答案概率论(A卷)(08级统计学)

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2008-2009-1概率论与数理统计(A)卷答案

2008-2009-1概率论与数理统计（A ）参考答案一．填空题（每空3分，共30分）1．0.58； 2．0.8； 3．310，12； 4．510.9-； 5．0.2； 6．201()0X x x f x <<⎧=⎨⎩其它； 7．2λ＝； 8．13， 2二．（本题10分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率。

解：设A =‘任取一产品，经检验认为是合格品’ B =‘任取一产品确是合格品’则（1） ()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+……………………………(2分) 0.90.950.10.020.857.=⨯+⨯= ………………… …………(3分)（2） ()0.90.95(|)0.9977()0.857P AB P B A P A ⨯=== ……………………(5分) 三．（本题15分）已知连续型随机变量X 的概率密度 20()0xae x f x x -⎧⎪>=⎨⎪≤⎩,求：（1）常数a ；（2）X 的分布函数()F x ；（3）{12}P X <≤；（4）2Y X =的概率密度。

解：（1）由2()1xf x dx ae dx +∞+∞--∞==⎰⎰，得12a =………… … …………(4分) （2）2201010()()20000x x x xe dx x e x F xf x dx x x ---∞⎧⎧≥⎪⎪-≥===⎨⎨⎪⎪<⎩<⎩⎰⎰…………(4分)（以上两步只写结论也给分）（3）111122{12}(2)(1)1(1)P X F F e e e e ----<≤=-=---=- …………(3分)（4）2(){}{}Y F y P Y y P X y =≤=≤ i 〉0y ≤时，()0Y F y =ii 〉0y >时，2(){12x Y F y P X e dx e e-=≤≤==-=-所以()()00Y Yyf y F yy⎧>'==≤⎩……………………(4分) 四．（本题15分）已知(,)X Y为二维离散型随机变量，分布律如下：（1）求常数C；（2）求{}P X Y=的值；（3）求()E X及()D X；（4）求()E XY及(,)Cov X Y。

2008级数理统计试题(A)答案

山西财经大学2010—2011 学年第一学期期末数理统计（A）课程试卷1、本卷考试形式为考试时间为2、考生不得将装订成册的试卷拆散，不得将试卷或答题卡带出考场。

3、考生只允许在密封线以外答题，答在密封线以内的将不予评分。

4、考生答题时一律使用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔（制图、制表等除外）。

5、考生禁止携带手机、耳麦等通讯器材。

否则，视为作弊。

6、可以使用无存贮功能的计算器。

一、填空题（共10小题，每题2分，共计20分）二、选择题（共10小题，每题2分，共计20分）三、计算题（共2小题，每题10分，共计20分）四、应用题（共3小题，每题10分，共计30分）五、证明题（共1小题，每题10分，共计10分）一、填空题（共10小题，每题2分，共计20分）1、设来自总体X 的一个样本观察值为：2.1，5.4，3.2，9.8，3.5，则样本均值 = 4.8 。

2、设61,,X X 为总体)1,0(~N X 的一个样本，且cY 服从2χ分布，这里，26542321)()(X X X X X X Y +++++=，则=c 1/3 。

3、参数估计是统计推断的重要内容，包括参数的点估计和区间估计两类。

4、从总体中随机抽取样本容量n 的样本，用修正样本方差∑=--=n i iX X n S 122)(11~来估计总体方差2σ，则2~S 是2σ的无偏（有效、一致）估计量。

5、设总体是)2,(~μN X ，321,,x x x 是总体的简单随机样本,1ˆμ, 2ˆμ是总体参数μ的两个估计量，且1ˆμ=321414121x x x ++，2ˆμ=321313131x x x ++,其中较有效的估计量是__2ˆμ_______。

6、已知),(~2σμN X ，但2σ未知，令0100:,:μμμμ>≤H H ，抽取样本的容量为n ，则其检验统计量为nS X T /~0μ-=，其中∑=--=n i i X X n S 122)(11~。

2007-08概率统计A卷试题及答案

2007 – 2008学年第一学期《概率论与数理统计A 》试卷答案一、填空题（每小题3分，满分21分，把答案填在题中横线上）1．设()()P A P B p ==，且,A B 至少有一个发生的概率为0.2，,A B 至少有一个不发生的概率为0.6，则p = 0.3 ．解已知()0.2,()0.6P A B P A B == ，0.2()()()()2()P A B P A P B P AB p P AB ==+-=- ，0.6()1()1()P A B P A B P AB ==-=- ，()0.4P AB =， 0.3p =2．11个人随机地围一圆桌而坐，则甲乙两人相邻而坐的概率为 0.2 ．解设A 表示事件“甲乙相邻而坐”。

样本空间所包含的基本事件数为11！，事件A 包含的基本事件数为1129!⨯⨯11292()0.21110P A ⨯⨯===！！ 3．设随机变量~(,)X B n p ，则对任意实数x ，有limn x P →∞⎫≤=⎬⎭()x Φ或22t xdt -⎰． 4．设随机变量X Y 与的方差和相关系数分别为XY ()3,()4,0D X D Y ρ===，则(21)D X Y -+= 16 ．解 (21)(2)D X Y D X Y -+=-(2)()2cov(2,)D X D Y X Y =+- 4()()4cov(,)D X D Y X Y =+-4()()4XY D X D Y ρ=+-=165．设~(0,1)X N ，1.96是标准正态分布的上0.025分位点，则{}1.96P X =≤ 0．975 ．解 1.96是标准正态分布的上0.025分位点，即{}0.0251.96P X =≥{}1.96P X =≤{}110.0250.9751.96P X -=-=>6．设12(,,,)n X X X 是来自总体2(,)N μσ的样本，则当常数k =11n -时， 221()ni i k X X σ==-∑ 是参数2σ的无偏估计量．7．设总体2~(,)X N μσ，12(,,,)n X X X 是来自总体X 的样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，2σ未知，若检验假设0010:,:H H μμμμ=≠~ t (n-1).二、选择题（每小题3分，满分18分）X Y 与满足条件()()()D X Y D X D Y +=+，则下面结论不成立的是（ C ）（A ）X Y 与不相关．（B ）()()()E XY E X E Y =．（C ）X Y 与相互独立．（D ）cov(,)0X Y =．2．设随机变量X 的概率密度为cos ,||,2()0,||.2k x x f x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩ 则k 等于（ B ）（A ）14．（B ）12．（C ）0．（D ）1．3．某班12名战士各有一支归自己使用的枪，枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了一支枪，则拿到是自己枪的人数的数学期望是（ D ）（A ）112．（B ）0．（C ）12．（D ）1．解设1,i 0,i i X ⎧=⎨⎩第个战士拿到自己的枪，第个战士没拿到自己的枪，1,2,,12i = ，则1(),12i E X = 设X 表示拿到自己枪的人数.则121i i X X ==∑1212111()()12112i i i i E X E X E X ==⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭∑∑4．设X Y 与为相互独立的随机变量，其分布函数分别为()X F x 和()Y F y ，则随机变量max(,)Z X Y =的分布函数为（ A ）（A ）()()()Z X Y F z F z F z =．（B ）[][]()1()1()Z X Y F z F z F z =--．（C ）()1()()Z X Y F z F z F z =-．（D ）()()()Z X Y F z F z F z =+．5．设1210(,,,)X X X 是来自总体2(0,)N σ的样本，则下面结论正确的是（ C ）（A ）1022211~(9)kk Xχσ=∑．（B ）1021~(9)k k X t =∑．（C ）1022211~(10)k k X χσ=∑．（D ）1021~(10)k k X t =∑．6．设总体2~(,)X N μσ，μ为未知参数，样本12,,,n X X X 的方差为2S ，对给定的显著水平α，检验假设2201:2,:2H H σσ=<的拒绝域是（ B ）（A ）221/2(1)a n χχ-≤-．（B ）221(1)a n χχ-≤-．（C ）221/2()a n χχ-≤．（D ）221()a n χχ-≤．三、计算题（每小题10分，满分50分）1．一个系统中有三个相互独立的元件，元件损坏的概率都是0.2．当一个元件损坏时，系统发生故障的概率为0.25; 当两个元件损坏时，系统发生故障的概率为0.6; 当三个元件损坏时，系统发生故障的概率为0.95; 当三个元件都不损坏时，系统不发生故障. 求系统发生故障的概率．解设A 表示“系统发生故障”的事件，i B 表示“有i 个元件发生故障”的事件，1,2,3i =；由全概率公式 112233()()()()()()()P A P B P A B P B P A B P B P A B =++ 由已知，1()0.25P A B =，2()0.6P A B =，3()0.95P A B =1213()0.20.80.384P B C =⨯⨯= ，2223()0.20.80.096P B C =⨯⨯= ，3333()0.20.008P B C ==所以1612.095.0008.06.0096.025.0384.0)(=⨯+⨯+⨯=A P 2．设随机变量X 的分布律为X -1 0 1 2P 0.1 2.0 a b若()1E X =，(1)求常数a , b ; (2)求Y=X 2 的分布律.解 (1)由 0.10.21a b +++=,()E X =10.100.212a b -⨯+⨯+⨯+⨯=1,解得a =0.3, b =0.4. (2) Y=X 2的可取值为0,1,4.{}0P Y =={}0P X ==0.2,{}1P Y =={}1P X =-+{}1P X ==0.1+0.3=0.4, {}4P Y =={}==2X P 0.4, 因此Y=X 2 的分布律为Y 0 1 4 P 2.0 0.4 0.43．设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度函数为,0<1,(,)0,Ax x y f x y <<⎧=⎨⎩其他.（1）求常数A ；（2）求关于,X Y 的边缘概率密度函数；（3）判断X Y 与是否相互独立；（4）求{1}P X Y +≤．解（1）由(,)d d 1f x y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰，有 1001d d 6yAy Ax x ==⎰⎰，得6A =；（2）()X f x =(,)d f x y y +∞-∞⎰, 当0x ≤或1x ≥时，()X f x =0,当01x <<时，1()6d 6(1)X x f x x y x x ==-⎰，所以6(1),01;()0.X x x x f x -<<⎧=⎨⎩其它同理 23,01;()0.Y y y f y ⎧<<=⎨⎩其它（3）由(,)()()X Y f x y f x f y ≠，所以X Y 与不相互独立（4）11201(1)6d d 4xx P X Y x x y -+≤==⎰⎰.4．设随机变量X Y 与相互独立，其概率密度分别为0;e ,()0,0.xX x f x x ->⎧=⎨≤⎩ 20;1e ,()20,0.yY y f y y ->⎧⎪=⎨⎪≤⎩求Z X Y =+的概率密度．解法1 由卷积公式 ()()()d Z X Y f z f x f z x x +∞-∞=-⎰因为e >0;()00.xX x f x x -⎧=⎨≤⎩ 21e>0;()200.yY y f y y -⎧⎪=⎨⎪≤⎩所以 0()()()d e ()d xZ X Y Y f z f x f z x x f z x x -+∞+∞-∞=-=-⎰⎰e ()d t zY z t z x f t t --∞=--⎰令e()d t zzY f t t --∞=⎰当0z ≤时 ()e ()d 0t zzZ Y f z f t t --∞==⎰ 当0z >时 201()e ()d ee d 2tt zt zzzZ Y f z f t t t ----∞==⎰⎰2e (e 1),z z -=- ()()()d Z X Yf z f x f z x x +∞-∞=-⎰2e (e 1),0,0,0.zz z z -⎧⎪->=⎨⎪≤⎩解法2 先求Z 的分布函数()Z F z . 联合密度函数为21,0,0,(,)()()20,,y x X Y e e x y f x y f x f y --⎧>>⎪==⎨⎪⎩其它(){}{}(,)Z x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=⎰⎰当0z ≤时, ()(,)0,Z x y zF z f x y dxdy +≤==⎰⎰当0z >时, 21()(,)2yx Z x y zDF z f x y dxdy e e dxdy --+≤==⎰⎰⎰⎰20012yzz x x e dx e dy ---=⎰⎰221z ze e --=-+分布函数为 221,0()0,0z z Z e e z F z z --⎧⎪-+>=⎨⎪≤⎩再求导,得概率密度 2e (e 1),0,()()0,0.zz Z Z z f z F z z -⎧⎪->'==⎨⎪≤⎩5．设12(,,,)n X X X 是来自总体2(,)N μσ的样本，求μ和2σ的最大似然估计量．解设12,,,n x x x ，相应的样本观测值，则似然函数为2()22122221L(,)11exp ()22i x ni nni i x μσμσμπσσ--===⎛⎫⎧⎫=--⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭∑取对数，得222211ln L(,)(ln 2ln )()22n i i n x μσπσμσ==-+--∑将2ln L(,)μσ分别对μ与2σ求偏导数，并令其等于零，得方程组2122241ln 1()0ln 1()022ni i ni i L x L n x μμσμσσσ==∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-+-=⎪∂⎩∑∑ 解此方程组，得到参数μ和2σ的最大似然估计值是12211ˆ;1().n i i ni i x x n x x n μσ==⎧==⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∑∑ 因此,μ和2σ的最大似然估计量是12211ˆ;1().n i i ni i X X n X X n μσ==⎧==⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∑∑四、证明题（共2道小题，满分11分）1．（6分）若(|)(|)P A B P A B >，试证(|)(|)P B A P B A >．证明因为()(|)()()()()()(|)()1()1()P AB P A B P B P AB P A AB P A P AB P A B P B P B P B =--===--由 (|)(|)P A B P A B >，所以得()()()()1()P AB P A P AB P B P B ->- ()()()()()()()P AB P B P AB P A P B P B P AB ->- ()()()P AB P A P B ∴>从而 ()()()()()()()P AB P A P AB P A P B P A P AB ->-即()()()()P AB P A P A P BA > ()()()()P AB P BA P A P A > 所以(|)(|)P B A P B A >．2．（5分）设12(,,,)n X X X 是来自总体(0,1)N 的样本，证明{}21202ni i n P X n n=-<<≥∑．证明根据2221~()ni X n χχ=∑，且22(),()2E n D n χχ==，由切比雪夫不等式，有{}{}2221|()|02ni P P E nX n χχ=-<<<∑22()21D n n nχ-≥-=．。

2024年概率论与数理统计试卷参考答案与评分标准

2023─2024学年第二学期《概率论与数理统计》课程考试试卷(A 卷)参考答案与评分标准一、填空题(每空3分，共30分)1．在显著性检验中，若要使犯两类错误的概率同时变小，则只有增加样本容量.2．设随机变量X 具有数学期望()E X μ=与方差2()D X σ=，则有切比雪夫不等式{}2P X μσ-≥≤14.3．设X 为连续型随机变量,a 为实常数，则概率{}P X a ==0.4．设X 的分布律为,{}1,2,k k P X x p k === ，2Y X =,若1nkk k xp ∞=∑绝对收敛(n为正整数),则()E Y =21kk k xp ∞=∑.5．某学生的书桌上放着7本书，其中有3本概率书,现随机取2本书,则取到的全是概率书的概率为17.6．设X 服从参数为λ的poisson 分布,则(2)E X =2λ.7．设(2,3)Y N ，则数学期望2()E Y =7.8．(,)X Y 为二维随机变量,概率密度为(,)f x y ,X 与Y 的协方差(,)Cov X Y 的积分表达式为(())(())(,)d d x E x y E y f x y x y +∞+∞-∞-∞--⎰⎰.9．设X 为总体N （3，4）中抽取的样本14,,X X 的均值,则{}15P X ≤≤＝2(2)1Φ-.(计算结果用标准正态分布的分布函数()x Φ表示)10.随机变量2(0,)X N σ ,n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本，221()(1)ni i Y k X χ==∑ ,则常数k =21n σ.A 卷第1页共4页二、概率论试题(45分)1、(8分)题略解：用A B C 、、，分别表示三人译出该份密码,所求概率为P A B C （）（2分）由概率公式P A B C P ABC P A P B P C （）=1-（）=1-（）（）（）（4分）1-1-1-p q r =1-（）（）（）（2分）2、(8分)设随机变量()1,()2,()3,()4,0.5XY E X D X E Y D Y ρ=====，求数学期望()E X Y +与方差(23)D X Y -.解：(1)()E X Y +=E X E Y （）+（）=1+3=4（3分）(2)(23)4()9()12ov(,)D X Y D X D Y C X Y -=+-（3分）8361244XY ρ=+--（2分）3、(8分)某种电器元件的寿命服从均值为100h 的指数分布,现随机地取16只，它们的寿命i T 相互独立，记161ii T T ==∑，用中心极限定理计算{1920}P T ≥的近似值(计算结果用标准正态分布的分布函数()x Φ表示).解：i i ET D T E T D T 2（）=100，（）=100，（）=1600，（）=160000（3分）{1920}0.8}1P T P ≥=≈-Φ（0.8）（5分）(4分)4、(10分)设随机变量X 具有概率密度11()0x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩，，其它,21Y X =+.(1)求Y 的概率密度()Y f y ；(2)求概率312P Y ⎧⎫-<<⎨⎩⎭.解:(1)12Y Y y F y y F y ≤>时（）=0,时（）=1（1分）A 卷第2页共4页212,{}{1}()d Y y F y P Y y P X y f x x<≤≤=+≤=（）=（2分）02d 1x x y ==-（2分）概率密度函数2()=Y Y y f y F y ≤⎧'⎨⎩1,1<（）=0，其它（2分）(2)3102Y YP Y F F ⎧⎫-<<=-=⎨⎬⎩⎭311（）-（-1）=222.（3分）5、(11分)设随机变量(,)X Y 具有概率分布如下,且{}1103P X Y X +===.XY-101013p114q112(1)求常数,p q ；(2)求X 与Y 的协方差(,)Cov X Y ,并问X 与Y 是否独立?解:(1)1111134123p q p q ++++=+=，即（2分）由{}{}{}{}{}101011010033P X Y X P Y X pP X Y X P X P X p +====+========+，，（2分）可得16p q ==（1分）X 01Y -11P1212P7121614(2)EX 1（）=2,E Y 1（）=-3,E XY 1（）=-6（3分）,-Cov X Y E XY E X E Y （）=（）（）（）=0（2分）由..ij i j P P P ≠可知X 与Y 不独立（1分）三、数理统计试题(25分)1、(8分)题略.A 卷第3页共4页证明:222(1)(0,1),(1)X n S N n χσ-- ,22(1)X n S σ-相互独立（4分）2(1)Xt n - ,即(1)X t n - （4分）2、(10分)题略解：似然函数2221()(,)2n i i x L μμσσ=⎧⎫-=-⎨⎬⎩⎭∑2221()ln ln(2)ln() 222ni i x n n L μπσσ=-=---∑（4分）由2222411()ln ln 0,022n ni i i i x x L L nμμμσσσσ==--∂∂===-+=∂∂∑∑可得221111ˆˆ,()n n i i i i x x n n μσμ====-∑∑为2,μσ的最大似然估计(2分)由221ˆˆ(),()n nE E μμσσ-==可知11ˆni i x n μ==∑为μ的无偏估计量，2211ˆ()ni i x n σμ==-∑为2σ的有偏估计量(4分)3、(7分)题略解：01: 4.55: 4.55H H μμ=≠（2分）检验统计量x z =，拒绝域0.025 1.96z z ≥=（2分）而0.185 1.960.036z ==>（1分）因而拒绝域0H ，即不认为总体的均值仍为4.55（2分）A 卷第4页共4页。

山东建筑大学2007-2008(1)概率论与数理统计试题(A卷)解答

1 3
（B）
2 5
（C）
1 5
（ D）
4 15
二．填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1. 一个均匀骰子，掷一次，朝上那面点数不小于 2 的概率是___5/6_____. 2. 射击两次，事件 Ai 表示第 i 次命中目标（i=1,2），则事件“至多命中一次”可表示为
A1 A2
.
3. 设 P ( A) 0.5, P ( B ) 0.6, P ( A B ) 0.9 , 则 P(B-A)=___0.4_______. 4. 设随机变量 X~N（0,1），φ（x）为其分布函数，则φ（x）+φ（-x）=___1____. 5. 设 X 与 Y 相互独立，且 D(X)=3,D(Y)=5，则 D(2X-Y+1)=_17___. 三．解答下列各题（每小题 6 分，共 30 分） 1. 一口袋装有 4 只白球, 5 只红球. 从袋中任取一只球后, 放回去, 再从中任取一只球. 求下列事件的概率: 1) 取出两只都是红球; 2) 取出的是一只白球, 一只红球. 解：以 A 表示事件“取出两只都是红球” ，以 B 表示“取出的是一只白球, 一只红球” 。由于是有放回取球，因而样本点总数 n=9×9=81。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2 分有利于事件 A 的样本点数 k1=5×5＝25 事件 A 发生的概率为 P(A)=k1/n=25/81。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4 分有利于事件 B 的样本点数 k2=2×4×5＝40 事件 B 发生的概率为 P(B)=k1/n=40/81。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6 分 2. 有两个口袋，甲袋中盛有 2 个白球，1 个黑球；乙袋中盛有 1 个白球，2 个黑球。由甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋任取一球，求从乙袋中取得白球的概率。解：以 A 表示 “从乙袋中取得白球” ，以 B1、B2 分别表示从甲袋中取得白球、黑球。由于 B1∪B2=Ω，可用全概率公式。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2 分 P(A)=P(B1)×P(A|B1)+P(B2)×P(A|B2) =2/3×2/4+1/3×1/4 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4 分 =5/12 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6 分

长江大学08-09概率论与数理统计试卷A参考答案与

2008─2009学年第二学期《概率论与数理统计》课程考试试卷(A 卷)参考答案与评分标准经济yq供查阅的参考数值：（220.0250.975(0.5)0.69,(9)19,(9) 2.7χχΦ===）一、填空题(每空 3 分，共30分)1． ~X N μσ2（，），1,,n X X 是总体X 的简单随机样本，2,X S 分别为样本均值与样本方差，2σ未知，则关于原假设0μμ=的检验统计量t =X -.2． ~X N μσ2（，），1,,n X X 是总体X 的简单随机样本，2,X S 分别为样本均值与样本方差，2σ已知，则关于原假设0μμ=的检验统计量Z =X - .3．设X 的分布律为,{}1,,k k P X x p k n ===，则1nk k p =∑= 1.4．某学生的书包中放着8本书，其中有5本概率书, 2本物理书,1本英语书,现随机取1本书,则取到概率书的概率为585．设随机变量X 的分布函数为()F x ，则()F +∞= 1 . 6．设X 在(0,1)上服从均匀分布,则()D X =112.7．设(0,1)XN ,(1,2)YN ,相关系数1XY ρ=，则方差D X Y +（8． X 与Y 独立同分布,X 的密度函数为,0()0,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，λ（>0）,{}min ,Z X Y =,则数学期望()E Z =12λ. 9． (,)X Y 概率密度为(,)f x y ,则X 的概率密度()X f x =(,)d f x y y +∞-∞⎰.10. X 与Y 独立且均服从标准正态分布,则22X Y +服从2χ（2）分布.A 卷第1页共4页二、概率论试题(45分)1、(8分) 某人群患某种疾病的概率约为0.1%,人群中有20%为吸烟者,吸烟者患该种疾病的概率约为0.4%,求不吸烟者患该种疾病的概率(用A 表示人群中的吸烟者, 用C 表示某人群患该种疾病,P C （）=0.1%).解：P C （）=0.1%，P A （）=0.2，P C A （）=0.4% （2分）由全概率公式 P C P C A P A P C A P A （）=（）（）+（）（）（4分）可得 P C A （）=0.025% （2分） 2、(10分) 设随机变量X 的分布函数为1()0.4()0.6()2x F x x -=Φ+Φ，其中()x Φ为标准正态分布的分布函数，求X 的密度函数()f x 、数学期望()E X 与方差()D X (记x x ϕ'Φ（）=()).解: X 的密度函数1()()0.4()0.3()2x f x F x x ϕϕ-'==+ （2分）数学期望1()()d 0.3()d 2x E X xf x x x x ϕ+∞+∞-∞-∞-==⎰⎰（2分） =0.6(21)()dt 0.6t t ϕ+∞-∞+=⎰ （2分） 22221()()d 0.4()d 0.3()d 2x E X x f x x x x x x x ϕϕ+∞+∞+∞-∞-∞-∞-==+⎰⎰⎰=20.40.6(21)()dt 0.40.6(41) 3.4t t ϕ+∞-∞++=++=⎰（3分）方差2()D X EX E X =2（）-（）=3.4-0.36=3.04 （1分） 3、(9分)设随机变量(,)X Y 具有概率密度2201(,)0x y f x y π⎧≤+≤⎪=⎨⎪⎩1，，其它.(1)求X 的边缘概率密度；(2)验证X 与Y 是不相关的,但X 与Y 不是相互独立的.解：(1)X的概率密度为,11()0X y x f x π⎧⎪-≤≤=⎨⎪⎩=，其它（2分） A 卷第2页共4页(2)E X （）=0, E Y （）=0, E XY （）=0 （3分）-Cov X E XY E X E Y （）=（）（）（）=0,即X 与Y 是不相关的（2分）由(,)()()X Y f x y f x f y ≠可知X 与Y 不相互独立（2分）3、 (9分) 一加法器同时收到48个噪声电压(1,,48)k V k =，它们相互独立且都在区间（0，10）服从均匀分布，记481k k V V ==∑，用中心极限定理计算{250}P V ≥的近似值.( 说明24020V -近似服从正态分布可得4分。

概率论与数理统计试题-a_（含答案）

概率论与数理统计试题-a_（含答案）深圳⼤学期末考试试卷参考解答及评分标准开/闭卷闭卷A/B 卷 A 课程编号 2219002801-2219002811课程名称概率论与数理统计学分 3命题⼈(签字) 审题⼈(签字) 年⽉⽇基本题6⼩题，每⼩题5分，满分30分。

在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀（每道选择题选对满分，选0分）事件表达式A B 的意思是 ( ) 事件A 与事件B 同时发⽣ (B) 事件A 发⽣但事件B 不发⽣事件B 发⽣但事件A 不发⽣ (D) 事件A 与事件B ⾄少有⼀件发⽣ D ，根据A B 的定义可知。

假设事件A 与事件B 互为对⽴，则事件A B ( ) 是不可能事件 (B) 是可能事件发⽣的概率为1 (D) 是必然事件 A ，这是因为对⽴事件的积事件是不可能事件。

已知随机变量X ,Y 相互独⽴，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从 ( ) ⾃由度为1的χ2分布 (B) ⾃由度为2的χ2分布⾃由度为1的F 分布 (D) ⾃由度为2的F 分布选B ，因为n 个相互独⽴的服从标准正态分布的随机变量的平⽅和服从⾃由度为n 的2分布。

已知随机变量X ,Y 相互独⽴，X ~N (2,4),Y ~N (-2,1), 则( ) X +Y ~P (4) (B) X +Y ~U (2,4) (C) X +Y ~N (0,5) (D) X +Y ~N (0,3)选C ，因为相互独⽴的正态变量相加仍然服从正态分布，⽽E (X +Y )=E (X )+E (Y )=2-2=0, (X +Y )=D (X )+D (Y )=4+1=5, 所以有X +Y ~N (0,5)。

样本(X 1,X 2,X 3)取⾃总体X ，E (X )=µ, D (X )=σ2, 则有( ) X 1+X 2+X 3是µ的⽆偏估计(B) 1233X X X ++是µ的⽆偏估计22X 是σ2的⽆偏估计(D)21233XXX+是σ2的⽆偏估计答：选B，因为样本均值是总体期望的⽆偏估计，其它三项都不成⽴。

2007—2008学年概率论第一学期期终考试及参考答案

¯ ∼ N (0, 1), X ¯ − 1 ∼ N (−1, 1). (2) X 7. (1) E (X ) =
θ , θ +1
ˆ MM = θ
¯ X ¯; 1−X n i =1
(2) ln L(θ) = n ln θ + (θ − 1)
ln Xi , θ MLE = −
n i=1
n . ln Xi
1
上
专业
海
班级
海
事
姓名
大
学
学号
试
卷
得分
概率论与数理统计(卷A): 20080114
本试卷共8大题(第1, 2, 5, 6题每题10分, 第3, 4, 7, 8题每题15分) 可能用到的分位点表如下: z0.05 = 1.645 z0.0025 = 1.960 t0.025 (27) = 2.0518 t0.05 (27) = 1.7033 t0.025 (28) = 2.0484 t0.025 (29) = 2.0452 t0.05 (29) = 1.6991 t0.05 (13) = 1.7709 F0.025 (11, 16) = 211) = 3.28 F0.025 (7, 6) = 5.70 F0.025 (6, 7) = 5.12 1. 设A, B为两事件, 已知P(A) = 0.3, P( B) = 0.5, 计算: (1) 若A, B相互独立, 求P(A ∪ B); ¯ ). (2) 若P(A| B) = 0.4, 求P(A| B
3 8. 某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱, 从两条自动化流水线上分别抽取样本(X1 , · · · , X12 )与(Y1 , · · · , Y17 ), 观测后算得 x ¯ = 10.6(g), y ¯ = 9.5(g), s2 1 = 2.4, 2 s2 = 4.7, 假设这两条流水线上灌装的番茄酱的重量分别服从正态分 2 2 2 布N (µ1 , σ2 1 )与 N (µ2 , σ2 ), 且相互独立. µ1 , σ1 , µ2 , σ2 均未知. 求:

08级本科《概率论与数理统计》A卷答案(教考分离)

上海立信会计学院2009～2010学年第二学期2008级本科《概率论与数理统计》期终考试试卷（A ）（本场考试属闭卷考试，考试时间120分钟，可使用计算器）共8页学院班级学号姓名一、单项选择题（每题2分，共10分）在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。

1．对于事件设B A ,，下列命题正确的是（） A .若B A ,互不相容，则A 与B 也互不相容 B .若B A ,相容，则A 与B 也相容C .若B A ,互不相容，且概率都大于零，则A 与B 也相互独立D .若B A ,相互独立，则A 与B 也相互独立2．将一枚骰子掷两次，记21X X 、分别第一、第二掷出的点数。

记：}10{21=+=X X A ,}{21X X B <=。

则=)|(A B P （）A .31 B .41 C .52 D .65 3．设随机变量X 与Y 均服从正态分布，)2,(~2μN X ，)5,(~2μN Y ，记}2{1-≤=μX P p ，}5{2+≥=μY P p ，则（）A .对任何实数μ，都有21p p =B .对任何实数μ，都有21p p <C .只对μ的个别值才有21p p =D .对任何实数μ，都有21p p > 4．设随机变量21,X X 独立，且21}1{}0{====i i X P X P （2,1=i ），那么下列结论正确的是（）A .21X X =B .1}{21==X X PC .21}{21==X X P D .以上都不正确 5．设21,X X 取自正态总体)2,(μN 的容量为2的样本，下列四个无偏估计中较优的是（）A .2114341ˆX X +=μB .2122121ˆX X +=μC .21332ˆX X +=μD .2147374ˆX X +=μ 二、填空题（每题2分，共10分）1．设B A ,为随机事件，5.0)(=A P ，6.0)(=B P ，8.0)|(=A B P ，则=)(B A P2．设离散型随机变量X 的分布列为kA k X P )2/1(}{==（ ,2,1=k ），则常数=A3．设X 的概率密度为21)(x ex f -=π，则=)(X D4．已知随机变量X 的密度为⎩⎨⎧<<=其它010)(x x a x f ，则=a5．设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分布)3,0(2N ，而91,,X X 和91,,Y Y 分别是来自总体X 和Y 简单随机样本，则统计量292191YY X X U ++++=服从分布。

概率论期末考试试卷(A卷)答案

设随机变量 X 服从泊松分布，且 P ( X ≤ 1) = 4 P ( X = 2) ，求 P( X = 3) 的值。（提示：若 X ∼ π (λ ) ，即 P ( X = k ) = λ k e − λ , k = 0,1, 2, ）
k! 解答： P( X ≤ 1) = P( X = 0) + P( X = 1) = e−λ + λe−λ , P( X = 2) = λ2 e−λ
2、在一标准字典中有 55 个由两个不相同的字母所组成的单词，若从 26 个英文字母中任取
两个字母予以排列，能排列上述单词的概率是 11/130
。。
3、已知随机变量 X ,Y 相互独立，且 X ∼ N (1, 3) ，Y ∼ N (2, 4) ，若 Z = 3X − 2Y ，则 Z 服
从分布为 N (−1, 43)
∫ ∫ 故： P ⎧⎨0 < X < 1 ,e < Y < 6⎫⎬ =
1 2
6 2xe−( y−5)dxdy = 1 (1− e−1)
⎩
2
⎭ 05
4
……………………………… 2 分
（2）因为： E(3X + Y ) = E(3X ) + E(Y ) = 3E( X ) + E(Y )
……………………………… 3 分
第5页共6页
而
∫ ∫ ∫ ∫ E(X ) =
+∞
+∞
xf (x, y)dxdy =
1
+∞ 2x2e−( y−5)dxdy
−∞ −∞
05
∫ ∫ = 1 +∞ 2x2e−( y−5)dxdy = 2
05
3
∫ ∫ ∫ ∫ E(Y ) =

华农-2008-2009概率论与数理统计期末试卷解答

华南农业大学2008（1）概率论与数理统计A 试卷参考答案一、填空题（'63⨯=18分）1. 0.9762. 0.3753. 21e --4. 175. 16. 8二.选择题（'63⨯=18分）1. D2.B3.A4.D5.D6.A 三.（5分）解：X 的概率分布为3323()()()0,1,2,3.55k k kP X k C k -===即01232754368125125125125X P26355EX =⨯=……………1分 231835525DX =⨯⨯=四、（10分）解设B ＝{此人出事故}，A1，A2分别表示此人来自第一类人和第二类人由已知，有1()0.3P A =，2()0.7P A =，1()0.05P B A =，2()0.01P B A =，（1）由全概率公式有1122()()()()()0.30.050.70.010.022P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=（2）由贝叶斯公式有111()()0.30.0515()0.682.()0.02222P A P B A P A B P B ⨯===≈答：从两类人中任意抽取一人，此人一年内出事故的概率为0.022；若已知此人出事故，此人来自第一类人的概率约为0.682. 五、（10分）解：（1）222001()(1)()222a f x dx ax dx x x a +∞-∞==+=+=+⎰⎰ 12a ∴=-（2）X 的分布函数为200,0,0,0,()()(1),02,,02,241,2.1, 2.x xx x x u F x f u du du x x x x x -∞≤⎧≤⎧⎪⎪⎪⎪==-<≤=-<≤⎨⎨⎪⎪>>⎪⎪⎩⎩⎰⎰（3）32111(13)()(1)24x P x f x dx dx <<==-=⎰⎰六、（14分）解：区域D 的面积2211ln 2e e D S dx x === 1,(,),(,)20,x y D f x y ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其它.（1）122011,1,,1,()(,)220,.0,.x X x e dy x e f x f x y dy x +∞-∞⎧⎧≤≤≤≤⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰其它其它22221122111(1),1,1,22111,1,1,()(,)2220,0,e y Y e y e dx y e e y dx e yf y f x y dx y --+∞---∞⎧⎧-≤≤≤≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪-<≤<≤===⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎰⎰⎰其它其它（2）因(,)()()X Y f x y f x f y ≠⋅，所以,X Y 不独立. （3）2(2)1(2)1(,)x y P X Y P X Y f x y dxdy +<+≥=-+<=-⎰⎰22112xdx dy -=⎰⎰1113110.752244=-⨯=-==七、（10分）解：矩估计：()11()E X xf x dx dx +∞-∞===⎰⎰由()X E X ==得，矩估计量为2X ()1Xθ=- 极大似然函数为 111211(,,,;)nnn i i L x x x xθ====∏两边同时取对数，得1ln 1)ln nii L n x ==∑令ln ln 02nix d L n d θθ==∑ 故极大似然估计量为21()ln nii nxθ=-=∑八、（10分）解：（1）μ的置信度为1α-下的置信区间为/2/2(((X t n X t n αα--+- 其中，X 表示样本均值，S 表示样本标准差，n 表示样本容量，又0.05125, 2.71,7,0.1,(6) 1.943X S n t α=====所以μ的置信度为90%的置信区间为（123，127）（2）本问题是在0.10α=下检验假设 01:124,:124,H H μμ=≠ 由于正态总体的方差2σ未知，所以选择统计量X T =，由题意知，在0H 成立的条件下，此问题的拒绝域为2||0.976(1)T t n α==>-这里显然0.050.976 1.943(71)t <=-，说明没有落在拒绝域中，从而接受零假设0H ，即在显著性水平0.10下，可认为这块土地的平均面积μ显著为124平方米。

概率论权威试题及其答案详细解析

概率论与数理统计试题 A 卷 2007-2008学年第二学期 2008.06一、填空题（每空3分，共18分）1. 事件A 发生的概率为0.3，事件B 发生的概率为0.6，事件A ，B 至少有一个发生的概率为0.9，则事件A ，B 同时发生的概率为____________2. 设随机向量（X ，Y ）取数组（0，0），（-1，1），（-1，2），（1，0）的概率分别为,45,41,1,21cc c c 取其余数组的概率均为0，则c =__________3. 设随机变量X 在（1，6）上服从均匀分布，则关于y 的方程012=+-Xy y 无实根的概率为_______________. 4. 若)1,0(~N X ，)1,0(~N Y ，且X 与Y 相互独立，则Y X Z +=服从______________5. 设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧<<+=其他,0,10,)1();(x x x f θθθ，n X X X ,,21 为来自总体X 的一个样本，则待估参数）（-1>θθ的最大似然估计量为_____________. 6. 当2σ已知，正态总体均值μ的置信度为α-1的置信区间为（样本容量为n ）___________二、选择题（每题3分，共18分）1. 对任意事件A 与B ，下列成立的是-------------------------------------------------------------（）（A ）)0)((),()|(≠=B P A P B A P （B ）)()()(B P A P B A P += （C ）)0)((),|()()(≠=A P A B P A P AB P （D ）)()()(B P A P AB P =2. 设随机变量X ),(~p n B 且期望和方差分别为48.0)(,4.2)(==X D X E ，则----（）(A) 3.0,8==p n (B) 4.0,6==p n (C) 4.0,3==p n （D ） 8.0,3==p n 3. 设随机变量X 的分布函数为F X （x ），则24+=X Y 的分布函数F Y （y ）为-------------( ) (A) 1()22X F y + (B) 1(2)2X F y +(C) (2)4X F y - （D ）(24)X F y -4. 若随机变量X 和Y 的相关系数0=XY ρ，则下列错误的是---------------------------------（）)1(~-n t S X (A) Y X ,必相互独立 (B) 必有)()()(Y E X E XY E = (C) Y X ,必不相关（D ）必有)()()(Y D X D Y X D +=+5. 总体)1,0(~N X ，n X X X ,,21 为来自总体X 的一个样本，2,S X 分别为样本均值和样本方差，则下列不正确的是--------------------------------------------------------------------（）(A) ),0(~n N X n (B) (C) （D ）6. 设随机变量)2,1( =k X k 相互独立,具有同一分布, ,0=k EX ,2σ=K DX ,2,1=k ，则当n 很大时，1nkk X=∑的近似分布是--------------------------------------------------------（） (A) 2(0,)N n σ (B) 2(0,)N σ (C) 2(0,/)N n σ(D) 22(0,/)N n σ三、解答题（共64分）1. （本题10分）设一批混合麦种中一、二、三等品分别占20%、70%、10%，三个等级的发芽率依次为0.9，0.7，0.3，求这批麦种的发芽率。

08概率论试题A含答案

姓名：
线
学号：
广东工业大学考试试卷 ( )
课程名称:
概率论与数理统计
试卷满分 100 分
考试时间: 2008 年 6 月 27 日 ( 第 18 周星期五 )
一、单项选择题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分)
1. 已知 P(A) 0.5 , P(B) 0.4 , P(A B) 0.6 , 则 P(A B) = ( )
fY ( y)

2
y
0
（2）
(0 y 4 ), (其他).
X+Y
0
１
２
pi
0.2
0.4
0.4
（4） B
Y2
0
１
pi
0.3
0.7
（3） 1/9 （4）0.0062 （5） P( A , ˆ2 ; ˆ2 （6） ,
三、解设 A={患有肺癌}, B={可疑病人吸烟}, 则由条件得：
（1）试取α =0.05，检验假设 H0:μ =10 H1:μ 10;
(6 分)
（2）求σ 的置信度为 0.95 的置信区间.
(4 分)
备用数据：x2 分布、t 分布的上侧α 分位数
x
2 0.05
(8)=15.507
x
2 0.025
(8)=17.535
x
2 0.975
(8)=2.180
t 0.025 (8)=2.3060
广东工业大学试卷用纸，共 8 页，第 7 页
广东工业大学试卷用纸，共 8 页，第 8 页
八、(8 分) 证明：（契比雪夫大数定理）设随机变量 X1, X 2 , , X n ,

08年秋季学期概率统计考试题及解答(xin2)

概率论与数理统计试题（2008秋）（注：需用到的标准正态分布表，t -分布表见第四页末尾处。

）一、填空题（每题3分，共计15分）1．设事件,A B 满足()0.5,()0.6,(|)0.6P A P B P B A ===，则()P A B = .2.设事件,,A B C 两两独立，且ABC φ=，1()()()2P A P B P C ==<，9()16P A B C =，则()P A = .3．设r. v X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他,010,2)(x x x f ，对X 进行三次独立重复观察，用Y表示事件1()2X ≤出现的次数，则(1)P Y ==_______.4．已知一批零件长度未知μμ),4,(~N X ，从中随机地抽取16个零件，得样本均值,30=X 则μ的置信度为0.95的置信区间是 .5．在区间)1,0(中随机取两数，则事件“两数之差的绝对值小于21”的概率为 .二、单项选择题（每题3分，共计15分）1．设,A B 为两个事件，()()0P A P B ≠>，且B A ⊂，则一定成立（A ）(|)1P B A =；（B ）(|)1P A B =；（C ）(|)1P B A =；（D ）(|)0P A B =．【】 2．设,,A B C 三个事件两两独立，则,,A B C 相互独立的充分必要条件是（A ）A 与B C 独立；（B ）A B 与A C 独立；（C ）A B 与A C 独立；（D ）A B 与A C 独立. 【】 3．设随机变量X 的密度函数为||1()2x f x e-=，则对随机变量||X 与X ，下列结论成立的是（A ）相互独立；（B ）分布相同；（C ）不相关；（D ）同期望. 【】4．设随机变量X 服从参数为31的指数分布，Y ~)6,0(U ，且31=XY ρ，根据切比晓夫不等式有：)44(≤-≤-Y X P ≥（A ）81. （B ）85. （C ）41. （D ）92. 【】5．设12,,,n X X X 是总体X ~),(2σμN 的样本，2,,EX DX X μσ==是样本均值，2S 是样本方差，2*S为样本的二阶中心矩，则（A ）),(~2σμN X . （B ）)1(~)1222*--n Sn χσ（.（C ）∑=-n i i X X 122)(1σ是2σ的无偏估计. （D ）相互独立与22S X . 【】三、（10分）今从装有白球3个，黑球3个的甲箱子中任取2个，然后将2个球放入含有2个白球3个黑球的乙箱中，再从乙箱中任取1个球，求（1）从乙箱中取到1个白球的概率；（2）已知从乙箱中取到一个白球的条件下，从甲箱中取出两个白球的概率。

08-09I概率论与数理统计试卷(A)参考答案

| | | | | | | |装| | | | |订| | | | | |线| | | | | | | | ||防灾科技学院2008~2009学年第一学期期末考试概率论与数理统计试卷（A ）使用班级07601/ 07602/07103 答题时间120分钟一填空题（每题2分，共20分）1、已知事件A ，B 有概率4.0)(=A P ，条件概率3.0)|(=A B P ，则=⋂)(B A P 0.28 ；2、设),(~1p n b X ，),(~2p n b Y 则~Y X +),(21p n n b +；3、若)2(~πX ，则=)(2X E 6 ；4、随机变量X 的分布函数是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤--<=x x x x x F 3,131,8.011,6.01,0)(，则=≤<-)31(X P0.4 ；5、连续型随机变量的概率密度函数为)0(0,)(>⎩⎨⎧≤>=-λλλx x ex f x，则分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-000,1)(x x e x F x λ；6、若)1,0(~),1,0(~N Y N X 且X 与Y 相互独立，则~2/)(22Y X X +)2(t ；7、若随机变量X ，1)(,2)(==X D X E ，则利用切比雪夫不等式估计概率()≥<-32X P 98；8、若总体),(~2σμN X ，则样本方差的期望=)(2S E 2σ；9、设随机变量)2,1(~-U X ，令⎩⎨⎧<≥=.0,0,0,1X X Y ，则Y10、已知灯泡寿命)100,(~2μN X ，今抽取25只灯泡进行寿命测试，得样本1200=x 小时，则μ的置信度为95%的置信区间是 (1160.8,1239.2) （96.1025.0=z ）。

二、单项选择题（本大题共5小题，每题2分，共10分）1、若6.0)(,4.0)(,5.0)(===B A P B P A P ，则=)(A B P （ C ）(A) 0.2 ； (B) 0.45； (C) 0.6； (D) 0.75；2、设离散型随机变量X 的分布律为k k X P αβ==}{， ,2,1=k 且0>α，则参数=β（ C ）（A ）11-=αβ ；（B ）1+=αβ；（C ）11+=αβ；（D ）不能确定； 3、设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（ B ）（A ）X 与Y 独立；（B ）)(4)()2(Y D X D Y X D +=-；（C ）)(2)()2(Y D X D Y X D +=-；（D ）)(4)()2(X D Y D Y X D -=-；4、若)1,0(~N X ，则)2|(|>X P =（ A ）（A ）)]2(1[2Φ-；（B ）1)2(2-Φ；（C ）)2(2Φ-；（D ）)2(21Φ-； 5、下列不是评价估计量三个常用标准的是（ D ）)(A 无偏性； )(B 有效性； )(C 相合性； )(D 正态性。

2）《概率统计》试题A卷答案

广州大学2008-2009学年第二学期考试卷概率论与数理统计（A 卷）参考解答与评分标准一、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题，每小题3分，总计15分）1．对于任意两个事件A 与B,若A ⊆B,则P(A −B)= ( B )。

A. P(A)−P(B) B. 0 C. 1 D. P(A)2．设B A ,是两个概率不为0且互不相容的事件，则下列成立的是（ D ）。

A. A 与B 互不相容 B. A 与B 独立C.)(B A P = )()(B P A PD. )(B A P = )(A P3．设)(x f 为某连续型随机变量的概率密度函数, 则必有( B )。

A ．1)(0≤≤x f B. 1)(=⎰+∞∞-dx x fC. 在定义域内单调不减D.1)(lim =+∞→x f x4．设一个连续型随机变量的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=a x a x k x x x F 1000)(则（ C ）。

A. 21,0==a kB. 21,21==a kC. 1,0==a kD. 1,21==a k学院专业班级姓名学号5．设二维随机变量()的联合分布概率为若X 与Y 独立,则}3{=+Y X P =( A )。

A. 1/3 B. 5/6 C. 1/6 D. 2/3二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分）(1) 三阶方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b a A 000000中的c b a ,,取3,2,1,0的概率都相同，则该阵为可逆阵的概率为_27/64____。

(2) 某人射击某一个目标的命中率为0.6，现不停的射击，直到命中为止，则第3次才命中目标的概率为_0.096__。

(3)设)6,1(~U X ，则方程012=++Xx x 有实数根的概率为__5/6 。

(4)设X 和Y 是相互独立的两个随机变量，且)3,2(~-U X ，)4,1(~N Y ，则=+)(Y X E __1.5__。

概率论与数理统计(A)卷参考答案

商学院课程考核试卷参考答案与评分标准（A ）卷课程名称：概率论与数理统计学分： 4 考核班级：本部二年级各本科专业考核学期：一. 填空题（每小题3分，共30分）1.0.7；2.0.38；3.0，1，2，3；4.0.6915；5.2；6.0；7.⎩⎨⎧>>--=--其他00,0)1)(1(),(y x e e y x F y x ；8.23π； 9. 11)(-=∏θθni i nx ； 10.0.4。

二. 选择题（每小题3分，共15分）1.B ；2.D ；3.C ；4.A ；5.C 。

三. 计算题（第1题10分，其余5小题每题9分，共55分）1. 设321,,A A A 分别表示取到第一、二、三个箱子，B 表示取到白球，则321,,A A A 是一个完备事件组，且：31)()()(321===A P A P A P ， 52)|(53)|(51)|(321===A B P A B P A B P ，， 2分（1）由全概率公式：)|()()|()()|()(P(B)332211A B P A P A B P A P A B P A P ++=52523153315131=⨯+⨯+⨯= 6分(2)由贝叶斯公式：31)()|()()|(333==B P A B P A P B A P 10分2.(1)122)(222====⎰⎰∞+∞-λλλxxdx dx x f X ,21=λ； 3分 (2)21400()()02;12xX x F x f t dt xx x -∞<⎧⎪==≤<⎨⎪≥⎩⎰6分 (3) {}1313(3)(1)144P X F F <<=-=-=。

9分3. （1）该设备的平均寿命是41=λ年（设备寿命服从41=λ的指数分布） 2分（2）设Y 是工厂出售一台设备的赢利，则⎩⎨⎧≤->=12001100X X Y 4分)1(200)1(100)(≤->=X P X P Y E ⎰⎰-∞+--=104144120041100dx e dx e xx 8分64.3330020041=-=-e万元 9分4. （1）14),(==⎰⎰+∞∞-+∞∞-cdxdy y x f ，所以，4=c 3分（2）324)(1012==⎰⎰ydy dx x X E ；324)(10210==⎰⎰dy y xdx Y E944)(10212==⎰⎰dy y dx x XY E 6分（3）0)()()(),(=-=Y E X E XY E Y X Cov 9分5. 解:令第i 次轰炸命中目标的炸弹数为X i ，100次轰炸中命中目标炸弹数X =∑=1001i iX，应用定理5.5，X 渐近服从正态分布，期望值为200，方差为169，标准差为13. 2分所以P {180≤X ≤220}=P {|X -200|≤20} 4分=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-132013200X P ≈2Φ(1.54)-1=0.8764. 9分 6.222)1(σχS n -=～2χ（n-1），对05.0=α， 2分查表知：535.17)8(,18.2)8(2025.02975.0==χχ 4分使得2σ置信度为0.95的置信区间为：22220.0250.975(1)(1),(8)(8)n S n S χχ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 计算可得：)8(82025.02χS =12.77，)8(82975.02χS =102.75；（12.77， 102.75）即为总体方差2σ置信度为0.95的置信区间. 9分。

08级概率统计试卷(文天学院)

河海大学文天学院2009-2010学年第一学期《概率论与数理统计》试卷一、（每空2分，共18分）1、已知3/1)(,2/1)(,4/1)(===B A P A B P A P ，则=)(B A P ；2、设随机变量)1.0,20(~B X ，则{}==EX X P ；3、设随机变量X 、Y 相互独立，D(X)=1，D(Y)=4，则D(2X-Y+2)= ；4、设随机变量),10(~2σN X ，且{},3.02010=<<X P 则{}=<<200X P ；5、设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律为：则P{XY=0}= ；6、设随机变量X 与Y 独立同分布，即U=X-Y , V=X+Y ，则随机变量U 和V 的相关系数是；7、),(~),,(~222211σμσμN Y N X ，21,,;,,11n n Y Y X X 分别为两总体相互独立的样本，则Y X -的分布是；8、设总体),(~2σμN X ，μ和2σ均未知，n X X X ,,,21 为来自该总体的一个简单随机样本，则2σ的置信度为α-1的置信区间为；二、（12分）某仓储基地运送牛奶到一家超市，车上共混装有三个品牌的50箱牛奶，其中25箱为卫岗牛奶、10箱为光明牛奶、15箱为蒙牛牛奶。

到目的地时发现丢失了1箱，但不知丢失的是哪个品牌的牛奶，现从剩下的49箱中任意打开2箱检查。

（1）求任意打开的2箱都是卫岗牛奶的概率。

（2）在任意打开的2箱都是卫岗牛奶的情况下，求丢失的一箱也是卫岗牛奶的概率。

三、（8分）设X 服从分布)9,2(N ，求42-=X Y 的概率密度函数)(y f Y 。

四、（14分）已知随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤=其他,021,210,)(x x x Ax x f求(1)常数A ；(2)X 的分布函数F(x)；(3));23(2+-X X E (4){}4.24.0≤<X P .五、（18分）设二维连续型随机变量(X ，Y)的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,010,0,2),(y y x y x f 求：（1）关于X 和Y 的边缘密度函数)(),(y f x f Y X ；（2）Y 的期望和方差E(Y)，D(Y)；（3）X 与Y 的协方差Cov(X,Y); (4) Z=max(X,Y)的密度函数。

西安工业大学2008级概率论与数理统计考试试答案

绝密★启用前2008级概率论与数理统计考试试题（A 卷）标准答案和评分标准_____________________________________________________________________二、填空题（20分）1、0.2;2、21, 99 ;3、1, 24; 4、 (12.706,13.294) ; 5、14三、解：设A 表示“选出第一班”，则A 表示“选出第二班”B 表示“选出女生”………………………………………….……………2分依题意有：30/18)/(,50/10)/(,2/1)()(====A B P A B P A P A P ………….4分由全概率公式有 5/2)/()()/()()(=+=A B P A P A B P A P B P ……………….8分四、解：解：由X 和Y 独立，得⎩⎨⎧>≤≤==-其它,10)()(),(y x e y f x f y x f yY X --------------------------------2分 ⎰⎰≤+=≤+=≤=zy x Z dxdy y x f z Y X P z Z P z F ),()()()(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-=<≤+-=<=-------⎰⎰⎰⎰1110100110000z e e dxdy e z e z dxdy e z zz x z yzz x z y --------------------------------6分⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-<==---11010)()(1z e e z ez z F z f z z zZ Z -------------------------------8分解法二：由卷积公式得⎰+∞∞--=dx x z x f z f Z ),()( ，又因为X 与Y 相互独立，所以⎰+∞∞--=dx x z f x f z f Y X Z )()()(-----------------------------------------3分当0≤z 时，;0)()()(=-=⎰+∞∞-dx x z f x f z f Y X Z --------------------―――-――---5分当10<<z 时，;1)()()(0)(z zx z Y X Z e dx e dx x z f x f z f ---+∞∞--==-=⎰⎰-------------------7分当1≥z 时，);1()()()(1)(-==-=---+∞∞-⎰⎰e e dx e dx x zf x f z f z x z Y X Z 所以;1)1(10100)()()(⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-≤=-=--∞+∞-⎰z e e z e z dx x z f x f z f z z Y X Z -------------------------8分五、解：（1）由,1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f …………………………………………1分得⎰⎰--=422)6(1dx y x k dy ……………………………………………………2分dy x x y k⎰--=42202])6[(⎰--=42)2212(dy y k 24)10(2y y k -= k 8=，所以8/1=k ………………………………………..……….4分（2）⎰⎰--=<<1032)6(81}3,1{dx y x dy Y X p ……………………………6分 dy x x y 01]2)6[(81322⎰--=83)211(8132=-=⎰dy y ………………..……8分（3） ⎰⎰=∈=≤Gdxdy y x f G Y X P X p ),(}),{(}4Y {＋dx y x dy y)6(814240--=⎰⎰-……………………………………………………….10分 dy x x y 0y -4]2)6[(8122⎰--=４dy y y y ⎰----=４22])4(21)4)(6[(81dy y y ⎰-+-=422])4(21)4(2[81 3224])4(61)4([8132=----=y y …………………………….……………….12分六、解：⑴222017()(,)(),86E X dy xf x y dx dy x yx dx +∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰………2分由对称性得7()(), 6E Y E X ==…………………………3分⑵2222014()(,)(),83E XY dx xyf x y dy dx x y y x dy +∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰………4分 1(,)()()().36Cov X Y E XY E X E Y -=-=………………………………6分 ⑶ 2222320015()(,)(),83E X dy x f x y dx dy x yx dx +∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰2225711()()[()]()3636,D XE X E X =-=-=……………………8分由对称性得11 D(Y)=()36D X =(,111XY Cov X ρ-==…………………………10分(4) 解法一：()(,)D X Y Cov X Y X Y +=++5()()2(,).9D X D Y Cov X Y =++=…………12分解法二：2222222200002()()[()]11()() [()()]881875().339D X YE X Y E X Y x y x y dxdy x y x y dxdy +=+-+=++-++=-=⎰⎰⎰⎰七、解：()()01;x E X xf x dx x e dx λλλ+∞+∞--∞==⋅=⎰⎰…………………………2分按矩估计法取()1,E X A X ==得1ˆXλ=…………………………………4分设1,,n x x 为总体X 的一个样本值，则似然函数为1nii x nn nx L e e λλλλ=--∑==……………………………………………………6分取对数 ln ln L n nx λλ=-由对数似然方程()ln 0d L nnx d λλ=-= 解得1xλ=，故得极大似然估计为1ˆX λ= …………………………8分八、解:(1) 依题意，检验假设500:00==μμH ，（50:01=≠μμH ）…2分(2) 由于标准差σ未知，在0H 成立时，T 检验法.选择统计量：nS X T 0μ-=～()1-n t …………………………………4分 (3) 对于给定的显著性水平05.0=α，当10=n 时，查t 分布表得临界点：()2622.2)9(1025.02==-t n t α……………………………….5分(4) 由10=n ，，502x =， 6.5s =，计算统计值：9730.0105.65005020=-=-=n s x t μ………………………6分 (5) 由于<=9730.0t ()2622.2)9(1025.02==-t n t α，t 落在拒绝域)}1(/{2-≥-==n t ns x t W αμ之外，故接受500:00==μμH ，即认为这批罐头的平均重量合乎标准………8分。

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2009——2010学年度第二学期期末考试试卷(A 卷)
一、单项选择题 (每小题3分, 共30分)
1、（D ）
2、（B ）
3、（B ）
4、（A ）
5、（D ）
6、（C ）
7、（D ）
8、（B ）
9、（B ） 10、（D ）
二、填空题(每小题2分，共10分)
1、0.8或4
2、112
3、0.5或12
4、0
5、0
三、证明题（共20分）
1.证法一：因为(|)(|),(|)(|)P A C P B C P A C P B C ≥≥--------------1分所以 ()()()(),()()()()
P AC P BC P AC P BC P C P C P C P C ≥≥--------------------3分 ()(),()()P AC P BC P AC P BC ⇒≥≥------------------4分
故 ()()()(P A P A C P B P B C -≥----------------------6分
()()()()()0P A P B P AC P BC ⇒≥--≥----------8分
所以 ()()P A P B ≥-----------------------------------10分
证法二：因为(|)(|),(|)(|)P A C P B C P A C P B C ≥≥--------------1分所以 ()()()(),()()()()
P AC P BC P AC P BC P C P C P C P C ≥≥--------------------3分 ()(),()()P AC P BC P AC P BC ⇒≥≥------------------4分
故 ()()()()P A C P A C P B C P B C
+≥+---------------------7分即 ()()P A P B ≥-----------------------------------10分
2. 证明：因为随机变量序列{}k X 独立，且1(,(1,2,)2
k P X k === ---------1分
所以 11()0(1,2,)22
k E X k === --------------------------------3分
211()ln ln ln (1,2,)22
k E X k k k k =⋅+⋅== --------------------------------5分 22()()()ln (1,2,)k k k D X E X E X k k =-== ----------------------------7分
故 222111
111ln ()()ln 0()n n n k k k k k n D X D X k n n n n n =====<→→∞∑∑∑------------9分依据马尔可夫大数定律知：随机变量序列{}k X 服从大数定律---------10分
四、计算题（计4小题，共40分）
1. 解：设A =“最小的5”
------------2分则 1235310
()C C P A C =--------------7分 14
=-------------10分 2．解：设 (1,2,3)i A i i ==“第条生产线生产的产品”
B =“产品为不合格品”---------------------------------1分
依题意可得 123()0.35,()0.3,()0.35P A P A P A ===----------------3分
123(|)0.09,(|)0.03,(|)0.02P B A P B A P B A ===-------4分
所以 3
1()()(|)i i i P B P A P B A ==∑-------------------------------6分
0.350.090.30.030.350.02=⨯+⨯+⨯---------8
分
0.03150.0090.007=++ 0.0475=---------------------------------10分
3．解法一：令Z X Y V Y =-⎧⎨=⎩，则有z x y v y =-⎧⎨=⎩x z v y v
=+⎧⇒⎨=⎩------------2分所以有 010110z v v z z z v <+<⎧⇒<<-<⎨<<+⎩
------------------3分故11(,)101
(,)D x y J D z v ===--------------------------------------5分所以 ()(,)(,),(,)p z v p x z v y z v =---------------------------6分
3()(011)z v v z =+<<-<----------------7分
故 ()(,)Z p z p z v dv +∞
-∞
=⎰ ------------------------------8分 10
3()z z v dv -=+⎰----------------------------9分 2103(3)|2z zv v -=+ 233(1)(1)2z z z =-+-22333(12)2
z z z z =-+-+ 223333322z z z z =-+-+233(01)22
z z =-<<---------10分解法二：（1）当0z ≤时，
()()()Z F z P Z z P X Y z =≤=-≤(,)0x y z p x y dxdy -≤=
=⎰⎰-----1分（2）当1z ≥时
()()()Z F z P Z z P X Y z =≤=-≤(,)1x y z p x y dxdy -≤=
=⎰⎰------2分
（3）当01z <<时
()()()Z F z P Z z P X Y z =≤=-≤ (,)x y z p x y dxdy -≤=⎰⎰-------4分
10
033z
x x z x z xdxdy xdxdy -=+⎰⎰⎰⎰-------6分 12033z z x dx xzdx =+⎰⎰132032z z
z x x =+3333()22z z z =+-33122z z =--------8分综上所述：30,0;31(),01;2
21
, 1.Z z F z z z z z ≤⎧⎪⎪=-<<⎨⎪≥⎪⎩-----------------------9分所以 233()()(01)22
Z Z p z F z z z '==-<<-----------10分 4．解：因为随机变量X 与Y 独立同分布，且()X Exp λ ------------1分
所以 21()()D X D Y λ
==------------------------------------------------------2分故 12(,)(43,3)Cov Z Z Cov X Y X Y =-+-----------------------------------------------3分
12(,)4(,)9(,)3(,)Cov X X Cov X Y Cov X Y Cov Y Y =+-- 12()3()D X D Y =---------5分
2212
3λλ=-29λ=---------------------------------------------------------6分
1225()(43)16()9()D Z D X Y D X D Y λ=-=+=------------------------------------7分
2210
()(3)9()()D Z D X Y D X D Y λ=+=+=-----------------------------8分
ρ=
---------------------------------------9分
50==------------------------------10分。