第三章3.1---3.3教学研究案
第三章 复变函数的积分 第一节、柯西定理
第三章复变函数的积分(Integration of function of thecomplex variable)第一讲授课题目：§3.1复积分的概念§3.2柯西积分定理教学内容：复变函数的积分的定义、复变函数积分的计算问题、复变函数积分的基本性质、柯西积分定理.学时安排：2学时教学目标：1、了解复变函数积分的定义和性质，会求复变函数在曲线上的积分2、会用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分，了解不定积分的概念教学重点：复变函数积分的计算问题教学难点：柯西积分定理教学方式：多媒体与板书相结合P思考题：1、2、习题三：1-10作业布置：7576板书设计：一、复变函数积分的计算问题二、柯西积分定理三、举例参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版.3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月.4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008年4月.课后记事：1、会求复变函数在曲线上的积分2、用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分计算方法掌握不理想3、利用课余时间多和学生交流教学过程：§3.1 复积分的概念(The conception of complex integration)一、复变函数的积分的定义（Complex function of theintegral definition ）定义（Definition ）3.1设在复平面上有一条连接A 及B 两点的光滑简单曲线C 设),(),()(y x iv y x u z f +=是在C 上的连续函数.其中),(y x u 及),(y x v 是)(z f 的实部及虚部.把曲线C 用分点B z z z z z A n n ==-,...,,,1210分成n 个小弧段，其中),...,2,1,0(n k y x z k k k =+=在每个狐段上任取一点k k k ηξς+=，作和式))((11-=-∑k n k k k z z f ς（1） 令|}{|max 11-≤≤-=k k n k z z λ，当0→λ时，若（1）式的极限存在，且此极限值不依赖于k k k ηξς+=的选择，也不依赖于曲线C 的分法，则就称此极限值为)(z f 沿曲线C 的积分.记作=⎰C z z f d )())((lim 110-=→-∑k nk k k z z f ςλ当)(z f 沿曲线C 的负方向（从B 到A ）积分，记作⎰-C z z f d )(当)(z f 沿闭曲线C 的积分，记作()dz z f C⎰ 定理(Theorem)3.1 若),(),()(y x iv y x u z f +=沿光滑简单曲线C 连续，则)(z f 沿C 可积，且,d ),(d ),(d ),(d ),(d )(y y x u x y x v i y y x v x y x u z z f CC C ++-=⎰⎰⎰（2） 证明：))((11-=-∑k n k k k z z f ς)]())][(,(),([111k k nk k k k k k k y y i x x iv u -+-+=+=+∑ηξηξ],))(,())(,([))(,())(,(1111111111∑∑∑∑-=+=+-=+=+-+-+---=n k k k k k n k k k k k n k k k k k n k k k k k y y u x x v i y y v x x u ηξηξηξηξ由),(),()(y x iv y x u z f +=沿光滑简单曲线C 连续，可知),(),,(y x v y x u 沿光滑简单曲线C 也连续，当0→λ时，有0|}{|max 11→--≤≤k k n k x x 0|}{|max 11→--≤≤k k nk y y 于是上式右端的极限存在，且有,d ),(d ),(d ),(d ),(d )(y y x u x y x v i y y x v x y x u z z f CC C ++-=⎰⎰⎰ 二、复变函数积分的计算(Complex integration of computational problems) 设有光滑曲线C : ()()()t iy t x t z z +== ()βα≤≤t ,即()t z '在[]βα,上连续且有不为零的导数()()()t y i t x t z '+'='.又设()z f 沿C 连续.由公式(2)我们有[()()()()()()()()]dtt y t y t x v t x t y t x u y y x u x y x v i y y x v x y x u z z f CC C '-'=++-=⎰⎰⎰⎰βα,,),(),(),(),()(d d d d d [()()()()()()()()]dt t y t y t x u t x t y t x v i '+'+⎰βα,,即()()[](),dt t z t z f dz z f c '⎰=⎰βα (3) 或 ()Re βα⎰=⎰dz z f c ()[]{()}()[]{()}dt t z t z f i dt t z t z f '⎰+'Im βα (4)用公式(3)或(4)计算复变函数的积分,是从积分路径C 的参数方程着手,称为参数方程法.注：当是分段光滑简单曲线时，我们仍然可以得到这些结论. 例1 计算dz z C⎰，其中C 是 （1） 从点1到i 的直线段1C ；（2） 从点1到0的直线段2C ，再从点0到i 得直线段3C 所连接成的折线段32C C C +=.解：（1）)()(;1011≤≤+-==t it t t z C C ，有：⎰⎰⎰⎰=+-=+---=101010)12()1)(1(i dt i dt t dt i it t dz z c （2）).10()(:),10(1)(:2312≤≤=≤≤-=t it t z C t t t z C ，有：⎰⎰⎰⎰⎰=+--=+=10100)1(32tdt dt t dz z dz z dz z c c c例2 计算dz z ii I ⎰-=其中C 是 (1)连接i i 到-的直线段；(2)连接i i 到-的单位圆的左半圆(3)连接i i 到-的单位圆的右半圆解： i t i tdt i idt it dz z i i I t it z i =⋅==-=-=≤≤-=-⎰⎰⎰1221201211,11,)1( 于是程为：到i的直线段的参数方 ie de idt e e dz z i i I ，t e z it it it it it 2232232223,)2(223===⋅=-==⎰⎰⎰ππππππππ于是到从方程为单位圆的左半圆的参数 i e e d e dz z I ，t e z it it it i i it 2)(20,)3(2222=====---⎰⎰πππππ到从方程为单位圆的右半圆的参数上述二例说明：复变函数的积分与积分路径有关例3()0n Cdz z z -⎰，其中n 为任意整数，C 为以0z 为中心，r 为半径的圆周.解 C 的参数方程为0,02i z z re θθπ=+≤≤，由公式得()22(1)1000221100cos(1)sin(1)2,1,0, 1.i i n n n in n Cn n dz ire i d e d r e r z z i i n d n d r ri n n θππθθππθθθθθθπ-----==-=-+-=⎧=⎨≠⎩⎰⎰⎰⎰⎰ 此例的结果很重要，以后经常要用到.以上结果与积分路径圆周的中心和半径没有关系，应记住这一特点.例4 计算Czdz ⎰，其中C 为从原点到点34i +的直线段. 解： 此直线方程可写作3,4,01x t y t t ==≤≤ 或 34,01z t i t t =+≤≤. 在C 上，(34),(34)z i t dz i dt =+=+，于是()()()112220013434342C zdz i tdt i tdt i =+=+=+⎰⎰⎰. 因()()C CC C zdz x iy dx idy xdx ydy i ydx xdy =++=-++⎰⎰⎰⎰易验证，右边两个线积分都与路线C 无关，所以C zdz ⎰的值，不论是对怎样的连接原点到34i +的曲线，都等于()21342i +. 例5 设C 是圆ρα=-||z ，其中α是一个复数，ρ是一个正数，则按逆时针方向所取的积分i z dz C πα2=-⎰ 证明：令 θραi e z =-，于是 θρθd d i ie z =，从而 i id z dz Cπθαπ220⎰⎰==- 三、复变函数积分的基本性质(Complex integration of the basic nature)设)(z f 及)(z g 在简单曲线C 上连续，则有（1）是一个复常数其中k z z f k z z kf C C,d )(d )(⎰⎰= （2）;d )(d )(d )]()([⎰⎰⎰±=±C C C z z g z z f z z g z f（3）⎰⎰⎰⎰+++=n C C C C z z f z z f z z f z z f d )(...d )(d )(d )(21其中曲线C 是有光滑的曲线n C C C ,...,,21连接而成；（4）⎰⎰-=-C C z z f z z f d )(d )( 定理3.2（积分估值） 如果在曲线C 上，()M z f ≤，而L 是曲线C 的长度，其中M 及L 都是有限的正数，那么有()ML dz z f z z f CC ≤≤⎰⎰|d )(|， （5） 证明：因为ML z z M z z f k n k k k n k k k ≤-≤-∑∑-=+-=+|||))((|111111ζ两边取极限即可得：()ML dz z f z z f CC ≤≤⎰⎰|d )(| 例6 试证：⎰=→=+r z r dz z z 01lim 230 证:不妨设1<r ，我们用估值不等式（5）式估计积分的模，因为在r z =上，⎰⎰==-≤+≤+r z r z r r dz z z dz z z 24232312||1|1π上式右端当0→r 时极限为0，故左端极限也为0，所以⎰=→=+r z r dz z z 01lim 230 本节重点掌握： （1）复变函数积分的计算；（2）复变函数积分的基本性质§3.2 柯西积分定理（Cauchy integral theorem)下面讨论复变函数积分与路径无关问题定理(Theorem)3.3设)(z f 是在单连通区域D 内的解析函数，则)(z f 在D 内沿任意一条闭曲线C 的积分0d )(=⎰C z z f ,在这里沿C 的积分是按反时针方向取的.此定理是1825年Cauchy 给出的.1851年Riemann 在)(z f '连续的假设下给出了简单证明如下 证明：已知)(z f 在单连通区域D 内解析，所以)(z f '存在，设)(z f '在区域D 内连续，可知u 、v 的一阶偏导数在区域D 内连续，有0d )(=⎰Cz z f ⎰⎰⎰++-=⊂∀C C c udyvdx i vdy udx dz )z (f D C ,，又⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-=+=--=-Dy x c D y x c dxdy v u udy vdx dxdy u v vdy udx Green 0)(,0)(公式由注1: 此定理证明假设“)(z f '在区域D 内连续”，失去定理的真实性，法国数学家古萨（E.Goursat ）在1900年给出了真实证明，但比较麻烦.注2: 若C 是区域D 的边界，)(z f 在单连通区域D 内解析，在D 上连续，则定理仍成立.定理(Theorem)3.4若)(z f 是在单连通区域D 内的解析函数，1C 、1C 是在D 内连接0z 及z 两点的任意两条简单曲线，则=⎰1)(C dz z f ⎰2)(C dz z f证明：由柯西积分定理-⎰1)(C dz z f ⎰2)(C dz z f ()021==⎰+dz z f C C将柯西积分定理推广到多连通区域上定理(Theorem)3.5（复合围线积分定理）设有n +1条简单闭曲线,,...,,n C C C 1曲线n C C ,...,1中每一条都在其余曲线的外区域内，而且所有这些曲线都在的C 内区域，n C C C ,...,,1围成一个有界多连通区域D ，D 及其边界构成一个闭区域D .设f (z )在D 上解析，那么令Γ表示D 的全部边界，我们有0=⎰Γdz z f )(其中积分是沿Γ按关于区域D 的正向取的.即沿C 按逆时针方向，沿n C C ,...,1按顺时针方向取积分；或者说当点沿着C 按所选定取积分的方向一同运动时，区域D 总在它的左侧.因此0 1=+++=⎰⎰⎰⎰--ΓnC C Cdz z f dz z f dz z f dz z f )()()()(即 ⎰⎰⎰++=nC C Cdz z f dz z f dz z f )(...)()(1例7 计算dz z z e zz ⎰-=)1(23,其中C 是包含0与1、-1的简单闭曲线.解：作互不相交的互不包含的三个小圆周321,,c c c 分别包含0，1，-1，且都在3=z 内，应用复合围线积分定理，有)2()22(21)1(1)1(11)1()1()1()1(111222223321321-+=++=+⋅-+-⋅++⋅-=-+-+-=---=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰e e i e e e i z dzz z e z dz z z e z dz z dz z z e dz z z e dz z z e dz z z e z cz c c zc z c z c z z ππ由柯西积分定理可知：若)(z f 是在单连通区域D 内的解析函数，则沿着区域D 内的简单闭曲线C 的积分⎰Cd f ςς)(与路径无关，只与起点0z 及终点z 有关，此时也可写成⎰zz d f 0)(ζζ在单连通区域D 内固定0z ，当z 在区域D 内变动时，⎰zz d f 0)(ζζ确定了上限z 的一个函数，记作⎰=z z d f z F 0)()(ζζ定理(Theorem)3.6 设)(z f 是单连通区域D 的解析函数，则⎰=zz d f z F 0)()(ζζ也是区域D 内的解析函数，且)()('z f z F =证明： D z z ∈∆+∀，得⎰zz d f 0)(ζζ与路径无关，则⎰⎰-=-∆+∆+z z zz z d f d f z F z z F 0)()()()(ζζζζ=⎰∆+zz zd f ζζ)(其中积分路径取z 到z z ∆+得直线段，有()()()zz f z z F z z F ∆=-∆-∆+1(())⎰∆+-zz zd x f f ζζ)(因)(z f 在D 内连续，δδε<∆>∃>∀z ,0,0，有()()()ε<-∆-∆+z f zz F z z F即)()('z f z F =定义(Definition)3.2设在是单连通区域D 内，有)()('z f z F =，则称()z F 是)(z f 的原函数.定理(Theorem)3.7若)(z f 是在单连通区域D 内的解析函数，()z F 是)(z f 的一个原函数.则⎰=zz dz z f 0)(()z F -()0z F其中D z D z ∈∈,0注3: 此定理说明，如果某一个区域内的连续函数有原函数，那么它沿这个区域内曲线的积分可以用原函数来计算，这是数学分析中牛顿-莱布尼茨公式的推广. 例8 ( 重要积分)) 试证明:⎩⎨⎧Z ∈≠==-⎰n n n i a z dzc n ,1012)(π 这里 C 表示绕行a 一周的简单闭曲线.证明: 作圆周 1C : |z-a | = ρ, 使得 C 在 1C 的内区域中. 则有=-⎰c n a z dz )(⎰-1)(c n a z dz由例5结果即得证.例9 计算⎰+cdz z )1ln(，其中C 是从-i 到i 的直线段解 因为)1ln(z +是在全平面除去负实轴上一段1-≤x 的区域D 内为（单值）解析，又因为区域D 是单连通的，在D 内有[]ii i i i i i i z z i i i i dzzi i i i dzzzz z dz z iii i ii ii c )22ln 2()1ln()1ln(2)1ln()1ln()1ln()1ln()1ln()111()1ln()1ln(1|)1ln()1ln(π++-=--++--++=+---++=+---++=+-+=+----⎰⎰⎰本节重点掌握：1、柯西积分定理 2、柯西积分定理的推广 内容小结：1、复变函数的积分的定义2、复变函数积分的计算问题()()[](),dt t z t z f dz z f c '⎰=⎰βα3、复变函数积分的基本性质4、柯西积分定理5、柯西积分定理的推广2 1§3.3柯西积分公式§3.4解析函数的高阶导数柯西积分公式、解析函数的无穷可微性、柯西不等式与刘维尔定理、莫勒拉定理.1、掌握用柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分的方法2、理解刘维尔定理与莫勒拉定理柯西积分公式解析函数的无穷可微性讲授法多媒体与板书相结合P思考题：1、2、习题三：11-157576一、柯西积分公式二、解析函数的无穷可微性三、举例[1]《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.[2]《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版社.[3]《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005.[4]《复变函数与积分变换》,苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008.1、掌握用柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分的方法2、解析函数的无穷可微性理解很好3、利用课余时间对学生进行答疑第二讲授课题目：§3.3柯西积分公式§3.4解析函数的高阶导数教学内容：柯西积分公式、解析函数的无穷可微性、柯西不等式与刘维尔定理、莫勒拉定理.学时安排：2学时教学目标：1、掌握用柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分的方法2、理解刘维尔定理与莫勒拉定理教学重点：柯西积分公式教学难点：解析函数的无穷可微性教学方式：多媒体与板书相结合作业布置：习题三：11-15板书设计：一、柯西积分公式二、解析函数的无穷可微性三、举例参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》高等教育出版.3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）.4、《积分变换》，南京工学院数学教研室，高等教育出版社.课后记事：1、掌握用柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分的方法2、解析函数的无穷可微性理解很好3、利用课余时间对学生进行答疑教学过程：§3.3 柯西积分公式 （Cauchy integral formula ）柯西积分公式（Cauchy integral formula ）设)(z f 在以圆)0(|:|000+∞<<=-ρρz z C 为边界的闭圆盘上连续，C 的内部D 上解析，由柯西积分定理0d )(=⎰Cz z f 考虑⎰-C d z f ζζζ)(设D z ∈，显然函数在zf -ζζ)(满足z D ≠∈ζζ,的点ζ处解析. 以z 为心，作一个包含在D 内的圆盘，设其半径为ρ，边界为圆ρC .在D 上，挖去以ρC 为边界的圆盘，余下的点集是一个闭区域ρD .在ρD 上，函数)(ζf 以及zf -ζζ)(解析，所以有 ⎰⎰-=-ρζζζζζζC C d z f d z f )()(于是又如下定理定理(Theorem)3.8设)(z f 在在简单闭曲线C 所围成的区域D 内解析在C D D ⋃=上连续，0z 是区域D 内任一点，则有dzz z z f i z f C ⎰-=0)(21)(π （1）其中，沿曲线C 的积分是按反时针方向取的，（1）式就是柯西积分公式.它是解析函数的积分表达式，因而是今后我们研究解析函数的重要工具. 说明：1、有界闭区域上的解析函数，它在区域内任一点所取的值可以用它在边界上的值表示出来.2、柯西公式是解析函数的最基本的性质之一，可以帮助我们研究解析函数的许多重要性质.推论1（平均值公式）设)(z f 在)(z f R z z C <-|:|0内解析，在R z z C =-|:|0上连续，则π21)(0=z f ⎰+πθθ200)Re (d z f i推论 2 设)(z f 在由简单闭曲线1C 、2C 围成的二连通区域D 内解析，并在曲线1C 、2C 上连续，2C 在1C 的内部，0z 为区域D 内一点，则⎰-=100)(21)(C dz z z z f i z f π⎰--20)(21C dz z z z f i π例1 求下列积分的值（1）()⎰⎰==+-222.))(9(2;sin z z dz i z z zdz zz 解：(1)0|sin 2sin 02====⎰z z z i dz zzπ (2)⎰⎰=-===-=---=+-2122225|92)(9))(9(z z z z z i dz i z z z dz i z z z ππ 由平均值公式还可以推出解析函数的一个重要性质，即解析函数的最大模原理.解析函数的最大模原理，是解析函数的一个非常兆耀的原理，它说明了一个解析函数的模，在区域内部的任何一点都达不到最大值，除非这个函数恒等于常数.定理(Theorem)3.9(最大模原理) 设)(z f 在区域D 内解析，)(z f 不是常数，则在区域D 内()z f 没有最大值. 推论1在区域D 内的解析函数，若其模在区域D 内达到最大值，则此函数必恒等于常数推论2设)(z f 在有界区域D 内解析，在D 上连续，则()z f 必在区域D 的边界上达到最大值.证明：若)(z f 在区域D 内为常数，显然成立，若)(z f 在区域D 内不恒为常数，有连续函数的性质及本定理即可得证. 本节重点掌握：柯西积分公式§3.4 解析函数的高阶导数(The higher order derivative of analytic function) 一、解析函数的无穷可微性(Analytic functions ofinfinitely differentiable)定理(Theorem)3.10 设函数)(z f 在简单闭曲线C 所围成的区域D 内解析，在D 上连续，则)(z f 的各阶导数均在区域D 内解析，对区域D 内任一点z ，有,...)3,2,1( )()(2!)(1)(=-=⎰+n d z f i n z f C n n ζζζπ,证明：先证明1=n 时的情形.对区域D 内任一点z ，设D h z ∈+.⎰---=Cd z h z f ih ζζζζπ2))(()(2 现在估计上式右边的积分.设以z 为心，以δ2为半径的圆盘完全在D 内，并且在这个圆盘内取h z +，使得δ<<h 0，那么当D ∈ζ时，,||,||δζδζ>-->-h z z设()z f 在C 上的最大值是M ，并且设C 的长度是L ，于是由积分估值定理有,2|||))(()(2|22δπζζζζπMLh d z h z f i hC ⋅≤---⎰ ])()(2)(21)(21[1)()(21)()(22⎰⎰⎰⎰------=---+C C C C d z f i h d z f i d h z f i h d z f i h z f h z f ζζζπζζζπζζζπζζζπ这就证明了当h 趋近于0时，积分⎰---Cd z h z f i hζζζζπ2))(()(2趋于0.即当1=n 时定理成立.设k n =时定理成立.当1+=k n 时，对区域D 内任一点z ，设D h z ∈+.仿1=n 时的证明方法，可推得定理成立.证毕例2 计算下列各积分)())()()⎰⎰⎰>==>=-+-1223221511121cos 1r z z zr z dzz z dzze dzz zπ解：)()()()()⎰>=-==-=-1545121cos !1521cos 1r z i z z i dz z zππππ)()()()()()⎰⎰⎰+-+-+=+>=12222212212CCzzr z zdz i z i z e dz i z i z e dz z e()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=41sin 2222πππi i z i z e i z i z e i z z3）被积函数22)1(1-z z 有两个奇点：01=z 和12=z ，都在2=z 内，2)1(1-z 在31=z 内解析，21z在311=-z 内解析，作圆周3113121=-=z c z c ：，：，利用复合围线积分定理， ⎰⎰⎰⎰⎰=-==-==-+--=-+-=-311233132311233123223)1(1)0()1(1)1()1()1(z z z z z dz z z dz z z z z dz z z dz z z dz由高阶导数公式，得()0661!1211!22)1(1302223=-='⎪⎭⎫ ⎝⎛+"⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-===⎰i i z i z i z z dzz z z ππππ应用上述定理可得出解析函数的无穷可微性定理(Theorem)3.11 设函数)(z f 在区域D 内解析，那么)(z f 在D 内有任意阶导数.并且它们也在区域D 内解析注3: 任意阶导数公式是柯西公式的直接推论；二、柯西不等式与刘维尔定理(Cauchy inequality and Liouville's theorem)柯西不等式（Cauchy inequality ） 设函数)(z f 在以R z z <-||0内解析，在以R z z <-||0内()M z f ≤,则,...)2,1,0(!!|)(|0)(=≤n RMn n z fn n 证明：令1R C 是圆)0(||110R R R z z <<=-，)(z f 在以10||R z z ≤-上解析，由高阶导数公式，有,2,1,0!22|)()(2!||)(|1111100)(1==⋅⋅≤-=++⎰n R M n R R M n!dz z z z f in z fnn C n n R πππ令R R →1,得 ,2,1,0!|)(|10)(=≤n R Mn z fn n上述的不等式称为柯西不等式.如果函数)(z f 在整个复平面上解析，那么就称)(z f 为一个整函数，例如z e z z ,cos ,sin 都是整函数.关于整函数，我们有下面的刘维尔定理：定理3.12（刘维尔Liouvlle 定理） 有界整函数一定恒等常数.证明：设)(z f 是有界整函数，即存在),0(+∞∈M ，使得M z f z <∈∀|)(|C,.),0(,C 0+∞∈∀∈∀R z ，)(z f 在R z z <-||0内解析.由柯西公式，有RM z f ≤|)('|0， 令+∞→R ， 0)(',C 00=∈∀z f z ，由此可知)(z f 在C 上恒等于常数.三、莫勒拉定理(Mole La Theorem)：应用解析函数有任意阶导数，可以证明柯西定理的逆定理，称为莫勒拉定理.定理(Theorem)3.13如果函数)(z f 在区域D 内连续，并且对于D 内的任一条简单闭曲线C ，我们有0)(=⎰Cdz z f那么)(z f 在区域D 内解析.本节重点掌握：（1） 解析函数的无穷可微性；（2）柯西不等式 内容小结： 1、柯西积分公式 2、解析函数的无穷可微性3、柯西不等式与刘维尔定理4、莫勒拉定理5、柯西定理的逆定理。
第3章工作区设计详解
工作区
楼层配线间 (TR)
交换机
配线架
设备跳线
工作区/ 工作站 跳线
第3章 工作区设计
3.1.2 工作区的划分原则 按照GB50311国家标准规定，工作区是一个独立的需要 设置终端设备的区域。工作区应由配线（水平）布线系 统的信息插座延伸到终端设备处的连接电缆及适配器组 成。一个工作区的服务面积可按5~10平方米估算，也可 按不同的应用环境调整面积的大小。
第一列为楼层编号，填写对应的楼层编号，中间列为该楼层的 房间号，为了清楚和方便统计，一般每个房间有两列，一列数 据，一列语音。最后一列为合计数量。在点数表填写中，楼层 编号由大到小按照从上往下顺序填写。
第3章 工作区设计
3.2.6 概算 在初步设计的最后要给出该项目的概算，这个概算是指整 个综合布线系统工程的造价概算，当然也包括工作区子系 统的造价。工程概算的计算方法公式如下： 工程造价概算=信息点数量X信息点的价格
用户确认的一般程序如下： 整理点数统计表→准备用户确认签字文件→用户交流和沟通 →用户确认签字和盖章→设计方签字和盖章→双方存档。 用户确认签字文件至少一式4份，双方各两份。设计单位一份 存档，一份作为设计资料。
第3章 工作区设计
3.2.8正式设计 1.新建建筑物
随着GB50311-2007国家标准的正式实施，2007年10月1日起新 建筑物必须设计网络综合布线系统，因此建筑物的原始设计图 纸中有完整的初步设计方案和网络系统图。必须认真研究和读 懂设计图纸，特别是与弱电有关的网络系统图、通信系统图、 电气图等。 如果土建工程已经开始或者封顶时，必须到现场实际勘测，并 且与设计图纸对比。
第三章 工作区设计
单模光纤可以非常好地支持千兆以太网，
教学研究：幼儿园语言教育的研究
教学研究：幼儿园语言教育的研究幼儿园语言教育的研究第一章绪论1.1研究背景语言是人类交流的重要工具，也是思维的载体。
幼儿时期是语言能力形成的关键期，良好的语言教育对幼儿的发展至关重要。
幼儿园作为儿童最早涉足的教育机构之一，承担着重要的语言教育任务。
因此，对幼儿园语言教育的研究具有重要意义。
1.2研究目的本研究旨在探讨幼儿园语言教育的现状、问题和对策，提出可行的幼儿园语言教育模式，为幼儿园语言教育提供理论支持和实践指导。
1.3研究方法本研究采用问卷调查法、访谈法、观察法和文献研究法相结合的方法，对幼儿园语言教育的现状、问题和对策进行深入调研和分析。
第二章幼儿园语言教育现状和问题的调查分析2.1调查方法本研究采用问卷调查法、访谈法和观察法相结合的方法，对全国幼儿园的语言教育现状和问题进行了大规模调查。
2.2调查结果（一）幼儿园语言教育现状1.语言教育普及率高根据调查结果，全国幼儿园语言教育覆盖率高达95.3%，普及率较高。
2.教师专业能力需提升调查结果显示，幼儿园语言教育工作者的专业能力整体不够，特别是在语言教育方法和技能方面存在欠缺。
3.家园合作不够密切家庭和幼儿园的合作是进行幼儿语言教育的关键，但调查结果显示，目前家园合作关系并不紧密。
（二）幼儿园语言教育存在的问题1.教师专业能力不足大部分幼儿园的教师专业技能不够，尤其是语言教育领域的教育技能欠缺。
2.课程设置有局限性教学内容主要以《幼儿园大语文》为主，其他基础课程和游戏活动的语言教育设置有待完善。
3.家庭教育与幼儿园教育脱节幼儿园和家庭教育之间存在不协调的现象，这种脱节导致了教育的效果不佳。
第三章幼儿园语言教育的对策3.1教师专业培训幼儿园应该加强教师的专业培训，注重教师的教育技能的提升，加强对幼儿语言学习过程的指导。
3.2课程改革针对现状下幼儿园语言教育的难点和问题，应该对幼儿园的语言教育进行改革，变革传统教育方法，采用更加科学的教育方法和手段。
第三章 间歇反应器
净的得益为： 净的得益为：
W (θ R ) WT
最佳的θ 值可由下式求得： 最佳的 R值可由下式求得：
d [W (θ R ) WT ] = 0 dθ R
或
dW (θ R ) = WR dθ R
从方程(3-23)可得： 可得： 从方程 可得
dW (θ R ) N dx r = (W ) A0 A = (W )V A dθ R | a A | dθ R | aA | θ
qAk T = 613 65 x A + θ mt c p
令 qAk＝52.8kW
qAk (52.8kW) = = 0.0927K/s mi c p (227kg)(2.51kJ/kg K)
物料衡算： 物料衡算：
dx A 1 22450 C A0 (1 x A ) exp(35.2 = ) dθ 60C A0 T
N p NA (1 x A ) 1 xA = p t A0 = p A0 ( t ) Nt N t 0 (1 + ε A x A ) 1 + ε A x A pt 0
p A = pt
级反应为例， 以n级反应为例， 级反应为例
(1 + ε A x A ) θ= n 1 ∫x n A0 (1 x A ) kC A0 1
3.3.a 最优间歇反应操作时间
设化学品A 每公斤分子的价格为w 设化学品 j每公斤分子的价格为 j，则反应前后 反应混合物的净增值为： 反应混合物的净增值为：
W (θ ) = ∑ w j ( N j N j 0 ) = ∑ w j ∑ aijξi = ∑ (W )i ξ i
j =1 j =1 i =1 i =1 N N M M
等温操作 T= 613 K 绝热操作 q=0 5.28 52.8 105.8 158.9
浙教版九年级科学上册 第三章 3.1-3.3 阶段性练习(Word版 带答案)
浙教版九年级科学上册第三章 3.1-3.3 阶段性练习一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题2分，共40 分)1.数字式石英电子表正常运转时的能量转换为( )A.电能转化为化学能B.化学能转化为电能C.电能转化为动能D.动能转化为电能2.如图是一同学正在体育课中进行实心球投掷训练，投出的实心球在上升过程中（）A.动能不变、重力势能增加B.重力势能不变、动能增加C.动能转化为重力势能D.重力势能转化为动能3.下列关于能量转化的叙述中，不正确的是（）A.电饭锅工作时，将电能转化为内能B.汽油机做功过程，将机械能转化为内能C.电动机车行驶时，将电能转化为机械能D.绿色植物的光合作用，将光能转化为化学能4.下列各类实例中，属于动能转化为势能的是( )A.从空中匀速下降的跳伞运动员B.跳高运动员离地腾空上升C.骑自行车匀速冲上斜坡D.张紧的弓箭射出5.在甲、乙两图中，甲图地面粗糙、乙图地面光滑。
质量分别为m，2m的两个物体在大小为F的恒力作用下，在力的方向上前进了相同的距离，则下列结论正确的是（）A.甲图中F做的功小于乙图中F做的功B.甲图中F做的功等于乙图中F做的功C.甲图中F做的功大于乙图中F做的功D.条件不足，无法确定甲、乙图中F做的功谁大6.小华把掉在地上重约为2N的课本捡起来，放回到1m高的课桌上，他对课本做功约为（）A.0.02JB.2JC.20JD.200J7.一辆出租车从椒江行驶到路桥，约要消耗1.5L汽油。
从能量转化角度看，汽车的机械能主要来自于汽油的（）A.动能B.势能C.化学能D.热能8.下列叙述正确的是（）A.铅球运动员将铅球推出去，运动员对铅球没有做功B.人提水桶，使水桶在水平方向移动一段距离，提力对水桶做功C.雨水从天上落下，重力对雨水做了功D.玻璃球在光滑桌面滚动了一段距离，桌面对球的支持力做了功9.下列说法正确的是（）A.将重为1N的物体移动1m所做的功为1JB.质量为1kg的物体移动1m所做的功为1JC.在1N力的作用下，将物体移动1m所做的功为1JD.在1N力的作用下，将物体在力的方向上移动1m所做的功为1J10.如图所示，运动员沿草地踢出的足球，在草地上越滚越慢，最后停下。
人教版数学七年级上册 第3章 3.1 --3.3基础练习题含答案
人教版数学七年级上册第3章 3.1 --3.3基础练习题含答案3.1从算式到方程一．选择题1．若关于x的方程（k﹣2020）x﹣2019＝7﹣2020（x+1）的解是整数，则整数k的取值个数是（）A．6B．8C．9D．102．已知k位非负整数，且关于x的方程3（x﹣3）＝kx的解为正整数，则k的所有可能取值为（）A．4，6，12B．4，6C．2，0D．2，0，﹣6 3．下列四组变形中，变形正确的是（）A．由x＝2，得x＝B．由2x﹣3＝0得2x﹣3+3＝0C．由5x＝7得x＝35D．由5x+7＝0得5x＝﹣74．关于x的一元一次方程2x a﹣1+m＝2的解为x＝1，则a﹣m的值为（）A．5B．4C．3D．25．下列等式变形正确的是（）A．若4x＝2，则x＝2B．若4x﹣2＝2﹣3x，则4x+3x＝2﹣2C．若4（x+1）﹣3＝2（x+1），则4（x+1）+2（x+1）＝3D．若＝1，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝66．下列等式变形不正确的是（）A．由x+2＝y﹣2，可得x﹣y＝4B．由2x＝y，可得x＝yC．由﹣x＝y，可得x＝﹣5y D．由y﹣x＝﹣2，可得x＝y+27．如图，两个天平都平衡，则六个球体的重量等于（）个正方体的重量．A．7B．8C．9D．108．已知（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（）A．B．3a＝4b C．D．4a＝3b9．运用等式性质进行的变形，正确的是（）A．若x＝y，则＝B．若＝，则x＝yC．由4x﹣5＝3x+2，得到4x﹣3x＝﹣5+2D．若a2＝3a，则a＝310．下面是一个被墨水污染过的方程：3x﹣2＝x﹣，答案显示此方程的解是x＝2，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（）A．2B．﹣2C．D．二．填空题11．已知关于x的方程2﹣（a﹣1）x|a|＝0是一元一次方程，则a＝．12．已知方程（m﹣1）x|m|﹣5＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为．13．已知关于x的一元一次方程+3＝2020x+m的解为x＝2，那么关于y的一元一次方程+3＝2020（1﹣y）+m的解y＝．14．设“●■▲”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么“？”处应该放“■”的个数为．15．如果（a+3）x|a|﹣2＝3是一元一次方程，那么a＝．三．解答题16．关于x的方程x﹣2m＝﹣3x+4与2﹣x＝m的解互为相反数．（1）求m的值；（2）求这两个方程的解．17．已知x＝﹣2是关于x的方程a（x+3）＝a+x的解，求代数式a2﹣2a+1的值．18．【定义】若关于x的一元一次方程ax＝b的解满足x＝b+a，则称该方程为“友好方程”，例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“友好方程”．【运用】（1）①﹣2x ＝，②x ＝﹣1两个方程中为“友好方程”的是 （填写序号）； （2）若关于x 的一元一次方程3x ＝b 是“友好方程”，求b 的值；（3）若关于x 的一元一次方程﹣2x ＝mn +n （n ≠0）是“友好方程”，且它的解为x ＝n ，则m ＝ ，n ＝ ．19．我们规定，若关于x 的一元一次方程ax ＝b 的解为a +b ，则称该方程为“合并式方程”，例如：3x ＝﹣的解为﹣，且﹣，则该方程3x ＝﹣是合并式方程．（1）判断x ＝1是否是合并式方程并说明理由；（2）若关于x 的一元一次方程5x ＝m +1是合并式方程，求m 的值．3.2解一元一次方程(一)—合并同类项与移项一、选择题1．下列各方程中，合并同类项正确的是( )A ．由3x －x ＝－1＋3，得2x ＝4B ．由23x ＋x ＝－7－4，得53x ＝－3 C ．由52－13＝－x ＋23x ，得136＝13x D ．由6x －4x ＝－1＋1，得2x ＝0 2.下列变形一定正确的是（ ）。
机工社道路勘测设计教学课件第三章3-1概述3-2纵坡设计
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3.2 纵坡设计
10、 其它有关纵坡的规定
（2）隧道部分路线的纵坡
避险车道应设置在车辆可能失控的连续长陡下坡路段，一般情况， 当平均纵坡≥4％，陡坡长度≥3km，交通组成中大、中型车辆比例偏高 时，应考虑设置避险车道。
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3.2 纵坡设计
10、 其它有关纵坡的规定
（1）桥上及桥头路线的纵坡：
1）小桥处的纵坡应随路线纵坡设计。 2）桥梁及其引道的平、纵、横技术指标应与路线总体布设相协调。各项技术指
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2）单一纵坡坡长超过不同纵坡的最大坡长或上坡路段的设计通行能力小 于设计小时交通量。
3）经设置爬坡车道与改善主线纵坡不设爬坡车道技术经济比较论证 ，设置爬坡车道的效益费用比、行车安全性较优。
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3.2 纵坡设计
8、爬坡车道
（4）爬坡车道的设计： 1）横断面组成： 爬坡车道设于上坡方向正线行车道右侧，宽度一般 为3.5m，包括设于其左侧路缘带的宽度0.5m。
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3.2 纵坡设计
8、爬坡车道
（4）爬坡车道的设计： 2）平面布置与长度
公路等级
分流渐变段长度（m）
合流渐变段长度（m）
高速公路、一级公路
100
150~200
二级公路
50
90
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3.2 纵坡设计
8、爬坡车道
（4）爬坡车道的设计： 3）爬坡车道的起、终点
爬坡车道起点应位于陡坡路段上载重汽车运行速度降低至“容许最低速度”之 处；爬坡车道的终点，应设于载重汽车爬经陡坡路段后恢复至“容许最低速度” 处，或陡坡路段后延伸的附加长度的端部。该陡坡路段后延伸的附加长度规定如 表。
人教版数学七年级上册 第3章 3.1--3.3同步检测题含答案
人教版数学七年级上册第3章 3.1--3.3同步检测题含答案3.1从算式到方程一．选择题1．下列是一元一次方程的是（）A．2x+1B．3+2＝5C．x+2＝3D．x2＝02．若关于x的方程3（x+4）＝2a+5的解不小于方程x﹣3a＝4x+2的解，则a的取值范围是（）A．a＞1B．a＜1C．a≥1D．a≤13．下列方程的变形，正确的是（）A．由4+x＝5，得x＝5+4B．由3x＝5，得C．由x＝0，得x＝4D．由4+x＝﹣5，得x＝﹣5﹣44．下列各等式的变形中，一定正确的是（）A．若＝0，则a＝2B．若a＝b，则2（a﹣1）＝2（b﹣1）C．若﹣2a＝﹣3，则a＝D．若a＝b，则＝5．已知x＝y，则下列等式不一定成立的是（）A．x﹣k＝y﹣k B．x+2k＝y+2k C．D．kx＝ky6．下列方程中，是一元一次方程的是（）A．2x＝1B．﹣2＝0C．2x﹣y＝5D．x2+1＝2x7．下列等式变形，正确的是（）A．由1﹣2x＝6，得2x＝6﹣1B．由﹣x＝8，得x＝4C．由x﹣2＝y﹣2，得x＝y D．由ax＝ay，得x＝y8．下列等式变形正确的是（）A．由a＝b，得5+a＝5﹣bB．如果3a＝6b﹣1，那么a＝2b﹣1C．由x＝y，得D．如果2x＝3y，那么9．在梯形面积公式中，已知S＝50，a＝6，b＝a，则h的值是（）A．B．C．10D．2510．下列等式变形错误的是（）A．若a＝b，则B．若a＝b，则3a＝3bC．若a＝b，则ax＝bxD．若a＝b，则二．填空题11．关于x的方程：3x m﹣1﹣2m＝0是一元一次方程，则m的值为．12．已知x＝2是方程10﹣2x＝ax的解，则a＝．13．有9个机器零件，其中8个质量合格，另有一个稍重，不合格．如果用天平称，至少称次能保证找出这个不合格的零件来．14．一列方程如下排列：＝1的解是x＝2；＝1的解是x＝3；＝1的解是x＝4；…根据观察得到的规律，写出其中解是x＝2020的方程：．15．我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：将0.转化为分数时，可设0.＝x，则x＝0.3+x，解得x＝，即0.＝．仿此方法，将0.化成分数是．三．解答题16．方程﹣3＝的根，比关于x的方程2﹣（a﹣x）＝2x的根的2倍还多4.5，求关于x的方程a（x﹣5）﹣2＝a（2x﹣3）的解．17．关于x的方程（m+2）x|m|﹣1﹣3＝9是一元一次方程，求m的值及方程的解．18．我们规定：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解（solution）．已知：关于x的方程．（1）若x＝3是方程的解，求m的值；（2）若关于x的方程的解比方程2m﹣x＝3m的解大6，求m的值；（3）若关于x的方程与均无解，求代数式的值．19．我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b﹣a，则称该方程的为差解方程，例如：的解为且，则该方程就是差解方程．请根据以上规定解答下列问题：（1）若关于x的一元一次方程﹣5x＝m+1是差解方程，则m＝．（2）若关于x的一元一次方程2x＝ab+3a+1是差解方程，且它的解为x＝a，求代数式（ab+2）2019的值．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：A、2x+1不是方程，故此选项不合题意；B、3+2＝5，不含未知数，不是方程，故此选项不合题意；C、x+2＝3是一元一次方程，故此选项符合题意；D、x2＝0是一元二次方程，故此选项不合题意；故选：C．2．【解答】解：方程3（x+4）＝2a+5，去括号得：3x+12＝2a+5，解得：x＝，方程x﹣3a＝4x+2，移项合并得：﹣3x＝3a+2，解得：x＝﹣，根据题意得：≥﹣，去分母得：2a﹣7≥﹣3a﹣2，移项合并得：5a≥5，解得：a≥1．故选：C．3．【解答】解；A、由4+x＝5，得x＝5﹣4，原变形错误，故此选项不符合题意；B、由3x＝5，得x＝，原变形错误，故此选项不符合题意；C、由x＝0，得x＝0，原变形错误，故此选项不符合题意；D、由4+x＝﹣5，得x＝﹣5﹣4，原变形正确，故此选项符合题意．故选：D．4．【解答】解：A、∵＝0，∴两边都乘以2得：a＝0，故本选项不符合题意；B、∵a＝b，∴a﹣1＝b﹣1，∴2（a﹣1）＝2（b﹣1），故本选项符合题意；C、∵﹣2a＝﹣3，∴两边都除以﹣2得：a＝，故本选项不符合题意；D、只有当c≠0时，由a＝b才能得出＝，故本选项不符合题意；故选：B．5．【解答】解：A、x＝y的两边都减去k，该等式一定成立，故本选项不符合题意；B、x＝y的两边都加上2k，该等式一定成立，故本选项不符合题意；C、x＝y的两边都除以k，若k＝0无意义，所以不一定成立，故本选项符合题意；D、x＝y的两边都乘以k，等式一定成立，故本选项不符合题意．故选：C．6．【解答】解：A、2x＝1是一元一次方程，故此选项符合题意；B、﹣2＝0中，是分式，不是整式，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；C、2x﹣y＝5含有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；D、x2+1＝2x是一元二次方程，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；故选：A．7．【解答】解：A、由1﹣2x＝6，得﹣2x＝6﹣1，故A错误；B、由﹣x＝8．得x＝﹣16，故B错误；C、由x﹣2＝y﹣2，得x＝y，故C正确；D、由ax＝ay（a≠0），得x＝y，故D错误；故选：C．8．【解答】解：A、由a＝b得a+5＝b+5，所以A选项错误；B、如果3a＝6b﹣1，那么a＝2b﹣，所以B选项错误；C、由x＝y得＝（m≠0），所以C选项错误；D、由2x＝3y得﹣6x＝﹣9y，则2﹣6x＝2﹣9y，所以＝，所以D选项正确．故选：D．9．【解答】解：把S＝50，a＝6，b＝a代入梯形面积公式中，50＝（6+×6）h，解得h＝．则h的值为．故选：B．10．【解答】解：根据等式的性质可知：A．若a＝b，则＝．正确；B．若a＝b，则3a＝3b，正确；C．若a＝b，则ax＝bx，正确；D．若a＝b，则＝（m≠0），所以原式错误．故选：D．二．填空题11．【解答】解：由题意得：m﹣1＝1，解得：m＝2，故答案为：2．12．【解答】解：∵x＝2是关于x的方程10﹣2x＝ax的解，∴10﹣2×2＝2a，解得a＝3．故答案是：3．13．【解答】解：9个机器零件分成三堆，每堆三个，取其中两堆称，若平衡，则稍重的在另一堆，此时在另一堆中取两个称，即可得出哪个稍重；若不平衡，则可判断稍重的在哪一堆，进而得出哪个稍重．所以至少称2次能保证找出这个不合格的零件来．故答案为：2．14．【解答】解：∵一列方程如下排列：＝1的解是x＝2；＝1的解是x＝3；＝1的解是x＝4；∴一列方程如下排列：+＝1的解是x＝2；+＝1的解是x＝3；+＝1的解是x＝4；…∴+＝1，∴方程为+＝1，故答案为：+＝1．15．【解答】解：设0.＝0.7373…①，根据等式性质得：100x＝73.7373…②，由②﹣①得：100x﹣x＝73，即99x＝73，解得x＝．故答案为：三．解答题16．【解答】解：﹣3＝，解得x＝，方程﹣3＝的根，比关于x的方程2﹣（a﹣x）＝2x的根的2倍还多4.5，得2﹣（a﹣x）＝2x的根是x＝1．把x＝1代入方程2﹣（a﹣x）＝2x，得2﹣（a﹣1）＝2×1．解得a＝1．把a＝1代入a（x﹣5）﹣2＝a（2x﹣3），得（x﹣5）﹣2＝（2x﹣3）．解得x＝﹣4．17．【解答】解：由题意得：，解得m＝2；一元一次方程是：4x﹣3＝9，解这个方程，得x＝3．18．【解答】解：（1）把x＝3代入方程，得：2m﹣3＝1+2解得m＝3答：m的值是3．（2）解，得x＝解2m﹣x＝3m，得x＝﹣m根据题意：﹣（﹣m）＝6，解得m＝3答：m的值是3．（3）方程两边同时乘以6，得3（2mx﹣3）﹣6x＝2x﹣6n 整理得：（6m﹣8）x＝9﹣6n∵此方程无解∴6m﹣8＝0即m＝方程两边同时乘以12，得4（x﹣nx）﹣3（m+1）＝2x 整理得：（2﹣4n）x＝3m+3∵此方程无解∴2﹣4n＝0即n＝＝＝把m＝，n＝代入上式得：＝答：代数式的值是．19．【解答】解：（1）解﹣5x＝m+1得，x＝﹣，∵一元一次方程﹣5x＝m+1是差解方程，∴﹣＝（m+1）+5，解得：m＝﹣，故答案为﹣；（2）∵一元一次方程2x＝ab+3a+1是差解方程，∴x＝ab+3a+1﹣2，又∵x＝a，∴a＝ab+3a+1﹣2，∴ab＝1﹣2a3.2解一元一次方程合并同类项及移项一．选择题1．解方程＝12时，应在方程两边（）A．同时乘B．同时乘4C．同时除以D．同时除以2．方程﹣2x＝1的解是（）A．﹣2B．﹣C．2D．3．解一元一次方程（x﹣1）＝2﹣x时，去分母正确的是（）A．2（x﹣1）＝2﹣5x B．2（x﹣1）＝20﹣5x C．5（x﹣1）＝2﹣2x D．5（x﹣1）＝20﹣2x4．下列方程变形中属于移项的是（）A．由2x＝﹣1得x＝﹣B．由＝2得x＝4C．由5x+b＝0得5x＝﹣b D．由4﹣3x＝0得﹣3x+4＝05．将方程＝1+中分母化为整数，正确的是（）A．＝10+B．＝10+C．＝1+D．＝1+6．在等式S＝中，已知S＝279，b＝7，n＝18，则a＝（）A．18B．20C．22D．247．定义一种新运算“a☆b”的含义为：当a≥b时，a☆b＝a+b；当a＜b时，a☆b＝a﹣b．例如：3☆（﹣4）＝3+（﹣4）＝﹣1，（﹣6）☆＝（﹣6）﹣＝﹣6，则方程（3x﹣7）☆（3﹣2x）＝2的值为（）A．1B．C．6或D．68．下列方程变形中，正确的是（）A．方程5x﹣2＝2x+1，移项，得5x﹣2x＝﹣1+2B．方程3﹣x＝2﹣5（x﹣1），去括号，得3﹣x＝2﹣5x+1C．方程x＝，系数化为1，得x＝1D．方程＝，去分母得x+1＝3x﹣19．阅读下列解方程的过程，此过程从上一步到所给步有的产生了错误，则其中没有错误的是（）解方程：．①；②2（10x﹣30）﹣5（10x+40）＝160；③20x﹣60﹣50x+200＝160；④﹣30x＝300．A．①B．②C．③D．④10．小组活动中，同学们采用接力的方式求一元一次方程的解，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后求出方程的解．过程如下：接力中，自己负责的一步出现错误的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁二．填空题11．关于x的方程：﹣x﹣5＝4的解为．12．在公式S＝n（a+b）中，已知S＝5，n＝2，a＝3，那么b的值是．13．对有理数a，b规定运算“*”的意义为a*b＝a+2b，比如：5*7＝5+2×7，则方程3x*＝2﹣x的解为．14．解方程5（x﹣2）＝6（﹣）．有以下四个步骤，其中第①步的依据是．解：①去括号，得5x﹣10＝3x﹣2．②移项，得5x﹣3x＝10﹣2．③合并同类项，得2x＝8．④系数化为1，得x＝4．15．新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当n为非负整数时，若n﹣≤x＜n+则（x）＝n．如（0.46）＝0，（3.67）＝4．给出下列关于（x）的结论：①（1.493）＝1；②（2x）＝2（x）；③若（x﹣1）＝4，则x的取值范围是9≤x＜11；④当x≥0，m为非负整数时，有（m+2020x）＝m+（2020x）；其中正确的结论有（填写所有正确的序号）．三．解答题16．解方程：（1）2x﹣4＝5x+5；（2）2x+8＝﹣3（x﹣1）．17．解方程：x＝2.875﹣2．18．阅读理解：你知道如何将无限循环小数写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你方法．例题：利用一元一次方程将0.化成分数，设x＝0.，那么10x＝6.，而6.＝6+0.所以10x＝6+x，化简得9x＝6，解得x＝．所以，0.＝．请仿照上述方法将0.化成分数形式．19．下面是小明解方程7（x﹣1）﹣3x＝2（x+3）﹣3的过程，请你仔细阅读，并解答所提出的问题：解：去括号，得7x﹣7﹣3x＝2x+3﹣3．合并同类项，得2x＝7．（第三步）系数化为1，得x＝．（第四步）（1）该同学解答过程从第步开始出错，错误原因是；（2）写出正确的解答过程．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：解方程＝12时，应在方程两边同时除以﹣．故选：D．2．【解答】解：﹣2x＝1，方程两边同除以﹣2，得x＝﹣．故选：B．3．【解答】解：解一元一次方程（x﹣1）＝2﹣x时，去分母正确的是5（x﹣1）＝20﹣2x．故选：D．4．【解答】解：A、由2x＝﹣1得：x＝﹣，不符合题意；B、由＝2得：x＝4，不符合题意；C、由5x+b＝0得5x＝﹣b，符合题意；D、由4﹣3x＝0得﹣3x+4＝0，不符合题意．故选：C．5．【解答】解：方程整理得：＝1+．故选：C．6．【解答】解：把S＝279，b＝7，n＝18代入公式得：279＝，整理得：279＝9（a+7），即a+7＝31，解得：a＝24．故选：D．7．【解答】解：当3x﹣7≥3﹣2x，即x≥2时，由题意得：（3x﹣7）+（3﹣2x）＝2，解得x＝6；当3x﹣7＜3﹣2x，即x＜2时，由题意得：（3x﹣7）﹣（3﹣2x）＝2，解得x＝（舍去），∴x的值为6．故选：D．8．【解答】解：A．方程5x﹣2＝2x+1，移项，得5x﹣2x＝1+2，此选项错误；B．方程3﹣x＝2﹣5（x﹣1），去括号，得3﹣x＝2﹣5x+5，此选项错误；C．方程x＝，系数化为1，得x＝，此选项错误；D．方程＝，去分母得x+1＝3x﹣1，此选项正确；故选：D．9．【解答】解：A、过程①中1.6变成16，错误，本选项不符合题意；B、过程②去分母正确，本选项符合题意；C、过程③去括号时应该为﹣200，错误，本选项不符合题意；D、过程④移项及合并同类项时应该化简为﹣30x＝20错误，本选项不符合题意；故选：B．10．【解答】解：乙步骤错误，原因是去括号没有变号，故选：B．二．填空题11．【解答】解：移项，合并同类项，可得：﹣x＝9，系数化为1，可得：x＝﹣27．故答案为：x＝﹣27．12．【解答】解：∵S＝n（a+b）中，且S＝5，n＝2，a＝3，∴5＝×2×（3+b），解得：b＝2．故答案为：2．13．【解答】解：根据题中的新定义化简得：3x+＝2﹣x，去分母得：6x+1＝4﹣2x，解得：x＝．故答案为：．14．【解答】解：第①步去括号的依据是：乘法分配律．故答案是：乘法分配律．15．【解答】解：①（1.493）＝1，故①符合题意；②（2x）≠2（x），例如当x＝0.3时，（2x）＝1，2（x）＝0，故②不符合题意；③若（x﹣1）＝4，则4﹣x﹣1＜4+，解得：9≤x＜11，故③符合题意；④m为非负整数，故（m+2020x）＝m+（2020x），故④符合题意；综上可得①③④正确．故答案为：①③④．三．解答题16．【解答】解：（1）2x﹣4＝5x+5，2x﹣5x＝4+5，﹣3x＝9，x＝﹣3；（2）2x+8＝﹣3（x﹣1），2x+8＝﹣3x+3，2x+3x＝3﹣8，5x＝﹣5，x＝﹣1．17．【解答】解：∵x＝2.875﹣2，∴x＝，∴x＝．18．【解答】解：设x＝0.，则10x＝7.，∵7.＝7+0.∴10x＝7+x，化简得9x＝7，解得x＝，∴0.＝．19．【解答】解：（1）该同学解答过程从第一步开始出错，错误原因是去括号时，3没乘以2，故答案为：一；去括号时，3没乘以2；（2）正确的解答过程为3.3解一元一次方程(二) -去括号与去分母一．选择题（共10小题）1．下列方程变形中，正确的是（）A．方程5x﹣2＝2x+1，移项，得5x﹣2x＝﹣1+2B．方程3﹣x＝2﹣5（x﹣1），去括号，得3﹣x＝2﹣5x+1C．方程x＝，系数化为1，得x＝1D．方程＝，去分母得x+1＝3x﹣1﹣52．解一元一次方程（x﹣1）＝2﹣x时，去分母正确的是（）A．2（x﹣1）＝2﹣5x B．2（x﹣1）＝20﹣5xC．5（x﹣1）＝2﹣2x D．5（x﹣1）＝20﹣2x3．将方程＝1+中分母化为整数，正确的是（）A．＝10+B．＝10+C．＝1+D．＝1+4．解一元一次方程（x+1）＝1﹣x时，去分母正确的是（）A．3（x+1）＝1﹣2x B．2（x+1）＝1﹣3xC．2（x+1）＝6﹣3x D．3（x+1）＝6﹣2x5．解方程2（3x﹣1）﹣（x﹣4）＝1时，去括号正确的是（）A．6x﹣1﹣x﹣4＝1B．6x﹣1﹣x+4＝1C．6x﹣2﹣x﹣4＝1D．6x﹣2﹣x+4＝1 6．将方程5（x﹣3）﹣2（x﹣7）＝3去括号，正确的是（）A．5x﹣15﹣2x﹣14＝3B．5x﹣3﹣2x+7＝3C．5x﹣15﹣2x+7＝3D．5x﹣15﹣2x+14＝37．把方程＝1﹣去分母，得（）A．2（x﹣1）＝1﹣（x+3）B．2（x﹣1）＝4+（x+3）C．2（x﹣1）＝4﹣x+3D．2（x﹣1）＝4﹣（x+3）8．下列解方程过程中，变形正确的是（）A．由2x﹣1＝3得2x＝3﹣1B．由2x﹣3（x+4）＝5得2x﹣3x﹣4＝5C．由3x＝2得x＝D．由得3x+2x﹣2＝69．方程﹣3x＝的解是（）A．x＝﹣B．x＝﹣9C．x＝D．x＝910．一元一次方程＝的解是（）A．x＝﹣1B．x＝0C．x＝1D．x＝2二．填空题（共5小题）11．方程﹣＝﹣的解是．12．解方程＝2﹣，有下列步骤：①3（3x+1）＝12﹣（2x﹣1），②9x+3＝12﹣2x+1，③9x﹣2x＝12+1+3，④7x＝16，⑤x＝，其中首先发生错误的一步是．13．当t＝时，整式5t+与4（t﹣）的值相等．14．阅读下面解方程的步骤，在后面的横线上填写此步骤的依据：解：去分母，得3（3x+1）＝2（x﹣2）．①依据去括号，得9x+3＝2x﹣4．移项，得9x﹣2x＝﹣4﹣3．②依据合并同类项，得7x＝﹣7．系数化为1，得x＝﹣1．∴x＝﹣1是原方程的解．15．若+1与互为相反数，则a＝．三．解答题（共2小题）16．解方程：（1）2（2x﹣5）﹣（5x+3）＝4；（2）＝﹣1．17．解方程：（1）3（x﹣3）＝x+1；（2）．参考答案1．解：A．方程5x﹣2＝2x+1，移项，得5x﹣2x＝1+2，此选项错误；B．方程3﹣x＝2﹣5（x﹣1），去括号，得3﹣x＝2﹣5x+5，此选项错误；C．方程x＝，系数化为1，得x＝，此选项错误；D．方程＝，去分母得x+1＝3x﹣1﹣5，此选项正确；故选：D．2．解：解一元一次方程（x﹣1）＝2﹣x时，去分母正确的是5（x﹣1）＝20﹣2x．故选：D．3．解：方程整理得：＝1+．故选：C．4．解：方程两边都乘以6，得：3（x+1）＝6﹣2x，故选：D．5．解：去括号得：6x﹣2﹣x+4＝1，故选：D．6．解：将方程5（x﹣3）﹣2（x﹣7）＝3去括号得：5x﹣15﹣2x+14＝3，故选：D．7．解：把方程＝1﹣去分母得：2（x﹣1）＝4﹣（x+3），故选：D．8．解：2x﹣1＝3变形得2x＝1+3；2x﹣3（x+4）＝5变形得2x﹣3x﹣12＝5；3x＝2变形得x＝；故选：D．9．解：方程﹣3x＝，解得：x＝﹣，故选：A．10．解：去分母，可得：2（x+1）＝3x+1，去括号，可得：2x+2＝3x+1，移项，合并同类项，可得：﹣x＝﹣1，系数化为1，可得：x＝1．故选：C．11．解：﹣＝﹣，﹣x＝﹣1，x＝1．故答案为：x＝1．12．解：去分母得：3（3x+1）＝12﹣（2x﹣1），去括号得：9x+3＝12﹣2x+1，移项得：9x+2x＝12+1﹣3，合并得：11x＝10，解得：x＝，∴首先发生错误的一步是③．故答案为：③．13．解：根据题意得：5t+＝4（t﹣），去括号得：5t+＝4t﹣1，解得：t＝﹣，故答案为：﹣．14．解：去分母，得3（3x+1）＝2（x﹣2）．①依据等式的基本性质2：等式的两边都乘以同一个数，所得的等式仍然成立，去括号，得9x+3＝2x﹣4．移项，得9x﹣2x＝﹣4﹣3．②依据等式的基本性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的等式仍然成立，合并同类项，得7x＝﹣7．系数化为1，得x＝﹣1．∴x＝﹣1是原方程的解．故答案为：①等式的基本性质2：等式的两边都乘以同一个数，所得的等式仍然成立；②等式的基本性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的等式仍然成立．15．解：根据题意得：+1+＝0，去分母得：a+2+2a+1＝0，移项合并得：3a＝﹣3，解得：a＝﹣1，故答案为：﹣116．解：（1）去括号，得：4x﹣10﹣5x﹣3＝4，移项，得：4x﹣5x＝4+10+3，合并，得：﹣x＝17，系数化为1，得：x＝﹣17；（2）去分母，得：2（2x﹣1）＝3（3x+5）﹣6，去括号，得：4x﹣2＝9x+15﹣6，移项，得：4x﹣9x＝15﹣6+2，合并同类项，得：﹣5x＝11，系数化为1，得：x＝﹣．17．解：（1）去括号，得3x﹣9＝x+1，移项，得3x﹣x＝9+1，合并，得2x＝10，系数化为1，得x＝5；（2）去分母，得3（x+2）﹣2（2x﹣3）＝24，去括号，得3x+6﹣4x+6＝24，移项，得3x﹣4x＝24﹣6﹣6，合并，得﹣x＝12，系数化为1，得x＝﹣12．。
人教B版高中数学必修四《第三章 三角恒等变换 3.1 和角公式 3.1.2 两角和与差的正弦》_4
教 目标 知识与技能： 通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，包括公式的直接运用与公式的逆用，会进行简单的求值、化简；有目的的化简函数。
过程与方法： 在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、正切公式。
情感、态度、价值观： 通过知识的探究过程培养学生认真分析的良好的习惯及勇于探索精神,激发学生的学习兴趣。
重点 两角和与差的正弦和正切公式的推导，及运用公式进行简单的求值。
难点 灵活运用所学公式进行求值、化简。
教学方法探究学习，小组讨论、学案导学教学手段投影仪，多媒体 教 学 过 程设 计 意 图 一、知识回顾学生活动：回顾复习，完成两角差与和的余弦公式的填空。
二、公式推导思考1：上面学生回顾复习了两角和与差的余弦公，两角和与差的正弦公式是怎样的呢？?)(cos =-βα ?)(cos =+βα师生活动: 引导学生回答)(cos βα+是怎样由)(cos βα-推导出来的？思考2：我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？ 学生活动：学生可能有的想到利用诱导公式来化余弦为正弦即引导学生得出：sin(α+β)=cos ［2π-(α+β)］=cos ［(2π-α)-β］合作探究：（分小组讨论完成下面的推导）cos ［(2π-α)-β］=cos(2π-α)cos β+sin(2π-α)sin β =sin αcos β+cos αsin β. 思考3：类比cos(α-β)推导出cos(α+β)的方法，我们可以由sin(α+β)的公式推出sin(α-β)的公式吗？β用-β代之，则（下面由学生自己推导，找一个学生回答）学生活动：sin(α-β)=sin ［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)设计意图：由复习引入新课，激发学生的成功喜悦，同时引起学生对新知识的思考和探索，激发学生的学习兴趣，增强学生的求知欲望．(也有的想到利用同角的平方和关系式sin 2α+cos 2α=1来互化，此法让学生课下进行)设计意图：合作探究，让学生小组讨论，自己推导出两角差的正弦公式，加深学生对知识的理解。
土壤地理学第三章
影响土壤肥力与土壤自净能力的因素之一。
土壤空气的组成与大气层中空气的组成有 明显的不同。
土壤中不断进行的动植物呼吸作用和
微生物对有机质物的生物化学分解作用，使
得土壤空气中O2不断消耗和CO2逐渐累积，
其结果是土壤空气中O2、CO2浓度与近地层
大气中O2、CO2浓度之间差异的扩大，这样 必然引起O2、CO2气体分子扩散的发生。
研究者所采用。中国土壤科学家参照上述划
分方案，并考虑中国土壤形成的环境条件， 制定了中国土壤土壤温度状况划分体系。
3.3 土壤水分及其特性
水分是土壤的重要组成部分之一，土壤水分
含量对土壤形成发育过程及肥力水平高低都
有重要的影响作用。土壤水分状况及其运动
规律是土壤地理学、资源环境科学的重要研
究内容之一。全球水循环模式与土壤水分类 型。
知识结构
认识土壤流体组成
了解土壤空气、土壤 水运动特征，土壤水 热状况 熟悉土壤分散系、粒 子转化、土壤生态环 境功能及其调控
3.1 土壤空气及其运动
3.2 土壤热量状况 3.3 土壤水分及特性
3.4 土壤分散系及特征
3.5 土壤生态环境功能
3.1 土壤空气及其运动
土壤空气是土壤的重要组成成分，它 和土壤水分共同存在于土壤孔隙之中，是
3.2 土壤热量状况
土壤热量状况是土壤的重要物理性状
之一。影响土壤热量状况的主要因素有：
①土壤吸收的净热量；②使土壤温度变化 所需热量；③土壤水相态转化及其扩散所 需热量；④土壤物质迁移转化所消耗或释 放的热量。
由于土壤温度状况差异巨大，故美国土
壤系统分类将土壤温度状况划分为6大类，
如表3-4。该方案已被许多国家的土壤科学
3.3教学设计
课题：第三章维持生命之气—氧气3.3 燃烧条件与灭火原理导课：火——大家都不陌生！火是人类打开化学大门的第一把钥匙，是人类最早认识的化学反应。
有了火，粘土烧成了陶器，矿石炼出了金属；历史上的陶器时代，青铜时代，铁器时代，蒸汽机时代……包括我国的神舟系列飞船飞上太空，都与火有着密切的联系。
火更是我们生活和生产中不可缺少的助手，我们的一日三餐都离不开它的帮助。
说到火我们很自然就想到燃烧。
但燃烧不当、失控，就会给人类带来灾难。
今天我们就来共同探究一下燃烧与灭火的课题。
[讲授新课]：一、燃烧教师演示：点燃一团棉花。
这团棉花怎么了?还伴随什么现象?[展示图片]：请大家回想一下，我们以前学习过的物质燃烧展示碳、硫、磷、铁、镁、蜡烛等物质的燃烧图片。
[学生讨论]：再结合日常生活中常见的燃烧现象，讨论燃烧的现象有什么共同的特征。
学生归纳燃烧的特征：发光、发热、剧烈、有新物质生成。
引出燃烧的定义：燃烧是可燃物与氧气发生的一种发光、放热的剧烈的氧化反应。
（板书）[设疑]：在生活中我们常遇到这样的一些现象，如野炊时，要点燃篝火必须先要用纸片或汽油进行引燃；在燃烧过程中，如果树枝压得太紧，火容易熄灭；而在熊熊燃烧的篝火下面，泥土却“安然无恙”，不为火所动。
我们如何来解释上述现象呢？看来燃烧是需要条件的，都需要哪些条件呢？[过渡]：下面我们一起通过实验来进行探究仔细阅读课本80、81页的探究活动，总结出燃烧需要具备的条件。
解释：实验三脚架上的两个火柴头。
三个条件缺一不可！只要破坏其中的一个条件，就能实现灭火！请你推测灭火的原理？完成课本82页的讨论与交流。
实验：灭火一：蒸发皿里的酒精燃烧，抹布盖灭。
灭火二：煤油降温灭火。
习题训练：课堂总结：。
第三章3.1---3.3教学研究案讲解
3.1 字母表示数教学研究案主备人：顾孝明审核人：王进霞签印人：教学目标:1．体会在现实情境中字母表示数的意义；2．用字母表示一些简单问题中的数量关系和变化规律，在探索规律的过程中感受从具体到抽象的归纳的思想方法；3．在动手实践、自主探索和合作交流中主动发展数学知识和能力，从中获得成功的体验．教学重点:让学生经历探索规律并用字母和代数式表示规律的过程，引导学生用字母和代数式表示规律，并体会字母表示数的意义．教学难点：能用字母和代数式表示规律．教学方法：探索、实践教具准备：多媒体教学内容：预学篇预学目标：1．体会在现实情境中字母表示数的意义；2．能表示一些简单问题中的数量关系和变化规律。
预学内容：问题与思考：1、在日常生活中，人们经常用符号、图标来传递某种信息，表示某种具体的意义。
你认识这些图标吗？你觉得人们为什么要使用这些图标吗？2、失物招领启示小华今天上午在校园内捡到一个钱包，钱包内有人民币若干元，请失主到政教处认领。
问：这里为什么要用若干元，而不写清具体的数目，可不可以用一个字母来表示？如果可以，那么这个字母将表示什么意义？3、观察下列等式：4+5=5+4 3+(－2)=(－2)+3 0+8=8+0...这样的式子你能找得尽吗？你能用什么方式把它们的关系简洁明了的表示出来？5.你还记得学过的三角形、梯形、长方形以及圆的周长和面积公式吗？先用语言叙述一遍，再写出来。
6.小亮跑步的速度是a米/秒，是小莉跑步速度的3倍，请用代数式表示，•小莉跑步的速度是_______米/秒．导学篇初备导学目标：1.用字母表示一些简单问题中的数量关系和变化规律，在探索规律的过程中感受从具体到抽象的归纳的思想方法；2. 在动手实践、自主探索和合作交流中主动发展数学知识和能力，从中获得成功的体验．导学内容：一、探索、猜想与尝试：1、同学们，我们都知道2008年奥运会将在我国北京进行，为了迎接2008年奥运会,我设想(用投影)以这种形式从左往右搭2008个正方形，谁能告诉老师需要多少根火柴棒？……问：(1)搭1个正方形需要___根小棒。
3-1--3.3导学案
高二年级 选修3-1导学案编制时间 2013 年 11 月 11 日 使用班级：高 二（ ）班 主备人：张培山 复备人： 陈彦平、元庆余 审核人签字：第 1 页 共 4 页 第 2页 共4页第三章第3节几种常见的磁场小组 学生姓名 教师评价【学习目标】1、会用磁感线描述磁场2、知道通电直导线和通电线圈周围磁场的方向3、掌握匀强磁场4、知道磁通量的物理意义和定义式5、了解安培分子假说，从而解释一些磁现象 【预习自测】1、会用磁感线描述磁场 2、知道通电直导线和通电线圈周围磁场的方向 3、掌握匀强磁场4、知道磁通量的物理意义和定义式5、了解安培分子假说，从而解释一些磁现象 【我的疑问】对预习自学的内容，你有什么疑问？探 究 案【引导讨论】知识点1.常见磁场三种常用的电流磁场的特点及画法比较（请在图的右侧练习画电流磁场）（1）直线电流的磁场：无磁极，非匀强，距导线越远处磁场越弱，画法如图所示。
（2）通电螺线管的磁场：两端分别是N 极和S 极，管内是匀强磁场，管外为非匀强磁场，画法如图所示。
（3）环形电流的磁场：两侧是N 极和S 极，离圆环中心越远，磁场越弱，画法如图所示。
[例1] 如图所示为磁场、磁场作用力演示仪中的赫姆霍兹线圈，当在线圈中心处挂上一个小磁针，且与线圈在同一平面内，则当赫姆霍兹线圈中通以如图所示方向的电流时（ ）A. 小磁针N 极向里转B. 小磁针N 极向外转C. 小磁针在纸面内向左摆动D. 小磁针在纸面内向右摆动[总结]应用安培定则判断环形电流的磁场；小磁针的N 极指示磁场方向。
[变式训练] 如图所示，一束带电粒子沿水平方向沿虚线飞过磁针上方，并与磁针方向平行，能使磁针N 极转向读者，那么这束带电粒子可能是（ ）A. 向右飞的正离子B. 向左飞的负离子C. 向右飞的负离子D. 向左飞的正离子知识点2.安培分子电流假说导学案装订线Jinchangshierzhong金昌市第二中学导学案[例2]安培分子电流假说可以解释（）A.直线电流的磁场B.永磁铁的磁场C.软磁棒被磁化D.环形电流的磁场知识点3.磁通量、磁通密度磁通量：磁场的强弱（即磁感应强度）可以用磁感线的疏密来表示。
第三章：劳动力市场的均衡
非自愿失业以及劳动力短缺和劳动力过剩 的含义； 的含义；
5
（二）静态均衡和动态均衡 静态均衡
静态均衡是抽象掉时间因素，变量的调整可在瞬间完成。 静态均衡是抽象掉时间因素，变量的调整可在瞬间完成。
动态均衡
动态均衡则相反，认定经济变量的调整有个时间过程。 动态均衡则相反，认定经济变量的调整有个时间过程。
6
二、现代经济学描述的均衡 （一）一般意义上的均衡
一般意义上的均衡（或叫“一般意义上的经济 一般意义上的均衡（或叫“ 均衡” ------现代经济学所说的均衡 现代经济学所说的均衡， 均衡”）------现代经济学所说的均衡，已不仅 仅是“市场均衡” 而是一般意义上的“ 仅是“市场均衡”，而是一般意义上的“经济 均衡”。（如计划经济中的某些情况 如计划经济中的某些情况） 均衡”。（如计划经济中的某些情况）
劳动力需求曲线右移，均衡工资率 劳动力需求曲线右移， 上升，均衡就业量增加； 上升，均衡就业量增加； 劳动力需求曲线左移， 劳动力需求曲线左移，均衡工资率 下降，均衡就业量下降； 下降，均衡就业量下降；
16
劳动力供求双方同时变动对静态均衡的影响
S2 S
D1
D
17
3.3 劳动力市场的动态均衡分析
3.3.1 动态均衡的基 本假定
7
（二）凯恩斯失业均衡
现代经济学对均衡概念的另一个发展，是把只满足古典均 现代经济学对均衡概念的另一个发展， 衡的两个条件当中的一个条件的经济状态也认定为均衡。 衡的两个条件当中的一个条件的经济状态也认定为均衡。 20世纪 年代凯恩斯宏观经济理论出现以后 20世纪30年代凯恩斯宏观经济理论出现以后，形成了失业 世纪30年代凯恩斯宏观经济理论出现以后， 均衡的概念。按照古典均衡的定义，失业均衡是一个悖论： 均衡的概念。按照古典均衡的定义，失业均衡是一个悖论： 失业意味着劳动力市场上供给大于需求，因而是非均衡的， 失业意味着劳动力市场上供给大于需求，因而是非均衡的， 而不是均衡。 而不是均衡。 但是，凯恩斯失业均衡概念的出现说明： 但是，凯恩斯失业均衡概念的出现说明：
3-1--3.1 导学案
金昌市第二中学导学案Jinchangshierzhong示，当开关S闭合后，试确定小磁针的N极指向。
解析：由于小磁针放在通电螺线管的内部，就涉及螺线管的内部磁场方向问题．根据安培定则，螺线管的内部磁感线方向是向左的，所以小磁针静止时，1、本节学习有关磁场的基本知识，通过回顾磁学的发展历史和初中学过的磁学知识，应该掌握磁场的基本概念、磁感线及其物理意义、知道磁铁、电流和地球磁场的磁感线分布情况，并会用安培定则判定磁场方向．【自己解决】1．首先发现电流产生磁场的科学家是( )（A）牛顿（B）阿基米德（C）奥斯特（D）伏特2．如图3-1-12所示,一束带电粒子沿着水平方向平行地飞过磁针的上方时,磁针的S极向纸内偏转,这一带电粒子束可能是( BC )(A)向右飞行的正离子束(B)向左飞行的正离子束(C)向右飞行的负离子束(D)向左飞行的负离子束3．关于磁感线的概念和性质，以下说法中正确的是( A )(A)磁感线上各点的切线方向就是小磁针静止时北极的指向(B)磁场中任意两条磁感线有可能相交(C)铁屑在磁场中的分布所形成的曲线就是实际存在的磁感线(D)磁感线总是从磁体的N极发出终止于磁体的S极【针对训练1】在图3-1-11中，已知下列各图中的电流方向，请画出相应的磁感线。
【针对训练2】A、如图3-1-12所示，可以自由转动的小磁针静止不动时，靠近螺线管的是小磁针的____极。
若将小磁针放到螺线管内部，小磁针指向与图示位置时的指向相____（填“同”或“反”）。
N、同A、如图3-1-13所示通电螺线管，试标出它的N、S极.并在A(螺线管内部一点)，B，C，D四点上各画一小磁针，标出当它们平衡时，N极的指向。
B、如图3-1-14所示，一个电子做逆时针方向的圆周运动。
请标出圆心处产生的磁场方向及小磁针南极的转动方向。
C、地球是一个大磁体：（1）试在图3-1-15画出地球磁场的磁感线大致分布图，不考虑磁偏角（即认为磁轴和地轴重合）（2）19世纪20年代，以塞贝克（数学家）为代表的科学家已认识到：温度差会引起电流，安培考虑到地球自转造成了太阳照射后正面与背面的温度差，从而提出如下假设：地球磁场是由地球的环形电流引起的，则该假设中的电流方向是（注：磁子午线是地球磁场N极与S极在地球表面的连线）( )（A）由西向东垂直磁午线（B）由东向西垂直磁子午线（C）由南向北沿磁子午线（D）由赤道向两极沿磁子午线方向【我的收获】【作业】课后练习：2、3第 3 页共 4 页第4页共4页。
新教育教研主题
新教育教研主题
新教育教研主题：以综合素质教育为导向的创新教学研究
第一章引言
1.1 研究背景
近年来，随着社会的不断发展和进步，人们对教育的需求也日益增加。
传统的教育模式已经无法满足现代社会对人才的需要，而综合素质教育作为一种新的教育理念和模式，逐渐被广大教育工作者所接受。
因此，对以综合素质教育为导向的创新教学进行深入研究具有重要的实际意义和理论价值。
1.2 研究目的
本研究旨在探究以综合素质教育为导向的创新教学的内涵和实施策略，通过实践研究，提出有效的教学模式，促进学生全面发展和素质提高。
第二章综合素质教育的理论基础
2.1 综合素质教育的概念
2.2 综合素质教育的目标和原则
2.3 综合素质教育与传统教育的比较
第三章以综合素质教育为导向的创新教学实施策略
3.1 培养学生的综合素质意识
3.2 重视学生的自主学习和探究能力
3.3 设计多元化的评价方式
3.4 提供丰富多样的学习资源
3.5 创建积极的学习环境
第四章以综合素质教育为导向的创新教学案例分析
4.1 案例一：以“线上线下一体化教学”为背景的综合素质培养 4.2 案例二：以项目式学习为核心的综合素质教育实践
4.3 案例三：以社区实践为基础的综合素质提升
第五章以综合素质教育为导向的创新教学评价方法
5.1 评价内容的设计
5.2 评价方法的选择
5.3 评价结果的解读
第六章研究结果与讨论
6.1 实施以综合素质教育为导向的创新教学的效果
6.2 针对问题的思考和改进措施
第七章结论
7.1 研究总结
7.2 展望未来
参考文献
附录
- 结束 -。
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3.1 字母表示数教学研究案主备人：顾孝明审核人：王进霞签印人：教学目标:1．体会在现实情境中字母表示数的意义；2．用字母表示一些简单问题中的数量关系和变化规律，在探索规律的过程中感受从具体到抽象的归纳的思想方法；3．在动手实践、自主探索和合作交流中主动发展数学知识和能力，从中获得成功的体验．教学重点:让学生经历探索规律并用字母和代数式表示规律的过程，引导学生用字母和代数式表示规律，并体会字母表示数的意义．教学难点：能用字母和代数式表示规律．教学方法：探索、实践教具准备：多媒体教学内容：预学篇预学目标：1．体会在现实情境中字母表示数的意义；2．能表示一些简单问题中的数量关系和变化规律。
预学内容：问题与思考：1、在日常生活中，人们经常用符号、图标来传递某种信息，表示某种具体的意义。
你认识这些图标吗？你觉得人们为什么要使用这些图标吗？2、失物招领启示小华今天上午在校园内捡到一个钱包，钱包内有人民币若干元，请失主到政教处认领。
问：这里为什么要用若干元，而不写清具体的数目，可不可以用一个字母来表示？如果可以，那么这个字母将表示什么意义？3、观察下列等式：4+5=5+4 3+(－2)=(－2)+3 0+8=8+0...这样的式子你能找得尽吗？你能用什么方式把它们的关系简洁明了的表示出来？5.你还记得学过的三角形、梯形、长方形以及圆的周长和面积公式吗？先用语言叙述一遍，再写出来。
6.小亮跑步的速度是a米/秒，是小莉跑步速度的3倍，请用代数式表示，•小莉跑步的速度是_______米/秒．导学篇初备导学目标：1.用字母表示一些简单问题中的数量关系和变化规律，在探索规律的过程中感受从具体到抽象的归纳的思想方法；2. 在动手实践、自主探索和合作交流中主动发展数学知识和能力，从中获得成功的体验．导学内容：一、探索、猜想与尝试：1、同学们，我们都知道2008年奥运会将在我国北京进行，为了迎接2008年奥运会,我设想(用投影)以这种形式从左往右搭2008个正方形，谁能告诉老师需要多少根火柴棒？……问：(1)搭1个正方形需要___根小棒。
搭2个正方形需要___根小棒。
搭10个正方形需要___根小棒。
搭2008个正方形需要__根小棒。
(2)搭n个正方形需要多少根火柴棒？2、尝试应用用同样大小的小正方形纸片，按照规定的方式拼大正方形。
1、按照如此操作：图(4)、(5)、(9)、(10)各有多少个小正方形？2、思考：图(2)比图(1)多几个小正方形？图(3)比图(2)呢？图(4)比图(3)呢？图(5)比图(4)呢？图(10)比图(9)呢？与同学交流！3、探索：你认为”每一个图形比它前面的一个图形所多的小正方形个数“有没有规律？有什么规律？如何表示这个规律？二、例题探究1、同学们来观察某年某月的月历。
日一二三四五六1 2 34 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30问：(1)月历中用方框任意框住的四个数有什么关系？(2)根据所发现的规律填表。
a(3)用正方形框住九个数再研究它们的规律。
(4)某年某月有5个星期二,它们的数字之和为80，那么这个月的3号是星期( )A.一B.二C.三D.四 三、展示与交流1.小明今年n 岁，小明比小丽大2岁，小丽今年____岁。
2.小丽5h 走了Skm ，那么她的平均速度____km/h 。
3.一件羊毛衫标价a 元，若按标价的8折出售，则这件羊毛衫的售价是___元。
4.如果某广场四个角铺了四分之一圆的草地面积，若圆的半径为r m ，则共有草地( )平方米。
A.πr 2B.2πr 2C.4πr 2D.41πr 25、已知一个两位数的个位数字是，十位数是，那么这个两位数如何表示？6、将一张足够大的正方形纸片进行如下操作：第一次将它剪成4张小正方形纸片；第二次将其中1张正方形纸片再剪成4张正方形纸片；第三次再将其中1张正方形纸片剪成4张……如此操作下去，经过n 次操作可得到多少张纸片？四、回顾总结：1、这节课你学习了什么？有什么新的收获？2、本节课你是怎样探索规律的？与同学交流探索规律的过程体会。
3.1 字母表示数慧 学 篇1． 选择题：（1）七年级甲班有学生a人，其中女生占40℅，那么男生人数是（）(A) 40℅a (B) (1－40℅)a (C) a/1－40℅ (D) a/40℅(2)数组3,7,11,15,19,…中的第n个数为( )(A)2n+1 (B) 3n (C)4n－1 (D) n+22．填空题：（1）小亮跑步的速度是a米/秒，是小莉跑步速度的3倍，请用代数式表示，•小莉跑步的速度是_______米/秒．（2）有一列数1，2，3，4，5，6，…，按顺序从第2个数数到第6个，共数了_______个数；按顺序从第m个数数到第n个数（n>m），共数了_______个数．（3）观察下列图形并填表:112梯形个数1 2 3 4 5 …n周长 5 …（4）9－1=8；16－4=12；25－9=16；36－16=20；…这些等式反映的是正整数间的某种规律，若n表示正整数，将这一规律用n 的式子表示为__________．3．某水果市场规定：苹果批发价为每千克2.5克，小王携带现金3 000元到这个市场采购苹果，并以批发价买进，如果购买了苹果x千克，用x•表示小王付款后的剩余现金．4．用字母表示图中阴影部分的面积．abxRR3.2代数式教学研究案主备人：顾孝明审核人：王进霞签印人：教学目标1．了解代数式、单项式、单项式的系数和次数、多项式、多项式的次数、整式的概念；2．用代数式表示简单问题的数量关系，解释一些简单代数式的实际背景或几何意义；3．通过具体例子感受“同一个代数式可以表示不同的实际意义”，“理解符号所代表的数量关系”．教学重点代数式，单项式、单项式的系数和次数，多项式、多项式的次数，整式的概念以及用代数式表示简单问题的数量关系．教学难点：解释一些简单代数式的实际背景或几何意义。
教学方法：探索、实践教具准备：多媒体教学内容：预学篇预学目标:1.了解代数式、单项式、单项式的系数和次数、多项式、多项式的次数、整式的概念；2．用代数式表示简单问题的数量关系，解释一些简单代数式的实际背景或几何意义；预学内容：1.小明到超市购买商品，发现部分食品正在打折促销，原价每袋a元的甲食品9折优惠，原价每袋b元的乙食品8折优惠，小明两种食品各买1袋共需几元？2．用字母a表示月历的方框里右上角的数，则其他三个数分别为．a3．某航空公司规定：乘坐经济舱的旅客每位可免费携带行李20kg，超重部分每千克按票价的1.5％付行李费．于是，我们知道随着机票价格和携带行李质量的变化，需付的行李费也将发生变化．（1）从南京出发，携带行李30kg乘飞机分别到达下列城市，应付行李费多少元？（2）如果机票价格为m元，携带行李30kg，应付行李费多少元？（3）如果机票价格为m元，携带行李n kg﹙n＞20﹚，应付行李费多少元？3．某农场有亩产a千克的水稻m亩，亩产b千克的水稻n亩，这个农场水稻的平均亩产为______千克．导学篇初备导学目标：1．用代数式表示简单问题的数量关系，解释一些简单代数式的实际背景或几何意义；2．通过具体例子感受“同一个代数式可以表示不同的实际意义”，“理解符号所代表的数量关系”．导学内容：【探究新知】像a－1、a＋6、a＋7、0.015m(n－20)、am＋bnm＋n以及上节课出现的n－2、st、0.8a、40－m－n、a＋bn－2等式子都是代数式．单独一个数或一个字母也是代数式．讨论：a＋b＝b＋a、a＜b是代数式吗？小结：代数式中不含“＝”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“≠”等符号．代数式书写注意事项：1．数与字母相乘，可省略乘号，数字写在字母前面，若数字是带分数的应写成假分数．2．除法运算通常写成分数的形式．3．结果是和或差的形式时，应将式子用括号括起来，再写上单位名称．例1 为提高电能利用效率，供电公司用“峰谷分时电价”引导居民合理安排用电时间．某地每天8:00到21:00为用电高峰段（简称“峰时”），峰时电价为0.55元/千瓦时；21:00到次日8:00为用电低谷段（简称“谷时”），谷时电价为0.35元/千瓦时．该地某用户上月峰时用电a 千瓦时，谷时用电b 千瓦时，该用户上月的峰时电费、谷时电费和总电费分别为多少？代数式0.55a 、0.35b 、0.15m 、2a 2、0.8a 和abc 等都是数与字母的积，这样的代数式叫单项式，单独一个数或一个字母也是单项式．单项式中的数字因数叫做它的系数，单项式中所有字母的指数和叫做它的次数 ．例2 要在长方形和环形地块中铺设草坪，长方形的长、宽分别为a m 、b m ，环形的外圆、内圆的半径分别为R m 、r m ，求共需草皮的面积．几个单项式的和叫做多项式．例如，n －2、0.55a ＋0.35b 、ab ＋πR 2－πr 2等都是多项式．多项式中，每个单项式叫做多项式的一个项，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．如πR 2－πr 2是πR 2、－πr 2两项的和，它的次数是2．单项式和多项式统称整式．例3 下列式子中哪些是代数式，哪些是整式，单项式和多项式？y 2 ，a －5，2y ，4a 2b ，－6，a 2＋3ab ＋b 2，a ，x ＝1，－x ，12 ＞13 ，01．含有等号或不等号的式子一定不是代数式． 2．单独的一个数或字母也是单项式．3．一般分母含有字母的式子不是整式． 【感受代数式的意义】1．苹果a 元/kg ，橘子b 元/kg ，买5kg 苹果、6kg 橘子应付 元；2．小明每步走a m ，小亮每步走b m ，小明、小亮从小桥的两端相向而行，小明走5步，小亮走6步，两人相遇，小桥长 m ； 3．a 个五边形，b 个六边形，共有 条边．想一想：举例说明代数式2（x ＋y ）可以表示哪些不同的实际意义． 2x ＋y 呢？ 【试一试】1．说出下列单项式的系数与次数． －4x ，a 2，ab5 ，－πp 32．说出下列各多项式的项数和次数． （1）3a 2＋2b 3 （2）－a 2b 3＋a 3b 2－1 （3）x 2 －y 3（根据上课情况补充多项式3x －4y5 设问．）3．（思考题）如图：直角三角形三边长分别为6，x ，10（单位：cm ） （1）三角形ABC 的面积是_____cm 2，斜边上的高是______cm ； （2）若点P 在AC 边上运动，P 从A 到C 以2cm/s 运动，t 秒后，AP 的长为______cm ，PC 长为______cm ，此时，三角形PBC 面积是______ cm 2．10x 6A CBP【课堂小结】1．单项式、多项式、整式、代数式之间有什么联系与区别？2．代数式书写时有什么注意事项？3．一些不同背景的实际问题有时可以用同一个代数式表示其中的数量关系，所以同一个代数式可以表示不同的实际意义．3.2代数式慧学篇1．n箱苹果重p千克，每箱重________千克．2．甲同学身高a厘米，乙同学比甲同学高6厘米，则乙同学身高为______厘米．3．全校学生总数是x，其中女生占40%，则女生人数是________．4．一个两位数，个位数是x，十位数是y，这个两位数为________，如果个位数字与十位数字对调，所得的两位数是_________．5．在边长为a的正方形内，挖出一个底为b，高为12a的正三角形，•则剩下的面积为________．6．王洁同学买m本练习册花了n元，那么买2本练习册要______元．7．写三个单项式，系数分别为负分数、正分数、假分数；次数分别是4次、3次、5次：、、。