2017_18学年高中数学第一讲坐标系1.2极坐标系练习
(新)高中数学第一讲坐标系二极坐标系成长训练新人教A版选修4-41
二 极坐标系主动成长夯基达标1.点P 的直角坐标为(-2,2)，那么它的极坐标可表示为( )A.(2,4π) B.(2,43π)C.(2,45π)D.(2,47π)解析:因为点P (-2,2)在第二象限,与原点的距离为2,且OP 的倾斜角为43π,故选B.这种类型的问题是极坐标这一知识点中最基本的知识,是这一章知识的基础. 答案:B2.点P (ρ0,θ0)(ρ0≠0)关于极点的对称点的极坐标是( ) A.(-ρ0,θ0) B.(ρ0,-θ0) C.(-ρ0,-θ0) D.(-ρ0,θ0+π)解析:由ρ取负值时点的确定方法即可. 答案:A3.方程ρ2cos2θ=c 2(c>0)的曲线是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线解析:方程ρ2cos2θ=c 2⇒ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=c 2⇒x 2-y 2=c 2. 答案:C4.曲线的极坐标方程为a ρcos 2θ+bcos θ-sin θ=0(a≠0),则曲线是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线解析:将方程aρcos 2θ+b cos θ-sin θ=0各项都乘以ρ,aρ2cos 2θ+bρcos θ-ρsin θ=0⇒ax 2+bx -y =0⇒y =ax 2+bx ,是抛物线. 答案:D 5.点P 1(2,4π),P 2(-3,-4π),则|P 1P 2|的值为( ) A.13B.5C.2613+D.2613-解析:应用极坐标系中两点间的距离公式 |P 1P 2|=)-θ(θρρ-+ρρ12212221cos 2(ρ1、ρ2≥0). 其中P 2(3,43π),代入可得. 答案:A6.已知点A(-2,-2π),B(2,43π),O (0,θ),则△ABO 为( ) A.正三角形B.直角三角形C.锐角等腰三角形D.等腰直角三角形 解析:点A (-2,-2π)即为A (2,2π), ∴∠AOB =4π,且|OB |=2,|OA |=2. ∴△ABO 为等腰直角三角形. 答案:D7.直线l 过点A (3,3π)、B (3,6π),则直线l 与极轴夹角等于________. 解析:如图所示,先在图形中找到直线l 与极轴夹角,另外要注意到夹角是个锐角.然后根据点A 、B 的位置分析夹角的大小.∵|AO |=|BO |=3,∠AOB =3π-6π=6π, ∴∠OAB =26π-π=125π. ∴∠ACO =π-3π-125π=4π.答案：4π8.极坐标方程ρ=θθsin cos 22+所对应的直角坐标方程为________.解析:本题考查直角坐标与极坐标之间的互化公式,⎩⎨⎧θy=ρθx=ρsin,cos,⎪⎩⎪⎨⎧≠+=,0,tan,222xxy=yxρθ将ρ、θ消去,换成字母x、y即可.因为ρ=θθ2sincos22+可化为ρ=θθ2cos1)cos1(2-+,即ρ=θcos12-,去分母,得ρ=2+ρcosθ,将公式代入得x2+y2=(2+x)2,整理可得.答案：y2=4(x+1)说明：极坐标与直角坐标的互化是重点,在解这类题时,除正确使用互化公式外,还要注意与恒等变换等知识相结合.9.已知下列各点的极坐标为A(5,3π),B(2,0),C(6,-65π),D(-4,6π),E(0,3π),画出这些点,并求出它们的直角坐标.解:这些点如图.利用公式⎩⎨⎧θy=ρθx=ρsin,cos即可求出它们的直角坐标为A(0,5),B(2,0),C(-33,-3),D(-23,-2),E(0,0).10.在极轴上求与点A(42,4π)距离为5的点M的坐标.解析:题目要求是点在极轴上,可设点M(r,0),由于极坐标中有一个量是关于角的,A、M两点之间的距离为5,所以可以根据余弦定理求出点M的坐标来.解:设M(r,0),∵A(42,4π),∴4πcos28)24(22rr-+=5,即r2-8r+7=0.解得r=1或r=7.∴M点的坐标为(1,0)或(7,0).在极坐标系下,任意两点P 1(ρ1,θ1),P 2(ρ2,θ2)之间的距离可总结如下： |P 1P 2|=)-θ(θρρ-+ρρ21212221cos 2,此式可直接利用余弦定理得证.11.舰A 在舰B 的正东6 km 处，舰C 在舰B 的北偏西30°且与B 相距4 km 处，它们围捕海洋动物.某时刻A 发现动物信号，4秒后B 、C 同时发现这种信号.A 发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的,动物信号的传播速度是1 km/s,炮弹运行的初速度是3320gkm/s ，其中g 为重力加速度.若不计空气阻力与舰高，问若以舰A 所在地为极点建立极坐标系，求舰A 发射炮弹的极坐标.解析:先建立直角坐标系,分析出点P 在双曲线上,又在线段BC 的垂直平分线上,求出交点P 的坐标,然后求出P 、A 两点之间的距离和PA 与x 轴正向所成的角,即可确定点P 的极坐标.解:对舰B 而言,A 、C 两舰位置如图所示.为方便起见,取B 所在直线为x 轴,AB 的中点O 为原点建立直角坐标系,则A 、B 、C 三舰的坐标分别为(3,0)、(-3,0)、(-5,23). 由于B 、C 同时发现动物信号,记动物所处位置为P ,则|PB |=|PC |. 于是P 在BC 的中垂线l 上,易求得其方程为3x -3y +73=0.又由A 、B 两舰发现动物信号的时间差为4秒,知|PB |-|PA |=4,于是知P 应在双曲线5422y x -=1的右支上. 直线l 与双曲线的交点P (8,53)即为动物的位置,至此问题便可获解.据已知两点的斜率公式,得直线P A 的倾斜角为60°.于是舰A 发射炮弹的方位角应是北偏东30°.利用两点间的距离公式,可得|P A|=10.所以,以舰A 所在地为极点,舰A 发射炮弹的极坐标为(10,3π).走近高考1.(经典回放)极坐标方程4ρsin 22θ=5表示的曲线是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线解析:利用半角公式把原方程化为4ρ2cos 1θ-=5,即4ρ-4ρcos θ=10,∴4ρ=4x +10.∵ρ=,22y x +∴16(x 2+y 2)=(4x +10)2.整理,得4y 2-20x -25=0.∴为抛物线. 答案:D2.(经典回放)极坐标方程4sin 2θ=3表示的曲线是( ) A.两条射线B.两条相交直线C.圆D.抛物线解析:把原极坐标方程两边都乘以ρ2,得4ρ2sin 2θ=3ρ2,即4y 2=3(x 2+y 2),即y =±3x .∴所表示的曲线是两条相交直线. 答案:B3.(经典回放)极坐标方程ρ=cos(4π-θ)所表示的曲线是( ) A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆解析:利用两角差余弦公式把原极坐标方程变形为ρ=cos4πcos θ+sin 4πsin θ. 两边同乘以ρ,得ρ2=22ρcos θ+22ρsin θ, 即x 2+y 2=22x +22y , 即为x 2+y 2-22x -22y =0表示圆.答案:D4.(经典回放)已知直线的极坐标方程为ρsin(θ+4π)=22,则极点到该直线的距离是________. 解析:∵ρsin(θ+4π)=22,∴ρsin θcos 4π+ρcos θsin 4π=22,即x +y =1.∴原点到直线x +y =1的距离为d =2221. 答案:22 5.在极坐标系中,O 是极点,设点A (4,3π),B (5,-65π),则△OAB 的面积是________.解析:如图,|OA |=4,|OB |=5,∠AOB =2π-3π-65π=65π.∴S △OAB =21×4×5×sin 65π=5. 答案:5。
高中数学第1讲坐标系1.2极坐标系1.2.1极坐标系的概念1.2.2点的极坐标与直角坐标的互化同步精练北师大版选修
极坐标系的概念、点的极坐标与直角坐标的互化1点P 的直角坐标为(，那么它的极坐标可表示为( )．A ．π2,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．3π2,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5π2,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．7π2,4⎛⎫ ⎪⎝⎭2在极坐标系中，与点π8,6⎛⎫- ⎪⎝⎭关于极点对称的点的一个坐标是( )． A ．π8,6⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．58,π6⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．58,π6⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．π8,6⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 3在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是A π2,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 5π2,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，那么可能是顶点C 的坐标的是( )．A ．3π4,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．3π4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．π)D ．(3，π)4在极坐标系中，极坐标5π4⎫⎪⎭化为直角坐标为( )． A ．(1,1) B ．(－1,1) C ．(1，－1) D ．(－1，－1)5直线l 过点A π7,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，B π7,6⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线l 与极轴所在直线的夹角等于________． 6点A π5,3⎛⎫ ⎪⎝⎭在条件： (1)ρ＞0，θ∈(－2π，0)下的极坐标是__________；(2)ρ＜0，θ∈(2π，4π)下的极坐标是__________．7将下列极坐标化成直角坐标．(1)π4⎫⎪⎭； (2)π6,3⎛⎫- ⎪⎝⎭； (3)(5，π)．8已知极点在点(2，－2)处，极轴方向与x 轴正方向相同的极坐标系中，点M 的极坐标为π4,6⎛⎫ ⎪⎝⎭，求点M 在直角坐标系中的坐标．参考答案1 答案：B ρ2，tan θ＝－1， ∵点P 在第二象限，∴最小正角3π=4θ. 2 答案：A 点(ρ，θ)关于极点对称的点为(ρ，π＋θ)， 故π8,6⎛⎫- ⎪⎝⎭关于极点对称的点的一个坐标为78,π6⎛⎫- ⎪⎝⎭，即π8,6⎛⎫ ⎪⎝⎭. 3答案：B 如图，由题设，可知A ，B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点．又|AB |＝4，△ABC 为正三角形，∴|OC |＝AOC ＝π2，点C 的极角ππ3π==424θ+或5ππ7π=424+， 即点C的极坐标为⎛ ⎝或7π4⎛⎫ ⎪⎝⎭. 4答案：D x ＝ρcos θ5π=14⎛- ⎝⎭， y ＝ρsin θ5π=142⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， 故所求直角坐标为(－1，－1)．5答案：π4如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝7，∠AOB ＝πππ=366-， 所以ππ5π6==212OAB -∠. 所以π5ππ=π=3124ACO ∠--.6 答案：(1)55,π3⎛⎫- ⎪⎝⎭ (2)105,π3⎛⎫- ⎪⎝⎭ (1)当ρ＞0时，点A 的极坐标形式为π5,2π+3k ⎛⎫ ⎪⎝⎭(k ∈Z )， ∵θ∈(－2π，0)．令k ＝－1，点A 的极坐标为55,π3⎛⎫- ⎪⎝⎭，符合题意． (2)当ρ＜0时，π5,3⎛⎫ ⎪⎝⎭的极坐标的一般形式是π5,21π+3k ⎛⎫-(+) ⎪⎝⎭(k ∈Z )． ∵θ∈(2π，4π)，当k ＝1时，点A 的极坐标为105,π3⎛⎫- ⎪⎝⎭，符合题意．7 答案：解：(1)πcos =14x ，πsin =14y ，所以点π4⎫⎪⎭的直角坐标为(1,1)． (2)x ＝6·πcos 3⎛⎫- ⎪⎝⎭＝3，y ＝6·πsin =3⎛⎫-- ⎪⎝⎭.所以点π6,3⎛⎫- ⎪⎝⎭的直角坐标为(3，-． (3)x ＝5·cos π＝－5，y ＝5·sinπ＝0，所以点(5，π)的直角坐标为(－5,0)．8 答案：解：设M (x ，y )，则x －2＝ρcos θ＝π4cos 6，∴x ＝2＋y －(－2)＝ρsin θ＝π4sin6＝2. ∴y ＝2－2＝0.∴点M 的直角坐标为(2＋0)．。
2017_2018学年高中数学第一章坐标系1.2极坐标系1.2.3_1.2.5圆锥曲线统一的极坐标方
题型一
题型二
题型三
【变式训练 1】 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系.曲线 C 的极坐标方程为 ρcos 1, ������ , ������分别为曲线������与������轴、 ������轴的交点. (1)写出曲线 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程.
1.2.3 直线和圆的极坐标方程 1.2.4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 *1.5.5 圆锥曲线统一的极坐标方程
1.能在极坐标系中,求直线或圆的极坐标方程. 2.会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化. 3.了解圆锥曲线统一的极坐标方程.
1.直线和圆的极坐标方程 (1)极坐标方程与曲线. 在极坐标系中,曲线可以用含有ρ,θ这两个变量的方程φ(ρ,θ)=0来表示. 如果曲线C上的点与一个二元方程φ(ρ,θ)=0建立了如下的关系: ①曲线C上的每个点的极坐标中至少有一组(ρ,θ)满足方程φ(ρ,θ)=0; ②极坐标满足方程φ(ρ,θ)=0的点都在曲线C上. 那么方程φ(ρ,θ)=0叫作曲线C的极坐标方程,曲线C叫作极坐标方程 φ(ρ,θ)=0的曲线. (2)直线的极坐标方程. 直线l经过极点,倾斜角为α,则直线l的极坐标方程是θ=α(ρ∈R). (3)圆的极坐标方程. ①圆心在极点,半径为r的圆的极坐标方程是ρ=r ; ②圆心在(a,0)(a>0),半径为a的圆的极坐标方程是ρ=2acos θ .
π π π 2 2 = cos θcos + sin θsi n = cos ������ + sin θ. 4 4 4 2 2 2 2 2 2 整理 ,得 ρ2= ������cos ������ + ������sin θ,即 x2+y2= ������ + ������. 2 2 2 2 2 2 2 即 x − ������ + ������2 − ������ = 0. 2 2
高中数学第一讲极坐标系与平面直角坐标系的互化同步测试新人教A版选修4-4
极坐标系与平面直角坐标系的互化典题探究例1 将点M 的极坐标2(5,)3π化成直角坐标.例2将点M 的直角坐标)1,3(--化成极坐标.例3在极坐标系中,已知),6,2(),6,2(ππ-B A 求A,B 两点的距离。
例4已知,,A B C 三点的极坐标分别是52(2,),(6,),(4,6123πππ）,求ABC ∆的面积.演练方阵A 档（巩固专练）1．将点的直角坐标(－2，23)化成极坐标得( )． A ．(4，32π) B ．(－4，32π) C ．(－4，3π) D ．(4，3π) 2．点M 的极坐标是(2，3π)，则M 的直角坐标为（ ） A ．(1，3) B ．(−3，1) C ．(3，1) D ．(−1，3) 3．极坐标方程 cos ＝sin2( ≥0)表示的曲线是( )． A ．一个圆 B ．两条射线或一个圆 C ．两条直线D ．一条射线或一个圆4．极坐标方程θρcos ＋12＝ 化为普通方程是( )．A ．y 2＝4(x －1) B ．y 2＝4(1－x )C ．y 2＝2(x －1)D ．y 2＝2(1－x )5.点M 的直角坐标是(1,3)-，则点M 的极坐标为 . 6 化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为 .7.将下列各点的极坐标化成直角坐标:3(3,),(4,).42A B ππ--8.将下列各点的直角坐标化成极坐标:(4,43),(1,1).C D ---9.在极坐标系中,求下列两点之间的距离： (1)5(7,),(2,)44A B ππ； (2)11(6,),(4,)412A B ππ-.10.在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，将下列直角坐标方程（极坐标方程）转化为极坐标方程（直角坐标方程）.（1）cos sin 0x y αα-=；（2）24cos52θρ=.B 档（提升精练）1．点P 在曲线 cos ＋2 sin ＝3上，其中0≤≤4π，＞0，则点P 的轨迹是( )．A ．直线x ＋2y －3＝0B ．以(3，0)为端点的射线C ． 圆(x －2)2＋y ＝1D ．以(1，1)，(3，0)为端点的线段2．设点P 在曲线 sin＝2上，点Q 在曲线＝－2cos上，则|PQ |的最小值为 ( )．A ．2B ．1C ．3D ．0 3．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程θθρ222sin 4＋ cos 312＝经过直角坐标系下的伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧''y ＝y x ＝ x 3321后，得到的曲线是( )． A ．直线 B ．椭圆 C ． 双曲线 D ． 圆4．在极坐标系中，直线2＝ 4π＋ sin )(θρ，被圆 ＝3截得的弦长为( )．A ．22B ．2C ．52D ．325 直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________6.极坐标方程24sin52θρ⋅=表示的曲线是 。
第一讲 二、极坐标系 (1.极坐标系的概念)(优秀经典公开课比赛教案)
极坐标系的概念学科：数学年级：高二班级【学习目标】知识目标：理解极坐标的概念能力目标：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别. 【学习重难点】重点：理解极坐标的意义难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置【预习指导】情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处.（1）他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位置惟一确定吗？（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？问题2：如何刻画这些点的位置？这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础．【合作探究】从情镜2中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置.这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想.1、极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系.（其中O称为极点，射线OX称为极轴.）2、极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ表示从OX到OM 的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做M的极坐标.特别强调：由极径的意义可知ρ≥0;当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（ρ，θ）建立一一对应的关系.们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角是任意角.3、负极径的规定在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以去任意的正角或负角当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM=ρ.M （ρ，θ）也可以表示为))12(,()2,(πθρπθρ++-+k k 或)(z k ∈4、数学应用例1: 写出下图中各点的极坐标（见教材14页） A （4，0）B （2 ）C （ ）D （ ）E （ ）F （ ）G （ ）① 平面上一点的极坐标是否唯一？② 若不唯一，那有多少种表示方法？③坐标不唯一是由谁引起的？不同的极坐标是否可以写出统一表达式约定：极点的极坐标是ρ=0，θ可以取任意角.例2: 在极坐标系中，（1） 已知两点P （5，45π），Q )4,1(π，求线段PQ 的长度； （2） 已知M 的极坐标为（ρ，θ）且θ=3π，ρR ∈，说明满足上述条件的点M 的位置.例3: 已知Q （ρ，θ），分别按下列条件求出点P 的极坐标.（1） P 是点Q 关于极点O 的对称点；（2） P 是点Q 关于直线2πθ=的对称点； （3） P 是点Q 关于极轴的对称点.【巩固练习】【课堂小结】本节课学习了以下内容：1．2．3．【当堂检测】1、 在极坐标系里描出下列各点A （3，0） B （6，2π）C （3，2π）D （5，34π）E （3，65π）F （4，π）G （6，35π）2、 若A 、B 两点的极坐标为),(),,(2211θρθρ求AB 的长以及AOB ∆的面积.（O 为极点）3、在极坐标系中,与点)6,8(π-关于极点对称的点的一个坐标是 ( ))6,8(),65,8(),65,8(),6,8(ππππ----D C B A4、在极坐标系中，如果等边ABC ∆的两个顶点是),45,2(),4,2(B A π求第三个顶点C 的坐标.【教学反思】。
高中数学第1讲坐标系1.2极坐标系1.2.3_1.2.5同步精练北师大版选修4_4201710233 (2)
1.2 极坐标系直线和圆的极坐标方程曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化圆锥曲线统一的极坐标方程1极坐标方程πcos4表示的曲线是()．A．双曲线B．椭圆C．抛物线D．圆π2过A 且平行于极轴的直线的极坐标方程是()．2,4A．ρsin θ＝2B．ρsin θ＝2C．ρcos θ＝2D．ρcos θ＝23化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为()．A．x2＋y2＝0或y＝1 B．x＝1C．x2＋y2＝0或x＝1 D．y＝14圆心在点(－1,1)处，且过原点的圆的极坐标方程是()．A．ρ＝2(sin θ－cos θ) B．ρ＝2(cos θ－sin θ)C．ρ＝2sin θD．ρ＝2cos θ5过极点O作圆C：ρ＝8cos θ的弦ON，则ON的中点M的轨迹方程是__________．6已知双曲线的极坐标方程为312cos，过极点作直线与它交于A，B两点，且|AB|＝6，求直线AB的极坐标方程．7已知在△ABC中，AB＝6，AC＝4，当∠A变化时，求∠A的平分线与BC的中垂线的交点P 的轨迹方程．1参考答案1答案：D＝coscos cos ＋sin sincos ＋sin ，∴ρ2＝π π π 22 44 4 222 2222ρcos θ＋ρsin θ，即 x 2＋y 2＝xy . 2222222 1 化简整理，得，表示圆．x y= 44 42答案：A 如图所示，设 M (ρ，θ)(ρ≥0)是直线上任意一点，过 M 作 MH ⊥x 轴于 H ，π∵A2,，4π ∴|MH |＝2sin = 24.在 Rt △OMH 中，|MH |＝|OM |sin θ，即 ρsin θ＝ 2 ，π∴过A2, 且平行于极轴的直线方程为 ρsin θ＝ 2 . 43答案：C ρ2cos θ－ρ＝0⇒ρ(ρcos θ－1)＝0， 得 ρ＝0或 ρcos θ－1＝0，即 x 2＋y 2＝0或 x ＝1. 4答案：A 如图所示，圆的半径为1212 = 2 ，∴圆的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2，即 x 2＋y 2＝－2(x －y )，化为极坐标方程，得 ρ2＝－2(ρcos θ－ρsin θ)，即 ρ＝2(sin θ－cos θ)．5 答案：ρ＝4cos θ方法一：如图，圆C的圆心为C(4,0)，半径为|OC|＝4，连接CM. ∵M为弦ON的中点，∴CM⊥ON，故M在以OC为直径的圆上．2∴点 M 的轨迹方程是 ρ＝4cos θ.方法二：设 M 点的坐标是(ρ，θ)，N (ρ1，θ1)． ∵N 点在圆 ρ＝8cos θ 上，∴ρ1＝8cos θ1，①2,1∵M 是 ON 的中点，∴.1将它代入①式得 2ρ＝8cos θ，故点 M 的轨迹方程是 ρ＝4cos θ.6 答案：解：设直线 AB 的极坐标方程为 θ＝θ1，A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ1＋π)．则3 =，11 2cos133 == 21 2cos π12cos11.|AB |＝|ρ1＋ρ2|＝3 3 1 2cos 12cos11=61 4cos2 1 ＝6，1 ∴1 4cos2 12 . 2＝±1.∴cos θ1＝0或 cos θ1＝故直线 AB 的极坐标方程为或 = π 或 = 3π=. π 2447 答案：解：取 A 为极点，AB 所在射线为极轴，建立极坐标系，∵AP 平分∠BAC ，MP 为 BC 的中垂线，∴PB ＝PC . π π设 P (ρ，θ)，(ρ＞0，2＝AP 2＋AC 2－2AP ·AC ·cos θ＝ρ2<且 θ≠0)，则 PC2 2＋16－8ρcos θ，PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB cos θ＝ρ2＋36－12ρcos θ，∴ρ2＋16－8ρcos θ＝ρ2＋36－12ρcos θ.ππ即ρcos θ＝5(ρ＞0，<且θ≠0)．22ππ∴点P的轨迹方程为ρcos θ＝5(ρ＞0，<且θ≠0)．223。
第一讲.极坐标
第一讲：坐标系1.坐标系的种类（直角坐标系、空间直角坐标系、极坐标系）【例1（课本）】一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时间比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求爆炸点所在曲线的方程。
2.直角坐标系的运用（实现了数形结合，用坐标法研究几何位置形状等问题）【例2】已知三角形ABC 的三边c b a ,,满足2225a c b =+，BE,CF 分别为AC,AB 上的中线，证明CF BE ⊥.【练习】用两种以上的方法证明：三角形的三条高线交于一点。
3.平面直角坐标系中的伸缩变换【举例】x y x y 2sin ;sin ==；x y x y sin 3;sin ==；x y x y 2sin 3;sin ==图像定义：_____________________________________________________________.【例2（课本）】（已知原函数方程、变换求新函数方程）------代入法在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换''23x x y y ⎧=⎨=⎩后的图形。
（1）2x+3y=0; (2) 221x y +=【练习】1、在同一平面坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy x x ,3后，曲线C 变为曲线9922='+'y x ，求曲线C 的方程并画出图象。
（已知变换和新方程，求原方程）2、把圆2216x y +=变成椭圆22116y x ''+=的伸缩变换为 （已知两方程求变换）待定或者配凑法3、在同一坐标系中将直线321x y +=变成直线''22x y +=的伸缩变换为4、（2005福建理）设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是 （ ）A ．22-B ．335-C ．－3D ．27-4.极坐标系：（1）实用背景（2）极坐标系定义__________________________________________(3)相关概念：__________________叫极径_______________极角____________极坐标考点一：由点的位置确定极坐标例1 写出下图中各点的极坐标（见教材14页）A （ ）B （ ）C （ ）D （ ）E （ ）F （ ）G （ ）① 平面上一点的极坐标是否唯一？② 若不唯一，那有多少种表示方法？③坐标不唯一是由谁引起的？③ 不同的极坐标是否可以写出统一表达式约定：极点的极坐标是ρ=0，θ可以取任意角。
黑龙江省齐齐哈尔市高中数学第一讲坐标系1.2.1极坐标系领学案无答案新人教A版选修4_4
1.2.1极坐标系学习 目标 1．理解极坐标的概念，2.会极坐标的简单应用3.会极坐标与直角坐标互换重点 难点重点：极坐标的概念；极坐标和直角坐标的互化 难点：极坐标的概念；【相关知识点回顾】 平面直角坐标系问题1：平面直角坐标系的本质：确定平面内点的位置.问题2：定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条______构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系. 问题3： 平面直角坐标系内点的坐标：对于平面内任意一点M ，过点M 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足在x 轴、y 轴上的对应点,a b 分别叫做点M 的横坐标、纵坐标，有序实数对_____叫做点M 的坐标。
（实质就是两条直线交于一点）问题4： 平面直角坐标系内点与坐标的关系：在平面直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有_____的一个有序数对（坐标）与它对应；反过来，对于任意一个有序数对（坐标），都有平面上_______的一点与它对应。
即：在平面直角坐标系中，平面上的点与有序对（坐标）__________. 问题5：平面直角坐标系中，点的对称特征： 已知点(,)P m n ,关于x 轴的对称点坐标是(,)P '; 已知点(,)P m n ,关于y 轴的对称点坐标是(,)P ''; 已知点(,)P m n ,关于原点的对称点坐标是(,)P '''; 【预学能掌握的内容】阅读教材P 8～P 10内容，完成下列问题. 一、极坐标定义 （一）极坐标的基本思想 问题6:(完成P 9思考)如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。
（1） 他向东偏北60°方向走120m 后到达什么位置？该位置唯一确定吗？办公楼E实验楼DC 图书馆B 体育馆A 教学楼60m50m120m 6045（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？像问题6这样，以A 为______，射线AB 为__________，利用与A 的距离、与AB 所成的角，就可以刻画平面上点的位置.这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想 （二）极坐标系的建立1.极坐标系的建立方法：在平面内取一个定点O ，叫做 ；自 O 引一条射线Ox ，叫做 ；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取______方向），这样就建立了一个极坐标系.2.极坐标系中点的坐标：设M 是平面内任意一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的 ，记为___；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角∠xOM 叫做点M 的 ，记为θ.有序数对_______就叫做M 的极坐标.一般地, 我们认为0ρ≥,θ为任意实数.特别地，极点的极坐标为 .【探究点一】极坐标 〖典例解析〗例1．（1）写出右图中各点的极坐标：（2）回答下面的问题①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由什么因素引起的？〖课堂小结〗在极坐标系中点与它的极坐标的对应关系:（1）已知极坐标),(θρ,在平面上可以确定 点M .（2）给定平面上一点M ，却有无数个极坐标，点M 的极坐标统一的表达式为 ．),(θρM●ρθOx（3）如果规定0>ρ，)2,0[πθ∈，那么除极点外，极坐标系中的点与极坐标是 对应． 〖课堂检测〗练习1. 在极坐标系里描出下列各点：(3,0)A ，(6,2)B π，(3,)2C π，4(5,)3D π，5(3,)6E π，(4,)F π，5(6,)3G π.【探究点二】极坐标的应用 〖典例解析〗 例2．在极坐标系中， （1）已知两点 (5,)4P π,(1,)4Q π，求线段PQ 的长度；（2）已知两点 5(5,)4P π,(1,)4Q π，求线段PQ 的长度； （3）已知两点 5(5,)4P π,19(1,)12Q π，求线段PQ 的长度.〖课堂检测〗练习2.在极坐标系中，已知两点11(2,)12P π和(3,)4Q π-. （1）求线段PQ 的距离；（2）求POQ 的面积.aOCBAx1.如图，写出极坐标系中的边长为a 正方形OABC 的三个顶点A 、B 、C 的坐标:A （ ）；B （ ）；C （ ）.2.取直角坐标系的原点为极点，x 轴为正半轴为极轴，则点)3,1(--M 的极坐标为 ( ) A.(2,)3π-B.2(2,)3π C.)34,2(π D.(2,)3π3.点M 的极坐标是)32,5(π,则点M 的直角坐标为 . 4.在极坐标系中，与点(8,)6π关于极点对称的点的一个坐标是 ( )A.(8,)6π-B.5(8,)6π- C.5(8,)6π D.2(8,)3π5．两点(2,)3M π，4(5,)3N π之间的距离是 （ ）A.3B.4C.7D.8 6. 已知三点(5,)2A π，5(8,)6B π，7(3,)6C π，则ABC ∆形状为 （ ）A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形7. 在极坐标系中，已知两点(3,)3A π，(4)6B π-，，求：||AB 的长及三角形OAB 的面积.8.在极坐标系中,已知三点)6,32(),0,2(),3,2(ππ-P N M ，则P N M ,,三点是否线.9. 在极坐标系中，极轴上的点P 和)4,24(πA 的距离为5，求点P 的极坐标.。
坐标系(极坐标系)
例1 说出下图 中各点的极坐标 标出(2, π/6), (4, 3π/4), (3.5, 5π/3) 所在位置。
2
4
C
5 6
4 3
E
D O
B
A X
F
G
5 3
练习: 在图中标出点
5 H ( 3, ), P (4, ), Q(6, ) 6 2 3
2
5 6
P
C E D B A
5 7 A(5, ), B (8, ), C (3, ) 2 6 6
判断ΔABC的形状. 9 在极坐标系中,已知 A(2,
6 ), B(4, 5 ), 求A,B两点的距离 6
极坐标与直角坐标的区别:
平面直角坐系 定位 方式 点与 坐标 要素 本质 横坐标、纵坐标 极坐标系 角度和距离
点与坐标 点与极坐标不 一一对应 一一对应 原点，x，y 极点，极轴，长 轴长度单位和正 度单位；角度单位和 方向 正方向 两直线相交定点 圆与射线相交定点
练习
四个坐标中能表示点M的坐标是（ ）
1 2 5 即( x 1) ( y ) 2 4
2
1 5 这是以点(1, )为圆心，半径为 的圆。 2 2
5 极坐标方程 sin 2 2 cos 0 表示的曲线是___
抛物线
6 极坐标方程 4 sin2 3 所表示的曲线是（ B ）
A.两条射线 B.两条相交直线 C.圆 D.抛物线
在同一极坐标系中, 有如下极坐标：
5 11 7 (6, ), (6, ), (6, ), (6, ) 3 3 3 3
这些极坐标之间有何异同？
极径相同，极角不同。 这些极角有何关系？ 极角的始边相同，终边也相同， 即:它们是终边相同的角。 这些极坐标所表示的点有什么关系? 它们表示同一个点。
高中数学4.1坐标系4.1.2极坐标系课后训练苏教版选修4_42017112434
4.1.2 极坐标系练习21．点M的极坐标为5,π，化成直角坐标形式是__________．3π2．点A 的极坐标为2,3，化成直角坐标形式是__________．3．点P的直角坐标为( 6，2)，化成极径是正值，极角在0到2π之间的极坐标为__________．4．已知两点的极坐标Aπ3,2，Bπ3,，则|AB|＝________，直线AB的倾斜角为6________．5．直线l过点，，则直线l与极轴所在直线的夹角等于________．Aπ7,7,Bπ366．在极坐标系中，若，，则△ABO的面积为__________．AπB7π3,4,36π7．点在条件：A5,3(1)ρ＞0，θ∈(－2π，0)下的极坐标是__________；(2)ρ＜0，θ∈(2π，4π)下的极坐标是__________．8．已知极点在点(2，－2)处，极轴方向与x轴正方向相同的极坐标系中，点M的极坐标π为4,，求点M在直角坐标系中的坐标．69．在极坐标系中，(1)求A7π5,B43π12,两点间的距离；，3636(2)已知点 P 的极坐标为(ρ，θ)，其中 ρ＝1，θ∈R ，求满足上述条件的点 P 的位置． 10．将下列极坐标化成直角坐标．ππ(1)；(2)；(3)(5，π)．2, 6,431参考答案5 5 31. 答案：,2 2解析：x2 5 ， 5sin 2 π 5 35cos πy ， 32 3 25 5 3所以点 M 的直角坐标为 .,2 22. 答案：(－1， 3 )2π解析：因为点 A 的极坐标又可以写成 ， 32,所以x2π1 cos 2cos 21，322π3y sin2sin 2 3 .32所以点 A 的直角坐标为(－1， 3 )．π3. 答案： 62 2,解析：( 6)2 ( 2)22 2 ， tan2 3，6 3π 又点 P 在第一象限，得， 6π因此点 P 的极坐标是6 22,.5π4. 答案：36解析：根据极坐标的定义可得|AO|＝|BO|＝3，∠AOB＝即△AOB为等边三角形，π3，所以|AB|＝|AO|＝|BO|＝3，5πACx (O为极点，C为直线AB与极轴的交点)．6π5. 答案：4解析：如图所示，先在图形中找到直线l与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A，B的位置分析夹角大小．2π π π因为|AO |＝|BO |＝7，AOB，3 66 π π 6 5π所以OAB.2 12 π 5π π所以ACO π.3 124 6. 答案：37π π 5π解析：由题意可知，在△AOB 中，|OA |＝3，|OB |＝4，AOB，636 所以△ABO 的面积为 1|OA |·|OB |·sin∠AOB2 1 5π ＝34sin 2 63.1 1＝ 34 ＝3 225 105, π 5,π7. 答案：(1) (2)33π解析：(1)当 ρ＞0时，点 A 的极坐标形式为(5，2k π＋ 3)(k ∈Z )，5∵θ∈(－2π，0)，令 k ＝－1，点 A 的极坐标为5, π ，符合题意．3ππ(2)当 ρ＜0时，的极坐标的一般形式是 (k ∈Z )． 5, 5, (2k 1)π 3310∵θ∈(2π，4π)，当 k ＝1时，点 A 的极坐标为5, π，符合题意．3 π8. 解：设 M (x ，y )，则x 2cos4cos 2 3 ，6 π∴ x ＝2＋2 3 ，y －(－2)＝ρsin θ＝ 4sin ＝2.6∴y ＝2－2＝0.∴点 M 的直角坐标为(2＋2 3 ，0)．9. 解：(1)A ，B 在过极点且与极轴夹角为7π 36的直线上，它们位于极点的两侧，∴|AB |＝5＋12＝17.(2)由于点 P 的极径恒为 ρ＝1，且 θ∈R ，因此，点 P 在以 1为半径，极点为圆心的圆上．10. 解：(1)xπ ，2 sin π 1 2 cos 1 y， 44π所以点 42， 的直角坐标为(1,1)．(2)xπ 6 cos 33，3y6 sin3 3π3 ，π所以点6, 3的直角坐标为(3， 3 3 )． (3)x ＝5·cos π＝－5，y ＝5·sin π＝0， 所以点(5，π)的直角坐标为(－5,0)．4。
第一讲、二、1.极坐标系的概念
D实验楼
C图书馆
C（120， ） 3
E
3 (50, ) 4
办 公 120m 楼 45 ° E 50m 60° （ O） A 60m B x 教 体 学 育 楼 馆
Page 11
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？
③坐标不唯一是由谁引起的？
如果限定ρ≥0,0≤θ＜2π
那么除极点外,平面内的点和极坐标就 可以一一对应了.
Pagபைடு நூலகம் 13
课堂小结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素? 极点；极轴；长度单位；计算角度的正方向。 [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数，极角有无数个。
[3]一点的极坐标有否统一的表达式？ 有。（ρ ，2kπ +θ ）
Page 9
M X
3 4 5 6
2 3
2
2
C
3
4
M
E D O B
P
A
6 3 M (5, ) 6 4 5 N (3.5, ) 3
X
P (3, )
7 6
5 4
N
F
G
Page 10
4 3
5 4 3
11 7 6
解：以A为极点，AB所在的射线为极轴
建立极坐标系。
Page 14
极坐标与直角坐标的区别:
直角坐标 极 坐 标
( , )
表示形式 与平面内点 的对应关系
( x, y ) x, y R
R
x、y R
一一对应
0, [0, 2 )
2017_2018学年高中数学第一章坐标系1.2极坐标系1.2.3_1.2.5练习北师大版选修4_42017110629
1.2 极坐标系1.2.3直线和圆的极坐标方程1.2.4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*1.2.5圆锥曲线统一的极坐标方程课后篇巩固探究A组1.若极坐标方程ρ=ρ(θ)满足ρ(θ)=ρ(π-θ),则ρ=ρ(θ)表示的图形()A.关于极轴对称B.关于极点对称C.关于直线θ=对称D.不确定ρ(θ)=ρ(π-θ)可知ρ=ρ(θ)表示的图形关于直线θ=对称.2.过点A(2,0),并且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ()A.ρcos θ=2B.ρsin θ=2C.ρcos θ=1D.ρsin θ=1,设点M(ρ,θ)为直线上除点A(2,0)外的任意一点,连接OM,则有△AOM为直角三角形,并且∠AOM=θ,|OA|=2,|OM|=ρ,所以|OM|cos θ=|OA|,即ρcos θ=2,当ρ=2,θ=0时,也满足方程ρcos θ=2.故所求直线的极坐标方程为ρcos θ=2.3.在极坐标系中,过点,且平行于极轴的直线的极坐标方程是()A.ρsin θ=-2B.ρcos θ=-2C.ρsin θ=2D.ρcos θ=2与极轴平行的直线为y=-2,即ρsin θ=-2.4.如图,在极坐标系中,过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角α=.若将l的极坐标方程写成ρ=f(θ)的形式,则f(θ)=.①所示,当θ<0时,有,得ρ=.如图②所示,当θ>0时,有,得ρ=.当θ=0,ρ=2时,符合ρ=.综上可知ρ=.5.两直线ρsin=2 016,ρsin=2 017的位置关系是.(填“垂直”或“平行”或“斜交”)x+y=2 016,y-x=2 017,故两直线垂直.6.在极坐标系中,曲线C1为ρ(cos θ+sin θ)=1,曲线C2为ρ=a(a>0).若曲线C1与C2的一个交点在极轴上,则a=.(cos θ+sin θ)=1,即ρcos θ+ρsin θ=1,对应的直角坐标方程为x+y-1=0;ρ=a(a>0)对应的直角坐标方程为x2+y2=a2.在x+y-1=0中,令y=0,得x=,将代入x2+y2=a2,得a=.7.从原点O引直线交直线2x+4y-1=0于点M,点P为射线OM上一点,已知|OP|·|OM|=1,求点P的轨迹的极坐标方程.O为极点,x轴正方向为极轴建立极坐标系,直线2x+4y-1=0的方程可化为2ρcosθ+4ρsin θ-1=0.设点M(ρ0,θ0),P(ρ,θ),则2ρ0cos θ0+4ρ0sin θ0-1=0.因为|OP|·|OM|=1,所以ρ·ρ0=1,θ=θ0,所以ρ0=,把θ0=θ,ρ0=代入2ρ0cosθ0+4ρ0sin θ0-1=0,得2×cos θ+4×sin θ-1=0,整理得ρ=2cos θ+4sin θ.所以点P的轨迹的极坐标方程为ρ=2cos θ+4sin θ.8.在极坐标系中,已知圆ρ=2cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切,求实数a的值.,得圆的方程为x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,直线的方程为3x+4y+a=0.由题设知,圆心(1,0)到直线的距离为1,即有=1,解得a=-8或a=2.故a的值为-8或2.9.导学号73144012在极坐标系中,已知圆C经过点P,圆心为直线ρsin=-与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.ρsin=-中,令θ=0,得ρ=1,所以圆C的圆心坐标为(1,0).因为圆C经过点P,所以圆C的半径|PC|==1,于是圆C过极点,所以圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ.B组1.在极坐标系中,圆ρ=2cos θ的所有切线里垂直于极轴的两条切线方程分别为()A.θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=2B.θ=(ρ∈R)和ρcos θ=2C.θ=(ρ∈R)和ρcos θ=1D.θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=1ρ=2cos θ,得ρ2=2ρcos θ,化为直角坐标方程为x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1,其垂直于极轴的两条切线方程为x=0和x=2,相应的极坐标方程为θ=(ρ∈R)和ρcos θ=2.2.在极坐标方程中,曲线C的方程是ρ=4sin θ,过点作曲线C的切线,则切线长为()A.4B.C.2D.2=4sin θ化为普通方程为x2+(y-2)2=4,点化为直角坐标为(2,2),切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形,由勾股定理,得切线长为=2,故选C.3.在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线ρ(cos θ+sin θ)=1与ρ(sin θ-cos θ)=1的交点的极坐标为()A. B.C.(0,π)D.ρ(cos θ+sin θ)=1与ρ(sin θ-cos θ)=1的直角坐标方程分别为x+y=1和y-x=1,两条直线的交点的直角坐标为(0,1),化为极坐标为.4.在极坐标系中,由三条直线θ=0,θ=,ρcos θ+ρsin θ=1围成图形的面积是.=0,θ=,ρcos θ+ρsin θ=1三条直线对应的直角坐标方程分别为y=0,y=x,x+y=1,这三条直线围成的图形如图所示,求得S=.5.已知圆的极坐标方程为ρ=4cos θ,圆心为点C,点P的极坐标为,则|CP|=.ρ=4cos θ可得x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4,因此圆心C的直角坐标为(2,0).又点P的直角坐标为(2,2),因此|CP|=2.6.在极坐标系中,点P是曲线ρ=12sin θ上的动点,点Q是曲线ρ=12cos上的动点,则|PQ|的最大值为.ρ=12sin θ,∴ρ2=12ρsin θ.∴x2+y2-12y=0,即x2+(y-6)2=36.又∵ρ=12cos,∴ρ2=12ρ.∴x2+y2-6x-6y=0.∴(x-3)2+(y-3)2=36.∴|PQ|max=6+6+=18.7.已知双曲线的极坐标方程为ρ=,过极点作直线与它交于A,B两点,且|AB|=6,求直线AB的极坐标方程.AB的极坐标方程为θ=θ1,A(ρ1,θ1),B(ρ2,θ1+π),则ρ1=,ρ2=.|AB|=|ρ1+ρ2|===6,所以=±1.所以cos θ1=0或cos θ1=±.故直线AB的极坐标方程为θ=或θ=或θ=.8.导学号73144013F为定点,l为定直线,点F到定直线l的距离为p(p>0),点M在直线l上滑动,动点N在MF的延长线上,且满足条件,求动点N的轨迹.,作FK⊥l,垂足为点K,以点F为极点,FK的反向延长线为极轴建立极坐标系.设动点N(ρ,θ).根据题意,不妨取ρ>0,cos θ>0,∵|MF|=,|NF|=ρ,∴|MN|=|MF|+|FN|=+ρ.由动点N所满足的条件,得+ρ.∴所求轨迹的极坐标方程为ρ=(0<cos θ<1).设过极点F且与极轴垂直的直线为l'.则当e=>1,即0<p<1时,所求轨迹是双曲线在直线l'右边的部分;当e==1,即p=1时,所求轨迹是抛物线在直线l'右边的部分;当0<e=<1,即p>1时,所求轨迹是椭圆在直线l'右边的部分.。
高中数学 第一讲 坐标系 1.2 极坐标系练习(含解析)新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-
二 极坐标系课时过关·能力提升基础巩固1将点的极坐标(π,-2π)化为直角坐标为( ) A .(π,0) B .(π,2π) C .(-π,0)D .(-2π,0)x=πcos(-2π)=π,y=πsin(-2π)=0, 所以点的极坐标(π,-2π)化为直角坐标为(π,0).2下列各点中与极坐标(5,π7)表示同一个点的是( )A .(5,6π7)B .(5,15π7)C .(5,-6π7)D .(5,-π7)3在平面直角坐标系xOy 中,点P 的直角坐标为(1,−√3).若以原点O 为极点,O 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点O 的极坐标可以是( ) A .(2,π3)B .(2,4π3) C .(2,-π3)D .(2,-4π3)ρ=√O 2+O 2=2,tan θ=−√3,且在平面直角坐标系中,点P 位于第四象限,所以点P 的极坐标可以是(2,-π3).故选C .4在极坐标系中,已知O (2,π6),O (6,-π6),则OO ,OO 的夹角为( ) A .π6B .0C .π3D .5π6,OA ,OB 的夹角为π3.5在极坐标系中,点A的极坐标是(3,π6),则(1)点A关于极轴的对称点的极坐标是;(2)点A关于极点的对称点的极坐标是;(3)点A关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是.(本题中规定ρ>0,θ∈[0,2π)))(3,11π6)(2)(3,7π6)(3)(3,5π6)6已知点O(3,4π3),则适合O>0,−π<O≤π的点A的极坐标为.ρ>0,-π<θ≤π时,根据4π3与−2π3是终边相同的角,可得满足题意的点A的极坐标为(3,-2π3).7点O(6,5π6)到极轴所在直线的距离为.O(6,5π6)到极轴所在直线的距离为d=6×sin5π6=3.8已知在极坐标系中,极点为O,0≤θ<2π,O(3,π3),在直线OO上与点O距离为4的点的极坐标为.如图,|OM|=3,∠xOM=π3.在直线OM上取点P,Q,使|OP|=7,|OQ|=1.显然有|PM|=|OP|-|OM|=7-3=4,|QM|=|OM|+|OQ|=3+1=4.点P,Q都满足条件,且∠xOP=π3,∠xOQ=4π3.故满足条件的点的极坐标为(7,π3),(1,4π3).9在平面直角坐标系中,已知点P 在第三象限角的平分线上,且到x 轴的距离为2,则当ρ>0,θ∈[0,2π)时,点P 的极坐标为 .P (x ,y )在第三象限角的平分线上,且到x 轴的距离为2, ∴x=-2,且y=-2.∴ρ=√O 2+O 2=2√2. 又tan θ=O O =1,且θ∈[0,2π),∴θ=5π4.∴点P 的极坐标为(2√2,5π4).10(1)已知点的极坐标分别为O (3,-π4),O (2,2π3),O (√32,π),O (4,3π2),求它们的直角坐标;(2)已知点的直角坐标分别为A (√6,√2),O (0,-√53),O (−2,−2√3),求它们的极坐标(O >0,0≤θ<2π).根据x=ρcos θ,y=ρsin θ,得O (3√22,-3√22),O (−1,√3),O (-√32,0),O (0,−4). (2)根据ρ2=x 2+y 2,tan θ=OO (O ≠0),结合各点所在的象限得O (2√2,π6),O (√53,3π2),O (4,4π3).能力提升1若ρ1=ρ2≠0,θ1-θ2=π,则点M 1(ρ1,θ1)与点M 2(ρ2,θ2)的位置关系是( ) A.关于极轴所在的直线对称 B.关于极点对称C.关于过极点且垂直于极轴的直线对称D.重合★2在极坐标系中,已知点O (2,π3)和点O (2√3,5π6),则线段OO 的中点O 的极坐标是( )A .(2,π3)B .(2,2π3)C .(1+√3,7π12)D .(1+√3,5π12)O (2,π3),∴{O =2cos π3=1,O =2sinπ3=√3,∴P (1,√3).∵O (2√3,5π6),∴{O =2√3cos 5π6=-3,O =2√3sin5π6=√3,∴Q (-3,√3).∴线段PQ 的中点M 的直角坐标为(-1,√3). ∴ρ2=(-1)2+(√3)2=4, ∴ρ=2,tan θ=√3-1=−√3,∴θ=2π3.∴中点M 的极坐标为(2,2π3).3已知两点的极坐标O (3,π2),O (3,π6),则|OO |= ,直线OO 的倾斜角为 .|AO|=|BO|=3,∠AOB =π3,即△AOB 为等边三角形,所以|AB|=|AO|=|BO|=3,∠ACx =5π6(O 为极点,C 为直线AB 与极轴的交点).5π64在如图所示的极坐标系中,若O 为极点,则点P 的极坐标为 .(ρ≥0,0≤θ<2π),连接OP.∵OQ 是圆的直径,∴∠OPQ=90°.又∠OQP=60°,∴∠POQ=30°,即∠POQ =π6. ∴|OP|=|OQ|·co sπ6=2×√32=√3.故点P 的极坐标为(√3,π6).5在极坐标系中,已知点O (3,π3),O (4,5π6),求△ABO (O 为极点)的面积.ABO 中,|OA|=3,|OB|=4,∠AOB =5π6−π3=π2,所以△AOB 为直角三角形.故S △AOB =12|OO |·|OB|=12×3×4=6.6在极坐标系中,已知边长为2的正方形ABCD 的中心为极点O ,且AB 边与极轴Ox 平行,求正方形的各顶点的极坐标(限定ρ>0,0≤θ<2π).,|OA|=|OB|=|OC|=|OD|=√2,∠xOA =π4,∠xOB =3π4,∠xOC =5π4,∠xOD =7π4.所以正方形的各顶点的极坐标分别为O (√2,π4),O (√2,3π4),O (√2,5π4),O (√2,7π4).7在极坐标系中,已知三点O (2,5π3),O (2,0),O (2√3,π6).(1)将M ,N ,P 三点的极坐标化为直角坐标; (2)判断M ,N ,P 三点是否在同一条直线上.由公式{O =O cos O ,O =O sin O ,得点M 的直角坐标为(1,−√3),点N 的直角坐标为(2,0),点P 的直角坐标为(3,√3). (2)因为k MN =√32-1=√3,OOO =√3-03-2=√3,所以k NP =k MN .故M ,N ,P 三点在同一条直线上.8某大学校园的部分平面示意图如图.用点O ,A ,B ,C ,D ,E ,F ,G 分别表示校门、器材室、操场、公寓、教学楼、图书馆、车库、花园,其中ODEF 为正方形,OACD 为长方形,|OC|=600 m .建立适当的极坐标系,写出除点B 外各点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π).O 为极点,OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1m),建立极坐标系.由|OC|=600m,∠AOC=π6,∠OAC=π2,得|AC|=300m,|OA|=300√3m.同理,得|OE|=2|OG|=300√2m, 所以各点的极坐标分别为O(0,θ)(0≤θ<2π),A(300√3,0),O(600,π6),O(300,π2),O(300√2,3π4),O(300,π),O(150√2,3π4).★9已知点A,B的极坐标分别为(3,π4)和(3,13π12),求点O和点O之间的距离.,B两点在极坐标系中的位置如图所示.则由图可知∠AOB=13π12−π4=5π6.在△AOB中,|AO|=|BO|=3,所以由余弦定理,得|AB|2=|OB|2+|OA|2-2|OB|·|OA|·co s5π6=9+9−2×9×(-√32)=18+9√3=9 2(1+√3)2.所以|AB|=3√6+3√22.。
高中数学 第1章 坐标系 1.2 极坐标系学业分层测评 新人教B版选修44
第1章 坐标系 1.2 极坐标系学业分层测评 新人教B 版选修4-4一、选择题(每小题5分，共20分)1.下列各点中与(2，π6)不表示极坐标系中同一个点的是( )A.(2，－116π)B.(2，136π)C.(2，116π)D.(2，－236π)【解析】 与极坐标(2，π6)相同的点可以表示为(2，π6＋2k π)(k ∈Z )，只有(2，116π)不适合.【答案】 C2.在极坐标系中与点A (3，－π3)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是( )A.(3，23π)B.(3，π3)C.(3，43π)D.(3，56π)【解析】 与点A (3，－π3)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标可以表示为(3,2k π＋π3)(k ∈Z ). 【答案】 B3.将点P 的直角坐标(－1，3)化为极坐标是( ) A.(2，－π3)B.(2，2π3)C.(－2，－π3)D.(－2，4π3)【解析】 在直角坐标系中(－1，3)对应的极径ρ＝－2＋32＝2，极角θ满足tan θ＝3－1＝－3，∴由于点(－1，3)在第二象限，所以θ＝2π3.【答案】 B4.在极坐标系中，点A (2，π6)与B (2，－π6)之间的距离为( ) A.1B.2C.3D.4【解析】 点A (2，π6)与B (2，－π6)的直角坐标分别为(3，1)与(3，－1).于是|AB |＝3－32＋1＋12＝2.【答案】 B二、填空题(每小题5分，共10分)5.关于极坐标系的下列叙述正确的是________. ①极轴是一条射线； ②极点的极坐标是(0,0)； ③点(0,0)表示极点；④点M (4，π4)与点N (4，5π4)表示同一个点.【解析】 ①③正确；②④错误. 【答案】 ①③6.将点的直角坐标(－π2，π2)化为极坐标(ρ>0，θ∈[0,2π))为________.【解析】 ρ＝x 2＋y 2＝－π22＋π22＝22π. 又tan θ＝y x＝－1，θ∈[0,2π)， 且点(－π2，π2)在第二象限.∴θ＝34π.因此所求的极坐标为(22π，34π).【答案】 (22π，34π) 三、解答题(每小题10分，共30分)7.已知点P 的直角坐标按伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2xy ′＝3y变换为点P ′(6，－3)，限定ρ>0,0≤θ<2π时，求点P 的极坐标.【解】 设点P 的直角坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎨⎧6＝2x－3＝3y，解得⎩⎨⎧x ＝3y ＝－3，∴点P 的直角坐标为(3，－3).ρ＝32＋－32＝23，tan θ＝－33.∵0≤θ<2π.点P 在第四象限.∴θ＝11π6.∴点P 的极坐标为(23，11π6).8.将下列各点由极坐标化为直角坐标，由直角坐标化为极坐标. (1)P (2，54π)；(2)Q (2，－π6)；(3)C (0，－2)；(4)D (3,0).【解】 (1)x ＝2cos 54π＝2×(－22)＝－2，y ＝2sin 54π＝2×(－22)＝－ 2. 所以P 点的直角坐标为(－2，－2). (2)x ＝2cos(－π6)＝2×32＝3，y ＝2sin(－π6)＝2×(－12)＝－1.所以Q 点的直角坐标为(3，－1). (3)ρ＝02＋－2＝2，θ为32π，θ在y 轴负半轴上，所以C 点的极坐标为(2，32π).(4)ρ＝32＋02＝3，tan θ＝03＝0，故θ＝0.所以D 点的极坐标为(3,0).9.在极坐标系中，点A 和点B 的极坐标分别为(2，π3)和(3,0)，O 为极点，【导学号：62790004】求(1)A ，B 两点间的距离；(2)△AOB 的面积. 【解】 将A ，B 两点代入到两点间的距离公式有|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2θ1－θ2＝22＋32－π3－＝4＋9－6＝7.(2)S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin∠AOB＝12×2×3×sin(π3－0)＝323.。
2018年秋人教B版数学选修4-4练习：1.2 极坐标系
1.2 极坐标系课时过关·能力提升1若ρ1=ρ2≠0,θ1-θ2=π,则点M1(ρ1,θ1)与点M2(ρ2,θ2)的位置关系是( )A.关于极轴所在的直线对称B.关于极点对称C.关于过极点垂直于极轴的直线对称D.重合2下列各点在极轴上方的是( )A.(3,0)BC,由极坐标的定义可得点(3,0)在极轴上,,,故选D.3已知点M的极坐标AC4若点P的直角坐标为≥0,0≤θ<2π)可表示为( )ACρP在第四象限,∴θP的极坐标5已知两点的极坐标为|AO|=|BO|=3,∠AOB=60°,即△AOB为等边三角形,则|AB|=|AO|=|BO|=3,∠ACx,C为直线AB与极轴的交点).6若△AOB= .(其中O是极点) 6★7在极坐标系中,点A的极坐标(1)点A关于极轴的对称点的极坐标是 ;(2)点A关于极点的对称点的极坐标是 ;(3)点A关于过极点,且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是 .(本题中规定ρ>0,θ∈[0,2π))8已知边长为2的正方形ABCD的中心在极点,且一组对边与极轴Ox平行,求正方形的顶点的极坐标.(限定ρ≥0,0≤θ<2π),知|OA|=|OB|=|OC|=|OD|∠xOA∠xOB∠xOC∠xOD故正方形的顶点的极坐标分别9在极坐标系中,若△ABO的面积(O为极点).△ABO中,|OA|=3,|OB|=4,∠AOB故S△AOB·|OB|sin∠AOB★10某大学校园的部分平面示意图如图所示.用点O,A,B,C,D,E,F,G分别表示校门、器材室、操场、公寓、教学楼、图书馆、车库、花园,其中|AB|=|BC|,|OC|=600.建立适当的极坐标系,写出除点B外各点的极坐标.(限定ρ≥0,0≤θ<2π,且极点为(0,0))O为极点,OA所在的射线为极轴Ox,建立极坐标系,由|OC|=600,∠AOC∠OAC|AC|=300,|OA|=30|AB|=|BC|,所以|AB|=150.同理,得|OE|=2|OG|=30所以各点的极坐标分别为O(0,0),A(30。
高中数学 第1章 坐标系 1.2 极坐标系 1.2.3-1.2.5 学案 北师大版-4
1。
2 极坐标系1。
2.3 直线和圆的极坐标方程1。
2。
4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化1.2。
5 圆锥曲线统一的极坐标方程1。
能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程。
(重点）2。
掌握简单图形的极坐标方程与直角坐标方程的互化.(易错易混点）3.用方程表示平面图形时，会选择适当的坐标系来表示。
（难点）教材整理1 曲线的极坐标方程1。
曲线的极坐标方程在极坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程φ（ρ，θ)＝0建立了如下的关系：(1)曲线C 上的每个点的极坐标中至少有一组（ρ，θ）满足方程φ(ρ,θ）＝0；（2）极坐标满足方程φ（ρ，θ）＝0的点都在曲线C上。
那么方程φ（ρ，θ）＝0叫作曲线C的极坐标方程，曲线C叫作极坐标方程φ（ρ，θ)＝0的曲线。
2.常见简单曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ＜2π）圆心为C(r，0），半径为r的圆ρ＝2r cos_θ错误!圆心为C错误!，半径为r的圆ρ＝2r sin_θ（0≤θ＜π）过极点,倾斜角为α的直线θ＝α（ρ∈R）或θ＝π＋α(ρ∈R）过点A（a,0),与极轴垂直的直线ρcos θ＝a 错误!过点A错误!,与极轴平行的直线ρsin_θ＝a （0＜θ＜π)过点A(a，0），且与极轴成α角的直线的极坐标方程ρsin(α－θ) ＝a sin_α(0＜θ＜π)判断(正确的打“√”，错误的打“×”）(1）过极点且垂直于极轴的直线方程为x＝错误!。
( ）(2)直线ρcos θ＝2与直线ρsin θ＝2互相平行.（）（3)ρ＝cos θ表示一个圆。
( )【解析】（1）√过极点且垂直于极轴的直线上的点的极角都可表示为错误!,故正确。
(2）×ρcos θ＝2表示直线x＝2，ρsin θ＝2表示直线y＝2，这两直线互相垂直.(3)√ρ＝cos θ可化为x2＋y2＝x，故正确。
【答案】（1）√（2）×(3)√教材整理2 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化两坐标方程的互化，我们把极轴与平面直角坐标系xOy的x的正半轴重合，且两种坐标系取相同的长度单位.利用错误!和错误!把曲线的两种方程进行相互转化.填空：(1）曲线ρ＝1的直角坐标方程为_______________________________.（2）方程y＝2x的极坐标方程为_________________________________。
高中数学第一讲坐标系二极坐标系达标训练
二 极坐标系更上一层楼基础·巩固1点P 的直角坐标为(-2,2)，那么它的极坐标可表示为( )A.(2,4π) B.(2,43π)C.(2,45π)D.(2,47π)思路解析：因为点P(2,2-)在第二象限,与原点的距离为2,且OP 的倾斜角为43π.故选B. 答案：B2图1-2-8是某校园的平面示意图.假设某同学在教学楼处，试以此点为极点建立坐标系，说出教学楼、体育馆、图书馆、实验楼、办公楼的极坐标来.图1-2-8思路分析：如图所示,以AB 所在直线为极轴,点A 为极点建立极坐标系.找AB 、AC 、AD 、AE 的距离为各点的极径,分别以x 轴为始边,AB 、AC 、AD 、AE 为终边找在0到2π之间的极角.解：教学楼点A(0,0),体育馆点B(60,0),图书馆点C(120,3π),实验楼点D(360,2π),办公楼点E(50,43π). 3已知过曲线⎩⎨⎧==θθsin 4,cos 3y x (θ为参数，且0≤θ≤π)上一点P 与原点O 的直线PO 的倾斜角为4π，则P 点坐标是( ) A.(3,4) B.(223,22)C.(-3,-4)D.(512,512) 思路解析：因为点P 与原点O 的直线PO 的倾斜角为4π，即点P 的极角θ=4π，直接代入已知曲线方程，即可求出点P 的直角坐标来. 答案：B4极坐标系中，点A 的极坐标是(3,6π)，则 (1)点A 关于极轴对称的点是_______________；(2)点A 关于极点对称的点的极坐标是_______________； (3)点A 关于直线θ=2π的对称点的极坐标是_______________.（规定ρ>0,θ∈［0,2π］） 思路解析：如图所示,在对称的过程中极径的长度始终没有变化,主要在于极角的变化.另外,我们要注意：极角是以x 轴正向为始边,按照逆时针方向得到的.答案：(1)(3,611π) (2)(3,67π) (3)(3,65π) 5直线l 过点A(3,3π)、B(3,6π)，则直线l 与极轴夹角等于_______________. 思路解析：如图所示,先在图形中找到直线l 与极轴夹角,另外要注意到夹角是个锐角.然后根据点A 、B 的位置分析夹角的大小.∵|AO|=|BO|=3,∠AOB=3π-6π=6π, ∴∠OAB=分 π-12526πππ=-. ∴∠ACO=π-3π-125π=4π.答案：4π6极坐标方程ρ=θθ2sin cos 22+所对应的直角坐标方程为__________. 思路解析：因为ρ=θθ2sin 2cos 2+可化为ρ=θθ2cos 1)cos 2(1-+,即ρ=θcos 12-,去分母,得ρ=2+ρcos θ.将公式代入得x 2+y 2=(2+x)2.整理可得.答案：y 2=4(x+1)7在极轴上求与点A(24,4π)距离为5的点M 的坐标_________. 思路分析：题目要求是点在极轴上,可设点M(r,0),由于极坐标中有一个量是关于角的,A 、M 两点之间的距离为5,所以可以根据余弦定理求出点M 的坐标来. 解：设M(r,0), ∵A(24,4π),∴4cos 28)24(22πr r -+=5, 即r 2-8r+7=0.解得r=1或r=7.∴M 点的坐标为(1,0)或(7,0).在极坐标系下,任意两点P 1(ρ1,θ1),P 2(ρ2,θ2)之间的距离可总结如下： |P 1P 2|=)cos(221212221θθρρρ--+,此式可直接利用余弦定理证得. 8已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A(5,6π),B(5,2π),C(34-,3π),判断△ABC 的形状，并求出它的面积.（提示：对于点M(ρ,θ)，当极径小于零时，此时M 点在极角θ终边的反向延长线上，且OM=|ρ|） 思路分析：判断△ABC 的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，不妨先计算边长.解：∵∠AOB=3π,∠BOC=65π,∠AOC=65π,又∵|OA|=|OB|=5,|OC|=34,∴由余弦定理，得|AC|2=|OA|2+|OC|2-2|OA|·|OC|·cos ∠AOC =52+(34)2-2×5×34·cos65π=133. ∴|AC|=133.同理,|BC|=133. ∴|AC|=|BC|.∴△ABC 为等腰三角形.又|AB|=|OA|=|OB|=5,∴AB 边上的高h=2313|)|21(||22=-AB AC . ∴S △ABC =21×436552313=⨯. 综合·应用9二次方程x 2-ax+b=0的两根为sin θ、cos θ，求点P(a,b)的轨迹方程（其中|θ|≤4π）. 思路分析：这是一道三角函数知识与极坐标知识的综合运用题,尤其对三角要求比较高,还要注意三角函数的有界性,求出轨迹方程的限制条件. 解：由已知,得⎩⎨⎧∙=+=,cos sin ,cos sin θθθθb a .①②①2-2②,得a 2=2(b+21). ∵|θ|≤4π,由sin θ+cos θ=2sin(θ+4π),知0≤a ≤2. 由sin θ·cos θ=21sin2θ,知|b|≤21.∴P(a,b)的轨迹方程是a 2=2(b+21)（0≤a ≤2）.10舰A 在舰B 的正东6 km 处，舰C 在舰B 的北偏西30°且与B 相距4 km 处，它们围捕海洋动物.某时刻A 发现动物信号，4秒后B 、C 同时发现这种信号.A 发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的,动物信号的传播速度是1 km/s,炮弹运行的初速度是3320gkm/s ，其中g 为重力加速度.若不计空气阻力与舰高，问若以舰A 所在地为极点建立极坐标系，求舰A 发射炮弹的极坐标.思路分析：先建立直角坐标系,分析出点P 在双曲线上,又在线段的垂直平分线上,求出交点P 的坐标,然后求出P 、A 两点之间的距离和PA 与x 轴正向所成的角,即可确定点P 的极坐标.解：对舰B 而言,A 、C 两舰位置如图所示.为方便起见,取B 所在直线为x 轴,AB 的中点O 为原点建立平面直角坐标系,则A 、B 、C 三舰的坐标分别为(3,0)、(-3,0)、(-5,32).由于B 、C 同时发现动物信号,记动物所处位置为P,则|PB|=|PC|.于是P 在BC 的中垂线l 上,此直线的倾斜角为30°,则其斜率为tan30°=33,设此直线为y=33x+b,将B,C 的中点(-4,3)代入上式,得b=337,则求得其方程为3x-3y+37=0. 又由A 、B 两舰发现动物信号的时间差为4秒,知|PB|-|PA|=4.∴a=2.又A 、B 的坐标分别为(3,0)、(-3,0),可知c=3.∴549=-.于是知P 应在双曲线4422y x -=1的右支上.由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-,03733,14422y x y x 得直线l 与双曲线的交点P(8,53)即为动物的位置,至此问题便可获解.据已知两点的斜率公式,得直线PA 的倾斜角为60°.于是舰A 发射炮弹的方位角应是北偏东30°.利用两点间的距离公式,可得|PA|=7525)035()38(22+=-+-=10.所以,以舰A 所在地为极点,舰A 发射炮弹的极坐标为(10,3π). 11我们已经熟悉了极点在直角坐标系的原点、极轴与x 轴正向相同的极坐标系下直角坐标与极坐标的互化,那么当极点不在坐标原点,以与x 轴平行的直线的正向为极轴时，又怎么求出点的极坐标来呢？(1)极坐标系的极点在直角坐标系的O′(-3+32,3)，极轴的方向与x 轴正向相同，两个坐标系的长度单位相同，则点P(-3,3)的极坐标是____________.(2)极点在点O′(3,5)处，极轴与y 轴正方向一致，两个坐标系的长度单位相同，求点M(9,-1)的极坐标.思路分析：不管哪种建系原则,我们只要从定义出发,就能够解决问题.需要的量是极径、极点与点P 的距离、极角,从极轴开始逆时针旋转到OP 所得到的角.解：(1)如图(1),在Rt △PAO ′中,O ′A=-3+3-（-3）=3,AP=32-3=3.则tan α=33=1,α=4π,θ=∠x ′O ′P=π+4π=45π, ρ=|O ′P|=6)332()]3()33[(22=-+--+-.在极坐标系O ′x ′中,P 点的极坐标是(6,45π).(2)利用定义求出点的极坐标.如图(2),过O ′点作O ′A ∥Ox 轴,过M 点作MA ∥Oy 轴,与O ′A 交于A 点,连结O ′M,则ρ=|O ′M|=26)51()39(22=--+-,在Rt △MAO ′中,|O ′A|=9-3=6,cos ∠AO ′M=22, ∴∠AO ′M=4π.∴θ=23π-4π=45π.（注:极角是极轴按照逆时针方向旋转的） ∴M(45,26π).12如图1-2-9所示是某防空部队进行射击训练时的示意图，以O 为极点，OA 所在直线为极轴，已知A 点坐标为(1,0)（千米），直升飞机位于D 点向目标C 发射防空导弹，D 点坐标为(35,2π)，该导弹运行与地面最大高度为3千米，相应水平距离为4千米(即图中E 点)，在地面O 、A 两个观测点测得空中固定目标C 的仰角分别为α和β，tan α=289，tan β=83，不考虑空气阻力，导弹飞行轨道为一抛物线，那么按轨道运行的导弹能否击中目标C?说明理由.图1-2-9思路分析：能否击中C 点，关键是看一下C 点是否在导弹飞行的轨迹上，需要算出它的轨迹方程来.先把极坐标化为直角坐标，然后建立直角坐标系：以地面为x 轴，以点D 向地面作的垂线为y 轴,并且求出C 点坐标，再验证该点是否满足轨迹方程.解：A 点化为(1,0)，D 点化为(0,35)，由已知E 点为(4,3), 设抛物线为y=a(x-4)2+3.由抛物线过点(0,35)，求得a=121-.所以y=121-(x-4)2+3=121-x 2+32x+35.设C 点坐标为(x 0,y 0)，过C 作CB ⊥Ox 于B ，tan α=28900=x y ,tan β=83100=-x y ,则289x 0=83(x 0-1). 解得x 0＝7，求出y 0＝49,即C 点坐标为(7,49)，经计算121-x 02+32x 0+35=121-·72+32·7+35=49.所以C 点在抛物线上.故依轨道运行的导弹可以击中目标C.。
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二极坐标系
课后篇巩固探究
A组
1.在极坐标系中,点(-2,-2)的一个极坐标可以是()
A. B.
C. D.
==2,tan θ=1,且点在第三象限,可取θ=,故极坐标可以是.
2.下列的点在极轴所在直线的上方的是()
A.(3,0)
B.
C. D.
(3,0)在极轴上,点在极轴所在直线的下方,点在极轴所在直线的上方,故选D.
3.将点的直角坐标(-2,2)化为极径ρ是正值,极角在0到2π之间的极坐标是()
A. B.
C. D.
4.下列极坐标对应的点中,在直角坐标平面的第三象限的是()
A.(3,4)
B.(4,3)
C.(3,5)
D.(5,6)
ρcos θ,y=ρsin θ,对选项A来说,x=3cos 4<0,y=3sin 4<0,满足在第三象限,故选A.
5.若A,B两点的极坐标分别为A(4,0),B,则线段AB的中点的极坐标为()
A. B.
C. D.
A,B的直角坐标分别为(4,0),(0,4),则线段AB的中点的直角坐标为(2,2).
由ρ2=x2+y2,得ρ=2.
因为tan θ==1,且点(2,2)在第一象限,所以θ=.故线段AB的中点的极坐标为
.
6.在极坐标系中,点关于极轴所在直线对称的点的极坐标是.
ρ=3,θ=,所以所求极坐标是.
7.以极点为原点,极轴的方向为x轴的正方向,取相同的单位长度,建立平面直角坐标系,则极坐标M表示的点在第象限.
x=ρcos θ=2 016cos=1 008,y=ρsin θ=2 016sin=-1 008,故点(1 008,-1 008)在第四象限.
8.导学号73574008若点M的极坐标为,则点M关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的直角坐标为.
点M的极坐标为,
∴x=6cos=6×=3,
y=6sin=6×=-3,
∴点M的直角坐标为(3,-3).
故点M关于y轴对称的点的直角坐标为(-3,-3).
-3,-3)
9.将下列各点的极坐标化成直角坐标:
(1);(2);(3)(5,π).
x=·cos=1,y=·sin=1,
所以点的直角坐标为(1,1).
(2)x=6·cos=3,y=6·sin=-3,
所以点的直角坐标为(3,-3).
(3)x=5·cos π=-5,y=5·sin π=0,
所以点(5,π)的直角坐标为(-5,0).
10.将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π).
(1)(,3);(2)(-3,0).
ρ==2,tan θ=.
又因为点在第一象限,所以θ=.
所以点(,3)的极坐标为.
(2)ρ==3,由题易知极角为π,
所以点(-3,0)的极坐标为(3,π).
11.导学号73574009在极坐标系中,B,D,试判断点B,D的位置是否具有对称性,并求出点B,D关于极点的对称点的极坐标(限定ρ>0,θ∈[0,2π)).
B,D,知|OB|=|OD|=3,极角的终边关于极轴对称.
所以点B,D关于极轴对称.
设点B,D关于极点的对称点分别为E(ρ1,θ1),F(ρ2,θ2),且ρ1=ρ2=3.当θ∈[0,2π)时,θ1=,θ2=,故E,F即为所求.
B组
1.在平面直角坐标系中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,取相同的单位长度,建立极坐标系.若点P的直角坐标与其极坐标在数值上相同,则点P在()
A.x轴上
B.y轴上
C.射线Ox上
D.射线Oy上
2.导学号73574010在极坐标系中,若等边三角形ABC的两个顶点是A,B,则顶点C的坐标可能是()
A. B.
C.(2,π)
D.(3,π)
,由题设可知A,B两点关于极点O对称,即O是AB的中点.
设点C的极坐标为(ρ,θ),
又|AB|=4,△ABC为等边三角形,
所以ρ=|OC|=2.
因为∠AOC=,所以在[0,2π)内点C的极角θ=或θ=,即点C 的极坐标为.
3.已知点P在第三象限角的平分线上,且到横轴的距离为2,则当ρ>0,θ∈[0,2π)时,点P的极坐标为.
点P(x,y)在第三象限角的平分线上,且到横轴的距离为2,∴x=-2,且y=-2.∴
ρ==2.
又tan θ==1,且θ∈[0,2π),∴θ=.
因此,点P的极坐标为.
4.如图,点P的极坐标为.
,连接OP.
∵OQ是圆的直径,∴∠OPQ=90°.
又∠OQP=60°,∴∠POQ=30°,即∠POQ=.
∴|OP|=|OQ|cos=2×.
故点P的极坐标为.
5.在极坐标系中,已知三点M,N(2,0),P,将M,N,P三点的极坐标化为直角坐标,并判断M,N,P三点是否在同一条直线上.
点M的极坐标为,
∴点M的直角坐标为,
即为M(1,-).
同理可得点N的直角坐标为(2,0),点P的直角坐标为(3,).
∵k MN=,k PN=,∴k MN=k PN.
∴M,N,P三点在同一条直线上.
6.导学号73574011已知两点的极坐标A,B,求:
(1)A,B两点间的距离;
(2)△AOB的面积;
(3)直线AB与极轴正方向所成的角.
,
∵|OA|=|OB|=3,∠AOB=,
∴△AOB为等边三角形.
(1)A,B两点间的距离为3.
(2)△AOB的面积S=×3×3×sin.
(3)直线AB与极轴正方向所成的角为π-.
7.导学号73574012已知∠AOB=,点P在OA上,点Q在OB上,点M是线段PQ的中点,且△POQ的面积为8,试问能否确定|OM|的最小值?若能,求出其最小值;若不能,请说明理由.
O为极点,OB为极轴建立如图所示的极坐标系.
设P,Q(ρ2,0),M(ρ,θ),则由题意知ρ1ρ2sin=8,即ρ1ρ2=.
因为S△POM=ρρ1sin=4,
S△QOM=ρρ2sin θ=4,
所以两式相乘,得ρ2·ρ1ρ2sin sin θ=64.
所以ρ2=.当且仅当cos=1,即θ=时,ρ2取到最小值
8.
故|OM|的最小值为2.。