PigeonholePrinciple(鸽巢原理).
Ch6-鸽巢原理与Ramsey定理
使 mk1 = mk 2 = L = mk n+1 = i, 1 ≤ i ≤ n
15
n 2 + 1个实数 a 1 , a 2 , L , a n 2 + 1 组成的序列 例3: 任意 中, 必有一个长度为 n + 1 的单调递增或单调递减的子序列.
下面证明对应这些下标 k1 , k 2 , L , k n +1 的实数序列必满足
= (b1 + b2 + L + bi + bi +1 + L + b j ) − (b1 + b2 + L + bi ) = bi +1 + bi + 2 + L + b j
说明从第 i+1天到第j天这连续j-i天中，该棋手刚好下了21 盘棋。
9
例7: 设 a1 , a2 , a3 是3个任意整数, b1 , b2 , b3 是 a1 , a2 , a3 的 任一排列, 则 a1 − b1 , a2 − b2 , a3 − b3 至少有一个是偶数.
j +1
与 mk = mk 矛盾，从而可知 ak , ak ,L, ak 长度为 n + 1 的递减子序列。
j j +1
1
2
n +1
就是所存在的
16
例4: 网络服务器 一家公司有15台网络服务器和10个因特网端口，任意 时刻都不会有超过10台的服务器同时需要端口。每5分钟， 这些服务器的某个子集请求端口。若希望以这样的方式把每 一个服务器与某些端口相连接：使用尽可能少的连接，总是 确保一台网络服务器有一个存取端口（一个端口一次至多被 一个服务器使用），需要多少次连接？ 例5：调制解调器 在15天的周期内，某调制解调器连接使用了300个小 时，则在连续3天的某个周期内，该调制解调器至少使用了 60个小时。
详解鸽子模型
详解鸽子模型简介鸽子模型（Pigeonhole principle）是一种离散数学的基本原理，也是计数学中重要的工具。
它的基本思想是将大于鸽子数量的物体放进小于等于鸽子巢穴数量的空间中，必定会存在至少一个巢穴中装有多个物体。
原理鸽子模型的具体表述为：如果有n+1个物体放入n个中，则至少有一个中含有两个或多个物体。
应用领域鸽子模型在计算机科学、密码学、概率论、集合论等领域得到广泛应用。
计算机科学在计算机科学中，鸽子模型常用于证明算法或系统的性能或正确性。
例如，在哈希算法中，将一个大的输入空间映射到一个较小的输出空间时，由于输入空间的大小超过输出空间，必然会出现多个不同的输入映射到同一个输出。
密码学在密码学中，鸽子模型用于解释和证明基于哈希函数的消息认证码的有效性。
由于哈希函数的输出空间有限，而输入空间可能是无穷的，因此必定存在多个不同的输入映射到相同的哈希值。
概率论在概率论中，鸽子模型用于解释和证明在有限大小的样本空间中的抽样事件。
如果样本空间的大小小于抽样事件的次数，则必然会出现至少一个样本事件被多次抽到的情况。
集合论在集合论中，鸽子模型用于证明集合之间的关系。
例如，如果将n+1个元素放入n个子集中，则至少有一个子集中包含多个元素。
结论鸽子模型是一种简单而强大的原理，可以帮助我们解决各种计数和排列组合问题。
它在不同领域的应用广泛，特别是在算法设计、系统分析和加密技术中。
理解和掌握鸽子模型的思想和原理，对于解决实际问题和提高计算能力具有重要意义。
鸽巢问题
鸽巢问题基础知识：1.鸽巢原理又称抽屉原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家侠利克雷明确地提出出来地，因此，也称为侠利克雷原理。
把3个苹果放进2个抽屉里，一定有一个抽屉里放了2个或2个以上地苹果。
2.鸽巢原理（一）：如果把m个物体任意放进n个抽屉里（m>n，且n是非零自然数），那么一定有一个抽屉至少放进了2个物体。
3.鸽巢原理（二）：如果把多于kn个物体任意分别放进n个空抽屉（k是正整数，n是非0自然数），那么一定有一个抽屉至少放进了（k+1）个物体。
如：把10本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进4本书。
我们把这些例子中的“苹果”“鸽子”“信”看作一种物体，把“盒子”“鸽笼”“信箱”看作鸽巢，可以得到鸽巢原理最简单的表达形式：物体个数÷鸽巢个数=商......余数至少个数=商+1摸同色球计算方法：①要保证摸出同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色数多1。
物体数=颜色数×（相同颜色数-1）+1②极端思想（最快打算）：用最不利的摸法先摸出两个不同颜色的球，再无论摸出一个什么颜色的球，都能保证一定有两个球是同色的。
鸽巢问题的计算总结：有余数：知道抽屉和至少数（同类）求物体时至少数=商+1 物体数=（至少数-1）×抽屉数=1物体数÷抽屉数（要分的份数）没有余数：当至少数为2时，物体数=抽屉数+1 至少数=商知道抽屉数和至少数（不同类）求物体时知道物体和至少数求抽屉数物体数=（至少数-1）×抽屉数+1 （物体数-1）×（至少数-1）=商......余数（每种个数）（商是所求抽屉数）至少情况：例题：把四只鸽子放进笼子，会有哪些情况呢？总结：1.最多的笼子里，最少有2只鸽子，我们叫做有一个笼子至少有2只鸽子。
2.4只鸽子飞进3个鸽笼，不管怎么飞，总有一个鸽笼至少飞进2只鸽子。
思考把5个桃子放进4个抽屉里，米可以得出什么结论？分析：枚举法：共种，分别是（），（），（），（），（），（）。
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密码学中的应用
密码学是研究如何保护信息安全的一门科学，而鸽巢原理在密码学中也 有一定的应用。例如，在分析某些加密算法的安全性时，可以利用鸽巢 原理来证明某些攻击方法的有效性或无效性。
05
鸽巢问题原理拓展与延伸
广义鸽巢原理
原理表述
如果n个物体放入m个容器，且n>m，则至少有一 个容器包含两个或两个以上的物体。
掌握鸽巢原理的证明方法是学习该原理的关键。 建议学习者多阅读相关教材或论文，了解不同证 明方法的思路和应用场景。
多做练习题
通过大量的练习题可以加深对鸽巢原理的理解和 掌握。建议学习者多做一些难度适中的练习题， 逐步提高自己的解题能力。
未来研究方向展望
拓展应用领域
随着计算机科学和信息技术的发展，鸽巢原理的应用领域也在不断拓展。未来可以进一步探索鸽巢原理在人工智能、 大数据等领域的应用。
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目录
• 鸽巢问题原理概述 • 鸽巢问题原理基本概念 • 鸽巢问题原理证明方法 • 鸽巢问题原理应用举例 • 鸽巢问题原理拓展与延伸 • 总结与回顾
01
鸽巢问题原理概述
定义与背景
鸽巢原理定义
如果 n 个鸽子要放进 m 个鸽巢，且 n > m，则至少有一个鸽巢里有多于一 个鸽子。
重要性
理论价值
鸽巢原理是数学中的基本 原理之一，对于理解更高 级的数学概念和证明具有 重要意义。
实际应用
在计算机科学、工程等领 域中，鸽巢原理为解决复 杂问题提供了有效的思路 和方法。
拓展思维
通过学习鸽巢原理，可以 培养逻辑思维和抽象思维 能力，提高分析问题和解 决问题的能力。
02
鸽巢问题原理基本概念
鸽巢原理 与 双重计数
鸽巢原理(Pigeon-hole principle)
鸽子总数≤ m1 + m2 +… +mn－n ， 与假设相矛盾．
推论１ m只鸽子进n个巢，至少有一个巢 m 里有「－ n |只鸽子． 推论２ n(m－1) + 1只鸽子进n个巢，至少 有一个巢内至少有m只鸽子． 推论３ 若m1 , m2 , … , mn是正整数，且 m1 + … +mn > r－1,则 m1,… , mn至少有一个 n 不小于r
鸽巢原理 与 双重计数 Pigeon-hole and double counting
福州大学数学与计算机科学学院
常安 2014年10月16日
鸽巢原理(Pigeon-hole principle)
鸽巢原理是组合数学中最简单也是最基本 的原理，也叫抽屉原理。即
“若有n个鸽子巢，n+1个鸽子，则至少有 一个巢内有至少有两个鸽子。”
例 1 设G=(V, E)是一个简单图，其中V是 顶点集，E是边集. 则有
证明可以通过考虑集合SVE, 即所有 序对(v, e)的集合，这里vV是边eE的一 个端点.
双重计数（Double counting ）
例2 An extremal problem on graphs
双重计数（Double counting ）
ห้องสมุดไป่ตู้
鸽巢原理(Pigeon-hole principle)
例 将[ 1 , 65 ]划分为４个子集，必有一个 子集中有一数是同子集中的两数之差． 证 用反证法．设此命题不真．即 存在划分P1∪ P2∪ P3∪P4＝[ 1，65 ]，Pi 中不存在一个数是Pi中两数之差，i=1,2,3,4 因 65 = 17，故有一子集，其中至少有17 4 个数，设这17个数从小到大为a1 , … , a17 ． 不妨设 A={a1 , … , a17 } P1。 令bi－1= ai－a1，i = 2，· · · ，17。
鸽巢原理知识点总结
鸽巢原理知识点总结一、什么是鸽巢原理1.1 定义鸽巢原理（Pigeonhole Principle），也叫抽屉原理或鸽笼原理，是一种常用的数学原理。
它指出，如果有n+1个物体被放入n个容器中，那么至少有一个容器必然包含两个或更多的物体。
1.2 表述鸽巢原理可以用一句话来表述：如果有m个鸽子进入n个巢穴，并且m > n（鸽子的数量多于巢穴的数量），那么至少有一个巢穴中会有多于一个只鸽子。
二、鸽巢原理的应用2.1 数学领域鸽巢原理在数学领域有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：（1）抽屉原理抽屉原理是鸽巢原理的一种特殊情形，它指出：如果有n个物体被放入m个容器中，其中n > m，则至少有一个容器中会有两个或更多的物体。
这个原理常用于证明存在性问题。
（2）鸽巢模型鸽巢模型是鸽巢原理的一种应用模型。
它主要用于解决排列与选择问题，如数学中的鸽巢函数、离散数学中的排列与组合问题等。
（3）整数划分鸽巢原理可以用于整数划分问题的证明。
例如，如果将1到9的整数划分为四组，并且至少有一组会包含两个或更多的整数。
2.2 计算机科学领域鸽巢原理在计算机科学领域也有着重要的应用。
以下是几个常见的应用场景：（1）哈希算法哈希算法中的哈希冲突问题可以借鉴鸽巢原理的思想进行解决。
在哈希表中，如果有n个键被映射到m个槽位中，其中n > m，则至少有一个槽位会包含两个或更多的键，这时可以通过使用冲突解决方法来解决哈希冲突。
（2）抽屉排序抽屉排序（Pigeonhole Sort）是一种基于鸽巢原理的排序算法。
该算法的基本思想是将待排序的元素根据其值的范围分配到对应的鸽巢中，然后按照鸽巢的顺序收集元素得到有序序列。
（3）数据分析在数据分析领域，鸽巢原理常用于解决去重、分组和统计等问题。
例如，在一组数据中，如果有n个数据被映射到m个分组中，其中n > m，则至少有一个分组会包含两个或更多的数据。
三、使用鸽巢原理的注意事项3.1 确定条件在使用鸽巢原理解决问题时，需要明确问题中的限制条件，包括鸽子的数量、巢穴的数量以及其他相关条件。
鸽巢原理
余数做抽屉
• 任意4个整数中，至少有两个整数，其差能 被3整数。 • 任意5个整数，必能从中取出3个，其和能 被3整除。 • 在1,2, …,2n中任取n+1个不同的数，至少 有一个数是另一个数的倍数。
余数做抽屉
• 设x1,x2, …,xn是n个正整数，一定能从中取 出连续的若干个数，其和是n的倍数。 • 给定正整数n，一定可以将它乘以适当地正 整数，得到一个完全由7和0构成的正整数。
Ramsey数的基本性质
• 若a,b≥2，则R(a,b) ≤C(a+b-2,a-1)。
例子
• 设G是具有18个顶点的完全图K18，如果我 们对它的边任意涂以红色或蓝色，则G中一 定包含一个红色完全四边形或者一个蓝色 的完全四边形。
K17
已知的Ramsey数
引例
• 17位科学家讨论3个题目，每两个人之间仅 讨论一个题目，则至少有3个人之间讨论同 一个题目。 • 将完全图K17用三种颜色任意涂色，必存在 同色三角形。
例题：图形做抽屉
• 边长为1的正三角形中任选5个点，必存在两点，其 距离不超过1/2。 • 边长为1的正三角形中任选10个点，必存在两点， 其距离不超过1/3。 • 边长为1的正三角形中，至少任选？个点，才能使 得必存在两点，其距离不超过1/n。
例题：图形做抽屉
• 正方形被9条直线分割，每条直线都把该正方形分 成面积比为3:2的两个梯形。证明：这9条线中至少 有三线过同一个点。
“奇偶性”做抽屉
• 任意3个整数中，至少有两个整数，其和能 被2整除。 • 平面上两个整点的重心 • 平面上任意5个整点中，必有两个点，其重 心是整点。 • 平面上4个点的重心 • 平面上任意13个整点中，至少有4个点，其 重心是整点。
抽屉原理的分类
抽屉原理的分类抽屉原理（也称为鸽巢原理或鸽笼原理）是由瑞士数学家德里克·斯特里奇与英国逻辑学家恩斯特·累克于20世纪初提出的一个基本概念，用于描述一个重要的原理：如果将n+1个物体放进n个抽屉里，至少会有一个抽屉里会放入两个物体。
抽屉原理的分类主要分为基本抽屉原理、进化版抽屉原理和亥姆霍兹定理三类。
1. 基本抽屉原理（Pigeonhole Principle）：基本抽屉原理是最简单、最直接的抽屉原理表现形式。
它指的是，当将多于一个的物体分配到有限个的容器（抽屉）中，必然会出现一个容器中放入两个或以上的物体。
这个原理可以应用于很多实际问题，例如：班级里的学生数量超过了座位数，那么必然会有两个学生坐在同一个座位上。
2. 进化版抽屉原理（Generalized Pigeonhole Principle）：进化版抽屉原理是对基本抽屉原理的扩展和应用。
它指出，如果有n个容器和m个物体，而m>n，则至少有一个容器中必须放置⌈m/n⌉个物体。
其中，⌈m/n ⌉表示m除以n并向上取整。
这个原理可以应用于更复杂的问题，例如：如果有11个苹果放在10个篮子里，那么至少有一个篮子里会有2个苹果。
3. 亥姆霍兹定理（Helmholtz Principle）：亥姆霍兹定理是抽屉原理的一个推论和应用，它指出，如果有m个元素分配到n个位置（经过一些规则），则至少有⌈m/n⌉个位置上会有元素。
这个原理可以应用于更加复杂的问题，例如：在棋盘上放置国际象棋的棋子，无论如何放置，都会有至少⌈m/64⌉个位置上会有棋子。
抽屉原理的应用广泛，既可以用于数学和逻辑问题的求解，也可以用于算法和计算机科学的设计中。
通过抽屉原理，我们可以得出一些重要的推论和结论，帮助我们分析和解决各种实际问题。
总之，抽屉原理是数学和逻辑中的一个基本概念，它描述了一种容器和物体之间的关系，即在一定条件下，将多个物体放入有限个容器中，必然会有一个容器中放入两个或以上的物体。
鸽巢原理的扑克牌应用
鸽巢原理的扑克牌应用什么是鸽巢原理鸽巢原理（Pigeonhole Principle），也叫鸽笼原理，是一个基本的数学原理。
它的核心思想是：如果有n+1个对象放入n个鸽巢中，那么至少有一个鸽巢会有两个对象。
扑克牌中的鸽巢原理在扑克牌的应用中，鸽巢原理有着重要的作用。
扑克牌是一种常见的纸牌游戏，一副扑克牌通常包含52张牌，而每张牌又分别属于4个花色（红桃、黑桃、方块、梅花），每个花色又有13个不同的面值（A、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K）。
虽然扑克牌的总数是固定的，但不同的花色和面值组合出了大量不同的牌型。
根据鸽巢原理，由于扑克牌的组合太多，我们可以利用这个原理来解决一些与扑克牌相关的问题，例如：•问题1：抽取5张扑克牌，是否能保证至少有一对牌（即相同的面值）？解答：根据鸽巢原理，一副牌包含13个不同的面值，而我们抽取的牌数是5张，小于13，所以无法保证至少有一对牌。
但是，从概率上来说，因为牌的组合有很多，所以可能会抽到一对牌的概率较高。
•问题2：抽取5张扑克牌，至少有一对牌的概率是多少？解答：根据鸽巢原理，一副牌包含52张牌，我们抽取5张，其中一张可以是任意牌，但后面4张至少会有一张与之前选中的牌相同。
所以计算至少有一对牌的概率，可以计算没有一对牌的概率，并用1减去该概率。
具体计算方法如下：假设A表示至少有一对牌的事件，A’表示没有一对牌的事件。
–计算A’的概率，即5张牌都不是一对牌。
首先，我们从52张牌中选取第一张，可以是任意牌（52/52），选取第二张时，要排除与第一张相同花色和面值的牌（48/51），选取第三张时，要排除与前两张相同花色和面值的牌（44/50），以此类推，最终计算概率为(52/52)* (48/51) * (44/50) * (40/49) * (36/48) ≈ 0.617。
–通过计算可以得出A的概率为1 - A’的概率，即1 - 0.617 ≈0.383，也就是说抽取5张牌至少有一对牌的概率约为38.3%。
抽屉原理的规律总结
抽屉原理的规律总结抽屉原理（Pigeonhole Principle）是一个著名的数学原理，也被称为鸽笼原理。
它最早由德国数学家德尔·费尔马在17世纪提出，并在20世纪初由波尔查诺（Dirichlet）进行了严格的证明。
抽屉原理可以简单概括为：如果有n + 1个物体放入n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中会放入两个物体。
抽屉原理虽然看上去很简单，但其实在数学和计算机科学的问题中有着重要的应用。
它的规律如下：1. 前提条件抽屉原理的应用需要具备一定的前提条件，即物体的数量要多于抽屉的数量。
如果物体的数量小于或等于抽屉的数量，那么就不一定会出现至少一个抽屉中放入两个物体的情况。
2. 原理解释抽屉原理可以通过简单的推理进行解释。
假设有n + 1个物体放入n个抽屉中。
在最坏的情况下，每个抽屉中最多只能放一个物体，那么总共最多只能放n个物体。
但是实际上有n + 1个物体，所以至少会有一个抽屉中放入两个物体。
3. 应用领域抽屉原理在很多领域都有广泛的应用，尤其是在组合数学、计算机科学和密码学等领域。
一些具体的应用包括：- 鸽巢原理：如果有超过m个鸽子要放入m个巢穴中，那么至少有一个巢穴中会有两只鸽子。
这个应用与抽屉原理类似，关键在于将物体与抽屉进行对应。
- 生日问题：给定一个有限的人群，问至少要多少人才能保证其中至少有两个人生日相同。
这个问题可以用抽屉原理来解答，类似于将生日与抽屉进行对应。
- 棋盘问题：如果将8个皇后放在8×8的国际象棋棋盘上，使得它们互不攻击，即没有两个皇后在同一行、同一列或同一对角线上，那么一定存在至少一种解法。
这个问题可以用抽屉原理证明，类似于将皇后与抽屉进行对应。
4. 推广形式抽屉原理不仅适用于物体与抽屉之间的对应关系，还可以推广到更一般的情况。
具体来说，如果将n + m个物体放入n个抽屉中，其中m > 0，那么至少会有一个抽屉中放入至少m + 1个物体。
这个推广形式的证明也可以通过类似的方式进行推理。
鸽巢原理的应用课后题答案
鸽巢原理的应用课后题答案问题一：什么是鸽巢原理？鸽巢原理（Pigeonhole Principle）也被称为抽屉原理或鸽笼原理，是组合数学中的基本原理之一。
它基于鸽巢和鸽子的类比，以描述一种基本现象：当将更多的物体放入较少的容器中时，至少会有一个容器放入多个物体。
在数学中，该原理指出，如果有n+1个物体放入n个容器中，那么至少会有一个容器中放入超过一个物体。
问题二：鸽巢原理的应用有哪些？鸽巢原理在计算机科学和信息技术领域中有许多重要的应用。
以下是一些常见的应用：1.密码学：在密码学中，鸽巢原理可用于处理碰撞问题。
当使用一个较小的空间存储大量信息时，碰撞（collision）是不可避免的。
利用鸽巢原理，我们可以预测到在一定数量的数据中，存在相同的hash值，这在密码学中是重要的。
2.计算机网络：在计算机网络中，鸽巢原理有助于理解和解释数据包丢失的问题。
当数据包发送的数量超过网络容量或处理速度时，就会发生数据丢失。
鸽巢原理可以帮助我们理解这种现象。
3.调度算法：在资源调度和任务分配的问题中，鸽巢原理也有重要应用。
当有更多的任务需要分配给较少的资源时，鸽巢原理表明必然会出现资源冲突或负载不均衡的情况。
4.数据压缩和信息编码：在数据压缩和信息编码中，鸽巢原理可以用来证明，对于一组不同的编码，存在至少一个编码结果长度相同的情况。
这可以用于压缩和编码算法的优化。
5.数据库和搜索算法：在数据库和搜索算法中，鸽巢原理可用于解决数据重复和冗余问题。
通过鸽巢原理，我们可以检测到在一组数据中存在重复的记录，并进行合适的处理和优化。
6.逻辑和证明：在数理逻辑和证明中，鸽巢原理可以用来证明存在性。
通过构造合适的鸽巢和鸽子的类比，我们可以证明某个条件必定存在。
问题三：请举例说明鸽巢原理的应用。
例子一：选课冲突假设学校有15门选修课程，但是每个学生只能选修10门课。
根据鸽巢原理，即使每个学生选修10门不同的课程，仍然会有至少一个课程有多个学生选修。
PigeonholePrinciple(鸽巢原理).
Solution
• There are 6 numbers to be drawn. • For each number, the first digit can be {0,1,2,3,4}. There are only 5 choices. • This is equivalent to put 6 balls into 5 boxes with labels: 0,1,2,3,4. Therefore at least one of the boxes contains 2 or more balls.
Pigeonhole Principle : Strong Form (鴿巢原理:加強版)
If we put (k*n+1) balls in n boxes, then at least one box must contain k+1 or more balls. 將 (k*n+1) 個球放入 n 個盒子內, 最小有 一個盒子藏有k+1個或以上的球。
The following is some ten draws of the Mark Six Lottery in reverse order.
Something to Think About
• One observes that at least 2 drawn numbers having the same first digit in all the cases (we assume that 1=01, 2=02, 3=03, 4=04). • Is there something wrong with the machine?
Exercise
• There are 10 married couples. How many of the 20 people must be selected in order to guarantee that one has selected a married couple ? • Answer: 11
总结抽屉原理
总结抽屉原理抽屉原理（Pigeonhole Principle）是一种数学原理，用于解释在一些有限的情况下，对于某种分布或关系的约束。
该原理指出，如果将多于抽屉数量的物体放入抽屉中，那么至少有一个抽屉将不为空。
抽屉原理有时也被称为鸽巢原理或鸽笼原理，常常应用于计数问题和构造性证明。
它可以帮助我们理解和解决各种实际问题。
以下是对抽屉原理的总结。
原理说明抽屉原理可以简单地用以下方式描述：如果有若干个物体要分别放入有限数量的抽屉中，若n个物体要被分配到m个抽屉里，其中n > m，则至少有一个抽屉会包含多个物体。
这个原理的关键在于物体的数量超过了抽屉的数量，所以必然会有一些抽屉是不可避免地要放入多个物体。
通过这个原理，可以推断出一些实际问题的结论，并应用于解决问题。
应用案例抽屉原理在许多领域都有着广泛的应用，以下是几个常见的案例：生日相同的人假设一个房间里有365个人，每个人的生日都是随机的且独立的，那么至少有两个人会生日相同。
这是因为将365个人映射到365个可能的生日（抽屉），根据抽屉原理，至少有一个抽屉里会有两个人。
字符串匹配在字符串匹配问题中，假设有一个长度为n的字符串和一个长度为m的子字符串，我们想要找到子字符串在主字符串中的所有出现位置。
根据抽屉原理，如果将子字符串的每个可能位置（抽屉）与主字符串进行比较，那么至少有一个抽屉会匹配成功。
鸽巢收费站在一个有15个鸽巢的鸽巢收费站中，每个鸽巢最多只能容纳5只鸽子。
如果有16只鸽子要通过收费站，根据抽屉原理，至少会有一个鸽巢要容纳多于5只鸽子。
证明方法抽屉原理的证明方法常用的有两种：鸽舍原理证明和对角线方法。
鸽舍原理证明鸽舍原理证明方法利用了反证法。
首先，假设没有一个抽屉包含多个物体，即每个抽屉最多只能放一个物体。
然后通过计数的方式推导出物体的总数量小于或等于抽屉的数量，与已知条件相矛盾。
因此，反证法证明了至少有一个抽屉会包含多个物体。
对角线方法对角线方法是通过构造方式来证明抽屉原理。
最新组合数学-第一节：鸽巢原理
第1章 鸽巢原理鸽巢原理（又叫抽屉原理）指的是一件简单明了的事实：为数众多的一群鸽子飞进不多的巢穴里，则至少有一个巢穴飞进了两只或更多的鸽子。
这个原理并无深奥之处，其正确性也是显而易见的，但利用它可以解决许多有趣的组合问题，得到一些很重要的结论，它在数学的历史上起了很重要的作用。
1.1 鸽巢原理的简单形式 鸽巢原理的简单形式可以描述为：定理1.1.1 如果把1n +个物品放入n 个盒子中，那么至少有一个盒子中有两个或更多的物品。
证明 如果每个盒子中至多有一个物品，那么n 个盒子中至多有n 个物品，而我们共有1n +个物品，矛盾。
故定理成立。
鸽巢原理只断言存在一个盒子，该盒中有两个或两个以上的物品，但它并没有指出是哪个盒子，要想知道是哪一个盒子，则只能逐个检查这些盒子。
所以，这个原理只能用来证明某种安排的存在性，而对于找出这种安排却毫无帮助。
例1 共有12个属相，今有13个人，则必有两人的属相相同。
例2 在边长为1的正方形内任取5点，则其中至少有两点，它们之间的距离不超过22。
证明 把边长为1的正方形分成4个边长为12的小正方形，如图1.1.1所示，在大正方形内任取5点，则这5点分别落在4个小正方形中。
由鸽巢原理知，至少有两点落在某一个小正方形中，从而这两点间的距离小于或等于小正方形对角线的长度22。
例3 给出m 个整数12,,,m a a a L ，证明：必存在整数,(0)k l k l m ≤<≤，使得()12k k t m a a a +++++L证明 构造部分和序列1121212,,m m s a s a a s a a a ==+=+++L L则有如下两种可能：（i ）存在整数(1)h h m ≤≤，使得h m s ，此时，取0,k l h ==即满足题意。
（ii ）对任一整数i ，均有(1)i m s i m ≤≤，令(mod)i i r s m =，则有11(1)i r m i m ≤≤-≤≤，这样，m 个余数均在1到m-1之间。
鸽巢原理知识点总结
鸽巢原理知识点总结鸽巢原理知识点总结一、概念介绍鸽巢原理（Pigeonhole Principle）又称抽屉原理，是数学中的一种常见原理，它指出如果将n+1个物体放入n个集合中，则至少有一个集合中必定包含两个或两个以上的物体。
二、历史背景鸽巢原理最早可以追溯到13世纪的欧洲，当时人们用它来解决教堂里的座位问题。
在数学上，这一原理被首次明确提出是在1834年由德国数学家Dirichlet提出的。
三、应用领域1.计算机科学：在计算机科学中，鸽巢原理被广泛应用于算法分析和数据结构设计。
2.密码学：在密码学中，鸽巢原理被用来证明某些加密算法具有不可破解性。
3.统计学：在统计学中，鸽巢原理被用来证明一些概率论定理。
四、实例分析1.生日悖论：假设有23个人在同一个房间里，那么至少有两个人生日相同的概率超过50%。
这是因为365天中选取23次生日，总共有365的23次方种可能，但是如果每个人的生日都不同，则只有365！/(365-23)！种可能。
因此，两个人生日相同的概率为1-365！/(365-23)！/ 365的23次方。
2.图形着色问题：假设有一个无限大的平面图形，每个点可以被染成红色或蓝色。
那么必然存在一个正方形，它的四个顶点都被染成同一种颜色。
这是因为如果将平面分成9个相等的区域，则至少有两个点在同一个区域内。
如果这两个点颜色相同，则它们构成了一个正方形。
五、注意事项1.鸽巢原理只适用于离散情况下的问题，不适用于连续情况下的问题。
2.鸽巢原理只能证明存在性，并不能给出具体解法。
3.鸽巢原理只能用于证明至少存在一种情况，不能用于证明唯一性。
六、总结鸽巢原理是数学中常见且重要的原理之一，具有广泛应用价值。
在实际应用过程中需要注意其适用范围和局限性，并结合具体问题进行分析和求解。
组合数学(张永刚)吉林大学 第二章 鸽巢原理和ramsey定理
证明：（反证法） 若不然，假定每个盒子中至多有一 个物体，那么n个盒子中至多有n个物体， 而我们共有n+1个物体，矛盾。 故定理成立。
4
鸽巢原理的集合描述形式：
设有限集合A有n+1个元素，将A分划成n个不 相交子集的并，则至少有一个子集含有两个或两 个以上的元素。
注意！
应用时要分清物品与盒子以及物体数与盒子 总数。 这个原理只能用来证明某种安排的存在性，而 却不能找到具体满足要求的安排 不能被推广到只存在n个(或更少)物体的情形。
10
根据定理2.1.1，这52个整数，必有两个整数除以100 的余数落入上面51组中的同一组中， 若是{0}或{50}则说明它们的和及差都能被100整除； 若是剩下的49组的话，因为一组有两个余数，余数相 同则它们的差能被100整除，余数不同则它们的和能 被100整除。
11
例2.1.4 一名象棋大师有11周时间准备一场锦标赛，她 决定每天至少下一盘棋，为了不能太累，一周中下棋 的次数不能多于12盘。 证明：她一定在此期间的连续若干天中恰好下棋 21盘。
14
由（2.1.1）式知a1,a2,…，a77这77项互不相等，从而 a1+21,a2+21,…，a77+21这77项也互不相等，所以 一定存在1≤i<j≤77，使得 aj=ai+21.
因此 21= aj-ai =(b1+b2+…+bi+bi+1+…+bj)-(b1+b2+…+bi) = bi+1+bi+2+…+bj. 这说明从第i+1天到第j天这连续j-i天中， 她刚好下了21盘棋。
鸽巢原理的应用
鸽巢原理不等式的应用摘要：鸽巢原理是个重要的组合原理，本文叙述了鸽巢原理的定理和对模同余分类构造法。
然后本文重点介绍鸽巢原理在不等式方面的运用。
关键字：鸽巢原理；对模同余分类法；不等式证明 0 引言鸽巣原理又名抽屉原理或狄利克雷原理, 它最早由德国数学家狄利克雷运用于解决数学问题而提出的，它是组合数学中解决计数问题的一个重要的工具，并且在数论和密码学中也有着广泛的应用，运用鸽巢原理往往能起到事倍功半的效果。
1 鸽巣原理1.1 初级定理定理1 把1n +个物体放入n 个盒子里, 则至少有一个盒子里含有两个或两个以上的物体.例1．13个人中必有两个人的属相相同。
例2.在边为1的正方形内任取5点，则其中至少有两点，它们之间的距离不超过21.2 高级定理定理2 令12,,,n q q q 为正整数如果将121n q q q n +++-+ 个物体放入n 个盒子, 那么, 或者第一个盒子至少含有1q 个物体, 或者第二个盒子至少含有2q 个物体,…,或者第n 个盒子至少含有n q 个物体.推论 1 ()11n m -+只鸽子放入n 个鸽笼, 则至少有一个鸽笼中有m 只鸽子.推论2 设12,,,n m m m 均为正整数, 且满足121nm m m r n+++- ＞，则12,,,n m m m 中至少有一个数不小于r .2 鸽巢的构造鸽巢的构造方法有很多，本文采用的是对模同余分类法： 构造n 个鸽巣, 以n 为模, 可以将全体自然数分为｛余数为0的自然数｝,｛余数为1的自然数｝,…,｛余数为n-1的自然数｝, 共n 个鸽巣.例3.任取4个自然数, 其中必有两个数的差是3的倍数.证明 任意一个自然数被3除所得的余数只能是0,1,2三种, 根据所得余数, 可以把所有自然数分为三类:｛余数为0的自然数｝，｛余数为1的自然数｝，｛余数为2的自然数｝，把它们看做3个鸽巣, 余数相同的自然数在同一个鸽巣里. 由鸽巣原理, 任取4个数必有两个数出自同一鸽巣里, 也就是这两个数除以3, 所得余数相同. 所以用大数减去小数, 他们的差就是3的倍数. 一般的, 任给n(n>1)个自然数, 其中必有两个数的差是n-1的倍数.[4] 证明 任意一个自然数被n-1出所得的余数只能是0,1,,2n - 共n-1种, 根据所得余数, 可以把所有自然数分为n-1类：｛余数为0的自然数｝， ｛余数为1的自然数｝,…,｛余数为n-2的自然数｝，把它们看做n-1个鸽巣, 余数相同的自然数在同一个鸽巣里.由鸽巣原理, 任取n 个数必有两个数出自同一鸽巣, 也就是这两个数除以n-1所得的余数相同. 所以用大数减去小数, 他们的差就是n-1的倍数. 例4.任意给定12个不同的自然数, 证明其中必有两个数的和或差是20的倍数.证明 将自然数按照除以20所得的余数分类, 得0,1,…,19共20类.任意给定的12个不同的自然数, 若有两个数落在同一类（即两个数除以20所得的余数相同）, 那么它们的差是20的倍数, 结论成立.若任意给定的12个不同的自然数中, 每两个数都不在同一类, 也就是按上面分的20类中每一类至多有一个已知数（也可以没有）. 此时, 将自然数按照 除以20所得的余数分类, 则0,1,,19分为11类:{}119，,{}218，,{}317，,…,{}911，,{}10,{}0.每一类当作一个鸽巣, 它们的和是20的倍数.一般的, 任取22n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦个不同的自然数, 则必有两个数的和或差是n 的倍数.证明 设所给的自然数是1,2,,22m n a m ⎛⎫⎡⎤=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ ,有m m ma ng r =+ ,0122m n r ⎧⎫⎡⎤∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭ 、、、, 则22n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦个自然数的余数, 分为12n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦种情况, 可看作12n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦个鸽巣, 必有两个数i a ，ja 属于同一个鸽巣, 即i jr r =.（1）当i jr r =时,i ja a -是n 的倍数； （2）当i jr r =-时,i ja a +是n 的倍数.综合（1）、（2）可知, 该命题成立.3 鸽巣原理不等式的应用鸽巣原理的内容简明朴素, 易于接受, 它在数学问题中有重要的作用. 应用鸽巣原理的基本思想是根据不同问题自身特点, 洞察问题本质, 先弄清对哪些元素进行分类, 找出分类的规律, 即构造鸽巣, 这是应用鸽巣原理的关键。
鸽巢原理在数学领域的应用
鸽巢原理在数学领域的应用摘要组合数学是现代数学的重要分支，而鸽巢原理是组合数学中最基本最重要的概念之一，具有广泛的应用价值. 本文首先介绍了鸽巢原理的定义及其相关的公式和性质.接着重点讨论了鸽巢原理的应用，包括其在几何图形、数的整除、连续时间、人的相识和染色问题等领域的应用，并给出相关的计算公式.最后，我们进一步认识了鸽巢原理并得出其在诸多数学领域中都有重要的应用.【关键词】组合数学鸽巢原理Application of the Pigeonhole Principle in thefield of mathematicsAbstractCombinatorial mathematics is one of the important branches of modern mathematics, and the Pigeonhole Principle is a basic and most important theorem in combinatorial mathematics. In this paper, we first introduce the definition and some properties of the Pigeonhole Principle, together with the relative functions. Then we mainly focus on the applications of the Pigeonhole Principle, such as its applications on geometric figures, divisible problems of numbers, continuous time, human knowledge, coloring problems and so on. We also obtain their counting formulas. Thus we have a further study of the Pigeonhole Principle and find its applications on many branches of math.[Key words] combinatorial mathematics Pigeonhole Principle目录引言 (1)1 鸽巢原理的概念 (1)1.1定义 (1)1.2 鸽巢原理的一般表现形式 (1)1.3 鸽巢公式及其性质 (2)1.4 带中介的鸽巢公式及其性质 (4)2 鸽巢原理在多领域的应用 (7)2.1 鸽巢原理在几何图形方面的应用 (7)2.2 鸽巢原理在数的整除关系中的应用 (8)2.3 鸽巢原理在“连续时间”问题上的应用 (9)2.4 鸽巢原理在“人的相识”问题上的应用 (10)2.5 鸽巢原理在“染色问题”上的应用 (11)2.6数学竞赛中几种常见的鸽巢类型 (12)3 结束语 (14)参考文献 (15)引 言 课桌上有八个苹果，要把这八个苹果放进七个抽屉中，无论怎样放，我们会发现有一个抽屉里面至少有个苹果，这一现象就是 “抽屉原理”. 抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有1n +或多于1n +个元素放到n 个集合中去，其中必定至少有一个集合里有两个元素”.抽屉原理也被称为“鸽巢原理”（如果有七个鸽笼，养鸽人养了八只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有两只鸽子”），它在组合数学中占据着非常重要的地位，常被用来证明一些关于存在性的数学问题.鸽巢原理不仅在组合数学的研究中起着关键作用，而且在求解几何图形、数的整除、连续时间、人的相识和染色问题等数学领域中都有着重要作用.1 鸽巢原理的概念1.1定义一般的鸽巢原理：n 个鸽巢，若有1n +只鸽子在里面，则至少有一个鸽巢里至少有两只鸽子.推论1 m 只鸽子，n 个鸽巢，则至少有一个鸽巢里有不少于[]11m n -+只鸽子.推论 2 若有()1n m -只鸽子飞进n 个鸽巢，则至少有一个鸽巢里有m 只鸽子.推论3 如果有n 个整数12,,n m m m …,的平均数大于1r -，即12)1n m m m n r +++>-…，则12,,n m m m …,中至少有一个整数不小于r .1.2 鸽巢原理的一般表现形式抽屉原理是由数学家狄利克雷首先提出，并用于证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则.把鸽巢原理推广到一般情形有以下几种表现形式：形式一 把1n +个元素划分到n 个集合中12,,,n A A A …，用12,,,n a a a …分别表示这n 个集合对应包含的元素个数，则至少存在某个集合i A ，其包含的元素个数2i a ≥.证（用反证法）假设结论不成立，即对每一个i a 都有2i a <，则因为i a 是整数，应有1i a ≤，于是121111n a a a n n +++≤++=<+……，这与题设矛盾.所以，至少有一个2i a ≥，即必有一个集合中含有两个或两个以上的元素.形式二 把1nm +个元素划分到n 个集合中12,,,n A A A …，用12,,,n a a a …表示这n 个集合对应包含的元素个数，则至少存在某个集合i A ，其包含的元素个数1i a m ≥+.证（用反证法）假设结论不成立，即对每一个i a 都有1i a m ≤+，则因为i a 是整数，应有i a m ≤，于是121n a a a m m nm nm +++≤++=<+……m ，这与题设矛盾.所以，至少存在一个1i a m ≥+.形式三 设把n 个元素分为k 个集合12,,,k A A A …，用12,,,k a a a …表示这k 个集合里相应的元素个数，则：至少存在某个i a 都有[]i a n k ≥.证（用反证法）设结论不成立，即对每一个i a 都有[]i a n k ≥，于是[][][][]()12**k a a a n k n k n k k n k n k n +++≤+++=<=……，这与题设相矛产生矛盾.所以，必有一个集合中元素[]n k ≥.形式四 设把121k q q q n +++-+…个元素分为n 个集合12,,,n A A A …，用12,,,n a a a …表示这n 个集合里相应的元素个数，则：至少存在某个i a ，使得i i a q ≥.证（用反证法） 设结论不成立，即对任意的i a 都有i i a q <，因为i a 为整数，应有1i i a q ≤-，1212121n n n a a a q q q n q q q n +++≤+++-<+++-+………，这与题设发生矛盾.所以，假设不成立，故必有一个i ，在第i 个集合中元素i i a q ≥.形式五 令无穷多个元素分成有穷多个集合，则至少存在一个集合，它含有无穷多个元素.证 （用反证法）将无限多个元素划分至有限个集合，先假设这有限个集合中元素的个数全是有限个，那么有限个有限数相加之和必是有限数，这就与题设发生矛盾，因此假设不成立，故必有一个集合含有无穷多个元素.1.3 鸽巢公式及其性质在组合学和人工智能中，很多原理和问题可以用命题公式表示.这些公式在适当变形其结构后，就会出现很多有趣的性质，比如极小不可满足性、对称性、子结构同构性、消解难例等等.著名的鸽巢公式就来自于组合学中的鸽巢原理.鸽巢原理是指：1n +只鸽子进入n 个巢穴，必有一个巢穴至少有2只鸽子.我们引入变元,i j x 指i 只鸽子进入j 号巢穴，那么鸽巢原理就能表示为''11,1,2,1,11,()(())i n i i i n j n i j i i n i j x x x x x ≤≤+≤≤≤<≤+∧∨∨∨→∨∨∧….改写鸽巢原理的表示公式得到鸽巢公式：''111,1,2,1,11,:()(())n n i n i i i n j n i j i i n i j PH x x x x x +≤≤+≤≤≤<≤+=∧∨∨∨∧∧∨⌝∧⌝….在本公式中，符号∧是指任意一只鸽子，而∨是指全部所有的巢穴，⌝是指否定，也就是不允许的意思.于是11,1,2,()i n i i i n x x x ≤≤+∧∨∨∨…表示的是所有的1n +只鸽子都要飞进这n 个巢穴，中间的∧表示同时满足，右边''1,11,(())j n i j i i n i j x x <<≤<≤+∧∨⌝∧⌝则表示不允许两只鸽子进同一个巢穴.性质 1n n PH +是一个极小不可满足公式.证 （1）证明1n n PH +不可满足.假设公式''111,1,2,1,11,:()(())n n i n i i i n j n i j i i n i j PH x x x x x +≤≤+≤≤≤<≤+=∧∨∨∨∧∧∨⌝∧⌝….可满足，则存在变元集合{},|11,1i j x i n j n ≤≤+≤≤上的一个真值指派ϕ，使得（1.1）对每个,1,2,11,()1i i i n i n x x x ϕ≤≤+∨∨∨=….（1.2）对每对'11i i n ≤<≤+以及每个',,1,()1i j i j j n x x ϕ≤≤⌝∧⌝=由（1.1），对每个11i n ≤≤+，存在某个1j n ≤≤，使得,()1i j x ϕ=.由鸽巢原理：存在某对'',(11)i i i i n ≤<≤+以及某个''(1)j j n ≤≤，使得''',,()()1i j i j x x ϕϕ==.这与情形（1.2）矛盾.（2）证明1n n PH +极小不可满足.即证明：从1n n PH +中删去一个子句C 后，得到的公式可满足.分两种情形讨论：情形1 对某个,1,2,(11),()i i i n i n C x x x ≤≤+=∨∨∨….从1n n PH +中删去子句C后，得到公式：''111,1,2,1,11,()(())i n i i i n j n i j i i n i j F x x x x x ≤≤+≤≤≤<≤+=∧∨∨∨∧∧∧∨…取一个真值指派1ϕ如下：{}{}{}1,11,21,11,12,2,,0,,,,()1,,,,0,|1n n n n n n i j x x x x x x x x x x x i j n ϕ+++⎧∈⎪⎪∈⎨⎪∈≤≠≤⎪⎩…… . 我们有11()1F ϕ=.直观上，删子句1,11,()n n n C x x ++=∨∨…后，1n +号鸽子可以不进巢，于是，可以让i 号鸽子进i 号巢，1i n ≤≤.情形2 对某对'(11)i i n ≤<≤+及某个',,(1),()i j i j j n C x x ≤≤=⌝∨⌝.不失一般性，假定,1,()n n n n C x x +=⌝∨⌝.从1n n PH +中删去子句C 后，得到公式：''211,1,11,11,()(())i n i i n j n i j i i n i j F x x x x ≤≤+≤≤-≤<≤+=∧∨∨∧∧∧⌝∨⌝…''11,1,,1,()()i n i n n n i n i i n i n x x x x ≤≤++≤<≤∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨⌝.取一个真值指派2ϕ如下：{}{}{}{},1,21,11,1,1,11,21,11,,()1,,,0,|1,,,n n n n n n i j n n n n x x x x x x x x x i j n x x x ϕ+--+++-⎧∈⎪⎪=∈⎨⎪∈≤≠≤⋃⎪⎩……. 我们有22()1F ϕ=.直观上，删去子句,1,()n n n n C x x +=⌝∨⌝后，允许,1n n +号鸽子同时进入n 号巢.于是，可以让i 号鸽子进i 号巢，11i n ≤≤-.综上所述，1n n PH +是极小不可满足公式.1.4 带中介的鸽巢公式及其性质鸽巢公式的一个真值指派可以用一个边带标记的完全二分图表示. 现插入一中介结点集合于完全二分图中，即可将鸽巢公式推广到带中介的情形, 继而形成了一种新的消解难例公式，也就是带中介的鸽巢公式.首先引入二分图的概念：定义1 一个无向图(,)G U V E =称为一个二分图.如果下列条件成立：（1）U V φ=;(U V 、为非空结点集合)（2）对于边集合E 中的任意一条边(,)e u v =，结点,u v 一个在U 中，另一个在V 中.定义2 一个二分图(,)G U V E =称为一个完全二分图.如果对于U 中的每一个结点u ，V 中每一个结点v ，E 含有边(,)u v .如果,U n V m ==，我们记完全二分图(,)G U V E =为,n m K .定义3 （1）命题变元及其否定统称文字.（2）一个子句C 是若干个文字的析取12()n C L L L =∨∨∨….子句V 可以视为一个文字的集合{}12(,,,)n C L L L =….（3）F 是若干个子句的合取12()m F C C C =∧∧∧….CNF 公式F 可看作是一个子句的集合12({,,,})m F C C C =…，或者是一个子句表12([,,,])m F C C C =…. 定义4 设12[,,,]m F C C C =…是一个CNF 公式.称F 是极小不可满足公式（简称为MU 公式），如果F 不可满足，并且从中删去任意一个子句(1)i C i m ≤≤后得到的CNF 公式可满足.假定x 是一个变元，C 是一个子句.如果x 作为文字出现在子句中，称x 在C 中正出现；如果文字x ⌝出现在子句中，称x 在C 中负出现.我们可以用一个边上带正号()+或负号()-的二分图表示一个CNF 公式如下：设12[,,,]m F C C C =…为一个含有m 个子句的CNF 公式，出现在公式F 中的变元集合12var(){,,,}n F x x x =….（1） 视F 的变元集合var()F 为一个结点集合12{,,,}n U x x x =…(称为变元结点集).（2） 引入一个结点集合12{,,,}m V c c c =…对应于F 的所有子句（称为子句结点集）.（3） 定义边集合{(,)|}i k i k i k E x c x C or x C =∈⌝∈.（4） 定义边集合上的标记函数:{,}:E λ→+-,(,)(1,1),i k i k i k x C x c i n k m x C λ+∈⎧=≤≤≤≤⎨-⌝∈⎩. 于是，我们可以用一个边带标记的二分图(,,)G UV E λλ=表示一个CNF 公式.例如：CNF 公式121323[,][(),()]F C C x x x x ==∨⌝∨可以用如下带标记的二分图表示.在图1中，实线边表示边带：+“”号，虚线边表示边带：-“”号.然后介绍一般鸽巢公式——带中介的鸽巢公式.现考虑在完全二分图,1(,)n n K U V E -=（其中12{,,,}n U u u u =…，12{,,,}n V v v v =…）. 中的两行结点之间插入一行新的中介结点12{,,,}()k M m m m k n =≥….在,1n n K -的基础上构造一个完全三分图',,1(,)n k n K U M V E -=，其中，'{(,)|,}{(,)|,}p s p s s n s n E u m u U m M m v m M v V =∈∈∈∈.直观上，鸽子进入巢穴要经过一个“中间站”，这就是“中介”的由来.引入X3 C1 C2图1 带标记的二分图变元,,p m h x 对应于第p 号鸽子经过m 号“中间站”进入h 号巢.再引入带中介的鸽巢原理：n 只鸽子飞进1n -个巢，其间有()k k n ≥个中间站，鸽子必须经过某一中间站才能进巢，那么至少有两只鸽子在巢中.上述原理可用用如下命题公式表示： (1)(1)(11),,(1)(1)(11),,,,()()p n m k h n p m h m k i j n h n i m h j m h x x x →≤≤≤≤≤≤-≤≤≤<≤≤≤-∧∨∨∨∨∨∧(11)(1)(1),,,,()h n i j n s t k i s h j t h x x ≤≤-≤<≤≤≠≤∨∨∨∨∧.对于1,1,11,i j n s t k h n ≤<≤≤<≤≤≤-我们认为“i 号鸽子经过s 号中间站进h 号巢，而且j 号鸽子经过t 号中间站进h 号巢”与“i 号鸽子经过t 号中间站进h 号巢，而且j 号鸽子经过s 号中间站进h 号巢”的方式是相同的.于是，上述公式可以改写成：,1(1)(1)(11),,(1)(1)(11),,,,()()n k n p n m k h n p m h m k i j n h n i m h j m h PHP x x x →-≤≤≤≤≤≤-≤≤≤<≤≤≤-=∧∨∨∨∨∨∧ (11)(1)(1),,,,()h n i j n s t k i s h j t h x x ≤≤-≤<≤≤<≤∨∨∨∨∧.由此，我们引入带中介的鸽巢公式如下：,(1)(1)(11),,(1)(1)(11)()n k p n m k h n p m h m k i j n h n P x ≤≤≤≤≤≤-≤≤≤<≤≤≤-=∧∨∨∧∧∧∧,,,,(11)(1)(1),,,,()()i m h j m h h n i j n s t k i s h j t h x x x x ≤≤-≤<≤≤<≤⌝∨⌝∧∧∧∧⌝∨⌝.类似于鸽巢公式，其中∧，∨，⌝与前面一节里的意义相同，而且我们也有如下性质 对于k n ≥，公式,n k P 是极小不可满足公式，证明过程与上节类似. 2 鸽巢原理在多领域的应用2.1 鸽巢原理在几何图形方面的应用例1 在直径为5的圆内任意给定10个点.证明：存在两个点，它们之间的距离小于2.证AB DC图2我们先把圆平均划分成8个相等的扇形，接着以圆的中心作为一个圆心，以0.9为半径画一个小圆，让该小圆作为一个鸽巢，余下的部分均匀分成8等份，作为8个鸽巢，如图2表示，总共有9个鸽巢.弧长5 3.145 3.22888d AB π⨯⨯==<=，从而弧长AB 小于2.2AC ==<． 2BD AC =<，所以在同一个鸽巢里任意两点间的距离均小于2.由鸽巢原理把10个点放入9个鸽巢，则必有两点在同一鸽巢内，这两点的距离就小于2.在几何图形上鸽巢原理的应用相当广泛，以上只是列举了一个较为常见的例子，在日常生活中还有很多可以用鸽巢原理来解决的问题.在对一道题构造鸽巢时，也不仅仅只有一种构造方法．只有更多地接触不同形式的问题和应用，不断的去构造和探索，才能灵活使用鸽巢原理.2.2 鸽巢原理在数的整除关系中的应用例3 证明：任意5个整数中，必有3个整数的和是3的倍数.证 任意的整数除以3的余数只能是0,1,2.若所给出的5个整数除以3所得的余数中0,1,2都出现，则那些余数分别是0,1,2的三个数的和就必定能被3整除．如果余数中至多出现0,1,2中的任意两个，那可由鸽巢原理，其中必有一个余数至少出现三次，于是这余数相同的三个数的和一定可以被3整除.例4 证明：对任意给定的52个整数，存在其中的两个整数，要么两者的差能被100整除，要么两者的和能被100整除.证 任意一个整数a 被100整除产生的余数无非是0,1,2,,99….题目中的52个整数i a 除以100则产生52个余数(1,2,,52)i r i =….若这52个余数中有两个余数相等，即()i j r r i j =≠，那么一定有i j a a -能被100整除，即存在两个数，它们的差能被100整除.若这52个余数均不相等，我们现在对0,1,2,,99…这100个数来构造鸽巢，将相加之和为100的两个数放在同一个鸽巢里.构造出来的51个鸽巢如下：{}{}{}{}{}{}1,99,2,98,3,97,,49,51,0,50…因为有52个不同的余数，根据鸽巢原理，必有两个余数来自于同一鸽巢，这只能从前49个鸽巢中取出.然而不论从哪个鸽巢里取，同一个鸽巢里的两个余数之和一定是100，那么必有产生这两个余数的两个整数之和能被100整除.例5 在前12个自然数中任取7个数，一定存在两个数，其中的一个数是另一个数的整数倍.分析 如果把前12个自然数划分成6个集合，即构建6个鸽巢，并且使每个鸽巢内只有一个数；或有任意的两个数，其中的一个是另一个的整数倍.那么如何对这12个自然数进行分组？我们知道，一个自然数，它要么是奇数，要么是偶数.若是偶数，我们只能把它表达为奇数与2(1,2,3,)k k =…的乘积的形式.这样，如果上述表达式中的因子2k 的指数k 允许等于0，那么每个自然数都可以表达成“奇数2(1,2,3,)k k ⨯=…”的形式，于是这12个自然数就能用上述表达式表达出来，同时把式中“奇数”部分相同的自然数作为一组，构成一个鸽巢.证 把前12个自然数划分为如下六个鸽巢：{}{}{}{}{}{}01231012201304050612,12,12,1232,32,3252,527292112A A A A A A =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅=⋅显然，上述六个鸽巢内的任意两个鸽巢无公共元素，且{}1234561,2,3,,12A A A A A A +++++=….由鸽巢原理，从前12个自然数中任意中取出7个数，则必定存在两个数同在1A 或2A 或3A 鸽巢里，那么这两个数之间存在倍数关系，即一个数是另一个数的整数倍.2.3 鸽巢原理在“连续时间”问题上的应用例5 某厂在五年期间的每一个月里至少试制一种新产品，每年最多试制19种新产品.试证明：一定存在连续的几个月，恰好试制24种新产品.证 设该厂在这五年期间各个月试制的新产品的个数分别为125960,,,,a a a a …，由题意，构造出数列{}n a 的前n 项和的数列125960,,,,S S S S …,1125960119595a S S S S ≤=<<<<≤⨯=…．而序列12596024,24,,24,24S S S S ++++…也是一个严格递增序列：12596025242424249524119S S S S ≤+<+<<+<+<+=…．于是，这120个自然数125960,,,,S S S S …和12596024,24,,24,24S S S S ++++…都在区间[]1,119内.在[]1,119内，只有119个自然数，根据鸽巢原理，必定存在两个数相等.上述两个数列又分别是严格单调的，因此必然存在一个i 和j ，使得24i j S S =+.从而，该厂在从第1j +个月起到第i 个月的这几个月时间里，恰好试制了24种新产品.例6 一个孩子每天至少看一个小时电视，总共看7周，但是每周看电视从不超过11小时.证明存在连续若干天在此期间这个孩子恰好看电视20个小时.（假设这个孩子每天看电视时间为整数个小时）证 设这个孩子7周内每天看电视的时间分别为1249,,,a a a …，现在构造出数列{}n a 的前n 项和的数列1249,,,S S S …，则有：11249111777a S S S ≤=<<<≤⨯=…，而序列124920,20,,20S S S +++…也是一个严格递增序列：124921202020772097S S S ≤+<+<<+≤+=… 于是，这98个自然数1249,,,S S S …和124920,20,,20S S S +++…都在区间[]1,97内.而在[]1,97内，只有97个自然数，根据鸽巢原理，必定存在两个数相等.而上述两个数列又分别是严格单调的，因此必然存在一个i 和j ，使得20i j S S =+.从而，这个孩子在第1j +天起到第i 天的时间里，恰好看电视20个小时.2.4 鸽巢原理在“人的相识”问题上的应用例7 证明在一群1n >个人中，存在两个人，他们在这群人中有相同个数的熟人.证 在n 个人中，每个人所认识的人数只能是0,1,2,,1n -….若有两个人认识的人数相等，那么问题已经得证.由于某人认识1n -个人的情况与另一个人认识0个人的情况不可能同时发生，那么这n 个人所能认识的人数0,1,2,,1n -…也不可能同时存在，即最多只能存在1n -种情况，我们把它看成1n -个鸽巢，根据鸽巢原理，n 个元素放进1n -个鸽巢，则一定有两个元素在同一鸽巢内，即有两个人所认识的人数相等.例8 在某次100人的聚会中，每个人都有偶数个（有可能是0个）熟人，证明：在这次聚会上存在3个人有相同的熟人.证 由题意可知，每个人所能认识的人数可能为：0,2,4,,96,98….在这个100人的聚会中，如果50种情况0,2,4,,96,98…都出现，我们假设第1个人认识0个人，第2个人认识2个人，第3个人认识4个人，以此类推，第50个人认识98个人.那么，在剩下的50个人中，如果已知有两个人有相同的熟人，那么可以得到3个人认识相同个数的人，问题得证；如果不知道是否还有两个人有相同个数的熟人，我们来做下面的假设：剩下的50个人也是依次认识0,2,4,,96,98…个人，那么结论无法证得.根据上述的推导和假设，可以得出有两个人认识0个人，有两个人认识98个人.对于这两个认识0个人的人来说，而对于那两个认识98个人的人来说，只能有一个人他们不认识，这就与有两个人都不认识他们产生矛盾，所以不可能出现两个认识0个人的人和两个认识98个人的人同时存在的情况，故假设不成立. 因此剩下的50个人中，最多只能出现认识0,2,4,,96,98…个人这50种情况的49种.最后再由鸽巢原理，必然有一种情况要重复.故一共存在3个人有相同个数的熟人.2.5 鸽巢原理在“染色问题”上的应用例9 有5个小孩，每人都从装有若干黑白小球的不透明袋中任意摸出3个小球.证明：这5个人中至少有两个小孩摸出的小球的颜色的配组是一样的.证首先要确定3个小球的颜色有多少种不同的情况，可以有：3白，1黑2白，2黑1白，3黑共四种配组情况，不妨看作4只鸽巢.根据鸽巢原理，至少有两个小孩摸出的小球的颜色在同一鸽巢里，也就是他们所拿小球的颜色配组是一样的.首先从这六个点中任意选中一点，接着连接这一点到其他五个点．如图4，在五条线段中，至少有三条线段是同一种颜色，假定是红色，这三条线段的另一端或许是不同颜色，假设这三条线段（虚线）中其中一条是红色的，那么这条红色的线段和其他两条红色的线段便构成了所需要的同色三角形．若这三条线段都是蓝色的，那么这三条线段也组成我们所需要的同色三角形.因此无论怎样着色，在这六点之间的所有线段中必能找到一个同色三角形.2.6数学竞赛中几种常见的鸽巢类型第一类有“鸽子”也有“巢”例11 柜子里有5双不同的鞋子，从中取出6只，则其中必有2只是完全配对的.从例11中可以看出，每取出一只鞋，就是一只“鸽子”，一双鞋就是一个“巢”.这是一个简单的鸽巢原理.第二类只见“鸽子”不见“巢”例12 任取11个整数，求证其中至少有两个数它们的差是10的倍数.这个问题中，任取的11个整数就是11只鸽子，但是这些鸽子朝什么巢飞呢？题中没有直接的答案.因此，设计建造巢是解答这类问题的当务之急.我们可以从结论出发，找出怎样的“两数差”是10的倍数和已有的鸽子来设计巢，只要这两个数的个位数字相同，则它们的差就是10的倍数.而一个整数的个位数字只可能是0,1，…，9中的任意一个.因此我们可以设计这样10个巢——个位数字是0为一个巢，……，个位数字是9的为一个巢.这样就形成了10个巢，11只鸽子的局面.问题就基本解决了.第三类不见“鸽子”只见“巢”例13 15个奇数1,3,,29…，…组成一个数列1,2,3,,30…和15个偶数2,4,,30从这个数列中任取16个数，则这16个数中至少有一对数，其中一个数是另一个数的倍数.解 由结论，使我们想到任意一个正整数都可以写成2n P 形式，其中0,1,2,n =…，P 是奇数.对于两个数112n P 和222n P 只要12P P =，那么其中一个一定是另一个的倍数.因此给出的15个奇数可以看成是15个巢.另外把任意取出的16个数都表示成2n P 的形式，设这16个数为16121231611221616,,,,,2,2,,2n n n a a a a a P a P a P ===……，从而得到了由奇数组成的16只鸽子：1216,,,P P P ….由鸽巢原理1216,,,P P P …中至少有两个是相同的.不妨设,i j P P P ==则有2,2j i n n i j a P a P ==，若i j a a >，那么i a 是j a 的倍数，否则j a 是i a 的倍数.第四类 不见“鸽子”不见“巢”例14 设1212,,,x x x …是一个正整数列，满足43424146(1,2,3)i i i i x x x x i ---+++≤=.则至少存在一对整数n 和k ()n k <，使得125n n k x x x +++++=…．这个鸽巢问题无法直接利用鸽巢原理，必须先要设计制造出鸽子和巢.由题意作序列12(1,2,,12)n n S x x x n =+++=…….因为0(1,2,,12)i x i >=…， 所以 12121S S S ≤<<<… ① 1212555S S S +<+<<+… ② 12121212,,,,5,5,,5S S S S S S +++…… ③ ③是由24项组成的序列，我们可以把每一项看作一只鸽子，共有24只鸽子，再考虑条件，由已知43424146(1,2,3)i i i i x x x x i ---+++≤=可得1212456891012()()()18S x x x x x x x x x =+++++++++++≤………所以③中最大的项12518523S +≤+=，因此，③是由1到23之间的整数组成的共有24项的一个序列.而1到23 这二十三个数可以看作23个巢.由鸽巢原理，其中至少有两项相等（由同一个整数组成）.但因①和②至少存在一对整数n 和k ，满足关系+5k n S S =，即-5k n S S =，所以125n n k x x x +++++=….由此，我们可以归纳出鸽巢解题策略：从解题方法和解题过程看，解答第一类问题的关键是能否在问题中正确地找出鸽子和巢.一般先找到巢，再找鸽子；解答第二类问题的关键是能否根据鸽子的去向，即问题的结论，正确地设计建造巢；解答第三类问题的关键是根据巢的特点和问题的性质正确设计鸽子，使鸽子能飞入巢并发挥作用；解答第四类问题的关键是根据问题的特性，先制造出巢，把问题转化为第三类问题，或先设计粗鸽子，把问题转化为第二类问题.另外，在解答鸽巢问题时解题技巧也是相当重要的.在你开始设计鸽子，巢不能为解题服务时，一方面可以去设计不同性质的巢和鸽子，另一方面也可以利用有关知识对这些已有的鸽子和巢实行修改，使其能为解题服务.3 结束语至此，我们知道，原来鸽巢原理不仅在我们所学习的组合数学中是重要的知识点，在其他的许多方面都是以它为基础的．特别是在几何图形问题的处理上，有着非常广泛的应用．由上面应用可以看出，鸽巢原理虽然不是非常复杂，但应用鸽巢原理解题技巧却很多.我们解题时要注意以下问题：（1）题目中给出的“鸽子”具有任意性，分类也是任意的，所以不能用“鸽子”的一种特殊布局来代替元素的任意放置.（2）用鸽巢原理解决的仅仅是存在性问题，无需考虑存在地点、存在多少. （3）运用鸽巢原理解决问题的关键是构造“鸽巢”，因为只有把“鸽巢”确定了，才能明确“鸽子”的放置情况，所以在解题时，重点更是难点就是如何构造“鸽巢”.其实，鸽巢原理还不止以上的这些应用，在解决一些非一一对应的离散关系的充分性判别问题上还有更为宽广的应用．甚至可以毫不夸张的说：无论哪一门基础科学的近现代分支学科中，几乎每一学科都离不开鸽巢原理的相关基础及应用，由此可见，鸽巢原理在未来更多的、即将产生的新的学科领域必然会有必不可少的应用．参考文献[1](美)布鲁迪.组合数学（原书第5版）.北京：机械工业出版社,2012.5,75-90[2]（美）罗伯茨.应用组合数学（原书第二版）.北京：机械工业出版社，2007.5,67-81[3]（美）Ralph.离散与组合数学.北京：科学出版社,2012,7,100-132[4]单墫.组合几何.合肥：中国科学技术大学出版社，2011,12,55-70[5]何春，万琳等.鸽巢原理及其应用[J].计算机与数字工程，2007.8,95-103[6]肖美英.抽屉原理及其应用[J].晋中师专学报，1999.21（5）[7]卢开澄，卢华明灯.组合数学（第三版）[M].北京：清华大学出版社，2002,120-145[8]兰社云，高喜梅.浅谈抽屉原理及抽屉构造[J].河南：河南教育学院学报，2003.6[9]孙淑玲，许胤龙.组合数学论[M].合肥：中国科学技术大学出版社，1999,83-97[10]匡正.组合数学习题精解[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2005.9,40-61[11]陈景林.抽屉原理及其应用[J].天津：唐山师专学报，1999.9,69-84[12]王元元，王庆瑞.组合数学理论与解题[M].上海：上海科学技术文献出版社，1989,103-119。
毕业论文鸽巢原理
2012届本科毕业论文鸽巣原理及其简单应用院（系）名称专业名称学生姓名学号指导教师完成时间鸽巣原理及其简单应用姓名院系：学号：指导老师：摘要：鸽巣原理是一个重要而又基本的组合原理, 在解决数学问题时有非常重要的作用.本文叙述了鸽巣原理的简单形式和加强形式并对其进行了证明. 然后, 本文着重介绍了几种常见的构造法以及鸽巣原理在数学方面的一些简单应用.关键词：鸽巣原理；鸽巣；构造法0 引言鸽巣原理又名抽屉原理或狄利克雷原理, 它由德国数学家狄利克雷(Divichlet，1805—1855)首先发现. 鸽巣原理在组合学中占据着非常重要的地位, 并且在数论和密码学中也有着广泛的应用. 使用鸽巣原理解题的关键是巧妙构造鸽巣, 即如何找出合乎问题条件的分类原则.什么是鸽巣原理, 先从一个简单的例子入手, 把3个苹果放在2个盒子里, 共有四种不同的放法, 如下表：无论哪一种放法, 都可以说“必有一个盒子放了两个或两个以上的苹果”. 这个结论是在“任意放法”的情况下, 得出的一个“必然结果”.类似的, 如果有5只鸽子飞进四个鸽笼里, 那么一定有一个鸽笼飞进了2只或2只以上的鸽子.如果有6封信, 任意投入5个信箱里, 那么一定有一个信箱至少有2封信.我们把这些例子中的“苹果”、“鸽子”、“信”看作一种物体，把“盒子”、“鸽笼”、“信箱”看作鸽巣, 可以得到鸽巣原理最简单的表达形式.1.鸽巣原理1.1 鸽巣原理的简单形式定理1 把1n +个物体放入n 个盒子里, 则至少有一个盒子里含有两个或两个以上的物体.证明 假设这n 个盒子中的每一个都至多含有一个物体, 则物体的总数最多是n , 与物体总数是1n +矛盾.还存在一些与鸽巣原理相关的其他原理, 叙述如下：（1）如果将n 个物体放入n 个盒子里并且没有一个是空的, 那么每个盒子恰好包含一个物体.（2）如果将n 个物体放入n 个盒子里并且没有一个盒子被放入多于一个的物体, 那么每个盒子包含一个物体.1.2 鸽巣原理的加强形式定理2 令12,,,n q q q L 为正整数如果将121n q q q n +++-+L 个物体放入n 个盒子, 那么, 或者第一个盒子至少含有1q 个物体, 或者第二个盒子至少含有2q 个物体,…,或者第n 个盒子至少含有n q 个物体.证明 对于1,2,,,i n =L 假设第i 个盒子里至多含有1i q -个物体, 则n 个盒子里物体数的总和不超过12n q q q n +++-L ,与已知条件矛盾.推论1 ()11n m -+只鸽子放入n 个鸽笼, 则至少有一个鸽笼中有m 只鸽子. 证明 在定理1.2中令12n q q q m ====L 即可.推论2 设12,,,n m m m L 均为正整数, 且满足121n m m m r n+++-L ＞， 则12,,,n m m m L 中至少有一个数不小于r .证明 由121n m m m r n+++-L ＞得()1211n m m m r n +++≥-+L .由推论1可知, 存在i m 使得.i m r ≥2.鸽巣原理的鸽巣构造法鸽巣的构造方法大致分为两大类：一类是分割图形构造鸽巣；一类是用分类的概念构造鸽巣.2.1分割图形构造鸽巣在涉及到一个几何图形内有若干点时, 常常是把图形巧妙的分割成适当的部分, 用分割所得的小图形做鸽巣. 这种分割一般符合一个“分化”的定义, 即鸽巣间的元素既互不重复, 也不遗漏；但有时根据解题需要, 分割也可使鸽巣之间含有公共元素. 例1 在边长为2的正三角形中任意放五个点, 证明至少有两个点之间的距离不大于1.证明 〈方法一〉如图（1）所示, 在三角形三条边的中点之间连线, 把整个三角形划分成四个边长为1的小三角形. 由鸽巣原理, 5个点中至少有两个点落如同一个小三角形里, 而这两个点之间的距离一定小于等于1.〈方法二〉如图（2）所示, 以正三角形三顶点为中心, 分别作半径为1的圆弧, 把正三角形划分为四块1234,,,S S S S . 由鸽巣原理, 5个点中至少有两个点落如同一个小三角形里, 两个点之间的距离一定小于等于1.AC BC B图（1） 图（2） 例2 如果直径为5的圆内有10个点, 其中有某两个点的距离小于2.证明 先将圆分成8个全等的扇形, 中间作一个直径 1.8d =的圆（如图（3））, 把已知的圆分成了9个区域（鸽巣）. 由鸽巣原理, 圆内的10个点, 必有两点落在同一区域内, 只需证明每个区域中的两个点距离都小于2.显然, 小圆内任两点间的距离小于2, 又曲边扇形ABCD 中, 2,AB <2,AD <CD ﹤2, 而任两点距离最大者AC , 有2.AC ===B图（3）2.2 等分区间构造鸽巣如果在长度为1的区间内有多于n 个的点, 可考虑把区间等分成n 个子区间, 由鸽巣原理知, 一定有两点落在同一子区间, 它们之间的距离不大于1n . 这种构造法常用于处理一些不等式的证明.例3 已知11个数1211,,,x x x L ,全满足01i x ≤≤,1,2,,11i =L . 证明必有两个i j x x ， ()i j ≠,满足110i j x x -≤. 证明 如图（1）, 将实数轴上介于0与1那段（连同端点）等分为10小段（亦可称为区间, 即鸽巣）, 每小段长为110. 由鸽巣原理,11个点中至少有11210⎡⎤=⎢⎥⎢⎥个点落在同一条小线段上, 设为(),i j x x i j ≠, 这两点相应的数之差的绝对值110i j x x -≤. 10图（4）注 a ⎡⎤⎢⎥表示大于等于a 的最小整数.2.3 分组构造鸽巣利用这种构造法解题, 确定分组的“对象”很关键. 确定了“对象”之后, 其个数相对于“球”的个数而言, 又往往显得太多. 只有把这些“对象”分成适当数量的组（即鸽巣）后才能应用鸽巣原理.例4 由小于100的27个不同的奇数组成的集合中必有两个数, 其和为102. 证 将小于100的所有奇数分为26个组（鸽巣）：{}{}{}{}{}{}12325261=399=597=21,1032=4953,=51,k A A A A k k A A =--L L ,，,，,,,,， 因为有27个奇数, 27226⎡⎤=⎢⎥⎢⎥, 所以由鸽巣原理, 必有两个奇数落在同一鸽巣里, 这两个数之和恰好等于102.例5 在1n +个小于等于2n 的不相等的正整数中, 一定存在两个数是互素的. 证明 先证明以下的事实：任何两个相邻的正整数是互素的.用反证法. 假如n 与1n +有公因子()2q q ≥, 则有12121n qp n qp p p =+=，，，是整数.因此得121qp qp +=, 即()121q p p -=, 这与122,q p p ≥-是整数矛盾.把1,2,,2n L 分成以下n 组:{}12，,{}34，,…,{}212n n -，. 从1,2,,2n L 中任取1n +个不同的数, 由鸽巣原理可知至少有两个数是取自同一组的, 它们是相邻的数, 所以是互素的.2.4 按余数分类构造鸽巣涉及自然数的问题, 有时常用对模同余分类法, 构造n 个鸽巣, 以n 为模, 可以将全体自然数分为｛余数为0的自然数｝,｛余数为1的自然数｝,…,｛余数为1n -的自然数｝, 共n 个鸽巣.例6 任取4个自然数, 其中必有两个数的差是3的倍数.证明 任意一个自然数被3除所得的余数只能是0,1,2三种, 根据所得余数, 可以把所有自然数分为三类:｛余数为0的自然数｝，｛余数为1的自然数｝，｛余数为2的自然数｝，把它们看做3个鸽巣, 余数相同的自然数在同一个鸽巣里.由鸽巣原理, 任取4个数必有两个数出自同一鸽巣里, 也就是这两个数除以3, 所得余数相同. 所以用大数减去小数, 他们的差就是3的倍数.一般的, 任给()1n n >个自然数, 其中必有两个数的差是1n -的倍数.[4] 证明 任意一个自然数被1n -出所得的余数只能是0,1,,2n -L 共1n -种, 根据所得余数, 可以把所有自然数分为1n -类：｛余数为0的自然数｝， ｛余数为1的自然数｝,…,｛余数为2n -的自然数｝，把它们看做1n -个鸽巣, 余数相同的自然数在同一个鸽巣里. 由鸽巣原理, 任取n 个数必有两个数出自同一鸽巣, 也就是这两个数除以1n -所得的余数相同. 所以用大数减去小数, 他们的差就是1n -的倍数.例7 任意给定12个不同的自然数, 证明其中必有两个数的和或差是20的倍数. 证明 将自然数按照除以20所得的余数分类, 得0,1,,19L 共20类.任意给定的12个不同的自然数, 若有两个数落在同一类（即两个数除以20所得的余数相同）, 那么它们的差是20的倍数, 结论成立.若任意给定的12个不同的自然数中, 每两个数都不在同一类, 也就是按上面分的20类中每一类至多有一个已知数（也可以没有）. 此时, 将自然数按照除以20所得的余数分类, 则0,1,,19L 分为11类:{}119，,{}218，,{}317，,…,{}911，,{}10,{}0.每一类当作一个鸽巣, 它们的和是20的倍数.一般的, 任取22n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦个不同的自然数, 则必有两个数的和或差是n 的倍数. 证明 设所给的自然数是1,2,,22m n a m ⎛⎫⎡⎤=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭L ,有 m m m a ng r =+ ,0122m n r ⎧⎫⎡⎤∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭L 、、、, 则22n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦个自然数的余数, 分为12n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦种情况, 可看作12n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦个鸽巣, 必有两个数i a ，j a 属于同一个鸽巣, 即i j r r =.（1）当i j r r =时, i j a a -是n 的倍数；（2）当i j r r =-时, i j a a +是n 的倍数.综合（1）、（2）可知, 该命题成立.例8 设12,,,n x x x L 是n 个正整数, 证明其中存在着连续的若干个数, 其和是n 的倍数.证明 设12i i S x x x =L +++,=1,2,,.i n L 我们把i S 除以n 的余数记作i r ,01i r n ≤≤-. 如果存在i , 使得0i r =, 则12i x x x L +++可以被n 整除. 如果对于所有的i ,=1,2,,.i n L 都有0i r ≠, 那么n 个i r 只能有1,2,,1n -L 共1n -种可能的取值, 由鸽巣原理知, 必存在j 和k 满足j k r r =, j k ＞.因此有12j k k k j S S x x x ++-=++L可以被n 整除.2.5用转化的方法构造鸽巣用转化的方法构造鸽巣就是通过某种对应方法或变换手段, 把原问题转化为更易求解的新问题, 一旦新为题解决, 原问题随之得解.例9 在1,2,,2n L 中任取1n +个不同的数, 证明至少有一个数是另一个数的倍数. 证明 任何的正整数n 都可以表成2n αβ=⋅的形式, 其中α是自然数（包括0）, β为奇数.设选出的1n +个数为121,,,n a a a +L , 把它们依次表为112αβ⋅,222αβ⋅,…,112n n αβ++⋅, 其中121,,,,n βββ+L 是1n +个奇数, 它们的取值只有n 种可能, 即1,3,,21n -L .由鸽巣原理, 必存在i 和j 使得i j ββ=. 我们考虑=2i i a αβ⋅和=2j j a αβ⋅, 不妨设i j a a ＜, 则有j i i 222j j i i ja a ααααββ-⋅==⋅. 这就证明了j a 是i a 的倍数.例10 任意六个人中, 必有三人彼此认识, 或有三人彼此不认识.证明 在平面上用六个点,,,,,A B C D E F 表示六个人, 若两个人彼此认识则在代表他们的两点间连一红边, 否则连一蓝边, 如果把各对点都用红或蓝边连接后, 我们得到一个2色6阶完全图6K . 于是问题转化为：证明2色6阶完全图6K 中一定存在单色三角形, 即三边皆同色的三角形. 因为点A 与其余5个点的5条连线只能是红色或蓝色,因532⎡⎤=⎢⎥⎢⎥, 由鸽巣原理知, 其中至少有三条同色, 不妨设,,AB AC AD 皆为红色. 如果,,BC BD CD 中有某1条（比如CD ）是红色的, 则有一个红边三角形ACD ∆（如下图(5)）；如果,,BC BD CD 都是蓝色, 则有一个蓝边三角形BCD ∆（如下图(6)）.总之, 至少有一个单色三角形.C DEFD E F图（5） 图（6）注 对于例10这种关于n 个对象以及这n 个对象之间的若干种关系的问题, 可以把这n 个对象用点来表示, 对象之间的关系用某种边来表示, 从而把问题转化为有关图论的问题, 这种方法也称做图论方法.3.鸽巣原理的简单应用鸽巣原理的内容简明朴素, 易于接受, 它在数学问题中有重要的作用. 应用鸽巣原理的基本思想是根据不同问题自身特点, 洞察问题本质, 先弄清对哪些元素进行分类, 找出分类的规律, 即构造鸽巣, 这是应用鸽巣原理的关键.3.1 应用鸽巣原理证明不等式我们知道n 个苹果放入1n -个鸽巣里, 必然有一个鸽巣里至少有2个苹果. 这是一个鸽巣原理的简单应用. 妙用鸽巣原理, 证明某些不等式, 能起到神奇的效果. 下面给出几个例子.例11 若,,a b c 为正数，求证：22222232b c a a b c a b c b c a ⎛⎫+++≥++ ⎪⎝⎭. 证明 设,,a b c x y z b c a===,则原不等式等价于，若正数x ,y ,z 满足1xyz =, 则有不等式22211132()x y z x y z+++≥++，即()22222232x y y z z x x y z +++≥++. ① 注意到2221x y z =,于是一定在222,,x y z 中有两个同时不小于1，或者不大于1, 不妨设2x 和2y , 则有()()22-1-10.x y ≥下面, 我们采用作差法证明不等式①. 事实上,()()()()()()()()()()2222222222222222222223221212111110.x y y z z x x y z y z z x yz zx x y x y x x y y yz zx x y x y +++-++=+-⋅+--++-++-+=-+--+-+-≥这说明不等式①成立, 故原不等式得证.例12 对于任意正整数,,a b c , 均有()()()()22222223a b c a b c +++≥++. 证明 原不等式可以变形为2222222222222()()86().a b c a b b c c a a b c ab bc ca +++++++≥++ ② 由鸽巣原理, 222,,a b c 中必有两个同时不大于1, 或者同时不小于1, 不妨设为2a 和2b , 则有()()22-1-10a b ≥.从而, 有()()22-1-10.c a b ≥即22222222a b c c b c c a +≥+. 据此, 并利用二元均值不等式, 得()()()222222222222222222222222222222222222222222222222 2()()82()()82()()8(1)(1)2(1)2(1)2(1)2224446(a b c a b b c c a a b c a b c c a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b a b b c c a a b b c c a ab bc ca ab bc caab b +++++++=+++++++≥+++++++=+++++++++++≥+++++=+).c ca +所以, 不等式②成立, 故原不等式得证.3.2 应用鸽巣原理证明三角不等式上面我们研究了如何应用鸽巣原理证明不等式, 下面我们将讨论一些三角不等式的独特证法, 希望给读者一定的启发.例13 在ABC ∆中, 求证:3cos cos cos 2A B C ++≤.证明 在ABC ∆中, 一定有两个角同时不小于或同时不大于3π, 不妨设为,A B , 则有11cos cos 022A B ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 即111cos cos cos cos 422A B A A +≥+, 所以()()()1cos cos cos 2cos cos cos 21cos cos cos 213cos .22A B C A B C A B A B C A B ++≤++=++-++=-+≤故有3cos cos cos 2A B C ++≤. 例14 在ABC ∆中,求证：sin sin sin 2A B C ++≤. 证明 在ABC ∆中一定有两个角同时不小于或同时不大于3π, 不妨设为,A B ,则有sin sin 022A B ⎛--≥ ⎝⎭⎝⎭,即)3sin sin sin sin 42A B A B +≥+, 所以()())sin sin sin sin sin 2cos cos sin 1cos sin A B C A B C A B A B C C C ++≤++=--+++⎤⎦≤+++设())1cos sin f C C C =++, 显然, 函数()f C 取得最大值, 只需要考虑C 为锐角的情况, 求导,得'()cos f C C C =+, 有'()0f C =,得tan C =所以3C π=.当0,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, 函数()f C 是增函数, 当,32C ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, 函数()f C 是减函数.从而,有max cos )sin 333f f πππ⎛⎫==++= ⎪⎝⎭. 所以,sin sin sin A B C ++≤3.3 应用鸽巣原理解决代数问题例15 证明：有限群中的每个元素的阶均有限.证明 设G 是n 阶有限群, e 为单位元. 任取a G ∈, 则由鸽巣原理可知,231n n a a a a a +L ，，，，，中必有相等的.不妨设s t a a =, 11t s n ≤<≤+, 于是有s t a e -=, 从而a 的阶有限.例16 设A 是n 阶方阵，证明：存在1k n ≤≤, 使()()1k k A A +=秩秩.证明 因为n 阶方阵的秩只能是0,1,2,,n L 这1n +个数之一, 而012,,,,,n A A A A L1n A +的个数大于秩, 从而由鸽巣原理知, 在0121n n A A A A A +L ，，，，中, 存在k ,l 满足1k l n ≤<≤, 使得()()k l A A =秩秩. 但()()()1k k l A A A +≥≥≥L 秩秩秩,所以()()1k k A A +=秩秩.除此之外, 鸽巣原理还可用于解决一些数论问题及图论问题. 另外, 在中小学新课改中都有鸽巣原理的简单应用. 鸽巣原理广泛应用于数学各阶段, 若有兴趣, 还可继续研究. 4.总结鸽巣原理的叙述比较简单, 因此本文将重点放在了鸽巣原理的构造及应用上, 尤其是鸽巣的构造, 是灵活运用鸽巣原理的关键.从上面的例子中, 我们可以看到应用鸽巣原理时, 一般分为三个步骤： （1） 构成分类的对象有m 个物体；（2） 找出分类的规则, 应用各种鸽巣构造法, 将m 个元素分成n 个鸽巣, 并证明每个鸽巣中的元素符合题意；（3） 应用鸽巣原理证明结论成立.应用的关键在于构造鸽巣的方法, 构造鸽巣主要依赖于做题的经验和解题技巧,体现了解题思维的灵活性.参考文献[1]兰社云,高喜梅.浅谈抽屉原理及抽屉构造[J].河南教育学院学报.2003.12（3）.[2]屈婉玲.组合数学[M].北京大学出版社.2007.[3]刘勇,刘祥生. 组合数学[M]. 北京大学出版社.2006.[4]庞国萍.抽屉原理的抽屉构造法[J].玉林师范高等专科学校学报（自然科学）.2000：21（3）:12-13.[5]安振平.妙用抽屉原理证明不等式[J].数学通报.2010.49(1):59-60.[6]安振平.巧用抽屉原理妙证三角不等式[J].数学通讯,2010.(11):110.[7]濮安山.高等代数中抽屉原理的应用[J].哈尔滨师范大学自然科学学报,2001. 17 (6):21-22.Pigeonhole Principle and Its Simple ApplicationNameCollege of Mathematics Science No:Tutor:Abstract: Pigeonhole Principle is an important and basic principle of Combinatorics,which plays an important role useful in solving mathematical problems. This paper describes the simple form and enhanced form of Pigeonhole Principle and carried on the proof. What's more, t his paper introduces several common methods of construction as well as some simple applications in mathematical aspects of Pigeonhole Principle.Key words: Pigeonhole Principle;pigeonhole;method of construction。