等差数列(一).pdf
高中数学必修五-等差数列
等差数列知识集结知识元等差数列的性质知识讲解1．等差数列的性质【等差数列】如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：a n＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：S n＝na1+n（n﹣1）或S n＝（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2a m＝a p+a q（p，q，m都为自然数）例：已知等差数列{a n}中，a1＜a2＜a3＜…＜a n且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．（1）求此数列{a n}的通项公式；（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．又∵{a n}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．∴a n＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣4．（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．∴268是此数列的第136项．这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式a n＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．【等差数列的性质】（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则a m＝a n+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则a s+a t＝a p+a q，其中a s，a t，a p，a q是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有a s+a t＝2a p；（5）若数列{a n}，{b n}均是等差数列，则数列{ma n+kb n}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）a n，a n﹣1，a n﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2a n+1＝a n+a n+2，2a n＝a n﹣m+a n+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）a m，a m+k，a m+2k，a m+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．例题精讲等差数列的性质例1.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8=15-a5，则S9等于（）A．18B．36C．45D．60例2.记等差数列{a n}的前n项和为S n．若a5=3，S13=91，则a1+a11=（）A．7B．8C．9D．10例3.在等差数列{a n}中，a3+a9=24-a5-a7，则a6=（）A．3B．6C．9D．12等差数列的通项公式知识讲解1．等差数列的通项公式【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为a n＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为a m，则第n项为a n＝a m+（n﹣m）d．【例题解析】eg1：已知数列{a n}的前n项和为S n＝n2+1，求数列{a n}的通项公式，并判断{a n}是不是等差数列解：当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，∴a n＝，把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，∴{a n}不是等差数列考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中a n的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下．eg2：已知等差数列{a n}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7则这个数列的通项公式为解：∵等差数列{a n}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7，∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，解得a＝2．∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，∴数列a n是以1为首项，4为公差的等差数列，∴a n＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．故答案：4n﹣3．这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可．【考点点评】求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点．例题精讲等差数列的通项公式例1.在等差数列{a n}中，a4，a12是方程x2+3x+1=0的两根，则a8=（）A．B．C．D．不能确定例2.在等差数列{a n}中，a2+a10=0，a6+a8=-4，a100=（）A．212B．188C．-212D．-188例3.在等差数列{a n}中，若a2=5，a4=3，则a6=（）A．-1B．0C．1D．6当堂练习单选题练习1.在等差数列{a n}中，a3+a9=24-a5-a7，则a6=（）A．3B．6C．9D．12练习2.等差数列{a n}中，已知a2+a6=4，则a4=（）A．1B．2C．3D．4练习3.在等差数列{a n}中，若a3+a9=17，a7=9，则a5=（）A．6B．7C．8D．9练习4.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”（又称“物不知数题”），后来我国南宋数学家秦九韶在《数书九章∙大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题．后传入西方，被称为“中国剩余定理”．现有一道一次同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列，则此列数中第10项为（）A．116B．131C．146D．161练习5.已知2，b的等差中项为5，则b为（）A．B．6C．8D．10练习6.数列{a n}是等差数列，a1=1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16=15，则实数λ的最大值为（）A．B．C．D．练习7.等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，a2+a3=10，S6=54，则该数列的公差d为（）A．2B．3C．4D．6练习8.等差数列{a n}中，a1+a8=10，a2+a9=18，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．4练习9.在等差数列{a n}中，已知a2+a6=18，则a4=（）A．9B．8C．81D．63。
第1讲 等差数列与等比数列
第1讲等差数列与等比数列高考定位 1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以选择题、填空题的形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下.1.(2021·北京卷)已知{a n}和{b n}是两个等差数列，且a kb k(1≤k≤5)是常值，若a1＝288，a5＝96，b1＝192，则b3的值为()A.64B.100C.128D.132答案C解析由题意可得a1b1＝a5b5，则b5＝64，故b3＝b1＋b52＝2.(2021·全国甲卷)记S n为等比数列{a n}的前n项和.若S2＝4，S4＝6，则S6＝()A.7B.8C.9D.10答案A解析法一因为S2＝4，S4＝6，且易知公比q≠±1，所以由等比数列的前n项和公式，得2＝a1（1－q2）1－q＝a1（1＋q）＝4，4＝a1（1－q4）1－q＝a1（1＋q）（1＋q2）＝6，两式相除，得q2＝12，所以1＝4（2－2），＝221＝4（2＋2），＝－22，所以S6＝a1（1－q6）1－q＝7.故选A.法二易知S2，S4－S2，S6－S4构成等比数列，由等比中项得S2(S6－S4)＝(S4－S2)2，即4(S6－6)＝22，所以S6＝7.故选A.3.(2020·全国Ⅱ卷)数列{a n}中，a1＝2，a m＋n＝a m a n.若a k＋1＋a k＋2＋…＋a k＋10＝215－25，则k＝()A.2B.3C.4D.5答案C解析∵a1＝2，a m＋n＝a m a n，令m＝1，则a n＋1＝a1a n＝2a n，∴{a n}是以a1＝2为首项，2为公比的等比数列，∴a n＝2×2n－1＝2n.又∵a k＋1＋a k＋2＋…＋a k＋10＝215－25，∴2k＋1（1－210）1－2＝215－25，即2k＋1(210－1)＝25(210－1)，∴2k＋1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4.4.(2021·全国乙卷)设S n为数列{a n}的前n项和，b n为数列{S n}的前n项积，已知2S n＋1b n＝2.(1)证明：数列{b n }是等差数列；(2)求{a n }的通项公式.(1)证明因为b n 是数列{S n }的前n 项积，所以n ≥2时，S n ＝b nb n －1，代入2S n ＋1b n ＝2可得，2b n －1b n＋1b n ＝2，整理可得2b n －1＋1＝2b n ，即b n －b n －1＝12(n ≥2).又2S 1＋1b 1＝3b 1＝2，所以b 1＝32，故{b n }是以32为首项，12为公差的等差数列.(2)解由(1)可知，b n ＝32＋12(n －1)＝n ＋22，则2S n ＋2n ＋2＝2，所以S n ＝n ＋2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝32，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋2n ＋1－n ＋1n ＝－1n （n ＋1）.故a n n ＝1，－1n （n ＋1），n ≥2.1.等差数列(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ；(2)求和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d ；(3)常用性质：①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ；②a n ＝a m ＋(n －m )d ；③S m，S2m－S m，S3m－S2m，…成等差数列.2.等比数列(1)通项公式：a n＝a1q n－1(q≠0)；(2)求和公式：q＝1，S n＝na1；q≠1，S n＝a1（1－q n）1－q＝a1－a n q1－q；(3)常用性质：①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则a m·a n＝a p·a q；②a n＝a m·q n－m；③S m，S2m－S m，S3m－S2m，…(S m≠0)成等比数列.温馨提醒应用公式a n＝S n－S n－1时一定注意条件n≥2，n∈N*.热点一等差、等比数列的基本运算【例1】设{a n}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列.(1)求{a n}的通项公式；(2)记{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值.解(1)设{a n}的公差为d.因为a1＝－10，所以a2＝－10＋d，a3＝－10＋2d，a4＝－10＋3d.因为a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列，所以(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6).所以(－2＋2d)2＝d(－4＋3d).解得d＝2.所以a n＝a1＋(n－1)d＝2n－12.(2)法一由(1)知，a n＝2n－12.则当n≥7时，a n>0；当n＝6时，a n＝0；当n<6时，a n<0；所以S n的最小值为S5＝S6＝－30.法二由(1)知，S n ＝n2(a 1＋a n )＝n (n －11)－1214，又n ∈N *，所以当n ＝5或n ＝6时，S n 的最小值为S 5＝S 6＝－30.探究提高1.等差(比)数列基本运算的解题途径：(1)设基本量a 1和公差d (公比q ).(2)列、解方程组：把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量.2.第(2)题求出基本量a 1与公差d ，进而由等差数列前n 项和公式将结论表示成关于“n ”的函数，求出最小值.【训练1】(2021·济南联考)已知各项均为正数的等差数列{a n }满足a 1a 5＝33，a 22＝25.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝4n －2＋3a n ，若a n ∈N ，求{b n }的前n 项和T n .解(1)设各项均为正数的等差数列的公差为d .由a 1a 5＝33，且a 22＝25.1（a 1＋4d ）＝33，2＝a 1＋d ＝5，1＝3，＝21＝113，＝43.故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1或a n ＝113＋43(n －1)＝4n ＋73.(2)由于a n ∈N ，所以a n ＝2n ＋1.所以b n ＝4n －2＋3a n ＝4n －2＋6n ＋3.根据等差数列、等比数列的前n 项和公式，得T n ＝14（1－4n ）1－4＋12(9＋6n ＋3)n ＝112(4n －1)＋3n 2＋6n .热点二等差(比)数列的性质【例2】(1)在等差数列{a n }中，a 1＝－9，a 5＝－1.记T n ＝a 1a 2…a n (n ＝1，2，…)，则数列{T n}()A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项(2)已知数列{a n}的各项都为正数，对任意的m，n∈N*，a m·a n＝a m＋n恒成立，且a3·a5＋a4＝72，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a7＝________.(3)(多选)已知S n是等差数列{a n}(n∈N*)的前n项和，且S5>S6>S4.下列四个结论正确的是()A.数列{S n}中的最大项为S10B.数列{a n}的公差d<0C.S10>0D.S11<0答案(1)B(2)21(3)BCD解析(1)由题意可知，等差数列的公差d＝a5－a15－1＝－1＋95－1＝2，则其通项公式为a n＝a1＋(n－1)d＝－9＋(n－1)×2＝2n－11，注意到a1<a2<a3<a4<a5<0<a6＝1<a7<…，且由T5<0可知T i<0(i≥6，i∈N)，由T i T i－1＝a i>1(i≥7，i∈N)可知数列{T n}不存在最小项，由于a1＝－9，a2＝－7，a3＝－5，a4＝－3，a5＝－1，a6＝1，故数列{T n}中的正项只有有限项：T2＝63，T4＝945.故数列{T n}中存在最大项，为T4.故选B.(2)因为对任意的m，n∈N*，a m·a n＝a m＋n恒成立，令m＝1，则a1·a n＝a1＋n，即a n＋1a n＝a1对任意的n∈N*恒成立，所以数列{a n}为等比数列，公比为a1.由等比数列的性质有a3a5＝a24，所以a3·a5＋a4＝a24＋a4＝72，又a 4＞0，解得a 4＝8，所以log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 7＝log 2(a 1a 7)(a 2a 6)(a 3a 5)a 4＝log 2a 74＝log 287＝21.(3)因为S 5>S 6>S 4，所以a 6<0，a 5>0且a 5＋a 6>0，所以数列{S n }中的最大项为S 5，A 错误；数列{a n }的公差d <0，B 正确；S 10＝（a 1＋a 10）×102＝5(a 5＋a 6)>0，C正确；S 11＝（a 1＋a 11）×112＝11a 6<0，D 正确.故选BCD.探究提高1.利用等差(比)性质求解的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解.2.活用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题.【训练2】(1)(2021·江南十校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 8<S 10<S 9，则满足S n >0的正整数n 的最大值为()A.16B.17C.18D.19(2)(多选)(2021·八省八校一联)已知等比数列{a n }的首项a 1>1，公比为q ，前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，函数f (x )＝x (x ＋a 1)(x ＋a 2)…(x ＋a 7)，若f ′(0)＝1，则()A.{lg a n }为递增的等差数列B.0<q <1n D.使得T n >1成立的n 的最大值为6答案(1)C(2)BCD解析(1)由S 8<S 10<S 9，得a 10<0且a 9＋a 10>0，所以等差数列{a n }的公差d <0，且a 9>0.从而S17＝17（a1＋a17）2＝17a9>0，S18＝18（a1＋a18）2＝9(a9＋a10)>0，S19＝19（a1＋a19）2＝19a10<0.故满足S n>0的正整数n的最大值为18.(2)令g(x)＝(x＋a1)(x＋a2)…(x＋a7)，则f(x)＝xg(x)，∴f′(x)＝g(x)＋xg′(x)，∴f′(0)＝g(0)＝a1a2…a7＝1.∵{a n}是等比数列，∴a1a2…a7＝a74＝1，即a4＝1＝a1q3.又a1>1，∴0<q<1，B正确；∵lg a n＝lg(a1q n－1)＝lg a1＋(n－1)lg q，又lg q<0，∴{lg a n}是公差为lg q的递减的等差数列，A错误；∵S n－a11－q＝a11－q(1－q n－1)＝a1qq－1·q n－1，n a1qq－1<0，公比为q的递增的等比数列，C正确；∵a1>1，0<q<1，a4＝1，∴当n≤3时，a n>1，当n≥5时，0<a n<1，∴当n≤4时，T n>1.∵T7＝a1a2…a7＝a74＝1，∴当n≥8时，T n＝T7a8a9…a n<T7＝1.又T5＝T7a6a7>1，T6＝T7a7>1，∴使得T n>1成立的n的最大值为6，D正确.故选BCD.热点三等差(比)数列的判断与证明【例3】(2021·广东重点中学联考)在数列{a n}中，a1＝5，a n＝2a n－1＋2n－1(n≥2，n∈N*).(1)求a2，a3的值；(2)是否存在实数λ，求出λ的值；若不存在，请说理理由.解(1)因为a1＝5，且a n＝2a n－1＋2n－1(n≥2)，所以a2＝2a1＋22－1＝13，a3＝2a2＋23－1＝33.(2)假设存在实数λ.设b n＝a n＋λ2n，由{b n}为等差数列，得2b2＝b1＋b3，所以2×a2＋λ22＝a1＋λ2＋a3＋λ23，即13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8，解得λ＝－1.而当λ＝－1时，有b n＋1－b n＝a n＋1－12n＋1－a n－12n＝12n＋1[(a n＋1－2a n)＋1]＝12n＋1[(2n＋1－1)＋1]＝1，b1＝a1－12＝5－12＝2，则{b n}是首项为2，公差为1的等差数列.所以存在实数λ＝－12，公差是1的等差数列.探究提高 1.判定等差(比)数列的主要方法：(1)定义法：对于任意n≥1，n∈N*，验证a n＋1－a n n无关的一常数；(2)中项公式法，一定注意，a2n＝a n－1a n＋1(n≥2，n∈N*)是{a n}为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.2.第(2)问，假设存在实数λ列，求得λ的值后，一定要验证数列{b n }是等差数列.【训练3】(2021·全国甲卷)已知数列{a n }的各项为正数，记S n 为{a n }的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{a n }是等差数列；②数列{S n }是等差数列；③a 2＝3a 1.(注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.)解①③⇒②.已知{a n }是等差数列，a 2＝3a 1.设数列{a n }的公差为d ，则a 2＝3a 1＝a 1＋d ，得d ＝2a 1，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n 2a 1.因为数列{a n }的各项均为正数，所以S n ＝n a 1，所以S n ＋1－S n ＝(n ＋1)a 1－n a 1＝a 1(常数)，所以数列{S n }是等差数列.①②⇒③.已知{a n }是等差数列，{S n }是等差数列.设数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝12n 2d 1.因为数列{S n }是等差数列，所以数列{S n }的通项公式是关于n 的一次函数，则a 1－d2＝0，即d ＝2a 1，所以a 2＝a 1＋d ＝3a 1.②③⇒①.已知数列{S n }是等差数列，a 2＝3a 1，所以S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2＝4a 1.设数列{S n }的公差为d ，d ＞0，则S 2－S 1＝4a 1－a 1＝d ，得a 1＝d 2，所以S n ＝S 1＋(n －1)d ＝nd ，所以S n ＝n 2d 2，所以n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2，对n＝1也适合，所以a n＝2d2n－d2，所以a n＋1－a n＝2d2(n＋1)－d2－(2d2n－d2)＝2d2(常数)，所以数列{a n}是等差数列.热点四等差数列与等比数列的综合问题【例4】设{a n}是等差数列，其前n项和为S n(n∈N*)；{b n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为T n(n∈N*).已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6.(1)求S n和T n；(2)若S n＋(T1＋T2＋…＋T n)＝a n＋4b n，求正整数n的值.解(1)设等比数列{b n}的公比为q(q>0).由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0.因为q>0，可得q＝2，故b n＝2n－1.所以，T n＝1－2n1－2＝2n－1.设等差数列{a n}的公差为d.由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4.由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，从而a1＝1，d＝1，故a n＝n.所以，S n＝n（n＋1）2.(2)由(1)，有T1＋T2＋…＋T n＝(21＋22＋…＋2n)－n＝2×（1－2n）1－2－n＝2n＋1－n－2.由S n＋(T1＋T2＋…＋T n)＝a n＋4b n得n（n＋1）2＋2n＋1－n－2＝n＋2n＋1，整理得n2－3n－4＝0，解得n＝－1(舍)或n＝4.所以n的值为4.探究提高 1.等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便.2.数列的通项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题.【训练4】(2021·衡水中学联考)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝S5＝－20.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)已知数列{b n}是以4为首项，4为公比的等比数列，若数列{a n}与{b n}的公共项为a m，记m由小到大构成数列{c n}，求{c n}的前n项和T n.解(1)设等差数列{a n}的公差为d，由S4＝S5＝－20，得4a1＋6d＝5a1＋10d＝－20，解得a1＝－8，d＝2，则a n＝－8＋2(n－1)＝2n－10.(2)数列{b n}是以4为首项，4为公比的等比数列，∴b n＝4·4n－1＝4n(n∈N*).又依题意2m－10＝4n，∴m＝10＋4n2＝5＋22n－1，则T n＝5n＋2（1－4n）1－4＝5n＋22n＋1－23.一、选择题1.(2021·福州一诊)正项等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a2＋a8－a25＋8＝0，则S9＝()A.35B.36C.45D.54答案B解析由等差数列的性质得a2＋a8＝2a5，∴a2＋a8－a25＋8＝0，可化为a25－2a5－8＝0.又a5>0，解得a5＝4.∴S9＝9（a1＋a9）2＝9a5＝36.2.在等比数列{a n}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg a n}的前8项和S8为()A.4B.2C.3D.5答案B解析因为{a n}为等比数列，且a4＝2，a5＝5，所以a4a5＝2·5＝10.则数列{lg a n}的前8项和S8＝lg a1＋lg a2＋…＋lg a8＝lg a1·a2·…·a8＝lg(a1·a8)(a2·a7)(a3·a6)(a4·a5)＝lg(10)4＝4lg10＝2.3.(2021·全国甲卷)等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n.设甲：q＞0，乙：{S n}是递增数列，则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B解析当a1＜0，q＞1时，a n＝a1q n－1＜0，此时数列{S n}递减，所以甲不是乙的充分条件.当数列{S n}递增时，有S n＋1－S n＝a n＋1＝a1q n＞0，若a1＞0，则q n＞0(n∈N*)，即q＞0；若a1＜0，则q n＜0(n∈N*)，不存在，所以甲是乙的必要条件.综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件.4.(2021·日照校际联考)对于数列{a n}，若存在正整数k(k≥2)，使得a k<a k－1，a k<a k ＋1，则称a k是数列{a n}的“谷值”，k是数列{a n}的“谷值点”.在数列{a n}中，若a n＝|n＋9n－8|，则数列{a n}的“谷值点”为()A.2B.7C.2，7D.2，3，7答案C解析因为a n＝|n＋9n－8|，所以a1＝2，a2＝32，a3＝2，a4＝74，a5＝65，a6＝12，a7＝27，a8＝9 8.当n≥7，n∈N*时，n＋9n－8>0，所以a n＝|n＋9n－8|＝n＋9n－8，此时数列{a n}递增.又a2<a1，a2<a3，a7<a6，a7<a8，所以数列{a n}的“谷值点”为2，7.5.(多选)(2021·湖北重点中学调研)设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，前n项积为T n，并满足条件a1>1，a2021·a2022>1，(a2021－1)·(a2022－1)<0，则下列结论中正确的有()A.q>1B.S2022>S2021C.a2021·a2023<1D.T2021是数列{T n}中的最大项答案BCD解析由{a n}为等比数列，a1>1，a2021·a2022>1及(a2021－1)·(a2022－1)<0，2021>1，a2022<1a2021<1，2022>1(舍去).∴公比0<q＝a2022a2021<1，则A错误；S2022＝S2021＋a2022>S2021，故B正确；由等比数列性质知a2021·a2023＝a22022<1，所以C正确；因为a1>1，a2>1，…，a2021>1，0<a2022<1，0<a2023<1，…，所以(T n)max＝T2021，D正确.故选BCD.6.已知数列{a n}满足a n＋2＋a n＝2a n＋1＋1，且a1＝1，a2＝5，则a18＝()A.69B.105C.204D.205答案D解析由a n＋2＋a n＝2a n＋1＋1，得a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n＋1，则(a n＋2－a n＋1)－(a n＋1－a n)＝1，∵a2－a1＝5－1＝4，∴数列{a n＋1－a n}是以4为首项，1为公差的等差数列，a n＋1－a n＝4＋1×(n－1)＝n＋3，则a1＝1，a2－a1＝4，a3－a2＝5，…，a n－a n－1＝n＋2，各项相加，得a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝1＋4＋5＋…＋(n＋2)＝1＋（n－1）·（4＋n＋2）2＝（n－1）（n＋6）2＋1，∴a18＝（18－1）×（18＋6）2＋1＝205.二、填空题7.(2021·上海卷)已知等差数列{a n}的首项为3，公差为2，则a10＝________.答案21解析由题意，得a10＝3＋(10－1)×2＝21.8.已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＝2－2a n ＋1，若a 2＝12，则S 5＝________.答案3116解析由题意可知，S 1＝2－2a 2＝1，且S n ＝2－2(S n ＋1－S n )，整理可得，S n ＋1－2＝12(S n －2)，由于S 1－2＝－1，所以{S n －2}是首项为－1，公比为12的等比数列，故S 5－2＝(－1)＝－116，∴S 5＝3116.9.(2021·济南模拟)已知等比数列{a n }的前n 项的乘积为T n ，若T 2＝T 9＝512，则T 8＝________.答案4096解析设等比数列{a n }的公比为q ，由T 2＝T 9，得a 76＝1，故a 6＝1.∴a 1q 5＝1.①又T 2＝a 1a 2＝a 21q ＝512，②由①②联立，得q 9＝1512，则q ＝12.所以T 8＝T 9a 9＝T9a 6q 3＝212＝4096.三、解答题10.(2021·广州质检)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且{b n }的前n 项和为S n ，2a 1＝b 1＝2，a 5＝5(a 4－a 3)，________.在①b 5＝4(b 4－b 3)，②b n ＋1＝S n ＋2这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a n －b n }的前n 项和T n .(注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.)解(1)若选条件①，b 5＝4(b 4－b 3).设等差数列{a n}的公差为d，∵2a1＝2，a5＝5(a4－a3)，∴a1＋4d＝5(a1＋3d－a1－2d)，∴a1＝d＝1.∴a n＝1＋(n－1)×1＝n.设等比数列{b n}的公比为q.由b1＝2，且b5＝4(b4－b3)，得b1q4＝4(b1q3－b1q2).∴q2－4q＋4＝0，解得q＝2.所以{b n}是首项为2，公比为2的等比数列.故b n＝2×2n－1＝2n(n∈N*).若选条件②，b n＋1＝S n＋2.令n＝1，得b2＝S1＋2＝b1＋2＝4.∴公比q＝b2b1＝2.∴数列{b n}是首项为2，公比为2的等比数列.从而b n＝2×2n－1＝2n(n∈N*).(2)由(1)知a n－b n＝n－2n，∴T n＝(1＋2＋3＋…＋n)－(21＋22＋23＋…＋2n)，∴T n＝n（1＋n）2－2（1－2n）1－2，∴T n＝2－2n＋1＋n22＋n2.11.(2021·新高考Ⅱ卷)记S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)求使S n>a n成立的n的最小值.解(1)由等差数列的性质可得：S5＝5a3，则a3＝5a3，∴a3＝0.设等差数列的公差为d，从而有a2a4＝(a3－d)(a3＋d)＝－d2，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a3－2d)＋(a3－d)＋a3＋(a3＋d)＝－2d.∵a2a4＝S4，∴－d2＝－2d，由于公差不为零，故d＝2，∴数列{a n}的通项公式为a n＝a3＋(n－3)d＝2n－6.(2)由数列{a n}的通项公式可得：a1＝2－6＝－4，则S n＝n×(－4)＋n（n－1）2×2＝n2－5n，则不等式S n>a n即n2－5n>2n－6，整理可得：(n－1)(n－6)>0，解得n<1或n>6，又n为正整数，故n的最小值为7.12.(多选)(2021·长沙联考)在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2021年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第n月月底小王手中有现款为a n，则(参考数据：1.211≈7.5，1.212≈9),()A.a1＝12000B.a n＋1＝1.2a n－1000C.2021年小王的年利润约为40000元D.两年后，小王手中现款约达41万答案BCD解析每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，∴a1＝(1＋20%)×10000－(600＋400)＝11000(元)，故A错误；由题意a n＋1＝1.2a n－1000，故B正确；由a n＋1＝1.2a n－1000，得a n＋1－5000＝1.2(a n－5000)，∴数列{a n－5000}是首项为6000，公比为1.2的等比数列，∴a12－5000＝6000×1.211，即a12＝6000×1.211＋5000≈50000，则2021年小王的年利润约为50000－10000＝40000(元)，故C正确；两年后，即a24＝5000＋6000×1.223≈5000＋6000×921.2＝410000，即41万，故D正确，故选BCD.13.(2021·江南十校联考)已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a n＋1＋λ＝3S n，a3＝12，则实数λ的值为________.答案－3 4解析等比数列{a n}满足a n＋1＋λ＝3S n，①则a n＋λ＝3S n－1(n≥2，n∈N*)，②①－②得a n＋1－a n＝3S n－3S n－1，则a n＋1＝4a n，所以等比数列{a n}的公比为4，又由a3＝12，则a1＝a3q2＝34.若a n＋1＋λ＝3S n，则a1q n＋λ＝3×a1（1－q n）1－q恒成立，∴λ＝－a1＝－3 4 .14.已知等差数列{a n}的公差为－1，且a2＋a7＋a12＝－6.(1)求数列{a n}的通项公式a n与其前n项和S n；(2)将数列{a n}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n}的前3项，记{b n}的前n项和为T n，若存在m∈N*，使得对任意n∈N*，总有S n<T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围.解(1)由a2＋a7＋a12＝－6，得a7＝－2，∴a1＝4，∴a n＝5－n，从而S n＝n（9－n）2(n∈N*).(2)由题意知b1＝4，b2＝2，b3＝1，设等比数列{b n}的公比为q，则q＝b2b1＝12，∴T n1－1281随n的增大而减小，∴{T n}为递增数列，得4≤T n<8.又S n＝n（9－n）2＝－－814，又n∈N*，故(S n)max＝S4＝S5＝10.若存在m∈N*，使得对任意n∈N*，总有S n<T m＋λ，则10<8＋λ，得λ>2.故实数λ的取值范围为(2，＋∞).。
高中试卷-4.2.2等差数列的前n项和公式(1) -A基础练(含答案)
4.2.2等差数列的前n 项和公式（1） -A 基础练一、选择题1．（2021·全国高二课时练）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 2+a 4=6,则S 5等于( )A ．10B ．12C ．15D ．30【答案】C【解析】因为等差数列{a n }中,a 2+a 4=6,故a 1+a 5=6,所以S 5===15.故选C.2．（2021·全国高二课时练）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝﹣3，2a 4+3a 7＝9，则S 7的值等于（ ）A ．21B ．1C ．﹣42D ．0【答案】D【详解】解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝﹣3，2a 4+3a 7＝9，∴2（﹣3+3d ）+3（﹣3+6d ）＝9，解得d ＝1，∴S 7＝7×（﹣3）+762´＝0．故选：D ．3．（2021·福建三明一中高二期末）如图，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有()2,n n n N *³Î个点，相应的图案中点的总数记为n a ，则234n a a a a +++¼+等于（ ）A ．232n B ．()12n n +C ．()312n n -D ．()12n n -【答案】C【详解】由题图可知，23a =，36a =，49a =，512a =，依此类推，n 每增加1，图案中的点数增加3，所以相应图案中的点数构成首项为23a =，公差为3的等差数列，()()323332,n a n n n n N *\=+-´=-³Î，()()()23413333122nn n n n a a a a -+--\+++×××+==．故选：C ．4．（2021·山东菏泽三中高二期末）含21n +项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为（ ）A ．21n n+B ．1n n+C ．1n n-D ．12n n+【答案】B【详解】设该等差数列为{}n a ，其首项为1a ，前n 项和为n S ，则()()1211=2n n a a S +++奇，()22=2n n a a S+偶，12122n n a a a a ++=+Q ，1=S n S n+\奇偶．故选：B 5．（多选题）（2021·深圳市皇御苑学校高二期末）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知972S =，710a =，则（）A ．3na n =+B ．24na n =-C ．21722n S n n =+D ．2n S n n=-【答案】AC【详解】972S =Q ，710a =，11198497221610a a d d a d ´ì=+´=ìï\Þíí=îï+=î，()4113n a n n \=+-´=+，则()24317222n n n S n n ++==+．故选：AC.6．（多选题）（2021·山东济宁市高二期末）已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若711S S =，则（）A ．100a >B ．当9n =时，n S 最大C ．17S >D ．19S >【答案】BC【详解】数列{}n a 是等差数列，由711S S =，则()11789101191020S S a a a a a a -=+++=+=，9100a a +=，又因为数列{}n a 是递减数列，所以90a >，100a <，故A 错误、B 正确.()117179171702a a S a +==>，故C 正确；()1191910191902a a S a +==<，故D 错误.故选：BC二、填空题7．（2021·上海浦东新区·高二期末）已知数列{}n a 为等差数列且a 5=2，则其前9项和S 9=___________.【答案】18【详解】因为数列{}n a 为等差数列，所以199559()9291822a a Sa a +==´==.8．（2021·全国高二课时练）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12n n a a +=+，525S =，*N n Î.则5a =__________.【答案】9【详解】若12n n a a +=+，则数列{}n a 为等差数列，公差d ＝2，由S 5＝25，可得51a +10×2＝25，所以1a ＝1，则5a ＝9．9．（2021·天津西青区高二期末）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若63511aa =，则115S S =__________.【答案】1【详解】由等差数列的前n 项和公式可得：()()1116611315531111211115221525551122a a a a S a a a S a +´===´=´=´+.10．（2021·天津河西区高二期末）在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，若412S =，840S =，则16S =________.【答案】144【详解】设等差数列的公差为d ，则4181434+122878+402S a d S a d ´ì==ïïí´ï==ïî，解得13,12a d ==，163161516+114422S ´\=´´=.三、解答题11．（2021·陕西咸阳市·高二期末）在①113a =，105S =-；②37a =，75a =-；③330S =，535S =这三个条件中任选一个，回答下列问题，已知等差数列{}n a 满足________.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ，以及使得n S 取得最大值时n 的值.【详解】（1）选条件①，因为数列{}n a 是等差数列，设公差为d，由1101131091052a S a d =ìïí´=+=-ïî解得：3d =-，所以()13(1)3163na n n =+-´-=-，选条件②，因为数列{}n a 是等差数列，设公差为d，31712765a a d a a d =+=ìí=+=-î解得：1133a d =ìí=-î所以()13(1)3163na n n =+-´-=-，选条件③，因为数列{}n a 是等差数列，设首项为1a ，公差为d，由3151323302545352S a d S a d ´ì=+=ïïí´ï=+=ïî即111027a d a d +=ìí+=î，解得1133a d =ìí=-î ，所以()13(1)3163na n n=+-´-=-（2）由（1）知163n a n =-，()2129322n n a a n n S n -=+=，令1630n a n =->，可得5n £，令1630na n =-<，可得6n >，所以{}n a 前5项都是正值，从第6项起是负值， 故当5n =时，n S 最大.2529535352S ´-´==.12．（2020·天津高二期末）设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知41a=，1575S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列n S n ìüíýîþ的前n 项和n T .【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d，则由题意得4115131151415752a a d S a d =+=ìïí´=+=ïî，解得121a d =-ìí=î，所以()213nn n a =-+-=-；（2）由（1）得3n a n =-，则()2235222n S n n n n -+-=×=-，所以2552222n n nS n n n -==-，数列n S n ìüíýîþ是首项为2-，公差为12的等差数列，所以()21192224n n n n nT n --=-+×=.。
第37讲等差数列初步(一)
二、基本公式 高斯求和公式 和＝(首项＋末项 首 末 )×项数÷ 数 2 中项公式 和=中项×项数 通项公式 第n项＝首项＋公差×(n－1) 中项 末项 项数公式： 项数＝(末项－首项)÷公差＋1
2
【例6】(★★★★★) 观众席一共有28排座位，后一排比前一排多一个座位，最后一排有 60个 个座位，观众席一共有多少个座位？ ， 席 有多少个
【本讲总结】 一、等差数列相关概念 、等差数列相关概念 1．判断 要点： ⑴同向变化 ⑵差相等 2．基本概念 基本概念 项： 通项 首项 项数(n) 公差(d)
1
【例3】(★★★★) 求所有的三位数中3的的直径成等差数列，已知最小的与最大的滑轮直径分别 是120毫米和 毫米 216毫米，求中间的三个滑轮的直径。 毫米 求中 的 滑轮的直
【例4】(★★★★★) 计算 1＋3＋4＋6＋7+9＋10＋12＋13＋……＋66＋67＋69＋70的和是多少？ 和 多少
等差数列的相关概念： 等差数列 在 列数中 等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就 意相邻 个数的差是 定的 这样的 列数 就 叫做等差数列。 1．等差数列的判断 等差数列的判断 ⑴数列同向变化 ⑵每相邻两项之间的差都相等 2．基本概念： 首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示 项数：等差数列的所有数的个数 项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示 般用 表示 公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示 通项：表示数列中每 个数的公式， 般用an表示 通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示 数列的和：这一数列全部数的和，一般用sn表示
【例1】(★★) 计算: 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10
【例2】(★★★) ⑴求等差数列2，6，10，14，18，……的第10项＝______
(完整版)等差数列知识点总结及练习(精华版)
等差数列的性质总结1.等差数列的定义：（d 为常数）（）；d a a n n =--12≥n 2．等差数列通项公式：， 首项:，公差:d ，末项:*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈1a n a 推广： ． 从而；d m n a a m n )(-+=mn a a d mn --=3．等差中项（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或a A b A a b 2ba A +=b a A +=2（2）等差中项：数列是等差数列{}n a )2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项21n +1n a +5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若或(常数) 是等差数列． d a a n n =--1d a a n n =-+1*∈N n ⇔{}n a （2） 等差中项：数列是等差数列． {}n a )2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a （3） 数列是等差数列（其中是常数）。
{}n a ⇔b kn a n +=b k ,（4） 数列是等差数列,（其中A 、B 是常数）。
{}n a ⇔2n S An Bn =+6．等差数列的证明方法定义法：若或(常数) 是等差数列．d a a n n =--1d a a n n =-+1*∈N n ⇔{}n a 7.提醒：等差数列的通项公式及前n 项和公式中，涉及到5个元素：，其中n a n S n n S a n d a 及、、、1称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2.d a 、18. 等差数列的性质：（1）当公差时，0d ≠等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；11(1)n a a n d dn a d =+-=+-n d 前和是关于的二次函数且常数项为0.n 211(1)(222n n n d dS na d n a n -=+=+-n （2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。
等差数列（总结和例题）
等差数列知识清单1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母公差通常用字母d 表示。
用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=³或1(1)n n a a d n+-=³。
根据定义，当我们看到形如：d a a n n =--1、da a n n =--212、d aa n n=--1d a a n n =--111、211-++=n n na a a 、d S S n n =--1时，应能从中得到相应的等差数列。
的等差数列。
等差数列的判定方法1. 定义法：若d aa n n=--1或da an n =-+1(常数*ÎN n )Û {}n a 是等差数列．是等差数列．2.2.等差中项：数列等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-³+=Û+n a a a n n n 212+++=Ûn n n a a a ． 3.3.数列数列{}n a 是等差数列Ûbkn a n+=（其中b k ,是常数）。
是常数）。
4.4.数列数列{}n a 是等差数列Û2n S An Bn =+,（其中（其中A A 、B 是常数）。
是常数）。
等差数列的证明方法定义法：若d aa n n=--1或d a ann =-+1(常数*ÎN n )Û {}n a 是等差数列．例1．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，则{a n }是（是（ ）A.等比数列，但不是等差数列等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列既非等比数列又非等差数列 答案：B ；解法一：a n =îíì³-==Þîíì³-=-)2( 12)1( 1)2( )1( 11n n n a n S S n S n n n ∴a n =2n －1（n ∈N ） 又a n +1－a n =2为常数，12121-+=+n n a a n n ≠常数≠常数 ∴{a n }是等差数列，但不是等比数列. 2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-Î ，， 首项首项首项::1a ，公差，公差:d :d :d，末项，末项，末项::n a＝1，＝1得＝2，＝1＋×2，项起开始为正数，则公差的取值范围是______ ______ ______ ；；11<11<＝19(a 119)＝＝120＝ac（C ）8 8 （（D ）10 【答案】A 【解析】由角标性质得1952a a a +=，所以5a =5.=5.2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝3π2，则sin(2a 4－π3)＝( ) A.32 B.12 C ．－32 D ．－12 答案 D 解析 ∵a 2＋a 6＝3π2，∴2a 4＝3π2，∴sin(2a 4－π3)＝sin(3π2－π3)＝－cos π3＝－12，选D. 1. (2009北京东城高三第一学期期末检测，理9）已知{a n }为等差数列，若a 1+a 5+a 9＝π,则cos(a 2+a 8)的值为________________.答案：21-2。
等差数列的通项及性质7大题型 (解析版)
等差数列的通项及性质7大题型【考点预测】一．等差数列的有关概念（1）等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为d （常数）．1－-=n n a a d *()2，∈≥n N n （2）等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有a A b A a b =2+a bA ．（3）等差数列的通项公式如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．{}n a 1a d 1(1)=+-n a a n d 二．等差数列通项的常用性质已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．{}n a d n S n （1）通项公式的推广：．*())(，=+-∈n m a a n m d n m N （2）在等差数列中，当时，．{}n a +=+m n p q *()，，，+=+∈m n p q a a a a m n p q N 特别地，若，则．2+=m n t *()2，，+=∈m n t a a a m n t N （3），…仍是等差数列，公差为．2＋＋，，k k mk ma a a *()，∈md k m N （4）若，是等差数列，则也是等差数列．{}n a {}nb {}+n n pa qb 【题型目录】题型一：等差数列通项公式运用题型二：等差中项问题题型三：等差数列通项的性质题型四：整体看成等差数列问题题型五：等差数列通项公共项问题题型六：几个连续实数成等差数列问题题型七：等差数列通项新文化试题【典型例题】题型一：等差数列通项公式运用【例1】（2022·全国·高二课时练习）在等差数列中，若，，则（ ）{}n a823a =1132a =66a =A ．195B ．196C ．197D ．198【例2】（2022·江西省万载中学高一阶段练习（文））在数列中，，，若n 11a =13n n a a +-=2020n a =，则（ ）n =A ．671B ．672C ．673D ．674【答案】D【分析】分析得到数列是以1为首项，3为公差的等差数列，利用等差数列通项即得解.{}n a【详解】∵，，11a =13n n a a +-=∴13n n a a +-=∴数列是以1为首项，3为公差的等差数列，{}n a∴，解得.()()111312020n a a n d n =+-=+-=674n =故选：D.【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列，若，，则（ ）{}n a2911a a +=41014a a +=n a =A ．B ．C ．D ．2n 21n +n 21n -【答案】C【分析】设公差为d ，利用基本量代换列方程组解出首项和公差，即可写出通项公式.【详解】在等差数列中，设公差为d ，依题意，即{}n a 294101114a a a a +=⎧⎨+=⎩11291121214a d a d +=⎧⎨+=⎩解得公差，，所以.1d =11a =n a n =故选：.C 【例4】（2022·全国·高二课时练习）数列的首项为，为等差数列，且{}n a 3{}nb ()1n n n b a a n N *+=-∈，若，，，则等于（ ）32b =-1012b =8a A ．B ．C ．D ．03811【例5】（2022全国高二课时练习）在等差数列中，若a 1＝84，a 2＝80，则使an 0，且an ＋1n ≥<0的n 为（ ）A ．21B ．22C ．23D ．24【答案】B【分析】用基本量表示，列出不等式组，求解即可1,a d 1,n n a a +8840,884(1)0n n -≥⎧⎨-+<⎩【详解】公差d ＝a 2－a 1＝－4，∴an ＝a 1＋(n －1)d ＝84＋(n －1)(－4)＝88－4n ，令10,0,n n a a +≥⎧⎨<⎩即8840,884(1)0n n -≥⎧⎨-+<⎩⇒，又∵n ∈N *，2122n <≤∴n ＝22.故选：B【例6】（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为1111,,,DD CC BB AA 1111,,,OD DC CB BA ．已知成公差为0.1的等差数列，且直线11111231111,0.5,,DD CC BB AAk k k OD DC CB BA ====123,,k k k OA的斜率为0.725，则（ ）3k =A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.9【答案】D【解析】设，则，11111OD DC CB BA ====111213,,CC k BB k AA k ===依题意，有，且，31320.2,0.1k k k k -=-=111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++所以，故，30.530.30.7254k +-=30.9k =故选：D【例7】（2022·全国·高二课时练习）若数列为等差数列，，，则（ ）{}n ap a q=()q a p p q =≠p q a +=A ．B ．0C ．D ．p q +()p q -+2p q+【答案】B【分析】根据等差数列通项公式的变形形式求解：．()n m a a n m d =+-【详解】设数列的公差为．∵，∴，即．∵，∴{}n ad ()p q a a p q d=+-()q p p q d=+-()q p p q d-=-p q ≠，∴．1d =-()0p q p a a p q p d q p +=++-=-=⎡⎤⎣⎦故选：B ．【例8】（2022·全国·高二课时练习）已知数列均为等差数列，若{}{},n n a b1122333,7,13a b a b a b ===，则（ ）44a b =A ．B ．C ．D ．19212327【答案】B【分析】设，得出，令，可得,n n a an b b cn d =+=+2()n n a b acn bc ad n bd =+++n n n c a b =1n n nd c c +=-构成一个等差数列，求得公差，即可求得的值.4c 【详解】由题意，设，,n n a an b b cn d =+=+则，()()2()n n a b an b cn d acn bc ad n bd=++=+++令，可得构成一个等差数列，n n n c a b =12()n n n d c c acn ac ad bc +=-=+++所以由已给出的 ，，113a b =227a b =3313a b =，，所以121734d c c =-=-=2321376d c c =-=-=4434138d c c c =-=-=解得：，即.421c =4421a b =故选：B【例9】（2022全国高二课时练习）（1）在等差数列{an }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________.（2）已知等差数列{an }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9＝________.【答案】 20 27【分析】（1）利用等差数列的性质求解即可，（2）利用等差数列的性质求解，或设等差数列{an }的公差为d ，利用已知条件求出公差，再利用等差数的性质求解【详解】（1）3a 5＋a 7＝2a 5＋(a 5＋a 7)＝2a 5＋2a 6＝2(a 3＋a 8)＝20.（2）法一 由性质可知，数列a 1＋a 4＋a 7，a 2＋a 5＋a 8，a 3＋a 6＋a 9是等差数列，所以2(a 2＋a 5＋a 8)＝(a 1＋a 4＋a 7)＋(a 3＋a 6＋a 9)，则a 3＋a 6＋a 9＝2×33－39＝27.法二 设等差数列{an }的公差为d ，则(a 2＋a 5＋a 8)－(a 1＋a 4＋a 7)＝(a 2－a 1)＋(a 5－a 4)＋(a 8－a 7)＝3d ＝－6，解得d ＝－2，所以a 3＋a 6＋a 9＝a 2＋d ＋a 5＋d ＋a 8＋d ＝27.故答案为：（1）20 （2）27【例10】（2022全国高二专题练习）在等差数列中，，且{}n a 138a a +=2429a a a =⋅（1）求数列的首项､公差；{}n a（2）设，若，求正整数m 的值.()()1218n n n a a b -+=13m m m b b b +++=【题型专练】1．（2021·全国·高二单元测试）已知等差数列满足，则中一定为零的项是（ ）{}n a3243a =a {}n aA ．B ．C ．D ．6a 7a 8a 9a 【答案】A【分析】先设等差数列的公差，根据题中条件，得出首项与公差之间关系，即可得出结果.【详解】设等差数列的公差为，由得，∴，{}n ad 3243a =a 15a d =-6150a a d =+=故选：A ．2．（2021·全国·高二专题练习）已知等差数列中，，，则等于（ ）{}n a3822a a +=67a =4a A ．B ．1523C ．D ．729【答案】B【分析】求出等差数列的公差的值，由此可求得的值.{}n ad 4a【详解】设等差数列的公差为，则，解得，{}n ad ()()3866632222a a a d a d a d +=-++=-=8d =-因此，.()46272823a a d =-=-⨯-=故选：B.3．（2021·江苏·高二专题练习）在等差数列中，已知，，，则（ ）{}n a113a =45163a a +=33k a =k =A ．B ．5049C ．D ．48474．（2022·广东·佛山市南海区狮山高级中学高二阶段练习）在数列中，，n 12a =1221n n a a +-=，则的值为（ ）101a A ．52B ．51C ．50D ．495．（2022·全国·高二课时练习）已知数列是首项为3，公差为n a d d ∈N 的等差数列，若2023是该数列的一项，则公差d 可能是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．6P 条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长为，最长弦长为，且公差，则1a n a 2,13d ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦n的取值可能是（ ）A ．B ．C ．D ．56781123A ．公差d ＝－4B ．a 2＝7C ．数列{an }为递增数列D ．a 3＋a 4＋a 5＝84【答案】BC【分析】根据等差数列性质公式及基本量计算，对选项一一判断即可．【详解】解析：∵a 1＋a 2＋a 3＝21，∴3a 2＝21，∴a 2＝7．∵a 1＝3，∴d ＝4．∴数列{an }为递增数列，a 4＝a 2＋2d ＝15．∴a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝45．故选：BC8．（2022·全国·高二单元测试）已知数列为等差数列，，，则公差d 为______．{}n a36a =918a =【答案】2【分析】由等差数列性质得，即可求得公差d936a a d =+【详解】数列为等差数列，则，可解得.{}n a9361866d a a d =+⇒=+2d =故答案为：29．（2022·全国·高二课时练习）等差数列2，4，6，…的第18项为______．【答案】36【分析】由条件确定数列的公差，再确定其通项公式，由此求其第18项.【详解】设数列的第项为，n n a 由已知数列为等差数列，且，，{}n a12a =24a =所以数列的公差，{}n a2d =所以，2(1)22n a n n =+-⨯=所以，1836a =故答案为：36.10．（2022·全国·高二单元测试）设是公差为－2的等差数列，如果{}n a1479750a a a a ++++= ，那么______．36999a a a a ++++= 【答案】－82【分析】根据等差数列通项公式化简求解.【详解】∵是公差为－2的等差数列，{}n a ∴()()()()36999147972222a a a a a d a d a d a d ++++=++++++++ ．147973325013282a a a a d =+++++⨯=-=- 故答案为：-8211．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列为递增数列，若，{}n a 22110101a a +=5611a a +=，则数列的公差d 的值为______．{}n a【答案】112．（2022·全国·高二课时练习）若，且两数列a ， ， ，b 和a ，，，a b ¹12123，b 都是等差数列，则________．3121y y x x -=-【答案】##32 1.513．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列的前三项分别为，，n 1a -21a +7a +，则此数列的通项公式为______．n a =【答案】43n -【分析】根据等差数列前三项可求出，即可得出首项和公差，求出通项公式.a 【详解】由题意，得，所以，()17221a a a -++=+2a =所以的前三项分别为1，5，9，公差为4，故.{}n a()11443n a n n =+-⨯=-故答案为：.43n -14．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列满足，则____________．{}n a2438a a =-5a =【答案】4【分析】利用表示，整理可得.1,a d 2438a a =-5a 【详解】设等差数列的公差为，则由得：，{}n ad 2438a a =-()11338a d a d +=+-整理可得：，即.()1128248a d a d +=+=5144a a d =+=故答案为：.415．（2020·全国·高二课时练习）已知等差数列{an }，且a 3＋a 5＝10，a 2a 6＝21，则an ＝____________．【答案】或．1n a n =+9n a n =-+【分析】设等差数列的公差为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解.{}n a d d 【详解】设等差数列的公差为，{}n ad 因为，可得，354210a a a +==45a =又由，2644(2)(2)(52)(52)21a a a d a d d d =-+=-+=解得，所以或，21d =1d =1d =-所以数列的通项公式为或．{}n a1n a n =+9n a n =-+故答案为：或．1n a n =+9n a n =-+16．（2021·全国·高二专题练习）若a ，x 1，x 2，x 3，b 与a ，y 1，y 2，y 3，y 4，y 5，b 均为等差数列，则3131x x y y --＝________．17．（2022·全国·高二课时练习）存在条件：①，；②，；③，23d =-37a =713．在这三个条件中任选一个，回答下列问题，已知等差数列满足______．求数列2414a a +={}n a 的通项公式．{}n a【答案】163n a n=-【分析】不管选择哪个条件，都是求首项和公差，再求通项公式.【详解】若选择①，，1213a a d =-=数列的通项公式，{}n a()()()111313163n a a n d n n=+-=+-⨯-=-即；163n a n =-若选择②，，解得：，，112765ad a d +=⎧⎨+=-⎩113a =3d =-数列的通项公式；{}n a163n a n =-若选择条件③，解得：，，1122202414a d a d +=⎧⎨+=⎩113a =3d =-数列 的通项公式.{}n a 163n a n=-题型二：等差中项问题【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知则a ，b 的等差中项为（）a =b =A B C D 间的角是多少度（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°【答案】B【分析】设三内角由小到大依次为,,A B C，利用等差数列定义结合三角形三内角和定理列式计算作答.【详解】设三角形三内角由小到大依次为，依题意，，而，,,A B C 2A+C =B 180A B C ++=则有，解得，3180B =60B =所以中间的角是.60故选：B【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和m 2n 2m n m n 的等差中项是（ ）A ．8B ．6C ．D ．34.5【例4】（2022·全国·高三专题练习（理））数列{an }满足，且，是函数122n n n a a a ++=+4a 4040a 的两个零点，则的值为（ ）2()83f x x x =-+2022a A ．4B ．－4C ．4040D ．－4040【答案】A【分析】由题设可得+＝8，根据已知条件易知{an }是等差数列，应用等差中项的性质求4a 4040a .2022a 【详解】由，是的两个零点，即，是x 2－8x ＋3＝0的两个根，4a 4040a 2()83f x x x =-+4a 4040a ∴+＝8，又，即数列{an }是等差数列，4a 4040a 122n n n a a a ++=+∴+＝8，故＝4.4a 4040a 20222a =2022a 故选：A.【题型专练】1．（2022·全国·高三专题练习）下列选项中，为“数列{}n a是等差数列”的一个充分不必要条件的是（ ）A ．B ．()1122n n n a a a n +-=+≥()2112n n n a a a n +-=⋅≥C ．数列的通项公式为D ．{}n a23n a n =-()2112n n n n a a a a n ++--=-≥A ．2BCD ．13．（2022·上海市复旦实验中学高二期末）若b 是2，8的等差中项，则______；b =【答案】0【分析】根据等差中项的性质即可求解.【详解】解：因为8，a ，2，b ，c 是等差数列，所以8222222a a b c b +=⎧⎪+=⨯⎨⎪+=⎩解得514a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩所以.0a b c ++=故答案为：.0题型三：等差数列通项的性质【例1】（2022·广东肇庆·高二阶段练习）已知数列是等差数列，且满足，则{}n a2104a a +=26log a =（ ）A ．B ．C ．D ．0123【答案】B【分析】利用等差中项的性质求出的值，进而可求得结果.6a 【详解】由等差中项的性质可得，可得，因此，.621024a a a =+=62a =26log 1a =故选：B.【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列满足，则（ ）{}n a5796a a a ++=7a =A ．B ．C D ．322-【答案】B【分析】利用等差中项的性质可求得结果.【详解】由等差中项的性质可得，故.579736a a a a ++==72a =故选：B.【例3】（2022·四川省成都市新都一中高一期中（理））已知数列满足，且{}n a ()*122n n n a a a n ++=+∈N ，则（ ）38132πa a a ++=()79cos a a +=A ．B ．C ．D 12-12【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列中，，，则n a1234a a a ++=131415等于（ ）789a a a ++A ．6B ．7C ．8D ．9(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(2)数列为等差数列的充要条件是对任意，都有.{}n a*N n ∈122n n n a a a ++=+(3)数列为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.{}n a(4)已知数列的通项公式是(其中p ，q 为常数)，则数列一定是等差数列.{}n a n a pn q =+{}n aA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】利用等差数列定义判断（1）；利用等差中项的定义结合充要条件的意义判断（2）；利用等差数列定义结合充要条件的意义判断（3）；利用等差数列定义判断（4）作答.【详解】对于（1），若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是同一个常数，则这个数列是等差数列，（1）不正确；对于（2），因对任意，都有数列*N n ∈121212n n n n n n n a a a a a a a +++++⇔=+-=-⇔{}n a为等差数列，（2）正确；对于（3），因常数列是等差数列，而常数列的通项不是n 的一次函数，则通项公式为n 的一次函数是数列为等差数列的充分不必要条件，（3）不正确；{}n a对于（4），数列的通项公式是(其中p ，q 为常数)，则，，即数列{}n an a pn q =+N n *∀∈1n n a a p +-=一定是等差数列，（4）正确，{}n a 所以所给4个命题正确的个数为2.故选：B【题型专练】1．（2021·江西·高三阶段练习（文））设是等差数列，且，，则（ ）{}n a122a a +=344a a +=56a a +=A ．B ．C ．D ．12-0624【答案】C【分析】根据等差数列性质可知，，成等差数列，由此可构造方程求得结果.12a a +34a a +56a a +【详解】解：是等差数列，，，成等差数列，{}n a12a a ∴+34a a +56a a +，.()()()3412562a a a a a a ∴+=+++56826a a ∴+=-=故选：C.2．（2022·重庆·高三阶段练习）已知数列为等差数列，，则（ ）{}n a286a a +=357a a a ++=A ．9B ．12C ．15D ．16【分析】根据等差数列下标和性质计算可得.【详解】解：在等差数列中，所以，{}n a28526a a a +==53a =所以；357539a a a a ++==故选：A3．（2022·河南平顶山·高二期末（文））已知数列是等差数列，且满足，则{}n a891075a a a ++=（ ）612a a +=A ．B ．C ．D ．42485058【答案】C【分析】利用等差中项的性质可求得结果.【详解】由等差中项的性质可得，则，因此，.89109375a a a a ++==925a =6129250a a a +==故选：C.4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列为等差数列，若，则的值为（ ）{}n a15915a a a ++=28a a +A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】D【分析】由等差中项的性质进行计算【详解】由题意得：，所以，1595315a a a a ++==55a =故285210a a a +==故选：D5．（2022·河南·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））已知等差数列中，、是{}n a2a 8a 的两根，则（ ）221610x x --=()2375a a a +-=A ．B ．C ．D ．248601246．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列中，若，则______．{}n a34567450a a a a a ++++=19a a +=【答案】180【分析】利用等差中项的性质即可求值.【详解】由，故，37169452a a a a a a a =+=+=+3456755450a a a a a a ++++==所以，则.590a =19a a +=180故答案为：1807．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二开学考试）在等差数列中，若{}n a357911100a a a a a ++++=，则________．212a a +=8．（2021·河北衡水·高三阶段练习）已知等差数列中，分别是方程n 12021,a a 2410x x --=的两个根，则__________．1011a =1项，则这个等差数列的公差为___________.【答案】1【分析】根据题意，利用等差数列等差中项的性质即可求得和，进而求得公差.3a 29a10．（2021·全国·高二课时练习）已知等差数列{an }中，a 1＋a 3＋a 8＝54π，那么cos(a 3＋a 5)＝________.11．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列，满足，，求数列n 23418a a a ++=23466=a a a n 的通项公式．【答案】或521=-+n a n 59=--n a n 【分析】根据是等差数列且满足求出，代入，中得到{}n a23418a a a ++=3a 23418a a a ++=23466=a a a 的方程组，并解出，从而解出，结合通项公式解出.24，a a 24，a a 1a d ，n a 【详解】是等差数列，且， ，{}n a23418a a a ++=33=18∴a 3=6a ∴解得或2342341866a a a a a a ++=⎧⎨=⎩ 242412,.11,a a a a +=⎧⎨=⎩2411,1a a =⎧⎨=⎩241,11.a a =⎧⎨=⎩当时，，.2411,1a a =⎧⎨=⎩1=16a =5-d ()()()111615521∴=+-=+--=-+n a a n d n n当时，，.241,11a a =⎧⎨=⎩1=4-a =5d ()()1141559∴=+-=-+-=-n a a n d n n 综上：或521=-+n a n 59=--n a n 题型四：整体看成等差数列问题【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知数列，为等差数列，且公差分别为，{}n a{}n b12d =21d =，则数列的公差为（ ）{}23n n a b -A ．B ．C ．D ．7531【答案】D【分析】利用即可整理求得公差.112323n n n n a b a b ++--+【详解】，为等差数列，为等差，设其公差为，{}n a {}n b {}23n n a b ∴-d 则.()()111112232323231n n n n n n n n d a b a b a a b b d d ++++=--+=---=-=故选：D.【例2】（2022·全国·高二课时练习）定义：在数列中，若对任意的都满足{}n a n +∈N 211n n n n a a da a +++-=（d 为常数），则称数列为等差比数列．已知等差比数列中，，，则{}n a {}n a 121a a ==33a =20222020a a =（ ）A ．B ．C ．D ．2420221⨯-2420211⨯-2420201⨯-242020⨯【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知数列，均为等差数列，若，，则{}n a{}n b110a b +=221a b +=（ ）n n a b +=A ．B ．C ．D ．2n -1n +n1n -【答案】D【分析】利用等差数列的通项公式可求出结果.【详解】设等差数列，的公差分别为，{}n a{}n b12,d d 则，1221212211()()101d d a a b b a b a b +=-+-=+-+=-=所以1112(1)(1)n n a b a n d b n d +=+-++-.1112(1)()1a b n d d n =++-+=-故选：D【例4】（2022·全国·高二课时练习）已知数列均为等差数列，若{}{},n n a b1122333,7,13a b a b a b ===，则（ ）44a b =A ．B ．C ．D ．19212327【答案】B【分析】设，得出，令，可得,n n a an b b cn d =+=+2()n n a b acn bc ad n bd =+++n n n c a b =1n n nd c c +=-构成一个等差数列，求得公差，即可求得的值.4c 【详解】由题意，设，,n n a an b b cn d =+=+则，()()2()n n a b an b cn d acn bc ad n bd=++=+++令，可得构成一个等差数列，n n n c a b =12()n n n d c c acn ac ad bc +=-=+++所以由已给出的 ，，113a b =227a b =3313a b =，，所以121734d c c =-=-=2321376d c c =-=-=4434138d c c c =-=-=解得：，即.421c =4421a b =故选：B【例5】（2022·全国·高二课时练习多选题）已知等差数列，若，，则（ ）11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭114a =41a =A ．数列的公差11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭110d =B ．数列的公差11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭110d =-C ．1011a =-D ．1011a =1．（2021·江苏·高二单元测试多选题）在数列中，若（，，{}n a 221n n a a p --=2n ≥*n N ∈p 为常数），则称为等方差数列，下列对等方差数列的判断正确的有（ ）{}n aA ．若是等差数列，则是等方差数列{}n a {}2n a B ．数列是等方差数列(){}1n-C ．若数列既是等方差数列，又是等差数列，则数列一定是常数列{}n a{}n aD ．若数列是等方差数列，则数列（，为常数）也是等方差数列{}n a{}kn a*k N ∈k 【答案】BCD【分析】利用等方差数列的定义判断.【详解】A.设等差数列的通项公式，则{}n an a kn b =+，不一定是常数，()()()()22111122n n n n n n n n a a a a a a a a d kn k b d-----=+-=+=-+所以不是等方差数列，故错误；{}2naB. 因为，所以数列是等方差数列，故正确；()()()112222110n nn n a a---=---=(){}1n-C.因为数列是等方差数列，则，又数列是等差数列，则{}n a 221n n a a p --={}n a ，()()()221111n n n n n n n n a a a a a d a a pa -----=+-=+=2．（2022·全国·高二课时练习）已知是等差数列，且，，则______．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭21a =41a =10a =为等差数列，则______．13a =4．（2022·全国·高二课时练习）数列中，，，若数列是等差数列，则{}n a 32a =71a =11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭8a =__________．【例1】（2022·全国·高二课时练习）在1，2，3，…，2021这2021个自然数中，将能被2除余1，且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列，构成数列，则等于（ ）{}n a50a A ．289B ．295C ．301D ．307【答案】B【分析】根据题意，得到能被2除余1满足，被3除余1的数满足，进而求得数列21n -32n -{}n a的通项公式，即可求解.65n a n =-【详解】由题意，在1，2，3，…，2021这2021个自然数中，能被2除余1满足，21n -被3除余1的数满足，32n -所以在1，2，3，…，2021这2021个自然数中，能被2除余1，且被3除余1的数，按从小到大的次序排成一列，可得构成的数列是首项为，公差为的等差数列，{}n a16则数列的通项公式，{}n a65n a n =-所以.506505295a =⨯-=故选：B.【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知两个等差数列5，8，11，…，302与3，7，11，…，399，则它们所有公共项的个数为（ ）A ．23B ．24C ．25D ．261．（2022·全国·高二课时练习）“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a，则此数列的项数为（ ）A ．134B ．135C ．136D ．137【答案】B【分析】根据已知条件进行转化得到数列通项公式，由题意解出不等式即可判断项数.{}n a【详解】由题意知，被3除余1且被5除余1的数即为被15除余1的数，故．1514,n a n n N *=-∈由，得，15142019n a n =-≤135.5n ≤又因为，所以此数列的项数为135．n *∈N 故选：B2．（2022全国高二单元测试）在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在的整数中，把被除余数为，被(]1,2021415除余数也为的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列，则数列的项数为（ ）1{}n a{}n aA ．B ．C ．D ．1011009998【答案】A【分析】将数列中的项由小到大列举出来，可知数列{}n a{}n a为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得，然后解不等式，即可得解.n a 12021n a <≤【详解】由题意可知，数列中的项由小到大排列依次为、、、、，{}n a21416181L 可知数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，{}n a2120()21201201n a n n =+-=+由可得，解得，12021n a <≤12012021n <+≤0101n <≤，则，n N *∈ {}1,2,3,,101n ∈ 因此，数列的项数为.{}n a101故选：A.题型六：几个连续实数成等差数列问题【例1】（2022·江苏·高二课时练习）若直角三角形的三条边的长组成公差为3的等差数列，则三边的长分别为（ ）A ．5，8，11B ．9，12，15C ．10，13，16D ．15，18，21【答案】B【分析】设出三边长，根据直角三角形的勾股定理，解得答案.【详解】由题意直角三角形的三条边的长组成公差为3的等差数列，设可三边长为 ，则，,3,6x x x ++222(3)(6)x x x ++=+解得 ，（舍去），9x =3x =-故三边长为9，12，15 ,故选：B.【例2】（2022·全国·高二课时练习）已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，则这四个数依次为（ ）A ．-2，4，10，16B ．16，10，4，-2C ．2，5，8，11D ．11，8，5，2【答案】AB【分析】根据等差数列的性质，列出方程求解即可【详解】设这四个数分别为，，，，3a d -a d -a d +3a d +则解得或()()3328,40,a d a d a d a d a d a d -+-++++=⎧⎨-+=⎩7,3a d =⎧⎨=⎩7,3,a d =⎧⎨=-⎩所以这四个数依次为-2，4，10，16或16，10，4，-2.故选：AB【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知5个数组成一个单调递减的等差数列，且它们的和为5，平方和为165，则这个等差数列的第1项为___________.【答案】9【分析】根据等差数列的性质，直接求解即可【详解】设这个等差数列中的五个数分别为，，x ，2x d -x d -，.由题意，得x d +2x d +()()()()22222225,22165,x d x d x x d x d x d x d x x d x d -+-+++++=⎧⎪⎨-+-+++++=⎪⎩解得或因为这个数列单调递减，所以，1,4x d =⎧⎨=⎩1,4.x d =⎧⎨=-⎩0d <即所以第1项为.1,4.x d =⎧⎨=-⎩()21249x d -=-⨯-=故答案为：9【题型专练】1．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列{}n a前三项的和为－3，前三项的积为8．求等差数列的通项公式．{}n a【答案】或35n a n =-+37n a n =-【分析】结合等差数列的通项公式得到，求出首项与公差即可求出结果.()()111133328a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩【详解】设等差数列的公差为d ，则，．{}n a21a a d =+312a a d =+由题意得，解得或()()111133328a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩123a d =⎧⎨=-⎩143a d =-⎧⎨=⎩所以由等差数列的通项公式可得或．()23135n a n n =--=-+()43137n a n n =-+-=-故或．35n a n =-+37n a n =-2．（2022·全国·高二单元测试）（1）三个数成等差数列，其和为，前两项之积为后一项的96倍，求这三个数.（2）四个数成递增等差数列，中间两数的和为，首末两项的积为，求这四个数.28-【答案】（1），，；（2），，，.4322-024【分析】（1）设这三个数依次为，，，根据已知条件列方程组，求得和a d -a a d +a d 的值即可得这三个数；（2）设这四个数依次为，，， (公差为)，根据已知条件列方程组，求得3a d -a d -a d +3a d +20d >和的值即可得这四个数.a d 【详解】（1）设这三个数依次为，，，a d -a a d +由题意可得：，解得：，()()96a d a a d a a d a d -+++=⎧⎨-=+⎩31a d =⎧⎨=-⎩所以这三个数依次为，，.432（2）设这四个数依次为，，， (公差为)，3a d -a d -a d +3a d +20d >由题意可得，解得或(舍)，()()2338a d a d a d a d -++=⎧⎨-+=-⎩11a d =⎧⎨=⎩11a d =⎧⎨=-⎩故所求的四个数依次为，，，.2-024题型七：等差数列通项新文化试题【例1】（2022·全国·高二课时练习）中国古代有一道数学题：“今有七人差等均钱，甲、乙均七十七文，戊、己、庚均七十五文，问戊、己各若干？”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人分钱，所分得的钱数构成等差数列，甲、乙两人共分得77文，戊、己、庚三人共分得75文，则戊、己两人各分得多少文钱？则下列说法正确的是（ ）A ．戊分得34文，己分得31文B ．戊分得31文，己分得34文C ．戊分得28文，己分得25文D ．戊分得25文，己分得28文【答案】C【分析】设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为，，，，，，3a d -2a d -a d -a a d +2a d +，再根据题意列方程组可解得结果.3a d +【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为，，，，，3a d -2a d -a d -a a d +，，2a d +3a d +则，解得，32772375a d a d a d a d a d -+-=⎧⎨+++++=⎩313a d =⎧⎨=-⎩所以戊分得（文），己分得（文），28a d +=225a d +=故选：C.【例2】（2022全国高二课时练习）中国历法推测遵循以算为主、以测为辅的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.1寸表示115寸1分(1寸＝10分).4646节气冬至小寒(大雪)大寒(小雪)立春(立冬)雨水(霜降)惊蛰(寒露)春分(秋分)晷影长/寸135.0125.56115.146105.23695.32685.41675.5节气清明(白露)谷雨(处暑)立夏(立秋)小满(大暑)芒种(小暑)夏至晷影长/寸65.55655.64645.73635.82625.91616.0已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中小寒与清明之间的晷影长之差为（ ）A ．105.6寸B ．48寸C ．57.6寸D ．67.2寸【答案】C【分析】利用等差数列的基本量计算，直接求解即可.全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何?”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱?”则第2人比第4人多得钱数为（ ）A ．钱B ．钱C ．钱D ．钱1613-2313，就是相邻两衡间距离（半径差）为1198333里，给出了计算各衡直径的一般法则，即“预知次衡径，倍而增内衡之径，二而增内衡径，得三衡径”.这段话的意思是说想求出二次衡的直径，须把半径差二倍加上内一衡（最小圆圈）的直径，次三衡以及以后的都这样要求.已知内一衡径=238000里000步（当时300步为1里），则次三衡径为（ ）A．396666里200步B．357000里000步C．317333里100步D．277666里200步【题型专练】1．（2022·全国·高二课时练习）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则（）A．冬至的日影子长最长，为15.5尺B．立夏比谷雨的日影子长多1尺C．大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列D．清明的日影子长为8.5尺【答案】ACD【分析】根据给定条件结合等差数列知识，求出首项、公差，再逐一分析计算作答.【详解】依题意，从冬至起，日影长依次记为，则数列是等差数列，1212,,,a a a {}(N ,12)n a n n *∈≤因此，，而，解得，又，14737.5a a a ++=1742a a a +=412.5a =12 4.5a =设数列的公差为，于是得：，解得，A 正确；{}n a d 11312.511 4.5a d a d +=⎧⎨+=⎩115.5,1a d ==-，立夏比谷雨的日影子长少1尺，B 不正确；1091a a -=-而成等差数列，即大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列，C 正确；357,,a a a ，即清明的日影子长为8.5尺.81(81)8.5a a d =+-=故选：ACD2．（2022·全国·高二课时练习）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至､立春､春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为___________尺.【答案】6.5【分析】利用等差数列的通项公式求出首项和公差，然后求出其中某一项.【详解】解：由题意得从冬至之日起，小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，设其公差为{}n ad ，解得14711213937.511 4.5a a a a d a a d ++=+=⎧∴⎨=+=⎩11,15.5d a =-=101915.59 6.5a a d ∴=+=-=故立夏的日影子长为尺.6.5故答案为：6.53．（2021·全国·高二课时练习）现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升.。
高中数学数列二级结论
数列结论篇一.等差数列1.常用结论(1)通项公式的推广:a n =a m +n -m d n ,m ∈N * .(2)在等差数列a n 中,当m +n =p +q 时,a m +a n =a p +a q m ,n ,p ,q ∈N * .特别地,若m +n =2t ,则a m +a n =2a t m ,n ,t ∈N * .(3)a k ,a k +m ,a k +2m ,⋯仍是等差数列,公差为md k ,m ∈N * .(4)S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,⋯也成等差数列,公差为n 2d .(5)若a n ,b n 是等差数列,则pa n +qb n 也是等差数列.(6)若a n 是等差数列,则S n n也成等差数列,其首项与a n 首项相同,公差是a n 公差的12.(7)若项数为偶数2n ,则S 2n =n a 1+a 2n =n a n +a n +1 ,S 例-S 分=nd ;S 奇S 明=an a n +1.(8)若项数为奇数2n -1,则S 2n -1=2n -1 a n ;S 奇-S 偶=a n ;S 奇S 偶=n n -1.(9)在等差数列a n 中,若a 1>0,d <0,则满足a m ≥0a m +1≤0 的项数m 使得S n 取得最大值S m ;若a 1<0,d >0,则满足a m ≤0a m +1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .10 等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n =d 2n 2+a 1-d2n .数列a n 是等差数列⇔S n =An 2+Bn (A 、B 为常数).11 等差数列的前n 项和的最值在等差数列a n 中,a 1>0,d <0,则S n 存在最大值;若a 1<0,d >0,则S n 存在最小值.2.a n 与S n 之间一步转换a m 1+a m 2+a m 3+⋯⋯+a m n=na m 1+m 2+m 3+⋯⋯+mnn例:a 2+a 6+a 7=3a 5;3a 8-a 12=2a 6.公式一:S n =a 1+a 2+a 3+⋯⋯+a n ⇒S n =n ⋅a n +12(其中n 为奇数)例:S 5=5a 3.公式二:a n =S 2n -12n -1 例:a 5=S99;a 8=S 1515.当m 1、m 2、m 3、⋯、m n 也成等差数列时,均有a m 1+a m 2+a m 3+⋯⋯+a m n=na m 1+m n2.3.只有S 的模型与最值问题性质1.等差数列中:S m +n m +n =S m -S nm -n ,则有S 2m +m 2m +m =S 2m -S m 2m -m可以求出S 3m ,甚至S 4m .注意:(1)若S m =S n ,则一定有:S m +n =0;a m +n +12=0.(2)S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 成等差数列,公差为n 2d 性质2等差数列a n 中:S n n为首项是a 1,公差是d 2的等差数列,若m +n =p +q ,则S m m +S n n =S p p+S qq;特别的,若m +n =2p ,则有S m m +Sn n =2S p p.性质3.S n 有最大值⇔a n >0a n +1<0 ;S n 有最小值⇔a n <0a n +1>0 ,若a n =0,则有S n =S n -1同时取得最值S n >0,n 的最大值⇔S n >0S n +1<0;S n <0,n的最大值⇔S n <0S n +1>0.二.等比数列1.常用等比数列结论1.若m +n =p +q =2k m ,n ,p ,p ,q ,k ∈N ,则a m ⋅a n =a p ⋅a q =a 2k .2.若a n ,b n (项数相同)是等比数列,则λa n λ≠0 ,1a n,a n 2,a n ⋅b n ,a n b n 仍是等比数列.3.在等比数列a n 中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即a n ,a n +k ,a n +2k ,a n +3k ⋯为等比数列,公比为q k .4.公比不为-1的等比数列a n 的前n 项和为S n ,则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 仍成等比数列,其公比为q n .5.a n 为等比数列,若a 1⋅a 2⋯a n =T n ,则T n ,T 2n T n ,T 3nT 2n,⋯成等比数列.6.当q ≠0,q ≠1时,S n =k -kq n k ≠0 是a n 成等比数列的充要条件,此时k =a 11-q.7.有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项的积相等.特别地,若项数为奇数时,还等于中间项的平方.2.等比积秒杀公式:a m 1⋅a m 2⋅a m 3⋅⋯⋅a m n=a m 1+m 2+m 3+⋯⋯+mnnn注:角标为分数时,小题依然适用.例:a 2⋅a 6⋅a 7=a 5 3; a 1⋅a 2⋅a 3⋯⋅a n =a 1+n 2n; a 1⋅a 2⋅a 3⋯⋅a 9=a 5 9拓展:若m 1、m 2、m 3⋯m n 成等差数列时,有a m 1⋅a m 2⋅a m 3⋅⋯⋅a m n=a m 1+mn2n3.等间隔的等比数列比值公式1:a m 1+k +a m 2+k +⋯a m n+ka m 1+a m 2+⋯a mn=q k .例如:(1)a 3+a 6+⋯a 99a 2+a 5+⋯a 98=q (2)a 3+a 6+⋯a 99a 1+a 4+⋯a 97=q 2(3)a 7+a 8+a 9a 4+a 5+a 6=q 3(4)a 7+a 8+a 9a 1+a 2+a 3=q 6强调:一定要项数相等,才能用此定理。
数列常见数列公式（很全）
”表示） 1-n a a mn a a -1)项和有最大值可由项和有最小值可由的值 +abq 1q 1333[ ))(()nnan n a 432nn n p3+++n n a a b b qq a q p q a n n n n 111++n )112)n)(33)1)3) 12-n 得：1-n)n2n11n n33)())))344344)n n n n 1-11-n n nn n n 1)n n )(1+n n n=11)31()31()31()31(232++-+-++-+---Λn n =1311)31(11++---n=11)31(43471)31(143---⨯-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n n 说明：若本题中取1,31=-=h k ，则有n n n n a a a a 3131112+=++++即得即得}31{1n n a a ++为常数列,n n a a 311++ 131-+=n n a a 1231a a +==Λ 37312=+=故可转化为例13。
例18．已知数列{}n a 满足11=a ,22=a,n n n a a a 313212+=++求n a ． 解：设)(112n n n n sa a t sa a -=-+++⇒n n n sta a t s a -+=++12)(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+⇒3132st t s ⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒311t s 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=131t s 则条件可以化为)(31112n n n n a a a a --=-+++{}n n a a -⇒+1是以首项为112=-a a ，公比为31-的等比数列,所以11)31(-+-=-n n n a a ．问题转化为利用累加法求数列的通项的问题，解得1)31(4347---=n n a ．点评：递推式为nn n qa pa a +=++12（p 、q 为常数）时，可以设)(112nn n n sa a t sa a -=-+++，其待定常数s 、t由p t s =+,q st -=求出，从而化归为上述已知题型．求出，从而化归为上述已知题型．五、特征根法1、设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。
等差数列复习(全面知识点+精选例题+习题附答案)精编材料pdf版
答案：4
3 | 10
[数列]
例 13
已知数列{an} 的前
n
项和为
Sn
，且满足
a1
1 2
， an
2SnSn1(n
2)
．（1）求
证：数列
{
1 Sn
}
是等差数列；（2）求
S
n
和
an
．
（1）证明：由递推关系，可知 Sn 0 ，当 n 2 时， an Sn Sn1 2SnSn1
两边同除以 SnSn1 得
解析： a1 5 ， d (9) (5) 4 ，an 5 4(n 1) 4n 1 令 401 4n 1，解得 n 100 ，即 401是这个数列的第 100 项．
答案：是
{an} 是首项 a1 1，公差 d 3 的等差数列，如果 an 2005 ，则序号 n 等于（ ） 例4
A．667
24 24
8d 9d
0 0
，解得 3
d
8 3
．
答案：[3, 8) 3
4．等差数列的性质 （1）等差数列{an} 的第 m 项为 am ，则 an am (n m) d ．★ 例如： a8 a1 7d a2 6d a3 5d a10 2d ． （2）若 m n p q ，则 am an ap aq ，若 m n 2 p ，则 am an 2ap ．★ 例如： a1 a9 a2 a8 a3 a7 a4 a6 2a5 ， a1 an a2 an1 a3 an2 ． （3）下标成等差数列且公差为 m 的项 ak , akm , ak2m , 组成公差为 md 的等差数列． 例如： a1 , a3 , a5 , a7 , , a2n1 , 组成公差为 2d 的等差数列； a5 , a10 , a15 , a20 , , a5n , 组成公差为 5d 的等差数列． （4）{an} 是公差为 d 的等差数列，则{kan b}也是等差数列，公差为 kd． （5）{an} ,{bn}都是等差数列，则{an bn},{pan qbn} 也是等差数列．
等差数列基础 第1讲
第一讲等差数列基础关于第一讲等差数列，是中年级学习的一个重点。
高年级的很多题虽不是直接考察等差数列，但往往中间的某一步需要用到等差数列的知识。
等差数列这讲公式繁多，但希望孩子们千万不要死记硬背这些公式，一定要理解着记忆。
死记硬背公式不易记牢，往往容易出错，考试中一旦出现，背错公式，分数就得不到了；在在我总结的知识点解析里每个公式，我都讲了理解的方法。
可以在做题时反复理解几次，就不容易出错了。
关于计算这里，再啰嗦几句。
很多孩子的计算基本功不过关，所以往往上课时算式列出来了，但不会算，算得慢或算不准，这样就太可惜了。
所以希望孩子们能够每天坚持练几道大数乘除法。
乘法可以按照三位数×一位数，两位数×两位数，三位数×两位数，四位数×两位数，三位数×三位数，四位数×三位数。
除法可以从三位数÷一位数，四位数÷一位数，三位数÷两位数，四位数÷一位数，五位数÷一位数，五位数÷三位数等等这样的顺序练起。
一、通项公式知识点解析：⒈第n项=首项+（n-1）×公差理解方法：可以对比植树问题来理解等差数列，第二项比第一项多一个公差，第三项比第一项多两个公差，……第n项比第一项多（n-1）个公差。
辅助练习：等差数列5、8、11……求这个数列的第2011项是多少？答：5+（2011-1）×3=6035这个公式含有四个量首项，第n项，项数n，公差，这四个其实是知三求一的。
⒉首项=第n项-（n-1）×公差理解方法：同1，第n项比第一项多（n-1）个公差，用第n项剪去多出的即可。
辅助练习：等差数列……91,95,99共17项，求第一项是多少？分析：已知第17项是99，项数n为17，公差95-91=4答：99-（17-1）×4=35（此公式本讲没有涉及）⒊项数n=（第n项－首项）÷公差+1理解方法：对比植树问题，第n个数与第一个数之间共差了第n项－首项，那么间隔数应为（第n项－首项）÷公差，项数n应该比间隔数多1，所以，项数n=（第n项－首项）÷公差+1此公式为求和公式的基础，往往一道题第一步需要孩子判断一下共有多少项，第二步利用求和公式求和。
等差数列及其前n项和
等差数列及其前n项和1.等差数列的概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：a n＋1－a n＝d(n∈N*，d为常数).(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b.2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列{a n}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为a n＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：S n＝na1＋n（n－1）d2＝n（a1＋a n）2.3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N*).(2)若{a n}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a k＋a l＝a m＋a n.(3)若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md 的等差数列.(4)若S n为等差数列{a n}的前n项和，则数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…也是等差数列.(5)若S n为等差数列{a n}的前n.1.已知数列{a n}的通项公式是a n＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a n}一定是等差数列，且公差为p.2.在等差数列{a n}中，a1＞0，d＜0，则S n存在最大值；若a1＜0，d＞0，则S n存在最小值.3.等差数列{a n}的单调性：当d＞0时，{a n}是递增数列；当d＜0时，{a n}是递减数列；当d＝0时，{a n}是常数列.4.数列{a n}是等差数列⇔S n＝An2＋Bn(A，B为常数).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{a n}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2.()(2)等差数列{a n}的单调性是由公差d决定的.()(3)数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.()(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0且关于n的二次函数.()答案(1)√(2)√(3)×(4)×解析(3)若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数.(4)若公差d＝0，则前n项和不是n的二次函数.2.(2022·福州质检)在等差数列{a n}中，若a1＋a2＝5，a3＋a4＝15，则a5＋a6＝()A.10B.20C.25D.30答案C解析等差数列{a n}中，每相邻2项的和仍然构成等差数列，设其公差为d，若a1＋a2＝5，a3＋a4＝15，则d＝15－5＝10，因此a5＋a6＝(a3＋a4)＋d＝15＋10＝25.3.(2022·青岛一模)记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，S3＝92则数列{a n}的通项公式a n＝()A.nB.n＋12C.2n－1D.3n－12答案B解析设等差数列{a n}的公差为d，则S3＝3a1＋3×22d＝3＋3d＝92，解得d＝12，∴a n＝1＋(n－1)×12＝n＋12.4.(2021·杭州二模)已知{a n}是等差数列，满足3(a1＋a5)＋2(a3＋a6＋a9)＝18，则该数列的前8项和为()A.36B.24C.16D.12答案D解析由等差数列性质可得a1＋a5＝2a3，a3＋a6＋a9＝3a6，所以3×2a3＋2×3a6＝18，即a3＋a6＝3，所以S8＝8（a1＋a8）2＝8（a3＋a6）2＝12.5.(多选)设{a n}是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是()A.d＜0B.a7＝0C.S9＞S5D.S6与S7均为S n的最大值答案ABD解析S6＝S5＋a6＞S5，则a6＞0，S7＝S6＋a7＝S6，则a7＝0，则d＝a7－a6＜0，S8＝S7＋a8＜S7，a8＜0，则a9＜0，又a6＋a8＝a5＋a9＝2a7＝0，∴S5＞S9，由a7＝0，a6＞0知S6，S7是S n中的最大值.从而ABD均正确.6.一物体从1960m的高空降落，如果第1秒降落4.90m，以后每秒比前一秒多降落9.80m，那么经过________秒落到地面.答案20解析设物体经过t秒降落到地面.物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列.所以4.90t＋12t(t－1)×9.80＝1960，即4.90t2＝1960，解得t＝20.考点一等差数列的基本运算1.记S n为等差数列{a n}的前n项和.若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()A.－12B.－10C.10D.12答案B解析设等差数列{a n}的公差为d，则3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即d＝－3 2 a1.又a1＝2得∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.2.(2021·武汉调研)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S8＝a8＝8，则公差d＝()A.1 4B.12C.1D.2答案D解析∵S8＝a8＝8，∴a1＋a2＋…＋a8＝a8，∴S7＝7a4＝0，则a4＝0.∴d＝a8－a48－4＝2.3.(2020·全国Ⅱ卷)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________.答案25解析设等差数列{a n}的公差为d，则a2＋a6＝2a1＋6d＝2×(－2)＋6d＝2.解得d＝1.所以S10＝10×(－2)＋10×92×1＝25.4.(2020·新高考全国Ⅰ卷)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为__________.答案3n2－2n解析法一(观察归纳法)数列{2n－1}的各项为1，3，5，7，9，11，13，…；数列{3n－2}的各项为1，4，7，10，13，….现观察归纳可知，两个数列的公共项为1，7，13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，则a n＝1＋6(n－1)＝6n－5.故前n项和为S n＝n（a1＋a n）2＝n（1＋6n－5）2＝3n2－2n.法二(引入参变量法)令b n＝2n－1，c m＝3m－2，b n＝c m，则2n－1＝3m－2，即3m＝2n＋1，m必为奇数.令m＝2t－1，则n＝3t－2(t＝1，2，3，…).a t＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5，即a n＝6n－5.以下同法一.感悟提升 1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.考点二等差数列的判定与证明例1(2021·全国甲卷)已知数列{a n}的各项均为正数，记S n为{a n}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{a n}是等差数列；②数列{S n}是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.解①③⇒②.已知{a n}是等差数列，a2＝3a1.设数列{a n}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，所以S n＝na1＋n（n－1）2d＝n2a1.因为数列{a n}的各项均为正数，所以S n＝n a1，所以S n＋1－S n＝(n＋1)a1－n a1＝a1(常数)，所以数列{S n}是等差数列.①②⇒③.已知{a n}是等差数列，{S n}是等差数列.设数列{a n}的公差为d，则S n＝na1＋n（n－1）2d＝12n2d＋a1－d2.因为数列{S n}是等差数列，所以数列{S n}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－d2＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.②③⇒①.已知数列{S n}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.设数列{S n}的公差为d，d＞0，则S2－S1＝4a1－a1＝d，得a1＝d2，所以S n＝S1＋(n －1)d＝nd，所以S n＝n2d2，所以n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2，对n＝1也适合，所以a n＝2d2n－d2，所以a n＋1－a n＝2d2(n＋1)－d2－(2d2n－d2)＝2d2(常数)，所以数列{a n}是等差数列.感悟提升 1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证a n－a n－1为同一常数.即作差法，将关于a n－1的a n代入a n－a n－1，再化简得到定值.(2)等差中项法：验证2a n－1＝a n＋a n－2(n≥3，n∈N*)都成立.2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论：(1)通项公式：a n＝pn＋q(p，q为常数)⇔{a n}是等差数列.(2)前n项和公式：S n＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{a n}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.训练1(2021·全国乙卷)设S n为数列{a n}的前n项和，b n为数列{S n}的前n项积，已知2S n＋1b n＝2.(1)证明：数列{b n}是等差数列；(2)求{a n}的通项公式.(1)证明因为b n是数列{S n}的前n项积，所以n≥2时，S n＝b nb n－1，代入2S n＋1b n＝2可得，2b n－1b n＋1b n＝2，整理可得2b n－1＋1＝2b n，即b n－b n－1＝12(n≥2).又2S1＋1b1＝3b1＝2，所以b1＝32，故{b n}是以32为首项，12为公差的等差数列.(2)解由(1)可知，b n＝32＋12(n－1)＝n＋22，则2S n＋2n＋2＝2，所以S n＝n＋2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝3 2，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n＋2n＋1－n＋1n＝－1n（n＋1）.故a n 32，n＝1，－1n（n＋1），n≥2.考点三等差数列的性质及应用角度1等差数列项的性质例2(1)设S n为等差数列{a n}的前n项和，且4＋a5＝a6＋a4，则S9等于() A.72 B.36 C.18 D.9答案B解析∵a6＋a4＝2a5，∴a5＝4，∴S9＝9（a1＋a9）2＝9a5＝36.(2)在等差数列{a n}中，若a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝()A.10B.20C.40D.2＋log25答案B解析由等差数列的性质知a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，则2a1·2a2·…·2a10＝2a1＋a2＋…＋a10＝25(a5＋a6)＝25×4，所以log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log225×4＝20.角度2等差数列前n项和的性质例3(1)已知等差数列{a n}的前n项和为S n.若S5＝7，S10＝21，则S15等于() A.35 B.42 C.49 D.63答案B解析在等差数列{a n}中，S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，即7，14，S15－21成等差数列，所以7＋(S15－21)＝2×14，解得S15＝42.(2)(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块答案C解析设每一层有n 环，由题可知从内到外每环之间构成公差d ＝9，a 1＝9的等差数列.由等差数列的性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列，且(S 3n －S 2n )－(S 2n －S n )＝n 2d ，则9n 2＝729，得n ＝9，则三层共有扇面形石板S 3n ＝S 27＝27×9＋27×262×9＝3402(块).角度3等差数列前n 项和的最值例4等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1＞0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 最大？解法一设公差为d .由S 3＝S 11，可得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，即d ＝－213a 1.从而S n ＝d 2n 21＝－a 113(n －7)2＋4913a 1，因为a 1＞0，所以－a 113＜0.故当n ＝7时，S n 最大.法二易知S n ＝An 2＋Bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝An 2＋Bn 的图象关于直线n ＝3＋112＝7对称.由解法一可知A ＝－a 113＜0，故当n ＝7时，S n 最大.法三设公差为d .由解法一可知d ＝－213a 1.要使S n n ≥0，n ＋1≤0，1＋（n －1－213a 0，1＋－213a 0，解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大.法四设公差为d.由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0，又由a1＞0，S3＝S11可知d＜0，所以a7＞0，a8＜0，所以当n＝7时，S n最大.感悟提升 1.项的性质：在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q.2.和的性质：在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，则(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(a n＋a n＋1)；(2)S2n－1＝(2n－1)a n.(3)依次k项和成等差数列，即S k，S2k－S k，S3k－S2k，…成等差数列.3.求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公差不为零的等差数列的前n项和S n＝An2＋Bn(A，B为常数，A≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.训练2(1)(多选)(2022·淄博调研)已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，当首项a1和d变化时，a2＋a8＋a11是一个定值，则下列各数也为定值的是() A.a7 B.a8 C.S13 D.S15答案AC解析由题知a2＋a8＋a11＝a1＋d＋a1＋7d＋a1＋10d＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7，∴a7是定值，∴S13＝13（a1＋a13）2＝13a7是定值，故选AC.(2)(2022·重庆诊断)已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1＝－2020，S20202020－S20142014＝6，则S2023等于()A.2023B.－2023C.4046D.－4046答案C解析d′，则S20202020－S20142014＝6d′＝6，∴d′＝1，首项为S11＝－2020，∴S20232023＝－2020＋(2023－1)×1＝2，∴S2023＝2023×2＝4046，故选C.(3)设等差数列{a n}满足a1＝1，a n＞0(n∈N*)，其前n项和为S n，若数列{S n}也为等差数列，则S n＋10a2n的最大值是________.答案121解析设数列{a n}的公差为d，依题意得2S2＝S1＋S3，∴22a1＋d＝a1＋3a1＋3d，把a1＝1代入求得d＝2，∴a n＝1＋(n－1)×2＝2n－1，S n＝n＋n（n－1）2×2＝n2，∴S n＋10a2n＝（n＋10）2（2n－1）2＝＝12（2n－1）＋2122n－12≤121.∴S n＋10a2n的最大值是121.。
第2讲-等差数列及其前n项和
第2讲-等差数列学习提纲与学习目标1、掌握等差数列的定义、通项公式和前n项和公式的求法2、熟练掌握等差数列的性质，并能利用这些性质解决相应问题1．等差数列的定义对于数列{}n a ，如果对任意的*1()n n N ≥∈，都有1n n a a d +-=（常数），则称{}n a 为等差数列，常数d 叫这个等差数列的公差。
如,,a b c 三个数成等差数列，则称b 为,a c 的等差中项。
2．等差数列的通项公式若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则其通项公式为1(1)n a a n d =+-。
3．等差数列的前n 项和公式2111()(1)()2222n n n a a n n d d d S na n a n +-==+=+-；4. 数列{}n a 是等差数列2n S An Bn ⇔=+(,A B 为常数)nS n⇔为等差数列。
5．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q(m，n，p，q∈N*)．(3)a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(4)数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…也是等差数列．(5)S2n－1＝(2n－1)a n.例1（1）（2018全国I ）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12- B ．10- C ．10 D ．12（2）（2017浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ,则“0d >”是465"+2"S S S >的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】（1）32433343332133233()S S S S S a a S S d S d a d a d d =+⇒=-++=+⇒=⇒=⇒+=， 因12a =，故3d =-，故51410a a d =+=-，选C 。
等差数列(一)教学设计
让学生学会观察、学会发现、学会归纳—等差数列（一）的教学设计1．教案背景数学是思维的体操，是培养学生分析问题、解决问题的能力的载体。
新课程倡导：强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能再让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验。
基于以上认识，在设计本节课时，教师所考虑的不是简单地告诉学生等差数列的定义及通项公式，而是创设一些数学情境，让学生自己去发现等差数列的定义，猜想通项公式。
从发现及猜想的过程中，让学生体会到：发现定义及猜想公式并不是高不可攀的，通过自己的努力，也可以做一些数学家们才能完成的事。
在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大地激发了学生的学习兴趣，也提高了他们提出问题，解决问题的能力，培养了他们的创新能力，这正是新课程所倡导的教学理念。
通过前几节的学习，给出一个数列的前若干项，学生根据这些项的特征，能比较顺利地续写一项或几项；对于简单的数列，可以写出符合这些项的一个通项公式。
面对几个数列，学生们会指出它们各自的特点及共同点。
推导通项公式时，他们着眼于找与n 之间的关系，由于若不用及d 表示， 与n 之间的关系不明显，学生的思路至此可能中断。
此时应给他们必要的诱导，疏通学生们的思路，帮助他们完成推导通项公式的任务。
n a 1a n a n a 2．教材分析数列是高中数学重要内容之一，等差数列与等比数列是这一章中的两种重要、特殊的数列。
等差数列与等比数列的知识结构类似，学生学好了等差数列，就会通过类比得出等比数列的有关概念及性质。
等差数列这一节的主要内容有：定义、通项公式、等差中项及前n 项和公式。
本设计是等差数列的第一课时，重点讲述等差数列的定义及通项公式。
通过本节内容的教学，培养学生学习数学的兴趣，同时也可以向学生渗透数学中的一些基本数学思想方法。
3．教学方法探究、引导、发现4．学习目标①掌握等差数列的定义，理解等差数列“等差”的特点；②掌握等差数列的通项公式，会解决知道、n、d、中的三个，求另外一个的问题；③进一步提高学生观察、归纳、推理的能力。
2021学年新教材数学人教A版必修第二册课件：4.2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)等差数列{an}:5,0,-5,-10,…的通项公式是 . (2)若等差数列{an}的通项公式是an=4n-1,则其公差d= .
解析:(1)易知a1=5,d=-5,所以an=5+(n-1)·(-5)=10-5n. (2)公差d=an-an-1=(4n-1)-[4(n-1)-1]=4.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.已知数列{an}的通项公式an=2n+5,则此数列( )
A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列
解析:∵an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2, ∴数列{an}是公差为2的等差数列.
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1在等差数列{an}中,求解下列各题:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
等差中项及其应用 例2(1)若等差数列的前三项分别为a,2a-1,3-a,求其第2 020项; (2)在-1和7之间插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求这三个 数.
激趣诱思
知识点拨
微练习
判断下列各组数列是不是等差数列.如果是,写出首项a1和公差d. ①1,3,5,7,9,…; ②9,6,3,0,-3,…; ③1,3,4,5,6,…; ④7,7,7,7,7,…;
解:①是,a1=1,d=2;②是,a1=9,d=-3;③不是;④是,a1=7,d=0;⑤不是.
4年级-1-等差数列-难版
=（1275+3725） 50 2
=125000 【小试牛刀】求下列方阵中 100 个数的和。
0、1、2、3、……8、9； 1、2、3、4、……9、10； 2、3、4、5、……10、11；
…… 9、10、11、12、……17、18。 【解析】 900 【例 12】★★若干人围成 16 圈，一圈套一圈，从外向内圈人数依次少 6 人，如果共有 912 人，问最外圈有多少人？最内圈有多少人？
=29701（个） 答：这个点阵共有点 29701 个。 【例 14】★★★100 个连续自然数（按从小到大的顺序排列）的和是 8450，取出其中第 1 个，第 3 个…第 99 个，再把剩下的 50 个数相加，得多少？ 【解析】要求和，我们可以先把这 50 个数算出来. 100 个连续自然数构成等差数列，且和为 8450，则：首项+末项=8450×2÷100=169，又因为 末项比首项大 99，所以，首项=（169-99）÷2=35.因此，剩下的 50 个数为：36，38，40， 42，44，46…134.这些数构成等差数列，和为（36+134）×50÷2=4250.
【例 4】★在等差数列 6，13，20，27，…中，从左向右数，第 _______个数是 1994． 【解析】每个数比前一个数大 7，根据求通项 an a1 (n 1)d 的公式得 n (an a1) d 1， 列式得： (1994 6) 7 284
284 1 285 即第 285 个数是 1994．
2
⑵公差 7 ，首项 2 ，第 6 项 37 ． 【小试牛刀】已知一个等差数列第 8 项等于 50，第 15 项等于 71.请问这个数列的第 1 项是 多少？ 【解析】71-50=21。21÷（15-8）=3（公差）。50=首项+（8-1）×3。所以首项=29
等差数列讲解
等差数列基础知识：1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）。
⑴．对于数列⑴．对于数列{{n a },},若若n a －1-n a =d (=d (与与n 无关的数或字母无关的数或字母))，n ≥2，n ∈N +，则此数列是等差数列，d d 为公差。
为公差。
为公差。
2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】 3．有几种方法可以计算公差d① d=n a －1-n a ②② d =11--n a a n ③ d =mn aa m n -- 4．结论：（性质）在等差数列中，若m+n=p+q m+n=p+q，则，，则，q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q Þq p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )但通常但通常 ①由q p n m a a a a +=+ 推不出m+n=p+q m+n=p+q ，②，②n m n m a a a +=+ 例1：⑴求等差数列8，5，2…的第20项⑵ -401是不是等差数列是不是等差数列-5-5-5，，-9-9，，-13-13…的项？如果是，是第几项？…的项？如果是，是第几项？练习1：已知数列已知数列{{n a }的通项公式q pn a n +=，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？若是，首项与公差分别是什么？练习2：100是不是等差数列2，9，1616，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.例2：求等差数列3，7，1111，……的第，……的第4项与第10项.练习：求等差数列1010，，8，6，……的第20项.应满足什么条件？例3：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列数列，那么A应满足什么条件？在等差数列{{n a}中，若1a+6a=9, 4a=7,练习：在等差数列a , 9a .求3=7, 求家庭作业：1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（的值为（ ）A．B．1C．D．﹣1 2．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（，则此数列是（ ）A．以7为首项，公差为2的等差数列的等差数列 B．以7为首项，公差为5的等差数列的等差数列C．以5为首项，公差为2的等差数列是等差数列的等差数列 D．不是等差数列3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（等于（ ）A．23 B．24 C．25 D．26 4．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（）A．一1 B．2C．3D．一2 5．两个数1与5的等差中项是（的等差中项是（ ）A．1B．3C．2D．6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣57．（2012•福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（的公差为（ ）A．1B．2C．3D．48．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（）A．0B．8C．3D．11 9．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（项，则它们的公共项的个数为（ ）A．25 B．24 C．20 D．19 10．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（）A．5B．3C．﹣1 D．111．（2005•黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（是等差数列，则（ ）A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a512．（2004•福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）A．1B．﹣1 C．2D．13．（2009•安徽）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（等于（ ）A．﹣1 B．1C．3D．714．在等差数列{a n}中，a2=4，a6=12，，那么数列{}的前n项和等于（项和等于（ ）A．B．C．D．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（的值为（ ）A．6B．7C．8D．916．已知数列{a n}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4=7，则s6的值为（的值为（ ）A．30 B．35 C．36 D．24 17．（2012•营口）等差数列{a n}的公差d＜0，且，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是（是（ ）A．5B．6C．5或6 D．6或7 18．（2012•辽宁）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．176 19．已知数列{a n}等差数列，且a1+a3+a5+a7+a9=10，a2+a4+a6+a8+a10=20，则a4=（）A．﹣1 B．0C．1D．220．（理）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣8n，第k项满足4＜a k＜7，则k=（）A．6B．7C．8D．921．数列a n的前n项和为S n，若S n=2n2﹣17n，则当S n取得最小值时n的值为（的值为（ ）A．4或5 B．5或6 C．4D．522．等差数列{a n}中，a n=2n﹣4，则S4等于（等于（ ）A．12 B．10 C．8D．423．若{a n}为等差数列，a3=4，a8=19，则数列{a n}的前10项和为（项和为（ ）A．230 B．140 C．115 D．95 24．等差数列{a n}中，a3+a8=5，则前10项和S10=（）A．5B．25 C．50 D．100 25．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于（等于（ ）A．1B．2C．3D．426．设a n=﹣2n+21，则数列{a n}从首项到第几项的和最大（从首项到第几项的和最大（ ）A．第10项B．第11项C．第10项或11项D．第12项二．填空题（共4小题）27．如果数列{a n}满足：=_________．28．如果f（n+1）=f（n）+1（n=1，2，3…），且f（1）=2，则f（100）=_________．29．等差数列{a n}的前n项的和，则数列{|a n|}的前10项之和为项之和为 _________．30．已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式：的通项公式：（Ⅱ）若数列{a n}和数列{b n}满足等式：a n==（n为正整数），求数列{b n}的前n项和S n．。
等差数列的概念及其公式(1)
7.若a，b，c三个数成等差数列， 则称b为a和c的等差中项，有 b =
a+c 2
概念总结
8.若数列{an}是一个以d为公差的等差数列，则该等差数列的通 项公式为an=a1+(n-1)d (n=1,2,3,…)。
9.若等差数列{an}的公差为d，则这个数列的前n项和公式为
n(a1 + an ) n( n 1) 或 Sn = na1 + d Sn = 2 2
等差数列的概念及其公式(1)
特级教师：卜照泽
等差数列
概念总结
应用举例
概念总结
1.按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每一个数叫 做这个数列的项。 2.数列可以看做一个定义域为正整数集N*或它的有限子集 {1，2，…，n}的函数，当自变量(项数)从小到大依次取值时所 对应的一列函数值。 3.如果数列{an}的项与项数n之间的对应关系可以用一个公式来 表示，这个公式叫做这个数列的通项公式； 数列{an}的前n项和Sn=a1+a2+…+an（n∈N*）
应用举例
例1 写出数列-1，1，-1，1 的一个通项公式，你还能写
出这个数列的其他通项公式吗？ 解：an=(-1)n(n∈N*)为所求的一个通项公式。
1 an = 1 n = 2k 1 (2n 1)π ( k ∈ N ) an = sin 2 n = 2k
(n ∈ N )
an = cos nπ ( n ∈ N ) an = sin( nπ +
概念总结
4.数列的前n项和Sn与通项an的关系为
n=1 S1 , an = Sn Sn1 , n ≥ 2, n ∈ N *
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5.如果给出数列的第一项（或前若干项），并给出数列的每一 项与它的前一项（或前若干项）的关系式，以此来表示数列， 这种表示数列的式子叫做数列的递推公式。
春-四年级-第6讲-等差数列(一)(教师版)
等差数列（一）知识纵横数列：按照一定次序排列的一列数叫数列。
等差数列：如果一个数列，从第 2 项起的每一项与它的前一项的差等于同一个数，这个数列就叫做等差数列，这个相同的差叫做等差数列的公差。
求和公式：和=(首项+末项)×项数÷2等差数列中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，和=中间项×项数。
项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1例 1（1）判断下面的数列中哪些是等差数列？请在括号上打“√”。
① 6、10、14、18、22、26、……（）② 1、2、1、2、3、4、5、……（）③2019、2019、2019、2019、……（）【答案】见解析。
【解析】（2）等差数列:3、6、9、12、15、18、21、24、27、30。
①首项是几？②末项是几？③公差是几？④项数是几？【答案】见解析。
【解析】试一试 1（1）判断下面的数列中哪些是等差数列？请在括号上打“√”。
①1、2、4、8、16、32、64、……（）② 1、0、1、0、1、0、……（）③ 9、8、7、6、5、4、3、2、1。
（）【答案】见解析。
【解析】（2）等差数列:18、22、26、30、34、 (54)①首项是几？②末项是几？③公差是几？【答案】见解析。
【解析】例 2计算：（1）2+4+6+8+10+12 （2）5+10+15+20+25+30+35 【答案】见解析。
【解析】试一试 2计算：（1）15+20+25+30+35+40 （2）27+29+31+33+35+37+39+41+43（3）1+2+3+……+100【答案】见解析。
【解析】例 3求等差数列：1、4、7、10、13、……、61，一共有几项？【答案】见解析。
【解析】试一试 3一列数1，5，9，13，17，……从第二项起，后一项减去它的前面一项的差都相等，从左向右数起，第几个数是201？【答案】见解析。
【解析】例 4计算：4+8+12+16+……+100【答案】见解析。
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它是以 A + B 为首项， A 为公差的 AP。
3 公式中若 d 0 则数列递增， d 0 则数列递减
4
图象：
一条直线上的一群孤立点 [.Com]
三、例题： 注意在 an = a1 + (n −1)d 中 n ， an ， a1 ， d 四数中已知三个可以求
出另一个。
例一 （P115 例一）
例二 （P116 例二） 注意：该题用方程组求参数
由此归纳为 an = a1 + (n − 1)d 当 n = 1时 a1 = a1 （成立）
注意: 1 等 差数列的通项公式是关于 n 的一次函数
2
如果通项公式是关于
n
的一
次函数，则该数列成
AP [.Com]
证明：若 an = An + B = A(n −1) + A + B = ( A + B) + (n −1) A
二、得出等差数列的定义： （见 P115）
注意：从．第．二．项．起．，后一项减去前一项的差等于同．一．个．常．数．。 1．名称：AP 首 项 (a1 ) 公差 (d )
2．若 d = 0
则该数列为常数列 [.Com]
3．寻求等差数列的通项公式：
a2 = a1 + d a3 = a2 + d = (a1 + d ) + d = a1 + 2d a4 = a3 + d = (a1 + 2d ) + d = a1 + 3d
例三 （P116 例三） 此题可以看成应用题
四、关于等差中项： 如果 a, A,b 成 AP 则 A = a + b 2
证明：设公差为 d ，则 A = a + d b = a + 2d
∴ a + b = a + a + 2d = a + d = A
2
2
例四 《 教学与测试》P77 例一：在−1 与 7 之间顺次插入三个数 a,b, c 使这
解二：设 a1 = −1 a5 = 7 ∴ 7 = −1 + (5 −1)d d = 2
∴所求的数列为-1，1，3，5，7
五、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项
六、作业： P118 习题 3．2 1-9
学海无涯
第三教时
教材：等差数列（一）
目的：要求学生掌握等差数列的意义，通项公式及等差中项的有关概念 、计算公式，
并能用来解决有关问题。 []
过程：
一、引导观察数列：4，5，6，7，8，9，10，…… 3，0，−3，−6，……
1 ， 2 ， 3 ， 4 ，…… 2 10 10 10 an = 12 − 3(n −1) 12，9，6，3，…… 特点：从第二项起，每一项与它的前一项 的差是常数 — “等差”
五个数成 AP，求此数列。
解一：∵ −1, a,b, c,7成AP ∴ b 是-1 与 7 的等差中项
∴ b = −1 + 7 = 3 a 又是 -1 与 3 的等差中项 ∴ a = −1 + 与 7 的等差中项
∴ c = 3 + 7 = 5 [学+科+网Z+X+X+K] 2