四川省成都外国语学校2019届高三下学期入学考试数学(理)试卷 Word版含答案

成都外国语学校18-19下高2016级高三入学考试试题数学（理工类）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．．已知集合．．．．．{}{}22(,)log ,(,)2A x y y x B x y y x x ====-，．则．A ．∩．B ．的元素有．．．．(． )． A ．．．1．个． B ．．．2．个． C ．．．3．个． D ．．．4．个．2．．已知复数．．．．．122iz i +=- (．i 为虚数单位．．．．．)．，则．．z 的虚部为．．．．(． )．A ．．－．．1 ．B ．．．0 ．C ．．．1 ．D ．．．i ． 3.．．已知双曲线．．．．．C 的渐近线方程为．．．．．．．2y x =±，且经过点．．．．．(2,2)，则．．C 的方程为．．．．(． )．A.．． 221312x y -=B.．． 221123x y -=,C.．．． 221312y x -=D.．． 221123y x -= 4．．函数．．．2log 0()20x x x f x a x >⎧=⎨-≤⎩有且只有一个零点的充分不必要条件是．．．．．．．．．．．．．．．．．(． )．A ．．．0a <B ．．．102a << C.．． 112a <<D ．．．01a a ≤>或5.．．已知．．函数．．()sin()f x x ϕ=-，．且．230()0f x dx π=⎰，．则函数．．．()f x 的图象的一条对称轴是．．．．．．．．．．(． )． A ．．．56x π= B ．．．712x π= C ．．．3x π= D ．．．6x π=6．．某几何体的正视图和侧视图如图．．．．．．．．．．．．．．．①．所示，它的俯视图的直观图是．．．．．．．．．．．．．'''A B C ∆ ，如图．．．②．所示，．．．其中．．2O A O B O C ''=''=''=，．．．．．．．．．．为．(． )．A ．．．36+．．．24+C ．．．24+D ．．．36+7．．已知圆．．．．22:(3)(4)1C x y -+-=和两点．．．()()(,0),,00A m B m m ->．．若圆．．C 上存在点．．．．P ，使得．．． 90APB ∠=︒，则．．m 的最大值．．．．为．(． )． A ．．．7 ． B ．．．6 ． C ．．．5 ． D ．．．4． 8.如果执行右边框图，，则输出的数s 与输入的N 的关系是（ ）A. 1(1)22N N +-⋅+B. 122N N +⋅+ C. 1(1)22N N +-⋅- D. 122N N +⋅-9．．如图所示，已知点．．．．．．．．．G 是．ABC ∆的重心，过点．．．．．．G 作直线与．．．．,AB AC 两边分别交于．．．．．．,M N两点，且．．．．,AM xAB AN yAC ==，则．．xyx y+的值为．．．(． )． A ．．．3 B.．．．1．3． C ．．．2． D.．．1．2．10.．．．已知函数．．．．()22xx af x =-，其在区间．．．．．[0,1]上单调递增，则．．．．．．．a 的取值范围为．．．．．．(． )． A ．．．[0,1] B ．．．[1,0]- C ．．．[1,1]- D.．． 11[,]22- 1．1．．． 如图，抛物线．．．．．．24y x =的一条弦．．．．AB 经过焦点．．．．F ，取．．线段．．OB 的中点．．．D ，延长．．．OA 至点．．C ，使．．OA AC = ，．过点．．,C D 分别作．．．y 轴的垂线，垂足分别为．．．．．．．．．．,E G ，则．．EG 的．最小值为．．．．( )．．．．A ．．．．．．．．．．．4 12. 若函数2()ln ln x f x ax x x x =+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A. 1(1,)1e e e -- B.1[1,]1e e e -- C. 1(,1)1e e e --- D. 1[,1]1e e e ---第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

. 13．．．某班级有．．．．．50．．名学生，现要采取系统抽样的方法在这．．．．．．．．．．．．．．．．．50．．名学生中抽出．．．．．．10．．名学生，将这．．．．．．50．．名学生随机编号．．．．．．．1．～．50．．号，并分组，第一组．．．．．．．．．1．～．5．号，第二组．．．．．6．～．10．．号，．．…．，第十组．．．．46．．～．50．．号，若在第三组中抽得号码为．．．．．．．．．．．．．12．．的学生，则在第八组中抽得号码为．．．．．．．．．．．．．．．________．．．．．．．．的学生．．．．． 14．．、．若．(cos )cos 2f x x = ，则．．(sin )12f π=________．．．．．．．．.．15.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为16.ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c .D 是BC 边的中点，且2AD =，8sin a B =，1cos 4A =-，则ABC ∆面积为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n ，n a ，n S 成等差数列，()22log 11n n b a =+-． （l ）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 中去掉数列{}n a 的项后余下的项按原顺序组成数列{}n c ，求12100c c c +++的值．18.如图，点P 是菱形ABCD 所在平面外一点，PA ⊥平面ABCD ，////PA FB ED ，60ABC ∠=︒，22PA AB BF DE ===．（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面PCE ； （Ⅱ）求二面角B PC F --的余弦值．19.“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号．某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(,)i i x y （i =1,2，…，6），如表所示：已知6116i i y y ==∑80=．（Ⅰ）求出q 的值；（Ⅱ）已知变量x ，y 具有线性相关关系，求产品销量y （件）关于试销单价x （元）的线性回归方程y bx a =+；（Ⅲ）用i y 表示用（Ⅱ）中所求的线性回归方程得到的与i x 对应的产品销量的估计值．当销售数据(,)i i x y 对应的残差的绝对值||1i i y y -≤时，则将销售数据(,)i i x y 称为一个“好数据”．现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”个数ξ的分布列和数学期望()E ξ．（参考公式：线性回归方程中b ，a 的最小二乘估计分别为1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑,a y bx =-)20. （本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率12e =，过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的线段长为3．（1）求椭圆的方程；（2）动直线1:2l y x m =+与椭圆交于A ,B 两点，在平面上是否存在定点P ，使得当直线P A 与直线PB 的斜率均存在时，斜率之和是与m 无关的常数？若存在，求出所有满足条件的定点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 21. （本小题满分12分）设函数21()4ln (4)2f x x ax a x =-+-，其中a ∈R ． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 存在极值，对于任意的120x x <<，存在正实数0x ，使得12012()()()(),f x f x f x x x '-=⋅-试判断12x x +与02x 的大小关系并给出证明．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos a ρθ=（0a >），且曲线C 与直线l 有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）设A 、B 为曲线C 上的两点，且3AOB π∠=，求||||OA OB +的最大值．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|2|1|f x x x =--+的最大值a （a R ∈）． （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）若112a m n+=（0m >，0n >），试比较2m n +与2的大小．成都外国语学校高2016级高三下入学考试答案数学（理工类）第Ⅰ卷一、选择题 1．-．5 ．B ．CAAA ．．．．6．-．10 CBABC 11．．．．．．．．．-．12 DA ．．．． 二、填空题：1．3．、．37．． 14．．、．．． 16．． 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．【解析】（1）因为n ，n a ，n S 成等差数列，所以2n n S n a +=，①·····2分 所以()()11122n n S n a n --+-=≥．②①－②，得1122n n n a a a -+=-，所以()()11212n n a a n -+=+≥．·····4分 又当1n =时，1112S a +=，所以11a =，所以112a +=， 故数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列， 所以11222n n n a -+=⋅=，即21n n a =-．·····6分（2）根据（1）求解知，()22log 121121n n b n =+--=-，11b =，所以12n n b b +-=， 所以数列{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列．·····7分又因为11a =，23a =，37a =，415a =，531a =，663a =，7127a =，8255a =， 64127b =，106211b =，107213b =，·····9分 所以()()1210012107127c c c b b b a a a +++=+++-+++()()127107121322272⨯+⎡⎤=-+++-⎣⎦()72121072147212-⨯=-+- 2810729=-+11202=．·····12分18.（Ⅰ）证明：取PC 中点M ，连BD 交AC 于O ，连OM ，EM ． 在菱形ABCD 中，OD AC ⊥，∵PA ⊥平面ABCD ，OD ⊂平面ABCD ，∴OD PA ⊥， 又PAAC A =，PA ，AC ⊂平面PAC ，∴OD ⊥平面PAC ，∵O ，M 分别是AC ，PC 的中点，∴//OM PA ，12OM PA =， 又//DE PA ，12DE PA =，∴//OM DE ，OM DE =， ∴四边形OMED 是平行四边形，则//OD EM ，∴EM ⊥平面PAC ， 又EM ⊂平面PCD ，∴平面PAC ⊥平面PCE ．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得EM ⊥平面PAC ，则OB ，OC ，OM 两两垂直，以OB ，OC ，OM 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设222PA AB BF DE ====，则B ，(0,1,0)C ，(0,1,2)P -，F ，(0,2,2)PC =-，(3,1,2)PB =-，(3,1,1)PF =-，设1111(,,)n x y z =是平面BPC 的一个法向量，则110,0,n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1111120,220,y z y z +-=-=⎪⎩ 取1x 13y =，13z =，∴1(3,3,3)n =， 设2222(,,)n x y z =是平面FPC 的一个法向量， 同理得，2(0,1,1)n =．∴121212cos ,7||||21n n n n n n ⋅<>===⋅， ∴二面角B PC F --的余弦值为7． 19.解：（Ⅰ）611806i i y y ===∑，可求得90q =．（Ⅱ）61622130506 6.580704271253.517.5()i ii ii x y nx yb xn x ==--⨯⨯===-=---∑∑，804 6.5106a y bx =-=+⨯=，所以所求的线性回归方程为4106y x =-+．（Ⅲ）利用（Ⅱ）中所求的线性回归方程4106y x =-+可得，当14x =时，190y =；当25x =时，286y =；当36x =时，382y =；当47x =时，478y =；当58x =时，574y =；当69x =时，670y =．与销售数据对比可知满足||1i i y y -≤（i =1,2，…，6）的共有3个“好数据”：(4,90)、(6,83)、(8,75)．于是ξ的所有可能取值为0，1，2，3．33361(0)20C P C ξ===；1233369(1)20C C P C ξ===；2133369(2)20C C P C ξ===；33361(3)20C P C ξ===，∴ξ的分布列为：于是()0123202020202E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 20. 解：(1) 设椭圆的半焦距为c ，则222c a b =-，且12c e a ==．由2222,1,x c x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得2b y a=±．……2分依题意，223b a =，于是椭圆的方程为22143x y +=．……………………………4分 (2)设112211,,,22A x x t B x x t ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设1:2l y x t =+，与椭圆方程联立得2230.x tx t ++-=则有21212, 3.x x t x x t +=-=-………………………………………6分 直线PA,PB 的斜率之和1221122211()()22()()3232.3PA PBm x t m x n x t m x k k m x m x n m t mn t mt m ⎛⎫⎛⎫---+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=--⎛⎫-+-⎪⎝⎭=++-………9分当3,232n m mn ==时斜率的和恒为0，解得1,1,33..22m m n n ==-⎧⎧⎪⎪⎨⎨==-⎪⎪⎩⎩或…………………………………11分 综上所述，所有满足条件的定点P 的坐标为31,2⎛⎫⎪⎝⎭或31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭．………………12分 21. 解：（1）函数f (x )的导函数4(4)(1)()(4),ax x f x ax a x x-++'=-+-=…………2分 情形一 a ⩽0．此时()0f x '>，于是f (x )在+上单调递增；………………3分情形二 a >0．此时f (x )在40,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在4,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．……………4分（2）函数f (x )存在极值，因此a >0．根据题意，有12120121212()()ln ln 1()4()(4),2f x f x x x f x a x x a x x x x --'==⋅-++---………5分而1212128(4),22x x x x f a a x x ++⎛⎫'=-⋅+-⎪+⎝⎭…………6分 故只需要比较1212ln ln x x x x --与122x x +的大小．令2(1)()ln 1t g t t t -=-+，则22214(1)()(1)(1)t g t t t t t -'=-=++．当1t >时，()0g t '>，故()g t 在(1,＋∞)上单调递增．因此，当1t >时，()(1)0g t g >=．于是，21212121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即121212ln ln 2x x x x x x ->-+．………………………………………………9分 于是120(),2x x f x f +⎛⎫''> ⎪⎝⎭…………………………………10分又()0f x '>在+上单调递减，因此120,2x x x +<进而1202x x x +>．……22.解：（Ⅰ）直线l的普通方程是30x -=， 曲线C 的直角坐标方程是222()x a y a -+=， 依题意直线l 与圆相切，则|3|2a d a -==，解得3a =-或1a =， 因为0a >，所以1a =．（Ⅱ）如图，不妨设1(,)A ρθ，2(,)3B πρθ+，则12cos ρθ=，22cos()3πρθ=+， 12||||OA OB ρρ+=+2cos 2cos()3πθθ=++3cos θθ=)6πθ=+，所以26k πθπ+=，即26k πθπ=-，k Z ∈时，||||OA OB +最大值是23.解：（Ⅰ）由于3,1,()31,11,3, 1.x x f x x x x x --≥⎧⎪=---<<⎨⎪+≤-⎩()f x 的最大值为(1)2f -=，故2a =.（Ⅱ）∵1122m n+=，且0m >，0n >， ∴111122(2)()(2)2222m n m n m n m n n m +=+⋅⋅+=++1(222≥+=， 当且仅当22m n n m =，即1m =，12n =等号成立． 所以22m n +≥.。