创新问题专项训练(一)

创新问题专项训练(一)一、选择题1.如图，直线l 和圆C ，当l 从l 0开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图像大致是( )2．已知两个非零向量a 与b ，定义|a ×b |＝|a |·|b |sin θ，其中θ为a 与b 的夹角．若a ＝(－3,4)，b ＝(0,2)，则|a ×b |的值为( )A ．－8B ．－6C ．8D ．63．设实数a 1，a 2，a 3，a 4是一个等差数列，且满足1<a 1<3，a 3＝4.若定义b n ＝{2a n }，给出下列命题：(1)b 1，b 2，b 3，b 4是一个等比数列；(2)b 1<b 2；(3)b 2>4；(4)b 4>32；(5)b 2·b 4＝256.其中真命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．54．我们把形如y ＝f (x )φ(x )的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边求对数得ln y ＝φ(x )ln f (x )，两边求导得y ′y ＝φ′(x )·ln f (x )＋φ(x )·f ′(x )f (x )，于是y ′＝f (x )φ(x )[φ′(x )·ln f (x )＋φ(x )·f ′(x )f (x )]．运用此方法可以探求得y ＝x 1x 的一个单调递增区间是( )A ．(e,4)B ．(3,6)C ．(2,3)D ．(0,1)5．对向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)定义一种运算“⊗”：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知动点P ，Q 分别在曲线y ＝sin x 和y ＝f (x )上运动，且OQ＝m ⊗OP ＋n (其中O 为坐标原点)，若向量m ＝(12，3)，n ＝(π6，0)，则y ＝f (x )的最大值为( )A.12B ．2C ．3D. 3二、填空题6．设a ＝x 2－xy ＋y 2，b ＝p xy ，c ＝x ＋y ，若对任意的正实数x ，y ，都存在以a ，b ，c 为三边长的三角形，则实数p 的取值范围是________．7．若从集合113,434⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，中随机抽取一个数记为a ，从集合{－1,1，－2,2}中随机抽取一个数记为b ，则函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的图像经过第三象限的概率是________．8.一个平面图由若干顶点与边组成，各顶点用一串从1开始的连续自然数进行编号，记各边的编号为它的两个端点的编号差的绝对值，若各条边的编号正好也是一串从1开始的连续自然数，则称这样的图形为“优美图”．已知如图是“优美图”，则点A，B与边a所对应的三个数分别为________．9．已知数列{a n}：a1，a2，a3，…，a n，如果数列{b n}：b1，b2，b3，…，b n满足b1＝a n，b k＝a k－1＋a k－b k－1，其中k＝2,3，…，n，则称{b n}为{a n}的“衍生数列”．若数列{a n}：a1，a2，a3，a4的“衍生数列”是5，－2,7,2，则{a n}为________；若n为偶数，且{a n}的“衍生数列”是{b n}，则{b n}的“衍生数列”是________．三、解答题10．设数列{a n}的各项均为正数．若对任意的n∈N*，存在k∈N*，使得a2n＋k＝a n·a n＋2k 成立，则称数列{a n}为“J k型”数列．(1)若数列{a n}是“J2型”数列，且a2＝8，a8＝1，求a2n；(2)若数列{a n}既是“J3型”数列，又是“J4型”数列，证明：数列{a n}是等比数列．11．春节前，有超过20万名广西，四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人员因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交通事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾驶人员休息站，让过往返乡过年的摩托车驾驶人员有一个停车休息的场所．交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就进行省籍询问一次，询问结果如图所示．(1)问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法；(2)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的被抽取了5名，则四川籍的应抽取几名？(3)在上述抽出的驾驶人员中任取2名，求至少有1名驾驶人员是广西籍的概率．答案1．选D依题意，直线l从l0开始按逆时针方向匀速转动，开始一段时间阴影部分的面积增加的比较慢，中间一段时间阴影部分的面积增加的比较快，最后一段时间阴影部分的面积增加的又比较慢，因此结合各选项知，选D.2．选D |a |＝(－3)2＋42＝5，|b |＝02＋22＝2，a ·b ＝－3×0＋4×2＝8，所以cos θ＝a ·b |a |·|b |＝85×2＝45，又因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝1－cos 2θ＝ 1－⎝⎛⎭⎫452＝35.故根据定义可知|a ×b |＝|a |·|b |sin θ＝5×2×35＝6.3．选C 若{a n }是公差为d 的等差数列，则{2a n }是公比为2d 的等比数列，故(1)正确；a 3>a 1⇒公差d >0⇒公比2d >1，(2)正确；a 1＋a 3＝2a 2，由1<a 1<3，a 3＝4，得a 1＋a 3>5⇒a 2>2⇒b 2＝2a 2>4，(3)正确；1<a 1<3，a 3＝4，又a 3＝a 1＋2d ⇒d ＝4－a 12∈(12，32)⇒a 4∈(92，112)，故b 4＝2a 4不一定大于32，(4)不正确；因为b 2·b 4＝b 23＝(2a 3)2＝256，所以(5)正确．4．选D 由题意知y ′＝x 1x(－1x 2ln x ＋1x ·1x )＝x 1x ·1x 2(1－ln x )，x >0，1x 2>0，x 1x >0，令y ′>0，则1－ln x >0，所以0<x <e ，因为(0,1)⊆(0，e)，所以选D.5．选C 设P ＝(x 1，y 1)，Q ＝(x ，y )，∵m ＝(12，3)，∴m ⊗OP ＝(12，3)⊗(x 1，y 1)＝(x 12，3y 1)，∵OQ ＝m ⊗OP ＋n ，∴(x ，y )＝(x 12，3y 1)＋(π6，0)，∴x ＝x 12＋π6，y ＝3y 1，∴x 1＝2x －π3，y 1＝y3，又y 1＝sin x 1，∴y 3＝sin(2x －π3)，∴y ＝3sin(2x －π3)，显然当sin(2x －π3)＝1时，y ＝f (x )取得最大值3.6．解析：∵a ＝x 2－xy ＋y 2，b ＝p xy ，c ＝x ＋y ，∴a <c ，∴⎩⎨⎧x 2－xy ＋y 2＋p xy >x 2＋2xy ＋y 2，x 2－xy ＋y 2＋x 2＋2xy ＋y 2>p xy ，即⎩⎪⎨⎪⎧p > x y ＋yx ＋2－ x y ＋yx －1，p <x y ＋yx＋2＋ x y ＋yx－1，令t ＝x y ＋yx(t ≥2)，则⎩⎨⎧p >t ＋2－t －1p <t ＋2＋t －1，从而1<p <3. 答案：(1,3)7．解析：(b ，a )的所有可能情况有：⎝⎛⎭⎫－1，13，⎝⎛⎭⎫－1，14，(－1,3)，(－1,4)；⎝⎛⎭⎫1，13，⎝⎛⎭⎫1，14，(1,3)，(1,4)；⎝⎛⎭⎫－2，13，⎝⎛⎭⎫－2，14，(－2,3)，(－2,4)；⎝⎛⎭⎫2，13，⎝⎛⎭⎫2，14，(2,3)，(2,4)，共16种．由于函数f (x )的图象经过第三象限，因此，0<a <1，b <－1或a >1，b <0，因此满足条件的(b ，a )有：(－1,3)，(－1,4)，(－2，13)，(－2，14)，(－2,3)，(－2,4)，共6种．根据古典概型的概率计算公式可得P ＝616＝38.答案：388．解析：观察图中编号为4的边，由于6－2＝5－1＝4，而数字2已为一端点的编号，故编号为4的边的左、右两端点应为5、1，从而易知编号为1的边的左、右两端点应为4、3.考虑到图中编号为1的边，易知点A 对应的数为3，点B 对应的数为6.故应填3、6、3.答案：3、6、39．解析：由b 1＝a n ，b k ＝a k －1＋a k －b k －1，k ＝2,3，…，n 可得，a 4＝5,2＝a 3＋a 4－7，解得a 3＝4.又7＝a 2＋a 3－(－2)，解得a 2＝1.由－2＝a 1＋a 2－5，解得a 1＝2，所以数列{a n }为2,1,4,5.由已知，b 1＝a 1－(a 1－a n )，b 2＝a 1＋a 2－b 1＝a 2＋(a 1－a n )，….因为n 是偶数，所以b n ＝a n ＋(－1)n (a 1－a n )＝a 1.设{b n }的“衍生数列”为{c n }，则c i ＝b i ＋(－1)i (b 1－b n )＝a i ＋(－1)i ·(a 1－a n )＋(－1)i (b 1－b n )＝a i ＋(－1)i (a 1－a n )＋(－1)i ·(a n －a 1)＝a i ，其中i ＝1,2,3，…，n .则{b n }的“衍生数列”是{a n }．答案：2,1,4,5 {a n }10．解：(1)由题意得a 2，a 4，a 6，a 8，…成等比数列，且公比q ＝(a 8a 2)13＝12，所以a 2n ＝a 2q n －1＝(12)n －4.(2)由数列{a n }是“J 4型”数列，得a 1，a 5，a 9，a 13，a 17，a 21，…成等比数列，设公比为t . 由数列{a n }是“J 3型”数列，得a 1，a 4，a 7，a 10，a 13，…成等比数列，设公比为α1； a 2，a 5，a 8，a 11，a 14，…成等比数列，设公比为α2； a 3，a 6，a 9，a 12，a 15，…成等比数列，设公比为α3. 则a 13a 1＝α41＝t 3，a 17a 5＝α42＝t 3，a 21a 9＝α43＝t 3. 所以α1＝α2＝α3，不妨记α＝α1＝α2＝α3，且t ＝α43.于是a 3k －2＝a 1αk －1＝a 1(3α)(3k －2)－1， a 3k －1＝a 5αk －2＝a 1tαk －2＝a 1α23k －＝a 1(3α)(3k －1)－1，a 3k ＝a 9αk －3＝a 1t 2αk －3＝a 1α13k －＝a 1(3α)3k －1，所以a n ＝a 1(3α)n －1，故{a n }为等比数列．11．解：(1)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法． (2)从图中可知，被询问了省籍的驾驶人员是广西籍的有5＋20＋25＋20＋30＝100名， 四川籍的有15＋10＋5＋5＋5＝40名．设四川籍的驾驶人员应抽取x 名，依题意得5100＝x40，解得x ＝2，即四川籍的应抽取2名．(3)用a 1，a 2，a 3，a 4，a 5表示被抽取的广西籍驾驶人员，b 1，b 2表示被抽取的四川籍驾驶人员，则所有基本事件有{a 1，a 2}，{a 1，a 3}，{a 1，a 4}，{a 1，a 5}，{a 1，b 1}，{a 1，b 2}，{a 2，a 3}，{a 2，a 4}，{a 2，a 5}，{a 2，b 1}，{a 2，b 2}，{a 3，a 4}，{a 3，a 5}，{a 3，b 1}，{a 3，b 2}，{a 4，a 5}，{a 4，b 1}，{a 4，b 2}，{a 5，b 1}，{a 5，b 2}，{b 1，b 2}，共21个，其中2名驾驶人员都是四川籍的基本事件有{b 1，b 2},1个． 所以抽取的2名驾驶人员都是四川籍的概率P 1＝121，至少有1名驾驶人员是广西籍的概率P ＝1－P 1＝1－121＝2021.。