第6章 函数-1-2函数原型
应用数学第6章 第一节 二元函数-PPT精选文档
第六章 二元函数微分学
第一节 二元函数
二、二元函数的极限与连续
如果点 ( x , y ) 只取某些特殊方式，如沿一条给定的直线或给定的 曲线无限趋近于 ( x 0 , y 0 ) , 则即使这时函数值无限趋近于某一确 定的常数，也不能判定函数的极限就一定存在.
第六章 二元函数微分学
第一节 二元函数
y y0
x x0 yy0
时的极限，记作 ( )
lim f (x, y) A
或
f x, y A
, ,y xy x 0 0
( x , y ) 以任何方式趋近于 注意：在二元函数极限的定义中，
( x0 , y0 )
是指平的面上点 ( x , y ) 以任意路径无限趋近于点 ( x 0 , y 0 ) .
一元函数通常表示平面上的一条曲线． 二元函数z = f (x, y) , (x , y)D, 其定义域 D
y
y
图6-3
第六章 二元函数微分学
第一节 二元函数
二、二元函数的极限与连续
1. 二元函数的极限
x , y pxy ,0 0 时，对应的 0 二元函数的极限研究的是当点 p 函数值的变化趋势.由于二元函数的自变量有两个，自变量的变 化过程比一元函数的自变量变化过程更为复杂.这里 p p0 表示 点 p 以任何方式趋于点 p 0 ，也就是点 p 与点 p 0 间距离趋于0
图6-1
第六章 二元函数微分学
第一节 二元函数
一、二元函数的概念及几何意义
练习2 解 求二元函数 的定义域. 自变量 x, y 所取的值必须满足不等式
2 y 1 x
z arccos 2y x
y
且
x0
国家开放大学C语言程序设计章节测试参考答案
国家开放大学《C语言程序设计》章节测试参考答案第一章C语言概述自测练习一：C语言字符集自测练习1.在C语言字符集中，包含有全部26个英文大写字母和对应的小写字母。
（√）2.在C语言字符集中，一个大写英文字母和它的小写英文字母被视为不同的字符。
（√）3.在C语言程序中，ABC和abc被作为同一标识符使用。
（×）自测练习二：C语言字符集自测练习1.在C语言中，保留字是有专门含义和作用的，不能作为一般标识符使用。
（√）2.在C语言中，作为标识符的第一个字符只能是英文字母或下划线，不能是数字字符。
（√）3.C语言中使用的字符常量，其起止标记符是（）。
a. 双引号b. 尖括号c. 单引号d. 中括号4.C语言中使用的字符串常量，其起止标记符是（）。
a. 双引号b. 中括号c. 尖括号d. 单引号自测练习三：C语句分类自测练习1.在C语言中，一条简单语句的结束符是（）。
a. 分号b. 空格c. 冒号d. 逗号2.在C语言中，每条复合语句的开始标记字符为（）。
a. <b. [c. (d. {3.不符合C语言规定的复合语句是（）。
a. {x=0;}b. {}c. {;}d. {y=10}4.C语言中的选择类语句有两条，它们是（）。
a. else和caseb. if和switchc. if和elsed. switch和case自测练习四：函数分类与使用自测练习1.在每个C语言程序中都必须包含有这样一个函数，该函数的函数名为（）。
a. nameb. mainc. MAINd. function2.C语言程序中的基本功能模块为（）。
a. 标识符b. 函数c. 表达式d. 语句3.一个函数定义所包含的两个部分是（）。
a. 函数头和函数体b. 函数原型和函数体c. 函数名和参数表d. 函数头和函数尾4.一个程序文件开始使用的每条预处理命令，其首字符必须是（）。
a. #b. @c. %d. $5.在一个程序文件中，若要使用#include命令包含一个系统头文件，则此头文件所使用的起止定界符为一对（）。
离散数学06函数
f-1(B)=f-1({3,4})={f-1(3),f-1(4)}={2,3}
6.1 函数的基本概念
练习1 试证明若AB，则ACBC。
6.1 函数的基本概念
练习2 设有函数f:A∪BC
(1)证明：f(A)∪f(B)=f(A∪B)
(2)试问f(A)∩f(B)=f(A∩B)成立吗？为什么？
6.1 函数的基本概念
6.3 函数的运算
例6.6 设有函数f:RR和g:RR，且有f(x)=2x+1 ，g(x)=x2+1，试求复合函数f g，g f，f f， g g。 解 f
g(x)=f(g(x))=2(x2+1)+1=2x2+3
g
f
f(x)=g(f(x))=(2x+1)2+1=4x2+4x+2
集合A上的恒等关系IA符合函数的定义条件， 它使得A中每一个元素均以自身为像，因此又称IA 为集合A上的恒等函数。 定义6.4 设A是集合，令IA={(x,x)|xA}，则称IA 为A上的恒等函数。
6.1 函数的基本概念
练习3 设有函数f:AA，试证明
(1)若fIA，则f=IA；
(2)若IAf，则f=IA。
（1）若g
（2）若g （3）若g
f是内射，则f是内射。
f是满射，则g是满射。 f是双射，则f是内射，g是满射。
6.3 函数的运算
练习7 设有函数f:AA,g:AA和h:AA，使得复 合函数h f=h g，试证明若h是一内射，则f=g。
6.3 函数的运算
6.3.2 逆函数
定理6.6 若f:X→Y是双射函数，则关系f的逆关系 也是Y到X的函数，记为f-1 ,且f-1:Y→X也是双射。
北师版九年级数学上册教案：第6章 反比例函数2 反比例函数的图象与性质(2课时)
2 反比例函数的图象与性质 第1课时 反比例函数的图象一、基本目标1．进一步熟悉画函数图象的主要步骤,会画反比例函数的图象． 2．能够利用反比例函数的图象解决一些实际问题． 二、重难点目标 【教学重点】 反比例函数的图象． 【教学难点】 双曲线的特征．环节1 自学提纲、生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P152～P153的内容,完成下面练习． 【3 min 反馈】1．类比一次函数的作图象法,作反比例函数图象的一般步骤：列表、描点、连线. 2．反比例函数的图象是双曲线.3．在反比例函数y ＝kx (k ≠0,k 为常数)中,当k >0时,两支曲线位于第一、三象限内；当k＜0时,两支曲线位于第二、四象限内．4．反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形．对称轴有：直线y ＝x 和y ＝－x ,对称中心是原点.5．写出一个图象在第二、四象限的反比例函数的表达式y ＝－2x (答案不唯一).6．已知反比例函数y ＝m －1x 的图象的一支位于第一象限,则常数m 的取值范围是m ＞1.环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】作出反比例函数y ＝12x的图象,并根据图象解答下列问题： (1)当x ＝4时,求y 的值； (2)当y ＝－2时,求x 的值．【互动探索】(引发学生思考)(1)画函数图象的基本步骤是什么？(2)已知自变量的值(或函数值),将其代入函数表达式,即可求出对应的函数值(或自变量的值)．【解答】列表：x … －6 －4 －3 －2 2 3 4 6 y…－2－3－4－66432描点、连线,如图所示．(1)当x ＝4时,y ＝124＝3.(2)当y ＝－2时,x ＝12－2＝－6.【互动总结】(学生总结,老师点评)画函数图象时,应注意：(1)连线时不能连成折线,应该用光滑的曲线连结各点．(2)所选取的点越多,画的图越准确．(3)画图时注意其对称性及延伸性．活动2 巩固练习(学生独学)1．已知点(1,1)在反比例函数y ＝kx (k 为常数,k ≠0)的图象上,则这个反比例函数的大致图象是( C )2．当x ＞0时,函数y ＝－5x 的图象在( A )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限3．对于反比例函数y ＝3x 图象的对称性,下列叙述错误的是( D )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于直线y ＝－x 对称D ．关于x 轴对称活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】若ab <0,则正比例函数y ＝ax 和反比例函数y ＝bx 在同一坐标系中的大致图象可能是下图中的( )【互动探索】如果只看题干,不看选项,可以得出几种结果？如果只看选项,能否判断a 、b 的正负？【分析】∵ab <0,∴a ,b 为异号．分两种情况：①当a >0,b <0时,正比例函数y ＝ax 的图象过原点、第一、三象限,反比例函数图象在第二、四象限内,无此选项；②当a <0,b >0时,正比例函数的图象过原点、第二、四象限,反比例函数图象在第一、三象限内,选项C 符合．故选C.【答案】C【互动总结】(学生总结,老师点评)这类题既可以用分析法,也可以用排除法．用分析法时,根据题干逐一分析,得出不同条件下的结果,再与选项对比得出答案．用排除法时,每个选项逐一分析,看是否满足题干条件．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)请完成本课时对应训练！第2课时 反比例函数的性质一、基本目标1．掌握反比例函数y ＝kx(k ≠0)随着k 值的不同在不同象限的增减性．2．在探索反比例函数图象性质的过程中,积极展开思考,理解并掌握反比例函数图象的性质．二、重难点目标 【教学重点】 反比例函数的性质． 【教学难点】反比例函数中比例系数的几何意义．环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P154～P155的内容,完成下面练习． 【3 min 反馈】1．当k >0时,函数图象位于第一、三象限内,在每个象限内,y 的值随x 值的增大而减小.当k <0时,反比例函数图象位于第二、四象限内,在每个象限内,y 的值随着x 值的增大而增大.2．在反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象上任取一点,过这一点分别作x 轴、y 轴的平行线,与坐标轴所围成的矩形面积始终等于|k |.3．下列函数：①y ＝1x ；②y ＝3x ；③y ＝12x ；④y ＝7x 中．(1)图象位于第二、四象限的有②④；(2)在每一象限内,y 随x 的增大而增大的有②④； (3)在每一象限内,y 随x 的增大而减小的有①③.4．若点(－1,y 1),(－3,y 2),(2,y 3)在反比例函数y ＝－1x 的图象上,则y 1,y 2,y 3的大小关系怎样？解：由y ＝－1x ,k ＝－1<0知函数的图象在第二、四象限内．在每个象限内,y 随x 的增大而增大,画草图如图所示．∵－3<－1<0,∴y 1>y 2>0.而点(2,y 3)在第四象限内,∴y 3<0,∴y 1>y 2>y 3.环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】若点(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3)都是反比例函数y ＝－1x 图象上的点,并且y 1＜0＜y 2＜y 3,判断x 1、x 2、x 3的大小关系．【互动探索】(引发学生思考)要根据函数值的大小判断自变量的大小,需考虑函数的增减性．特别要注意的是,只有在同一象限,反比例函数的增减性才适用．【解答】∵反比例函数y ＝－1x中k ＝－1＜0,∴此函数的图象在第二、四象限,且在每一象限内y 随x 的增大而增大． ∵y 1＜0＜y 2＜y 3,∴点(x 1,y 1)在第四象限,(x 2,y 2)、(x 3,y 3)两点均在第二象限, ∴x 2＜x 3＜x 1.【互动总结】(学生总结,老师点评)利用反比例函数的性质比较函数值或自变量的大小：(1)看k 的符号,明确函数的增减情况；(2)看两点是否在同一个象限内；若不在同一个象限内,借助图象即可判断函数值或自变量的大小,若在同一个象限内,则比较两个横(纵)坐标的大小,根据函数的增减情况,得出函数值(自变量)的大小．活动2 巩固练习(学生独学)1．对于反比例函数y ＝2x ,下列说法不正确的是( C )A ．点(－2,－1)在它的图象上B ．当x ＜0时,y 随x 的增大而减小C ．当x >0时,y 随x 的增大而增大D ．它的图象在第一、三象限2．函数y ＝－1x 的图象上有两点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),若0＜x 1＜x 2,则( A )A ．y 1＜y 2B ．y 1＞y 2C ．y 1＝y 2D ．y 1、y 2的大小不确定3．已知反比例函数y ＝1－2mx的图象上两点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),当x 1＜0＜x 2时,有y 1＜y 2,则m 的取值范围是m ＜12.4．如图,点P 是反比例函数图象上的一点,过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这个反比例函数的关系式是y ＝－3x.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如图,A 、B 两点在双曲线y ＝4x 上,分别经过A 、B 两点向轴作垂线段,已知S阴影＝1,求S 1＋S 2的值．【互动探索】过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段与坐标轴所形成的矩形的面积都等于反比例函数的比例系数的绝对值,阴影部分是两个矩形的重叠部分,所以S 1＋S 2可以转化为两个矩形的面积之和减去阴影部分的面积．【解答】由于点A 、B 是双曲线y ＝4x 上的点,分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段,则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k |＝4,∴S 1＋S 2＝4＋4－1×2＝6.【互动总结】(学生总结,老师点评)利用反比例函数中比例系数k 的几何意义,可以求得与双曲线有关的矩形的面积或三角形的面积,还可以利用矩形或三角形的面积,求得反比例函数的表达式．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)请完成本课时对应训练！。
第6章(相似理论与量纲分析1-2)
vp2 vm2
0.05
10.192 1.0192
5m （油柱）
100m 长的输油管两端的压强差
5 5
100
100m
（油柱）
第二节 量纲分析
一、量纲分析的基本概念
二、量纲和谐性原理
三、量纲分析法
瑞利法 π定理
一、 量纲分析的基本概念
（一） 量纲 物理量单位的种类称为量纲或因次，如长度量纲 L。通常用[x]表示物理量x的量纲。 用[ ] 表示物理量的量纲，
应满足雷诺相似准则
vmlm vplp
m
p
因 lm lp （ kl 1 ），上式可简化为
vm m vp p
流量比尺 kQ kvkl2 kv k ，所以模型中水的
流量为
Qm
m p
Qp
0.013 0.18 0.13
0.018m3
/s
（2）流动的压降满足欧拉准则
6. 柯西相似准则
Cam Cap
柯西数
ρv 2 Ca
K
柯西相似准则表明两流动的弹性力相似时，模型与 原型流动的柯西数相等。 柯西数的物理意义在于它反映了流动中惯性力和弹 性力之比。
注意：柯西相似准则适用于可压缩液体。
7. 马赫相似准则
Mam Map
马赫数
Ma v c
c——当地声速
Eu
p v 2
Eu m Eu p
上式称为欧拉相似准则，表明两流动的压力相似时， 模型与原型流动的欧拉数相等。 欧拉数的物理意义在于它反映了流动中压力和惯性 力之比。
注意：欧拉相似准则不是独立的准则，当雷诺相似 准则和弗劳德相似准则得到满足时，欧拉相似准则 将自动满足。
北师版初中数学九年级上册精品教学课件 第6章 反比例函数 2第1课时反比例函数的图象
B.第二、四象限
C.第一、二象限
D.第三、四象限
A ).
2.若A(2,4)与B(-2,a)都是反比例函数y= (k≠0)图象上的点,则a的值是(
A.4
B.-4
C.2
D.-2
B ).
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3.请写出一个图象过点(1,1),且与x轴无交点的函数表达式:
y=
1
.
4.已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交点坐标
为(1,3),则另一个交点坐标是 (-1,-3) .
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本
课
结
束
的值并列表;
(2)描点:先描出一侧的点,再根据中心对称的性质去描另一侧的点;
(3)连线:按从左到右的顺序用平滑的曲线连接各点,注意双曲线的两个分
支是断开的,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不能与坐标轴相交.
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新知训练巩固
2
1.反比例函数y= 的图象位于平面直角坐标系的(
A.第一、三象限
的函数值即可.
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解 (1)列表:
x
y
…
-6
…
-4
1
2
-3
3
4
1
-2
-1
3
2
3
1
-3
2
3
-
2
3
-1
4
3
-
4
6
1
-
2
…
…
描点、连线,画出函数图象如图所示:
(2)由图象可知,
当1≤x≤3时,
y的取值范围为-3≤x≤-1.
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【方法归纳】
C++语言基础教程习题参考解答
清华大学出版社出版普通高等院校计算机专业（本科）实用教程系列之一《C++语言基础教程》全部练习题参考解答第一章 C++语言概述1.2 填空题1．#2. ; { }3. 空格制表回车换行4. 系统用户5. 程序6. 函数头函数体7. main8. 函数原型9. 原型10. 复合语句11. .h .cpp12. 严重错误警告错误13. void14. void15. int 016. n17. 下一行18. 空白符1.3 写出下列程序运行结果，此题又作为上机实验题1. x+y=11,x*y=302. cube(3)=27cube(5)=125cube(8)=5123. averageValue:3averageValue:44. 请输入三个整数：10 5 9 (假定输入的三个整数为10,5,9)最大值: 10最小值: 5第二章数据类型和表达式2.2 填空题1. 4，1，1，4，82. short, int, long4. 46, 123, 985. 107, 10, 92, 42 1026. 157. 符号常量，整数，int8. 3.4E2, 5.27E69. int, int, double, double, float10. x, 1511. 6, 6012. 26, 2513. 4, 114. 256, 2215. x, x16. 0, 117. 2018. 519. 9, 21620. 0, 1921. (1+x)*sin(48*3.14159/180), a*pow(x,b)*exp(x+1)2.3 指出下列各表达式值的类型1. int2. double3. float4. long int5. int6. int7. int8. int9. double 10. double 11. double 12. int13. int 14. double 15. char 16. int17. bool 18. int 19. short 20. bool21. unsigned int 22. double 23. int 24. char25. int 26. double 27. double 28. double29. double 30. int 31. int 32. double33. double 34. double 35. bool 36. bool37. bool 38. bool 39. bool 40. bool2.4 已知a=20, x=4.7, r=’a’, 试求出下列每个表达式的值（各表达式互不影响）。
算法竞赛入门经典授课教案第6章数据结构基础(精心排版,并扩充部分内容)
第6章数据结构基础【教学内容相关章节】6.1栈和队列 6.2链表 6.3二叉树 6.4图【教学目标】（1）熟练掌握栈和队列及其实现；（2）了解双向链表及其实现；（3）掌握对比测试的方法；（4）掌握随机数据生成方法；（5）掌握完全二叉树的数组实现；（6）了解动态内存分配和释放方法及其注意事项；（7）掌握二叉树的链式表示法；（8）掌握二叉树的先序、后序和中序遍历和层次遍历；（9）掌握图的DFS及连通块计数；（10）掌握图的BFS及最短路的输出；（11）掌握拓扑排序算法；（12）掌握欧拉回路算法。
【教学要求】掌握栈和队列及其实现；掌握对比测试的方法；掌握随机数据生成方法；掌握完全二叉树的数组实现和链式表示法；掌握二叉树的先序、后序和中序遍历和层次遍历；掌握图的DFS和BFS遍历；掌握拓扑排序算法；掌握欧拉回路算法。
【教学内容提要】本章介绍基础数据结构，包括线性表、二叉树和图。
有两种特殊的线性表：栈和队列。
对于树型结构主要讨论二叉树，还有二叉树的先序、中序和后序的遍历方式。
对于图主要讨论图的DFS和BFS的遍历方法。
这些内容是很多高级内容的基础。
如果数据基础没有打好，很难设计正确、高效的算法。
【教学重点、难点】教学重点：（1）掌握栈和队列及其实现；（2）掌握对比测试的方法；（3）掌握随机数据生成方法；（4）掌握完全二叉树的数组实现和链式表示法；（5）掌握二叉树的先序、后序和中序遍历和层次遍历；（6）掌握图的DFS和BFS遍历；（7）掌握拓扑排序算法和欧拉回路算法。
教学难点：（1）掌握完全二叉树的数组实现和链式表示法；（2）掌握二叉树的先序、后序和中序遍历和层次遍历；（3）掌握图的DFS和BFS遍历；（4）掌握拓扑排序算法和欧拉回路算法。
【课时安排（共9学时）】6.1栈和队列 6.2链表 6.3二叉树 6.4图6.1 栈和队列线性表是“所有元素排成一行”的数据结构。
除了第一个元素之外，所有元素都有一个“前一个元素”；除了最后一个元素外，所有元素都有“后一个元素”。
第6章 Hilbert变换-1. 定义与性质
第6章 Hilbert 变换科研人员利用各种测量仪器和设备在研究过程中获得的信号都是以实数形式存在的，而以复数形式表示的解析信号可以包含更多的信息。
如果能够得到实值信号的解析形式，在进行理论推导和信号分析的时候就会大有帮助，本章介绍的Hilbert 变换就用来实现这种功能。
Hilbert 变换是信号处理领域中一个非常重要的数学工具，已经被广泛应用到信号调制、滤波器的设计等方面。
笔者在本章中将对Hilbert 变换的定义、性质和算法实现进行介绍。
1. 定义与性质1.1 定义在进行理论推导和信号分析的时候，如果能够将形如ft π2cos 的信号转化为形如ftj e π2或ftj eπ2-的解析形式，不但可以把非线性的三角运算转化为线性的指数运算，还可以得到信号的包络线和瞬时相位等信息。
一般来讲，需要通过Hilbert 变换来实现这种信号转换。
时域中实值函数)(t x 的Hilbert 变换为)(*t x H ，它的定义为)(t x 与tπ1的卷积： ⎰+∞∞--=τττπd t x t x H)(1)(* (6-1)逆向Hilbert 变换的定义是)(*t x H 与t π1-的卷积： ⎰∞+∞---=τττπd t x t x H )(1)(* (6-2)那么，与实值函数)(t x 相对应的解析函数)(t z 可以写成如下形式，由实值函数)(t x 的Hilbert 变换)(*t x H 构成了)(t z 的虚部：)()()()()(*t x j t x d t x jt x t z H ⋅+=-⋅+=⎰+∞∞-τττπ(6-3)公式(6-1)、公式(6-2)和公式(6-3)中的定义域都为时域，因为tπ1的Fourier 变换为⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=⋅-0 ,0 ,00 ,)sgn(f j f f j f j ，实值函数Hilbert 变换的计算也可以在频域实现。
如果)(t z 和)(t x 的Fourier 变换分别是)(f Z 和)(f X ，那么可以推导出)(f Z 与)(f X 之间的关系为：⎪⎩⎪⎨⎧<=>=0 ,00 ),(0 ),(2)(f f f X f f X f Z (6-4)从公式(6-4)可以看出，解析信号的频谱不存在负的频率成份，从而可以使其比实值信号更加具备应用价值。
2020年北师大版九年级数学上册第6章《反比例函数》全章单元教案
第六章反比例函数1.探索简单实例中的数量关系和变化规律,了解常量、变量的意义.2.结合实例,了解函数的概念和三种表示法,能举出函数的实例.3.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析.4.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围,并会求出函数值.5.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系.6.结合对函数关系的分析,能对变量的变化情况进行初步讨论.7.结合具体情境体会反比例函数的意义,能根据已知条件确定反比例函数的表达式.8.能画出反比例函数的图象,根据图象和表达式y=k(k≠0)探索并理解k>0和xk<0时,图象的变化情况.9.能使用反比例函数解决简单实际问题.1.经历从具体问题情境中抽象出反比例函数概念的过程,进一步感受函数的模型思想.2.探索反比例函数的性质,体会研究函数的一般性方法.1.在反比例函数学习的过程中,进一步发展勇于探索与合作交流的精神.2.根据图象和表达式理解反比例函数的性质,体会数形结合的思想和分类的思想.函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出的重要数学概念,是研究现实世界变化规律的重要数学模型,学生曾在七年级下册和八年级上册学习过“变量之间关系”和“一次函数”等内容,对函数已经有了初步的认识,在此基础上讨论反比例函数及其性质,可以进一步领悟函数的概念并积累研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的经验,这对后续学习会产生积极影响.本章通过具体情境的分析,概括出反比例函数的表达式,明确反比例函数的概念,通过例题和学生列举的实例可以丰富对反比例函数的认识,理解反比例函数的意义.结合实例经历列表、描点、连线等活动,理解函数的三种表示方法,逐步明确研究函数的一般要求,反比例函数的图象具体展现了反比例函数的整体直观形象,为学生探索反比例函数的一般形式,反比例函数的性质提供了思维活动的空间,通过对反比例函数y=k(k>0和k<0)图象的全面观察和比较,发现反比例函数自身x的规律,结合语言表述,在相互交流中发展从图象中获取信息的能力,同时可以使学生更牢固地掌握反比例函数的性质.本章最后讨论了反比例函数的某些应用,包括在实际中的应用和在数学内部的应用.在这些数学活动中,注意用函数观点来处理问题或对问题的解决用函数做出某种解释,用以加深对函数的认识,并突出知识之间的内在联系.【重点】反比例函数图象及其性质;利用反比例函数解决简单的生活问题.【难点】根据具体情况对变量的情况进行讨论.1.注重反比例函数概念的形成过程和对概念意义的理解.在反比例函数概念形成的过程中,应充分利用学生已有的生活经验和背景知识,创设丰富的现实情境,引导学生关注问题中变量的相依关系及变化规律,并逐步加深理解,教学中要提供直观背景,其主要作用是:①展现产生反比例函数的现实原型,提供可概括性材料,引导学生主动参与并感受数学概念的形成过程;②在获得反比例函数概念之后,现实原型将成为概念的某种直观解释或实际意义,通过举例、说理、讨论等活动,力求使学生体验如何用数学的眼光来审视某些实际现象,思考其数学意义.2.要注意和函数的有关知识的衔接,与一次函数进行类比,掌握函数的三种表示法,深化对函数概念的理解.反比例函数概念的形成,是从感性认识到理性认识转化的过程,概念一旦建立后,即已摆脱其原型成为数学对象(有经验支撑的数学知识).要通过对函数图象的观察和分析,掌握反比例函数的主要性质,体验“用数学眼光来研究某些数学现象”,深化函数模型思想,进一步发展我们的抽象思维能力.(k≠0)具有丰富的数学含义,应转向对其数学意义的理解,从另外,反比例函数y=kx而可以进行更深层次的研究.1反比例函数1课时2反比例函数的图象与性质2课时3反比例函数的应用1课时1反比例函数经历抽象反比例函数概念的过程,体会反比例函数的含义,理解反比例函数的概念.从现实情境和已有知识经验出发,经历抽象反比例函数的过程,让学生建立初步的符号感,发展学生的抽象思维能力.1.通过创设情境,让学生经历在实际问题中探索数量关系的过程,养成用数学思维方式解决实际问题的习惯.2.在小组讨论中充分体会合作交流的重要性,培养合作意识,提高合作技能.【重点】反比例函数的概念及应用.【难点】根据已知条件确定反比例函数的表达式.【教师准备】求函数值的统计表.【学生准备】复习函数的相关知识.导入一:我们知道,导体中的电流I,与导体的电阻R、导体两端的电压U之间满足关系式U=IR,当U=220 V时,(1)你能用含有R的代数式表示I吗?(2)利用写出的关系式完成下表:R/Ω20 40 60 80 100I/A当R越来越大时,I怎样变化?当R越来越小呢?(3)变量I是R的函数吗?为什么?[设计意图]从学生身边的生活和已有知识出发,创设情境,目的是让学生感受到生活当中处处有数学,激发学生对学习数学的兴趣和愿望,同时也为抽象反比例函数概念做铺垫.导入二:我们在前面学过一次函数和正比例函数,知道一次函数的表达式为y=kx+b,其中k,b为常数且k≠0,正比例函数的表达式为y=kx,其中k为不为零的常数,但是在现实生活中,并不是只有这两种类型的函数.这就是本节课我们要揭开的奥秘.1.复习旧知在某变化过程中有两个变量x,y,若给定其中一个变量x的值,y都有唯一确定的值与它相对应,则称y是x的函数.例如购买单价是0.4元的铅笔,总金额y(元)与铅笔数n(支)的关系式是y=0.4n,这是一个正比例函数.等腰三角形的顶角的度数y度与底角的度数x度的关系为y=180-2x,y是x的一次函数.2.问题探索问题1【课件1】导入一中的电流、电阻、电压之间是否存在函数关系?.解:(1)I=220R(2)从左到右依次填:11,5.5,3.67,2.75,2.2.利用表格数据提供的信息,并参照对关系式的分析,可以得出当电阻R越来越大时,电流I越来越小;当R越来越小时,I越来越大.(3)当给定一个R的值时,相应地确定了一个I值,因此I是R的函数.[知识拓展]舞台灯光可以在很短时间内将阳光灿烂的晴日变成浓云密布的阴天,或由黑夜变成白昼,这样的效果就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的.因为当电流I较小时,灯光较暗;反之,当电流I较大时,灯光较亮.问题2【课件2】京沪高速铁路全长约为1318 km,列车沿京沪高速铁路从上海驶往北京,列车行完全程所需要的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间有怎样的关系?变量t是v的函数吗?为什么?【师生活动】先让学生进行小组合作交流,再在全班范围内进行问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看成函数,了解所讨论的函数的表示形式.【归纳规律】上述实例所列出的等式,它们是函数吗?是正比例函数,还是一次函数?如果不是一次函数,你能总结自变量和因变量之间的函数关系吗?一般地,如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=kx(k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数.从y=kx(k≠0)中可知x作为分母,所以x不能为零.[设计意图]让学生自己举例、总结规律、抽象概念,便于学生理解和掌握反比例函数的概念,同时培养和提高学生的总结归纳能力和抽象思维能力.【做一做】1.一个矩形的面积为20 cm2,相邻的两条边长为x cm和y cm,那么变量y 是变量x的函数吗?是反比例函数吗?为什么?2.某村有耕地346.2 hm2,人口数量n逐年发生变化,那么该村人均占有耕地面积m(hm2/人)是全村人口数n的函数吗?为什么?3.y是x的反比例函数,下表给出了x与y的一些值:x-2 -1 -1211 3y232 -1(1)写出这个反比例函数的表达式;(2)根据函数表达式完成上表.[设计意图]这一过程目的是强化学生对反比例函数概念的理解,体会反比例函数的实际意义,并且让学生感受自己探索发现的知识与实际生活有着密切的联系并能解决实际问题,从而获得学习的成就感,激发学生的学习兴趣.[知识拓展](1)反比例函数的一般式:y=kx(k为常数,k≠0).反比例函数的变形式:①y=kx-1(x的指数为-1,k为常数,k≠0);②xy=k(k为常数,k≠0).(2)取值范围:①比例系数k≠0;②自变量x是一切非0实数;③函数值y也是一切非0实数.(3)判断方法:要判断一个函数是不是反比例函数,就看它能不能写成y=kx(k为常数,k≠0)的形式.下列各式表示y是x的反比例函数的是()A.x+y=-2B.y=-12xC.y=x3D.y=-2x+1〔解析〕 A.y=-2-x,是一次函数;B.y=-12x =-12x,本选项符合题意;C.y=x3,y是x的正比例函数;D.y=-2x+1,y是x的一次函数.故选B.1.一般地,如果两个变量x,y之间的关系可以表示成的形式,那么y是x的,这个函数中自变量x的取值范围是.答案:y=kx(k为常数,k≠0)反比例函数x≠02.下列函数解析式中,y是x的反比例函数的是()A.y=x2B.y=-32xC.y=1x+1D.y=1x答案:B3.反比例函数y=kx(k≠0),若x=√3时,y=4,则k等于()A.√3B.4C.4√3D.√3答案:C4.当a=时,函数y=(a+2)x a2-5是反比例函数.答案:21反比例函数1.复习旧知2.问题探索形如:y=kx(k为常数,k≠0)的函数叫y是x反比例函数①k≠0②x≠0→x>0或x<0③y≠0→y>0或y<0【做一做】一、教材作业【必做题】教材第150页随堂练习的1,2题.【选做题】教材第151页习题5.1的4题.二、课后作业【基础巩固】1.下列函数中,y是x的反比例函数的是()A.y=-2xB.y=-kxC.y=-2x D.y=-x22.下列函数关系是反比例函数的是()A.三角形的底边为一常数,则三角形的面积y与三角形的高x间的函数关系B.力F为一常数,则力所做的功W与物体在力的方向上移动的距离s间的函数关系C.矩形的面积为一常数,则矩形的长y与宽x间的函数关系D.当圆锥的底面积为一常数,圆锥的体积V与圆锥的高h的函数关系3.已知函数y=m+3x1-m2-3m是反比例函数,则m的值为()A.-3B.0C.-3或0D.24.已知y与x成正比例,z与y成反比例,那么z与x之间的关系是()A.成正比例B.成反比例C.有可能成正比例,也有可能成反比例D.无法确定5.已知y是x的反比例函数,下表给出了x与y的一些值,由表知函数表达式为.根据函数表达式完成下表.x-1 3 6 8y 3 -3 26.若y与x2+1成反比例,且x=1时,y=2,则函数的解析式为.【能力提升】7.已知y=y1+y2,y1与x成正比例,y2与x成反比例,且当x=2时,y=-4;当x=-1时,y=5,求出y与x的函数关系式.【拓展探究】8.某工作人员打算利用不锈钢制作一个面积为0.8 m2的矩形模具,设矩形模具的长为y m,宽为x m.(1)写出y与x的函数关系式,并说明y与x之间是什么函数关系;(2)若使模具长比宽多1.6 m,已知每米这种不锈钢条的价格为6元,制作这个模具共花多少钱?【答案与解析】1.C(解析:A,D是正比例函数,B中k未说明不等于0,只有C符合定义.)2.C3.B(解析:由1-m2-3m=1,求出m=-3或0,又m+3≠0,∴m=0.)4.B5.y=6x -62-21346.y=4x+17.解:∵y1与x成正比例,∴设y1=k1x,∵y2与x成反比例,∴设y2=k2x ,∴y=k1x+k2x.由x=2时,y=-4;x=-1时,y=5得{2k1+k22=-4,-k1-k2=5,解得k1=-1,k2=-4,∴y=-x-4x.8.解:(1)分析题意,由矩形的长y与宽x之间的关系,可得yx=0.8,即y=0.8x,∴y是x的反比例函数. (2)由题意知y=x+1.6,∴x+1.6=0.8x,整理得x2+1.6x-0.8=0,解得x1=0.4,x2=-2(不符合题意,舍去).当x=0.4时,x+1.6=2.∴(0.4+2)×2×6=28.8(元).∴制作这个模具共花28.8元.1.反比例函数知识是对函数学习的进一步深化,与先前的知识有着密切的联系.所有本课时的教学过程中,对以往函数知识的简要回顾取得了良好效果,不但建立起新旧知识的联系,也为继续深入研究反比例函数奠定了知识基础和方法基础.2.把生活中存在的反比例函数关系的事例进行导入和教学,拉近了生活和数学学习的距离,帮助学生感受到反比例函数的知识就在我们的生活之中,就在我们的身边.(k为常数,k≠0)中,忽略了强调k≠0而出错.在反比例函数的关系式y=kx反比例函数是生活中一种重要的函数关系式,在教学的过程中,要给学生更多的时间去发现和总结生活中这样的关系式.对于综合性比较强的课堂练习,要给予学生及时的提示和点拨.随堂练习(教材第150页)1.解:(1)是反比例函数,k=5. (2)是反比例函数,k=0.4. (3)不是反比例函数(是正比例函数). (4)是反比例函数(可写为y=2),k=2.x2.解:例如:①已知一个矩形的面积为20 cm 2,它的长y (cm)是宽x (cm)的反比例函数;表达式为y =20x .②一本书30万字,读完它所用时间t 是每天所读字数a (万字)的反比例函数;表达式为t =30a .(答案不唯一) 习题6.1(教材第150页) 1.解:根据题意,y 与x 之间满足y =1200x ,y 是x 的反比例函数.2.解:根据题意,y 与x 之间满足y =2Sx ,y 是x 的函数,y 是x 的反比例函数. 3. 解:(1)(3)(4)是.理由如下:(1)xy =-13,即y =-13x ,满足反比例函数的概念,其中k =-13. (2)y =5-x ,即y =-x +5,是一次函数. (3)y =-25x 满足反比例函数的概念,其中k =-25. (4)y =2ax (a ≠0)满足反比例函数的概念,其中k =2a.4.解:表中依次填:5,54,59,516,15,536,549,564.(1)变量R 是变量I 的函数. (2)R =PI 2,∴R 不是I 的反比例函数.已知反比例函数y =kx (k 为常数,k ≠0)的图象经过点A (2,3). (1)求这个函数的解析式;(2)判断点B (-1,6),C (3,2)是否在这个函数的图象上,并说明理由.〔解析〕 (1)把点A 的坐标代入已知函数解析式,通过解方程即可求得k 的值.(2)只要把点B ,C 的坐标分别代入函数解析式,适合函数关系式的点在该函数图象上.解:∵反比例函数y =kx 的图象经过点A (2,3), ∴3=k2,解得k =6, ∴函数的解析式为y =6x .(2)把B ,C 两点的坐标代入y =6x ,有6≠-6,2=63, ∴点B 不在该函数图象上,点C 在该函数图象上.[解题策略] 确定反比例函数的表达式,常见类型有:已知图象上一点的坐标、已知一对函数值、已知一个图形的面积求表达式,另外还有根据实际问题求表达式.已知函数y =(m 2-2m )x m2+m -1.(1)m 为何值时,y 是x 的反比例函数? (2)m 为何值时,y 是x 的正比例函数?解:(1)根据反比例函数的定义可知m 2+m-1=-1,且m 2-2m ≠0, 解得m =-1.所以m =-1时函数y =(m 2-2m )x m 2+m -1是反比例函数.(2)当m 2+m-1=1,且m 2-2m ≠0, 即m =1或-2时,此函数是正比例函数.已知变量x ,y 满足(x-2y )2=(x +2y )2+10,则x ,y 是否成反比例关系?如果不是,请说明理由;如果是,请求出比例系数.〔解析〕 直接去括号,进而合并同类项得出y 与x 的函数关系式即可. 解:∵(x-2y )2=(x +2y )2+10, ∴x 2-4xy +4y 2=x 2+4xy +4y 2+10, 整理得出8xy =-10, ∴y =-54x ,∴x ,y 成反比例关系,比例系数为-54.2反比例函数的图象与性质1.能画出反比例函数的图象,进一步掌握画函数图象的步骤.2.理解和掌握反比例函数的性质.通过画图象,进一步培养“描点法”画图的能力和方法,并提高对函数图象的分析能力,同时尝试用类比和由特殊到一般的思维方法.归纳反比例函数的一些性质特征,由图象的画法和分析,体验数学活动中的探索性和创造性、感受双曲线的数学美,并通过图象的直观教学激发学习兴趣.【重点】反比例函数的图象画法和性质.【难点】借助于图象理解反比例函数的性质.第课时进一步熟悉画函数图象的主要步骤,会画反比例函数的图象,能够利用反比例函数的图象解决一些实际问题.激励学生在探索反比例函数的图象的过程中,积极展开思考,理解并掌握反比例函数的图象特点.调动学生的主观能动性, 积极参与教学活动,促使学生在学习中培养良好的情感态度与合作、交流的意识,提高观察、分析、解决问题的能力.【重点】反比例函数的图象.【难点】对反比例函数图象是平滑双曲线的理解及对图象特征的分析.【教师准备】几个反比例函数图象的投影图片、教材相关图片的投影等.【学生准备】直尺,坐标纸;复习函数图象的作图过程与方法.导入一:【提出问题】还记得一次函数y=kx+b(k≠0)的图象吗?那么反比例函数的图象又会是什么样子呢?你想知道吗?导入二:同学们还记得正比例函数图象的特点吗?那么反比例函数图象又是怎样的呢?正比例函数解析式y=kx(k≠0)图象经过(0,0)与(1,k) 当k>0时,图象经过第一、三象限;当k<0时,图象经过第二、四象限画反比例函数y=4x的图象1.列表:x…-8-4-3-2-1-121212348…y=4x …-12-1-43-2-4-8842411…描点:以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系内描出相应的点.连线:用光滑的曲线顺次连接各点,即可得到函数y=4x的图象(如下图).强调:列表时,自变量的值可以选取绝对值相等而符号相反的一对一对的数值,这样既可简化计算,又便于描点.2.如果在列表时所选取的数值不同,那么图象的形状是否相同?连线时能否连成折线?为什么必须用光滑的曲线连接各点?曲线的发展趋势如何?3.让学生尝试作出反比例函数y =-4x 的图象.学生采用相同的步骤和方法完成作图,教师巡视,指导一段时间后,请学生在黑板上画出图象.4.观察函数y =4x 和y =-4x 的图象,它们有什么相同点和不同点?图象分别都是由两支曲线组成的,它们都不与坐标轴相交,两个函数图象都是轴对称图形,它们都有两条对称轴.5.反比例函数的性质.再让学生观察反比例函数图象,提问:(1)当k>0时,双曲线的两个分支各在哪个象限?(2)k<0时,双曲线的两个分支各在哪个象限?【总结】(1)当k>0时,双曲线的两个分支分别分布在第一、三象限内;当k<0时,双曲线的两个分支分别分布在第二、四象限内.(2)两个分支都无限接近但永远不能达到x轴和y轴.[知识拓展]反比例函数的图象是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限,它们关于原点对称,由于反比例函数中自变量x ≠0,函数值y≠0,因此它们的图象与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远不会与坐标轴相交.(k≠0)的图象是由两支曲线(双曲线)组成的,当k>0时,两支反比例函数y=kx曲线分别位于第一、三象限内;当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限内.的图象位于()1.反比例函数y=1xA.第一、三象限内B.第一、二象限内C.第二、四象限内D.第三、四象限内答案:A2.反比例函数y=k(k≠0)的图象,当k>0时,两支曲线分别位于第、x象限内;当k<0时,两支曲线分别位于第、象限内.答案:一三二四(k≠0)的图象是两支,又称,这两个分支3.反比例函数y=kx不连续,都无限接近但永远不会到达和.答案:关于原点对称的曲线双曲线x轴y轴上的两点,且x1>x2>0,则y14.若A(x1,y1),B(x2,y2)是双曲线y=3xy2.(填“>”“=”或“<”)答案:<第1课时(k≠0)的图象函数y=kx①k>0②k<0一、教材作业【必做题】教材第153页随堂练习.【选做题】教材第154页习题6.2的3题.二、课后作业【基础巩固】1.如图,是我们学过的反比例函数图象,它的函数解析式可能是()A.y=x2B.y=4xC.y=-3x D.y=12x2.反比例函数y=kx(k<0)的大致图象是()3.已知点(1,1)在反比例函数y=kx(k为常数,k≠0)的图象上,则这个反比例函数的大致图象是()4.如图,已知A 是反比例函数y =kx (k ≠0)的图象上一点,AB ⊥x 轴于点B ,且ΔABO 的面积是3,则k 的值是 ( )A.3B.-3C.6 D .-65.如图,点A 在双曲线y =1x上,点B 在双曲线y =3x上,且AB ∥x 轴,C ,D 在x 轴上,若四边形ABCD 为矩形,则它的面积为 .【能力提升】6.关于反比例函数y =4x 的图象,下列说法正确的是 ( )A.必经过点(1,1)B.两个分支分布在第二、四象限内 C .两个分支关于x 轴对称 D.两个分支关于原点成中心对称7.函数y =2x 与函数y =-1x 在同一坐标系中的大致图象是下图中的 ( )【拓展探究】8.如图所示,A ,C 是函数y =1x 的图象上任意两点,过A 作y 轴的垂线,垂足为B ,记Rt ΔAOB 的面积为S 1;过C 作y 轴的垂线,垂足为D ,记Rt ΔOCD 的面积为S 2,则( )A .S 1>S 2B .S 1<S 2C .S 1=S 2D .不能确定9.在平面直角坐标系xOy 中,反比例函数y =kx (k ≠0)的图象与y =3x 的图象关于x 轴对称,且反比例函数y =kx 的图象经过A (1,n ),试确定n 的值. 【答案与解析】 1.B2.B3.C(解析:∵点(1,1)在反比例函数y =kx (k 为常数,k ≠0)的图象上,∴k =1×1=1,∴此反比例函数的图象在第一、三象限内,∴C 正确.故选C.)4.C(解析:根据题意可知S ΔAOB =12|k |=3,又因为反比例函数的图象位于第一象限,k >0,则k =6.故选C .)5.2(解析:过A 点作AE ⊥y 轴,垂足为E ,∵点A 在双曲线y =1x 上,∴四边形AEOD 的面积为1,∵点B 在双曲线y =3x 上,且AB ∥x 轴,∴四边形BEOC 的面积为3,∴四边形ABCD 的面积为3-1=2.) 6.D 7.B8.C(解析:由反比例函数y =kx (k ≠0)中比例系数k 的几何意义可以推出Rt ΔAOB 与Rt ΔOCD 的面积都等于12|k |=12.故选C .)9.解:因为反比例函数y =kx 的图象与y =3x 的图象关于x 轴对称,则k =-3,故反比例函数y =kx 的解析式为y =-3x .因为点A (1,n )在反比例函数y =-3x 的图象上,所以n =-3.研究反比例函数的方法同先前研究函数的方法有着高度的一致,在这里利用学生对以往研究函数的方法,比较顺利地解决了画反比例函数图象、分析反比例函数特点的探索活动,取得了事半功倍的效果.在学生画反比例函数图象的时候,老师担心学生画不准、画不好,过早地把一些提示话语传递给了学生,没有等学生可能出现问题之后,显得对学生放手不够,过多地干预了学生的自主探究活动.(k≠0)中比例系数k的值对函数图象的影响,应该重点强调反比例函数y=kx并帮助学生通过规律性的总结,熟记反比例函数图象的特点.调整部分难度过大、综合性过强的训练试题,设置习题的目的以巩固知识、强化记忆为主.随堂练习(教材第153页)的图象.因为图象的两分支位于第二、四象限.解:图(1)是反比例函数y=-2x习题6.2(教材第154页)1.解:列表如下:x-6 -3 -1 1 3 6y=6-1 -2 -6 6 2 1xy=-61 2 6 -6 -2 -1x描点、连线,如图所示.2.解:不对,因为反比例函数中的x,y的值都不能为0,所以反比例函数的图象不可能与坐标轴相交.3.解:列表:x…-3 -2 -1 1 2 3 …y=2x …-23-1 -2 2 1 23…y=x-1 …-4 -3 -2 0 1 2 …描点、连线,图象如图所示.可见y=2x与y=x-1的图象交于点(-1,-2)和点(2,1).在同一坐标系中的大若ab<0,则正比例函数y=ax和反比例函数y=bx致图象可能是下图中的()〔解析〕∵ab<0,∴a,b为异号,分两种情况:(1)当a>0,b<0时,正比例函数y=ax的图象过原点、第一、三象限,反比例函数图象在第二、四象限内,无此选项;(2)当a<0,b>0时,正比例函数的图象过原点、第二、四象限,反比例函数图象在第一、三象限内,选项C符合.故选C.某地资源总量Q一定,该地人均资源享有量x与人口数n的函数关系图象是().∵Q为一定值,∴x是n的反比例函数,〔解析〕∵由题意,得Q= xn,∴x= Qn其图象为双曲线.又∵x>0,n>0,∴图象在第一象限内.故选B.第课时掌握反比例函数y=k(k≠0)随着k值的不同在不同象限的增减性.x激励学生在探索反比例函数图象性质的过程中,积极展开思考,理解并掌握反比例函数图象的性质.调动学生的主观能动性, 积极参与教学活动,促使学生在学习中培养良好的情感态度与合作、交流的意识,提高观察、分析、抽象的能力.(k≠0)随着k值的不同在不同象限的增减性.【重点】反比例函数y=kx(k≠0)随着k值的不同在不同象限的增减性.【难点】反比例函数y=kx【教师准备】反比例函数基本图象的投影图片.(k≠0)图象所【学生准备】复习上一课时学过的k值不同,反比例函数y=kx处的不同象限.导入一:(k≠0)中,k的值对函数的性质有什么影响呢?在反比例函数y=kx导入二:【提出问题】1.作函数图象的一般步骤是什么?2.一次函数图象是什么?它具有怎样的性质?3.我们知道反比例函数的图象是双曲线,那么它又具有怎样的性质呢?带着这个疑问我们一起走入今天的课堂.【师生活动】教师提出问题,找学生回答,并引出本节新课的内容.[设计意图]通过创设问题情境,引导学生复习一次函数的性质,激发学生参与课堂学习的热情,为学习反比例函数的性质奠定基础.一、探究反比例函数的性质出示教材图6-4.【问题思考】(1)三个函数解析式的k值有什么特点?(2)当x取值-2,-4,-6时,y值是怎样变化的?(3)在第一象限内,随着x值的增大,y值是怎样变化的?。
(完整版)泛函分析第6章广义函数与Sobolev空间简介
第六章 广义函数与Sobolev 空间简介函数是经典分析中的基本概念之一，然而这样的一个基本概念，在近代科学技术的发展中逐渐不够用了。
下面用几个例子加以说明。
例6.1（脉冲） 20世纪初，Heaviside 在解电路方程时，提出了一种运算方法，称之为算子演算。
这套算法要求对如下函数10()00x h x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ 求导数，并把导数记为()x δ。
但按照经典分析的理论，()h x 并不可导，因此()x δ不可能是普通意义下的函数，它除了作为一个记号进行形式演算外，在数学上是没有意义的。
但是，这个()x δ在实际中是没有意义的，又代表一种理想化的“瞬时”单位脉冲。
例6.2（Dirac 符号） 在微观世界中，把可观测到物质的状态用波函数来描述，最简单的波函数具有形式((,))i x e x λ∈-∞+∞，λ是实参数，并考虑如下形式的积分12i x e dx λπ+∞-∞⎰这种积分按Cauchy 积分来定义，即111sin lim lim 22n i x i x n n n n e dx e dx λλλπππλ+∞+-∞-→∞→∞==⎰⎰ 显然，这个极限在普通意义下不存在。
然而，物理学家认为这个极限是前面所提到的()x δ，并认为是Dirac 符号。
特别，在量子力学中，进一步发展了不少关于()x δ的运算法则，并广泛地使用。
例 6.3（广义微分） 在数学本身的发展中，也时常要求冲破经典分析中对一些基本运算使用范围所加的限制。
20世纪30年代，Sobolev 为了确定微分方程的存在性和惟一性问题，通过分部积分公式，推广了函数可微性的概念，建立了广义微商理论，形成了以他的名字命名的Sobolev 空间理论。
这标志着现代微分方程理论的诞生。
基于上述原因，扩充函数概念，为广义函数寻找坚实的数学基础，对数学家提出了新的挑战。
20世纪40年代，Schwartz 完成了这一艰巨的任务，创立了广义函数的系统理论，并因此于1950年获得数学最高奖——菲尔兹奖。
第6章函数
function getSum() // 定义加法函数 { function sum( a, b ) // 定义私有函数 { return a+b; // 返回两个数之和 } return sum; // 返回私有函数的地址 } var sumOfTwo = getSum(); // 取得私有函数地址 var total = sumOfTwo( 1, 2 ); // 求和
// 名单
// 测试
•
返回函数 :函数可以返回一个函数指针 。
– 外部代码可以通过指针调用其引用的函数对象，调用方 式和一般函数完全一样。 – 一般情况下私有函数不能被外界直接调用，因此可以将 一个私有函数的地址作为结果返回给外界使用，如下代 码所示：
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
定义函数
•
•
JavaScript的函数属于Function对象，因此可以使用 Function对象的构造函数来创建一个函数 。 可以使用function关键字以普通的形式来定义一个函数
函数的普通定义方式
•
普通定义方式使用关键 function 函数名( [ 参数1, [ 参数2, [ 参数N ] ] ] ) 字function，也是最常 { [ 语句组 ]; 用的方式，形式上跟其 [ return [表达式] ]; 它编程语言一样。语法 } 格式如下：
•
引用类型返回的是数据的地址，而不是数据本身 。
– 引用传递的优点是速度快，但系统会为维护数据而付出 额外的开销。通常返回复合类型数据时使用引用传递方 式，如下代码所示 ：
函数返回类型
01 02 03 04 05 06 07 fcuntion getNameList() 定义函数，以获取名单 { var List = new Array(“Lily”, “Petter”, “Jetson” ); return List; // 返回名单引用 } var nameList = getNameList(); nameList = null; // 删除引用
泛函分析第6章 广义函数与Sobolev空间简介
第六章 广义函数与Sobolev 空间简介函数是经典分析中的基本概念之一，然而这样的一个基本概念，在近代科学技术的发展中逐渐不够用了。
下面用几个例子加以说明。
例6.1（脉冲） 20世纪初，Heaviside 在解电路方程时，提出了一种运算方法，称之为算子演算。
这套算法要求对如下函数10()00x h x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ 求导数，并把导数记为()x δ。
但按照经典分析的理论，()h x 并不可导，因此()x δ不可能是普通意义下的函数，它除了作为一个记号进行形式演算外，在数学上是没有意义的。
但是，这个()x δ在实际中是没有意义的，又代表一种理想化的“瞬时”单位脉冲。
例6.2（Dirac 符号） 在微观世界中，把可观测到物质的状态用波函数来描述，最简单的波函数具有形式((,))i x e x λ∈-∞+∞，λ是实参数，并考虑如下形式的积分12i x e dx λπ+∞-∞⎰这种积分按Cauchy 积分来定义，即111sin lim lim 22n i x i x n n n n e dx e dx λλλπππλ+∞+-∞-→∞→∞==⎰⎰ 显然，这个极限在普通意义下不存在。
然而，物理学家认为这个极限是前面所提到的()x δ，并认为是Dirac 符号。
特别，在量子力学中，进一步发展了不少关于()x δ的运算法则，并广泛地使用。
例 6.3（广义微分） 在数学本身的发展中，也时常要求冲破经典分析中对一些基本运算使用范围所加的限制。
20世纪30年代，Sobolev 为了确定微分方程的存在性和惟一性问题，通过分部积分公式，推广了函数可微性的概念，建立了广义微商理论，形成了以他的名字命名的Sobolev 空间理论。
这标志着现代微分方程理论的诞生。
基于上述原因，扩充函数概念，为广义函数寻找坚实的数学基础，对数学家提出了新的挑战。
20世纪40年代，Schwartz 完成了这一艰巨的任务，创立了广义函数的系统理论，并因此于1950年获得数学最高奖——菲尔兹奖。
第6章IIR FILTER-1
4 j 5
s2 e , s4 e
7 j 5
j
6 j 5
37
（2）查表求极点： P1,2=-0.3090j0.9511; p3,4=-0.8090 j0.5857; p0=-1.000 所以
Ha ( p )
1
( p p )
k k 0
38
4
使用zp2tf命令
X(ejω )H(ejω )符合人们的要求，这就是数字滤波器的滤
波原理。
3
数字滤波器分类 同模拟滤波器一样，线性数字滤 波器按照频率响应的通带特性可划分为 低通、高通、带通和带阻几种形式。它 们的理想模式如图6-1所示。（系统的 频率响应H(ejω )是以2π 为周期的。)
4
H (e j )
(a)
y(n)是y(n-m)以及x(n-m)的函数。
IIR 数字滤波器一定包含某种形式的反馈。
7
m 0 M
m 0
N
m 1
IIR系统函数为：
b0 b1z b2 z ... bMz H ( z) 1 2 N 1 a1z a 2 z ... aNz
1
2
M
j
14
6.2 模拟滤波器设计
模拟滤波器的理论和设计方法已发展得 相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器可供 选择。
这些滤波器都有严格的设计公式、现成的 曲线和图表供设计人员使用。
在matlab的help 中输入Classic IIR Filter Design
15
常用模拟原型滤波器及特点page153
由于滤波器冲激响应ha(t)是实函数，因而Ha(jΩ )满足
所以
第6章 习题解答
第六章 习题解答(部分)［1］数字滤波器经常以图P6-1描述的方式来处理限带模拟信号，在理想情况下，通过A/D 变换把模拟信号转变为序列)()(nT x n x a =，然后经数字滤波器滤波，再由D/A 变换将)(n y 变换成限带波形)(n y a ，即有∑∞-∞=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=n a nT t nT t n y t y )(Tπ)(T πsin )()( 这样整个系统可等效成一个线性时不变模拟系统。
如果系统)(n h 的截止角频率是rad 8/π，ms T 01.0=，等效模拟滤波器的截止频率是多少？ 设s T μ5=，截止频率又是多少？解：对采样数字系统，数字频率ω与模拟角频率Ω之间满足线性关系T Ω=ω。
因此，当ms T 01.0=时，T T cc 8πω==Ω，Hz T f c c 6251612==Ω=π当s T μ5=时， TT c c 8πω==Ω，Hz T f c c 125001612==Ω=π［2］已知模拟滤波器的系统函数为()22)(b a s bs H a ++=，试用冲激响应不变法将)(s H a 转换为)(z H 。
其中抽样周期为T ，式中a 、b 为常数，且)(s H a 因果稳定。
解：)(s H a 的极点为：jb a s +-=1，jb a s --=1将)(s H a 部分分式展开： )(21)(21)(jb a s j jb a s j s H a +---+---= 所以有1)(1)(121121)(-+------+-=z e j zej z H T jb a Tjb a通分并化简整理得：TT T ez bT e z bTe z z H ααα2211cos 21sin )(------+-= ［3］设计一个模拟带通滤波器，要求其幅度特性为单调下降（无波纹），通带带宽s rad B /2002⨯=π，中心频率s rad /10020⨯=Ωπ，通带最大衰减dB p 2=δ，s rad s /80021⨯=Ωπ，s rad s /124022⨯=Ωπ，阻带最小衰减dB s 15=δ。
第6章 递归(C++版)
• 例6.18 用递归方法求两个数m和n的最大公约数。(m>0，n>0) 【分析】求两个数的最大公约数，可以用枚举因子的方法，从两者中 较小的数枚举到能被两个数同时整除且是最大的约数的方法；也可以 用辗转相除法，这里采用递归实现辗转相除算法： ①求m除以n的余数; ②如果余数不为0，则让m=n，n=余数，重复步骤①，即调用子程序; ③如果余数为0，则终止调用子程序; ④输出此时的n值。
2．函数的调用 声明了函数原型之后，便可以按如下形式调用函数： 函数名（实参列表） 例如语句sum+=js(i); 实参列表中应给出与函数原型形参个数相同、类型相 符的实参。在主调函数中的参数称为实参，实参一般应具 有确定的值。实参可以是常量、表达式，也可以是已有确 定值的变量，数组或指针名。函数调用可以作为一条语句 ，这时函数可以没有返回值。函数调用也可以出现在表达 式中，这时就必须有一个明确的返回值。
它的执行流程如下图所示：
采用有参函数编写程序如下： #include<iostream> using namespace std; int fac(int ); int main() { int x; cin>>x; cout<<x<<"!="<<fac(x)<<endl; //主程序调用fac(x) 求x ! return 0; } int fac(int n) //函数fac(n) 求n ! { return n==0 ? 1 : n*fac(n-1); //调用函数fac(n-1)递归求(n-1) ! } 【说明】： 这里出现了一个小东西，三元运算符“?:”。a?b:c的含义是：如果 a为真，则表达式的值是b，否则是c。所以n==0 ? 1 : n*fac(n-1)很好地 表达了刚才的递归定义。
苏教版高中数学必修第一册6.2 第1课时 指数函数的概念、图象与性质【授课课件】
第1课时 指数函数的概念、 图象与性质
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
2．已知函数 f(x)是指数函数，且 f －32＝255，则 f(3)＝________． 125 [设 f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)，
由 f －32＝ 255得
第1课时 指数函数的概念、 图象与性质
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
(3)4313，223，－233，3412． [解] ∵－233<0，4331>1,223>1,0<3421<1， 又在 y 轴右侧，函数 y＝43x的图象在 y＝4x 的下方， ∴4313<431＝223， ∴－233<3421<4313<223．
[提示] (1)y＝3·2x 的系数为 3，故 y＝3·2x 不是指数函数． (2)指数函数的值域为(0，＋∞)，故它与 x 轴不相交． (3)y＝2－x＝12x是减函数． (4)a>1 时，若 x<0，则 ax<1．
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
第1课时 指数函数的概念、 图象与性质
1．指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的图象“升”“降”主要 取决于什么？
[提示] 指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的图象“升”“降”主要 取决于字母 a．当 a>1 时，图象具有上升趋势；当 0<a<1 时，图象 具有下降趋势．
第1课时 指数函数的概念、 图象与性质
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合肥市二中九年级数学上册 第六章 反比例函数2 反比例函数的图象与性质第1课时 反比例函数的图象与性
2 反比例函数的图象与性质第1课时反比例函数的图象与性质（1）【知识与技能】1.会用描点法画反比例函数图象；2.理解反比例函数的性质.【过程与方法】通过观察反比例函数图象，分析和探究反比例函数的性质.【情感态度】在动手画图的过程中体会乐趣，养成勤于动手，乐于探索的习惯．【教学重点】画反比例函数的图象，理解反比例函数的性质.【教学难点】理解反比例函数的性质，并能灵活应用．一、情境导入，初步认识1.一次函数y=kx＋b(k、b是常数，k≠0)的图象是什么形状？其性质有哪些？2.反比例函数y =6x的图象会是什么形状呢？请大家猜猜看，我们可以采用什么方法画？【教学说明】学生思考、交流并回答问题，教师根据学生活动情况进行补充和完善.由此引入新课.二、思考探究，获取新知1.教师先引导学生思考，示范画出反比例函数y=6x的图象，再让学生尝试画出反比例函数y=－6x的图象.2.在作图过程中，启发学生类比画一次函数的图象的过程；探索反比例函数的图象作图步骤：①列表；②描点；③连线.【教学说明】教师在活动中应重点关注：（1）启发学生反比例函数与一次函数的作图基本步骤是一致的.但是在具体的作图过程中又有它自己的特点，和学生一起体会其中的共性和特性.（2）①列表时，关注学生是否注意到自变量的取值应使函数有意义（即x≠0），同时，所取的点既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或是太小，以便于描点和全面反映图象的特征；②描点时，一般情况下所选的点越多则图象越精细；③连线时，让学生根据已经描好的点先思考：图象有没有可能是直线.学生自主探究发现图象特点后，引导学生用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接各点，得到反比例函数的图象.3.比较y=6x与y=-6x的图象，它们有什么共同特征？它们之间有什么关系？【教学说明】引导学生观察思考，回答问题，让学生了解反比例函数的图象是一种双曲线，并且让学生切实认识和理解：反比例函数曲线的两个分支是断开的，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但永远不与坐标轴相交.在同一坐标系内两个反比例函数图象的对称关系.4.观察函数y=6x和y=-6x以及y=3x和y=-3x的图象.（1）你能发现它们的共同特征以及不同点吗？（2）每个函数的图象分别位于哪几个象限？（3）在每一个象限内，y随x的变化如何变化？【教学说明】学生小组讨论，观察思考后进行分析、归纳，得到反比例函数的性质. 【归纳结论】反比例函数y=kx(k为常数，k不为零)的图象是一种双曲线；当k ＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，当k ＜ 0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限.三、运用新知，深化理解1.如果函数y＝2x k＋1的图象是双曲线，那么k＝-2.2.如果点(1，－2)在双曲线y=kx上，那么该双曲线在第二、四象限.3.如果反比例函数y=3kx－的图象位于第二、四象限内，那么满足条件的正整数k的值是1，2.4.反比例函数y=－1/x的图象大致是图中的(D)5.下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是(C)A.y=mxB.y=1mx+C.y=21mx+D.y=－mx6.已知直线y＝kx＋b的图象经过第一、二、四象限，则函数y=kbx的图象在第二、四象限.7.已知一次函数y＝kx＋b与反比例函数y=3b kx－的图象交于点(－1，－1)，则此一次函数的解析式为y=2x+1，反比例函数的解析式为1yx =．8.作出反比例函数y=12x的图象，并根据图象解答下列问题：(1)当x＝4时，求y的值；(2)当y＝－2时，求x的值；(3)当y＞2时，求x的范围．解：列表：由图知：(1)y＝3；(2)x＝－6；(3)0＜x＜6.9.作出反比例函数y=－4x的图象，结合图象回答：（1)当x＝2时，y的值；(2)当1＜x≤4时，y的取值范围；(3)当1≤y＜4时，x的取值范围．解：列表：由图知：(1)y＝－2；(2)－4＜y≤－1；(3)－4≤x＜－1.【教学说明】为了让学生灵活的运用反比例函数的性质解决问题，在研究题目时，要紧扣性质进行分析，达到理解性质的目的.四、师生互动、课堂小结本节课学习了哪些知识？在知识应用过程中要注意什么？你有什么收获？1.布置作业:教材“习题6.2”中第2、3题.2.完成练习册中相应练习.通过本节课的学习使学生理解了反比例函数的意义和性质，并掌握了用描点法画函数图象的方法，同时也为后面的学习奠定了基础.4 圆周角和圆心角的关系第1课时圆周角定理及其推论【知识与技能】理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理与其推论的内容及简单应用.【过程与方法】通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理和演绎推理的能力.【情感态度】引导学生对图形的观察，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心.【教学重点】圆周角的概念和圆周角定理及其推论的应用.【教学难点】圆周角的概念和圆周角定理及其推论的应用.一、情景导入，初步认知1．圆心角定义.2．弦、弧、圆心角的三者关系.3．外角的性质.刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上呢？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题。
复变函数论第6章第1节
故z 0是 P(z) z sin z 的三阶零点，
所以 z 0是 f (z)的三阶极点，由定理6.2得
Res
z0
f
(z)
(3
1 d2 1)!dz2
z
3
z
sin z6
z
z0
计算较麻烦.
例4
求
f (z)
P(z) Q(z)
z sin z z6
在
z
0 的留数.
解 利用洛朗展开式求 c1 较方便:
( t 1 为正向).
f
(1) t
1 t2
在
t
1 内除
t 0
Res t0
f
1t
1 t2
.
外无其他奇点 .
从而有
Res
z
f
(z)
Res t0
f
1t
1 t2
.
例 6 计算积分
I
z15 |z|4 (z2 1)2(z4 2)3 dz
解：被积函数共有七个奇点：z
i
,
z
4
i 2k
2e 4
z1
e z (z 1) z2
z 1
0.
故由留数定理得
|z|2
z(
ez z
1)2dz
2i[Re s z0
f
(z)
Re s z1
f
(z)]
2i[1 0]
2i .
例 2 计算积分
tanz dz .
|z|n
解： tanz sin z 以 z k 1 (k 0,1,) 为一阶
cos z
2
(6.5)
定理6.5
设
f
(z)
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第6章函数——函数原型
本节要讨论的主要问题
⏹函数原型与函数定义有何区别？
⏹函数原型的主要作用是什么？
#include <stdio.h>
⏹
问题：在一个函数中调用另一个函数，需要具备哪些条件呢?
⏹
若函数的定义出现在函数调用之前
y);
函数原型与函数定义的区别
C89允许不明确地给出函数原型，
编译器自动创建隐含的函数声明
但C99不支持隐含的函数声明
问题：当函数定义出现在函数调用之后时，是否也支持隐含的函数声明呢？
问题：当函数定义出现在函数调用之后时，是否也支持隐含的函数声明呢？
函数原型的作用
y);
如何合并成一个完整的程序？
y);
如何合并成一个完整的程序？。