函数曲线的凹凸性
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《函数曲线的凹凸性》课件
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CONTENTS 目录
• 引言 • 函数曲线的凹凸性判定 • 函数曲线的凹凸性性质 • 函数曲线的凹凸性与导数的关系 • 函数曲线的凹凸性与几何意义 • 总结与展望
CHAPTER 01
引言
凹凸性的定义
凹函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(frac{x_1+x_2}{2}) geq frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在区间$I$上是凹函数。
函数曲线的凹凸性可能会随着自变量x 的变化而发生变化。
凸函数曲线
表示函数图像呈上凸的几何形状，即 任意两点之间的连线位于曲线上方。
几何形状的凹凸性实例
下凹函数曲线
$f(x) = x^2$，$f(x) = sin x$
上凸函数曲线
$f(x) = log x$，$f(x) = e^x$
几何形状的凹凸性与生活中的应用
02
二次函数是典型的凹函数和凸函数，其图像为抛物 线。
03
指数函数和幂函数在其定义域内是凹函数，对数函 数在其定义域内是凸函数。
CHAPTER 04
函数曲线的凹凸性与导数的关系
导数与凹凸性的关系
01
导数大于0的区间内，函数曲线为 凹；
02
导数小于0的区间内，函数曲线为 凸。
导数在判断凹凸性中的应用
凸函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(frac{x_1+x_2}{2}) leq frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。
CONTENTS 目录
• 引言 • 函数曲线的凹凸性判定 • 函数曲线的凹凸性性质 • 函数曲线的凹凸性与导数的关系 • 函数曲线的凹凸性与几何意义 • 总结与展望
CHAPTER 01
引言
凹凸性的定义
凹函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(frac{x_1+x_2}{2}) geq frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在区间$I$上是凹函数。
函数曲线的凹凸性可能会随着自变量x 的变化而发生变化。
凸函数曲线
表示函数图像呈上凸的几何形状，即 任意两点之间的连线位于曲线上方。
几何形状的凹凸性实例
下凹函数曲线
$f(x) = x^2$，$f(x) = sin x$
上凸函数曲线
$f(x) = log x$，$f(x) = e^x$
几何形状的凹凸性与生活中的应用
02
二次函数是典型的凹函数和凸函数，其图像为抛物 线。
03
指数函数和幂函数在其定义域内是凹函数，对数函 数在其定义域内是凸函数。
CHAPTER 04
函数曲线的凹凸性与导数的关系
导数与凹凸性的关系
01
导数大于0的区间内，函数曲线为 凹；
02
导数小于0的区间内，函数曲线为 凸。
导数在判断凹凸性中的应用
凸函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(frac{x_1+x_2}{2}) leq frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。
第四、六节 曲线凹凸性及函数图形描绘
x→x0 x→x0 x→x0
x 则 = x0是 数 = f ( x)的 条 直 近 . 函 y 一 垂 渐 线
y C o x y o
x0
x
曲 例1 求 线 y =
1 的 平 近 . 水 渐 线 x −1
y
2 1 -2 -1 -1 -2
y = ( x −1)
−1
1 解 Qlim =0 x→ x −1 ∞
1 一条水平渐近线 ∴ y = 0 是y = x −1
1 曲 的 垂 近 . 铅 渐 线 例2 求 线 y = x −1
O 1
2
x
1 1 解 Qlim = −∞, lim = +∞, − + x→ x −1 1 x→ x −1 1
∴x =1 y = f (x)的 条 垂 近 . 为 一 铅 渐 线
利用导数工具描绘函数的图形，称为分析法作图. 利用导数工具描绘函数的图形，称为分析法作图. 分析法作图
[ (2) f ′′( x) < 0, 则 ( x)在a,b]上的图形是凸的 f .
例1 判断函数 y = ln x的凹凸性 . 解 y 的定义域为 (0,+∞ )
1 Q y′ = x
y ′′ = − 1 x2
∴ 在(0， ∞ )内，有 y′′ < 0 +
例2 判断 y = x 3 的凹凸性 . 解
2 y ′′ = 36 x − 24 x = 36 x x − 令 y′′ = 0 3 列表
x2 =
2 3
x y" y
(−∞,0)
0 0
1(拐点)
2 , 0 3
+
－
0
11 (拐 ) 点 27
x 则 = x0是 数 = f ( x)的 条 直 近 . 函 y 一 垂 渐 线
y C o x y o
x0
x
曲 例1 求 线 y =
1 的 平 近 . 水 渐 线 x −1
y
2 1 -2 -1 -1 -2
y = ( x −1)
−1
1 解 Qlim =0 x→ x −1 ∞
1 一条水平渐近线 ∴ y = 0 是y = x −1
1 曲 的 垂 近 . 铅 渐 线 例2 求 线 y = x −1
O 1
2
x
1 1 解 Qlim = −∞, lim = +∞, − + x→ x −1 1 x→ x −1 1
∴x =1 y = f (x)的 条 垂 近 . 为 一 铅 渐 线
利用导数工具描绘函数的图形，称为分析法作图. 利用导数工具描绘函数的图形，称为分析法作图. 分析法作图
[ (2) f ′′( x) < 0, 则 ( x)在a,b]上的图形是凸的 f .
例1 判断函数 y = ln x的凹凸性 . 解 y 的定义域为 (0,+∞ )
1 Q y′ = x
y ′′ = − 1 x2
∴ 在(0， ∞ )内，有 y′′ < 0 +
例2 判断 y = x 3 的凹凸性 . 解
2 y ′′ = 36 x − 24 x = 36 x x − 令 y′′ = 0 3 列表
x2 =
2 3
x y" y
(−∞,0)
0 0
1(拐点)
2 , 0 3
+
－
0
11 (拐 ) 点 27
函数的凹凸性与拐点
xfln (x x) y f ln ( yy ) (x x y )y x y 即 f( ln( ) ) 2 2 22 2
得证.
15
不等式证明的方法：
1、拉格朗日中定理；
2、函数的单调性、极值； 3、函数的凹凸性；
16
作业：
P 3 134
17
爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”
得证.
15
不等式证明的方法：
1、拉格朗日中定理；
2、函数的单调性、极值； 3、函数的凹凸性；
16
作业：
P 3 134
17
爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”
函数的性质曲线的凹凸性与分析作图法
2 (2,3)
3 (3,)
y
-
不存在
+
0
-
y f (x)
拐点
(2, 20 )
9
拐点
(3, 4)
结论：(,2],[3,)是曲线的凸区间,[2,3]是
曲线的凹区间； 拐点为 (2, 20), (3,4).
9
例 求曲线 y x 4 的凹凸区间和拐点
（学生练习）
例 求曲线 y earctanx的凹凸区间和拐点
y 1 x
P
x
O
点P 沿着曲线无限地远离原点时,
点P与一条定直线C 的距离趋于零, 则称直线C为曲线L的渐近线.当C 垂直于x 轴时,
称C为曲线 L的垂直渐近线；当C 垂直于y 轴时,
称C为曲线 L的水平渐近线.
y ex
ytanx
说明:
(1)直线 y y 0 是曲线 y f (x) 的水平渐近线
x0
2.曲线凹凸的判别
y=f(x)
X
观察图形中切线的斜率变化情况.
f (x) 0Y
在图1中,
Y
f (x) 0
当 x1 x2 时,
O 1 2
X
tan1tan2, 图1
2 1
X
O
图2
即 f ( x ) 是单调增加的;
在图2中,当 x1 x2 时,tan1tan2,
即 f ( x ) 是单调减少的.
三、函数的分析作图法
例 作 y 1 x 3 x 的图象 3
解(1)定义域 x(,), 并 且 图 象 关 于 原 点 对 称 .
(2) y x2 1, 得驻点 x11,x21.
y 2x, 令 y 0 得 x 0.
函数曲线的凹凸性与拐点
(2) 令 f ( x ) 0 ,得 x 1 0 ,x 2 2 (3) 列表考察函数的凹凸区间及拐点:
x f"(x) f (x)
(-∞,0) ＋ 凹
0 (0,2) 2
(2, +∞)
0
－
0
＋
拐点 (０，–５)
凸
拐点 （2，–17）
凹
-
， 例3 已( 1 ,知 3 )为 y a 点 3 x b2 的 x 求 拐 a 和 b 的 点值
-
在我们不知道曲线形状的时候,用曲线凹凸性的定义判断曲线的凹凸 性显然是不可能的,如何方便地判断曲线的凹凸性呢?
2.曲线凹凸性的判定
y
yf(x) B
A
上图可见：
oa
bx
凹曲线 切线斜率k↗ f (x)单增f(x)0
-
yf(x)
y
B
A oa
bx
上图可见：
凸曲线 切线斜率k↘ f (x)单减f(x)0
凹凸区间
凹凸区间分界点（拐点）
怎样判断曲线的拐点呢？
-
前已述及:
凹曲线 切线斜率k↗ f (x)单增f(x)0 凸曲线 切线斜率k↘ f (x)单减f(x)0
所以: 拐点
凹凸性分界点
f (x)单调性分界点
f(x)0的点f或 (x)不存在的
立一 不但 定反 成向
例如 f(x)x4
4
例如 f (x)x3
第四节 导数的应用
§2.4.3 曲线的凹凸性与拐点
-
一、曲线的凹凸性与拐点
观察下列两图的特点：
yf(x)
y
B
A
y
yf(x)
A
B
o
x f"(x) f (x)
(-∞,0) ＋ 凹
0 (0,2) 2
(2, +∞)
0
－
0
＋
拐点 (０，–５)
凸
拐点 （2，–17）
凹
-
， 例3 已( 1 ,知 3 )为 y a 点 3 x b2 的 x 求 拐 a 和 b 的 点值
-
在我们不知道曲线形状的时候,用曲线凹凸性的定义判断曲线的凹凸 性显然是不可能的,如何方便地判断曲线的凹凸性呢?
2.曲线凹凸性的判定
y
yf(x) B
A
上图可见：
oa
bx
凹曲线 切线斜率k↗ f (x)单增f(x)0
-
yf(x)
y
B
A oa
bx
上图可见：
凸曲线 切线斜率k↘ f (x)单减f(x)0
凹凸区间
凹凸区间分界点（拐点）
怎样判断曲线的拐点呢？
-
前已述及:
凹曲线 切线斜率k↗ f (x)单增f(x)0 凸曲线 切线斜率k↘ f (x)单减f(x)0
所以: 拐点
凹凸性分界点
f (x)单调性分界点
f(x)0的点f或 (x)不存在的
立一 不但 定反 成向
例如 f(x)x4
4
例如 f (x)x3
第四节 导数的应用
§2.4.3 曲线的凹凸性与拐点
-
一、曲线的凹凸性与拐点
观察下列两图的特点：
yf(x)
y
B
A
y
yf(x)
A
B
o
函数曲线的凹向与拐点
下页
拐点 连续曲线yf(x)上上凹弧与下凹弧的分界点称为该曲
线的拐点 •讨论
如何确定曲线yf(x)的拐点？ 如果(x0 f(x0))是拐点且f (x0)0存在问f (x0)？ 如何找可能的拐点？
拐点
下页
拐点 连续曲线yf(x)上上凹弧与下凹弧的分界点称为该曲
例4 求曲线y3x44x31的拐点及凹、凸的区间
解 (1)函数y3x44x31的定义域为( )
(2)
y 12x3 12x2
y36x2
24x 36x(x
2) 3
(3)解方程 y0
得x1 0
x2
2 3
(4)列表判断
x ( 0) f (x) ＋ f (x) ∪
0 (0 2/3) 2/3 (2/3 )
0
－0
＋
1
∩ 11/27 ∪
在区间(0]和[2/3)上曲线是凹的 在区间[02/3]上 曲线是凸的 点(0 1)和(2/3 11/27)是曲线的拐点
下页
•只有f (x0)等于零或不存在(x0 f(x0))才可能是拐点 •如果在x0的左右两侧f (x)异号则(x0 f(x0))是拐点
(2)函数f (x) x2 在区间(1,1•)内
1 x
（A）单调增加
（B）单调减少
（C）有增有减
（D）不增不减
解：选（C）
（3）函数f(x)在点x0处取得极大值，则必有：
（A）f '(x0)=0
（B）f '(x0)<0
（C）f '(x0)=0且f"(x0)<0
（D）f(x0+△x)<f(x0)
拐点 连续曲线yf(x)上上凹弧与下凹弧的分界点称为该曲
线的拐点 •讨论
如何确定曲线yf(x)的拐点？ 如果(x0 f(x0))是拐点且f (x0)0存在问f (x0)？ 如何找可能的拐点？
拐点
下页
拐点 连续曲线yf(x)上上凹弧与下凹弧的分界点称为该曲
例4 求曲线y3x44x31的拐点及凹、凸的区间
解 (1)函数y3x44x31的定义域为( )
(2)
y 12x3 12x2
y36x2
24x 36x(x
2) 3
(3)解方程 y0
得x1 0
x2
2 3
(4)列表判断
x ( 0) f (x) ＋ f (x) ∪
0 (0 2/3) 2/3 (2/3 )
0
－0
＋
1
∩ 11/27 ∪
在区间(0]和[2/3)上曲线是凹的 在区间[02/3]上 曲线是凸的 点(0 1)和(2/3 11/27)是曲线的拐点
下页
•只有f (x0)等于零或不存在(x0 f(x0))才可能是拐点 •如果在x0的左右两侧f (x)异号则(x0 f(x0))是拐点
(2)函数f (x) x2 在区间(1,1•)内
1 x
（A）单调增加
（B）单调减少
（C）有增有减
（D）不增不减
解：选（C）
（3）函数f(x)在点x0处取得极大值，则必有：
（A）f '(x0)=0
（B）f '(x0)<0
（C）f '(x0)=0且f"(x0)<0
（D）f(x0+△x)<f(x0)
曲线的凹凸性及曲率
5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .
第十八页
例3. 描绘
解: 1) 定义域为
的图形.
无对称性及周期性.
2) y x2 2x , y 2x 2,
令 y 0,
令 y 0,
1 1 2 3
3) x (,0) 0 (0,1) 1 (1, 2) 2 (2, )
y
0
0
y
0
y
2
4 3
x 1 3 (极大)
2a
即抛物线的顶点处曲率最大
第二十六页
4、2 曲率圆与曲率半径
设 P 为曲线 C 上任一点 , 在点 y
D
P 处作曲线的切线和法线, 在曲线 的凹向一侧法线上取点 D 使
C
R P1
P
T
DP R 1
o
x
K
R lim s
s0
把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 P 处的
曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心.
(3) 若 ( x0 , f ( x0 )) 是曲线 y f ( x) 的拐点， 且 f ( x) 在 x0 连续，则 f ( x0 ) 0 ，
第七页
求拐点的一般步骤：
①求函数的二阶导数 f (x) ；
②令 f (x) 0，解出全部根，并求出所 有二阶导数不存在的点；
③对步骤②求出的每一个点，检查其左、 右邻近的 f (x) 的符号，如果异号则该点为曲 线的拐点；如果同号则该点不是曲线的拐点．
的；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一 点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是凸
的．
y
y f (x) B
y f (x)
y
第十八页
例3. 描绘
解: 1) 定义域为
的图形.
无对称性及周期性.
2) y x2 2x , y 2x 2,
令 y 0,
令 y 0,
1 1 2 3
3) x (,0) 0 (0,1) 1 (1, 2) 2 (2, )
y
0
0
y
0
y
2
4 3
x 1 3 (极大)
2a
即抛物线的顶点处曲率最大
第二十六页
4、2 曲率圆与曲率半径
设 P 为曲线 C 上任一点 , 在点 y
D
P 处作曲线的切线和法线, 在曲线 的凹向一侧法线上取点 D 使
C
R P1
P
T
DP R 1
o
x
K
R lim s
s0
把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 P 处的
曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心.
(3) 若 ( x0 , f ( x0 )) 是曲线 y f ( x) 的拐点， 且 f ( x) 在 x0 连续，则 f ( x0 ) 0 ，
第七页
求拐点的一般步骤：
①求函数的二阶导数 f (x) ；
②令 f (x) 0，解出全部根，并求出所 有二阶导数不存在的点；
③对步骤②求出的每一个点，检查其左、 右邻近的 f (x) 的符号，如果异号则该点为曲 线的拐点；如果同号则该点不是曲线的拐点．
的；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一 点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是凸
的．
y
y f (x) B
y f (x)
y
导数与函数的凹凸性解析
导数与函数的凹凸性解析在数学中，函数的凹凸性是研究函数曲线的一种重要性质。
凹凸性表征了函数曲线的弯曲程度以及函数在特定区间上的增减性。
导数是研究函数变化率的工具，它与函数的凹凸性存在一定的关系。
本文将探讨导数与函数的凹凸性之间的联系，并解析凹凸性的定义以及凹凸函数的性质。
一、凹凸函数的定义一个定义在区间上的实函数，如果对于该区间上的任意两个点x1和x2，函数上的任意一点(x, f(x))都满足以下不等式：f(tx1+(1-t)x2) ≤ tf(x1) + (1-t)f(x2) (0≤t≤1)则称该函数为凹函数。
当不等式中的≤ 改为≥时，该函数则称为凸函数。
凹凸函数的定义可以通过直观理解进行解释。
对于凹函数来说，任意两个点之间的连线位于函数的图像上方或与之重合。
而对于凸函数来说，连线位于函数的图像下方或与之重合。
凹凸函数的定义可以简化为导数的定义形式，即如果函数的二阶导数大于等于零，则该函数为凹函数；若二阶导数小于等于零，则该函数为凸函数。
这是因为二阶导数表示了函数的变化率的变化率，负二阶导数说明了函数的变化率的变化率是负的，即函数的凹凸性质。
二、导数与凹凸性的关系导数是描述函数变化率的工具，它与函数的凹凸性密切相关。
具体而言，导数可以揭示函数的增长趋势，而函数的凹凸性则反映了函数增长趋势的性质。
在导数的帮助下，我们可以通过以下规则来判断函数的凹凸性：1. 如果函数的一阶导数递增，则函数是凹函数；若一阶导数递减，则函数是凸函数。
2. 如果函数的二阶导数大于零，则函数是凸函数；若二阶导数小于零，则函数是凹函数。
3. 如果函数的二阶导数恒大于零或恒小于零，则函数分别是严格凸函数和严格凹函数。
根据上述规则，我们可以利用导数信息来推断函数的凹凸性质。
导数为零的点或导数不存在的点可能是函数的拐点，即函数的凹凸性发生变化的点。
三、凹凸函数的性质凹凸函数具有一些重要的性质，这些性质在数学分析和实际应用中起着重要的作用。
4.5函数曲线的凹凸性及其判别
例1 判断曲线 y x 3 的凹凸性.
解 y 3 x 2 , y 6 x ,
当x 0时， y 0,
曲线 在( ,0]为凸的；
当x 0时， y 0,
曲线 在[0,)为凹的；
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界 点.
三、曲线的拐点及其求法
x
f ( x )
f ( x)
( ,0)
0 0
拐点
凹的
( 0, 2 ) 3
凸的
2
3 0
( 2 ,) 3
凹的
( 0,1)
拐点 ( 2 , 11 ) 3 27
凹凸区间为( ,0],
[0, 2 ], 3
[ 2 ,). 3
注意: 若 f ( x0 ) 不存在, 点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能
令 y 0 得
x1 1 , x 2 2 3 , x 3 2 3
从而三个拐点为
(1 , 1 ) ; ( 2 3 ,
1 3 1
1 3 84 3
) ; ( 2 3 ,
1
1 3 84 3
)
1 3
1 因为 8 4 3 , ( 2 3) 1 4
4.5函数曲线的凹凸性及其判别
曲线凹凸的定义
曲线的凹凸的判定
曲线的拐点及其求法
一、曲线的凹凸的定义
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
y
y f ( x)
y
y f ( x)
o
x1
x2
x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段 位于所张弦的下方
图形上任意弧段 位于所张弦的上方
函数的单调性与凸凹性
函数的单调性与凸凹性函数在数学中扮演着重要的角色，而其中的单调性与凸凹性则是研究函数性质的重要方面。
本文将为你详细介绍函数的单调性与凸凹性，并探讨它们在数学和实际问题中的应用。
一、函数的单调性在数学中，函数的单调性指的是函数随着自变量的增大或减小而产生的变化趋势。
具体而言，单调性可以分为“单调递增”和“单调递减”两种情况。
1. 单调递增当函数的自变量增大时，函数的取值也相应增大，这种情况下函数被称为单调递增函数。
在数学语言中，假设有函数f(x)，当对于任意的x1和x2 (x1 < x2)，都有f(x1) ≤ f(x2)，则函数f(x)是单调递增函数。
例如，考虑函数f(x) = x^2，我们可以看到当x1 < x2时，f(x1) =x1^2 < x2^2 = f(x2)，所以f(x) = x^2是一个单调递增函数。
2. 单调递减与单调递增相反，单调递减函数在自变量增大时，函数的取值反而减小。
同样地，对于任意的x1和x2 (x1 < x2)，函数f(x)是单调递减函数，当且仅当f(x1) ≥ f(x2)。
例如，考虑函数f(x) = 2/x，当x1 < x2时，f(x1) = 2/x1 > 2/x2 =f(x2)，因此f(x) = 2/x是一个单调递减函数。
函数的单调性在数学和实际问题中都有重要的应用。
它们可以帮助我们研究函数的性质，求解方程、优化问题等。
二、函数的凸凹性函数的凸凹性也是函数性质的重要方面，它揭示了函数曲线的弯曲程度。
具体而言，凸函数与凹函数是最常见的两种情况。
1. 凸函数在数学中，如果对于函数f(x)上的任意两个点(x1, f(x1))和(x2, f(x2))，连接这两点的线段在曲线上方，那么函数f(x)被称为凸函数。
以函数f(x) = x^2为例，对于任意的x1和x2，当x1 ≠ x2时，(x1,f(x1))和(x2, f(x2))之间的线段都在曲线y = x^2的上方，因此f(x) = x^2是一个凸函数。
函数曲线的凹凸性
问：此[函 1/5数 , 在 )上是凹的？
例7 确定 f(x)(x1)3 x2 的单调.区间
解 Df ( , ).
f(x)5x2 的零点2为 ，不存在的点0。 为
3下：
x (- ,0) 0 (0,2/5) 2/5 (2/5,+ )
f + 不 存 在 - 0 +
注：利用凹凸性也可以证明一些不等式。
例2 试证 对 x ： 0、 y0， xy及 1， 有
1(xy)(xy).
2
2
解 令f(t)t , 则 f(t) ( 1 )t 2,
在 t 0 时f有 (t) 0,在t0时f是凹 。的
对 x 、 y ( 0 ),且 x y ,有
1(f(x)f(y) )f(xy),
偶函数, 图形关于y轴对称.
(x)
x
解 定义域 ( 为 , ).
y
2(95xx4/31),
零点为1, 5
不存在的0点 . 列为 表：
x ( , 1) 1 ( 1 , 0)
55
5
0
(0, )
f(x) 0
不存在
f (x)
拐点
非拐点
此 函( 数 , 1 在 /5]上 是 凸[1 的 /5,0、 ]及在 [0,)上 是 凹 的 1/， 5。 （ 曲 拐线 y点 y(x 为 ) )
令y0,
得x1
0,
x2
2. 3
3
x (,0)
0
(0, 2 3)
2 3
(23,)
f(x) 0
0
f (x) 凹的
拐点 (0,1)
凸的
拐点 (23,1127)
凹的
凹凸 (,0 区 ] ,[0 ,2 3 间 ],[2 3 为 ,) .
例7 确定 f(x)(x1)3 x2 的单调.区间
解 Df ( , ).
f(x)5x2 的零点2为 ，不存在的点0。 为
3下：
x (- ,0) 0 (0,2/5) 2/5 (2/5,+ )
f + 不 存 在 - 0 +
注：利用凹凸性也可以证明一些不等式。
例2 试证 对 x ： 0、 y0， xy及 1， 有
1(xy)(xy).
2
2
解 令f(t)t , 则 f(t) ( 1 )t 2,
在 t 0 时f有 (t) 0,在t0时f是凹 。的
对 x 、 y ( 0 ),且 x y ,有
1(f(x)f(y) )f(xy),
偶函数, 图形关于y轴对称.
(x)
x
解 定义域 ( 为 , ).
y
2(95xx4/31),
零点为1, 5
不存在的0点 . 列为 表：
x ( , 1) 1 ( 1 , 0)
55
5
0
(0, )
f(x) 0
不存在
f (x)
拐点
非拐点
此 函( 数 , 1 在 /5]上 是 凸[1 的 /5,0、 ]及在 [0,)上 是 凹 的 1/， 5。 （ 曲 拐线 y点 y(x 为 ) )
令y0,
得x1
0,
x2
2. 3
3
x (,0)
0
(0, 2 3)
2 3
(23,)
f(x) 0
0
f (x) 凹的
拐点 (0,1)
凸的
拐点 (23,1127)
凹的
凹凸 (,0 区 ] ,[0 ,2 3 间 ],[2 3 为 ,) .
微积分4.4曲线的凹凸性、拐点与渐近线
点和阶导数不存在的点; (3) 用(2)中求出的点将函数定义域分成若干个部分区间,
在各个部分区间内讨论二阶导数的符号, 确定曲线是否存在 拐点, 若在拐点, 求出拐点.
例2 判断曲线 y(x1)3 x5 的凸性, 并求其拐点. 解 定 义 域 为 (- ,)
15
而 y 8x5 3 5x2 3, y 10 4 x 1
x -
x
其 中 a 和 b 为 常 数 ,且 a 0 ,则称直线 y = ax + b为曲线
y =ƒ(x) 的斜渐近线. (如图)
y
αM˘•
•
Q
y=ƒ(x)
•
L:y=ax+b
o »α
x
22
分析: 如果曲线 y =ƒ(x)有斜渐近线 y = ax + b, 则由定义知,
必有
lim[f(x)ax]b 或lim [f(x)ax]b
f (x0) 0 或 f ( x0 )不存在.
但是, 若f (x0) 0或 f ( x0 )不存在时, 曲线 y f (x)
上的点 (x0, f (x0))不一定是拐点, 还必须用下面的定理判断.
13
定理4.4.3 (拐点存在的充分条件) 设函数 y = ƒ(x)在 x0 的某邻域内二阶可导 (f(x0)可 以 不 存 在 ),且f(x0)0 或 f(x0)不 存 在 ,
从而, 当 f ( x ) 存在时, 则可用二阶导数的符号来判别
曲线的凹凸性.
6
定理4.4.1 设函数 y = ƒ(x)在 I 内有二阶导数, 则
(1 ) x (a ,b ),均 有 f(x ) 0 , yf(x )在 (a ,b )上 是 凹 的 ；
(2 ) x (a ,b ),均 有 f(x ) 0 , yf(x )在 (a ,b )上 是 凸 的 .
在各个部分区间内讨论二阶导数的符号, 确定曲线是否存在 拐点, 若在拐点, 求出拐点.
例2 判断曲线 y(x1)3 x5 的凸性, 并求其拐点. 解 定 义 域 为 (- ,)
15
而 y 8x5 3 5x2 3, y 10 4 x 1
x -
x
其 中 a 和 b 为 常 数 ,且 a 0 ,则称直线 y = ax + b为曲线
y =ƒ(x) 的斜渐近线. (如图)
y
αM˘•
•
Q
y=ƒ(x)
•
L:y=ax+b
o »α
x
22
分析: 如果曲线 y =ƒ(x)有斜渐近线 y = ax + b, 则由定义知,
必有
lim[f(x)ax]b 或lim [f(x)ax]b
f (x0) 0 或 f ( x0 )不存在.
但是, 若f (x0) 0或 f ( x0 )不存在时, 曲线 y f (x)
上的点 (x0, f (x0))不一定是拐点, 还必须用下面的定理判断.
13
定理4.4.3 (拐点存在的充分条件) 设函数 y = ƒ(x)在 x0 的某邻域内二阶可导 (f(x0)可 以 不 存 在 ),且f(x0)0 或 f(x0)不 存 在 ,
从而, 当 f ( x ) 存在时, 则可用二阶导数的符号来判别
曲线的凹凸性.
6
定理4.4.1 设函数 y = ƒ(x)在 I 内有二阶导数, 则
(1 ) x (a ,b ),均 有 f(x ) 0 , yf(x )在 (a ,b )上 是 凹 的 ；
(2 ) x (a ,b ),均 有 f(x ) 0 , yf(x )在 (a ,b )上 是 凸 的 .
函数曲线的凹凸性
解：函数的定义域为（ − ∞， ∞），由 函数的定义域为（ + ），由
y ′ = − 2 xe
y′′ = 2e
− x2
− x2
及 y ′ = 0 , 得驻点 x1 = 0;
1 0.8 0.6 0.4 0.2
( 2 x − 1), 及y′′ = 0, 得x 2 , 3
2
2 =± 2
-2
-1
1
2
x
f ′( x )
定义
设 (x)在 间 I 上 续 如 对I 上 意 区 连 , 果 任 两 f
x1 + x2 f (x1) + f (x2 ) 点x1, x2 , 恒 f ( 有 )< , 2 2 那 称 f (x) 在I 上 图 是 凹 （ 凹 ） 末 的 形 上 的 或 弧 ; x1 + x2 f (x1) + f (x2 ) 如果恒有 f ( )> , 2 2 那 称 f (x) 在I 上 图 是 凸 （ 凸 ） 末 的 形 上 的 或 弧．
f ′′( x )
−
∩
5
5
5
0
拐点
+
不存在
+
∪
f ( x)
∪
非拐点
上是凸的、 ∴ 此函数在 ( −∞ , − 1 / 5 ] 上是凸的、在 [ − 1 / 5 , 0] 及 [ 0, + ∞ ) 上是凹的，拐点为 − 1 / 5。 曲线 y = y ( x )⋯) 上是凹的， （
[ 上是凹的？ 问：此函数在 −1/ 5, + ∞) 上是凹的？
例1 判断曲线 y = x 3 的凹凸性 . 解 ∵ y′ = 3 x 2 , y′′ = 6x ,
y ′ = − 2 xe
y′′ = 2e
− x2
− x2
及 y ′ = 0 , 得驻点 x1 = 0;
1 0.8 0.6 0.4 0.2
( 2 x − 1), 及y′′ = 0, 得x 2 , 3
2
2 =± 2
-2
-1
1
2
x
f ′( x )
定义
设 (x)在 间 I 上 续 如 对I 上 意 区 连 , 果 任 两 f
x1 + x2 f (x1) + f (x2 ) 点x1, x2 , 恒 f ( 有 )< , 2 2 那 称 f (x) 在I 上 图 是 凹 （ 凹 ） 末 的 形 上 的 或 弧 ; x1 + x2 f (x1) + f (x2 ) 如果恒有 f ( )> , 2 2 那 称 f (x) 在I 上 图 是 凸 （ 凸 ） 末 的 形 上 的 或 弧．
f ′′( x )
−
∩
5
5
5
0
拐点
+
不存在
+
∪
f ( x)
∪
非拐点
上是凸的、 ∴ 此函数在 ( −∞ , − 1 / 5 ] 上是凸的、在 [ − 1 / 5 , 0] 及 [ 0, + ∞ ) 上是凹的，拐点为 − 1 / 5。 曲线 y = y ( x )⋯) 上是凹的， （
[ 上是凹的？ 问：此函数在 −1/ 5, + ∞) 上是凹的？
例1 判断曲线 y = x 3 的凹凸性 . 解 ∵ y′ = 3 x 2 , y′′ = 6x ,
函数的单调性与曲线的凹凸性
高等数学（上）
第三章 微分中值定理与导数的应用
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
证
x1,x2I,
记
x
0
x1x2 2
,利用一阶泰勒公式将
f ( x ) 在点 x 0 展开 f(x ) f(x 0 ) f(x 0 )(x x 0 ) f2 (!)(x x 0 )2
分别取 x x1, x2 可得
由拉格朗日中值定理得
f ( x 2 ) f ( x 1 ) f ( ) x 2 ( x 1 ) 0
(x1,x2)I
故 f(x 1)f(x2).这说明 f (x) 在 I 内单调递增.
类似地可以证明 f (x) 0 的情形.
高等数学（上）
第三章 微分中值定理与导数的应用
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
y1
6 3 25
5,
y2
0
令 y 0 得 x1
1 5
,
且x2
0
为二阶不可导的点.
3) 列表判别
x (,1/5) 1 / 5 (1/5, 0) 0
y
0
(0, )
y
凸
6 35 25
凹
0
凹
故该曲线在 (,1/5) 上是凸的, 在(1/5,)上是凹的 ,
点
(
1 5
,
6 25
3
5)
为拐点,
而
(
0
,
0
高等数学（上）
第三章 微分中值定理与导数的应用
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
说明：
1）如上例，函数在定义区间上不是单调的，但 在各个部分区间上单调．
2）若函数在其定义域的某个区间内是单调的， 则该区间称为函数的单调区间.
简明微积分曲线凹凸与拐点
凹的. (2) 若在(a,b)内 f(x)0，则曲线弧y=f(x)在[a,b]上为
凸的.
例1 判定曲线弧y=xarctan x的凹凸性. 解 所给曲线在 (,)内为连续曲线弧.由于
yHale Waihona Puke rctxa1nxx2, y 1 1 x2 (1 (1 x 2)x 2) x 2 2 x(1 2 x2)2 0 ,
(3)y3 1 3x2 3,y3 9 2x5 3.y3 在 x0处不 . 存在
1
当 x0时 ， y3 0 ， 曲线 y3x3 弧 为凹 . 的
1
当 x0时y3 ， 0 ， 曲线 y3x3 弧 为凸 . 的
1
从而知点(0,0)为曲线弧 y3 x 3 的拐点.
例5 讨论曲线 y(x1)3 x2的凹凸性，并求其拐点.
解 所给函数 在(,)内为连续函数.
52
y[x (1)3x2][x3x3]
2
5x3
2
1
x 3,
33
1 4
4
y1x0 32x31x0 3(x1).
99 9
5
当x0时， y为连续. 函数
当x0时 ,y不存. 在 令 y0，可 x得 1.
(2) 若对于任意的x0(a,b)，曲线弧y=f(x)过点(x0,f(x0)) 的切线总位于曲线弧y=f(x)的上方，则称曲线弧 y=f(x)在[a,b]上为凸的.
如果y=f(x)在(a,b)内二阶可导，则可以利用二阶 导数的符号来判定曲线的凹凸性. 定理(曲线凹凸的判定法) 设函数y=f(x)在[a,b]上连续， 在(a,b)内二阶可导. (1) 若在(a,b)内 f(x)0，则曲线弧y=f(x)在[a,b]上为
(2)y2 5 3x2 3,y2 1 9x 01 3,y2 在 x0处不 . 存在
凸的.
例1 判定曲线弧y=xarctan x的凹凸性. 解 所给曲线在 (,)内为连续曲线弧.由于
yHale Waihona Puke rctxa1nxx2, y 1 1 x2 (1 (1 x 2)x 2) x 2 2 x(1 2 x2)2 0 ,
(3)y3 1 3x2 3,y3 9 2x5 3.y3 在 x0处不 . 存在
1
当 x0时 ， y3 0 ， 曲线 y3x3 弧 为凹 . 的
1
当 x0时y3 ， 0 ， 曲线 y3x3 弧 为凸 . 的
1
从而知点(0,0)为曲线弧 y3 x 3 的拐点.
例5 讨论曲线 y(x1)3 x2的凹凸性，并求其拐点.
解 所给函数 在(,)内为连续函数.
52
y[x (1)3x2][x3x3]
2
5x3
2
1
x 3,
33
1 4
4
y1x0 32x31x0 3(x1).
99 9
5
当x0时， y为连续. 函数
当x0时 ,y不存. 在 令 y0，可 x得 1.
(2) 若对于任意的x0(a,b)，曲线弧y=f(x)过点(x0,f(x0)) 的切线总位于曲线弧y=f(x)的上方，则称曲线弧 y=f(x)在[a,b]上为凸的.
如果y=f(x)在(a,b)内二阶可导，则可以利用二阶 导数的符号来判定曲线的凹凸性. 定理(曲线凹凸的判定法) 设函数y=f(x)在[a,b]上连续， 在(a,b)内二阶可导. (1) 若在(a,b)内 f(x)0，则曲线弧y=f(x)在[a,b]上为
(2)y2 5 3x2 3,y2 1 9x 01 3,y2 在 x0处不 . 存在
3.5曲线的凹凸性
例 4 判断 f ( x) x3 x ，x (,)的凹凸性
解：f ( x) 3x2 1 ，得驻点
x1
1, 3
x2
1 3
f ( x) 6x
当 x 0 时, f ( x) 0 。在区间 (0,) ，曲线是凹的，
此区间内唯一驻点 x2
1
是极小值点。（
3
f (
1 ) 3
6 0， 3
与极值的第二充分条件一致）
§4.5曲线的凹凸性
y B
A oa
bx
定义1 设函数 f ( x)在某一区间上的图象是一条连续
光滑曲线,若曲线上任一点的切线总位于曲线下方,则称曲线
在此区间上是凹；反之，若在某区间曲线的切线总位于曲线 上方，则称曲线在此区间为凸的。
定理 设函数 f ( x) 在区间 (a,b)有二阶导数， 1. 若 x (a,b)，恒有 f ( x) 0，则曲线为凹； 2.若 x (a,b)，恒有 f ( x) 0，则曲线为凸。
定义2 曲线上凹与凸的分界点称为拐点。
由定理知：若 f ( x)存在，拐点的必要条件为 f ( x) 0
拐点的几何特征是曲线穿过拐点时，由此点的切线一侧进入另一侧。 综上所述：我们得到判定曲线的凹凸性与曲线拐点的一般步骤为：
（1）求函数的定义域 ；
（2）求 f ( x) ，f ( x) ； （3）求出 f ( x) 0的全部实根及所有使二阶导数不存在的点 （4）检查上述所求点的两侧 f ( x)的符号，确定曲线的凹凸
性和拐点
例1 判断 y e x，x (,)的凹凸性 解： y e x 0曲线弧是凹的，切线是在曲线下方。
例2 判断 y ln x，x (0. )的凹凸性
解：
y
第三章第五讲 曲线的凹凸性
第ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ章
微分中值定理 与导数的应用
第五讲 曲线的凹凸性
函数的凹凸性与拐点
在研究了函数的单调性后, 若不知道曲线的弯曲方向, 仍不能准确描绘曲线 变化的特点. 一般地, 函数单调增加或单调减少都有两种方式, 所以只讨论函数
的单调性是不够的, 还必须讨论它的凹凸性.
y
y
B
•
C
A
o
x
o
x
如图中曲线弧AB是单增的曲线. 但从A 到 C 的曲线是向上凸的; 从 C 到 B 的曲 线是向下凸的. C 恰好是上凸和下凸的分界点, 我们称为拐点.
y
y= ƒ(x)
A C•
B
oa c
bx
如右图, 从 A到 C与从C到B的分界点 C(c, ƒ(c))就是曲线的拐点.
注 拐点是曲线上的点, 从而拐点的坐标需用横坐标与纵坐标同时表 示, 不能仅用横坐标表示.这与驻点及极值点的表示方法不一样.
拐点的求法
定理1 (拐点的必要条件)若函数 y = ƒ(x)在 x0 处的二阶导数 f (x0 ) 存在, 且点 ( x0, f ( x0 )) 为曲线 y = ƒ(x) 的拐点, 则 f ( x0 ) 0
注1 在 f ( x0 ) 存在时, f ( x0 ) 0仅是拐点存在的必要条件而非充分条件. y x4 有 f (0) 0 , 但点 (0, 0) 不是该曲线的拐点.
注2 f ( x) 不存在的点也有可能成为拐点.
y 3 x 的二阶导数在 x = 0不可导, 但 (0, 0) 是该曲线的拐点.
二阶导数的符号, 确定曲线是否存在拐点, 若存在拐点, 求出拐点.
例 判断曲线 y ( x 1)3 x5 的凸性, 并求其拐点.
微分中值定理 与导数的应用
第五讲 曲线的凹凸性
函数的凹凸性与拐点
在研究了函数的单调性后, 若不知道曲线的弯曲方向, 仍不能准确描绘曲线 变化的特点. 一般地, 函数单调增加或单调减少都有两种方式, 所以只讨论函数
的单调性是不够的, 还必须讨论它的凹凸性.
y
y
B
•
C
A
o
x
o
x
如图中曲线弧AB是单增的曲线. 但从A 到 C 的曲线是向上凸的; 从 C 到 B 的曲 线是向下凸的. C 恰好是上凸和下凸的分界点, 我们称为拐点.
y
y= ƒ(x)
A C•
B
oa c
bx
如右图, 从 A到 C与从C到B的分界点 C(c, ƒ(c))就是曲线的拐点.
注 拐点是曲线上的点, 从而拐点的坐标需用横坐标与纵坐标同时表 示, 不能仅用横坐标表示.这与驻点及极值点的表示方法不一样.
拐点的求法
定理1 (拐点的必要条件)若函数 y = ƒ(x)在 x0 处的二阶导数 f (x0 ) 存在, 且点 ( x0, f ( x0 )) 为曲线 y = ƒ(x) 的拐点, 则 f ( x0 ) 0
注1 在 f ( x0 ) 存在时, f ( x0 ) 0仅是拐点存在的必要条件而非充分条件. y x4 有 f (0) 0 , 但点 (0, 0) 不是该曲线的拐点.
注2 f ( x) 不存在的点也有可能成为拐点.
y 3 x 的二阶导数在 x = 0不可导, 但 (0, 0) 是该曲线的拐点.
二阶导数的符号, 确定曲线是否存在拐点, 若存在拐点, 求出拐点.
例 判断曲线 y ( x 1)3 x5 的凸性, 并求其拐点.
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例2 求曲线 y 3 x 4 4 x 3 1 的拐点及
凹、凸的区间 .
解
2 y 36 x( x ). y 12 x 12 x , 3 2 令y 0, 得 x1 0, x2 . 3
3 2
D : ( , )
x
f ( x )
f ( x)
( ,0)
0 0
拐点
凹的
( 0, 2 ) 3
凸的
2
3 0
( 2 ,) 3
凹的
(0,1)
拐点 ( 2 , 11 ) 3 27
凹凸区间为( ,0],
[0, 2 ], 3
[ 2 ,). 3
思考：设 f ( x ) 在 x0 处具有三阶导数, '' f 且 ( x0 ) 0 , f ( x0 ) 0 那末 x 是否为
曲线 在[0,)为凹的；
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界 点.
三、曲线的拐点及其求法
1、定义
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.
注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.
2、拐点的求法
, 方法1: 设函数f ( x )在x0的邻域内二阶可导 且f ( x0 ) 0,
(1) x0两近旁f ( x )变号,点( x0 , f ( x0 ))即为拐点 ; (2) x0两近旁f ( x )不变号,点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
b x y 0
定理1 如果 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 在 (a , b) 内具有
一阶和二阶导数 , 若在 (a , b ) 内 (1) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凹的; ( 2) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凸的 .
0
函数 f ( x ) 的拐点？
0
f ( x ) f ( x0 ) 不妨f ( x0 ) lim 0 x x0 x x0
f ( x)在x0 两侧异号，
x0 是拐点。
方法2: 设函数 f ( x ) 在 x0 的邻域内三阶可导 ,且
f ( x0 ) 0, 而 f ( x0 ) 0 , 那末 ( x0 , f ( x0 )) 是曲 线 y f ( x ) 的拐点.
例3 求曲线 y sin x cos x ([0,2]内) 的拐点. 解 y cos x sin x , y sin x cos x ,
y cos x sin x . 3 7 , x2 . 令 y 0, 得 x1 4 4 7 3 f ( ) 2 0, f ( ) 2 0, 4 4
§6.6 曲线的凹凸性与拐点及渐近线
曲线的凹凸性定义 凹凸性的判定 曲线的拐点及其求法 渐近线 小结 思考题 作业
一、曲线凹凸的定义
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
y
C
B
A
o
x
y
y f ( x)
y
y f ( x)
o
x1
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段位 于所张弦的下方
图形上任意弧段位 于所张弦的上方
定义 设f ( x )在区间 I 上连续, 如果对 I 上任意两 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 点 x1 , x2 , 恒有 f ( ) , 那末称 2 2 f ( x ) 在 I 上的图形是（向上）凹 的（或凹弧） ; x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 如果恒有 f ( ) , 那末称 f ( x ) 2 2 在 I 上的图形是（向上）凸 的（或凸弧） ．
证 任取x0 (a, b),
泰勒公式
曲线y f ( x )在x0处的切线
f ( ) 2 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2! x (a , b), (在x0与x之间 )
( x x0 )
f ( x) [ f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )]
f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x1 x0 ) f ( x2 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x2 x0 ) (1) (2)
(1) (2)
f ( x1 ) f ( x1 ) 2 f ( x0 ) f ( x0 )( x1 x2 2 x0 )
如果f ( x )在[a , b]内连续, 且在 (a , b) 内的图形是凹 (或凸)的, 那末称 f ( x )在[a , b] 内的图形是凹 (或凸)的 ;
二、曲线凹凸的判定
y
y f ( x)
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
f ( x ) 递增
y 0
f ( x ) 递减
若f ( x ) 0 f ( ) 2
2!
0 x (a , b) 即 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
x1 x2 x0 , x , x ( a , b ) 对 1 2 ，令 则 2
3 7 在[0,2]内曲线有拐点为 ( ,0), ( ,0). 4 4
注意: 若 f ( x0 ) 不存在, 点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能
是连续曲线 y f ( x ) 的拐点.
例4
求曲线 y 3 x 的拐点.
2 3 5 3
1 4 解 当x 0时, y x , y x , 3 9 x 0是不可导点, y, y均不存在.
0
2 f ( x0 )
f ( x1 ) f ( x1 ) x1 x2 即 f( ). 2 2
例1 判断曲线 y x 3 的凹凸性.
解 y 3 x 2 , y 6 x ,
当x 0时， y 0,
曲线 在( ,0]为凸的；
当x 0时， y 0,