e x -=+>(C) 11(R)x y e x +=-∈ (D) 11(R)x y e x -=+∈(5) 若变量,x y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)4（6）如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么 1a +2a +…+7a =(A) 14 (B) 21 (C) 28 (D)35（7）若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程式10x y -+=，则（A ）1,1a b == （B ）1,1a b =-=（C ）1,1a b ==- （D ）1,1a b =-=-（8）已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA=3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为（A（B（C（D ） 34 （9）将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种（10）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB a =，CA b =，1,2a b ==，则CD =（A ）1233a b + （B ）2233a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b + （11）与正方体1111ABCD A BC D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点 （A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个（C ）有且只有3个 （D ）有无数个（12）已知椭圆C ：22x a +22b y =1(0)a b >>的离心率为23，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线与C 相交于A 、B 两点，若AF =3FB ，则k =（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2第Ⅱ卷（非选择题）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2010年高考文科数学试题答案(全国卷2)
第一套1.程序填空程序通过定义学生结构体数组，存储了若干个学生的学号、姓名和三门课的成绩。
函数fun 的功能是将存放学生数据的结构体数组，按照姓名的字典序（从小到大排序）。
请在程序的下划线处填入正确的内容并把下划线删除，使程序得出正确的结果。
第一处struct student t;第二处for(i=0;i<n-1;i++)第三处if(strcmp(a[i].name,a[j].name)>0 )2程序修改给定程序MODI1.C中函数fun 的功能是：在p所指字符串中找出ASCII码值最大的字符，将其放在第一个位置上；并将该字符前的原字符向上顺序移动。
/**found**/q=p+i;/**found**/while(q>p)3程序设计学生的记录由学号和成绩组成，N名学生的数据已在主函数中放入结构体数组s中，请编写了函数fun，它的功能是：把指定分数范围内的学生数据放在b所指的数组中，分数范围内的学生人数由函数值返回。
int fun(STREC *a,STREC *b,int l,int h){int i,j=0;for(i=0;i<N;i++)if((a[i].s>=1&&a[i].s<=h)b[j++]=a[i];return j;}第二套1.程序填空给定程序中已建立一个带有头结点的单向链表，链表中的各结点按数据域递增有序连接。
函数fun的功能是：删除链表中数据域值相同的结点，使之只保留一个。
第一处free(q);第二处q=p->next;第三处q=q->next;2. 程序修改给定程序MODI1.C中函数fun的功能是：用选择法对数组中的n各元素按从小到大的顺序进行排序。
/**found**/p=j;/**found**/p=i;3. 程序设计请编写一个fun函数，它的功能是：求出1到m之间（含m）能被7或11整除的所有整数放在数组a中，通过n返回这些数的个数。
2010年高考试题与答案(全国卷2数学文)
r
1
rr
MN
23
21(本小题满分12分)
r
4
已知函数
32
f(x)x3ax3x1.
(I)设a2,求f(x)的单调区间；
(II)设f(x)在区间(2,3)上有一个极值点,求a的取值范围.
15.(本小题满分12分)
已知斜率为1的直线l与双曲线
中点为M(1,3).
(I)求C的离心率；
22
xy
C:1(a0,b0)
AB22，DG=2，CG=2,AC=3.
1
作
B HAC,H为垂足，因为底面
111
AB C面AACC,故
11111
B H面AAC C，
111
又作
HKAC，K为垂足，连结B1K,由三垂线定理，得B1KAC1，因此B1KH
1
为二面角
AACB的平面角
111
BH
1
2
1
2
ABACAB
111111
222
AC
11
3
n
1
b(a)
nn
a
n
2
,求数列{
b}的前n项和
n
T.
n
19(本小题满分12分)如图，直棱柱
ABCABC中，AC=BC，A1AAB，D为BB1
111
的中点，E为AB1上的一点，AE3EB1.
(I)证明：DE为异面直线
AB与CD的公垂线；
1
C
C
1
(II)设异面直线
AB与CD的夹角为45,求二面角
1
AACB的大小.
22
HCBCBH
1111
3
3
2010年高考全国数学卷（全国Ⅱ.文）（含详解答案）
2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷降答题卡一同交回，满分150分，考试用时120分钟分钟注意事项：注意事项： 1． 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号答题卡上填写清楚，并认真找准条形码上的准考证号，姓名、考、谁座位号填写在规定的位置贴好条形码。
条形码。
2． 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷的答案无效。
皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷的答案无效。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在，每小题给出的四个选项中，分。
在，每小题给出的四个选项中， 参考公式：参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么互斥，那么 球的表面积公式球的表面积公式球的表面积公式P （A+B A+B））=P(A)+P(B) S=4πR 2 如果事件A 、B 相互独立，那么相互独立，那么 P （A-B A-B））=P(A)-P(B)一、选择题一、选择题（A ）{}1,4 （B ）{}1,5 （C ）{}2,4 （D ）{}2,5【解析】 C ：本题考查了集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵ A={1,3}。
B={3,5}，∴ {1,3,5}A B = ，∴(){2,4}U C A B = 故选 C . （2）不等式32x x -+＜0的解集为的解集为（A ）{}23x x -<< （B ）{}2x x <- （C ）{}23x x x <->或 （D ）{}3x x > 【解析】A ：本题考查了不等式的解法∵ 32x x -<+，∴ 23x -<<，故选A （3）已知2sin 3a =，则cos(2)x a -=（A ）53-（B ）19-（C ）19（D ）5335733a +a +a +3C S E F 233 3t3t 3sty23st23st255)）且斜率为，若33x。
2010年高考试题——文数(全国卷2)(解析版)
2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷降答题卡一同交回，满分150分，考试用时120分钟注意事项：1． 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号答题卡上填写清楚，并认真找准条形码上的准考证号，姓名、考、谁座位号填写在规定的位置贴好条形码。
2． 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷的答案无效。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在，每小题给出的四个选项中，参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P （A+B ）=P(A)+P(B) S=4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么P （A-B ）=P(A)-P(B)一、选择题（A ）{}1,4 （B ）{}1,5 （C ）{}2,4 （D ）{}2,5【解析】 C ：本题考查了集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查.∵ A={1,3}。
B={3,5}，∴ {1,3,5}A B =，∴(){2,4}U C A B =故选 C .（2）不等式32x x -+＜0的解集为 （A ）{}23x x -<< （B ）{}2x x <- （C ）{}23x x x <->或 （D ）{}3x x >【解析】A ：本题考查了不等式的解法 ∵ 302x x -<+，∴ 23x -<<，故选A（3）已知2sin 3α=，则cos(2)x α-= （A）B ）19-（C ）19（D【解析】B ：本题考查了二倍角公式及诱导公式，∵ SINA=2/3， ∴21cos(2)cos 2(12sin )9πααα-=-=--=-（4）函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是（A ）y=1x e+-1(x>0) (B) y=1x e -+1(x>0) (C) y=1x e +-1(x ∈R) (D ）y=1x e -+1 (x ∈R)【解析】D ：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，∵函数Y=1+LN （X-1）(X>1)，∴11ln(1)1,1,1y x x y x e y e ---=--==+(5)若变量x,y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则z=2x+y 的最大值为（A ）1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】C ：本题考查了线性规划的知识。
2010年全国II高考数学文科试卷(带答案)
2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 1. 设全集{}*|<6U x x =∈N ,集合{}=1,3A ,{}3,5B =,则()U AB =ð ( ).A.{}1,4B.{}1,5C.{}2,4D.{}2,5 【测量目标】集合的基本运算、集合间的关系. 【考查方式】由集合算出并集，取其在全集中的补集. 【参考答案】C【试题解析】∵{}1,3A =,{}3,5B =，∴{1,3,5}AB =，∴(){2,4}U AB =ð， 故选C .2. 不等式32x x -+＜0的解集为 ( ). A.{}23x x -<< B.{}2x x <- C.{}2x x <-或{}3x > D.{}3x x > 【测量目标】解一元二次不等式.【考查方式】解不等式，直接算出其结果即可. 【参考答案】A 【试题解析】302x x -<+()()32<0x x ⇒-+ 23x ∴-<<，故选A.3. 已知2sin 3α=，则cos(2)x α-= ( ).A.3-B.19-C.19【测量目标】三角函数间的互化.【考查方式】二倍角公式及诱导公式，求得结果. 【参考答案】B【试题解析】 ∵ 2sin 3α=∴21cos(π2)cos 2(12sin )9ααα-=-=--=-4. 函数()()1ln 1>1y x x =+-的反函数是 ( ).A. ()1e 1>0x y x +=-B. 1e1(>0)x y x -=+C. ()1e 1x y x +=-∈RD. ()1e 1x y x -=+∈R 【测量目标】反函数与对数函数间的互化. 【考查方式】将原函数化简，直接求得反函数. 【参考答案】D【试题解析】∵函数()()1ln 1>1y x x =+-，∴ 11ln(1)1,1e,e 1y x x y x y ---=--==+ 故选D.5. 若变量,x y 满足约束条件1325x y x x y -⎧⎪⎨⎪+⎩……… ，则2z x y =+的最大值为 ( ).A.1B.2C.3D.4 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值. 【考查方式】由约束条件作出可行域，找出最优解. 【参考答案】C【试题解析】画出可行域，作出目标函数线， 可得直线与y x = 与325x y +=的交点为最优解点，∴即为（1，1），当1,1x y ==时max 3z =，故选C.6. 如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么127a a a ++⋅⋅⋅+= ( ). A.14 B. 21 C. 28 D. 35 【测量目标】等差数列的性质和前n 项和. 【考查方式】运用等差中项，简单的数列求和. 【参考答案】C 【试题解析】34512,a a a ++=44,a =()127174177282a a a a a a ∴++⋅⋅⋅+=⨯⨯+==.故选C.7. 若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则 ( ).A.1,1a b ==B.1,1a b =-=C.1,1a b ==-D. 1,1a b =-=- 【测量目标】函数导数的几何性质. 【考查方式】利用切线方程求解曲线方程. 【参考答案】A 【试题解析】∵2x y x aa='=+=，∴1a =，(0,)b 在切线10x y -+=，∴1b =8. 已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为 ( ).D. 34【测量目标】三棱锥的概念、线面、面面位置关系. 【考查方式】找出线面角，求出正弦值，数形结合的思想. 【参考答案】D【试题解析】过A 作AE BC ⊥交BC 于E ，连结SE ，过A 作AF 垂直于交SE 于F ，连接BF ，∵正三角形ABC ，∴E 为BC 中点，（步骤1）∵BC AE ⊥，SA BC ⊥，∴BC ⊥面,SAE ∴BC AF ⊥，又AF SE ⊥，∴AF ⊥面SBC ，（步骤2） ∵ABF ∠为直线AB 与面SBC 所成角，由正三角形边长3， ∴AE =3AS =，∴SE = 32AF =，∴ 3sin 4ABF ∠=.（步骤3）9. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 ( ).A. 12种B.18种C. 36种D.54种 【测量目标】排列组合的典型应用.【考查方式】特殊元素先考虑，算出总的种类. 【参考答案】B【试题解析】∵先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有24C 6=，余下放入最后一个信封，∴共有243C 18=.10. ABC △中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB =a , CA =b , a =1，b =2,则CD = ( ). A.13a +23b B.23a +13b C.35a +45b D.45a +35b 【测量目标】向量的线性运算. 【考查方式】向量之间的相加减. 【参考答案】B【试题解析】∵CD 为角平分线，∴ 12BD BC AD AC ==，（步骤1）∵ AB CB CA =-=-a b ，∴ 222333AD AB ==-a b ，（步骤2） ∴ 22213333CD CA AD =+=+-=+b a b a b .（步骤3）11. 与正方体ABCD -1111A B C D 的三条棱111AB CC A D 、、所在直线的距离相等的点 ( ). （A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个 【测量目标】空间立体几何的基本性质. 【考查方式】作图，利用观察法求解. 【参考答案】D【试题解析】∵到三条互相垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，∴三个圆柱面有无数个交点，故选D.12. 已知椭圆C ：()22221>>0x y a b a b+=的离心率为2，过右焦点F 且斜率为()>0k k 的直线于C 相交于A B 、两点，若3AF FB =，则k = ( ). A.1D.2 【测量目标】直线与椭圆的位置关系.【考查方式】由向量关系，间接进行求解参数k . 【参考答案】B 【试题解析】设1122(,),(,)A x yB x y ，∵ 3AF FB =，∴ 123y y =-，（步骤1）∵2e =，设2,a t c ==，b t =，∴ 222440x y t +-=，（步骤2）设直线AB方程为x sy =+.代入消去x ，∴222(4)0s y t ++-=， ∴2121224t y y y y s +==-+，（步骤3）22222234t y y s -=-=-+，解得 212s =，k = B.（步骤4）（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知α是第二象限的角,1tan 2=-α，则cos α=__________. 【测量目标】同角三角函数间的相互转化.【考查方式】由三角函数的等式关系进行转化，直接求解余弦值.【参考答案】 【试题解析】1tan 2=-α， sin 1cos 2⇒=-αα，即1sin cos 2=-αα，（步骤1） 又22sin cos 1+=αα，cos ∴=α，（步骤2） 又α为第二象限角，cos ∴=α（步骤3） 14. 91x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数是_________.【测量目标】二项式定理.【考查方式】二项式展开式中的系数求解. 【参考答案】84.【试题解析】∵ 9191C ()r rr r T xx-+=， ∴ 923,3r r -==， ∴ 39C 84=. 15. 已知抛物线()2:2>0C y px p =的准线1，过()1,0M的直线与l 相交于A ，与C 的一个交点为B ，若AM MB =，则p =_________【测量目标】抛物线的标准方程和简单的几何性质. 【考查方式】直线方程与抛物线方程联立求解p . 【参考答案】2【试题解析】设直线AB：y =（步骤1）代入22y px =得23(62)30x p x +--+=， 又∵ AM MB =，∴122x p =+，（步骤2）解得24120p p +-=，解得2,6p p ==-或（舍去）,故2p =.（步骤3）16. 已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，4AB =，若3OM ON ==，则两圆圆心的距离MN = .【测量目标】球、直线与圆的概念及基础知识. 【考查方式】解三角形求两圆半径,进而计算圆心距. 【参考答案】3 【试题解析】∵3ON =，球半径为4，∴小圆N，(步骤1) ∵小圆N 中弦长4AB =，作NE 垂直于AB ，∴NE =，（步骤2）同理可得ME =ONE 中，∵NE =，3ON =，∴ π6EON ∠=，（步骤4） ∴ π3MON ∠=，∴ 3.MN =（步骤5）三、解答题；本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）ABC △中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=，求AD . 【测量目标】同角三角函数的基本关系、正弦定理.【考查方式】利用同角三角函数关系、差角公式及正弦定理求解边长. 【试题解析】ADC B BAD ∠=∠+∠ >A D C B∴∠∠,（步骤1） 又3cos >05ADC ∠=cos >0B ∴，（步骤2） 12cos 13B =,4sin 5ADC ∠=，()sin sin BAD ADC B ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC B ADC B =∠-∠3365=.（步骤3） sin sin B BAD AD BD ∠=533sin 132533sin 65BD BAD BAD⨯⋅⇒===∠. AD ∴的长为25.18.（本小题满分12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1212112()a a a a +=+，34534511164()a a a a a a ++=++（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； (Ⅱ）设21()n n nb a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【测量目标】等比数列通项公式、前n 项和、方程组解法. 【考查方式】由题设等式关系求解通项公式和前n 项和.【试题解析】（Ⅰ）设公比为q ，则11n n a a q -=.由已知有111123411123411111211164a a q a a q a q a q a q a q a q a q ⎧⎛⎫+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++=++ ⎪⎪⎝⎭⎩，（步骤1） 化简得21261264a q a q ⎧=⎨=⎩（步骤2）又10a >，故12,1q a == 所以12n n a -=.（步骤3）(Ⅱ）由（Ⅰ）知221211112424n n n n n n n b a a a a --⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，因此 ()11111441244n n n T n --⎛⎫=++++++++ ⎪⎝⎭，（步骤4） ()111411424421141314nn n n n n ---=++=-++--.（步骤5）19.（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，A C B C =，111AA A B =，D 为1BB 的中点，E 为1AB 上的一点，13AE EB =,（Ⅰ）证明：DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线； （Ⅱ）设异面直线1AB 与CD 的夹角为45°, 求二面角111A AC B --的大小.【测量目标】空间立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基础知识.【考查方式】线面垂直定理的应用，找出异面直线所成角,由边长解三角形. 【试题解析】（Ⅰ）证明：连接1A B ,记1A B 与1AB 的交点为F , 平面11A ABB 为正方形11A B AB ∴⊥,且1AF FB =，（步骤1）又13AE EB = , 1F E E B ∴=，（步骤2）又D 为1BB 的中点 , 1//,DE BF DE AB ∴⊥.（步骤3）作,CG AB G ⊥为垂足，由AC BC =知，G 为AB 中点， 又由底面ABC ⊥平面11A ABB ,得11CG AA B B ⊥平面,（步骤4） 连接DG ,则DG ∥1AB ,故DE DG ⊥.由三垂线定理得，DE CD ⊥,DE ∴为异面直线1AB 与CD 的公垂线. （步骤5）（Ⅱ）DG ∥1AB ,故CDG ∠为异面直线1AB 与CD 的夹角，=45CDG ∠，（步骤6）设2AB =,则1AB DG CG AC == 作111,B H A C H ⊥为垂足，（步骤7） 底面111A B C ⊥平面11AAC C故111,B H AAC C ⊥平面又作1,HK AC K ⊥为垂足，连接1B K ,（步骤8） 由三垂线定理得，11,B K AC ⊥1B KH ∴∠为二面角111A AC B --的平面角.（步骤9）1HK AC ⊥,平面11A ABB 为正方形,111π2C KH AAC ∴∠=∠=, 又111AC A HC K ∠=∠,111C KH C AA ∴∠=∠,1C KH ∴△∽11C A A △.111B H ∴==1HC ==111221AA C HKH AC ⋅===, 11tan B H B KH KH ∴∠===∴二面角111A ACB --的平面角的大小为（步骤10）20.（本小题满分12分）如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为1234T T T T 、、、，电源能通过123,T T T 、、的概率都是P ，电源能通过4T 的概率是0.9，电源能否通过各元件相互独立.已知123T T T 、、中至少有一个能通过电流的概率为0.999. （Ⅰ）求P ；（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率.【测量目标】互斥事件、对立事件及独立事件的概率.【考查方式】由互斥事件与独立事件的概率,设出基本事件，并求出概率.【试题解析】（Ⅰ）根据题意得，记电流能通过i T 为事件i A ，i=1,2,3,4.A 表示事件：123,T T T 、、中至少有一个能通过电流.易得123A A A 、、相互独立，且123A A A A =⋅⋅,（步骤1）()()31109990001P A P ..,=-=-=计算得，0.9.P =（步骤2）（Ⅱ）根据题意，记B 表示事件:电流能在M 与N 之间通过，有 ()()()44134123111B A A A A A A A A =+-+--，则()()()()44134123(111)P B P A A A A A A A A =+-+--=0.90.10.90.90.10.10.90.90.09891+⨯⨯+⨯⨯⨯=.(步骤3)21.（本小题满分12分）已知函数32()33 1.f x x ax x =-++（Ⅰ）设2a =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()f x 在区间()2,3内至少有一个极值点，求a 的取值范围.【测量目标】利用导数研究函数的单调区间、极值.【考查方式】利用函数导数、单调性，求解的a 取值范围.【试题解析】（Ⅰ）当2a =时，32()631f x x x x =-++，(()322f x x x '=--，（步骤1）当(,2x ∈-∞-时，()0,()f x f x '>在(,2-∞-单调递增；当(2x ∈时，()0,()f x f x '<在(2-单调递减；当()2x ∈+∞时，()0,()f x f x '>在()2+∞单调递增；综上，()f x 的单调递减区间是(2+；()f x 的单调递增区间是((),223,-∞++∞. （Ⅱ）()22()31f x x a a ⎡⎤'=-+-⎣⎦，当210a -…时，()0,()f x f x '…为增函数，故()f x 无极值点；当210a -<时，()0f x '=有两个根1x a =2x a =由题意知，23a < ①，或23a << ②， ①式无解，②式的解为5543a <<，因此a 的取值范围是55,43⎛⎫ ⎪⎝⎭.22.（本小题满分12分） 已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>相交于B D 、两点，且BD 的中点为()1,3M .（Ⅰ）求C 的离心率；（Ⅱ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，17DF BF ⋅=证明：过A B D 、、三点的圆与x 轴相切.【测量目标】双曲线的简单几何性质、圆锥曲线的中的定点问题.【考查方式】直线与双曲线消元后，根据中点坐标公式，解离心率；由离心率条件及点坐标证明等式，得出相关结论.【试题解析】（Ⅰ）由题意知，l 的方程为：2y x =+，代入C 的方程，并化简，得()2222222440b ax a x a a b ----=，（步骤1） 设11(,)B x y 、()22,D x y ， 则212224a x x b a +=-，22212224a a b x x b a +=-- ①（步骤2） 由(1,3)M 为BD 的中点知1212x x +=，故2221412a b a ⨯=- 即223b a =， ②（步骤3）故2c a = 所以C 的离心率2c e a==.（步骤4）（Ⅱ）由①②知，C 的方程为：22233x y a -=， 2121243(,0),(2,0),2,02a A a F a x x x x ++==-<， 故不妨设12,x a x a -剠，（步骤5）12BF a x ===-，22FD x a ===-，()()1222BF FD a x x a ⨯=--()2121242x x a x x a =-++- 2548a a =++.（步骤6）又17BF FD ⋅=，故254817a a ++=，解得1a =，或95a =-（舍去），故126BD x =-==.(步骤7)连结MA ，则由(1,0),(1,3)A M 知3MA =，从而MA MB MD ==，且MA x ⊥轴，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆经过A 、B 、D 三点，且在点A 处与x 轴相切，所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.（步骤8）。
数学文科(全国II卷)答案解析2010
2010年普通高等学校夏季招生考试数学文史类(全国卷Ⅱ)一、解答题 ( 本大题共 1 题, 共计 12 分)1、(12分) 解：(1)由题设知，l的方程为y＝x＋2.代入C的方程，并化简，得(b2－a2)x2－4a2x－4a2－a2b2＝0，设B(x1，y1)、D(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，①由M(1,3)为BD的中点知＝1，故×＝1，即b2＝3a2，②故c＝＝2a，所以C的离心率e＝＝2.(2)由①②知，C的方程为3x2－y2＝3a2，A(a,0)，F(2a,0)，x1＋x2＝2，x1·x2＝－＜0，故不妨设x1≤－a，x2≥a.|BF|＝＝＝a－2x1，|FD|＝＝＝2x2－a.|BF|·|FD|＝(a－2x1)(2x2－a)＝－4x1x2＋2a(x1＋x2)－a2＝5a2＋4a＋8.又|BF|·|FD|＝17，故5a2＋4a＋8＝17，解得a＝1或a＝－ (舍去)．故|BD|＝|x1－x2|＝·＝6.连结MA，则由A(1,0)，M(1,3)知|MA|＝3，从而MA＝MB＝MD，且MA⊥x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切．所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．二、选择题 ( 本大题共 12 题, 共计 60 分)1、(5分) C ∵U＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,3,5}，∴(A∪B)＝{2,4}．2、(5分) A 原不等式等价于(x－3)(x＋2)＜0，解得－2＜x＜3.3、(5分) B cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝－(1－2×)＝－.4、(5分) D 由y＝1＋ln(x－1)得ln(x－1)＝y－1，∴x－1＝e y－1.∴x＝e y－1＋1.∴y＝e x－1＋1.又∵y＝1＋ln(x－1)(x＞1)的值域为R，∴y＝1＋ln(x－1)(x＞1)的反函数是y＝e x－1＋1(x∈R)．5、(5分) C 约束条件所对应的可行域如图．由z＝2x＋y得y＝－2x＋z.由图可知，当直线y＝－2x＋z经过点A时，z最大．由，得，则A(1,1)．∴z max＝2×1＋1＝3.6、(5分) C ∵{a n}为等差数列，a3＋a4＋a5＝12，∴a4＝4.∴a1＋a2＋…＋a7＝＝7a4＝28.7、(5分) A ∵y′＝2x＋a，∴k＝y′|x＝0＝a＝1，将(0，b)代入切线：0－b＋1＝0，∴b＝1，∴a＝1，b＝1.8、(5分) D 法一：(几何法)如图，取BC中点D，连结AD、SD.由SA⊥面ABC，得SA⊥BC.D为BC中点，得AD⊥BC.∴BC⊥面SAD.过A作AE⊥SD，交SD于E.又BC⊥AE，AE∩SE＝E，∴AE⊥面SBC.∴∠ABE为AB与平面SBC所成的角．在△SAD中，SA＝3，AD＝，SD＝＝2，SA·AD＝SD·AE，解得AE＝.∴sin∠ABE＝＝＝.法二：(向量法)以A为原点，分别以AB、AS所在直线为x轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，易知S(0,0,3)，B(2,0,0)，C(1，，0)．设平面SBC的法向量为n＝(x，y，z)．则，得n＝(3，，2)，又＝(2,0,0)，∴当α为AB与平面SBC所成的角时，sinα＝|cos〈，n〉|＝＝＝9、(5分) B 将标号为1、2的卡片放入一个信封，有＝3(种)，将剩下的4张卡片放入剩下的2个信封中，有＝6(种)，共有·＝3×6＝18(种)．10、(5分) B 法一：(直接法)∵CD平分∠ACB，∴＝＝∴＝2＝＝(－)＝ (a－b)．∴＝＋＝b＋ (a－b)＝a＋b.法二：(排除法)由角平分线的性质知λ＝a＋b＝a＋b.故＝a＋b.系数之比为2∶1，只有B项符合．11、(5分) D 经验证线段B1D上的点B，D，中点，四等分点均满足题意，故由排除法知应有无数个点．12、(5分) B 如图，过A、B分别作准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，过B作BM⊥AA1于M.由椭圆的第二定义得：＝e，＝e，∴|BB1|＝，|AA1|＝.又∵＝3，∴＝3，∴|AA1|＝，∴|AM|＝|AA1|－|MA1|＝|AA1|－|BB1|＝，而|AB|＝|AF|＋|FB|＝4|FB|，在Rt△BAM中，cos∠BAM＝＝＝＝，∴sin∠BAM＝，∴k＝tan∠BAM＝.三、填空题 ( 本大题共 4 题, 共计 20 分)1、(5分) －解析：由＝1＋tan2α得＝1＋＝.∴cos2α＝.∵α是第二象限的角，∴cosα＜0.∴cosα＝－.2、(5分) 84解析：(x＋)9的展开式的通项为T r＋1＝x9－r()r＝x9－2r，当r＝3时，T3＋1＝x9－6＝x3＝84x3，∴x3的系数为84.3、(5分) 2解析：l：x＝－，过M(1,0)且斜率为的直线为y＝ (x－1)，联立得解得∴A(－，－ (＋1))．又∵＝，∴M点为AB的中点．∴B点坐标为(＋2， (＋1))．将B(＋2， (＋1))代入y2＝2px(p＞0)，得3(＋1)2＝2p(＋2)，解得p＝2或p＝－6(舍)．4、(5分) 3解析：∵|OM|＝|ON|＝3，∴圆M与圆N的半径相等，且为＝. 取AB中点C，连结MC、NC，则MC⊥AB，NC⊥AB，|MC|＝|NC|＝＝，易知OM、CN共面且OM⊥MC，ON⊥NC，|OC|＝＝2，sin∠OCM＝＝，∴|MN|＝2|MC|·sin∠OCM＝2×＝3. 四、解答题 ( 本大题共 5 题, 共计 58 分)1、(10分) 解：由cos∠ADC＝＞0知B＜，由已知得cos B＝，sin∠ADC＝，从而sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)＝sin∠ADC cos B－cos∠ADC sin B＝×－×＝.由正弦定理得＝，AD＝＝＝25.2、(12分) 解：(1)设公比为q，则a n＝a1q n－1.由已知有化简得又a1＞0，故q＝2，a1＝1.所以a n＝2n－1.(2)由(1)知b n＝(a n＋)2＝＋＋2＝4n－1＋＋2.因此T n＝(1＋4＋…＋4n－1)＋(1＋＋…＋)＋2n＝＋＋2n＝ (4n－41－n)＋2n＋1.3、(12分) 法一：(1)证明：连结A1B，记A1B与AB1的交点为F，因为面AA1B1B为正方形，故A1B⊥AB1，且AF＝FB1，又AE＝3EB1，所以FE＝EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1.作CG⊥AB，G为垂足，由AC＝BC知，G为AB中点．又由底面ABC⊥面AA1B1B，得CG⊥面AA1B1B，连结DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD，所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线．(2)因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG＝45°，设AB＝2，则AB1＝2，DG＝，CG＝，AC＝，作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1C1C，故B1H⊥面AA1C1C.又作HK⊥AC1，K为垂足，连结B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1AC1B1的平面角．B1H＝＝，HC1＝＝，AC1＝＝，HK＝＝，tan∠B1KH＝＝.所以二面角A1AC1B1的大小为arctan.解法二：(1)证明：以B为坐标原点，射线BA为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，设AB＝2，则A(2,0,0)，B1(0,2,0)，D(0,1,0)，E(，，0)，又设C(1,0，c)，则＝(，，0)，＝(2，－2,0)，＝(1，－1，c)．于是＝0，＝0，故DE⊥B1A，DE⊥DC，所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线．(2)因为〈，〉等于异面直线AB1与CD的夹角，故＝cos45°，即2××＝4，解得c＝，故＝(－1,0，)．又＝＝(0,2,0)．所以＝＋＝(－1,2，)．设平面AA1C1的法向量为m＝(x，y，z)，则m·＝0，m·＝0，即－x＋2y＋z＝0且2y＝0.令x＝，则z＝1，y＝0，故m＝(，0,1)，设平面AB1C1的法向量为n＝(p，q，r)，则n·＝0，n·＝0，即－p＋2q＋r＝0,2p－2q＝0，令p＝，则q＝，r＝－1，故n＝(，，－1)．所以cos〈m，n〉＝＝.由于〈m，n〉等于二面角A1AC1B1的平面角，所以二面角A1-AC1-B1的大小为arccos.4、(12分) 解：记A i表示事件：电流能通过T i，i＝1,2,3,4.A表示事件：T1，T2，T3中至少有一个能通过电流．B表示事件：电流能在M与N之间通过．(1) ＝··，A1，A2，A3相互独立，P()＝P(··)＝P()P()P()＝(1－p)3.又P()＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001，故(1－p)3＝0.001，p＝0.9.(2)B＝A4＋·A1·A3＋··A2·A3，P(B)＝P(A4＋·A1·A3＋··A2·A3)＝P(A4)＋P(·A1·A3)＋P(··A2·A3)＝P(A4)＋P()P(A1)P(A3)＋P()P()P(A2)P(A3)＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9＝0.989 1.5、(12分) 解：(1)当a＝2时，f(x)＝x3－6x2＋3x＋1，f′(x)＝3(x－2＋)(x－2－)．当x∈(－∞，2－)时f′(x)＞0，f(x)在(－∞，2－)上单调增加；当x∈(2－，2＋)时f′(x)＜0，f(x)在(2－，2＋)上单调减少；当x∈(2＋，＋∞)时f′(x)＞0，f(x)在(2＋，＋∞)上单调增加．综上，f(x)的单调增区间是(－∞，2－)和(2＋，＋∞)，f(x)的单调减区间是(2－，2＋)．(2)f′(x)＝3[(x－a)2＋1－a2]．当1－a2≥0时，f′(x)≥0，f(x)为增函数，故f(x)无极值点；当1－a2＜0时，f′(x)＝0有两个根x1＝a－或x2＝a＋.由题意知：2＜a－＜3，①或2＜a＋＜3. ②①式无解，②式的解为＜a＜.因此a的取值范围是(，)．。
2010年全国统一高考数学试卷(文科)(全国大纲版ⅱ)
2010年全国统一高考数学试卷（文科）（全国大纲版Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）设全集U＝{x∈N+|x＜6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则∁U（A∪B）＝（）A．{1，4}B．{1，5}C．{2，4}D．{2，5}2．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）不等式＜0的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜3}B．{x|x＜﹣2}C．{x|x＜﹣2或x＞3}D．{x|x＞3} 3．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知sinα＝，则cos（π﹣2α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．4．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）函数的反函数是（）A．y＝e2x﹣1﹣1（x＞0）B．y＝e2x﹣1+1（x＞0）C．y＝e2x﹣1﹣1（x∈R）D．y＝e2x﹣1+1（x∈R）5．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．46．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5＝12，那么a1+a2+…+a7＝（）A．14B．21C．28D．357．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1＝0，则（）A．a＝1，b＝2B．a＝﹣1，b＝2C．a＝1，b＝﹣2D．a＝﹣1，b＝﹣2 8．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种10．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝，＝，||＝1，||＝2，则＝（）A．+B．+C．+D．+11．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无数个12．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知椭圆T：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若＝3，则k＝（）A．1B．C．D．2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知α是第二象限的角，tanα＝﹣，则cosα＝．14．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）（x+）9展开式中x3的系数是．（用数字作答）15．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p＝．16．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB＝4，若OM＝ON＝3，则两圆圆心的距离MN＝．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sin B＝，cos∠ADC＝，求AD．18．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知{a n}是各项均为正数的等比数列a1+a2＝2（），a3+a4+a5＝64++）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（a n+）2，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE＝3EB1．（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小．20．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求P；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．21．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知函数f（x）＝x3﹣3ax2+3x+1（1）设a＝2，求f（x）的单调增区间；（2）设f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a的取值范围．22．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|＝17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．2010年全国统一高考数学试卷（文科）（全国大纲版Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）设全集U＝{x∈N+|x＜6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则∁U（A∪B）＝（）A．{1，4}B．{1，5}C．{2，4}D．{2，5}【分析】由全集U＝{x∈N+|x＜6}，可得U＝{1，2，3，4，5}，然后根据集合混合运算的法则即可求解．【解答】解：∵A＝{1，3}，B＝{3，5}，∴A∪B＝{1，3，5}，∵U＝{x∈N+|x＜6}＝{1，2，3，4，5}，∴∁U（A∪B）＝{2，4}，故选：C．【点评】本题考查了集合的基本运算，属于基础知识，注意细心运算．2．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）不等式＜0的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜3}B．{x|x＜﹣2}C．{x|x＜﹣2或x＞3}D．{x|x＞3}【分析】本题的方法是：要使不等式小于0即要分子与分母异号，得到一个一元二次不等式，讨论x的值即可得到解集．【解答】解：∵，得到（x﹣3）（x+2）＜0即x﹣3＞0且x+2＜0解得：x＞3且x＜﹣2所以无解；或x﹣3＜0且x+2＞0，解得﹣2＜x＜3，所以不等式的解集为﹣2＜x＜3故选：A．【点评】本题主要考查学生求不等式解集的能力，是一道基础题．3．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知sinα＝，则cos（π﹣2α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】先根据诱导公式求得cos（π﹣2a）＝﹣cos2a进而根据二倍角公式把sinα的值代入即可求得答案．【解答】解：∵sin a＝，∴cos（π﹣2a）＝﹣cos2a＝﹣（1﹣2sin2a）＝﹣．故选：B．【点评】本题考查了二倍角公式及诱导公式．考查了学生对三角函数基础公式的记忆．4．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）函数的反函数是（）A．y＝e2x﹣1﹣1（x＞0）B．y＝e2x﹣1+1（x＞0）C．y＝e2x﹣1﹣1（x∈R）D．y＝e2x﹣1+1（x∈R）【分析】从条件中中反解出x，再将x，y互换即得．解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换位，2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．【解答】解：由原函数解得x＝e2y﹣1+1，∴f﹣1（x）＝e2x﹣1+1，又x＞1，∴x﹣1＞0；∴ln（x﹣1）∈R∴在反函数中x∈R，故选：D．【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y＝f（x）反求出x＝Φ（y）；（2）交换x＝Φ（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．5．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】先根据约束条件画出可行域，设z＝2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z＝2x+y过可行域内的点B时，从而得到m值即可．【解答】解：作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y＝x与3x+2y＝5的交点为最优解点，∴即为B（1，1），当x＝1，y＝1时z max＝3．故选：C．【点评】本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5＝12，那么a1+a2+…+a7＝（）A．14B．21C．28D．35【分析】由等差数列的性质求解．【解答】解：a3+a4+a5＝3a4＝12，a4＝4，∴a1+a2+…+a7＝＝7a4＝28故选：C．【点评】本题主要考查等差数列的性质．7．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1＝0，则（）A．a＝1，b＝2B．a＝﹣1，b＝2C．a＝1，b＝﹣2D．a＝﹣1，b＝﹣2【分析】由y＝x2+ax+b，知y′＝2x+a，再由曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x﹣y+1＝0，求出a和b．【解答】解：∵y＝x2+ax+b，∴y′＝2x+a，＝2+a，∵y′|x＝1∴曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为y﹣b＝（2+a）（x﹣1），∵曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x﹣y+1＝0，∴a＝﹣1，b＝2．故选：B．【点评】本题考查利用导数求曲线上某点切线方程的应用，解题时要认真审题，仔细解答．8．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】由图，过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE 于F，连BF，由题设条件证出∠ABF即所求线面角．由数据求出其正弦值．【解答】解：过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴E为BC中点，∵BC⊥AE，SA⊥BC，∴BC⊥面SAE，∴BC⊥AF，AF⊥SE，∴AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长2，∴AE＝，AS＝3，∴SE＝2，AF＝，∴sin∠ABF＝．故选：D．【点评】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角．9．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种【分析】本题是一个分步计数问题，首先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有C42，余下放入最后一个信封，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数问题，∵先从3个信封中选一个放1，2，有＝3种不同的选法；根据分组公式，其他四封信放入两个信封，每个信封两个有＝6种放法，∴共有3×6×1＝18．故选：B．【点评】本题考查分步计数原理，考查平均分组问题，是一个易错题，解题的关键是注意到第二步从剩下的4个数中选两个放到一个信封中，这里包含两个步骤，先平均分组，再排列．10．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝，＝，||＝1，||＝2，则＝（）A．+B．+C．+D．+【分析】由△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，根据三角形内角平分线定理，我们易得到，我们将后，将各向量用，表示，即可得到答案．【解答】解：∵CD为角平分线，∴，∵，∴，∴故选：B．【点评】本题考查了平面向量的基础知识，解答的核心是三角形内角平分线定理，即若AD为三角形ABC的内角A的角平分线，则AB：AC＝BD：CD11．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无数个【分析】由于点D、B1显然满足要求，猜想B1D上任一点都满足要求，然后想办法证明结论．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1上建立如图所示空间直角坐标系，并设该正方体的棱长为1，连接B1D，并在B1D上任取一点P，因为＝（1，1，1），所以设P（a，a，a），其中0≤a≤1．作PE⊥平面A1D，垂足为E，再作EF⊥A1D1，垂足为F，则PF是点P到直线A1D1的距离．所以PF＝；同理点P到直线AB、CC1的距离也是．所以B1D上任一点与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离都相等，所以与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点有无数个．故选：D．【点评】本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法．12．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知椭圆T：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若＝3，则k＝（）A．1B．C．D．2【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据求得y1和y2关系根据离心率设，b＝t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去x，根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而根据y1和y2关系求得k．【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），∵，∴y1＝﹣3y2，∵，设，b＝t，∴x2+4y2﹣4t2＝0①，设直线AB方程为，代入①中消去x，可得，∴，，解得，故选：B．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题问题综合性强，要求考生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知α是第二象限的角，tanα＝﹣，则cosα＝．【分析】根据，以及sin2α+cos2α＝1可求出答案．【解答】解：∵＝，∴2sinα＝﹣cosα又∵sin2α+cos2α＝1，α是第二象限的角∴故答案为：【点评】本题考查了同角三角函数的基础知识．14．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）（x+）9展开式中x3的系数是84．（用数字作答）【分析】本题考查二项式定理的展开式，解题时需要先写出二项式定理的通项T r+1，因为题目要求展开式中x3的系数，所以只要使x的指数等于3就可以，用通项可以解决二项式定理的一大部分题目．【解答】解：写出（x+）9通项，∵要求展开式中x3的系数∴令9﹣2r＝3得r＝3，∴C93＝84故答案为：84．【点评】本题是一个二项展开式的特定项的求法．解本题时容易公式记不清楚导致计算错误，所以牢记公式．它是经常出现的一个客观题．15．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p＝2．【分析】设直线AB的方程与抛物线方程联立消去y得3x2+（﹣6﹣2p）x+3＝0，进而根据，可知M为A、B的中点，可得p的关系式，解方程即可求得p．【解答】解：设直线AB：，代入y2＝2px得3x2+（﹣6﹣2p）x+3＝0，又∵，即M为A、B的中点，∴x B+（﹣）＝2，即x B＝2+，得p2+4P﹣12＝0，解得p＝2，p＝﹣6（舍去）故答案为：2【点评】本题考查了抛物线的几何性质．属基础题．16．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB＝4，若OM＝ON＝3，则两圆圆心的距离MN＝3．【分析】根据题意画出图形，欲求两圆圆心的距离，将它放在与球心组成的三角形MNO 中，只要求出球心角即可，通过球的性质构成的直角三角形即可解得．【解答】解法一：∵ON＝3，球半径为4，∴小圆N的半径为，∵小圆N中弦长AB＝4，作NE垂直于AB，∴NE＝，同理可得，在直角三角形ONE中，∵NE＝，ON＝3，∴，∴，∴MN＝3．故填：3．解法二：如下图：设AB的中点为C，则OC与MN必相交于MN中点为E，因为OM＝ON＝3，故小圆半径NB为C为AB中点，故CB＝2；所以NC＝，∵△ONC为直角三角形，NE为△ONC斜边上的高，OC＝∴MN＝2EN＝2•CN•＝2××＝3故填：3．【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，还考查球、直线与圆的基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sin B＝，cos∠ADC＝，求AD．【分析】先由cos∠ADC＝确定角ADC的范围，因为∠BAD＝∠ADC﹣B所以可求其正弦值，最后由正弦定理可得答案．【解答】解：由cos∠ADC＝＞0，则∠ADC＜，又由知B＜∠ADC可得B＜，由sin B＝，可得cos B＝，又由cos∠ADC＝，可得sin∠ADC＝．从而sin∠BAD＝sin（∠ADC﹣B）＝sin∠ADC cos B﹣cos∠ADC sin B＝＝．由正弦定理得，所以AD＝＝．【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现．这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变．解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化．18．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知{a n}是各项均为正数的等比数列a1+a2＝2（），a3+a4+a5＝64++）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（a n+）2，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由题意利用等比数列的通项公式建立首项a1与公比q的方程，然后求解即可（2）由b n的定义求出通项公式，在由通项公式，利用分组求和法即可求解【解答】解：（1）设正等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意得：∴a n＝2n﹣1（6分）（2）∴b n的前n项和T n＝（12分）【点评】（1）此问重基础及学生的基本运算技能（2）此处重点考查了高考常考的数列求和方法之一的分组求和，及指数的基本运算性质19．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE＝3EB1．（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小．【分析】（1）欲证DE为异面直线AB1与CD的公垂线，即证DE与异面直线AB1与CD 垂直相交即可；（2）将AB1平移到DG，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角，在三角形B1KH中求出此角即可．【解答】解：（1）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F．因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF＝FB1，又AE＝3EB1，所以FE＝EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1．作CG⊥AB，G为垂足，由AC＝BC知，G为AB中点．又由底面ABC⊥面AA1B1B．连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD．所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线．（2）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG＝45°设AB＝2，则AB1＝，DG＝，CG＝，AC＝．作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C．又作HK ⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角．B1H＝，C1H＝，AC1＝，HK＝tan∠B1KH＝，∴二面角A1﹣AC1﹣B1的大小为arctan．【点评】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力．三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段．通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处．20．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求P；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．【分析】（1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将T1，T2，T3至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得p．（Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，根据电路图，可得B＝A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3，由互斥事件的概率公式，代入数据计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，记电流能通过T i为事件A i，i＝1、2、3、4，A表示事件：T1，T2，T3，中至少有一个能通过电流，易得A1，A2，A3相互独立，且，P（）＝（1﹣p）3＝1﹣0.999＝0.001，计算可得，p＝0.9；（Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，有B＝A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3，则P（B）＝P（A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3）＝0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9＝0.9891．【点评】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，注意先明确事件之间的关系，进而选择对应的公式来计算．21．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知函数f（x）＝x3﹣3ax2+3x+1（1）设a＝2，求f（x）的单调增区间；（2）设f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a的取值范围．【分析】（1）求导函数，利用导数大于0，可得f（x）的单调增区间；（2）f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于方程f′（x）＝0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜﹣1）的条件下在区间（2，3）有解．【解答】解：（1）f（x）的定义域是R，f′（x）＝3x2﹣6ax+3，当a＝2时，f′（x）＝3x2﹣12x+3＝3（x2﹣4x+1），令f′（x）＞0，可得x2﹣4x+1＞0解得：或∴f（x）的单调增区间是；（2）∵f′（x）＝3x2﹣6ax+3，而f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于方程3x2﹣6ax+3＝0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜﹣1）的条件下在区间（2，3）有解．∴由3x2﹣6ax+3＝0可得a＝，令g（x）＝，求导函数可得g′（x）＝∴g（x）在（2，3）上单调递增，∴＜＜，∴＜a＜，此时满足△＞0，故a的取值范围是＜a＜．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点转化为方程f′（x）＝0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜﹣1）的条件下在区间（2，3）有解．22．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|＝17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．【分析】（Ⅰ）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出a，b的关系式即求得离心率．（Ⅱ）利用离心率将条件|FA||FB|＝17，用含a的代数式表示，即可求得a，则A点坐标可得（1，0），由于A在x轴上所以，只要证明2AM＝BD即证得．【解答】解：（Ⅰ）由题设知，l的方程为：y＝x+2，代入C的方程，并化简，得（b2﹣a2）x2﹣4a2x﹣a2b2﹣4a2＝0，设B（x1，y1），D（x2，y2），则，，①由M（1，3）为BD的中点知．故，即b2＝3a2，②故，∴C的离心率．（Ⅱ）由①②知，C的方程为：3x2﹣y2＝3a2，A（a，0），F（2a，0），．故不妨设x1≤﹣a，x2≥a，，，|BF|•|FD|＝（a﹣2x1）（2x2﹣a）＝﹣4x1x2+2a（x1+x2）﹣a2＝5a2+4a+8．又|BF|•|FD|＝17，故5a2+4a+8＝17．解得a＝1，或（舍去），故＝6，连接MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|＝3，从而MA＝MB＝MD，且MA⊥x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．【点评】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力．。
2010年全国统一高考数学试卷(文科)(全国大纲版ⅱ)
2010年全国统一高考数学试卷（文科）（全国大纲版Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）设全集U＝{x∈N+|x＜6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则∁U（A∪B）＝（）A．{1，4}B．{1，5}C．{2，4}D．{2，5}2．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）不等式＜0的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜3}B．{x|x＜﹣2}C．{x|x＜﹣2或x＞3}D．{x|x＞3} 3．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知sinα＝，则cos（π﹣2α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．4．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）函数的反函数是（）A．y＝e2x﹣1﹣1（x＞0）B．y＝e2x﹣1+1（x＞0）C．y＝e2x﹣1﹣1（x∈R）D．y＝e2x﹣1+1（x∈R）5．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．46．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5＝12，那么a1+a2+…+a7＝（）A．14B．21C．28D．357．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1＝0，则（）A．a＝1，b＝2B．a＝﹣1，b＝2C．a＝1，b＝﹣2D．a＝﹣1，b＝﹣2 8．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种10．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝，＝，||＝1，||＝2，则＝（）A．+B．+C．+D．+11．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无数个12．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知椭圆T：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若＝3，则k＝（）A．1B．C．D．2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知α是第二象限的角，tanα＝﹣，则cosα＝．14．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）（x+）9展开式中x3的系数是．（用数字作答）15．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p＝．16．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB＝4，若OM＝ON＝3，则两圆圆心的距离MN＝．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sin B＝，cos∠ADC＝，求AD．18．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知{a n}是各项均为正数的等比数列a1+a2＝2（），a3+a4+a5＝64++）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（a n+）2，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE＝3EB1．（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小．20．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求P；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．21．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知函数f（x）＝x3﹣3ax2+3x+1（1）设a＝2，求f（x）的单调增区间；（2）设f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a的取值范围．22．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|＝17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．2010年全国统一高考数学试卷（文科）（全国大纲版Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）设全集U＝{x∈N+|x＜6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则∁U（A∪B）＝（）A．{1，4}B．{1，5}C．{2，4}D．{2，5}【分析】由全集U＝{x∈N+|x＜6}，可得U＝{1，2，3，4，5}，然后根据集合混合运算的法则即可求解．【解答】解：∵A＝{1，3}，B＝{3，5}，∴A∪B＝{1，3，5}，∵U＝{x∈N+|x＜6}＝{1，2，3，4，5}，∴∁U（A∪B）＝{2，4}，故选：C．【点评】本题考查了集合的基本运算，属于基础知识，注意细心运算．2．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）不等式＜0的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜3}B．{x|x＜﹣2}C．{x|x＜﹣2或x＞3}D．{x|x＞3}【分析】本题的方法是：要使不等式小于0即要分子与分母异号，得到一个一元二次不等式，讨论x的值即可得到解集．【解答】解：∵，得到（x﹣3）（x+2）＜0即x﹣3＞0且x+2＜0解得：x＞3且x＜﹣2所以无解；或x﹣3＜0且x+2＞0，解得﹣2＜x＜3，所以不等式的解集为﹣2＜x＜3故选：A．【点评】本题主要考查学生求不等式解集的能力，是一道基础题．3．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知sinα＝，则cos（π﹣2α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】先根据诱导公式求得cos（π﹣2a）＝﹣cos2a进而根据二倍角公式把sinα的值代入即可求得答案．【解答】解：∵sin a＝，∴cos（π﹣2a）＝﹣cos2a＝﹣（1﹣2sin2a）＝﹣．故选：B．【点评】本题考查了二倍角公式及诱导公式．考查了学生对三角函数基础公式的记忆．4．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）函数的反函数是（）A．y＝e2x﹣1﹣1（x＞0）B．y＝e2x﹣1+1（x＞0）C．y＝e2x﹣1﹣1（x∈R）D．y＝e2x﹣1+1（x∈R）【分析】从条件中中反解出x，再将x，y互换即得．解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换位，2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．【解答】解：由原函数解得x＝e2y﹣1+1，∴f﹣1（x）＝e2x﹣1+1，又x＞1，∴x﹣1＞0；∴ln（x﹣1）∈R∴在反函数中x∈R，故选：D．【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y＝f（x）反求出x＝Φ（y）；（2）交换x＝Φ（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．5．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】先根据约束条件画出可行域，设z＝2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z＝2x+y过可行域内的点B时，从而得到m值即可．【解答】解：作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y＝x与3x+2y＝5的交点为最优解点，∴即为B（1，1），当x＝1，y＝1时z max＝3．故选：C．【点评】本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5＝12，那么a1+a2+…+a7＝（）A．14B．21C．28D．35【分析】由等差数列的性质求解．【解答】解：a3+a4+a5＝3a4＝12，a4＝4，∴a1+a2+…+a7＝＝7a4＝28故选：C．【点评】本题主要考查等差数列的性质．7．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1＝0，则（）A．a＝1，b＝2B．a＝﹣1，b＝2C．a＝1，b＝﹣2D．a＝﹣1，b＝﹣2【分析】由y＝x2+ax+b，知y′＝2x+a，再由曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x﹣y+1＝0，求出a和b．【解答】解：∵y＝x2+ax+b，∴y′＝2x+a，＝2+a，∵y′|x＝1∴曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为y﹣b＝（2+a）（x﹣1），∵曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x﹣y+1＝0，∴a＝﹣1，b＝2．故选：B．【点评】本题考查利用导数求曲线上某点切线方程的应用，解题时要认真审题，仔细解答．8．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】由图，过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE 于F，连BF，由题设条件证出∠ABF即所求线面角．由数据求出其正弦值．【解答】解：过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴E为BC中点，∵BC⊥AE，SA⊥BC，∴BC⊥面SAE，∴BC⊥AF，AF⊥SE，∴AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长2，∴AE＝，AS＝3，∴SE＝2，AF＝，∴sin∠ABF＝．故选：D．【点评】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角．9．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种【分析】本题是一个分步计数问题，首先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有C42，余下放入最后一个信封，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数问题，∵先从3个信封中选一个放1，2，有＝3种不同的选法；根据分组公式，其他四封信放入两个信封，每个信封两个有＝6种放法，∴共有3×6×1＝18．故选：B．【点评】本题考查分步计数原理，考查平均分组问题，是一个易错题，解题的关键是注意到第二步从剩下的4个数中选两个放到一个信封中，这里包含两个步骤，先平均分组，再排列．10．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝，＝，||＝1，||＝2，则＝（）A．+B．+C．+D．+【分析】由△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，根据三角形内角平分线定理，我们易得到，我们将后，将各向量用，表示，即可得到答案．【解答】解：∵CD为角平分线，∴，∵，∴，∴故选：B．【点评】本题考查了平面向量的基础知识，解答的核心是三角形内角平分线定理，即若AD为三角形ABC的内角A的角平分线，则AB：AC＝BD：CD11．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无数个【分析】由于点D、B1显然满足要求，猜想B1D上任一点都满足要求，然后想办法证明结论．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1上建立如图所示空间直角坐标系，并设该正方体的棱长为1，连接B1D，并在B1D上任取一点P，因为＝（1，1，1），所以设P（a，a，a），其中0≤a≤1．作PE⊥平面A1D，垂足为E，再作EF⊥A1D1，垂足为F，则PF是点P到直线A1D1的距离．所以PF＝；同理点P到直线AB、CC1的距离也是．所以B1D上任一点与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离都相等，所以与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点有无数个．故选：D．【点评】本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法．12．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知椭圆T：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若＝3，则k＝（）A．1B．C．D．2【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据求得y1和y2关系根据离心率设，b＝t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去x，根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而根据y1和y2关系求得k．【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），∵，∴y1＝﹣3y2，∵，设，b＝t，∴x2+4y2﹣4t2＝0①，设直线AB方程为，代入①中消去x，可得，∴，，解得，故选：B．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题问题综合性强，要求考生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知α是第二象限的角，tanα＝﹣，则cosα＝．【分析】根据，以及sin2α+cos2α＝1可求出答案．【解答】解：∵＝，∴2sinα＝﹣cosα又∵sin2α+cos2α＝1，α是第二象限的角∴故答案为：【点评】本题考查了同角三角函数的基础知识．14．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）（x+）9展开式中x3的系数是84．（用数字作答）【分析】本题考查二项式定理的展开式，解题时需要先写出二项式定理的通项T r+1，因为题目要求展开式中x3的系数，所以只要使x的指数等于3就可以，用通项可以解决二项式定理的一大部分题目．【解答】解：写出（x+）9通项，∵要求展开式中x3的系数∴令9﹣2r＝3得r＝3，∴C93＝84故答案为：84．【点评】本题是一个二项展开式的特定项的求法．解本题时容易公式记不清楚导致计算错误，所以牢记公式．它是经常出现的一个客观题．15．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p＝2．【分析】设直线AB的方程与抛物线方程联立消去y得3x2+（﹣6﹣2p）x+3＝0，进而根据，可知M为A、B的中点，可得p的关系式，解方程即可求得p．【解答】解：设直线AB：，代入y2＝2px得3x2+（﹣6﹣2p）x+3＝0，又∵，即M为A、B的中点，∴x B+（﹣）＝2，即x B＝2+，得p2+4P﹣12＝0，解得p＝2，p＝﹣6（舍去）故答案为：2【点评】本题考查了抛物线的几何性质．属基础题．16．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB＝4，若OM＝ON＝3，则两圆圆心的距离MN＝3．【分析】根据题意画出图形，欲求两圆圆心的距离，将它放在与球心组成的三角形MNO 中，只要求出球心角即可，通过球的性质构成的直角三角形即可解得．【解答】解法一：∵ON＝3，球半径为4，∴小圆N的半径为，∵小圆N中弦长AB＝4，作NE垂直于AB，∴NE＝，同理可得，在直角三角形ONE中，∵NE＝，ON＝3，∴，∴，∴MN＝3．故填：3．解法二：如下图：设AB的中点为C，则OC与MN必相交于MN中点为E，因为OM＝ON＝3，故小圆半径NB为C为AB中点，故CB＝2；所以NC＝，∵△ONC为直角三角形，NE为△ONC斜边上的高，OC＝∴MN＝2EN＝2•CN•＝2××＝3故填：3．【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，还考查球、直线与圆的基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sin B＝，cos∠ADC＝，求AD．【分析】先由cos∠ADC＝确定角ADC的范围，因为∠BAD＝∠ADC﹣B所以可求其正弦值，最后由正弦定理可得答案．【解答】解：由cos∠ADC＝＞0，则∠ADC＜，又由知B＜∠ADC可得B＜，由sin B＝，可得cos B＝，又由cos∠ADC＝，可得sin∠ADC＝．从而sin∠BAD＝sin（∠ADC﹣B）＝sin∠ADC cos B﹣cos∠ADC sin B＝＝．由正弦定理得，所以AD＝＝．【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现．这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变．解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化．18．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知{a n}是各项均为正数的等比数列a1+a2＝2（），a3+a4+a5＝64++）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（a n+）2，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由题意利用等比数列的通项公式建立首项a1与公比q的方程，然后求解即可（2）由b n的定义求出通项公式，在由通项公式，利用分组求和法即可求解【解答】解：（1）设正等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意得：∴a n＝2n﹣1（6分）（2）∴b n的前n项和T n＝（12分）【点评】（1）此问重基础及学生的基本运算技能（2）此处重点考查了高考常考的数列求和方法之一的分组求和，及指数的基本运算性质19．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE＝3EB1．（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小．【分析】（1）欲证DE为异面直线AB1与CD的公垂线，即证DE与异面直线AB1与CD 垂直相交即可；（2）将AB1平移到DG，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角，在三角形B1KH中求出此角即可．【解答】解：（1）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F．因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF＝FB1，又AE＝3EB1，所以FE＝EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1．作CG⊥AB，G为垂足，由AC＝BC知，G为AB中点．又由底面ABC⊥面AA1B1B．连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD．所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线．（2）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG＝45°设AB＝2，则AB1＝，DG＝，CG＝，AC＝．作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C．又作HK ⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角．B1H＝，C1H＝，AC1＝，HK＝tan∠B1KH＝，∴二面角A1﹣AC1﹣B1的大小为arctan．【点评】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力．三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段．通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处．20．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求P；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．【分析】（1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将T1，T2，T3至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得p．（Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，根据电路图，可得B＝A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3，由互斥事件的概率公式，代入数据计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，记电流能通过T i为事件A i，i＝1、2、3、4，A表示事件：T1，T2，T3，中至少有一个能通过电流，易得A1，A2，A3相互独立，且，P（）＝（1﹣p）3＝1﹣0.999＝0.001，计算可得，p＝0.9；（Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，有B＝A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3，则P（B）＝P（A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3）＝0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9＝0.9891．【点评】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，注意先明确事件之间的关系，进而选择对应的公式来计算．21．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知函数f（x）＝x3﹣3ax2+3x+1（1）设a＝2，求f（x）的单调增区间；（2）设f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a的取值范围．【分析】（1）求导函数，利用导数大于0，可得f（x）的单调增区间；（2）f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于方程f′（x）＝0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜﹣1）的条件下在区间（2，3）有解．【解答】解：（1）f（x）的定义域是R，f′（x）＝3x2﹣6ax+3，当a＝2时，f′（x）＝3x2﹣12x+3＝3（x2﹣4x+1），令f′（x）＞0，可得x2﹣4x+1＞0解得：或∴f（x）的单调增区间是；（2）∵f′（x）＝3x2﹣6ax+3，而f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于方程3x2﹣6ax+3＝0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜﹣1）的条件下在区间（2，3）有解．∴由3x2﹣6ax+3＝0可得a＝，令g（x）＝，求导函数可得g′（x）＝∴g（x）在（2，3）上单调递增，∴＜＜，∴＜a＜，此时满足△＞0，故a的取值范围是＜a＜．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点转化为方程f′（x）＝0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜﹣1）的条件下在区间（2，3）有解．22．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|＝17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．【分析】（Ⅰ）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出a，b的关系式即求得离心率．（Ⅱ）利用离心率将条件|FA||FB|＝17，用含a的代数式表示，即可求得a，则A点坐标可得（1，0），由于A在x轴上所以，只要证明2AM＝BD即证得．【解答】解：（Ⅰ）由题设知，l的方程为：y＝x+2，代入C的方程，并化简，得（b2﹣a2）x2﹣4a2x﹣a2b2﹣4a2＝0，设B（x1，y1），D（x2，y2），则，，①由M（1，3）为BD的中点知．故，即b2＝3a2，②故，∴C的离心率．（Ⅱ）由①②知，C的方程为：3x2﹣y2＝3a2，A（a，0），F（2a，0），．故不妨设x1≤﹣a，x2≥a，，，|BF|•|FD|＝（a﹣2x1）（2x2﹣a）＝﹣4x1x2+2a（x1+x2）﹣a2＝5a2+4a+8．又|BF|•|FD|＝17，故5a2+4a+8＝17．解得a＝1，或（舍去），故＝6，连接MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|＝3，从而MA＝MB＝MD，且MA⊥x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．【点评】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力．。
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所以 DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线. uuur uuur
（Ⅱ）因为 < B1A, DC > 等于异面直线 AB1 与 CD 的
夹角，
故
uuur uuur uuur B1A DC = B1A
uuur DC
cos
45o
，
即 2 2 × c2 + 2 × 2 = 4 ， 2
解得
c=
2
，故
）
（Ｂ）{x x < − 2}
{ （Ｃ） x x < −2或x > 3}
（Ｄ）{x x > 3}
（3）已知 sinα = 2 ，则 cos(π − 2α ) = 3
(A) − 5 3
(B) − 1 9
1
(C)
9
5
(D)
3
（4）函数 y = 1+ ln(x −1)(x > 1) 的反函数是
(A) y = ex+1 −1(x > 0)
一、选择题
{ } （1）设全 集 U = x ∈ N * x < 6 ，集合 A = {1,3}，B = {3,5} ,则 ðU ( A U B) = （ ）
（Ａ） {1,4}
（Ｂ） {1,5}
（Ｃ）{2,4} （Ｄ）{2,5}
（２）不等式 x − 3 < 0 的解集为（ x+2
（Ａ）{x −2 < x < 3}
uuur AC
=
(-1,2，2 )
，
uuuur uuuur 又 AA1=BB1=(0,2,0) ，
所以
uuuur AC1
uuur uuuur =AC+AA1
=(−1,2，2
)
，
设平面 AA1C1 的法向量为 m = (x, y, z) ，
uuuur
uuur
则 m AC1 = 0, m AA1 = 0
（Ⅱ）求电流能在 M 与 N 之间通过的概率.
（21）（本小题 满分 12 分）
已知函数 f (x) = x3 − 3ax2 + 3x +1 （Ⅰ）设 a = 2 ，求 f (x) 的单调区间； （Ⅱ）设 f (x) 在区间（2,3）中至少有一个极值点，求 a 的取值范围.
（22）（本小题满分 12 分）
(A) 14
(B) 21
(C) 28
(D)35
（7）若曲线 y = x2 + ax + b 在点 (0, b) 处的切线方程式 x − y +1 = 0 ，则
（A） a = 1,b = 1
（B） a = −1,b = 1
（C） a = 1,b = −1
（D） a = −1,b = −1
（8）已知三棱锥 S − ABC 中，底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形，SA 垂直于底面 ABC，
△ABC 中，D 为边 BC 上的一点，BD=33, sin B = 5 , cos ∠ADC = 3 .求 AD.
13
5
（18）（本小题满分 12 分）
已知 {an } 是各项均为正数的等比例数列，且
a1
+
a2
=
1 2(
a1
+
1 a2
)
， a3
+
a4
+
a5
=
1 64(
a3
+
1 a4
+
1 a5
)
.
(Ⅰ) 求{an}的通项公式；
（20）（本小题满分 12 分） 如图，由 M 到 N 的电路中有 4 个元件，分别标为 T1，T2，T3，T4，电流能通过 T1，T2，
T3 的概率都是 p ，电流能通过 T4 的概率是 0.9，电流能否通过各元件相互独立.已知 T1，T2，
T3 中至少有一个能通过电流的概率为 0.999
（Ⅰ）求 p ；
(B) y = ex−1 +1(x > 0)
(C) y = ex+1 −1(x ∈ R)
( D) y = ex−1 +1(x ∈ R)
⎧x ≥ −1
(5)
若变量
x,
y
满足约束条件
⎪ ⎨
y
≥
x
，则 z = 2x + y 的最大值为
⎪⎩3x + 2 y ≤ 5
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D)4
{ } （6）如果等差数列 an 中， a3 + a4 + a5 =12，那么 a1 + a2 +…+ a7 =
7, HK = AA1 × HC1 = 2 3
AC1
37
tan ∠B1KH
=
B1H HK
=
14
所以二面角 A1 − AC1 − B1 的大小为 arctan 14
解法二：
（Ⅰ）以 B 为坐标原点，射线 BA 为 x 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系 B − xyz .
设
AB=2，则
A（2,0,0,），
a2 b2
2
的直线与 C 相交于 A、B 两点，若 AF =3 FB ，则 k=
（A）1
（B） 2
（C） 3
（D）2
第Ⅱ卷（非选择题）
二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
（13）已知α 是第二象限的角， tan α = 1 ，则 cosα = ___________. 2
+
1 an2
+2
=
4n−1
+
1 4n−1
+2
因此
( ) ( ) Tn =
1+ 4 + ... + 4n−1
+ ⎛⎜⎝1+
1 + ... + 4
1 4n−1
⎞ ⎟⎠
+
2n
=
4n
−1
+
1−
1 4n
4−1 1− 1
+ 2n =
1 3
4n − 41−n
+ 2n +1
4
（19）解法一：
（Ⅰ）连结 A1B ,记 A1B 与 AB1 的交点为 F.因为面 AA1BB1 为 正方形，故 A1B ⊥ AB1 ，且 AF=FB1 .又 AE=3EB1 ，所 以 FE=EB1 ， 又 D 为 BB1 的 中 点 ， 故 DE∥BF，DE ⊥ AB1 . 作 CG ⊥ AB ,G 为垂足，由 AC=BC 知，G 为 AB 中点. 又由底面 ABC ⊥ 面 AA1B1B ，得 CG ⊥ AA1B1B . 连结 DG，则 DG∥AB1 ，故 DE ⊥ DG ,由三垂线定理，得 DE ⊥ CD . 所以 DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线.
B1
(0,
2,
0)
，D（0,1,0），
E(
1 2
,
3 2
,0)
，
又设
C（1,0,c）,则
uuur DE
=
⎛ ⎜⎝
1 2
，1 2
，0 ⎞⎟⎠，Buu1uAur =
(
2,-2,0)
uuur ,DC=
(1,-1,c)
.
uuur uuuur uuur uuur 于是 DE B1A=0,DE DC=0 .
故 DE ⊥ B1A，DE ⊥ DC ,
相切.
2010 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参考答案和评分参考
一、选择题 1. C 2. A 3. B 4. D 5. C 6. C 7. A 8. D 9. B 10. B 11. D 12. B
二、填空题
13. − 2 5 5
14. 84 15. 2 16. 3
三、解答题
（17）解：
（C）36 种 （D）54 种
（10）△ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分∠ACB，若 CB = a ，CA = b ， a = 1, b = 2 ，则
CD =
（A） 1 a + 2 b 33
（B） 2 a + 2 b 33
（C） 3 a + 4 b 55
（D） 4 a + 3 b 55
已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C： x2 − y2 = 1(a > 0, b > 0) 相交于 B、D 两点，且 BD a2 b2
的中点为 M(1,3) .
（Ⅰ）求 C 的离心率；
（Ⅱ）设 C 的右顶点为 A，右焦点为 F， DF • BF =17 ，证明：过 A、B、D 三点的圆与 x 轴
(14) (x + 1 )9 的展开式中 x3 的系数是__________ x
(15) 已知抛物线 C：y2 = 2 px( p > 0) 的准线为 l ，过 M(1,0)且斜 率为 3 的直线与 l 相交 uuuur uuur
于点 A,与 C 的一个交点为 B,若， AM = MB ，则 p 等于_________.
⎨
⎪⎩⎪a1q2
+ a1q3
+
a1q4
=
⎛ 64 ⎜
⎝
1 a1q2
+
1 a1q3
+
1 a1q4
⎞ ⎟. ⎠
化简得 ⎧⎪⎨⎪⎩aa1122qq6==26，4. 又 a1 > 0 ，故 q = 2, a1 = 1
所以
an = 2n−1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 bn
⎛ = ⎜ an
⎝
+
1 an
⎞2 ⎟ ⎠