温岭三中八年级期中复习题轴对称
初二数学轴对称总结练习题
初二数学轴对称总结练习题轴对称是初中数学中的一个重要概念，也是几何中常见的一种性质。
轴对称指的是图形关于某条直线对称成立，对称轴是图形中的某条直线，使得图形关于该直线对称，即该直线上的任意一点经过对称后，都能与原图形上对应的点重合。
那么在学习轴对称的过程中，总结练习题是很有必要的。
本文将为大家总结初二数学轴对称相关的练习题，以便巩固和提高对轴对称的理解与运用。
一、关于轴对称的基础练习题1. 在一个平面直角坐标系中，图形A关于y轴对称得到图形A'，如果A'的坐标是(-3,-2)，则A的坐标是多少？2. 图形B关于y轴对称，若图形B的坐标是(5,7)，则B'的坐标是多少？3. 在平面直角坐标系中，图形C关于y轴对称后，得到了图形C'，若点C(1,2)在图形C'上，求C'的坐标。
4. 在平面直角坐标系中，图形D关于y轴对称后，得到了图形D'，如果D'的坐标是(-2,4)，则D的坐标是多少？5. 在平面直角坐标系中，图形E关于x轴对称的图形是图形E'，若图形E'的坐标是(3,-5)，则E的坐标是多少？二、关于轴对称图形的性质练习题1. 若平面图形F关于直线y=4对称，则判断以下说法是否正确：a) 图形F的对称轴是直线y=4；b) 图形F任意两点关于y=4对称的点的连线垂直于y=4。
2. 判断以下命题是否正确：a) 关于过点P(-3,5)的垂直线的轴对称图形关于y轴对称；b) 关于过点Q(2,-3)的水平线的轴对称图形关于x轴对称。
3. 若图形G关于y=-x对称，并且G关于原点O对称，则判断以下说法是否正确：a) 图形G的对称轴是y=-x；b) 图形G的对称轴是原点O；c) 图形G关于y=x对称。
三、综合运用轴对称的练习题1. 在平面直角坐标系中，图形H关于y轴对称的图形是图形I，图形J关于x轴对称的图形是图形K。
如果图形H、I、J、K的坐标分别为：H：(3,-4)，I：(-3,-4)J：(1,-5)，K：(1,5)则求图形H、I、J、K的对称轴方程。
八年级轴对称填空选择单元复习练习(Word版 含答案)
八年级轴对称填空选择单元复习练习(Word版含答案)一、八年级数学全等三角形填空题（难）1．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点O是AC的中点，点D在射线BO上，连结OE，EC，则∠ACE＝_____°；若AB＝1，则OE的最小值＝_____．【答案】301 4【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得OC＝12AC，∠ABD＝30°，根据"SAS"可证△ABD≌△ACE，可得∠ACE＝30°＝∠ABD，当OE⊥EC时，OE的长度最小，根据直角三角形的性质可求OE 的最小值.【详解】解：∵△ABC的等边三角形，点O是AC的中点，∴OC＝12AC，∠ABD＝30°∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠ACE＝30°＝∠ABD当OE⊥EC时，OE的长度最小，∵∠OEC＝90°，∠ACE＝30°∴OE最小值＝12OC＝14AB＝14故答案为：30，1 4【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键.2．如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D，B，C分别在直线MN和PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝_____．【答案】7【解析】由MN∥PQ，AB⊥PQ，可知∠DAE=∠EBC=90°，可判定△ADE≌△BCE，从而得出AE=BC，则AB=AE+BE=AD+BC=7．故答案为：7.点睛：本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质，是基础知识，比较简单．3．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E是△ABC内一点，若∠AEB=∠CED=90°，AE=BE，CE=DE=2，则图中阴影部分的面积等于__________．【答案】4【解析】【分析】作DG⊥BE于G，CF⊥AE于F，可证△DEG≌△CEF，可得DG=CF，则是S△BDE=S△AEC，由D 是BC中点可得S△BED=2，即可求得阴影部分面积.【详解】作DG⊥BE于G，CF⊥AE于F，∴∠DGE=∠CFE=90°，∵∠AEB=∠DEC=90°，∴∠GED+∠DEF=90°，∠DEF+∠CEF=90°，∴∠GED=∠CEF，又∵DE=EC，∴△GDE≌△FCE，∴DG=CF，∵S△BED=12BE•DG，S△BED=12AE•CF，AE=BE，∴S△BED=S△BED，∵D是BC的中点，∴S△BDE=S△EDC=1222⨯⨯=2，∴S阴影=2+2=4，故答案为4.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键.4．如图，点D、E、F、B在同一直线上，AB∥CD、AE∥CF，且AE=CF，若BD=10，BF=2，则EF=__．【答案】6【解析】【分析】由于AB//CD、AE/CF，根据平行线的性质可以得到∠B=∠D，∠AEF=∠CFD，然后利用已知条件就可以证明△AEF≌△CFD，最后利用全等三角形的性质和已知条件即可求解.【详解】解：∵AB//CD、AE/CF，∴∠B=∠D，∠AEF=∠CFD，而AE=CF，∴△AEF≌△CFD，∴DF=EB，∴DE=BF，∴EF=BD-2BF=6.故答案为：6.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题时首先利用平行线的性质构造全等条件证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质即可解决问题.5．已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=10,AC=4,则AD的取值范围是_____.【答案】3＜AD＜7【解析】【分析】连接AD并延长到点E，使DE=DA，连接BE，利用SAS证得△BDE≌△CDA，进而得到BE=CA=4，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可求得AE的取值范围，进而求出AD的取值范围.【详解】如图，连接AD并延长到点E，使DE=DA，连接BE，∵在△ABC中，AD是BC边上的中线∴BD=CD在△BDE和△CDA中BD CDBDE CDADE DA=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE≌△CDA（SAS）∴BE=CA=4在△ABE中，AB+BE>AE，且AB﹣BE＜AE∵AB=10,AC=4,∴6＜AE＜14∴3＜AD＜7故答案为3＜AD＜7【点睛】本题考点涉及三角形全等的判定及性质、三角形的三边关系等知识点，熟练掌握相关性质定理是解题关键.6．如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB=12cm，AC=6cm．动点E 从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED=CB．当点E经过______s时，△DEB与△BCA全等．【答案】0、2、6、8【解析】∵CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，∴∠CAB=∠DBE=90°，∴△CAB和△EBD都是Rt△，∵点E运动过程中两三角形始终保持斜边ED=CB，∴当BE=BA=12cm或BE=AC=6cm时，两三角形全等，如图共有四种情形，此时AE分别等于0cm、6cm、18cm、24cm，又∵点E每秒钟移动3cm，∴当点E移动的时间分别为0秒、2秒、6秒和8秒时，两三角形全等.7．已知：四边形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=90°，三角形ABC的面积为1，则线段AC 的长度是___________.【答案】2【解析】【分析】过B作BE⊥AC于E, 过D作DF⊥AC于F,构造得出BE=AF利用等腰三角形三线合一的性质得出：AF=可得BE=AF=，利用三角形ABC的面积为1进行计算即可.【详解】过B作BE⊥AC于E, 过D作DF⊥AC于F,∴∠BEA=∠AFD=90°∴∠2+∠3=90°∵∠BAD=90°∴∠1+∠2=90°∴∠1=∠3∵AB=AD∴∴BE=AF∵AD=CD，DF⊥AC∴AF=∴BE=AF=∴∴AC=2故答案为：2【点睛】本题考查了利用一线三等角构造全等三角形，以及利用三角形面积公式列方程求线段，熟练掌握辅助线做法构造全等是解题的关键.8．如图，在ABC中，ACB90,CA CB∠==.点D在AB上，点F在CA的延长线上，连接FD并延长交BC于点E，若∠BED=2∠ADC，AF=2，DF=7，则ABC的面积为______．【答案】25 2【解析】【分析】作CD的垂直平分线交AD于M，交CD与N，根据垂直平分线的性质可得MC=MD，进而可得∠MDC=∠MCD，根据已知及外角性质可得∠AMC=∠BED，由等腰直角三角形的性质可得∠B=∠CAB=45°，根据三角形内角和定理可得∠ACM=∠BDE，进而可证明∠ADF=∠ACM，进而即可证明∠FCD=∠FDC，根据等腰三角形的性质可得CF=DF，根据已知可求出AC的长，根据三角形面积公式即可得答案.【详解】作CD的垂直平分线交AD于M，交CD与N，∵MN是CD的垂直平分线，∴MC=MD，∴∠MDC=∠MCD，∵∠AMC=∠MDC=∠MCD，∴∠AMC=2∠ADC，∵∠BED=2∠ADC，∴∠AMC=∠BED，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠B=∠CAB=45°，∵∠ACM=180°-∠CAM-∠AMC，∠BDE=180°-∠B-∠BED，∴∠ACM=∠BDE，∵∠BDE=∠ADF，∴∠ADF=∠ACM，∴∠ADF+∠ADC=∠ACM+∠MCD，即∠FCD=∠FDC，∴FC=FD，∵AF=2，FD=7，∴AC=FC-AF=7-2=5，∴S△ABC=12×5×5=252.故答案为：25 2【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质及线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点，到线段两端的距离相等；等腰三角形的两个底角相等；熟练掌握相关的定理及性质是解题关键.9．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝56°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为_____度．【答案】112．【解析】【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO＝28°，利用等腰三角形两底角相等求出∠ABC，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得OA＝OB，再根据等边对等角求出∠OBA，然后求出∠OBC，再根据等腰三角形的性质可得OB＝OC，然后求出∠OCE，根据翻折变换的性质可得OE＝CE，然后利用等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．【详解】如图，连接OB、OC，∵OA平分∠BAC，∠BAC＝56°，∴∠BAO＝12∠BAC＝12×56°＝28°，∵AB＝AC，∠BAC＝56°，∴∠ABC＝12（180°﹣∠BAC）＝12×（180°﹣56°）＝62°，∵OD垂直平分AB，∴OA＝OB，∴∠OBA＝∠BAO＝28°，∴∠OBC＝∠ABC﹣∠OBA＝62°﹣28°＝34°，由等腰三角形的性质，OB＝OC，∴∠OCE＝∠OBC＝34°，∵∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE＝CE，∴∠OEC＝180°﹣2×34°＝112°．故答案是：112．【点睛】考查了翻折变换，等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，三角形的内角和定理，熟记各性质并准确识图是解题的关键．10．如图，AD=AB,∠C=∠E,AB=2，AE=8，则DE=_________.【答案】6【解析】根据三角形全等的判定“AAS”可得△ADC≌△ABE，可得AD=AB=2，由AE=8可得DE=AE-AD=6.故答案为：6.点睛：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．二、八年级数学全等三角形选择题（难）11．如图，把ΔABC剪成三部分，边AB，BC，AC放在同一直线上，点O都落在直线MN 上，直线MN∥AB．在ΔABC中，若∠AOB=125°，则∠ACB的度数为（）A．70°B．65°C．60°D．85°【答案】A【解析】【分析】利用平行线间的距离处处相等，可知点O到BC、AC、AB的距离相等，得出O为三条角平分线的交点，根据三角形内角和定理和角平分线的定义即可得出结论．【详解】如图1，过点O作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F．∵MN ∥AB ，∴OD =OE =OF （平行线间的距离处处相等）．如图2：过点O 作OD '⊥BC 于D '，作OE '⊥AC 于E '，作OF '⊥AB 于F '．由题意可知：OD =OD '，OE =OE '，OF =OF '，∴OD '=OE '=OF '，∴图2中的点O 是三角形三个内角的平分线的交点．∵∠AOB =125°，∴∠OAB +∠OBA =180°－125°=55°，∴∠CAB +∠CBA =2×55°=110°，∴∠ACB =180°－110°=70°．故选A ．【点睛】本题考查了三角形的内心，平行线间的距离处处相等，角平分线定义，解答本题的关键是判断出OD =OE =OF ．12．如图，已知等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE ，AB=AC=4，∠BAC=∠EAD=90°，D 是射线BC 上任意一点，连接EC ．下列结论：①△AEC △ADB ；② EC ⊥BC ； ③以A 、C 、D 、E 为顶点的四边形面积为8；④当BD=时，四边形AECB 的周长为10524++;⑤ 当BD=32B 时,ED=5AB ；其中正确的有（ ）A ．5个B ．4个C ．3 个D ．2个【答案】B【解析】解：∵∠BAC =∠EAD =90°，∴∠BAD =∠CAE ，∵AB =AC ，AD =AE ，∴△AEC ≌△ADB ，故①正确； ∵△AEC ≌△ADB ，∴∠ACE =∠ABD =45°，∵∠ACB =45°，∴J IAO ECB =90°，∴EC ⊥BC ，故②正确；∵四边形ADCE 的面积=△ADC 的面积+△ACE 的面积=△ADC 的面积+△ABD 的面积=△ABC 的面积=4×4÷2=8．故③正确；∵BD =2，∴EC =2，DC =BC -BD =422=32，∴DE 2=DC 2+EC 2，=(2222+=20，∴DE =25，∴AD =AE =252=10.∴AECB 的周长=AB +DC +CE +AE =442210+++=45210++，故④正确；当BD =32BC 时，CD =12BC ，∴DE =221322BC BC ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =10BC =5AB ．故⑤错误． 故选B ．点睛：此题是全等三角形的判定与性质的综合运用，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解答此题的关键．13．如图所示，在Rt ABC ∆中，E 为斜边AB 的中点，ED AB ⊥，且:1:7CAD BAD ∠∠=，则BAC ∠=( )A ．70B ．45C ．60D ．48【答案】D【解析】 根据线段的垂直平分线，可知∠B=∠BAD ，然后根据直角三角形的两锐角互余，可得∠BAC+∠B=90°，设∠CAD=x ，则∠BAD=7x ，则x+7x+7x=90°，解得x=6°，因此可知∠BAC=∠CDA+∠BAD=6°+42°=48°. 故选：D.点睛：此题主要考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质和直角三角形的性质求角的关系，根据比例关系设出未知数，然后根据角的关系列方程求解是解题关键.14．如图，BD 是∠ABC 的角平分线，AD ⊥AB ，AD=3，BC=5，则△BCD 的面积为（ ）A ．7.5B ．8C ．10D ．15【答案】A【解析】 作DE⊥BC 于E ，根据角平分线的性质，由BD 是∠ABC 的角平分线，AD⊥AB，DE⊥BC，求出DE=DA=3，根据三角形面积公式计算S △BCD =12×BC×DE=7.5， 故选：A ．15．如图，点P 、Q 分别是边长为6cm 的等边ABC △边AB 、BC 上的动点，点P 从顶点 A ，点Q 从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1cm/s ，下面四个结论：①BQ AM =②ABQ △≌CAP △③CMQ ∠的度数不变，始终等于60︒④当第 2秒或第4秒时，PBQ △为直角三角形，正确的有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】 ∵点P 、Q 速度相同，∴AP BQ =．在ACP △和ABQ △中，60AP BQ CAP ABQ AC BA =⎧⎪∠==︒⎨⎪=⎩， ∴ACP △≌BAQ △，故②正确．则AQC CPB ∠=∠．即B BAQ BAQ AMP ∠+∠=∠+∠．∴60AMP B ∠=∠=︒．则60CMQ AMP ∠=∠=︒，故③正确．∵APM ∠不一定等于60︒．∴AP AM ≠．∴BQ AM ≠．故①错误．设时间为t ，则AP=BQ=t ，PB=4-t①当∠PQB =90°时，∵∠B=60°，∴PB=2BQ，得6-t=2t，t=2 ；②当∠BPQ=90°时，∵∠B=60°，∴BQ=2BP，得t=2（6-t），t=4；∴当第2秒或第4秒时，△PBQ为直角三角形．∴④正确.故选C.点睛：本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，综合性强，难度较大．16．如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分线AP和∠ACB外角的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA=45°；②AF-CG=CA；③DE=DC；④FH=CD+GH；⑤CF=2CD+EG；其中正确的有（）A．①②④B．①②③C．①②④⑤D．①②③⑤【答案】D【解析】试题解析：①利用公式：∠CDA=12∠ABC=45°，①正确；②如图：延长GD与AC交于点P'，由三线合一可知CG=CP'，∵∠ADC=45°，DG⊥CF，∴∠EDA=∠CDA=45°，∴∠ADP=∠ADF，∴△ADP'≌△ADF（ASA），∴AF=AP'=AC+CP'=AC+CG，故②正确；③如图：∵∠EDA=∠CDA，∠CAD=∠EAD，从而△CAD≌△EAD，故DC=DE，③正确；④∵BF⊥CG，GD⊥CF，∴E为△CGF垂心，∴CH⊥GF，且△CDE、△CHF、△GHE均为等腰直角三角形，∴2CD，故④错误；⑤如图：作ME⊥CE交CF于点M，则△CEM为等腰直角三角形，从而CD=DM，CM=2CD，EM=EC，∵∠MFE=∠CGE，∠CEG=∠EMF=135°，∴△EMF≌△CEG（AAS），∴GE=MF，∴CF=CM+MF=2CD+GE，故⑤正确；故选D点睛：本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形垂心的定义和性质、全等三角形的判定与性质等多个知识点，技巧性很强，难度较大，要求学生具有较高的几何素养．对于这一类多个结论的判断型问题，熟悉常见的结论及重要定理是解决问题的关键，比如对第一个结论的判定，若熟悉该模型则可以秒杀．17．如图，点 D 是等腰直角△ABC 腰 BC 上的中点，点B 、B′ 关于 AD 对称，且BB′ 交AD 于 F，交 AC 于 E，连接 FC 、 AB′，下列说法：① ∠BAD=30°； ② ∠BFC=135°；③ AF=2B′ C；正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】依据点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，可得tan∠BAD=12，即可得到∠BAD≠30°；连接B'D，即可得到∠BB'C=∠BB'D+∠DB'C=90°，进而得出△ABF≌△BCB'，判定△FCB'是等腰直角三角形，即可得到∠CFB'=45°，即∠BFC=135°；由△ABF≌△BCB'，可得AF=BB'=2BF=2B'C；依据△AEF与△CEB'不全等，即可得到S△AFE≠S△FCE．【详解】∵点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，∴BD=12BC=12AB，∴tan∠BAD=12，∴∠BAD≠30°，故①错误；如图，连接B'D，∵B、B′关于AD对称，∴AD垂直平分BB'，∴∠AFB=90°，BD=B'D=CD，∴∠DBB'=∠BB'D，∠DCB'=∠DB'C，∴∠BB'C=∠BB'D+∠DB'C=90°，∴∠AFB=∠BB'C，又∵∠BAF+∠ABF=90°=∠CBB'+∠ABF ，∴∠BAF=∠CBB'，∴△ABF ≌△BCB'，∴BF=CB'=B'F ，∴△FCB'是等腰直角三角形，∴∠CFB'=45°，即∠BFC=135°，故②正确；由△ABF ≌△BCB'，可得AF=BB'=2BF=2B'C ，故③正确；∵AF ＞BF=B'C ，∴△AEF 与△CEB'不全等，∴AE≠CE ， ∴S △AFE ≠S △FCE ，故④错误；故选B ．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．18．如图，AC ⊥BE 于点C ，DF ⊥BE 于点F ，且BC ＝EF ，如果添上一个条件后，可以直接利用“HL ”来证明△ABC ≌△DEF ，则这个条件应该是( )A ．AC ＝DEB ．AB ＝DEC ．∠B ＝∠ED ．∠D ＝∠A【答案】B【解析】在Rt △ABC 与Rt △DEF 中，直角边BC ＝EF ，要利用“HL”判定全等，只需添加条件斜边AB=DE.故选：B.19．在ABC 中，2,72A B ACB ∠=∠∠≠︒，CD 平分ACB ∠，P 为AB 的中点，则下列各式中正确的是（ ）A ．AD BC CD =-B ．AD BC AC =- C ．AD BC AP =-D ．AD BC BD =-【答案】B【解析】【分析】 可在BC 上截取CE=CA ，连接DE ，可得△ACD ≌△ECD ，得DE=AD ，进而再通过线段之间的转化得出线段之间的关系．【详解】解：∵∠A=2∠B ， ∴∠A ﹥∠B ∴BC ﹥AC∴可在BC 上截取CE=CA ，连接DE(如图)，∵CD 平分ACB ∠，∴∠ACD=∠BCD又∵CD=CD，CE=CA∴△ACD ≌△ECD ，∴AD=ED ，∠CED=∠A=2∠B又 ∠CED=∠B+∠BDE∴∠B=∠BDE∴AD=DE=BE ，∴BC=BE+EC=AD+AC所以AD=BC-AC故选：B若A 选项成立，则CD=AC ，∴∠A=∠CDA=∠CDE=∠CED=2∠B=2∠EDB∴∠CDA+∠CDE+∠EDB=180°即5∠EDB=180°∴∠EDB=36°∴∠A=72°， ∠B=36°∴∠ACB=72°与已知∠ACB ≠72°矛盾，故选项A 不正确;假设C 选项成立，则有AP=AC ，作∠BAC 的平分线，连接FP ，∴△CAF ≌△PAF ≌△PBF ，∴∠CFA=∠AFP=∠PFB=60°∠B=30°， ∠ACB=90°当∠ACB=90°时，选项C 才成立，∴当∠ACB ≠72°时，选项C 不一定成立；假设D 选项成立，则AD=BC-BD由图可知AD=BA-BD∴AB=BC∴∠A=∠ACB=2∠B∴∠A+∠ACB+∠B=180°∴∠B=36°，∠ACB=72这与已知∠ACB ≠72°矛盾，故选项D 不成立．故选：B【点睛】本题考查的是考查的是利用角的平分线的性质说明线段之间的关系．,,20．如图，四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的角平分线恰相交于一点P ，记△APD 、△APB 、△BPC 、△DPC 的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，则有（ ）A ．1324S S S S +=+B ．1234S S S S +=+C ．1423S S S S +=+D ．13S S =【答案】A【解析】【分析】作辅助线,利用角平分线性质定理,明确8个三角形中面积两两相等即可解题.【详解】四边形ABCD,四个内角平分线交于一点P,即点p 到四边形各边距离相等,（角平分线性质定理）,如下图,可将四边形分成8个三角形,面积分别是a 、a 、b 、b 、c 、c 、d 、d,则S 1=a+d, S 2=a+b, S 3=b+c, S 4=c+d,∴S 1+S 3=a+b+c+d= S 2+S 4故选A【点睛】本题考查了角平分线性质定理,作高线和理解角平分线性质定理是解题关键.21．如图，O 是正ABC 内一点，3OA =，4OB =，5OC =，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO '，连接AO '，下列结论：①BO A '△可以由BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到：②点O 与O '的距离为4；③150AOB ∠=︒；④S 四边形643AOBO ；⑤9634AOC AOB S S +=+△△．其中正确的结论是（ ）A ．①②③④B ．①②③⑤C ．①②④⑤D ．①②③④⑤【答案】D【解析】【分析】 证明△BO ′A ≌△BOC ，又∠OBO ′＝60°，所以△BO ′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到，故结论①正确；由△OBO ′是等边三角形，可知结论②正确；在△AOO ′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO ′是直角三角形；进而求得∠AOB ＝150°，故结论③正确；643AOO OBO AOBO S S S '∆'∆'=+=+四边形④正确；如图②，将△AOB 绕点A 逆时针旋转60°，使得AB 与AC 重合，点O 旋转至O ″点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将S △AOC +S △AOB 转化为S △COO ″+S △AOO ″，计算可得结论⑤正确．【详解】解：由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，∴∠1＝∠3，又∵OB ＝O ′B ，AB ＝BC ，∴△BO ′A ≌△BOC ，又∵∠OBO ′＝60°，∴△BO ′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到，故结论①正确；如图①，连接OO ′， ∵OB ＝O ′B ，且∠OBO ′＝60°，∴△OBO ′是等边三角形，∴OO ′＝OB ＝4．故结论②正确；∵△BO ′A ≌△BOC ，∴O ′A ＝5．在△AOO ′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，∴△AOO ′是直角三角形，∠AOO ′＝90°， ∴∠AOB ＝∠AOO ′+∠BOO ′＝90°+60°＝150°，故结论③正确；2313446432AOO OBO AOBO S S S '∆'∆'=+=⨯⨯+⨯=+四边形， 故结论④正确；如图②所示，将△AOB 绕点A 逆时针旋转60°，使得AB 与AC 重合，点O 旋转至O ″点．易知△AOO ″是边长为3的等边三角形，△COO ″是边长为3、4、5的直角三角形，则23193436324AOC AOB COO AOO AOCO S S S S S ∆∆∆''∆''''+==+=⨯⨯+⨯=+四边形， 故结论⑤正确．综上所述，正确的结论为：①②③④⑤．故选：D ．【点睛】本题考查了旋转变换中等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．在判定结论⑤时，将△AOB 向不同方向旋转，体现了结论①﹣结论④解题思路的拓展应用．22．如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AB 上一点，过点E 作 EF∥AD，与AC 、DC 分别交于点G ，F ，H 为CG 的中点，连结DE 、 EH 、DH 、FH ．下列结论：①EG=DF；②△EHF≌△DHC；③∠AEH+∠ADH=180°；④若23AE AB =，则313DHCEDHSS．其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】分析：①根据题意可知∠ACD=45°，则GF=FC，则EG=EF-GF=CD-FC=DF；②由SAS证明△EHF≌△DHC即可；③根据△EHF≌△DHC，得到∠HEF=∠HDC，从而∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF-∠HDC=180°；④若AEAB=23，则AE=2BE，可以证明△EGH≌△DFH，则∠EHG=∠DHF且EH=DH，则∠DHE=90°，△EHD为等腰直角三角形，过H点作HM垂直于CD于M点，设HM=x，则DM=5x，26x，CD=6x，则S△DHC=12×HM×CD=3x2，S△EDH=12×DH2=13x2．详解：①∵四边形ABCD为正方形,EF∥AD，∴EF=AD=CD,∠ACD=45°,∠GFC=90°，∴△CFG为等腰直角三角形，∴GF=FC，∵EG=EF−GF，DF=CD−FC，∴EG=DF，故①正确；②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH=CH,∠GFH=12∠GFC=45°=∠HCD，在△EHF和△DHC中，EF=CD；∠EFH=∠DCH；FH=CH，∴△EHF≌△DHC(SAS)，故②正确；③∵△EHF≌△DHC(已证)，∴∠HEF=∠HDC，∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF−∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故③正确；④∵AEAB=23，∴AE=2BE，∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH=GH,∠FHG=90°，∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，在△EGH和△DFH中，EG=DF；∠EGH=∠HFD；GH=FH，∴△EGH≌△DFH(SAS)，∴∠EHG=∠DHF,EH=DH,∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°,∴△EHD为等腰直角三角形，如图，过H点作HM⊥CD于M，设HM=x,则DM=5x,DH=26x，CD=6x，则S△DHC=12×HM×CD=3x2,S△EDH=12×DH2=13x2，∴3S△EDH=13S△DHC，故④正确；故选D.点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解题关键在于根据题意熟练的运用相关性质.23．在和中，，高，则和的关系是( ) A．相等B．互补C．相等或互补D．以上都不对【答案】C【解析】试题解析：当∠C′为锐角时，如图1所示，∵AC=A′C′，AD=A′D′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，∴Rt△ADC≌Rt△A′D′C′，∴∠C=∠C′；当∠C为钝角时，如图3所示，∵AC=A′C′，AD=A′D′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′，∴∠C=∠A′C′D′，∴∠C+∠A′C′B′=180°．故选C.24．如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS．其中正确结论的序号是（）．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【答案】C【解析】【分析】如图，连接AP,根据HL判定△APR和△APS全等，即可说明①正确；由△APR和△APS 全等可得∠RAP=∠PAC，再根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，得到∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出OP//AB，即②正确；在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS.无法判断Rt△BRP和Rt△QSP是否全等；连接RS，与AP交于点D，先证△ARD≌△ASD，即RD=SD；运用等腰三角形的性质即可判定.【详解】解：如图，连接AP∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS∴△APR≌△APS∴AS=AR，∠RAP=∠PAC即①正确；又∵AQ=PQ∴∠QAP=∠QPA∴∠QPA=∠BAP∴OP//AB，即②正确.在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS.无法判断Rt△BRP和Rt△QSP是否全等,故③错误.如图，连接PS∵△APR≌△APS∴AR=AS，∠RAP=∠PAC∴AP垂直平分RS，即④正确；故答案为C.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答本题的关键25．已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为_____秒时，△ABP和△DCE全等．A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7【答案】C【解析】【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2和AP=16-2t=2即可求得．【详解】解：因为AB=CD，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，由题意得：BP=2t=2，所以t=1，因为AB=CD，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，由题意得：AP=16-2t=2，解得t=7．所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．故选C．【点睛】本题考查全等三角形的判定，判定方法有：ASA，SAS，AAS，SSS，HL．26．如图所示，点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN 于点C，AD⊥MN于点D，下列结论错误的是( )A．AD＋BC＝AB B．与∠CBO互余的角有两个C．∠AOB＝90°D．点O是CD的中点【答案】B【解析】【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AD=AE，BC=BE，利用角平分线的定义和平角的性质可得到∠AOB的度数，再利用“HL”证明Rt△AOD和Rt△AOE全等，根据全等三角形对应边相等可得OD=OE，同理可得OC=OE，然后求出∠AOB=90°，然后对各选项分析判断即可得解．【详解】∵点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，∴AD=AE，BC=BE．∵AB=AE+BE，∴AB=AD+BC，故A选项结论正确；与∠CBO互余的角有∠COB，∠EOB，∠OAD，∠OAE共4个，故B选项结论错误；∵点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，∴∠AOE=12∠EOD，∠BOC=12∠MOE，∴∠AOB=12(∠EOD+∠MOE)=12×180°=90°，故C选项结论正确；在Rt△AOD和Rt△AOE中，AO AOAD AE=⎧⎨=⎩，∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL），∴OD=OE，同理可得OC=OE，∴OC=OD=OE，∴点O是CD的中点，故D选项结论正确．故选B．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，余角的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．27．Rt△ABC中，AB＝AC，D点为Rt△ABC外一点，且BD⊥CD，DF为∠BDA的平分线，当∠ACD＝15°，下列结论：①∠ADC＝45°；②AD＝AF；③AD+AF＝BD；④BC﹣CE＝2D,其中正确的是( )A．①③B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】C【解析】【分析】由题意可证点A，点C，点B，点D四点共圆，可得∠ADC＝∠ABC＝45°；由角平分线的性质和外角性质可得∠AFD＝∠BDF+∠DBF＞∠ADF，可得AD≠AF；如图，延长CD至G，使DE＝DG，在BD上截取DH＝AD，连接HF，由“SAS”可证△ADF≌△HDF，可得∠DHF＝∠DAF＝30°，AF＝HF，由等腰三角形的性质可得BH＝AF，可证BD＝BH+DH＝AF+AD；由“SAS”可证△BDG≌△BDE，可得∠BGD＝∠BED＝75°，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质可得BC＝BG＝2DE+EC.【详解】∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，且∠ACD＝15°，∵∠BCD＝30°，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∴点A，点C，点B，点D四点共圆，∴∠ADC＝∠ABC＝45°，故①符合题意，∠ACD＝∠ABD＝15°，∠DAB＝∠DCB＝30°，∵DF为∠BDA的平分线，∴∠ADF＝∠BDF，∵∠AFD＝∠BDF+∠DBF＞∠ADF，∴AD≠AF，故②不合题意，如图，延长CD至G，使DE＝DG，在BD上截取DH＝AD，连接HF，∵DH＝AD，∠HDF＝∠ADF，DF＝DF，∴△ADF≌△HDF(SAS)∴∠DHF＝∠DAF＝30°，AF＝HF，∵∠DHF＝∠HBF+∠HFB＝30°，∴∠HBF＝∠BFH＝15°，∴BH＝HF，∴BH＝AF，∴BD＝BH+DH＝AF+AD，故③符合题意，∵∠ADC＝45°，∠DAB＝30°＝∠BCD，∴∠BED＝∠ADC+∠DAB＝75°，∵GD＝DE，∠BDG＝∠BDE＝90°，BD＝BD，∴△BDG≌△BDE(SAS)∴∠BGD＝∠BED＝75°，∴∠GBC＝180°﹣∠BCD﹣∠BGD＝75°，∴∠GBC＝∠BGC＝75°，∴BC＝BG，∴BC＝BG＝2DE+EC，∴BC ﹣EC ＝2DE ，故④符合题意，故选：C.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，28．如图，AD 是ABC 的角平分线，DE AC ⊥；垂足为,//E BF AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分ABF ∠．给出下列三个结论：①DE DF =；②DB DC =；③AD BC ⊥．其中正确的结论共有（ ）个A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】【分析】 由BF ∥AC ，AD 是ABC 的角平分线，BC 平分ABF ∠得∠ADB=90︒；利用AD 平分∠CAB 证得△ADC ≌△ADB 即可证得DB=DC ；根据DE AC ⊥证明△CDE ≌△BDF 得到DE DF =.【详解】∵DE AC ⊥,BF ∥AC,∴EF ⊥BF ，∠CAB+∠ABF=180︒，∴∠CED=∠F=90︒，∵AD 是ABC 的角平分线，BC 平分ABF ∠，∴∠DAB+∠DBA=12(∠CAB+∠ABF)=90︒， ∴∠ADB=90︒，即AD BC ⊥，③正确； ∴∠ADC=∠ADB=90︒，∵AD 平分∠CAB,∴∠CAD=∠BAD,∵AD=AD,∴△ADC ≌△ADB,∴DB=DC ，②正确；又∵∠CDE=∠BDF ，∠CED=∠F ，∴△CDE ≌△BDF,∴DE=DF ，①正确；故选：D.【点睛】此题考查平行线的性质，三角形全等的判定及性质，角平分线的定义.29．程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题，操作学具时，点Q 在轨道槽AM 上运动，点P 既能在以A 为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN 上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．有以下结论：①当∠PAQ=30°，PQ=6时，可得到形状唯一确定的△PAQ②当∠PAQ=30°，PQ=9时，可得到形状唯一确定的△PAQ③当∠PAQ=90°，PQ=10时，可得到形状唯一确定的△PAQ④当∠PAQ=150°，PQ=12时，可得到形状唯一确定的△PAQ其中所有正确结论的序号是( )A ．②③B ．③④C ．②③④D ．①②③④【答案】C【解析】【分析】分别在以上四种情况下以P 为圆心，PQ 的长度为半径画弧，观察弧与直线AM 的交点即为Q 点，作出PAQ ∆后可得答案．【详解】如下图，当∠PAQ=30°，PQ=6时，以P 为圆心，PQ 的长度为半径画弧，弧与直线AM 有两个交点，作出PAQ ∆，发现两个位置的Q 都符合题意，所以PAQ ∆不唯一，所以①错误．如下图，当∠PAQ=30°，PQ=9时，以P 为圆心，PQ 的长度为半径画弧，弧与直线AM 有两个交点，作出PAQ ∆，发现左边位置的Q 不符合题意，所以PAQ ∆唯一，所以②正确．如下图，当∠PAQ=90°，PQ=10时，以P 为圆心，PQ 的长度为半径画弧，弧与直线AM 有两个交点，作出PAQ ∆，发现两个位置的Q 都符合题意，但是此时两个三角形全等，所以形状相同，所以PAQ ∆唯一，所以③正确．如下图，当∠PAQ=150°，PQ=12时，以P 为圆心，PQ 的长度为半径画弧，弧与直线AM 有两个交点，作出PAQ ∆，发现左边位置的Q 不符合题意，所以PAQ ∆唯一，所以④正确．综上：②③④正确．故选C ．【点睛】本题考查的是三角形形状问题，为三角形全等来探索判定方法，也考查三角形的作图，利用对称关系作出另一个Q 是关键．30．如图，在▱ABCD 中，AD =2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论中①∠DCF =123,1x x ==-∠BCD ；②EF =CF ；③S △BEC =2S △CEF ；④∠DFE =3∠AEF ．一定成立的是（ ）A．①②B．①③④C．①②③D．①②④【答案】D【解析】①∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在?ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=12∠BCD，故此选项正确；延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，∠A＝∠FDMAF＝DF∠AFE＝∠DFM，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FM，故②正确；③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC故S△BEC=2S△CEF错误；④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°-x，∴∠EFC=180°-2x，∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，∵∠AEF=90°-x，∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．故正确的有：①②④．故选D.。
轴对称测试题及答案初二
轴对称测试题及答案初二一、选择题1. 下列图形中，不是轴对称图形的是：A. 等边三角形B. 正方形C. 圆D. 五边形2. 如果一个图形关于某条直线对称，那么这条直线被称为：A. 对称轴B. 对称线C. 中心线D. 平行线3. 对于轴对称图形，下列说法正确的是：A. 只有一个对称轴B. 可以有多个对称轴C. 没有对称轴D. 以上都不对二、填空题1. 轴对称图形的对称轴是图形上所有点到对称中心的_________。
2. 如果一个图形沿着对称轴对折，两侧的图形完全重合，那么这个图形是_________图形。
三、判断题1. 所有的等腰三角形都是轴对称图形。
（）2. 轴对称图形的对称轴可以是曲线。
（）四、简答题1. 请简述什么是轴对称图形，并给出一个生活中的例子。
2. 轴对称图形有哪些性质？五、解答题1. 如图所示，△ABC是轴对称图形，对称轴为直线l，求证：AB=AC。
答案：一、选择题1. D2. B3. B二、填空题1. 垂直平分线2. 轴对称三、判断题1. 正确2. 错误四、简答题1. 轴对称图形是指一个图形关于某条直线对称，这条直线被称为对称轴。
例如，蝴蝶的翅膀就是轴对称图形。
2. 轴对称图形的性质包括：对称轴两侧的图形完全重合，对称轴是图形上所有点到对称中心的垂直平分线。
五、解答题1. 证明：由于△ABC是轴对称图形，对称轴为直线l，根据轴对称图形的性质，我们知道对称轴l是线段AB和AC的垂直平分线。
因此，AB和AC到对称轴l的距离相等，即AB=AC。
结束语：通过本测试题的练习，希望同学们能够更好地理解轴对称图形的概念和性质，提高解题能力。
轴对称是几何学中的一个重要概念，它不仅在数学中有广泛的应用，也在自然界和艺术设计中随处可见。
希望大家能够在生活中发现更多的轴对称之美。
八年级轴对称解答题章末练习卷(Word版 含解析)
八年级轴对称解答题章末练习卷（Word 版 含解析）一、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）1．已知：在平面直角坐标系中，A 为x 轴负半轴上的点，B 为y 轴负半轴上的点.(1)如图1，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ∆，若2OA =，4OB =，试求C 点的坐标；(2)如图2，若点A 的坐标为()23,0-，点B 的坐标为()0,m -，点D 的纵坐标为n ，以B 为顶点，BA 为腰作等腰Rt ABD ∆.试问：当B 点沿y 轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，整式2253m n +-的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；(3)如图3，E 为x 轴负半轴上的一点，且OB OE =，OF EB ⊥于点F ，以OB 为边作等边OBM ∆，连接EM 交OF 于点N ，试探索：在线段EF 、EN 和MN 中，哪条线段等于EM 与ON 的差的一半？请你写出这个等量关系，并加以证明.【答案】(1) C(-6,-2);(2)不发生变化，值为3-3）EN=12(EM-ON)，证明见详解. 【解析】【分析】 （1）作CQ ⊥OA 于点Q,可以证明AQC BOA ≅，由QC=AD,AQ=BO,再由条件就可以求出点C 的坐标；（2）作DP ⊥OB 于点P ，可以证明AOB BPD ≅，则有BP=OB-PO=m-(-n)=m+n 为定值，从而可以求出结论2253m n +-3-（3）作BH ⊥EB 于点B ，由条件可以得出∠1=30°,∠2=∠3=∠EMO=15°,∠EOF=∠BMG=45°,EO=BM,可以证明ENO BGM ≅，则GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG ,最后由平行线分线段成比例定理就可得出EN=12(EM-ON).【详解】（1）如图（1）作CQ ⊥OA 于Q,∴∠AQC=90°,△为等腰直角三角形，∵ABC∴AC=AB,∠CAB=90°,∴∠QAC+∠OAB=90°,∵∠QAC+∠ACQ=90°,∴∠ACQ=∠BAO,又∵AC=AB,∠AQC=∠AOB,≅(AAS),∴AQC BOA∴CQ=AO,AQ=BO,∵OA=2,OB=4,∴CQ=2,AQ=4,∴OQ=6,∴C(-6,-2).(2)如图（2）作DP⊥OB于点P,∴∠BPD=90°,△是等腰直角三角形，∵ABD∴AB=BD,∠ABD=∠ABO+∠OBD=90°,∵∠OBD+∠BDP=90°,∴∠ABO=∠BDP,又∵AB=BD,∠AOB=∠BPD=90°,≅∴AOB BPD∴AO=BP,∵BP=OB-PO=m-(-n)=m+n,∵A ()23,0-,∴OA=23,∴m+n=23,∴当点B 沿y 轴负半轴向下运动时，AO=BP=m+n=23,∴整式2253m n +-的值不变为3-.（3）()12EN EM ON =- 证明：如图（3）所示，在ME 上取一点G 使得MG=ON,连接BG 并延长，交x 轴于H.∵OBM 为等边三角形，∴BO=BM=MO,∠OBM=∠OMB=∠BOM=60°,∴EO=MO,∠EBM=105°,∠1=30°,∵OE=OB,∴OE=OM=BM,∴∠3=∠EMO=15°,∴∠BEM=30°,∠BME=45°,∵OF⊥EB,∴∠EOF=∠BME,∴ENO BGM ≅,∴BG=EN,∵ON=MG,∴∠2=∠3,∴∠2=15°,∴∠EBG=90°,∴BG=12EG, ∴EN=12EG, ∵EG=EM-GM,∴EN=12(EM-GM), ∴EN=12(EM-ON).【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角与内角的关系，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理的运用.2．如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD=AE，连接DE．⑴如图①，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，求∠CDE的度数；⑵如图②，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，求∠BAD的度数；⑶当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．【答案】(1)40°；（2）36°；（3）2∠CDE=∠BAD，理由见解析．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC=110°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；（2）根据三角形的外角的性质得到∠E=75°-18°=57°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β，分3种情况：①如图1，当点D 在点B的左侧时，∠ADC=x°-α，②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α，③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=y°-α，根据这3种情况分别列方程组即，解方程组即可得到结论．【详解】解： (1)∵∠B=∠C=35°，∴∠BAC=110°，∵∠BAD=80°,∴∠DAE=30°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=75°，∴∠CDE=∠AED-∠C=75°−35°=40°；(2)∵∠ACB=75°,∠CDE=18°，∴∠E=75°−18°=57°，∴∠ADE=∠AED=57°，∴∠ADC=39°,∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=75°，∴∠BAD=36°.（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC=x°﹣α∴y xy xααβ=+⎧⎨=-+⎩①②-②得，2α﹣β=0，∴2α=β；②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α∴+y xy xααβ=+⎧⎨=+⎩①②-①得，α=β﹣α，∴2α=β；③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=y°﹣α∴180180y xy xαβα-++=⎧⎨++=⎩①②-①得，2α﹣β=0，∴2α=β．综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE=∠BAD．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．3．如图，已知DCE∠与AOB∠，OC平分AOB∠．(1)如图1，DCE∠与AOB∠的两边分别相交于点D、E，90AOB DCE∠=∠=︒，试判断线段CD 与CE 的数量关系，并说明理由.以下是小宇同学给出如下正确的解法：解：CD CE =．理由如下：如图1，过点 C 作 C F OC ⊥，交 O B 于点 F ，则90OCF ∠=︒，…请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．(2)你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．(3)若120AOB ∠=︒，60DCE ∠=︒．①如图3，DCE ∠与AOB ∠的两边分别相交于点 D 、E 时，(1)中的结论成立吗？为什么？线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系？说明理由．②如图4，DCE ∠的一边与 AO 的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系；如图5，DCE ∠的一边与 BO 的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系．【答案】(1)见解析；(2)证明见解析；(3)①成立，理由见解析；②在图4中，(1)中的结论成立，OE OD OC -=.在图5中，(1)中的结论成立，OD OE OC -=【解析】【分析】（1）通过ASA 证明CDO CEF ∆∆≌即可得到CD=CE ；（2）过点 C 作CM OA ⊥，CN OB ⊥，垂足分别为 M ，N ，通过AAS 证明CMD CNE ∆∆≌同样可得到CD=CE ；（3）①方法一：过点 C 作 C M OA ⊥，CN OB ⊥垂足分别为 M ，N ，通过AAS 得到CMD CNE ∆∆≌，进而得到,CD CE DM EN ==，利用等量代换得到=OE OD ON OM ++，在 Rt CMO ∆中，利用30°角所对的边是斜边的一半得12OM OC =，同理得到1 2ON OC =，所以OE OD OC +=；方法二：以CO 为一边作60FCO ∠=︒，交 O B 于点 F ，通过ASA 证明CDO CEF ∆∆≌，得到,CD CE OD EF ==，所以OE OD OE EF OF OC +=+==；②图4：以OC 为一边，作∠OCF=60°与OB 交于F 点，利用ASA 证得△COD ≌△CFE ，即有CD=CE ，OD=EF得到OE=OF+EF=OC+OD ；图5:以OC 为一边，作∠OCG=60°与OA 交于G 点，利用ASA 证得△CGD ≌△COE ，即有CD=CE ，OD=EF ，得到OE=OF+EF=OC+OD.【详解】解：(1)OC 平分AOB ∠，145∠=∠2=︒∴，390245,123︒︒∴∠=-∠=∴∠=∠=∠OC FC∴=又456590︒∠+∠=∠+∠=在CDO∆与CEF∆中，1346OC FC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()CDO CEF ASA∴∆∆≌CD CE∴=(2)如图2，过点C作CM OA⊥，CN OB⊥，垂足分别为M，N，∴90CMD CNE∠=∠=︒，又∵OC平分AOB∠，∴CM CN=，在四边形O DCE中，12360AOB DCE∠+∠+∠+∠=︒，又∵90AOB DCE∠=∠=︒，∴12180∠+∠=︒，又∵13180∠+∠=︒，∴32∠=∠，在CMD∆与CNE∆中，32CMD CNECM CN∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CMD CNE AAS∆∆≌，∴CD CE=.(3)①(1)中的结论仍成立.OE OD OC +=.理由如下：方法一：如图3(1)，过点 C 作 C M OA ⊥，CN OB⊥，垂足分别为 M ，N ，∴90CMD CNE ∠=∠=︒，又∵OC 平分AOB ∠，∴CM CN =，在四边形ODCE 中，12360AOB DCE ∠+∠+∠+∠=︒，又∵60120180AOB DCE ∠+∠=︒+︒=︒，∴12180∠+∠=︒，又∵23180∠+∠=︒，∴13∠=∠，在CMD ∆与CNE ∆中，13CMD CNE CM CN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()CMD CNE AAS ∆∆≌，∴,CD CE DM EN ==.∴OE OD OE OM DM OE OM EN ON OM +=++=++=+. 在 Rt CMO ∆中，1490590302AOB ∠=︒-∠=︒-∠=︒，∴12OM OC =，同理1 2ON OC =， ∴1122OE OD OC OC OC +=+=. 方法二：如图3（2），以CO 为一边作60FCO ∠=︒，交 O B 于点 F ， ∵OC 平分AOB ∠，∴1260∠=∠=︒，∴3180260FCO ∠=︒-∠-∠=︒，∴13∠=∠，32FCO ∠=∠=∠，∴COF ∆是等边三角形，∴CO CF =，∵4560DCE ∠=∠+∠=︒，6560FCO ∠=∠+∠=︒，∴46∠=∠，在CDO ∆与CEF ∆中，1346CO CF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()CDO CEF ASA ∆∆≌，∴,CD CE OD EF ==.∴OE OD OE EF OF OC +=+==.②在图4中，(1)中的结论成立，OE OD OC -=.如图，以OC 为一边，作∠OCF=60°与OB 交于F 点∵∠AOB=120°，OC 为∠AOB 的角平分线∴∠COB=∠COA=60°又∵∠OCF=60°∴△COF 为等边三角形∴OC=OF∵∠COF=∠OCD+∠DCF=60°，∠DCE=∠DCF+∠FCB=60°∴∠OCD=∠FCB又∵∠COD=180°-∠COA=180°-60°=120°∠CFE=180°-∠CFO=180°-60°=120°∴∠COD=∠CFE∴△COD≌△CFE（ASA）∴CD=CE，OD=EF∴OE=OF+EF=OC+OD即OE-OD=OC-=.在图5中，(1)中的结论成立，OD OE OC如图，以OC为一边，作∠OCG=60°与OA交于G点∵∠AOB=120°，OC为∠AOB的角平分线∴∠COB=∠COA=60°又∵∠OCG=60°∴△COG为等边三角形∴OC=OG∵∠COG=∠OCE+∠ECG=60°，∠DCE=∠DCG+∠GCE=60°∴∠DCG=∠OCE又∵∠COE=180°-∠COB=180°-60°=120°∠CGD=180°-∠CGO=180°-60°=120°∴∠CGD=∠COE∴△CGD≌△COE（ASA）∴CD=CE，OE=DG∴OD=OG+DG=OC+OE即OD-OE=OC【点睛】本题主要考查全等三角形的综合应用，有一定难度，解题关键在于能够做出辅助线证全等.4．如图所示，已知ABC ∆中，10AB AC BC ===厘米，M 、N 分别从点A 、点B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点M 的速度是1厘米/秒的速度，点N 的速度是2厘米/秒，当点N 第一次到达B 点时，M 、N 同时停止运动.（1）M 、N 同时运动几秒后，M 、N 两点重合？（2）M 、N 同时运动几秒后，可得等边三角形AMN ∆？（3）M 、N 在BC 边上运动时，能否得到以MN 为底边的等腰AMN ∆，如果存在，请求出此时M 、N 运动的时间？【答案】（1）10；（2）点M 、N 运动103秒后，可得到等边三角形AMN ∆；（3）当点M 、N 在BC 边上运动时，能得到以MN 为底边的等腰AMN ∆，此时M 、N 运动的时间为403秒． 【解析】【分析】（1）设点M 、N 运动x 秒后，M 、N 两点重合,1102x x ⨯+=；（2）设点M 、N 运动t 秒后，可得到等边三角形AMN ∆，如图①，1AM t t =⨯=,102AN AB BN t =-=-根据等边三角形性质得102t t =-；（3）如图②，假设AMN ∆是等腰三角形，根据等腰三角形性质证ACB ∆是等边三角形，再证ACM ∆≌ABN ∆（AAS ），得CM BN =，设当点M 、N 在BC 边上运动时，M 、N 运动的时间y 秒时，AMN ∆是等腰三角形，故10CM y =-，302NB y =-，由CM NB =，得10302y y -=-；【详解】解：（1）设点M 、N 运动x 秒后，M 、N 两点重合,1102x x ⨯+=解得：10x =（2）设点M 、N 运动t 秒后，可得到等边三角形AMN ∆，如图①1AM t t =⨯=,102AN AB BN t =-=-∵三角形AMN ∆是等边三角形∴102t t =-解得103t = ∴点M 、N 运动103秒后，可得到等边三角形AMN ∆. （3）当点M 、N 在BC 边上运动时，可以得到以MN 为底边的等腰三角形，由（1）知10秒时M 、N 两点重合，恰好在C 处，如图②，假设AMN ∆是等腰三角形，∴AN AM =，∴AMN ANM ∠=∠，∴AMC ANB ∠=∠，∵AB BC AC ==，∴ACB ∆是等边三角形，∴C B ∠=∠，在ACM ∆和ABN ∆中，∵AC AB C B AMC ANB =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，∴ACM ∆≌ABN ∆（AAS ），∴CM BN =，设当点M 、N 在BC 边上运动时，M 、N 运动的时间y 秒时，AMN ∆是等腰三角形， ∴10CM y =-，302NB y =-，CM NB =，10302y y -=-解得：403y =，故假设成立. ∴当点M 、N 在BC 边上运动时，能得到以MN 为底边的等腰AMN ∆，此时M 、N 运动的时间为403秒．【点睛】考核知识点：等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质.理解等腰三角形的判定和性质,把问题转化为方程问题是关键.5．如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E．（1）依题意补全图形；（2）若∠PAC＝20°，求∠AEB的度数；（3）连结CE，写出AE，BE，CE之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）补图见解析；（2）60°；（3）CE＋AE＝BE．【解析】【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）根据轴对称的性质可得AC＝AD，∠PAC＝∠PAD=20°，根据等边三角形的性质可得AC＝AB，∠BAC＝60°，即可得AB＝AD，在△ABD 中，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠D的度数，再由三角形外角的性质即可求得∠AEB的度数；（3）CE ＋AE＝BE，如图，在BE上取点M使ME＝AE，连接AM，设∠EAC＝∠DAE＝x，类比（2）的方法求得∠AEB＝60°，从而得到△AME为等边三角形，根据等边三角形的性质和SAS即可判定△AEC≌△AMB，根据全等三角形的性质可得CE＝BM，由此即可证得CE ＋AE＝BE．【详解】(1)如图：（2）在等边△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝60°由对称可知：AC＝AD，∠PAC＝∠PAD，∴AB＝AD∴∠ABD＝∠D∵∠PAC＝20°∴∠PAD＝20°∴∠BAD＝∠BAC+∠PAC +∠PAD =100°()1180402D BAD︒︒∴∠=-∠=.∴∠AEB＝∠D+∠PAD＝60°（3）CE＋AE＝BE．在BE上取点M使ME＝AE，连接AM，在等边△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝60°由对称可知：AC＝AD，∠EAC＝∠EAD，设∠EAC＝∠DAE＝x．∵AD＝AC＝AB，∴()11802602D BAC x x︒︒∠=-∠-=-∴∠AEB＝60－x＋x＝60°．∴△AME为等边三角形．∴AM=AE，∠MAE=60°，∴∠BAC=∠MAE=60°，即可得∠BAM=∠CAE.在△AMB和△AEC中，AB ACBAM CAEAM AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AMB≌△AEC.∴CE＝BM.∴CE＋AE＝BE．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了轴对称的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，解决第三问时，通过做辅助线，把AE转化到BE 上，再证明CE＝BM即可得结论．6．(1)问题发现:如图1, ABC 和ADE 均为等边三角形，点B D E 、、在同一直线上，连接.CE①求证: BD CE =; ②求BEC ∠的度数.(2)拓展探究:如图2, AB C 和ADE 均为等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒,点B D E 、、在同一直线上AF ，为ADE 中DE 边上的高，连接.CE①求BEC ∠的度数:②判断线段AF BE CE 、、之间的数量关系(直接写出结果即可).()3解决问题:如图3，AB 和ADE 均为等腰三角形，BAC DAE n ∠=∠=,点B D E 、、在同一直线上，连接CE .求AEC ∠的度数(用含n 的代数式表示，直接写出结果即可).【答案】（1）①证明见解析；②60°；（2）①90°；②BE =CE+2AF ；（3）∠AEC =90°+12n ︒. 【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=60°,根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE,依据其性质可得 BD CE =，再根据对应角相等求出BEC ∠的度数；（2）根据等腰直角三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=90°，根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE ，根据对应角相等求出BEC ∠的度数；因为DE=2AF,BD=EC,结合线段的和差关系得出结论；（3）根据等腰三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=n°，根据SAS进一步证明△BAD≌△CAE，根据对应角相等求出得出∠ADB=BEC∠的度数,结合内角和用n表示∠ADE的度数，即可得出结论.【详解】（1）①∵△ABC和△ADE均为等边三角形(如图1)，∴ AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE.∴△BAD≌△CAE（SAS）∴ BD=CE.②由△CAE≌△BAD，∴∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=120°.∴∠BEC=∠AEC-∠AED=120°-60°=60°.（2）①∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形(如图2)，∴ AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠AED=45°，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE.∴△BAD≌△CAE（SAS）.∴ BD=CE，∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=135°.∴∠BEC=∠AEC-∠AED=135°-45°=90°.② BE=CE+2AF.（3）如图3：∠AEC=90°+12n︒，理由如下，∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∴ AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠AED=n°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴ ∠BAD=∠CAE.∴ △BAD ≌△CAE （SAS ）.∴ ∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=180°-1801809022n n . ∴∠AEC=90°+12n ︒.【点睛】本题考查等边三角形、等腰直角三角形的性质及旋转型三角形全等，掌握全等常见模型及由特殊到一般找出解题规律是解答此题的关键.7．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段．．．．叫做这个三角形的三分线.（1）图①是顶角为36︒的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，请你在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36︒的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）；（2）图③是顶角为45︒的等腰三角形，请你在图③中画出顶角为45︒的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数.（3）ABC 中，30B ∠=︒，AD 和DE 是ABC 的三分线，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD BD =，DE CE =，设c x ∠=︒，则x 所有可能的值为_________.【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）20或40.【解析】【分析】(1)作底角的平分线，再作底边的平行线，即可得到三分线；(2)过底角定点作对边的高，形成一个等腰直角三角形和一个直角三角形，然后再构造一个等腰直角三角形，即可.(3)根据题意，先确定30°角然后确定一边为BA ，一边为BC ，再固定BA 的长，进而确定D 点，分别考虑AD 为等腰三角形的腰和底边，画出示意图，列出关于x 的方程，即可得到答案.【详解】（1）如图所示：（2）如图所示：（3）①当AD=AE 时，如图4，∵DE CE =，c x ∠=︒，∴∠EDB=x °，∴∠ADE=∠AED=2x °，∵AD BD =，∴∠BAD=∠B=30°，∴30+30=2x+x ，解得：x=20；②当AD=DE 时，如图5，∵DE CE =，c x ∠=︒，∴∠EDB=x °，∴∠DAE=∠AED=2x °，∵AD BD =，∴∠BAD=∠B=30°，∴30+30+2x+x=180，解得：x=40.③当AE=DE 时，则∠EAD=∠EDA=1802(90)2x x -=-， ∴∠ADC=∠EDA+∠EDC=(90-x)+x=90°又∵∠ADC=30+30=60°，∴这种情况不存在.∴x 所有可能的值为20或40.故答案是：20或40图4 图5【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理的综合应用，分类讨论，画出图形，是解题的关键.8．在等边ABC ∆中，点O 在BC 边上，点D 在AC 的延长线上且OA OD =.（1）如图1，若点O 为BC 中点，求COD ∠的度数；（2）如图2，若点O 为BC 上任意一点，求证AD AB BO =+.（3）如图3，若点O 为BC 上任意一点，点D 关于直线BC 的对称点为点P ，连接,AP OP ，请判断AOP ∆的形状，并说明理由.【答案】（1）30；（2）见解析；（3）AOP ∆是等边三角形，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据三角形的等边三角形的性质可求1302CAO BAC ∠=∠=︒且,90AO BC AOC ⊥∠=︒，根据OA OD =，等腰三角形的性质得到D ∠的度数，再通过内角和定理求AOD ∠，即可求出COD ∠的度数.（2）过O 作//OE AB ，OE 交AD 于E 先证明COE ∆为等边三角形，再根据等边三角形的性质求120AEO ∠=︒，120DCO ∠=︒，再证明()AOE DOC AAS ∆≅∆，得到CD EA =，再通过证明得到EA BO =、AB AC =通过，又因为AD AC CD =+，通过等量代换即可得到答案.（3）通过作辅助线先证明()ODF OPF SAS ∆≅∆，得到OP OD =，又因为OA OD =，得到AO=OP ，证得AOP ∆为等腰三角形，如解析辅助线，由（2）可知得AOE DOC ∆≅∆得到AOE DOC ∠=∠,通过角的关系得到60AOP COE ∠=∠=°，即可证得AOP ∆是等边三角形.【详解】（1）∵ABC ∆为等边三角形∴60BAC ∠=︒∵O 为BC 中点∴1302CAO BAC ∠=∠=︒ 且,90AO BC AOC ⊥∠=︒∵OA OD =∴AOD ∆中，30D CAO ∠=∠=︒∴180120AOD D CAO ∠=︒-∠-∠=︒∴30COD AOD AOC ∠=∠-∠=︒（2）过O 作//OE AB ，OE 交AD 于E∵//OE AB∴60EOC ABC ∠=∠=︒60CEO CAB ∠=∠=︒∴COE ∆为等边三角形∴OE OC CE ==180120 AEO CEO∠=︒-∠=︒180120 DCO ACB∠=︒-∠=︒又∵OA OD=∴EAO CDO∠=∠在AOE∆和COD∆中AOE DOCEAO CDOOA OD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AOE DOC AAS∆≅∆∴CD EA=∵EA AC CE=-BO BC CO=-∴EA BO=∴BO CD=，∵AB AC=，AD AC CD=+∴AD AB BO=+（3）AOP∆为等边三角形证明过程如下：连接,PC PD，延长OC交PD于F ∵P D、关于OC对称∴,90 PF DF PFO DFO=∠=∠=︒在ODF∆与OPF∆中，PF DFPFO DFOOF OF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ODF OPF SAS∆≅∆∴OP OD=,POC DOC∠=∠∵OA OD =∴AO=OP∴AOP ∆为等腰三角形过O 作//OE AB ，OE 交AD 于E由（2）得AOE DOC ∆≅∆∴AOE DOC ∠=∠又∵POC DOC ∠=∠∴AOE POF ∠=∠∴AOE POE POF POE ∠+∠=∠+∠即AOP COE ∠=∠∵AB ∥OE ，∠B=60°∴60COE B ∠=∠=︒∴60AOP COE ∠=∠=°∴AOP ∆是等边三角形.【点睛】本题是考查了全等三角形和等边三角形的综合性问题，灵活应用全等三角形的性质得到边与角的关系，以及等边三角形的性质是解答此题的关键.9．如图1，△ABD ，△ACE 都是等边三角形，（1）求证：△ABE ≌△ADC ；（2）若∠ACD=15°，求∠AEB 的度数；（3）如图2，当△ABD 与△ACE 的位置发生变化，使C 、E 、D 三点在一条直线上，求证：AC ∥BE ．【答案】(1)见解析(2) ∠AEB=15°(3) 见解析【解析】试题分析：（1）由等边三角形的性质可得AB=AD ，AE=AC ，∠DAB=∠EAC=60°，即可得∠DAC=∠BAE ，利用SAS 即可判定△ABE ≌△ADC ；（2）根据全等三角形的性质即可求解；（3）由（1）的方法可证得△ABE ≌△ADC ，根据全等三角形的性质和等边三角形的性质可得∠AEB=∠ACD =60°，即可得∠AEB=∠EAC ，从而得AC ∥BE ．试题解析：（1）证明：∵△ABD ，△ACE 都是等边三角形∴AB=AD ，AE=AC ，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAC=∠BAE，在△ABE和△ADC中，∴，∴△ABE≌△ADC；（2）由（1）知△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，∵∠ACD=15°，∴∠AEB=15°；（3）同上可证：△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，又∵∠ACD=60°，∴∠AEB=60°，∵∠EAC=60°，∴∠AEB=∠EAC，∴AC∥BE．点睛：本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质，证得△ABE≌△ADC 是解决本题的关键.10．（阅读理解）截长补短法，是初中数学儿何题中一种输助线的添加方法，截长就是在长边上载取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题.（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系.解题思路：延长DC到点E，使CE＝B D．连接AE，根据∠BAC＋∠BDC＝180°，可证∠ABD ＝∠ACE,易证得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系.根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是___________（拓展延伸）（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝A C．若点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由;（知识应用）（3）如图3,一副三角尺斜边长都为14cm，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角尺的直角项点之间的距离PQ的长为________cm.【答案】（1）DA DB DC =+；（22DA DB DC =+，理由见详解；（3）7276+ 【解析】【分析】（1）由等边三角形知,60AB AC BAC ︒=∠=，结合120BDC ︒∠=知180ABD ACD ︒∠+∠=，则ABD ACE ∠=∠证得ABD ACE ≅得,AD AE BAD CAE =∠=∠,再证明三角形ADE 是等边三角形，等量代换可得结论； （2） 同理可证ABD ACE ≅得,AD AE BAD CAE =∠=∠，由勾股定理得222DA AE DE +=，等量代换即得结论；（3）由直角三角形的性质可得QN 的长，由勾股定理可得MQ 的长，由（2）知2PQ QN QM =+，由此可求得PQ 长.【详解】解：（1）延长DC 到点E ，使CE ＝B D.连接AE ，ABC 是等边三角形,60AB AC BAC ︒∴=∠=120BDC ︒∠=180ABD ACD ︒∴∠+∠=又180ACE ACD ︒∠+∠=ABD ACE ∴∠=∠()ABD ACE SAS ∴≅,AD AE BAD CAE ∴=∠=∠60BAC ︒∠=60BAD DAC ︒∴∠+∠=60DAE DAC CAE ︒∴∠=∠+∠= ADE ∴是等边三角形DA DE DC CE DC DB ∴==+=+（22DA DB DC =+延长DC 到点E ，使CE ＝B D.连接AE ，90BAC ︒∠=，90BDC ︒∠=180ABD ACD ︒∴∠+∠=又180ACE ACD ︒∠+∠= ABD ACE ∴∠=∠,AB AC CE BD ==()ABD ACE SAS ∴≅,AD AE BAD CAE ∴=∠=∠90DAE BAC ︒∴∠=∠= 222DA AE DE ∴+=222()DA DB DC ∴=+2DA DB DC ∴=+（3）连接PQ ，14,30MN QMN ︒=∠=172QN MN ∴== 根据勾股定理得222214714773MQ MN QN =-=-==由（22PQ QN QM =+773727622PQ ++∴=== 【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形和等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.。
人教版2020年八年级数学上册期中复习卷《轴对称》(含答案)
人教版2020年八年级数学上册期中复习卷《轴对称》一、选择题1.如图所示的标志中，是轴对称图形的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是（）A.（﹣4，﹣2）B.（2，2）C.（﹣2，2）D.（2，﹣2）3.已知△ABC在平面直角坐标系中，点A，B，C都在第一象限内，现将△ABC的三个顶点的横坐标保持不变，纵坐标都乘﹣1，得到一个新的三角形，则（）A.新三角形与△ABC关于x轴对称B.新三角形与△ABC关于y轴对称C.新三角形的三个顶点都在第三象限内D.新三角形是由△ABC沿y轴向下平移一个单位长度得到的4.将一张正方形纸片按如图1，图2所示的方向对折，然后沿图3中的虚线剪裁得到图4，将图4的纸片展开铺平，再得到的图案是( ）5.如图，在△ABC中,AB=AC=4,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N,则△AMN的周长为（）A.12B.4C.8D.不确定6.如图，在△ABC中AB的垂直平分线交AB于点D，交线段BC于点E．BC=6，AC=5，则△ACE的周长是（）A．14B．13C．12D．117.如图,△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,DE∥BC,则图中等腰三角形的个数（）A.1个B.3个C.4个D.5个8.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（）A.105°B.120°C.135°D.150°9.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为( )A.6B.8C.10D.1210.等腰三角形的一个角是50°，则它一腰上的高与底边的夹角是（）A．25° B．40° C．25°或40° D．不能确定11.在△ABC中,AB=AC,D、E分别在BC、AC上,AD=AE,∠CDE=20°,则∠BAD的度数为（）A.36°B.40°C.45°D.50°12.如图，已知∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为( )A.6B.12C.32D.64二、填空题13.若点A(1﹣m，6)与B(2+n，6)关于某坐标轴对称，则m﹣n= .14.如图，点P关于OA，OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若CD=18cm，则△PMN的周长为 cm．15.如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PD=4，则PC的长为.16.若等腰三角形顶角的外角为100°，则它的一个底角为．17.三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2= °．18.如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为（度）．三、作图题19.如图，已知点A，B(3，﹣2)在平面直角坐标系中，按要求完成下列个小题.(1)写出与点A关于y轴对称的点C的坐标，并在图中描出点C；(2)在(1)的基础上，点B，C表示的是两个村庄，直线a表示河流，现要在河流a上的某点M处修建一个水泵站，向B、C两个村庄供水，并且使得管道BM+CM的长度最短，请你在图中画出水泵站M 的位置.四、解答题20.如图,已知P是线段CD的垂直平分线上一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足为C、D.求证:(1)OC=OD;(2)OP平分∠AOB.21.如图，在△ABC中，∠B=45°，AD是∠BAC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于点F．求∠FAC的大小．22.如图，在△ABC中，AB=AC，AM平分∠BAC，交BC于点M，D为AC上一点，延长AB到点E，使CD=BE，连接DE，交BC于点F，过点D作DH∥AB，交BC于点H，G是CH的中点.(1)求证：DF=EF.(2)试判断GH，HF，BC之间的数量关系，并说明理由.23.如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF．（1）求证：BG=CF；（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．五、综合题24.如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以3cm/s 的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动.(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由.(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？参考答案1.C2.D3.答案为：A.4.答案为：B.5.C6.D7.D8.B9.答案为：C.10.C11.B12.答案为：C.13.答案为：3.14.答案为：18cm．15.答案为：8.16.答案为：50°．17.答案为：130．18.答案为：45．19.解：(1)写出与点A关于y轴对称的点C的坐标(﹣2，1)，点C位置如图所示.(2)①作点B关于直线a的对称点B′，②连接CB′与直线a的交点为M.点M就是所求的点.(理由是两点之间线段最短)20.证明：(1)∵P在CD的垂直平分线上,∴PC=PD.又∵OP=OP,∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL).∴OC=OD.(2)由(1)Rt△OPC≌△OPD知∠AOP=∠BOP.21.解：∵EF垂直平分AD∴FA=FD∴∠ADF=∠DAF又∵∠ADF=∠B+∠BAD,∠DAF=∠FAC+∠DAC,∠BAD=∠DAC∴∠FAC=∠B=45°22.23.解：（1）∵BG∥AC，∴∠DBG=∠DCF．∵D为BC的中点，∴BD=CD又∵∠BDG=∠CDF，在△BGD与△CFD中，∵∴△BGD≌△CFD（ASA）．∴BG=CF．（2）BE+CF＞EF．∵△BGD≌△CFD，∴GD=FD，BG=CF．又∵DE⊥FG，∴EG=EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．∴在△EBG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．24.解：(1)经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，∵△ABC中，AB=AC，∴在△BPD和△CQP中，，∴△BPD≌△CQP(SAS).(2)设点Q的运动速度为x(x≠3)cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等；则可知PB=3tcm，PC=8﹣3tcm，CQ=xtcm，∵AB=AC，∴∠B=∠C，根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：①当BD=PC，BP=CQ时，②当BD=CQ，BP=PC 时，两三角形全等；①当BD=PC且BP=CQ时，8﹣3t=5且3t=xt，解得x=3，∵x≠3，∴舍去此情况；②BD=CQ，BP=PC时，5=xt且3t=8﹣3t，解得：x=；故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD 与△CQP全等.。
八年级数学轴对称填空选择单元复习练习(Word版 含答案)
八年级数学轴对称填空选择单元复习练习(Word 版 含答案)一、八年级数学全等三角形填空题（难）1．如图，在ABC 中，点A 的坐标为()0,1，点B 的坐标为()0,4，点C 的坐标为()4,3，点D 在第二象限，且ABD 与ABC 全等，点D 的坐标是______．【答案】(－4，2)或(－4，3)【解析】【分析】【详解】把点C 向下平移1个单位得到点D （4，2），这时△ABD 与△ABC 全等，分别作点C ，D 关于y 轴的对称点（-4，3）和（-4，2），所得到的△ABD 与△ABC 全等.故答案为(－4，2)或(－4，3).2．如图，已知点I 是△ABC 的角平分线的交点．若AB ＋BI ＝AC ，设∠BAC ＝α，则∠AIB ＝______（用含α的式子表示）【答案】1206α︒-【解析】【分析】 在AC 上截取AD=AB ，易证△ABI ≌△ADI ，所以BI=DI ，由AB ＋BI ＝AC ，可得DI=DC ，设∠DCI=β，则∠ADI=∠ABI=2β，然后用三角形内角和可推出β与α的关系，进而求得∠AIB.【详解】解：如图所示，在AC 上截取AD=AB ，连接DI ，点I 是△ABC 的角平分线的交点所以有∠BAI=∠DAI ，∠ABI=∠CBI ，∠ACI=∠BCI ，在△ABI 和△ADI 中，AB=AD BAI=DAI AI=AI ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ABI ≌△ADI （SAS ）∴DI=BI又∵AB ＋BI ＝AC ，AB+DC=AC∴DI=DC∴∠DCI=∠DIC设∠DCI=∠DIC=β则∠ABI=∠ADI=2∠DCI=2β在△ABC 中，∠BAC+2∠ABI+2∠DCI=180°，即42180ββ︒++=a ， ∴180=3066β︒︒=--a a 在△ABI 中，180︒∠=-∠-∠AIB BAI ABI121802αβ︒=-- 1=23160028αα︒︒⎛⎫--- ⎪⎝⎭ =1206α︒-【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形角度计算，利用截长补短构造全等三角形是解题的关键.3．如图，10AB =，45A B ∠=∠=︒，32AC BD ==E ，F 为线段AB 上两点．现存在以下条件：①4CE DF ==；②AF BE =；③CEB DFA ∠=∠；④5CE DF==．请在以上条件中选择一个条件，使得ACE△一定．．和BDF全等，则这个条件可以为________．（请写出所有正确的答案）【答案】②③④【解析】【分析】根据三角形全等的判定定理逐个判断即可.【详解】①如图1，过点C作CM AB⊥，过点D作DN AB⊥32,45A BAC BD∠=∠===︒3CM AM DN BN∴====4CE DF==由勾股定理得：22227,7ME CE CM NF DF DN=-==-=37,37AE AM ME BF BN NF∴=-=-=+=+，即AE BF≠此时，ACE∆和BDF∆不全等②AF BE=AF EF BE EF∴+=+，即AE BF=又452,3AC DA B B∠=∠=︒==则由SAS定理可得，ACE BDF∆≅∆③CEB DFACEB C ADFA D B∠=∠⎧⎪∠=∠+∠⎨⎪∠=∠+∠⎩C AD B∴∠+∠=∠+∠又A B∠=∠C D∴∠=∠32AC BD==则由ASA定理可得，ACE BDF∆≅∆④由（1）知，当5CE DF==时，22224,4ME CE CM NF DF DN-=-=此时，,,CE CA DF BD ME AM NF BN >>⎧⎨>>⎩则点E 在点M 的右侧，点F 在点N 的左侧又10AM BN ME AM BN NF AB ++=++==则点E 与点N 重合，点F 与点M 重合，如图2所示因此必有347AE BF ==+=由SSS 定理可得，ACE BDF ∆≅∆故答案为：②③④.【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟记各判定定理是解题关键.4．如图，52A ∠=︒，O 是ABC ∠、ACB ∠的角平分线交点，P 是ABC ∠、ACB ∠外角平分线交点，则BOC ∠=______︒，BPC ∠=_____︒，联结AP ，则PAB ∠=______︒，点O ____（选填“在”、“不在”或“不一定在”）直线AP 上．【答案】116 64 26 在【解析】【分析】∠ABC+∠ACB=180°-∠A ，∠OBC+∠OCB= 12（∠ABC+∠ACB ）, ∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ），据此可求∠BOC 的度数；∠BCP=12∠BCE= 12（∠A+∠ABC ），∠PBC= 12∠CBF= 12（∠A+∠ACB ），由三角形内角和定理得：∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC ，据此可求∠BPC 的度数； 作PG ⊥AB 于G ，PH ⊥AC 于H ，PK ⊥BC 于K ，利用角平分线的性质定理可证明PG=PH ，于是可证得AP 平分∠BAC ，据此可求∠PAB 的度数；同理可证OA 平分∠BAC ，故点O 在直线AP 上．【详解】解：∵O点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴∠OBC+∠OCB= 12（∠ABC+∠ACB）= 12（180°-∠A）=90°- 12∠A，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-90°+ 12∠A=90°+ 12∠A=90°+26°=116°；如图，∵BP、CP为△ABC两外角的平分线，∴∠BCP= 12∠BCE=12（∠A+∠ABC），∠PBC= 12∠CBF=12（∠A+∠ACB），由三角形内角和定理得：∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC=180°- 12[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]=180°- 12（∠A+180°）=90°- 12∠A=90°-26°=64°．如图，作PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，PK⊥BC于K，连接AP，∵BP、CP为△ABC两外角的平分线，PG⊥AB，PH⊥AC，PK⊥BC，∴PG=PK，PK=PH，∴PG=PH，∴AP平分∠BAC，∠=26°∴PAB同理可证OA平分∠BAC，点O在直线AP上．故答案是：(1) 116 ；(2) 64；(3) 26；(4) 在.【点睛】此题主要考查了角平分线的性质定理和判定定理及三角形内角和定理，熟知定理并正确作出辅助线是解题关键．5．如图，△ABC中，AC＝BC＝5，∠ACB＝80°，O为△ABC中一点，∠OAB＝10°，∠OBA＝30°，则线段AO的长是_____．【答案】5【解析】【分析】作∠CAO的平分线AD，交BO的延长线于点D，连接CD，由等边对等角得到∠CAB＝∠CBA＝50°，再推出∠DAB＝∠DBA，得到AD＝BD，然后可证△ACD≌△BCD，最后证△ACD≌△AOD，即可得AO＝AC＝5．【详解】解：如图，作∠CAO的平分线AD，交BO的延长线于点D，连接CD，∵AC＝BC＝5，∴∠CAB ＝∠CBA ＝50°，∵∠OAB ＝10°，∴∠CAD ＝∠OAD ＝1(CAB OAB)2∠-∠＝()150102︒︒-＝20°， ∵∠DAB ＝∠OAD+∠OAB ＝20°+10°＝30°，∴∠DAB ＝30°＝∠DBA ，∴AD ＝BD ，∠ADB ＝120°，在△ACD 与△BCD 中 AC BC AD BD CD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△BCD （SSS ）∴∠CDA ＝∠CDB ，∴∠CDA ＝∠CDB ＝()1360ADB 2︒-∠＝()13601202︒︒-＝120°， 在△ACD 与△AOD 中 CDA ADO 120AD ADCAD OAD ︒⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACD ≌△AOD （ASA ）∴AO ＝AC=5，故答案为5．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解决本题的关键.6．如图，AB ∥CD ，O 为∠BAC 、∠ACD 的平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE =1，则AB 与CD 之间的距离等于____．【答案】2【解析】过点O 作OF ⊥AB 于F ，作OG ⊥CD 于G ，∵O 为∠BAC 、∠DCA 的平分线的交点，OE ⊥AC ，∴OE =OF ，OE =OG ，∴OE =OF =OG =1，∵AB ∥CD ，∴∠BAC +∠ACD =180°，∴∠EOF +∠EOG =（180°﹣∠BAC ）+（180°﹣∠ACD ）=180°，∴E 、O 、G 三点共线，∴AB 与CD 之间的距离=OF +OG =1+1=2．故答案为：2．点睛：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，平行线的性质，熟记性质是解题的关键，难点在于作出辅助线并证明E、O、G三点共线．7．如图，点D、E、F、B在同一直线上，AB∥CD、AE∥CF，且AE=CF，若BD=10，BF=2，则EF=__．【答案】6【解析】【分析】由于AB//CD、AE/CF，根据平行线的性质可以得到∠B=∠D，∠AEF=∠CFD，然后利用已知条件就可以证明△AEF≌△CFD，最后利用全等三角形的性质和已知条件即可求解.【详解】解：∵AB//CD、AE/CF，∴∠B=∠D，∠AEF=∠CFD，而AE=CF，∴△AEF≌△CFD，∴DF=EB，∴DE=BF，∴EF=BD-2BF=6.故答案为：6.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题时首先利用平行线的性质构造全等条件证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质即可解决问题.8．如图，在△ABD中，∠BAD＝80°，C为BD延长线上一点，∠BAC＝130°，△ABD的角平分线BE与AC交于点E，连接DE，则∠DEB＝_____．【答案】40°【解析】【分析】做辅助线，构建角平分线的距离，根据角平分线的性质和逆定理可得：EF=EG=EH，设∠DEG=y，∠GEB=x，根据三角形内角和定理可得：∠GEA=∠FEA=40°，∠FEB=∠HEB，列方程为2y+x=80-x,y+x=40,可得结论：∠DEB＝40°.【详解】如图，过E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，∵BE平分∠ABD∴EH=EF∵∠BAC＝130°，∠BAD＝80°∴∠FAE=∠CAD=50°∴EF=EG∴EG=EH∴ED平分∠CDG∴∠HED=∠DEG设∠DEG=y，∠GEB=x，∵∠EFA=∠EGA=90°∴∠GEA=∠FEA=40°∵∠EFB=∠EHB=90°，∠EBH=∠EBF∴∠FEB=∠HEB∴2y+x=80-x,2y+2x=80y+x=40即∠DEB＝40°.故答案为：40°.【点睛】本题考查三角形内角和定理和角平分线的性质，正确作辅助线是解题的关键.9．如图，△ABC与△DEF为等边三角形，其边长分别为a，b，则△AEF的周长为___________．【答案】a+b【解析】先根据全等三角形的判定AAS判定△AEF≌△BFD，得出AE=BF，从而得出△AEF的周长=AF+AE+EF=AF+BF+EF=a+b．故答案为：a+b10．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BD＝CE，BE＝CF.若∠A＝40°，则∠DEF的度数为____．【答案】70°【解析】由等腰三角形的性质得出∠B=∠C=70°，再根据SAS证得△BDE≌△CEF，得出∠BDE=∠CEF，运用三角形的外角性质得出∠CEF+∠DEF=∠B+∠BDE，即可得出∠DEF=∠B=70°.点睛：此题主要考查了等腰三角形的性质，解题时，利用等腰三角形的性质和三角形全等的判定证得∠BDE=∠CEF，然后根据三角形外角的性质可求解.二、八年级数学全等三角形选择题（难）11．如图，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于O，连结AO，则图中共有全等三角形的对数为（）A．2对B．3对C．4对D．5对【答案】C【解析】【分析】先根据条件，利用AAS可知△ADB≌△AEC，然后再利用HL、ASA即可判断△AOE≌△AOD，△BOE≌△COD，△AOC≌△AOB.【详解】∵AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，∴∠ADB=∠AEC=90°，∵∠A为公共角，∴△ADB≌△AEC，（AAS）∴AE=AD，∠B=∠C∴BE=CD，∵AE=AD，OA=OA，∠ADB=∠AEC=90°，∴△AOE≌△AOD（HL），∴∠OAC=∠OAB，∵∠B=∠C，AB=AC，∠OAC=∠OAB，∴△AOC≌△AOB.（ASA）∵∠B=∠C，BE=CD，∠ODC=∠OEB=90°，∴△BOE≌△COD（ASA）．综上：共有4对全等三角形，故选C.【点睛】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时要从已知条件开始结合全等的判定方法逐一验证，由易到难，不重不漏．12．如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，BC边上的中线．．为．．AD=4，则△ABC的面积（）A．30B．48C．20D．24【答案】D【解析】延长AD到E,使DE=AD,连接BE,因为D为BC的中点,所以DC=BD,在△ADC和△EDB中,AD EDADC EDBDC BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,所以△ADC≌△EDB,所以BE=AC=10, ∠CAD＝∠E,又因为AE=2AD=8,AB=6,所以222AB AE BE=+,所以∠CAD＝∠E=90°,则11114646242222ABC ABD ADCS S S AD BE AD AC=+=⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯=,所以故选D.13．如图，Rt ABC∆中，90C=∠，3,4,5,AC BC AB===AD平分BAC∠．则:ACD ABDS S∆∆=（）A．3:4B．3:5C．4:5D．2:3【答案】B【解析】如图，过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可得出DE=CD，由全等三角形的判定定理HL得出△ADC≌△ADE，故可得出AE=AC=3，由AB=5求出BE=2，设CD=x，则DE=x，BD=4﹣x，再根据勾股定理知DE2+BE2=BD2，即x2+22=（4﹣x）2，求出x=32，进而根据等高三角形的面积，可得出：S△ACD：S△ABD=CD：BD=12×32×3：12×32×5=3：5．故选：B．点睛：本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．14．如图所示，在Rt ABC∆中，E为斜边AB的中点，ED AB⊥，且:1:7CAD BAD∠∠=，则BAC∠=( )A．70B．45C．60D．48【答案】D【解析】根据线段的垂直平分线，可知∠B=∠BAD，然后根据直角三角形的两锐角互余，可得∠BAC+∠B=90°，设∠CAD=x，则∠BAD=7x，则x+7x+7x=90°，解得x=6°，因此可知∠BAC=∠CDA+∠BAD=6°+42°=48°.故选：D.点睛：此题主要考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质和直角三角形的性质求角的关系，根据比例关系设出未知数，然后根据角的关系列方程求解是解题关键.15．如右图，在△ABC中，点Q，P分别是边AC，BC上的点，AQ=PQ，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，且PR=PS，下面四个结论：①AP平分∠BAC；②AS=AR；③BP=QP；④QP∥AB．其中一定正确的是( )A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④【答案】C【解析】试题解析：∵PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，且PR=PS，∴点P在∠BAC的平分线上，即AP平分∠BAC，故①正确；∴∠PAR=∠PAQ，∵AQ=PQ，∴∠APQ=∠PAQ，∴∠APQ=∠PAR，QP AB∴，故④正确；在△APR与△APS中,AP AP PR PS=⎧⎨=⎩，(HL)APR APS∴≌，∴AR=AS，故②正确；△BPR和△QSP只能知道PR=PS,∠BRP=∠QSP=90∘，其他条件不容易得到，所以，不一定全等.故③错误.故选C.16．如图，将一个等腰Rt△ABC对折，使∠A与∠B重合，展开后得折痕CD，再将∠A折叠，使C落在AB上的点F处，展开后，折痕AE交CD于点P，连接PF、EF，下列结论：①tan∠CAE=2﹣1；②图中共有4对全等三角形；③若将△PEF沿PF翻折，则点E一定落在AB上；④PC=EC；⑤S四边形DFEP=S△APF．正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】【详解】①正确．作EM∥AB交AC于M．∵CA=CB ，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，∵∠CAE=∠BAE=12∠CAB=22.5°， ∴∠MEA=∠EAB=22.5°， ∴∠CME=45°=∠CEM ，设CM=CE=a ，则ME=AM=2a ，∴tan ∠CAE=212CE AC a a==-+，故①正确， ②正确．△CDA ≌△CDB ，△AEC ≌△AEF ，△APC ≌△APF ，△PEC ≌△PEF ，故②正确， ③正确．∵△PEC ≌△PEF ，∴∠PCE=∠PFE=45°，∵∠EFA=∠ACE=90°，∴∠PFA=∠PFE=45°，∴若将△PEF 沿PF 翻折，则点E 一定落在AB 上，故③正确．④正确．∵∠CPE=∠CAE+∠ACP=67.5°，∠CEP=90°﹣∠CAE=67.5°，∴∠CPE=∠CEP ，∴CP=CE ，故④正确，⑤错误．∵△APC ≌△APF ，∴S △APC =S △APF ，假设S △APF =S 四边形DFPE ，则S △APC =S 四边形DFPE ，∴S △ACD =S △AEF ，∵S △ACD =12S △ABC ，S △AEF =S △AEC ≠12S △ABC ， ∴矛盾，假设不成立．故⑤错误．.故选D.17．如图，在△ABC 中，P 是BC 上的点，作PQ ∥AC 交AB 于点Q ，分别作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R ，S ，若PR=PS ，则下面三个结论：①AS=AR ；②AQ=PQ ；③△PQR ≌△CPS ；④AC ﹣AQ=2SC ，其中正确的是（ ）A．②③④B．①②C．①④D．①②③④【答案】B【解析】【分析】连接AP,由已知条件利用角平行线的判定可得∠1 = ∠2,由三角形全等的判定得△APR≌△APS,得AS=AR,由已知可得∠2 = ∠3,得QP=AQ,答案可得.【详解】解:如图连接AP,PR=PS,PR⊥AB,垂足为R,PS⊥AC,垂足为S,AP是∠BAC的平分线,∠1=∠2,△APR≌△APS.AS=AR,又QP/AR,∠2 = ∠3又∠1 = ∠2，∠1=∠3,AQ=PQ,没有办法证明△PQR≌△CPS,③不成立,没有办法证明AC-AQ=2SC,④不成立.所以B选项是正确的.【点睛】本题主要考查三角形全等及三角形全等的性质.18．如图，，，，点D、E为BC边上的两点，且，连接EF、BF则下列结论：≌；≌；；，其中正确的有( )个．A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】【分析】根据∠DAF=90°，∠DAE=45°，得出∠FAE=45°，利用SAS证明△AED≌△AEF，判定①正确；由△AED≌△AEF得AF=AD,由，得∠FAB=∠CAD，又AB=AC, 利用SAS证明≌,判定②正确；先由∠BAC=∠DAF=90°，得出∠CAD=∠BAF，再利用SAS证明△ACD≌△ABF，得出CD=BF，又①知DE=EF，那么在△BEF中根据三角形两边之和大于第三边可得BE+BF＞EF，等量代换后判定③正确；先由△ACD≌△ABF，得出∠C=∠ABF=45°，进而得出∠EBF=90°，判定④正确．【详解】‚解：①∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，∴∠FAE=∠DAF-∠DAE=45°．在△AED与△AEF中，，∴△AED≌△AEF（SAS），①正确；②∵△AED≌△AEF,∴AF=AD,∵,∴∠FAB=∠CAD,∵AB=AC，∴≌，②正确；③∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAC-∠BAD=∠DAF-∠BAD，即∠CAD=∠BAF．在△ACD与△ABF中，，∴△ACD≌△ABF（SAS），∴CD=BF，由①知△AED≌△AEF，∴DE=EF ．在△BEF 中，∵BE+BF ＞EF ，∴BE+DC ＞DE ，③正确；④由③知△ACD ≌△ABF ，∴∠C=∠ABF=45°，∵∠ABE=45°，∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°．④正确．故答案为D ．【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性质，三角形三边关系定理，相似三角形的判定，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，有一定难度．19．如图，Rt ACB 中，90ACB ︒∠=，ABC 的角平分线AD 、BE 相交于点P ，过P 作PF AD ⊥交BC 的延长线于点F ，交AC 于点H ，则下列结论：①135APB ︒∠=；②PF PA =；③AH BD AB +=；④S 四边形23ABDE S ABP =，其中正确的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】【分析】 根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐一分析判断即可．【详解】解：∵在△ABC 中，∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°∵AD 、BE 分别平分∠BAC 、∠ABC ，∴∠BAD=12CAB ∠，∠ABE=12ABC ∠ ∴∠BAD+∠ABE=111+=()45222CAB ABC CAB ABC ∠∠∠+∠=︒ ∴∠APB=180°-（∠BAD+∠ABE ）=135°，故①正确；∴∠BPD=45°，又∵PF ⊥AD ，∴∠FPB=90°+45°=135°∴∠APB=∠FPB又∵∠ABP=∠FBPBP=BP∴△ABP ≌△FBP （ASA ）∴∠BAP=∠BFP ，AB=AB ，PA=PF ，故②正确；在△APH 与△FPD 中∵∠APH=∠FPD=90°∠PAH=∠BAP=∠BFPPA=PF∴△APH ≌△FPD （ASA ），∴AH=FD ，又∵AB=FB∴AB=FD+BD=AH+BD ，故③正确；连接HD ，ED ，∵△APH ≌△FPD ，△ABP ≌△FBP∴APH FPD S S =，ABP FBP S S =，PH=PD ，∵∠HPD=90°，∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD∴HD ∥EP ，∴EPH EPD S S =∵ABP BDP AEP EPD ABDE S S SS S =+++四边形 ()ABP AEP EPHPBD S S S S =+++ ABP APH PBDS S S =++ ABP FPD PBD SS S =++ ABP FBP S S =+2ABP S =故④错误，∴正确的有①②③，故答案为：B ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的方法有：SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL ，注意AAA 和SAS 不能判定两个三角形全等．20．如图，AC ⊥BE 于点C ，DF ⊥BE 于点F ，且BC ＝EF ，如果添上一个条件后，可以直接利用“HL ”来证明△ABC ≌△DEF ，则这个条件应该是( )A ．AC ＝DEB ．AB ＝DEC ．∠B ＝∠ED ．∠D ＝∠A【答案】B 【解析】在Rt △ABC 与Rt △DEF 中，直角边BC ＝EF ，要利用“HL”判定全等，只需添加条件斜边AB=DE.故选：B.21．如图，已知在正方形ABCD 中，点E F 、分别在BC CD 、上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于G ，给出下列结论：①BE DF =； ② 15DAF ∠=;③AC 垂直平分EF ; ④BE DF EF +=．其中结论正确的共有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】试题分析：四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=AD ，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．∵△AEF 等边三角形，∴AE=EF=AF ，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），∴BE=DF （故①正确）．∠BAE=∠DAF，∴∠DAF+∠DAF=30°，即∠DAF=15°（故②正确），∵BC=CD，∴BC﹣BE=CD﹣DF，即CE=CF，∵AE=AF，∴AC垂直平分EF．（故③正确）．设EC=x，由勾股定理，得EF=x，CG=x，AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=x，∴AC=，∴AB=，∴BE=﹣x=，∴BE+DF=x﹣x≠x．（故④错误）．∴综上所述，正确的有3个．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质．22．下列命题中的假命题是（）A．等边三角形的一个内角的平分线把这个等边三角形分成的两个三角形全等B．等腰三角形底边上的中线把这个等腰三角形分成的两个三角形全等C．等腰直角三角形底边上的高把这个等腰直角三角形分成的两个三角形全等D．直角三角形斜边上的中线把这个直角三角形分成的两个三角形全等【答案】D【解析】【分析】根据等边三角形、等腰三角形、直角三角形的性质和全等三角形的判定进行判定即可.【详解】解：A、等边三角形的一个内角的平分线把这个等边三角形分成的两个三角形全等，正确，是真命题；B、等腰三角形底边上的中线把这个等腰三角形分成的两个三角形全等，正确，是真命题；C、等腰直角三角形底边上的高把这个等腰直角三角形分成的两个三角形全等，正确，是真命题；D、直角三角形斜边上的中线把这个直角三角形分成的两个三角形全等，错误，是假命题，故答案为D．【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形、直角三角形的性质和全等三角形的判定，其中灵活应用所学知识是解答本题的关键.23．下列两个三角形中,一定全等的是( )A．两个等边三角形B．有一个角是40︒,腰相等的两个等腰三角形C．有一条边相等,有一个内角相等的两个等腰三角形D．有一个角是100︒,底相等的两个等腰三角形【答案】D【解析】【分析】根据全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质对各个选项进行分析,从而得到答案．【详解】解：A、当两个等边三角形的对应边不相等时,这两个等边三角形也不会全等，故本选项错误；B、当该角不是对应角时,这两个等腰三角形也不会全等，故本选项错误；C、当两个等腰三角形的对应边与对应角不相等时,这两个等腰三角形也不会全等，故本选项错误；D、等腰三角形的100°角只能是顶角,则两个底角是40°,它们对应相等，所以由全等三角形的判定定理ASA或AAS证得它们全等，故本选项正确；故选D．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角．24．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BE的两侧，AB∥DE，BF＝CE，添加一个适当的条件后，仍不能使得△ABC≌△DEF（）A．AC＝DF B．AC∥DF C．∠A＝∠D D．AB＝DE【答案】A【解析】【分析】根据AB∥DE证得∠B＝∠E，又已知BF＝CE证得BC＝EF，即已具备两个条件：一边一角，再依次添加选项中的条件即可判断.【详解】∵AB∥DE，∴∠B＝∠E，∵BF＝CE，∴BF+FC＝CE+FC，∴BC＝EF，若添加AC＝DF，则不能判定△ABC≌△DEF，故选项A符合题意；若添加AC∥DF，则∠ACB＝∠DFE，可以判断△ABC≌△DEF（ASA），故选项B不符合题意；若添加∠A＝∠D，可以判断△ABC≌△DEF（AAS），故选项C不符合题意；若添加AB＝DE，可以判断△ABC≌△DEF（SAS），故选项D不符合题意；故选：A．【点睛】此题考查三角形全等的判定定理，熟练掌握定理，并能通过定理去判断条件是否符合全等是解决此题的关键.25．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出下列四个结论：①△APE≌△CPF；②AE=CF；③△EAF是等腰直角三角形；④S△ABC=2S四边形AEPF，上述结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】利用“角边角”证明△APE和△CPF全等，根据全等三角形的可得AE=CF，再根据等腰直角三角形的定义得到△EFP是等腰直角三角形，根据全等三角形的面积相等可得△APE的面积等于△CPF的面积相等，然后求出四边形AEPF的面积等于△ABC的面积的一半．【详解】∵AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC的中点，∴AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，∴∠APF+∠CPF=90°，∵∠EPF是直角，∴∠APF+∠APE=90°，∴∠APE=∠CPF，在△APE和△CPF中，45APE CPFAP PCEAP C∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩＝＝＝＝，∴△APE≌△CPF（ASA），∴AE=CF，故①②正确；∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE，∴△EFP 是等腰直角三角形，故③错误；∵△APE ≌△CPF ，∴S △APE =S △CPF ，∴四边形AEPF =S △AEP +S △APF =S △CPF +S △BPE =12S △ABC ．故④正确， 故选C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据同角的余角相等求出∠APE=∠CPF ，从而得到△APE 和△CPF 全等是解题的关键，也是本题的突破点．26．如图，AOB ∆的外角,CAB DBA ∠∠的平分线,AP BP 相交于点P ，PE OC ⊥于E ，PF OD ⊥于F ，下列结论：（1）PE PF =；（2）点P 在COD ∠的平分线上；（3）90APB O ∠=︒-∠，其中正确的有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】【分析】 过点P 作PG ⊥AB ，由角平分线的性质定理，得到PE PG PF ==，可判断（1）（2）正确；由12APB EPF ∠=∠，180EPF O ∠+∠=︒，得到1902APB O ∠=︒-∠，可判断（3）错误；即可得到答案．【详解】解：过点P 作PG ⊥AB ，如图：∵AP 平分∠CAB ，BP 平分∠DBA ，PE OC ⊥，PF OD ⊥，PG ⊥AB ，∴PE PG PF ==；故（1）正确；∴点P 在COD ∠的平分线上；故（2）正确；∵12APB APG BPG EPF ∠=∠+∠=∠，又180EPF O ∠+∠=︒，∴11(180)9022APB O O ∠=⨯︒-∠=︒-∠；故（3）错误； ∴正确的选项有2个；故选：C ．【点睛】 本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质进行解题．27．如图，ABC ∆中，45ABC ∠=，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G ，下列结论正确的有( )个①BF AC =；②12AE BF =；③67.5A ∠=；④DGF ∆是等腰三角形；⑤ADGE GHCE S S =四边形四边形.A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】B【解析】【分析】 只要证明△BDF ≌△CDA ，△BAC 是等腰三角形，∠DGF ＝∠DFG ＝67.5°，即可判断①②③④正确，作GM ⊥BD 于M ，只要证明GH ＜DG 即可判断⑤错误．【详解】∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，∴∠BDC ＝∠ADC ＝∠AEB ＝90°，∴∠A ＋∠ABE ＝90°，∠ABE ＋∠DFB ＝90°，∴∠A ＝∠DFB ，∵∠ABC ＝45°，∠BDC ＝90°，∴∠DCB ＝90°−45°＝45°＝∠DBC ，∴BD ＝DC ，在△BDF 和△CDA 中BDFCDA A DFBBD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△BDF ≌△CDA （AAS ），∴BF ＝AC ，故①正确．∵∠ABE ＝∠EBC ＝22.5°，BE ⊥AC ，∴∠A ＝∠BCA ＝67.5°，故③正确，∴BA ＝BC ，∵BE ⊥AC ，∴AE ＝EC ＝12AC ＝12BF ，故②正确， ∵BE 平分∠ABC ，∠ABC ＝45°，∴∠ABE ＝∠CBE ＝22.5°，∵∠BDF ＝∠BHG ＝90°，∴∠BGH ＝∠BFD ＝67.5°，∴∠DGF ＝∠DFG ＝67.5°，∴DG ＝DF ，故④正确．作GM ⊥AB 于M ．∵∠GBM ＝∠GBH ，GH ⊥BC ，∴GH ＝GM ＜DG ，∴S △DGB ＞S △GHB ，∵S △ABE ＝S △BCE ，∴S 四边形ADGE ＜S 四边形GHCE ．故⑤错误，∴①②③④正确，故选：B ．【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第五个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键，属于中考选择题中的压轴题．28．如图，O 是正ABC 内一点，3OA =，4OB =，5OC =，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO '，连接AO '，下列结论：①BO A '△可以由BOC绕点B 逆时针旋转60°得到：②点O 与O '的距离为4；③150AOB ∠=︒；④S 四边形643AOBO ；⑤9634AOC AOB S S +=+△△．其中正确的结论是（ ）A ．①②③④B ．①②③⑤C ．①②④⑤D ．①②③④⑤【答案】D【解析】【分析】 证明△BO ′A ≌△BOC ，又∠OBO ′＝60°，所以△BO ′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到，故结论①正确；由△OBO ′是等边三角形，可知结论②正确；在△AOO ′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO ′是直角三角形；进而求得∠AOB ＝150°，故结论③正确；643AOO OBO AOBO S S S '∆'∆'=+=+四边形④正确；如图②，将△AOB 绕点A 逆时针旋转60°，使得AB 与AC 重合，点O 旋转至O ″点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将S △AOC +S △AOB 转化为S △COO ″+S △AOO ″，计算可得结论⑤正确．【详解】解：由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，∴∠1＝∠3，又∵OB ＝O ′B ，AB ＝BC ，∴△BO ′A ≌△BOC ，又∵∠OBO ′＝60°，∴△BO ′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到，故结论①正确；如图①，连接OO ′，∵OB ＝O ′B ，且∠OBO ′＝60°，∴△OBO ′是等边三角形，∴OO ′＝OB ＝4．故结论②正确； ∵△BO ′A ≌△BOC ，∴O ′A ＝5．在△AOO ′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，∴△AOO ′是直角三角形，∠AOO ′＝90°，∴∠AOB ＝∠AOO ′+∠BOO ′＝90°+60°＝150°，故结论③正确；2313446432AOO OBO AOBO S S S '∆'∆'=+=⨯⨯=+四边形故结论④正确；如图②所示，将△AOB 绕点A 逆时针旋转60°，使得AB 与AC 重合，点O 旋转至O ″点．易知△AOO ″是边长为3的等边三角形，△COO ″是边长为3、4、5的直角三角形， 则23193436324AOC AOB COO AOO AOCO S S S S S ∆∆∆''∆''''+==+=⨯⨯+⨯=+四边形， 故结论⑤正确．综上所述，正确的结论为：①②③④⑤．故选：D ．【点睛】本题考查了旋转变换中等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．在判定结论⑤时，将△AOB 向不同方向旋转，体现了结论①﹣结论④解题思路的拓展应用．29．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD，AB ＞AD ，下列结论中正确的是（ ）A ．AB ﹣AD ＞CB ﹣CDB ．AB ﹣AD=CB ﹣CDC ．AB ﹣AD ＜CB ﹣CDD ．AB ﹣AD 与CB ﹣CD 的大小关系不确定【答案】A【解析】如图，在AB 上截取AE=AD ，连接CE ．∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC=∠DAC ，又AC 是公共边，∴△AEC≌△ADC（SAS），∴AE=AD，CE=CD，∴AB-AD=AB-AE=BE，BC-CD=BC-CE，∵在△BCE中，BE＞BC-CE，∴AB-AD＞CB-CD．故选A．30．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，如图，那么下列各条件中，不能使Rt△AB C≌Rt△A′B′C′的是( )A．AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3B．AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°C．AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3D．AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°【答案】B【解析】∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°A选项：AB=A′B′=5，BC=B′C′=3，符合直角三角形全等的判定条件HL，∴A选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；B选项：AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°，不符合符合直角三角形全等的判定条件，∴B选项不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；C选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定条件SAS；∴C选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；D选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定条件ASA，∴D选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；故选：B．点睛：此题主要考查学生对直角三角全等的判定的理解和掌握，解答此题不仅仅是掌握直角三角形全等的判定，还要熟练掌握其它判定三角形全等的方法，才能尽快选出此题的正确答案．。
浙江省台州市温岭市2019-2020学年八年级上学期期中数学试题(解析版)
浙江省台州市温岭市2019-2020学年八年级上学期期中数学试题一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确答案选项的字母填在对应的括号里）1. 下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是（ A ）A. B. C. D.2.如图，一个三角形被纸板挡住了一部分，我们还能够画出一个与它完全重合的三角形，其原理是判定两个三角形全等的基本事实或定理，本题中用到的基本事实或定理是（ D ）A. SSSB. SASC. HLD. ASA3.一个多边形的每一个外角都等于45°，那么这个多边形的内角和为（ B ）A. 1260°B. 1080°C. 1620°D. 360°4.如图，△ABC≌△BAD，A和B.C和D分别是对应顶点，若AB＝6cm，AC＝5cm，BC＝4cm，则AD的长为（ C ）A. 6cmB. 5cmC. 4cmD. 以上都不对5.如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝32°，则∠C的度数是（ B ）A. 64°B. 32°C. 30°D. 40°6.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP＋BP的最小值是（ B ）A. 3B. 4C. 5D. 67.如图，在△ABC 中，画出AC 边上的高，正确的图形是（ C ）A. B. C. D.8.如图所示的仪器中，OD ＝OE ，CD ＝CE.小州把这个仪器往直线l 上一放，使点D ，E 落在直线l 上，作直线OC ，则OC⊥l，他这样判断的理由是( C )A. 到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等C. 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上D. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等9.如图，锐角ABC 中，BC AB AC >>，若想找一点P ，使得BPC ∠与A ∠互补，甲、乙、丙三人作法分别如下：甲：以B 为圆心，AB 长为半径画弧交AC 于P 点，则P 即为所求； 乙：分别以B ，C圆心，AB ，AC 长为半径画弧交于P 点，则P 即为所求；丙：作BC 的垂直平分线和BAC ∠的平分线，两线交于P 点，则P 即为所求． 对于甲、乙、丙三人的作法，下列叙述正确的是( B )A. 三人皆正确B. 甲、丙正确，乙错误C. 甲正确，乙、丙错误D. 甲错误，乙、丙正确10.如图，等腰Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，∠ABC 的平分线分别交AC 、AD 于E 、F 两点，M 为EF 的中点，延长AM 交BC 于点N ，连接DM ，下列结论：①AE ＝AF ；②DF ＝DN ；③AE ＝CN ；④△AMD 和△DMN 的面积相等，其中错误的结论个数是（ D ）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个二.填空题（本大题10小题，每小题4分，共40分.）11.写出点M（﹣3，3）关于y轴对称的点N的坐标（3，3）．12.如图，△ABC中，AD为角平分线，若∠B＝∠C＝60°，AB＝8，则CD的长度为 4 ．13.小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像，如图所示，实际时间是 10:51 .14.如图，AD是△ABC的中线，若AB：AC＝3：4，则S△ABD：S△ACD＝ 1：1 ．15.等腰△ABC周长为18cm，其中两边长的差为3cm，则腰长为 5cm或7cm ．16.如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED= 45 °．17.如图，在△ABC中，已知点O是边AB、AC垂直平分线的交点，点E是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，若∠O+∠E ＝180°，则∠A＝ 36 度．18.规定：四条边对应相等，四个角对应相等的两个四边形全等．某学习小组在研究后发现判定两个四边形全等需要五组对应条件，于是把五组条件进行分类研究，并且针对二条边和三个角对应相等类型进行研究提出以下几种可能：①AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1；②AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠D＝∠D1；③AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，∠D＝∠D1；④AB＝A1B1，CD＝C1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1．其中能判定四边形ABCD和四边形A1B1C1D1全等的有 3 个．19.在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的索，划过90°到达与高台A 水平距离为17米，高为3米的矮台B，玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN＝ 2cm ．20.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，AB=10cm,点E在AC上，现将△BCE沿BE翻折，使点C落在点C′处连接AC′，则AC′长度的最小值是 4cm ．三. 解答题21.如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．（1）求证：AB=CD；（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．解：（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，在△ABE和△CDF中，∠B＝∠C，AE=DF ，∠A＝∠D．∴△AEB≌△DFC．∴AB＝CD.（2）∵AB＝CD，AB＝CF，∴CD＝CF，∵∠B＝∠C=40°，∴∠D＝(180°－40°)÷2＝70°．22.如图，在3×3的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中△ABC是一个格点三角形．（1）请在下面每一个备选图中作出一个与△ABC成轴对称的格点三角形．（不能重复）（2）在这个3×3的正方形格纸中，与△ABC成轴对称的格点三角形最多有 6 个．解：（1）与△ABC成轴对称的格点三角形如图所示：（答案不唯一）23.如图，△ABC中，AB＝AC，(1)请你利用直尺和圆规完成如下操作：①作△ABC的角平分线A D；②作边AB的垂直平分线EF，EF与AD相交于点P；③连接PB，PC．请你观察图形解答下列问题：（2）线段PA，PB，PC之间的数量关系是 PA=PB=PC ；请说明理由．（3）若∠ABC＝70°，求∠BPC的度数．解：（1）如图，AD、EF 、点P为所作；（2）PA=PB=PC，理由：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD是BC的垂直平分线，∴PB=PC，∵EP是AB的垂直平分线，∴PA=PB，∴PA=PB=PC；故答案为PA=PB=PC；（3）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠BAC=180°-2×70°=40°，∵AM平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=20°，∵PA=PB=PC，∴∠ABP=∠BAP=∠ACP=20°，∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=20°+40°+20°=80°．24.定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么这条线段称为原三角形的“和谐分割线”，例如：如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线”()1判断下列两个命题是真命题还是假命题(填“真”或“假”)①等边三角形必存在“和谐分割线”②如果三角形中有一个角是另一个角的两倍，则这个三角形必存在“和谐分割线”．命题①是假命题，命题②是真命题；()2如图2，Rt ABC，90AC=，试探索Rt ABC是否存在“和谐分割线”？若存在，C∠=，2B∠=，30求出“和谐分割线”的长度；若不存在，请说明理由．()3如图3，ABC中，42∠=，若线段CD是ABC的“和谐分割线”，且BCD是等腰三角形，求出所有符A∠的度数．合条件的B解：()2Rt ABC存在“和谐分割线”，理由是：∠的平分线，如图作CAB∠=，30∠=，BC90DAB B∴∠=∠=，30∴=，DA DB∴是等腰三角形，且ACD∽BCA，ADB∴线段AD是ABC的“和谐分割线”，43cos3033AC AD ===． ()3如图3中，分2种情形：①当DC DB =，ACD ∽ABC 时，B ACD DCB ∠=∠=∠设B x ∠=，则2ADC x ∠=24218046x x x ∴++==，可得46B ∠=．②当BC BD =，ACD ∽ABC 时，设B x ∠=，则42BDC BCD x ∠=∠=+424218032x x x x ∴++++==，可得32B ∠=．综上所述，满足条件的B ∠的值为46或32．25.在等边三角形ABC 中，点D 是BC 的中点，点E 、F 分别是边AB 、AC （含线段AB 、AC 的端点）上的动点，且∠EDF ＝120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究：问题初探：（1）如图1，小明发现：当∠DEB ＝90°时，BE +CF ＝nAB ，则n 的值为 12； 问题再探：（2）如图2，在点E 、F 的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论： ①DE 始终等于DF ；②BE 与CF 的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明．成果运用:（3）若边长AB ＝8，在点E 、F 的运动过程中，记四边形DEAF 的周长为L ，L ＝DE +EA +AF +FD ，则周长L 取最大值和最小值时E 点的位置? 解：（2）如图，①过点D 作DG ⊥AB 于G ，DH ⊥AC 于H ， ∴∠DGB=∠AGD=∠CHD=∠AHD=90°， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A=60°，∴∠G DH=360°-∠AGD-∠AHD-∠A=120°， ∵∠EDF=120°， ∴∠EDG=∠FDH ，∵△ABC 是等边三角形，且D 是BC 的中点， ∴∠BAD=∠CAD ， ∵DG ⊥AB ，DH ⊥AC ， ∴DG=DH ，在△EDG 和△FDH 中，90DGE DHF DG DHEDG FDH ∠∠︒⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝＝， ∴△EDG ≌△FDH （ASA ）， ∴DE=DF ，即：DE 始终等于DF ； ②同（1）的方法得，BG+CH=12AB ， 由①知，△EDG ≌△FDH （ASA ）， ∴EG=FH ，∴BE+CF=BG-EG+CH+FH=BG+CH=12AB ， ∴BE 与CF 的和始终不变； （3）由（2）知，DE=DF ，BE+CF=12AB ， ∵AB=8， ∴BE+CF=4，∴四边形DEAF 的周长为L=DE+EA+AF+FD=DE+AB-BE+AC-CF+DF=DE+AB-BE+AB-CF+DE=2DE+2AB-（BE+CF）=2DE+2×8-4=2DE+12，∴DE最大时，L最大，DE最小时，L最小，当DE⊥AB时，DE最小，L最小，此时∠BDE=90°-60°=30°，BE=12BD=2，当点F和点C重合或点E和点B重合时，DE最大，点F和点C重合时，∠BDE=180°-∠EDF=120°=60°，∵∠B=60°，∴∠B=∠BDE=∠BED=60°，∴△BDE是等边三角形，∴BE=DE=BD=12AB=4，当点E和点B重合时，DE=BD=4，周长L有最大值，即周长L取最大值时点E和点B重合或BE=4，取最小值时BE=2．。
八年级数学轴对称测试题含答案
八年级数学 轴对称一、选择题（每小题3分，共36分）1. 如图所示，在△ABC 中，若AB ＝AC ，BD ＝DC ，则下列结论错误的是（ ） A. ∠BAC ＝∠B B. ∠1＝∠2 C. AD ⊥BC D. ∠B ＝∠C2. 字母A ，E ，F ，H ，M ，O ，W ，Y 中轴对称图形的个数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 73. 如图，从图形Ⅰ到图形Ⅱ进行轴对称变换的有（ ）A.（1）（2）B.（2）（3）C.（1）（3）D.（1）（4） 4. 下列说法错误的是（ ） A. 直线的垂直平分线是这条直线的对称轴 B. 角和线段都是轴对称图形 C. 正方形的对称轴有4条 D. 等腰三角形的对称轴是三角形底边的中垂线 5. 如图△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠C ＝30°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线且交AD 于P ，如果AP ＝2，则AC 长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 86. 如图所示，DE ⊥BC ，垂足为点E ，且BE ＝CE ，AB ＋AC ＝15，则△ABD 的周长为（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 307. 在下列四个图形标志中，是轴对称图形的是（ ）8. 某等腰三角形的周长为20，两条边的比为1：2，那么其底边长为（ ） A. 10 B. 4 C. 4或10 D. 5或8 9. 若点A （―1，a ）、B （b ，2）关于y 轴对称，则a 、b 的值分别为（ ） A. 1，―2 B. ―1，2 C. ―2，1 D. 2，110. 如图，已知等边△ABC 中，点D ，E 分别在边AB 、BC 上，把△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在点B ′处，DB ′，EB ′分别交边AC 于点F ，G ，若∠ADF ＝80°，则∠EGC 的度数为（ ） A. 40°B. 60° C. 80° D. 100°11. 下列图形：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形；④等腰直角三角形；⑤任意三角形；⑥有一个角是30°的直角三角形. 其中一定是轴对称图形的有（ ） A. 3个B. 4个 C. 5 D. 6个12. 如图，直线a 、b 、c 表示互相交叉的公路，现要建造一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，选择的站址应有（ ） A. 一处 B. 二处 C. 三处 D. 四处二、填空题（每小题3分，共24分）13. 线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离 . 14. 和点P （－3，2）关于y 轴对称的点是 . 15. 如图，将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转40°得△A ′CB ′，若AC ⊥A ′B ′，则∠BAC 等于 度.16. 在日常生活中，事物所呈现的对称性能给人以平衡和谐的美感，我们的汉字也有类似的情况，呈现轴对称图形的汉字有 .（请举出两个例子，笔画的粗细和书写的字体可忽略不计）17. 有一个角是60°的等腰三角形有 条对称轴.18. 如图，点P 在∠AOB 内，点M 、N 分别是点P 关于AO 、BO 的对称点，若△PEF 的周长等于20cm ，则MN 的长为 ．19. 如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm 和6cm ，那么此三角形的周长是 . 20. 如图，三角形纸片ABC 中，∠A ＝65°，∠B ＝75°，将纸片的一角折叠，使点C 落在△ABC 内，若∠1＝20°， 则∠2＝ . 三、作图题（共7分）21.（7分）如图甲在一条河的同一岸边有A 和B 两个村庄，要在河边修建码头M.使M 到A 和B 的距离之和最短，试确定M 的位置；、四、解答题（共53分） 22．（6分）已知等腰三角形的一个内角的度数为20°，求其他两个内角的度数．23.（8分）如图，D 为△ABC 的边AC 上一点，且AB ＝BD ＝CD ， ∠C ＝40°，求∠ABD 的度数.24.（8分）在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （－2，5），B （－4，3），C （－1，1）.（1）作出△ABC 向右平移5个单位长度后的△A 1B 1C 1，并写出点C 1的坐标； （2）作出△ABC 关于x 轴对称的△A 2B 2C 2，并写出点C 2的坐标.25.（9分）如图，已知AB ＝AC ，∠A ＝36°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，交AB 于点M ，有下面4个结论：①射线BD 是∠ABC 的平分线；②△BCD 是等腰三角形；③△AMD ≌△BCD.（1）判断其中正确的结论是哪几个？（2）从你认为是正确的结论中选一个加以证明.26.（10分）如图，A 、D 、B 三点在同一直线上，△ADC 、△BDO 为等腰直角三角形. （1）AO 、BC 的大小、位置关系如何？并证明你的结论，如图①. （2）当△ODB 绕顶点D 旋转一任意角度得到图②，（1）中的结论是否成立？请说明理由.27．（12分）（1）如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ，过点O 作EF ∥BC交AB 于E ，交AC 于F ，写出图中所有的等腰三角形，并说明理由．（2）若把（1）中△ABC 改为等腰三角形，AB ＝AC ，图中又有几个等腰三角形，写出来（不用说明理由）．（3）若（1）中补充条件△AEF 的周长为17cm ，BC ＝8cm ，你会求△ABC 的周长吗？试一试．（二）轴对称一、选择题（每小题3分，共36分）二、填空题（每小题3分，共24分）13. 相等14.（3，2）15. 50 16. 不唯一，如中，田，吕，目，申等17. 3 18．20cm 19. 16cm或17cm 20. 60°三、作图题（共7分）21．图略.（1）过A（或B）作河岸l的对称占A′（或B′），连结A′B或（AB′）交河岸l于M.（2）略. 连结AB交河岸l于点M.四、解答题（共53分）22.（6分）80°，80°；20°，140°．23.（8分）20°24.（8分）（1）图略，C1（4，1）；（2）图略，C2（－1，－1）.25. 正确的结论是①、②. 证明略.26.（10分）（1）AO与BC的大小、位置关系是：相等且互相垂直，理由：证△ADO≌△CDB（SAS），得AO＝BC，∠OAD＝∠BCD，又∠BCD＋∠CBD＝90°，则∠OAD＋∠CBA＝90°，故OA⊥BC.（2）（1）中结论仍然成立，证△ADO≌△CDB，∴AO＝BC，∠OAD＝∠BCD，又∠AFD＝∠CFE，则∠CEA＝∠ADC＝90°，故AO⊥BC.27．（1）∵BO平分∠ABC，∴∠EBO＝∠OBC．∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC．∴∠EBO＝∠EOB．∴OE＝OB，同理得OF＝FC．∴图中有两个等腰三角形，分别是△BEO，△OFC．（2）5个，△ABC，△BEO，△OFC，△AEF，△OBC．（3）由（1）知：BE＝OE，OF＝CF（已证）∴EF＝OE＋OF＝BE＋CF．∴△AEF的周长＝AE＋OE＋OF＋AF＝AE＋BE＋AF＋CF＝AB＋AC＝17（cm）．又BC＝8cm，∴AB＋AC＋BC＝17＋8＝25（cm）即△ABC的周长是25cm．。
八年级轴对称总复习教案及经典例题
对称轴 .
（ 4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等
.
（ 5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。
（ 6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边
.
5. 等边三角形的性质
（ 1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于
60° .
（ 2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴
二、主要性质
1. 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线
. 或者
说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线
.
2. 线段垂直平分钱的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
.
3. （ 1）点 P（ x， y）关于 x 轴对称的点的坐标为 P′（ x， -y ） .
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线
3. 轴对称变换
由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换
.
4. 等腰三角形
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形 . 相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹
的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角 .
5. 等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形 .
∠ ABC=∠ C=∠ BDC=3α （根据三角形的外角性质） .
在△ ABC中，∠ A=α ，∠ ABC=∠ ACB=3α ，
由三角形内角和可得 α +3α +3α =180°，
∴ α = 180 ，∴∠ A= 180 .
7
7
∴∠ A 的度数为 180 . 7
例 4 如图所示，在△ ABC中， D在 BC上，若 AD=BD， AB=AC=C，D 求∠ BAC的度数 .
八年级轴对称总复习教案及经典例题教师版本
八年级轴对称总复习教案及经典例题教师版本本章主要涉及轴对称、轴对称变换、等腰三角形的性质和判定。
其中，研究轴对称的基本图形和对称性及其相互关系，能够欣赏现实生活中的轴对称图形，利用轴对称进行图案设计。
同时，研究线段的垂直平分线及其性质，了解等腰三角形的有关概念和性质，探索直角三角形的条件和性质。
本章的重点是掌握等腰三角形的性质和判定，能够应用这些知识解决相关问题。
在基本概念方面，轴对称图形是指一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，对称轴就是折叠的直线。
线段的垂直平分线是指经过线段中点并且垂直于这条线段的直线。
轴对称变换是指由一个平面图形得到它的轴对称图形。
等腰三角形是指有两条边相等的三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
等边三角形是指三条边都相等的三角形。
在主要性质方面，如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
点P （x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′（x，-y），点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P″（-x，y）。
等腰三角形的性质包括：等腰三角形的两个底角相等，等腰三角形的高线也是中线，等腰三角形的顶角的平分线同时也是底边中线。
等腰三角形具有以下性质：两个底角相等，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，是轴对称图形，两腰上的高、中线分别相等，底边上的中线、顶角平分线、底边上的高所在直线就是它的对称轴，一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半，顶角的外角平分线平行于底边。
等边三角形的性质包括：三个内角都相等，每一个角都等于60°，是轴对称图形，共有三条对称轴，每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合。
对于判定，如果一个点到一条线段两个端点的距离相等，那么该点在这条线段的垂直平分线上。
浙江省温岭市第三中学2020-2021学年八年级上学期期中测试数学试题
市三中2021学年第|一学期八年级|阶段性测试数学试题卷亲爱的考生：欢送参加考试 ,祝你成功 !答题时请注意以下几点：1．全卷共4页 ,总分150分 ,考试时间120分钟．2．答案必须写在答题卷相应的位置上 ,写在试题卷、草稿纸上无效．3．本次考试不得使用计算器．一、选择题 (此题有10小题 ,每题4分 ,共40分 )1．以下标志是轴对称图形的是 ( )A. B. C. D.2．以下选项中表示两个全等图形的是( )3．以下长度的三条线段能组成三角形的是( )A.3,4,8B.5,6,11C.1,2,3D.5,6,104．如图,小明书上的三角形被墨迹遮挡了一局部,但他很快想到方法在作业本上画了一样的三角形,那么这两个三角形完全一样的依据是( )5．如图,上午7时,一艘船从A出发以10海里/小时的速度向正北航行,10时到达B处,从A ,B两点望灯塔C ,测得∠NAC＝42° ,∠NBC＝84° ,那么B处到灯塔C的距离( )6．如图,将△ABC沿DH、HG、EF翻折,三个顶点均落在点0处．假设∠1＝40° ,那么∠2的度数为( )A.50°B.60°C.90°D.140°7．如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,△ABC的周长为19cm ,△ABD的周长为13cm ,那么AE的长为( )8．如图,某温室屋顶结构外框为△ABC ,立柱AD垂直平分横梁BC ,AD＝2m ,∠C＝30° ,为增大向阳面的面积,将立柱增高并改变位置,使屋顶结构外框变为△EBC. (点E在BA的延长线上) ,立柱EF⊥BC ,如下图,假设EF＝3m ,那么斜梁从AB变为BE时,增加局部AE的长为( )9．如图,BP是∠ABC的平分线,AP⊥BP于P ,连接PC ,假设ΔABC的面积为2cm2 ,那么ΔPBC的面积为( )2 2210．如图,在ΔABC中AB＝AC ,BC＝4 ,面积是20,AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点,假设点D为BC边的中点,点M为线段上一动点,那么ΔCDM周长的最|小值为( )二、填空题(此题有6小题,每题5分,共30分)11．如图,为了使木门不变形,木工师傅在木门上加钉了一根木条,这样是利用三角形的12．如图,AC＝DC ,BC＝EC ,要使得ΔABC≌ΔDEC ,需添加的一个条件是13．等腰三角形的两边长分别为6cm ,13cm ,其周长为14. 如图,P是∠AOB外的一点,M ,N分别是∠AOB两边上的点,点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上,点P关于OB的对称点R恰好落在MN的延长线上．假设PM＝2.5 , PN ＝3 ,MN＝4 ,一那么线段QR的长为15．如图,∠AOB＝60° ,OC平分∠AOB ,如果射线OA上的点E满足ΔOCE是等腰三角形,那么∠OEC的度数为(第11题图) (第12题图) (第14题图)(第15题图)16．如图,RtΔABC中,∠ACB＝90° ,∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P ,BE＝BC ,PB与CE交于点H ,PG∥AD交BC于F ,交AB于G．以下结论：①GA＝GP；,②BP垂直平分CE；③∠个三、解答题(此题有8小题,共80分)17．(8分)一个正多边形的每个外角是60°(1 )试求这个多边形的边数；(2 )试求这个多边形内角和的度数．18．(8分)如图,AC和BD相交于点0 ,OA＝OC ,OB＝OD ,求证：DC∥AB．19． (8分 )如图 ,在平面直角坐标系中 ,ΔABC 的顶点坐标A( -1,5),B( -1,0),C( -4,3).(1 )请在图中画出ΔABC 关于y 轴对称的图形△A ,B ,C , (其中A ＇ ,B ＇ ,C ＇分别是A ,B ,C 的对应点 ,不写画法 )；(2 )直接写出A ＇ ,B ＇ ,C ＇三点的坐标：A ＇ ( ) ,B ＇ ( ) ,C ＇ ( )（3）计算△ABC 的面积20． (8分 )如图 ,D 为ΔABC 的边AB 的延长线上一点 ,过D 作DF ⊥AC ,垂足为F ,交BC 于E ,且BD ＝BE.求证：△ABC 是等腰三角形.21． (10分 )如图 ,在ΔABC 中 ,点D 为BC 边上一点 ,∠1＝∠2＝∠3 ,AC ＝AE ． (1 )求证：ΔABC ≌ΔADE ；(2 )假设AE ∥BC ,且∠E =31∠CAD ,求∠C 的度数． 22． (12分 )如图 ,线段AB 和射线BM 交于点B ．(1 )利用尺规完成以下作图 ,并保存作图痕迹 (不写作法 )①在射线BM 上作一点C ,使AC ＝AB ,连接AC ；②作∠ABM 的角平分线交AC 于D 点③在射线CM 上作一点E ,使CE ＝CD ,连接DE.(2 )在 (1 )所作的图形中 ,猜测线段BD 与DE 的数量关系 ,并证明23． (12分 )如图 ,在ΔABC 中 ,AB ＝AC ,∠A ＝40° ,点D 在AB 上 ,且CD ＝BC ,将ΔACD 沿CD 所在直线翻折得到ΔFCD.(1 )求证：ΔACF 是等边三角形；(2 )在CA 上截取CE ＝AD ,连接DE ,BF ．①求证：ΔADE ≌ΔDFB ；②求∠CDE 的度数.24． (14分 )如图1 ,在RtΔABC 中 ,∠C ＝90° ,AD 平分∠BAC ,BE平分∠ABC ,AD 、BC 相交于点F.(1 )求∠AFE的度数；(2 )如图2 ,过点F作FP⊥BE交AB于点P ,求证：EF＝FP；(3 )如图3 ,在(2 )的条件下,连接DE ,过点F作FN⊥AB于点N ,并延长NF交DE于点M.试判断DM与EM的数量关系,并说明理由.图1 图2 图3。
八年级数学期中考复习重点知识：轴对称
八年级数学期中考复习重点知识：轴对称第十三章轴对称一、知识框架：二、知识概念：三、1.基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。
⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。
⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
2.基本性质：⑴对称的性质：①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
②对称的图形都全等⑵线段垂直平分线的性质：①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质①点P(x,y)关于轴对称的点的坐标为②点P(x,y)关于轴对称的点的坐标为⑷等腰三角形的性质：①等腰三角形两腰相等②等腰三角形两底角相等（等边对等角）③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条⑸等边三角形的性质：①等边三角形三边都相等②等边三角形三个内角都相等，都等于60°③等边三角形每条边上都存在三线合一④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）3.基本判定：⑴等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）⑵等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形②三个角都相等的三角形是等边三角形③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形4.基本方法：5.⑴做已知直线的垂线：⑵做已知线段的垂直平分线：⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线⑷作已知图形关于某直线的对称图形：⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短。
专题03 轴对称及性质八年级数学上学期期中考试好题汇编(苏科版)(解析版)
专题03 轴对称及性质1．（2019·江苏常州市·）下列说法中正确的是（）A．两个全等三角形，一定是轴对称的B．两个轴对称的三角形，一定全等C．三角形的一条中线把三角形分成以中线为轴对称的两个图形D．三角形的一条高把三角形分成以高线为轴对称的两个图形【答案】B【解析】解：A、两个全等三角形，一定是轴对称的错误，三角形全等位置上不一定关于某一直线对称，故本选项错误；B、两个轴对称的三角形，一定全等，正确，故本选项正确；C、三角形的一条中线把三角形分成以中线为轴对称的两个图形，错误，故本选项错误；D、三角形的一条高把三角形分成以高线为轴对称的两个图形，错误，故本选项错误．故选B．2．（2021·江苏滨海县·）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：由题意可知：A、B、C三项可以利用图形的翻折变换得到，D项可以利用图形的平移得到．故选：D．3．（2020·扬州市梅岭中学八年级期中）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列与扬州有关的标识或简图中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．4．（2020·无锡市大桥实验学校八年级期中）角的对称轴是________；圆的对称轴有__________条．【答案】角平分线所在直线；无数【解析】角的对称轴是这个角平分线所在的直线，圆的对称轴是任一条直径所在的直线，有无数条，故答案为：这个角平分线所在的直线，无数条．5．（2020·扬州中学教育集团树人学校八年级期中）下列命题中：①直角三角形是轴对称图形；①等腰三角形的对称轴是底边上的中线；①等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；①一条线段只有一条对称轴．不正确的有________________．【答案】①①①①【解析】①等腰直角三角形是轴对称图形，故不正确；①等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，故不正确；①等边三角形一边上的高所在的直线就是这边的垂直平分线，故不正确；①一条线段有两条对称轴，故不正确．故答案为：①①①①．6．（2021·江苏锡山区·八年级期中）下列图形中，①A′B′C′与①ABC关于直线MN成轴对称的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据轴对称的性质，结合四个选项，只有B选项中对应点的连线被对称轴MN垂直平分，所以B是符合要求的．故选：B．7．（2020·江苏淮阴区·八年级期中）在下面的四个京剧脸谱中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．A、是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．8．（2019·江苏泰州市·泰州中学附属初中八年级期中）下列说法中，正确的是（）A．线段是轴对称图形，对称轴是线段的垂直平分线B．等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴C．全等的两个三角形一定关于某直线对称D．两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁【答案】B【解析】线段是轴对称图形，对称轴有两条，分别是线段的垂直平分线或线段本身所在的直线，故A错误；等腰三角形至少有一条对称轴，至多有三条对称轴，正三角形时有三条对称轴，故B正确；全等的两个三角形并不一定是轴对称图形，故C错误；两图形关于某直线对称，对称点可能重合在直线上，故D错误.故答案为：B.9．（2019·江苏盐城市·东台市实验中学八年级期中）下列说法错误的是（）A．于某条直线对称的两个三角形一定全等B．全等三角形一定能关于某条直线对称C．轴对称图形至少有一条对称轴D．角是轴对称图形【答案】B【解析】解：A、关于某条直线对称的两个三角形一定全等，正确；B、两全等三角形不一定关于某条直线对称，错误；C、轴对称图形至少有一条对称轴，正确；D、角是轴对称的图形，正确．故选：B．考点二、轴对称的性质1．（2020·扬州中学教育集团树人学校八年级期中）室内墙壁上挂一平面镜，小明在平面镜内看到他背后墙上时钟的示数如右图所示，则这时的实际时间应是（）．A ．3:20B ．3:40C ．4:40D ．8:20【答案】B【解析】①镜中看到的图形，为时钟显示的镜像，即左右镜像又①从镜中看到时针在8点到9点之间①实际时钟的时针在3点到4点之间①从镜中看到分针显示为20分①实际时钟的分针显示为40分①实际时间应是：3:40故选：B ．2．（2020·南通西藏民族中学八年级期中）点(3,2)A -关于y 轴对称的点的坐标为（ ）A ．(3,2)B ．(3,2)-C ．(3,2)--D ．(2,3)-【答案】A【解析】解：根据关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，①点(3,2)A -关于y 轴对称的点为(3,2)．故选：A3．（2019·江苏南京市·南京一中八年级期中）如图，ΔABC 与ΔA’B’C’关于直线l 对称，则①B 的度数为（）A．30°B．50°C．90°D．100°【答案】D【解析】①①ABC与①A′B′C′关于直线l对称，①①A=①A′=50°，①C=①C′=30°；①①B=180°﹣80°=100°．故选D．4．（2020·江苏省苏州工业园区青剑湖学校）如图，在22 的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的ABC，请你找出格纸中所有与ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有（）个A．6个B．5个C．4个D．3个【答案】B【解析】如图，与①ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个．5．（2020·江苏南京市·南京一中八年级期中）如图，若①ABC与①DEF关于直线l对称，BE交l于点O，则下列说法不一定正确的是（）A．AB①EF B．AC＝DF C．AD①l D．BO＝EO【答案】A【解析】解：①①ABC与①DEF关于直线l对称，①AC=DF，AD①l，BO=EO，故B、C、D选项正确，AB①EF不一定成立，故A选项错误，所以，不一定正确的是A．故选A．6．（2020·无锡惠山金桥实验学校八年级期中）从平面镜子中看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，这时的时刻应是________．【答案】21：05【解析】①25的对称数字是5，5的对称数字是2，镜子中的数字与实际数字的顺序相反，①这时的时刻为21：05，故答案为：21：05．7．（2019·江苏洪泽区·八年级期中）从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是，则该车的后5位号码实际是.【答案】BA629【分析】解：关于镜面对称，也可以看成是关于某条直线对称，故关于某条直线对称的数字依次是BA629．故答案为BA629．8．（2020·江苏句容市·八年级期中）如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是________点．【答案】D【解析】解：如图所示：要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则 4 个点中，可以反弹击中N球的是：D．故答案为：D．9．（2020·江苏淮安区·八年级期中）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（请用直尺保留作图痕迹）．（1）画出格点①ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的①A1B1C1；（2）①ABC的面积是；（3）在DE上画出点Q，使①QAB的周长最小．【答案】（1）见解析；（2）52；（3）见解析．【解析】解：（1）如图所示，①A1B1C1即为所求；（2）S①ABC＝2×3−12×1×3−12×1×2−12×1×2＝52．故答案为：52．（3）如图所示，点Q即为所求；考点三、设计轴对称图案1．（2019·连云港市新海实验中学八年级期中）如图,在3×3的正方形网格中,已有两个小正方形被涂黑,再将图中的一个小正方形涂黑,所得图案是一个轴对称图形,则涂黑的小正方形可以是______(填出所有符合要求的小正方形的标号)【答案】2，3，4，5，7．【解析】解：由轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合可得：将图中的2，3，4，5，7小正方形涂黑，所得图案是一个轴对称图形．故答案为2，3，4，5，7．2．（2019·江苏淮阴区·八年级期中）如图，由4个全等的正方形组成L形图案，请你在图案中改变1个正方形的位置，使它变成轴对称图案．（只需画出3个）【答案】见解析【解析】解：如图所示：．3．（2020·连云港外国语学校八年级期中）下列正方形网格图中，部分方格涂上了颜色，请按照不同要求作图（1）作出图①的对称轴（2）将图①中的某一个方格涂上颜色，使整个图形为轴对称图形（3）将图①中的某两个方格涂上颜色，使整个图形有四条对称轴图【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析．【解析】解：（1）如图，直线,m n都是图①的对称轴，（2）如图①，或或（3）如图①，1．（2020·江苏盐城市·八年级期中）将一个三角形纸片ABC 沿过点B 的直线折叠，使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．AD ED =B ．AE CD =C ．+=ED EB DB D ．+=AE CB AB【答案】D【解析】解：BDE∵由BDC∆∆翻折而成，∴=．BE BC+=，AE BE AB∴+=，AE CB AB故D正确，故选：D．2．（2020·无锡市大桥实验学校八年级期中）如图，是4×4正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色，现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有___种选择．【答案】3【解析】解：如图所示：灰色正方形位置都能使此图形是轴对称图形，故答案为3．3．（2019·宿迁市钟吾初级中学八年级期中）如图，在ABC中，①BCA＝90°，BC＝3，D为AB上一点，连接CD，如果BCD沿直线CD翻折后，点B恰好与边AC的中点E重合，那么点D到直线AC的距离为________．【答案】2．【解析】过点D作DN①AC于N，过点D作DM①AB，由折叠的性质可得：①BCD=①ACD，CE=CB=3，①DM=DN，①E是AC的中点，①AC=2AE=6，①S①BAC=S①BCD+S①ACD，即12CB·AC=12BC•DM+12AC•DN，①12×3×6=12×DN×3+12×6×DN，解得：DN=2，①点D到AC的距离是2．故答案为2．4．（2019·江苏连云港市·八年级期中）如图，①ABC中，①ACB＝90°，沿CD折叠①CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若①A＝25°，则①BDC等于_____．【答案】70°．【解析】解：在①ABC中，①ACB＝90°，①A＝25°，①①B＝90°﹣①A＝65°．由折叠的性质可得：①BCD＝12①ACB＝45°，①①BDC＝180°﹣①BCD﹣①B＝70°．故答案为：70°．5．（2020·江苏邳州市·八年级期中）如图，在折纸活动中，小明制作了一张①ABC纸片，点D、E分别在AB、AC上，将①ABC沿着DE折叠压平，A与A'重合，若①1+①2＝140°，则①A＝____．【答案】70°【解析】解：如图，连接AA'，①①1是①AA'E的外角，①①1＝①EAA'+①EA'A，同理可得，①2＝①DAA'+①DA'A，由折叠可得，①EAD＝①EA'D，①①1+①2＝①EAA'+①EA'A+①DAA'+①DA'A＝2①A＝140°，①①A＝70°；故答案为：70°．P关于射线OA 6．（2019·江苏东海县·八年级期中）如图，点P是AOB内任意一点，OP=10cm，点P与点1PP交OA于点C，交OB于点D，当①PCD的周长是10cm时，对称，点P与点2P关于射线OB对称，连接12①AOB的度数是______度．【答案】30°【解析】解：如图：连接OP1，OP2，①点P关于射线OA对称点为点P1①OA为PP1的垂直平分线①P1OP，①①P1OA＝①AOP＝12①PC＝CP1，OP＝OP1＝10cm，①POP2，DP2＝PD，OP＝OP2＝10cm，同理可得：①P2OB＝①POB＝12①①PCD的周长是＝CD＋PC＋PD＝CD＋CP1＋DP2＝P1 P２＝10cm①①P1OP2是等边三角形，①①P1OP2＝60°，①①AOB＝30°，故答案为30°7．（2019·江苏南通市·南通第一初中）点A，B，C在数轴上对应的数分别为1，3，5，点P在数轴上对应的数是﹣2．点P关于点A的对称点为P1，点P1关于点B的对称点为P2，点P2关于点C的对称点为P3，点P3关于点A的对称点为P4，…则P1P2018的长为_____．【答案】2【解析】由题意可知P1点对应的数是4，P2对应的数是2，P3对应的数是8，P4对应的数是﹣6，P5对应的数是12，P6对应的数是﹣2，P7对应的数是4，…①从P7开始循环，每6个点依次循环，①2018÷6＝336…2，①P2018对应的数是2，①P1P2018的长为2，故答案为2．8．（2019·南通市跃龙中学八年级期中）如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当①ABC的周长最小时，点C的坐标是____________．【答案】(0，3)【解析】解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，此时①ABC的周长最小，①点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），①B′点坐标为：（-3，0），AE=4，则B′E=4，即B′E=AE ，①C′O①AE ，①B′O=C′O=3，①点C′的坐标是（0，3），此时①ABC 的周长最小．故答案为：（0，3）．9．（2020·江苏新沂市·八年级期中）如图，在所给正方形网格图中完成下列各题：（用直尺画图，保留痕迹）(1)画出格点ABC （顶点均在格点上）关于直线DE 对称的111A B C △ ；(2)在DE 上画出点P ，使PAB △的周长最小．【答案】(1)详见解析；(2) )详见解析；【解析】解：(1)如图所示，过点A 作DE 的垂线并延长至点1A ，使点A 和1A 到EF 的距离相等，从而得到点1A ，同理可得1B ，和1C ，连接11A B ，11A C ，11B C 得到111A B C △．BA，交直线DE于点P，点P即为所求，(2) 利用轴对称图形的性质可做点A关于直线DE的对称点1A，连接1此时PAB△的周长最小．10．（2019·江苏苏州市·八年级期中）如图，是3×3的正方形网格，将其中两个方格涂黑，使得涂黑后的整个图案是轴对称图形.请在以下备用网格中画出四个不同的图案（如果绕正方形的中心旋转，能重合的图案视为同一种，例如，下列四个图形就属于同一种）.【答案】见解析【解析】如图所示．11．（2020·宿迁市钟吾初级中学八年级期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格纸中，格线与格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，ΔABC就是一个格点三角形．（1）请画出ΔABC关于直线l对称的格点ΔA1B1C1；（2）请用无刻度的直尺，借助网格作出ΔABC的AC边上的中线；（3）将线段AC向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，画出平移后得到的线段A2C2，并以它为一边作格点ΔA2B2C2，使得A2B2＝C2B2，满足条件的格点B2共有个．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4【解析】（1）如图所示，①A1B1C1即为所求；（2）如图所示，连接BD，交AC于E，则BE即为①ABC的AC边上的中线；（3）如图所示，线段A 2C 2即为所求；如图所示，满足条件的格点B 2共有4个．故答案为：4．12．（2020·江苏苏州市·苏州草桥中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知()1,2A ，()3,1B ，()2,1C --（1）作出点A 关于y 轴的对称点A '，则点A '的坐标为 ；（2）顺次连接点,,A B C ，则ABC ∆的面积为 ；（3）x 轴上是否存在一点P ，使得A AP '∆与ABC ∆面积相等？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）点A '见解析，(-1,2)；（2）92；（3）不存在．理由见解析．【解析】解：（1）点A '如图所示，故答案为A '(-1,2)；（2）①ABC 的面积为11153335221222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=92． 故答案为92．（3）不存在．①()1,2A ，A '(-1,2)①线段AA´①x 轴，且AA´与x 轴之间的距离为2，A´A=1-(-1)=2，①P 点为x 轴上的点，①①A´AP 的面积=12×|A´A|×2=12×2×2=2，而①ABC 的面积为92，①不存在一点P ，使得①A´AP 的面积与①ABC 的面积相等．。
初二轴对称经典习题附答案
----轴对称经典练习附答案一、选择题1.如图,在△ABC中,∠ACB=9０°，分别以点A和B为圆心,以相同的长（大于12ＡＢ)为半径作弧，两弧相交于点M和N,作直线ＭN交AB于点Ｄ,交ＢC于点Ｅ，连接CD，下列结论错误的是( ).A．AD=BDＢ.BＤ=CＤＣ.∠A=∠BED D.∠ECD＝∠EDC2.如图,△ABC中，ＡB=AＣ=12,ＢC=8，AD平分∠ＢAＣ交BC于点D,点Ｅ为AＣ的中点,连接DE，则△CDE的周长是（ ).A.2０B.1２ C．16 D.13３.如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点,点A的坐标为(1，错误!未定义书签。
)，Ｍ为坐标轴上一点，且使得△ＭOA为等腰三角形,则满足条件的点M的个数为（）A．4 Ｂ.５Ｃ.6 D．84.如图,在△ＡＢC中，OB和OC分别平分∠AＢC和∠ＡCB，过Ｏ作DE∥BC,分别交AＢ、AC于点D、E,若BD+CE=5，则线段DＥ的长为( )A． 5 B. ６ C．7 Ｄ.85.如图,在△ＡBC中，ＢD平分∠ABC，ED∥BＣ，已知AB=3，ＡD=１,则△AED的周长为（）A．2 B．３C．4 D．5二、填空题6．在同一平面内,已知点P在等边△ABＣ外部,且与等边△ABC三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形,则∠APC的度数为．7．如图,在已知的△ABC中，按以下步骤作图∶①分别以B,C为圆心,以大于12BC的长为半径作弧,两弧相交于两点M，N;②作直线MN交AB于点D,连接ＣＤ.若CD＝AC,∠A＝50°，则∠ＡCＢ＝．8.如图,在△ABC中,∠A＝36°,ＡB＝AＣ,BＤ是△ABC的角平分线．若在边AＢ上截取BＥ＝BC,连接DE，则图中等腰三角形共有个.9．如图,等腰三角形ABC中，已知AB=AＣ,∠A＝３２°，AB的垂直平分线交ＡC于D,则∠CBD的度数为。
1０.如图,点Ａ、C、F、E在同一直线上,△ABC是等边三角形,且ＣD＝ＣE，EＦ=EＧ，则∠F=度。
初二数学轴对称与轴对称图形试题
初二数学轴对称与轴对称图形试题1.等腰三角形底边中线是等腰三角形的对称轴.【答案】错【解析】根据对称轴的定义即可判断。
等腰三角形底边中线是一条线段，而对称轴是一条直线，准确说法应为等腰三角形底边中线所在的直线是等腰三角形的对称轴，故本题错误。
【考点】本题考查的是等腰三角形的对称轴点评：解答本题的关键是熟练掌握对称轴的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.2.轴对称图形的对称轴有且只有一条.【答案】错【解析】根据对称轴的定义即可判断。
每个轴对称图形的对称轴的条数不同，如一个等腰三角形只有一条对称轴，一个等边三角形有三条对称轴，一个圆有无数条对称轴，故本题错误.【考点】本题考查的是轴对称图形的对称轴点评：解答本题的关键是对称轴的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；注意每个轴对称个图形的对称轴的条数不同，最少一条，最多有无数条．3.下列各命题的逆命题成立的是( )A．若两图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的中垂线B．两图形若关于某直线对称，则两图形全等.C．等腰三角形是轴对称图形D．线段对称轴有二条【答案】A【解析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假．A、逆命题是对应点连线的中垂线是对称轴的两图形关于某直线对称，正确；B、逆命题是全等的两图形关于某一直线对称，错误；C、逆命题是轴对称图形是等腰三角形，错误；D、逆命题是有两条对称轴的图形是线段，错误；故选A.【考点】本题考查逆命题的真假性点评：本题要求的是逆命题的真假性，学生易出现只判断原命题的真假，也就是审题不认真．4.若两图形关于直线对称，则图形上的对应点连线段被对称轴 .【答案】垂直平分【解析】根据轴对称的性质即可判断。
若两图形关于直线对称，则图形上的对应点连线段被对称轴垂直平分.【考点】本题考查轴对称图形的性质点评：解答本题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质：（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．5.等边三角形的对称轴有条.【答案】三【解析】根据对称轴的定义及等边三角形的特征即可判断。
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温岭三中八年级期中复习题轴对称（2015-11-02 swl）
班级姓名号次成绩
一．选择题（共10小题，共30分）
1．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）关于y轴对称点的坐标为（）A．（﹣3，4）B．（3，4）C．（3，﹣4）D．（﹣3，﹣4）
2．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（）A．50°B．80°C．50°或80°D．40°或65°
3．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于
点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（）
A．48°B．36°C．30°D．24°
4．如图，△ABC中，BC＞AB＞AC．甲、乙两人想在BC上取一点P，
使得∠APC=2∠ABC，其作法如下：
（甲）作AB的中垂线，交BC于P点，则P即为所求
（乙）以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于P点，则P即为所求
对于两人的作法，下列判断何者正确？（）
A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确
5．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连
接AD．若△ABC的周长是17cm，AE=2cm，则△ABD的周长是（）
A．13cm B．15cm C．17cm D．19cm
6．如图，在五边形ABCDE中，AB=AC=AD=AE，且AB∥ED，
∠EAB=120°，则∠DCB=（）
A．150°B．160°C．130°D．60°
7．如图所示，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点，已知图中A、
B为两格点，请在图中再寻找另一格点C，使△ABC成为等腰三角形．
则满足条件的C点的个数为（）
A．10个B．8个C．6个D．4个
8．如图，△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC与DE相交
于F点．若BD=CD=CE，∠ADC+∠ACD=114°，则∠DFC的度数为何？（）A．114 B．123 C．132 D．147
9．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作
EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：
①EF=BE+CF；②∠BOC=90°+∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；
④设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn．其中正确的结论是（）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
10．如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的
周长最小时，∠EAF的度数为（）
A．50°B．60°C．70°D．80°
二．填空题（共8小题，24分）
11.等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是．
12．如果A（﹣1，3），B（b﹣2，3）关于y轴对称，那么b=．
13．在直角坐标系中，如果点A沿x轴翻折后能够与点B（﹣1，2）
重合，那么A、B两点之间的距离等于．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E在AC边上，且与
点B关于CD对称，若∠A=40°，则∠ADE=．
15．如图，已知S△ABC=8m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，
则S△ADC=m2．
16．等腰△ABC纸片（AB=AC）可按图中所示方法折成一个四边形，点A与点B重合，点C与点D重合，请问原等腰△ABC中的∠B=度．
17．有一三角形纸片ABC，∠A=80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是．
18．如图，点P是∠AOB内部的一定点．
（1）若∠AOB=50°，作点P关于OA的对称点P1，作点P关于OB
的对称点P2，连结OP1、OP2，则∠P1OP2=°；
（2）若∠AOB=α，点C、D分别在射线OA、OB上移动，
当△PCD的周长最小时，则∠CPD=度（用含α的代数式表示）．
三．解答题
19．（10分）（1）如图（1），已知∠AOB和线段CD，求作一点P，使PC=PD，并且点P到∠AOB 的两边距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论）；
（2）如图（2）是一个台球桌，若击球者想通过击打E球，让E球先撞上AB边上的点P，反弹后再撞击F球，请在图（2）中画出这一点P．（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）
20．(10分)如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD。
求证：BE⊥AC
21．（10分）将一副直角三角板如图摆放，等腰直角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DBE 的直角边BD长度相同，且斜边BC与BE在同一直线上，AC与BD交于点O，连接CD．
求证：△CDO是等腰三角形．
22．（12分）如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形？
如存在，请求出此时M、N运动的时间．
23.（12分）在△ABC中，AB=AC．
（1）如图1，如果∠BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=
（2）如图2，如果∠BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=
（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：
（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD=AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明
理由．
24．（12分）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“=”）．
（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB（填“＞”、“＜”或“=”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线CB的延长线上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．。