序贯二次规划-西安交通大学

T
(5-41a) (5-41b) (5-41c)
C=(c1 , c2 , , cn )T b=(b1 , b2 , , bm )T
q11 q12 , , q1n q q , , q 21 22 2n Q= M M M M qn1 qn2 , , qnn n a11 a12 , , a1n a a , , a 21 22 2n A= M M M M an1 an2 , , ann
5-53
5-54
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jt2 j =0
i AiT bi 0 jxj 0
i 1, 2,..., m j 1, 2,..., n

2. 二次规划的求解--Lagrange乘子技术
这样函数L稳定点的必要条件可归纳为 c j j dij xi ij ai 0
(i 1, 2, L , m) ( j 1, 2, L , l )
(5-34)
约束条件是二次的
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1. SQP法简介

x K 1 x K = x K 1 x K
i 1 n 2
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5-43
函数L的稳定点的必要条件 : n L c j i aij j 0 x j j 1 L 2i si 0 s j L 2 j t j 0 t j L AiT x si2 bi 0 j L x j t2 j 0 j

1. 1 SQP法简介--只有等式约束
min s.t. 1 f ( x)T x+ xT Q k x 2 gi ( x K ) xT gi ( x K ) 0 hj ( x K ) xT hi ( x K ) 0
SQP法求解
(i 1, 2, L , m) ( j 1, 2, L , l )
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2. 二次规划的求解--Lagrange乘子技术
AiT bi=-si 2= yi
i si 2 i yi 0
L x t2 0 i j j
5-50 5-51 5-48 5-52
f(x k )+Q k x (J k )T k 1 0 J k x+h(x)=0
(5-38)

1. 2 SQP法简介—非等式约束
上述思想推广到含有不等式约束非线性规划的一般情形也 是正确的。然而,在WHP算法中, 并不直接取x作为新的近 似点, 往往以Δ x作为一个搜索方向,通过一维搜索求步长 α 来确定下一个迭代点,即 k 1 k
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2. 二次规划的求解--Lagrange乘子技术
Q是正定矩阵，因此f(x)一定是一个严格的凸函数，而其可行域是 一个凸集（因是线性函数），因而其局部最小也必定是全局最小。
函数L稳定点的必要条件为 c j j dij xi ij ai 0
x =x x
另外,在WHP算法中, 类似于无约束最优化方法中的变尺度 法, 式(5-34)中的矩阵Qk不直接取广义Lagrange函数的二 2 阶偏导数矩阵 X L 。通常取Q0=I(单位矩阵),以后各次计 算按一定的格式进行修正。
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1.3 SQP法计算步骤
1 将非线性规划问题转化为二次规划问题(式(5-34));
3 对该二次规划问题进行迭代求解;
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2. 二次规划的求解
二次规划问题的一般形式为 1 min f(x)=C T x+ xT Q x 2 s .t . Ax b x0 其中 x= x1 , x2 ,, xn
1.1 SQP法简介--只有等式约束
为了加深对SQP法基本思想的理解,以下对只有等式约束的 非线性规划问题做一说明。考虑非线性规划问题 : min f ( x) (5-35) s.t. h ( x) 0 式中h x (h1 x , h2 x , , hl x )T 。 问题(式 5 35 )的最优性必要条件为 f x T h x 0 h x 0 或记作
Lagrange乘 子技术
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2. 二次规划的求解--Lagrange乘子技术
对式 5 41b 可引进松弛变量si2 i 1,2,..., m 或
式 5 41c 引进剩余变量t2 j j 1,2,..., n , 则该 二次问题可以写成 1 T min f(x)=C x+ xT Q x 2 s .t . AiT x si2 bi i 1,2,..., m x j t2 j 0 其中 Ai ai1, ai yi xj 0 yi 0
i 0 j 0
和 i yi 0
AiT bi =-si 2= yi 以si 和t j分别乘式 和式
L 2 j t j 0 5 46 , 可得 t j
i si 2 i yi 0
和 jt2 j =0
i 1, 2,..., m j 1, 2,..., n
5-51 5-52
j 1,2,..., n
5-42a 5-42b
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2. 二次规划的求解--Lagrange乘子技术
这样Lagrange函数就可以写成 m n 1 T T T 2 L(x,s,t, , )=C x+ x Q x + i Ai x si bi j xi t2 j 2 i 1 j 1
j 1 i 1 n n
j 1,2,..., n i 1,2,..., m j 1,2,..., n i 1,2,..., m i 1,2,..., m j 1,2,..., n i 1,2,..., m j 1,2,..., n
j 1 i 1 n n
j 1,2,..., n i 1,2,..., m j 1,2,..., n i 1,2,..., m i 1,2,..., m j 1,2,..., n i 1,2,..., m j 1,2,..., n
min s.t. f ( x) g i ( x) 0 h j ( x) 0
min s.t.
(i 1, 2, L , m) ( j 1, 2, L , l )
(5-1a) (5-1b) (5-1c)
目标函数是二次的
1 f ( x)T x+ xT Q k x 2 gi ( x K ) xT gi ( x K ) 0 hj ( x K ) xT hi ( x K ) 0
5-55
AiT bi yi xj 0 yi 0
i 0 j 0
和 i yi 0
5-56 5-57 5-58 5-59 5-60 5-61 5-62
原二次规划问 题可以通过解 这m+n个线性 方程组得到
jxj 0
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1. 1 SQP法简介--只有等式约束
h j ( x) f ( x) l E1 i 0 x1 xl j 1 h j ( x) f ( x) l E2 i 0 x2 x j 1 2 M h j ( x) f ( x) l En i 0 xn xn j 1 En1 h1 ( x) 0 En 2 h2 ( x ) 0 M Enl hl ( x) 0

2. 二次规划的求解--Lagrange乘子技术
定义一组新的变量yi : yi si 2 则方程
i 1, 2,..., m i 1, 2,..., m
5-49 5-50
L AiT x si2 bi 0 5 47 可以写成 j L 2i si 0 5 45 s j
(5-34)
按照式 5 34 的模式, 在某一近似点( x k , k )处其二次规划问题的形式为, min s.t. 1 f ( x)T x+ xT Q k x 2 h( x K ) xT h( x K ) 0
(5-39)
其Lagrange函数为
T 1 L=f(x)T x+ xT Q k x- k 1 h(x k ) h(x k )T x 2
这是一个n+l个方程和n+l 个变量的非线性方程组。 若有解存在,则可得到惟一 解x*, 且满足原问题最优 解的必要条件。

1. 1 SQP法简介--只有等式约束
牛顿迭代求解
若已知某一近似点( x k , k ), 则根据牛顿法解非线性方程组的思想, 应有以下迭代公式 : Q k (J k )T x x k k E(x ) （5-37） k Jk 0 式中E= （E1，E2， L ，En，En1，En2， L ,Enl )T，等价于 f(x k )+Q k x (J k )T k 1 0 J k x+h(x)=0 为变量的线性方程组。 (5-38) 这是一个以x (x1 , x2 ,, xn )T 和 k 1 (1k 1 ,2k 1 ,L ,1k 1 )
5.4 序贯二次规划（SQP）法
化工学院 *** ******
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序贯二次规划（SQP）法
1. SQP法简介
2.二次规划的求解
3.一维搜索 4.矩阵Qk的校正
5.化工中的应用实例
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