博弈论5

流浪汉 寻找工作 政府 救济 不救济 3,2 1,1 游荡 －1,3 0,0
2
而另一些博弈却有多于一个没有哪个博弈方愿意单独 改变策略的纳什均衡策略组合，如夫妻之争博弈。 改变策略的纳什均衡策略组合，如夫妻之争博弈。
丈 夫 妻子 时装表演 足球 时装表演 2,1 0,0 足球 0,0 1,3
♦ 这两类博弈如果只进行一次，实际结果如何确实取决于机会和 这两类博弈如果只进行一次，
10
博弈方2 博弈方 博弈方1 博弈方 A B C 2,3 3,1 D 5,2 1,5
设博弈方1选 的概率为 的概率为p 的概率为p 博弈方2选 的概 设博弈方 选A的概率为 A，选B的概率为 B，博弈方 选C的概 的概率为 率为p 的概率为p 根据上述第二个原则，博弈方1选 率为 C，选D的概率为 D。根据上述第二个原则，博弈方 选A 的概率为 的概率p 一定要使博弈方2选 的期望得益和选 的期望得益和选D的期 和 B的概率 A和pB一定要使博弈方 选 C的期望得益和选 的期 的概率 望得益相等,即 望得益相等 即: pA×3＋pB×1=pA×2+pB×5 ＋ 简 化 后 可 得 pA=4pB 。 又 因 为 pA 十 pB=1 ， 因 此 pA=0.8 ， pB=0.2，这就是博弈方 应该选择的混合策略。 同理， 博弈方 应该选择的混合策略。 ，这就是博弈方1应该选择的混合策略 同理， 2选择 和D的概率 c和pD也应使博弈方 选择 的期望得益和选 选择C和 的概率 的概率p 也应使博弈方1选择 选择A的期望得益和选 选择 的期望得益相等， 择B的期望得益相等，即 的期望得益相等 pc×2＋pD×5=pc×3+pD×1 ＋ 简化后得4p 因为p 简化后得 D=pC。因为 D+pC =1，因此 C=0.8，pD=0.2， ，因此p ， ， 11 这是博弈方2的混合策略 的混合策略。 这是博弈方 的混合策略。
第三节 混合战略纳什均衡
一、概念的提出 用纳什均衡的概念已经相当圆满地解决了不少 博弈问题， 博弈问题，但我们也应该注意到纳什均衡在解 博弈问题时的弱点， 博弈问题时的弱点，即只有当博弈中有唯一的 纳什均衡时才能解出博弈的结果， 纳什均衡时才能解出博弈的结果，才能说出各 博弈方的做法。但是， 博弈方的做法。但是，许多现实中决策问题构 成的博弈中根本不存在具有稳定性的各博弈方 都接受的纳什均衡策略组合， 都接受的纳什均衡策略组合，如猜硬币博弈和 齐威王田忌赛马
猜硬币方 盖硬币 方 正面 反面 正面 －1,1 1，－ ，－1 ，－ 反面 1，－ ，－1 ，－ －1,1
5
正如前面已反复证明了的， 正如前面已反复证明了的，该博弈中不存在任何纳什均衡策略组 因为无论哪个策略组合的结果都是一方赢一方输， 合，因为无论哪个策略组合的结果都是一方赢一方输，而输的一 方又总可以通过单独改变自已的策略而反输为赢。 方又总可以通过单独改变自已的策略而反输为赢。因此这就引出 了在这种博弈中各博弈方决策的第一个原则： 了在这种博弈中各博弈方决策的第一个原则：自己的策略选择千 万不能预先被另一方侦知或猜到。 万不能预先被另一方侦知或猜到。 从上述原则再推论下去又可知道，在该博弈的多次重复中， 从上述原则再推论下去又可知道，在该博弈的多次重复中，博弈 方一定要避免自己的选择带有任何的规律性， 方一定要避免自己的选择带有任何的规律性，因为一旦自己的选 择有某种规律性并被对手发觉， 择有某种规律性并被对手发觉，则对手可以根据这种规律性判断 出你的选择，从而对症下药选择策略，使你屡战屡败。 出你的选择，从而对症下药选择策略，使你屡战屡败。 其次，在本博弈中， 其次，在本博弈中，如果盖硬币方虽然是随机决定出正面还是反 但如果在总体上出正面多于出反面， 面，但如果在总体上出正面多于出反面，即出正面的概率大于出 反面的概率，则猜硬币方还是有机可乘。 反面的概率，则猜硬币方还是有机可乘。设盖硬币方出正面的概 率为p则出反面的概率为l 出正面多于出反面， 率为p则出反面的概率为l一p，出正面多于出反面，即p＞1一p或 l/2 在这种情况下，如猜硬币方全猜正面，则他的期望得益： p＞l/2。在这种情况下，如猜硬币方全猜正面，则他的期望得益： (l一P)× p×1十(l一P)×(－1)＝2p－1＞0
1
例1，社会福利博弈。在这个博弈里，参与人是政府和一个流 ，社会福利博弈。在这个博弈里， 浪汉有两个战略：寻找工作或游荡；政府也有两个战略： 浪汉有两个战略：寻找工作或游荡；政府也有两个战略：救 济或不救济。政府想帮助流浪汉， 济或不救济。政府想帮助流浪汉，但前提是后者必须试图寻 找工作，否则，前者不予帮助； 找工作，否则，前者不予帮助；而流浪汉只有在得不到政府 救济时才会寻找工作。类似这样的问题， 救济时才会寻找工作。类似这样的问题，在父母决定给予懒 惰的儿子多少资助时也会出现。下表给出这个博弈的支付矩 惰的儿子多少资助时也会出现。 阵(返回） 返回） 返回
1 1 1 1 1 1 1 1 × 1 + × (−1) + ×1 + × ( −1) = 0 2 2 2 2 2 2 2 2
即多次独立重复该博弈的结果应为不输不赢，这当然是这个零 即多次独立重复该博弈的结果应为不输不赢， 和博弈双方最能接受的结果。 和博弈双方最能接受的结果。
运气，因为它们不存在能导致确定性结果的内在机制， 运气，因为它们不存在能导致确定性结果的内在机制，也就是 博弈方选任一策略都不能保证有利的结果和好的得益。 说，博弈方选任一策略都不能保证有利的结果和好的得益。但 这也不是说博弈方可以胡乱选择， 这也不是说博弈方可以胡乱选择，实际上在这些博弈中各博弈 方的决策还是很有讲究的， 方的决策还是很有讲究的，我们可以设想多次独立反复进行这 些博弈，这样博弈方决策的好坏就会从平均得益上反映出来， 些博弈，这样博弈方决策的好坏就会从平均得益上反映出来， 策略运用得当平均收益会较理想，至少是不吃亏， 策略运用得当平均收益会较理想，至少是不吃亏，否则平均得 益就会很差。 益就会很差。
8
在猜硬币博弈中，盖硬币方以 在猜硬币博弈中，盖硬币方以1/2的相同概率随机选 的相同概率随机选 择出正面还是出反面和猜硬币方以1/2的相同概率随 择出正面还是出反面和猜硬币方以 的相同概率随 机选择猜正面还是猜反面就是一个混合策略的纳什 均衡。 均衡。这样的纳什均衡虽然不能明确告诉我们一次 博弈中双方的具体选择和博弈的确定结果， 博弈中双方的具体选择和博弈的确定结果，但却告 诉了我们他们决策的具体方式，以及两博弈方的期 诉了我们他们决策的具体方式， 望得益： 望得益：
9
二、用支付等值法求解混合战略纳什均衡
例讨论一个变和博弈的例子 博弈方2 博弈方 博弈方1 博弈方 A B C 2,3 3,1 D 5,2 1,5
♦ 对该博弈用划线法很容易看出它不存在任何纯策略纳什均衡， 对该博弈用划线法很容易看出它不存在任何纯策略纳什均衡，
也即任何一个纯策略组合下都有一个博弈方可通过单独改变 策略而得到更好的得益。因此这又是一个混合策略问题。 策略而得到更好的得益。因此这又是一个混合策略问题。 ♦ 本博弈中两博弈方决策的第一个原则同样也是不能让对方知 道或猜到自己的选择，因而必须在决策时利用随机性。 道或猜到自己的选择，因而必须在决策时利用随机性。第二 个原则是他们选择每种策略的概率一定要恰好使对方无机可 乘，即让对方无法通过有针对性地倾向某一策略而在博弈中 占上风。 占上风。
守卫 小偷 偷 不偷 睡 B,－D － 0,S 不睡 －P,0 0,0
4
上述这样一环套一环的因果循环永远不可能停止， 上述这样一环套一环的因果循环永远不可能停止， 无论从哪里开始结果都是一样。 无论从哪里开始结果都是一样。因此这个博弈与 猜硬币和齐威王田忌赛马一样， 猜硬币和齐威王田忌赛马一样，都是在一次性博 弈中没有会自动实现的均衡性策略组合的， 弈中没有会自动实现的均衡性策略组合的，也就 是说，两博弈方之间的利益是始终都不会一致的。 是说，两博弈方之间的利益是始终都不会一致的。 我们还是从较简单的猜硬币博弈开ห้องสมุดไป่ตู้来探索这类 博弈问题的解法。 博弈问题的解法。
3
小偷和守卫的博弈。 小偷和守卫的博弈。 对博弈论研究作出巨大贡献而荣获1995年诺贝尔经济学奖的 对博弈论研究作出巨大贡献而荣获 年诺贝尔经济学奖的 R·塞尔腾教授 塞尔腾教授1996年3月在上海的一次讲演中讲了一个关于小 塞尔腾教授 年 月在上海的一次讲演中讲了一个关于小 偷与守卫之间博弈的例子。该博弈问题是这样的： 偷与守卫之间博弈的例子。该博弈问题是这样的：一小偷欲偷窃 有一守卫看守的仓库，如果小偷去偷窃时守卫在睡觉， 有一守卫看守的仓库，如果小偷去偷窃时守卫在睡觉，则小偷就 能得手，但如果小偷去偷窃时守卫没有睡觉，则小偷就要被抓住。 能得手，但如果小偷去偷窃时守卫没有睡觉，则小偷就要被抓住。 并且，我们假设小偷得手可得价值为B的赃物 的赃物， 并且，我们假设小偷得手可得价值为 的赃物，如被抓住则要坐 坐牢的负效用为一P(设其单位与脏物的价值同 设其单位与脏物的价值同)， 牢，坐牢的负效用为一 设其单位与脏物的价值同 ，再设守卫 睡觉而未被偷则有S的正效用 睡觉遭偷则要被解雇， 的正效用， 睡觉而未被偷则有 的正效用，睡觉遭偷则要被解雇，解雇的负 效用为一D(也设其单位与 的单位同)，而如果小偷不偷， 也设其单位与S的单位同 效用为一 也设其单位与 的单位同 ，而如果小偷不偷，则他 既无得也无失， 既无得也无失，守卫不睡则出一份力挣一份工资同样也是既无得 也无失。 也无失。 根据上述设定，在该博弈中， 根据上述设定，在该博弈中， 小偷有偷和不偷两种可选策略， 小偷有偷和不偷两种可选策略， 守卫有睡和不睡两种可选策略， 守卫有睡和不睡两种可选策略， 双方博弈的得益矩阵如图（ 双方博弈的得益矩阵如图（返 回）
7
定义：在博弈 定义：在博弈G={S1，…，Sn;u1，…，un}中，博弈方 的 ， ， 中 博弈方i的 策略空间为S 则博弈方i以概率分布 策略空间为 i={si1,…,sik}则博弈方 以概率分布 则博弈方 pi=(pi1,…,pik)随机选择其 个可选策略称为一个“混合战 随机选择其k个可选策略称为一个 随机选择其 个可选策略称为一个“ 其中0≤ 都成立且p 略”，其中 ≤pik≤1对k=1, …k都成立且 i1+…pik=1 对 都成立且 相对于这种以一定概率分布在一些策略中随机选择的混合策 确定性的具体的策略我们称为“纯策略” 略，确定性的具体的策略我们称为“纯策略”，而我们原来 意义上的纳什均衡， 意义上的纳什均衡，即任何博弈方都不愿单独改变策略的纯 策略组成的策略组合现在可称为“纯策略纳什均衡” 当然， 策略组成的策略组合现在可称为“纯策略纳什均衡”。当然， 纯策略也可以看作混合策略的特例。 纯策略也可以看作混合策略的特例。 引进了混合策略的概念以后， 引进了混合策略的概念以后，我们可将纳什均衡的概念扩大 到包括混合策略的情况。对各博弈方的一个策略组合， 到包括混合策略的情况。对各博弈方的一个策略组合，不管 它是纯策略组成的还是混合策略组成的， 它是纯策略组成的还是混合策略组成的，只要满足各博弈方 都不会想要单独偏离它，我们就称之为一个纳什均衡。 都不会想要单独偏离它，我们就称之为一个纳什均衡。