复变函数与积分变换总复习
复变函数与积分变换知识点总复习
解析函数 f (z) 的导数仍为解析函数, 它的 n阶
导数为:
f
(n)
( z0
)
n! 2πi
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
(n 1,2,)
其中C 为在函数 f (z) 的解析区域 D内围绕 z0 的
任何一条正向简单闭曲线, 而且它的内部全含于 D.
8.调和函数与解析函数的关系
调和函数
满足 Laplace
但u iv不是解析函数。
证明：
因为 u x
2x,
2u x 2
2,
u y
2 y,
2u y 2
2,
2u 2u 2 2 0,所以，u是调和函数。 x2 y2
同理 2v 6x2 y 2y3 , 2v 6x2 y 2y3 , x2 (x2 y2 )3 y2 (x2 y2 )3
2v x 2
解：u(x, y) a ln(x2 y2 ),v(x, y) arct an y ,则 x
u 2ax , u 2ay , v y , v x , x x2 y2 y x2 y2 x x2 y2 y x2 y2 在区域x 0内连续，且 u v , v u 在区域x 0上成立时，2a 1, x y x y 即，当a 1 时，函数f (z)在区域x 0内是解析的。
Байду номын сангаас
而 u y2, u 2xy, v 2xy, v x2,在复平面上
x
y
x
y
处处连续，当x y 0时满足C R方程，
故f (z)仅在(0,0)点可导，在复平面上处处不解析。
2）因为f (z) x2 iy,则u(x, y) x2, v(x, y) y,
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换复习提纲第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n ner z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数 )1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+==反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w 性质与对数函数的性质相同。
复变函数与积分变换公式汇总
复变函数与积分变换公式汇总一、复变函数复变函数是将复数域上的变量映射到复数域上的函数。
形式上，复变函数可以表示为f(z) = u(x,y) + iv(x,y)，其中z = x + iy是自变量，u(x,y)和v(x,y)是实部和虚部函数。
复变函数的性质包括解析性、全纯性、调和以及实部虚部的关系等。
1.解析函数性质解析函数是复变函数的重要性质之一，它表示函数在其定义域内处处可导，并且其导数连续。
如果f(z)是定义在区域D上的函数，满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)是该区域上的解析函数。
Cauchy-Riemann条件可以表示为：∂u/∂x=∂v/∂y,∂u/∂y=-∂v/∂x2.全纯函数性质全纯函数是解析函数的特殊情形，它在整个复平面上都有定义，并且是解析的。
全纯函数还有许多重要的性质，如Liouville定理、最大模原理等。
3.调和函数性质调和函数是复平面上的实函数，满足拉普拉斯方程(△u=∂²u/∂x²+∂²u/∂y²=0)。
调和函数在物理学中有广泛的应用，例如描述电势、热力学等现象。
4.实部虚部关系对于任意一个复变函数f(z)，其实部u(x,y)和虚部v(x,y)之间有一些重要的关系。
例如，如果f(z)是一个解析函数，则它的实部和虚部函数满足调和方程，并且u(x,y)和v(x,y)是共轭调和函数。
二、积分变换公式积分变换是对函数进行积分操作的数学工具，常用于求解微分方程、信号处理等问题。
常见的积分变换公式包括拉普拉斯变换和傅里叶变换等。
1.拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种广泛应用于信号分析和控制系统的积分变换方法。
定义域为半无穷区间的函数f(t)在复平面上进行拉普拉斯变换后得到一个复变函数F(s)，满足积分方程：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] f(t)e^(-st) dt2.拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换具有一些重要的性质，如线性性、位移性质、尺度变换、微分性质等。
大学复变函数与积分变换复习.
复变函数与积分变换第一课一、复数的加减乘除举例：①(2+3i)+(3+4i)=(2+3)+(3+4)i=5+7i例例2：已知z=3+3i，w= − ，试求Re(w)，Im(w)。
+w=z−1=3+3i−1=2+3i=18+ 1 iz+i 3+3i+i 3+4i 25 25Re(w)=18，Im(w)= 125 25三、求某复数的共轭复数例1：已知z=9−10i，试求。
例2例1∴ |z|=√12 + 12=√2∵ arg(z)∈(−π,π]∴ arg(z)=π4Arg(z)=π+2kπ，k=0,±1,±2···4例2：已知w=−2+2i，试求w 的模、辐角、辐角主值。
∵ Re(w)=−2，Im(w)=2五、复数的开方例 1：求 √|z|=|16|=16，θ=arg(16)=04 1 0+2kπ 0+2kπ √16=16 4 (cos4 + isin 4 ) =2(cos kπ + isin kπ)，k=0,1,2,32 2例 1∴ 三角式 z=4[cos (− 5 π) + isin (− 5 π)]6 6i·(−5π) 指数式 z=4e 6例2：将z=4(° + °)化为代数式、指数式。
r=4，θ=30°∴ x=rcosθ=4cos30°=2√3y=rsinθ=4sin30°=2∴ 代数式z=2√3+2ii·30°i·π指数式z=4e =4e 6复变函数与积分变换第二课一、将由x、y 表示的方程化为复数形式例1：将2x+3y=1 化为复数形式。
x = z+z将{ 2代入原方程y = z−z2i则例1将即x=2= ⋯三、将{= ⋯ 形式的参数方程化为复数形式化为复数形式。
例1：将{ = += +z=x+yi=(t+1)+i·(t2+1)= ⋯四、将复数形式的参数方程化为{= ⋯ 形式/一般形式例1：将z=(1+i)t+2+i 化为一般形式。
复变函数和积分变换重要知识点归纳
.WORD.格式.复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z ez z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数与积分变换重要知识点归纳
（一）复数的概念1. 复数的概念：z x iy , X, y 是实数,x Re z , y Im z . i 2注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小2. 复数的表示1） 模：z 贋~y 2 ；2） 幅角：在z 0时，矢量与x 轴正向的夹角，记为Arg z （多值函数）；主值arg z 是位 于（，］中的幅角。
3） a rg z 与arctan#之间的关系如下:x当 x 0, arg zarctan'；xy0,arg z arcta n — x y0,arg z arcta n 丄x4） 三角表示：z z cos isin ，其中 arg z ;注：中间一定是“ +”号5） 指数表示:z z e i ，其中 arg z 。
（二）复数的运算复变函数复习重点y 当x 0,y1. 加减法：若乙x! iy“Z2 X2 i y2，贝U x x2 i y1 y22. 乘除法：1) 若 z-i 捲 iy 「Z 2 X 2 iy 2，则召勺住 yy i X2% w ；N i% X 2 iy 2 X 2 iy 2 X 2 iy 23.（三）复变函数1.复变函数：w f z ，在几何上可以看作把z 平面上的一个点集D 变到w 平面上的一个 点集G 的映射.2.复初等函数e z e X cosy is in y ,在z 平面处处可导，处处解析；且 e z1ie% i% Z 2X 2 iy 2X 1X 2 y“2 i y 1X 2 y 2X 12) 若 Z | Z i e 1, Z 2z 2 e i 21) 若Z 2) 若ZnZz (cos Z (cos 1ncosisinisin 2kzdzd ，则，则2k i sin —nnz (cosni sin n(k 0,1,2卅 n 1))z"e in 。
（有n 个相异的值）1）指数函数注：e z是以2 i为周期的周期函数。
（注意与实函数不同）3) 对数函数：Lnz ln z i(argz 2k ) (k 0, 1, 2”)(多值函数);主值：In z lnz i argz。
复变函数与积分变换总结_1
复变函数与积分变换总结_1复变函数与积分变换总结_11.复变函数复变函数是定义在复数域上的函数。
和实变函数类似，复变函数也具有实部和虚部。
复变函数有很多重要的性质和定理，以下是其中的一些重要内容：（1）柯西-黎曼方程：对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u和v为实变函数，它们分别表示f的实部和虚部。
如果f在局部有定义且可导，则f满足柯西-黎曼方程：∂u/∂x=∂v/∂y，∂u/∂y=-∂v/∂x。
这个方程是复变函数可导的充分必要条件。
（2）柯西积分定理：柯西积分定理是复变函数理论中的重要定理，它表示若f是一个在区域D上解析的函数，则对于D内任意闭合曲线C，有∮Cf(z)dz=0。
这个定理说明，对于解析函数来说，沿着闭合曲线的积分值为0。
（3）柯西积分公式：柯西积分公式是复变函数理论中的另一个重要定理，它给出了在解析函数上对闭合曲线上的导数的表达式。
设f是D内的解析函数，z0是D内任意一点，且C是以z0为中心的一条简单闭曲线，且完全在D内，则有f(n)(z0)=n!/2πi∮C(f(z)/(z-z0)^(n+1))dz，其中n为正整数，f(n)(z0)表示f的n次导数在z0处的值。
2.积分变换积分变换是将一个函数通过其中一种数学变换转换为另一个函数的过程，常用的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换。
（1）傅里叶变换：傅里叶变换是将一个时间域上的函数转换为频域上的函数。
对于一个函数f(t)，它的傅里叶变换表示为F(ω)，其中ω是频域上的变量。
傅里叶变换具有线性性、位移性、尺度性和频域去掉奇点的特性。
傅里叶变换广泛应用于信号处理、图像处理等领域。
（2）拉普拉斯变换：拉普拉斯变换是将一个时间域上的函数转换为复平面上的函数。
对于一个函数f(t)，它的拉普拉斯变换表示为F(s)，其中s是复平面上的变量。
拉普拉斯变换具有线性性、位移性、尺度性和频域去掉奇点的特性。
拉普拉斯变换在控制系统、信号处理等领域具有重要应用。
复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数复习重点( 一 ) 复数的概念1.复数的概念： z =x +iy ， x , y 是实数, x = Re (z ), y =Im ( z ) . i =-1. 注：一般两个复数不比较大小，但其模(为实数)有大小 .2.复数的表示 1)模： z =x 2+y 2；2)幅角：在z 0时，矢量与x 轴正向的夹角，记为 Arg ( z ) (多值函 数)；主值arg (z ) 是位于(-,］中的幅角。
3) arg ( z )与arctan y 之间的关系如下： 当x0, arg z = arctan y ；xy 0,arg z = arctan x 0,y 0,arg z = arctan 4)三角表示：z =z (cos + i sin)，其中= arg z ；注：中间一定是“+”号。
5)指数表示： z = z e i ，其中= arg z 。
( 二 ) 复数的运算1.加减法：若 z 1 = x 1 + iy 1, z 2 =x 2+iy 2，则z 1z 2 =(x 1x 2)+i (y 1y 2)2.乘除法：1)若z 1 = x 1 + iy 1, z 2 = x 2 + iy 2 ，则z 1z 2 =(x 1x 2 -y 1y 2)+i (x 2y 1+x 1y 2)；z 1 x 1 + iy 1 (x 1+iy 1)(x 2 -iy 2) x 1x 2 + y 1y 2 y 1x 2 -y 2x 1 z 2 x 2 + iy 2 (x 2 + iy 2 )(x 2 -iy 2) x 22+y 22 x 22+y 222)若z 1 =z 1 e i 1 ,z 2 =z 2 e i 2, 则yx yx+-z 1z 2 = z 1 z 2 e i (1+2)； z 1 = z 1 e i (1-2) z 2z23.乘幂与方根 1) 若z = z (cos + i sin ) = z e i ，则z n = z (cos n + i sin n) = z e in。
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换复习提纲第一章复变函数第二章解析函数u （x, y ） iv （x, y ）可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
幕函数与根式函数3、对数函数1,（3）在单值解析分枝上：（In z ）'kz kiz ize e cosz2iz ize e sin z2i5、反三角函数（了解）掌握利用C-R 方程U x V y 掌握复变函数的导数:U y判别复变函数的可导性与解析性。
V xf'⑵匚UxiVxiU y VyU x iU yiVxn nr (cos i sin ) (cosni sinnn inr e单值函数1 i arg z2 k n nr ek =o 、 1、2、…、n-1)n 多值函数2、 指数函数：w e z e x(cos y i siny)性质：（1）单值.（2） 复平面上处处解析, (e z )'(3)以 2 i 为周期w Lnz lnz i(arg z2k ) lnz i2k（k=0、土 1、土 2 . ）性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析（3）周期性 （4）无界、复变数和复变函数U x, y 二、复变函数的极限与连续iv x, y极限 lim f (z)z z连续 lim f (z)f (z 0)z z、复变函数w f （z ） 1、 性质：（1 ）多值函数，（2） 除原点及负实轴处外解析4、三角函数:反正弦函数 wArc sin z丄L n(iz 、1 z 2) i反余弦函数 w Arccosz !Ln （z z 2 1）i性质与对数函数的性质相同。
s sLnz s[ln z| （2k arg z ） i]6、一般幂函数：z e e（k =o 、±1…）四、调和函数与共轭调和函数：1） 调和函数：2u （x, y ） 02） 已知解析函数的实部（虚部），求其虚部（实部） 有三种方法：a ）全微分法b ）利用C-R 方程 c）不定积分法第三章解析函数的积分一、 复变函数的积分| f z dz udx vdy i vdx udy 存在的条件。
复变函数与积分变换重点公式归纳39033
复变函数与积分变换复习提纲第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+==二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0 连续 )()(lim 00z f z f z z =→ 第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy y x v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y f i iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=ΛΛ1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n n e r z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数 2、指数函数：)sin (cos y i y e e w x z +==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zz e e =)'(（3）以i π2为周期3、对数函数 ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --= 性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数 )1(1sin 2z iz Ln i z Arc w -+==反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w 性质与对数函数的性质相同。
复变函数与积分变换知识点总结
复变函数与积分变换知识点总结复变函数与积分变换是数学中重要的概念和工具，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
复变函数是指定义在复平面上的函数，具有复数作为自变量和函数值，积分变换是指通过对函数进行积分操作来获得新的函数。
本文将对复变函数与积分变换的相关知识进行总结，包括复变函数的定义与性质、积分变换的定义与性质、常见的复变函数以及常见的积分变换。
一、复变函数的定义与性质1. 复变函数的定义：复变函数是指定义在复平面上的函数，具有复数作为自变量和函数值。
一般来说，复变函数可以写成f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy表示复平面上的点，u(x,y)和v(x,y)分别是实部和虚部函数。
2.复变函数的性质：（1）连续性：复变函数在复平面上连续，当且仅当实部和虚部函数分别在该点连续。
（2）可微性：复变函数在复平面上可微，当且仅当实部和虚部函数具有一阶连续偏导数，并满足复合函数的求导法则。
（3）调和函数：实部和虚部函数都是二阶偏导数连续的函数，若满足拉普拉斯方程△u=0，则称u(x,y)为调和函数。
二、积分变换的定义与性质1. 积分变换的定义：积分变换是一种将函数通过积分操作转换为另一种函数的方法。
一般来说，积分变换可以写成F(s)=∫f(t)e^(-st)dt，其中s为复变量，f(t)为原函数。
2.积分变换的性质：（1）线性性：积分变换具有线性性质，即对于常数a和b，以及函数f(t)和g(t)，有积分变换[a*f(t)+b*g(t)](s)=a*F(s)+b*G(s)。
（2）平移性：若对于函数f(t)，其积分变换为F(s)，则e^(at)*f(t)的积分变换为F(s-a)。
（3）卷积性：若函数f(t)和g(t)的积分变换分别为F(s)和G(s)，则f(t)*g(t)的积分变换为F(s)*G(s)。
三、常见的复变函数1. 复指数函数：复指数函数的表达式为e^(z)=e^(x+iy)=e^x*cos(y)+ie^x*sin(y)，其中x和y分别是实部和虚部。
复变函数与积分变换复习重点
2．复初等函数1）指数函数：()cos sin z x e e y i y =+，在z 平面处处可导，处处解析；且()z z e e '=。
注：z e 是以2i π为周期的周期函数。
（注意与实函数不同） 1） 对数函数： ln (arg 2)Lnz z i z k π=++(0,1,2)k =±±（多值函数）； 主值：ln ln arg z z i z =+。
（单值函数）Lnz 的每一个主值分支ln z 在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且()1lnz z'=；注：负复数也有对数存在。
（与实函数不同）3）乘幂与幂函数：(0)bbLnaae a =≠；(0)bbLnzze z =≠注：在除去原点及负实轴的z 平面内处处解析，且()1b b z bz -'=。
4）三角函数：sin cos sin ,cos ,t ,22cos sin iz iz iz iz e e e e z zz z gz ctgz i z z---+====sin ,cos z z 在z 平面内解析，且()()sin cos ,cos sin z z z z ''==-注：有界性sin 1,cos 1z z ≤≤不再成立；（与实函数不同） 2）双曲函数 ,22z z z ze e e e shz chz ---+==；shz奇函数，c h z 是偶函数。
,s h z c h z 在z 平面内解析，且()(),s h z c h z c h z s h z''==。
（四）解析函数的概念 1．复变函数的导数1）点可导：()0f z '=()()000lim z f z z f z z∆→+∆-∆； 2）区域可导： ()f z 在区域内点点可导。
2．解析函数的概念1）点解析： ()f z 在0z 及其0z 的邻域内可导，称()f z 在0z 点解析； 2）区域解析： ()f z 在区域内每一点解析，称()f z 在区域内解析； 3）若()f z 在0z 点不解析，称0z 为()f z 的奇点；3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数； （五）函数可导与解析的充要条件1．函数可导的充要条件：()()(),,f z u x y iv x y =+在z x iy =+可导⇔(),u x y 和(),v x y 在(),x y 可微，且在(),x y 处满足C D -条件：,u vu vx yy x∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 此时， 有()u v f z i xx∂∂'=+∂∂。
复变函数与积分变换复习资料
复变函数复习重点(一）复数的概念1。
复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数， ()()Re ,Im x z y z ==。
21i =-。
注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2。
复数的表示1）模：z =2)幅角:在0z ≠时,矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角.3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下： 当0,x > arg arctan yz x =;当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4)三角表示:()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=;注:中间一定是“+"号. 5)指数表示:i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+,则()()121212z z x x i y y ±=±+± 2。
乘除法:1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==， 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-= 3。
乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )n nn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数与积分变换期末总复习
24
例7 试求 (1 i)1i 函数值及其主值:
解
(1 i )1i e(1i )ln(1i ) e(1i )ln
2i
4
2k
e e ln 2 2k i 2kln 2
4 4
ln
第一章 复数与复变函数
1. 复数代数运算 2. 复数的各种表示法 3. 乘幂与方根运算公式 4. 复数方程表示曲线以及不等式表示 区域
1
例2 已知 x2 x 1 0, 求 x11 x7 x3 的值.
解 因为 x3 1 ( x 1)(x2 x 1),
而 x2 x 1 0,故x是一个三次单位根 ,
ln
2
i
sin
4
ln
2 .
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第三章 复变函数的积分
1. 复积分的计算公式及基本性质 2.复积分的基本定理 3.柯西积分公式与高阶导数公式
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积分存在的条件及计算
（1）化成线积分 设 f (z) u( x, y) iv( x, y) 沿逐段光滑的曲线C
e2iz e2ki
z k.
(k 0, 1, 2,)
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例6 求出 (2) 2 的值.
解
(2) 2 e 2ln( 2)
e 2ln 2i(2k)
e 2ln2{cos[ 2(2k 1)] i sin[ 2(2k 1)]}
(k 0, 1, 2,)
Ln z ln z 2ki (k 0,1,2,).
14
对于每一个固定的k , 可确定一个单值函数, 称为Ln z 的一个分支.
大学高数复变函数与积分变换复习公式知识点
ℱ f nx ( j)n F()
4、积分性质
ℱ
x x0
f
xdx
1 F () j
ℱ
(
j
xn)
f
x
d
n F () d n
由 Fourier 变换的微分和积分性质，我们可以利用 Fourier 变换求解微积分方程。
四、卷积和卷积定理
f1(x) * f2 (x) f1( ) f2 (x )d
2、闭路积分： a) f zdz c
利用留数定理，柯西积分公式，高阶导数公式。
b) [u(x, y) iv(x, y)]dz c
三、柯西积分定理：
c f zdz 0
推论 1：积分与路径无关
f zdz z2 f (z)dz
c
z1
推论 2：利用原函数计算积分
z2 z1
f
(z)dz
F(z2 ) F(z1)
第四章 解析函数的级数
一、幂级数及收敛半径：
an (z b)n
n0
1、一个收敛半径为 R（≠0）的幂级数，在收敛圆内的和函数 f (z) 是解析函数，在这个收敛圆内，这
个展开式可以逐项积分和逐项求导，即有：
f 'z nan z bn n1
zb R
z f
0
z dz
n0
z
l an
大学高数复变函数与积分变换复习公式知识点
第一章 复变函数 一、复变数和复变函数
w f z ux, y ivx, y
二、复变函数的极限与连续
极限 lim f (z) A zz0
连续
lim f (z)
zz0
f (z0)
第二章 解析函数
一、复变函数 w f (z) u(x, y) iv(x, y) 可导与解析的概念。
总复习题(复变)
《复变函数与积分变换》总复习题一、填空1.=+-4)i1i 1( 。
2. 2z 1lim 1+z →∞= 。
3. 已知虚数8z 3=，则=+++22z z z 23 。
4. i 31z 1+-=，i 1z 2+-=，=21z argz 。
5.=+3)i 31( 。
6. 区域就是 。
7.函数)y ,x (iv )y ,x (u )z (f +=在区域D 内解析的充分必要条件是：)y ,x (u 和)y ,x (v 在D 内任一点iy x z +=可微，而且满足柯西—黎曼方程即 。
8. 如果函数)z (f 在0z 及其邻域内处处可导，则称)z (f 在0z 。
9.没有重点的连续曲线C ，称为 曲线（或若尔当曲线）。
10. 复平面加上无穷远点称为 。
11. 若()f z 在0z 不解析，则称0z 为()f z 的 。
12. 如果函数()f z 在单连通域D 内处处解析，那么()f z 沿D 内的任意一条封闭曲线C 的积分()Cf z dz =⎰Ñ 。
13.+=lnz Lnz 。
14. 如果二元实函数)y ,x (ϕ在区域D 内有二阶连续偏导数，且满足二维拉普拉斯方程0yx 2222=∂∂+∂∂ϕϕ，则称)y ,x (ϕ为区域D 内的 。
15. 复变函数)y ,x (iv )y ,x (u )z (f +=在区域D 内解析的充要条件为：在区域D 内，)z (f 的虚部)y ,x (v 是实部)y ,x (u 的 。
16. 3i2e-的辐角主值为 。
17. 一个解析函数在圆心处的值等于它在 上的平均值。
18. 如果函数)z (f 在单连通域B 内处处解析，那么函数)z (f 沿B 内的任何一条封闭曲线C 的积分为_____________________。
19. 设函数)z (f 在区域D 内解析，且)z (f 不是常数，则在D 内)z (f 最大值。
20. 在区域D 内解析的函数，若其模在D 的内点达到最大值，则此函数必恒为 。
青岛理工大学复变函数与积分变换复习
第三象限减。
6. 乘幂与方根
x 0, y 0
A. 复数乘幂的简化
B. 方根------求根公式
n
z
n
i 2k
re n
(k 0,1,2,, n 1)
n
r (cos
2k
i sin
2k
)
n
n
做题步骤： 1. 分别写出题目所给出复数的实部与虚部； 2. 求复数的模，共轭复数; 3. 判断复数所在的象限，计算辐角主值； 4. 写出该复数所要求的相应表达式。
2. 留数
A.定义：Re
s[
f
( z ),
z0 ]
c1
n
1
2i
C
f (z)dz
B.留数定理： f C
C.计算规则：
(
z)dz
2i
k 1
Re
s[
f
(
z),
zk
]
(i)若z z0为可去奇点 c1 0 Re s[ f (z), z0 ] 0
(ii)若z z0为本性奇点 Re s[ f (z), z0 ] c1
f (z)dz
Ck
F (z1) f (z) dz z z0
特殊化：点洞
f (z) dz 2if (
C z z0
留数定理 z0 )
G.高阶求导公式：f
(n)
( z0 )
n!
2i
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
2i
n!
f (n) (z0 )
C
(z
5. 初等函数
指数函数e
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判断函数f(z) = u(x,y) +iv(x,y)在D内是否解析，只需判断两点：
(1) u( x, y), v( x, y)在D内偏导数连续；
u v (2) 满足C R方程： , x y
w f ( z)
——对于集合G中给定的
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复变函数的极限与连续性
1. 复变函数的极限的定义
定义1.1设函数w=f(z)在z0的去心邻域0 z z0 内有定义。若有确定的 复数A（A ）存在，对于任意给定的 0,总存在一个整数 ，使得对满 足0 z z0 （0< ）的一切z，都有 f(z) A ,则称A为函数f(z) 当z趋向于z0时的极限，记作： lim f(z) = A或f(z) → A(当z → z 0 )
Chap 1 复数与复变函数
1.复数的四则运算 加：Z1 + Z2 = x1 + iy1 + x 2 + iy 2 (x1 + x 2 ) + i(y1 + y 2 )
减： Z1
- Z2 = x1 + iy1 - (x 2 + iy 2 ) (x1 + x 2) - i(y1 + y 2 )
(x1y 2 + x 2y1 乘：Z1 Z2 = (x1 + iy1) (x 2 + iy 2 ) (x1x 2 - y1y 2 ) i
除：Z1
Z2
x1 + iy1 Z1 Z2 (x1x2 + y1 y2 ) i (x1 y2 - x2 y1 ) = x 2 + iy2 Z2 Z2 x 22 + y 22 (x1x 2 + y1y2 ) (x1y2 - x 2 y1 ) i 2 2 x 2 + y2 x 22 + y 22
(4)对D内每一点都成立
2、存在判别法-- 转化为实函数的连续性 定理1.2 f ( z )在z0点连续 实、虚部函数 u ( x, y ) 、 v ( x, y ) 均在点( x0 , y0 )处连续。
3、四则运算性质及复合函数的连续性。
4、有界闭区域 D上连续函数的最大 小 模存在定理。
单连通域 — 无洞、 无瑕点 多连通域 — 有洞或有瑕点
5
6
5. 复变函数 复变函数的概念
定义
D w | w f(z),z G 称为函数值集合(值域).
单值函数 分类—— 多值函数
z x iy ，总有一个（或几个）确定的复数 w u iv 与之对应，并称G为定义集合，而
乘方 开方 De Moivre 公式 zn = [r (cos +i sin)]n = r n (cos n +i sin n)] ϖ = ρ(cosϕ +i sinϕ)
wn z
1 n
z = r(cos +i sin)
1 1 w z {cos[ (arg z 2k )] i sin[ (arg z 2k )]},k 0,1, ,n 1 n n
f ( z ) e x cos y ie x sin y e x (cos y i sin y ) 称为z的指数函数( Exponentialf unction)
注 | e z | e x , Arg (e z ) y 2k , e z 0 当 Re( z ) x 0即z iy时， 变为欧拉公式 e iy cos y i sin y
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3.平面点集
开集和闭集
领域
z - z0 < δ
边界
P 区域
z1
δ
z0 z2
去心邻域 0 z - z 0 < δ
内点：对任意z0属于G，若存在z0的一个领域， 使该邻域内的所有点都 属于G，则称z0是G的内点 开集：若G内的每一点都是内点，则称G是开集
区域及分类 区域——连通的开集。 闭区域——区域和它的边界一起构成。
v是u的共轭调和函数
解析函数的虚部必为实部的共轭调和数
已知共轭调和函数中的一个，可利用 C-R 方程求得另一 个，从而构成一个解析函数。
方法：
1.用不定积分法求复变函数（C R方程）
2.用偏积分法求函数v( x, y).
3.用线积分法求函数(二维拉普拉斯方程）
二.初等函数 1. 指数函数 1 、 定义
z → z0
2、存在判别法 转化为实函数极限存在性判别
定理 1.1 设 f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y ), A u0 iv0 , z0 x0 iy0 , 则
z z0
lim f ( z ) A lim u ( x, y ) u0 , lim v( x, y ) v0
u v . y x
3.调和函数的概念 定义2.3 若 在区域D内有二阶连续偏导
2 2
且满足 0 2 2 x y (称此为调和方程或Laplace方程)
则称实函数 ( x, y)为区域D 内的调和函数。
定义2.4 若u与v是区域D内的调和函数且满足C R方程
f(z) dz
闭路变形原理—复合闭路定理的特例
假设C及C1为任意两条简单闭曲线，C1在C内 部，设函数f ( z )在C及C1所围的二连域D内解析，在 边界上连续，则
f z dz
C1
C2
f z dz .
C1
A
D
C2
B
推论：复合闭路定理—柯西定理在多连域的推广
设C1 , C2 ,, Cn为简单闭曲线 (互不包含且互不相交)，
x x0 y y0 x x0 y y0
3、四则运算法则 类似一元实函数的极限
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复变函数的连续性
1.定义1.2 (1)f ( z0 )存在 ; (2) lim f ( z )存在 ;
z z0
(3)两值相等 ， 即 lim f ( z ) f ( z0 )
z z0
(3)若f ( z)在z0处不解析，那么称z0为函数f ( z)的奇点.
函数解析的充分必要条件
定理1：函数f ( z ) u( x, y) iv( x, y)定义在区域D 内，则
f ( z)在D内一点z x iy处可导的充分必要条件是： (1)u( x, y)与v( x, y)在点( x, y)可微；
w z e
4.三角函数
Lnz
e
( ln| z| i arg( z ) 2 k i )
为正实数，规定:当z 0时有z 0
将欧拉公式推广到任意复数情形得eiz cos z i sin z , eiz cos z i sin z eiz e iz eiz e iz sin z , cos z 2i 2
2.对数函数
满足方程 ew z ( z 0) 的w为复数z的对数函数
记作w Lnz
推导
= ln | z | i arg( z) 2ki
主值对数 — k 0的分支
ln z ln | z | iarg(z) , Lnz ln z 2k πi
3.幂函数
对任意复数及z 0， 定义幂函数w z 为
3)化为参变量的定积分来计算
积分的性质 （1） c f z dz c
（3）
c
c
f z dz
c
t
t
f z t z t dt
f z dz; （2）c k f z dz k
f z dz
c
（4）
C1 C2
C为包含C1 , C2 ,, Cn的简单闭曲线，
D为由边界曲线 C C1 C2 Cn
所围成的多连通区域， f ( z )在D内解析.
在D D 上连续, 则
C
或
f ( z )dz 0
f ( z )dz
i 1 n
D
Ci
Ci
C
f ( z )dz.
2.复数的三角表示
z x iy 点M ( x, y) OM （1）模—— OM 的长度 r ，记为 | z | ，则
| z | r x2 y2
与
（2）辐角( z
0 )—— OM
ox 轴正向的夹角 (周期性)
记Arg ( z) ，则x r cos , y r sin
若函数 f z 在单连通域D内处处解析，则 f z 沿D内的任意一条闭曲线 （可以不是简单的）C有
c
f z dz 0
定理3.3
设函数f(z)在单连通区域D内解析，Z0与Z1为D内任意两点， C1与C2为连接Z0与Z1的积分路线,C1,C2都含于D，则
C1
f(z) dz
C2
5.双曲函数 6.反三角函数
Chap3 复变函数的积分
1.复积分的概念 定理3.1 积分存在的条件及其计算方法 1) C为连续函数且是光滑(或按段光滑)曲线时，积分是一定存在的
2)可以通过两个二元实变函数的积分来计算。
c
f z dz
udx vdy i vdx udy
c
3.柯西积分公式
定理3.7(柯西积分公式) 如果f ( z )在区域D内处处解析， C为D内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D, z0为C内的任一点，则
1 f ( z0 ) 2πi f ( z) d z. z z0