七年级数学下册 1.4 整式的乘法解题思维探究素材 (新版)北师大版

整式的乘法解题思维探究
▲基础思维探究
题型一：利用运算法则比较数的大小
典例1 先化简，再求值：)(352y xy y x xy ---，其中62
-=xy
【研析】先根据单项式与多项式相乘的法则计算后再进行变式，然后再整体代入求值. 解：)(352y xy y x xy ---==++-=24263xy y x y x -22232)()(xy xy xy ++ 当62-=xy 时，原式=-246)6()6()6(23=-+-+-
【梳理·总结】单项式乘以多项式、多项式乘以多项式最终都是要转化成单项式乘以单项式，而单项式乘以单项式实质就是幂的运算，因此幂的运算性质是基础，学习时应注重幂的运算法则，弄清各种运算的区别与联系，多练习，及时检验化简计算的正误. 题型二：用代数式表示图形的面积
典例2 一个长方体的宽是xcm ，长为（3x-2）cm ，高为（x-2）cm ，求此长方体的表面积.
【研析】长方体的表面积是6个长方形的面积的和，根据已知条件就可以求出这个长方体的表面积.
解：此长方体的表面积为:
)2(2)2)(23(2)23(2-+--+-x x x x x x =841264622+--+-x x x x x +2x x 42-
=148242
+-x x (cm 2) 【迁移应用】本例是熟悉长方体的表面积公式后，用代数式表示其面积.也可根据图形的关系，用代数式表示它们的面积.
如图，用代数式表示图形的面积，方法较多，下面给出两种方法供参考：
方法1：转化为两个矩形
面积为：（a-b ）b+ab
方法2：补形
面积为：a 2-(a-b)2.
你还有别的方法吗？请自行探究，并与同伴交流.
题型三：化简求值
典例3 先化简，再求值：
2
))(()(x y x y x y x y --+++，其中x=-2,y=0.5
【研析】先按照整式的乘法法则计算、合并同类项后，将x 、y 的值代入计算出结果. 解：2))(()(x y x y x y x y --+++=2222x y xy xy x y xy --+-++=xy 当x=-2,y=0.5时, 2))(()(x y x y x y x y --+++=xy =-2×0.5=-1
【技巧点拨】“化简求值”这种类型的题要求非常明确，应先根据运算法则，去括号、合并同类项以后，才将字母的值代入计算，直接代入计算的计算量太大.
▲综合思维探究
题型一：学科内综合题
典例4 解方程 )1)(5(6)3)(2(+-=++-x x x x
【研析】 去括号， 得 546622--=+-+x x x x
移项、合并，得 55-=x ，
系数化为1， 得 1-=x .
【方法点拔】 解答此类方程时要将多项式乘以多项式展开，将方程两边化简、整理，所得的方程如可转化为已经学过的一元一次方程，则直接求解，如不能则要用一元二次方程的解法来解.
典例5 解不等式)2)(1()6)(6(-+≥+-x x x x ，并把解集在数轴上表示出来.
【研析】 去括号，得 23622--≥-x x x
移项、合并，得 34≥x
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
【迁移·应用】本题是多项式的乘法与解不等式的联系，解题的一般思路是根据整式的乘法将不等式两边化简、整理，转化成一元一次不等式的一般形式.请同学们自行完成下面这道题的解答：
求不等式
)1()1)(1(22->++-x x x x x 的最小正整数解.
题型二：学科间渗透题
典例6 经过天文学家的测算，太阳系以外离地球最近的一颗恒星-----天门二发出的光到达地球的时间为1.36810⨯s ，光的速度是3510⨯km/s,求天门二到地球的距离.
【研析】（3510⨯）×（1.36810⨯）=（3×1.36）×（510×810）=4.081310⨯（km ） 答：天门二到地球的距离是4.081310⨯km.
【品思感悟】 整式的乘法在科技中有着广泛的应用.一般来说,计算得到的结果要用科学记数法表示. 本例中可根据“路程=速度×时间”，时间单位又相同，所以可以代入“路程=速度×时间”求解.
题型三： 阅读理解题
典例7 观察下列各式：,1)1)(1(2-=+-x x x
1)1)(1(32-=++-x x x x ，
,1)1)(1(423-=+++-x x x x x
……
根据前面各式的规律可得：
____________)1)(1(21=+++++---x x x x x n n n （其中n 为正整数）.
【研析】本题是属于阅读理解，探索研究性题目，认真分析特殊式子的特点，从中找出规律.同学们相互研讨交流一下.答案为1)1)(1(121-=+++++-+--n n n n x x x x x x .
【梳理总结】 一般来说，解答阅读理解这类题时，先要认真仔细阅读题目中的语言文字或式子的信息，找出其内在联系或式子的特点，写出答案或一般规律.
题型四：易错辨析题
典例8 计算 （1）)132(32+--x x x （2）)2)(3(22
+--a a a
错解：（1）)132(32+--x x x =2396x x +-
（2）)2)(3(22+--a a a =66322222--=--+-a a a a a a 【研析】 （1）单项式乘以多项式时，有时容易发生漏项、掉符号等问题，解答时注意看清多项式的各项和符号.
（2）多项式乘以多项式，当因式前面是“-”号时，也容易发生符号错误，计算时不妨
先按照多项式乘以多项式的法则展开，然后再去括号.
解：（1）)132(32+--x x x =x x x 39623-+-
（2） )2)(3(22+--a a a =)632(222--+-a a a a
=66322222++=++--a a a a a a
【误区警示】 做整式乘法运算时，常常容易出现漏项、掉符号等错误，因此计算时，特别注意要认真耐心地审题，看清项数和每一项的符号.
▲创新思维探究
题型一：拓展多变题
典例9 计算：)2)(2(+-a a
一变： )2)(2(b a b a +-
二变： )2)(2(++-+b a b a
三变： )2)(2(22+-a a
四变： )13)(12(+-a a
【研析】按照多项式与多项式相乘的法则进行计算即可. 对于))((c b a c b a ++-+型的多项式相乘，也可以将两个多项式中相同的项作为一个整体来求解.
解:)2)(2(+-a a =442222-=--+a a a a ；
一变：)2)(2(b a b a +-=22422b ab ab a --+；
二变：)2)(2(++-+b a b a =424)(2)(2)(222-++=-+-+++b ab a b a b a b a ；
三变：)2)(2(22+-a a =44224224-=--+a a a a ；
四变：)13)(12(+-a a =16132622--=--+a a a a a .
【方法探究】类比思想和整体思想都是重要的数学思想方法.有许多问题,我们常常用这些数学思想方法来解决.从本例中可看出对一种类型题的掌握要从方法上去领悟，学数学重在学方法.
题型二：奇思妙解题
典例10 若)3)(3(22m x x nx x +-++的展开式中不含23x x 和项，求m 和n 的值.
【研析】由题意可知，不含23x x 和项就是023的系数为的系数x x ，没有必要将两个多项式全部相乘，两个二次三项式相乘，2x 项只能是2x 项与常数项的积和两式中的一次项的积，而3x 项只能是2x 项与x 项的积，这里，只要把有关的项找到，然后合并同类项，就可以列出方程或方程组.
解:含2x 的项是：2x 2233x nx m +-⋅=2
)33(x n m +-
含3x 的项是：-33x 3nx +=3)3(x n +- 根据题意，得⎩⎨⎧=+-=+-03033n n m 解得⎩
⎨⎧==36n m 【技巧点拨】有些数学题目按一般的思路和方法是解得出来的，但可能运算较繁杂.如果细心的观察和思考，那么有可能发现一些独特的解题思路，使问题变得较简便. ▲中考思维探究
典例11、（2007年陕西省）计算 )22()2)(3(2
2----+a a a a a
【研析】 )22()2)(3(22----+a a a a a =a a a a a a 226322323++--+- =65-a .
【中考导向】 本题是考查整式乘法的综合运算能力.利用多项式乘以多项式、单项式乘以单项式的法则进行运算，中考中对此知识点的考查形式常以综合运算或是代入求值为主.
典例12 （2007年江苏省）填空：
设(1＋x)2(1－x)＝a ＋bx ＋cx 2 ＋dx 3
，则a ＋b ＋c ＋d ＝ .
【研析】本题由于作了多项式乘法得到一个多项式，所以只要取x=1时，就可以求出 a ＋ b ＋c ＋ d 的值.
解：当x=1时, a ＋ b ＋c ＋ d ＝0
【归纳总结】整式乘法是中考的必考内容.解答时注意以下几点①不可漏项,②审对符号,③掌握一些特殊类型的规律进行简便运算.。