SAT算法的应用---着色问题
3sat问题规约
3sat问题规约摘要：1.3-SAT 问题的定义和背景2.3-SAT 问题的特点和挑战3.3-SAT 问题的求解方法和算法4.3-SAT 问题的应用领域正文：1.3-SAT 问题的定义和背景3-SAT（3-way Satisfiability）问题是计算机科学中的一个组合优化问题，它是SAT（Satisfiability）问题的扩展。
在SAT 问题中，给定一个布尔表达式，需要判断该表达式是否可以被一个或多个赋值使得其为真。
而在3-SAT 问题中，我们需要在三个不同的赋值下判断该布尔表达式是否至少有一个赋值使得其为真。
3-SAT 问题广泛应用于计算机科学和人工智能领域，例如在自动推理、模型验证和约束优化等方面具有重要意义。
2.3-SAT 问题的特点和挑战3-SAT 问题具有以下特点：（1）NP 难度：3-SAT 问题属于NP 难度问题，即在多项式时间内可以验证一个解是否正确，但在多项式时间内找到一个解并不一定容易。
（2）高维空间：3-SAT 问题的解空间通常是高维的，这意味着需要在高维空间中搜索解，增加了求解的难度。
（3）局部最优解：3-SAT 问题容易陷入局部最优解，即找到的解虽然满足约束条件，但可能在全局范围内并不是最优的。
针对这些特点和挑战，研究者们提出了许多求解3-SAT 问题的方法和算法，例如基于约束满足问题的求解方法、基于启发式搜索的算法、基于随机化算法的优化方法等。
3.3-SAT 问题的求解方法和算法针对3-SAT 问题的求解，研究者们提出了许多有效的方法和算法，包括：（1）约束满足问题（Constraint Satisfaction Problem，CSP）求解方法：CSP 方法是一种基于约束满足问题的求解方法，通过将3-SAT 问题转化为CSP 问题，然后使用CSP 求解器来求解。
（2）分枝定界法（Branch and Bound）：分枝定界法是一种基于搜索的算法，通过在解空间中进行广度优先搜索，并在搜索过程中剪去不满足约束条件的解。
第6章 着色问题
∴
c' (v) c(v)
v V v V
，
这与C为最优矛盾。
图论及其应用
6
6.1 边色数
定理6.1 设G为偶图，则 = 。 证明： （Wilson）对 进行归纳。当 = 1 时显然成立。假设
对 < k( 2) 都成立，而 (G)= k 。任取G的一边 e = uv ， 考虑 G’ = G - e 。
(a) 利用Vizing定理证明：(G×K2）= (G×K2) 。 (b) 试证：若H是非平凡的，且(H) = (H)，则(G×H) = (G×H)。
6.2.7 叙述求简单图G的正常(+1)-边着色的好算法。 6.2.8*证明 ≥2的简单图G有一(-1)-边着色，使得所有-1种色在每个顶点上都表现 6.2.9 设简单图G有割点，则 = + 1 。
图论及其应用
11
6.2 Vizing定理——习题
6.2.1* 找出适当的边着色以证明(K2N-1) = (K2N) = 2n-1 。 6.2.2 为奇数的非空正则简单图G有 = + 1 。 6.2.3(a) 设简单图G中 = 2n+1且 >n ，则 = +1 ； (b) 利用(a)证明： ① 若G是从有偶数个顶点的简单图中剖分一条边所得的图，则 = +1 ； ② 若G是从有奇数个顶点的简单k正则图中删去少于k/2条边所得的图，则=+1 6.2.4 (a) 证明： 任一无环图G都有-正则无环母图。（注：不一定为生成母图） (b) 利用(a)及习题5.2.3(b)证明：若G 是无环图且 是偶数，则 3 /2。 6.2.5 称G为唯一k-边可着色的，如果G的任意两个k-边着色都导致E有相同的划分。 证明：每个唯一3-边可着色的3-正则图都是Hamilton 图 。 6.2.6 简单图的积图是指顶点集为V(G)×V(H)的简单图G×H，其中 (u,v)与(u’,v’)相邻 u = u’且v’ E(H)； 或 v = v’且uu’ E(G)
信息学奥林匹克论文
2-SAT 解法浅析华中师大一附中 赵爽SAT 理论基础设{}12,,,n B b b b ="为一个有限布尔变量集，{}1212ˆ,,,,,,,n nB b b b b b b =¬¬""¬。
设B ′是ˆB的非空子集，定义b B B b ′∈′∨=∨。
对于给定的12ˆ,,,m B B B B ′′′∈"①，求B ，使得 ()()()121mB B B ′′′∨∧∨∧∧∨=" 成立的问题，称为适定性(Satisfiability)问题，简称SAT 。
特别的，对于给定的{}mB ′，如果{}1,2,,max ii m B k =′="，我们就把这个问题称为k-适定性问题，简称k-SAT 。
可以证明，当时，k-SAT 是NP 完全的。
下面我们要讨论的，是时的情况。
2k >2k =2-SAT在2-SAT 中，i B ′只有两种形式，一种是单个布尔变量ˆx B∈，另一种是两个布尔变量的或：(ˆ,)x y x y B∨∈。
为了方便，我们先分析只存在后一种形式的情况。
我们可以构造有向图G 。
包含个顶点，代表G 2n ˆB中的2个元素。
我们的问题转化为从G 中选出个顶点，使其满足2-SAT 的条件——当然，代表和n n i b i b ¬的顶点不能同时被选择。
下面我们分析一下i B x y ′=∨在图对应什么。
显然，()x y x ∨=¬¬∧¬y 。
这也就是说，如果我们选中x ¬，那么我们必须选择y ；同样的，如果我们选中，那么我们必须选择。
因此，对于y ¬x i B x y ′=∨，我们可以在G中增加弧(),x y ¬和(),y x ¬②。
①在下文中，简写作{。
1,,n X X "}n X ② 这里，,,,x y x y ¬¬都表示G 中代表它们的顶点。
布尔可满足性问题(闵应骅)
布尔可满足性问题（一）（090912）布尔可满足性问题（一）闵应骅这是一个计算科学里的理论问题。
让我试试看能不能用通俗的语言把它说清楚。
计算机里的位变量都是布尔变量，只取值0或1。
两个布尔变量之间的运算只有“与”“或”“非”，表示为“∧”“∨”“¬”。
你能猜到1∧0=0，1∨0=1，¬1=0。
现在我有一个包含许多变量的表达式，例如：x∨y∧¬z，我问：这个表达式能等于1吗？如果能，x,y,z 分别等于什么，表达式就等于1，就说这个表达式被满足了。
这就是布尔可满足性（简称SAT）问题。
但是，你要允许变量个数可以任意，表达式可以任意长。
这个问题是一个计算复杂性很高的问题，已经证明它基本上是一个多项式复杂性算法不可解决的问题。
这句话，我无法用通俗的语言来说明。
但是没有关系，你只要知道这问题没有一般的简单算法来彻底解决。
本文要说的是：这个问题有实际意义，而且最近在算法上有进展和应用。
一个经典的图包含节点和边，问：给每一个节点着色，使相邻节点的颜色不同，四个颜色够不够？这就是图论中著名的四色问题。
这个问题可以转化为布尔可满足性问题。
四个颜色可以分别编码为00，01，10，11。
例如，从图1中，节点2着色记为（c20,c21）。
节点i与节点j不能同色可表示为（ci0∧cj0）∨(ci1∧cj1)=0。
你可以看到，对于这个简单的图，约束可以用上面的编码表达式表示，要求其为1。
下面就是解。
布尔可满足性问题的扩张就是优化问题。
如果变量的取值不只有0和1，目标函数的取值也不只是0和1，而是取最大或最小，而约束条件可以表示为若干个表达式。
我们的问题是寻找变量的一组值，在满足约束条件下，目标函数取值最大或最小。
这不就是优化问题吗？布尔可满足性问题有许多应用，许多问题都可以归结为SAT。
特别是在集成电路的设计与测试中，到处都是。
例如，看两个逻辑函数f1,f2是否等价，只要判断（f1∧¬f2）∨(¬f1∧f2)是否永远不可满足。
排课表问题DNA计算
排课表问题的DNA计算摘要：本文首先把边着色问题转化成可满足性问题，然后利用lipton解决sat思想来解决边着色问题，最后应用一个实例来说明算法。
关键词：sat问题；边着色；dna计算中图分类号：tp301.6文献标识码：a文章编号：1007-9599 (2013) 07-0000-021引言近年来，随着在校学生人数逐年增多，高校排课安排成为一项复杂的工作。
课表问题是运筹学中的时间表问题，课表问题涉及到众多因素，包括：教师、班级、教室和授课时间等。
1995年princeton大学的lipton解决了sat问题。
本文从图论的角度采用dna计算来对简单课表问题进行解决。
dna计算一般由两个步骤构成：第一步，建立一个大的可行解集合的数据库；第二步，将那些不满足所给定问题的解的数据逐一删除。
2基于图论的排课模型2.1简单排课表问题假设教学要求的关联矩阵如表1所示，其中，表示教师，表示班级，教师表示教师需要给上课的次数。
表1对应的关联矩阵可表示成一个图，如图1所示。
图1由图1可知：图是以一个以为顶点集，授课关系为边集的二分图，边集表示。
2.2用边着色理论分配课时定义：设是无环图，若能用种颜色给的边着色，使相邻边具有不同颜色，则称是边可着色的，边着色数称为图的一个正常边着色。
图的正常边着色的最小值，称为的边色数，用表示。
定理1：设是无环图，则。
证：因为相邻边具有不同颜色，所以与顶点关联的边必须着不同颜色，故。
定理2：设是二部图，则。
3排课问题的算法设计3.1问题描述本文将图的边着色问题转化为sat问题来解决。
引入以下定理：定理1 图的边着色问题可以转化成为sat问题。
证明：令，其中。
则图的每一种着色方案对应于向量的一种赋值方案。
则：（1）每一条边着一种颜色。
等价于：。
（2）相邻的边着不同的颜色。
等价于：对于，对应的边为，，其中表示边和的相邻关系，（1表示相邻，0表示不相邻），则对于，满足。
因此，图一种着色方案是否为正常着色问题的问题等价于合取范式是否为真的问题。
染色问题解决方法
染色问题解决方法1. 引言在计算机科学和图论中，染色问题是一个经典的问题，在很多实际应用中都有重要的应用价值。
染色问题可以简单地描述为给定一个图，如何为图中的每个顶点分配一个颜色，使得任意两个相邻的顶点具有不同的颜色。
在本文档中，我们将探讨染色问题的解决方法以及其在计算机科学中的应用。
2. 染色问题的定义染色问题可以用一个简单的数学模型来描述。
给定一个无向图G(V, E)，其中V 表示顶点的集合，E表示边的集合。
染色问题的目标是为图中的每个顶点分配一个颜色，使得任意两个相邻的顶点具有不同的颜色。
3. 解决方法为了解决染色问题，我们将介绍两种常用的解决方法：贪心算法和回溯算法。
3.1 贪心算法贪心算法是一种通过做出局部最优选择来达到全局最优解的算法。
在染色问题中，贪心算法是一种简单且有效的解决方法。
基本思想是逐个顶点地遍历图中的每个顶点，并为每个顶点选择一个合适的颜色。
贪心算法的步骤如下： 1. 将图中的顶点按照某种顺序进行排序。
2. 从第一个顶点开始，为其分配一个颜色。
3. 遍历剩余的顶点，为每个顶点选择一个颜色，使得与其相邻的顶点颜色不同。
4. 返回最终的染色方案。
贪心算法的优势在于简单快速，但可能无法保证得到最优解。
3.2 回溯算法回溯算法是一种通过逐步构建解决方案，并在发现无法继续时回退并尝试其他可能的方法的算法。
在染色问题中，回溯算法通过递归的方式遍历所有可能的染色方案，并找到满足条件的解决方案。
回溯算法的步骤如下： 1. 将图中的顶点按照某种顺序进行排序。
2. 递归地遍历每种可能的染色方案，从第一个顶点开始。
3. 对于每个顶点，尝试为其分配一个颜色。
4. 若遇到无法满足条件的情况，回溯并尝试其他颜色。
5. 返回满足条件的染色方案。
回溯算法的优势在于可以找到最优解，但当图的规模较大时，可能会消耗大量的计算资源。
4. 应用案例染色问题在实际应用中有着广泛的应用。
以下是某些领域中常见的应用案例：4.1 地图着色在地理学和地图制作中，染色问题可以用于为地图上的国家、州或城市分配不同的颜色，以确保相邻区域具有不同的颜色。
sat 问题 方法
SAT 问题方法
SAT问题是一种组合优化问题，旨在找到满足一组布尔表达式中至少一个的变星赋值。
解决SAT问题的方法有很多种，以下是一些常见的方法:
1.回溯法:回溯法是一种通过穷举所有可能的赋值来找到满足布尔表达式的解的方法。
这种方法简单直观，但当变量规模较大时，效率较低。
2.约束满足问题方法:约束满足问题方法是一种基于约束满足的算法，它通过不断添加约束来缩小解空间，直到找到满足所有布尔表达式的解或确定无解。
这种方法在处理具有大量约束的SAT问题时非常有效。
3.造传算法:造传算法是一种基于生物进化原理的优化算法。
它通过选择、交叉和变异等操作来不断进化解空间，最终找到满足布尔表达式的解。
这种方法在处理大规模的SAT问题时具有一定的优势。
4. DPLL算法: DPLL算法是一种经典的解决SAT问题的算法。
它通过深度优先搜索和动态规划来找到满足布尔表达式的解。
DPLL算法在处理具有较大规模变星的SAT问题时具有较高的效率。
5.基于概率的方法:基于概率的方法是一种通过随机采样来找到满足布尔表达式的解的方法。
这种方法在处理大规模的SAT问题时具有一定的优势，但结果的可靠性较低。
以上是解决SAT问题的一些常见方法，选择哪种方法取决于问题的具体性质和规模。
在实际应用中，通常会根据问题的具体情况选择最适
合的方法来解决SAT问题。
制定：审核：批准：。
数学中的图的着色问题与四色定理
数学中的图的着色问题与四色定理数学中的图论是一门研究图及其性质的学科，其中一个重要的问题就是图的着色问题。
图的着色问题是指如何用有限种颜色给图的顶点或边进行染色，使得相邻的顶点或边不具有相同的颜色。
这个问题在实际应用中有着广泛的应用，比如地图着色、时间表的安排等。
在图的着色问题中，最著名的就是四色定理。
四色定理是指任何平面图都可以用四种颜色进行着色，使得相邻的区域不具有相同的颜色。
这个定理在1852年被英国数学家弗朗西斯·格思·韦尔斯顿和威廉·哈姆顿·伯奇证明，被认为是图论中的一个里程碑。
证明四色定理的过程非常复杂，需要运用大量的数学知识和技巧。
其中一个重要的思想就是通过对图进行适当的分割，将大问题转化为小问题，然后逐步解决。
这种分割的方法被称为“规约法”，即将一个复杂的问题规约为一系列简单的子问题。
通过这种方法，韦尔斯顿和伯奇最终证明了四色定理的正确性。
四色定理的证明引起了广泛的关注和讨论。
人们对于这个问题的兴趣不仅在于它的应用价值，更在于它背后的数学原理和思维方式。
四色定理的证明过程中，涉及到了众多的数学概念和定理，如图的平面性、图的连通性、图的染色等。
这些概念和定理的研究不仅推动了图论的发展，也对其他领域的数学研究产生了重要影响。
除了四色定理，图的着色问题还有其他一些重要的结果。
比如，五色定理指出任何平面图都可以用五种颜色进行着色，六色定理指出任何平面图都可以用六种颜色进行着色。
这些定理的证明过程和四色定理类似，都需要运用复杂的数学技巧和方法。
图的着色问题不仅在理论上有着重要的意义，也在实际应用中发挥着重要的作用。
比如，在地图着色中，我们可以用不同的颜色表示不同的国家或地区，以便更好地区分它们。
在时间表的安排中，我们可以用不同的颜色表示不同的活动或任务，以便更好地组织和管理。
这些应用都离不开图的着色问题的研究和应用。
总之，图的着色问题是数学中一个重要且有趣的问题。
数独(Sudoku)
数独（Sudoku）数独（Sudoku），一种起源于日本、流行于欧美的数字游戏，虽然进入中国内地的时间不久，但已经占据了很多媒体的游戏版面，吸引越来越多的玩家投身数字的迷宫。
不过数独爱好者们可能不知道，这个小游戏的雏形，却是一个让数学家伤透脑筋的问题。
即使在今天，还有众多研究人员为弄清楚数独背后的规律而绞尽脑汁。
即使是天使也会为数学问题苦思冥想。
德国名画家丢勒的这幅木刻画《忧郁症》（Melencolia）描述的就是一个因为数学患上忧郁症的天使。
让画中天使牵挂的就是墙上挂着的数字迷宫，横向、纵向、对角线数字的和都是34，在最下面一行的中间两格，画家自娱地留下了创作年代1514.1 欧拉与拉丁方作为数学史上最传奇、最多产的大师之一，瑞士数学家欧拉（LeonardEuler，1707—1783）在18世纪研究了一种有趣的数字方阵：考虑一个阶数（亦即行数和列数）为n的方阵，在小格里填入n种符号或数字，在每一行/列中，每一个符号出现且仅出现一次。
这种方阵源自中世纪的格盘游戏，其求解过程可归结为“染色问题”———一个数学中最古老的问题之一。
因为最初随手填入方阵内的是一个个拉丁字母，欧拉将这样的方阵命名为拉丁方（Latin Square）。
拉丁方在实验设计、数据检验和幻方构造等领域应用极广。
很容易发现，数独其实正是一种特殊的拉丁方。
惟一不同的是，数独加上了两个额外的条件：一、在每个小九宫格的区域内，每个数字同样出现且只出现一次；二、给出的初始数字必须对称。
2 终盘的可能性通常将一个完成了的数独题目称为终盘。
在数独游戏风行后，人们很快便希望知道这个游戏究竟存在多少个终盘形式。
对此，德国数学家BertramFelgenhauer在2019年给出了答案：数独的最大可能终盘数为6，670，903，752，021，072，936，960种。
Felgenhauer的算式为9！×722×27×27，704，267，971，最后的数字是一个大质数。
sat问题求解算法
sat问题求解算法
SAT（Boolean Satisfiability Problem，布尔可满足性问题）是
一个著名的NP完全问题，其问题描述为判断一个布尔公式是
否存在可满足的赋值。
求解SAT问题的主要方法有穷举搜索、启发式搜索、DPLL算法等。
下面简要介绍DPLL算法，它是求解SAT问题的一种常用的
搜索算法。
DPLL算法的基本流程如下：
1. 利用约简规则，去除可以确定的子句。
例如，如果一个子句中只有一个文字，则可以确定该文字的取值。
2. 如果存在一个子句为空，那么该分支不可满足，回溯到上一步进行其他分支的搜索。
3. 如果不存在子句为空的情况，选择一个未被确定取值的文字，尝试将其赋值为真，然后应用约简规则。
4. 如果通过赋值后得到的新公式中出现空子句，那么该赋值不满足，回溯到上一步进行其他赋值的尝试。
5. 如果通过赋值后得到的新公式中不存在空子句，那么继续递归调用DPLL算法进行深层搜索。
DPLL算法通过不断地应用约简规则和进行赋值操作来搜索可
满足的赋值。
在算法的执行过程中，可以使用一些优化技巧，如单位子句规则、纯文字规则、冲突-driven 子句学习等，以
加快求解过程。
总结来说，SAT问题的求解算法可以通过应用约简规则和赋
值操作进行搜索，通过递归深度优先搜索遍历可能的赋值情况，最终判断原始布尔公式是否可满足。
【2.7例子】着色问题
5.5 着色问题:
用m种颜色为地图着色，
使得地图上的每一个区域着一种颜色，且相邻区域颜色不同。
拓展：19世纪50年代，英国学者提出了任何地图都可以4种颜色来着色的4色猜想问题。
过了100多年，这个问题才由美国学者在计算机上予以证明，这就是著名的四色定理。
例: 4个顶点3着色问题：
解：记顶点为{1，2，3，4}，颜色为{A，B，C}：
所有可能的3着色：
O nk
K-COLORING(i,k):()n
O kn
GENERATE-COLOR(i,k):()
例：利用回溯法给下图（a）着色。
1)把5元组初始化为（0,0,0,0,0），从根结点开始向下搜索，以颜色1为
顶点A着色，生成根结点2时，产生(1,0,0,0,0)，是个有效着色。
2)以颜色1为顶点B着色生成结点3时，产生(1,1,0,0,0)，是个无效着色，
结点3为死结点。
3)以颜色2为顶点B着色生成结点4，产生(1,2,0,0,0)，是个有效着色。
4)分别以颜色1和2为顶点C着色生成结点5和6，产生(1,2,1,0,0)和
(1,2,2,0,0)，都是无效着色，因此结点5和6都是死结点。
5)以颜色3为顶点C着色，产生(1,2,3,0,0)，是个有效着色。
重复上述步
骤，最后得到有效着色(1,2,3,3,1)。
sat原理
sat原理
SAT原理简介
SAT（Satisfiability）是一种重要的数学和计算机科学问题，涉及到布尔逻辑的可满足性问题。
SAT问题可以简单描述为：
给定一个布尔表达式，问是否存在一组变量的赋值，使得该布尔表达式成立。
SAT问题的解决方法被广泛应用于许多领域，例如电路设计、自动推理、人工智能等。
在现代计算机科学中，SAT问题也
是一个NP完全问题，即没有已知的高效算法可以在多项式时
间内解决该问题。
因此，对于大规模的SAT问题，通常只能
通过枚举法或启发式算法进行求解。
SAT问题的求解主要依赖于“可满足性”这个概念。
如果一个布尔表达式存在一组变量的赋值使得其为真，那么就称这个布尔表达式是可满足的。
反之，如果不存在这样的赋值，则称这个布尔表达式是不可满足的。
为了解决SAT问题，研究人员提出了许多高效的算法和数据
结构。
其中最著名的算法之一是DPLL算法（Davis–Putnam–Logemann–Loveland algorithm），该算法通过递归地分裂变量、化简公式和回溯来寻找可满足解。
此外，SAT问题还有一些扩展形式，例如部分可满足性问题（Partial Satisfiability）和最大可满足性问题（Maximal Satisfiability）。
这些问题在实际应用中具有重要意义，不仅
可以用于电路设计和自动推理，还可以应用于限制满足问题、人工智能规划和图形可靠性分析等领域。
总的来说，SAT原理是一种求解布尔逻辑可满足性问题的方法，其应用广泛且具有理论和实践意义。
通过解决SAT问题，我们可以在许多实际应用中获得有效的解决方案。
图论中的图的着色与染色问题
图论中的图的着色与染色问题图是图论中的基本概念之一，是由顶点和边构成的数学结构。
在图的理论中，图的着色与染色问题是一个非常重要且有趣的研究领域。
本文将介绍图的着色与染色问题的基本概念、定理和算法，希望能够为读者深入了解图论领域提供一些帮助。
一、基本概念在图的理论中，图的着色与染色问题是指将图的顶点或边用不同颜色标记的过程。
着色是指给图的顶点或边分配颜色，使得相邻的顶点或边颜色不相同；而染色是指给图的顶点或边分配颜色，使得相邻的顶点或边颜色可以相同。
定理1：图的顶点着色问题对于一个简单图，顶点着色问题是指如何用最少的颜色将图的所有顶点着色，使得相邻的顶点颜色不同。
根据四色定理，任何一个平面图都可以只用四种颜色进行顶点着色。
定理2：图的边着色问题对于一个简单图，边着色问题是指如何用最少的颜色将图的所有边着色，使得任意两条依附于同一顶点的边颜色不同。
根据维茨定理，任何简单无向图都可以用最大度数加一种颜色进行边着色。
二、算法与实践在解决图的着色与染色问题时，常用的算法包括贪心算法、回溯算法、图染色算法等。
其中，Welsh-Powell算法是用来解决无向图的顶点着色问题的一种有效算法，其基本思想是优先考虑度数最大的顶点进行着色。
而在解决边着色问题时，常用的算法包括Vizing定理、边染色算法等。
三、应用与拓展图的着色与染色问题在实际生活中有着广泛的应用，如地图着色、时间表着色、调度问题等。
同时，在拓展领域中，图的着色与染色问题也与其他数学领域有着密切的联系，如组合数学、离散数学等，在各个领域都有着深入的研究与应用。
总结：图的着色与染色问题是图论领域中的一个重要研究方向，具有丰富的理论内涵和实际应用。
通过本文对图的着色与染色问题的介绍，希望读者能够对该领域有一个初步的了解，进一步深入研究与探讨。
愿本文能够为读者在图论领域的学习与研究提供一些帮助与启发。
gries边着色算法
gries边着色算法Gries边着色算法Gries边着色算法是一种用于给图的边进行着色的算法。
该算法是由美国计算机科学家Leslie Lamport和Fred Gries于1974年提出的，用于解决图论中的染色问题。
该算法的核心思想是通过对图的边进行分组和着色，使得相邻的边具有不同的颜色。
算法步骤如下：1. 初始化：将图的所有边都标记为未着色状态。
2. 选择起始边：从图中选择一条未着色的边作为起始边。
3. 遍历相邻边：对于起始边的每个相邻边，检查其是否已经着色。
- 如果相邻边未着色，则将其着色为与起始边不同的颜色。
- 如果相邻边已经着色，并且颜色与起始边相同，则将其着色为与起始边不同的颜色。
4. 重复步骤3，直到所有的边都被着色。
Gries边着色算法的关键在于如何选择起始边和着色相邻边。
一种常用的策略是从图的某个顶点开始，选择与该顶点相连的一条边作为起始边，并对其相邻的边进行着色。
然后继续从未着色的边中选择一条作为新的起始边，重复上述过程，直到所有的边都被着色。
Gries边着色算法的时间复杂度为O(E)，其中E为图的边数。
该算法的优点是简单易实现，并且可以保证相邻的边具有不同的颜色。
然而，该算法并不保证使用最少的颜色数来着色图的边，因此在某些情况下可能会产生较多的颜色使用。
除了用于解决染色问题外，Gries边着色算法还可以应用于其他领域。
例如，在计算机网络中，该算法可以用于为不同的网络连接分配不同的通道，以避免冲突和干扰。
在图像处理中，该算法可以用于为不同的图像区域分配不同的颜色，以实现图像的分割和标记。
Gries边着色算法是一种用于给图的边进行着色的算法。
它通过对图的边进行分组和着色，保证相邻的边具有不同的颜色。
该算法简单易实现，可以解决染色问题，并可以应用于其他领域。
布尔可满足性问题的复杂性及近似算法
布尔可满足性问题的复杂性及近似算法布尔可满足性问题，也被称为SAT问题，是计算机科学中一个经典的问题。
它涉及到一个布尔表达式是否存在一组变量的赋值使得该表达式为真。
SAT问题在理论计算机科学中被证明是一个NP完全问题，这意味着在当前的计算模型下，它是一种非常困难的问题。
本文将探讨SAT问题的复杂性，并介绍一些近似算法来解决这个问题。
一、SAT问题的复杂性分析SAT问题的复杂性理论上属于NP完全问题，这意味着如果存在一个高效的算法来解决一个NP完全问题，那么可以把这个算法用于解决其他所有的NP完全问题。
NP完全问题是指那些在多项式时间内可以验证一个解的问题。
虽然目前还没有找到一个多项式时间的算法来解决SAT问题，但是已经有很多研究人员提出了许多近似算法来解决这个问题。
接下来将介绍一些常见的近似算法。
二、近似算法1. 穷举法穷举法是一种直观且简单的算法，但是它的时间复杂度非常高。
穷举法的基本思路是枚举所有可能的变量赋值，然后验证是否存在一组赋值使得表达式为真。
虽然这个算法能够保证得到结果，但由于变量的数量呈指数级增长，计算时间会很长。
2. 改进的穷举法针对穷举法时间复杂度高的问题，研究者们提出了一些改进的穷举法。
例如，可以根据表达式的结构和特点来选择合适的变量赋值顺序，以减小搜索空间。
此外，还可以利用一些启发式算法来加速搜索过程。
这些方法可以在一定程度上提高算法的效率，但仍然无法在多项式时间内解决大规模的SAT问题。
3. 近似算法近似算法是指通过牺牲一定的精度来换取计算速度的算法。
它的基本思想是利用一些启发式规则和剪枝策略，在有限的时间内找到一个“接近最优解”的解。
近似算法的优势在于时间复杂度相对较低，可以应用于大规模的SAT问题。
近似算法的具体实现有很多种，最常见的包括贪心算法、遗传算法和模拟退火算法等。
三、近似算法的应用与局限性近似算法在实际应用中具有广泛的意义。
它不仅可以解决SAT问题，还可以应用于其他优化问题，如图着色、旅行商问题等。
SAT算法的应用---着色问题
---着色问题
POS Prime generation SOP minimize Compatible graph coloring Ancilla minimization Register allocation Bus minimization
Proper graph coloring
2
(其中Nv为图G的顶点数，Ne为图G的边数，n为着色颜色数.)
实例
• 例1：如图一所示，判别图G1是否可4着色， 并给出它的一个着色方案
A D
E C
B 图一 G1
实例
• CNF子句
(A1 A 2 A 3 A 4 ) (B1 B 2 B3 B 4 ) (C1 C 2 C 3 C 4 ) (D1 D 2 D 3 D 4 ) (E1 E 2 E 3 E 4 ) (A1 A 2 ) (A1 A 3 ) (A1 A 4 ) (A 2 A 3 ) (A 2 A 4 ) (A 3 A 4 ) ( B1 B2 ) ( B1 B3 ) ( B1 B4 ) ( B2 B3 ) ( B2 B4 ) ( B3 B4 ) ( C1 C2 ) ( C1 C3 ) ( C1 C4 )
AB A B
A B A B
证：用真值表法证明 AB A B
A B A B A B A B A B
0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0
着色问题
• 求图G是否可n着色
• 分析
图G可n着色需满足条件 • 1、一个顶点必须用一种颜色着色； • 2、一个顶点最多用一种颜色； • 3、有边相连的两个顶点必须用不同颜色着色.
转化
• 2.一个顶点最多用一种颜色
3SAT规约到子集和问题详解
February 27, 2015 CS21 Lecture 22 1 CS21Decidability and TractabilityLecture 22 February 27, 2015Outline•the class NP–NP-complete problems: subset sum–NP-complete problems: NAE-3-SAT, max-cut•the class co-NP•the class NP Å coNPFebruary 27, 2015 CS21 Lecture 22 2February 27, 2015CS21 Lecture 223Subset Sum•A language (decision problem):SUBSET-SUM = {(S = {a 1, a 2, a 3, …, a k }, B) :there is a subset of S that sums to B}•example:–S = {1, 7, 28, 3, 2, 5, 9, 32, 41, 11, 8} – B = 30–30 = 7 + 3 + 9 + 11. yes.February 27, 2015CS21 Lecture 224Subset SumSUBSET-SUM = {(S = {a 1, a 2, a 3, …, a k }, B) :there is a subset of S that sums to B}•Is this problem NP-complete? in P?•Problem set: in TIME(B ¢ poly(k))February 27, 2015 CS21 Lecture 225SUBSET-SUM is NP-completeTheorem : the following language is NP-complete:SUBSET-SUM = {(S = {a 1, a 2, a 3, …, a k }, B) : there is a subset of S that sums to B} •Proof:–Part 1: SUBSET-SUM NP. Proof? –Part 2: SUBSET-SUM is NP-hard.•reduce from?our reduction hadbetter produce super-polynomially large B(unless we want to prove P=NP) February 27, 2015CS21 Lecture 226SUBSET-SUM is NP-complete•We are reducing from the language :3SAT = { φ : φ is a 3-CNF formula that has a satisfying assignment }to the language:SUBSET-SUM = {(S = {a 1, a 2, a 3, …, a k }, B) :there is a subset of S that sums to B}February 27, 2015CS21 Lecture 227SUBSET-SUM is NP-complete•φ = (x 1 x 2x 3) (x 1x 4x 3) … (…)•Need integers to play the role of truth assignments•For each variable x i include two integers in our set S:–x i TRUE and x i FALSE•set B so that exactly one must be in sumFebruary 27, 2015CS21 Lecture 228SUBSET-SUM is NP-completex 1TRUE = 1 0 0 0 … 0 x 1FALSE = 1 0 0 0 … 0 x 2TRUE = 0 1 0 0 … 0 x 2FALSE = 0 1 0 0 … 0 …x m TRUE = 0 0 0 0 ... 1 x m FALSE = 0 0 0 0 ... 1 B = 1 1 1 1 (1)• every choice of onefrom each(x i TRUE ,x i FALSE ) pair sums to B• every subset that sums to B must choose one fromeach (x i TRUE ,x i FALSE ) pairFebruary 27, 2015CS21 Lecture 229SUBSET-SUM is NP-complete•φ = (x 1 x 2x 3) (x 1x 4x 3) … (…)•Need to force subset to “choose” at least one true literal from each clause •Idea:–add more digits–one digit for each clause–set B to force each clause to be satisfied.February 27, 2015CS21 Lecture 2210SUBSET-SUM is NP-complete–φ = (x 1 x 2x 3) (x 1x 4x 3) … (…)x 1TRUE = 1 0 0 0 … 0 1 x 1FALSE = 1 0 0 0 … 0 0 x 2TRUE = 0 1 0 0 … 0 1 x 2FALSE = 0 1 0 0 … 0 0 x 3TRUE = 0 0 1 0 … 0 0x 3FALSE = 0 0 1 0 … 0 1… :B= 1 1 1 1 … 1 ? ? ? ?… … clause 1 clause 2 clause 3clause k: February 27, 2015CS21 Lecture 2211SUBSET-SUM is NP-complete–B = 1 1 1 1 … 1 ? ? ? ?–if clause i is satisfied sum might be 1, 2, or 3 in corresponding column. –want ? to “mean” 1 –solution: set ? = 3–add two “filler” elements for each clause i: –FILL1i = 0 0 0 0 ... 0 0 ... 0 1 0 ... 0 –FILL2i = 0 0 0 0 ... 0 0 ... 0 1 0 ... 0 column for clause iFebruary 27, 2015CS21 Lecture 2212SUBSET-SUM is NP-complete•Reduction: m variables, k clauses–for each variable x i :•x i TRUE has ones in positions k + i and {j : clause j includes literal x i }•x i FALSE has ones in positions k + i and {j : clause j includes literal x i }–for each clause i:•FILL1i and FILL2i have one in position i–bound B has 3 in positions 1…k and 1 in positions k+1…k+mFebruary 27, 2015CS21 Lecture 2213SUBSET-SUM is NP-complete•Reduction computable in poly-time? •YES maps to YES?–choose one from each (x i TRUE ,x i FALSE ) paircorresponding to a satisfying assignment –choose 0, 1, or 2 of filler elements for each clause i depending on whether it has 3, 2, or 1 true literals–first m digits add to 1; last k digits add to 3February 27, 2015CS21 Lecture 2214SUBSET-SUM is NP-complete•NO maps to NO?–at most 5 ones in each column, so no carries to worry about–first m digits of B force subset to choose exactly one from each (x i TRUE ,x i FALSE ) pair –last k digits of B require at least one true literal per clause, since can only sum to 2 using filler elements–resulting assignment must satisfy φFebruary 27, 2015CS21 Lecture 2215Not-All-Equal 3SAT(x 1 x 2x 3) (x 1x 4x 3) … (…)Theorem : the following language is NP-complete:NAE3SAT = {φ : φ is a 3-CNF formula for which there exists a truth assignment in which every clause has at least 1 true literal and at least 1 false literal }•Proof:–Part 1: NAE3SAT NP. Proof?–Part 2: NAE3SAT is NP-hard. Reduce from?February 27, 2015 CS21 Lecture 22 16NAE3SAT is NP-complete•We are reducing from the language :CIRCUIT-SAT = {C : C is a Boolean circuit for which there exists a satisfying truth assignment}to the language:NAE3SAT = {φ : φ is a 3-CNF formula for which there exists a truth assignment in which every clause has at least 1 true literal and at least 1 false literal}February 27, 2015CS21 Lecture 2217NAE3SAT is NP-complete•Recall reduction to 3SAT–variables x 1, x 2, …,x n , gates g 1, g 2, …, g m –produce clauses: g iz• (g i z)• (z g i )g iz 1 • (z 1 g i ) • (z 2 g i )• (g i z 1 z 2) z 2g iz 1 • (g i z 1) • (g i z 2)• (z 1 z 2 g i )z 2output gate g m :• (g m )not all true in a satisfying not all true in a satisfyingassignmentFebruary 27, 2015CS21 Lecture 2218NAE3SAT is NP-complete•modified reduction to NAE3SAT–variables x 1, x 2, …,x n , gates g 1, g 2, …, g m–produce clauses:g iz• (g i z w )• (z g i w )g iz 1 • (z 1 g i w ) • (z 2 g i w ) • (g i z 1 z 2) z 2g iz 1 • (g i z 1 w ) • (g i z 2 w ) • (z 1 z 2 g i )z 2output gate g m :• (g m w )February 27, 2015CS21 Lecture 2219NAE3SAT is NP-complete•Does the reduction run in polynomial time?•YES maps to YES–already know how to get a satisfying assignment to the BLUE variables –set w = FALSE• (z 1 g i w ) • (z 2 g i w ) • (g i z 1 z 2) • (g i z 1 w ) • (g i z 2 w ) • (z 1 z 2 g i ) • (g i z w ) • (z g i w ) • (g m w )February 27, 2015CS21 Lecture 2220NAE3SAT is NP-complete•NO maps to NO–given NAE assignment A –complement A’ is a NAE assignment–A or A’ has w = FALSE –must have TRUE BLUE variable in every clause –we know this implies C satisfiable• (z 1 g i w ) • (z 2 g i w ) • (g i z 1 z 2) • (g i z 1 w ) • (g i z 2 w ) • (z 1 z 2 g i ) • (g i z w )• (z g i w ) • (g m w )February 27, 2015 CS21 Lecture 22 21 MAX CUT•Given graph G = (V, E)–a cut is a subset S V–an edge (x, y) crosses the cut if x S and y V – S or x V – S and y S –search problem:find cut maximizing number of edges crossing the cutFebruary 27, 2015 CS21 Lecture 22 22MAX CUT•Given graph G = (V, E)–a cut is a subset S V–an edge (x, y) crosses the cut if x S and y V – S or x V – S and y S –search problem:find cut maximizing number of edges crossing the cutFebruary 27, 2015CS21 Lecture 2223MAX CUTTheorem : the following language is NP-complete:MAX CUT = {(G = (V, E), k) : there is a cut S V with at least k edges crossing it}•Proof:–Part 1: MAX CUT NP. Proof? –Part 2: MAX CUT is NP-hard.•reduce from?February 27, 2015CS21 Lecture 2224MAX CUT is NP-complete•We are reducing from the language :NAE3SAT = {φ : φ is a 3-CNF formula for which there exists a truth assignment in which every clause has at least 1 true literal and at least 1 false literal}to the language:MAX CUT = {(G = (V, E), k) : there is a cut S V with at least k edges crossing it}February 27, 2015 CS21 Lecture 2225MAX CUT is NP-complete•The reduction:–given instance of NAE3SAT (n nodes, m clauses):(x 1 x 2x 3) (x 1x 4 x 5) … (x 2x 3 x 3 )–produce graph G = (V, E) with node for each literalx 2x 1x 4 x 1x 5x 4x 3x 2x 5x 3• triangle for each3-clause • parallel edges for each 2-clauseFebruary 27, 2015CS21 Lecture 2226MAX CUT is NP-complete–if cut selects TRUE literals, each clause contributes 2 if NAE, and < 2 otherwise–need to penalize cuts that correspond to inconsistent truth assignments–add n i parallel edges from x i to x i (n i = # occurrences)(repeat variable in 2-clause to make 3-clause for this calculation)x 2x 1x 4 x 1x 5 x 4x 3x 2x 5x 3• triangle for each3-clause • parallel edges for each 2-clauseFebruary 27, 2015CS21 Lecture 2227MAX CUT is NP-complete•YES maps to YES–take cut to be TRUE literals in a NAE truth assignment–contribution from clause gadgets : 2m–contribution from (x i , x i ) parallel edges : 3mx 2x 1x 4 x 1x 5 x 4x 3x 2x 5x 3• triangle for each 3-clause • parallel edges for each 2-clause• n i parallel edges from x i to x i • set k = 5mFebruary 27, 2015CS21 Lecture 2228MAX CUT is NP-complete •NO maps to NO–Claim : if cut has x i , x i on same side , then can move one to opposite side without decreasing # edges crossing cut–contribution from (x i , x i ) parallel edges : 3m –contribution from clause gadgets must be 2m –conclude: there is a NAE assignmentx 2x 1x 4x 1x 5x 4x 3x 2x 5x3• triangle for each 3-clause• parallel edges for each 2-clause• n i parallel edges from x i to x i • set k = 5mFebruary 27, 2015CS21 Lecture 2229MAX CUT is NP-completeClaim : if cut has x i , x i on same side , then can move one to opposite side without decreasing # edges crossing cut •Proof:x i...x ia edgesb edgesn iedgesx i...x ix i...x ia+b ≤ 2n ia + n ib + n ia + n i ≥ a +b or b + n i ≥ a + bFebruary 27, 2015CS21 Lecture 2230coNP•Is NP closed under complement?q acceptq rejectx Lx L q acceptq rejectx Lx LCan we transform this machine:into this machine?February 27, 2015 CS21 Lecture 22 31 coNP•language L is in coNP iff its complement (co-L) is in NP•it is believed that NP ≠ coNP •note: P = NP implies NP = coNP–proving NP ≠ coNP would prove P ≠ NP –another major open problem…February 27, 2015 CS21 Lecture 22 32coNP•canonical coNP-complete language:UNSAT = {φ : φ is an unsatisfiable 3-CNFformula}–proof?。
浅谈3SAT问题.ppt
• 将其余变量的值固定,对这几个变量使用局部随机搜索
• 假设仍无法到达最优解,那么认为当前解为局部极小值,更 新其余解
精选
11
伪代码
maxTimes=200, vmax=2; size=100,c1=c2=2.0,w=0.8,i=1,currentTimes=0; initialize population; while i<=size do
• Riccardo Poli, James Kennedy, Tim Blackwell, • “Particle swarm optimization〞
精选
19
Thanks for Listening！
精选
20
• 将X中所有变量的一个赋值方案记为 • a={a1,a2,…,an}
•令
• 那么原问题转化为判断上述函数最小值 • 能否到达0
精选
7
非完备性算法
• 爬山法
• 模拟退火
• 遗传算法
……
精选
8
粒子群优化算法
• J. Kennedy,R. C. Eberhart(1995)
• 第i个粒子的状态用三元组(ai,vi,pi)表示 • ai:当前解 • vi:粒子运动速度 • pi:该粒子到达过的最优解
精选
14
一些拓展
转化为独立集问题
举个例子:
精选
15
一些拓展
• 一个8/7-近似算法
• 假设在一个3-SAT问题中每个语句恰好包含3个
•
子句,如果我们只要求满足大局部语句的话,存在
•
一个确定性算法能够满足7/8的语句
• 首先,考虑在一随机指派下满足语句个数的期望
•
基于SAT问题的独立集算法
基于SAT问题的独立集算法李勤丰【摘要】独立集问题是组合优化中典型的NP问题,近年来解决SAT问题的算法层出不穷.利用粘贴模型将独立集问题转化为SAT问题,进而解决原问题,并用实例说明了该方法的可行性.【期刊名称】《金陵科技学院学报》【年(卷),期】2010(026)002【总页数】4页(P6-9)【关键词】SAT;DNA计算;粘贴模型;独立集【作者】李勤丰【作者单位】金陵科技学院基础部,江苏,南京,211169【正文语种】中文【中图分类】O157.6;TP301在现实生活中存在一类问题,经历了漫长的时间以后,无人能够找出时间复杂度为O(nk)的可以快速解决这类问题的算法,人们把这类问题称为NP(Non—deterministic Polynomial,非确定性多项式时间)问题。
1 问题概述最大独立集问题(Maximum Independent Set Problem)是图论中的经典组合优化问题,已被证明是NP难的[1],具有很高的计算复杂性。
它在编码理论、故障诊断、计算机视觉、电台信息传送、生物学[2-5]等方面有着广泛应用。
设有图G= ＜V,E＞的顶点子集S,若S中的任意两个顶点在G中不相邻,则称S是独立集。
若S是独立集,则当在S中添加任意顶点vi∉S时S不再是独立集,则称S是极大独立集。
SAT(Satisfiability)问题即可满足性问题,是一个著名的 NP完全问题[6],在密码学、逻辑电路等方面都有着广泛的应用。
通常 SAT问题可以表述为:给定一个布尔表达式F=C1∧C2∧…∧Cm,其中Ci=v1∨v2∨ …∨ vn,i∈ {1,2,… ,m},vi为布尔变量,取值为 0或1。
符号∧ ,∨ 分别为逻辑与和逻辑或。
SAT问题就是求满足F=1的所有布尔变量vi的真值分配表。
近几年很多学者将粘贴模型(sticker model)[7-9]应用于 SAT问题并给出了很多相应的解决 SAT问题的算法。
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实例
• 求解结果
所得ＣＮＦ句子：可满足.
可行赋值：
A1=1,A2=0,A3=0,A4=0, B1=0,B2=0,B3=0,B4=1, C1=0,C2=0,C3=1,C4=0, D1=0,D2=0,D3=0,D4=1, E1=0,E2=1,E3=0,E4=0
实例
• G1的一种着色方案（如图二所示）
SAT算法的应用
---着色问题
POS Prime generation SOP minimize Compatible graph coloring Ancilla minimization Register allocation Bus minimization
Proper graph coloring
转化
• 2.一个顶点最多用一种颜色
1)、当A着1色时： (A1 A2 )(A1 A3 ) (A1 An ) 2)、当A着2色时： (A2 A1 )(A2 A3 )(A2 An ) ………………………………………………….. n)、当A着n色时： (An A1 )(An A2 )(An An-1 )
AB A B
A B A B
证：用真值表法证明 AB A B
A B A B A B A B A B
0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0
着色问题
• 求图G是否可n着色
• 分析
图G可n着色需满足条件 • 1、一个顶点必须用一种颜色着色； • 2、一个顶点最多用一种颜色； • 3、有边相连的两个顶点必须用不同颜色着色.
子句 (A i A j )和 (A j Ai ) 是等价，可看成一个， 故综合上述1)到n)种情况有：
1i j n
(A
i
Aj )
转化
• 3.有边相连的两个顶点必须用不同颜色着色
• 设A，B为G中的任意两个相连顶点，则有（由于A，B地位等价，故 仅考虑A） • 1)、当A着1色时： (A1 B1 ) • 2)、当A着2色时： (A B ) 2 2 • ……………………………… • n)、当A着n色时： (A n Bn )
布尔逻辑函数
• 逻辑函数的定义
(1) 逻辑变量和逻辑函数的取值只有0和1。 (2) 函数和变量之间的关系由“ 与、或、非 ”三 种基本运算决定。 设某一逻辑电路的输入为A1A2„„An，输出函数 为F，当A1A2„„An的值确定之后，F的值就唯一 的确定了。称F为A1A2„„An的逻辑函数。记为： F＝f(A1A2„„An)。
( C3 C 4 ) ( D1 D 2 ) ( D1 D 3 ) ( D1 D 4 ) (D 2 (D 2 D3 ) D4 )
(D3 D 4 ) (D3 D 4 ) ( E1 E 2 ) ( E1 E 3 ) ( E1 E 4 ) (E 2 E 3 ) (E 2 E 4 ) (E 3 E 4 ) (A 1 D1 ) (A 2 (A 4 D2 ) D4 ) (A 3 D 3 )
Generalized SAT FSM minimizer Binate covering SAT
TANT minimizer AND/OR Tree ESOP minimizer FPRM minimizer GRM minimizer KRM minimizer Even/odd covering
The reductions of basic CAD and Quantum CAD problems. It should be obvious to the reader familiar with Garey and Johnson seminal book that there are hundreds of practical problems efficiently reducible to same problems from this graph.
A B B A
A B B A
四、结合律 A(BC)=(AB)C A+(B+C)=(A+B)+C 五、分配律
A(B+C)=AB+AC
A+BC=(A+B)· (A+C) 加法的分配律 证:右式=AA+AC+AB+BC=A+AC+AB+BC =A(1+C+B)+BC=A+BC=左式
六、摩根律
2
(其中Nv为图GΒιβλιοθήκη 顶点数，Ne为图G的边数，n为着色颜色数.)
实例
• 例1：如图一所示，判别图G1是否可4着色， 并给出它的一个着色方案
A D
E C
B 图一 G1
实例
• CNF子句
(A1 A 2 A 3 A 4 ) (B1 B 2 B3 B 4 ) (C1 C 2 C 3 C 4 ) (D1 D 2 D 3 D 4 ) (E1 E 2 E 3 E 4 ) (A1 A 2 ) (A1 A 3 ) (A1 A 4 ) (A 2 A 3 ) (A 2 A 4 ) (A 3 A 4 ) ( B1 B2 ) ( B1 B3 ) ( B1 B4 ) ( B2 B3 ) ( B2 B4 ) ( B3 B4 ) ( C1 C2 ) ( C1 C3 ) ( C1 C4 )
转化
• 把上述条件转化为CNF格式（或与式）的子句
CNF格式的含义： 例如： ( A1 A2 A4 )
( A2
A3 )
表示： ( A 1 A2 A4 )( A2 A 3)
转化
• 1.一个顶点必须用一种颜色着色
CNF子句：
(A1 A2 An )
(其中，A为G中任意的一个顶点，Ai表示顶点A用第i种颜色着色.)
逻辑代数的基本定理
一、公理
00 0 0 1 0 1 0 0
0 1
11 1
1 0 1 0 1 1
1 0
二、公式(可由公理推出)
0 A 0
1 A 1
0 A A
1 A A A A A
A A 0
三、交换律
A A A
A A 1
Max. clique
Max. independent set
Constraint satisfaction problems
Unate covering
Boolean complementation
Tens of hundreds of important problems can be converted to SAT
A 1 D 4 E 2
B 4
C 3 图二 G1着色方案
实例
• 例2：如图三所示，判别图G2是否可4着色， 并给出它的一个着色方案．
实例
• G２的一种着色方案
( C2 ( C2
C3 ) C4 )
(A1 B1 ) (A 2 B2 ) ( A 3 B3 ) (A 4 B4 ) ( B1 C1 ) ( B2 C 2 ) ( B3 C3 ) ( B4 C 4 ) ( B1 E1 ) ( B2 E 2 ) ( B3 E 3 ) ( B4 E 4 ) ( C1 E1 ) ( C2 E 2 ) ( C3 E 3 ) ( C4 E 4 ) ( D1 E1 ) (D 2 E 2 ) (D3 E 3 ) (D 4 E 4 )
• 综合上述1)到n)种情况有：
1i n
(A
i
Bi )
求解
• 将图G中所有顶点（以及它们之间的边连接关系） 按上述方式转化为CNF格式的句子，图G是否可n 着色问题就转化为一个SAT问题.再用SAT软件求 解即可.
• 从上面的转化方法中， 转化后需要 n * N v 个变 量，共生成 ( n(n - 1) 1) * N v n * N e 个CNF子句.