黑龙江省哈尔滨道外区2017-2018学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析
2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题-Word版含答案
2017-2018学年第二学期期中考试高一数学试题卷第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：每小题4分，共40分.1.在等差数列{}n a 中，若136,2a a ==，则5a =（ ） A ．6 B ．4 C ．0 D ．-22.如图，已知向量,,a b c ，那么下列结论正确的是（ ）A ．a b c +=B ．a b c +=-C ．a b c -=-D ．b c a += 3.用数学归纳法证明11112321nn +++<-（*,1n N n ∈>）时，第一步应验证不等式为（ ）A ．1122+< B ．111323++< C ．11113234+++< D ．111223++<4.已知平面向量a 和b 的夹角等于3π，2a =，1b =，则2a b -=（ ）A ．2B C.D5.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若030B =，c =2b =，则C =（ ） A ．3π B ．3π或23π C. 4π D ．4π或54π6.已知等比数列{}n a 中，12340a a a ++=，45620a a a ++=，则前9项之和等于（ ） A ．50 B ．70 C. 80 D ．907.已知向量,a b 满足1a =，2b =，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则a b -等于（ ）AB ．3C. D ．58.已知数列{}n a 满足121a a ==，2111n n n na a a a +++-=，则65a a -的值为（ ） A ．0 B ．18 C. 96 D ．6009.已知数列{}n a 是各项均不为0的正项数列，n S 为前n项和，且满足1n a =+，*n N ∈128(1)n n a +≤+-对任意的*n N ∈恒成立，求实数λ的最大值为（ ）A ．-21B ．-15 C.-9 D ．-210.在ABC ∆中，AB AC =，点M 在BC 上，4BM BC =，N 是AM 的中点，1sin 3BAM ∠=，2AC =，则AM CN ∙=（ ）A ．1B ．2 C. 3 D ．4第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共7小题，第11-14题每小题6分，第15-17题每小题4分，共36分）11.已知向量(2,5)a =，(,2)b x =-，且a b ⊥，则x =_________，a b -= ． 12.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c，若01,30a b C ===，则c =____________，ABC ∆的面积S = ．13.已知等差数列{}n a 中，1013a =，927S =，则公差d =________，100a = ． 14.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若1tan 2A =，1tan 3B =，2b =，则tanC =_________，c = ．15.已知向量3OA =1OB =，0OA OB ∙=，点C 在AOB ∠内，且060AOC ∠=，设OC OA OB λμ=+（,R λμ∈），则λμ= ．16.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-，则1210181818a a a -+-+-= ．17. O 是ABC ∆所在平面上的一点，内角,,A B C 所对的边分别是3、4、5，且3450OA OB OC ++=，若点P 在ABC ∆的边上，则OA OP ∙的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共5小题，共74分）18. 已知向量,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中(1,1)a =-. （1）若32c =，且//c a ，求向量c 的坐标； （2）若1b =，且(2)a a b ⊥-，求a 与b 的夹角θ.19. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知cos (2)cos 0c B b a C ∙+-=. （1）求角C 的大小；（2）若2c =，a b ab +=，求ABC ∆的面积.20. 等比数列{}n a 的各项均为正数，且12231a a +=，23269a a a =，数列{}n b 满足31323log log log n n b a a a =+++.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求设1n n nc a b =+（*n N ∈），求数列{}n c 的前n 项和n S . 21. 在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且sin cos 20A a C b c -+-=.（1）求角A 的大小； （2）求cos cos B C +的范围. 22.已知数列{}n a 满足11a =，2114n n a a p +=+. （1）若数列{}n a 就常数列，求p 的值； （2）当1p >时，求证：1n n a a +<；（3）求最大的正数p ，使得2n a <对一切整数n 恒成立，并证明你的结论.2017-2018学年第二学期其中考试高一数学试题卷试卷答案一、选择题1-5:DBDAB 6-10:BACDA 11、12：二、填空题11. 5, 12. 1 ,13. 2 , 193 14. -1 , 15.1316. 961 17. [5,10]- 三、解答题18.解：（1）设(,)c x y =，由=32c ，且//c a 可得2218y x x y +=⎧⎨+=⎩ 所以33x y =-⎧⎨=⎩或33x y =⎧⎨=-⎩故(3,3)c =-，或(3,3)c =-（2）因为=1b ，且()2a a b ⊥-，所以()2=0a a b ⋅- 即220a a b -⋅=，所以220a b -⋅=，=1a b ⋅ 故2cos a b a bθ⋅==⋅，4πθ=19.（1）∵()cos 2cos 0c B b a C ⋅+-=，cos cos 2cos 0c B b C a C +-=，2cos 0a a C -=，∴1cos 2C =，=3C π（2）∵2c =，所以2222cos c a b ab C =+-，()()22423a b ab ab a b ab =+--=+-∴4ab =，1sin 2S ab C ==20.解：（1）因为等比数列{}n a 中23269a a a =，故22349a a =，0n a >，故1=3q 又因为122+31a a =，所以11=3a ，1=3nn a ⎛⎫⎪⎝⎭()313231log log log 122n n n n b a a a n +=+++=----=-（2）因为数列1+n n n c a b =，令数列{}n a 前n 项和n T ，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n Q 则1113311==112313nn n T ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭-()1211=2n n+11n b n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭111111=212122311n Q n n n ⎛⎫⎛⎫-+-+-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭1113211=1212312123n nn S n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-+- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 21.解：（1cos 20A a C b c -+-=， sin sin cos sin2sin 0C A A C B C -+-= 因为()sin =sin sin cos cos sin B A CA C A C +=+， sin cos sin 2sin 0C A A C C +-=sin 0C ≠cos 2A A +=sin()16A π+=，因为ABC ∆是锐角三角形，所以，62A ππ+=，3A π=（2）因为3A π=，所以23B C π+=，2cos cos cos cos =sin 36B C C C C ππ⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为ABC ∆是锐角三角形，所以62C ππ<<，cos cos B C +的范围⎫⎪⎪⎝⎭22.解：（1）若数列{}n a 是常数列，则2111=+144a a p p =+=，34p =；显然，当34p =时，有=1n a （2）由条件得2211113=p 044a a a p a -=+-->得21a a >，又因为2221111,44n n n n a a p a a p +++=+=+，两式相减得()()()222221111111114444n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++++++-=-=-=-+ 显然有0n a >，所以21n n a a ++-与1n n a a +-同号，而210a a ->，所以10n n a a +->； 从而有1n n a a +<. （3）因为()2211121144k k k k k a a a a p a p p +-=-+=-+-≥-， 所以()()()()1211111n n n a a a a a a n p -=+-+->+--，这说明，当1p >时，n a 越来越大，不满足2n a <，所以要使得2n a <对一切整数n 恒成立，只可能1p ≤，下面证明当1p =时，2n a <恒成立；用数学归纳法证明： 当1n =时，11a =显然成立；假设当n k =时成立，即2k a <，则当1n k =+时，22111121244k k a a +=+<⨯+=成立，由上可知对一切正整数n 恒成立，因此，正数p 的最大值是1。
2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题Word版含答案
2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题考试时间：120分钟 分值：150分一、单项选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1. 下列角中终边与 330° 相同的角是（ ） A. 30°B. - 630°C. 630°D. - 30°2. 如果点)cos 2,cos (sin θθθP 位于第三象限，那么角θ所在象限是（ ）Ａ.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3．向量概念下列命题中正确的是 ( ) A.若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合; B.模相等的两个平行向量是相等向量; C.若a 和b 都是单位向量,则a =b D.两个相等向量的模相等; 4.下列关系式正确的是( ) A.A B +B A = 0 B. a ·b 是一个向量C. A BA CB C-=D. 00=⋅AB 5. 已知扇形的半径是2,面积为8,则此扇形的圆心角的弧度数是 ( )A.4B. 8C. 2D.16.为了得到函数y=sin(2x －3π)的图像，可以将函数y= sin 2x 的图像（ ）A ．向右平移6πB ．向右平移3πC ．向左平移6πD ．向左平移3π7.已知34t a n =x ,且x 在第三象限，则=x cos ( )A. 54 B. 54- C.53 D.53-8.如图是函数y = 2sin(ωx + φ)，φ＜2π的图象，那么（ ）A. ω1110，φ =6πB. ω1011，φ = -6πC. ω，φ = 6πD. ω，φ = -6π9.余弦函数c o s ()4y xπ=+在下列哪个区间为减函数.（ ） A ．]4,43[ππ-B ．]0,[π-C ．]43,4[ππ-D ．]2,2[ππ-10. 已知(3,1),(,1)a b x ==-，且//a b，则x 等于（ ） A ．13B ．13-C ．3D ．-311.已知向量|a |=3，|b |=23,.a ·b =-3，则a 与b 的夹角是（ ） A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒12.已知ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，且AB PC PB PA =++，则点P 与ABC ∆的位置关系是（ ）A ．P 在AB 边上或其延长线上 B.P 在ABC ∆外部 C. P 在ABC ∆内部 D.P 在AC 边上二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知sin α=135，α是第一象限角，则cos(п-α)的值为 ．14. 已知(1,3)a =-，(1,)bt=，若(2)ab a-⊥，则||b= ．15. 如右图，平行四边形A B C D 中，E 是边B C 上一点，G 为A C与D E 的交点，且3A G G C=，若A B=a，A D=b ，则用,a b 表示B G=.16. 已知函数y ＝3cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝3围成一个封闭的平面图形，则其面积为 ．.三、解答题（本大题共6小题，共70分）GE DCBA17．（本小题满分10分）如图所示，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，且A 与B 关于y 轴对称．(1)求sin ∠COA ； (2)求cos ∠COB .18．(本小题满分12分)19.（本小题满分12分）已知函数()s in()23xf xππ=-.（1）请用“五点法”画出函数()f x在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）；（2）当[0,2]x∈时，求函数()f x的最大值和最小值及相应的x的值.20．（本小题满分12分）已知向量13(,1),(,22am b ==。
黑龙江哈尔滨市2018年高一数学下册期中检测题
哈32中2015～2016学年度下学期中考试高一数学试题一、选择题（每小题只有1个选项符合题意，每小题4分，共40分） 1、 15sin 75sin 15cos 75cos += （ ） A 、 100cos B 、 100sin C 、23D 、212、已知41sin -=x ，则=x 2cos （ ） A 、87 B 、87- C 、415 D 、415-3、函数x x y 2cos 2sin =的最小正周期是 （ ） A 、π2 B 、π4 C 、4πD 、2π4、函数x x y 4cos 34sin 3+=的最大值是 （ ）A 、3B 、32C 、3D 、6 5、︒︒︒︒-+50tan 70tan 350tan 70tan = （ ） A 、3 B 、33 C 、33- D 、3- 6、关于零向量，下列说法中错误的是 （ ） A 、零向量是没有方向的 B 、零向量的长度为0C 、零向量与任一向量平行D 、零向量的方向是任意的 7、+++= ( ) A 、 B 、 C 、 D 、 8、在ABC ∆中，bc c b a ++=222，则A 等于A ︒︒︒︒30.45.60.120.D C B 9、已知)1,2(),,6(-=-=b y a ，且a 与b 共线，则y = （ ）A 、-6B 、6C 、3D 、-310、已知向量、满足4||,1||==，且,2=∙则与的夹角为（ ） A 、6π B 、4π C 、3π D 、2π 二、填空题（每空4分，共20分） 11、已知33)6cos(=-απ，则=+)65cos(απ ；12、已知2||||==b a ，,2)()2(-=-∙+b a b a 则a 与b 的夹角为 ； 13．若3sin 5θ=，θ为第二象限角，则≡θ2sin _______.14．等差数列{}n a 中，若377,3a a ==，则10a = ． 三、解答题（每题10分，共40分）15．求函数)32sin(π-=x y ，的周期及单调递减区间；16．已知πβαββαα<<<==0),sin ,(cos ),sin ,(cos ， （1）求||的值；（2）求证：+与-互相垂直。
2017-2018高一下期中数学试题
2017-2018学年度第二学期高一年级期中考试数学试题（考试时间：120分钟，满分160分）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．若直线l 过两点()()6,3,2,1B A ，则l 的斜率为 .2．已知等差数列{}n a 中，7,141==a a ，则它的第5项为__________. 3．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c，若60a A ︒==，则=Bbsin ________．4．不等式01<-xx 的解集为 . 5．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，若(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )，则A ＝________． 6．若点()t P ,2-在直线062:=++y x l 的上方，则t 的取值范围是 . 7．已知点()1,1-A 与点B 关于直线03:=+-y x l 对称，则点B 坐标为 . 8．若圆M 过三点()()()1,3,4,2,1,7A B C -，则圆M 的面积为__________．9．若方程组23{22ax y x ay +=+=无解，则实数a =_____．10．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若15323S S S +=，则{}n a 的公比等于__________．11．已知实数x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥200y x y x ，若{}y x y x z 24,3max --=，则z 的取值范围是____________．({}b a ,m ax 表示b a ,中的较大数) 12．已知实数x,y 满足322=+y x ，22y x ≠，则()()22222122y x y x y x -+++的最小值为____________．13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1,,51221=-=+=+n n n n a a n a a a ，则100S =___________．14．在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为c b a ,,，且32co s 422=-+C ab b a ，则A B C∆的面积的最大值为___________．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在ABC ∆中， 4AB B π=∠=， D 是BC 边上一点，且3ADB π∠=.（1）求AD 的长；（2）若10CD =，求AC 的长. 16．（本小题满分14分）已知函数1)1()(2++-=x a a x x f ，（1）当2a =时,解关于x 的不等式0)(≤x f ； （2）若0>a ,解关于x 的不等式0)(≤x f ． 17．（本小题满分14分）已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足63,7272351==+S a a a . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足1111,++=-=n n n a b b a b ，若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1的前n 项和为n T ，求使得20k T n <对任意的*N n ∈都成立的最小正整数k 的值. 18.（本小题满分16分）如图所示，直角三角形ABC 是一块绿地，90C =，20AC =米，50BC =米，现要扩大成更大的直角三角形DEF 绿地，其斜边EF 过点A ，且与BC 平行，DE 过点C ，DF 过点B .（1）设∠=BCD α，试用α表示出三角形DEF 面积S （平方米）；（2）如果在新增绿地上种植草皮，且种植草皮的费用是每平方米100元，那么在新增绿地上种植草皮的费用最少需要多少元？ 19.（本小题满分16分）已知圆C 过A （0,2）且与圆M ：04822=+++y x y x 切于原点． （1）求圆C 的方程；（2）已知D 为y 轴上一点，若圆C 上存在两点M ，N ，使得2π=∠MDN ，求D 点纵坐标的取值范围；（3）12,l l 是过点B （1,0）且互相垂直的两条直线，其中1l 交y 轴于点E ，2l 交圆C 于P 、Q 两点．求三角形EPQ 的面积的最小值． 20. （本小题满分16分）已知数列{}n a 满足112++-=n n n n a a a a ，且*1,21N n a ∈=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=++-=+k n a a k n n n b nn n 2,12,111122()*∈N k ，求{}n b 的前n 项和n S （用n 表示）； （3）设nn a C 1=，n T 为{}n C 前n 项和，从{}n C 中抽取一个公比为q 的等比数列{}n k C ，其中11=k ，且*∈<<<<N k k k k n n ,21 ，若关于()*∈N n n 的不等式12+>n n k T 有解，求q 的值．数学试题参考答案1．2 2．9 3．2 4．{}10<<x x 5．120° 6．()+∞-,2 7．()2,2-8．π25 9．2± 10．2 11．[]8,2- 12．5913．1314 14．5515．解：（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AD ABB ADB=∠，=∴6AD=（2）∵3ADBπ∠=，∴23ADCπ∠=在ACD∆中，由余弦定理得13610026101962⎛⎫=+-⨯⨯⨯-=⎪⎝⎭∴14AC=16．解：（1）当2a=时得()2111210202222x x x x x⎛⎫⎛⎫-++≤∴--≤∴≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解集为1[,2]2（2）∵不等式0))(1()(≤--=axaxxf,0>a当10<<a时，有aa>1，∴不等式的解集为}1|{axax≤≤；当1>a时，有aa<1，∴不等式的解集为}1|{axax≤≤；当1=a时，不等式的解集为{1}.17．解：（1）12+=nan（2）321+=-+nbbnn，当2≥n时，()()()112211bbbbbbbbnnnnn+-++-+-=---=()2+nn又31=b也满足上式，所以()2+=nnbnkkTn∴≤∴<204343的最小正整数值为15.18．（1）αααααcos20sin50tan,sin20cos50+==+=DEDFDE（2）设新增绿地上种植草皮的费用为当且仅当52cossin=αα即542sin=α时等号成立答：（1）⎪⎭⎫⎝⎛∈+⎪⎭⎫⎝⎛+=∆2,0,1000cossin4cossin2550παααααDEFS（2）新增绿地上种植草皮的费用最少需要15万元．19．（1）圆C 方程为：22(2)(1)5x y -+-=（2）设()t D ,0，则()61611014102+≤≤-∴≤-+∴≤t t CD所以D 点纵坐标范围是[]61,61+-；（3）（i ）当直线2l ：1x =时，直线1l 的方程为0y =，此时，2EPQS =；（ii ）当直线2l 的斜率存在时，设2l 的方程为：(1)yk x =-（0k ≠），则1l 的方程为：1(1)y x k =--，点1(0,)E k．所以，BE =又圆心Ｃ到2l 的距离为1|1|2+-k k ,所以，222214242)1|1|(52k k k k k PQ +++=+--=．故12EPQSBE PQ =⋅==≥因为22<所以，()2EPQ min S =． 20．解：（1）由112++-=n n n n a a a a ，得：21,21111==-+a a a n n ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∴n a 1是首项为2公差为2的等差数列，所以()na n n a n n 2122121=∴=-+= （2）由（1）可得()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+=+111411411n n n n a a n n ，当n 为偶数时，()2422214121212131212114122224202++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴n n n n n n n n n S n 当n 为奇数时，()211141211--+++-+-=+=-n n n n n b S S n n n =()14121+-++n n n ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-++++=∴为奇数为偶数n n n n n n n n S n ,14121,242； （3）()1,2+==n n T n C n n ，1122--=∴==n n n n k q k q k C n ，由*∈<<<<N k k k k n n ,21 ，得*∈>N q q ,112+>n n k T 即()()11212>+∴>+nn qn n q n n 当3,2=q 时均存在n 满足上式，下面证明*∈≥N q q ,4时，不满足题意， 设()nn qn n e 12+=， {}n e ∴递减，()112141≤+=∴≤=n n qn n e q e 综上, 3,2=q ．。
2017-2018学年高一下学期期中统一考试数学试题Word版含答案
2017-2018学年高一下学期期中统一考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项） 1、经过1小时，时针旋转的角是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 2、已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3tan 4α=-，则sin()απ+=（ ）A ．35- B ．35 C ．45- D ．45 3、一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ）A ．2π B ．3πC4 ）项. A.21 B.22 C.23 D.245、在四边形ABCD 中，)2,1(=，)2,4(-=，则该四边形的面积为（ ） A.5 B.52 C.5 D.106、在ABC ∆中1tan tan )tan (tan 3-=+C B C B ，则A 2sin =（ ）A ．23-B ．23C ．2D ．217、已知函数200f x sin x ωϕωϕπ=+（）（）（＞，＜＜），且函数 的图象如图所示，则点（ωϕ， ）的坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．8、函数y = ） A ．[2,2]()33k k k Z ππππ-+∈ B ．[2,2]()66k k k Z ππππ-+∈C ．2[2,2]()33k k k Z ππππ++∈ D ．22[2,2]()33k k k Z ππππ-+∈9、记0sin(cos 2016)a =，0sin(sin 2016)b =，0cos(sin 2016)c =，cos(cos 2016)d =︒，则（ ） A ．d c b a >>> B ．c d b a >>> C ．d c a b >>> D ．a b d c >>> 10、40sin 125cos 40cos -=( )A. 1B.3C.2D.211、已知函数)0)(cos 3(sin cos )(>+=ωωωωx x x x f ，如果存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有)2016()()(00π+≤≤x f x f x f 成立，则ω的最小值为（ ）A ．40321 B ．π40321 C ．20161 D ．π2016112、已知点O 是锐角ABC ∆的外心，3,12,8π===A AC AB .若y x +=，则=+y x 96( )A.6B.5C.4D.3 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、已知角)(παπα<≤-的终边过点)32cos ,32(sinππP ，则=α ．14、已知向量,a b 满足2,3a b == ，且2a b -=a 在向量b 方向上的投影为 ．15、已知x ，y 均为正数，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且满足sin cos x y θθ=，()222222cos sin 174x y x y θθ+=+，则x y 的值为 ．16、给出下列五个命题：①函数2sin(2)3y x π=-的一条对称轴是512x π=；②函数tan y x =的图象关于点（2π,0）对称； ③正弦函数在第一象限为增函数；④若12sin(2)sin(2)44x x ππ-=-，则12x x k π-=，其中k ∈Z ；⑤函数()sin 2sin [2]0f x x x x π=+∈，，的图像与直线y k =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围为()1,3.其中正确命题的序号为 ．三、解答题（本大题共6题，共70分，17题10分，其余5题各12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17、已知4π＜α＜4π3，0＜β＜4π，cos （4π+α）=－53，sin （4π3+β）=135，求sin （α+β）的值．18．已知12,e e 是平面内两个不共线的非零向量，122AB e e =+ ，12BE e e λ=-+ ，122EC e e =-+，且,,A E C 三点共线．(1)求实数λ的值；(2)已知12(2,1),(2,2)e e ==-,点(3,5)D ，若,,,A B C D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．19、已知]43,4[,2)26sin(2)(πππ∈++-=x b a x a x f ． （1）若Q b Q a ∈∈,,)(x f 的值域为}133|{-≤≤-y y ，求出a 、b 的值 （2）在（1）的条件下，求函数)(x f 的单调区间．20、已知向量)cos 2cos ,sin 2(sin ),sin ,(cos ),sin ,(cos αααα++===x x x x ，其中0πx α<<<． （1）若π4α=，求函数x f ∙=)(的最小值及相应x 的值； （2）若a 与b 的夹角为π3，且a c ⊥ ，求tan2α的值．21、已知函数)22,0()sin()(πϕπωϕω<<->++=b x x f 相邻两对称轴间的距离为2π，若将)(x f 的图像先向左平移12π个单位，再向下平移1个单位，所得的函数)(x g 为奇函数。
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．下列说法中正确的是（）A．共线向量的夹角为0°或180°B．长度相等的向量叫做相等向量C．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D．零向量没有方向2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin|x| B．y=sin2x C．y=﹣sinx+2 D．y=sinx+13．已知角的终边经过点（4，﹣3），则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣4．函数y=cos（4x﹣π）的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．5．在直角坐标系中，直线3x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C． D．6．函数的单调递减区间（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）7．函数y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=0 C．x=πD．8．下列选项中叙述正确的是（）A．终边不同的角同一三角函数值可以相等B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第一象限是锐角D．第二象限的角比第一象限的角大9．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．向量+++化简后等于（）A．B．C．D．11．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=412．给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．以点（0，2）和（4，0）为端点的线段的中垂线的方程是．14．圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离最小值为．15．已知=， =， =， =， =，则+++﹣= ．16．已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）= ．三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17．已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．18．已知△ABC的三个顶点A（0，4），B（﹣2，6），C（8，2）；（1）求AB边的中线所在直线方程．（2）求AC的中垂线方程．19．若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（1，2），求这个圆的方程．20．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1（ω＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递增区间．2017-2018学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．下列说法中正确的是（）A．共线向量的夹角为0°或180°B．长度相等的向量叫做相等向量C．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D．零向量没有方向【考点】向量的物理背景与概念．【分析】根据共线向量、平行向量、相等向量以及零向量的概念便可判断每个说法的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．共线向量的方向相同或相反；方向相同时，夹角为0°，相反时的夹角为180°，∴该说法正确；B．长度相等，方向相同的向量叫做相等向量，∴该说法错误；C．平行向量也叫共线向量，∴共线向量不是向量所在直线在同一直线上；∴该说法错误；D．零向量的方向任意，并不是没有方向，∴该说法错误．故选：A．2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin|x| B．y=sin2x C．y=﹣sinx+2 D．y=sinx+1【考点】函数奇偶性的判断．【分析】要探讨函数的奇偶性，先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，然后探讨f（﹣x）与f（x）的关系，即可得函数的奇偶性．【解答】解：选项A，定义域为R，sin|﹣x|=sin|x|，故y=sin|x|为偶函数．选项B，定义域为R，sin（﹣2x）=﹣sin2x，故y=sin2x为奇函数．选项C，定义域为R，﹣sin（﹣x）+2=sinx+2，故y=sinx+2为非奇非偶函数偶函数．选项D，定义域为R，sin（﹣x）+1=﹣sinx+1，故y=sinx+1为非奇非偶函数，故选：B．3．已知角的终边经过点（4，﹣3），则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的定义进行求解即可．【解答】解：∵角α的终边经过点P（4，﹣3），∴tanα==，故选：B．4．函数y=cos（4x﹣π）的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据余弦函数的最小正周期的求法，将ω=4代入T=即可得到答案．【解答】解：∵y=cos（4x﹣π），∴最小正周期T==．故选：D．5．在直角坐标系中，直线3x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C． D．【考点】直线的倾斜角．【分析】由已知方程得到直线的斜率，根据斜率对于得到倾斜角．【解答】解：由已知直线的方程得到直线的斜率为﹣，设倾斜角为α，则tanα=﹣，α∈[0，π），所以α=；故选：D．6．函数的单调递减区间（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）【考点】正弦函数的单调性．【分析】利用y=sinx的单调性，求出函数的单调递减区间，进而可求函数的单调递减区间．【解答】解：利用y=sinx的单调递减区间，可得∴∴函数的单调递减区间（k∈Z）故选D．7．函数y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=0 C．x=πD．【考点】正弦函数的图象．【分析】利用正弦函数的图象的对称性，求得y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程．【解答】解：∵对于函数y=3sin（2x+）+2图象，令2x+=kπ+，求得x=+，可得函数图象的一条对称轴方程为x=π，故选：C．8．下列选项中叙述正确的是（）A．终边不同的角同一三角函数值可以相等B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第一象限是锐角D．第二象限的角比第一象限的角大【考点】命题的真假判断与应用．【分析】分别举例说明四个选项的正误得答案．【解答】解：对于A，终边不同的角同一三角函数值可以相等，正确，如；对于B，三角形的内角是第一象限角或第二象限角，错误，如是终边在坐标轴上的角；对于C，第一象限是锐角，错误，如是第一象限角，不是锐角；对于D，第二象限的角比第一象限的角大，错误，如是第二象限角，是第一象限角，但．故选：A．9．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据象限得出sinθ，cosθ的符号，得出θ的象限．【解答】解：∵P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，∴sinθcosθ＜0，cosθ＞0，∴sinθ＜0，∴θ是第四象限角．故选：D．10．向量+++化简后等于（）A．B．C．D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出．【解答】解：向量+++=，故选：D．11．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=4【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先根据函数的最大值和最小值求得A和B，然后利用图象中﹣求得函数的周期，求得ω，最后根据x=时取最大值，求得φ．【解答】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得A=2，B=2函数的周期为（﹣）×4=π，即π=，ω=2当x=时取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+φ=2kπ﹣∵∴φ=故选C．12．给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】任意角的概念．【分析】由任意角的三角函数的定义，三角函数值与象限角的关系，即可得出结论．【解答】解：①由任意角的三角函数的定义知，终边相同的角的三角函数值相等，正确．②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B，故正确；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，正确，④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同或终边关于y轴对称，故不正确．⑤若cosα＜0，则α是第二或第三象限角或α的终边落在x轴的非正半轴上，故不正确．其中正确的个数为3个，故选：C．二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．以点（0，2）和（4，0）为端点的线段的中垂线的方程是2x﹣y﹣3=0 ．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】先求出线段AB的中垂线的斜率，再求出线段AB的中点的坐标，点斜式写出AB的中垂线得方程，并化为一般式．【解答】解：设A（0，2）、B（4，0）．=﹣，所以线段AB的中垂线得斜率k=2，又线段AB的中点为（2，1），直线AB的斜率 kAB所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=2（x﹣2）即2x﹣y﹣3=0，故答案为：2x﹣y﹣3=0．14．圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离最小值为 3 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d==5，圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r，从而可求．【解答】解：∵圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d==5，∴圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r=5﹣2=3故答案为：3．15．已知=， =， =， =， =，则+++﹣= ．【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出．【解答】解： +++﹣=+++﹣=﹣=，故答案为：．16．已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）= 1 ．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】观察三个函数中的角，发现=﹣（），故tan（）的值可以用正切的差角公式求值【解答】解：∵=﹣（），∴tan（）===1故答案为1三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17．已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用三角函数的定义可求得sinα与cosα，从而可得2sinα+cosα．【解答】解：由已知r==13a…∴sinα=﹣，cosα=，…∴2sinα+cosα=﹣…18．已知△ABC的三个顶点A（0，4），B（﹣2，6），C（8，2）；（1）求AB边的中线所在直线方程．（2）求AC的中垂线方程．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（1）利用中点坐标公式、斜截式即可得出．（2）利用斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、斜截式即可得出．【解答】解：（1）∵线段AB的中点为（﹣1，5），∴AB边的中线所在直线方程是=，即x+3y﹣14=0．（2）AC的中点为（4.3）==﹣，∵KAC∴y﹣3=4（x﹣4）即y=4x﹣13，∴AC的中垂线方程为y=4x﹣13．19．若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（1，2），求这个圆的方程．【考点】圆的一般方程．【分析】设出圆的一般式方程，把三个点的坐标代入，求解关于D、E、F的方程组得答案．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得．∴圆的方程为：．20．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．【考点】二倍角的正切；两角和与差的余弦函数．【分析】（1）利用已知及同角三角函数基本关系式可求sinα，进而可求tanα，利用二倍角的正切函数公式可求tan2α的值．（2）由0＜β＜α＜，得0＜α﹣β＜，利用同角三角函数基本关系式可求sin（α﹣β），由β=α﹣（α﹣β）利用两角差的余弦函数公式即可计算求值．【解答】解：（1）∵由cosα=，0＜α＜，得sinα===，∴得tan=∴于是tan2α==﹣．…（2）由0＜β＜α＜，得0＜α﹣β＜，又∵cos（α﹣β）=，∴sin（α﹣β）==，由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）==．…21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的对称轴方程和对称中心坐标．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得A=2， ==+，∴ω=2．再根据五点法作图可得2•（﹣）+φ=，∴φ=，函数f（x）=2sin（2x+）．（Ⅱ）由2x+=kπ+，求得x=﹣，可得函数的图象的对称轴方程为x=﹣，k∈Z．令2x+=kπ，求得x=﹣，可得函数的图象的对称轴中心为（﹣，0），k∈Z．22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1（ω＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用降幂公式降幂，再由辅助角公式化简，由x的范围求得相位的范围，则函数的取值范围可求；（2）利用复合函数的单调性求得原函数的单调区间．【解答】解：（1）f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1==．∵ω＞0，∴T=，则ω=1．∴函数f（x）=sin（2x﹣）﹣．由0，得，∴，∴．∴f（x）的取值范围[﹣1，]；（2）令，得：，（k∈Z），∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）．。
2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题 word版
2017—2018学年度第二学期期中高 一 数 学 试 题（答卷时间：120分钟．试卷分值：150分、共4页 ）选择题：（每题5分，满分60分）1．．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝( ) A. 45 B ．－45 C. 35 D ．－352．如果 ,42ππ<θ<那么下列各式中正确的是（ ）A. co s tan sin θ<θ<θB. sin co s tan θ<θ<θC. tan sin co s θ<θ<θD. co s sin tan θ<θ<θ3． 600sin 的值为（ ）A ． 21B ． 21-C ． 23D ． 23-4．设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( ) A. 22 B. 12 C ．0 D ．－15．已知523cos sin =+x x ，则sin 2x =（ ）A ．1825B ．725C ．725- D ．1625-6．要得到函数c o s 23y x π=+（）的图像，只需将函数c o s 2y x =的图像（） A ．向左平行移动3π个单位长度 B ．向右平行移动3π个单位长度C ．向左平行移动6π个单位长度D ．向右平行移动6π个单位长度7．下列向量的运算中，正确的是 （ ）A ．AB BC A C -= B ．A B B C C A +=C ．A B A C C B -= D ．A B A D D C B C --=8．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是 ( ) A ．y ＝sin(2x ＋π2) B ．y ＝cos(2x ＋π2) C ．y ＝sin(x ＋π2) D ．y ＝cos(x ＋π2)9．已知=-=+=-<<<αβαβαπαβπ2sin ,53)sin(,1312)cos(,432则 （ ） A ．6556 B ．－6556 C ．5665 D ．－566510、函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ) 0,22ππωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω，φ的值A ．2，－3π 2，－6π C ．4，－6π D ．4，3π11．平面向量a 与b 的夹角为60°，|a|＝2，b ＝13,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则|a ＋2b|＝( ) A.3 B ．23 C ．4 D ．1212.在△ABC 中，AB ＝4，∠ABC ＝30°，D 是边BC 上的一点，且AD ·AB ＝AD ·AC ，则AD ·AB 的值等于 ( )A ．4B ．0C ．－4D ．8二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．在平行四边形A B C D 中，若B C B A B CA B +=+，则四边形A B C D 是________．14．设扇形的周长为8cm ，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数的绝对值是 ．15．cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°的值是 ．16、.给出下列命题①存在实数α，使sinαcosα=1；②存在实数α，使sinα+cosα=23；③y=sin(x 225-π)是偶函数；④x=8π是函数y=sin(2x+45π)的一条对称轴方程；其中正确命题的序号是_________.三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）17（10分）化简：s in +c o s 22c o s (+)ππααπα⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋()s in c o s 2s in (+)ππααπα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.18.(12分)已知锐角αβ、满足5310s in ,c o s 510αβ==，求αβ+的值19.（本小题满分12分）已知向量3(sin ,)2ax =，(c o s ,1)bx =-.当a ∥b 时，求22co s sin 2x x -的值；20．（本小题满分12分）已知向量a = e1－e2，b= 4 e1+3 e2，其中e1=（1，0），e2=（0，1）.（1）试计算a·b 及|a + b|的值；（2）求向量a 与b 的夹角的大小.21、（12分）已知函数f(x)＝cos22x －sin 2x cos 2x －12.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域 （2）求函数单调递减区间（3）若f(α)＝3210，求sin 2α的值．22．(本小题满分12分)已知(c o s ,s in )a αα=，(c o s ,s in )b ββ=，其中0αβπ<<<．(1)求证：a b + 与a b -互相垂直；[(2)若k a →+→b 与a k →-→b 的长度相等，求βα-的值(k 为非零的常数)．。
2017-2018学年黑龙江省哈师大附中高一(下)期中数学试卷-教师用卷
2017-2018学年黑龙江省哈师大附中高一（下）期中数学试卷副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x ||x +1|<1}，B ={x |x <−1或x >3}，则A ∩B =( )A. {x |−2<x <3}B. {x |−2<x <0}C. {x |−2<x <−1}D. {x |−1<x <3} 【答案】C【解析】解：∵集合A ={x ||x +1|<1}={x |−1<x +1<1}={x |−2<x <0}， B ={x |x <−1或x >3}，∴A ∩B ={x |−2<x <−1}． 故选：C ．先求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2. 数列{a n }中，a n =1n (n +1)，前n 项和为45，则项数n 为( )A. 7B. 6C. 5D. 4【答案】D【解析】解：∵数列{a n }的通项公式是a n =1n (n +1)=1n −1n +1， 前n 项和S n =11−12+12−13+⋯+1n −1n +1=1−1n +1=45， ∴n =4． 故选：D ．利用裂项法，即可得到结论．本题主要考查数列求和，利用裂项法是解决本题的关键，比较基础．3. 设向量a 、b 满足|a |=2,|b |=1，且a 与b 的夹角为π3，则|a +b |=( )A. 7B. 9C.D. 3【答案】C【解析】解：a⋅b =2×1×cos π3=1． ∴|a +b |= a 2+b 2+2a ⋅b = 4+1+2= 7．故选：C ．利用数量积运算性质即可得出．本题考查了向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.在等比数列{a n}中，a1=27，a4=a3a5，则a6=()A. 181B. 127C. 19D. 13【答案】C【解析】解：由等比数列的性质可知，a4=a3a5=a42，∵a4≠0，∴a4=1，∵a1=27，∴公比q=13，∴a6=27⋅(13)5=19．故选：C．由等比数列的性质可知，a4=a3a5=a42可求a4，从而可得公比，即可求出a6．本题考查等比数列的通项公式和性质，求出公比是关键，属基础题．5.等差数列{a n}中，a2=3，a3+a4=9则a1a6的值为()A. 14B. 18C. 21D. 27【答案】A【解析】解：由等差数列的通项公式可得，a3+a4=2a1+5d=9，a1+d=3解方程可得，a1=2，d=1∴a1a6=2×7=14故选：A．由等差数列的通项公式可得，a3+a4=2a1+5d=9，a1+d=3，解方程可求a1，d，即可求解a1a6本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用，属于基础试题6.已知a，b，c满足a<b<c，且ac<0，那么下列选项中一定成立的是()A. cb2<ab2B. c(b−a)<0C. ab>acD. ac(a−c)>0 【答案】C【解析】解：已知a，b，c满足a<b<c，且ac<0，∴a<0，c>0，对于A：取a=−1，b=0，c=1，显然不成立；对于B：b−a>0，c>0，c(b−a)>0，B错误；对于C：由b<c，不等式两边都乘以负数a，得：ab>ac，故C正确；对于D：ac<0，a−c<0，得：ac(a−c)>0，故D错误；故选：C．先判断出a<0，c>0，结合不等式的性质分别对A、B、C、D进行判断即可．本题考查了不等式的性质，求出a，c的符号是解答本题的关键，本题是一道基础题．7.等差数列{a n}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为()A. −24B. −3C. 3D. 8【答案】A【解析】解：∵等差数列{a n}的首项为1，公差不为0.a2，a3，a6成等比数列，∴a32=a2⋅a6，∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d)，且a1=1，d≠0，解得d=−2，∴{a n }前6项的和为S 6=6a 1+6×52d =6×1+6×52×(−2)=−24．故选：A ．利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出{a n }前6项的和．本题考查等差数列前n 项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．8. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =13，sin C =3sin B ，且S △ABC = 2，则b =( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 3【答案】A【解析】解：∵cos A =13，A 为三角形内角， ∴sin A = 1−cos 2A =2 23，由正弦定理化简sin C =3sin B ，得c =3b ， ∵S △ABC =12bc sin A =123b 2⋅2 23= 2，∴b =1． 故选：A ．由cos A 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin A 的值，利用正弦定理化简sin C =3sin B ，再利用三角形面积公式列出关系式，将sin A ，已知面积，以及表示出的c 代入计算即可求出b 的值．此题考查了正弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．9. 已知数列{a n }的各项均为正数，a 1=1，a n +12−a n 2=1，则数列{1an +1+a n}的前8项和( )A. 2B. 2 −1C. 2D. 1【答案】C【解析】解：∵a 1=1，a n +12−a n 2=1，∴数列{a n 2}为等差数列，公差为1，首项为1． ∴a n 2=1+(n −1)=n ，∵数列{a n }的各项均为正数，∴a n = n ． ∴1an +1+a n=n +1+n= n +1− n ．∴数列{1an +1+a n}的前8项和= 2−1+ 3− 2+⋯…+ 9− 8=3−1=2．故选：C ．由a 1=1，a n +12−a n 2=1，利用等差数列的通项公式可得a n 2，又数列{a n }的各项均为正数，可得a n .利用裂项求和方法即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其性质、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10. 数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n =(−1)n n ，则S 2018=( )A. 2018B. 1009C. 2019D. 1010【答案】B【解析】解：∵a n=(−1)n n，∴S2018=−1+2−3+4+⋯…−2017+2018=1009．故选：B．利用分组求和即可得出．本题考查了分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.首项为正数的等差数列{a n}满足5a6=3a3，则前n项和S n中最大项为()A. S9B. S10C. S11D. S12【答案】B【解析】解：∵等差数列{a n}中5a6=3a3，∴公差d=−219a1，∴a n=a1+(n−1)×(−219a1)=21−2n19a1，令21−2n19a1≥0可得n≤10，∴等差数列{a n}的前10项为正数，从第11项开始为负，∴S n达到最大值的n是10．故选：B．由题意易得数列的公差d=−219a1，进而可得通项公式，从而数列{a n}的前10项为正数，从第11项开始为负，即可可得结论．本题考查等差数列的前n项和及其最值，得出数列的正负变化是解决问题的关键，属基础题．12.在△ABC中，AB⋅BC3=CA⋅BC2=AB⋅CA1，则sin A：sin B：sin C=()A. 5：3：4B. 5：4：3C. 5：2：3D. 5：3：2【答案】D【解析】解：根据题意，在△ABC中，AB⋅BC3=CA⋅BC2=AB⋅CA1，则有ac cos B3=ab cos C2=bc cos A1，即2ac cos B=3ab cos C=6bc cos A，则有a2+c2−b2=32(a2+b2−c2) a2+c2−b2=3(b2+c2−a2)，解可得a=52c，b=32c，则有a：b：c=52：32：1=：3：2，则sin A：sin B：sin C=：3：2，故选：D．根据题意，由向量数量积的计算公式可得ac cos B3=ab cos C2=bc cos A1，变形可得2ac cos B=3ab cos C=6bc cos A，由余弦定理可得a2+c2−b2=32(a2+b2−c2)a2+c2−b2=3(b2+c2−a2)，变形可得a=52c，b=32c，进而可得a：b：c=52：32：1=5：3：2，结合正弦定理分析可得答案．本题考查正弦、余弦定理的应用，涉及向量数量积的计算，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设x，y∈R，向量a=(x,2)，b=(1,y)，c=(2,−6)，且a⊥c,b//c，则|a−b|=______．【答案】52【解析】解：∵a⊥c,b//c，∴2x−12=0，2y+6=0，解得x=6，y=−3．∴a−b=(5,5)，则|a−b|=52+52=52．故答案为：5．由a⊥c,b//c，可得2x−12=0，2y+6=0，解出利用模的计算公式即可得出．本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.等差数列{a n}、{b n}满足对任意n∈N∗都有a nb n =2n+34n−9，则a7b3+b9+a5b4+b8=______．【答案】1【解析】解：由等差数列的性质可得：b3+b9=b4+b8=2b6，a7+a5=2a6．∴a7b3+b9+a5b4+b8=2a62b6=a6b6=2×6+34×6−9=1．故答案为：1．由等差数列的性质可得：b3+b9=b4+b8=2b6，a7+a5=2a6.代入即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，若S n+1，S n，S n+2成等差数列，则q的值为_________．【答案】−2【解析】【解答】设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，且S n+1，S n，S n+2成等差数列，则2S n=S n+1+S n+2，若q=1，则S n=na1，式显然不成立，若q≠1，则为2a1(1−q n)1−q =a1(1−q n+1)1−q+a1(1−q n+2)1−q，故2q n=q n+1+q n+2，即q2+q−2=0，因此q=−2．故答案为−2．【分析】首先由S n+1，S n，S n+2成等差数列，可得2S n=S n+1+S n+2，然后利用等比数列的求和公式分别表示S n+1，S n，S n+2，注意分q=1和q≠1两种情况讨论，解方程即可．涉及等比数列求和时，若公比为字母，则需要分类讨论．16.在△ABC中，A=30∘，BC=2，D是AB边上的一点，CD=2，△BCD的面积为4，则AC的长为______．【答案】4或2【解析】解：由题意可得12CB⋅CD⋅sin∠BCD=4，即12×25×2sin∠BCD=4，解得sin∠BCD=5．①当∠BCD为锐角时，cos∠BCD=5．△BCD中，由余弦定理可得BD= CB2+CD2−2⋅CB⋅CD⋅cos∠BCD=4．△BCD中，由正弦定理可得BDsin∠BCD =CDsin B，即425= 2sin B，故sin B=5．在△ABC中，由正弦定理可得ACsin B = BCsin A，即AC15=251，解得AC=4．②当∠BCD为钝角时，cos∠BCD=5．△BCD中，由余弦定理可得BD= CB2+CD2−2⋅CB⋅CD⋅cos∠BCD=42．△BCD中，由正弦定理可得BDsin∠BCD =CDsin B，即4225=2sin B，故sin B=10．在△ABC中，由正弦定理可得ACsin B = BCsin A，即AC110=2512，解得AC=2．综上可得AC=4或2，故答案为 4或22．由△BCD的面积为4，求得sin∠BCD的值，进而求得cos∠BCD的值，△BCD中，由余弦定理可得BD的值，△BCD中，由正弦定理求得sin B的值.再在△ABC中，由正弦定理求得AC的长．本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，判断三角形的形状的方法，体现了分类讨论的数学思想，讨论∠BCD为锐角和钝角两种情况，是解题的易错点，是一个中档题目．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.解下列不等式(Ⅰ)lg2x−3lg x+2<0；(II)1x+1<1x−2．【答案】解：(Ⅰ)根据题意，令t=lg x，则有t2−3t+2<0，解可得1<t<2，即1<lg x<2，则10<x<100，则不等式的解集为{x|10<x<100}；(Ⅱ)根据题意，1x+1<1x−2，则有1x+1−1x−2<0，变形可得−3(x+1)(x−2)<0，等价于(x+1)(x−2)>0，解可得：x<−1或x>2则原不等式的解集为{x|x<−1或x>2}．【解析】(Ⅰ)根据题意，用换元法分析，令t=lg x，原不等式变形为t2−3t+2<0，解可得t的取值范围，进而由对数的运算性质可得10<x<100，即可得答案；(Ⅱ)根据题意，将原不等式变形可得−3(x+1)(x−2)<0，等价于(x+1)(x−2)>0，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查其他不等式的解法，注意将原不等式恒等变形．18.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a2−a1=3，a3−S2=3．(I)求数列{a n}的通项公式；(II)设b n=nS na n+1−a1，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】解：(I)设等比数列{a n}的公比为q，∵a2−a1=3，a3−S2=3．∴a1(q−1)=3，a1q2−a1(q+1)=3，联立解得：a1=3，q=2．∴a n=3⋅2n−1．(II)由(I)可知：S n=3(2n−1)2−1=3×2n−3．∴b n=3n(2n−1)3(2n−1)=n，∴{b n}是等差数列，∴T n=n(n+1)2．【解析】(I)设等比数列{a n}的公比为q，由a2−a1=3，a3−S2=3.可得a1(q−1)=3，a1q2−a1(q+1)=3，联立解得：a1，q．(II)由(I)可知：S n=3×2n−3.可得b n=n，利用求和公式即可得出T n．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.向量m=(a,3b)，n=(cos A,sin B)且m//n．(I)求A；(II)若a=3，求△ABC周长的最大值．【答案】解：(1)根据题意，向量m=(a,b)，n=(cos A,sin B)且m//n，则a sin B=3b cos A，由正弦定理可得：sin A⋅sin B=3sin B cos A(sin B≠0)所以，tan A=3⇒A=π3(2)由正弦定理可得：asin A =bsin B=csin C⇒b=23sin B,c=23sin C所以，周长l=a+b+c=3+2B+2C=2B+cos(2π3−B)]+3=6sin(B+π6)+3，又0<B<2π3，则π6<B+π6<5π6，12<sin(B+π6)≤1所以，当B=π3时，周长最大值是9．【解析】(1)根据题意，由向量平行的坐标表示公式可得a sin B=cos A，又由正弦定理可得sin A sin B=3sin B cos A，变形可得tan A=3，由A的范围分析可得答案；(2)根据题意，由正弦定理可得b=23sin B，c=23sin C，进而可得l=a+b+c=3+23sin B+23sin C=23[sin B+cos(2π3−B)]+3=6sin(B+π6)+3，由正弦函数的性质分析可得答案．本题考查三角形中的几何计算，关键是求出A的值．20.已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+7n，数列{b n}为等差数列，且b n+b n+1=a n−3．(I)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(II)设c n=2a nb n ，求证：数列{c n}的前n项和T n<16．【答案】(本小题满分12分)解：(Ⅰ)数列{a n}的前n项和S n=3n2+7n，a n=S n−S n−1=6n+4，b n+b n+1=a n−3=6n+1．数列{b n}为等差数列，b1+b2=7，b2+b3=13，2d=6，d=3，所以2b n+3=6n+1，所以b n=3n−1．综上：a n=6n+4，b n=3n−1．(Ⅱ)C n=2a n⋅b n =1(3n−1)(3n+2)=13(13n−1−13n+2)，T n=C1+C2+C3+⋯+C n=13(12−15)+13(15−18)+⋯+13(13n−1−13n+2)= =13(12−13n+2)=1−1<16．【解析】(I)利用数列{a n}的前n项和S n=3n2+7n，通过a n=S n−S n−1求解数列{a n}的通项公式；通过数列{b n}为等差数列，且b n+b n+1=a n−3，转化求解通项公式．(II)通过c n=2a nb n，利用裂项消项法，求解数列的和，然后证明即可．本题考查数列的递推关系式以及数列求和的基本方法的应用，考查转化思想以及计算能力．21.已知数列{a n}中a1=3，其前n项和S n满足：S n=a n+1+n−3．(I)求证：数列{a n−1}是等比数列；(II)设b n=n(a n−1)，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】解：(Ⅰ)证明：设b n=a n−1，则b n+1b n =a n+1−1a n−1，当n≥2时，Sn−1=a n+n−1−3S n=a n+1+n−3⇒a n+1=2a n−1，所以，b n +1b n=a n +1−1a n −1=2a n −1−1a n −1=2，所以，数列{a n −1}是首项和公比均为2的等比数列； (Ⅱ)由(Ⅰ)可知：a n =2n +1， 则b n =n (a n −1)⇒b n =n ⋅2n ，前n 项和T n =1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+n ⋅2n ， 2T n =1⋅22+2⋅23+3⋅24+⋯+n ⋅2n +1， 相加可得−T n =2+22+23+⋯+2n −n ⋅2n +1 =2(1−2n )1−2−n ⋅2n +1，化简可得T n =(n −1)⋅2n +1+2．【解析】(Ⅰ)b n =a n −1，结合条件，由等比数列的定义，以及数列的递推式，即可得证；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：a n =2n +1，则b n =n (a n −1)⇒b n =n ⋅2n ，运用数列的求和方法：错位相减法，化简可得所求和．本题考查构造数列法，等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，化简整理的运算能力，属于中档题．22. 已知数列{a n }中a 1=32，a n =a n−1+92(−12)n−1(n ≥2)．(I )求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n ； (II )设b n =11n −1，求证：b 1+b 2+b 3+⋯+b n <2．(II )设T n =S n −1S n(n ∈N ∗)，求数列{T n }的最大项和最小项．【答案】解：(Ⅰ)a 1=32，a n =a n−1+92(−12)n−1(n ≥2)， 可得a n =a 1+(a 2−a 1)+⋯+(a n −a n−1) =32+92⋅(−12)+92⋅(−12)2+⋯++92⋅(−12)n−1=32+92⋅−12(1−1(−2)n −1)1+12，化简可得a n =32⋅(−12)n−1； S n =32(1−1(−2)n)1+1=1−(−12)n ；(Ⅱ)证明：b n =11n −1=12−1，因为2n −1≥0，所以，b n =12−1<12−2=12， 所以b 1+b 2+b 3+⋯+b n <1+12+14+⋯+12 =1−12n 1−12=2−22<2；(Ⅲ)S n = 1+12n ,n 为奇数1−12,n 为偶数， 当n 是奇数时，T n =S n −1S n递减，则0<T n =S n −1S n≤S 1−1S 1=56；当n是偶数时，T n=S n−1Sn 递增，则0>T n=S n−1Sn≥S2−1S2=−712；所以，−712≤T n=S n−1Sn ≤56，即(T n)min=−712,(T n)max=56．【解析】(Ⅰ)由条件结合a n=a1+(a2−a1)+⋯+(a n−a n−1)，运用等比数列的求和公式和所求通项和求和公式；(Ⅱ)求得b n=11|S n−1|−1=12n−1，因为2n−1≥0，所以，b n=12n−1<12n−2n−1=12n−1，运用等比数列的求和公式和不等式的性质，即可得证；(Ⅲ)S n=1+12,n为奇数1−12n,n为偶数，判断T n=S n−1Sn(n∈N∗)的单调性，可得最大项和最小项．本题考查数列的通项公式和求和公式的求法，注意运用数列恒等式和等比数列的通项公式和求和公式，考查数列不等式的证明和数列的单调性及应用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。
黑龙江省哈尔滨道里区2017-2018学年高一下学期期中数学试卷(文科)Word版含解析
黑龙江省哈尔滨道里区2017-2018学年高一下学期期中数学试卷（文科）一、选择题（本题共12道小题，每题5分，共60分）1．已知α是第二象限角，=（ ）A ．B ．C ．D ． 2．不等式|x ﹣2|＜2的解集是（ ）A ．（﹣1，1）B ．（﹣2，2）C ．（﹣1，0）∪（0，1）D ．（0，4 ）3．在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则a 2+a 10=（ ）A ．12B ．16C ．20D ．244．下列命题正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．||=⟺=5．公比为2的等比数列{a n } 的各项都是正数，且a 3a 11=16，则a 5=（ ）A ．4B ．2C ．1D ．86．设a=log 32，b=log 52，c=log 23，则（ ）A ．a ＞c ＞bB ．b ＞c ＞aC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b7．数列{a n }的通项公式a n =ncos ，其前n 项和为S n ，则S 2012等于（ ）A ．1006B ．2012C ．503D ．08．若函数y=sin （ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（ ）A ．5B ．4C ．3D ．29．设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=y ﹣2x 的最小值为（ ）A ．﹣7B ．﹣4C ．1D ．210．若2x +2y =1，则x+y 的取值范围是（ ）A ．[0，2]B ．[﹣2，0]C ．[﹣2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2]11．函数y=xcosx+sinx 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an }，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（）A．①② B．③④ C．①③ D．②④二、填空题（本小题共有4道小题，每题5分，共20分）13．已知=（1，0），=（2，1），则•=______．14．当x＞0时，求f（x）=+3x的最小值为______．15．规定运算=ad﹣bc，若=，则sinθ=______．16．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为______（m）．三、解答题（共6小题，满分70分）17．在等差数列{an }中，a1+a6=12，a4=7，求an及前n项和Sn．18．在锐角三角形中，边a、b是方程x2﹣2x+2=0的两根，角A、B满足：2sin（A+B）﹣=0，求角C 的度数，边c的长度及△ABC的面积．19．解关于x的不等式[（m+3）x﹣1]（x+1）＞0（m∈R）．20．设{a n }为等比数列，T n =na 1+（n ﹣1）a 2…+2a n ﹣1+a n ，已知T 1=1，T 2=4，（1）求数列{a n }的首项和公比；（2）求数列{T n }的通项公式．21．已知向量=（cos x ，sin x ），=（cos ，﹣sin ），且x ∈[0，]，（1）求•及|+|；（2）若f （x ）=•﹣2λ|+|的最小值是﹣，求实数λ的值．22．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，常数λ＞0，且λa 1a n =S 1+S n 对一切正整数n 都成立．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设a 1＞0，λ=100，当n 为何值时，数列的前n 项和最大？黑龙江省哈尔滨道里区2017-2018学年高一下学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12道小题，每题5分，共60分）1．已知α是第二象限角， =（）A．B．C．D．【考点】同角三角函数间的基本关系．【分析】由α为第二象限角，得到cosα小于0，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosα的值．【解答】解：∵α为第二象限角，且sinα=，∴cosα=﹣=﹣．故选A2．不等式|x﹣2|＜2的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（0，4 ）【考点】绝对值不等式的解法．【分析】由|x﹣2|＜2，可得﹣2＜x﹣2＜2，由此求得x的范围．【解答】解：由|x﹣2|＜2，可得﹣2＜x﹣2＜2，即 0＜x＜4，故要求的不等式的解集为{x|0＜x＜4}，故选：D．3．在等差数列{an }中，已知a4+a8=16，则a2+a10=（）A．12 B．16 C．20 D．24 【考点】等差数列的性质．【分析】利用等差数列的性质可得，a2+a10=a4+a8，可求结果【解答】解：由等差数列的性质可得，则a2+a10=a4+a8=16，故选B4．下列命题正确的是（）A． B．C．D．||=⟺=【考点】向量的模．【分析】向量的模是一个非负实数，可以比较大小，但向量不仅有大小（即线段的长度），而且还有方向，两个向量相等的充要条件是模相等且方向相同，因此，两个向量是不能比较大小的．【解答】解：A 不对，因为这两个向量的模相等时，他们的方向不一定相同，故这两个向量不一定相等．B不对，两个向量的模可以比较大小，但两个向量不能比较大小，因为还要考虑向量的方向．C不对，两个向量的模相等，不能得出他们的方向相同或相反，因此，不能的出两个向量共线．D正确，因为当向量的模等于0时，此向量必定是零向量，其方向是任意的．故选 D．5．公比为2的等比数列{a n } 的各项都是正数，且a 3a 11=16，则a 5=（ ）A ．4B ．2C ．1D ．8【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式求解．【解答】解：∵公比为2的等比数列{a n } 的各项都是正数，且a 3a 11=16，∴，且a 1＞0，解得，∴a 5==1． 故选：C ．6．设a=log 32，b=log 52，c=log 23，则（ ）A ．a ＞c ＞bB ．b ＞c ＞aC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b【考点】对数值大小的比较．【分析】判断对数值的范围，然后利用换底公式比较对数式的大小即可．【解答】解：由题意可知：a=log 32∈（0，1），b=log 52∈（0，1），c=log 23＞1，所以a=log 32，b=log 52=，所以c ＞a ＞b ，故选：D ．7．数列{a n }的通项公式a n =ncos，其前n 项和为S n ，则S 2012等于（ ） A ．1006 B ．2012 C ．503 D ．0【考点】数列的求和．【分析】由已知得f （n ）=cos 是以T==4为周期的周期函数，由此能求出S 2012的值．【解答】解：∵a n =ncos ，又∵f （n ）=cos 是以T==4为周期的周期函数，∴a 1+a 2+a 3+a 4=（0﹣2+0+4）=2，a 5+a 6+a 7+a 8=（0﹣6+0+8）=2，…a 2009+a 2010+a 2011+a 2012=（0﹣2010+0+2012）=2，S 2012=a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 2012=（0﹣2+0+4）+（0﹣6+0+8）+…+（0﹣2010+0+2012）=2×503=1006故选：A ．8．若函数y=sin （ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式；y=Asin （ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】利用函数图象已知的两点的横坐标的差值，求出函数的周期，然后求解ω．【解答】解：由函数的图象可知，（x 0，y 0）与，纵坐标相反，而且不是相邻的对称点，所以函数的周期T=2（）=，所以T==，所以ω==4．故选B ．9．设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=y ﹣2x 的最小值为（ ）A ．﹣7B ．﹣4C ．1D ．2【考点】简单线性规划．【分析】先根据条件画出可行域，设z=y ﹣2x ，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y 轴上的截距最小，只需求出直线z=y ﹣2x ，过可行域内的点B （5，3）时的最小值，从而得到z 最小值即可．【解答】解：设变量x 、y 满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，平移直线y ﹣2x=0经过点A （5，3）时，y ﹣2x 最小，最小值为：﹣7，则目标函数z=y ﹣2x 的最小值为﹣7．故选A ．10．若2x+2y=1，则x+y的取值范围是（）A．[0，2] B．[﹣2，0] C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]【考点】基本不等式．【分析】根据指数式的运算性质结合基本不等式可把条件转化为关于x+y的不等关系式，进而可求出x+y 的取值范围．【解答】解：∵1=2x+2y≥2•（2x2y），变形为2x+y≤，即x+y≤﹣2，当且仅当x=y时取等号．则x+y的取值范围是（﹣∞，﹣2]．故选D．11．函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．【解答】解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，由当x=时，，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选D．12．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f （x ），如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f （a n ）}仍是等比数列，则称f （x ）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x ）=x 2；②f（x ）=2x ；③f（x ）=；④f（x ）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f （x ）的序号为（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④【考点】等比关系的确定．【分析】根据新定义，结合等比数列性质，一一加以判断，即可得到结论．【解答】解：由等比数列性质知，①=f 2（a n+1），故正确；②≠=f 2（a n+1），故不正确；③==f 2（a n+1），故正确；④f（a n ）f （a n+2）=ln|a n |ln|a n+2|≠=f 2（a n+1），故不正确； 故选C二、填空题（本小题共有4道小题，每题5分，共20分）13．已知=（1，0），=（2，1），则•= 2 ．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据平面向量数量积的坐标运算，进行计算即可．【解答】解： =（1，0），=（2，1），∴•=1×2+0×1=2．故答案为：2．14．当x ＞0时，求f （x ）=+3x 的最小值为 12 ．【考点】基本不等式．【分析】直接利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x ＞0，∴．∴f （x ）=+3x ≥=12；当且仅当x=2时取等号．∴f （x ）=+3x 的最小值是12．故答案为：12．15．规定运算=ad﹣bc，若=，则sinθ= ．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】本题属于信息开放题，读懂关系．规定运算=ad﹣bc，建立关系化简计算即可得到答案．【解答】解：由规定运算=ad﹣bc，可知： =，∴，化简： ==sin2θ﹣cos2θ∵⇒；∴故答案为：．16．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为20 （m）．【考点】基本不等式．【分析】设矩形高为y，由三角形相似可求得40=x+y且x＞0，y＞0，x＜40，y＜40，利用基本不等式即可求得答案．【解答】解：设矩形高为y，由三角形相似得： =，且x＞0，y＞0，x＜40，y＜40，⇒40=x+y≥2，仅当x=y=20m时，矩形的面积s=xy取最大值400m2．故答案为：20．三、解答题（共6小题，满分70分）17．在等差数列{an }中，a1+a6=12，a4=7，求an及前n项和Sn．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】由题意知a1+a6=a3+a4=12，由a4=7，知a3=5，所以d=2，an=2n﹣1，a1=1，结合等差数列的前n项和公式求得Sn．【解答】解：∵数列{a n }是等差数列，∴a 1+a 6=a 3+a 4=12，∵a 4=7，∴a 3=5，∴d=a 4﹣a 3=2∴a n =5+（n ﹣3）•2=2n﹣1又a 1=1，∴S n =n+×2=n 2．18．在锐角三角形中，边a 、b 是方程x 2﹣2x+2=0的两根，角A 、B 满足：2sin （A+B ）﹣=0，求角C 的度数，边c 的长度及△ABC 的面积．【考点】解三角形；三角形中的几何计算．【分析】由2sin （A+B ）﹣=0，得到sin （A+B ）的值，根据锐角三角形即可求出A+B 的度数，进而求出角C 的度数，然后由韦达定理，根据已知的方程求出a+b 及ab 的值，利用余弦定理表示出c 2，把cosC 的值代入变形后，将a+b 及ab 的值代入，开方即可求出c 的值，利用三角形的面积公式表示出△ABC 的面积，把ab 及sinC 的值代入即可求出值．【解答】解：由2sin （A+B ）﹣=0，得sin （A+B ）=，∵△ABC 为锐角三角形，∴A+B=120°，C=60°．又∵a 、b 是方程x 2﹣2x+2=0的两根，∴a+b=2，a•b=2，∴c 2=a 2+b 2﹣2a•bcosC=（a+b ）2﹣3ab=12﹣6=6，∴c=，S △ABC =absinC=×2×=．19．解关于x 的不等式[（m+3）x ﹣1]（x+1）＞0（m ∈R ）．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】通过对m 分类讨论，比较出相应的方程的实数根的大小，再利用一元二次不等式的解法即可得出．【解答】解：下面对参数m 进行分类讨论：①当m=﹣3时，原不等式为x+1＞0，∴不等式的解为{x|x ＜﹣1}．②当m ＞﹣3时，原不等式可化为．∵，∴不等式的解为{x|x ＜﹣1或．③当m ＜﹣3时，原不等式可化为．∵，当﹣4＜m ＜﹣3时，原不等式的解集为；当m ＜﹣4时，原不等式的解集为；当m=﹣4时，原不等式无解，即解集为∅．综上述，原不等式的解集情况为：①当m ＜﹣4时，解集为；②当m=﹣4时，无解，即∅；③当﹣4＜m ＜﹣3时，解集为； ④当m=﹣3时，解集为{x|x ＜﹣1}；⑤当m ＞﹣3时，解集为{x|x ＜﹣1或．20．设{a n }为等比数列，T n =na 1+（n ﹣1）a 2…+2a n ﹣1+a n ，已知T 1=1，T 2=4，（1）求数列{a n }的首项和公比；（2）求数列{T n }的通项公式．【考点】等比数列的通项公式；数列递推式．【分析】（1）根据题意，首先设出等比数列的公比为q ，利用题中已知的式子表示出T 1，T 2，又根据T 1=1，T 2=4，进而求出答案．（2）根据等比数列的求和公式推出T n 的通项公式即可．【解答】解：（1）设等比数列{a n }以比为q ，则T 1=a 1，T 2=2a 1+a 2=a 1（2+q ）．∵T 1=1，T 2=4，∴a 1=1，q=2．（2）设S n =a 1+a 2+…+a n ．由（1）知a n =2n ﹣1．∴S n =1+2+…+2n ﹣1=2n ﹣1∴T n =na 1+（n ﹣1）a 2+…+2a n ﹣1+a n=a 1+（a 1+a 2）+…+（a 1+a 2+…+a n ﹣1+a n ）=S 1+S 2+…+S n=（2+1）+（2n ﹣1）+…+（2n ﹣1）=（2+2n +…+2n ）﹣n==2n+1﹣2﹣n21．已知向量=（cos x ，sin x ），=（cos ，﹣sin ），且x ∈[0，]，（1）求•及|+|；（2）若f （x ）=•﹣2λ|+|的最小值是﹣，求实数λ的值．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）由题意利用两个向量的数量积公式求得•，再根据的坐标，求得|+|的值．（2）由（Ⅰ）得 f （x ）=2（cosx ﹣λ）2﹣1﹣2λ2，再结合1≥cosx ≥0可得，分类讨论，利用二次函数的性质，根据f （x ）的最小值是﹣，分别求得实数λ的值，综合可得结论．【解答】解：（1）由题意可得•=cos xcos ﹣sin xsin =cos2x ， =（cos x+cos ，sin x ﹣sin ），∴|+|===2|cosx|．∵x ∈[0，]，∴1≥cosx ≥0，∴|+|=2cosx ．（2）由（Ⅰ）得 f （x ）=•﹣2λ|+|=cos2x ﹣4λcosx=2（cosx ﹣λ）2﹣1﹣2λ2，再结合1≥cosx ≥0可得，当λ＜0时，则cosx=0时，f （x ）取得最小值为﹣1，这与已知矛盾．当0≤λ≤1时，则cosx=λ时，f （x ）取得最小值为﹣1﹣2λ2．当λ＞1时，则cosx=1时，f （x ）取得最小值为1﹣4λ．由已知得1﹣4λ=﹣，λ=，这与λ＞1相矛盾．综上所述，λ=为所求．22．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，常数λ＞0，且λa 1a n =S 1+S n 对一切正整数n 都成立．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设a 1＞0，λ=100，当n 为何值时，数列的前n 项和最大？【考点】数列递推式；数列的函数特性；数列的求和．【分析】（I ）由题意，n=1时，由已知可知a 1（λa 1﹣2）=0，分类讨论：由a 1=0，及a 1≠0，结合数列的和与项的递推公式可求（II ）由a 1＞0且λ=100时，令，则，结合数列的单调性可求和的最大项【解答】解（I ）当n=1时，∴a 1（λa 1﹣2）=0若取a 1=0，则S n =0，a n =S n ﹣S n ﹣1=0∴a n =0（n ≥1）若a 1≠0，则，当n ≥2时，2a n =， 两式相减可得，2a n ﹣2a n ﹣1=a n∴a n =2a n ﹣1，从而可得数列{a n }是等比数列∴a n =a 1•2n ﹣1==综上可得，当a 1=0时，a n =0，当a 1≠0时，（II ）当a 1＞0且λ=100时，令由（I ）可知 ∴{b n }是单调递减的等差数列，公差为﹣lg2∴b 1＞b 2＞…＞b 6=＞0当n ≥7时，∴数列的前6项和最大。
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（本答题共12个小题，每小题5分，共60分）1．设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，A）∩B=（）则（∁UA．{0} B．{﹣3，﹣4} C．{﹣1，﹣2} D．∅2．已知命题p：点P在直线y=2x﹣3上；命题q：点P在直线y=﹣3x+2上，则使命题“p且q”为真命题的一个点P（x，y）是（）A．（0，﹣3）B．（1，2）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）3．设集合A={x|﹣x2﹣x+2＜0}，B={x|2x﹣5＞0}，则集合A与B的关系是（）A．B⊆A B．B⊇A C．B∈A D．A∈B4．下列命题：①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a＞1，则ax2﹣2ax+a+3＞0的解集为R”的逆否命题；④“若x（x≠0）为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中正确的命题是（）A．③④B．①③C．①②D．②④5．已知非空集合M和N，规定M﹣N={x|x∈M且x∉N}，那么M﹣（M﹣N）等于（）A．M∪N B．M∩N C．M D．N6．当x＞0，y＞0， +=1时，x+y的最小值为（）A．10 B．12 C．14 D．167．已知函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，则f（1）+2f′（1）的值是（）A．B．1 C．D．28．已知A={x|x≥k}，B={x|x2﹣x﹣2＞0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则k 的取值范围是（）A．k＜﹣1 B．k≤﹣1 C．k＞2 D．k≥29．设f（x）是可导函数，且=（）A．B．﹣1 C．0 D．﹣210．已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+b）2+c（a≠0）的图象如图所示，则函数f（x）的图象可能是（）A． B．C．D．11．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．1 B．C． D．12．已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣2）=2021，对任意x∈（﹣∞，+∞），都有f'（x）＜2x成立，则不等式f（x）＞x2+2017的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（﹣2，2）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，+∞）二、填空题（本答题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知某物体的运动方程是S=t+t3，则当t=3s时的瞬时速度是m/s．14．已知y=f（x）为R上可导函数，则“f′（0）=0“是“x=0是y=f（x）极值点”的（填“充分不必要条件”或“必要不充分条件”或“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）．15．下列结论中，正确结论的序号为①已知M，N均为正数，则“M＞N”是“log2M＞log2N”的充要条件；②如果命题“p或q”是真命题，“非p”是真命题，则q一定是真命题；③若p为：∃x＞0，x2+2x﹣2≤0，则￢p为：∀x≤0，x2+2x﹣2＞0；④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．16．若实数a，b满足2a+2b=1，则a+b的最大值是．三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其它每小题10分，共70分）17．（1）已知，求曲线g（x）在点（4，2）处的切线方程；（2）已知函数f（x）=x3﹣3x，过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．18．设命题p：A={x|（4x﹣3）2≤1}；命题q：B={x|a≤x≤a+1}，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣1．（1）若不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥t﹣2对一切实数x恒成立，求实数t的取值范围．20．已知函数f（x）=x2﹣（2﹣a）x﹣（2﹣a）lnx．．（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）若f（x）在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围．21．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R．（Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．22．已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若直线x﹣y﹣1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；（Ⅲ）设g（x）=xlnx﹣x2f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）2017-2018学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本答题共12个小题，每小题5分，共60分）1．设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，则（∁UA）∩B=（）A．{0} B．{﹣3，﹣4} C．{﹣1，﹣2} D．∅【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】先计算集合CU A，再计算（CUA）∩B．【解答】解：∵A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，∴CUA={﹣3，﹣4}，∴（CUA）∩B={﹣3，﹣4}．故答案选B．2．已知命题p：点P在直线y=2x﹣3上；命题q：点P在直线y=﹣3x+2上，则使命题“p且q”为真命题的一个点P（x，y）是（）A．（0，﹣3）B．（1，2）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）【考点】2E：复合命题的真假．【分析】根据已知条件便知P点是直线y=2x﹣3和直线y=﹣3x+2的交点，所以解方程组即得点P坐标．【解答】解：若“p且q”为真命题，则：P既在直线y=2x﹣3上，又在y=﹣3x+2上；所以点P是直线y=2x﹣3和y=﹣3x+2的交点；∴解得x=1，y=﹣1；∴P（1，﹣1）．故选C．3．设集合A={x|﹣x2﹣x+2＜0}，B={x|2x﹣5＞0}，则集合A与B的关系是（）A．B⊆A B．B⊇A C．B∈A D．A∈B【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【分析】化解集合A，B，根据集合之间的关系判断即可．【解答】解：集合A={x|﹣x2﹣x+2＜0}={x|x＞1或x＜﹣2}，B={x|2x﹣5＞0}={x|x＞2.5}．∴B⊆A，故选A4．下列命题：①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a＞1，则ax2﹣2ax+a+3＞0的解集为R”的逆否命题；④“若x（x≠0）为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中正确的命题是（）A．③④B．①③C．①②D．②④【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】结合四种命题的定义，及互为逆否的两个命题，真假性相同，分别判断各个结论的真假，可得答案．【解答】解：①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题为“若a2≥b2，则a≥b”为假命题，故错误；②“全等三角形面积相等”的逆命题“面积相等的三角形全等”为假命题，故错误；③若a＞1，则△=4a2﹣4a（a+3）=﹣12a＜0，此时ax2﹣2ax+a+3＞0恒成立，故“若a＞1，则ax2﹣2ax+a+3＞0的解集为R”为真命题，故其逆否命题为真命题，故正确；④“若x（x≠0）为有理数，则x为无理数”为真命题，故其的逆否命题，故正确．故选：A5．已知非空集合M和N，规定M﹣N={x|x∈M且x∉N}，那么M﹣（M﹣N）等于（）A．M∪N B．M∩N C．M D．N【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据题中的新定义判断即可得到结果．【解答】解：根据题意得：M﹣（M﹣N）=M∩N，故选：B．6．当x＞0，y＞0， +=1时，x+y的最小值为（）A．10 B．12 C．14 D．16【考点】7F：基本不等式．【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0， +=1，∴x+y=（x+y）=10+=16，当且仅当y=3x=12时取等号．∴x+y的最小值为16．故选：D．7．已知函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，则f（1）+2f′（1）的值是（）A．B．1 C．D．2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；3T：函数的值．【分析】利用函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，可求f（1）、f′（1）的值，从而可得结论．【解答】解：∵函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，∴f（1）=1，f′（1）=∴f（1）+2f′（1）=2故选D．8．已知A={x|x≥k}，B={x|x2﹣x﹣2＞0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则k 的取值范围是（）A．k＜﹣1 B．k≤﹣1 C．k＞2 D．k≥2【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解不等式可得x＜﹣1，或x＞2，由充要条件的定义可得{x|x≥k}是集合{x|x＜﹣1，或x＞2}的真子集，结合数轴可得答案．【解答】解：解不等式x2﹣x﹣2＞0可得x＜﹣1，或x＞2，要使“x≥k”是“x2﹣x﹣2＞0”的充分不必要条件，则需集合A={x|x≥k}是集合B={x|x＜﹣1，或x＞2}的真子集，故只需k＞2即可，故实数k的取值范围是（2，+∞），故选：C．9．设f（x）是可导函数，且=（）A．B．﹣1 C．0 D．﹣2【考点】6F：极限及其运算．），【分析】由题意可得=﹣2=﹣2f′（x结合已知可求）=2【解答】解：∵ =﹣2=﹣2f′（x0）=﹣1∴f′（x故选B10．已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+b）2+c（a≠0）的图象如图所示，则函数f（x）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【考点】63：导数的运算；3O ：函数的图象．【分析】根据导数和函数的单调性的关系即可判断．【解答】解：由f′（x ）图象可知，函数f （x ）先减，再增，再减，故选：D ．11．若点P 是曲线y=x 2﹣lnx 上任意一点，则点P 到直线y=x ﹣2的最小距离为（ ）A ．1B ．C ．D ．【考点】IT ：点到直线的距离公式．【分析】设出切点坐标，利用导数在切点处的函数值，就是切线的斜率，求出切点，然后再求点P 到直线y=x ﹣2的最小距离．【解答】解：过点P 作y=x ﹣2的平行直线，且与曲线y=x 2﹣lnx 相切，设P （x 0，x 02﹣lnx 0）则有k=y′|x=x 0=2x 0﹣．∴2x 0﹣=1，∴x 0=1或x 0=﹣（舍去）．∴P （1，1），∴d==．故选B ．12．已知函数f （x ）的定义域为R ，f （﹣2）=2021，对任意x ∈（﹣∞，+∞），都有f'（x ）＜2x 成立，则不等式f （x ）＞x 2+2017的解集为（ ）A ．（﹣2，+∞）B ．（﹣2，2）C ．（﹣∞，﹣2）D ．（﹣∞，+∞） 【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g （x ）=f （x ）﹣x 2﹣2017，利用对任意x ∈R ，都有f′（x ）＜2x 成立，即可得出函数g（x）在R上单调性，进而即可解出不等式．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x2﹣2017，则g′（x）=f′（x）﹣2x＜0，∴函数g（x）在R上单调递减，而f（﹣2）=2021，∴g（﹣2）=f（﹣2）﹣（﹣2）2﹣2017=0，∴不等式f（x）＞x2+2017，可化为g（x）＞g（﹣2），∴x＜﹣2，即不等式f（x）＞x2+2017的解集为（﹣∞，﹣2），故选：C．二、填空题（本答题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知某物体的运动方程是S=t+t3，则当t=3s时的瞬时速度是 4 m/s．【考点】61：变化的快慢与变化率．【分析】求出位移的导数；将t=3代入；利用位移的导数值为瞬时速度；求出当t=3s时的瞬时速度．【解答】解：根据题意，S=t+t3，则s′=1+t2将t=3代入得s′（3）=4；故答案为：414．已知y=f（x）为R上可导函数，则“f′（0）=0“是“x=0是y=f（x）极值点”的必要不充分条件（填“充分不必要条件”或“必要不充分条件”或“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】x=0是y=f（x）极值点，可得f′（0）=0；反之不成立，例如函数f（x）=x3，虽然f′（0）=0，但是x=0不是函数f（x）的极值点．【解答】解：x=0是y=f（x）极值点，可得f′（0）=0；反之不成立，例如函数f（x）=x3，f′（x）=3x2，虽然f′（0）=0，但是x=0不是函数f（x）的极值点．∴f′（0）=0“是“x=0是y=f（x）极值点”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分条件．15．下列结论中，正确结论的序号为①②④①已知M，N均为正数，则“M＞N”是“log2M＞log2N”的充要条件；②如果命题“p或q”是真命题，“非p”是真命题，则q一定是真命题；③若p为：∃x＞0，x2+2x﹣2≤0，则￢p为：∀x≤0，x2+2x﹣2＞0；④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据充要条件的定义和对数函数的性质，可判断①；根据复合命题的真假，可判断②；根据特称命题的否定方法，可判断③；运用原命题的逆否命题，可判断④．【解答】解：对于①，由M，N＞0，函数y=log2x在（0，+∞）递增，可得“M＞N”⇔“log2M＞log2N”，故①正确；对于②，如果命题“p或q”是真命题，“非p”是真命题，可得P为假命题，q一定是真命题．故②正确；对于③，p为：∃x＞0，x2+2x﹣2≤0，则￢p为：∀x＞0，x2+2x﹣2＞0．故③不正确；对于④，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．故④正确．故答案为：①②④．16．若实数a，b满足2a+2b=1，则a+b的最大值是﹣2 ．【考点】7F：基本不等式．【分析】由2a+2b=1，得=，从而可求a+b的最大值，注意等号成立的条件．【解答】解：∵2a+2b=1，∴=，即，∴a+b≤﹣2，当且仅当，即a=b=﹣1时取等号，∴a=b=﹣1时，a+b取最大值﹣2．故答案为：﹣2．三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其它每小题10分，共70分）17．（1）已知，求曲线g（x）在点（4，2）处的切线方程；（2）已知函数f（x）=x3﹣3x，过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算g′（4），求出切线方程即可；（2）设出切点为M（x0，y），表示出切线方程，求出切点坐标，从而求出切线方程即可．【解答】解：（1）∵g（x）=，∴g′（x）=，∴g′（4）=，∴曲线g（x）在点（4，2）处的切线方程为y﹣2=（x﹣4），即y=x+1；（2）曲线方程为y=x3﹣3x，点A（0，16）不在曲线上，设切点为M（x0，y），则点M的坐标满足y=x3﹣3x，因f′（x0）=3（x2﹣1），故切线的方程为y﹣y=3（x2﹣1）（x﹣x），将A（0，16）代入切线方程化简得x03=﹣8，解得x=﹣2．所以切点为M（﹣2，﹣2），切线方程为9x﹣y+16=0．18．设命题p：A={x|（4x﹣3）2≤1}；命题q：B={x|a≤x≤a+1}，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由（4x﹣3）2≤1，得≤x≤1，A={x|≤x≤1}．由¬p是¬q的必要不充分条件，得p是q的充分不必要条件，即A B，即可得出．【解答】解：由（4x﹣3）2≤1，得≤x≤1，A={x|≤x≤1}．由¬p是¬q的必要不充分条件，得p是q的充分不必要条件，即A B，∴，∴0≤a≤．∴实数a的取值范围是[0，]．19．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣1．（1）若不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥t﹣2对一切实数x恒成立，求实数t的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）求得不等式f（x）≤2的解集，再根据不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求得实数m的值．（2）由题意可得g（x）=|x﹣2|+|x+3|的最小值大于或等于t﹣2，求得g（x）=|x﹣2|+|x+3|的最小值，可得t的范围．【解答】解：（1）由f（x）≤2得，|x﹣m|≤3，解得m﹣3≤x≤m+3，又已知不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，∴，解得m=2．（2）当m=2时，f（x）=|x﹣2|﹣1，由于f（x）+f（x+5）≥t﹣2对一切实数x恒成立，则|x﹣2|+|x+3|﹣2≥t﹣2对一切实数x恒成立，即|x﹣2|+|x+3|≥t对一切实数x恒成立，设g（x）=|x﹣2|+|x+3|，于是，所以当x＜﹣3时，g（x）＞5；当﹣3≤x≤2时，g（x）=5；当x＞2时，g（x）＞5．综上可得，g（x）的最小值为5，∴t≤5，即t的取值范围为（﹣∞，5]．20．已知函数f（x）=x2﹣（2﹣a）x﹣（2﹣a）lnx．．（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）若f（x）在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，利用导数为0，求解极值点，然后判断求解极值即可．（2）利用导函数的符号，结合基本不等式或函数的导数求解函数的最值，推出结果即可．【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣（2﹣a）x﹣（2﹣a）lnx，x＞0∴，因为a=1，令=0得x=1或x=（舍去）…又因为，当0＜x＜1时，f'（x）＜0；x＞1时，f'（x）＞0所以x=1时，函数f（x）有极小值f（1）=0…（2）若f'（x）＞0，在x＞0上恒成立，则2x2﹣（2﹣a）x﹣（2﹣a）＞0恒成立，∴恒成立…而当x＞0时∵．检验知，a=2时也成立∴a≥2…[或：令，∴，∵x＞0，∴g'（x）＜0﹣﹣﹣﹣﹣所以，函数g（x）在定义域上为减函数所以g（x）＜g（0）=2检验知，a=2时也成立∴a≥2…．21．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R．（Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=5，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由题意可得B⊆A，区间B的端点在集合A中，由此求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=5时，关于x的不等式f（x）＞9，即|x+5|+|x﹣2|＞9，故有①；或②；或③．解①求得x＜﹣6；解②求得x∈∅，解③求得 x＞3．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣6，或 x＞3}．（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）=|x+a|+|x﹣2|≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}={x|﹣1≤x≤2 }，如果A∪B=A，则B⊆A，∴，即，求得﹣1≤a≤0，故实数a的范围为[﹣1，0]．22．已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若直线x﹣y﹣1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；（Ⅲ）设g（x）=xlnx﹣x2f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）先求导函数，直接让导函数大于0求出增区间，导函数小于0求出减区间即可；（Ⅱ）直接利用切线的斜率即为切点处的导数值以及切点是直线与曲线的共同点联立方程即可求实数a的值；（Ⅲ）先求出g（x）的导函数，分情况讨论出函数在区间[1，e]上的单调性，进而求得其在区间[1，e]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为函数f（x）=，∴f′（x）==，f′（x）＞0⇒0＜x＜2，f′（x）＜0⇒x＜0，或x＞2，故函数f（x）的单调增区间为（0，2），单调减区间为（﹣∞，0）和（2，+∞），（Ⅱ）设切点为（x，y），由切线斜率k=1=，⇒x3=﹣ax+2a，①由x﹣y﹣1=x﹣﹣1=0⇒（x2﹣a）（x﹣1）=0⇒x=1，x=±．把x=1代入①得a=1，把x=代入①得a=1，把x=﹣代入①得a=﹣1（舍去），故所求实数a的值为1．（Ⅲ）∵g（x）=xlnx﹣x2f（x）=xlnx﹣a（x﹣1），∴g′（x）=lnx+1﹣a，解lnx+1﹣a=0得x=e a﹣1，故g（x）在区间（e a﹣1，+∞）上递增，在区间（0，e a﹣1）上递减，①当e a﹣1≤1时，即0＜a≤1时，g（x）在区间[1，e]上递增，其最小值为g（1）=0；②当1＜e a﹣1＜e时，即1＜a＜2时，g（x）的最小值为g（e a﹣1）=a﹣e a﹣1；③当e a﹣1≥e，即a≥2时，g（x）在区间[1，e]上递减，其最小值为g（e）=e+a﹣ae．。
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．a 、b 为非零实数，且a ＜b ，则下列命题成立的是（ ）A ．a 2＜b 2B ．＜C ．a 2b ＜ab 2D ．＜2．已知集合A={x|x 2≥1}，，则A ∩（∁R B ）=（ ）A ．（2，+∞）B ．（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D ．[﹣1，0]∪[2，+∞）3．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2=b 2+c 2﹣bc ，bc=2，则△ABC 的面积为（ ）A ．B ．1C ．D ．4．已知数列{a n }中，a 1=3，a n+1=﹣（n ∈N *），能使a n =3的n 可以等于（ ）A ．14B ．15C ．16D ．175．在三角形△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足==，则=（ ）A ．B ．C ．D ．6．在1和16之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积（ ）A ．128B ．±128C ．64D ．±647．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2+a 6+a 10=3，则下列各和数中可确定值的是（ ） A ．S 6 B ．S 11 C ．S 12 D ．S 138．在△ABC 中，A=60°，a 2=bc ，则△ABC 一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形9．已知数列{a n }的前n 项和S n =2n +t （t 是实常数），下列结论正确的是（ ） A ．t 为任意实数，{a n }均是等比数列 B ．当且仅当t=﹣1时，{a n }是等比数列 C ．当且仅当t=0时，{a n }是等比数列 D ．当且仅当t=﹣2时，{a n }是等比数列10．如果不等式＜1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（1，3）B ．（﹣∞，3）C ．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，+∞）11．已知正项等差数列{a n }满足a 1+a 2015=2，则的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．2014D ．201512．不等式2x 2﹣axy+3y 2≥0对于任意x ∈[1，2]及y ∈[1，3]恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤2B ．a ≤2C ．a ≤5D ．a ≤二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．一元二次不等式x 2+ax+b ＞0的解集为x ∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），则一元一次不等式ax+b ＜0的解集为 ．14．已知函数f （x ）=，若使不等式f （x ）＜成立，则x 的取值范围为 ．15．设{a n } 为公比q ＞1的等比数列，若a 2013和a 2014是方程4x 2﹣8x+3=0的两根，则a 2015+a 2016= ．16．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 所对的边，设向量，，且，b 和c 的等差中项为，则△ABC 面积的最大值为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知函数f （x ）=x 2+3x+a（1）当a=﹣2时，求不等式f （x ）＞2的解集（2）若对任意的x ∈[1，+∞），f （x ）＞0恒成立，求实数a 的取值范围．18．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且=2csinA（1）确定角C 的大小；（2）若c=，且△ABC 的面积为，求a+b 的值．19．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，公差d ≠0，S 3=15，已知a 1，a 4，a 13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设bn =a2n，求数列{bn}的前n项和Tn．20．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．（1）求B的值；（2）求2sin2A﹣1+cos（A﹣C）的取值范围．21．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A 1B1C1D1（阴影部分）和环公园人行道组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米．（1）若设休闲区的长A1B1=x米，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S（x）的解析式；（2）要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？22．已知数列{an }的通项为an，前n项和为sn，且an是sn与2的等差中项，数列{bn}中，b1=1，点P（bn ，bn+1）在直线x﹣y+2=0上．（Ⅰ）求数列{an }、{bn}的通项公式an，bn（Ⅱ）设{bn }的前n项和为Bn，试比较与2的大小．（Ⅲ）设Tn =，若对一切正整数n，Tn＜c（c∈Z）恒成立，求c的最小值．2017-2018学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．a、b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（）A．a2＜b2B．＜ C．a2b＜ab2D．＜【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】举例说明A、C、D错误，利用反证法说明B正确．【解答】解：a、b为非零实数，且a＜b．当a=﹣2，b=1时，有a＜b，但a2＞b2，故A错误；若a＜0，b＞0，则＜；若a＜b＜0，假设＜，则ab2＞a2b，即b＞a，假设成立；若b＞a＞0，假设＜，则ab2＞a2b，即b＞a，假设成立．综上，＜，故B正确；当a=﹣2，b=1时，有a＜b，但a2b＞ab2，故C错误；当a=﹣2，b=1时，有a＜b，但，故D错误．故选：B．B）=（）2．已知集合A={x|x2≥1}，，则A∩（∁RA．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．[﹣1，0]∪[2，+∞）【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】分别求解一元二次不等式和分式不等式化简集合A，B，然后利用交、并、补集的混合运算得答案．【解答】解：A={x|x2≥1}={x|x≤﹣1或x≥1}，由，得0＜x ≤2，∴={x|0＜x ≤2}，∴∁R B={x|x ≤0或x ＞2}，∴A ∩（∁R B ）=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）． 故选：C ．3．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2=b 2+c 2﹣bc ，bc=2，则△ABC 的面积为（ ）A ．B ．1C ．D ．【考点】HR ：余弦定理．【分析】利用余弦定理可得A ，再利用三角形面积计算公式即可得出． 【解答】解：△ABC 中，∵a 2=b 2+c 2﹣bc ，∴cosA==，又A ∈（0，π），∴A=，又bc=2，∴△ABC 的面积S=sinA==，故选：D ．4．已知数列{a n }中，a 1=3，a n+1=﹣（n ∈N *），能使a n =3的n 可以等于（ ）A ．14B ．15C ．16D ．17 【考点】8H ：数列递推式．【分析】利用递推关系可得：a n+3=a n ，再利用数列的周期性即可得出．【解答】解：∵a 1=3，a n+1=﹣（n ∈N *），∴a 2=﹣，同理可得：a 3=，a 4=3，…，∴a n+3=a n ， ∴a 16=a 1=3，能使a n =3的n 可以等于16． 故选：C ．5．在三角形△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足==，则=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】HP ：正弦定理．【分析】由题意设a=7k 、b=4k 、c=5k （k ＞0），由余弦定理求出cosA 的值，由正弦定理和二倍角的正弦公式化简所求的式子，可得答案．【解答】解：∵，∴设a=7k 、b=4k 、c=5k ，（k ＞0）在△ABC 中，由余弦定理得cosA==，由正弦定理得===，故选：C ．6．在1和16之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积（ ）A ．128B ．±128C ．64D ．±64 【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列通项公式及其性质即可得出． 【解答】解：设此等比数列为{a n }，公比为q ，a 1=1，a 5=16，∴a 3==4．则a 2a 3a 4==64．故选：C ．7．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2+a 6+a 10=3，则下列各和数中可确定值的是（ ） A ．S 6 B ．S 11 C ．S 12 D ．S 13 【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】由已知条件利用等差数列的通项公式能求出a 6=1，从而利用等差数列的前n 项和公式能求出S11．【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和记为Sn，a2+a6+a10=3，∴3a6=3，解得a6=1，∴．∴各和数S6，S11，S12，S13中可确定值的是S11．故选：B．8．在△ABC中，A=60°，a2=bc，则△ABC一定是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】由题意和余弦定理变形已知式子可得b=c，结合A=60°可判．【解答】解：∵在△ABC中A=60°，a2=bc，∴由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，∴bc=b2+c2﹣bc，即（b﹣c）2=0，∴b=c，结合A=60°可得△ABC一定是等边三角形．故选：D9．已知数列{an }的前n项和Sn=2n+t（t是实常数），下列结论正确的是（）A．t为任意实数，{an}均是等比数列B．当且仅当t=﹣1时，{an}是等比数列C．当且仅当t=0时，{an}是等比数列D．当且仅当t=﹣2时，{an}是等比数列【考点】87：等比数列．【分析】可根据数列{an }的前n项和Sn=2n+t（t是实常数），求出a1，以及n≥2时，an，再观察，t等于多少时，{an}是等比数列即可．【解答】解：∵数列{an }的前n项和Sn=2n+t（t为常数），∴a1=s1=2+t，n≥2时，an =sn﹣sn﹣1=2n+t﹣（2n﹣1+t）=2n﹣2n﹣1=2n﹣1当t=﹣1时，a1=1满足an=2n﹣1故选：B10．如果不等式＜1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（1，3）B ．（﹣∞，3）C ．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，+∞）【考点】3R ：函数恒成立问题．【分析】不等式式＜1对一切实数x 均成立，等价于 2x 2+2（3﹣m ）x+（3﹣m ）＞0对一切实数x 均成立，利用判别式小于0，即可求出实数m 的取值范围．【解答】解：不等式式＜1对一切实数x 均成立，等价于 2x 2+2（3﹣m ）x+（3﹣m ）＞0 对一切实数x 均成立 ∴[2（3﹣m ）]2﹣4×2×（3﹣m ）＜0， 故m 的取值范围为（1，3）． 故选：A ．11．已知正项等差数列{a n }满足a 1+a 2015=2，则的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．2014D ．2015【考点】8F ：等差数列的性质．【分析】正项等差数列{a n }满足a 1+a 2015=2，可得a 1+a 2015=2=a 2+a 2014，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正项等差数列{a n }满足a 1+a 2015=2， ∴a 1+a 2015=2=a 2+a 2014，则=（a 2+a 2014）=≥=2，当且仅当a 2=a 2014=1时取等号． 故选：B ．12．不等式2x 2﹣axy+3y 2≥0对于任意x ∈[1，2]及y ∈[1，3]恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A．a≤2 B．a≤2 C．a≤5 D．a≤【考点】3W：二次函数的性质．【分析】不等式等价变化为a≤=+，则求出函数Z=+的最小值即可．【解答】解：依题意，不等式2x2﹣axy+y2≤0等价为a≤=+，设t=，∵x∈[1，2]及y∈[1，3]，∴≤≤1，即≤≤3，∴≤t≤3，则Z=+=3t+，∵3t+≥2=2，当且仅当3t=，即t=时取等号，故a≤2，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），则一元一次不等式ax+b＜0的解集为．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】由一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），可知：﹣3，1是一元二次方程式x2+ax+b=0的两个实数根，利用根与系数的关系可得a，b．进而解出一元一次不等式ax+b＜0的解集．【解答】解：∵一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），∴﹣3，1是一元二次方程式x2+ax+b=0的两个实数根，∴﹣3+1=﹣a，﹣3×1=b，解得a=2，b=﹣3．∴一元一次不等式ax+b ＜0即2x ﹣3＜0，解得．∴一元一次不等式ax+b ＜0的解集为．故答案为：．14．已知函数f （x ）=，若使不等式f （x ）＜成立，则x 的取值范围为 {x|x＜3} ．【考点】7E ：其他不等式的解法．【分析】根据函数的表达式解关于x ≥2时的不等式f （x ）＜即可．【解答】解：∴f （x ）=，∴x ＜2时，不等式f （x ）＜恒成立，x ≥2时，x ﹣＜，解得：2≤x ＜3， 综上，不等式的解集是：{x|x ＜3}， 故答案为：{x|x ＜3}．15．设{a n } 为公比q ＞1的等比数列，若a 2013和a 2014是方程4x 2﹣8x+3=0的两根，则a 2015+a 2016= 18 ．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】由4x 2﹣8x+3=0，解得x=，．根据{a n } 为公比q ＞1的等比数列，若a 2013和a 2014是方程4x 2﹣8x+3=0的两根，可得a 2013=，a 2014=．q=3．即可得出．【解答】解：由4x 2﹣8x+3=0，解得x=，．∵{a n } 为公比q ＞1的等比数列，若a 2013和a 2014是方程4x 2﹣8x+3=0的两根，∴a 2013=，a 2014=，∴q=3． ∴a 2015+a 2016=q 2（a 2013+a 2014）=18． 故答案为：18．16．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量，，且，b和c的等差中项为，则△ABC面积的最大值为．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】根据，利用向量的性质建立关系与余弦定理结合可得A的大小．b和c的等差中项为，根据等差中项性质，可得b+c=1．△ABC面积S=bcsinA，利用基本不等式可得最大值．【解答】解：向量，，∵，∴b（b﹣c）+（c﹣a）（c+a）=0．得：b2﹣bc=﹣c2+a2．即﹣a2+b2+c2=bc由余弦定理：b2+c2﹣a2=2bccosA可是：bc=2bccosA．∴cosA=．∵0＜A＜π∴A=又b和c的等差中项为，根据等差中项性质，可得b+c=1．∴b+c，（当且仅当b=c时取等号）可得：bc≤．则△ABC面积S=bcsinA≤=．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=x2+3x+a（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＞2的解集（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】3W：二次函数的性质；74：一元二次不等式的解法．【分析】（1）直接利用二次不等式转化求解即可．（2）利用函数恒成立，分离变量，利用函数的最值求解即可．【解答】解：（1）当a=﹣2时，不等式f（x）＞2可化为x2+3x﹣4＞0，解得{x|x＜﹣4或x＞1} …（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，则a＞﹣x2﹣3x在x∈[1，+∞）恒成立，设g（x）=﹣x2﹣3x则g（x）在区间x∈[1，+∞）上为减函数，当x=1时g（x）取最大值为﹣4，∴a得取值范围为{a|a＞﹣4} …．18．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【考点】HX：解三角形．【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC，进而求得C．（2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b的值．【解答】解：（1）∵=2csinA∴正弦定理得，∵A锐角，∴sinA＞0，∴，又∵C锐角，∴（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC即7=a2+b2﹣ab，又由△ABC的面积得．即ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25由于a+b为正，所以a+b=5．19．设等差数列{an }的前n项和为Sn，n∈N*，公差d≠0，S3=15，已知a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn =a2n，求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）运用等比数列的性质和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）设bn =a2n=2n+1+1，运用分组求和的方法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到Tn．【解答】解：（I）依题意，a1，a4，a13成等比数列．即有a42=a1a13，则，解得，因此an =a1+（n﹣1）d=3+2（n﹣1）=2n+1，即an=2n+1．（Ⅱ）依题意，．T n =b1+b2+…+bn=（22+1）+（23+1）+…+（2n+1+1），=22+23+…+2n+1+n==2n+2+n﹣4．20．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．（1）求B的值；（2）求2sin2A﹣1+cos（A﹣C）的取值范围．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（1）由于acosC，bcosB，ccosA成等差数列，可得2bcosB=acosC+ccosA，再利用正弦定理、和差化积、诱导公式等即可得出．（2）由，可得A ﹣C=2A ﹣，再利用倍角公式即可化为2sin 2A ﹣1+cos （A ﹣C ）=，由于，可得＜π，即可得出．【解答】解：（1）∵acosC ，bcosB ，ccosA 成等差数列，∴2bcosB=acosC+ccosA ，由正弦定理可得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin （A+C ）=sinB ，∵B ∈（0，π），sinB ≠0，∴cosB=，B=．（2）∵，∴A ﹣C=2A ﹣，∴=，∵，∴＜π，∴＜≤1，∴2sin 2A ﹣1+cos （A ﹣C ）的取值范．21．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形的休闲区A 1B 1C 1D 1（阴影部分）和环公园人行道组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米．（1）若设休闲区的长A 1B 1=x 米，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S （x ）的解析式； （2）要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？【考点】7G ：基本不等式在最值问题中的应用；5C ：根据实际问题选择函数类型．【分析】（1）利用休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4000平方米，表示出，进而可得公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S （x ）的解析式；（2）利用基本不等式确定公园所占最小面积，即可得到结论．【解答】解：（1）由A 1B 1=x 米，知米∴=（2）当且仅当，即x=100时取等号 ∴要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长为100米、宽为40米．22．已知数列{a n }的通项为a n ，前n 项和为s n ，且a n 是s n 与2的等差中项，数列{b n }中，b 1=1，点P （b n ，b n+1）在直线x ﹣y+2=0上． （Ⅰ）求数列{a n }、{b n }的通项公式a n ，b n（Ⅱ）设{b n }的前n 项和为B n ，试比较与2的大小．（Ⅲ）设T n =，若对一切正整数n ，T n ＜c （c ∈Z ）恒成立，求c 的最小值．【考点】8K ：数列与不等式的综合；8E ：数列的求和；8I ：数列与函数的综合．【分析】（Ⅰ）利用已知条件得出数列的通项和前n 项和之间的等式关系，再结合二者间的基本关系，得出数列{a n }的通项公式，根据{b n }的相邻两项满足的关系得出递推关系，进一步求出其通项公式；（Ⅱ）利用放缩法转化各项是解决该问题的关键，将所求的各项放缩转化为能求和的一个数列的各项估计其和，进而达到比较大小的目的；（Ⅲ）利用错位相减法进行求解T n 是解决本题的关键，然后对相应的和式进行估计加以解决．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得2a n =s n+2， 当n=1时，a 1=2，当n ≥2时，有2a n ﹣1=s n ﹣1+2，两式相减，整理得a n =2a n ﹣1即数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，故a n =2n ．点P （b n ，b n+1）在直线x ﹣y+2=0上得出b n ﹣b n+1+2=0，即b n+1﹣b n =2， 即数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列， 因此b n =2n ﹣1．（Ⅱ）B=1+3+5+…+（2n﹣1）=n2n∴=．=①（Ⅲ）Tn②①﹣②得∴又∴满足条件Tn＜c的最小值整数c=3．。
精品2017-2018学年高一数学下学期期中试题(含解析)
大庆铁人中学高一学年下学期期中考试数学试题一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题 5分，共60 分。
）1. 下列说法正确的是（）A. 若，则B. 若C. 若D. 若【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性质逐一判断每一个选项的真假.【详解】对于选项A,举例a=-2,b=1,但是，所以该选项错误；对于选项B,举例a=-2，c=-1,b=-1,满足，但是a＜b,所以该选项错误；对于选项C,举例a=-1,b=0,k=3,显然，所以该选项错误；对于选项D,由题得,所以.所以该选项正确.故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查不等式的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)做类似的题目，可以利用不等式的性质证明，也可以举反例.2. 等差数列的前n项和为，若（）A. 11B. 9C. 13D. 15【答案】C【解析】【分析】先根据已知计算出，再利用等差数列的通项求.【详解】由题得.故答案为：C【点睛】(1)本题主要考查等差数列的前n项和，考查等差数列的通项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本计算能力.(2) 等差数列的前项和公式：一般已知时，用公式，已知时，用公式3. 已知四棱锥P-ABCD（图1）的三视图如图2所示，为正三角形，PA为四棱锥P-ABCD的高，俯视图是直角梯形，则四棱锥P-ABCD的体积（）...........................A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先计算出AB,PA的长度，再求四棱锥P-ABCD的体积.【详解】由题得,所以四棱锥P-ABCD的体积为，故答案为：B【点睛】（1）本题主要考查棱锥体积的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)求边和角，一般要解三角形.4. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．若则A=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可得解．【详解】sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∵b+a（sinC﹣cosC）=0，可得：sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0，∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1，∵＜A＜π，∴A=．故答案为：C【点睛】本题主要考查正弦定理和和角的正弦公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本计算能力.5. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的侧面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出圆柱的底面圆的半径，再求圆柱的侧面积.【详解】由题得圆柱的底面圆的半径为，所以圆柱的侧面积为.故答案为：C【点睛】（1）本题主要考查球的内接圆柱问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象观察能力.(2)本题解题的关键是求出圆柱的底面圆的半径.6. 设x，y满足约束条件，则的最小值是（）A. -15B. -9C. 9D. 1【答案】D【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，再通过数形结合分析得到的最小值.【详解】不等式组对应的可行域如下图所示，因为z=2x+y,所以y=-2x+z,当直线经过点A时，直线的纵截距z最小，解方程组得A(0,1),所以z最小=2×0+1=1，故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查线性规划，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2) 解答线性规划时，要加强理解，不是纵截距最小，就最小，要看函数的解析式，如：,直线的纵截距为,所以纵截距最小时，最大.7. 一个直角梯形的一个底角为，下底长为上底长的倍，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的旋转体体积为，则该直角梯形的上底长为（）A. 2B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意可知，这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱的体积．再根据题目中的条件求解即可．【详解】如图，梯形ABCD，AB∥CD，∠A=90°，∠B=45°，绕AB边旋转一周后形成一圆柱和一圆锥的组合体．设CD=x，AB=，AD=x．∴旋转体体积V=S圆柱+S圆锥=.故答案为：A【点睛】本题主要考查圆柱和圆锥体积，考查组合体的体积，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力.8. 已知等比数列的各项都为正数，且为与的等差中项，则（）A. 14B. 18C. 16D. 20【答案】B【解析】【分析】根据等差中项的定义求出a6的值，结合对数的运算法则以及等比数列的运算性质进行化简即可．【详解】∵为与的等差中项,∴2a6=+=8，即a6=4，在正项等比数列中，log2a2+log2a3+…log2a10=log2（a2•a3…a9•a10）=log2（a6）9=9log24=9×2=18，故答案为：B【点睛】（1）本题主要考查等差中项，考查等比数列的性质和对数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本计算能力.(2) 等比数列中，如果,则,特殊地，时，则，是的等比中项.9. 已知函数的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值是（）A. 9B. 4C.D. 8【答案】C【解析】【分析】先求出定点A的坐标，再代入直线的方程得到m+n=2,再利用基本不等式求最小值.【详解】由题得A(-2,-2),所以-2m-2n+4=0,所以m+n=2,所以=.当且仅当时取到最小值.故答案为：C【点睛】(1)本题主要考查对数函数的定点问题，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 本题的解题关键是常量代换，即把化成，再利用基本不等式求函数的最小值. 利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.10. 不等式的解集为（-4,1），则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据不等式ax2+bx+c＞0的解集求得a、b、c的关系，代入不等式b（x2+1）﹣a（x+3）+c＞0中，化简并求出该不等式的解集可得答案．【详解】不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣4，1），则不等式对应方程的实数根为﹣4和1，且a＜0；由根与系数的关系知，，∴，∴不等式b（x2+1）﹣a（x+3）+c＞0化为3a（x2+1）﹣a（x+3）﹣4a＞0，即3（x2+1）﹣（x+3）﹣4＜0，解得﹣1＜x＜，∴该不等式的解集为（﹣1，）．故答案为：B【点睛】（1）本题主要考查含参的一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2)解题的关键是由根与系数的关系知，得到.11. 在锐角中，A、B、C分别为三边a,b,c所对的角。
黑龙江省哈尔滨市第六中学17-18学年度高一下学期期中(5月)考试——数学(数学)
黑龙江省哈尔滨市第六中学 2017—2018学年度下学期期中考试高一数学试题考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整,字迹清楚； （3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若R,a b c a b ∈>、、，则下列不等式成立的是 ( )A. B. C. D. 2．已知非零向量满足，，则向量与的夹角大小为（ ） A ． B ． C. D ． 3.已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则（ ）A. B.8 C.16 D. 6 4.已知数列的前项和为114710(1)(32)n n S n -=-+-++--，则（ ）A. B. C. D.5. 已知是平面上四个不共线的点，若0)()2(=-⋅-+， 则的形状是（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形 6.已知数列满足，)()21(1*+∈=⋅N n a a n n n ，则（ ）A ．B ．C ．D ．7. 向量的夹角为，，，则的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．8. 设是平面内两个不共线的向量，)0,0(,,)2(2121>>-=+-=b a e e b AC e e a AB .若三点共线，则的最小值（ ）A ．B ．C ．D ． 9. 如果数列中，满足是首项为1公比为3的等比数列，则等于（ ） A ． B. C. D. 10.数列是等比数列，若，，设12231n n n S a a a a a a +=+++，若对任意恒成立，则的取值范围为（ ） A ． B ．或 C ． D ．或11. 在平行四边形中，，，=，则是（ ） A ．有最大值 B ．有最小值 C ．定值 D ．有最小值 12．已知是等差数列的前项和，且，给出下列五个命题：①；②③ 使的最大值为12；④数列中的最大项为；⑤，其中正确命题的个数 是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．1第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题,每题5分.） 13. 等比数列中，，，则.14. 已知则的最小值是_____________.15.在直角梯形中，，，，，是边（包括端点）上的动点，则的最小值.16.已知数列满足()1211-=-++n a a n nn ，为其前项和，则______________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题共10分）等比数列中，， （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18．（本小题共12分）解关于的不等式：19．（本小题共12分）在中，角所对的边分别为， 若(sin ,1cos2)m B B =-，， （1）求证：成等差数列； （2）若，求的值．20．（本小题共12分）已知函数2()2)(0)f x x =+≥，数列满足：，，数列满足：321)23nb b b b n N n*++++=∈ （1）求证数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式和它的前项和21.（本小题共12分）已知向量，2(3sin,cos )22x xn =，函数． （1）若，，求的值；（2）在△中，角，，的对边分别是，， ，且满足，， 求的取值范围．22.（本小题共12分）已知各项都是正数的数列的前项和为，， （1） 求数列的通项公式； （2） 设数列满足：，，求数列的前项和 （3） 设n an n n c 2)1(31⋅-+=-λ，若是递增数列，求实数的取值范围.2017届高一下学期期中考试数学试题参考答案13、；14、4；15.、；16、820三、解答题：17.解：（1）（2）18.）时，解集为时，解集为时，解集为时，解集为时，解集为19．解：（1）（2）20．解：（1）是以3为首项，以3为公比的等比数列，（2），，符合上式，（3）21．解：（1）（2）22．解：（1）时，是以为首项，为公差的等差数列（2），（3）。
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黑龙江省哈尔滨道外区2017-2018学年下学期期中考试高一数学试卷一、选择题1．化简﹣+﹣得（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知{a n }为等差数列，a 2+a 8=12，则a 5等于（ ） A ．4B ．5C ．6D ．73．若a 、b 、c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式成立的是（ ）A ．B ．a 2＞b 2C ．＞D ．a|c|＞b|c|4．已知平面向量=（3，1），=（x ，﹣3），且⊥，则x=（ ） A ．﹣3 B ．﹣1 C ．1 D ．35．在数列{a n }中，若，则a 3=（ ）A ．1B ．C ．2D ．1.56．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=，S 4=20，则S 6=（ ） A ．16 B ．24 C ．36 D ．487．已知向量、满足||=1，||=4，且•=2，则与夹角为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知△ABC 满足c 2﹣a 2+ba ﹣b 2=0，则角C 的大小为（ ）A ．B ．C ．D ．9．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1=2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n =（ ）A ．B ．C ．D ．n 2+n10．已知等差数列{a n }中，a 2=6，a 5=15，若b n =a 2n ，则数列{b n }的前5项和等于（ ） A ．30 B ．45 C ．90 D ．18611．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且c=2a ，则cosB=（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知{an }为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（）A．21 B．20 C．19 D．18二、填空题13．（4分）不等式 x2﹣3x﹣4＞0的解集为．14．（4分）已知等比数列{an }中，a10•a11=2，则a1•a2…•a20的值为．15．（4分）已知等差数列{an }中，a32+a82+2a3a8=9，且an＜0，则S10为．16．（4分）在△ABC中，A=60°，c=2，且，则边a= ．三、解答题（共3道大题，共24分）17．（8分）平面内给定两个向量（1）求；（2）若，求实数k的值．18．（8分）等差数列{an }的前n项和记为Sn．已知a10=30，a20=50．（Ⅰ）求通项an；（Ⅱ）若Sn=242，求n．[选做题]19．（8分）△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若且△ABC的面积为，求b+c的值．[选做题]20．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bcosA=asinB．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．黑龙江省哈尔滨道外区2017-2018学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．化简﹣+﹣得（）A．B．C．D．【考点】9B：向量加减混合运算及其几何意义．【分析】本题考查的知识点是向量加减混合运算及其几何意义，根据向量加法及减法的三角形法则，我们易得﹣+﹣的值．【解答】解：﹣+﹣=﹣﹣=﹣=故选D【点评】向量加法的三角形法则，可理解为“首尾相接”，向量减法的三角形法则，可理解为“同起点，连终点，方向指被减．”或是“同终点，连起点，方向指向减．”2．已知{an }为等差数列，a2+a8=12，则a5等于（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】83：等差数列．【分析】将a2+a8用a1和d表示，再将a5用a1和d表示，从中寻找关系解决，或结合已知，根据等差数列的性质a2+a8=2a5求解．【解答】解：解法1：∵{an }为等差数列，设首项为a1，公差为d，∴a2+a8=a1+d+a1+7d=2a1+8d=12；∴a1+4d=6；∴a5=a1+4d=6．解法2：∵a2+a8=2a5，a2+a8=12，∴2a5=12，∴a5=6，故选C ．【点评】解法1用到了基本量a 1与d ，还用到了整体代入思想；解法2应用了等差数列的性质：{a n }为等差数列，当m+n=p+q （m ，n ，p ，q ∈N +）时，a m +a n =a p +a q ．特例：若m+n=2p （m ，n ，p ∈N +），则a m +a n =2a p ．3．若a 、b 、c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式成立的是（ ）A ．B ．a 2＞b 2C ．＞D ．a|c|＞b|c|【考点】72：不等式比较大小．【分析】通过举反例，可得A 、B 、D 不正确；利用不等式的基本性质，可得C 正确，从而得出结论．【解答】解：∵a ＞b ，不妨令a=﹣2、b=﹣3，不成立，a 2＞b 2不成立；故排除A 、B ；当c=0时，a|c|＞b|c|不成立，故排除D ．由于＞＞0，a ＞b ，∴＞，故C 正确，故选：C ．【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用，通过举反例来说明某个结论不正确，是一种比较有效的方法，属于基础题．4．已知平面向量=（3，1），=（x ，﹣3），且⊥，则x=（ ） A ．﹣3 B ．﹣1 C ．1D ．3【考点】9T ：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据题意，⊥⇒=0，将向量坐标代入可得关系式，解可得答案．【解答】解：根据题意，⊥⇒=0，将向量坐标代入可得，3x+1×（﹣3）=0， 解可得，x=1， 故选：C ．【点评】本题向量数量积的应用，判断向量垂直，简单题，仔细计算即可．5．在数列{a n }中，若，则a 3=（ ）A ．1B ．C ．2D ．1.5【考点】8H ：数列递推式．【分析】利用递推关系式即可求出． 【解答】解：由题意可得：=1+=2，=1+==1.5．故选D ．【点评】正确理解递推关系是解题的关键．6．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=，S 4=20，则S 6=（ ） A ．16 B ．24 C ．36 D ．48 【考点】85：等差数列的前n 项和．【分析】结合已知条件，利用等差数列的前n 项和公式列出关于d 的方程，解出d ，代入公式，即可求得s 6．【解答】解：∵，S 4=20，∴S 4=2+6d=20， ∴d=3，∴S 6=3+15d=48． 故选D ．【点评】本题考查了等差数列的前n 项和公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用．7．已知向量、满足||=1，||=4，且•=2，则与夹角为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】9P ：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，用数量积列出等式，变化出夹角的余弦表示式，代入给出的数值，求出余弦值，注意向量夹角的范围，求出适合的角．【解答】解：∵向量a、b满足，且，设与的夹角为θ，则cosθ==，∵θ∈【0π】，∴θ=，故选C．【点评】两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，夹角、模长、数量积可做到知二求一，数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直8．已知△ABC满足c2﹣a2+ba﹣b2=0，则角C的大小为（）A．B．C．D．【考点】HR：余弦定理．【分析】由已知等式，化简得ab=a2+b2﹣c2，再用余弦定理解出cosC=，结合C∈（0，π）即可算出C的大小．【解答】解：∵c2﹣a2+ba﹣b2=0，可得ab=a2+b2﹣c2，∴由余弦定理，得cosC==∵C∈（0，π），∴C=故选：A【点评】本题给出三角形边之间的平方关系，求角C的大小．着重考查了利用余弦定理解三角形的知识，属于基础题．9．设{an }是公差不为0的等差数列，a1=2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn=（）A． B． C． D．n2+n【考点】85：等差数列的前n项和；8G：等比数列的性质．【分析】设数列{an}的公差为d，由题意得（2+2d）2=2•（2+5d），解得或d=0（舍去），由此可求出数列{an}的前n项和．【解答】解：设数列{an}的公差为d，则根据题意得（2+2d）2=2•（2+5d），解得或d=0（舍去），所以数列{an}的前n项和．故选A．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．10．已知等差数列{an }中，a2=6，a5=15，若bn=a2n，则数列{bn}的前5项和等于（）A．30 B．45 C．90 D．186【考点】83：等差数列．【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解出a1，d，可得an ，进而得到bn，然后利用前n项和公式求解即可．【解答】解：设{an }的公差为d，首项为a1，由题意得，解得；∴an=3n，∴bn =a2n=6n，且b1=6，公差为6，∴S5=5×6+=90．故选C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，熟练应用公式是解题的关键．11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C． D．【考点】HR：余弦定理；87：等比数列．【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选B．【点评】本题考查余弦定理的运用，要牢记余弦定理的两种形式，并能熟练应用．12．已知{an }为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（）A．21 B．20 C．19 D．18【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一条件．【解答】解：设{an}的公差为d，由题意得a 1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①a 2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②由①②联立得a1=39，d=﹣2，∴Sn=39n+×（﹣2）=﹣n2+40n=﹣（n﹣20）2+400，故当n=20时，Sn达到最大值400．故选：B．【点评】求等差数列前n项和的最值问题可以转化为利用二次函数的性质求最值问题，但注意n取正整数这一条件．二、填空题13．不等式 x2﹣3x﹣4＞0的解集为{x|x＜﹣1或x＞4} ．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】把不等式化为（x+1）（x﹣4）＞0，求得不等式的解集即可．【解答】解：不等式 x2﹣3x﹣4＞0可化为（x+1）（x﹣4）＞0，解得x＜﹣1或x＞4，∴该不等式的解集为{x|x ＜﹣1或x ＞4}． 故答案为：{x|x ＜﹣1或x ＞4}．【点评】本题考查了求一元二次不等式的解集问题，是基础题．14．已知等比数列{a n }中，a 10•a 11=2，则a 1•a 2…•a 20的值为 1024 ． 【考点】85：等差数列的前n 项和；88：等比数列的通项公式．【分析】由等比数列的性质可得a 1•a 20=a 2•a 19=a 3•a 18=…a 10•a 11=2，代入计算即可． 【解答】解：由等比数列的性质可得a 1•a 20=a 2•a 19=a 3•a 18=…a 10•a 11=2， 故a 1•a 2…•a 20=（a 10•a 11）10=210=1024 故答案为：1024【点评】本题考查等比数列的性质，得出下标和相等的两项成绩相等是解决问题的关键，属基础题．15．已知等差数列{a n }中，a 32+a 82+2a 3a 8=9，且a n ＜0，则S 10为 ﹣15 ． 【考点】85：等差数列的前n 项和．【分析】由题意可得a 3+a 8=﹣3，再由等差数列的求和公式和性质可得S 10=5（a 3+a 8），代值计算可得．【解答】解：∵等差数列{a n }中a 32+a 82+2a 3a 8=9， ∴（a 3+a 8）2=9，又∵a n ＜0，∴a 3+a 8=﹣3，∴S 10==5（a 1+a 10）=5（a 3+a 8）=﹣15故答案为：﹣15【点评】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，属基础题．16．在△ABC 中，A=60°，c=2，且，则边a=．【考点】HP ：正弦定理．【分析】先根据三角形的面积公式求出b 的值，再根据余弦定理即可求出．【解答】解：∵A=60°，c=2，且S △ABC =，∴S△ABC=bcsinA=×2b×=，解得b=1，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=1+4﹣4×=3．∴a=，故答案为：．【点评】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，考查了学生的运算能力，属于基础题．三、解答题（共3道大题，共24分）17．平面内给定两个向量（1）求；（2）若，求实数k的值．【考点】93：向量的模；96：平行向量与共线向量；9J：平面向量的坐标运算．【分析】（1）利用向量的运算法则和模的计算公式即可得出．（2）利用向量共线定理即可得出．【解答】解：（1）由条件知：，故．（2），．∵，∴（3﹣k）•0﹣7（1+2k）=0，解得．【点评】熟练掌握向量的运算法则和模的计算公式、向量共线定理是解题的关键．18．等差数列{an }的前n项和记为Sn．已知a10=30，a20=50．（Ⅰ）求通项an；（Ⅱ）若Sn=242，求n．【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【分析】（1）利用等差数列的通项公式，根据a10和a20的值建立方程组，求得a1和d，则通项an可得．（2）把等差数列的求和公式代入Sn=242进而求得n．【解答】解：（Ⅰ）由an =a1+（n﹣1）d，a10=30，a20=50，得方程组解得a1=12，d=2．所以an=2n+10．（Ⅱ）由得方程．解得n=11或n=﹣22（舍去）．【点评】本小题主要考查等差数列的通项公式、求和公式，考查运算能力．[选做题]19．△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若且△ABC的面积为，求b+c的值．【考点】HR：余弦定理；GS：二倍角的正弦．【分析】（1）由，结合向量平行的坐标表示可得关于A的三角关系式，然后利用二倍角公式对已知式子进行化简可求tanA，进而可求A（2）由三角形的面积公式S=可求bc，然后由余弦定理可得，可求b+c【解答】解：（1）∵∴…（2分）∴…（4分）∴又A∈（0，π）∴…（6分）（2）∵…（8分）∴bc=6…（9分）由余弦定理得：…（10分）⇒（b+c）2=7+3bc=25…（11分）∴b+c=5…（12分）【点评】本题主要考查了向量平行的坐标表示的应用、二倍角公式及同角基本关系的应用，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用．[选做题]20．（2017春•南岗区校级期中）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bcosA=asinB．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知条件，通过三角形内角求解A的大小即可．（Ⅱ）利用余弦定理可求c的值，通过三角形面积公式即可得解．【解答】解：（Ⅰ）asinB=bcosA，由正弦定理可得sinAsinB=sinBcosA，∵B是三角形内角，∴sinB≠0，∴tanA=，A是三角形内角，∴A=．（Ⅱ）∵a=，b=2，A=．∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：7=4+c2﹣2×，整理可得：c2﹣2c﹣3=0，解得：c=3或﹣1（舍去），∴S=bcsinA==．△ABC【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．。