2021年高考数学一轮复习第八章立体几何考点规范练38空间点直线平面之间的位置关系文新人教B版
2021高考数学(理)一轮复习过关讲义《8.3空间点、直线、平面之间的位置关系》
1．四个公理
公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
2．直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类
∵EF∥AC，EH∥BD，且 EF＝1AC，EH＝1BD，
2
2
∴AC＝BD 且 AC⊥BD.
题组三 易错自纠
4．α是一个平面，m，n 是两条直线，A 是一个点，若 m⊄α，n⊂α，且 A∈m，A∈α，则 m，
n 的位置关系不可能是( )
A．垂直
B．相交
C．异面
D．平行
答案 D
解析 依题意，m∩α＝A，n⊂α，
同理可知，点 C 也在γ与β的交线上． 6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段 AB，CD，EF，GH 在原正方体中互 为异面的对数为______．
答案 3 解析 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则 AB，CD，EF 和 GH 在原正方 体中，显然 AB 与 CD，EF 与 GH，AB 与 GH 都是异面直线，而 AB 与 EF 相交，CD 与 GH 相交，CD 与 EF 平行．故互为异面的直线有且只有 3 对．
平行直线 共面直线
相交直线
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
(2)异面直线所成的角
①定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′
所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)．
②范围：
0，π 2
2021版高考文科数学(人教A版)一轮复习教师用书：第8章 第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系一、知识梳理 1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2． [注意] 两直线垂直有两种情况——异面垂直和相交垂直． (3)等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)空间中直线和平面的位置关系1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．二、习题改编1．(必修2P43练习T1改编)下列命题中正确的是()A．过三点确定一个平面B．四边形是平面图形C．三条直线两两相交则确定一个平面D．两个相交平面把空间分成四个区域答案：D2．(必修2P49练习题)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则下列结论成立的是() A．α内的所有直线与a异面B．α内不存在与a平行的直线C．α内存在唯一的直线与a平行D．α内的直线与a都相交答案：B一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若P∈α∩β且l是α，β的交线，则P∈l.()(2)三点A，B，C确定一个平面．()(3)若直线a∩b＝A，则直线a与b能够确定一个平面．()(4)若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α.()(5)分别在两个平面内的两条直线是异面直线．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)√(5)×二、易错纠偏常见误区(1)对异面直线的概念理解有误；(2)对等角定理条件认识不清致误；(3)对平面的性质掌握不熟练，应用不灵活．1．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线详细分析：选C.假设c∥b，又因为c∥a，所以a∥b，这与a，b是异面直线矛盾，故c与b不可能平行．2．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是()A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行详细分析：选D.两角相等，角的一边平行且方向相同，另一边不一定平行，故选D.3．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为．详细分析：EF与正方体左、右两侧面均平行．所以与EF相交的平面有4个．答案：4平面的基本性质(典例迁移)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：E，C，D1，F四点共面．【证明】如图所示，连接CD1，EF，A1B，因为E，F分别是AB和AA1的中点，所以EF∥A1B且EF＝12A1B.又因为A1D1═∥BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所以EF与CD1确定一个平面α，所以E，F，C，D1∈α，即E，C，D1，F四点共面．【迁移探究】 (变问法)若本例条件不变，如何证明“CE ，D 1F ，DA 交于一点”？证明：如图，由本例知EF ∥CD 1，且EF ＝12CD 1，所以四边形CD 1FE 是梯形，所以CE 与D 1F 必相交，设交点为P ， 则P ∈CE ，且P ∈D 1F ， 又CE ⊂平面ABCD ， 且D 1F ⊂平面A 1ADD 1， 所以P ∈平面ABCD ， 且P ∈平面A 1ADD 1.又平面ABCD ∩平面A 1ADD 1＝AD ，所以P ∈AD ， 所以CE ，D 1F ，DA 三线交于一点．共面、共线、共点问题的证明方法(1)证明点或线共面，①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．(2)证明点共线，①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定的直线上．(3)证明线共点，先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．[提醒]点共线、线共点等都是应用公理3，证明点为两平面的公共点，即证明点在交线上．如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：P ，A ，C 三点共线． 证明：(1)因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD . 在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12，所以GH ∥BD ，所以EF ∥GH .所以E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ， 所以P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC . 所以P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点． 又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ， 所以P ∈AC ，所以P ，A ，C 三点共线．空间两直线的位置关系(师生共研)(2019·高考全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线如图，取CD的中点F，连接EF，EB，BD，FN，因为△CDE是正三角形，所以EF⊥CD.设CD＝2，则EF＝ 3.因为点N是正方形ABCD的中心，所以BD＝22，NF＝1，BC⊥CD.因为平面ECD⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD，BC⊥平面ECD，所以EF⊥NF，BC ⊥EC，所以在Rt△EFN中，EN＝2，在Rt△BCE中，EB＝22，所以在等腰三角形BDE中，BM＝7，所以BM≠EN.易知BM，EN是相交直线．故选B.【答案】 B1．已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则()A．m与n异面B．m与n相交C．m与n平行D．m与n异面、相交、平行均有可能详细分析：选D.在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A，B 错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误．故选D.2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论是(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．详细分析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误．答案：③④异面直线所成的角(师生共研)(1)(2020·成都第一次诊断性检测)在各棱长均相等的直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知M是棱BB1的中点，N是棱AC的中点，则异面直线A1M与BN所成角的正切值为()A. 3 B．1C.63D．22(2)四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD，AC所成的角为60°，且BD ＝AC＝1，则EF的长为．(1)如图，取AA 1的中点P ，连接PN ，PB ，则由直三棱柱的性质可知A 1M ∥PB ，则∠PBN 为异面直线A 1M 与BN 所成的角(或其补角)．设三棱柱的棱长为2，则PN ＝2，PB ＝5，BN ＝3，所以PN 2＋BN 2＝PB 2，所以∠PNB ＝90°，在Rt △PBN 中，tan ∠PBN ＝PN BN ＝23＝63，故选C.(2)如图，取BC 的中点O ，连接OE ，OF ，因为OE ∥AC ，OF ∥BD ，所以OE 与OF 所成的锐角(或直角)即为AC 与BD 所成的角，而AC ，BD 所成角为60°，所以∠EOF ＝60°或∠EOF ＝120°.当∠EOF ＝60°时，EF ＝OE ＝OF ＝12.当∠EOF ＝120°时，取EF 的中点M ，则OM ⊥EF ，EF ＝2EM ＝2×34＝32. 【答案】 (1)C (2)12或32平移法求异面直线所成角的步骤具体步骤如下：1．(2020·广东省七校联考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AC与A1B所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°详细分析：选C.如图，连接CD1，AD1则A1B∥CD1，所以∠ACD1是异面直线AC与A1B 所成的角或其补角．易知△ACD1是等边三角形．所以∠ACD1＝60°，所以异面直线AC与A1B所成的角为60°.故选C.2．(2020·济南市学习质量评估)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC，AD的中点，将四边形CDFE沿EF翻折，使得平面CDFE⊥平面ABEF，则异面直线BD与CF 所成角的余弦值为．详细分析：如图，连接DE交FC于点O，取BE 的中点G ，连接OG ，CG ， 则OG ∥BD 且OG ＝12BD ，所以∠COG 为异面直线BD 与CF 所成的角或其补角． 设正方形ABCD 的边长为2， 则CE ＝BE ＝1，CF ＝DE ＝CD 2＋CE 2＝5，所以CO ＝12CF ＝52.易得BE ⊥平面CDFE ，所以BE ⊥DE ， 所以BD ＝DE 2＋BE 2＝6，所以OG ＝12BD ＝62.易知CE ⊥平面ABEF ，所以CE ⊥BE ， 又GE ＝12BE ＝12，所以CG ＝CE 2＋GE 2＝52. 在△COG 中，由余弦定理得， cos ∠COG ＝OC 2＋OG 2－CG 22OC ·OG＝⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫622－⎝⎛⎭⎫5222×52×62＝3010， 所以异面直线BD 与CF 所成角的余弦值为3010.答案：3010核心素养系列15 直观想象——空间中的“动”与函数1．直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养．2．立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹的长度及动角的范围等．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一道著名的“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其意思为：“今有一个底面为正方形的长方体水池，且底面边长为1丈(注：1丈＝10尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水面齐平(示意图如图所示)，问水深、芦苇的长度各是多少？”设∠DEF ＝θ，则tan ⎝⎛⎭⎫θ2＋π4＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6设水深为x (单位：尺)，则芦苇长为x ＋1，故(x ＋1)2＝x 2＋25，所以x ＝12，从而tan θ＝125，所以2tanθ21－tan 2θ2＝125， 故tan θ2＝23或tan θ2＝－32(舍)，所以tan ⎝⎛⎭⎫θ2＋π4＝tan θ2＋11－tan θ2＝23＋11－23＝5. 【答案】 C本题是立体几何与数学文化、三角函数的交汇，试题设置的新意，充分体现了考纲要求——要注重学科的内在联系和知识的综合性，在知识网络交汇点处设计试题，使其对数学基础知识的考查达到必要的深度．如图，四棱锥PABCD的底面是边长为2的正方形，P A⊥平面ABCD，且P A＝4，M是PB上的一个动点(不与P，B重合)，过点M作平面α∥平面P AD，截棱锥所得图形的面积为y，若平面α与平面P AD之间的距离为x，则函数y＝f(x)的图象是()详细分析：选C.过点M 作MN ⊥AB ，交AB 于点N ，则MN ⊥平面ABCD ， 过点N 作NQ ∥AD ，交CD 于点Q ， 过点Q 作QH ∥PD ， 交PC 于点H ，连接MH ， 则平面MNQH 是所作的平面α， 由题意得2－x 2＝MN4，解得MN ＝4－2x ，由CQ CD ＝QHPD.即2－x 2＝QH 25，解得QH ＝5(2－x )，过点H 作HE ⊥NQ ，垂足为E ，在Rt △HEQ 中，EQ ＝HQ 2－HE 2＝2－x ，所以NE ＝2－(2－x )＝x ， 所以MH ＝x ，所以y ＝f (x )＝（x ＋2）（4－2x ）2＝－x 2＋4(0＜x ＜2)．所以函数y ＝f (x )的图象如图．故选C.[基础题组练]1．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定()A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行详细分析：选C.若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b异面矛盾．2．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b 和c，则直线b和c的位置关系是()A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面详细分析：选D.依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．故选D.3．已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是() A．空间四边形B．矩形C．菱形D．正方形详细分析：选B.如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形．因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC.又FG∥BD，所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，所以∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．4．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件详细分析：选A.若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a⊂α，b⊂β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．5．(2020·内蒙古集宁一中四模)如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°详细分析：选A.取CB的中点G，连接EG，FG.则EG∥AB，FG∥CD.所以EF与CD 所成的角为∠EFG(或其补角)，因为EF⊥AB，所以EF⊥EG.EG ＝12AB ＝1，FG ＝12CD ＝2，所以在Rt △EFG 中，sin ∠EFG ＝12，所以EF 与CD 所成的角为30°.故选A.6．已知棱长为a 的正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，M ，N 分别为CD ，AD 的中点，则MN 与A ′C ′的位置关系是 ．详细分析：如图，由题意可知MN ∥AC .又因为AC ∥A ′C ′，所以MN ∥A ′C ′. 答案：平行7．给出下列四个命题：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交；③若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面；④若三条直线两两相交，则这三条直线共面．其中真命题的序号是．详细分析：①正确，因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面，所以最多有一个公共点．②正确，a，b有交点，则两平面有公共点，则两平面相交．③正确，两平行直线可确定一个平面，又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上，所以过这两交点的直线也在平面内，即三线共面．④错误，这三条直线可以交于同一点，但不在同一平面内．答案：①②③8．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为．详细分析：如图，将原图补成正方体ABCD-QGHP，连接AG，GP，则GP∥BD，所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角，在△AGP 中，AG ＝GP ＝AP ， 所以∠APG ＝π3.答案：π39．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为正方形ABCD 的中心，H 为直线B 1D 与平面ACD 1的交点．求证：D 1，H ，O 三点共线．证明：如图，连接BD ，B 1D 1， 则BD ∩AC ＝O ， 因为BB 1═∥DD 1，所以四边形BB 1D 1D 为平行四边形， 又H ∈B 1D ， B 1D ⊂平面BB 1D 1D ， 则H ∈平面BB 1D 1D ，因为平面ACD 1∩平面BB 1D 1D ＝OD 1， 所以H ∈OD 1.即D 1，H ，O 三点共线．10.如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB＝2，AC ＝23，P A ＝2.求：(1)三棱锥P -ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P -ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·P A ＝13×23×2＝433.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.[综合题组练]1．如图所示，平面α∩平面β＝l ，A ∈α，B ∈α，AB ∩l ＝D ，C ∈β，C ∉l ，则平面ABC 与平面β的交线是( )A．直线AC B．直线ABC．直线CD D．直线BC详细分析：选C.由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.2.如图，已知线段AB垂直于定圆所在的平面，B，C是圆上的两点，H是点B在AC上的射影，当点C运动时，点H运动的轨迹()A．是圆B．是椭圆C．是抛物线D．不是平面图形详细分析：选A.如图，过点B作圆的直径BD，连接CD，AD，则BC⊥CD，再过点B 作BE⊥AD于点E，连接HE，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD.又BC⊥CD，且AB∩BC ＝B，所以CD⊥平面ABC，所以CD⊥BH.又BH⊥AC，且AC∩CD＝C，所以BH⊥平面ACD，所以BH⊥AD，BH⊥HE.又注意到过点B与直线AD垂直的直线都在同一个平面内，于是结合点B，E位置，可知，当点C运动时，点H运动的轨迹是以BE为直径的圆．故选A.3.如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．解：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.在Rt△EGF中，由EG＝FG＝12AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.4.(综合型)如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且AE∶EB＝AH∶HD ＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.(1)证明：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)m ，n 满足什么条件时，四边形EFGH 是平行四边形？ (3)在(2)的条件下，若AC ⊥BD ，试证明：EG ＝FH . 解：(1)证明：因为AE ∶EB ＝AH ∶HD ，所以EH ∥BD . 又CF ∶FB ＝CG ∶GD ， 所以FG ∥BD .所以EH ∥FG . 所以E ，F ，G ，H 四点共面．(2)当EH ∥FG ，且EH ＝FG 时，四边形EFGH 为平行四边形． 因为EH BD ＝AE AE ＋EB ＝m m ＋1，所以EH ＝m m ＋1BD .同理可得FG ＝n n ＋1BD ，由EH ＝FG ，得m ＝n .故当m ＝n 时，四边形EFGH 为平行四边形． (3)证明：当m ＝n 时，AE ∶EB ＝CF ∶FB ， 所以EF ∥AC ， 又EH ∥BD ，所以∠FEH 是AC 与BD 所成的角(或其补角)， 因为AC ⊥BD ，所以∠FEH ＝90°，从而平行四边形EFGH 为矩形，所以EG ＝FH .。
2021年高考数学大一轮总复习 8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系高效作业 理 新人教A版
2021年高考数学大一轮总复习 8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系高效作业理新人教A版一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(xx·衡水调研)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BD1，BC1的中点，则以下结论中不成立的是( )A．EF与AB平行B．EF与AD垂直C．EF与DD1异面D．EF与AC平行解析：由题可知EF为△BC1D1的中位线，则EF∥C1D1，由正方体的有关性质可知A，B，C正确，D错误．答案：D2．(xx·安徽皖南八校第二次联考)若异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝l，则直线l( )A．与直线a，b都相交B．至少与a，b中的一条相交C．至多与a，b中的一条相交D．与a，b中的一条相交，另一条平行解析：若a∥l，b∥l，则a∥b，故a，b中至少有一条与l相交，选B.答案：B3．(xx·北京西城抽样测试)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：有2条A1B和A1C1，故选B.答案：B4．(xx·广东六校联考)如图是正方体或四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是( )解析：A中PS∥QR.故共面；C中四边形PQRS是平行四边形，故共面；B中PS与QR相交，故共面，选D.答案：D5．(xx·山东青岛质检)在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中不成立的是( )A．EF与BB1垂直B．EF与BD垂直C．EF与CD异面D．EF与A1C1异面解析：如图，连接B1C，得EF∥AC，AC⊥BB1，故A正确；同理B正确；EF∥A1C1，故D 不正确，选D.答案：D6．(xx·十堰二模)一个正方体的展开图如图所示，B、C、D为原正方体的顶点，A为原正方体一条棱的中点．在原来的正方体中，CD与AB所成角的余弦值为( )A.510B.105C.55D.1010解析：还原为正方体如图所示，BE∥CD，则∠EBA就是异面直线CD与AB所成的角或所成角的补角．设正方体棱长为2，则BE＝22，BA＝5，AE＝3.所以在△ABE中，由余弦定理得cos∠EBA＝8＋5－9410＝1010，选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上) 7．(xx·天津十二区县重点中学第一次联考)在空间四边形ABCD 中，各边边长均为1，若BD ＝1，则AC 的取值范围是________．解析：取BD 的中点，连接AO ，CO ，则AO ＝CO ＝32，由三角形的三边关系定理知0＜AC ＜ 3.答案：0＜AC ＜ 38．(xx·乌鲁木齐地区高三第一次测验)如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AA 1∶AB ＝2∶1，则异面直线AB 1与BD 所成的角为________．解析：取A 1C 1的中点D 1，连接B 1D 1，AD 1，易证B 1D 1∥BD .故∠AB 1D 1就是异面直线AB 1与BD 所成的角或所成角的补角，设AB ＝22，则AA 1＝4，AB 1＝26，B 1D 1＝6，AD 1＝32，在△AB 1D 1中，由余弦定理得cos ∠AB 1D 1＝24＋6－1824＝12，∴∠AB 1D 1＝60°. 答案：60°9．(xx·湛江二模)如图所示，在三棱锥C －ABD 中，E 、F 分别是AC 和BD 的中点，若CD ＝2AB ＝4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角是________．解析：取CB 的中点G ，连结EG 、FG ，∴EG ∥AB ，FG ∥CD ，∴EF 与CD 所成的角即为∠EFG . 又∵EF ⊥AB ， ∴EF ⊥EG . 在Rt △EFG 中，EG ＝12AB ＝1， FG ＝12CD ＝2，∴sin ∠EFG ＝12，∴∠EFG ＝30°，∴EF 与CD 所成的角为30°. 答案：30°10．(xx·黑龙江部分重点中学联考)已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．则在上面的结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)．解析：①、②、④对应的情况如下：用反证法证明③不可能．答案：①②④三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．(xx·安徽江南十校素质测试)如图所示，O1是正方体ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心，M是对角线A1C和截面B1D1A的交点．求证：O1、M、A三点共线．证明：∵A1C1∩B1D1＝O1，B1D1⊂平面B1D1A，A1C1⊂平面AA1C1C，∴O1∈平面B1D1A，O1∈平面AA1C1C.∵A1C∩平面B1D1A＝M，A1C⊂平面AA1C1C，∴M∈平面B1D1A，M∈平面AA1C1C.又A∈平面B1D1A，A∈平面AA1C1C，∴O1、M、A在平面B1D1A和平面AA1C1C的交线上，由公理3可知O1、M、A三点共线．12．(xx·长沙模考(一))在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是CD的中点，连接AE并延长与BC的延长线交于点F，连接BE并延长交AD的延长线于点G，连接FG.求证：直线FG ⊂平面ABCD 且直线FG ∥直线A 1B 1. 证明：∵E 是CD 的中点，A ∈平面ABCD ，E ∈平面ABCD ， ∴AE ⊂平面ABCD .又AE ∩BC ＝F ，所以F ∈AE ， 从而F ∈平面ABCD . 同理G ∈平面ABCD ， 所以FG ⊂平面ABCD . 由已知得EC 綊12AB ，故在Rt △FBA 中 ，CF ＝BC ， 同理DG ＝AD .又在正方形ABCD 中，BC 綊AD ， 所以CF 綊DG ，所以四边形CFGD 是平行四边形， 所以FG ∥CD .又CD ∥AB ，AB ∥A 1B 1， 所以直线FG ∥直线A 1B 1.13．(基础题)空间四边形ABCD 中，AB ＝CD 且AB 与CD 所成的角为30°，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，求EF 与AB 所成角的大小．解：取AC 的中点G ，连结EG 、FG ， 则EG ∥AB ，GF ∥CD ，且由AB ＝CD 知EG ＝FG ，∴∠GEF (或它的补角)为EF 与AB 所成的角，∠EGF 或它的补角为AB 与CD 所成的角． ∵AB 与CD 所成的角为30°， ∴∠EGF ＝30°或150°.由EG ＝FG 知△EFG 为等腰三角形， 当∠EGF ＝30°时，∠GEF ＝75°； 当∠EGF ＝150°时，∠GEF ＝15°.故EF与AB所成的角为15°或75°.34696 8788 螈^n26744 6878 桸36567 8ED7 軗36120 8D18 贘32102 7D66 給A34250 85CA 藊 37460 9254 鉔w 39161 98F9 飹。
高考数学一轮复习 第八章立体几何8.3空间点、直线、平面之间的位置关系课时作业 理
课时作业37 空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．如图，α∩β＝l ，A ，B ∈α，C ∈β，且C ∉l ，直线AB ∩l ＝M ，过A ，B ，C 三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )．A ．点AB ．点BC ．点C 但不过点MD ．点C 和点M2．(2013届衡阳高三入学考试)已知直线l ∥平面α，a ，b 是夹在直线l 与平面α之间的两条线段，则a ∥b 是a ＝b 的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2012东北三校联考)已知a ，b ，c ，d 是空间四条直线，如果a ⊥c ，b ⊥c ，a ⊥d ，b ⊥d ，那么( )．A ．a ∥b 且c ∥dB ．a ，b ，c ，d 中任意两条可能都不平行C ．a ∥b 或c ∥dD ．a ，b ，c ，d 中至多有一对直线互相平行 4．给出命题：(1)在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；(2)设l ，m 是不同的直线，α是一个平面，若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α；(3)已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的充要条件；(4)a ，b 是两条异面直线，P 为空间一点，过P 总可以作一个平面与a ，b 之一垂直，与另一个平行．其中正确命题的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．35．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )．A ．若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α或n ⊥βB ．若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内的无数条直线C ．若α∩β＝m ，n ∥m ，且n ⊄α，n ⊄β，则n ∥α且n ∥βD ．若α⊥β，m ∥n ，n ⊥β，则m ∥α6．如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝12，则下列结论中错误的是( )．A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 7．(2012四川高考)下列命题正确的是( )．A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 二、填空题8．(2012北京海淀模拟)如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，将△ABD 沿对角线BD 折起到△A ′BD 的位置，使点A ′在平面BCD 内的射影点O 恰好落在BC 边上，则异面直线A ′B 与CD 所成角的大小为__________．9．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱C 1D 1，C 1C 的中点．给出以下四个结论：①直线AM 与直线C 1C 相交； ②直线AM 与直线BN 平行； ③直线AM 与直线DD 1异面； ④直线BN 与直线MB 1异面．其中正确结论的序号为__________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)10．设α，β为两个不重合的平面，m ，n 是两条不重合的直线，给出下列四个命题： ①若m ⊥n ，m ⊥α，则n ∥α；②若n ⊂α，m ⊂β，α与β相交但不垂直，则n 与m 不垂直； ③若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥β； ④若m ∥n ，n ⊥α，α∥β，则m ⊥β. 其中真命题的序号是__________． 三、解答题11．如图，在几何体P ABCD 中，四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝PA ＝2.(1)当AD ＝2时，求证：平面PBD ⊥平面PAC ；(2)若PC 与AD 所成的角为45°，求几何体P ABCD 的体积．12．如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB＝90°，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？参考答案一、选择题1．D 解析：∵AB ⊂γ，M ∈AB ， ∴M ∈γ.又α∩β＝l ，M ∈l ，∴M ∈β.根据公理3可知，M 在γ与β的交线上． 同理可知，点C 也在γ与β的交线上． 2．A3．C 解析：若a 与b 不平行，则存在平面β，使得a ⊂β且b ⊂β，由a ⊥c ，b ⊥c ，知c ⊥β，同理d ⊥β，所以c ∥d .若a ∥b ，则c 与d 可能平行，也可能不平行．结合各选项知选C.4．B 解析：(1)中有可能互相垂直；(2)正确；(3)α⊥β，m ⊂α不一定有m ⊥β.而m ⊥β则α⊥β一定成立，故“α⊥β”是“m ⊥β”的必要不充分条件；(4)只有两异面直线互相垂直时，才能有这样的平面．5．C 解析：∵n ∥m ，m ⊂α，n ⊄α， ∴n ∥α，同理有n ∥β，故C 正确．6．D 解析：由AC ⊥平面DBB 1D 1，可知AC ⊥BE ，故A 正确． 由EF ∥BD ，EF ⊄平面ABCD ，知EF ∥平面ABCD ，故B 正确．A 到平面BEF 的距离即A 到平面DBB 1D 1的距离为22，且S △BEF ＝12BB 1×EF ＝定值，故V A BEF 为定值，即C 正确．7．C 解析：若两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条直线可平行、可异面、可相交．选项A 错；如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧，则经过这三个点的平面与这个平面相交，选项B 不正确；如图，平面α∩β＝b ，a ∥α，a ∥β，过直线a 作平面ε∩α＝c ，过直线a 作平面γ∩β＝d ，∵a ∥α，∴a ∥c ，∵a ∥β，∴a ∥d ，∴d ∥c ，∵c ⊂α，d ⊄α，∴d ∥α，又∵d ⊂β，∴d ∥b ，∴a ∥b ，选项C 正确；若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面可平行、可相交，选项D 不正确． 二、填空题8．90° 解析：如题图所示， 由A ′O ⊥平面ABCD ，可得平面A ′BC ⊥平面ABCD ，又由DC ⊥BC 可得DC ⊥平面A ′BC ，故DC ⊥A ′B ，即得异面直线A ′B 与CD 所成角的大小为90°.9．③④ 解析：AM 与C 1C 异面，故①错；AM 与BN 异面，故②错；③，④正确． 10．④ 解析：若m ⊥n ，m ⊥α，则n ∥α或n ⊂α，①是假命题；②中n 与m 可以垂直，假命题；③中n ⊥β，或n ⊂β，或n 与β相交，假命题．三、解答题11．(1)证明：当AD ＝2时，四边形ABCD 是正方形，则BD ⊥AC . ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥BD .又∵PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC . ∵BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面PAC .(2)解：PC 与AD 成45°角，AD ∥BC ， 则∠PCB ＝45°.∵BC ⊥AB ，BC ⊥PA ，AB ∩PA ＝A ， ∴BC ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB . ∴BC ⊥PB .∴∠CPB ＝90°－45°＝45°. ∴BC ＝PB ＝2 2.∴几何体P ABCD 的体积为13×(2×22)×2＝823.12．(1)证明：∵G ，H 分别为FA ，FD 的中点，∴GH 12AD .又∵BC 12AD ，∴GH BC .∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解：∵BE ∥AF ，BC ∥AD ，BC ∩BE ＝B ，面BCE ∥面AFD ， ∴EC ∥平面AFD .∵DF ⊂面AFD ，∴EC ∥DF . ∴C ，D ，E ，F 四点共面．。
2023年新高考数学一轮复习8-3 空间点、直线、平面之间的位置关系(知识点讲解)解析版
专题8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系（知识点讲解）【知识框架】 【核心素养】1.通过考查空间线面关系，凸显逻辑推理、直观想象的核心素养．2.通过考查空间角的计算，凸显数学运算、直观想象及逻辑推理的核心素养．【知识点展示】（一）平面的基本性质(1)基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．(2)基本事实2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．(3)基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．（二）空间两直线的位置关系1.位置关系的分类⎩⎨⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 相交直线平行直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点2.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．（三）异面直线所成的角1.异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)． ②范围：]2,0(π.2.异面直线的判定方法：判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．（四）空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有三种情况：在平面内---有无数个公共点；相交---有且只有一个公共点；平行---没有公共点．后两种情况直线不在平面内，也称直线在平面外.(2)平面与平面的位置关系有两种情况：平行---没有公共点；相交---有一条公共直线．（五）常用结论唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．【常考题型剖析】题型一：平面的基本性质及应用例1.（四川·高考真题（文））1l ， 2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．12l l ⊥， 23l l ⊥13//l l ⇒B ．12l l ⊥， 23//l l ⇒13l l ⊥C ．123////l l l ⇒1l ， 2l ，3l 共面D ．1l ， 2l ，3l 共点 ⇒1l ， 2l ，3l 共面【答案】B【解析】【详解】解：因为如果一条直线平行于两条垂线中的一条，必定垂直于另一条．选项A ，可能相交．选项C 中，可能不共面，比如三棱柱的三条侧棱，选项D ，三线共点，可能是棱锥的三条棱，因此错误．选B.例2.（2016·山东·高考真题（文））已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】当“直线a 和直线b 相交”时，平面α和平面β必有公共点，即平面α和平面β相交，充分性成立； 当“平面α和平面β相交”，则 “直线a 和直线b 可以没有公共点”，即必要性不成立.故选A.例3．（2022·上海·模拟预测）如图正方体11ABCD AB C D -中，P Q R S 、、、分别为棱1AB BC BB CD 、、、的中点，连接11A S B D ，.空间任意两点M N 、，若线段MN 上不存在点在线段1,A S B D 1上，则称MN 两点可视，则下列选项中与点1D 可视的为（ ） A ．点P B ．点B C ．点R D ．点Q【答案】D【解析】【分析】利用排除法，如图，连接PS ，则可得11,,,A D P S 四点共面，1DD ∥1BB ，然后进行分析判断即可【详解】如图连接PS ，因为,P S 分别为,AB CD 的中点，所以AP DS =, AP ∥DS ，所以四边形APSD 为平行四边形，所以AD ∥PS ,因为AD ∥11A D ，所以11A D ∥PS ，所以11,,,A D P S 四点共面，所以1A S 与1D P 相交，所以点P 与点1D 不可视，所以排除A ，因为1DD ∥1BB ，所以11,,,,D D B R B 共面，所以由图可知1D B 与1B D 相交，1D R 与1B D 相交，所以点B ，点R 都与点1D 不可视，所以排除BC ，故选：D例4.如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：P ，A ，C 三点共线．【答案】见解析【解析】证明：(1)∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴EF ∥BD .∵在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12， ∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH .∴E ，F ，G ，H 四点共面．(2)∵EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ，∴P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC .∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点．又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ，∴P ∈AC ，∴P ，A ，C 三点共线．【方法技巧】1.证明点共线问题的常用方法公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.2.证明线共点问题的方法证明若干线共点的基本思路是先找出两条直线的交点，再证明其他直线都经过该点．而证明直线过该点的方法是证明点是以该直线为交线的两个平面的公共点．3.证明点、直线共面问题的常用方法纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合. 题型二：空间两直线的位置关系例5.（广东·高考真题（文））若空间中四条直线1l 、2l 、3l 、4l ，满足12l l ⊥、23l l 、34l l ⊥，则下列结论一定正确的是（ ）．A ．14l l ⊥B ．14l l ∥C ．1l 、4l 既不平行也不垂直D ．1l 、4l 位置关系不确 【答案】D【解析】【详解】【分析】试题分析：如下图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，取 1AA 为2l ， 1BB 为3l ，取 AD 为1l ， BC 为4l ，14//l l ；取AD 为 1l ，AB 为 4l ，则14l l ⊥；取AD 为 1l ，11A B 为4l ，则 1l 与4l 异面，因此1l 、4l 的位置关系不确定，故选D.例6.（湖北·高考真题（文））12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则 A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】A【解析】【详解】若p ：12,l l 是异面直线，由异面直线的定义知，12,l l 不相交，所以命题q ：12,l l 不相交成立，即p 是q 的充分条件；反过来，若q ：12,l l 不相交，则12,l l 可能平行，也可能异面，所以不能推出12,l l 是异面直线，即p 不是q 的必要条件，故应选A ．例7.（2020·全国·高考真题（理））设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，，为真命题，，为假命题，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题.故答案为：①③④.【总结提升】判断空间两直线位置关系的思路方法(1)判断空间两直线的位置关系一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断．(2)异面直线的判定方法①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．②定理法：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线．题型三：异面直线所成的角例8.（2018·全国·高考真题（文））在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为（ ）A B C D 【答案】C【解析】【分析】利用正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，将问题转化为求共面直线AB 与AE 所成角的正切值，在ABE ∆中进行计算即可.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠，设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以BE =，则tan BE EAB AB ∠===故选C. 例9.（2016·全国·高考真题（文））平面α过正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1的顶点A ，,ABCD m α⋂=平面，11ABB A n α⋂=平面，则m ，n 所成角的正弦值为（ ）A B C D ．13【答案】A【解析】【详解】试题分析：如图，设平面11CB D 平面ABCD ='m ，平面11CB D 平面11ABB A ='n ，因为//α平面11CB D ，所以//',//'m m n n ，则,m n 所成的角等于','m n 所成的角.延长AD ，过1D 作11D E B C ∥，连接11,CE B D ，则CE 为'm ，同理11B F 为'n ，而111,BD CE B F A B ∥∥，则','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角，即为60︒，故,m n 所A. 例10. （皖豫名校2021-2022学年高一下学期阶段性测试（期末）数学试题）在正三棱台111ABC A B C -中，E ，F 分别是棱11A B ，11B C 的中点，且11122B C BC BB ==，则异面直线AE 与BF 所成的角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【解析】【分析】连接,EF CF ，则可得四边形ACFE 为平行四边形，则可得AE ∥CF ，所以BFC ∠为异面直线AE 与BF 所成的角，然后计算即可【详解】连接,EF CF ，因为E ，F 分别是棱11A B ，11B C 的中点，所以EF ∥ 11A C , 1112EF AC =， 因为正三棱台111ABC A B C -中，11122B C BC BB ==，所以AC ∥11A C ，1112AC AC =， 所以EF ∥AC ，FE AC =，所以四边形ACFE 为平行四边形，所以AE ∥CF ，所以BFC ∠为异面直线AE 与BF 所成的角，设1BC =，则1111111112,1A B AC B C BC BB AB AC AA CC =========，在等腰梯形11BCC B 中，11112cos 12BB C ∠==， 因为11090BB C ︒<∠<︒，所以1160BB C ∠=︒，因为111BB B F ==,所以1BB F 为等边三角形，所以1BF =，同理1CF =,所以BFC △为等边三角形，所以60BFC ∠=︒，所以异面直线AE 与BF 所成的角为60︒，故选：C例11.（内蒙古赤峰市2021-2022学年高一下学期期末考试数学（理）试题）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AD DC ==，1AA =1BC 与1DB 所成角的正弦值为（ ）A ．15BCD【答案】B【解析】【分析】作图，构造三角形，将1BC 与1DB 的夹角转变为三角形内角，运用余弦定理求解.【详解】依题意作上图，延长1111,,,A A B B C C D D 至2222,,,A B C D ，使得22221AA BB CC DD A A ==== ，连接212,BD C D ，1212,//B B DD B B DD = ，∴四边形12B BD D 是平行四边形，12//B D BD ，异面直线1B D 与1BC 的夹角就是1BC 与2BD 的夹角12C BD ∠，2BD =，14BC ，12C D =，由余弦定理得22212121212cos 2BC BD C D C BD BC BD +-∠==， 120C BD π<∠< ，∴12sin C BD ∠=； 故选：B.例12.（2022·四川内江·模拟预测（理））如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BC ⊥面11ACC A ，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ ）A ．225B ．53C ．55D ．35 【答案】C【解析】【分析】连接1CB 交1BC 于D ，若E 是AC 的中点，连接,BE ED ，易得1//ED AB ，即直线1BC 与直线1AB 夹角为BDE ∠或补角，进而求其余弦值.【详解】连接1CB 交1BC 于D ，若E 是AC 的中点，连接,BE ED ， 由111ABC A B C -为直棱柱，各侧面四边形为矩形，易知：D 是1CB 的中点，所以1//ED AB ，故直线1BC 与直线1AB 夹角，即为ED 与1BC 的夹角BDE ∠或补角，若1BC =，则1CE =，BD CD == BC ⊥面11ACC A ，EC ⊂面11ACC A ，则CB CE ⊥，而1EC CC ⊥，又1BC CC C =，1,BC CC ⊂面11BCC B ，故EC ⊥面11BCC B ，又CD ⊂面11BCC B ，所以CE CD ⊥.所以32ED =，BE在△BDE中222592cos 2BD ED BE BDE BD ED +-+-∠==⋅. 故选：C例13.（2021·天津西青·高一期末）已知1111ABCD A B C D -为正方体，E ，F 分别是1BD ，AB 的中点，异面直线EF 与BD 所成的角为_______【答案】60︒##π3【解析】 【分析】建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出异面直线所成的角.【详解】取点D 为原点，边DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则(0D ，0，0)，(2B ，2，0)，(1E ，1，1)，(2F ，1，0)，∴(1,0,1),(2,2,0)EF BD =-=--，∴2EF BD ⋅=-，||2||22EF BD ==， ∴1cos ,2||||2EF BD EF BD EF BD ⋅<>==-， EF ∴与BD 所成的角为60︒．故答案为：60︒．例14.（2022·福建漳州·高二期末）在如图所示的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,1AA AD AB ===，点P 在侧面11BCC B 内（含边界）运动，若点P 到直线AD 与直线1BB 的距离相等，则直线AD 与直线BP 所成角的正弦值的最大值为________．【解析】【分析】设1PM BB ⊥于M ，PQ AD ⊥于Q ，PN BC ⊥于N ，根据题意可得PN =B 为坐标原点，在平面11BCC B 上建立平面直角坐标系，分析点P 的轨迹方程，结合直线AD 与直线BP 所成角为PBC ∠，根据双曲线的性质求解最大值即可【详解】由题意，设1PM BB ⊥于M ，PQ AD ⊥于Q ，PN BC ⊥于N ，如图连接.由题意，PM PQ =，且PN NQ ⊥.故2222PM PQ PN NQ ==+，即PN以B 为坐标原点，在平面11BCC B 上建立如图平面直角坐标系，由21PN PM =-可得P 的轨迹方程为21y x =-，即双曲线221x y -=在正方形11BCC B 中的部分，由双曲线221x y -=的一条渐近线为y x =，即对角线1BC ，故当P 在1CC 上时，PBC ∠取得最大值，此时sin PBC ∠最大，213PC BC =-=，227PB PC BC =+=，321sin 77PC PBC PB ∠===.又//AD BC ，故AD 与直线BP 所成角为PBC ∠，即直线AD 与直线BP 所成角的正弦值的最大值为217【规律方法】1. 平移法：求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．2．坐标法求异面直线所成的角当题设中含有两两垂直的三边关系或比较容易建立空间直角坐标系时，常采用坐标法．提醒：如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角． ]2,0(。
高考数学一轮复习 第8章 立体几何 第3讲 空间点、直线、平面之间的位关系课件 文
12/11/2021
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(必修 2 P43 练习 T1)下列命题正确的是( ) A．经过三点确定一个平面 B．经过一条直线和一个点确定一个平面 C．四边形确定一个平面 D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 解析：选 D．A 选项考查公理 2，即三点必须不在同一条直 线上，才能确定一个平面；B 选项如果点在直线上，则该直 线和这个点不能确定一个平面；C 选项中的四边形有可能是 空间四边形，只有 D 是正确的．
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【对点通关】 (必修 2 P45 例 2 改编)如图，空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，G，H 分 别在 BC，CD 上，且 BG∶GC＝DH∶HC＝ 1∶2． (1)求证：E，F，G，H 四点共面； (2)设 EG 与 FH 交于点 P，求证：P，A，C 三点共线．
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(1)点线共面问题证明的两种方法 ①纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面 内； ②辅助平面法：先证有关点、线确定平面 α，再证其余点、 线确定平面 β，最后证明平面 α，β 重合． (2)证明多线共点问题的两步 ①先证其中两条直线交于一点； ②再证交点在第三条直线上．证交点在第三条直线上时，第 三条直线应为前两条直线所在平面的交线，可以利用公理 3 证明．
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(2)因为 EF∥CD1，EF<CD1，所以 CE 与 D1F 必相交，设交 点为 P， 则由 P∈CE，CE⊂平面 ABCD，得 P∈平面 ABCD． 同理 P∈平面 ADD1A1． 又平面 ABCD∩平面 ADD1A1＝DA， 所以 P∈直线 DA．所以 CE、D1F、DA 三线共点．
新高考数学通用版总复习一轮课件第八章第3讲点直线平面之间的位置关系
为( )
①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这
两个平面重合；
②两条直线可以确定一个平面；
③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；
④若 M∈α，M∈β，α∩β＝l，则 M∈l.
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
解析：过不共线的三点有且只有一个平面，因此①正确； 若两直线异面则不能确定一个平面，因此②不正确； 正方体中一个顶点引出的三条棱，不在同一平面内，因此 ③不正确； 由公理可知④正确，故选 B. 答案：B
答案：③④
(3)(2019 年全国Ⅲ)如图 8-3-8，点 N 为正方形 ABCD 的中 心，△ECD 为正三角形，平面 ECD⊥平面 ABCD，点 M 是线 段 ED 的中点，则( )
图 8-3-8 A.BM＝EN，且直线 BM，EN 是相交直线 B.BM≠EN，且直线 BM，EN 是相交直线 C.BM＝EN，且直线 BM，EN 是异面直线 D.BM≠EN，且直线 BM，EN 是异面直线
第3讲 点、直线、平面之间的位置关系
1.空间中点、直线、平面之间位置关系的基本性质(即四条 公理的“图形语言”“文字语言”“符号语言”列表)及推论
(续表)
A∈l，B∈l， A∈α，B∈α ⇒l⊂α
P∈α，P∈β ⇒αP∩∈βl ＝l，
ab∥∥cc⇒ a∥b
2.空间线、面之间的位置关系
3.异面直线所成的角 过空间任一点 O 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a′与 b′. 那么直线 a′与 b′所成的___锐__角__或__直__角____，叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)，其范围是__(_0_°__，__9_0_°__]__.
题组一 走出误区 1.(多选题)设α是给定的平面，A，B 是不在α内的任意两点， 则( ) A.在α内存在直线与直线 AB 异面 B.在α内存在直线与直线 AB 相交 C.在α内存在直线与直线 AB 平行 D.存在过直线 AB 的平面与α垂直
2021年高考数学一轮复习 第八篇 立体几何 第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系教案 理 新人
2021年高考数学一轮复习 第八篇 立体几何 第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系教案 理 新人教版【xx 年高考会这样考】1．本讲以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力． 2．有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题．3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题． 【复习指导】1．掌握平面的基本性质，在充分理解本讲公理、推论的基础上结合图形理解点、线、面的位置关系及等角定理．2．异面直线的判定与证明是本部分的难点，定义的理解与运用是关键．基础梳理1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况． 4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 5．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．6．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．两种方法异面直线的判定方法：(1)判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线． (2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面． 三个作用(1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．(2)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法． (3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)下列命题是真命题的是( )． A ．空间中不同三点确定一个平面B ．空间中两两相交的三条直线确定一个平面C ．一条直线和一个点能确定一个平面D ．梯形一定是平面图形解析 空间中不共线的三点确定一个平面，A 错；空间中两两相交不交于一点的三条直线确定一个平面，B 错；经过直线和直线外一点确定一个平面，C 错；故D 正确． 答案 D2．已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b ( )． A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能是平行直线D ．不可能是相交直线解析 由已知直线c 与b 可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b ∥c ，则a ∥b ，与已知a 、b 为异面直线相矛盾.答案 C3．(xx·浙江)下列命题中错误的是( )．A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析对于D, 若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，甚至可能平行于平面β，其余选项均是正确的．答案 D4．(xx·武汉月考)如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( )．A．12对 B．24对 C．36对 D．48对解析如图所示，与AB异面的直线有B1C1；CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线12×42＝24(对)．答案 B5．两个不重合的平面可以把空间分成________部分．答案3或4考向一平面的基本性质【例1】►正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是( )．A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形[审题视点] 过正方体棱上的点P、Q、R的截面要和正方体的每个面有交线．解析如图所示，作RG∥PQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB交于M，连接MR交BB1于E，连接PE、RE为截面的部分外形．同理连PQ并延长交CD于N，连接NG交DD1于F，连接QF，FG.∴截面为六边形PQFGRE.答案 D画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定．作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快的确定交线的位置．【训练1】下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．解析在④图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．答案①②③考向二异面直线【例2】►如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．[审题视点] 第(1)问，连结MN，AC，证MN∥AC，即AM与CN共面；第(2)问可采用反证法．解(1)不是异面直线．理由如下：连接MN、A1C1、AC.∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN∥A1C1.又∵A1A綉C1C，∴A1ACC1为平行四边形，∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线．证明如下：∵ABCDA1B1C1D1是正方体，∴B、C、C1、D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，∴D1，B、C、C1∈α，与ABCDA1B1C1D1是正方体矛盾．∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．证明两直线为异面直线的方法(1)定义法(不易操作)．(2)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．【训练2】在下图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．解析如题干图(1)中，直线GH∥MN；图(2)中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图(3)中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图(4)中，G、M、N共面，但H∉面GMN，∴GH与MN异面．所以图(2)、(4)中GH与MN异面．答案(2)(4)考向三异面直线所成的角【例3】►(xx·宁波调研)正方体ABCDA1B1C1D1中．(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．[审题视点] (1)平移A1D到B1C，找出AC与A1D所成的角，再计算．(2)可证A1C1与EF垂直．解(1)如图所示，连接AB1，B1C，由ABCDA1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°.即A1D与AC所成的角为60°.(2)如图所示，连接AC、BD，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，∵E、F分别为AB、AD的中点，∴EF∥BD，∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．【训练3】A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．(1)证明假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC 共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．(2)解如图，取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝12AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.考向四点共线、点共面、线共点的证明【例4】►正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．[审题视点] (1)由EF∥CD1可得；(2)先证CE与D1F相交于P，再证P∈AD.证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E、F分别是AB、AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE 与D 1F 必相交，设交点为P ， 则由P ∈CE ，CE ⊂平面ABCD ， 得P ∈平面ABCD . 同理P ∈平面ADD 1A 1.又平面ABCD ∩平面ADD 1A 1＝DA ，∴P ∈直线DA ，∴CE 、D 1F 、DA 三线共点．要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用平面的基本性质3，即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在此直线上．【训练4】 如图所示，已知空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，求证：三条直线EF 、GH 、AC 交于一点．证明 ∵E 、H 分别为边AB 、AD 的中点， ∴EH 綉12BD ，而CF CB ＝CG CD ＝23，∴FG BD ＝23，且FG ∥BD . ∴四边形EFGH 为梯形，从而两腰EF 、GH 必相交于一点P . ∵P ∈直线EF ，EF ⊂平面ABC ，∴P ∈平面ABC . 同理，P ∈平面ADC .∴P 在平面ABC 和平面ADC 的交线AC 上，故EF 、GH 、AC 三直线交于一点．阅卷报告10——点、直线、平面位置关系考虑不全致误【问题诊断】 由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑，这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多，特别是当直线和平面的个数较多时，各种位置关系错综复杂、相互交织，如果考虑不全面就会导致一些错误的判断．【防范措施】 借助正方体、三棱锥、三棱柱模型来分析．【示例】►(xx·四川)l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )．A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面错因受平面几何知识限制，未能全面考虑空间中的情况．实录甲同学：A 乙同学：C丙同学：D.正解在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．答案 B【试一试】(xx·江西)过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作( )．A．1条B．2条C．3条D．4条[尝试解答] 如图，连结体对角线AC1，显然AC1与棱AB、AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为 2.联想正方体的其他体对角线，如连结BD1，则BD1与棱BC、BA、BB1所成的角都相等，∵BB1∥AA1，BC∥AD，∴体对角线BD1与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，同理，体对角线A1C、DB1也与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，过A点分别作BD1、A1C、DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条．答案 D。
高考数学一轮复习第八章立体几何考点规范练38空间点直线平面之间的位置关系文新人教A版
考点规范练38 空间点、直线、平面之间的位置关系基础巩固1.在下列命题中,不是公理的是()A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线2.在空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是()A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定3.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过()A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M4.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是()A.A,M,O三点共线B.A,M,O,A1不共面C.A,M,C,O不共面D.B,B1,O,M共面5.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和a,且长为a的棱与长为的棱异面,则a的取值范围是()A.(0,)B.(0,)C.(1,)D.(1,)6.l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线,q:l1,l2不相交,则()A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件7.b是平面α外一条直线,下列条件中可得出b∥α的是()A.b与α内一条直线不相交B.b与α内两条直线不相交C.b与α内无数条直线不相交D.b与α内任意一条直线不相交8.已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,则α∥β是l⊥m的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.用a,b,c表示三条不同的直线,γ表示平面,给出下列命题:①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若a⊥b,b⊥c,则a⊥c;③若a∥γ,b∥γ,则a∥b;④若a⊥γ,b⊥γ,则a∥b;⑤若a⊥b,b∥c,则a⊥c;⑥若a∥b∥c,则a,b,c共面.其中真命题的序号是.10.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:(1)B,C,H,G四点共面;(2)几何体A1GH-ABC是三棱台;(3)平面EFA1∥平面BCHG.能力提升11.以下四个命题中,①不共面的四点中,其中任意三点不共线;②若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面;③若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;④依次首尾相接的四条线段必共面.正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.312.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与c()A.一定平行B.一定相交C.一定是异面直线D.一定垂直13.若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值()A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于514.已知m,n,l为不同直线,α,β为不同平面,给出下列命题,其中真命题的序号是(填上所有真命题的序号).①m∥l,n∥l⇒m∥n;②m∥α,n∥α⇒m∥n;③m⊥α,n⊥β,α∥β⇒m∥n;④m⊥α,α⊥β,n⊥β⇒m⊥n;⑤m与l异面,n与l异面⇒m与n异面;⑥m与l共面,n与l共面⇒m与n共面.15.已知在空间四边形ABCD中,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边BC,CD的中点.(1)求证:BC与AD是异面直线.(2)求证:EG与FH相交.高考预测16.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱D1D的中点,点F在棱B1B上,且满足B1F=2BF.(1)求证:EF⊥A1C1;(2)在棱C1C上确定一点G,使A,E,G,F四点共面,并求此时C1G的长.答案：1.A解析:选项A是面面平行的性质定理,是由公理推证出来的,而公理是不需要证明的.2.D解析:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,取l1为BC,l2为CC1,l3为C1D1.满足l1⊥l2,l2⊥l3.若取l4为A1D1,则有l1∥l4;若取l4为DD1,则有l1⊥l4.因此l1与l4的位置关系不确定,故选D.3.D解析:∵AB⊂γ,M∈AB,∴M∈γ.又α∩β=l,M∈l,∴M∈β.根据公理3可知,M在γ与β的交线上,同理可知,点C也在γ与β的交线上.4.A解析:连接A1C1,AC,则A1C1∥AC,所以A1,C1,A,C四点共面.所以A1C⊂平面ACC1A1.因为M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上.同理A,O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,所以A,M,O三点共线.5.A解析:此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体,长为a的棱长一定大于0且小于.6.A解析:l1,l2是异面直线⇒l1,l2不相交,即p⇒q;而l1,l2不相交l1,l2是异面直线,即q p.故p是q的充分条件,但不是q的必要条件.7.D解析:只有在b与α内所有直线都不相交,即b与α无公共点时,b∥α.8.A解析:若α∥β,则由l⊥α知l⊥β,又m⊂β,可得l⊥m,若α与β相交(如图),设α∩β=n,当m∥n时,由l⊥α可得l⊥m,而此时α与β不平行,于是α∥β是l⊥m的充分不必要条件,故选A.9.①④⑤解析:①由平行线的传递性(公理4)知①正确;②举反例:在同一平面α内,a⊥b,b⊥c,有a∥c;③举反例:如图的长方体中,a∥γ,b∥γ,但a与b相交;④垂直于同一平面的两直线互相平行,知④正确;⑤显然正确;⑥由三棱柱的三条侧棱知⑥错.10.证明:(1)∵GH是△A1B1C1的中位线,∴GH∥B1C1.又B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G四点共面.(2)∵A1G AB,∴AA1与BG必相交.设交点为P,则.同理设CH∩AA1=Q,则,∴P与Q重合,即三条直线AA1,GB,CH相交于一点.又由棱柱的性质知平面A1GH∥平面ABC,∴几何体A1GH-ABC为棱台.(3)∵E,F分别为AB,AC的中点,∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,∴EF∥平面BCHG.∵A1G EB,∴四边形A1EBG是平行四边形,∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF=E,∴平面EFA1∥平面BCHG.11.B解析:①中显然是正确的;②中若A,B,C三点共线,则A,B,C,D,E五点不一定共面;③构造长方体或正方体,如图显然b,c异面,故不正确;④中空间四边形中四条线段不共面,故只有①正确.12.D解析:两条平行线中一条与第三条直线垂直,另一条直线也与第三条直线垂直,故选D.13.B解析:特殊值法.当n=3时,正三角形的三个顶点之间两两距离相等,故n=3符合;当n=4时,联想正四面体的四个顶点之间两两距离相等,故n=4符合.由此可以排除选项A,C,D.故选B.14.①③④解析:由平面的基本性质4知①正确;平行于同一平面的两条直线可以平行、相交,也可以异面,故②错误;⇒m∥n,故③为真命题;⇒m⊥n,故④为真命题;如图(1),长方体中,m与l异面,n1,n2,n3都与l异面,但n2与m相交,n1与m异面,n3与m平行,故⑤为假命题;如图(2),长方体中,m与l共面,n与l共面,但m与n异面,故⑥为假命题.(1)(2)15.证明:(1)假设BC与AD共面,不妨设它们所共平面为α,则B,C,A,D∈α.所以四边形ABCD为平面图形,这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾,所以BC与AD是异面直线.(2)如图,连接AC,BD,则EF∥AC,HG∥AC,因此EF∥HG.同理EH∥FG,则四边形EFGH为平行四边形.又EG,FH是▱EFGH的对角线,所以EG与FH相交.16.(1)证明:如图所示,连接B1D1,∵ABCD-A1B1C1D1为正方体,∴四边形A1B1C1D1为正方形.∴A1C1⊥B1D1.∵BB1⊥平面A1B1C1D1,∴A1C1⊥BB1.∵B1D1∩BB1=B1,∴A1C1⊥平面BB1D1D.∵EF⊂平面BB1D1D,∴EF⊥A1C1.(2)解:如图所示,假设A,E,G,F四点共面,则A,E,G,F四点确定平面AEGF,∵ABCD-A1B1C1D1为正方体,∴平面AA1D1D∥平面BB1C1C.∵平面AEGF∩平面AA1D1D=AE,平面AEGF∩平面BB1C1C=GF,∴由平面与平面平行的性质定理得AE∥GF,同理可得AF∥GE,因此四边形AEGF为平行四边形,∴GF=AE.在Rt△ADE中,AD=a,DE=DD1=,∠ADE=90°,由勾股定理得AE=a,在直角梯形B1C1GF中,下底B1F=BB1=a,腰B1C1=a,GF=AE=a,过G作GH⊥BB1,交BB1于点H.显然四边形B1C1GH为矩形,故有C1G=B1H,GH=C1B1=a.在Rt△FGH中,FH=B1F-C1G,GH=a.由勾股定理可得GF==a,结合图形可知C1G<B1F,解得C1G=a.。
2021高考数学一轮复习第8章立体几何第3讲空间点直线平面之间的位关系分层演练文
2021高考数学一轮复习第8章立体几何第3讲空间点直线平面之间的位关系分层演练文一、选择题1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有( )A．4个B．3个C．2个D．1个解析：选A．首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，因此最多能够确定四个平面．2．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC 和BD不相交，则甲是乙成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A．若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，因此AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，因此甲是乙成立的充分不必要条件．3．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A．若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b．又a⊂α，b⊂β，因此P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF 的位置关系是( )A．相交B．异面C．平行D．垂直解析：选A．由BC═∥AD，AD═∥A1D1知，BC═∥A1D1，从而四边形A1BCD1是平行四边形，因此A1B∥CD1，又EF⊂平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，则A1B与EF相交．5．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP 与BD 所成的角为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解析：选C ．如图，将原图补成正方体ABCD QGHP ，连接AG ，GP ，则GP ∥BD ，因此∠APG 为异面直线AP 与BD 所成的角，在△AGP 中，AG ＝GP ＝AP ， 因此∠APG ＝π3．6．已知l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3 B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3 C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面 D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面解析：选B ．在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A 错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B 正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C 错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D 错．二、填空题7．设a ，b ，c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c 则a ∥c ；③若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交；④若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线．上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c能够相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c能够相交、平行，也能够异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．答案：①8．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，因此AD∥BC，因此直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，因此C1D⊥圆柱下底面，因此C1D⊥AD，因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，因此C1D＝2AD，因此直线AC1与AD所成角的正切值为2，因此异面直线AC1与BC所成角的正切值为2．答案： 29．如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱有________条．解析：依题意，与AB 和CC 1都相交的棱有BC ；与AB 相交且与CC 1平行有棱AA 1，BB 1；与AB 平行且与CC 1相交的棱有CD ，C 1D 1．故符合条件的有5条．答案：510．如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，点F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，则下列说法正确的是________．①EF 与GH 平行； ②EF 与GH 异面；③EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上； ④EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上．解析：连接EH ，FG (图略)，依题意，可得EH ∥BD ，FG ∥BD ，故EH ∥FG ，因此E 、F 、G 、H 共面．因为EH ＝12BD ，FG ＝23BD ，故EH ≠FG ，因此EFGH 是梯形，EF 与GH 必相交，设交点为M ．因为点M 在EF 上，故点M 在平面ACB 上．同理，点M 在平面ACD 上，因此点M 是平面ACB 与平面ACD 的交点，又AC 是这两个平面的交线，因此点M 一定在直线AC 上．答案：④ 三、解答题11．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为正方形ABCD 的中心，H 为直线B 1D 与平面ACD 1的交点．求证：D 1、H 、O 三点共线．证明：如图，连接BD ，B 1D 1， 则BD ∩AC ＝O ， 因为BB 1═∥DD 1，因此四边形BB1D1D为平行四边形，又H∈B1D，B1D⊂平面BB1D1D，则H∈平面BB1D1D，因为平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，因此H∈OD1．即D1、H、O三点共线．12．如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．解：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，因此A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，因此相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．又因为AC⊥BD，则FG⊥EG．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝12AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°．1．如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD差不多上直角梯形，∠BAD＝∠FAB ＝90°，BC ═∥12AD ，BE ═∥12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)求证：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？什么缘故？ 解：(1)证明：由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ， 因此GH ═∥12AD ．又BC ═∥12AD ，故GH ═∥BC ． 因此四边形BCHG 是平行四边形． (2)C ，D ，F ，E 四点共面．理由如下：由BE ═∥12FA ，G 是FA 的中点知，BE ═∥GF ， 因此EF ═∥BG ． 由(1)知BG ∥CH ，因此EF ∥CH ，故EC 、FH 共面．又点D 在直线FH 上，因此C ，D ，F ，E 四点共面．2．如图，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2．求：(1)三棱锥P ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433． (2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，因此∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2， cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34．故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34．。
【志鸿优化设计】(湖南专用)高考数学一轮复习 第八章立体几何8.3空间点、直线、平面之间的位置关
8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系考纲要求1．理解空间直线、平面位置关系的定义．2．了解四个公理和等角定理，并能以此作为推理的依据．1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的____在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 符号表示为：A ∈l ，B ∈l ，A ∈α，B ∈α⇒l __α. 作用：可用来证明点、直线在平面内．(2)公理2：过____________上的三点，有且只有一 个平面．符号表示为：A ，B ，C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A ∈α，B ∈α，C ∈α. 作用：①可用来确定一个平面，为空间图形平面化作准备；②证明点线共面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们____________过该点的公共直线．符号表示为：P ∈α∩β⇒α∩β＝l ，且P ∈l .作用：①可用来确定两个平面的交线；②判断三点共线、三线共点． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ ：同一平面内，有且只有 一个公共点：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在 一个平面内，没有公共点(2)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号表示为：设a ，b ，c 是三条直线，a ∥b ，c ∥b ，则____．公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间中这个性质都适用． 作用：判断空间两条直线平行的依据．(3)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角__________． (4)异面直线所成的角：不同在任何一个平面内的两条直线叫做________，已知异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的__________叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)，两条异面直线所成的角θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．______ ________ ______．两个平面的位置关系表示法 公共点个数______1．如果a ⊂α，b ⊂α，l ∩a ＝A ，l ∩b ＝B ，那么下列关系成立的是( )． A ．l ⊂α B ．l ⊄α C ．l ∩α＝A D ．l ∩α＝B2．l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )． A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3 B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面 3．在空间中，下列命题正确的是( )． A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行 4．下面四个命题：①若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 异面； ②若直线a ，b 相交，b ，c相交，则a ，c 相交； ③若a ∥b ，则a ，b 与c 所成的角相等； ④若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .其中真命题的序号是__________．5．(2012郑州模拟)已知：空间四边形ABCD (如图所示)，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别是BC ，CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH ＝13DC .求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)三直线FH ，EG ，AC 共点．一、平面的基本性质【例1】定线段AB 所在的直线与定平面α相交，P 为直线AB 外一点，且P 不在α内，若直线AP ，BP 与α分别交于C ， D 点，求证：不论P 在什么位置，直线CD 必过一定点．方法提炼证明三点共线通常有两种方法：一是首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，于是可得这三点都在这两个平面的交线上，即三点共线；二是选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在这条直线上，从而得出三点共线．请做演练巩固提升6二、空间中两条直线的位置关系【例2】在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 是CD 的中点，连接AE 并延长与BC 的延长线交于点F ，连接BE 并延长交AD 的延长线于点G ，连接FG .求证：直线FG ⊂平面ABCD ，且直线FG ∥直线A 1B 1. 方法提炼 1．证明或判断空间两直线平行最常用的方法是公理4.平行线的传递性即若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .2．判断两直线为异面直线的常用方法．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图．请做演练巩固提升1易忽视对异面直线所成的角与三角形内角的关系而致误【典例】(2012大纲全国高考)已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，CC 1的中点，那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为__________．解析：设正方体的棱长为a .连结A 1E ，可知D 1F ∥A 1E ，∴异面直线AE 与D 1F 所成的角可转化为AE 与A 1E 所成的角， 在△AEA 1中， cos∠AEA 1＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝35. 答案：35答题指导：1.(1)在用平行平移的方法将异面直线所成的角转化为三角形内角时，忽视对三角形内角“即为两异面直线所成角或其补角”的叙述．(2)通过解三角形得到某一内角的余弦值为负值后，忽视角的范围，不知将其转化为正值来处理．2．求异面直线所成角一般用平移法：①一作：即找或作平行线，作出异面直线所成的角． ②二证：即证明作出的角是异面直线所成的角．③三求：解三角形，求出所作的角，注意为锐角或直角．1．关于直线m ，n 与平面α，β，有以下四个命题：①若m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n ；②若m ∥α，n ⊥β且α⊥β，则m ∥n ；③若m ⊥α，n ∥β且α∥β，则m ⊥n ；④若m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n .其中真命题有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．(2012浙江高考)设l 是直线，α，β是两个不同的平面，( )． A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥β B ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β3．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不．正确的是( )．A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC4．(2012浙江杭州模拟)设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；⑤若a，b与c成等角，则a∥b.上述命题中正确的是__________(只填序号)．5．(2012四川高考)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是__________．6．如图所示，平面四边形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的四边上，且直线EH与FG相交于点P，求证：B，D，P三点共线．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)两点 ⊂ (2)不在一条直线 (3)有且只有一条 2．(1)相交直线 平行直线 任何 (2)a ∥c (3)相等或互补 (4)异面直线 锐角(或直角)3．无数个 一个 无 a ⊂α a ∩α＝A a ∥α 4．α∥β α∩β＝l 无数 α⊥β 无数 基础自测 1．A2．B 解析：在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A 错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B 正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C 错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D 错．3．D 解析：对于A ，平行直线的平行投影也可能平行，故A 错误； 对于B ，平行于同一直线的两个平面也可能相交，故B 错误； 对于C ，垂直于同一平面的两个平面也可能相交，故C 错误．4．③ 解析：①a ，c 可能相交、平行或异面；②a ，c 可能相交、平行或异面；③正确；④a ，c 可能相交，平行或异面．5．解：(1)连接EF ，GH .已知E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴EF 12BD .又CG ＝13BC ，CH ＝13DC ，∴HG 13BD .∴EF ∥HG 且EF ≠HG .∴EF ，HG 可确定平面α，即E ，F ，G ，H 四点共面． (2)由(1)知：EFHG 为平面图形，且EF ∥HG ，EF ≠HG . ∴四边形EFHG 为梯形． 设直线FH ∩直线EG ＝O .∵点O ∈直线FH ，直线FH ⊂面ACD ， ∴点O ∈平面ACD . 同理点O ∈平面ABC .又∵面ACD ∩面ABC ＝AC ， ∴点O ∈直线AC .∴直线FH ，EG ，AC 交于点O ，即三直线共点． 考点探究突破【例1】证明：设定线段AB 所在直线为l ，与平面α交于O 点，即l ∩α＝O . 由题意可知，AP ∩α＝C ，BP ∩α＝D ， ∴C ∈α，D ∈α. 又∵AP ∩BP ＝P ，∴AP ，BP 可确定一平面β，且C ∈β，D ∈β. ∴CD ＝α∩β.∵A ∈β，B ∈β，∴l ⊂β.∴O ∈β.∴O ∈α∩β，即O ∈CD .∴不论P 在什么位置，直线CD 必过一定点． 【例2】证明：已知E 是CD 的中点，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，有A ∈平面ABCD ，E ∈平面ABCD ，所以AE ⊂平面ABCD . 又因为AE ∩BC ＝F ，所以F ∈AE . 从而F ∈平面ABCD . 同理G ∈平面ABCD ， 所以FG ⊂平面ABCD .因为EC 12AB ，故在Rt△FBA 中，CF ＝BC ， 同理DG ＝AD .又在正方形ABCD 中，BC AD ， 所以CF DG .所以四边形CFGD 是平行四边形． 所以FG ∥CD .又CD ∥AB ，AB ∥A 1B 1， 所以直线FG ∥直线A 1B 1. 演练巩固提升1．B 解析：若m ∥α，n ∥β且α∥β，则m 与n 可能平行，也可能相交或异面，故①错；若m ∥α，n ⊥β且α⊥β，则m 与n 可能平行，也可能相交或异面，故②错；若m ⊥α，且α∥β，则m ⊥β，又n ∥β，所以m ⊥n ，故③为真命题；若m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n ，故④为真命题．因此真命题有2个．2．B 解析：A 选项中由l ∥α，l ∥β不能确定α与β的位置关系，C 选项中由α⊥β，l ⊥α可推出l ∥β或l ⊂β，D 选项由α⊥β，l ∥α不能确定l 与β的位置关系．3．C 解析：A 中，若AC 与BD 共面，则A ，B ，C ，D 四点共面，则AD 与BC 共面； B 中，若AC 与BD 是异面直线，则A ，B ，C ，D 四点不共面，则AD 与BC 是异面直线； C 中，若AB ＝AC ，DB ＝DC ，AD 不一定等于BC ； D 中，若AB ＝AC ，DB ＝DC ，可以证明AD ⊥BC .4．① 解析：由公理4知①正确；②用“墙角”作为反例，知有a ⊥c 这种可能；③a与c 可能异面或平行；④举反例如图，a ，b 可能相交；⑤可能异面．故只有①正确．5．90° 解析：如图所示，以点D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系D xyz ，设正方体的棱长为2，则1MA uuu r＝(2，－1,2)，DN uuu r ＝(0,2,1)，于是1MA uuu r ·DN uuur ＝0，故异面直线A 1M 与DN 所成的角为90°.6．证明：∵点P是直线EH与FG的交点，∴点P既在直线EH上，也在直线FG上．又直线EH，FG分别在平面ABD和平面BCD内，∴点P既在平面BCD内，又在平面ABD内．故点P必在两平面的交线上，而平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD，即点P在直线BD上．∴B，D，P三点共线．。
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2021年高考数学一轮复习第八章立体几何考点规范练38空间点直线平面之间的位置关系文新人教B版1.在下列命题中,不是公理的是()A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线2.(xx江西宜春中学3月模拟)已知m,n是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面,下列命题正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βC.若m∥α,m∥β,则α∥βD.若m⊥α,n⊥α,则m∥n3.(xx河南濮阳一模)已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不重合的平面.命题p:若α∩β=m,m⊥n,则n⊥α;命题q:若m∥α,m⊂β,α∩β=n,则m∥n.那么下列命题中的真命题是()A.p∧qB.p∨(¬q)C.(¬p)∧qD.(¬p)∧(¬q)4.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是()A.A,M,O三点共线B.A,M,O,A1不共面C.A,M,C,O不共面D.B,B1,O,M共面5.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和a,且长为a的棱与长为的棱异面,则a的取值范围是()A.(0,)B.(0,)C.(1,)D.(1,)6.l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线,q:l1,l2不相交,则()A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件7.b是平面α外一条直线,下列条件中可得出b∥α的是()A.b与α内一条直线不相交B.b与α内两条直线不相交C.b与α内无数条直线不相交D.b与α内任意一条直线不相交8.已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,则α∥β是l⊥m的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.用a,b,c表示三条不同的直线,γ表示平面,给出下列命题:①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若a⊥b,b⊥c,则a⊥c;③若a∥γ,b∥γ,则a∥b;④若a⊥γ,b⊥γ,则a∥b;⑤若a⊥b,b∥c,则a⊥c;⑥若a∥b∥c,则a,b,c共面.其中真命题的序号是.10.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:(1)B,C,H,G四点共面;(2)几何体A1GH-ABC是三棱台;(3)平面EFA1∥平面BCHG.能力提升11.以下四个命题中,①不共面的四点中,其中任意三点不共线;②若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面;③若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;④依次首尾相接的四条线段必共面.正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.312.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与c()A.一定平行B.一定相交C.一定是异面直线D.一定垂直13.(xx江西宜春二模)在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两互相垂直,且AB=4,AC=5,则BC的取值范围是.14.已知m,n,l为不同直线,α,β为不同平面,给出下列命题,其中真命题的序号是(填上所有真命题的序号).①m∥l,n∥l⇒m∥n;②m∥α,n∥α⇒m∥n;③m⊥α,n⊥β,α∥β⇒m∥n;④m⊥α,α⊥β,n⊥β⇒m⊥n;⑤m与l异面,n与l异面⇒m与n异面;⑥m与l共面,n与l共面⇒m与n共面.15.已知空间四边形ABCD中,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边BC,CD的中点.求证:(1)BC与AD是异面直线.(2)EG与FH相交.高考预测16.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱D1D的中点,点F在棱B1B上,且满足B1F=2BF.(1)求证:EF⊥A1C1;(2)在棱C1C上确定一点G,使A,E,G,F四点共面,并求此时C1G的长.参考答案考点规范练38空间点、直线、平面之间的位置关系1.A解析选项A是面面平行的性质定理,是由公理推证出来的,而公理是不需要证明的.2.D解析m,n平行于同一个平面,m,n可能相交、平行、异面,故A错误;α,β垂直于同一个平面γ,α,β可能相交,可能平行,故B错误;α,β平行于同一条直线m,故α,β可能相交,可能平行,故C错误;垂直于同一个平面的两条直线平行,故D正确.3.C解析垂直平面内的一条直线,不能确定直线与平面垂直,所以命题p是假命题;命题q满足直线与平面平行的性质定理,所以命题q是真命题,所以¬p是真命题,可得(¬p)∧q是真命题.4.A解析连接A1C1,AC,则A1C1∥AC,所以A1,C1,A,C四点共面.所以A1C⊂平面ACC1A1.因为M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上.同理A,O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,所以A,M,O三点共线.5.A解析此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体,长为a的棱长一定大于0且小于.6.A解析l1,l2是异面直线⇒l1,l2不相交,即p⇒q;而l1,l2不相交l1,l2是异面直线,即qp.故p是q的充分条件,但不是q的必要条件.7.D解析只有在b与α内所有直线都不相交,即b与α无公共点时,b∥α.8.A解析若α∥β,则由l⊥α知l⊥β,又m⊂β,可得l⊥m,若α与β相交(如图),设α∩β=n,当m∥n时,由l⊥α可得l⊥m,而此时α与β不平行,于是α∥β是l⊥m的充分不必要条件,故选A.9.①④⑤解析①由平行线的传递性(公理4)知①正确;②举反例:在同一平面α内,a⊥b,b⊥c,有a∥c;③举反例:如图的长方体中,a∥γ,b∥γ,但a与b相交;④垂直于同一平面的两直线互相平行,知④正确;⑤显然正确;⑥由三棱柱的三条侧棱知⑥错.10.证明(1)∵GH是△A1B1C1的中位线,∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G四点共面.(2)∵A1G AB,∴AA1与BG必相交.设交点为P,则.同理设CH∩AA1=Q,则,∴P与Q重合,即三条直线AA1,GB,CH相交于一点.又由棱柱的性质知平面A1GH∥平面ABC,∴几何体A1GH-ABC为棱台.(3)∵E,F分别为AB,AC的中点,∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,∴EF∥平面BCHG.∵A1G EB,∴四边形A1EBG是平行四边形,∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF=E,∴平面EFA1∥平面BCHG.11.B解析①中显然是正确的;②中若A,B,C三点共线,则A,B,C,D,E五点不一定共面;③构造长方体或正方体,如图显然b,c异面,故不正确;④中空间四边形中四条线段不共面,故只有①正确.12.D解析两条平行线中一条与第三条直线垂直,另一条直线也与第三条直线垂直,故选D.13.(3,)解析如图所示,问题等价于长方体中,棱长分别为x,y,z,且x2+y2=16,x2+z2=25,求的取值范围,转化为y2+z2=41-2x2,∵x2+y2=16,∴0<x<4,∴41-2x2∈(9,41),即BC的取值范围是(3,).14.①③④解析由平面的基本性质4知①正确;平行于同一平面的两条直线可以平行、相交,也可以异面,故②错误;⇒m∥n,故③为真命题;⇒m⊥n,故④为真命题;如图(1),长方体中,m与l异面,n1,n2,n3都与l异面,但n2与m相交,n1与m异面,n3与m平行,故⑤为假命题;如图(2),长方体中,m与l共面,n与l共面,但m与n异面,故⑥为假命题.(1)(2)15.证明(1)假设BC与AD共面,不妨设它们所共平面为α,则B,C,A,D∈α.所以四边形ABCD为平面图形,这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾,所以BC与AD是异面直线.(2)如图,连接AC,BD,则EF∥AC,HG∥AC,因此EF∥HG.同理EH∥FG,则四边形EFGH为平行四边形.又EG,FH是▱EFGH的对角线,所以EG与FH相交.16.(1)证明如图所示,连接B1D1,∵ABCD-A1B1C1D1为正方体,∴四边形A1B1C1D1为正方形.∴A1C1⊥B1D1.∵BB1⊥平面A1B1C1D1,∴A1C1⊥BB1.∵B1D1∩BB1=B1,∴A1C1⊥平面BB1D1D.∵EF⊂平面BB1D1D,∴EF⊥A1C1.(2)解如图所示,假设A,E,G,F四点共面,则A,E,G,F四点确定平面AEGF, ∵ABCD-A1B1C1D1为正方体,∴平面AA1D1D∥平面BB1C1C.∵平面AEGF∩平面AA1D1D=AE,平面AEGF∩平面BB1C1C=GF,∴由平面与平面平行的性质定理得AE∥GF,同理可得AF∥GE,因此四边形AEGF为平行四边形,∴GF=AE.在Rt△ADE中,AD=a,DE=DD1=,∠ADE=90°,由勾股定理得AE=a,在直角梯形B1C1GF中,下底B1F=BB1=a,腰B1C1=a,GF=AE=a,过点G作GH⊥BB1,交BB1于点H.显然四边形B1C1GH为矩形.故有C1G=B1H,GH=C1B1=a.在Rt△FGH中,FH=B1F-C1G,GH=a.由勾股定理可得GF==a,结合图形可知C1G<B1F,解得C1G=a.。