人教版八年级上册数学第十四章整式的乘法与因式分解重难点分类突破
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解重点知识点大全(带答案)
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解重点知识点大全单选题1、下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是()A．a2+b2B．2a−b2C．−a2+b2D．−a2−b2答案：C分析：根据平方差公式的定义判断即可；A、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；B、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；C、原式=(b−a)(b+a)，能利用平方差公式进行因式分解，符合题意；D、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意，故选：C．小提示：本题主要考查了平方差公式分解因式，准确判断是解题的关键．2、要使多项式(x+p)(x−q)不含x的一次项，则p与q的关系是（）A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．乘积为−1答案：A分析：计算乘积得到多项式，因为不含x的一次项，所以一次项的系数等于0，由此得到p-q=0，所以p与q 相等.解：(x+p)(x−q)=x2+(p−q)x−pq∵乘积的多项式不含x的一次项∴p-q=0∴p=q故选择A.小提示：此题考查整式乘法的运用，注意不含的项即是该项的系数等于0.3、下列分解因式正确的是（）A．a3−a=a(a2−1)B．x3+4x2y+4xy2=x(x+2y)2C．−x2+4xy−4y2=−(x+2y)2D．16x2+16x+4=(4x+2)2答案：B分析：根据分解因式的方法进行分解，同时分解到不能再分解为止；A、a3−a=a(a2−1)=a(a+1)(a−1)，故该选项错误；B、x3+4x2y+4xy2=x(x2+4xy+4y2)=x(x+2y)2，故该选项正确；C、−x2+4xy−4y2=−(x2−4xy+4y2)=−(x−2y)2，故该选项错误；D、16x2+16x+4=4(4x2+4x+1)=4(2x+1)2，故该选项错误；故选：B．小提示：本题考查了因式分解，解决问题的关键是掌握因式分解的几种方法，注意因式分解要分解到不能再分解为止；4、已知（x-m）（x+n）=x2-3x-4，则m-n的值为( )A．1B．-3C．-2D．3答案：D分析：把原式的左边利用多项式乘多项式展开，合并后与右边对照即可得到m-n的值．（x-m）（x+n）=x2+nx-mx-mn=x2+（n-m）x-mn，∵（x-m）（x+n）=x2-3x-4，∴n-m=-3，则m-n=3，故选D．小提示：此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握法则是解本题的关键．5、下列式子中，正确的有( )①m3∙m5=m15；②（a3）4=a7；③（-a2）3=-（a3）2；④（3x2）2=6x6A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B分析：根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方逐一分析判断即可．解：①m3⋅m5=m8，故该项错误；②(a3)4=a12，故该项错误；③(−a2)3=−a6，−(a3)2=−a6，故该项正确；④(3x2)2=9x4，故该项不正确；综上所述，正确的只有③，故选：B．小提示：本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，掌握运算法则是解题的关键．6、在下列各式中，一定能用平方差公式因式分解的是（）．A．−a2−9B．a2−9C．a2−4b D．a2+9答案：B分析：直接利用平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)，进而分解因式判断即可．A、−a2−9，无法分解因式，故此选项不合题意；B、a2−9=(a+3)(a−3)，能用平方差公式分解，故此选项符合题意；C、a2−4b，无法分解因式，故此选项不合题意；D、a2+9，无法分解因式，故此选项不合题意．故选B．小提示：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．7、若x2＋2（k＋1）x＋4是完全平方式，则k的值为（）A．＋1B．﹣3C．﹣1或3D．1或﹣3答案：D分析：利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．解：∵x2+2(k+1)x+4是完全平方式，∴2(k+1)=±4，解得：k=1或-3，故D正确．故选：D．小提示：本题主要考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，注意积的2倍的符号，避免漏解．8、下列因式分解正确的是（）A．a2+b2＝(a+b)2B．a2+2ab+b2＝(a−b)2C．a2−a=a(a+1)D．a2−b2=(a+b)(a−b)答案：D分析：根据因式分解的方法，逐项分解即可．A. a2+b2，不能因式分解，故该选项不正确，不符合题意；B. a2+2ab+b2＝(a+b)2故该选项不正确，不符合题意；C. a2−a=a(a−1)，故该选项不正确，不符合题意；D. a2−b2=(a+b)(a−b)，故该选项正确，符合题意．故选D．小提示：本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．9、计算(x+1)(x+2)的结果为( )A．x2+2B．x2+3x+2C．x2+3x+3D．x2+2x+2答案：B解：原式=x2+2x+x+2=x2+3x+2.故选B.10、已知a2+14b2=2a−b−2，则3a−12b的值为（）A．4B．2C．−2D．−4答案：A分析：根据a2+14b2=2a−b−2，变形可得：a2−2a+1+14b2+b+1=(a−1)2+(12b+1)2=0，因此可求出a=1，b=−2，把a和b代入3a−12b即可求解．∵a2+14b2=2a−b−2∴a2−2a+1+14b2+b+1=(a−1)2+(12b+1)2=0即(a−1)2=0，(12b+1)2=0∴求得：a=1，b=−2∴把a和b代入3a−12b得：3×1−12×(−2)=4故选：A小提示：本题主要考查了完全平方公式因式分解，熟记完全平方公式，通过移项对已知条件进行配方是解题的关键．填空题11、多项式2x4﹣（a+1）x3+（b﹣2）x2﹣3x﹣1，不含x3项和x2项，则ab＝_____．答案：﹣2分析：根据题意只要使含x3项和x2项的系数为0即可求解．解：∵多项式2x4﹣（a+1）x3+（b﹣2）x2﹣3x﹣1，不含x2、x3项，∴a+1＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣1，b＝2．∴ab＝﹣2．所以答案是：﹣2．小提示：本题主要考查多项式的系数，关键是根据题意列出式子计算求解即可．12、分解因式：x2y+xy2=______．答案：xy(x+y)分析：利用提公因式法即可求解．x2y+xy2=xy(x+y)，所以答案是：xy(x+y)．小提示：本题考查了用提公因式法分解因式的知识，掌握提公因式法是解答本题的关键．13、已知ab=a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）=_____．答案：2分析：将（a﹣1）（b﹣1）利用多项式乘多项式法则展开，然后将ab=a+b+1代入合并即可得．（a﹣1）（b﹣1）= ab﹣a﹣b+1，当ab=a+b+1时，原式=ab﹣a﹣b+1=a+b+1﹣a﹣b+1=2，故答案为2．小提示：本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则及整体代入思想的运用．14、观察下列等式：①32−12=4×2；②42−22=4×3；③52−32=4×4；④62−42=4×5；…，第n（n为正整数）个等式为________．答案：(n+2)2−n2=4(n+1)分析：利用已知数据得出变化规律，进而得出答案即可．解：由32−12=4×2，42−22=4×3，52−32=4×4，62−42=4×5，…，可得：(n+2)2−n2=(n+2+n)(n+2−n)=4(n+1)，即：(n+2)2−n2=4(n+1)．故答案是：(n+2)2−n2=4(n+1)．小提示：此题主要考查了数字变化规律以及平方差公式，得出数字变化规律是解题关键．15、若(m+2022)2=10，则(m+2021)(m+2023)=______．答案：9分析：先将m+2021变形为m+2022−1，m+2023变形为m+2022+1，然后把(m+2022)看作一个整体，利用平方差公式来求解．解：∵(m+2022)2=10，∴(m+2021)(m+2023)=(m+2022−1)(m+2022+1)=(m+2022)2−1=10-1=9．所以答案是：9．小提示：本题考查了平方差公式，代数式求值，解题的关键是熟练掌握平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−解答题16、先化简，再求值：(3x +2)(3x −2)−5x (x −1)−(2x −1)2，其中x =−13． 答案：9x -5，−8分析：先计算乘法，再计算加减，然后把x =−13代入化简后的结果，即可求解． 解：(3x +2)(3x −2)−5x (x −1)−(2x −1)2=9x 2−4−5x 2+5x −4x 2+4x −1=9x −5当x =−13时，原式=−13×9−5=−8小提示：本题主要考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．17、化简：3（a ﹣2）（a +2）﹣（a ﹣1）2．答案：2a 2+2a -13分析：根据平方差公式和完全平方公式去括号，再计算加减法．解：3（a ﹣2）（a +2）﹣（a ﹣1）2=3（a 2-4）-（a 2-2a +1）=3a 2-12-a 2+2a -1=2a 2+2a -13．小提示：此题考查了整式的乘法计算公式，整式的混合运算，正确掌握平方差公式和完全平方公式的计算法则是解题的关键．18、爱动脑筋的小明在学习《幂的运算》时发现：若a m =a n (a >0，且a ≠1，m 、n 都是正整数），则m =n ，例如：若5m =54，则m =4．小明将这个发现与老师分享，并得到老师确认是正确的，请您和小明一起用这个正确的发现解决下面的问题：(1)如果2×4x ×32x =236，求x 的值；(2)如果3x+2+3x+1=108，求x 的值．答案：(1)x =5分析：（1）利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对式子进行整理，从而可求解；（2）利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，即可求解．（1）因为2×4x×32x=236，所以2×22x×25x=236，即21+7x=236，所以1+7x=36，解得：x=5；（2）因为3x+2+3x+1=108，所以3×3x+1+3x+1=4×27，4×3x+1=4×33，即3x+1=33，所以x+1=3，解得：x=2．小提示：本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．。
人教版初中数学八年级上册第十四章：整式的乘法与因式分解(全章教案)
第十四章整式的乘法与因式分解本章的内容主要包括：整式的乘法、乘法公式和因式分解．本章我们将在七年级学习整式的加减法的基础上，继续学习整式的乘法和因式分解，它是代数运算以及解决许多数学问题的重要基础．我们可以类比数的运算，以运算律为基础，得到关于整式的乘法运算与因式分解的启发．在中考中，本章是必考内容，主要考查幂的运算、乘法公式、因式分解，特别是因式分解在化简求值中的应用．【本章重点】整式的乘(除)法法则、乘法公式及因式分解．【本章难点】乘法公式的灵活运用、添括号法则及运用提公因式法和公式法进行因式分解．【本章思想方法】1．体会和掌握类比的学习方法．如：通过数的运算，类比归纳得出整式的运算性质．2．体会转化思想．如：将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式进行计算．3．体会数形结合思想．如：在整式乘法和乘法公式部分，借助于几何图形对运算法则及公式作了直观解释，体现了数形结合的思想方法．14．1整式的乘法7课时14．2乘法公式3课时14．3因式分解3课时14．1整式的乘法14.1.1同底数幂的乘法(第1课时)一、基本目标【知识与技能】理解并掌握同底数幂的乘法法则，并能进行相关计算．【过程与方法】经历探索同底数幂的乘法法则的过程，感受幂的意义，发展推理能力和表达能力，提高计算能力．【情感态度与价值观】在小组合作交流中，培养协作精神、探究精神，增强学习信心．二、重难点目标【教学重点】同底数幂的乘法法则．【教学难点】同底数幂的乘法法则的推导及应用．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P95～P96的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．把下列式子化成同底数幂．(－a )2＝a 2；(－a )3＝－a 3；(x －y )2＝(y －x )2；(x －y )3＝－(y －x )3. 2．根据乘法的意义填空：(1)52×53＝55； 32×34＝36；a 3·a 4＝(a ·a ·a )·(a ·a ·a ·a )＝a 7；(2)总结法则：a m ·a n ＝a m ＋n (m 、n 都是正整数)，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. (3)推广：a m ·a n ·a p ＝a m ＋n ＋p (m 、n 、p 都是正整数)．3．计算：(1)103×104；(2)a ·a 3；(3)⎝⎛⎭⎫－12·⎝⎛⎭⎫－122·⎝⎛⎭⎫－123. 解：(1)＝107. (2)a 4. (3)164.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算：(1)－a 3·(－a )2·(－a )3； (2)10 000×10m ×10m ＋3； (3)m n ＋1·m n ·m 2·m ； (4)(x －y )2·(y －x )5.【互动探索】(引发学生思考)确定各式的底数→利用同底数幂的乘法法则计算． 【解答】(1)原式＝－a 3·a 2·(－a 3)＝a 3·a 2·a 3＝a 8.(2)原式＝104×10m ×10m ＋3＝104＋m ＋m ＋3＝107＋2m.(3)原式＝m n＋1＋n ＋2＋1＝m 2n ＋4.(4)原式＝(y －x )2·(y －x )5＝(y －x )7.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或数可以看成指数为1的幂，进行运算时，不能忽略了幂指数1；(2)底数互为相反数的幂相乘时，先把底数统一，再进行计算．(a －b )n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(b －a )n (n 为偶数)，－(b －a )n (n 为奇数).活动2 巩固练习(学生独学)1．下列算式中，结果等于x 6的是( A ) A ．x 2·x 2·x 2 B ．x 2＋x 2＋x 2 C ．x 2·x 3D ．x 4＋x 22．如果32×27＝3n ，那么n 的值为( C ) A ．6 B ．1 C ．5D ．83．若a m ＝3，a n ＝4，则a m ＋n ＝12. 教师指导：a m ＋n ＝a m ·a n ＝3×4＝12. 4．计算：(1)－a 3·a 4； (2)100·10m ＋1·10m －3； (3)(－x )4(－x 2)(－x )3. 解：(1)－a 7. (2)102m . (3)x 9. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】若82a ＋3·8b －2＝810，求2a ＋b 的值．【互动探索】根据同底数幂的乘法法则，确定等式的左边的计算结果，再对比化简后的等式，确定a 、b 之间的关系．【解答】∵82a ＋3·8b －2＝82a＋3＋b －2＝810，∴2a ＋3＋b －2＝10，解得2a ＋b ＝9.【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，将等式两边化为同底数幂的形式，底数相同，那么指数也相同，由此得出代数式的值．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)同底数幂的乘法法则⎩⎪⎨⎪⎧内容：同底数幂相乘，底数不变，指数相加字母表示：a m·a n＝a m ＋n(m 、n 都是正整数)推广：a m·a n·…·a p＝a m ＋n ＋…＋p(m 、n 、…、 p 都是正整数)请完成本课时对应练习！14.1.2幂的乘方(第2课时)一、基本目标【知识与技能】理解幂的乘方法则，并能利用幂的乘方法则进行计算．【过程与方法】经历探索幂的乘方法则的过程，发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力，培养学生的应用能力．【情感、态度与价值观】培养学生合作交流和探索精神，让学生体会数学的应用价值．二、重难点目标【教学重点】幂的乘方法则．【教学难点】幂的乘方法则的推导及应用．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P96～P97的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．乘方的意义：32中，底数是3，指数是2，表示2个3相乘；(32)3的意义：3个32相乘.(1)根据幂的意义解答：(32)3＝32×32×32(根据幂的意义)＝32＋2＋2(根据同底数幂的乘法法则)＝32×3.(a m)2＝a m·a m＝a2m(根据a m·a n＝a m＋n)．(a m)n＝a m·a m·…·a m(幂的意义)＝a m＋m＋…＋m(同底数幂相乘的法则)＝a mn(乘法的意义)．(2)幂的乘方法则：(a m)n＝a mn(m、n都是正整数)，即幂的乘方，底数不变，指数相乘．2．计算：(1)(103)5；(2)(b3)4；(3)(x n)3；(4)－(x7)7.解：(1)1015.(2)b12.(3)x3n.(4)－x49.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算：(1)(－24)3；(2)(x m－1)2；(3)[(24)3]3; (4)(－a5)2＋(－a2)5.【互动探索】(引发学生思考)确定各式的底数→利用幂的乘方法则计算．【解答】(1)原式＝－212.(2)原式＝x2(m－1)＝x2m－2.(3)原式＝＝24×3×3＝236.(4)原式＝a10－a10＝0.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．(2)在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．(3)幂的乘方的推广：((a m)n)p＝a mnp(m、n、p都是正整数)．【例2】若92n＝38，求n的值．【互动探索】(引发学生思考)比较等式两边底数的关系→将等式转化为(32)2n＝38→建立方程求n值．【解答】依题意，得(32)2n＝38，即34n＝38.∴4n＝8.解得n＝2.【互动总结】(学生总结，老师点评)可将等式两边化成底数或指数相同的数，再比较．【例3】已知a x＝3，a y＝4(x、y为整数)，求a3x＋2y的值．【互动总结】(学生总结，老师点评)对a3x＋2y变形，得a3x·a2y，再利用幂的乘方进行解答．【解答】a3x＋2y＝a3x·a2y＝(a x)3·(a y)2＝33×42＝27×16＝432.【互动探索】(引发学生思考)利用a mn＝(a m)n＝(a n)m，可对式子进行灵活变形，从而使问题得到解决．活动2巩固练习(学生独学)1．计算(－a3)2的结果是(A)A．a6B．－a6C．－a5D．a52．下列运算正确的是(B)A．(x3)2＝x5B．(－x)5＝－x5C．x3·x2＝x6D．3x2＋2x3＝5x53．当n为奇数时，(－a2)n＋(－a n)2＝0.4．计算：(1)a2·(－a)2·(－a2)3＋a10；(2)x4·x5·(－x)7＋5(x4)4－(x8)2.解：(1)0.(2)3x16.活动3拓展延伸(学生对学)【例4】请看下面的解题过程：比较2100与375的大小．解：∵2100＝(24)25,375＝(33)25，而24＝16,33＝27,16＜27， ∴2100＜375.请你根据上面的解题过程，比较3100与560的大小．【互动探索】仔细阅读材料，确定例子的解题方法是将指数化为相同，比较底数的大小来比较所求两个数的大小．【解答】∵3100＝(35)20,560＝(53)20，而35＝243,53＝125,243＞125， ∴35＞53，∴3100＞560.【互动总结】(学生总结，老师点评)此题考查了幂的乘方法则的应用，根据题意得到3100＝(35)20,560＝(53)20是解此题的关键．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)幂的乘方法则⎩⎪⎨⎪⎧内容：幂的乘方，底数不变，指数相乘字母表示：(a m )n ＝a mn (m 、n 都是正整数)推广：((a m )n )p ＝a mnp (m 、n 、p 都是正整数)请完成本课时对应练习！14．1.3积的乘方(第3课时)一、基本目标【知识与技能】理解积的乘方法则，利用积的乘方进行计算．【过程与方法】经历探索积的乘方法则的过程，发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力，培养学生的应用能力．【情感态度与价值观】培养学生合作交流和探索精神，让学生体会数学的应用价值．二、重难点目标【教学重点】积的乘方法则．【教学难点】积的乘方法则的推导及应用．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P97～P98的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．下列各式正确的是(D)A．(a5)3＝a8B．a2·a3＝a6C．x2＋x3＝x5D．a2·a2＝a42．(1)填空：(2×5)3＝103,23×53＝103；(－2×5)3＝－103，(－2)3×53＝－103.(2)积的乘方法则：(ab)n＝a n b n(n是正整数)，即积的乘方等于积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.推广：(abc)n＝a n b n c n.(n是正整数)3．计算：(1)(3a2)n；(2)(－2xy)4；(3)(a2)3·(a3)2.解：(1)3n a2n.(2)16x4y4.(3)a12.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算(1)(x4·y2)3；(2)(a n b3n)2＋(a2b6)n；(3)[(3a2)3＋(3a3)2]2；(4)⎝⎛⎭⎫991002017×⎝⎛⎭⎫100992018； (5)0.12515×(23)15.【互动探索】(引发学生思考)先确定运算顺序，再根据积的乘方法则计算． 【解答】(1)原式＝x 12y 6. (2)原式＝a 2n b 6n ＋a 2n b 6n ＝2a 2n b 6n . (3)原式＝(27a 6＋9a 6)2＝(36a 6)2＝1296a 12. (4)原式＝⎝⎛⎭⎫99100×100992017×10099＝1×10099＝10099. (5)原式＝⎝⎛⎭⎫1815×(8)15＝⎝⎛⎭⎫18×815＝1. 【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)～(3)先按乘方再乘除后加减的运算顺序；(4)(5)反用(ab )n ＝a n b n 可使计算简便．活动2 巩固练习(学生独学) 1．(x 2y )2的结果是( B ) A ．x 6y B ．x 4y 2 C ．x 5yD ．x 5y 22．(a m )m ·(a m )2不等于( C ) A ．(a m ＋2)m B ．(a m ·a 2)m C ．am 2＋m 2 D ．(a m )3·(a m －1)m3．a m ＝2，a n ＝3，a 2m ＋3n＝108.4．计算：(1)－4xy 2·⎝⎛⎭⎫12xy 22·(－2x 2)3；(2)(－a 3b 6)2＋(－a 2b 4)3； (3)⎝⎛⎭⎫232017×⎝⎛⎭⎫322018. 解：(1)8x 9y 6. (2)0. (3)32.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】太阳可以近似地看作是球体，如果用V 、R 分别代表球的体积和半径，那么V ＝43πR 3，太阳的半径约为6×105千米，它的体积大约是多少立方千米？⎝⎛⎭⎫球的体积公式为V ＝43πR 3，且π取3【互动探索】已知球的体积公式和其半径，代入数据直接计算． 【解答】∵R ＝6×105千米，∴V ＝43πR 3＝43×π×(6×105)3＝8.64×1017(立方千米)．即它的体积大约是8.64×1017立方千米．【互动总结】(学生总结，老师点评)读懂题目信息，理解球的体积公式并熟记积的乘方法则是解此题的关键．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．在研究问题的结构时，可按整体到部分的顺序去思考和把握．2．公式(ab)n＝a n b n(n为正整数)的逆用：a n b n＝(ab)n(n为正整数)．请完成本课时对应练习！14．1.4整式的乘法第4课时单项式乘单项式一、基本目标【知识与技能】理解并掌握单项式乘单项式的法则．【过程与方法】经历探索单项式乘单项式法则的过程，体会乘法结合律的作用和转化的思想，发展有条理的思考及语言表达能力．【情感态度与价值观】培养学生推理能力、计算能力，通过小组合作与交流，增强协作精神．二、重难点目标【教学重点】单项式乘单项式的法则．【教学难点】单项式乘单项式的法则的推导及应用．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P98～P99的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．乘法的交换律和结合律：(ab )c ＝(ac )b ； a m ·a n ＝a m ＋n (m 、n 都是正整数)； (a m )n ＝a mn (m 、n 都是正整数)； (ab )n ＝a n b n (n 是正整数)．2．(1)2a 2－a 2＝a 2；a 2·a 2＝a 4；(－2a 2)2＝4a 4. (2)ac 5·bc 2＝(a ·b )·(c 5·c 2)·＝abc 5＋2＝abc 7.(2)单项式乘单项式法则：单项式乘单项式，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．教师点拨：单项式乘单项式运用的乘法的交换律和结合律，将数和同底数幂分别结合在一起．3．计算：(1)(－5a 2b 3)(－3a )； (2)(2x )3(－5x 2y )； (3)23x 3y 2·⎝⎛⎭⎫－32xy 22； (4)(－3ab )·(－ac )． 解：(1)15a 3b 3. (2)－40x 5y . (3)32x 5y 6. (4)3a 2bc .环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算：(1)⎝⎛⎭⎫－12x 2y 3·3xy 2·(2xy 2)2； (2)－6m 2n ·(x －y )3·13mn 2(y －x )2.【互动探索】(引发学生思考)根据单项式乘单项式的法则计算． 【解答】(1)⎝⎛⎭⎫－12x 2y 3·3xy 2·(2xy 2)2＝－18x 6y 3·3xy 2·4x 2y 4＝－32x 9y 9. (2)－6m 2n ·(x －y )3·13mn 2(y －x )2＝－6×13m 3n 3(x －y )5＝－2m 3n 3(x －y )5.【互动总结】(学生总结，老师点评)单项式乘单项式的注意事项：(1)计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；(2)按顺序运算；(3)不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；(4)单项式乘单项式的法则对于多个单项式相乘仍然成立；(5)将(x －y )看作一个整体，一般情况选择偶数次幂变形符号简单一些．活动2 巩固练习(学生独学) 1．下列计算正确的是( D ) A ．(－3x 3)·(－2x 2)2＝－12x 12 B ．(－3ab )(－2ab )2＝12a 3b 3 C ．(－0.1x )·(－10x 2)2＝x 5 D ．(2×10n )⎝⎛⎭⎫12×10n ＝102n2．3x 2可以表示为( A ) A ．x 2＋x 2＋x 2 B ．x 2·x 2·x 2 C ．3x ·3xD ．9x3．如果x n y 4与2xy m 相乘的结果是2x 5y 7，那么mn ＝12. 4．计算：(1)(－2x 2y )3·3(xy 2)2； (2)(－3x 2y )2·⎝⎛⎭⎫－23xyz ·34xz 2. 解：(1)－24x 8y 7. (2)－92x 6y 3z 3.活动3 拓展延伸(学生对学) 【例2】已知－2x 3m ＋1y 2n 与7x n －6y－3－m 的积与x 4y 是同类项，求m 2＋n 的值．【互动探索】根据－2x 3m ＋1y 2n 与7x n －6y －3－m的积与x 4y 是同类项，可以得到什么？怎样求m 2＋n 的值？【解答】∵－2x 3m ＋1y 2n 与7x n －6y－3－m的积与x 4y 是同类项，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3m ＋1＋n －6＝4，2n －3－m ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝3，∴m 2＋n ＝7. 【互动总结】(学生总结，老师点评)根据单项式乘单项式的法则，结合同类项，列出关于m 、n 的二元一次方程组，进而求得代数式的值．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．请完成本课时对应练习！第5课时单项式乘多项式一、基本目标【知识与技能】理解并掌握单项式乘多项式的法则，并能正确计算单项式乘多项式．【过程与方法】经历探索单项式乘多项式法则的过程，体会乘法分配律的作用和转化思想，发展有条理的思考及语言表达能力．【情感态度与价值观】培养良好的探究意识与合作交流的能力，体会整式运算的应用价值．二、重难点目标【教学重点】单项式乘多项式的法则．【教学难点】单项式乘多项式的法则的推导及应用．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P99～P100的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．乘法的分配律：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc.2．填空：－x(x2－3x＋2)＝－x·(x2)＋(－x)·(－3x)＋(－x)·(2)＝－x3＋3x2－2x.3．单项式乘多项式的法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.3．计算：(1)(－2a)·(2a2－3a＋1)；(2)(－4x)·(2x2＋3x－1)．解：(1)－4a3＋6a2－2a.(2)－8x3－12x2＋4x.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】先化简，再求值：3a(2a2－4a＋3)－2a2·(3a＋4)，其中a＝－2.【互动探索】(引发学生思考)确定运算顺序→化简式子→将a＝－2代入化简结果求值．【解答】原式＝6a3－12a2＋9a－6a3－8a2＝－20a2＋9a.当a＝－2时，原式＝－20×4－9×2＝－98.【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可．活动2巩固练习(学生独学)1．一个长方体的长、宽、高分别是3a －4,2a ，a ，它的体积等于( C ) A ．3a 3－4a 2 B ．a 2 C ．6a 3－8a 2D ．6a 2－8a2．已知M 、N 分别表示不同的单项式，且3x ·(M －5x )＝6x 2y 3＋N ，则( C ) A ．M ＝2xy 3，N ＝－15x B ．M ＝3xy 3，N ＝－15x 2 C ．M ＝2xy 3，N ＝－15x 2D ．M ＝2xy 3，N ＝15x 23．图中的四边形均为矩形，根据图形，仅用图中出现的字母写出一个正确的等式：m (a ＋b ＋c )＝ma ＋mb ＋mc .4．计算：(1)2ab 2·(3a 2b －2ab －1)； (2)(－2xy 2)2·⎝⎛⎭⎫14y 2－12x 2－32xy . 解：(1)6a 3b 3－4a 2b 3－2ab 2. (2)x 2y 6－2x 4y 4－6x 3y 5. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如果(－3x )2⎝⎛⎭⎫x 2－2nx ＋23的展开式中不含x 3项，求n 的值． 【互动探索】由原式的展开式中不含x 3项可以推出什么？由此怎样求出n 的值？ 【解答】(－3x )2⎝⎛⎭⎫x 2－2nx ＋23＝9x 2·⎝⎛⎭⎫x 2－2nx ＋23＝9x 4－18nx 3＋6x 2. 由展开式中不含x 3项，得n ＝0.【互动总结】(学生总结，老师点评)单项式与多项式相乘，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0.环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．请完成本课时对应练习！第6课时多项式乘多项式一、基本目标【知识与技能】理解多项式乘多项式的运算法则，运用多项式与多项式的乘法法则进行计算．【过程与方法】经历探索多项式乘多项式的运算法则的推理过程，体会其运算的算理．【情感态度与价值观】通过推理，培养学生计算能力，发展有条理的思考，逐步形成主动探索的习惯．二、重难点目标【教学重点】多项式乘多项式的法则的推导及应用．【教学难点】多项式乘多项式的法则的应用．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P100～P101的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．(1)(－ab)·(－4b2)＝4ab3；(2)－2x(x－3y)＝－2x2＋6xy；(3)(2x2y)3·(－4xy2)＝－32x7y5；(4)－2x(2x2－3x＋1)＝－4x3＋6x2－2x.2．看图填空：(1)大长方形的长是a＋b，宽是m＋n，面积等于(a＋b)(m＋n).(2)图中四个小长方形的面积分别是am、bm、an、bn，由上述可得(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn.3．多项式乘多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.4．计算：(1)(3x＋2)(x＋2)；(2)(4y－1)(5－y)．解：(1)3x2＋8x＋4.(2)－4y2＋21y－5.5．长方形的长是(2a＋1)，宽是(a＋b)，求长方形的面积．解：根据题意，得长方形的面积S＝(2a＋1)(a＋b)＝2a2＋2ab＋a＋b.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算：(1)(x＋2y)(5a＋3b)；(2)(2x－3)(x＋4)；(3)(x＋y)2；(4)(x＋y)(x2－xy＋y2)．【互动探索】(引发学生思考)根据多项式乘多项式的法则进行计算．【解答】(1)原式＝x·5a＋x·3b＋2y·5a＋2y·3b＝5ax＋3bx＋10ay＋6by.(2)原式＝2x2＋8x－3x－12＝2x2＋5x－12.(3)原式＝(x＋y)(x＋y)＝x2＋xy＋xy＋y2＝x2＋2xy＋y2.(4)原式＝x3－x2y＋xy2＋x2y－xy2＋y3＝x3＋y3.【互动总结】(学生总结，老师点评)多项式乘多项式，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；所得结果仍是多项式，且在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．【例2】先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b ＝1.【互动探索】(引发学生思考)确定运算顺序→化简代数式→确定当a＝－1，b＝1时，化简后代数式的值．【解答】(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2＝－8b3＋2a2b＋15ab2.当a＝－1，b＝1时，原式＝－8＋2－15＝－21.【互动总结】(学生总结，老师点评)化简求值是整式运算中常见的题型，一定要注意先化简，再求值，不能先代值，再计算．活动2巩固练习(学生独学)1．若(y＋3)(y－2)＝y2＋my＋n，则m、n的值分别为(B)A．m＝5，n＝6B．m＝1，n＝－6C．m＝1，n＝6D．m＝5，n＝－62．下列各式中，计算结果是x2＋7x－18的是(A)A ．(x －2)(x ＋9)B ．(x ＋2)(x ＋9)C ．(x －3)(x ＋6)D ．(x －1)(x ＋18)3．如图，正方形卡片A 类、B 类和长方形卡片C 类各若干张，如果要拼一个长为(a ＋3b )，宽为(2a ＋b )的大长方形，那么需要A 类、B 类和C 类卡片的张数分别为( A )A ．2,3,7B ．3,7,2C ．2,5,3D ．2,5,7教师点拨：(a ＋3b )(2a ＋b )＝2a 2＋7ab ＋3b 2. 4．已知a 2－a ＋5＝0，则(a －3)(a ＋2)的值是－11.教师点拨：把所求代数式展开后，利用条件得到a 2－a ＝－5，再整体代入即可得解． 5．计算：(1)(y ＋1)(x －y )－x (y －x )； (2)(－7x 2－8y 2)(－x 2＋3y 2)； (3)(3a ＋1)(2a －3)－(6a －5)(a －4)． 解：(1)x 2－y 2＋x －y . (2)7x 4－13x 2y 2－24y 4. (3)22a －23.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】已知ax 2＋bx ＋1(a ≠0)与3x －2的积不含x 2项，也不含x 项，求系数a 、b 的值． 【互动探索】计算ax 2＋bx ＋1与3x －2的乘积．由原式的展开式中不含x 3项，也不含x 的项→建立方程→确定a 、b 的值．【解答】(ax 2＋bx ＋1)(3x －2)＝3ax 3－2ax 2＋3bx 2－2bx ＋3x －2. ∵积不含x 2项，也不含x 项，∴－2a ＋3b ＝0，－2b ＋3＝0，解得b ＝32，a ＝94.即系数a 、b 的值分别是94，32.【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，先根据多项式乘多项式的法则计算出展开式，合并同类项后，再根据不含某一项，得出这一项系数等于零，由此列出方程解答．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．字母表示：请完成本课时对应练习！第7课时整式的除法一、基本目标【知识与技能】理解并掌握同底数幂的除法法则、单项式除以单项式的运算法则和多项式除以多项式的运算法则，熟练地进行整式除法的计算．【过程与方法】经历探究整式除法的运算法则的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条件的表达能力．【情感态度与价值观】感受数学法则和公式的简洁美、和谐美，培养学生的团结协作精神，使学生获得合作交流的学习方式．二、重难点目标【教学重点】整式的除法法则．【教学难点】整式的除法法则的推导．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P102～P104的内容，完成下面练习．【3 min反馈】一、同底数幂的除法计算：(1)28·28＝216,216÷28＝28；(2)52·54＝56,56÷54＝52；(3)a4·a2＝a6，a6÷a4＝a2；(4)从(1)～(3)运算中归纳出同底数幂的除法法则：a m÷a n＝a m－n(a≠0，n、m为正整数，且m>n)，即同底数幂相除，底数不变，指数相减.(5)∵a m÷a m＝1，而a m÷a m＝a(m－m)＝a0，∴a0＝1(a≠0)，即任何不等于0的数的0次幂都等于1.二、单项式除以单项式计算：(1)a·4a2＝4a3,4a3÷4a2＝a；(2)3xy·2x2＝6x3y,6x3y÷3xy＝2x2；(3)3ax2·4ax3＝12a2x5,12a2x5÷3ax2＝4ax3；(4)从(1)～(3)运算中归纳出单项式除以单项式法则：单项式相除，把同底数幂与系数分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．三、多项式除以单项式1．计算：(1)m·(a＋b)＝am＋bm，(am＋bm)÷m＝a＋b；(2)a ·(a ＋b )＝a 2＋ab ，(a 2＋ab )÷a ＝a ＋b ；(3)2xy ·(3x 2＋y )＝6x 3y ＋2xy 2，(6x 3y ＋2xy 2)÷2xy ＝3x 2＋y ；(4)从上述运算中归纳出多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.2．计算：(1)a 5÷a 3； (2)－5a 5b 3c ÷15a 4b ； (3)(27x 3－18x 2＋3x )÷(－3x )．解：(1)a 2. (2)－13ab 2c . (3)－9x 2＋6x －1.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算： (1)(x －2y )3÷(2y －x )2； (2)(a 2＋1)6÷(a 2＋1)4÷(a 2＋1)2； (3)(2a 2b 2c )4z ÷(－2ab 2c 2)2； (4)81x 12y 12z 4÷9x 6y 4z 2÷12x 2y 6z ；(5)(72x 3y 4－36x 2y 3＋9xy 2)÷(－9xy 2)．【互动探索】(引发学生思考)利用除法的运算法则进行计算． 【解答】(1)原式＝(x －2y )3÷(x －2y )2＝x －2y . (2)原式＝(a 2＋1)6－4－2＝(a 2＋1)0＝1.(3)原式＝16a 8b 8c 4z ÷4a 2b 4c 4＝4a 6b 4z .(4)原式＝⎝⎛⎭⎫81÷9÷12·x 12－6－2·y 12－4－6·z 4－2－1＝18x 4y 2z . (5)原式＝72x 3y 4÷(－9xy 2)＋(－36x 2y 3)÷(－9xy 2)＋9xy 2÷(－9xy 2)＝－8x 2y 2＋4xy －1. 【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)计算整式除法时，按照相应的运算法则进行计算，有乘方的先算乘方，再算乘除．(2)单项式除以单项式和多项式除以单项式的实质都是有理数的除法和同底数幂的除法．计算时，注意运算顺序和符号的变化．【例2】先化简，后求值：[2x (x 2y －xy 2)＋xy (xy －x 2)]÷x 2y ，其中x ＝2018，y ＝2017. 【互动探索】(引发学生思考)确定运算顺序→原式化简→代值计算的结果．【解答】[2x (x 2y －xy 2)＋xy (xy －x 2)]÷x 2y ＝[2x 3y －2x 2y 2＋x 2y 2－x 3y ]÷x 2y ＝[x 3y －x 2y 2]÷x 2y ＝x －y .把x ＝2018，y ＝2017代入上式，得原式＝2018－2017＝1.【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题的方法是先化简，再把对应的数值代入化简后的式子进行计算即可．活动2 巩固练习(学生独学)1．已知28a 2b m ÷4a n b 2＝7b 2，那么m 、n 的值为( A ) A ．m ＝4，n ＝2 B ．m ＝4，n ＝1 C ．m ＝1，n ＝2D ．m ＝2，n ＝22．已知长方形的面积为18x 3y 4＋9xy 2－27x 2y 2，长为9xy ，则宽为( D ) A ．2x 2y 3＋y ＋3xy B ．2x 2y 2－2y ＋3xy C ．2x 2y 3＋2y －3xyD ．2x 2y 3＋y －3xy3．如果(3x 2y －2xy 2)÷m ＝－3x ＋2y ，那么单项式m 为( B ) A ．xy B ．－xy C ．xD ．－y4．若等式(6a 3＋3a 2)÷(6a )＝(a ＋1)(a ＋2)成立，则a 的值为－45.5．计算： (1)x 3÷x 2；(2)⎝⎛⎭⎫－25a 2b 4÷⎝⎛⎭⎫－14ab 2÷(－10ab )； (3)(6a 3b －9a 2b 2－12ab 3)÷(－3ab )． 解：(1)x . (2)－425b . (3)－2a 2＋3ab ＋4b 2.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】已知a m ＝4，a n ＝2，a ＝3，求a m －n －1的值．【互动探索】逆向思维法：将a m－n －1转化为a m ÷a n ÷a ，再代入数据计算．【解答】∵a m ＝4，a n ＝2，a ＝3， ∴a m－n －1＝a m ÷a n ÷a ＝4÷2÷3＝23.【互动总结】(学生总结，老师点评)解此题的关键是逆用同底数幂的除法得出a m－n －1＝a m ÷a n ÷a .环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！14．2乘法公式14．2.1平方差公式(第1课时)一、基本目标【知识与技能】掌握平方差公式，会用平方差公式进行简单计算．【过程与方法】经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，发展学生的符号感和推理能力，使学生逐渐掌握平方差公式．【情感态度与价值观】通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重合性，体验数学活动充满着探索性和创造性，感受数学知识的实际价值．二、重难点目标【教学重点】平方差公式．【教学难点】理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P107～P108的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．根据条件列代数式：(1)a、b两数的平方差可以表示为a2－b2；(2)a、b两数差的平方可以表示为(a－b)2.2．(1)(x＋2)(x－2)＝x2－4；(1＋3a)(1－3a)＝1－9a2；(x＋5y)(x－5y)＝x2－25y2.观察以上算式及其运算结果填空：上面三个算式中的每个因式都是多项式；等式的左边都是两个数的和与两个数的差的乘积，等式的右边是这两个数的平方的差.(2)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．3．已知a＋b＝10，a－b＝8，则a2－b2＝80.4．计算(3－x)(3＋x)的结果是9－x2.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】运用平方差公式计算：(1)(3x－5)(3x＋5)；(2)(－2a－b)(b－2a)；(3)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．【互动探索】(引发学生思考)观察各式子的特点，确定用什么公式计算？【解答】(1)(3x－5)(3x＋5)＝(3x)2－52＝9x2－25.(2)(－2a －b )(b －2a )＝(－2a )2－b 2＝4a 2－b 2. (3)(x －2)(x ＋2)(x 2＋4)＝(x 2－4)(x 2＋4)＝x 4－16.【互动总结】(学生总结，老师点评)运用平方差公式计算时，要注意以下几点：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a 和b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式．【例2】计算：10015×9945.【互动探索】(引发学生思考)观察式子特点，直接计算比较难，将原式转化为⎝⎛⎭⎫100＋15⎝⎛⎭⎫100－15，用平方差公式计算．【解答】原式＝⎝⎛⎭⎫100＋15⎝⎛⎭⎫100－15＝10 000－125＝99992425. 【互动总结】(学生总结，老师点评)可将两个因数写成相同的两个数的和与差，形成平方差公式结构．活动2 巩固练习(学生独学)1．下列运算中，可用平方差公式计算的是( C ) A ．(x ＋y )(x ＋y ) B ．(－x ＋y )(x －y ) C ．(－x －y )(y －x )D ．(x ＋y )(－x －y )2．如图1，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a ＞b )，把剩下部分拼成一个梯形(如图2)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.3．长方形的长为(2a ＋3b )，宽为(2a －3b )，则长方形的面积为4a 2－9b 2. 4．若(m ＋3x )(m －3x )＝16－nx 2，则mn 的值为±36. 5．计算：(1)⎝⎛⎭⎫34y ＋212x ⎝⎛⎭⎫212x －34y ； (2)⎝⎛⎭⎫－56x －0.7a 2b ⎝⎛⎭⎫56x －0.7a 2b ； (3)(2a －3b )(2a ＋3b )(4a 2＋9b 2)(16a 4＋81b 4)．解：(1)254x 2－916y 2. (2)0.49a 4b 2－2536x 2. (3)256a 8－6561b 8.6．运用平方差公式简算： (1)2013×1923； (2)13.2×12.8.解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫20＋13×⎝⎛⎭⎫20－13＝400－19＝39989. (2)原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝169－0.04＝168.96. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】对于任意的正整数n ，整式(3n ＋1)(3n －1)－(3－n )(3＋n )的值一定是10的倍数吗？【互动探索】要判断整式是否为10的倍数→需化简代数式→化简结果是否是10的倍数→做出判断．【解答】原式＝9n 2－1－(9－n 2)＝10n 2－10＝10(n ＋1)(n －1)． ∵n 为正整数，∴(n －1)(n ＋1)为整数，即(3n ＋1)(3n －1)－(3－n )(3＋n )的值是10的倍数．【互动总结】(学生总结，老师点评)平方差公式中的a 和b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，要注意这方面的问题．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)平方差公式：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.请完成本课时对应练习！14．2.2完全平方公式第2课时完全平方公式一、基本目标【知识与技能】1．掌握完全平方公式及其结构特征．2．会用完全平方公式进行简单计算．【过程与方法】利用多项式与多项式的乘法以及幂的意义，推导出完全平方公式，感受乘法公式从一般到特殊的认知过程，拓展思维空间．【情感态度与价值观】培养学生观察、类比、发现的能力，体验数学活动充满着探索性和创造性．二、重难点目标【教学重点】完全平方公式及其结构特征．【教学难点】灵活应用完全平方公式进行计算．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P109～P110的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．按要求列代数式：(1)a、b两数和的平方可以表示为(a＋b)2；(2)a、b两数平方的和可以表示为a2＋b2.2．计算下列各式：(a＋1)2＝(a＋1)(a＋1)＝a2＋2a＋1；(a－1)2＝(a－1)(a－1)＝a2－2a＋1；(m－3)2＝(m－3)(m－3)＝m2－6m＋9.3．完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2.也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.4．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．如图1可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，那么通过图2面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是(a－b)2＝a2－2ab＋b2.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】运用完全平方公式计算：(1)(5－a)2；(2)(－3m－4n)2；(3)(－3a＋b)2; (4)(a＋b＋c)2.【互动探索】(引发学生思考)观察式子的特点，怎样运用完全平方公式进行计算？【解答】(1)(5－a)2＝52－2·5·a＋a2＝25－10a＋a2.(2)(－3m－4n)2＝(－3m)2－2·(－3m)·4n＋(4n)2＝9m2＋24mn＋16n2.(3)(－3a＋b)2＝(－3a)2＋2·(－3a)·b＋b2＝9a2－6ab＋b2.(4)(a＋b＋c)2＝(a＋b)2＋2c(a＋b)＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2.【互动总结】(学生总结，老师点评)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2，可巧记为“首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号确定看前方”．【例2】计算：(1)9982；(2)(2)20182－2018×4034＋20172.【互动探索】(引发学生思考)(1)直接计算9982比较复杂，考虑将998转化为1000－2，再利用完全平方公式计算．(2)逆用完全平方公式即可．【解答】(1)原式＝(1000－2)2＝1 000 000－4000＋4＝996 004.(2)原式＝20182－2×2018×2017＋20172＝(2018－2017)2＝1.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)中可将该式变形为(1000－2)2，再运用完全平方公式可简便运算．活动2巩固练习(学生独学)1．运算结果是x4y2－2x2y＋1的是(C)A．(－1＋x2y2)2B．(1＋x2y2)2C．(－1＋x2y)2D．(－1－x2y)22．若|a －b |＝1，则b 2－2ab ＋a 2的值为( A ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．无法确定3．下列关于962的计算方法正确的是( D ) A ．962＝(100－4)2＝1002－42＝9984 B ．962＝(95＋1)(95－1)＝952－1＝9024 C ．962＝(90＋6)2＝902＋62＝8136D ．962＝(100－4)2＝1002－2×4×100＋42＝9216 4．运用完全平方公式计算：(1)(－3a ＋2b )2； (2)(a ＋2b －1)2； (3)50.012; (4)49.92.解：(1)4b 2－12ab ＋9a 2. (2)a 2＋4ab ＋4b 2－2a －4b ＋1. (3)2501.0001. (4)2490.01. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如果36x 2＋(m ＋1)xy ＋25y 2是一个完全平方式，求m 的值．【互动探索】根据完全平方公式的结构特点→确定(m ＋1)xy 的值→建立方程→确定m 的值．【解答】∵36x 2＋(m ＋1)xy ＋25y 2＝(6x )2＋(m ＋1)xy ＋(5y )2， ∴(m ＋1)xy ＝±2·6x ·5y ， ∴m ＋1＝±60，∴m ＝59或－61.【互动总结】(学生总结，老师点评)两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．【例4】已知a ＋b ＝4，ab ＝－5，求下列各式的值． (1)a 2＋b 2； (2)(a －b )2.【互动探索】由已知等式联想到什么乘法公式？所求代数式与已知等式有什么关系？怎样求解？【解答】(1)a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab .把a ＋b ＝4，ab ＝－5代入，得a 2＋b 2＝42－2×(－5)＝16＋10＝26. (2)(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab .把a ＋b ＝4，ab ＝－5代入，得(a －b )2＝42－4×(－5)＝16＋20＝36. 【互动总结】(学生总结，老师点评)完全平方公式的常用变形： (1)a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(a －b )2－2ab ； (2)ab ＝12[(a ＋b )2－(a 2＋b 2)]；(3)(a －b )2＋(a ＋b )2＝2(a 2＋b 2)；。
人教版数学八年级上册第14章整式的乘法与因式分解教学设计
1.设计不同难度的练习题，包括基础题、提高题和拓展题，让学生在课堂上独立完成。
2.练习题涵盖整式乘法、平方差公式、完全平方公式和因式分解等知识点，让学生在练习中巩固所学。
3.及时反馈学生的答题情况，针对共性问题进行讲解，帮助学生纠正错误，提高解题能力。
（五）总结归纳，500字
作业布置原则：注重作业的质量，而非数量；关注学生的个体差异，分层布置作业；鼓励学生积极参与，培养他们的学习兴趣。通过作业的布置与完成，让学生真正掌握整式乘法与因式分解的知识，提高数学素养。
2.平方差公式和完全平方公式：引导学生观察特定的整式乘法算式，如(a+b)(a-b)、(a+b)²，让他们发现平方差公式和完全平方公式的规律，并加以证明。通过实际例题，让学生学会运用这两个公式简化计算过程。
3.因式分解：介绍因式分解的概念，让学生理解其含义。通过具体的例子，讲解提公因式法、平方差公式和完全平方公式在因式分解中的应用，让学生掌握因式分解的方法。
五、作业布置
为了巩固本节课所学的整式乘法与因式分解知识，培养学生的数学思维能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：完成课本第14章的相关练习题，包括整式的乘法运算、平方差公式、完全平方公式的应用以及因式分解的基本方法。
要求：学生在完成作业时，要注重运算的准确性，熟练掌握乘法法则和因式分解的方法，提高解题速度。
1.让学生回顾本节课所学的内容，总结整式乘法法则、平方差公式、完全平方公式和因式分解的方法。
2.教师进行课堂小结，强调重点和难点，对学生的学习情况进行评价。
3.鼓励学生课后继续练习，提高整式乘法与因式分解的运算技巧，培养数学思维能力。
4.激发学生学习数学的兴趣，增强他们的自信心，为下一节课的学习打下良好基础。
人教版八年级数学上册第十四章《整式的乘法和因式分解》知识清单,易错点,典型考点和训练点剖析
人教版八年级数学上《整式的乘法与因式分解》知识清单，易错点，典型考点和训练点剖析一.知识快递拿到第一把山门的钥匙后，图图直奔二道山门而去．为了保证把二道山门的钥匙成功拿到手，图图决定走进易错点辩析厅，磨练自己的火眼金睛．二.易错点辨析2.1 忽视符号致错例1 分解因式：-a+3a错解：-a+3a =-a （1+2a ）分析：这里公因式有两部分组成，一部分是系数，提出的是-1，一部分是字母，提出的是字母a ，但是在提取的过程中，因为忽视3a 的系数符号，导致解答的错误．正解：-a+3a =-a （1-2a ）易错点2：对公示理解不准致错例2 下列计算正确的是（ ）Ａ．222)(y x y x +=+ B ．2222)(y xy x y x --=-C ．（x+2y ）（x-2y ）=222y x -）D ．2222)(y xy x y x +-=+- 错解：选A 或选B 或选C ．分析：A 所反映的公式是和的完全平方公式，展开后应该有三项，而给出的A 项只有两项，所以A 是错误的；B 所反映的公式是差的完全平方公式，展开后应该有三项，项数合理，但是y 的平方项系数确定错误，应该是加上2y ，所以选项B 是错误的；选项C 所反映的公式是平方差公式，结果应该是两数的平方差，2)2(y 应该是42y ，而不是22y ，所以选项C 是错误的．正解：选D ．易错点3：整体提出公因式时不能准确确定余数致错例3 分解因式：2a-4b+2错解：2a-4b+2=2（a-2b ）．分析：因式分解的实质是一种恒等变形，所以不论在形式上发生何种变化，有一点是不会改变的，这就是变形前后多项式的项数必须相同．其次，你可以利用乘法将右边回乘看看能否得到左边的多项式，如果能就说明分解是正确的，如果不能，就说明这样的分解是错误的． 最后要说明的是，当这一项被整体提取后，这个位置上余数是1，而不是0，一定要谨记． 正解：2a-4b+2=2（a-2b+1）．经过自己艰辛努力，图图顺利闯过了第二道山门．走出易错厅的图图，满怀信心，直奔考点直播室而去．三．考点直播室考点1 单项式乘单项式例1如果□×3ab=32a b ，则□内应填的代数式是（ ）A.abB.3abC.aD.3a分析：单项式乘单项式，要注意系数的变化，相同字母的指数的变化，单独出现的字母和指数的处理，这是解题的关键．解：选C ．考点2 探求完全平方公式展开式中某项的系数例2计算2)2(+x 的结果为2x +□x+4,则“□”中的数为（ ）A ．－2B ．2C ．－4D ．4分析：熟记完全平方公式的展开式是解题的关键．其次就是要灵活运用对应项相同的法则． 解：因为2)2(+x =2x +4x+4，所以2x +□x+4=2x +4x+4，比较对应项，得“□”中的数为4. 所以选择D ．考点3 先提取公因式后套用平方差公式分解因式例3分解因式：9a －a 2b ＝ ．分析：这里有公因式a ，所以先提出来，其次就是要将数字9写成23，从而在提后的多项式 中，生成用平方差公式的条件．解：9a －a 2b =a （9-2b ）==a （23-2b ）= a （3＋b （3－b ）．考点4 先提取公因式后套用完全平方公式分解因式例4.把代数式33x -62x y+3x 2y 分解因式，结果正确的是（ ）A ．x （3x+y ）（x-3yB ．3x （2x -2xy+2y ）C ．x 2)3(y x - D ．3x 2)(y x - 分析：先确定公因式：3x ；第二步提取公因式3x ，得到3x （2x -2xy+2y ），第三步将结果彻底化，就得到了3x 2)(y x -．解：选D ．考点5 先化简后求值例5.先化简，再求值：（a ＋2）(a －2)＋a (1－a )，其中a ＝5分析：解答时，同学们一定要按照题目的要求来作答，否则就很难得到高分的． 解：（a ＋2）(a －2)＋a (1－a )＝a 2－4＋a －a 2＝a －4，当a ＝5时，原式＝5－4＝1．成功闯过第三道山门的图图，心里非常的高兴，满怀胜利的喜悦直奔庄园的正殿而去，突然图图放慢了脚步，他担心自己一旦不成功，就会前功尽弃了，为了确保最终的胜利，于是图图悄悄钻进了训练大本营，让自己变得更坚强．四．训练大本营1. 分解因式2x 2 − 4x + 2的最终结果是（ ）A ．2x(x − 2)B ．2(x 2 − 2x + 1)C ．2(x − 1)2D ．(2x − 2)2 2. 当x=10，y=9时，代数式2x -2y 的值是 ．3. 化简:2)3(+a +a （2-a ）4. 先化简，再求值．()()212x x x ++-，其中12x =-．5.化简：22)()(y x y x --+参考答案：1. C2. 193.解:原式22692a a a a =+++-89a =+4. 解：原式=22212x x x x +++-=221x +， 当12x =-时，原式=21212⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭=12+1=32． 5.解：原式＝222222y xy x y xy x -+-++ ＝xy 4．图图凭借自己扎实的数学功底，将山庄仔仔细细探了清清楚楚，同学们要学习图图这种不怕困难的学习精神，努力学好数学．欲知图图意欲何往，请听赵老师下次安排．。
人教版八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解小结与复习教学课件
考点二 整式的运算
例3 计算：[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)] ÷3x2y,其中x=1,y=3.
解析：在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序；二要熟练
正确地运用运算法则.
解：原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2) ÷3x2y
=(2x3y2-2x2y) ÷3x2y
例6 把多项式2x2－8分解因式，结果正确的是( C )
A．2(x2－8)
B．2(x－2)2
C．2(x＋2)(x－2) D．2x(x－ )
4 x
归纳总结
因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式乘法互为逆 运算，因式分解时，一般要先提公因式，再用公式法分解，因式分解要求 分解到每一个因式都不能再分解为止.
3.(1)已知3m=6,9n=2,求3m+2n,32m-4n的值. (2)比较大小：420与1510. 解：(1)∵3m=6,9n=2, ∴3m+2n=3m·32n=3m·(32)n=3m·9n=6×2=12. 32m-4n=32m÷34n=(3m)2÷(32n)2=(3m)2÷(9n)2=62÷22=9. (2) ∵420=（42）10=1610， ∵1610>1510,
=a2－(b－3)2=a2－b2＋6b－9. (3)原式＝[(3x－2y)(3x＋2y)]2
=(9x2－4y2)2=81x4－72x2y2＋16y4
11.用简便方法计算
(1)2002－400×199＋1992； (2)999×1 001. 解：(1)原式＝(200－199)2=1;
(2) 原式＝(1000－1)(1000+1) ＝10002－1 ＝999999.
最新人教版八年级上册第十四章整式的乘法与因式分解复习(知识点、典型例题)
注意事项
• 1) 首选提公因式法（若各项间有公因式，要先将公因式提出来），另一 个因式再考虑其他方法。x3-4x • 2)一般情况下，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式。 • x4-2x2y2+y4 • 3）因式分解要彻底。 • 4）（可用整式的乘法检验）但不走回头路。 • m4-1=(m2+1)(m2-1)=(m2+1)(m+1)(m-1)=(m2+1)(m2-1)
填空 (1).(a+ )2=a2+6a+ 。 。 (2).(2x(4).(x-y)2+ )2=4x2=(x+y)2 +25
(3).a2+b2=(a-b)2+
想一想 下列计算是否正确？如不正确，应
如何改正？
(1)
(2)
(-x+6)(-x-6) = -x - 6
2
(-x-1)(x+1) = -x- 1
(2)an+2.an+1.an.a2 (5)-p.(-p)4
(4)(xy3n)2+(xy6)n
(6)(b+2)2(b+2)5(b+2)
(7)(a-2b)3(b-2a)4
(8)(-a2.(-a4b3)2)3
(9)(x-2y)2(y-2x)3
注意：通过以上练习可知，公式中的 a既可以是一个数也可以是一个字母， 也可以是一个代数式。
＋
) (
－
)……②
a2 － b2 ＝(a ＋ b ) ( a － b )
平方差公式的应用题： 1、利用分解因式简便计算
(1) 652-642
解:652-642 =(65+64)(65-64) =129×1 =129
人教版八年级数学上册 第14章 整式的乘法与因式分解 相关知识点
整式的乘法与因式分解相关知识点1、 同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=.（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
如：532)().()(b a b a b a +=++2、 幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
如：10253)3(=-幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a )()(==如：23326)4()4(4==3、 积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。
如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=∙∙∙-4、 同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m 同底数幂相除，底数不变，指数相减。
如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷5、 零指数和负指数；10=a （a ≠0），即任何不等于零的数的零次方等于1。
6、 单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
注意：①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。
②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。
③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
如：=∙-xy z y x 3232z y x 436-7、 单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式)注意：①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
最新人教版八年级数学上册第14章《整式的乘除与因式分解》全章教案及含反思
第十四章整式的乘法与因式分解14．1整式的乘法14．1.1同底数幂的乘法1．理解同底数幂的乘法法则．2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题．重点正确理解同底数幂的乘法法则．难点正确理解和应用同底数幂的乘法法则．一、提出问题，创设情境复习a n的意义：a n表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂；a叫做底数，n是指数．(出示投影片)提出问题：(出示投影片)问题：一种电子计算机每秒可进行1千万亿(1015)次运算，它工作103秒可进行多少次运算？[师]能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？[生]运算次数＝运算速度×工作时间，所以计算机工作103秒可进行的运算次数为：1015×103.[师]1015×103如何计算呢？[生]根据乘方的意义可知1015×103＝(10×10×…×10)15个10×(10×10×10)＝(10×10×…×10)18个10＝1018.[师]很好，通过观察大家可以发现1015、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1015，103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算——同底数幂的乘法．二、探究新知1．做一做(出示投影片)计算下列各式：(1)25×22；(2)a3·a2；(3)5m·5n.(m，n都是正整数)你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述．[师]根据乘方的意义，同学们可以独立解决上述问题．[生](1)25×22＝(2×2×2×2×2)×(2×2)＝27＝25＋2.因为25表示5个2相乘，22表示2个2相乘，根据乘方的意义，同样道理可得a3·a2＝(a·a·a)(a·a)＝a5＝a3＋2.5m·5n＝(5×5·…·5),\s\do4(m个5))×(5×5·…·5),\s\do4(n个5))＝5m＋n.[生]我们可以发现下列规律：a m·a n等于什么(m，n都是正整数)？为什么？(1)这三个式子都是底数相同的幂相乘；(2)相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．2．议一议(出示投影片)[师生共析]a m·a n表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得：a m·a n＝(a×a·…·a)m个a·(a×a·…·a)n个a＝a·a·…·a(m＋n)个a＝a m＋n于是有a m·a n＝a m＋n(m，n都是正整数)，用语言来描述此法则即为：“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．[师]请同学们用自己的语言解释“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的道理，深刻理解同底数幂的乘法法则．[生]a m表示m个a相乘，a n表示n个a相乘，a m·a n表示m个a 相乘再乘以n个a相乘，也就是说有(m＋n)个a相乘，根据乘方的意义可得a m·a n＝a m＋n.[师]也就是说同底数幂相乘，底数不变，指数要降一级运算，变为相加．3．例题讲解出示投影片[例1]计算：(1)x2·x5; (2)a·a6；(3)2×24×23; (4)x m·x3m＋1.[例2]计算a m·a n·a p后，能找到什么规律？[师]我们先来看例1，是不是可以用同底数幂的乘法法则呢？[生1](1)，(2)，(4)可以直接用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则．[生2](3)也可以，先算两个同底数幂相乘，将其结果再与第三个幂相乘，仍是同底数幂相乘，再用法则运算就可以了．[师]同学们分析得很好．请自己做一遍．每组出一名同学板演，看谁算得又准又快．生板演：(1)解：x2·x5＝x2＋5＝x7；(2)解：a·a6＝a1·a6＝a1＋6＝a7；(3)解：2×24×23＝21＋4·23＝25·23＝25＋3＝28；(4)解：x m·x3m＋1＝x m＋(3m＋1)＝x4m＋1.[师]接下来我们来看例2.受(3)的启发，能自己解决吗？与同伴交流一下解题方法．解法一：a m·a n·a p＝(a m·a n)·a p＝a m＋n·a p＝a m＋n＋p；解法二：：a m·a n·a p＝a m·(a n·a p)＝a m·a n＋p＝a m＋n＋p；解法三：a m·a n·a p＝(a·a…a)m个a·(a·a…a)n个a·(a·a…a)p 个a＝a m＋n＋p归纳：解法一与解法二都直接应用了运算法则，同时还运用了乘法的结合律；解法三是直接应用乘方的意义．三种解法得出了同一结果．我们需要这种开拓思维的创新精神．[生]那我们就可以推断，不管是多少个幂相乘，只要是同底数幂相乘，就一定是底数不变，指数相加．[师]是的，能不能用符号表示出来呢？[生]am1·am2·am3·…am n＝am1＋m2＋m3＋…m n.[师]鼓励学生．那么例1中的第(3)题我们就可以直接应用法则运算了．2×24×23＝21＋4＋3＝28.三、随堂练习1．m14可以写成()A．m7＋m7B．m7·m7C．m2·m7D．m·m142．若x m＝2，x n＝5，则x m＋n的值为()A．7 B．10 C．25D．523．计算：－22×(－2)2＝________；(－x)(－x2)(－x3)(－x4)＝________．4．计算：(1)(－3)2×(－3)5；(2)106·105·10；(3)x2·(－x)5；(4)(a＋b)2·(a＋b)6.四、课堂小结[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？[生]在探索同底数幂乘法的性质时，进一步体会了幂的意义，了解了同底数幂乘法的运算性质．[生]同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加．应用这个性质时，我觉得应注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即a m·a n＝a m＋n(m，n是正整数)．五、课后作业教材第96页练习．本课的主要教学任务是“同底数幂乘法的运算性质”：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 在课堂教学时，通过幂的意义引导学生得出这一性质，接着再引导学生深入探讨同底数幂运算，幂的底数可以是“任意有理数、单项式、多项式”，训练学生的整体思想．14．1.2幂的乘方1．知道幂的乘方的意义．2．会进行幂的乘方计算．重点会进行幂的乘方的运算．难点幂的乘方法则的总结及运用．一、复习引入(1)叙述同底数幂乘法法则，并用字母表示：(2)计算：①a2·a5·a n；②a4·a4·a4.二、自主探究1．思考：根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，看看计算结果有什么规律：(1)(32)3＝32×32×32＝3()；(2)(a2)3＝a2·a2·a2＝a()；(3)(a m)3＝a m·a m·a m＝a()．(m是正整数)2．小组讨论对正整数n，你认识(a m)n等于什么？能对你的猜想给出验证过程吗？幂的乘方(a m)n＝a m·a m·a m…a m n个＝am＋m＋m＋…m,\s\up6(n个m))＝a mn字母表示：(a m)n＝a mn(m，n都是正整数)语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘．注意：幂的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆，例如不能把(a5)2的结果错误地写成a7，也不能把a5·a2的计算结果写成a10.三、巩固练习1．下列各式的计算中，正确的是()A．(x3)2＝x5B．(x3)2＝x6C．(x n＋1)2＝x2n＋1D．x3·x2＝x62．计算：(1)(103)5; (2)(a4)4；(3)(a m)2; (4)－(x4)3.四、归纳小结幂的乘方的意义：(a m)n＝a mn.(m，n都是正整数)五、布置作业教材第97页练习．运用类比方法，得到了幂的乘方法则．这样的设计起点低，学生学起来更自然，对新知识更容易接受．类比是一种重要的数学思想方法，值得引起注意．14．1.3积的乘方1．经历探索积的乘方和运算法则的过程，进一步体会幂的意义．2．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题．重点积的乘方运算法则及其应用．难点幂的运算法则的灵活运用．一、问题导入[师]提出的问题：若已知一个正方体的棱长为1.1×103cm，你能计算出它的体积是多少吗？[生]它的体积应是V＝(1.1×103)3cm3.[师]这个结果是幂的乘方形式吗？[生]不是，底数是1.1与103的乘积，虽然103是幂，但总体来看，我认为应是积的乘方才有道理．[师]积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？用前两节课的探究经验，请同学们自己探索，发现其中的奥妙．二、探索新知老师列出自学提纲，引导学生自主探究、讨论、尝试、归纳．(出示投影片)1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a()b()；(2)(ab)3＝________＝________＝a()b()；(3)(ab)n＝________＝________＝a()b()．(n是正整数)2．把你发现的规律先用文字语言表述，再用符号语言表达．3．解决前面提到的正方体体积计算问题．4．积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢？请验证你的想法．5．完成教材第97页例3.学生探究的经过：1．(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a2b2，其中第①步是用乘方的意义；第②步是用乘法的交换律和结合律；第③步是用同底数幂的乘法法则．同样的方法可以算出(2)，(3)题；(2)(ab)3＝(ab)·(ab)·(ab)＝(a·a·a)·(b·b·b)＝a3b3；(3)(ab)n＝(ab)·(ab)·…·(ab)n个ab＝a·a·…·an个a·b·b·…·bn个b＝a n b n.2．积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积．用符号语言叙述便是：(ab)n＝a n·b n.(n是正整数)3．正方体的V＝(1.1×103)3它不是最简形式，根据发现的规律可作如下运算：V＝(1.1×103)3＝1.13×(103)3＝1.13×103×3＝1.13×109＝1.331×109(cm3)．通过上述探究，我们可以发现积的乘方的运算法则：(ab)n＝a n·b n.(n为正整数)积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．再考虑如下问题：(abc)n如何计算？是不是也有类似的规律？3个以上的因式呢？学生讨论后得出结论：三个或三个以上因式的积的乘方也具有这一性质，即(abc)n＝a n·b n·c n.(n为正整数)4．积的乘方法则可以进行逆运算．即a n·b n＝(ab)n.(n为正整数) 分析这个等式：左边是幂的乘积，而且幂指数相同，右边是积的乘方，且指数与左边指数相等，那么可以总结为：同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．看来这也是降级运算了，即将幂的乘积转化为底数的乘法运算．对于a n·b n＝(a·b)n(n为正整数)的证明如下：a n·b n＝(a×a×…×a)n个a(b×b×…×b)n个b——幂的意义＝(ab)(ab)(ab)(ab)…(ab)n个(ab)——乘法交换律、结合律＝(a·b)n——乘方的意义5．[例3](1)(2a)3＝23·a3＝8a3；(2)(－5b)3＝(－5)3·b3＝－125b3；(3)(xy2)2＝x2·(y2)2＝x2·y2×2＝x2·y4＝x2y4；(4)(－2x3)4＝(－2)4·(x3)4＝16·x3×4＝16x12.(学生活动时，老师深入到学生中，发现问题，及时启发引导，使各个层面的学生都能学有所获)[师]通过自己的努力，发现了积的乘方的运算法则，并能做简单的应用．可以作如下归纳总结：(1)积的乘方法则：积的乘方等于每一个因式乘方的积．即(ab)n＝a n·b n.(n为正整数)(2)三个或三个以上的因式的积的乘方也是具有这一性质．如(abc)n＝a n·b n·c n；(n为正整数)(3)积的乘方法则也可以逆用．即a n·b n＝(ab)n，a n·b n·c n＝(abc)n.(n 为正整数)三、随堂练习1．教材第98页练习．(由学生板演或口答)四、课堂小结(1)通过本节课的学习，你有什么新的体会和收获？(2)在应用积的运算性质计算时，你觉得应该注意哪些问题？五、布置作业(1)(－2xy)3；(2)(5x3y)2；(3)[(x＋y)2]3；(4)(0.5am3n4)2.本节课属于典型的公式法则课，从实际问题猜想——主动推导探究——理解公式——应用公式——公式拓展，整堂课体现以学生为本的思想。
(部编)人教数学八年级上册《第十四章 整式的乘法与因式分解 小结 构建知识体系》教案_9
因式分解-导学案
学习目标：
1.了解因式分解的概念
2.掌握提公因式法、使用公式法来分解因式
学习重点：熟练使用三种方法来实行因式分解
教学过程：
一、引入
求代数式的值：
若,则代数式的值为？
二、活动过程-闯关训练
第一关---基础关
1.判断下列各式哪些属于因式分解？
2.因式分解
第二关---综合关（链接中考）
(2014泉州) (2016长沙)
(2017长沙) 3x4-3(2016内江)
第三关---拓展关
22=0,试判断此已知三角形三条边长分别为a,b,c,且满足bc
+
-2
-
a+
ac
b
ab
三角形的形状？
三、课堂小结
本堂课你有什么收获？
四、课堂检测
1、下列各式中，能用完全平方公式实行因式分解的是（）
A B
C D
2、多项式与公因式是。
3、分解因式：。
4、解方程：
5、已知，，
（1）求的值。
（2）求的值。
（3）求的值。
人教八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解易错知识点总结
(名师选题)人教八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解易错知识点总结单选题1、若(x−3)(x+5)=x2+px+q，则p的值为（）A．2B．﹣2C．8D．﹣15答案：A分析：根据多项式与多项式相乘的法则计算即可．解：(x−3)(x+5)=x2+5x−3x−15=x2+2x−15，∵(x−3)(x+5)=x2+px+q，∴p=2．故选：A小提示：本题考查的是多项式与多项式相乘的法则，熟练掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加是解题的关键．2、已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc=b2+ac，则△ABC是( )A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形答案：C分析：已知等式左边分解因式后，利用两因式相乘积为0则两因式中至少有一个为0，得到a=b，即可确定出三角形形状．已知等式变形得：（a+b）（a－b）－c（a－b）=0，即（a－b）（a+b－c）=0，∵a+b－c≠0，∴a－b=0，即a=b，则△ABC 为等腰三角形．故选C ．小提示：此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．3、已知10a =20，100b =50，则12a +b +32的值是（ ）A ．2B ．52C ．3D ．92答案：C分析：根据同底数幂的乘法10a ⋅100b =103，可求a +2b =3再整体代入即可．解: ∵10a =20，100b =50，∴10a ⋅100b =10a+2b =20×50=1000=103，∴a +2b =3，∴12a +b +32=12(a +2b +3)=12(3+3)=3．故选：C ．小提示：本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法逆运算，代数式求值，掌握幂的乘方，同底数幂的乘法法则，与代数式值求法是解题关键．4、计算（a +3）（﹣a +1）的结果是（ ）A ．﹣a 2﹣2a +3B ．﹣a 2+4a +3C ．﹣a 2+4a ﹣3D ．a 2﹣2a ﹣3答案：A分析：运用多项式乘多项式法则，直接计算即可．解：（a+3）（﹣a+1）＝﹣a 2﹣3a+a+3＝﹣a 2﹣2a+3．故选：A ．小提示：本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．5、下列运算中，正确的是（ ）A．a2·a-3=a-6B．(xy2)2=x2y4C．12a2b3c+ 6ab2= 2ab D．(-m)6÷(-m)3= -m2答案：B分析：依题意，依据幂的混合运算法则化简计算，即可；A选项，a2⋅a−3=a2−3=a−1,a−1≠a−6，故A选项不正确；B选项，(xy2)2=x2(y2)2=x2y4,x2y4=x2y4，故B选项正确；C选项，12a2b3c+6ab2，不满足运算法则，不能化简，故C选项不正确；D选项，(−m)6÷(−m)3=m6÷(−m)3=−m3,−m3≠−m2，故D选项不正确；故选：B小提示：本题考查幂的相关运算，关键在熟练应用加减乘除运算的基本法则；6、在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A．(a+b)2=a2+2ab+b2B．(a−b)2=a2−2ab+b2C．a2−b2=(a+b)(a−b)D．(a+2b)(a−b)=a2+ab−2b2答案：C分析：图甲中根据阴影部分面积等于大正方形减去小正方的面积，图乙中直接求长方形的面积即可，根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可求解．解：图甲阴影部分的面积为a2−b2，图乙中阴影部分的面积等于(a+b)(a−b)∵两个图形中阴影部分的面积相等，∴a2−b2=(a+b)(a−b)故选C．小提示：本题考查了平方差公式与图形面积，正确的求出阴影部分面积是解题的关键．7、已知x+y=﹣4，xy=2，则x2+y2的值（）A．10B．11C．12D．13答案：C分析：先根据完全平方公式进行变形，再整体代入求出即可．解：∵x+y=-4，xy=2，∴x2+y2=（x+y）2-2xy=（-4）2-2×2=12，故选C．小提示：本题考查对完全平方公式的应用，解题关键是能正确根据公式进行变形．8、从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米（a>6）的正方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（）A．没有变化B．变大了C．变小了D．无法确定答案：C分析：分别求出2次的面积，比较大小即可．原来的土地面积为a2平方米，第二年的面积为(a+6)(a−6)=a2−36∵(a2−36)−a2=−36<0∴所以面积变小了，故选C．小提示：本题考查了列代数式，整式的运算，平方差公式，代数式大小的比较，正确理解题意列出代数式并计算是解题的关键．9、按如图所示的运算程序，若输入a＝1，b＝﹣2，则输出结果为（）A．﹣3B．1C．5D．9答案：C分析：根据新定义的要求进行整式混合运算，代入数值进行实数四则运算．解：∵输入a＝1，b＝﹣2，a＞b，即走“否”的路径，∴a2+b2=12+(−2)2=5，输出结果为5，故选：C．小提示：本题考查了整式运算、实数运算的新定义，关键是要读懂题意，能正确代入数据求解．10、下列四个式子从左到右的变形是因式分解的为（）A．(x−y)(−x−y)=y2−x2B．12a2b3＝2a2⋅6b3C．x4−81y4＝(x2+9y2)(x+3y)(x−3y)D．(a2+2a)2−8(a2+2a)+12＝(a2+2a)(a2+2a−8)+12答案：C分析：根据因式分解的定义，即可求解．解：AD.等号右边都不是积的形式，所以不是因式分解，故AD不符合题意；B.左边不是多项式，所以不是因式分解，故B不符合题意；C.符合因式分解的定义，故C符合题意；故选：C．小提示：本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解是把一个多项式变形为几个整式乘积的形式的过程是解题的关键．填空题11、若x=16，y=18，则代数式（2x+3y ）2-（2x-3y ）2的值是__________． 答案：12分析：根据平方差公式将原分式分解，转化为因式的积形式，再把x 、y 代入求值.原式=（2x+3y-2x+3y ）(2x+3y+2x-3y)=6y×4x=24xy ，代入x 、y 值，计算出得 12 .小提示：本题考查了学生简便方法的应用，用平方差公式将代数式先化简再代值计算是解决此题的关键.12、因式分解：a 2(a −b)−4(a −b)＝___.答案：(a −b )(a +2)(a −2)分析：先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可．详解：a 2（a-b ）-4（a-b ）=（a-b ）（a 2-4）=（a-b ）（a-2）（a+2），故答案为（a-b ）（a-2）（a+2）．点睛：本题考查的是因式分解，掌握提公因式法、平方差公式进行因式分解是解题的关键．13、计算：(2+3x)(−2+3x)=__________．答案：9x 2−4##−4+9x 2分析：原式利用平方差公式化简即可．(2+3x)(−2+3x)=9x 2−4．所以答案是：9x 2−4．小提示：本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．解答题14、计算：(1)x 2•x 4＋（﹣x 2）3(2)（m ﹣1）（m 2＋m ＋1）．答案：(1)0(2)m3﹣1分析：（1）先计算同底数幂的乘法和幂的乘方，然后合并同类项即可；（2）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可．（1）解：原式＝x6﹣x6＝0．（2）原式＝m3+m2+m﹣m2﹣m﹣1＝m3﹣1．小提示：本题主要考查整式的混合运算，掌握整式的混合运算相关法则是解题的关键．15、如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的矩形．（1）用含m或n的代数式表示拼成矩形的周长；（2）m=7，n=4，求拼成矩形的面积．答案：（1）矩形的周长为4m；（2）矩形的面积为33．分析：（1）根据题意和矩形的周长公式列出代数式解答即可．（2）根据题意列出矩形的面积，然后把m=7，n=4代入进行计算即可求得.（1）矩形的长为：m﹣n，矩形的宽为：m+n，矩形的周长为：2[(m-n)+(m+n)]=4m；（2）矩形的面积为S=（m+n）（m﹣n）=m2-n2，当m=7，n=4时，S=72-42=33．小提示：本题考查了矩形的周长与面积、列代数式问题、平方差公式等，解题的关键是根据题意和矩形的性质列出代数式解答．。