《2.1.1 合理推理(1)》教学案3
2.1.1类比推理(公开课教学设计)
、《火星宝贝》等。
由于《阿凡达》、《长江七号》、《火星宝贝》票房收入都不错，故推测以外星生命为题材的科幻片票房收入都不错。
这样的推理是什么推理？（归纳推理）情境2、真的存在外星生命吗？科学家做了下面的研究：问：这是归纳推理吗？它是一种类比推理。
（板书课题）（二）新课探究问题（一）什么是类比推理？问1：你能说说科学家的推理思路吗？（学生回答，老师总结,见图）师：运用这种推理方法的例子还有很多，比如：（1）鲁班发明锯子（2）奥地利医生奥恩布鲁格观察到父亲经常用手指敲击盛酒的木桶，根据声音推测桶内的酒还剩多少。
联想到胸腔和酒桶有类似之处，从而发明了叩诊法——通过叩击人体胸腔的方法判断其中有无积水或积水的多少；问2：你能说出鲁班发明锯子的思路吗？（学生回答，老师总结,见图）（从这个问题开始探讨如何运用类比推理，由一类事物的性质得到另一类事物的性质）师：所猜想的结论可能真，可能假，所以类比推理也是一种合情推理。
问4：如果我们想得到球的一些性质，你会想到用类比的思维方式吗？（学生能够想到将球与圆进行类比，利用PPT 给出了圆的一些性质，由学生推测出相对应的球的性质）圆的性质：①同圆或等圆的半径相等，直径是半径的两倍.②与弦垂直的直径过弦的中点.③连结圆心和弦（非直径）中点的直线垂直于弦.④圆半径的平方=圆心到弦的距离平方+弦长一半的平方.⑤不过圆心的弦小于直径，经过圆心的弦是直径，且直径是最大的弦.问5：实数运算中加法和乘法是一对非常典型的可类比对象，请大家类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质. （得到如下表格）类比角度实数的加法实数的乘法运算结果若则,,a b R ∈a b R +∈若则,,a b R ∈ab R ∈运算律()()a b b a a b c a b c +=+++=++()()ab ba ab c a bc ==逆运算加法的逆运算是减法，使得方程有唯一解0a x +=x a =-乘法的逆运算是除法，使得方程有唯一解1ax =1x a =单位元0a a +=11a ⋅=问6：通过上节课的学习我们体会到了归纳推理在数列中的应用，那么数列中有可进行类比的对象吗？问7：等差数列与等比数列可以进行类比，请将等差数列与等比数列的一些常用结论进行对比。
教学设计3：2.1.1 合情推理
《合情推理》教学设计●教学目标：通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去。
●教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。
●教学难点：用类比进行推理，做出猜想。
●教具准备：与教材内容相关的资料。
●教学设想：类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
●教学过程：学生探究过程：从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？A对象具有属性a、b、c、d；B对象具有属性a、b、c；所以，B对象具有属性d。
为了提高类比推理结论的可靠性，逻辑学提出了一些要求:应当尽可能多地列举出对象间相似属性和选择较为本质的属性进行类比。
数学活动我们再看几个类似的推理实例。
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：猜想不等式的性质：(1) a=b⇒a+c=b+c; (1) a＞b⇒a+c＞b+c;(2) a=b ⇒ ac=bc; (2) a ＞b ⇒ ac ＞bc;(3) a =b ⇒a 2=b 2;等等。
(3) a ＞b ⇒a 2＞b 2;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？例2、试根据等差数列的性质猜想等比数列的性质。
等差数列 等比数列a n -a n -1=d(n ≥2,n ∈N) ),2(1N n n q a a n n ∈≥=-a n =a 1+(n -1)d a n =a 1⋅q n -1a n =211+-+n n a a (n ≥2,n ∈N) a n 2=11-+⋅n n a a (n ≥2,n ∈N) 设问1：观察上述公式，等差数列、等比数列相关公式的对应运算法则规律是什么？ 设问2：如何分析表达式结构特征？)2()2(5)4(g f f -设问3：类比对象是什么？三角形与三棱柱。
《2.1.1 合情推理—类比推理》教学案(二)
《2.1.1合情推理—类比推理》教学案（二）教学目标：1、通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识类比推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。
2、类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
教学重点、难点:教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。
教学难点：用类比进行推理，做出猜想。
教学过程：一、复习引入：1、什么叫推理?推理由哪几部分组成?2、合情推理的主要形式有和.3、归纳推理是从事实中概括出结论的一种推理模式二、问题情境情境1：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子。
他的思路是这样的：茅草是齿形的，茅草能割破手，需要一种能割断木头的，它也可以是齿形的。
这个推理过程是归纳推理吗？______________情境2、人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水艇。
三、学生活动1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯；2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇；3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征：1)火星也是绕太阳运行、绕轴自转的行星；2)有大气层,在一年中也有季节变更；3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等等。
科学家猜想：火星上也可能有生命存在。
4)利用平面向量的本定理类比得到空间向量的基本定理.四、数学建构1、类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)。
2、类比推理的几个特点：（1）类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果；（2）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性； （3）类比的结果是猜测性的，不一定可靠,但它却有发现的功能.表一：利用平面向量的性质类比得空间向量的性质 平面向量空间向量若12=(,)r a a a ，=12(,)rb b b 则 ①+=++1122(,)r ra b a b a b ②1122-=--(,)r ra b a b a b③=∈12(,)()rλλλλa a a R ④⋅=+1122r ra b a b a b ⑤⇔==∈1122//,()r rλλλa b a b a b R ⑥⊥⇔+=11220r ra b a b a b⑦2212||r =+a a a 若=123(,,)r a a a a ，=123(,,)rb b b b 则 ①+=+++112233(,,)r ra b a b a b a b ②-=---112233(,,)r ra b a b a b a b③=∈123(,,)()rλλλλλa a a a R ④⋅=++112233r ra b a b a b a b ⑤⇔===∈112233//,,()r rλλλλa b a b a b a b R ⑥⊥⇔++=1122330r ra b a b a b a b⑦222123||r =++a a a a表二：在形状上和概念上，都有类似的地方，即具有完美的对称性都是到定点的距离等于定长的点的集合。
《2.1.1合情推理》教学案3
《2.1.1合情推理》教学案3掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。
通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。
感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。
●教学重点：归纳推理及方法的总结。
●教学难点：归纳推理的含义及其具体应用。
●教具准备：与教材内容相关的资料。
●课时安排：1课时●教学过程：一.问题情境(1)原理初探①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！”②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？从而引入两则小典故：（图片展示-阿基米德的灵感）A ：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？B ：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。
④思考：整个过程对你有什么启发？⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。
(2)皇冠明珠追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠—“歌德巴赫猜想”。
链接:思考：其他偶数是否也有类似的规律？③讨论：组织学生进行交流、探讨。
④检验：2和4可以吗？为什么不行？⑤归纳：通过刚才的探究，由学生归纳“归纳推理”的定义及特点。
3.数学建构●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 注:归纳推理的特点;简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
●归纳推理的一般步骤：4.师生活动例1 前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。
蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。
例2 前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，……结论：凸n 边形的内角和是（n —2）×1800。
例3,333232,232232,131232++<++<++<探究：上述结论都成立吗？强调：归纳推理的结果不一定成立！ —— “ 一切皆有可能！”5.提高巩固 (,,)a b m <b b+m 由此我们猜想：均为正实数。
教学设计5：2.1.1 合情推理（一）
2.1.1 合情推理（一）整体设计教材分析合情推理所蕴含的数学思想贯穿于高中数学的整个知识体系，但是作为一节内容出现在高中数学教材中尚属首次．合情推理是新课标教材的亮点之一，本节内容对合情推理的一般方法进行了必要的归纳和总结，同时也对后继知识的学习起到了引领的作用．教材的设计是对“观察发现、归纳类比、抽象概括、演绎证明”等数学思维方法的总结与归纳，使已学过的数学知识和思想方法系统化、明晰化．教材紧密地结合了已学过的数学实例和生活实例，避免了空泛地讲数学思想、方法；以变分散为集中，变隐性为显性的方式学习合情推理，是知识、方法、思维和情感的融合与促进，让学生在学知识的同时充分体会数学的发展过程．第1课时教学目标1．知识与技能目标结合生活实例了解推理的含义；掌握归纳推理的结构和特点，能够进行简单的归纳推理；体会归纳推理在数学发现中的作用．2．过程与方法目标通过探索、研究、归纳、总结等方式，使归纳推理全方位地呈现在学生面前，让学生了解数学不单是现成结论的体系，结论的发现也是数学的重要内容，从而形成对数学较为完整的认识；培养学生发散思维能力，充分挖掘学生的创新思维能力．3．情感、态度与价值观通过学习本节课，培养学生实事求是、力戒浮夸的思维习惯，深化学生对数学意义的理解，激发学生的学习兴趣；认识数学的科学价值、应用价值和文化价值；通过探究学习培养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维方式和锲而不舍的钻研精神．重点难点重点：掌握归纳推理的特点和推理过程，体会归纳推理在科学发现中的作用．难点：归纳推理的应用；如何培养学生发现问题、解决问题的能力．教学过程引入新课某市为了解本市的高中生数学学习状态，对四所学校做了一个问卷调查，其中有两方面问题的统计数据如下：根据这四所学校的情况，你能推测全市高中生对数学的印象吗？活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流．学情预测：学生可能会说出很多不同的答案．教师提问：你的推测一定正确吗？活动结果：有的学生可能会说“正确”；有的学生可能会说“不正确”；有的学生可能会说“不确定”．教师：推测不一定正确．设计意图自然合理地提出问题，让学生体会“数学来源于生活”，创造和谐积极的学习气氛，为课堂结尾“数学是生动活泼的，发现问题是数学学习的一个重要目的”埋下伏笔．探究新知生活中我们经常会遇到这样的情形：看见柳树发芽，冰雪融化，……看见花凋谢了，树叶黄了，……看见乌云密布，燕子低飞，……引导学生做一些简单的推理：1．由铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．2．由三角形内角和为180°，凸四边形内角和为360°，凸五边形内角和为540°，猜想：凸n边形内角和为(n－2)·180°.提出问题：像上面这样的思维方式就是推理，请问你认为什么是推理？活动设计：学生先自由发言，教师逐步引导学生发现推理的结论是通过猜想得到的．学情预测：学生开始的回答可能不全面、不准确，但在其他同学的不断补充、纠正下，会趋于完善．活动结果：推理的概念：根据一个或几个已知的事实(或假设)来确定一个新的判断的思维方式就叫推理．注意：一个完整的推理是由前提和结论两部分构成的．设计意图从大量的生活实例出发，让学生充分体会推理的含义和推理的构成，使推理概念的形成更自然、更生动，并训练和培养学生的抽象概括和表达能力．看下面两个推理：1．金受热后体积膨胀；银受热后体积膨胀；铜受热后体积膨胀；铁受热后体积膨胀．由此猜想：金属受热后体积膨胀．2.1，1＋3＝4，1＋3＋5＝9，1＋3＋5＋7＝16，1＋3＋5＋7＋9＝25，……由此猜想：1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.提出问题：这两个推理在思维方式上有什么共同特点？活动设计：学生先独立思考，然后分小组讨论．活动结果：共同特点：部分推出整体，个别推出一般．归纳推理的概念：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出该类事物的全部对象都具有这种性质的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．设计意图引导学生观察两个推理的前提与结论，根据前提与结论的关系由学生作出进一步分类并尝试命名．提出问题：你在生活中遇到过归纳推理吗？(学生自由发言)活动设计：学生分小组讨论：将学生划分为两大部分，一部分学生讨论生活中运用归纳推理的例子，另一部分学生讨论学习中使用归纳推理的例子．学情预测：学生会举出大量的归纳推理的实例，也可能举出这样的例子：“地球上有生命，火星具有一些与地球类似的特征，猜想：火星上也有生命．”设计意图通过学生所举的例子，教师可以了解学生对归纳推理的理解程度，通过正反实例明确概念的内涵和外延，加深对关键词、重点词的理解，及时更正学生在认识理解中产生的偏差，巩固归纳推理的定义．理解新知教师举例：介绍歌德巴赫猜想．观察下列等式：3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30.你们能从中发现什么规律？学情预测：学生的回答可能很杂，甚至会五花八门．如果换一种写法呢？10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17.活动设计：学生先独立思考，然后学生分小组讨论．教师适时介入全班引导：提醒学生注意各等式左边的数是什么数？各等式右边是几个数？均是什么数？这反映了一个什么样的规律？活动结果：偶数＝奇质数＋奇质数．提出问题：这个规律对于其他偶数是否成立？可以先从几个较小的偶数开始，具体验证一下．活动设计：学生独立思考，独立举例．教师：全班学生交流研究成果．共同得到，第一个等于两个奇质数之和的偶数是6，即6＝3＋3.其他结果略．教师：根据上述过程，哥德巴赫大胆地猜想：“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和”．从哥德巴赫提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功．但我国著名数学家陈景润、王元、潘承洞等均分别取得了很好的结果，做出了巨大的贡献．当然也曾经有人作了些具体的验证工作，例如：6＝3＋3,8＝3＋5,10＝5＋5＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7＝3＋11,16＝5＋11,18＝5＋13，…，1 000＝29＋971,1 002＝139＋863，等等．有人对3.3×108以内且大过6的偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想都成立，但依然没有严格的数学证明．因此，我们仍然不能说：“哥德巴赫猜想”成立，即这个规律对于其他偶数是否成立还不得而知．(教师还可以介绍其他学科中运用归纳推理得到的重要发现)提出问题：请同学们根据前面所列举的归纳推理的例子，总结归纳推理的作用．活动设计：全班学生先在老师的带领下共同回顾前面所列举的归纳推理的例子，然后独立思考，小组讨论后汇报结果．活动结果：归纳推理的作用：1．发现新事实；2．提供研究方向．设计意图通过学生主动探究规律，感受归纳推理对发现新事实、得出新结论的作用．在学生独立思考时教师不做任何提示，培养学生探究能力和合作精神．介绍费马猜想：已知221＋1,222＋1,223＋1,224＋1都是质数，运用归纳推理你能得出什么样的结论？教师：22n＋1(n∈N)都是质数，这就是著名的费马猜想．半个世纪后欧拉发现：225＋1＝4 294 967 297＝641×6 700 417.这说明了什么？教师：费马猜想是不成立的．后来人们又发现226＋1,227＋1,228＋1都是合数，又能得到什么样的结论？教师：任何形如22n＋1(n∈N，n≥6)的数都是合数．设计意图教师生动讲述欧拉发现第五个费马数的过程，激发学生的好奇心与求知欲，同时，通过“猜想——验证——再猜想”说明科学的进步与发展处在一个螺旋上升的过程，同时说明归纳推理的结论不一定正确，有待进一步证明．活动结果：归纳推理的一般步骤：1．通过观察个别情况发现某些相同性质；2．从已知的相同性质中推出一个表述明确的一般性命题；(即猜想) 3．检验猜想．运用新知例题 已知数列{a n }的首项a 1＝1，且有a n ＋1＝a na n ＋1，试归纳出数列的通项公式．思路分析：数列的通项公式表示的是数列{a n }的第n 项与序号之间的对应关系．为此，我们先根据已知的递推公式，算出数列的前几项．解：当n ＝1时，a 1＝1；当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12；当n ＝3时，a 3＝121＋12＝13；当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14. 观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数，由此猜想，这个数列的通项公式为a n ＝1n.点评：掌握归纳推理的一般步骤，进一步感受归纳推理的作用．我们通过归纳得到了关于数列的通项公式的一个猜想，虽然猜想是否正确还有待严格证明，但这个猜想可以为我们的研究提供一种方向．巩固练习设n 是自然数，则18(n 2－1)[1－(－1)n ]的值( )A ．一定是零B ．不一定是整数C ．一定是偶数D ．是整数但不一定是偶数 【答案】C 变练演编设f (n )＝n 2＋n ＋11，n ∈N ，计算f (1)、f (2)、f (3)、f (4)、f (5)、…，你有什么发现？ 思路分析：分别计算f (1)、f (2)、f (3)、f (4)、f (5)的具体数值，进行观察，发现这组数据的局部特征，从而对整体作出推断．解：当n ＝1时，f (1)＝12＋1＋11＝13；当n ＝2时，f (2)＝22＋2＋11＝17； 当n ＝3时，f (3)＝32＋3＋11＝23；当n ＝4时，f (4)＝42＋4＋11＝31； 当n ＝5时，f (5)＝52＋5＋11＝41.观察可得，f (1)、f (2)、f (3)、f (4)、f (5)都是质数，由此猜想，任何f (n )＝n 2＋n ＋11，n ∈N 都是质数．变式1：设f (n )＝n 2＋n ，n ∈N ，计算f (1)、f (2)、f (3)、f (4)、f (5)、…，你有什么发现？ 变式2：设f (n )＝n 2＋n ＋11，n ∈N ，计算f (2)－f (1)、f (3)－f (2)、f (4)－f (3)、f (5)－f (4)、…，你有什么发现？变式3：设f (n )＝n 2＋n ，n ∈N ，计算f (2)－f (1)、f (3)－f (2)、f (4)－f (3)、f (5)－f (4)、…，你有什么发现？提出问题：归纳推理所得的结论有时是正确的，但有时也是错误的，那么我们为什么还要进行归纳推理呢？活动设计：学生自己进行计算研究，将所有发现的结果一一列举，并由学生相互之间予以评价．活动成果：变式1：f (n )(n ∈N )都是偶数； 变式2：f (n ＋1)－f (n )＝2(n ＋1)(n ∈N )都是偶数； 变式3：f (n ＋1)－f (n )＝2(n ＋1)(n ∈N )都是偶数． 达标检测1．根据下面给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( ) A ．1 111 110 1×9＋2＝11 B ．1 111 111 12×9＋3＝111 C ．1 111 112 123×9＋4＝1 111 D ．1 111 113 1 234×9＋5＝11 1112．在数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，试归纳出这个数列的通项公式．3．观察下面的“三角阵”，试找出相邻两行数间的关系．1 1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1……1 10 45 …… 45 10 1【答案】1.B2.数列的通项公式a n ＝1(n ∈N )．3.相邻两行数间的关系是每一行首尾的数都是1，其他的数等于上一行中与之相邻的两个数的和．课堂小结1．知识收获：了解了归纳推理的含义； 2．方法收获：掌握了归纳推理的方法和步骤；3．思维收获：归纳推理是进行猜测发现结论、探索和提供思路的常用的思维方法．布置作业1．课本习题2.1 A 组 1题、3题．2．实习作业：登陆网站，选择两个猜想探究来源．补充练习基础练习1．观察下列数列的特点1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，第100项是( ) A ．10 B ．13 C ．14 D ．1002．由集合{a 1}，{a 1，a 2}，{a 1，a 2，a 3}，…的子集个数归纳出集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集个数为( )A ．nB ．n ＋1C ．2nD ．2n －13．由710>58，911>810，1328>921，…，若a >b >0，m >0，则b ＋m a ＋m 与b a 之间的大小关系为( )A ．相等B ．前者大C ．后者大D ．不确定4．1，13，17，115，131，…的一个通项公式a n ＝__________.5．f (x )＝12x ＋2，通过计算f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)的值，猜想f (－n )＋f (n ＋1)＝__________.【答案】1.C2.C3.B4.a n ＝12n －1(n ∈N *) 5.22拓展练习6．观察以下各等式：sin 230°＋cos 260°＋sin 30°·cos 60°＝34；sin 240°＋cos 270°＋sin 40°·cos 70°＝34；sin 215°＋cos 245°＋sin 15°·cos 45°＝34.分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性加以证明． 解：反映一般规律的等式是sin 2θ＋cos 2(θ＋30°)＋sin θ·cos(θ＋30°)＝34.证明：sin 2θ＋cos 2(θ＋30°)＋sin θ·cos(θ＋30°)＝sin 2θ＋(cos θcos30°－sin θsin30°)2＋sinθ(cosθcos 30°－sin θsin30°) ＝sin 2θ＋(32cos θ－12sin θ)2＋sin θ(32cos θ－12sin θ) ＝sin 2θ＋34cos 2θ＋14sin 2θ－32cos θsin θ＋32cos θsin θ－12sin 2θ＝34(sin 2θ＋cos 2θ)＝34. 设计说明以问题驱动为指导，通过不断提出问题，研究问题，解决问题，使学生获得知识，完成教学．给学生创建一个开放、有活力、有个性的数学学习环境．感受数学美和发现规律的喜悦，激励学生更积极地去寻找规律、认识规律．同时让学生感受到只要做个有心人，发现规律并非难事．以学生熟悉的例子为载体，引导他们提炼、概括、归纳推理的含义和归纳推理的方法，自然合理地提出问题，让学生体会“数学来源于生活”．创造和谐积极的学习气氛．让学生通过直观感知、观察分析、归纳类比，形成由浅入深、由易到难、由特殊到一般的思维飞跃，并借助例题具体说明在数学发现的过程中应该如何应用归纳推理．。
《2.1.1合情推理》教学案3
《2.1.1合情推理》教学案【教学目标】(1)结合已学过的数学实例，了解归纳推理、合情推理的含义，通过生活中的实例和已学过的教学的案例，体会演绎推理的重要性；(2)能利用归纳、类比进行简单的推理，体会并认识合情推理、演绎推理在数学发现中的作用.掌握推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理.【教学重点】能利用归纳、类比、演绎的方法进行简单的推理.【教学难点】用归纳和类比进行推理，作出猜想；分析证明过程中包含的“三段论”形式.【教学过程】问题一：归纳推理一、创设情境1．哥德巴赫猜想：哥德巴赫观察4=2+2， 6=3+3， 8=5+3， 10=5+5， 12=5+7， 12=7+7， 16=13+3， 18=11+7， 20=13+7， ……， 50=13+37， ……， 1000=29+971，， ……猜测：任一不小于6的偶数都等于两个奇质数之和.2. 费马猜想：法国业余数学家之王—费马(1601-1665)在1640年通过对020213F =+=，121215F =+=，2222117F =+=，32321257F =+=，4242165537F =+=的观察，发现其结果都是素数，于是提出猜想：任何形如122+=nF (*∈N n )的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉，发现5252142949672976416700417F =+==⨯不是素数，从而推翻费马猜想. 3. 四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.4. 哥尼斯堡城七桥问题：18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示.城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点.这就是七桥问题，一个著名的图论问题.这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉那里.欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在.欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成A 、B 、0(1,2,,)i a i n >= C 、D 4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示.图1 图2 图3于是“七桥问题”就等价于图3中所画图形的一笔画问题了.欧拉注意到，每个点如果有进去的边就必须有出来的边，从而每个点连接的边数必须有偶数个才能完成一笔画.图3的每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出，这就说明不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次的走法.二、合作探究：1、归纳推理的概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.讨论： (i ) 归纳推理有何作用？(ii )归纳推理的结果是否正确？2. 练习：(1)由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？(2)已知 ，考察下列式子： 111()1i a a ⋅≥；121211()()()4ii a a a a ++≥；123123111()()()9iii a a a a a a ++++≥. 可以归纳出，对12,,,n a a a 也成立的类似不等式为 .(3). 观察等式：2221342,13593,13579164+==++==++++==，能得出怎样的结论？三、例题讲解例1.已知数列{}n a 的第1项a 1=1，且 ),3,2,1(11 =+=+n a a a nn n ，试归纳出这个数列的通项公式.例2:汉诺塔问题有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.1.每次只能移动一个金属片；2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测:把n 个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？巩固练习：(1) 对于任意正整数n ，猜想(2n -1)与(n +1)2的大小关系？ (2)已知数列}{n a 满足11=a ，)12111--+=n n n a a a （，()2≥n 求}{n a 的通项公式.问题二：类比推理一、 创设情境(1)鲁班由带齿的草叶和蝗虫的齿牙发明锯；(2)人类仿照鱼类外形及沉浮原理，发明潜水艇；(3)地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在.二、合作探究：1、类比概念：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.123练习：(1)圆与球的特征的类比(2)在平面内，若,a c b c ⊥⊥，则//a b . 类比到空间，你会得到什么结论？三、例题讲解例1、类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.例2：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.。
2.1.1 合情推理(优秀经典公开课比赛教案).
课题：2.1.1合情推理学科：数学年级：高二班级：一、教材分析：本节课是《推理与证明》的起始内容。
《推理与证明》是数学的一种基本思维过程，也是人们在学习和生活中经常使用的一种思维方式。
贯穿于高中数学的整个知识体系，同时也对后续知识的学习起到引领作用。
合情推理有助于发现新的规律和事实，是重要的数学思想方法之一。
二、教学目标：1．知识与技能(1)结合已学过的数学实例，了解归纳推理与类比推理的含义．(2)能利用归纳和类比的方法进行简单的推理．(3)体会并认识归纳推理、类比推理在数学发现中的作用．2．过程与方法让学生感受数学知识与实际生活的普遍联系，通过让学生积极参与，亲身经历归纳、类比推理定义的获得过程，培养学生归纳推理、类比推理的思想．3．情感、态度与价值观通过本节学习正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成认真观察事物、分析事物、发现事物之间的质的联系的良好品质，善于发现问题，探求新知识．三、教学重点重点：归纳推理与类比推理概念的理解，归纳推理与类比推理思想方法的掌握．四、教学难点难点：归纳推理、类比推理的应用．五、教学准备1、课时安排：1课时2、教具选择：电子白板六、教学方法：要从具体的事例出发，让学生参与猜测，引导学生归纳，激发学生学习的兴趣，总结归纳推理的过程，让学生自己去发现归纳推理的应用方法与技巧．通过适量的练习使学生掌握观察、猜测、归纳、论证各环节的规律方法，并能灵活应用．通过举例分析归纳推理与类比推理的异同，让学生对两个概念有较深刻的理解，突出本节重点，通过例题讲解总结归纳推理与类比推理的应用方法及解题规律，强化训练有关题型，化解难点．七、教学过程：1、自主导学：阅读课本22—29页回答下列问题：（学生课前预习后提出疑惑，老师解答）（1）．数列{a n}中，a1＝12，a2＝34，a3＝78，a4＝1516.你能猜出a5的值吗？【提示】a5＝31 32 .（2）．直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，你能猜想出什么结论？【提示】所有三角形内角和都是180°.（3）.已知三角形的如下性质：(1)三角形的两边之和大于第三边；(2)三角形的面积等于高与底乘积的1 2 .1．试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质．【提示】(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．(2)四面体的体积等于底面积与高乘积的1 3 .2．以上两个推理有什么共同特点？【提示】都是根据三角形的特征，类比四面体相关元素得出结论的．3．归纳推理与类比推理有没有共同点？【提示】二者都是从具体事实出发，推断猜想新的结论．4．归纳推理与类比推理得出的结论一定正确吗？【提示】不一定正确．2、合作探究（1）分组探究探究点1 归纳推理和探究点2 类比推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．（2）教师点拨1．类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论．2．平面图形与空间图形类比如下：3、巩固训练（1）、有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )图2－1－1A ．26B ．31C ．32D ．36【思路探究】 本题中图形的变化比较简单，可有两种思路：第一种，直接查个数，找到变化规律后再猜想；第二种，看图形的排列规律，每相邻的两块无纹正六边形之间有一块“公共”的有菱形纹正六边形．【自主解答】 法一 有菱形纹的正六边形个数如下表：6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B.法二 由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有菱形纹的正六边形围绕(第一个图案)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块有菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的有菱形纹正六边形)，第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为6＋5×(6－1)＝31，故选B.（2）、在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明； (2)写出该结论一个更为一般的情形(不必证明)．【思路探究】 结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有关性质． 【自主解答】 (1)数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．证明如下：∵等差数列{a n }的公差d ＝3， ∴(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20) ＝10d ＋10d ＋…＋10d 10个＝100d ＝300， 同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300， 所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30 是等差数列，且公差为300. (2)对于∀k ∈N *，都有数列S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k 是等差数列，且公差为k 2d . 4、拓展延伸三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：的面，即平面的线类比到空间为面．三角形的中位线对应四面体的中位面，三角形的内角对应四面体的二面角，三角形的内切圆对应四面体的内切球．【自主解答】5、师生合作总结1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发展结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．2．合情推理的过程概括为：从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想八、课外作业已知椭圆具有以下性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，若直线PM、PN的斜率都存在，并记为k PM、k PN，那么k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线x2a2－y2b2＝1写出具有类似的性质，并加以证明．九、板书：1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发展结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．2．合情推理的过程概括为：从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想十、教学反思：本节课要在于观察、分析及在此基础上的猜想能力。
高中数学教案选修2-2《2.1.1 合情推理(1)》
教学目标：1．了解归纳推理的概念和归纳推理的作用．2．掌握归纳推理的一般步骤．3．能利用归纳进行一些简单的推理．教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理．教学难点：用归纳进行推理，做出猜想．教学过程：一、创设情境从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．任何推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么．下面我们来看3个推理案例：案例1 前提 当0n ＝时， 21111n n －＋＝； 当1n ＝时，21111n n －＋＝； 当2n ＝时，21113n n －＋＝； 当3n ＝时，21117n n －＋＝；当4n ＝时，21123n n －＋＝； 当5n ＝时，21131n n －＋＝．11，11，13，17，23， 31都是质数． 结论 对于所有的自然数n ，211n n －＋的值都是质数．案例2 前提 矩形的对角线的平方等于长、宽的平方和．结论 长方体的对角线的平方等于长、宽、高的平方和．案例3 前提 所有的金属都能导电，铜是金属．结论 铜能导电．三个推理案例的共同点是它们都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是在推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可以分为合情推理与演绎推理．二、构建新知在案例1中，由“对自然数n 的几个特殊值，211n n －＋都是质数”，推出“对所有自然数n ，211n n －＋都是质数．”我们再看几个类似的推理实例：1．蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的．因为蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所以我们猜想所有的爬行动物都是用肺呼吸的．2．三角形的内角和是180︒，凸四边形的内角和是360︒，凸五边形的内角和是540︒．归纳推理的一般步骤：（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；（2）提出带有规律性的结论，即猜想；（3）检验猜想．归纳推理的思维过程：三、数学运用例1 已知数列{a n }的每一项均为正数，221111(12)n n a a a n ＋＝，＝＋＝，，，试归纳出数列{a n }的一个通项公式．分析 学生通过具体的：当1n ＝时，11a ＝，当2n ＝时，2a ，当3n ＝时，2a 由此我们猜想{a n }的一个通项公式为n a ．例2 已知数列{a n }的通项公式21()(1)n a n n +N ＝∈＋， 12()(1)(1)(1)n f n a a a ⋅⋅⋅＝－－－．试通过计算(1)(2)(3)f f f ，，的值，推测出()f n 的值．分析 学生讨论结果预测如下：113(1)1144f a ＝－＝－＝ 1213824(2)(1)(1)(1)(1))94936f a a f ⋅⋅＝－－＝－＝＝＝ 12312155(3)(1)(1)(1)(2)(1)163168f a a a f ⋅⋅＝－－－＝－＝＝ 由此猜想，2()2(1)n f n n ＋＝＋ 四、学生探究 1．已知111()1()23f n n n +⋅⋅⋅N ＝＋＋＋＋∈，经计算：3(2)2f ＝，(4)2f ＞，5(8)2f ＞，(16)3f ＞，7(32)2f ＞，推测当2n ≥时，有_______________________． 2．已知：2223sin 30sin 90sin 1502＋＋＝，2223sin 5sin 65sin 1252＋＋＝． 观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并证明之．3．观察（1）tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101＋＋＝． （2）tan5tan10tan10tan 75tan 75tan51＋＋＝． 由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论．五、课堂总结1．归纳推理的特点：（1）归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围．（2）归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性．（3）归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上． 提出带有规律性的结论．（4）归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理．通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．2．归纳推理的一般步骤：（1）通过观察个别情况发现某些相同的性质．（2）从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）．六、课后作业教材第66页练习第2题，第3题，第4题，第5题．。
教学设计5：2.1.1合情推理
2.1.1 合情推理【教学目标】：1、结合已经学过的教学实例和生活实例，了解推理的含义；2、了解归纳推理的含义，并能用归纳的方法进行简单的推理【教学过程】一、案例引入：在日常生活中，我们常常遇到这样一些问题：1、看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，你能得出什么判断？2、张三今天没来上学，我们会有什么判断？3、八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯；4、朝霞不出门，晚霞行千里；5、瑞雪兆丰年。
问：这些实例具有什么样的共同特征？二、新授：I、推理：（1）定义：从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理（2）结构：推理的前提：所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；推理的结论：根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么（3）一般形式：注：推理也可看作是用连接词将前提和结论连结起来的一个逻辑连接常用的连接有：“因为…所以…”、“如果…那么…”、“根据…可知…”等等形式（4）分类：推理一般可分为“合情推理”和“演绎推理”两种类型。
问题引入：分析下列几个推理，寻找它们的共同特征：2．直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，你能猜想出什么结论？【提示】所有三角形内角和都是180°.3.已知三角形的如下性质：(1)三角形的两边之和大于第三边；(2)三角形的面积等于高与底乘积的.1．试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质．【提示】(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．(2)四面体的体积等于底面积与高乘积的.2．以上两个推理有什么共同特点？【提示】都是根据三角形的特征，类比四面体相关元素得出结论的．II、归纳推理：（1）定义：上述几个例子均是从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理（2）特点：1、归纳推理是“由部分到整体，由个体到一般”的推理；2、归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，结论是尚属未知的一般现象；3、归纳推理具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验因此，归纳推理不能作为数学证明的工具；4、归纳推理是一种具有创造性的推理。
高中数学 2.1.1合情推理教案 新人教A版选修22
2.1.1合情推理教学建议1.教材分析本节主要内容是合情推理的两种常用思维方法:归纳推理和类比推理.前者是由部分到整体、由个别到一般的推理,后者是由特殊到特殊的推理.合情推理可以为发现、探索新的结论提供思路,但其结论未必正确.本节重点是了解合情推理的含义,能利用归纳和类比进行简单的推理,难点是用归纳和类比进行推理,作出猜想.2.主要问题及教学建议(1)关于合情推理的含义归纳推理和类比推理在学生以前的学习过程中已有渗透,对其含义的教学,建议教师多以学生熟悉的例子为载体,引导他们提炼、概括归纳和类比的含义及推理方法,培养他们应用这种思维方法的意识,不必在字面上深究.(2)关于合情推理的方法及结论教学中建议教师从具体的例子出发,多分析能够进行归纳的共性和进行类比的特性,指导学生如何进行归纳和类比,通过归纳和类比能够得出什么样的结论.至于结论的正确性,可以向学生说明,由合情推理的过程可以看出,合情推理的结论往往超过了前提所涵盖的范围,因此推理所得的结论未必正确.备选习题1.已知=2=3=4,…,若=6(a,b∈R),则a+b=.解析:根据题意,由于=2=3=4,…,那么可知=6,a=6,b=6×6-1=35,所以a+b=41.答案:412.根据所给数列前几项的值,…,猜想数列{a n}的通项公式.思路分析:根据数列中前几项的值给出数列的一个通项公式,主要是对数列各项的特征进行认真观察,结合常见数列的通项公式,对已知数列进行分解、组合,从而发现其中的规律,猜想出通项公式.解:;…;于是猜想数列{a n}的通项公式a n=.3.在平面上,设h a,h b,h c分别是△ABC三条边上的高,P为△ABC内任意一点,P到相应三边的距离分别为p a,p b,p c,可以得到结论=1.证明此结论,并通过类比写出在空间中的类似结论,并加以证明.思路分析:此题可用类比的方法,将四面体类比三角形,体积类比面积等.证明:如图所示,连接PA,PB,PC,则,同理,.∵S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC,∴=1.类比上述结论得出以下结论:如图所示,在四面体ABCD中,设h a,h b,h c,h d分别是四面体ABCD的四个顶点到对面的距离,P为四面体ABCD内任意一点,P到相应四个面的距离分别为p a,p b,p c,p d,可以得到结论=1.证明如下:,同理,,.∵V四面体PBCD+V四面体PACD+V四面体PABD+V四面体PABC=V四面体ABCD,∴==1.。
《2.1.1合情推理(1)》导学案(新部编)2
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.1.1合情推理（1）》导学案【学法指导】：认真自学，激情讨论，愉快收获.【学习目标】：结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.【学习重点】：能利用归纳进行简单的推理.【学习难点】：用归纳进行推理，作出猜想.【教学过程】：一：回顾预习案1、活动与探究：下面各列数都依照一定规律排列，在括号内填上适当的数．(1)1，5，9，13，17，( )；(2)23，1，112，124，338，( )； (3)32，31，16，26，( )，( )，4，16，2，11．2、归纳推理的定义：由某类事物的 具有某些特征，推出该类事物的 都具有这些特征的推理，或者由 概括出 的推理，称为归纳推理.简言之，归纳推理是 的推理.3、练一练：(1)由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出 .(2)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归纳出 .(3)观察等式：2221342,13593,13579164+==++==++++==，能归纳出 .4、根据给出的数与式，归纳出一般结论的步骤：(1)观察数与式的结构特征，如数、式与符号的关系，代数式的相同或相似之处等；(2)提炼出数、式的变化规律；(3)运用归纳或类比推理写出一般结论．二 讨论展示案 合作探究，展示点评例1、(1)观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第五个等式应为 .(2)根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于( )1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111 ……A 、1111110B 、1111111C 、1111112D 、1111113(3)给出下列命题：命题1：点(1，1)是直线y ＝x 与双曲线1y x=的一个交点； 命题2：点(2，4)是直线y ＝2x 与双曲线8y x=的一个交点； 命题3：点(3，9)是直线y ＝3x 与双曲线27y x =的一个交点．…… 请观察上面命题，猜想出命题n (n 为正整数)为___________________________________．(4)已知经过计算和验证有下列正确的不等式：3＋17＜210，7.5＋12.5＜210，8＋2＋12－2＜210，根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数m ，n 都成立的条件不等式 .(5)观察下列等式：1=1 113=1+2=3 92133=+1+2+3=6 36321333=++1+2+3+4=10 10043213333=+++1+2+3+4+5=15 2255432133333=++++可以推测：13＋23＋33＋…＋n 3＝ .(n ∈N *，用含有n 的代数式表示)．例2、已知数列{n a }，1a ＝1，1+n a ＝12n na a +(n ＝1，2，3，…)． (1)求2a ， 3a ，4a ；(2)归纳猜想{n a }的通项公式．例3、课本77页练习第1题.例4，课本77页练习2。
高中数学新人教版A版精品教案《2.1.1 合情推理》
《合情推理—归纳推理》教学设计海南华侨中学林五虚1教材分析“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，本章的内容属于数学思维方法的范畴。
推理与证明思想贯穿于高中数学的整个知识体系，作为一章内容出现在选修2-2教材中，目的是把过去渗透在具体数学内容中的思维方法，以集中的、显性的形式呈现出来，使学生更加明确这些方法，并能在今后的学习中有意识地使用，同时培养言之有理，论证有据的习惯。
这一章内容突出体现了数学的人文价值和实际应用价值。
合情推理之归纳推理是这一章的第一节内容。
学习该节内容可以加深学生对数学发现过程的认识，也能够让学生更好地体会数学的本质．这一节内容的学习立意是把归纳推理作为一个重要的数学思维的过程，让学生了解归纳推理的含义，着重学会用归纳的方法进行数学推理和猜想。
并为后面学习类比推理做铺垫。
2学情分析1 高中学生已经有了一定的生活和学习经历，并在这些过程中形成了归纳推理的隐性能力。
2 学生已经在学习生活中掌握了大量的运用归纳推理的生活实例和数学实例，这些内容是学生理解归纳推理的重要基础3学生已经学习过必修5数列部分内容，对从部分推断总体已有初步的认识和体会。
3教学目标（1）知识目标：了解归纳推理的概念，了解归纳推理的作用，掌握归纳推理的一般步骤，会运用归纳推理的思维思考处理一下有关的数学问题和生活问题。
（2）过程与方法目标：学生通过积极主动地参与课堂活动，经历归纳推理概念的获得过程，了解归纳推理的含义；通过欣赏一些伟大猜想的产生过程，体会并认识如何利用归纳推理去猜测和发现一些新事实、得出新结论；通过具体解题，感受归纳推理探索和提供解决问题的思路和方向的作用，从而让学生对归纳推理有一个理性的认识，归纳推理不仅是一个概念，更是一个数学发现的过程（3）情感目标：学生通过主动探究、合作学习、相互交流，培养不怕困难、勇于探索的优良作风，增强了数学应用意识；通过体会成功，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度。
2.1.1合情推理---类比推理优秀教学设计
2.1.1合情推理----类比推理教学目标：知识与技能：了解类比推理的含义、特点，能利用类比进行简单的推理．过程与方法：通过生活和学习中的实例创设情境、进行探究，提高学生观察猜想、抽象概括的能力，渗透类比的思想方法．情感、态度与价值观：体会类比推理在实际生活和数学发现中的作用，提高学习数学的兴趣，增强创新意识．教学重点和难点：教学重点：能用类比推理进行简单的推理.教学难点：能找到事物之间的共同或相似性质，不仅会在形式结构和叙述方式上进行类比，还需对推理过程或思维策略进行类比.教学方法：以学生活动为主，自主探究、合作交流，教师启发引导式教学教学重难点突破策略：学生在学习本节内容时主要有以下两个困难：1.用类比进行推理，作出猜想.这部分中大多数问题是给出具有类似特征的两类对象，由学生根据一类事物的已知特征推测另一类对象也具有这些特征.要弄清楚怎样类比首先应该会明确指出这两类对象具有哪些类似特征.所以在教学过程中对学生举到的类比推理的例子和教师给出的小练习，都应注重从两个方面先分析：（1）问题中两类对象分别是什么；（2）他们有哪些类似特征.通过寻找两类对象的相似性，将两类不同的对象联系起来，从这种相似性出发，从概念、结构、维度、方法等角度出发，由一类对象的已知特征推测另一类也具有这样的特征.本节课主要以平面几何与立体几何的类比为载体，因此也特别注意从它们研究的对象出发，建立平面内点、直线、平面图形与空间元素的对应关系.2.确定合适的类比对象进行类比推理时，合理的确定类比对象是非常重要的，否则会使类比成为“乱比”.这部分内容对学生要求较高，本节课通过对正方形、长方形等平面图形的特征，尤其是图形蕴含的位置关系和数量关系的分析，使学生初步感受和体会寻找类比对象的方法.教学过程：（一）创设问题情境问题1：大家知道锯子是谁发明的吗？是怎么发明的？学生活动：春秋时期的公输班也就是鲁班发明的，是他受到路边的齿形草能割破行人退的启发。
2.1.1合情推理教案
合情推理一、教材剖析[根源:Z|X|X|K]数学概括法是人教A版一般高中课程标准实验教科书选修2-2第2章第三小节的内1容，此前学生刚学习了合情推理，合情推理用的是不完整概括法，结论的正确性有待证明。
经过本节课的学习，对培育学生的抽象思想能力和创新能力，深入不等式、数列等知识，提升学生的数学修养，有重要作用。
依据课程标准，本节分为两课时，此为第一课时。
23二、教课目的4，知识目标：理解合情推理的原理和本质，并能初步运用。
[根源:学#科#网Z#X#X#K]，能力目标：学生经历发现问题、提出问题、剖析问题、解决问题的过程，提升创新能力。
，感情、态度与价值观目标：在欢乐的学习气氛中，经过理解数学概括法的原理和本质，感受数学内在美，激发学习热情。
三、教课要点难点教课要点：能利用归纳进行简单的推理.教课难点：用概括进行推理，作出猜想.四、教课方法研究法五、课时安排：1课时六、教课过程例1、在同一个平面内，两条直线订交，有1个焦点；3条直线订交，最多有3个交点；；从中概括一般结论，n条直线订交，最多有几个交点？例2、有菱形纹和无菱形纹的正六边形地板砖，按图所示的规律拼成若干个图案，则第n个图案中的正六边形地板砖有多少块？来[源:学&科&网Z&X&X&K]小结概括推理的特色：例3、试将平面上的圆与空间的球进行类比。
练习：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间四周体性质的猜想。
小结类比推理的特色：当堂检测：1、已知数对以下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3）（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）（1，5），（2，4），，则第60个数对是_______2、在等差数列a n中，cn a1a2n an 也成等差数列，在等比数列b n中，dn=____________________也成等比数列七、板书设计八、教课反省第1 页。
高中数学《2.1.1 合情推理》教学设计
高中数学《2.1.1 合情推理》教学设计一．教学背景分析1．教材的地位和作用“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们日常学习和生活中常用的思维方式．“推理与证明”思想贯穿于高中数学的整个知识体系，但是作为一章内容出现在高中数学教材中尚属首次。
《推理与证明》是新课标教材的亮点之一，本章内容将归纳与推理的一般方法进行了必要的总结和归纳，同时也对后继知识的学习起到引领的作用.教材的设计还原了数学的本质，是对“观察发现、归纳类比、抽象概括、演绎证明”等数学思维方法的总结与归纳，使已学过的数学知识和思想方法系统化、明晰化，操作化.紧密地结合了已学过的数学实例和生活实例，避免空泛地讲数学思想方法，以变分散为集中，变隐性为显性的方式学习了推理和证明，是知识、方法、思维和情感的融合与促进，能让学生充分体会数学的发生、发展.2．本章的数学思想美籍匈牙利数学家波利亚指出：数学的合情推理（猜想、归纳、和类比）是数学学习和数学发现的根源。
波利亚认为合情推理对于数学的研究和发现来说，显得比逻辑推理更为重要，为此他向全世界的教师发出呼吁：只要我们能承认数学创造过程中需要合情推理、需要猜想的话，数学教学中就必须有猜想的地位，必须为发明做准备，或至少给一点发明的尝试。
“让我们教猜想吧”。
世界著名数学家拉普拉斯也曾谈到：在数学里，发现真理的工具也就是归纳与类比。
富克斯也曾说到：“伟大发现都不是按逻辑的法则发现的，而都是由猜测而得来的，换句话说，大都是凭创造性的直觉得到的”。
所以本章的内容不仅让学生学会一些数学知识，关键是让学生学会用归纳、类比的思想，为他们应用数学、创造数学做一些偿试。
3课时划分《合情推理》的教学分两个课时完成：第一课时内容为合情推理的基本实例，让学生初步体合情推理的思想;第二课时内容通过实例进一步理解和掌握合情推理的基本思想.4 学生情况所教学生是大峪中学的普通班学生，相对来说学生基础较弱，虽然在前面的教学中涉及到过有关推理的问题，尤其是数列一章中用到的合情推理的思想更为普遍，但在理性思维的方法、习惯和深度方面还有待提高．二、教学目标1．知识技能目标理解合情推理的概念，了解合情推理的作用，掌握合情推理的一般步骤，会利用归纳与类比进行一些简单的推理.2．过程方法目标学生通过积极主动地参与课堂活动，经历合情推理概念的获得过程，了解合情推理的含义;通过欣赏一些猜想的产生过程，体会并认识利用合情推理能猜测和发现一些新事实、得出新结论的作用，并明确合情推理的一般步骤；通过具体解题，感受合情推理探索和提供解决问题的思路和方向的作用；通过自主学习合情推理的一般方法，建构合情推理的思维方式.3．情感态度，价值观目标学生通过主动探究、合作学习、相互交流，培养不怕困难、勇于探索的优良作风，增强了数学应用意识；通过体会成功，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度.三、教学重点、难点重点：通过具体实例理解合情推理，能利用合情推理进行简单的推理。
2.1.1类比推理(公开课教学设计)
找到合适的类比对象，分析两类事物在结构或功能等方面的关系，正确运用类比推理的 思想方法.
情境创设
引出概念
教学流程示意
体会类比推理
应用类比
教学过程 （一）创设情境
师：前面我们了解了合情推理及归纳推理的含义，接触了数学史上一些非常著名的 猜想。牛顿说过，“没有大胆的猜想，就没有伟大的发现”。本节课我们继续合情猜 想。
选修 2-2《2.1.1 合情推理之类比推理》教学设计 教学内容分析
推理与证明贯穿于整个数学课程，但是作为一章的内容却是第一次出现在中学的教 材中，对之进行系统学习是新课程的一个变化。推理与证明是数学的基本思维过程，是 做数学的基本功，也是人们在一般的学习和生活中常用的思维方式，是发展理性思维的 重要方面。数学与其它学科的区别除了研究对象的不同，最突出的就是数学内部规律的 正确性必须用演绎推理的方式来证明，而在证明或学习数学的过程中，又经常要用合情 推理去猜测和发现结论，探索和提供思路。两者紧密联系、相辅相成。因此，无论是学 习数学、做数学，还是对于学生理性思维的培养，都需要在基础教育阶段的高中数学中 加强这方面的学习和训练。
【学习水平】授课班级虽然是高二年级的一个侧重班，整体成绩较好，但优生较 少；而且用一年多的时间学完了高中阶段的数学基础知识和基本技能的主要部分，所以 基础掌握得不够扎实，知识遗忘现象严重。
【学习态度】学生比较喜欢学习数学，在课堂上基本上能做到认真听讲，积极思 考。但是主动发言表达看法的同学不多。 教学方式
情境 2、真的存在外星生命吗？科学家做了下面的研究：
问：这是归纳推理吗？它是一种类比推理。（板书课题） （二）新课探究 问题（一）什么是类比推理？
2022年高中数学新人教版A版精品教案《2.1.1 合情推理》
归纳、类比————一把探索真理的钥匙----------合情推理小结课教学设计湖北省枝江市第一高级中学 王晓华教学目标1.掌握归纳推理和类比推理的技巧，并能运用之解决实际问题 2. 利用多媒体作工具，让学生参与其中，认识规律的形成过程，提升学习兴趣，激发探索热情。
教学重难点掌握归纳推理和类比推理的技巧，并能运用之解决实际问题教学过程一、知识回忆引例：以下推理中属于归纳推理且结论正确的选项是A ．由a n =2n-1，求出S 1=12,S 2=22,S 3=32, 推断：数列{a n }的前n 项和S n =n 2B ．由f=co ，满足f-=-f ，推断：f=co 为奇函数C ．由22=r 2的面积S=πr 2，推断：椭圆的面积S=πabD ．由〔11〕2>21、212>22、312>23推断对一切nN n12>2n．请问：选项C知识回忆：类比推理是从____________到______________的推理，归纳推理是从____________到______________的推理。
它们的结果也可能是______________的。
r r二、典例分析〔一〕平面区域划分问题的类比和归纳自己动手找规律例1在平面内，如果画n条直线至多将平面分割成个局部，那么=____,=____,=____,=____,………归纳一下：=___________________；-=_____________方法类比探究1：平面上有个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，如果画n个这样的圆将平面分割成个局部那么：=____,=____,=____,=____,………归纳一下：=___________________；-=_____________二、平面到立体的类比例2将三条侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥〞，三棱锥的侧面和底面分别称为直角三棱锥的“直角面和斜面〞；过“直角三棱锥〞的“直角顶点〞及斜面任意两边中点的截面均称为斜面的“中面〞．请仿照直角三角形以下性质：〔1〕斜边上的中线长等于斜边边长的一半；〔2〕两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；〔3〕斜边与两条直角边所成角的余弦平方和等于1．〔4〕直角三角形的外接圆的直径等于斜边长。
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《2.1.1 合理推理（1）》教学案3
教学目标
1、理解归纳推理的含义和步骤.
2、能够认识归纳推理的基本模式，并把它们用于对问题的发现解决中去。
3、能够通过观察一些等式、不等式、数列等其它形式的问题，猜想、归纳出它们的变化规律。
重点与难点：
(1)重点：利用归纳推理发现问题、提出猜想.。
(2)难点：如何去观察个别事实，发现规律，进行猜想
教学过程
(一)创设情景，章节引入
1、通过袋中摸球的过程，总结探索活动是一个不断的提出猜想—验证猜想—再提出猜想—再验证猜想的过程，
2、在一般的数学活动中，我们怎样进行推理？我们怎样验证(证明)结论？
3、什么是推理？
___________________________________________________
(二)案例分析，引入概念
案例一蛇是用肺呼吸的，
鳄鱼是用肺呼吸的，
海龟是用肺呼吸的，
蜥蜴是用肺呼吸的，
蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物。
猜想：_______________________________
案例二三角形的内角和是π，凸四边形的内角和是2π，凸五边形的内角和是
3π ，
猜想：_______________________________________
归纳推理的定义:
从________事实中推演出________的结论的推理方式称为归纳推理。
提炼归纳推理的思维过程:
___________________→_________________→_____________________
(三)案例赏析，文化熏陶
哥德巴赫猜想：
“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”(简称“1+1”)
(四)例题教学、巩固概念
例1：已知数列{}n
a 的第一项11=a ，且n n n a a a +=+11...)3,2,1(=n ，试归纳出这个数列的通项公式。
例2：观察下列不等式：22+133+1< ，22+233+2< ，22+333+3
< 请你猜想一个一般性的结论.
例3：根据图中5个为图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图形中有_______
个点
(五)课堂练习
1 观察下列等式，从中归纳出一般结论.
(1) (2) (3) (4) (5) 222
2
1=11+3=21+3+5=31+3+5+7=4
猜想________________ _____
2.已知数列 则数列的第K 项是________ __________________
课后作业
1．数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于
2. 由321312>++，512521>++，5.075.03++7
3>，运用归纳推理，可猜测出的一般结论是
3. 从222576543,3432,11=++++=++=中得出的一般性结论是___________
4.322+
， 833+，1544+，2455+，……，由此你猜出第n 个数是
5.已知数列,.......14,......,19,15,11,7,3-n 则113是这个数列的第 项。
6.下面一组按规律排列的数：1，32，53，。
第n 个数应是
7.观察式子：4
74131211,3531211,23211222222<+++<++<+
，。
则可归纳出式子
8.观察：1＝1，1＋3＝4，1＋3＋5＝9，1＝3＋5＋7＝16，。
猜想一般规律是
9.在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线。
由此猜想：凸n 边形有 条对角线。
10．由下列不等式：222a b ab +≥，3322a b a b ab +≥+，…，其中,a b 都大于0，请猜想若,a b 都大于0，*,m n N ∈，则m n m n a b +++≥
11.根据图中图形以及相应的点的个数，找出其中的一般规律，画出第4、第5个图形，并写出相应的点的个数。
(1)… …. …..
…. ….. 223434561,,,,a a a a a a a a a ++++++
…..
3 8 15
(2)
3 6 9
12．已知,.......15441544,833833,322322=+=+=+，若b a b a 66=+，b a , 均为实数，猜测=a ，=b .
13.观察直线上的n 个点，发现两个点可以确定1条线段，三个点可以确定3条线段，四个点可以确定6条线段，五个点可以确定10条线段，由此可以归纳出什么规律
14.对任意正整数n ，猜想n 2与2n 的大小.
15.在数列{}n a 中，++∈+=
=N n a a a a n
n n ,22,111，猜想这个数列的通项公式.
16．根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想他的通项公式。
对一切的
*,0,n n N a ∈>且1n a =+
17. 已知：23150sin 90sin 30sin 222=++ ， 23125sin 65sin 5sin 222=++ 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明。