高考第二轮等差等比数列综合复习

等差、等比数列综合教学目标1.熟练运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n 项和公式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题2.突出方程思想的应用，能选择简捷合理的运算途径，提高运算速度和能力3.用方程的观点认识等差、等比数列的基础知识，从本质上掌握公式4.解决应用问题时，分清是等差数列还是等比数列问题；分清a n 和S n 弄清项数n双基联系1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若129752a a a a a ++++是一个确定的常数，则下列表达式也是一个确定的常数的是 ( ) A.S 5 B.S 7 C.S 9 D.S 132.已知等比数列{a n }，若1612952=a a a a ，则=876a a a ( ) A ．4 B ．8 C ．±4 D ．±83.命题p ：若2b=a ＋c ，则a ，b ，c 成等差数列；命题q ：若ac b =2，则a ，b ，c 成等比数列。

下列判断中正确的是 ( ) A ．p 或q 是假命题 B ．p 且q 是真命题 C ．p 且q 是假命题 D ．以上都不对 4.在等差数列{a n }中，a 1，a 4，a 25依次成等比数列，且a 1＋a 4＋a 25=114，则成等比数列的这三个数依次为 . 5.设}{n a 为等差数列，n an b )21(=，已知821321=++b b b ，81321=b b b ， 求等差数列的通项n a .典型例题【例1】 互不相等的三个数a 、b 、c 成等差数列，又a ，c ，b 恰成等比数列，求a ：b ：c 的值.【思路点拨】本题考查三个数成等差数列以及三个数成等比数列的相应等式，采用方法是，两个等式消去一个“元”，从而求得三个数的比. 【解】由题意得⎩⎨⎧=+=abc c a b 22消去a 可得0222=-+b bc c ，解之得c=b 或c=－2b 当c=b 时，a=b ，故a:b:c=1:1:1，此时不合题意，舍去； 当c=－2b 时，a=4b ，故a:b:c=4:1:(－2)[点评]这道题根据题意列出两个等式不难，主要是结合钥匙目标，求三个数的比，只有两个等式，不可能同时解出三个量的值，所以要用消元的方法。

还要注意题意“互不相等”，舍去一种情形。

【举一反三】 一个三角形的内角A ，B ，C 成等差数列，又A ，C ，B 恰成等比数列，试判断此三角形的形状。

【答案】 等边三角形【例2】 有四个数，前三个数成等比数列，它们的积为216，后三个数成等差数列，它们的和为12，求此四数.【思路点拨】如果设四个未知数虽然也能解决，但运算较繁复。

可借助于三个数成等比或者三个数成等差的的常见方法设未知数.【解法一】 依题意，设这四个数分别为q a ，a ，aq ，b ，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=1222163b aq a aq b a a解得a=6，q=32，b=2，从而得，这四个数分别为9，6，4，2. 【解法二】 依题意，设这四个数分别为x ，d a -，a ，d a +，则⎪⎩⎪⎨⎧==-=-123)(216)(2a ax d a d a ax解得x=9，a=4，d=－2，从而得，这四个数分别为9，6，4，2.【点评】 由于未知数设的巧妙，从而减少了运算量.【例3】 某工厂三年的生产计划规定：从第二年起，每一年比上一年增长的产值相同，三年的总产值为300万元，如果第一年，第二年，第三年分别比原计划产值多10万元，10万元，11万元，那么每一年比上一年的产值增长的百分率相同，求原计划中每一年的产值。

【思路点拨】 原计划三年的产值成等差数列，由三年的总产值为300万元，可知此等差数列中S 3=300，又由产值增长的百分率相同，可以知道，实际三年的产值成等比数列，分别列出两个等式解决问题.【解】 设原计划三年的产值为x －d ，x ，x ＋d ，则实际三年产值为－d ＋10，x ＋10，x －d ＋11，由题意得，⎩⎨⎧+=+++-=+++-②x d x d x ①d x x d x 2)10()11)(10(,300 由①得，x=100，代入②得d=10，故x －d=90，x ＋d=110． 答：原计划三年的产值分别为90万元，100万元，110万元【点评】 等差、等比数列的知识，在实际生产和生活中有着广泛的应用，在解决这类应用问题时，关键是把实际问题转化成数列问题，分清是等差还是等比数列问题，分清a n 和S n ，抓住基本量a 1，d(q)，再运用有关的概念和公式求解.失分诊断 主要失分在于从实际应用问题出发的题，没有直接告知相应数据构成的是等差还是等比数列，一旦搞错，那么整个题就无法正确解决（最容易混淆的是：每年比上一年增长101，常有同学将此等比数列错判成等差数列）。

其次，分清楚a n 和S n 。

最后一点，等比数列的前n 项和公式要分成q=1和q ≠1两种情况来表示，常有同学丢了q=1的特殊情形，从而可能导致漏解。

【例1】 设n S 是等比数列}{n a 的前n 项的和，693,,S S S 成等差数列，试求数列}{n a 的公式q 的值.【错解】 已知等式化为qq a q q a q q a --+--=--⋅1)1(1)1(1)1(2316191 化简整理得1236+=q q ，可解出213-=q 或q 3=1，从而243-=q 或q=1.（也有到最后根据一开始得出的分式方程把q=1简单舍去的）【错解分析】 本题考查等差数列(等差中项的应用及证明)和等比数列通项及求和公式的用法。

容易出错的就是公比为1的情形的考虑，故上述解答的第一步就错了。

请你在课时练中加以巩固和提高吧。

【正确答案】 已知条件化为等式6392S S S +=，当q=1时，已知等式化为1116392a a a +=⋅，解得01=a （不合题意）故q ≠1，已知等式化为qq a q q a q q a --+--=--⋅1)1(1)1(1)1(2316191 化简整理得1236+=q q可解出213-=q 或q 3=1(舍去)，从而243-=q .探究拓展【例1】 这是一段程序伪代码：求程序运行后输入的结果.【思路点拨用所学数学知识解决实际问题的能力。

先要细读这段伪代码表达的算法要求，从众多变量的有规律变化中找出最后输出的两个值的真正内涵，再解决求值问题. 【解】 设n=i 时，x 、y 、z 的值分别为x i 、y i 、z i ， 由题意得，x 0=1，x n =x n －1＋2，所以{x n }是等差数列,且12+=n x n 又y 0=1，y n =2y n －1，所以{y n }是等比数列，且n n y 2=。

又z 0=0，∴n n n n n n y x y x y x y x z z +++=+=- 22111 即n z =nn 2)12(25232+++⨯+⨯ ① ∴2n z =1322)12(2)12(2523+++-++⨯+⨯n nn n ②由②－①得n z =－232)12(]222523[⨯-++⨯++⨯+⨯nnn =22)12(1+-+n n由已知得,程序终止时,n z >7000，1-n z ≤7000，即⎩⎨⎧≤+->+-+700022)32(700022)12(1nn n n ，可求得n=8，z=7682。

故最后输出的结果是：8 7682【点评】 这道题对阅读能力、用数学式子表达数学关系的能力、推理能力和建模能力都有较好的考查。

破题的金钥匙，就是分别观察循环过程中独个变量会晤的变化规律，进而得出输入时两个量满足的条件.（这也同初中物理实验研究中的控制变量原理是想通的，请你仔细体会）等差、等比数列综合 巩固练习一、 选择题…1、公差不为零的等差数列的第2，第3，第6项依次成等比数列，则公比是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42、若等差数列{a n }的首项为a 1=1，等比数列{b n }，把这两个数列对应项相加所得的新数列{a n +b n }的前三项为3，12，23，则{a n }的公差与{b n }的公比之和为 ( ) A ．-5 B ．7 C ．9 D ．143、一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和，当这个数列的前n 项和最大时，n 等于． （ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．84、已知－9，a 1，a 2，－1这4个数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1 这5个数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)等于 （ ）A ．8B ．－8C ．±8D ．89二、填空题：5、已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且1a ，3a ，9a 成等比数列，则1042931a a a a a a ++++的值为______6、若数列{}n a 中，13a =，且21n n a a += *()n N ∈，则数列的通项n a = ．7、有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数依次为______________________ 三、解答题：8、已知抛物线24x y =，过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点1P ，又过点1P 作斜率为12的直线交抛物线于点2P ，再过2P 作斜率为14的直线交抛物线于点3P ， ，如此继续，一般地，过点n P 作斜率为12n的直线交抛物线于点1n P +，设点(,)n n n P x y ．令2121n n n b x x +-=-，求证：数列{}n b 是等比数列．9、已知数列{a n }是首项a 1＞0，q ＞－1且q ≠0的等比数列，设数列{b n }的通项b n =a 1n +－ka 2n + (n ∈N)，数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ．如果T n ＞kS n 对一切自然数n 都成立，求实数k 的取值范围．10、已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+== ，⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵设数列),2,1(,2 ==n a c nnn ，求证：数列{}n c 是等差数列； ⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和。

等差、等比数列综合练习答案双基答案 1、D 2、D 3、C 4、38，38，38或2，14，98 5、n a n 25-=或32-=n a n 巩固练习答案1、【答案】C【分析】 由题意，6223a a a =，即)5)(()2(112d a d a d a ++=+，∵d ≠0，∴解得d=)0(21≠-a ，故公比为331123=--=a a a a 2、【答案】C【分析】 设公差为d ，公比为q ，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+2321121312111q b d q b d b 解得q=2，d=73、【答案】C【分析】 依题意知，数列单调递减，公差d ＜0．因为S 3=S 11=S 3＋a 4＋a 5＋…＋a 10＋a 11所以a 4＋a 5＋…＋a 7＋a 8＋…＋a 10＋a 11=0 即a 4＋a 11=…=a 7＋a 8=0，故当n=7时，a 7＞0，a 8＜0．选择C ． （说明）解选择题注意发挥合理推理和估值的作用． 4、【答案】B【分析】 由题意，a 2－a 1=d=383)9(1=---， 而9)1(922=-⨯-=b 且0922<-=q b ，故32-=b5、【答案】2923【分析】 由题意，9123a a a =，即)8()2(112d a a d a +=+，∵d ≠0，∴解得d=)0(21≠a ，故通项为1)12(a n a n -=，原式计算得结果 6、【答案】123-n【分析】 多次运用迭代，可得2112222221221()[()]()()3n n n n n n a a a a a -----======7、【答案】0，4，8，16或15，9，3，1．【分析】设四个数分别为x ，y ，12-y ，16-x ，则⎩⎨⎧-=-=-+)2()12()16()1(2)12(2y x y y y x 由（1）得：x=3y-12（3）代入（2）得：y 2-13y+36=0．解得y=4或y=9，分别代入（3）得：x=0或x=15．所以所求四个数分别为：0，4，8，16或15，9，3，1．三、解答题8、【解】因为(,)n n n P x y 、111(,)n n n P x y +++在抛物线上，故24,n n x y =①2114n n x y ++=②，又因为直线1n n P P +的斜率为12n，即1112n n n n y y x x ++-=-，①②代入可得221121111422n n n n n n n n x x x x x x ++-+-=⇒+=-2121212221()()n n n n n n n b x x x x x x +-+-∴=-=+-+222322111222n n n ---=-=-，故11{}4n n n b b b +=⇒是以14为公比的等比数列；9、【解】因为{a n }是首项a 1＞0，公比q ＞－1且q ≠0的等比数列，故a 1n +=a n ·q ， a 2n +=a n ·q 2． 所以b n =a 1n +－ka 2n +=a n (q －k ·q 2)．T n =b 1＋b 2＋…＋b n =(a 1＋a 2＋…＋a n )(q －k ·q 2)=S n (q －kq 2)． 由题意，由T n ＞kS n ，得S n (q －kq 2)＞kS n ， ①对一切正整数n 都成立． 当q ＞0时，由a 1＞0，知a n ＞0，所以S n ＞0；当－1＜q ＜0时，因为a1＞0，1－q ＞0，1－q n＞0，所以S n =01)1(1>--qq a n综合上述两种情况，当q ＞－1且q ≠0时，S n ＞0总成立．由①式可得q －kq 2＞k ②， 即q q k <+)1(2，∴21212=≤+<q q q q k ，故k 的范围是)21,(-∞.10、【解】(1)由S 1n +=4a 2n +，S 2n +=4a 1n +＋2，两式相减，得S 2n +－S 1n +=4(a 1n +－a n )，即a 2n +=4a 1n +－4a n ．(根据b n 的构造，如何把该式表示成b 1n +与b n 的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)a 2n +－2a 1n +=2(a 1n +－2a n )，又b n =a 1n +－2a n ，所以b 1n +=2b n ①已知S 2=4a 1＋2，a 1=1，a 1＋a 2=4a 1＋2，解得a 2=5，b 1=a 2－2a 1=3 ② 由①和②得，数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列，故b n =3·21n -．(2)∵n n n a c 2=，∴n n n n n n a a c c 22111-=-+++＝1122++-n n n a a ＝12+n n b ＝11223+-∙n n ＝43又21211==a c ，故数列{c n }是首项为21，公差为43的等差数列，∴c n ＝4143-n(3) ∵n n n a c 2=，又c n ＝4143-n ，∴=n n a 24143-n ，故22)13(-∙-=n n n a 当n ≥2时，S n =4a 1n -＋2=21n -(3n －4)＋2；当n=1时，S 1=a 1=1也适合上式．综上可知，所求的求和公式为S n =21n -(3n －4)＋2．注意：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前n 项和。