近世代数习题解答张禾瑞二章

近世代数习题解答第二章 群论1 群论1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?证 不是一个群,因为不适合结合律. 2. 举一个有两个元的群的例子.证 }1,1{-=G 对于普通乘法来说是一个群. 3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件 ''5,4来作群的定义:'4. G 至少存在一个右单位元e ,能让a ae = 对于G 的任何元a 都成立'5. 对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元,1-a 能让 e aa =-1证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由e aa =-1得e a a =-1因为由'4G 有元'a 能使e a a =-'1所以))(()('111a a a a e a a ---= 即 e a a =-1(2) 一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元,意即 由 a ae = 得 a ea = 即 a ea =这样就得到群的第二定义. (3) 证b ax =可解取b a x 1-=这就得到群的第一定义.反过来有群的定义得到''5,4是不困难的.2 单位元,逆元,消去律1. 若群G 的每一个元都适合方程e x =2,那么G 就是交换群. 证 由条件知G 中的任一元等于它的逆元,因此对G b a ∈,有ba a b ab ab ===---111)(.2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.证 (1) 先证a 的阶是n 则1-a 的阶也是n .e e a a e a n n n ===⇒=---111)()(若有n m 〈 使e a m=-)(1 即 e a m =-1)(因而 1-=e a m e a m =∴ 这与a 的阶是n 矛盾.a 的阶等于1-a 的阶 (2) a 的阶大于2, 则1-≠a a 若 e a a a =⇒=-21 这与a 的阶大于2矛盾(3)b a ≠ 则 11--≠b a总起来可知阶大于2的元a 与1-a 双双出现,因此有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数3. 假定G 是个数一个阶是偶数的有限群,在G 里阶等于2的元的个数一定是奇数.证 根据上题知,有限群G 里的元大于2的个数是偶数;因此阶2≤的元的个数仍是偶数,但阶是1的元只有单位元,所以阶 2≤的元的个数一定是奇数.4. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的.证G a ∈故 G a a a a nm∈ ,,,,,,2由于G 是有限群,所以这些元中至少有两个元相等: nma a = )(n m 〈 故 e amn =-m n -是整数,因而a 的阶不超过它.4 群的同态假定在两个群G 和-G 的一个同态映射之下,-→a a ，a 和-a 的阶是不是一定相同? 证 不一定相同例如 }231,231,1{i i G +-+-=对普通乘法-G G ,都作成群,且1)(=x φ(这里x 是G 的任意元,1是-G 的元)由 φ可知 G ∽-G但231,231i i --+-的阶都是3. 而1的阶是1.5 变换群1. 假定τ是集合的一个非一一变换,τ会不会有一个左逆元1-τ,使得εττ=-1?证 我们的回答是回有的},3,2,1{ =A1τ: 1→1 2τ 1→12→1 2→3 3→2 3→4 4→3 4→5 … …τ显然是一个非一一变换但 εττ=-12. 假定A 是所有实数作成的集合.证明.所有A 的可以写成b a b ax x ,,+→是有理数,0≠a 形式的变换作成一个变换群.这个群是不是一个交换群? 证 (1):τ b ax x +→d cb ca +,是有理数0≠ca 是关闭的.(2) 显然时候结合律 (3) 1=a 0=b 则 :ε x x →而εττ=-1所以构成变换群.又 1τ: 1+→x x故1221ττττ≠因而不是交换群.3. 假定S 是一个集合A 的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号τ:)('a a a τ=→ 来说明一个变换τ.证明,我们可以用21ττ: )()]([2121a a a ττττ=→来规定一个S 的乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于这个乘法来说ε还是S 的单位元.证 :1τ )(1a a τ→那么:21ττ )()]([2121a a a ττττ=→ 显然也是A 的一个变换. 现在证这个乘法适合结合律: 故 )()(321321ττττττ= 再证ε还是S 的单位元4． 证明一个变换群的单位元一定是恒等变换。

证 设ε是是变换群G 的单位元 G ∈τ ，G 是变换群，故τ是一一变换，因此对集合A 的任意元a ，有A 的元b ，))(()(a a τεε==a b b ==)()(τετ另证)()(1x x ττε-=根据.7.1习题3知x x =-)(1ττ5. 证明实数域上一切有逆的n n ⨯矩阵乘法来说，作成一个群。

证G ={实数域上一切有逆的n n ⨯矩阵}G B A ∈, 则11--A B 是AB 的逆从而 G B A ∈,对矩阵乘法来说，G 当然适合结合律且E （n 阶的单位阵） 是G 的单位元。

故G 作成群。

6 置换群1. 找出所有3S 的不能和)(123231交换的元.证 3S 不能和)(123231交换的元有 )(),(),(123321123213123132 这是难验证的. 2. 把3S 的所有的元写成不相连的循环置换的乘积解: 3S 的所有元用不相连的循环置换写出来是: (1), (12), (13), (23), (123), (132).3. 证明:(1) 两个不相连的循环置换可以交换 (2) )()(11121i i i i i i k k k --=证(1) ))((121m k k i i i i i +=)(11211132n m m k k nm m k i i i i i i i i i i i i i ++++)(12121113221nm m k k k n m k k k k i i i i i i i i i i i i i i i i +=++++++=()(121211132132ni ii i ii i i i ii i i i i i nm m k k k m k k k +++++++又 m k k i i i 21(++))(21k i i i =)(12121113221nm m k k k n m k k k k i i i i i i i i i i i i i i i i +++++++)(112111132nm m k k n m m k i i i i i i i i i i i i i i ++++=)(121211132132nmm k k k nm k k k i ii i i i i i i ii i i i i i +++++++,故))(())((211121k m k m k k i i i i i i i i i i ++=(2) )())((11121i i i i i i i k k k =- ,故)()(11121i i i i i i k k k --=.3. 证明一个K 一循环置换的阶是K.证 设)()(2113221ki i i i i i k i i i ==π………… 设k h 〈, 那么)()(111i k hh ii i i h ≠=+ π５． 证明n S 的每一个元都可以写成)1(,),13(),12(n 这1-n 个２－循环置换 中的若干个乘积。

证 根据.6.2定理２。

n S 的每一个元都可以写成若干不相干循环置换的乘积 而我们又能证明同时有)1)(1)(1()(111i i i i i l l =, 这样就得到所要证明的结论。

则)(1132n i i i i =π)(1111k k i i i i -=-π 7 循环群 1． 证明 一个循环群一定是交换群。

证)(a G ∈ m a ，G a n ∈ 则m n m n nm nma a a aa a ===++2． 假设群的元a 的阶是n ，证明ra 的阶是dn这里),(n r d =是r 和n 的最大公因子 证 因为d n r =),( 所以,,11dn n dr r ==而 1),(11=n r3.假设a 生成一个阶n 是的循环群G 。

证明ra 也生成G ，假如1),(=n r (这就是说r 和n 互素)证 a 生成一个阶n 是的循环群G ，可得生成元a 的阶是n ，这样利用上题即得所证， 或者，由于1),(=n r 有1=+tn srn r tn sr tn sr a a a a a )(===+ 即)(r a a ∈故ra a )()(=4 假定G 是循环群，并且G 与-G 同态，证明-G 也是循环群。

证 有2。

4。

定理1知G 也是群， 设 G 且-=a a )(φ(φ是同态满射)--∈G b 则存在G b ∈使-=b b )(φ ka b = 因而G ∽-G故k ka a -=)(φ 即ka b -=)(φ 因而kab --= 即?=（?）5．假设G 是无限阶的循环群，-G 是任何循环群，证明G 与-G 同态。

证 ⅰ）设-G 是无限阶的循环群，)(a G = )(--=a G 令ττφ-=a a )(且)()()(ττττφφφa a a a aa a s s s s===⋅--+-所以G ∽-Gⅱ）设)(--=a G 而-a 的阶是n 。

令ψ：11k h a a-→ 当且只当111k nq h +=,n k 〈≤10易 知ψ是G 到-G 的一个满射设k nq k k +=+21则212121)(k k q q n h h ++=+k q q q n +++=)(21 那么 k h h a a a-→212121k k k k qk q a a aaa --+-+--===G ∴∽-G8 子群1．找出S3的所有子群证S3={)132(),123(),23(),13(),12(),1(}的子群一定包含单位元)1(。

ⅰ）S3本身及只有单位元)1(都是子群ⅱ）包含)1(和一个2一循环的集合一定是子群因)1()(),())(1(2==ij ij ij2H ={)12(),1(}，3H ={)13(),1(}， 4H ={)23(),1(}亦为三个子群ⅲ）包含)1(及两个3—循环置换的集合是一个子群)()(2ijk ijk =， )1())((=ikj ijk 5H ={)132(),123(),1(}是子群，3S 有以上6个子群，今证只有这6个子群，ⅳ）包含)1(及两个或三个2—循环置换的集合不是子群因)())((ijk ik ij =不属于此集合 ⅴ)若一集合中3—循环置换只有一个出现一定不是子群 因)()(2ikj ijk =ⅵ)一个集合若出现两个3—循环置换及一个2—循环置换不是子群 因)())((ik ijk ij =ⅶ）3—循环置换及2—循环置换都只有两个出现的集合不是子群 因若)(),(ik ij 出现 则)(0)((jk ijk ij = 故3S 有且只有6个子群。