2007年安徽省高中数学联赛初赛区试卷
年全国高中数学联赛(省级赛区)一等奖名单
姓名2007年全国高中数学联赛(省级赛区)一等奖名单安徽省（37 名）学校证书编号姓名学校证书编号李家夫合肥一中实验班王韬马鞍山二中方显中蚌埠二中（高二）王天齐马鞍山二中刘庆源铜陵市一中张凤逸铜陵市一中钱晨芜湖一中华连盛芜湖一中陈蕾合肥一中（高二）何流芜湖一中张扬翼合肥一中（高二）毕然合肥一中娄卓阳安庆一中陶健铜陵市一中朱宇翔安庆一中胡乐川安庆一中陆正茂安庆一中（高二）陶伟滁州中学王浩培安庆一中姓名学校M072301 胡文伯合肥一中M072302 郑超安庆一中（高二）M072303 胡波铜陵市一中M072304 王冲铜陵市一中M072305 王璐芜湖一中M072306 李辰锴马鞍山二中（高二）M072307 潘清马鞍山二中M072308 朱兵铜陵市一中M072309 杨阳光科大附中M072310 刘凤麟滁州中学M072311 周正华合肥六中M072312 罗丹安庆一中（高二）M072313 张云峰淮北一中M072314 陈志勇铜陵市一中M072315 唐笑天芜湖一中M072316 邓学磊合肥八中M072317 李亚威铜陵市一中M072318 许劲松定远中学M072319北京市（40 名）证书编号姓名学校M072320M072321M072322M072323M072324M072325M072326M072327M072328M072329M072330M072331M072332M072333M072334M072335M072336M072337证书编号林博人大附中（高二）高磊北大附中陈锐人大附中李黎人大附中M071001M071002M071003M071004付桐人大附中赵家璐人大附中王天辰北京八中毕楠人大附中（高二）M071021M071022M071023M071024韩世予人大附中王宇前人大附中章博宇人大附中（高二）李源北京四中姜雾彤北京十二中黄一潇清华附中任诚北京五中M071005M071006M071007M071008M071009M071010M071011王晓翔人大附中胡梦萦人大附中安雨北京四中王烁人大附中窦帅人大附中吕骅人大附中（高二）王其然北京四中M071025M071026M071027M071028M071029M071030M071031曾力玮人大附中M071012 孙羽浩北师大实验中学（高二）M071032李超人大附中（高二）李光昊人大附中刘新萌人大附中（高二）邵世骏人大附中王景行人大附中吴星晔人大附中沈峥迪北京四中（高二）李孟元人大附中（高二）M071013M071014M071015M071016M071017M071018M071019M071020李泰伯人大附中贺行舟北京五中龚任飞北京八中居思远北京二中雷磊人大附中杨道隆北京二中储菁人大附中郭溢譞人大附中（高二）M071033M071034M071035M071036M071037M071038M071039M071040姓名学校福建省（40 名）证书编号姓名学校证书编号刘宇建阳一中M073501 郑经涛厦门外国语学校（高二）M073521黄棱潇泉州五中苏钧福州一中谢松晏厦门双十中学罗翔厦门双十中学陈阳福州一中王行之泉州五中连亦旻泉州一中温玎乔福州一中苏宇坤厦门双十中学涂列捷龙岩一中陈里福州一中（高二）李天阳厦门双十中学游健邵武一中陆俊敏福州三中（高二）吴浩原厦门双十中学林屹冬泉州五中M073502M073503M073504M073505M073506M073507M073508M073509M073510M073511M073512M073513M073514M073515M073516M073517王一畅福州一中林溦南安一中林超扬南安一中任乾厦门双十中学蔡加祥同安一中陈伟杰同安一中董百强泉州五中张海峰三明二中陈延冰霞浦一中杨倩厦门一中（高二）张君华师大附中许建东莆田二中林文斌同安一中戴彦祺厦门一中洪添丁翔安一中梁鑫福州一中M073522M073523M073524M073525M073526M073527M073528M073529M073530M073531M073532M073533M073534M073535M073536M073537黄锦熙福州三中M073518 欧阳伊希厦门双十中学M0735384 李晔晨泉州一中罗赟骅三明二中M073519M073520黄威霖南平一中杨遒景福州一中M073539M073540姓名学校甘肃省（40 名）证书编号姓名学校证书编号项顶兰州一中王骁西北师大附中薛元西北师大附中汤思健西北师大附中周显明西北师大附中王润强西北师大附中王颢霏西北师大附中马优西北师大附中李天江武威一中史煜永昌一中火子榕兰州一中（高二）薛珊西北师大附中王丹西北师大附中陈顥天兰州一中（高二）姚博兰州一中罗成西北师大附中魏冰洁西北师大附中崔晓锐兰州一中李雅婷武威六中孙浩然西北师大附中M077301M077302M077303M077304M077305M077306M077307M077308M077309M077310M077311M077312M077313M077314M077315M077316M077317M077318M077319M077320王成西北师大附中许开龙民勤一中汪佩宁会宁二中刘佳星酒钢三中岳岐峰西北师大附中马文俊西北师大附中鲁兴廷武威一中袁志刚武威一中张节西北师大附中何怡鸥兰州一中刘宏剑兰州一中高翔西北师大附中朱国超兰州一中陈坤兰州一中冯姗喜西北师大附中赵熹兰州一中丁珂兰州一中（高二）赵玉文西北师大附中王天民西北师大附中赵文欣会宁二中M077321M077322M077323M077324M077325M077326M077327M077328M077329M077330M077331M077332M077333M077334M077335M077336M077337M077338M077339M077340姓名学校广东省（45 名）证书编号姓名学校证书编号黄晨笛中山纪念中学M075101 姚国钦深圳中学（高二）M075124 许大昕中山纪念中学M075102 黄钲淇茂名市第一中学（高二）M075125 陆悠深圳中学M075103 吴杰鑫深圳南山外国语学校M075126 谭立宇深圳中学M075104 罗穗骞华南师大附中（高二）M075127 杨礼健深圳中学M075105 陈立华南师大附中M075128 李攀华南师大附中（高二）M075106 冯海明中山纪念中学M075129李响深圳中学杨洋中山纪念中学丁凡伦深圳市翠园中学林泓州华南师大附中赵启轩深圳中学王奕捷中山纪念中学徐骁深圳华侨城中学黄大伟深圳市翠园中学M075107M075108M075109M075110M075111M075112M075113M075114陈贵强深圳市松岗中学肖传炜中山纪念中学王程一深圳外国语学校项婷深圳中学黄景祥深圳中学罗知天华南师大附中邹佛灵华南师大附中马杰波中山纪念中学M075130M075131M075132M075133M075134M075135M075136M075137张中成深圳市翠园中学M075115 蔡畅汕头市金山中学（高二）M075138 姚田田深圳中学M075116 蔡展灏深圳市松岗中学M075139郑豪中山纪念中学孙博深圳中学（高二）M075117M075118张思聪华南师大附中庄梓铨华南师大附中M075140M075141陈智敏深圳中学M075119 老嘉隆中山纪念中学（高二）M075142庾紫林广州大学附属中学刘薇深圳中学潘智健中山纪念中学喻文竹深圳实验学校高中部M075120M075121M075122M075123黎楚君中山纪念中学冯俊杰中山纪念中学张青山深圳市松岗中学M075143M075144M075145姓名潘锦钊南宁二中学校广西自治区（29 名）证书编号姓名M075301 周建山宾阳中学学校证书编号M075316黄俊柳铁一中（高二）钟珺文柳铁一中M075302M075303青慈阳南宁二中黎璇南宁二中（高二）M075317M075318刘少琨柳州高中M075304 李柏柳州地区高中（高二）M075319徐剑韬河池高中郭子彦南宁二中（高二）黄乾泽梧州高中黄冠杰南宁三中杨天悦南宁二中陈柯宇南宁二中徐俨南宁二中周和心广西师大附中李哲柳州高中M075305M075306M075307M075308M075309M075310M075311M075312M075313吴泰霖南宁二中李林毓南宁二中黄整章邕宁高中蒋连军全州高中张震南宁三中李荣战百色高中杨欣怡南宁二中梁孟麟都安高中徐阳彤柳州高中M075320M075321M075322M075323M075324M075325M075326M075327M075328周施成广西师大附中（高二）M075314郑乔舒南宁三中（高二）M075315马骏广西师大附属外国语学校M075329姓名学校贵州省（22 名）证书编号姓名学校证书编号刘玄烨贵州师大附中M075501 王力乐贵阳一中M075512 刘军贵州师大附中（高二）M075502 王栋彬德江一中M075513蒋良虎安顺一中严通行都匀一中李艳华铜仁二中袁伟思南中学杨亚遵义四中安成德江一中牟征辉安顺二中施烁安顺二中冯珊宝德江一中M075503M075504M075505M075506M075507M075508M075509M075510M075511张佳琦贵阳一中（高二）李湘全安顺二中万静修文中学（高二）冯黔湘织金一中蒲富银兴义八中熊万华六枝市二中晁思达贵州师大附中张健安顺二中梁衡眉江中学M075514M075515M075516M075517M075518M075519M075520M075521M075522姓名学校海南省（28 名）证书编号姓名学校证书编号刘知寒海口一中（高二）古斯莹海南中学（高二）蔡峥海南中学吴守君国科园李职壮海南中学袁钰海南中学（高二）王兆盛定安中学王庆凯海南农垦中学陆斌嘉积中学李晓沛海口一中李恩华海南中学杨文瀚海南中学汪若凡海南中学刘取信海南侨中M075701M075702M075703M075704M075705M075706M075707M075708M075709M075710M075711M075712M075713M075714卓睿海南中学刘盛宏定安中学吴丰廷海南中学谢蓓儋州市二中符晓莉嘉积中学冯小艳海南中学郭秋萍嘉积中学方乾海南中学（高二）刘宗悦海南中学王惟正嘉积中学冼明颢海南农垦中学余国民海南中学朱凤娟海南侨中李献翠嘉积中学M075715M075716M075717M075718M075719M075720M075721M075722M075723M075724M075725M075726M075727M075728姓名学校河北省（40 名）证书编号姓名学校证书编号李聪石家庄市二中张楠石家庄市二中M070501M070502姜子臻石家庄市二中史妍承德一中M070521M070522张益宁石家庄外国语学校（高二）M070503 胡洋石家庄市九中M070523许励治石家庄市二中石婷石家庄市二中M070504M070505李明石家庄市二中张然石家庄外国语学校M070524M070525王倩雯石家庄市二中（高二）M070506 张名昊衡水中学M070526曲川承德二中王若凡石家庄市二中张策石家庄市二中孙逸夫唐山一中（高二）杨超石家庄市二中张乾尧石家庄市二中蒋赛唐山一中骆云龙衡水中学李彦君衡水中学李卫华唐山一中刘阳衡水中学M070507M070508M070509M070510M070511M070512M070513M070514M070515M070516M070517余晨曦石家庄市一中曹泽宇石家庄市二中张晓颖衡水中学王洪祥衡水中学许尊石家庄市二中任一恒唐山一中魏泽行石家庄市二中王鹏衡水中学高湜源邯郸市一中郑宇薇衡水中学林明博衡水中学M070527M070528M070529M070530M070531M070532M070533M070534M070535M070536M070537薛非石家庄市二中（高二）M070518 李雪石家庄市二中M070538李晨唐山一中李颖哲石家庄市二中M070519M070520郑莎莎保定二中石磐石家庄市二中M070539M070540姓名学校河南省（45 名）证书编号姓名学校证书编号王启辰河南省实验中学（高二）M074501 王驰洋焦作市一中M074524吴亚奇河南师大附中司健河南师大附中M074502M074503王立超河南省实验中学李国帅河南大学附属中学M074525M074526赵唯嘉河南师大附中（高二）M074504 李莹河南大学附属中学M074527 尹航河南省实验中学M074505 张益鸣河南省实验中学M074528 张一甲河南师大附中（高二）M074506 石浩郑州市外国语学校M074529席静怡河南师大附中刘梦伟河南师大附中M074507M074508侯跃伟郑州市一中王博河南师大附中M074530M074531周彤河南师大附中（高二）M074509 刘博语河南师大附中M074532 王佰钦河南师大附中M074510 李源淳河南师大附中（高二）M074533王之光河南师大附中宋超河南师大附中崔慈航辉县市一中陈崭河南师大附中孟凡河南省实验中学陈青祥河南大学附属中学张维涵河南省实验中学王梓河南省实验中学杜亚领河南大学附属中学俞文瀚河南省实验中学王家鑫商丘市一高刘畅河南省实验中学闫龙达焦作市一中M074511M074512M074513M074514M074515M074516M074517M074518M074519M074520M074521M074522M074523张竞可鲁山一高张艺馨郑州市四中徐沫固始慈济高中高远河南师大附中刘昱成河南省实验中学仝一然北大附中河南分校李奕青郑州市一中刘雪晴河南省实验中学刘玉茹河南大学附属中学崔聪濮阳油田三高赵罡郑州市一中张淑均濮阳油田一中M074534M074535M074536M074537M074538M074539M074540M074541M074542M074543M074544M074545姓名学校黑龙江省（40 名）证书编号姓名学校证书编号何昊青哈尔滨师大附中（高二）M071501 李雨田哈尔滨师大附中（高二）M071502 戴德松哈尔滨师大附中杨树驿大庆实验中学M071521M071522王梓哈尔滨师大附中M071503 吴洁强牡丹江一中M071523 吕志远哈尔滨第三中学（高二）M071504 闫家奇哈尔滨第三中学M071524 宋宏宇鹤岗一中M071505 王百洋哈尔滨第三中学（高二）M071525 陆直哈尔滨师大附中M071506 汤博大庆实验中学M071526 田昆哈尔滨师大附中（高二）M071507 张鸣一哈尔滨第三中学M071527孙可哈尔滨师大附中徐建宇哈尔滨第三中学黄寒月阿城一中韩睿哈尔滨师大附中M071508M071509M071510M071511王天宇大庆铁人中学张轩旗大庆一中郝天一哈尔滨师大附中牟景宇黑河中学M071528M071529M071530M071531肖非哈尔滨师大附中（高二）M071512 张若璞齐齐哈尔一中M071532 张晓睿哈尔滨师大附中M071513 韩宏庆哈尔滨师大附中（高二）M071533 杨天博大庆实验中学M071514 李博哈尔滨第三中学（高二）M071534宋宇航大庆一中于浩然哈尔滨第三中学刘峥哈尔滨师大附中M071515M071516M071517吴泽昊哈尔滨第三中学李文婧哈尔滨师大附中朱睿慧哈尔滨第三中学M071535M071536M071537高明志哈尔滨第三中学（高二）M071518 李璐大庆实验中学M071538 符艺大庆中学M071519 薛骁睿哈尔滨师大附中M071539 袁钟达尚志中学M071520 姚冠一卓大庆实验中学湖北省（45 名）M071540 姓名学校证书编号姓名学校证书编号夏素缦黄冈中学周旋随州一中刘亚乔武汉六中M074301M074302M074303田斌武钢三中（高二）齐博武汉二中陈卓华中师大一附中M074324M074325M074326盛开华中师大一附中（高二）M074304 周畅武钢三中M074327张诗翔武钢三中孙玉进夷陵中学张泓洋华中师大一附中陈杭黄冈中学张智元武钢三中褚世敢孝感高级中学杨嘉骐夷陵中学张心航夷陵中学丁晓喜黄冈中学刘昭黄冈中学李文怡仙桃中学M074305M074306M074307M074308M074309M074310M074311M074312M074313M074314M074315周奎武钢三中李斌荆州中学谭海青荆州中学姚帆武钢三中（高二）蒋将军武钢三中王晟武钢三中万一鸣华中师大一附中李望武钢三中蔡坤黄冈中学涂利福黄冈中学刘盾华中师大一附中M074328M074329M074330M074331M074332M074333M074334M074335M074336M074337M074338李佳傲武钢三中M074316 黄盛达华中师大一附中（高二）M074339陈孜夷陵中学孔诗磊武钢三中方翰武钢三中罗圣杰黄冈中学M074317M074318M074319M074320罗斯杰武钢三中严兴天门中学陈飞黄冈中学赵闻达武钢三中M074340M074341M074342M074343韩旭黄冈中学胡千里华中师大一附中杨秋松黄冈中学M074321M074322M074323陈然宜昌市第一中学（高二）M074344谢晋宇华中师大一附中（高二）M074345姓名学校湖南省（48 名）证书编号姓名学校证书编号匡斯萌湖南长沙市一中何孟沅湖南师大附中许江龙湖南师大附中彭哲湖南长沙市雅礼中学M074101M074102M074103M074104冯鑫湖南长沙市长郡中学傅昊湖南师大附中（高二）粟乐湖南长沙市长郡中学罗振华湖南师大附中M074125M074126M074127M074128刘诗南湖南长沙市一中M074105 吴宪湖南长沙市雅礼中学（高二）M074129吴刚祥湖南长沙市长郡中学唐斯侃湖南湘潭县一中梁骁俊湖南长沙市一中M074106M074107M074108阳金珉湖南衡山岳云中学肖超湖南东安一中唐明湖南永州一中M074130M074131M074132唐三湖南湘潭县一中M074109 方俊湖南长沙市麓山国际实验学校M074133龚叶茂湖南长沙市雅礼中学夏运辉湖南长沙市长郡中学M074110M074111何献诚湖南宁乡一中胡争湖南湘潭凤凰中学M074134M074135刘亦圣湖南湘阴知源中学M074112 江昊昱湖南长沙市雅礼中学（高二）M074136周喆湖南师大附中肖昕湖南长沙市一中肖之何湖南长沙市雅礼中学喻杨湖南师大附中（高二）吴宇湖南长沙市一中彭捷湖南师大附中（高二）成昱旻湖南娄底二中M074113M074114M074115M074116M074117M074118M074119罗一贤湖南长沙市长郡中学何春萌湖南永州市一中张航湖南郴州市一中骆亦琦湖南长沙市一中朱尚彬湖南长沙市一中戴巍湖南长沙市长郡中学潘碧宸湖南长沙市一中M074137M074138M074139M074140M074141M074142M074143漆子超湖南长沙市雅礼中学（高二）M074120 李文渊湖南师大附中（高二）M074144陈广山湖南师大附中（高二）海洋湖南长沙市一中谭喻文湖南长沙市雅礼中学高翔湖南长沙市雅礼中学M074121M074122M074123M074124吴朋泽湖南郴州市二中唐翯祎湖南醴陵一中（高二）龚鹤扬湖南师大附中黄哲雨湖南师大附中M074145M074146M074147M074148姓名学校吉林省（42 名）证书编号姓名学校证书编号康毅夫东北师大附中郝瀚东北师大附中李昂东北师大附中卢雨东北师大附中董佳鑫东北师大附中高阳吉林一中宋菲东北师大附中陈思东北师大附中陈晓东北师大附中张志昊东北师大附中赵彦霖东北师大附中付中阳东北师大附中于舸四平一中张旺东北师大附中孙宗汉东北师大附中王钰铭东北师大附中孙宇婷东北师大附中郑虎松东北师大附中宋元平吉林一中朱佳琪东北师大附中伏佳驹东北师大附中M071301M071302M071303M071304M071305M071306M071307M071308M071309M071310M071311M071312M071313M071314M071315M071316M071317M071318M071319M071320M071321吴昊禹东北师大附中宋宇航吉林一中赵乐天东北师大附中李修深吉林一中王宇东北师大附中杨楠东北师大附中赵诣博东北师大附中唐彦哲吉林省实验中学石铎吉林油田高中张若谷吉林一中蒋瑞东北师大附中周航四平一中陈寰宇东北师大附中董博东北师大附中徐斌通钢一中尹曦日东北师大附中孟祥昊东北师大附中刘婉婷江城中学郭龙云延边二中孙天笑东北师大附中刘士星长春市第十一高中M071322M071323M071324M071325M071326M071327M071328M071329M071330M071331M071332M071333M071334M071335M071336M071337M071338M071339M071340M071341M071342 江苏省（49 名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号傅伟扬州市扬州中学（高二）M072101 陈文婧南通市启东中学M072126李行扬州市扬州中学王双雨扬州市扬州中学袁博南通市海门中学M072102M072103M072104刘劼祎南菁高级中学许涛前黄高级中学吕琼石南京外国语学校M072127M072128M072129严昊南京师范大学附属中学M072105 钱雨辰泰州市海陵区泰州中学（高二）M072130 方乐恒扬州市扬州中学M072106 徐仚南京外国语学校M072131 朱超逸南京外国语学校（高二）M072107 陈林晓南京师范大学附属中学M072132 狄飞溧阳中学M072108 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刘洪元泰安一中M072502 高茉人实验中学M072503 张坤健潍坊一中M072504 张家蔚潍坊一中M072505 张天宇青岛二中学校证书编号M072525M072526M072527M072528M072529秦铭阳日照一中刘青阳山师附中鲁悦山师附中冯龙实验中学张番栋菏泽一中禹泽西实验中学方延博实验中学周光耀泰安一中路若洲实验中学卢吉光德州一中孙丕业青岛二中刘宁实验中学王海琦胜利一中杨飞泰安一中张鸿轩聊城一中曹原青岛二中姜超青岛二中孔向阳邹城二中张堃青岛二中M072506M072507M072508M072509M072510M072511M072512M072513M072514M072515M072516M072517M072518M072519M072520M072521M072522M072523M072524刘博颖潍坊一中刘佳阳青岛二中楚天翔实验中学孙晨正山师附中郭思佳聊城一中朱国梁青岛二中杨彦韬青岛二中周诗林淄博实验姜晖山师附中刘远聊城一中黄子通青岛二中程健泰安一中马俊方胜利一中王宏伟滕州一中东校高林利津县第一中学刘文杰广饶县第一中学贺光辉日照实验高中孙宽泰安一中M072530M072531M072532M072533M072534M072535M072536M072537M072538M072539M072540M072541M072542M072543M072544M072545M072546M072547姓名学校山西省（40 名）证书编号姓名学校证书编号靳竹萱山西大学附属中学(高二) M070301 李毅山西大学附属中学M070321张波太原五中丁欣山西大学附属中学王昕山西大学附属中学孟洪宇山西大学附属中学赵文彬朔城区一中程鹏飞太原五中张勃山西大学附属中学柴晓萌运城中学董沫山西省实验中学任晓琦山西大学附属中学张珏太原市第十二中学郭城桓榆次运输处中学李苏亮太原市第十八中学柴玮山西省实验中学M070302M070303M070304M070305M070306M070307M070308M070309M070310M070311M070312M070313M070314M070315任轩乐太原五中冀崇恩山西大学附属中学(高二)张津太原五中王劲鹏太原五中李瑞山西大学附属中学李金烁山西省实验中学(高二)廉骉山西省实验中学刘国瑞运城市康杰中学赵伟伟长治市一中吉文阳阳泉一中李菁菁山西大学附属中学李欣山西大学附属中学杨鹏新绛中学杨镕玮山西大学附属中学M070322M070323M070324M070325M070326M070327M070328M070329M070330M070331M070332M070333M070334M070335常曌山西省实验中学(高二) M070316 赵眺山西大学附属中学(高二) M070317 张浩山西大学附属中学聂鑫维山西大学附属中学M070336M070337段佳宁山西大学附属中学肖思维山西大学附属中学张尚斌山西大学附属中学M070318M070319M070320杨光山西省实验中学乔晖山西省实验中学(高二)王斐然山西大学附属中学M070338M070339M070340。
2007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)(数学理)word版含答案
2007年安徽高考卷数学（理科）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分。
(1)下列函数中，反函数是其自身的函数为（ ）(A)[)+∞∈=,0,)(3x x x f （B ）[)+∞∞-∈=,,)(3x x x f(C)),(,)(+∞-∞∈=x c x f x(D)),0(,1)(+∞∈=x xx f (2)设l,m,n 均为直线，其中m,n 在平面α内，“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 (C)充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 (3)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1（4）若a 为实数，iai 212++＝－2i ，则a 等于（ ）（A ）2（B ）－2（C ）22 （D ）－22（5）若}{2228xA x -=∈Z ≤<，{2R |log |1}B x x =∈>，则)(C R B A ⋂的元素个数为（ ）（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3（6）函数π()3sin(2)3f x x =-的图象为C ，：①图象C 关于直线π1211=x 对称; ②函数)(x f 在区间)12π5,12π(-内是增函数;③由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C .以上三个论断中正确论断的个数为（ ） （A ）0（B ）1（C ）2（D ）3（7）如果点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x 上，点Q 在曲线1)2(22=++y x 上，那么Q P 的最小值为（A ）15-（B ）154-（C ）122- （D ）12-（8）半径为1的球面上的四点D C B A ,,,是正四面体的顶点，则A 与B 两点间的球面距离为（ ）（A ）)33arccos(-（B ）)36arccos(-（C ）)31arccos(-（D ）)41arccos(-（9）如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(12222 b a br a x =-的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） （A ）3（B ）5（C ）25（D ）31+（10）以)(x φ表示标准正态总体在区间（x ,∞-）内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN ，则概率()P ξμσ-<等于（ ）（A ）)(σμφ+－)(σμφ- （B ）)1()1(--φφ （C ）)1(σμφ- （D ）)(2σμφ-（11）定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为（ ） （A ）0（B ）1（C ）3（D ）5二、填空题:本大共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置. (12)若(2x 3+x1)n 的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 .（13）在四面体O －ABC 中，,,,OA a OB b OC c D ===为BC 的中点，E 为AD 的中点，则=（用,,a b c表示）.（14）如图，抛物线y =－x 2+1与x 轴的正半轴交于点A ，将线段OA 的n 等分点从左至右依次记为P 1,P 2,…,P n －1,过这些分点分别作x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q 1，Q 2，…，Q n －1，从而得到n －1个直角三角形△Q 1OP 1, △Q 2P 1P 2,…, △Q n－1P n －1P n －1,当n →∞时，这些三角形的面积之和的极限为 .(15)在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号．．）. ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体. 三、解答题：本大题共6小题，共79分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16）（本小题满分12分）已知0＜a ＜)82cos()(,4πβπ+=x x f 为的最小正周期，),1),41(tan(-+=βa a 求ααβααsin cos )(2sin cos 22-++.(17) (本小题满分14分)如图，在六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形AB1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1＝2.（Ⅰ）求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；（Ⅱ）求证：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1；（Ⅲ）求二面角A－BB1－C的大小（用反三角函数值表示）.(18) (本小题满分14分)设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）.（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.(19) (本小题满分12分)如图，曲线G的方程为y2=20（y≥0）.以原点为圆心，以t（t >0）为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B.直线AB与x轴相交于点C.（Ⅰ）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a＋2，求证：直线CD的斜率为定值.(20) (本小题满分13分)在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到．．．．．的只数.．．两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）；（Ⅱ）求数学期望Eξ；（Ⅲ）求概率P（ξ≥Eξ）.(21) (本小题满分14分)某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d 的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1＋r）a－1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）a－2，……，以T n表示到第n年末所累计的储备金总额.（Ⅰ）写出T n与T n－1（n≥2）的递推关系式；[来源:学*科*网]（Ⅱ）求证：T n＝A n＋B n，其中｛A n｝是一个等比数列，｛B n｝是一个等差数列.参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分55分．(1) 在下列函数中，反函数是其自身的函数为),0(,)(+∞∈=x xx f ，选D 。
2008-2012安徽近四年年高中数学竞赛初赛试题(含答案)
2008年安徽省高中数学联赛初赛试题1.若函数y=f(x)的图象绕原点顺时针旋转π2后，与函数y=g(x)的图象重合，则（ ）． (A) g(x)=f−1(−x) (B) g(x)=f−1(x) (C) g(x)=−f −1(−x) (D) g(x)=−f −1(x)2.平面中，到两条相交直线的距离之和为１的点的轨迹为（ ） ．(A) 椭圆 (B) 双曲线的一部分 (C) 抛物线的一部分 (D) 矩形 3.下列４个数中与cos1∘+cos2∘+...+cos2008∘最接近的是（ ）． (A)−2008 (B)−1 (C)1 (D)20084.四面体的６个二面角中至多可能有（ ）个钝角．(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6$5.12008写成十进制循环小数的形式12008=0.000498...625498...625...，其循环节的长度为（ ）(A)30 (B)40 (C)50 (D)606.设多项式(1+x)^2008=a_0+a_1x+...+a_2008x^2008，则a_0,a_1,...,a_2008中共有（ ）个是偶数. (A) 127 (B) 1003 (C) 1005 (D) 18817.化简多项式sum_{k=m}^{n}C_n^kC_k^mx^(k-m)(1-x)^(n-k)=( ). 8.函数f(x)=frac{3+5sinx}{sqrt(5+4cosx+3sinx)}的值域为( )．9.若数列{a_n}满足a_1>0,a_n=frac{a_1+a_(n-1)}{1-a_1a_(n-1)}(n>=2),且具有最小正周期2008,则a_1=( ). 10.设非负实数a_1,a_2,...,a_2008的和等于1，则a_1a_2+a_2a_3+...a_2007a_2008+a_2008a_1的最大值为( )．11. 设点A(1,1),B,C 在椭圆x^2+3y^2=4上．当直线BC 的方程为( )时，DeltaABC 的面积最大$.13.将６个形状相同的小球（其中红色、黄色、蓝色各２个）随机放入３个盒子中，每个盒子中恰放２个小球，记η为盒中小球颜色相同的盒子的个数，求η的分布.14.设a1≥1,an=[nan −1−−−−−√](n ≥2)，其中[x]表示不超过x 的最大整数. 证明：无论a1取何正整数时，不在数列{an}的素数只有有限多个．15.设⊙O1与⊙O2相交于A,B 两点，⊙O3分别与⊙O1,⊙O2外切于C,D ，直线EF 分别与⊙O1,⊙O2相切于点E,F ，直线CE 与直线DF 相交于G ，证明：A,B,G 三点共线．参考答案1.D2.D3.B4. B5.C6.D7.$C_n^m$8.$(-4/5sqrt10,sqrt10]9.（错题）10.$1/4$ 11.$x+3y+2=0 12.2007 13. $P(eta=0)=8/15,P(eta=1)=2/5,P(eta=2)=0,P(eta=3)=1/15$14. 思路：先用反证法证明存在$N,使a_N<=N+1;接着用数学归纳法证n>=N 时，n-2<=a_n<=n+1$;$最后证n>=N 时，a_n<=a_(n+1)<=a_n+1$.这样由$a_n->+oo(n->+oo)知对一切自然数m(>=a_N),m 都在数列{a_n}中，结论正确.15. 利用根轴概念，只需证明$C,D,E,F 四点共圆，以A （或B ）为中心进行反演不难得证！2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷 一、填空题（每小题8分，共64分） 1.函数()2f x x =的值域是 .2.函数y = 的图象与xy e =的图象关于直线1x y +=对称.3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于 .4.设椭圆22111x y t t +=+-与双曲线1xy =相切，则t = . 5.设z 是复数，则|1||||1|z z i z -+-++的最小值等于 .6.设a ，b ，c 是实数，若方程320x ax bx c +++=的三个根构成公差为1的等差数列，则a ，b ，c 应满足的充分必要条件是 .7.设O 是ABC ∆的内心，5AB =，6AC =，7BC =，OP xOA yOB zOC =++，0,,1x y z ≤≤，动点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于 .8.从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是 . 二、解答题（共86分）9.（20分）设数列{}n a 满足10a =，121n n a a -=+，2n ≥.求n a 的通项公式.10.（22分）求最小正整数n 使得224n n ++可被2010整除.11.（22分）已知ABC ∆的三边长度各不相等，D ，E ，F 分别是A ∠，B ∠，C ∠的平分线与边BC ，CA ，AB 的垂直平分线的交点.求证：ABC ∆的面积小于DEF ∆的面积.12.（22分）桌上放有n 根火柴，甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取，第一次可取走至多1n -根火柴，此后每人每次至少取走1根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的2倍.取得最后一根火柴者获胜.问：当100n =时，甲是否有获胜策略？请详细说明理由.2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷参考答案及评分标准一、填空题（每小题8分，共64分） 1.答案：4⎡⎤-⎣⎦.提示：因04x ≤≤，设22cos x α-=（0απ≤≤），则4cos 2sin 4)4y αααϕ=-+=++（其中cos ϕ=，sin ϕ=ϕ为锐角），所以当0α=时，max 8y =，当αϕπ+=时，min 4y =-，故4y ⎡⎤∈-⎣⎦.2. 答案：1ln(1)x --提示：因两函数图象关于直线1x y +=对称，所以1x y →-，1y x →-， ∴11yx e --=，解得1ln(1)y x =--.3. 答案：13-提示：正八面体由两个棱长都相等的正四棱锥组成，所以任意两个相邻面所成二面角是正四棱锥侧面与底面所成二面角α的两倍.∵tan α=，∴2211cos 1tan 3αα==+，则21c o s 22c o s 13αα=-=-.4.提示：由椭圆方程22111x y t t +=+-知，1t >，设其参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）代入双曲线方程1xy =，得sin 2θ=.1=，故t =5.答案：1+提示：在复平面上，设(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，则当Z 为ABC ∆的费马点时，|1||||1|z z i z -+-++取得最小值，最小值为11333-++=+6. 答案：213a b =-且3273a a c =-. 提示：设三个根为1α-，α，1α+，则32(1)()(1)x ax bx c x x x ααα+++=-+---，右边展开与左边比较得3a α-=，2(1)(1)(1)(1)31b ααααααα=-++++-=-，(1)(1)c ααα-=-+，消去α得2313273a b a a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，这就是所求的充要条件. 7.答案：提示：如图，根据向量加法的几何意义，知点P 在图中的三个平形四边形及其内部运动，所以动点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于等于ABC ∆面积的2倍，即8. 答案：67提示：从正方体的八个顶点中随机选取三点，共有38C 个三角形，其中直角三角形有3412C ⨯个，所求“构成直角三角形”的概率是34381267C C ⨯=. 二、解答题（共86分）9. 解：特征根法. 又114221n n n a a a --++=+，11111n n n a a a ----=+，…………（10分）得21212222(2)(2)(2)111nnn n n n n a a a a a a ----+++=-⋅=-==----，于是(2)2(2)1n n n a -+=--.…（20分）10. 解： 22010|24n n ++⇔2222240mod 2240mod 3240mod 5240mod 67n n n n n n n n ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩2220mod 31mod 543mod 67n n n n n n ⎧+=⎪⇔+=⎨⎪+=⎩……（10分） 又20mod30n n n +=⇔=或2mod3，21mod52mod5n n n +=⇔=，243mod6710n n n +=⇔=或56mod67，故所求最小正整数77n =.…………（22分）11. 证明：由题设可证A ，B C ，D ，E ，F 六点共圆. …………（10分）不妨设圆半径为1，则有1(sin 2sin 2sin 2)2ABC S A B C ∆=++，1(sin sin sin )2DEF S A B C ∆=++. 由于sin 2sin 2sin 2A B C ++111(sin 2sin 2)(sin 2sin 2)(sin 2sin 2)222A B B C C A =+++++ sin()sin()sin()sin()sin()sin()A B A B B C B C C A C A =+-++-++- sin()sin()sin()A B B C C A <+++++sin sin sin A B C =++∴ABC ∆的面积小于DEF ∆的面积. …………（22分）12. 解：把所有使得甲没有有获胜策略的初始火柴数目n 从小到大排序为：1n ，2n ，3n ，…，不难发现其前4项分别为2，3，5，8. 下面我们用数学归纳法证明：（1）{}i n 满足11i i i n n n +-=+；（2）当i n n =时，乙总可取到最后一根火柴，并且乙此时所取的火柴数目1i n -≤；（3）当1i i n n n +<<时，甲总可取到最后一根火柴，并且甲此时所取的火柴数目i n ≤.……………………………………（10分） 设i k n n =-（4i ≥），注意到212ii i n n n --<<. 当12in k ≤<时，甲第一次时可取k 根火柴，剩余2i n k >根火柴，乙无法获胜. 当12ii n k n -≤<时，21i i n k n --<<，根据归纳假设，甲可以取到第k 根火柴，并且甲此时所取的火柴数目2i n -≤，剩余22i i n n ->根火柴，乙无法获胜.当1i k n -=时，设甲第一次时取走m 根火柴，若m k ≥，则乙可取走所有剩小的火柴；若m k <，则根据归纳假设，乙总可以取到第k 根火柴，并且乙此时所取的火柴数目2i n -≤，剩余22i i n n ->根火柴，甲无法获胜.综上可知，11i i i n n n +-=+.因为100不在数列{}i n ，所以当100n =时，甲有获胜策略. …………（22分）2011年全国高中数学联赛安徽省预赛试题一、填空题（每小题8分，共64分）1．以X 表示集合X 的元素个数. 若有限集合C B A ,,满足20=B A ，30=C B ，40=A C ，则C B A 的最大可能值为 .2．设a 是正实数. 若R ∈++++-=x a ax x a ax x x f ，222252106)(的最小值为10，则=a .3．已知实系数多项式d cx bx ax x x f ++++=234)(满足2)1(=f ，4)2(=f ，6)3(=f ，则)4()0(f f +的所有可能值集合为 . 4．设展开式2011)15(10≥+++=+n x a x a a x n n n ， . 若),,,m ax (102011n a a a a =，则=n . 5．在如图所示的长方体EFGH ABCD -中，设P 是矩形EFGH 的中心，线段AP 交平面BDE于点Q . 若3=AB ，2=AD ，1=AE ，则=PQ .6．平面上一个半径r 的动圆沿边长a 的正三角形的外侧滚动，其扫过区域的面积为 .7．设直角坐标平面上的点),(y x 与复数i y x +一一对应. 若点B A ,分别对应复数1,-z z （R ∉z ），则直线AB 与x 轴的交点对应复数 （用z 表示）.8．设n 是大于4的偶数. 随机选取正n 边形的4个顶点构造四边形，得到矩形的概率为 .二、解答题（第9—10题每题22分，第11—12题每题21分，共86分）9．已知数列}{n a 满足121==a a ，4121-++-=n n a a a （3≥n ），求n a 的通项公式.10．已知正整数n a a a ,,,21 都是合数，并且两两互素，求证：2111121<+++n a a a . 11．设c bx ax x f ++=3)(（c b a ,,是实数），当10≤≤x 时，1)(0≤≤x f . 求b 的最大可能值.12．设点)0,2()0,1()0,1(C B A ，，-，D 在双曲线122=-y x 的左支上，A D ≠，直线CD 交双曲线122=-y x 的右支于点E . 求证：直线AD 与BE 的交点P 在直线21=x 上.解答1. 10.2. 2.3. {32}.4. 2413.5. 417.6. 2π46r ar +.7. zz z z ++1.第5题第6题8. )3)(1(3--n n .9．1221144n n n n a a aa a ---++=-=-1211112222n n n n n a a a a ----⎛⎫⇒-=-== ⎪⎝⎭11212122----=⇒==+=⇒n n n n n n na n a a .10．设k a 的最小素因子k p ，因为k a 不是素数，所以2k k p a ≥. 于是211222211114(21)114(21)1111242nnk k k k n k nk a p k k n ====≤≤+-≤+--=-<∑∑∑∑11．由(0)(1)fc f a b cf c ⎧=⎪⎪=++⎨⎪=+⎪⎩可知2(1)1)(0)b f f =--≤)()(3233x x x f -=满足题设，b 的最大可能值为233.12．设),(),(),(2211y x P y x E y x D ，，，直线CD 的方程)2(-=x k y ，则222(2)1x k x --=，所以221212122241451()114k k x x x x x x k k -++==-=-++--， ， ① 1212(1)(1)11y yx y x x x +==-+-， 所以21212121121221212121212211112322341111y y x x x x x x x x x x x y y x x x x x x x x --++-+-+--===-------+-+。
2007年全国高中数学联赛及山东省数学竞赛_2
2007年全国高中数学联赛及山东省数学竞赛济南赛区通报2007年全国高中数学联赛预赛和决赛已分别于2007年9月16日上午和2007年10月14日上午分别进行.我市有11081人参加了预赛,有227人参加了决赛.在此次竞赛中，我市选手取得了十分优异成绩,获全国一等奖人数和全国一、二、三等奖人数均列全省各参赛单位前列,其中全省获全国一等奖的43人中就有我市的15人，达到全省的近30%.有4人进入全国冬令营，达到最高水平，现将此次竞赛的情况通报如下：一、全国奖(共63人)1.全国一等奖共15人韦东奕(240分,山师附中) 王颖婓（206分，实验中学）安传恺(201分,山师附中)王储(190分,实验中学) 刘青阳 (177分, 山师附中) 鲁悦(172分,山师附中)冯龙(152分,实验中学) 禹泽西(150分, 实验中学) 方延博(150分,实验中学)路若洲(143分,实验中学) 刘宁(141分, 实验中学) 高茉人(130分,实验中学)楚天翔(124分,实验中学) 孙晨正(123分, 山师附中) 姜晖(122分,山师附中)2.全国二等奖共 27人梅潇(119分, 实验中学) 隋春宁（117分，山师附中）贺兆印（116分，历城一中）丁寰宇（114分,实验中学）刘光强（110分，山师附中）王哲（110分,实验中学）王振中(105分,山师附中) 徐硕（105分，实验中学）申晓斌（104分，实验中学）丛亚（103分，实验中学）李凤麟 (103分,山师附中) 曲焜 (101分, 实验中学)宋超逸(101分, 实验中学) 窦欣元(101分, 实验中学) 韩谡越（ 99分，章丘四中）牟象禹（97分，山师附中）胡颖凯（96分，山师附中）马万里 ( 94分, 实验中学)王飞（94分，山师附中）孔陆洋（94分，山师附中）孟庆迪 ( 93分, 实验中学)丁晋（93分，实验中学）翟晓辉（138分，山师附中）张赛峥（92分，实验中学）顾然（92分，山师附中）刘筱宁（92分，外语学校）杨晓婉（92分，实验中学）3.全国三等奖共 21人孙振宇（91分，实验中学）陈邦锐（91分，实验中学）王越（91分，实验中学）李鑫业（89分，山师附中）秦立煜（88分，实验中学）刘毅（87分，实验中学）岑昊（86分，山师附中）栾义龙 (86分, 实验中学) 石敬玉（86分，章丘四中）张天宇（86分，实验中学）姜怡然（86分，山师附中）吕林超（85分，实验中学）陈诚（85分，济南中学）孙染（84分，实验中学）王元（84分，实验中学）张棋（84分，山师附中）郝克（83分，外语学校）黄杨（83分，山师附中）王雨（82分，外语学校）王梁（82分，实验中学）杨云钊（81分，山师附中）二、此次竞赛的预赛也是山东省数学竞赛,根据竞赛成绩,学生获奖情况如下:（注：根据济南市数学竞委会规定，获全国二等奖以上不在给予省级奖励）1.省一等奖共158人（排名不分先后）实验中学（6人）：夏靓116分王晓熙113分王冬雨111分刘毅110分钟睿106分梁健102分，山师附中（9人）：董跃振111分刘苏方108分李鑫业102分曲士眹 99分黄杨 96分韩蕾 94分刘海 93分罗荣钧 90分姜怡然90分济南一中（1 人）：陈双 94分济南二中（ 5人）：宫庆凯 76分于昌灏 70分郭晓宁 64分姜玉玺 63分李祺龙58分济南三中（ 6人）：蒋丽 84分孙新利 71分张虎 67分卫成林 66分商和宁 66分张婷婷 66分济南七中（2人）: 肖玉淼 49分陈晨 45分济南九中（2人）：鞠佳 69分王紫辉 66分济十一中（2人）：李中华 70分王春喜 63分济南52中（1人）：赵芳亮 57分济南中学（13人）：王瑞 90分邹世俊83分外语学校（ 2人）：杨金龙100分郝克 98分英才高中（ 6人）：孟宇 73分张译文 56分王路 54分高建辉50分陈徭 50分济钢中学（ 7人）：李泳江 90分陈琛 88分李霖 85分刘一畅 83分刘梦晨 82分马长琳 81分秦汉唐 79分三职高中（4人）：王阿冉53分李强51分徐桂亮 49分王珂 49分历城区（14人）：历城一中：曹芳106分贺兆印97分胡春晖93分王超 90分陈磊 90分历城二中：李双江102分高昊鸥99分张广乐96分刘红霞95分李延龙 93分历城四中：蔡荣峰 94分刘振83分历城五中：马业兴84分洪楼高中：张金花98分章丘市（32人）：章丘一中：赵蕾蕾87分徐帅 81分刘波80分章丘四中：李喆 140分马宪进104分王增辉97分陈成成96分朱福兴 94分索金召 93分党灿93分柏杨93分许昊93分章丘五中：郭乐田104分田春钊108分李虎100分刘杰100分张方瑞96分韩成龙 90分靳丰晨 89分刘洋槐84分王海景 83分郭红 80分郑伟 80分鲁家刚80分章丘七中：高兵孟娜袭苗苗姜树浩章丘中学：王俊荣99分宁纪森95分宋涛93分甄爱香93分平阴县（ 8人）：张文选119分刘聪102分许昌斌98分孙朝阳96分张明达96分张子键 93分路文高 93分马世杰81分，长清区（16人）：李娇102分安玮100分孟强97分钟涵94分朱有云93分焦裕龙 88分段学苇87分张越86分赵鹏85分朱存良85分段益雪100分张毓胜98分兰英新87分齐本明87分田德洲83分杨洪伟83分商河县（ 4人）：王光龙87分于和善86分李良金85分周祥政83分济阳县（18人）：王钊114分盛华英110分郭富明101分周亚凡 99分胥燕燕 95分菅秀峰 95分冯涛 93分李超119分齐震112分卢乾坤101分李国栋100分韩涛104分闫宁101分李晓阳106分菅庆圣102分崔月 98分霍纯森 96分华震 96分2.省二等奖共202人实验中学（13人）：祁海洋100分秦立煜101分李骥100分韩祥冬100分李文硕98分王越 98分栾义龙 98分李可扬96分孙棋 96分孙振宇96分叶梦醒 96分邹宗航 96分栗榛96分山师附中（13人）：杜宏 87分宋建浩 87分张志浩 86分付强 85分曹旭 85分赵玉祯 84分杨云钊 82分宋晓楠 81分刘青华 79分王聪 79分李丹蕾 78分陈飞 78分刘雯 78分济南二中（9人）：韩长龙 57分李丽丽 57分李征 56分丘化凯 55分姚运华 55分吕诚哲 54分杨霖 54分崔然旭 54分孙波 54分济南三中（4人）：孙志超 64分朱婷婷 60分王振坤 60分龙玉梅60分济南七中（ 3人）：胡勇超 44分崔燕 43分孙彬 43分济南九中（ 3人）：周淑灿 60分隋宏远 60分马宝强60分济十一中（ 2人）：唐智55分宋怀杰 54分济52中（ 2人）：王淑芬 53分朱婷婷53分济南中学（ 3人）：杨晓煜 82分吴凌雪81 分王芯 81分外语学校（ 5人）：万伟 90分宋瑞雪 89分袁心 88分罗丁 85分张庆辰 85分济钢高中（ 9人）：冯博宇 78分赵晓丹 78分朱鑫鹏 77分潘红 76分金岩76分王智飞 75分周婷婷75分李璐 75分宿波75分英才高中（ 8人）：韩晓松 48分肖剑辉 48分赵院 48分张天佑 48分薛桐 48分李晓 47分李晓明 44分苏志勇 44分三职高中（ 4人）：赵殿龙 48分毛文靓 45分季淑玉 45分王梅梅44分历城区（17人）：历城一中：金增奇89分陈荣荣89分柴柏晓87分杨小龙85分张强84分历城二中：颜庆87分杜文帅85分翟凤婷85分靳若安85分杨登平85分历城四中：孙光军64分李明64分钱宇63分历城五中：王兴英78分苏志南78分洪楼高中：赵志勇88分王金振78分章丘市（41人）：章丘一中：孙月红77分蒋全芝75分刘乃龙72分张永亮71分张强70分刘凤翔70分章丘四中：石敬玉92分张学超92分蔡云云92分陈龙桥92分李娜 88分李臣88分陈光鹏88分刘敏87分徐家昌86分董彤阳85分孙广帅85分高云逸85分章丘五中：冯业飞79分张瑞谦79分黄立臣78分胡继伟78分徐昭萌78分孙盟 78分于巍巍78分柳庆娓78分吴鹏77分韩福芸77分范士凯 76分韩春超76分刘延清76分章丘七中：程宗越孟超高玲刘娇龙杨兵贾超章丘中学：张硕90分董晓越90分曹林丽87分侯东明86分巩敏86分李鹏86分平阴县（8人）：乔珂欣91分王文华90分沙宗国90分张德水88分陈涛87分刘德福86分苏本民80分杜言铭75分长清区（26人）：王帅84分杜杰84分李君朋83分王华83分于晓菲82分卢婧82分王岩81分戴伟81分宋丙亮81分庄卫卫81分马晓81分杨仁俊80分韩传刚80分李珊80分邢庆涛80分孟维昌81分周恒80分王斌80分李修源78分孙传海78分段好新77分赵婷婷77分贾丹78分王倩74分蒋艳66分范升涛66分商河县（5人）：展长伟81分卢培义81分王伟81分孙发鲁79分张旭78分济阳县（27人）：罗宾甲 90分牛法富 90分牛佳瑞 90分裴建梁 89分张刚峰 89分李道通 87分艾杰 87分陈新斌 86分孙云飞 86分刘文静 95分王莉 93分刘超 93分杨骁 93分温明强 92分张元炜 91分李振 90分王彬 90分张蕊88分徐春花 88分李凯 88分吴鹏 87分张龙87分秦婷婷 87分张勇87分刘贵奇87分张滨 87分徐囡 87分3.省三等奖218人实验中学（5人）：孙染 95分王梁 95分李翔宇 94分陈邦锐 94分陈茜茜94分山师附中（13人）：杨晓星 76分翟毅 76分冯君淑 77分袁源 76分夏冰 75分孙晴川 75分张河慧 75分王睿 75分崔赛飞 75分陈琛 74分王尧 74分王迪 74分赵越 74分济南一中（ 1人）：李晨光 78分济南二中（5人）：陶然 51分赵元圆 50分孙吉隆 50分王越50分陈安 50分济南三中（ 6人）：崔丙伟 59分王官玲 57分李璐 57分刘海洋 57分商广义 57分杨润蕊56 分济南七中（ 2人）：胡尊飞 42分成龙 42分济南九中（ 5人）：史良 58分王明 58分刘讳58分刘帅帅 57分贾杰 57分济十一中（3人）：董丽君 51分牛邦龙 51分徐永龙 49分济南中学（2人）：陈栋 80分张望80分外语学校（5人）：于东宁 81分欧阳82分李千81分黄一成 81分郦龙 81分钢厂高中（13人）：彭高飞 74分赵冲 74分李辉73分耿浩 72分杨紫娇 71分李延文 71分张楠 72分柴宝臣 72分郭琦 72分林尧 72分刘爽 73分蒋薇 71分徐涛 70分英才高中（ 9人）：王华琳 42分金传铭 42分李超42分陈娜 42分李佳倩42分张鹏 42分王翰林 42分段晨彤42分玉叶 41分三职高中（5人）：付磊 43分于鸿 43分王硕 42分叶鑫42分宋晓艳 42分历城区（20人）：历城一中：王俊国83分刘丹82分张凤82分陈哲81分马超81分历城二中：张良82分韩豹81分杜磊81分李洪燕81分侯程广81分，李敏81分王曰儒81分历城四中：周晓琼59分彭延杰59分韩娟59分历城五中：陈世军76分赵成75分范圣男75分洪楼高中：刘玉娟70分卢长瑞68分章丘市（47人）：章丘一中：韩超69分张帅69分孙秀婷69分郭盼69分丁帅69分李豪杰69分宁建69分章丘四中：董道江84分李广84分马永岩84分鹿苗苗84分陈慧颖84分赵春雷84分程彬84分卢国华84分张晓彤84分韩继雷84分韩慧梅83分宁超众83分吕素华82章丘五中：王福荣75分牛凯峰75分韩强75分吕晓萌75分王沛阳75分孙方杰75分李中雨75分宋梅玲75分杨志敏75分李杰74分张运涛74分黄文娟74分郑兴花74分闫广霞74分冯业芝74分章丘七中：赵静刘群陈样高娟柏文王瑶章丘中学：党义鹏85分彭绍辉85分赵静84分郭嘉宾81分李跃81分刘元康80分平阴县（13人）：杨其资84分李霞84分丁姗姗84分李浩84分白哲84分刘兵83分高璇82分陈阳82分王蒙82分刘涛82分吴庆存82分王超82分王龙江72分长清区（28人）：于海龙78分苏军78分张晓旭78分刘天燕78分庄庆鹏78分田娜78分邵继美78分刘文雪78分李柱杰77分王佳77分韩聪77分李照垒76分张伟76分张其昌76分孔令燕76分杨崭76分薛德宝74分王东东74分李婷婷74分刘东73分孟凡荣73分赵双73分李善刚73分韩胜涛73分王元腾69分柴茂青72分张双双63分赵玉芹63分商河县（6人）：金冉78分芮法莹77分车召堂75分赵富燕75分赵华安75分徐超74分济阳县（30人）：王闯 85分高迪 85分呼燕 85分周讯 85分李三九 84分徐小青 84分孙志凌 84分李方吉 84分杜学知 84分王浩 84分刘志远 84分刘喆 84分袁新超 84分姚麒麟86分高帅 86分张强 86分杨吉伟 86分高扬 86分张震 84分高翠萍 85分王忠华 84分张传凯 84分朱学亮84分高荣祥 84分张红梅84分江继宽 84分李连玉84分陈国良84分常超 84分刘非84分注: 1.获山东省一、二、三等奖的学生如获全国奖的奖次高于或等于省奖,则不再发省奖。
2007安徽省高中数学竞赛初赛试题
2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题一选择题1.如果集合.A B 同时满足{}1.2.3.4AB ={}1A B =,{}{}1,1A B ≠≠就称有序集对(),A B 为“好集对”。
这里的有序集对(),A B 意指当A B ≠，()(),,A B B A 和是不同的集对，那么“好集对”一共有（ ）个。
64862AB C D２.设函数()()lg 101xf x -=+,()()122x x f f --=方程的解为( )()()()()2222.log lg21.lg log 101.lg lg21.log log 101A B C D --++3.设100101102499500A =是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺序排列而成那么A 除以126的余数是( )783660A B C D4.在直角ABC 中, 90C ∠=,CD 为斜边上的高,D为垂足. ,,1AD a BD b CD a b ===-=.设数列{}k u 的通项为()1221,1,2,3,,kk k k k k u a a b a b b k --=-+-+-=则( )2008200720062008200720062008200720082007 2007200820082007.. .. u u u u u u u u u u A B C D =+=-==5.在正整数构成的数列1.3.5.7……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列{}n a ,易见123451,3,7,9,13a a a a a =====那么2007____________a =192759.. 55 .. A B C D 2831 95976.设A B ==1+cos871-cos87则():A B =. .A B C D二.填空题7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有______________种. 8.设2007n ≥,且n为使得nn a =取实数值的最小正整数,则对应此n 的n a 为( ).9.若正整数n 恰好有4个正约数,则称n 为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有_____________________个. 10.平行六面体1111ABCD A B C D -中,顶点A 出发的三条棱1,,AB AD AA 的长度分别为2,3,4,且两两夹角都为60那么这个平行六面体的四条对角线1111,,,AC BD DB CA 的长度(按顺序)分别为___________________11.函数()(),f x g x 的迭代的函数定义为()()()()()()()12,,f x f x f x ff x ==()()()()()()()()()()()()()()()()()1121,,,n n n n f x f f x g x g x g x g g x g x g g x --====其中n =2,3,4…设()()23,32f x x g x x =-=+,则方程组()()()()()()()()()()()()969696f x g y f y g z f z g x ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩的解为_________________12.设平行四边形ABCD中，4,2,AB AD BD ===则平行四边形ABCD 绕直线AC 旋转所得的旋转体的体积为_______________三解答题13.已知椭圆22412:3y x +=Γ和点(),0,Q q 直线,l Q A B Γ过且与交于两点(可以重合). 1)若AOB ∠为钝角或平角(O 为原点),4,q =试确定l 的斜率的取值范围.2)设A 关于长轴的对称点为1A ,,4,F q =为椭圆的右焦点试判断1,A F B 和三点是否共线,并说明理由.3)问题2)中,若14,,,q A F B ≠那么三点能否共线?请说明理由.14.数列{}n x 由下式确定:112,1,2,3,,121nn n x x n x x +===+,试求[]20072007l g l g .x k x =整数部分(注[]a 表示不大于a 的最大整数,即a 的整数部分.)15.设给定的锐角ABC 的三边长,,,,,a b c x y z 正实数满足,ayz bzx cxyp x y z++=其中p 为给定的正实数,试求()()()222s b c a x c a b y a b c z =+-++-++-的最大值,并求出当s 取此最大值时, ,,x y z 的取值.解 答一、 选择题1.C.2.A.3.C.4.A.5.B6.D.1.逐个元素考虑归属的选择. 元素1必须同时属于A 和B .元素2必须至少属于A 、B 中之一个，但不能同时属于A 和B ，有2种选择：属于A 但不属于B ，属于B 但不属于A .同理，元素3和4也有2种选择.但元素2，3，4不能同时不属于A ，也不能同时不属于B .所以4个元素满足条件的选择共有62222=-⨯⨯种.换句话说，“好集对”一共有6个. 答：C.2.令)110lg(+=-x y ，则0>y ，且y x10110=+-，11010-=-y x ，)110lg(-=-y x ，)110lg(--=y x .从而)110lg()(1--=-x x f .令t x=2，则题设方程为 )()(1t ft f -=-，即 )110lg()110lg(--=+t t ，故 0)]110)(110lg[(=-+t t ，1)110)(110(=-+t t ，2102=t， 2lg 2=t ，解得 2lg 212==t x. 从而 1)2(l g l o g )2lg 21(log 22-==x . 答：A. 3. 注意 972126⨯⨯=,2,7和9两两互质. 因为 0≡A （mod2）, ）（）（）（）（）（005994201101001+++++++++++++++≡ A500102101100++++≡ 2401500100÷⨯+≡）（6120300≡≡（mod9）, 所以 6≡A （mod18）. （1）又因为1103-≡，nn )1(103-≡（mod7）, 所以ii i A 3410)500(⨯-=∑=i i i ）（1)500(4000-⨯-≡∑= 100)101102()495496()497498()499500(+-++-+-+-≡ 6300≡=（mod7）.(2)由（1），（2）两式以及7和18互质，知6≡A （mod126）. 答：C.另解：632126⨯=，99999963，1109999996-=，）（）（11011066--n ，,3,2,1=n .所以499500104974981010310410101102101006118811941200+⨯++⨯+⨯+⨯= A+-⨯++-⨯+-⨯+-⨯=）（）（）（）（1104974981101031041101011021101006118811941200）（499500497498103104101102100+++++2200499500101102100999999÷⨯+++=）（B 60060200100999999++=B 60060300999999+=B 60360999999+=C ，其中B ，C 为整数.从而6036063+=D A 663+=E ，其中D ，E 为整数.所以A 除以63的余数为6.因为A 是偶数，所以A 除以126的余数也为6. 答：C.4.易见BD AD CD ⋅=2，即ab b a =-2）（，又已知1=-b a ，故1=ab ，1)1(=-a a ，012=--a a ；1)1(=+b b ，012=++b b .显然k u 是首项为ka ，公比为abq -=的等比数列的前1+k 项和.故 ba b a q q a u k k k k k +--=--=+++111)(1)1(， 3,2,1=k . 从而ba b a b a b a u u k k k k k k +--++--=++++++22111)()(])()([11212++++----++=k k k k b b a a ba )]1()()1([111+---++=++b b a a b a k k ])([12121b b a a b a k k ⋅--⋅+=++ 233])([1+++=--+=k k k u b a ba ， 3,2,1=k . 故答案为A.（易知其余答案均不成立）另解：易见BD AD CD ⋅=2，即ab b a =-2）（，又已知1=-b a ，故1=ab ，51414)((222=⨯+=+-=+ab b a b a ），5=+b a .解得215+=a ， 215-=b . 显然k u 是首项为ka ，公比为abq -=的等比数列的前1+k 项和，故 ba b a q q a u k k k k k +--=--=+++111)(1)1(])251()251[(5111++--+=k k ，,3,2,1=k .于是数列{}k u 就是斐波那契数列1，2，3，5，8，13，21，…，它满足递推关系 ,12k k k u u u +=++ ,3,2,1=k . 所以答案为A.5.{}n a 可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能被2，5或11整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.由三阶容斥原理，1，2，3，4，…，m 中不能被2，5或11整除的项的个数为⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-=1101022551152m m m m m m m m x m ， 其中⎣⎦a 不表示不大于a 的最大整数，即a 的整数部分.估值：设11010225511522007m m m m m m m m x m -+++---≈=)1111)(511)(211(---⨯=m 11105421⨯⨯⨯=m m 114=，故 55194112007≈⨯≈m . 又因为⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-=1105519105519225519555519115519555192551955195519x=5519-2759-1103-501+100+250+551-50=2007，并且5519不是2，5，11的倍数，从而知55192007=a . 答：B.又解：{}n a 可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能被2，5 或11整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.因为2，5，11是质数，它们的最小公倍数为110.易见，-54，-53，…，0，1，2，3，…，55中不能被2，5，11整除的数为，，；，，，17139731±±±±±±，；2119±±；，，292723±±±，，，；，，474341393731±±±±±±535149±±±，；,共40个.（或由欧拉公式，1，2，3，…，110中不能被2，5，11整除的数的个数，等于1，2，3，…，110中与110互质的数的个数，等于401111511211110110=-⨯-⨯-⨯=∅）（）（）（）（.） 显然1，2，3，…中每连续110个整数，不能被2，5，11整除的数都有40个.所以，1，2，3，…，550050110=⨯中，不能被2，5，11整除的数有20005040=⨯个.大于5500中的数不能被2，5，11整除的，是5500+1，5500+3，5500+7，5500+9，5500+13，5500+17，5500+19，….所以5519是第2007个不能被2，5，11整除的数，亦即所求的55192007=a . 答：B .6.显然 287cos 127cos 123cos 12++++++=A5.43cos 5.5cos 5.3cos 5.1cos ++++=；287cos 127cos 123cos 12-++-+-=B5.43sin 5.5sin 5.3sin 5.1sin ++++=. 注意到)1sin()1sin(1sin cos 2--+=θθθ， )1cos()1cos(1sin sin 2+--=θθθ, 所以+-+-+-=⨯)5.4sin 5.6(sin )5.2sin 5.4(sin )5.0sin 5.2(sin 21sin 2A)5.42sin 5.44(sin -+ 22sin 5.22cos 25.0sin 5.44sin =-=，+-+-+-=⨯)5.6cos 5.4(cos )5.4cos 5.2(cos )5.2cos 5.0(cos 21sin 2B)5.44cos 5.42(cos -+ 22sin 5.22sin 25.44cos 5.0cos =-=.故5.22cot )22sin 5.22sin 2(:)22sin 5.22cos 2()21sin 2(:)21sin 2(:==⨯⨯=B A B A12+=. 答：D.另解：2A 00005.43cos 5.5cos 5.3cos 5.1cos +++++= ，2B 5.43sin 5.5sin 5.3sin 5.1sin ++++=，++++=+)5.3sin 5.3(cos )5.1sin 5.1(cos 22i i B iA )5.43sin 5.43(cos i ++∑=++=21)2sin 2(cos )5.1sin 5.1(cos k k i i)2sin 2(cos 1)2sin 2(cos 1)5.1sin 5.1(cos 22i i i +-+-+= )2sin 2(cos 1)44sin 44(cos 1)5.1sin 5.1(cosi i i +-+-+=1cos 1sin 21sin 222cos 22sin 222sin 2)5.1sin 5.1(cos 22i i i --+=)1sin 1)(cos 1sin 2()22sin 22)(cos 22sin 2)(5.1sin 5.1(cos i i i i i +-+-+==)5.22sin 5.22(cos 1sin 22sini +.因为2A 和2B 是实数，所以 1sin 5.22cos 22sin 2=A ，1sin 5.22sin 22sin 2=B , 122222222145sin 45cos 15.22cos 5.22sin 25.22cos 25.22sin 5.22cos 2:2:2+=+=+=+====B A B A .答：D.二、 填空题（满分54分，每小题9分）7.解：设△ABC 三边长c b a ,,为整数，c b a c b a c b a ,,,,60≥≥=++成等差数列，A ∠为钝角，则必有c a b +=2，222a c b <+.易解得 b b b c a b c b a 32)(60=+=++=++=，40,20=+=c a b ；222c a b -<))((c a c a -+=，即c a c a -<-<10),(40202.因此a a c a c a <=-++<25,2)()(50，即26≥a .另外，29,30,260,≤<=+>++=>+a a a a a c b a a c b .易检验),,(c b a)11,20,29(),12,20,28(),13,20,27(),14,20,26(=都是钝角三角形. 答：4.8.注意到22-=x ，22+=y 满足4)22()22(22=++-=+y x ，0,>y x ，故可令θcos 2=x ，θsin 2=y ，0＜θ＜2π.从而22c o s 42-=θ，-2cos 422-=θ，-θπθ2cos 43cos 1cos 2222==-=，故83πθ=，83cos )83sin 83(cosπππn i a n n =+=+ 83sin πn i . n a 取实数，当且仅当083sin=πn ，当且仅当k n 8=，∈k Z.满足此条件且2007≥n 的最小正整数n 为2008，此时1753cos 820083cos 2008-====ππx a a n .答：-1.9.易见奇异数有两类：第一类是质数的立方3p （p 是质数）；第二类是两个不同质数的乘积21p p （21,p p 为不同的质数）.由定义可得3327=是奇异数（第一类）； 73242⨯⨯=不是奇异数； 23369⨯=是奇异数（第二类）；373111⨯=是奇异数（第二类）；35125=是奇异数（第一类）； 137是质数，不是奇异数；37343=是奇异数（第一类）；221301900899-=-=）（130+=2931130⨯=-）（是奇异数（第二类）； ）（16016013600359922+=-=-=5961160⨯=-）（是奇异数（第二类）；42119)12020)(120(120180007999233⨯=++-=-=-=是奇异数（第二类）. 答：8.10. 解：将向量1AA ，，分别记为，，.2==a3==b，4==c ，且易见c b a AC ++=1， c b a C A ++-=1， c b a BD +-=1， c b a DB -+=1.)(2)(2222⋅+⋅+⋅+++=++=022260cos )(2ca bc ab c b a +++++=ca bc ab c b a +++++=222244332432222⨯+⨯+⨯+++==55， 故551=AC . 类似地，可算得，191=BD ，151=DB ，271=CA =33.答：55，19，15，33.11.令t x =-3，易见3+=t x ，323)3(232)(+=-+=-=t t x x f ，)32(2)()2(+=t x f 3-32)(,,32)(2+=+=t x f t n n ；令s y =+1，易见1-=s y ，2)1(323)(+-=+=s y y g 13-=s ，,132)13(3)(2)2(-=+-=s s y g ，13)()(-=s y g n n ， ,3,2,1=n .因此，题设方程组可化为⎪⎩⎪⎨⎧-+=+--+=+--+=+-)3.(1)1(33)3(2)2(,1)1(33)3(2)1(,1)1(33)3(2696969x z z y y x （1）-（2），（2）-（3），（3）-（1）得⎪⎩⎪⎨⎧-=--=--=-)6).((3)(2)5(),(3)(2)4(),(3)(2696969y x x z x z z y z y y x所以)()23()()23()(2339629696y x x z z y y x -=-=-=-⇒00=-⇒=-z y y x z y x ==⇒.代入（1）得1)1(33)3(269-+=+-x x ，1)1(7293)3(512-+=+-x x ，7287291533512+=-x x ， 2261217=-x , 32331=-x , 31323-=x . 所以原方程组的解为31323-===z y x . 答：31323-===z y x . 12.以l T V -表示平面图形T 绕直线l 所得旋转体体积.记直线AC 为l ，作l DN BM ⊥,，交l 于F E ,，分别交CD ，AB 于N M ,.过O 作l PQ ⊥，分别交CD AB ,于Q P ,.由于O 是BD 的中点，所以Q P ,分别是DM BN ,的中点.由对称性，易见所求旋转体体积为)(2l NPQ D l AD N l ABCD V V V V --∆-+==平行四边形平行四边形.由于2324===AD BD AB ，，，易见3090=∠=∠DBA ADB ，，73422=+=+=DO AD AO ，72=AC .显然CAB DCA DAC ∠=∠>∠，FN DF >.且21727322==⨯==∆AO DO AD AO S DF ADO ，74716712422==-=-=DF AD AF .从而由圆锥体积公式得 ππππ749167716747123312==⨯⨯=⨯⨯⨯==-∆-∆AF DF V V l ADF l ADN . 又71074147472=-=-=-=AF AC CF ，7==AO CO ，QO DF CO CF ::=，215171021727=÷⨯=⨯=CF DF CO QO .从而由圆锥体积公式得COQO CF DF V V V V l CQO l CDF l FOQD l NPQD ⨯⨯-⨯⨯=-==-∆-∆--223131ππ梯形平行四边形ππππ71225657122534310007)2574940(7)72521710712(3=-⨯=-=⨯-⨯=.从而 17573021225105772)12256574916(72)7122565774916(2πππππ=⨯=+=+=V . 答：所求体积为1757302π：13.解：I ）可设l ：4+=my x ，与Γ联立得03624)43(22=+++my y m . 这是y 的一元二次方程，由判别式0≥∆解得42≥m .记）（11,y x A ，）（22,y x B ，则4324221+-=+m m y y ，4336221+=m y y . 由题设条件，02121<+=⋅y y x x ，即0)4)(4(2121<+++y y my my ，得 016)(4)1(21212<++++y y m y y m ，即016432444336)1(222<++-⋅++⋅+m mm m m ，即 0)43(424)1(9222<++-+m m m .得02532<+-m ， 3252>m ， 253)1(2<m ，5353<<-m . 故l 的斜率的取值范围为)53,53(-. 因为F (1,0),所以）（111,1y x FA --=，）（22,1y x FB -=，从而 12211221)3()3())(1()1(y my y my y x y x +++=---- 04324343362)(32222121=+-⋅++⋅=++=m mm m y y y my . ∴1与共线， 即1A与F 、B 三点共线. III ）假设4≠q ，过)0,(q Q 的直线与Γ交于A 、B ，且A 关于长轴的对称点为1A ，如果1A 、F 、B 三点共线.我们另取点)0,4(P .设直线AP 与Γ交于1B ，那么如II ）的证明，1A 、F 、B 三点必共线.故B 与1B 重合，从而直线AB 和1AB 重合，就是AQ 与AP 重合.所以P 与Q 重合，4=q ，与假设矛盾.这就是说，4≠q 时，三点1A 、F 、B 不能共线.14.解：n n n n n x x x x x 1212121+=+=+， 22211441nn n x x x ++=+，)1(4112221+=-+n nn x x x ， 3,2,1=n . 故 ∑∑==++=-20061220061221)1(4)11(n n n n n x x x ，亦即 80244112006122122007∑=+=-n n x x x ，由11=x 得80254120061222007∑=+=n n x x . （*）由于112121<+=+n n n x x x ，,,3,2,1 =n 且显然0>n x ，故{}n x 是递减数列，且 31122112=+=x x x ，11319231122223=+=+=x x x ， 故∑∑==++=2006322200612)31(1n n n nx x15120041219911)113(911200632<⨯++=++<∑=n ，由（*）式得 8629802515141802522007=+⨯<<x，,802518629122007<<x 80251lg lg 86291lg 22007<<x ， 8025lg lg 28629lg 2007-<<-x ，3lg 242007-<<-x ，23lg 22007-<<-x ，∴⎣⎦2lg 2007-==x k .15.证明：因为△ABC 是锐角三角形，其三边c b a ,,满足0,,>c b a ，以及 222222222,,,,,c b a b a c a c b c b a b a c b c b >+>+>+>+>+>+. 因此，由平均不等式可知222222222222)()()(z c b a y b a c x a c b -++-++-+)()(21)()(21)()(21222222222222222222222222xy y x z c b a z x x z y b a c y z z y x a c b +-+++-+++-+≤ 222222222222zy x c y x z b x z y a ++=)(2)(2222abz cay bcx z cxy y bzx x ayz ++-++=， 从而22222222222)(])[(])[(])[(P zcxy y bzx x ayz z c b a y b a c x a c b =++≤-++-++-+， 亦即2)(P S c b a ≤++，cb a P S ++≤2.上式取等式当且仅当222z y x ==，亦即===z y x cb a P++.因此所求的S 的最大值为cb a P ++2，当S 取最大值时，===z y x c b a P ++.（第13题答图） （第10题答图） （第12题答图）yyA A 1B 1C 1D 1B CDABCDQ M O F E。
各省高中数学竞赛预赛试题汇编[]
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2012各省数学竞赛汇集目录1.2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷------第3页2. 2012年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高一年级）---第7页3. 2012年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高二年级）---第10页4. 2012年高中数学联赛陕西省预赛试卷------第16页5. 2012年高中数学联赛上海市预赛试卷------第21页6. 2012年高中数学联赛四川省预赛试卷------第28页7. 2012年高中数学联赛福建省预赛试卷（高一年级）---第35页8. 2012年高中数学联赛山东省预赛试卷---第45页9. 2012年高中数学联赛甘肃省预赛试卷---第50页10. 2012年高中数学联赛河北省预赛试卷---第55页11. 2012年高中数学联赛浙江省预赛试卷---第62页12. 2012年高中数学联赛辽宁省预赛试卷---第72页13. 2012年高中数学联赛新疆区预赛试卷（高二年级）---第77页14. 2012年高中数学联赛河南省预赛试卷（高二年级）---第81页15. 2012年高中数学联赛北京市预赛试卷（高一年级）---第83页2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（70分）1、当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为__18___.2、在ABC ∆中，已知12,4,AC BC AC BA ⋅=⋅=-则AC =___4____.3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_____310_______. 4、已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则||a bi +的值为_____22___.5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 221124x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ∆的面积为83，则直线的斜率为___12____. 6、已知a 是正实数，lg a ka =的取值范围是___[1,)+∞_____.7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为_____53_______.8、已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n-+___.（*n N ∈）9、将27,37,47,48,557175，，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种.10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为__24___.二、解答题（本题80分，每题20分）11、在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，证明：（1）cos cos b C c B a +=（2）22sin cos cos 2CA B a b c+=+12、已知,a b为实数，2a >，函数()|ln |(0)af x x b x x=-+>.若(1)1,(2)ln 212ef e f =+=-+. （1）求实数,a b ； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若实数,c d 满足,1c d cd >=，求证：()()f c f d <13、如图，半径为1的圆O 上有一定点M 为圆O 上的动点.在射线OM上有一动点B ,1,1AB OB =>.线段AB 交圆O 于另一点C ，D 为线段的OB 中点.求线段CD 长的取值范围.14、设是,,,a b c d 正整数，,a b 是方程2()0x d c x cd --+=的两个根.证明：存在边长是整数且面积为ab 的直角三角形.2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
2007年全国高中数学联赛与山东省数学竞赛
2007 年全国高中数学联赛及山东省数学竞赛济南赛区通报2007 年全国高中数学联赛预赛和决赛已分别于2007 年 9 月 16 日上午和2007 年 10 月 14 日上午分别进行 . 我市有 11081 人参加了预赛 , 有 227 人参加了决赛 . 在此次竞赛中，我市选手取得了十分优异成绩, 获全国一等奖人数和全国一、二、三等奖人数均列全省各参赛单位前列, 其中全省获全国一等奖的43 人中就有我市的15 人，达到全省的近30%.有 4 人进入全国冬令营，达到最高水平，现将此次竞赛的情况通报如下：一、全国奖 ( 共 63 人 )1.全国一等奖共 15 人韦东奕 (240 分 , 山师附中 ) 王颖婓（ 206 分，实验中学）安传恺 (201 分 , 山师附中 )王储(190分 , 实验中学 )刘青阳(177分, 山师附中 ) 鲁悦(172分 , 山师附中 )冯龙(152分 , 实验中学 )禹泽西(150 分 , 实验中学 ) 方延博 (150分 , 实验中学 )路若洲(143分 , 实验中学 )刘宁(141 分 , 实验中学 ) 高茉人 (130分 , 实验中学 )楚天翔(124分 , 实验中学 )孙晨正(123 分 , 山师附中 ) 姜晖(122分 , 山师附中 )2.全国二等奖共 27 人梅潇(119分 , 实验中学 )隋春宁（ 117 分，山师附中）贺兆印（ 116分，历城一中）丁寰宇（ 114 分 , 实验中学）刘光强（ 110分，山师附中）王哲（ 110 分 , 实验中学）王振中(105 分 , 山师附中 ) 徐硕（ 105分，实验中学）申晓斌（ 104分，实验中学）丛亚（ 103 分，实验中学）李凤麟(103 分, 山师附中 ) 曲焜 (101分 , 实验中学 )宋超逸(101 分 , 实验中学 )窦欣元(101 分 , 实验中学 ) 韩谡越（99分，章丘四中）牟象禹（ 97 分，山师附中）胡颖凯（ 96 分，山师附中）马万里( 94分, 实验中学 )王飞（ 94分，山师附中）孔陆洋（ 94 分，山师附中）孟庆迪( 93分, 实验中学 )丁晋（ 93分，实验中学）翟晓辉（ 138分，山师附中）张赛峥（ 92 分，实验中学）顾然（ 92分，山师附中）刘筱宁（ 92 分，外语学校）杨晓婉（ 92 分，实验中学）3.全国三等奖共 21 人孙振宇（ 91 分，实验中学）陈邦锐（ 91分，实验中学）王越（ 91 分，实验中学）李鑫业（ 89 分，山师附中）秦立煜（ 88分，实验中学）刘毅（ 87 分，实验中学）岑昊（ 86 分，山师附中）栾义龙(86分 , 实验中学 )石敬玉（ 86 分，章丘四中）张天宇（ 86 分，实验中学）姜怡然（ 86分，山师附中）吕林超（ 85分，实验中学）陈诚（ 85分，济南中学）孙染（ 84分，实验中学）王元（ 84分，实验中学）张棋（ 84分，山师附中）郝克（ 83分，外语学校）黄杨（ 83分，山师附中）王 雨（ 82 分，外语学校） 王 梁（ 82 分，实验中学） 杨云钊（ 81 分，山师附中）二、此次竞赛的预赛也是山东省数学竞赛 , 根据竞赛成绩 , 学生获奖情况如下 : （注：根据济南市数学竞委会规定，获全国二等奖以上不在给予省级奖励） 1. 省一等奖共 158 人（排名不分先后）实验中学（ 6人）： 夏 靓 116 分 王晓熙 113 分 王冬雨 111 分 刘毅 110 分 钟 睿 106 分 梁 健 102分，山师附中（9 人）：董跃振 111 分 刘苏方 108 分 李鑫业 102分 曲士眹 99 分 黄 杨 96 分 韩 蕾 94 分 刘 海 93 分 罗荣钧 90 分 姜怡然 90 分 济南一中（1 人）：陈双 94 分 济南二中（ 5 人）：宫庆凯76 分 于昌灏 70 分 郭晓宁 64 分 姜玉玺 63 分李祺龙 58 分济南三中（ 6 人）：蒋 丽84 分 孙新利 71 分 张 虎 67 分 卫成林 66 分商和宁66 分张婷婷66 分济南七中（2人） :肖玉淼49 分陈晨 45分济南九中（2 人）：鞠佳 69 分王紫辉66分济十一中（2 人）：李中华70 分王春喜63分济南52 中（ 1 人）：赵芳亮 57 分济南中学（13 人）：王瑞 90 分邹世俊83分外语学校（ 2 人）：杨金龙 100分郝克 98分英才高中（ 6 人）：孟宇 73 分张译文56分王路54 分高建辉50 分陈徭50 分济钢中学（ 7 人）：李泳江90分陈琛 88 分李霖85 分刘一畅83 分刘梦晨82 分马长琳81 分秦汉唐79 分三职高中（4 人）：王阿冉 53分李强 51 分徐桂亮49 分王珂 49 分历城区（ 14人）：历城一中：曹芳 106分贺兆印 97 分胡春晖93分王超90 分陈磊 90 分历城二中：李双江102分高昊鸥 99 分张广乐96分刘红霞95 分李延龙 93 分历城四中：蔡荣峰94分刘振83 分历城五中：马业兴84 分洪楼高中：张金花98 分章丘市（ 32人）：章丘一中：赵蕾蕾87 分徐帅 81 分刘波 80分章丘四中：李喆 140 分马宪进 104分王增辉 97分陈成成 96分朱福兴 94分索金召 93 分党灿 93 分柏杨 93 分许昊 93分章丘五中：郭乐田104分田春钊108分李虎 100 分刘杰 100 分张方瑞96分韩成龙90 分靳丰晨 89 分刘洋槐 84分王海景83 分郭红 80 分郑伟 80 分鲁家刚80 分章丘七中：高兵孟娜袭苗苗姜树浩章丘中学：王俊荣99分宁纪森 95分宋涛 93分甄爱香93分平阴县（ 8 人）：张文选119分刘聪 102分许昌斌98分孙朝阳96分张明达 96 分张子键93 分路文高93 分马世杰81分，长清区（ 16人）：李娇 102 分安玮 100分孟强 97 分钟涵 94分朱有云93 分焦裕龙 88分段学苇87 分张越86 分赵鹏 85分朱存良85 分段益雪100分张毓胜98分兰英新 87分齐本明87 分田德83 分杨洪83 分洲伟商河县（ 4 人）：王光龙87 分于和善86 分李良金85 分周祥政83分济阳县（ 18人）：王钊 114 分盛华英110分郭富明101分周亚凡 99 分胥燕燕95 分菅秀峰 95 分冯涛 93 分李超 119 分齐震 112 分卢乾坤101分李国栋100分韩涛 104 分闫宁 101 分李晓阳106分菅庆圣102分崔月 98分霍纯森96 分华震96 分2.省二等奖共 202 人实验中学（ 13 人）：祁海洋100 分秦立煜 101分李骥 100分韩祥冬 100分李文硕 98分王越 98 分栾义龙98 分李可扬96 分孙棋 96分孙振宇 96 分叶梦醒96 分邹宗航 96 分栗榛 96 分山师附中（ 13 人）：杜宏87分宋建浩87 分张志浩 86分付强 85 分曹旭85 分赵玉祯84 分杨云钊82 分宋晓楠81 分刘青华 79 分王聪79 分李丹蕾78 分陈飞78 分刘雯78分济南二中（ 9 人）： 韩长龙57 分 李丽丽 57 分 李 征 56 分丘化凯 55 分 姚运华 55 分 吕诚哲 54 分 杨 霖 54 分 崔然旭54 分孙 波 54 分 济南三中（ 4 人）： 孙志超64 分 朱婷婷 60 分 王振坤 60 分龙玉梅 60 分 济南七中（ 3 人）：胡勇超 44 分 崔 燕 43 分 孙 彬43 分济南九中（ 3 人）：周淑灿 60 分 隋宏远 60 分 马宝强 60分济十一中（ 2 人）：唐智 55 分 宋怀杰 54 分 济 52 中（ 2 人）：王淑芬 53 分 朱婷婷53分 济南中学（ 3 人）：杨晓煜 82 分 吴凌雪 81 分 王 芯81 分外语学校（ 5 人）：万 伟 90 分 宋瑞雪 89 分 袁 心 88 分 罗 丁 85 分张庆辰85 分济钢高中（ 9 人）：冯博宇 78 分 赵晓丹 78 分 朱鑫鹏77 分 潘 红 76 分金 岩 76 分 王智飞 75 分 周婷婷 75 分 李 璐 75 分 宿 波 75 分英才高中（ 8 人）：韩晓松 48 分 肖剑辉 48 分 赵 院 48 分 张天佑48 分薛 桐 48 分 李 晓 47 分 李晓明44 分 苏志勇44 分 三职高中（ 4 人）：赵殿龙 48 分 毛文靓 45 分 季淑玉 45 分 王梅梅44分 历 城 区（ 17人）：历城一中：金增奇 89 分 陈荣荣 89 分 柴柏晓 87 分 杨小龙 85分 张强 84 分 历城二中：颜 庆 87 分 杜文帅 85 分 翟凤婷 85 分 靳若安 85 分 杨登平85 分 历城四中：孙光军 64 分 李 明 64 分 钱宇 63 分 历城五中：王兴英78 分 苏志南 78分 洪楼高中：赵志勇88 分 王金振 78分 章 丘 市（ 41人）：章丘一中：孙月红 77 分 蒋全芝 75 分 刘乃龙 72 分 张永亮 71分 张强 70 分 刘凤翔 70 分章丘四中：石敬玉 92 分 张学超 92 分 蔡云云92 分 陈龙桥 92 分 李 娜 88 分 李 臣 88 分 陈光鹏 88 分 刘敏 87 分 徐家昌 86 分 董彤阳 85分 孙广帅 85 分 高云逸 85分章丘五中：冯业飞 79 分 张瑞谦 79 分 黄立臣78 分 胡继伟 78 分 徐昭萌 78分 孙 盟 78 分 于巍巍 78 分 柳庆娓 78分 吴鹏 77 分 韩福芸 77 分 范士凯76分 韩春超 76 分 刘延清 76分章丘七中：程宗越 孟 超 高 玲 刘娇龙 杨 兵 贾 超章丘中学：张 硕 90 分 董晓越 90 分 曹林丽87 分 侯东明 86 分 巩 敏 86 分李鹏 86 分平阴县（ 8 人）：乔珂欣91 分王文华90分沙宗国90分张德水88 分陈涛87 分刘德福86 分苏本民80 分杜言铭75 分长清区（ 26 人）：王帅 84分杜杰 84 分李君朋83 分王华 83 分于晓菲82 分卢婧 82 分王岩 81分戴伟 81分宋丙亮81分庄卫卫 81 分马晓81 分杨仁俊80 分韩传刚80分李珊 80分邢庆涛80分孟维昌 81 分周恒80 分王斌 80 分李修源78分孙传海78分段好新77分赵婷婷 77 分贾丹78 分王倩 74 分蒋艳 66分范升涛66分商河县（ 5 人）：展长伟81 分卢培义81分王伟 81分孙发鲁79 分张旭 78分济阳县（ 27 人）：罗宾甲 90 分牛法富90 分牛佳瑞90 分裴建梁89 分张刚峰89 分李道通87 分艾杰87 分陈新斌86 分孙云飞86 分刘文静95 分王莉93 分刘超 93 分杨骁93 分温明强92 分张元炜91 分李振90 分王彬 90 分张蕊 88 分徐春花88 分李 凯 88 分 吴 鹏 87 分 张 龙 87 分 秦婷婷 87 分 张 勇 87分 刘贵奇 87 分 张 滨87 分 徐 囡 87 分3. 省三等奖 218 人实验中学（ 5 人）：孙 染 95 分 王 梁 95 分 李翔宇 94 分 陈邦锐 94 分陈茜茜 94 分山师附中（ 13 人）：杨晓星 76 分 翟 毅 76 分 冯君淑 77 分 袁 源 76 分夏 冰 75 分 孙晴川 75 分 张河慧 75 分 王 睿 75 分 崔赛飞75 分陈 琛 74 分 王 尧 74分 王 迪 74 分 赵 越 74 分济南一中（ 1 人）：李晨光 78 分济南二中（ 5 人）：陶 然 51 分 赵元圆 50 分 孙吉隆 50 分 王 越 50 分陈 安 50分济南三中（ 6 人）：崔丙伟 59 分 王官玲 57 分 李 璐 57 分 刘海洋 57 分商广义 57分 杨润蕊 56 分济南七中（2 人）：胡尊飞 42 分 成 龙 42 分 济南九中（ 5 人）：史 良 58 分 王 明 58 分 刘 讳 58 分 刘帅帅 57 分贾 杰 57分济十一中（3 人）： 董丽君51 分 牛邦龙 51 分 徐永龙 49 分 济南中学（ 2 人）：陈 栋 80 分 张 望 80 分外语学校（ 5 人）： 于东宁81 分 欧 阳 82 分 李 千 81 分 黄一成 81 分郦 龙 81 分钢厂高中（13 人）：彭高飞74 分 赵 冲 74 分 李 辉 73 分 耿 浩 72 分 杨紫娇 71 分 李延文 71 分 张 楠 72分 柴宝臣 72 分 郭 琦72 分 林 尧 72 分 刘 爽 73 分 蒋 薇 71 分 徐 涛 70 分英才高中（ 9 人）：王华琳 42 分 金传铭 42 分 李 超 42 分 陈 娜 42 分李佳倩 42 分 张 鹏 42 分 王翰林 42 分 段晨彤 42 分 玉 叶41 分三职高中（ 5 人）：付 磊 43 分 于 鸿 43 分 王 硕 42 分 叶 鑫 42 分宋晓艳 42分历 城 区（ 20 人）：历城一中：王俊国 83 分 刘 丹 82 分 张 凤 82 分 陈 哲 81 分 马超 81 分 历城二中：张 良 82 分 韩 豹 81 分 杜 磊 81 分李洪燕 81 分 侯程广 81 分，李 敏 81 分 王 曰儒81 分历城四中：周晓琼 59 分 彭延杰 59 分 韩娟 59 分 历城五中：陈世军76 分 赵 成 75 分 范圣男 75 分 洪楼高中：刘玉娟70 卢长瑞 68分 分章 丘 市（ 47 人）：章丘一中：韩 超 69 分 张 帅 69 分 孙秀婷 69 分 郭 盼 69 分 丁 帅 69 分李豪杰 69 分 宁建 69 分章丘四中：董道江 84 分 李 广 84 分 马永岩 84 分 鹿苗苗 84 分 陈慧颖84 分赵春雷 84 分 程 彬 84 分 卢国华 84 分 张晓彤 84分 韩继雷 84 分韩慧梅 83 分 宁超众83 分 吕素华 82章丘五中：王福荣 75 分 牛凯峰 75 分 韩 强 75 分 吕晓萌 75 分 王沛阳 75 分孙方杰 75 分 李中雨 75 分 宋梅玲 75 分 杨志敏 75 分 李 杰 74 分张运涛 74 分 黄文娟 74 分 郑兴花 74 分 闫广霞 74 分 冯业芝 74 分章丘七中：赵 静 刘 群 陈 样 高 娟 柏 文 王 瑶章丘中学：党义鹏 85 分 彭绍辉 85 分 赵 静 84 分 郭嘉宾 81 分 李 跃 81 分 刘元康80 分平阴县（ 13 人）：杨其资84 分李霞 84分丁姗姗 84分李浩 84 分白哲 84 分刘兵83 分高璇 82 分陈阳 82 分王蒙 82 分刘涛 82 分吴庆存 82 分王超82分王龙江 72分长清区（ 28 人）：于海龙78 分苏军 78分张晓旭 78分刘天燕 78分庄庆鹏78 分田娜78分邵继美78 分刘文雪78 分李柱杰 77分王佳 77 分韩聪 77 分李照垒76分张伟76 分张其昌76 分孔令燕 76分杨崭 76 分薛德宝 74 分王东东 74 分李婷婷 74分刘东 73 分孟凡荣 73分赵双73 分李善刚73分韩胜涛 73 分王元腾 69分柴茂青 72分张双双 63分赵玉芹 63 分商河县（ 6 人）：金冉 78分芮法莹77分车召堂 75分赵富燕 75分赵华安75分徐超 74 分济阳县（ 30 人）：王闯 85 分高迪 85 分呼燕85 分周讯85 分李三九84 分徐小青84 分孙志凌84 分李方吉84 分杜学知84 分王浩84 分刘志远84 分刘喆 84 分袁新超84 分姚麒麟 86分高帅 86分张强 86 分杨吉伟86 分高扬86 分张震84 分高翠萍85 分王忠华84 分张传凯84 分朱学亮 84分高荣祥84 分张红梅 84分江继宽84 分李连玉84 分陈国良 84分常超84 分刘非 84分注 : 1. 获山东省一、二、三等奖的学生如获全国奖的奖次高于或等于省奖, 则不再发省奖。
2007年安徽省高中数学联赛初赛试卷及答案
C.
2.令 y lg(10x 1) ，则 y 0 ，且10x 1 10 y ，10x 10 y 1， x lg(10 y 1) ，
x lg(10 y 1) . 从 而 f 1 (x) lg(10 x 1) . 令 2 x t ， 则 题 设 方 程 为 f (t) f 1 (t) ， 即
8.设 n≥2007,且 n 为使得 an = ( 2 2 i 2 2 )n 取实数值的最小正整数,则对应此 n 的
an =____________.
9.若正整数 n 恰好有 4 个正约数,则称 n 为奇异数,例如 6,8,10 都是奇异数.那么,在 27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999 这 10 个正整数中,奇异数有__________. 10.平行六面体 ABCD-- A1B1C1D1 中,顶点 A 出发的三条棱 AA 1 ,AB,AD 的长度分别为 2,3,4,且
1)若∠AOB 为钝角或平角(O 为原点).q=4.试确定 l 的斜率的取值范围.
2)设 A 关于长轴的对称点为 A1 ,F 为椭圆的右焦点,q=4,试判断 A1 与 F,B 三点是否共线,并说 明理由.
3)问题 2)中,q≠4,那么 A1 ,F,B 三点还能否共线?请说明理由.
14.数列{
xn
}由下式确定:
所以 A 100 101200 101102 101194 103104 101188 497498 106 499500
100 （101200 1） 101102 （101194 1） 103104 （101188 1） 497498 （106 1）
安徽省高中数学竞赛初赛试题及答案详解
2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题一.选择题1.如果集合.A B 同时满足{}1.2.3.4A B =U {}1A B =I ,{}{}1,1A B ≠≠就称有序集对(),A B 为“好集对”。
这里的有序集对(),A B 意指当A B ≠，()(),,A B B A 和是不同的集对，那么“好集对”一共有（ ）个。
２.设函数()()lg 101x f x -=+,()()122x x f f --=方程的解为( )()()()()2222.log lg21.lg log 101.lg lg21.log log 101A B C D --++3.设100101102499500A =L 是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺序排列而成那么A 除以126的余数是( ) 4.在直角ABC V 中,90C ∠=o ,CD 为斜边上的高,D为垂足. ,,1AD a BD b CD a b ===-=.设数列{}k u 的通项为()1221,1,2,3,,kk k k k k u a a b a b b k --=-+-+-=L L 则( )5.……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列{}n a ,易见123451,3,7,9,13a a a a a =====L那么2007____________a =192759.. 55 .. A B C D 2831 95976.设A B ==L L 则():A B =7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有______________种. 8.设2007n ≥,且n为使得nn a +=取实数值的最小正整数,则对应此n 的n a 为9.若正整数n 恰好有4个正约数,则称n 为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有_____________________个.10.平行六面体1111ABCD A B C D -中,顶点A 出发的三条棱1,,AB AD AA 的长度分别为2,3,4,且两两夹角都为60o那么这个平行六面体的四条对角线1111,,,AC BD DB CA 的长度(按顺序)分别为___________________11.函数()(),f x g x 的迭代的函数定义为()()()()()()()12,,fx f x f x f f x ==L()()()()()()()()()()()()()()()()()1121,,,n n n n f x f f x g x g x g x g g x g x g g x --====L 其中n =2,3,4…设()()23,32f x x g x x =-=+,则方程组()()()()()()()()()()()()969696f x g y f y g z f z g x ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩的解为_________________12.设平行四边形ABCD中，4,2,AB AD BD ===则平行四边形ABCD 绕直线AC 旋转所得的旋转体的体积为_______________三．解答题13.已知椭圆22412:3y x +=Γ和点(),0,Q q 直线,l Q A B Γ过且与交于两点(可以重合).1)若AOB ∠为钝角或平角(O 为原点), 4,q =试确定l 的斜率的取值范围.2)设A 关于长轴的对称点为1A ,,4,F q =为椭圆的右焦点试判断1,A F B 和三点是否共线,并说明理由.3)问题2)中,若14,,,q A F B ≠那么三点能否共线请说明理由. 14. 数列{}n x 由下式确定:112,1,2,3,,121nn n x x n x x +===+L ,试求[]20072007lg lg .x k x =整数部分(注[]a 表示不大于a 的最大整数,即a 的整数部分.)15. 设给定的锐角ABC V 的三边长,,,,,a b c x y z 正实数满足,ayz bzx cxyp x y z++=其中p 为给定的正实数,试求()()()222s b c a x c a b y a b c z =+-++-++-的最大值,并求出当s 取此最大值时, ,,x y z 的取值.2007年安徽省高中数学竞赛初赛答案一、 选择题 . . . . . 第1题解答过程 逐个元素考虑归属的选择. 元素1必须同时属于A 和B .元素2必须至少属于A 、B 中之一个，但不能同时属于A 和B ，有2种选择：属于A 但不属于B ，属于B 但不属于A . 同理，元素3和4也有2种选择.但元素2，3，4不能同时不属于A ，也不能同时不属于B .所以4个元素满足条件的选择共有62222=-⨯⨯种.换句话说，“好集对”一共有6个. 答：C.第2题解答过程 令)110lg(+=-xy ，则0>y ，且y x 10110=+-，11010-=-y x ，)110lg(-=-y x ，)110lg(--=y x .从而)110lg()(1--=-x x f . 令t x =2，则题设方程为)()(1t ft f -=-，即)110lg()110lg(--=+t t ，故 0)]110)(110lg[(=-+t t ，1)110)(110(=-+t t ，2102=t ， 2lg 2=t ，解得 2lg 212==t x . 从而 1)2(lg log )2lg 21(log 22-==x . 答：A.第3解答过程注意 972126⨯⨯=,2,7和9两两互质. 因为 0≡A （mod2）,500102101100++++≡Λ2401500100÷⨯+≡）（6120300≡≡（mod9）, 所以6≡A （mod18）. （1）又因为1103-≡，nn )1(103-≡（mod7）,所以ii i A 3400010)500(⨯-=∑=ii i ）（1)500(4000-⨯-≡∑=100)101102()495496()497498()499500(+-++-+-+-≡Λ6300≡=（mod7）.(2)，（1），（2）两式以及7和18互质，知6≡A （mod126）. 答：C.另解：632126⨯=，99999963，1109999996-=，）（）（11011066--n ，Λ,3,2,1=n 所以499500104974981010310410101102101006118811941200+⨯++⨯+⨯+⨯=ΛA60060300999999+=B 60360999999+=C ，其中B ，C 为整数.从而6036063+=D A 663+=E ，其中D ，E 为整数.所以A 除以63的余数为6.因为A 是偶数，所以A 除以126的余数也为6. 答：C. 第4解答过程易见BD AD CD ⋅=2，即ab b a =-2）（，又已知1=-b a ，故1=ab ，1)1(=-a a ，012=--a a ；1)1(=+b b ，012=++b b .显然k u 是首项为k a ，公比为abq -=的等比数列的前1+k 项和.故ba b a q q a u k k k k k +--=--=+++111)(1)1(， Λ3,2,1=k .即 b a b a b a b a u u k k k k k k +--++--=++++++22111)()(])()([11212++++----++=k k k k b b a a ba233])([1+++=--+=k k k u b a ba ， Λ3,2,1=k . 故答案为A.（易知其余答案均不成立）另解：易见BD AD CD ⋅=2，即ab b a =-2）（，又已知1=-b a ，故1=ab ，51414)((222=⨯+=+-=+ab b a b a ），5=+b a .解得215+=a ， 215-=b . 显然k u 是首项为ka ，公比为abq -=的等比数列的前1+k 项和，故ba b a q q a u k k k k k +--=--=+++111)(1)1(])251()251[(5111++--+=k k ，Λ,3,2,1=k . 于是数列{}k u 就是斐波那契数列1，2，3，5，8，13，21，…，它满足递推关系 ,12k k k u u u +=++ Λ,3,2,1=k . 所以答案为A. 第5题解答过程{}n a 可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能被2，5或11整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.由三阶容斥原理，1，2，3，4，…，m 中不能被2，5或11整除的项的个数为⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-=1101022551152m m m m m m m m x m ， 其中⎣⎦a 不表示不大于a 的最大整数，即a 的整数部分. 估值：设11010225511522007m m m m m m m m x m -+++---≈=)1111)(511)(211(---⨯=m 11105421⨯⨯⨯=m m 114=，故 55194112007≈⨯≈m . 又因⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-=1105519105519225519555519115519555192551955195519x=55501+100+250+551-50=2007，并且5519不是2，5，11的倍数，从而知55192007=a . 答：B.又解：{}n a 可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能被2，5 或11整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.因为2，5，11是质数，它们的最小公倍数为110.易见，-54，-53，…，0，1，2，3，…，55中不能被2，5，11整除的数为，，；，，，17139731±±±±±±，；2119±±；，，292723±±±，，，；，，474341393731±±±±±±535149±±±，；,共40个.（或由欧拉公式，1，2，3，…，110中不能被2，5，11整除的数的个数，等于1，2，3，…，110中与110互质的数的个数，等于401111511211110110=-⨯-⨯-⨯=∅）（）（）（）（.） 显然1，2，3，…中每连续110个整数，不能被2，5，11整除的数都有40个.所以，1，2，3，…，550050110=⨯中，不能被2，5，11整除的数有20005040=⨯个.大于5500中的数不能被2，5，11整除的，是5500+1，5500+3，5500+7，5500+9，5500+13，5500+17，5500+19，….所以5519是第2007个不能被2，5，11整除的数，亦即所求的55192007=a . 答：B . 第6题解答过程 显然287cos 127cos 123cos 12οοοΛ++++++=AοοοοΛ5.43cos 5.5cos 5.3cos 5.1cos ++++=； οοοοΛ5.43sin 5.5sin 5.3sin 5.1sin ++++=. 注意到)1sin()1sin(1sin cos 2οοο--+=θθθ， )1cos()1cos(1sin sin 2οοο+--=θθθ,所以)5.42sin 5.44(sin οο-+ οοοο22sin 5.22cos 25.0sin 5.44sin =-=， )5.44cos 5.42(cos οο-+οοοο22sin 5.22sin 25.44cos 5.0cos =-=.故οοοοοοο5.22cot )22sin 5.22sin 2(:)22sin 5.22cos 2()21sin 2(:)21sin 2(:==⨯⨯=B A B A12+=. 答：D.另解：2A 00005.43cos 5.5cos 5.3cos 5.1cos +++++=Λ，2B οοοοΛ5.43sin 5.5sin 5.3sin 5.1sin ++++=，=)5.22sin 5.22(cos 1sin 22sin οοοοi +. 因为2A 和2B是实数，所以οοο1sin 5.22cos 22sin 2=A ， οοο1sin 5.22sin 22sin 2=B , 122222222145sin 45cos 15.22cos 5.22sin 25.22cos 25.22sin 5.22cos 2:2:2+=+=+=+====οοοοοοοB A B A . 答：D. 第7解答过程解：设△ABC 三边长c b a ,,为整数，c b a c b a c b a ,,,,60≥≥=++成等差数列，A ∠为钝角，则必有c a b +=2，222a cb <+.易解得 b b b c a b c b a 32)(60=+=++=++=，40,20=+=c a b ；222c a b -<))((c a c a -+=，即c a c a -<-<10),(40202.因此a a c a c a <=-++<25,2)()(50，即26≥a .另外，29,30,260,≤<=+>++=>+a a a a a c b a a c b .易检验),,(c b a)11,20,29(),12,20,28(),13,20,27(),14,20,26(=都是钝角三角形. 答：4.第8题解答过程 注意到22-=x ，22+=y 满足4)22()22(22=++-=+y x ，0,>y x ，故可令θcos 2=x ，θsin 2=y ，0＜θ＜2π.从而22cos 42-=θ，-2cos 422-=θ，-θπθ2cos 43cos 1cos 2222==-=，故83πθ=，83cos)83sin 83(cosπππn i a n n =+=+ 83sin πn i . n a 取实数，当且仅当083sin =πn ，当且仅当k n 8=，∈k Z.满足此条件且2007≥n 的最小正整数n 为2008，此时1753cos 820083cos 2008-====ππx a a n . 答：-1. 第9题解答过程易见奇异数有两类：第一类是质数的立方3p （p 是质数）；第二类是两个不同质数的乘积21p p （21,p p 为不同的质数）.由定义可得3327=是奇异数（第一类）；73242⨯⨯=不是奇异数；23369⨯=是奇异数（第二类）； 373111⨯=是奇异数（第二类）； 35125=是奇异数（第一类）；137是质数，不是奇异数；37343=是奇异数（第一类）；221301900899-=-=）（130+=2931130⨯=-）（是奇异数（第二类）； ）（16016013600359922+=-=-=5961160⨯=-）（是奇异数（第二类）； 42119)12020)(120(120180007999233⨯=++-=-=-=是奇异数（第二类）.答：8. 第10解答过程解：将向量1AA ，，分别记为，，. 2==a 3==b 4==c ，且易见AC ++=1， c b a C A ++-=1， c b a BD +-=1， c b a DB -+=1.)(2)(2222a c cb b ac b a c b a ⋅+⋅+⋅+++=++=244332432222⨯+⨯+⨯+++==55， 故551=AC . 类似地，可算得，191=BD ，151=DB ，271=CA =33.答：55，19，15，33. 第11题解答过程 令tx =-3，易见3+=t x ，323)3(232)(+=-+=-=t t x x f ，)32(2)()2(+=t x f 3-32)(,,32)(2+=+=t x f t n n Λ；令s y =+1，易见1-=s y ，2)1(323)(+-=+=s y y g 13-=s ，Λ,132)13(3)(2)2(-=+-=s s y g ，13)()(-=s y g n n ，Λ,3,2,1=n .因此，题设方程组可化为（1）-（2），（2）-（3），（3）-（1）得 所以)()23()()23()(2339629696y x x z z y y x -=-=-=-⇒00=-⇒=-z y y x z y x ==⇒.代入（1）得1)1(33)3(269-+=+-x x ，1)1(7293)3(512-+=+-x x ，7287291533512+=-x x ， 2261217=-x , 32331=-x , 31323-=x . 所以原方程组的解为31323-===z y x . 答：31323-===z y x . 第12题解答过程.以l T V -表示平面图形T 绕直线l 所得旋转体体积.记直线AC 为l ，作l DN BM ⊥,，交l 于F E ,，分别交CD ，AB 于N M ,.过O 作l PQ ⊥，分别交CD AB ,于Q P ,.由于O 是BD 的中点，所以Q P ,分别是DM BN ,的中点.由对称性，易见所求旋转体体积为)(2l NPQD l ADN l ABCD V V V V --∆-+==平行四边形平行四边形.由于2324===AD BD AB ，，，易见οο3090=∠=∠DBA ADB ，，73422=+=+=DO AD AO ，72=AC .显然CAB DCA DAC ∠=∠>∠，FNDF >.且21727322==⨯==∆AO DO AD AO S DF ADO ，74716712422==-=-=DF AD AF .从而由圆锥体积公式得 ππππ749167716747123312==⨯⨯=⨯⨯⨯==-∆-∆AF DF V V l ADF l ADN . 又71074147472=-=-=-=AF AC CF ，7==AO CO ，QO DF CO CF ::=， 215171021727=÷⨯=⨯=CF DF CO QO .从而由圆锥体积公式得ππππ71225657122534310007)2574940(7)72521710712(3=-⨯=-=⨯-⨯=.从而17573021225105772)12256574916(72)7122565774916(2πππππ=⨯=+=+=V . 答：所求体积为1757302π：第13题解答过程解：I ）可设l ：4+=my x ，与Γ联立得03624)43(22=+++my y m . 这是y 的一元二次方程，由判别式0≥∆解得42≥m .记）（11,y x A ，）（22,y x B ，则 4324221+-=+m m y y ，4336221+=m y y . 由题设条件，02121<+=⋅y y x x ，即0)4)(4(2121<+++y y my my ，得 016)(4)1(21212<++++y y m y y m ，即016432444336)1(222<++-⋅++⋅+m mm m m ，即 0)43(424)1(9222<++-+m m m .得02532<+-m ， 3252>m ， 253)1(2<m ，5353<<-m . 故l 的斜率的取值范围为)53,53(-. 因为F (1,0),所以）（111,1y x FA --=，）（22,1y x FB -=，从而 04324343362)(32222121=+-⋅++⋅=++=m mm m y y y my . ∴1FA 与共线， 即1A 与F 、B 三点共线.III ）假设4≠q ，过)0,(q Q 的直线与Γ交于A 、B ，且A 关于长轴的对称点为1A ，如果1A 、F 、B 三点共线.我们另取点)0,4(P .设直线AP 与Γ交于1B ，那么如II ）的证明，1A 、F 、B 三点必共线.故B 与1B 重合，从而直线AB 和1AB 重合，就是AQ 与AP 重合.所以P与Q 重合，4=q ，与假设矛盾.这就是说，4≠q 时，三点1A 、F 、B 不能共线. 第14题解答过程 14.解：n n n n n x x x x x 1212121+=+=+， 22211441nn n x x x ++=+，)1(4112221+=-+n nn x x x ，Λ3,2,1=n . 故∑∑==++=-20061220061221)1(4)11(n n n nn x x x，亦即80244112006122122007∑=+=-n n x x x ， 由11=x 得80254120061222007∑=+=n n x x . （*）由于112121<+=+n n n x x x ，,,3,2,1Λ=n 且显然0>n x ，故{}n x 是递减数列，且 31122112=+=x x x ，11319231122223=+=+=x x x ， 故∑∑==++=2006322200612)31(1n n n nx x15120041219911)113(911200632<⨯++=++<∑=n ，由（*）式得 8629802515141802522007=+⨯<<x ，,802518629122007<<x 80251lglg 86291lg 22007<<x ， 8025lg lg 28629lg 2007-<<-x ，3lg 242007-<<-x ，23lg 22007-<<-x ，∴⎣⎦2lg 2007-==x k .第15题解答过程证明：因为△ABC 是锐角三角形，其三边c b a ,,满足0,,>c b a ，以及222222222,,,,,c b a b a c a c b c b a b a c b c b >+>+>+>+>+>+. 因此，由平均不等式可知)()(21)()(21)()(21222222222222222222222222xy y x z c b a z x x z y b a c y z z y x a c b +-+++-+++-+≤ 222222222222zy x c y x z b x z y a ++=)(2)(2222abz cay bcx z cxy y bzx x ayz ++-++=， 从而22222222222)(])[(])[(])[(P zcxy y bzx x ayz z c b a y b a c x a c b =++≤-++-++-+， 亦即2)(P S c b a ≤++，cb a P S ++≤2.上式取等式当且仅当222z y x ==，亦即===z y x cb a P++.因此所求的S 的最大值为c b a P ++2，当S 取最大值时，===z y x cb a P++.yyA A 1B 1C 1 DB CDABCD Q M PN OFE（第13题答图） （第10题答图） （第12题答图）2008年安徽高中数学竞赛初赛试题一、选择题1.若函数()y f x =的图象绕原点顺时针旋转2π后，与函数()y g x =的图象重合，则（ ） （A ）()()1g x f x -=- （B ）()()1g x f x -= （C ）()()1g x f x -=--（D ）()()1g x f x -=-2.平面中，到两条相交直线的距离之和为1的点的轨迹为（ ） （A ）椭圆 （B ）双曲线的一部分（C ）抛物线的一部分（D ）矩形3.下列4个数中与cos1cos2cos2008+++o o o L 最接近的是（ ） （A ）-2008 （B ）-1（C ）1（D ）20084.四面体的6个二面角中至多可能有（ ）个钝角。
2007年全国高中数学联赛试题及详细解析
2007年全国高中数学联赛 （考试时间：上午8：00—9：40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为（ ） A. 71 B. 71- C. 21 D. 21-5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（ ）6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。
若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ）A. 62B. 66C. 68D. 74二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (−3，0)，B (1，−1)，C (0，3)，D (−1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。
8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6， 33=CA ，若2=⋅+⋅，则与的夹角的余弦值等于________。
9. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以顶点A 为球心，332为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。
10. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。
若a 1=d ，b 1=d 2，且321232221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于________。
11. 已知函数)4541(2)cos()sin()(≤≤+-=x x πx πx x f ，则f (x )的最小值为________。
12. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）。
安徽省高中数学竞赛初赛试题及答案详解
2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题一.选择题1.如果集合.A B 同时满足{}1.2.3.4A B =U {}1A B =I ,{}{}1,1A B ≠≠就称有序集对(),A B 为“好集对”。
这里的有序集对(),A B 意指当A B ≠，()(),,A B B A 和是不同的集对，那么“好集对”一共有（ ）个。
２.设函数()()lg 101x f x -=+,()()122x x f f --=方程的解为()()()()()2222.log lg21.lg log 101.lg lg21.log log 101A B C D --++ 3.设100101102499500A =L 是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺序排列而成那么A 除以126的余数是()4.在直角ABC V 中,90C ∠=o ,CD 为斜边上的高,D 为垂足.,,1AD a BD b CD a b ===-=.设数列{}k u 的通项为()1221,1,2,3,,kk k k k k u a a b a b b k --=-+-+-=L L 则()5.……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列{}n a ,易见123451,3,7,9,13a a a a a =====L 那么2007____________a =192759.. 55 .. A B C D 2831 95976.设A B ==L L 则():A B =7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有______________种. 8.设2007n ≥,且n为使得nn a =取实数值的最小正整数,则对应此n 的n a 为9.若正整数n 恰好有4个正约数,则称n 为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有_____________________个. 10.平行六面体1111ABCD A B C D -中,顶点A 出发的三条棱1,,AB AD AA 的长度分别为2,3,4,且两两夹角都为60o 那么这个平行六面体的四条对角线1111,,,AC BD DB CA 的长度(按顺序)分别为___________________11.函数()(),f x g x 的迭代的函数定义为()()()()()()()12,,f x f x f x f f x ==L()()()()()()()()()()()()()()()()()1121,,,n n n n f x f f x g x g x g x g g x g x g g x --====L 其中n =2,3,4…设()()23,32f x x g x x =-=+,则方程组()()()()()()()()()()()()969696f x g y f y g z f z g x ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩的解为_________________12.设平行四边形ABCD中，4,2,AB AD BD ===则平行四边形ABCD 绕直线AC 旋转所得的旋转体的体积为_______________三．解答题13.已知椭圆22412:3y x +=Γ和点(),0,Q q 直线,l Q A B Γ过且与交于两点(可以重合). 1)若AOB ∠为钝角或平角(O 为原点),4,q =试确定l 的斜率的取值范围.2)设A 关于长轴的对称点为1A ,,4,F q =为椭圆的右焦点试判断1,A F B 和三点是否共线,并说明理由.3)问题2)中,若14,,,q A F B ≠那么三点能否共线请说明理由. 14.数列{}n x 由下式确定:112,1,2,3,,121nn n x x n x x +===+L ,试求[]20072007lg lg .x k x =整数部分(注[]a 表示不大于a 的最大整数,即a 的整数部分.)15.设给定的锐角ABC V 的三边长,,,,,a b c x y z 正实数满足,ayz bzx cxyp x y z++=其中p 为给定的正实数,试求()()()222s b c a x c a b y a b c z =+-++-++-的最大值,并求出当s 取此最大值时,,,x y z 的取值.2007年安徽省高中数学竞赛初赛答案一、 选择题A.3.C.4.A.第1题解答过程逐个元素考虑归属的选择. 元素1必须同时属于A 和B .元素2必须至少属于A 、B 中之一个，但不能同时属于A 和B ，有2种选择：属于A 但不属于B ，属于B 但不属于A .同理，元素3和4也有2种选择.但元素2，3，4不能同时不属于A ，也不能同时不属于B .所以4个元素满足条件的选择共有62222=-⨯⨯种.换句话说，“好集对”一共有6个.答：C.第2题解答过程令)110lg(+=-x y ，则0>y ，且y x 10110=+-，11010-=-y x ，)110lg(-=-y x ，)110lg(--=y x .从而)110lg()(1--=-x x f.令t x =2，则题设方程为)()(1t ft f -=-，即)110lg()110lg(--=+t t ，故0)]110)(110lg[(=-+t t ，1)110)(110(=-+t t ，2102=t ，2lg 2=t ，解得2lg 212==t x .从而1)2(lg log )2lg 21(log 22-==x .答：A. 第3解答过程注意972126⨯⨯=,2,7和9两两互质.因为0≡A （mod2）, 500102101100++++≡Λ2401500100÷⨯+≡）（6120300≡≡（mod9）, 所以6≡A （mod18）.（1） 又因为1103-≡，nn)1(103-≡（mod7）,所以ii i A 3400010)500(⨯-=∑=ii i ）（1)500(4000-⨯-≡∑=100)101102()495496()497498()499500(+-++-+-+-≡Λ6300≡=（mod7）.(2)，（1），（2）两式以及7和18互质，知6≡A （mod126）.答：C.另解：632126⨯=，99999963，1109999996-=，）（）（11011066--n ，Λ,3,2,1=n 所以499500104974981010310410101102101006118811941200+⨯++⨯+⨯+⨯=ΛA60060300999999+=B 60360999999+=C ，其中B ，C 为整数.从而6036063+=D A 663+=E ，其中D ，E 为整数.所以A 除以63的余数为6.因为A 是偶数，所以A 除以126的余数也为6.答：C. 第4解答过程易见BD AD CD ⋅=2，即ab b a =-2）（，又已知1=-b a ，故1=ab ，1)1(=-a a ，012=--a a ；1)1(=+b b ，012=++b b .显然k u 是首项为k a ，公比为abq -=的等比数列的前1+k 项和.故ba b a q q a u k k k k k +--=--=+++111)(1)1(，Λ3,2,1=k .即b a b a b a b a u u k k k k k k +--++--=++++++22111)()(])()([11212++++----++=k k k k b b a a ba233])([1+++=--+=k k k u b a ba ，Λ3,2,1=k . 故答案为A.（易知其余答案均不成立）另解：易见BD AD CD ⋅=2，即ab b a =-2）（，又已知1=-b a ，故1=ab ，51414)((222=⨯+=+-=+ab b a b a ），5=+b a .解得215+=a ，215-=b .显然k u 是首项为k a ，公比为abq -=的等比数列的前1+k 项和，故b a b a q q a u k k k k k +--=--=+++111)(1)1(])251()251[(5111++--+=k k ，Λ,3,2,1=k .于是数列{}k u 就是斐波那契数列1，2，3，5，8，13，21，…，它满足递推关系,12k k k u u u +=++Λ,3,2,1=k .所以答案为A. 第5题解答过程{}n a 可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能被2，5或11整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.由三阶容斥原理，1，2，3，4，…，m 中不能被2，5或11整除的项的个数为⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-=1101022551152m m m m m m m m x m ， 其中⎣⎦a 不表示不大于a 的最大整数，即a 的整数部分.估值：设11010225511522007m m m m m m m m x m -+++---≈=)1111)(511)(211(---⨯=m 11105421⨯⨯⨯=m m 114=，故55194112007≈⨯≈m . 又因⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-=1105519105519225519555519115519555192551955195519x=5519-2759-1103-501+100+250+551-50=2007， 并且5519不是2，5，11的倍数，从而知55192007=a .答：B.又解：{}n a 可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能被2，5或11整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.因为2，5，11是质数，它们的最小公倍数为110.易见，-54，-53，…，0，1，2，3，…，55中不能被2，5，11整除的数为，，；，，，17139731±±±±±±，；2119±±；，，292723±±±，，，；，，474341393731±±±±±±535149±±±，；,共40个.（或由欧拉公式，1，2，3，…，110中不能被2，5，11整除的数的个数，等于1，2，3，…，110中与110互质的数的个数，等于401111511211110110=-⨯-⨯-⨯=∅）（）（）（）（.） 显然1，2，3，…中每连续110个整数，不能被2，5，11整除的数都有40个.所以，1，2，3，…，550050110=⨯中，不能被2，5，11整除的数有20005040=⨯个.大于5500中的数不能被2，5，11整除的，是5500+1，5500+3，5500+7，5500+9，5500+13，5500+17，5500+19，….所以5519是第2007个不能被2，5，11整除的数，亦即所求的55192007=a .答：B. 第6题解答过程显然287cos 127cos 123cos 12οοοΛ++++++=AοοοοΛ5.43cos 5.5cos 5.3cos 5.1cos ++++=； οοοοΛ5.43sin 5.5sin 5.3sin 5.1sin ++++=.注意到)1sin()1sin(1sin cos 2οοο--+=θθθ，)1cos()1cos(1sin sin 2οοο+--=θθθ,所以)5.42sin 5.44(sin οο-+οοοο22sin 5.22cos 25.0sin 5.44sin =-=， )5.44cos 5.42(cos οο-+οοοο22sin 5.22sin 25.44cos 5.0cos =-=.故οοοοοοο5.22cot )22sin 5.22sin 2(:)22sin 5.22cos 2()21sin 2(:)21sin 2(:==⨯⨯=B A B A12+=.答：D.另解：2A 00005.43cos 5.5cos 5.3cos 5.1cos +++++=Λ，2B οοοοΛ5.43sin 5.5sin 5.3sin 5.1sin ++++=，=)5.22sin 5.22(cos 1sin 22sin οοοοi +. 因为2A 和2B是实数，所以οοο1sin 5.22cos 22sin 2=A ，οοο1sin 5.22sin 22sin 2=B , 122222222145sin 45cos 15.22cos 5.22sin 25.22cos 25.22sin 5.22cos 2:2:2+=+=+=+====οοοοοοοB A B A . 答：D.第7解答过程解：设△ABC 三边长c b a ,,为整数，c b a c b a c b a ,,,,60≥≥=++成等差数列，A ∠为钝角，则必有c a b +=2，222a c b <+.易解得b b b c a b c b a 32)(60=+=++=++=，40,20=+=c a b ；222c a b -<))((c a c a -+=，即c a c a -<-<10),(40202.因此a a c a c a <=-++<25,2)()(50，即26≥a .另外，29,30,260,≤<=+>++=>+a a a a a c b a a c b .易检验),,(c b a)11,20,29(),12,20,28(),13,20,27(),14,20,26(=都是钝角三角形.答：4.第8题解答过程注意到22-=x ，22+=y 满足4)22()22(22=++-=+y x ，0,>y x ，故可令θcos 2=x ，θsin 2=y ，0＜θ＜2π.从而22cos 42-=θ，-2cos 422-=θ，-θπθ2cos 43cos 1cos 2222==-=，故83πθ=，83cos )83sin 83(cos πππn i a n n =+=+ 83sinπn i .n a 取实数，当且仅当083sin =πn ，当且仅当k n 8=，∈k Z.满足此条件且2007≥n 的最小正整数n 为2008，此时1753cos 820083cos 2008-====ππx a a n .答：-1.第9题解答过程 易见奇异数有两类：第一类是质数的立方3p （p 是质数）；第二类是两个不同质数的乘积21p p （21,p p 为不同的质数）.由定义可得3327=是奇异数（第一类）；73242⨯⨯=不是奇异数；23369⨯=是奇异数（第二类）； 373111⨯=是奇异数（第二类）；35125=是奇异数（第一类）；137是质数，不是奇异数；37343=是奇异数（第一类）；221301900899-=-=）（130+=2931130⨯=-）（是奇异数（第二类）； ）（16016013600359922+=-=-=5961160⨯=-）（是奇异数（第二类）； 42119)12020)(120(120180007999233⨯=++-=-=-=是奇异数（第二类）.答：8. 第10解答过程解：将向量1AA ，，分别记为，，.2==a 3==b 4==c ，且易见AC ++=1，A ++-=1，BD +-=1，DB -+=1.所以)(2)(2222⋅+⋅+⋅+++=++=244332432222⨯+⨯+⨯+++==55，故551=AC .类似地，可算得，191=BD ，151=DB ，271=CA =33. 答：55，19，15，33. 第11题解答过程令t x =-3，易见3+=t x ，323)3(232)(+=-+=-=t t x x f ，)32(2)()2(+=t x f 3-32)(,,32)(2+=+=t x f t n n Λ；令s y =+1，易见1-=s y ，2)1(323)(+-=+=s y y g 13-=s ，Λ,132)13(3)(2)2(-=+-=s s y g ，13)()(-=s y g n n ，Λ,3,2,1=n .因此，题设方程组可化为（1）-（2），（2）-（3），（3）-（1）得所以)()23()()23()(2339629696y x x z z y y x -=-=-=-⇒00=-⇒=-z y y x z y x ==⇒.代入（1）得1)1(33)3(269-+=+-x x ，1)1(7293)3(512-+=+-x x ，7287291533512+=-x x ，2261217=-x ,32331=-x ,31323-=x . 所以原方程组的解为31323-===z y x .答：31323-===z y x .第12题解答过程.以l T V -表示平面图形T 绕直线l 所得旋转体体积.记直线AC 为l ，作l DN BM ⊥,，交l 于F E ,，分别交CD ，AB 于N M ,.过O 作l PQ ⊥，分别交CD AB ,于Q P ,.由于O 是BD 的中点，所以Q P ,分别是DM BN ,的中点.由对称性，易见所求旋转体体积为)(2l NPQD l ADN l ABCD V V V V --∆-+==平行四边形平行四边形.由于2324===AD BD AB ，，，易见οο3090=∠=∠DBA ADB ，，73422=+=+=DO AD AO ，72=AC .显然CAB DCA DAC ∠=∠>∠，FN DF >.且21727322==⨯==∆AO DO AD AO S DF ADO ，74716712422==-=-=DF AD AF .从而由圆锥体积公式得ππππ749167716747123312==⨯⨯=⨯⨯⨯==-∆-∆AF DF V V l ADF l ADN .又71074147472=-=-=-=AF AC CF ，7==AO CO ，QO DF CO CF ::=，215171021727=÷⨯=⨯=CF DF CO QO .从而由圆锥体积公式得 ππππ71225657122534310007)2574940(7)72521710712(3=-⨯=-=⨯-⨯=.从而17573021225105772)12256574916(72)7122565774916(2πππππ=⨯=+=+=V . 答：所求体积为1757302π： 第13题解答过程解：I ）可设l ：4+=my x ，与Γ联立得03624)43(22=+++my y m .这是 y 的一元二次方程，由判别式0≥∆解得42≥m .记）（11,y x A ，）（22,y x B ，则4324221+-=+m m y y ，4336221+=m y y . 由题设条件，02121<+=⋅y y x x ，即0)4)(4(2121<+++y y my my ， 得016)(4)1(21212<++++y y m y y m ，即016432444336)1(222<++-⋅++⋅+m mm m m ， 即0)43(424)1(9222<++-+m m m .得02532<+-m ，3252>m ，253)1(2<m ，5353<<-m . 故l 的斜率的取值范围为)53,53(-. 因为F (1,0),所以）（111,1y x --=，）（22,1y x -=，从而 04324343362)(32222121=+-⋅++⋅=++=m mm m y y y my .∴1FA 与FB 共线，即1A 与F 、B 三点共线.III ）假设4≠q ，过)0,(q Q 的直线与Γ交于A 、B ，且A 关于长轴的对称点为1A ，如果1A 、F 、B 三点共线.我们另取点)0,4(P .设直线AP 与Γ交于1B ，那么如II ）的证明，1A 、F 、B 三点必共线.故B 与1B 重合，从而直线AB 和1AB 重合，就是AQ 与AP 重合.所以P 与Q 重合，4=q ，与假设矛盾.这就是说，4≠q 时，三点1A 、F 、B 不能共线. 第14题解答过程 14.解：n n n n n x x x x x 1212121+=+=+，22211441nn n x x x ++=+，)1(4112221+=-+n nn x x x ，Λ3,2,1=n . 故∑∑==++=-20061220061221)1(4)11(n n n nn x x x，亦即80244112006122122007∑=+=-n n x x x ， 由11=x 得80254120061222007∑=+=n n x x .（*）由于112121<+=+n n n x x x ，,,3,2,1Λ=n 且显然0>n x ，故{}n x 是递减数列，且 31122112=+=x x x ，11319231122223=+=+=x x x ， 故∑∑==++=2006322200612)31(1n n n nx x 15120041219911)113(911200632<⨯++=++<∑=n ，由（*）式得8629802515141802522007=+⨯<<x ，,802518629122007<<x 80251lglg 86291lg 22007<<x ， 8025lg lg 28629lg 2007-<<-x ，3lg 242007-<<-x ，23lg 22007-<<-x ，∴⎣⎦2lg 2007-==x k .第15题解答过程证明：因为△ABC 是锐角三角形，其三边c b a ,,满足0,,>c b a ，以及222222222,,,,,c b a b a c a c b c b a b a c b c b >+>+>+>+>+>+.因此，由平均不等式可知)()(21)()(21)()(21222222222222222222222222xy y x z c b a z x x z y b a c y z z y x a c b +-+++-+++-+≤222222222222zy x c y x z b x z y a ++=)(2)(2222abz cay bcx z cxy y bzx x ayz ++-++=， 从而22222222222)(])[(])[(])[(P zcxy y bzx x ayz z c b a y b a c x a c b =++≤-++-++-+， 亦即2)(P S c b a ≤++，cb a P S ++≤2.上式取等式当且仅当222z y x ==，亦即===z y x cb a P++.因此所求的S 的最大值为c b a P ++2，当S 取最大值时，===z y x cb a P++.（第13题答图）（第10题答图）（第12题答图）2008年安徽高中数学竞赛初赛试题一、选择题1.若函数()y f x =的图象绕原点顺时针旋转2π后，与函数()y g x =的图象重合，则（） （A ）()()1g x f x -=- （B ）()()1g x f x -= （C ）()()1g x f x -=--（D ）()()1g x f x -=-2.平面中，到两条相交直线的距离之和为1的点的轨迹为（）（A ）椭圆 （B ）双曲线的一部分 （C ）抛物线的一部分 （D ）矩形 3.下列4个数中与cos1cos2cos2008+++o o o L 最接近的是（） （A ）-2008 （B ）-1 （C ）1 （D ）2008 4.四面体的6个二面角中至多可能有（）个钝角。
2007年全国高中数学联赛试题及解答
2 3 9．已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，以顶点 A 为球心， 为半径作一个球，则球面与正方 3 体的表面相交所得到的曲线的长等于 ． 10．已知等差数列{an}的公差 d 不为 0，等比数列{bn}的公比 q 是小于 1 的正有理数．若 a1＝d，b1＝d2， 2 2 a2 1＋a2＋a3 且 是正整数，则 q 等于 ． b1＋b2＋b3
2007 年全国高中数学联赛试卷
2007．10．18．
2007 年全国高中数学联赛一试试卷
(考试时间：10 月 14 日上午 8∶00——9∶40)
一、选择题(本题江分 36 分，每小题 6 分)： 1．如图，在正四棱锥 P－ABCD 中，∠APC＝60° ，则二面角 A－PB－C 的平 面角的余弦值为 A． 1 7 B．－ 1 7 C．
2007 年全国高中数学联赛试卷
2007．10．18．
2007 年全国高中数学联赛一试解答
(考试时间：10 月 14 日上午 8∶00——9∶40)
一、选择题(本题江分 36 分，每小题 6 分)： 1．如图，在正四棱锥 P－ABCD 中，∠APC＝60° ，则二面角 A－PB－C 的平面角的余弦值为 A． 1 7 B．－ 1 7 C． 1 2 D．－ 1 2
A．
B．
C．
D．
选 A． 解：设⊙O1、⊙O2 半径分别为 R、r(不妨设 R≥r＞0)，|O1O2|＝d． 若两圆内含，d＜R－r，则⊙P 与两圆都内切或与小圆外切与大圆内切，所求轨迹为两个以两圆圆心为 焦点的椭圆，当两圆圆心重合时，轨迹为圆；故 C 可以是动圆圆心轨迹； 当两圆外离， d＞R＋r， 若 R＞r， 动圆与两圆都外切或都内切， 所求轨迹为以两圆圆心为焦点的双曲线； 与一圆内切与另一圆外切时， 轨迹也为以两圆圆心为焦点的双曲线， 故 D 可以是动圆圆心轨迹； 当 R＝r 时， 与两圆都外切或都内切的动圆圆心轨迹为两圆圆心连线的中垂线，与一圆内切与另一圆外切时，轨迹为以 两圆圆心为焦点的双曲线，故 B 可以是动圆圆心轨迹． A 中的椭圆与双曲线焦点不同，从而没有动圆圆心轨迹为 A 中情形． 事实上，当两圆相交时，若 R＞r，动圆与两圆同时外切或内切，所求轨迹为以两圆圆心为焦点的双曲 线，与一圆内切与另一圆外切，轨迹为椭圆，但双曲线与椭圆的焦点相同；若 R＝r，则轨迹为椭圆及一条 直线．当两圆内切时，所求轨迹为一个以两圆圆心为焦点的椭圆与经过两圆圆心的直线；当两圆外切时， 若 R＞r，动圆与两圆都外切或都内切，所求轨迹为一个以两圆圆心为焦点的双曲线，与一圆外切与另一圆 内切，轨迹为经过两圆圆心的直线；若 R＝r，轨迹为两条直线；即 A 不能成为动圆圆心轨迹． 6．已知 A 与 B 是集合{1，2，3，„，100}的两个子集，满足：A 与 B 的元素个数相同，且 A∩B 为空 集．若 n∈A 时，总有 2n＋2∈B，则集合 A∪B 的元素个数最多为 A．62 B．66 C．68 D．74 选 B． 解：由 2n＋2≤100，知 n≤49．即若 n∈A，则 n≤49． 把不超过 49 的数分组：{2k－1，4k}(k＝1，2，„，12 其中 2(2k－1)＋2＝4k≤50)，(12 组，24 个数) {2k－1}(k＝13，14，„，25 其中 50≤4k≤100)，(13 组，13 个数) {2，6}，{10，22}，{14，30}，{18，38} (余下 4k－2 型数，配对 4 组，8 个数) {26}，{34}，{42}，{46}(4 组，4 个数) 共有 33 组，若 A 在小于 49 的正整数中取出的数超过 34 个，则必有两个数同组，此时 A∩B≠．故 n ≤33．又取 A＝{2k－1|k∈N*，k≤25}∪{2，10，14，18，26，34，42，46}，B＝{2n＋2|n∈A}，满足题意， 此时|A∪B|＝66． 二、填空题(本题满分 54 分，每小题 9 分) 7．在平面直角坐标系内，有四个定点 A(－3，0)，B(1，－1)，C(0，3)，D(－1， y 3)及一个动点 P，则|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|的最小值为 ． 填 3 2＋2 5． 解：显然，如图可知，|PA|＋|PC|≥|AC|，|PB|＋|PD|≥|BD|，于是|PA|＋|PB|＋|PC| ＋|PD|≥|AC|＋|BD|＝3 2＋2 5． → → 8． 在∆ABC 和∆AEF 中， B 是 EF 中点， AB＝EF＝1， BC＝6， CA＝ 33， 若 AB · AE
2007年全国高中数学联赛及山东省数学竞赛
2007年全国高中数学联赛及山东省数学竞赛济南赛区通报2007年全国高中数学联赛预赛和决赛已分别于2007年9月16日上午和2007年10月14日上午分别进行.我市有11081人参加了预赛,有227人参加了决赛.在此次竞赛中，我市选手取得了十分优异成绩,获全国一等奖人数和全国一、二、三等奖人数均列全省各参赛单位前列,其中全省获全国一等奖的43人中就有我市的15人，达到全省的近30%.有4人进入全国冬令营，达到最高水平，现将此次竞赛的情况通报如下：一、全国奖(共63人)1.全国一等奖共15人韦东奕(240分,山师附中) 王颖婓（206分，实验中学）安传恺(201分,山师附中)王储(190分,实验中学) 刘青阳 (177分, 山师附中) 鲁悦(172分,山师附中)冯龙(152分,实验中学) 禹泽西(150分, 实验中学) 方延博(150分,实验中学)路若洲(143分,实验中学) 刘宁(141分, 实验中学) 高茉人(130分,实验中学)楚天翔(124分,实验中学) 孙晨正(123分, 山师附中) 姜晖(122分,山师附中)2.全国二等奖共 27人梅潇(119分, 实验中学) 隋春宁（117分，山师附中）贺兆印（116分，历城一中）丁寰宇（114分,实验中学）刘光强（110分，山师附中）王哲（110分,实验中学）王振中(105分,山师附中) 徐硕（105分，实验中学）申晓斌（104分，实验中学）丛亚（103分，实验中学）李凤麟 (103分,山师附中) 曲焜 (101分, 实验中学)宋超逸(101分, 实验中学) 窦欣元(101分, 实验中学) 韩谡越（ 99分，章丘四中）牟象禹（97分，山师附中）胡颖凯（96分，山师附中）马万里 ( 94分, 实验中学)王飞（94分，山师附中）孔陆洋（94分，山师附中）孟庆迪 ( 93分, 实验中学)丁晋（93分，实验中学）翟晓辉（138分，山师附中）张赛峥（92分，实验中学）顾然（92分，山师附中）刘筱宁（92分，外语学校）杨晓婉（92分，实验中学）3.全国三等奖共 21人孙振宇（91分，实验中学）陈邦锐（91分，实验中学）王越（91分，实验中学）李鑫业（89分，山师附中）秦立煜（88分，实验中学）刘毅（87分，实验中学）岑昊（86分，山师附中）栾义龙 (86分, 实验中学) 石敬玉（86分，章丘四中）张天宇（86分，实验中学）姜怡然（86分，山师附中）吕林超（85分，实验中学）陈诚（85分，济南中学）孙染（84分，实验中学）王元（84分，实验中学）张棋（84分，山师附中）郝克（83分，外语学校）黄杨（83分，山师附中）王雨（82分，外语学校）王梁（82分，实验中学）杨云钊（81分，山师附中）二、此次竞赛的预赛也是山东省数学竞赛,根据竞赛成绩,学生获奖情况如下:（注：根据济南市数学竞委会规定，获全国二等奖以上不在给予省级奖励）1.省一等奖共158人（排名不分先后）实验中学（6人）：夏靓116分王晓熙113分王冬雨111分刘毅110分钟睿106分梁健102分，山师附中（9人）：董跃振111分刘苏方108分李鑫业102分曲士眹 99分黄杨 96分韩蕾 94分刘海 93分罗荣钧 90分姜怡然90分济南一中（1 人）：陈双 94分济南二中（ 5人）：宫庆凯 76分于昌灏 70分郭晓宁 64分姜玉玺 63分李祺龙58分济南三中（ 6人）：蒋丽 84分孙新利 71分张虎 67分卫成林 66分商和宁 66分张婷婷 66分济南七中（2人）: 肖玉淼 49分陈晨 45分济南九中（2人）：鞠佳 69分王紫辉 66分济十一中（2人）：李中华 70分王春喜 63分济南52中（1人）：赵芳亮 57分济南中学（13人）：王瑞 90分邹世俊83分外语学校（ 2人）：杨金龙100分郝克 98分英才高中（ 6人）：孟宇 73分张译文 56分王路 54分高建辉50分陈徭 50分济钢中学（ 7人）：李泳江 90分陈琛 88分李霖 85分刘一畅 83分刘梦晨 82分马长琳 81分秦汉唐 79分三职高中（4人）：王阿冉53分李强51分徐桂亮 49分王珂 49分历城区（14人）：历城一中：曹芳106分贺兆印97分胡春晖93分王超 90分陈磊 90分历城二中：李双江102分高昊鸥99分张广乐96分刘红霞95分李延龙 93分历城四中：蔡荣峰 94分刘振83分历城五中：马业兴84分洪楼高中：张金花98分章丘市（32人）：章丘一中：赵蕾蕾87分徐帅 81分刘波80分章丘四中：李喆 140分马宪进104分王增辉97分陈成成96分朱福兴 94分索金召 93分党灿93分柏杨93分许昊93分章丘五中：郭乐田104分田春钊108分李虎100分刘杰100分张方瑞96分韩成龙 90分靳丰晨 89分刘洋槐84分王海景 83分郭红 80分郑伟 80分鲁家刚80分章丘七中：高兵孟娜袭苗苗姜树浩章丘中学：王俊荣99分宁纪森95分宋涛93分甄爱香93分平阴县（ 8人）：张文选119分刘聪102分许昌斌98分孙朝阳96分张明达96分张子键 93分路文高 93分马世杰81分，长清区（16人）：李娇102分安玮100分孟强97分钟涵94分朱有云93分焦裕龙 88分段学苇87分张越86分赵鹏85分朱存良85分段益雪100分张毓胜98分兰英新87分齐本明87分田德洲83分杨洪伟83分商河县（ 4人）：王光龙87分于和善86分李良金85分周祥政83分济阳县（18人）：王钊114分盛华英110分郭富明101分周亚凡 99分胥燕燕 95分菅秀峰 95分冯涛 93分李超119分齐震112分卢乾坤101分李国栋100分韩涛104分闫宁101分李晓阳106分菅庆圣102分崔月 98分霍纯森 96分华震 96分2.省二等奖共202人实验中学（13人）：祁海洋100分秦立煜101分李骥100分韩祥冬100分李文硕98分王越 98分栾义龙 98分李可扬96分孙棋 96分孙振宇96分叶梦醒 96分邹宗航 96分栗榛96分山师附中（13人）：杜宏 87分宋建浩 87分张志浩 86分付强 85分曹旭 85分赵玉祯 84分杨云钊 82分宋晓楠 81分刘青华 79分王聪 79分李丹蕾 78分陈飞 78分刘雯 78分济南二中（9人）：韩长龙 57分李丽丽 57分李征 56分丘化凯 55分姚运华 55分吕诚哲 54分杨霖 54分崔然旭 54分孙波 54分济南三中（4人）：孙志超 64分朱婷婷 60分王振坤 60分龙玉梅60分济南七中（ 3人）：胡勇超 44分崔燕 43分孙彬 43分济南九中（ 3人）：周淑灿 60分隋宏远 60分马宝强60分济十一中（ 2人）：唐智55分宋怀杰 54分济52中（ 2人）：王淑芬 53分朱婷婷53分济南中学（ 3人）：杨晓煜 82分吴凌雪81 分王芯 81分外语学校（ 5人）：万伟 90分宋瑞雪 89分袁心 88分罗丁 85分张庆辰 85分济钢高中（ 9人）：冯博宇 78分赵晓丹 78分朱鑫鹏 77分潘红 76分金岩76分王智飞 75分周婷婷75分李璐 75分宿波75分英才高中（ 8人）：韩晓松 48分肖剑辉 48分赵院 48分张天佑 48分薛桐 48分李晓 47分李晓明 44分苏志勇 44分三职高中（ 4人）：赵殿龙 48分毛文靓 45分季淑玉 45分王梅梅44分历城区（17人）：历城一中：金增奇89分陈荣荣89分柴柏晓87分杨小龙85分张强84分历城二中：颜庆87分杜文帅85分翟凤婷85分靳若安85分杨登平85分历城四中：孙光军64分李明64分钱宇63分历城五中：王兴英78分苏志南78分洪楼高中：赵志勇88分王金振78分章丘市（41人）：章丘一中：孙月红77分蒋全芝75分刘乃龙72分张永亮71分张强70分刘凤翔70分章丘四中：石敬玉92分张学超92分蔡云云92分陈龙桥92分李娜 88分李臣88分陈光鹏88分刘敏87分徐家昌86分董彤阳85分孙广帅85分高云逸85分章丘五中：冯业飞79分张瑞谦79分黄立臣78分胡继伟78分徐昭萌78分孙盟 78分于巍巍78分柳庆娓78分吴鹏77分韩福芸77分范士凯 76分韩春超76分刘延清76分章丘七中：程宗越孟超高玲刘娇龙杨兵贾超章丘中学：张硕90分董晓越90分曹林丽87分侯东明86分巩敏86分李鹏86分平阴县（8人）：乔珂欣91分王文华90分沙宗国90分张德水88分陈涛87分刘德福86分苏本民80分杜言铭75分长清区（26人）：王帅84分杜杰84分李君朋83分王华83分于晓菲82分卢婧82分王岩81分戴伟81分宋丙亮81分庄卫卫81分马晓81分杨仁俊80分韩传刚80分李珊80分邢庆涛80分孟维昌81分周恒80分王斌80分李修源78分孙传海78分段好新77分赵婷婷77分贾丹78分王倩74分蒋艳66分范升涛66分商河县（5人）：展长伟81分卢培义81分王伟81分孙发鲁79分张旭78分济阳县（27人）：罗宾甲 90分牛法富 90分牛佳瑞 90分裴建梁 89分张刚峰 89分李道通 87分艾杰 87分陈新斌 86分孙云飞 86分刘文静 95分王莉 93分刘超 93分杨骁 93分温明强 92分张元炜 91分李振 90分王彬 90分张蕊88分徐春花 88分李凯 88分吴鹏 87分张龙87分秦婷婷 87分张勇87分刘贵奇87分张滨 87分徐囡 87分3.省三等奖218人实验中学（5人）：孙染 95分王梁 95分李翔宇 94分陈邦锐 94分陈茜茜94分山师附中（13人）：杨晓星 76分翟毅 76分冯君淑 77分袁源 76分夏冰 75分孙晴川 75分张河慧 75分王睿 75分崔赛飞 75分陈琛 74分王尧 74分王迪 74分赵越 74分济南一中（ 1人）：李晨光 78分济南二中（5人）：陶然 51分赵元圆 50分孙吉隆 50分王越50分陈安 50分济南三中（ 6人）：崔丙伟 59分王官玲 57分李璐 57分刘海洋 57分商广义 57分杨润蕊56 分济南七中（ 2人）：胡尊飞 42分成龙 42分济南九中（ 5人）：史良 58分王明 58分刘讳58分刘帅帅 57分贾杰 57分济十一中（3人）：董丽君 51分牛邦龙 51分徐永龙 49分济南中学（2人）：陈栋 80分张望80分外语学校（5人）：于东宁 81分欧阳82分李千81分黄一成 81分郦龙 81分钢厂高中（13人）：彭高飞 74分赵冲 74分李辉73分耿浩 72分杨紫娇 71分李延文 71分张楠 72分柴宝臣 72分郭琦 72分林尧 72分刘爽 73分蒋薇 71分徐涛 70分英才高中（ 9人）：王华琳 42分金传铭 42分李超42分陈娜 42分李佳倩42分张鹏 42分王翰林 42分段晨彤42分玉叶 41分三职高中（5人）：付磊 43分于鸿 43分王硕 42分叶鑫42分宋晓艳 42分历城区（20人）：历城一中：王俊国83分刘丹82分张凤82分陈哲81分马超81分历城二中：张良82分韩豹81分杜磊81分李洪燕81分侯程广81分，李敏81分王曰儒81分历城四中：周晓琼59分彭延杰59分韩娟59分历城五中：陈世军76分赵成75分范圣男75分洪楼高中：刘玉娟70分卢长瑞68分章丘市（47人）：章丘一中：韩超69分张帅69分孙秀婷69分郭盼69分丁帅69分李豪杰69分宁建69分章丘四中：董道江84分李广84分马永岩84分鹿苗苗84分陈慧颖84分赵春雷84分程彬84分卢国华84分张晓彤84分韩继雷84分韩慧梅83分宁超众83分吕素华82章丘五中：王福荣75分牛凯峰75分韩强75分吕晓萌75分王沛阳75分孙方杰75分李中雨75分宋梅玲75分杨志敏75分李杰74分张运涛74分黄文娟74分郑兴花74分闫广霞74分冯业芝74分章丘七中：赵静刘群陈样高娟柏文王瑶章丘中学：党义鹏85分彭绍辉85分赵静84分郭嘉宾81分李跃81分刘元康80分平阴县（13人）：杨其资84分李霞84分丁姗姗84分李浩84分白哲84分刘兵83分高璇82分陈阳82分王蒙82分刘涛82分吴庆存82分王超82分王龙江72分长清区（28人）：于海龙78分苏军78分张晓旭78分刘天燕78分庄庆鹏78分田娜78分邵继美78分刘文雪78分李柱杰77分王佳77分韩聪77分李照垒76分张伟76分张其昌76分孔令燕76分杨崭76分薛德宝74分王东东74分李婷婷74分刘东73分孟凡荣73分赵双73分李善刚73分韩胜涛73分王元腾69分柴茂青72分张双双63分赵玉芹63分商河县（6人）：金冉78分芮法莹77分车召堂75分赵富燕75分赵华安75分徐超74分济阳县（30人）：王闯 85分高迪 85分呼燕 85分周讯 85分李三九 84分徐小青 84分孙志凌 84分李方吉 84分杜学知 84分王浩 84分刘志远 84分刘喆 84分袁新超 84分姚麒麟86分高帅 86分张强 86分杨吉伟 86分高扬 86分张震 84分高翠萍 85分王忠华 84分张传凯 84分朱学亮84分高荣祥 84分张红梅84分江继宽 84分李连玉84分陈国良84分常超 84分刘非84分注: 1.获山东省一、二、三等奖的学生如获全国奖的奖次高于或等于省奖,则不再发省奖。
2007年高考理科数学试题及参考答案(安徽卷)
高中数学考试1：不等式203x x ->+的解集是（）(A)(-3,2) (B)(2,+∞) (C) (-∞,-3)∪(2,+∞) (D) (-∞,-2)∪(3,+∞) :2：不等式252(1)x x +-≥的解集是（） A ．132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， C ．(]11132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，， D ．(]11132⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，， 3：若x ，y 是正数，则22)21()21(xy yx +++的最小值是（）A ．3B ．27C ．4D ．294：6.已知a 、b 均为正数，且a+b=1，则ba +的最大值为( )A.22B.2C.2D.45：2.设a 、b ∈R ，且a ≠b, a+b=2，则必有( )A.2122ba ab +≤≤B.2122ba ab +<< C.1222<+<ba ab D.1222<<+ab ba6：在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为（）7. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为( )A 33C 2338:已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为A B C △的中心，则1A B 与底面ABC 所成角的正弦值等于（）A ．13B ．3C ．3D ．239:已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为()33(C)310:如果数列{}n a是等差数列，则()(A)1845a a a a +=+(B)1845a a a a +<+ (C)1845a a a a +>+ (D)1845a a a a =11:在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，首项a 1=3，前三项和为21，则a 3+ a 4+ a 5=( ) ( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )18912:设等差数列{}n a 的公差为d ，如果它的前n 项和Sn=－n 2，那么 （ ）A 、2,12-=-=d n a nB 、2,12=-=d n a nC 、 2,12-=+-=d n a nD 、2,12=+-=d n a n13. 直三棱柱111A B C A B C -的各顶点都在同一球面上，若12A B A C A A ===, 120B A C ∠=︒，则此球的表面积等于。
2007年全国高中数学联赛圆满结束
2007年全国高中数学联赛圆满结束
随着中国数学会专家组于2007年11月16至19日在天津复评工作的结束，由我会负责承办的2007年全国高中数学联赛的各项组织工作圆满结束。
全国高中数学联赛是中国科协主管、中国数学会主办的面向高中生的系列数学竞赛活动的“第一站”。
从这项赛事中产生的来自各省、市、自治区的近200名选手将于2008年1
月中旬参加2008中国数学奥林匹克（第23届全国中学生数学冬令营），继而形成国家集训队和国家队，于明年7月前往西班牙参加第49届国际数学奥林匹克。
天津数学会是2006年暑期接到中国数学会的委托来组织这个活动的。
从发出正式通知，到组织命题班子，从确定题目、印制试卷、寄发试题，到最后的复评工作会议，在一年多的活动组织工作中，我们得到了方方面面的帮助与支持，特别是几位参与命题和阅卷的老师和中国数学会专家组成员。
今年的“全国高中数学联赛”共评出“赛区一等奖”近1200名。
根据教育部的规定，高中阶段获得“全国高中数学联赛省级赛区一等奖”的应届高中毕业生具有保送生资格，可以免试进入大学；也可以选择参加高考，在高考成绩的基础上适当增加分数投档。
（天津市数学会供稿）。
2007数学初赛试卷(正式稿)
2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷三题 号 一 二 总 成 绩13 14 15 16得 分评 卷 人复 核 人考生注意：1.本试卷共三大题（16小题），全卷满分150分. 考试时间：120分钟.2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答.3.解题书写不要超出装订线.4.不能使用计算器.一、选择题（本题满分36分，每小题6分）得 分 评卷人 本题共有6小题，每题均给出A 、B 、C 、D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的. 请将正确答案的代表字母填 在题的括号内. 每小题选对得6分；不选、选错或选出的 字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分. 1. 已知函数2sin y x =，则 答：[ ] （A ）有最小正周期2π （B ）有最小正周期π （C ）有最小正周期2π（D ）无最小周期 2. 关于x 的不等式22200x ax a --<任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值 的和是 答：[ ] （A ） 2 （B ） 1 （C ） 0 （D ） 1-3. 已知向量a 、b ，设AB =a 2+b ，5BC =-a 6+b ，7CD =a 2-b ，则一定共线的三点是 答：[ ]（A ） A 、B 、D （B ） A 、B 、C （C ） B 、C 、D （D ） A 、C 、D2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷第1页（共6页）4. 设α、β、γ为平面，m 、n 为直线，则m β⊥的一个充分条件是 答：[ ] （A ）αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ （B ）m αγ=，αγ⊥，βγ⊥（C ）αβ⊥，βγ⊥，m α⊥ （D ）n α⊥，n β⊥，m α⊥5. 若m 、{}22101010n x x a a a ∈=⨯+⨯+，其中{}1234567i a ∈，，，，，，，012i =，，，并且 636m n +=，则实数对(,)m n 表示平面上不同点的个数为 答：[ ]（A ）60个 （B ）70个 （C ）90个 （D ）120个 6. 已知()122007122007f x x x x x x x =+++++++-+-++-（x ∈R ）， 且2(32)(1),f a a f a -+=- 则a 的值有 答：[ ] （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）无数个二、填空题（本题满分54分，每小题9分）得 分 评卷人本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上.7. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差为 .8. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点 (28)，，则a b +等于 .9. 已知函数()y f x =的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 .20072页（共6页）10.30x y -+=的离心率是 .11. 在ABC ∆中，已知tan B =sin C =AC =ABC ∆的面积为 .12. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（本题满分60分，共4小题，每题各15分）得 分 评卷人13. 设不等式组 00x y x y +>⎧⎨-<⎩，表示的平面区域为D . 区域D 内的动点P 到直线0x y +=和直线0x y -=的距离之积为2. 记点P 的轨迹为曲线C . 过点F 的直线l 与 曲线C 交于A 、B 两点. 若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，求直线l 的斜率.2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷第3页（共6页）14. 如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，面11AAC C 是菱形，160ACC ∠=︒，侧面11ABB A ⊥11AAC C ，11A B AB AC ===. 求证：（1）1AA ⊥1BC ；（2）求点1A 到平面ABC 的距离. 2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷第4页（共6页）B 1B A 1C 1AC15. 已知数列{}n a 中，11a =，33n n a a +≤+，22n n a a +≥+. 求2007a .2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷第5页（共6页）16.已知平面上10个圆，任意两个都相交. 是否存在直线l，与每个圆都有公共点？证明你的结论.2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷第6页（共6页）2007年江苏省高中数学联赛初赛 试题参考答案及评分标准一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．已知函数2sin y x =，则（ B ）.（A ） 有最小正周期为π2 （B ） 有最小正周期为π （C ） 有最小正周期为2π（D ） 无最小正周期 解：)2cos 1(21sin 2x x y -==，则最小正周期π=T . 故选（B ）． 2．关于x 的不等式02022<--a ax x 任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值 的和是（ C ）. （A ） 2 （B ） 1 （C ） 0 （D ） 1-解：方程02022=--a ax x 的两根是14x a =-，25x a =，则由关于x 的不等式22200x ax a --<任意两个解的差不超过9，得9|9|||21≤=-a x x ，即11≤≤-a . 故选（C ）．3. 已知向量a 、b ，设AB =a 2+b ，5BC =-a 6+b ，7CD =a 2-b ，则一定共线 的三点是（ A ）.（A ）A 、B 、D （B ）A 、B 、C （C ）B 、C 、D （D ）A 、C 、D 解：2BD BC CD =+=a 4+b 2AB =，所以A 、B 、D 三点共线. 故选（A ）． 4．设α、β、γ为平面，m 、n 为直线，则m β⊥的一个充分条件是（ D ）. （A ）αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ （B ）m αγ=，αγ⊥，βγ⊥（C ）αβ⊥，βγ⊥，m α⊥ （D ）n α⊥，n β⊥，m α⊥解：（A ）选项缺少条件m α⊂；（B ）选项当//αβ，βγ⊥时，//m β；（C ）选项当 α、β、γ两两垂直（看着你现在所在房间的天花板上的墙角），m βγ=时，m β⊂； （D ）选项同时垂直于同一条直线的两个平面平行．本选项为真命题. 故选（D ）．5. 若m 、{}22101010n x x a a a ∈=⨯+⨯+，其中{}1234567i a ∈，，，，，，，012i =，，，并且 636m n +=，则实数对(,)m n 表示平面上不同点的个数为（ C ）（A ）60个 （B ）70个 （C ）90个 （D ）120个解：由6514233=+=+=+及题设知，个位数字的选择有5种. 因为321=+=7610=+-，故（1） 由321=+知，首位数字的可能选择有2510⨯=种；（2） 由37610=+-及54123=+=+知，首位数字的可能选择有248⨯=种. 于是，符合题设的不同点的个数为5(108)90⨯+=种. 故选（C ）． 6．已知()122007122007f x x x x x x x =+++++++-+-++-（x ∈R ）， 且2(32)(1),f a a f a -+=- 则a 的值有（ D ）. （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）无数个 解：由题设知()f x 为偶函数，则考虑在11≤≤-x 时，恒有 ()2(1232007)20082007f x =⨯++++=⨯．所以当21321a a -≤-+≤，且111a -≤-≤时，恒有2(32)(1)f a a fa -+=-．由于不等式21321a a -≤-+≤的解集为3322a ≤≤，不等式 111≤-≤-a 的解集为20≤≤a ．因此当2253≤≤-a 时，恒有 2(32)(1)f a a f a -+=-. 故选（D ）．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若105=S ，510-=S ，则公差为 1-=d . 解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .由题设得⎩⎨⎧-=+=+，，545101010511d a d a 即⎩⎨⎧-=+=+，，1922211d a d a 解之得1-=d . 8. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点 (28)，，则b a +等于 4 .解：由题设知 log (2)1log (8)2a ab b +=⎧⎨+=⎩，， 化简得2(2)(8).b a b a +=⎧⎨+=⎩，解之得 1131a b =⎧⎨=⎩，；2224.a b =-⎧⎨=-⎩，（舍去）.故a b +等于4.9．已知函数()y f x =的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 [21)x ∈-， ．解： 因为 (2lg 6lg111x x -+>，所以()2lg 6200x x -+<. 于是，由图象可知，2111x x +≤-，即 201x x +≤-，解得 21x -≤<. 故x 的取值范围为 [21)x ∈-，．10．圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是2 ．解：原式变形为|3|)1()3(22+-=-++y x y x ，即=2|3|2+-y x ．所以动点),(y x 到定点(31)-，的距离与它到直线03=+-y x 的距离 之比为2．故此动点轨迹为双曲线，离心率为2．11．在ABC ∆中，已知3tan =B ，322sin =C ，63=AC ，则ABC ∆的面积为 ABC S ∆=解：在ABC ∆中，由3tan =B 得︒=60B ．由正弦定理得sin 8sin AC CAB B⋅==．因为︒>60322arcsin，所以角C 可取锐角或钝角，从而31cos ±=C ．sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=．故 sin 2ABC AC ABS A ∆⋅== 12. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a . 解：由a a <2得10<<a ．由0142>++ax x 对于任何x ∈R 成立，得04162<-=∆a ，即2121<<-a ．因为命题P 、Q 有且仅有一个成立，故实数 a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a ．三、解答题（本题满分60分，每小题15分） 13. 设不等式组 00x y x y +>⎧⎨-<⎩，表示的平面区域为D . 区域D 内的动点P 到直线0x y +=和直线0x y -=的距离之积为2. 记点P 的轨迹为曲线C .过点F 的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点. 若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，求直线l 的斜率.解：由题意可知，平面区域D 如图阴影所示． 设动点为(,)P x y2=，即224x y -=．由P D ∈知0x y +>，x －y <0，即x 2－y 2<0．所以y 2－x 2＝4(y ＞0)，即曲线C 的方程为y 24－x24＝1(y ＞0)．…………5分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则以线段AB 为直径的圆的圆心为1212()22x x y y Q ++，. 因为以线段AB 为直径的圆L 与y 轴相切，所以半径 12122x x r AB +==，即12AB x x =+． ① …………10分因为直线AB 过点F (22，0)，当AB ⊥ x 轴时，不合题意．所以设直线AB 的方程为y ＝k (x －22)． 代入双曲线方程y 24－x 24＝1(y ＞0)得，k 2(x －22)2－x 2＝4，即(k 2－1)x 2－42k 2x ＋(8k 2－4)＝0． 因为直线与双曲线交于A ，B 两点， 所以k ≠±1．B CE 所以x 1＋x 2＝42k 2k 2－1，x 1x 2＝8k 2－4k 2－1． 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋k 2)[⎝ ⎛⎭⎪⎫42k 2k 2－12－4⋅8k 2－4k 2－1]＝|x 1＋x 2|＝|42k 2k 2－1|， 化简得：k 4＋2k 2－1＝0，解得k 2＝2－1（k 2＝－2－1不合题意，舍去）．由△＝(42k 2)2－4(k 2－1) (8k 2－4) ＝3k 2－1＞0，又由于y ＞0，所以－1<k <－33． 所以k ＝－2－1 …………………15分14. 如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，面11AAC C 是菱形，160ACC ∠=︒，侧面11ABB A ⊥11AAC C ，11A B AB AC ===.求证：（1）1AA ⊥1BC ；（2）求点1A 到平面ABC 的距离. 证：（1）设1AA 中点为D ，连C 、D .因为AB B A =1，所以1AA BD ⊥．因为面 C C AA A ABB 1111⊥，所以⊥BD 面C C AA 11．又1ACC ∆为正三角形，111A C AC =，所以 11AA D C ⊥. 从而11AA BC ⊥． ………………6分（2） 由（1），有1BD C D ⊥，11BC CC ⊥，1CC ⊥面1C DB ．设1A 到面ABC 的 距离为h ，则1113ABC B CAC B CDC hS V V ∆--==. 因为 11113C C DB C DB V CC S -∆=⨯， 所以1C DBABC S h S ∆∆=． 又 1C D BD =，且 （第14题）B 1B A 1C 1A C432211==⨯=∆BD BD D C S DB C . 设ABC ∆的高为AE ，则 2512312221212=+=+=+=BD CC BC BC ， 8325411=⋅-=AE ， 41583252=⋅=∆ABC S . 于是有 515153==h ，即1A 到平面ABC 的距离为515． ………………15分 15．已知数列{}n a 中，11a =，33n n a a +≤+，22n n a a +≥+. 求2007a .解：由题设，22n n a a +≥+，则2007200520031222210032007a a a a ≥+≥+⨯≥≥+⨯=. ………5分由 22n n a a +≥+，得22n n a a +≤-，则3223231(1)n n n n a a a a n +++≤+≤-+=+≥. ………………10分于是 200720062005200219991123123212a a a a a ≤+≤+⨯≤++⨯≤+⨯+⨯136********a ≤≤+⨯+⨯=，所以 a 2007=2007．易知数列11a =，22a =，，n a n =符合本题要求． ………………15分 注意：猜得答案n a n =或20072007a =，给2分．16．已知平面上10个圆，任意两个都相交．是否存在直线l ，与每个圆都有公共点？证明你的结论．解：存在直线l ，与每个圆都有公共点．证明如下：如图，先作直线0l ，设第i 个圆在直线0l 上的正投影是线段i i A B ，其中i A 、i B 分别是线段的左右A 1 A k A 2B 1 B 2 B m端点．10个圆有10个投影线段，有10个左端点，有10个右端点． ………………5分因为任意两个圆都相交，所以任意两条投影线段都有重叠的部分，设k A 是最右边的左端点，则所有右端点都在k A 的右边，否则必有两条投影线段无重叠部分，与对应的两个 圆相交矛盾． ………………10分再设m B 是最左边的右端点，同理所有左端点都在m B 的左边. k A 与m B 不重合，线段 k m A B 是任意一条投影线段的一部分，过线段k m A B 上某一点作直线0l 的垂线l ，则l 与10 个圆都相交． ………………15分2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷阅卷说明6．已知 （ R ），且 则a 的值有（ D ）.（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）无数个解：由题设知 为偶函数，则考虑在 时，恒有．所以当 ，且 时，恒有 ．由于不等式 的解集为 ，不等式的解集为 ．因此当 时，恒有. 故选（D ）．因试题题目中遗漏|x+2007|，所以本题选任何选项均给6分．13．解：由题意可知，平面区域D 如图阴影所示．设动点P(x ，y)，则|x ＋－y|2＝2，即|x2－y2|＝4．由P ∈D 知：x ＋y ＞0，x －y<0，即x2－y2<0．所以y2－x2＝4(y ＞0)．即曲线C 的方程为y24－x24＝1(y ＞0)．…………5分设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以线段AB 为直径的圆的圆心为Q(x1＋x22，y1＋y22)．因为以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，∴半径r ＝12|AB|＝|x1＋x22|．即|AB|＝|x1＋x2|． ① …………………10分 因为直线AB 过点F(22，0)， 当轴时，不合题意．所以设直线AB 的方程为y ＝k(x －22)．代入双曲线方程y24－x24＝1(y＞0)得，k2(x－22)2－x2＝4，即(k2－1)x2－42k2x＋(8k2－4)＝0．因为直线与双曲线交于A，B两点，所以k≠±1．所以x1＋x2＝42k2k2－1，x1x2＝8k2－4k2－1．所以|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝(1＋k2)[42k2k2－12－－4k2－1]＝|x1＋x2|＝|42k2k2－1|，化简得：k4＋2k2－1＝0，解得k2＝2－1（k2＝－2－1不合题意，舍去）．由△＝(42k2)2－4(k2－1) (8k2－4) ＝3k2－1＞0，又由于y＞0，所以－1<k<－33．所以k＝－2－1 (15)。
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2007年安徽省高中数学联赛初赛区试卷
一．选择题
1．如果集合A B 、同时满足{}{}{}{}1,2,3,4,1,1,1A B A B A B ==≠≠ 就称有序集对(),A B 为“好集对”，这里有序集对(),A B 意指，当A B ≠时，(),A B 和(),B A 是不同的集对。
那么“好集对”一共有_______个．
A ． 64
B ． 8
C ． 6
D ． 2
2．设函数()()lg 101x f x -=+，方程()()
1
22x x f f
--=的解为_______________． A ．()2log lg21- B ．()2lg log 101- C ．()lg lg21+ D ．()22log log 101+
3．设100101102103499500A = 是一个1203位的正整数，由从100到500的全体三位数按顺序
排列而成。
那么，A 除以126的余数是_________．
A ．78
B ． 36
C ． 6
D ． 0
4．在直角ABC ∆中，90C ∠=
，CD 为斜边上的高，D 为垂足，AD a =，BD b =,1CD a b =-=，设数列{u k }的通项为
()1221,1,2,3,...,k
k k k k k u a a b a b b k --=-+-⋅⋅⋅+-=则___________
A ．200820072006u u u =+
B ．200520072006u u u =-
C ．2008200720072008u u =
D ．2008200720082007u u =
5．在正整数构成的等差数列1，3，5，7，…中删去所有和55互质的项之后，把余下的各项按从小至大的顺序构成一个数列{}n a , 易见123451,3,7,9,13,.a a a a a =====⋅⋅⋅那么2007______.a =
A ．9597
B ． 5519
C ． 2831
D ． 2759 6
．设
A B =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+
则:A B =___________．
.
.
121
A B C D 二．填空题（本题满分54分，每小题9分）
7．边长均为整数且成等差数列，周长为60的钝角三角形一共有___________种。
8．设2007n ≥，且n
为使得n
n a =
取实数值的最小正整数，则对应此n 的
_______.n a =
9．若正整数n 恰好有4个正约数，则称n 为奇异数，例如6，8，10都是奇异数。
那么，在27，42，69，111，125，137，343，899，3599，7999这10个正整数中，奇异数有______个．
10． 平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，顶点A 出发的三条棱1AA AB AD 、、的长度分别为2、3、4且两两夹角都为60
，那么这个平行六面体的四条对角线1111AC BD DB CA 、、、的长度（按顺序）分别为_____________．
11．函数()(),f x g x 的迭代函数定义为
()()()()()()()()()()()(
)()()()()()()()()()()()
()
121121,,,,
,,,n n n n f x f x f x f f x f x f f x g x g x g x g g x g x g g x --==⋅⋅⋅===⋅⋅⋅= 其中2,3,4,.n =⋅⋅⋅， 设()()23,32f x x g x x =-=+,
方程组()()()()()()()
()()()()()969696,,.f x g y f y g z f z g x ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩
的解为_________________．
12．设平行四边形ABCD 中，AB=4，AD=2，
BD=ABCD 绕直线AC 旋转所得旋转体的体积为____________。
三．解答题（本题满分60分，每小题20分）
13．已知椭圆T ：223412x y += 和点Q （q ，0），直线 l 过Q 且与T 交于A ，B 两点（可以重合）。
Ⅰ)．若∠AOB 为钝角或平角（O 为原点），q=4，试确定l 的斜率的取值范围。
Ⅱ)．设A 关于长轴的对称点为A 1，F 为椭圆的右焦点，q=4，试判断A 1与F 、B 三点是否共线，并说明理由。
Ⅲ)．问题Ⅱ)中，若q≠4，那么A 1，F 、B 三点还能否共线？请说明理由。
14．数列{}n x 由下式确定：112,1,2,3,,121
n n n x x n x x +=
=⋅⋅⋅=+
试求2007lg x 的整数部分[]2007lg k x =。
（注：[]a 表示不大于a 的最大整数，即a 的整数部分）
15．设给定的锐角△ABC 的三边长为a ，b ，c ，正实数x ，y ，z 满足
,ayz bzx cxy
P x y z
++= 其中P 为给定的正实数，试求()()()222S b c a x c a b y a b c z =+-++-++-的最大值，并求出当S 取此最大值时，x ，y ，z 的取值。