完全背包问题
背包九讲完整版
背包问题九讲 v1.0目录第一讲 01背包问题第二讲完全背包问题第三讲多重背包问题第四讲混合三种背包问题第五讲二维费用的背包问题第六讲分组的背包问题第七讲有依赖的背包问题第八讲泛化物品第九讲背包问题问法的变化附：USACO中的背包问题前言本篇文章是我(dd_engi)正在进行中的一个雄心勃勃的写作计划的一部分，这个计划的内容是写作一份较为完善的NOIP难度的动态规划总结，名为《解动态规划题的基本思考方式》。
现在你看到的是这个写作计划最先发布的一部分。
背包问题是一个经典的动态规划模型。
它既简单形象容易理解，又在某种程度上能够揭示动态规划的本质，故不少教材都把它作为动态规划部分的第一道例题，我也将它放在我的写作计划的第一部分。
读本文最重要的是思考。
因为我的语言和写作方式向来不以易于理解为长，思路也偶有跳跃的地方，后面更有需要大量思考才能理解的比较抽象的内容。
更重要的是：不大量思考，绝对不可能学好动态规划这一信息学奥赛中最精致的部分。
你现在看到的是本文的1.0正式版。
我会长期维护这份文本，把大家的意见和建议融入其中，也会不断加入我在OI学习以及将来可能的ACM-ICPC的征程中得到的新的心得。
但目前本文还没有一个固定的发布页面，想了解本文是否有更新版本发布，可以在OIBH论坛中以“背包问题九讲”为关键字搜索贴子，每次比较重大的版本更新都会在这里发贴公布。
目录第一讲 01背包问题这是最基本的背包问题，每个物品最多只能放一次。
第二讲完全背包问题第二个基本的背包问题模型，每种物品可以放无限多次。
第三讲多重背包问题每种物品有一个固定的次数上限。
第四讲混合三种背包问题将前面三种简单的问题叠加成较复杂的问题。
第五讲二维费用的背包问题一个简单的常见扩展。
第六讲分组的背包问题一种题目类型，也是一个有用的模型。
后两节的基础。
第七讲有依赖的背包问题另一种给物品的选取加上限制的方法。
第八讲泛化物品我自己关于背包问题的思考成果，有一点抽象。
背包问题的数学模型
背包问题的数学模型【最新版】目录1.背包问题的定义与背景2.背包问题的数学模型3.背包问题的解决方法4.实例：使用动态规划解决背包问题5.总结正文一、背包问题的定义与背景背包问题是一个经典的优化问题，它的定义如下：给定一个背包和 n 种物品，其中，背包的容量为 V，第 i 种物品的质量为 c_i，价值为 p_i。
如何通过物品选择，使得装入背包中的物品总价值最大。
二、背包问题的数学模型为了解决背包问题，我们可以建立一个数学模型。
首先，我们需要定义决策变量 x_i，表示是否选择第 i 种物品。
如果选择，x_i=1；如果不选择，x_i=0。
目标函数表示背包中物品总价值，即 max{Σp_i*x_i}。
约束条件表示背包容量，即Σc_i*x_i<=V。
三、背包问题的解决方法背包问题的解决方法有很多，如穷举法、动态规划等。
这里我们介绍使用动态规划解决背包问题。
动态规划是一种分步决策解决问题的方法，其核心思想是“记住已经解决过的子问题的解，以便在需要时可以重复使用”。
四、实例：使用动态规划解决背包问题假设有一个背包，容量为 8 千克，有以下物品：李子：4kg，4500 元；苹果：5kg，5700 元；草莓：1kg，1100 元；橘子：2kg，2250 元；甜瓜：6kg，6700 元。
我们可以使用动态规划求解背包问题，具体步骤如下：1.创建一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示前 i 种物品装入容量为 j 的背包中的最大价值。
2.初始化 dp 数组，dp[0][j]=0，表示没有物品时，装入背包的价值为 0。
3.遍历所有物品，对于每种物品，遍历背包的所有可能容量，更新 dp 数组。
4.根据 dp 数组，找到装入背包中的物品总价值最大时的决策变量x_i。
五、总结背包问题是一个典型的优化问题，通过建立数学模型，我们可以使用动态规划等方法求解。
在实际生活中，背包问题有很多应用场景，如物流、仓库管理等。
背包问题全类型
背包问题全类型背包问题给定⼀组物品，每种物品都有⾃⼰的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最⾼。
背包问题⼤体都可以⽤上述⽅式进⾏描述，但在具体的问题上有了不同的限制条件，于是便有了各种类型的背包问题。
背包问题可基本分为0-1背包问题、部分背包问题、多重背包问题、完全背包问题四⼤类。
接下从四种问题的解决的核⼼算法可以把部分背包问题单独化为⼀类，其核⼼算法为贪⼼。
其余的三种背包问题都可以⽤动态规划解决。
造成部分背包问题与其他的背包问题最⼤不同的原因是其限定条件的不同，部分1. 部分背包问题限定条件：每件物品可以只选取⼀部分完整问题描述：有 n 件物品，第i件物品重 w[i]，价值为 v[i]，且每件物品可以进⾏分割，分割后的价值按取⾛重量占该物品总重量的⽐值计算。
在不超过最⼤承载量 C 的范围内，问最⼤可以取⾛的价值为多少？( 其中 i ∈ {1,2,3,···,n} )算法：贪⼼分析：根据本题的特殊性，我们可以任意地对某⼀部品进⾏分割，所以我们优先选择性价⽐⾼的物品，即单位重量下物品的价值。
解题代码//C++#include<cstdio>#include<algorithm>#include<iostream>using namespace std;struct bag { int w,v; //w表⽰重量 v表⽰价值 double p; //⽤来储存v/w 性价⽐}a[10005];bool cmp(bag x,bag y) { return x.p > y.p; //性价⽐⾼的物品排在前⾯}int main() {剩余 } } printf('%.2f\n', ans); //输出答案 return 0;}注意计算时注意数据类型在计算“性价⽐”的时候要注意，在C/C++等⼀部分语⾔中存在以下机制 int/int = int ，这样是⽆法计算出⼩数的，需要将其中任意⼀项浮点化即可。
完全背包问题的解决方案
完全背包问题的解决方案背包问题是计算机科学中的一个重要问题，其基本思想是给定一组物品和一个背包，每个物品都有自己的重量和价值，目标是找到一种最佳的方式将物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大。
背包问题分为0-1背包问题、多重背包问题和完全背包问题，本文将着重介绍完全背包问题的解决方案。
完全背包问题定义如下：给定一组物品，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]，背包的容量为C，每个物品可选择任意次数放入背包。
求解背包能够容纳的物品的最大总价值。
为了解决完全背包问题，我们可以使用动态规划算法。
我们定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示前i个物品在背包容量为j时的最大总价值。
根据动态规划的思想，我们可以得到递推公式：dp[i][j] = max(dp[i-1][j-k*w[i]] + k*v[i])，其中0 ≤ k ≤ j/w[i]根据上述递推公式，我们可以按照以下步骤解决完全背包问题：Step 1: 初始化dp数组。
dp数组的大小为(n+1)×(C+1)，其中n表示物品的数量，C表示背包的容量。
将dp数组的所有元素初始化为0。
Step 2: 遍历背包容量。
外层循环从1到C，表示背包的容量。
Step 3: 遍历物品。
内层循环从1到n，表示物品的数量。
Step 4: 更新dp数组。
根据递推公式，计算dp[i][j]的值，并更新dp数组中的元素。
Step 5: 输出结果。
输出dp[n][C]，即背包能够容纳的物品的最大总价值。
下面是一个具体的示例来说明完全背包问题的解决方案：假设背包容量为10，共有3个物品：物品1的重量和价值分别为2和3；物品2的重量和价值分别为4和5；物品3的重量和价值分别为6和8。
根据上述解决方案的步骤，我们可以得到如下的动态规划求解过程：Step 1: 初始化dp数组。
dp[0][0] = 0dp[0][1] = 0...dp[0][10] = 0Step 2: 遍历背包容量。
背包问题的算法
背包问题是一种经典的优化问题，通常用于解决在给定一组物品和它们的重量、价值等信息的情况下，如何选择一些物品放入一个容量有限的背包中，使得背包中物品的总价值最大或总重量最小等问题。
以下是背包问题的一种经典算法——动态规划法：
1. 定义状态：设f[i][j]表示前i个物品中选择若干个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值或最小重量。
2. 状态转移方程：对于第i个物品，有两种情况：
- 不放入背包中，此时f[i][j]=f[i-1][j]；
- 放入背包中，此时f[i][j]=max(f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]]+v[i])，其中w[i]和v[i]分别表示第i 个物品的重量和价值。
3. 初始化：f[0][0]=0。
4. 计算最优解：根据状态转移方程，从上到下依次计算每个物品的状态值，最终得到f[n][m]即为所求的最优解。
时间复杂度：O(n*m)，其中n为物品数量，m为背包容量。
空间复杂度：O(n*m)。
01背包问题的数学逻辑
01背包问题的数学逻辑1.引言1.1 概述01背包问题是一类经典的组合优化问题，它是数学逻辑中的一个重要问题之一。
在实际生活中，我们经常会面对资源有限的情况，而如何在有限的资源下做出最佳决策，已经成为一个重要的研究领域。
01背包问题就是在给定总容量和一组物品的情况下，选取其中的一些物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大化，而不超过背包的总容量。
这个问题由G. Dantzig在1957年首次提出，并且成为组合优化中的一个经典问题。
它的名字来源于背包只能放入0或1个同样特性的物品。
虽然问题看似简单，但由于问题的解空间庞大，是一个NP完全问题，因此求解过程通常使用一些近似算法。
1.2 目的本文的目的是探究01背包问题的数学逻辑，并介绍一些常用的求解方法。
通过深入研究01背包问题，我们可以更好地理解其数学模型，在实际应用中解决类似的优化问题。
具体目标包括：1. 分析01背包问题的数学模型，并介绍相关的定义和术语；2. 探讨01背包问题的求解方法，包括动态规划、贪心算法和近似算法等；3. 介绍优化问题的评价指标，包括背包的总价值、总重量和可行性等；4. 分析不同情况下的算法复杂性，讨论解决01背包问题的时间和空间复杂性；5. 举例说明01背包问题在实际生活中的应用，如旅行行李、采购决策等。
通过对01背包问题的研究，我们能够更好地理解和应用数学逻辑，提高问题求解的能力。
了解背包问题的求解方法和评价指标，对我们在实际生活中面对资源有限的情况下做出最佳决策具有重要意义。
无论是在物流管理、金融投资还是其他领域，都可以通过对01背包问题的研究，提高决策的效率和准确度。
在接下来的文章中，将会详细介绍01背包问题的数学逻辑，分析不同求解方法的优劣，并给出实际应用的例子，以便读者更好地理解和应用该问题。
2.正文2.1 01背包问题的定义和背景介绍01背包问题是运筹学中的一个经典问题，在算法和动态规划中有重要的应用。
该问题的核心是在给定的背包容量和一组物品的情况下，如何选择物品放入背包中，使得背包中的物品总价值最大化。
动规-背包九讲完整版
为什么呢？可以这样理解：初始化的 f 数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合 法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为 0 的背包可能被价值为 0 的 nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都 应该是-∞了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不 装”，这个解的价值为 0，所以初始时状态的值也就全部为 0 了。
前言
本篇文章是我(dd_engi)正在进行中的一个雄心勃勃的写作计划的一部分，这个计划的内容是 写作一份较为完善的 NOIP 难度的动态规划总结，名为《解动态规划题的基本思考方式》。现 在你看到的是这个写作计划最先发布的一部分。
背包问题是一个经典的动态规划模型。它既简单形象容易理解，又在某种程度上能够揭示动 态规划的本质，故不少教材都把它作为动态规划部分的第一道例题，我也将它放在我的写作 计划的第一部分。
这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题，后面也就不再对进行状态转移之前的初始 化进行讲解。
小结
01 背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想，另 外，别的类型的背包问题往往也可以转换成 01 背包问题求解。故一定要仔细体会上面基本思 路的得出方法，状态转移方程的意义，以及最后怎样优化的空间复杂度。
感谢 XiaQ，它针对本文的第一个 beta 版发表了用词严厉的六条建议，虽然我只认同并采纳 了其中的两条。在所有读者几乎一边倒的赞扬将我包围的当时，你的贴子是我的一剂清醒 剂，让我能清醒起来并用更严厉的眼光审视自己的作品。
当然，还有用各种方式对我表示鼓励和支持的几乎无法计数的同学。不管是当面赞扬，或是 在论坛上回复我的贴子，不管是发来热情洋溢的邮件，或是在即时聊天的窗口里竖起大拇 指，你们的鼓励和支持是支撑我的写作计划的强大动力，也鞭策着我不断提高自身水平，谢 谢你们！
背包问题问题实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解背包问题的基本概念和分类。
2. 掌握不同背包问题的解决算法，如0-1背包问题、完全背包问题、多重背包问题等。
3. 分析背包问题的复杂度，比较不同算法的效率。
4. 通过实验验证算法的正确性和实用性。
二、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：Python3.73. 开发工具：PyCharm4. 实验数据：随机生成的背包物品数据三、实验内容1. 0-1背包问题（1）问题描述：给定n个物品，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]，背包的容量为C。
求将哪些物品装入背包，使得背包内物品的总价值最大。
（2）解决算法：动态规划法（3）实验步骤：a. 初始化一个二维数组dp[n+1][C+1]，其中dp[i][j]表示前i个物品在容量为j 的背包中的最大价值。
b. 遍历每个物品，对于每个容量，根据物品的重量和价值计算dp值。
c. 返回dp[n][C]，即为最大价值。
2. 完全背包问题（1）问题描述：给定n个物品，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]，背包的容量为C。
求将哪些物品装入背包，使得背包内物品的总价值最大，且每个物品可以重复取。
（2）解决算法：动态规划法（3）实验步骤：a. 初始化一个一维数组dp[C+1]，其中dp[j]表示容量为j的背包的最大价值。
b. 遍历每个物品，对于每个容量，根据物品的重量和价值更新dp值。
c. 返回dp[C]，即为最大价值。
3. 多重背包问题（1）问题描述：给定n个物品，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]，背包的容量为C。
每个物品有无限个，求将哪些物品装入背包，使得背包内物品的总价值最大。
（2）解决算法：动态规划法（3）实验步骤：a. 初始化一个一维数组dp[C+1]，其中dp[j]表示容量为j的背包的最大价值。
b. 遍历每个物品，对于每个容量，根据物品的重量和价值更新dp值。
c. 返回dp[C]，即为最大价值。
四、实验结果与分析1. 0-1背包问题实验结果显示，在背包容量为100时，最大价值为298。
背包问题的数学模型
背包问题的数学模型
背包问题是一类经典的优化问题，通常被表述为：给定一组物品，每个物品都有自己的重量和价值，背包的容量是有限的，要求在不超过背包容量的情况下，使得背包中物品的总价值最大。
数学模型通常使用动态规划来解决这个问题。
以下是一个简单的0-1背包问题的数学模型：
设物品的数量为n，每个物品的重量为w[i]（i=1,2,...,n），价值为v[i]，背包的总容量为W。
动态规划的思路是，对于每个物品，我们都有两种选择：将其放入背包或者不放入。
因此，我们可以定义一个二维数组dp[i][j]，其中dp[i][j] 表示在前i 个物品中选择，背包容量为j 时的最大价值。
根据动态规划的思想，我们可以得到状态转移方程：
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])
其中，dp[i-1][j] 表示不选择第i 个物品，dp[i-1][j-w[i]] + v[i] 表示选择第i 个物品。
最终的答案就是dp[n][W]，即在前n 个物品中选择，背包容量为W 时的最大价值。
需要注意的是，在处理0-1 背包问题时，物品的选择是互斥的，即一个物品不能被分割。
如果物品可以被分割，那么问题就变成了分数背包问题，其数学模型和解决方法会有所不同。
背包九讲(DD)
背包问题九讲目录第一讲 01背包问题第二讲完全背包问题第三讲多重背包问题第四讲混合三种背包问题第五讲二维费用的背包问题第六讲分组的背包问题第七讲有依赖的背包问题第八讲泛化物品第九讲背包问题问法的变化附：USACO中的背包问题前言本篇文章是我(dd_engi)正在进行中的一个雄心勃勃的写作计划的一部分，这个计划的内容是写作一份较为完善的NOIP难度的动态规划总结，名为《解动态规划题的基本思考方式》。
现在你看到的是这个写作计划最先发布的一部分。
背包问题是一个经典的动态规划模型。
它既简单形象容易理解，又在某种程度上能够揭示动态规划的本质，故不少教材都把它作为动态规划部分的第一道例题，我也将它放在我的写作计划的第一部分。
读本文最重要的是思考。
因为我的语言和写作方式向来不以易于理解为长，思路也偶有跳跃的地方，后面更有需要大量思考才能理解的比较抽象的内容。
更重要的是：不大量思考，绝对不可能学好动态规划这一信息学奥赛中最精致的部分。
你现在看到的是本文的1.0正式版。
我会长期维护这份文本，把大家的意见和建议融入其中，也会不断加入我在OI学习以及将来可能的ACM-ICPC的征程中得到的新的心得。
但目前本文还没有一个固定的发布页面，想了解本文是否有更新版本发布，可以在OIBH论坛中以“背包问题九讲”为关键字搜索贴子，每次比较重大的版本更新都会在这里发贴公布。
目录第一讲 01背包问题这是最基本的背包问题，每个物品最多只能放一次。
第二讲完全背包问题第二个基本的背包问题模型，每种物品可以放无限多次。
第三讲多重背包问题每种物品有一个固定的次数上限。
第四讲混合三种背包问题将前面三种简单的问题叠加成较复杂的问题。
第五讲二维费用的背包问题一个简单的常见扩展。
第六讲分组的背包问题一种题目类型，也是一个有用的模型。
后两节的基础。
第七讲有依赖的背包问题另一种给物品的选取加上限制的方法。
第八讲泛化物品我自己关于背包问题的思考成果，有一点抽象。
背包问题系列（01背包、完全背包、多重背包）
背包问题系列（01背包、完全背包、多重背包）背包问题是⼀个经典的动态规划问题，问题可以描述为：给定⼀组物品，每种物品都有⾃⼰的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最⾼。
根据给定物品的数量，背包问题⼜可分为：1）每种物品只有⼀件，即01背包问题2）每种物品不限数量，可选取任意数量，即完全背包问题3）每种物品的数量已给定，不可超出该数量，即多重背包问题背包问题的重点：1）编写状态转移⽅程2）空间优化1 #include <iostream>2 #include <vector>3using namespace std;45int max(int a, int b)6 {7return a > b ? a : b;8 }910int min(int a, int b)11 {12return a < b ? a : b;13 }1415// 01背包问题,n件物品，重量为v16int BagProblem_01(const vector<int> &weight, const vector<int> &value, int n, int v)17 {18// 前i件物品背包限重为j的情况下的最⼤值19 vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(v + 1, 0));2021for (int i = 0; i <= v; i++)22 {23if (i >= weight[0])24 {25 dp[0][i] = value[0];26 }27 }2829for (int i = 1; i < n; i++)30 {31for (int j = 1; j <= v; j++)32 {33if (j < weight[i])34 {35 dp[i][j] = dp[i - 1][j];36 }37else38 {39 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);40 }41 }42 }4344return dp[n - 1][v];45 }4647// 01背包问题--优化空间48int BagProblem_01_optimize(const vector<int> &weight, const vector<int> &value, int n, int v)49 {50// 前i件物品背包限重为j的情况下的最⼤值51 vector<int> dp(v + 1, 0);5253for (int i = 0; i <= v; i++)54 {55if (weight[0] > v)56 {57 dp[0] = value[0];58 }59 }6061for (int i = 1; i < n; i++)62 {63for (int j = v; j >= weight[i]; j--) // dp[j]是由上⼀⾏<=j列推出，j需逆向枚举64 {65 dp[j] = max(dp[j], dp [j - weight[i]] + value[i]);66 }67 }6869return dp[v];70 }7172// 完全背包问题73int BagProblem_complete(const vector<int> &weight, const vector<int> &value, int n, int v)74 {75 vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(v + 1, 0));7677for (int j = 0; j <= v; j++)78 {79 dp[0][j] = j / weight[0] * value[0];80 }8182for (int i = 1; i < n; i++)83 {84for (int j = 0; j <= v; j++)85 {86if (j < weight[i])87 {88 dp[i][j] = dp[i - 1][j];89 }90else91 {92 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);93 }94 }95 }9697return dp[n - 1][v];98 }99100// 完全背包问题——优化空间101int BagProblem_complete_optimize(const vector<int> &weight, const vector<int> &value, int n, int v)102 {103 vector<int> dp(v + 1, 0);104105for (int j = 0; j <= v; j++)106 {107 dp[j] = j / weight[0] * value[0];108 }109110for (int i = 1; i < n; i++)111 {112for (int j = 0; j <= v; j++) // dp[j]是由上⼀⾏j列和本⾏⼩于j列推出，因此需要正向枚举113 {114if (j >= weight[i])115 {116 dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);117 }118 }119 }120121return dp[v];122 }123124// 多重背包问题125int BagProblem_multi(const vector<int> &weight, const vector<int> &value, const vector<int> &nums, int n, int v) 126 {127 vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(v + 1, 0));128129for (int j = 0; j <= v; j++)130 {131int num = min(j / weight[0], nums[0]);132 dp[0][j] = num * value[0];133 }134135for (int i = 1; i < n; i++)136 {137for (int j = 0; j <= v; j++)138 {139if (j < weight[i])140 {141 dp[i][j] = dp[i - 1][j];142 }143else144 {145int num = min(j / weight[i], nums[i]);146for (int k = 0; k <= num; k++)147 {148 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - k * weight[i]] + k * value[i]);149 }150 }151 }152 }153154return dp[n - 1][v];155 }156157// 多重背包问题——优化空间158int BagProblem_multi_optimize(const vector<int> &weight, const vector<int> &value, const vector<int> &nums, int n, int v) 159 {160 vector<int> dp(v + 1, 0);161162for (int j = 0; j <= v; j++)163 {164int num = min(j / weight[0], nums[0]);165 dp[j] = num * value[0];166 }167168for (int i = 1; i < n; i++)169 {170for (int j = v; j >= 0; j--) // dp[j]是由上⼀⾏<=j列推出，需要逆向枚举171 {172int num = min(j / weight[i], nums[i]);173for (int k = 0; k <= num; k++)174 {175if (j < k * weight[i])176continue;177 dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * weight[i]] + k * value[i]);178 }179 }180 }181182return dp[v];183 }184185int main()186 {187int v = 10;188int n = 5;189 vector<int> weight{ 2, 2, 4, 6, 3 };190 vector<int> value { 1, 3, 3, 5, 6 };191 vector<int> nums { 1, 2, 3, 4, 1 };192193 cout << BagProblem_01(weight, value, n, v) << endl;194 cout << BagProblem_01_optimize(weight, value, n, v) << endl;195196 cout << BagProblem_complete(weight, value, n, v) << endl;197 cout << BagProblem_complete_optimize(weight, value, n, v) << endl;198199 cout << BagProblem_multi(weight, value, nums, n, v) << endl;200 cout << BagProblem_multi_optimize (weight, value, nums, n, v) << endl;201202return0;203 }。
leetcode 背包总结
leetcode 背包总结"背包问题"是计算机科学中常见的一类问题，主要涉及到如何有效地在给定容量的背包中装入最大价值的物品。
这类问题通常可以使用动态规划（Dynamic Programming）的方法来解决。
以下是我在 LeetCode 平台上遇到的一些背包问题的总结：1. 01背包问题：这是一个经典的背包问题，给定一个物品列表和一个容量，目标是选择一些物品放入背包中，使得背包中的物品总价值最大。
每个物品只有一个，可以选择放入背包或者不放入。
可以使用动态规划来解决。
2. 完全背包问题：与01背包问题相似，但每个物品可以放入多个。
目标是在不超过背包容量的情况下，选择一些物品放入背包中，使得背包中的物品总价值最大。
也可以使用动态规划来解决。
3. 多重背包问题：与完全背包问题相似，但每个物品可以放入多个，且每个物品有不同的重量和价值。
目标是在不超过背包容量的情况下，选择一些物品放入背包中，使得背包中的物品总价值最大。
可以使用动态规划来解决。
4. 带有优先级的背包问题：在标准的背包问题中，所有的物品都有相同的优先级。
但在某些情况下，一些物品可能比其他物品更重要，需要优先考虑。
这个问题需要考虑物品的优先级和价值，选择重要的物品放入背包中，使得总价值最大。
5. 分组背包问题：这个问题是将一组物品分组，然后每组物品共享相同的重量。
目标是选择一些组，使得这些组的总价值最大，同时不超过背包的容量。
可以使用动态规划来解决。
解决这类问题的关键是理解问题的本质和限制条件，然后选择合适的算法和数据结构来解决问题。
动态规划是解决这类问题的常用方法，因为它可以有效地处理重叠子问题和最优子结构的问题。
完全背包 ,递归写法
完全背包问题的递归解法一、引言在计算机科学中，动态规划是解决优化问题的一个强大工具。
其中，背包问题是一类典型的优化问题，它涉及到在给定一组物品中选择某些物品，以使得在满足某些限制条件下，所选物品的总价值最大。
完全背包问题是背包问题的一种，它与0-1背包问题的区别在于，每种物品可以选择任意数量。
本文将详细介绍如何使用递归方法解决完全背包问题。
二、问题描述假设有一个背包，其容量为W。
有n种物品，每种物品的重量为weight[i]，价值为value[i]。
在不超过背包容量的情况下，如何选择物品，使得所选物品的总价值最大？这就是完全背包问题的基本描述。
三、递归解法递归是一种基本的编程技巧，它可以将一个复杂的问题分解为若干个子问题，通过解决子问题来得到原问题的解。
对于完全背包问题，我们可以使用递归的方法来求解。
1. 定义递归函数首先，我们定义一个递归函数f(i, j)，表示在前i种物品中，选择若干件放入一个容量为j的背包中，可以得到的最大价值。
我们的目标就是计算f(n, W)，即在所有物品中选择若干件放入容量为W的背包中，可以得到的最大价值。
2. 递归边界条件对于递归函数，我们需要确定边界条件。
在完全背包问题中，有以下两种边界条件：* 当i=0或j=0时，表示没有物品可选或者背包容量为0，此时f(i, j)=0，即最大价值为0。
* 当j<weight[i]时，表示背包容量不足以容纳第i种物品，此时f(i, j)=f(i-1, j)，即最大价值与不选第i种物品时的最大价值相同。
3. 递归状态转移方程在确定了边界条件后，我们需要找到递归状态转移方程。
对于完全背包问题，状态转移方程为：f(i, j) = max{f(i-1, j), f(i, j-weight[i]) + value[i]}这个方程表示，对于前i种物品和容量为j的背包，最大价值有两种可能：一是不选第i种物品时的最大价值f(i-1, j)；二是选择若干件第i种物品放入背包后的最大价值f(i, j-weight[i]) + value[i]。
数据结构 背包问题
数据结构背包问题背景介绍：数据结构是计算机科学中的一个重要分支，它研究数据的组织、存储、管理和操作的方法。
背包问题是数据结构中的一个经典问题，它在组合优化和算法设计中具有重要的应用价值。
背包问题可以分为0-1背包问题、完全背包问题和多重背包问题等多种类型。
问题描述：背包问题是指在给定的一组物品中，选择若干物品放入背包中，使得物品的总价值最大，且背包的容量不超过限定值。
每个物品都有自己的重量和价值，背包的容量限制了所能放入物品的总重量。
解决思路：背包问题可以使用动态规划算法来求解。
动态规划算法的基本思想是将原问题分解成若干个子问题，通过求解子问题的最优解来求解原问题的最优解。
对于背包问题，可以使用一个二维数组来记录每个子问题的最优解，然后逐步构建出整个问题的最优解。
具体步骤：1. 定义问题：- 物品集合：假设有n个物品，编号为1到n。
- 物品重量：w1, w2, ..., wn，其中wi表示第i个物品的重量。
- 物品价值：v1, v2, ..., vn，其中vi表示第i个物品的价值。
- 背包容量：C，表示背包能够承受的最大重量。
- 最优解：使用一个二维数组dp[n+1][C+1]来存储每个子问题的最优解，其中dp[i][j]表示在考虑前i个物品、背包容量为j的情况下的最优解。
2. 初始化：- 将dp数组的第一行和第一列都初始化为0，表示背包容量为0或物品数量为0时的最优解都为0。
3. 动态规划求解：- 对于每个子问题dp[i][j]，可以分为两种情况讨论：a. 第i个物品不放入背包：此时最优解为dp[i-1][j]，即在考虑前i-1个物品、背包容量为j的情况下的最优解。
b. 第i个物品放入背包：此时最优解为dp[i-1][j-wi]+vi，即在考虑前i-1个物品、背包容量为j-wi的情况下的最优解加上第i个物品的价值。
- 取两种情况的较大值作为dp[i][j]的最优解。
- 依次填充dp数组，直到计算出dp[n][C]，即问题的最优解。
背包问题（3）：完全背包
背包问题（3）：完全背包完全背包也是⼀种基本的背包问题模型，其基本特点是：每种物品可以放⽆限多次。
这个问题⾮常类似于0/1背包问题，所不同的是每种物品有⽆限件。
也就是从每种物品的⾓度考虑，与它相关的策略已并⾮取或不取两种，⽽是有取0件、取1件、取2件……等很多种。
完全背包问题的⼀般描述为：有N个物品，第i个物品的重量与价值分别为W[i]与P[i]。
背包容量为V，问在每个物品有⽆限个（物品必须保持完整）的情况下，如何让背包装⼊的物品具有更⼤的价值总和。
其⼀般解题思路为：令 f[i][j] 表⽰从编号1~i的物品中挑选任意数量的任意物品放⼊容量为j的背包中得到的最⼤价值，那么有f[i][j]=max { f[i−1][j]，f[i−1][j−k∗W[i]]+k∗P[i] } （0≤k && k∗W[i]≤j）编写代码时，可采⽤如下的循环。
for ( i=1;i<=N;i++) // 依次对每个物品进⾏处理for (j=1;j<=V;j++)for (k=1; k<=V/W[i];k++) // 物品最多只能放多少件{If (k*W[i]<=j)f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-k*W[i]]+k*P[i]);elsef[i][j]=f[i-1][j];}所求的最优值为f[N][V]。
同样完全背包也可以进⾏空间优化，将⼆维数组优化为⼀维数组，即f[j]=max { f[j]，f[j−k∗W[i]]+k∗P[i] } （0≤k && k∗W[i]≤j）编写代码时，⼀般采⽤如下的⼆重循环。
for (i=1;i<=N;i++) // 装⼊背包的物品个数为Nfor ( j=W[i];j<=V;j++) // 完全背包按由⼩到⼤顺序枚举重量f[j]=max(f[j],f[j-W[i]]+P[i]); // 状态转移所求的最优值为f[V]。
完全背包问题
完全背包问题完全背包问题跟01背包的区别是01背包每个物品只能选⼀次，总共就这⼏个。
⽽完全背包问题是每个物品可以⽆限选，只要装得下。
可以看成是有⼏种物品，每种都⽆限多个。
可以在01背包的基础上进⾏改动：01背包在选第i个物品时，容积够⽤情况下，只有2种状态可选，放还是不放，找出最⼤价值的选择。
⽽完全背包在选第i种物品时，容积够⽤情况下，可能有2种以上状态可选，放1个，或者2个，3个......，或者不放。
找出最⼤价值的选择代码如下：#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstring>using namespace std;int main(){int i,j,k;int m[20];//容量为c时，⽤来存储第i件物品，放⼊⼏件int dp[20][20],x[20];int v[]={0,8,10,6,3,7,2}; ///为便于读者阅读，初始化int w[]={0,4,6,9,2,5,1};int n=6,c=19;memset(dp,0,sizeof(dp));memset(x,0,sizeof(x));int tmp;for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=c;j++)//在背包容量为j的情况下，从1~i中挑选物体，使得总价值最⼤{if(j>=w[i])//在背包全空的情况下，判断能不能融⼊新的物品{tmp=dp[i-1][j];for(k=1;k<=j/w[i];k++)//看下到底可以装⼊⼏个{//tmp=max(tmp,dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i]);//第⼆步思路if(tmp<dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i])//第三步思路{tmp=dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i];if(j==c)m[i]=k;}//dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i]);//第⼀步思路}dp[i][j]=tmp;}elsedp[i][j]=dp[i-1][j];}}for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=c;j++)printf("%3d",dp[i][j]);cout<<endl;}int tmpc=c;for(i=n;i>0;i--){if(dp[i][tmpc]==dp[i-1][tmpc])//表⽰没装⼊x[i]=0;else{x[i]=1;tmpc-=m[i]*w[i];//这⾥不知道装了⼏个，不知道减⼏个W[i]}}for(i=1;i<=n;i++){if(x[i]!=0)cout<<"物品"<<i<<"有"<<m[i]<<"个"<<endl;}cout<<endl<<dp[n][c]<<endl;//输出背包容量为c,装前n中物品的最⼤价值 return 0;}利⽤上⾯的处理⽅法，也很容易求得多重背包的问题。
完全背包问题实验报告
一、实验背景完全背包问题（Full Knapsack Problem）是组合优化领域中的一个经典问题。
它指的是给定n种物品，每种物品的数量无限，每种物品的重量和价值已知，求出装满一个容量为W的背包所需的最小价值。
完全背包问题具有广泛的应用背景，如货物装载、资源分配、网络路由等。
二、实验目的1. 理解完全背包问题的基本概念和求解方法。
2. 掌握动态规划算法在解决完全背包问题中的应用。
3. 分析不同算法的时间复杂度和空间复杂度，为实际应用提供参考。
三、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：Python3.83. 开发工具：PyCharm四、实验方法1. 动态规划法动态规划法是解决完全背包问题的常用方法。
其基本思想是将问题分解为子问题，并存储子问题的解以避免重复计算。
（1）定义状态设dp[i][j]表示前i种物品装满容量为j的背包的最大价值。
（2）状态转移方程dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])，其中i表示物品数量，j表示背包容量，w[i]表示第i种物品的重量，v[i]表示第i种物品的价值。
（3）初始化dp[0][j] = 0，表示没有物品时，无论背包容量为多少，价值都为0。
（4）遍历按照物品数量i从1到n，背包容量j从1到W进行遍历，根据状态转移方程计算dp[i][j]。
（5）输出结果dp[n][W]即为装满容量为W的背包所需的最小价值。
2. 分支限界法分支限界法是一种搜索算法，通过剪枝来降低搜索空间，从而提高求解效率。
（1）定义状态设Node为节点类，表示背包问题的状态。
Node包含以下属性：当前物品数量、当前背包容量、当前背包价值、当前解。
（2）构建搜索树以物品数量为分支，从根节点开始递归构建搜索树。
对于每个节点，根据当前背包容量和物品重量，判断是否继续向下搜索。
（3）剪枝对于每个节点，如果当前背包价值已经超过已知的最大价值，则剪枝，不再向下搜索。
完全背包——精选推荐
完全背包问题 有 N 种物品和⼀个容量是 V 的背包，每种物品都有⽆限件可⽤。
第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装⼊背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最⼤。
输出最⼤价值。
输⼊格式 第⼀⾏两个整数，N，V，⽤空格隔开，分别表⽰物品种数和背包容积。
接下来有 N ⾏，每⾏两个整数 vi,wi，⽤空格隔开，分别表⽰第 i 种物品的体积和价值。
输出格式 输出⼀个整数，表⽰最⼤价值。
数据范围 0<N,V≤1000 0<vi,wi≤1000定义f(i, j)表⽰前i个物品任意选择不限次数总体积不⼤于j情况下的最⼤总价值，递归关系终点f(i, 0) = 0；针对第i个物品，可以选择k次，那么状态⽅程为：f(i, j) = max { f(i - 1, j - k * vi) + k * wi } k>=0 1= max ( f(i - 1, j), max { f(i - 1, j - k * vi) + k * wi } ) k>=1 2 .可以考虑如果第i件物品⼀次不选的情况，就等于前i-1件物品的选择= max ( f(i - 1, j), max { f(i - 1, j - vi - k * vi) + k * wi + wi } ) k>=0 3 .令k = k + 1= max ( f(i - 1, j), f(i, j - vi) + wi ) 4 .根据1 公式推导过来，将j - vi 看作⼀个整体#include <iostream>#include <string>#include <algorithm>using namespace std;const int N = 1001;int n,m;int p[N][N];int v[N], w[N];int main() {cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i ++) {cin >> v[i] >> w[i];}for (int i = 1; i <= n; i ++) {for (int j = 0; j <= m; j++) {p[i][j] = p[i - 1][j];if (j >= v[i]) {p[i][j] = max(p[i][j], p[i][j - v[i]] + w[i]);}}}cout << p[n][m] << endl;return 0;}同01背包⼀样，我们可以将⼆维数组优化为⼀维数据。
动态规划 —— 背包问题 P02 —— 完全背包
【概述】完全背包问题也是一个相当基础的背包问题，它有两个状态转移方程，分别在“基本思路”以及“O(VN)的算法“的小节中给出。
【题目】有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。
第i种物品的体积是w[i]，价值是c[i]。
求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
【基本思路】这个问题非常类似于01背包问题，所不同的是每种物品有无限件。
也就是从每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取0件、取1件、取2件……等很多种。
如果仍然按照解01背包时的思路，令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值。
仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程，像这样：f[i][v]=max{ f[i-1][v-k*w[i]] + k*c[i] } (0<=k*w[i]<=v)这跟01背包问题一样有O(N*V)个状态需要求解，但求解每个状态的时间已经不是常数了，求解状态f[i][v]的时间是O(v/w[i])，总的复杂度是超过O(VN)的。
将01背包问题的基本思路加以改进，得到了这样一个清晰的方法。
这说明01背包问题的方程的确是很重要，可以推及其它类型的背包问题。
但我们还是试图改进这个复杂度。
【简单有效的优化】若两件物品i、j满足w[i]<=w[j]且c[i]>=c[j]，则将物品j去掉，不用考虑。
原因：任何情况下都可将价值小费用高得j换成物美价廉的i，得到至少不会更差的方案。
对于随机生成的数据，这个方法往往会大大减少物品的件数，从而加快速度。
然而这个并不能改善最坏情况的复杂度，因为有可能特别设计的数据可以一件物品也去不掉。
这个优化可以简单的O(N^2)地实现，一般都可以承受。
另外，针对背包问题而言，比较不错的一种方法是：首先将费用大于V的物品去掉，然后使用类似计数排序的做法，计算出费用相同的物品中价值最高的是哪个，可以O(V+N)地完成这个优化。
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主讲人：山成虎
1 问题 2 基本思路 3 空间优化 4小结 小结
1 问题
种物品和一个容量为V的背包 有N种物品和一个容量为 的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品 种物品和一个容量为 的背包，每种物品都有无限件可用。 种物品 的费用是w[i]，价值是 。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总 的费用是 ，价值是c[i]。 和不超过背包容量，且价值总和最大。 和不超过背包容量，且价值总和最大。
【解法一：一维数组】 解法一：一维数组】
【算法分析】 算法分析】 本问题的数学模型如下： 本问题的数学模型如下： 表示重量不超过x公斤的最大价值 设 f(x)表示重量不超过 公斤的最大价值， 则 f(x)=max{f(x-w[i])+c[i]} 表示重量不超过 公斤的最大价值， 当x>=w[i] ，1<=i<=n 。 样例】 【样例】中间结果 下面例出F[X]表示重量不超过 公斤的最大价值，X表示重量 表示重量不超过x公斤的最大价值 下面例出 表示重量不超过 公斤的最大价值， 表示重量 F[1] X=1 X=2 X=3 X=4 X=5 X=6 X=7 X=8 X=9 X=10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 9 9 9 9 10 10 10 10 10 12 F[2] F[3] F[4] F[5] F[6] F[7] F[8] F[9] F[10]
2 基本思路
这个问题非常类似于01背包问题，所不同的是每种物品有无限件。 这个问题非常类似于 背包问题，所不同的是每种物品有无限件。也就 背包问题 是从每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种， 是从每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取 0件、取1件、取2件……等很多种。如果仍然按照解 背包时的思路，令 等很多种。 背包时的思路， 件 件 件 等很多种 如果仍然按照解01背包时的思路 f[i][v]表示前 种物品恰放入一个容量为 的背包的最大权值。仍然可以按照 表示前i种物品恰放入一个容量为 的背包的最大权值。 表示前 种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值 每种物品不同的策略写出状态转移方程： 每种物品不同的策略写出状态转移方程： f[i][v]=max{f[i-1][v-k*w[i]]+k*c[i]|0<=k*w[i]<= v}。 。 核心代码： 核心代码： for i=1..N for v=0..V for k=1..v div w[i] f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-k*w[i]]+k*c[i]}; 背包问题的基本思路加以改进， 将01背包问题的基本思路加以改进，得到了这样一个清晰的方法。这 背包问题的基本思路加以改进 得到了这样一个清晰的方法。 说明01背包问题的方程的确是很重要 可以推及其它类型的背包问题。 背包问题的方程的确是很重要， 说明 背包问题的方程的确是很重要，可以推及其它类型的背包问题。
【解法一：二维数组】 解法一：二维数组】
【算法分析】 算法分析】 表示前i件物品 的最优价值， 设 f(i，x)表示前 件物品，总重量不超过 的最优价值，则 f(i，x)=max(f(i，x， 表示前 件物品，总重量不超过x的最优价值 ， ， w[i])+c[i],f(i-1，x)) ；f（n，m）即为最优解。 ， （ ， ）即为最优解。
4小结 小结 完全背包问题也是一个相当基础的背包问题， 完全背包问题也是一个相当基础的背包问题，它有两个 状态转移方程： 状态转移方程： f[i][v]=max{f[i-1][v-k*w[i]]+k*c[i]|0<=k*w[i]<= v}； ； f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i][v-w[i]]+c[i]}； ； f[v]=max{f[v],f[v-w[i]]+c[i]}; 后面两个方程是一个意思。 后面两个方程是一个意思。希望你能够对这三个状态转 移方程都仔细地体会，不仅记住， 移方程都仔细地体会，不仅记住，也要弄明白它们是怎么 得出来的，最好能够自己想一种得到这些方程的过程。 得出来的，最好能够自己想一种得到这些方程的过程。
【参考程序】:（顺推法） 参考程序】 （顺推法） Program knapsack; Const maxm=200;maxn=30; var i,x,n,m:integer; w,c:array[1..maxn] of integer; f:array[0..maxn,0..maxm] of integer; BEGIN fillchar(w,sizeof(w),0); fillchar(c,sizeof(c),0); readln(m,n); //背包容量 和物品数量 背包容量m和物品数量 背包容量 和物品数量n for i:=1 to n do //每个物品的重量和价值 每个物品的重量和价值 read(w[i],c[i]); for i:=1 to n do //f(i，x)表示前 件物品，总重量不超过 的最优价值 表示前i件物品 ， 表示前 件物品，总重量不超过x的最优价值 for x:=1 to m do if x<w[i] then f[i,x]:=f[i-1,x] else if f[i-1,x]>f[i,x-w[i]]+c[i] then f[i,x]:=f[i3;c[i]; writeln('max=', f[n,m]); // f(n，m)为最优解 ， 为最优解 END.
3 空间优化
01背包中，我们使用一维数组来优化空间，完全背包中同样可以！ 背包中，我们使用一维数组来优化空间，完全背包中同样可以！ 背包中 这个算法使用一维数组，核心代码如下： 这个算法使用一维数组，核心代码如下： for i=1..N for v=0..V f[v]=max{f[v],f[v-w[i]]+c[i]};
【参考程序1】:（顺推法） 参考程序 】 （顺推法） program knapsack04; const maxm=200;maxn=30; type ar=array[0..maxn] of integer; var m,n,x,i,t:integer; c,w:ar; f:array[0..maxm] of integer; BEGIN readln(m,n); //背包容量 和物品数量 背包容量m和物品数量 背包容量 和物品数量n for i:= 1 to n do readln(w[i],c[i]); //每个物品的重量和价值 每个物品的重量和价值 f[0]:=0; for x:=1 to m do //设 f(x)表示重量不超过 公斤的最大价值 表示重量不超过x公斤的最大价值 设 表示重量不超过 for i:=1 to n do if x>=w[i] then if f[x-w[i]]+c[i]>f[x] then f[x]:= f[x-w[i]]+c[i] ; writeln(‘max=’,f[m]); // f(m)为最优解 为最优解 END.
【参考程序2】:（顺推法） 参考程序 】 （顺推法） program knapsack04; const maxm=200;maxn=30; type ar=array[0..maxn] of integer; var m,n,x,i,t:integer; c,w:ar; f:array[0..maxm] of integer; BEGIN readln(m,n); //背包容量 和物品数量 背包容量m和物品数量 背包容量 和物品数量n for i:= 1 to n do readln(w[i],c[i]); //每个物品的重量和价值 每个物品的重量和价值 f[0]:=0; for i:=1 to n do for x:=1 to m do //设 f(x)表示重量不超过 公斤的最大价值 表示重量不超过x公斤的最大价值 设 表示重量不超过 if x>=w[i] then if f[x-w[i]]+c[i]>f[x] then f[x]:= f[x-w[i]]+c[i] ; writeln(‘max=’,f[m]); // f(m)为最优解 为最优解 END. 上面的代码中两层for循环的次序可以颠倒 上面的代码中两层 循环的次序可以颠倒
你会发现，这个伪代码与 背包问题的伪代码只有 背包问题的伪代码只有v的循环次序不同而 你会发现，这个伪代码与01背包问题的伪代码只有 的循环次序不同而 为什么这样一改就可行呢？首先想想为什么01背包问题中要按照 背包问题中要按照v=V..0 已。为什么这样一改就可行呢？首先想想为什么 背包问题中要按照 的逆序来循环。这是因为要保证第i次循环中的状态 次循环中的状态f[i][v]是由状态 是由状态f[i-1][v的逆序来循环。这是因为要保证第 次循环中的状态 是由状态 w[i]]递推而来。换句话说，这正是为了保证每件物品只选一次，保证在考虑 递推而来。 递推而来 换句话说，这正是为了保证每件物品只选一次， 选入第i件物品 这件策略时，依据的是一个绝无已经选入第i件物品的子 件物品” “选入第 件物品”这件策略时，依据的是一个绝无已经选入第 件物品的子 结果f[i-1][v-w[i]]。而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件，所以 结果 。而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件， 在考虑“加选一件第i种物品 这种策略时，却正需要一个可能已选入第i种 种物品” 在考虑“加选一件第 种物品”这种策略时，却正需要一个可能已选入第 种 物品的子结果f[i][v-w[i]]，所以就可以并且必须采用 0..V的顺序循环。这 的顺序循环。 物品的子结果 ，所以就可以并且必须采用v= 的顺序循环 就是这个简单的程序为何成立的道理。 就是这个简单的程序为何成立的道理。 这个算法也可以以另外的思路得出。例如， 这个算法也可以以另外的思路得出。例如，基本思路中的状态转移方程 可以等价地变形成这种形式： ， 可以等价地变形成这种形式：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i][v-w[i]]+c[i]}，将这个 方程用一维数组实现，便得到了上面的核心代码。 方程用一维数组实现，便得到了上面的核心代码。