3.3.1一次函数与二次函数的图像与性质
二次函数和一次函数的关系
二次函数和一次函数的关系二次函数和一次函数是数学中常见的两种函数形式。
它们之间存在着一定的联系和区别，在实际应用中也有各自的作用和特点。
本文将就二次函数和一次函数的关系进行探讨和分析。
一、二次函数和一次函数的定义首先，我们先来了解二次函数和一次函数的定义。
一次函数是指形式为y=ax+b的函数，其中a和b为常数且a不等于0；而二次函数则是指形式为y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a不等于0。
可以看出，二次函数是一次函数的进一步延伸，多了一个平方项。
二、二次函数和一次函数的图像二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线，而一次函数的图像则是一条直线。
二次函数的图像经过抛物线的顶点，而一次函数的图像则为一条斜直线。
通过图像我们可以清晰地看出二次函数和一次函数在几何意义上的不同。
三、二次函数和一次函数的导数导数是函数的变化率，对于一次函数而言，导数是一个常数，代表函数的斜率；而对于二次函数，导数则会随着自变量的变化而发生变化，代表的是函数曲线在某一点的切线斜率。
从导数的角度来看，一次函数和二次函数也有明显的差异。
四、二次函数和一次函数的解析式二次函数的解析式中含有平方项，具有更高次的多项式，相对而言计算复杂度会高一些；而一次函数的解析式更为简单，只涉及到一次幂的计算。
因此，在计算和求解问题时，选择合适的函数形式也显得尤为重要。
五、二次函数和一次函数的应用领域二次函数在物理学、经济学等领域有着广泛的应用，例如抛物线运动、开口向上的碗状图案等；而一次函数则在线性规划、直线运动等方面有着重要作用。
在不同的应用场景下，选择适合的函数形式可以更好地描述和解决问题。
六、二次函数和一次函数的关系总结综上所述，二次函数和一次函数虽然在形式上有所不同，但它们之间同样存在紧密的联系。
二次函数可以看作是一次函数向更高阶的发展，具有更为复杂的特性和应用；而一次函数则是更为简单和直接的线性关系。
因此，在实际应用中，了解并灵活运用二次函数和一次函数的关系，可以更好地应对各种问题和挑战。
一次函数与二次函数的性质及其像
一次函数与二次函数的性质及其像一次函数和二次函数在数学中扮演着重要的角色。
本文将探讨一次函数和二次函数的性质以及它们的像。
我们将首先介绍一次函数，然后转向二次函数，并详细讨论两者的相似之处和不同之处。
一、一次函数（线性函数）一次函数是指具有以下形式的函数：f(x) = ax + b，其中a和b为常数，且a不等于零。
一次函数的图像是一条直线，直线的斜率为a，截距为b。
斜率表示了直线的倾斜程度，截距则表示了直线与y轴的交点。
一次函数的性质：1. 直线的斜率决定了函数的增减性。
当斜率大于零时，函数单调递增；当斜率小于零时，函数单调递减。
2. 零点是一次函数的特殊点，即f(x) = 0的解。
零点表示函数与x轴的交点，也就是函数的根。
3. 一次函数的图像是一条直线，因此没有曲线部分。
4. 一次函数的像是一条直线。
二、二次函数（抛物线函数）二次函数是指具有以下形式的函数：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b 和c为常数，且a不等于零。
二次函数的图像是一条抛物线，抛物线可能开口向上（a>0）或向下（a<0），具体取决于二次函数的开口方向。
二次函数的性质：1. 抛物线的顶点是二次函数的特殊点，即顶点的横坐标为 -b/2a。
顶点表示抛物线的最高或最低点。
2. 当二次函数的a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 抛物线的轴对称线是与抛物线关于该线对称的直线，其方程为x = -b/2a。
4. 二次函数的像是一条抛物线。
一次函数与二次函数的相似之处：1. 一次函数和二次函数都是多项式函数的特殊形式。
2. 一次函数和二次函数都是连续函数，其图像没有间断。
3. 一次函数和二次函数的像都可以用解析式表示。
一次函数与二次函数的不同之处：1. 一次函数是一条直线，而二次函数是一条抛物线。
2. 一次函数的最高次幂是1，而二次函数的最高次幂是2。
3. 一次函数的图像没有曲线部分，而二次函数的图像有曲线部分。
二次函数和一次函数的概念和性质
二次函数和一次函数的概念和性质二次函数和一次函数是数学中常见的两种函数类型。
它们在数学领域具有重要的概念和性质。
本文将介绍二次函数和一次函数的定义、图像特征、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、二次函数的概念和性质二次函数是指函数的公式中含有二次方项的函数形式。
一般来说，二次函数的标准形式为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b和c是常数，且a不等于0。
二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的抛物线。
当a大于0时，抛物线开口朝上；当a小于0时，抛物线开口朝下。
二次函数的图像特征还包括顶点坐标和轴对称性。
对于标准形式的二次函数f(x)，顶点的x坐标为 -b/2a，y坐标为 f(-b/2a)。
此外，二次函数具有轴对称性，即以顶点为对称轴。
二、一次函数的概念和性质一次函数是指函数的公式中只含有一次方项的函数形式。
一般来说，一次函数的标准形式为：f(x) = mx + b其中，m和b是常数，且m不等于0。
一次函数的图像通常是一条直线，具有斜率和截距。
一次函数的斜率表示函数图像的倾斜程度，斜率越大，函数图像的倾斜程度越大；斜率为正表示函数上升，斜率为负表示函数下降。
一次函数的截距表示函数图像与y轴的交点坐标。
三、二次函数和一次函数的比较1. 图像特征：二次函数的图像为抛物线，具有开口方向、顶点和轴对称性；一次函数的图像为直线，具有斜率和截距。
2. 变化趋势：二次函数的变化趋势在抛物线上是非线性的，根据a的正负值可以分为开口向上或开口向下的情况；一次函数的变化趋势线性，变化速率恒定。
3. 特殊性质：二次函数的顶点坐标可以通过公式 -b/2a 计算得出，具有对称性；一次函数没有特殊的对称性质。
四、二次函数和一次函数的应用1. 二次函数的应用：二次函数在物理学、经济学和工程学等领域有广泛的应用。
例如，自由落体运动的物体高度和时间的关系、抛物线轨迹的碰撞问题等都可以使用二次函数进行建模和解决。
2. 一次函数的应用：一次函数在线性方程组、经济学和工程学中也有重要的应用。
反比例函数一次函数二次函数性质与图像
反比例函数1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。
2、性质：1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限,y随x的增大而增大。
2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
定义域为x≠0；值域为y≠0。
3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。
4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K|5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。
6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。
7.设在平面有反比例函数y=k/x 和一次函数y=mx+n ，要使它们有公共交点，则n^2+4k ·m ≥（不小于）0。
8.反比例函数y=k/x 的渐近线：x 轴与y 轴。
9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x 轴对称,并且关于原点中心对称.10.反比例上一点m 向x 、y 分别做垂线，交于q 、w ，则矩形mwqo （o 为原点）的面积为|k|11.k 值相等的反比例函数重合，k 值不相等的反比例函数永不相交。
12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。
13.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
一次函数与二次函数的性质比较
一次函数与二次函数的性质比较一次函数和二次函数是数学中常见的两种函数形式，它们在图像形状、特征以及应用领域上有着显著的不同。
本文将就一次函数和二次函数的性质方面进行比较，并通过实例来说明它们在实际问题中的应用。
一、图像形状比较一次函数的图像是一条直线，它的数学表达式为y = ax + b，其中a和b为常数，a表示直线的斜率，b表示直线与y轴的截距。
在直角坐标系中，一次函数的图像呈现为一条直线，斜率决定了直线的倾斜方向和陡峭程度，截距决定了直线与y轴的交点。
一次函数的图像特点是直线，不会有凹凸或者拐点。
二次函数的图像是一个抛物线，它的数学表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，a不为零。
在直角坐标系中，二次函数的图像呈现为一个开口朝上或者朝下的抛物线，a决定了抛物线的开口方向和开口的大小，b表示抛物线的平移，c表示抛物线与y轴的交点。
二次函数的图像特点是曲线，有一个最高点或者最低点，称为顶点，也可能与x轴交于两点。
二、特征比较一次函数和二次函数在一些特征上也有着明显的差异。
1. 斜率与曲率：一次函数的斜率是恒定的，而二次函数的斜率是变化的。
一次函数的斜率代表了函数图像的倾斜程度，也表示了函数在x轴方向上的单位变化量。
二次函数的斜率则反映了抛物线的斜率变化率，即曲线在不同点的陡峭程度。
2. 零点与顶点：一次函数的零点是表示函数与x轴的交点，即函数值为0的点。
一次函数只有一个零点，除非函数是常数函数。
二次函数的零点可能有两个，一个抛物线与x轴的交点称为根，二次函数的根可以是实数根或者复数根。
二次函数的顶点是抛物线的最高点或者最低点，是函数的最值点。
3. 面积与符号：一次函数的面积是一个个矩形，由于直线与x轴的交点与x坐标轴构成矩形的底边，而直线值的高度为常数，所以矩形的面积是利用长乘以宽来计算的。
二次函数的面积则是一个个梯形的面积，梯形的面积计算公式为：(上底 + 下底) ×高 ÷ 2。
二次函数的图像和性质
练习
1.把抛物线 y 1 x2 向下平移2个单位,可以得到 抛物线 y 12x2 ,2再向上平移5个单位,可以
2 得到抛物线
y 1 x2 ；3
2
2.对于函数y= –x2+1,当x ＜0时,函数值y随x的
增大而增大；当x ＞时0,函数值y随x的增大
而减小；当x
时=0,函数取得最 值, 大
为0 .
7 6 5 4 3
y 2x2 1
0,1
2 y 2x2
1
函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象有什么联系 1、函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相
同,但顶点坐标不同,函数y＝ 2x2的图象的顶点坐标是0,0,
而函数y＝2x2＋1的图象的顶点坐标是0,1. 2、函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函数y＝2x2的图 象向上平移一个单位得到的.
线有什么共同点和不同点．
你画出的图象与图中相同吗
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3
y
1 2
x2
···
－8
－4.5
－2 －0.5
0
－0.5
－2 －4.5
4 ··· ···
－8
x
y 2x2
·· －2 · －8 ·· ·
－1.5 －4.5
对比抛物线,y=x2 和y=－x2.它们关 于x轴对称吗 一般 地,抛物线y=ax2和
7
6 5
y2x2 1
4
3
2 y 2x2
1
你能由函数y＝2x2的性质,得到函数y＝2x2＋1的一些性质 吗
完成填空：
当x__﹤__0__时,函数值y随x的增大而减小；当x___﹥__0_时, 函数值y随x的增大而增大,当x______时=,0函数取得最______ 值,最小______值y＝_小_____． 1
一次、二次函数图象与性质
x
o
(0,c)
y
y a( x h) k
2
o
x
y
y a( x x1 )( x x2 )
o
x
已知条件…时，宜选用…式
一般式 对称轴 & 与Y轴交点
常见用处
代数分析
顶点式
顶点（对称轴）
图像平移 实际问题
求根 实际问题
交点式
与X轴交点
除非无特殊点（数轴交点，顶点），否则优先考虑顶点式与交点式
平行于 y = k x ,可由它平移而得
当k>0时,y随x的增大而增大; 当k<0时,y随x的增大而减小.
应 用
(1). 待定系数法;43;b b k
x o
1
k : 斜率 b : Y轴截距
k>0
b>0
k<0 b<0
k+ 0
k-
•
1.已知一次函数y=kx+b,y随着x的增大而减小,且kb<0, 则在直角坐标系内它的大致图象是( A )
一次函数图像与性质
一次函数的概念： 函数y=kx+b (k、b为常数，k ≠0)叫做一次函数。 当b=0时，函数y=kx(k ≠0)叫做正比例函数。
y=k xn +b为一次函数的条件是什么?
一. 指数n=1
二.
系数 k ≠0
解析式
正 比 例 函 数 y = k x ( k≠0 ) k>0 k<0
k>0,b>0
一 次 函 数 ｙ=k x + b（k ≠0） k>0 y o x
k>0,b<0
k<0 y x
反比例函数一次函数二次函数性质及图像
在工程学中，反比例函数、一次函数和二次函数可以用来描 述各种工程问题的数学模型，如结构优化、路径规划等。利 用这些函数的性质和图像，可以进行工程设计和优化，提高 工程质量和效率。
感谢您的观看
THANKS
顶点
二次函数的顶点坐标为 $left(frac{b}{2a}, c frac{b^2}{4a}right)$。
04
图像特征
01
02
03
04
形状
二次函数的图像是一条抛物线 。
位置
根据 $a$、$b$、$c$ 的取值 ，抛物线的位置会有所不同。
与坐标轴的交点
令 $y = 0$ 可求得与 $x$ 轴 的交点，令 $x = 0$ 可求得
05
函数图像比较
图像的平移与伸缩
平移
函数图像在平面直角坐标系中的位置可以通过平移来改变。对于一次函数和二次函数，图像可以沿x轴或y轴进 行平移，而对于反比例函数，图像可以沿原点进行平移。
伸缩
函数图像的形状可以通过伸缩来改变。对于一次函数，图像的伸缩表现为斜率的改变；对于二次函数，图像的 伸缩表现为开口大小或方向的改变；对于反比例函数，图像的伸缩表现为离原点的远近。
单调性
反比例函数
反比例函数的单调性取决于其定义域。在每个象限内，反比例函数都是单调的，但在整个 定义域内不是单调的。
一次函数
一次函数的单调性取决于其斜率。当斜率大于0时，函数在整个定义域内单调递增；当斜 率小于0时，函数在整个定义域内单调递减。
二次函数
二次函数的单调性取决于其二次项系数的正负和对称轴的位置。当二次项系数为正时，函 数在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增；当二次项系数为负时，函数在对称轴 左侧单调递增，在对称轴右侧单调递减。
二次函数与一次函数
二次函数与一次函数二次函数和一次函数都是高中数学课程中的重要内容，它们在代数学中有着广泛的应用。
本文将详细介绍二次函数和一次函数的定义、特征以及它们之间的关系。
一、二次函数的定义和特征二次函数是一个非常常见的函数形式，其一般表达式为 f(x) = ax² + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0。
二次函数的图像通常为一个开口朝上或朝下的抛物线。
1. 零点和解析式二次函数的零点是指使函数等于零的 x 值。
对于二次函数 f(x) = ax²+ bx + c，其零点可以通过求解二次方程 ax² + bx + c = 0 来获得。
一般情况下，二次函数有两个零点，除非该函数没有实数解。
2. 对称轴和顶点二次函数的对称轴是垂直于函数图像的一条直线，它通过抛物线的最高点或最低点，也称为顶点。
对称轴的方程可以通过将二次函数的 x 换成 -b/2a 来得到。
3. 开口和凹凸性二次函数的开口方向由 a 的正负决定。
当 a > 0 时，抛物线开口朝上；当 a < 0 时，抛物线开口朝下。
凹凸性是指在对应开口的一侧，抛物线的曲率是向上还是向下，与开口的方向相反。
4. 函数图像二次函数的图像形状是一个抛物线。
根据 a 的正负和顶点的位置，抛物线的形态可以有所不同。
当 a > 0 时，抛物线开口朝上，顶点位于图像的最低点；当 a < 0 时，抛物线开口朝下，顶点位于图像的最高点。
二、一次函数的定义和特征一次函数也被称为线性函数，其一般表达式为 f(x) = kx + b，其中 k 和 b 是常数，且k ≠ 0。
一次函数的图像通常是一条直线。
1. 斜率和截距一次函数的斜率 k 表示函数图像的倾斜程度。
斜率可以表示为两个不同点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
截距 b 表示函数图像与 y轴的交点的纵坐标。
2. 与二次函数的关系一次函数与二次函数在数学中有着密切的联系。
二次函数与一次函数的关系与计算
二次函数与一次函数的关系与计算二次函数和一次函数是高中数学中重要的概念，它们在数学和实际应用中都有广泛的应用。
本文将介绍二次函数与一次函数的基本概念、关系以及计算方法。
一、二次函数的定义与性质二次函数是指函数的方程呈现二次多项式的形式。
二次函数的一般形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。
二次函数的图像一般是抛物线形状，开口方向由系数a的正负确定。
二次函数的性质包括：1. 对称性：二次函数的图像关于直线x = -b/2a对称。
这意味着如果函数值f(x)在某点x处为y，那么在以(-b/2a,-y)为对称中心的点处，函数值也为y。
2. 零点与根的关系：如果一个实数x使得f(x) = 0，则称x为二次函数的一个零点或根。
二次函数的零点可以通过求解方程ax^2 + bx + c =0来得到。
3. 极值点：当二次函数的开口朝上时，函数的最小值称为极值点；当二次函数的开口朝下时，函数的最大值称为极值点。
极值点的纵坐标可以通过计算函数的顶点坐标得到，顶点的横坐标为 -b/2a。
二、一次函数与二次函数的关系一次函数和二次函数之间存在一定的关系。
如果将二次函数 f(x) =ax^2 + bx + c 中的a、b、c值分别取成0，那么得到的就是一次函数 f(x) = bx + c。
也就是说，一次函数是二次函数在a为0的特殊情况下的简化形式。
另外，二次函数的图像是一个抛物线，而一次函数的图像则是一条直线。
所以，可以说一次函数是二次函数的一种特殊情况。
三、二次函数与一次函数的计算在计算中，我们需要了解一些关于二次函数和一次函数的计算方法。
1. 计算二次函数的零点：要计算二次函数的零点，我们可以将二次函数的方程设置为0，然后使用求根公式或配方法进行计算。
我们可以使用以下求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)根据这个公式，可以求得二次函数的根。
二次函数与一次函数的比较
二次函数与一次函数的比较二次函数和一次函数是数学中常见的两种函数类型，它们在图像形状、增长趋势和应用领域等方面有着明显的不同。
本文将就二次函数与一次函数在这些方面的比较进行详细的论述。
1. 图像形状比较二次函数的图像通常为一个抛物线，其形状可以是开口向上或开口向下。
而一次函数的图像则是一条直线。
抛物线具有曲线性质，而直线则是一种线性图像。
这两种图像形状的差异决定了它们的性质和特点。
2. 增长趋势比较二次函数随着自变量的增大或减小呈现出一种非线性的变化趋势。
具体来说，当二次函数的二次项系数大于0时，它的图像开口向上；当二次项系数小于0时，图像开口向下。
而一次函数在自变量增大或减小时呈现一种线性的变化趋势，增长速率是恒定的。
3. 零点、极值点比较二次函数和一次函数在零点和极值点的表现也有所不同。
二次函数的零点是方程的解，可用求根公式求得。
而一次函数的零点则直接通过一次方程求解。
对于二次函数，当抛物线与x轴交点处有极值时，该极值点被称为顶点，可以通过平方完成调整求得。
而一次函数没有极值点，只有一个斜率。
4. 应用领域比较二次函数在物理学、工程学、计算机图形学等领域中有着广泛的应用。
例如，在物理中，抛物线的运动轨迹通常由二次函数描述；在工程中，通过调整二次函数的参数，可以实现曲线的优化；在计算机图形学中，抛物线曲线的生成与渲染是常见的技术。
与之相比，一次函数在直线运动和线性增长方面有着广泛的应用，如速度和距离的线性关系等。
综上所述，二次函数与一次函数在图像形状、增长趋势、零点和极值点以及应用领域上存在明显差异。
对于研究这两种函数的数学学生来说，深入理解和比较二者的特点，对于解决实际问题和拓宽数学思维具有重要意义。
一次函数与二次函数的基本性质
一次函数与二次函数的基本性质一次函数和二次函数是数学中常见的两类函数。
它们在数学建模、物理学、经济学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍一次函数和二次函数的基本性质，并比较它们之间的异同点。
一、一次函数的基本性质1. 定义：一次函数又称为线性函数，其定义为f(x) = ax + b，其中a 和b为常数，且a≠0。
一次函数的图像是一条直线。
2. 斜率：一次函数的斜率表示函数图像的倾斜程度，计算方法为斜率k = Δy / Δx = (f(x₂)-f(x₁)) / (x₂-x₁)。
斜率为正时，函数图像向上倾斜，斜率为负时，函数图像向下倾斜，斜率为0时，函数图像水平。
3. 截距：一次函数的截距是函数图像与坐标轴的交点。
当x=0时，函数图像与y轴的交点为y-intercept，即为函数的纵截距。
当y=0时，函数图像与x轴的交点为x-intercept，即为函数的横截距。
4. 性质：一次函数图像是一条直线，其特点是斜率恒定。
另外，一次函数的定义域和值域都是实数集。
二、二次函数的基本性质1. 定义：二次函数又称为抛物线，其定义为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b和c为常数，且a≠0。
二次函数的图像是一个开口向上或向下的曲线。
2. 零点：二次函数的零点是函数图像与x轴的交点，也就是使得f(x) = 0的x值。
零点可以通过求解二次方程ax² + bx + c = 0来得到。
3. 顶点：二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点，其横坐标x = -b / 2a 可以通过公式来计算得到。
4. 对称轴：二次函数的对称轴是函数图像的对称线，过顶点且垂直于x轴。
对称轴的方程为x = -b / 2a。
5. 性质：二次函数的图像是一个开口向上或向下的曲线。
当a>0时，图像开口向上，函数有最小值；当a<0时，图像开口向下，函数有最大值。
二次函数的定义域是实数集，而值域则依赖于a的正负情况。
二次函数与一次函数的比较
二次函数与一次函数的比较二次函数和一次函数是高中数学中常见的两类函数，二次函数是一元二次方程的图像，而一次函数则是一元一次方程的图像。
本文将通过比较二次函数和一次函数在形式、性质和应用等方面的差异，帮助读者更好地理解这两类函数并应用于实际问题中。
一、形式比较1. 二次函数的一般形式为：f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
a称为二次项的系数，b称为一次项的系数，c称为常数项。
2. 一次函数的一般形式为：f(x) = kx + m，其中k和m都是常数，且k ≠ 0。
k称为斜率，表示函数直线的倾斜程度；m称为截距，表示函数直线与y轴交点的纵坐标。
二、性质比较1. 增减性：二次函数的增减性由二次项的系数a决定。
若a > 0，则函数图像开口向上，呈现开口向上的抛物线形状，函数值随x的增大而增大；若a < 0，则函数图像开口向下，呈现开口向下的抛物线形状，函数值随x的增大而减小。
一次函数的斜率k决定了其增减性。
若k > 0，则函数图像从左到右递增，函数值随x的增大而增大；若k < 0，则函数图像从左到右递减，函数值随x的增大而减小。
2. 平移性：二次函数和一次函数均可通过平移改变其位置。
二次函数的平移可通过调整顶点坐标来实现，平移后保持抛物线的形状不变；一次函数的平移可通过调整截距来实现，同时保持直线斜率不变。
3. 零点：二次函数和一次函数的零点分别对应方程 f(x) = 0的解。
二次函数可以有0、1或2个不同的零点，而一次函数只有一个零点。
4. 最值：二次函数具有极值，最值的位置由顶点坐标决定。
若a > 0，则抛物线的顶点是最小值点；若a < 0，则抛物线的顶点是最大值点。
而一次函数没有最值，因为其图像为一条直线。
三、应用比较1. 二次函数的应用：二次函数广泛应用于抛物线的研究、物理和工程问题中。
例如，抛物线的运动轨迹、物体的抛射高度、天桥的设计等均可以建模为二次函数来计算和分析。
一次函数与二次函数的图像与性质
一次函数与二次函数的图像与性质一次函数和二次函数是数学中常见的函数类型。
它们在图像和性质上有着明显的区别。
本文将分别对一次函数和二次函数的图像及性质进行介绍。
一、一次函数的图像与性质一次函数又称为线性函数，它的表达式为y = ax + b，其中a和b是常数，且a ≠ 0。
一次函数的图像是一条直线，具有以下性质：1. 斜率：一次函数的斜率代表了直线的倾斜程度。
斜率为正值时，直线向右上方倾斜；斜率为负值时，直线向右下方倾斜；斜率为零时，直线为水平线。
2. 截距：一次函数的截距代表了直线与y轴的交点。
当x=0时，直线与y轴的交点为截距b。
3. 线性关系：一次函数的图像是一条直线，表示了两个变量之间的线性关系。
直线方程中的斜率a表示了自变量x单位增加时因变量y的增加量。
二、二次函数的图像与性质二次函数的一般形式为y = ax² + bx + c，其中a、b和c是常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像是一条抛物线，具有以下性质：1. 开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 零点：二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，也就是函数的根。
零点也是方程y=0的解。
3. 极值点：二次函数的极值点是指函数图像的最高点或最低点。
当抛物线开口向上时，极值点是最低点；开口向下时，极值点是最高点。
4. 对称轴：二次函数的对称轴是指抛物线的中心线，对称轴的方程为x=-b/(2a)。
对称轴把抛物线分为两个对称的部分。
5. 最值：二次函数的最值是指函数图像的最低点或最高点的纵坐标值。
总结：一次函数和二次函数在图像与性质上具有明显的区别。
一次函数的图像是一条直线，具有斜率和截距，表示了线性关系。
而二次函数的图像是一条抛物线，具有开口方向、零点、极值点、对称轴和最值等性质。
了解和掌握一次函数和二次函数的图像与性质，对于数学问题的解决和实际应用具有重要意义。
一次函数与二次函数的图像特征
一次函数与二次函数的图像特征一、引言在数学学科中，一次函数和二次函数是基础且重要的概念。
它们在数学建模、物理学、经济学等领域中都有广泛的应用。
本文将对一次函数和二次函数的图像特征进行详细讨论，以加深我们对这两种函数的理解。
二、一次函数的图像特征一次函数的一般形式为y = kx + b，其中k和b为常数。
一次函数的图像为一条直线，可以通过两个点来确定。
1. 斜率一次函数的斜率k决定了函数图像的倾斜程度。
当k大于0时，函数图像向右上方倾斜；当k小于0时，函数图像向右下方倾斜；当k等于0时，函数图像为水平线。
2. 截距一次函数的截距b决定了函数图像与y轴的交点。
当b大于0时，函数图像在y轴上方与其相交；当b小于0时，函数图像在y轴下方与其相交；当b等于0时，函数图像经过原点(0,0)。
三、二次函数的图像特征二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数。
二次函数的图像为一条抛物线，也可以通过一些关键点来确定。
1. 开口方向二次函数的系数a决定了抛物线的开口方向。
当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
2. 零点在二次函数上，零点指的是函数与x轴相交的点。
通过求解方程ax^2 + bx + c = 0，可以得到二次函数的零点。
零点可能有两个、一个或零个，这取决于方程的判别式b^2 - 4ac的值。
3. 顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点。
顶点的横坐标由公式x = -b/2a给出，纵坐标则可以通过将横坐标代入函数方程得到。
四、总结一次函数和二次函数在图像上有着明显的特征区别。
一次函数的图像为一条直线，斜率和截距决定了函数的方向和位置；而二次函数的图像为一条抛物线，开口方向、零点和顶点则决定了函数的整体形状。
通过对一次函数和二次函数的图像特征的学习，我们能更好地理解这两种函数的性质和应用。
在实际问题中，通过分析函数图像的特征，我们能够更准确地描述问题、解决问题，为数学建模和实际应用提供有力支持。
二次函数与一次函数的像与性质
二次函数与一次函数的像与性质在数学中，函数是描述不同元素间关系的一种工具。
二次函数和一次函数是两种常见的函数类型，它们在图像形状、性质和应用方面存在着一些明显的差异。
本文将探讨二次函数和一次函数的像与性质，并简要介绍它们在实际生活中的应用。
一、二次函数的像与性质二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数。
二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口方向取决于a的正负。
以下是对二次函数的一些重要性质的介绍：1. 零点：二次函数的零点是函数与x轴相交的点，即令y=0时对应的x值。
根据二次函数的定义，可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c =0来确定零点的值。
2. 顶点：二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，其坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
顶点坐标可以通过急升或求导的方法来找到。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点为最高点。
3. 对称轴：二次函数的对称轴是过顶点的垂直线，其方程为x = -b/2a。
对称轴将抛物线分为两个对称的部分。
左侧部分的y值与右侧部分的y值相等，即满足函数关系。
4. 开口方向：二次函数的开口方向取决于系数a的正负。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
5. 函数值范围：根据二次函数的开口方向，可以确定函数的最小值或最大值。
当a>0时，函数的最小值为顶点的y值；当a<0时，函数的最大值为顶点的y值。
二、一次函数的像与性质一次函数的一般形式为y = mx + b，其中m、b是常数。
一次函数的图像通常是一条直线，其斜率m决定了直线的斜率和方向。
以下是对一次函数的一些重要性质的介绍：1. 斜率：一次函数的斜率表示直线的倾斜程度，可以通过两点间的坐标差值来计算。
如果两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，那么斜率m = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
一次函数与二次函数的像性质比较
一次函数与二次函数的像性质比较一次函数和二次函数是高中数学中常见且重要的数学概念。
它们在图像性质上有着一些明显的区别和相似之处。
本文将会比较一次函数与二次函数的像性质，以帮助读者更好地理解这两种函数的特点。
1. 函数定义与图像特点一次函数的定义为y = kx + b，其中k和b为常数，k表示斜率，b表示y轴截距。
一次函数的图像是一条直线，特点是具有恒定的斜率，即每单位横坐标x的变化所对应的纵坐标y的变化都相同。
二次函数的定义为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，a不等于零。
二次函数的图像是抛物线，特点是开口方向、开口程度、顶点位置等可以通过参数a、b和c来确定。
2. 斜率或导数一次函数的斜率恒定，可以通过斜率k来表示。
斜率为正时，函数图像向上倾斜；斜率为负时，函数图像向下倾斜；斜率为零时，函数图像水平。
二次函数的斜率是变化的，由导数来表示。
导数在不同的x值处可能为正、负或零。
当导数为正数时，函数图像在该点上升；当导数为负数时，函数图像在该点下降；当导数为零时，函数图像达到顶点或者底点。
3. 零点和交点一次函数的零点表示函数图像与x轴的交点，即方程kx + b = 0的解。
一次函数只有一个零点，当k不等于零时，零点存在且唯一。
二次函数的零点表示函数图像与x轴的交点，即方程ax^2 + bx + c = 0的解。
二次函数可能有两个零点、一个零点或者没有零点，具体情况取决于方程的解。
4. 最值点和顶点一次函数没有最值点，因为直线是无限延伸的。
它的图像可以取得任意大或任意小的值。
二次函数的顶点是抛物线的最值点，可以通过求导数或者配方法来确定。
当a大于零时，顶点为最小值点；当a小于零时，顶点为最大值点。
5. 对称性一次函数的图像关于直线y = x对称，即在直线y = x上的任意点(x, y)，对应的点(y, x)也在函数图像上。
二次函数的图像关于它的顶点对称。
顶点是抛物线的对称轴。
结论：一次函数和二次函数在图像性质上有着明显的区别。
二次函数与一次函数的比较
二次函数与一次函数的比较一、引言数学中，函数是一种非常重要的概念，我们常常会碰到各种各样的函数。
其中，二次函数和一次函数是非常常见的两种类型。
二次函数是指函数的最高次项是二次的代数函数，而一次函数则是指函数的最高次项是一次的代数函数。
本文将比较二次函数和一次函数在不同方面的特点和应用，并分析它们的区别。
二、定义和表达式1. 二次函数的定义及表达式二次函数的一般形式可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
二次函数的图像通常是一个抛物线。
2. 一次函数的定义及表达式一次函数的一般形式可以表示为：f(x) = kx + c，其中k、c为常数，k ≠ 0。
一次函数的图像通常是一条直线。
三、图像特征比较1. 二次函数的图像特征二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由a的正负决定。
若a>0，则抛物线开口向上；若a<0，则抛物线开口向下。
二次函数的图像还包括顶点、对称轴等特征。
2. 一次函数的图像特征一次函数的图像是一条直线，其斜率由k决定。
若k>0，则直线向上倾斜；若k<0，则直线向下倾斜。
一次函数的图像还包括截距、斜率等特征。
四、性质比较1. 二次函数的性质（1）二次函数的定义域是全体实数集R，值域取决于a的正负；（2）二次函数的奇偶性与a有关，当a为偶数时，二次函数是偶函数；当a为奇数时，二次函数是奇函数；（3）二次函数在顶点处取得极值，当a>0时，顶点为最小值；当a<0时，顶点为最大值。
2. 一次函数的性质（1）一次函数的定义域是全体实数集R，值域也是全体实数集R；（2）一次函数是一种线性函数，具有常比例关系；（3）一次函数是增函数或减函数，取决于k的正负。
五、应用比较1. 二次函数的应用二次函数在物理学、经济学等领域都有广泛的应用。
例如，抛物线的形状可以描述物体的飞行轨迹；二次函数的极值点可以表示成本最小或收益最大的情况等。
《初中数学》二次函数与一次函数图像与性质的结合.doc
《初中数学》二次函数与一次函数图像与性
质的结合
在学完二次函数之后或者在中考复习时，经常会碰到下面类型的题:
(一次函数与二次函数的系数中有相同字母)
类型一:给你一个一次函数(二次函数)的图像，判断二次函数(一次函数)图像的位置。
做法:由已知函数的图像判断出系数字母的符号，再看这些字母在另一个函数中的作用，并据此判断出函数图像的位置。
类型二:判断在同一个坐标系中一次函数和二次函数的位置关系。
做法:四个选项可以一个一个看。
先根据一次函数的位置判断未知字母的符号，再对应到二次函数图像上，对应的上，就对；对应不上，就错。
第二题，因为两个函数解析式中只有m这一个未知数，故可以根据m＞0和m＜0分成两种情况判断。
不用一个一个去看了。
第二种类型是常考的。
当学习完反比例函数后，还会有一次函数、二次函数和反比例函数两两结合或三者结合。
做法大同小异。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
判断最值(或求值域)的步骤： 判断单调性的步骤：
1、判断开口方向 2、求出对称轴方程 3、画出简图判断
2、根据顶点公式求出顶点纵坐标的值，即最大(小)值
1、判断开口方向，确定最大还是最小
练习评讲：
P63基础训练1，2，3, 4
补充结论：
1 、若二次函数y ax2 bx c与x轴交点为： ( x1,0), ( x2 ,0)
结
论
x离对称轴越近， 对应的y值就越小
x离对称轴越近，
对应的y值就越大
补充：数a、b的距离= a b
练习：已知二次函数y f ( x)开口向下, 对称轴是x 1, 试比较f (0), f (1), f (4)的大小。
例题解析：
P63例1(@变式训练) 例2@变式训练
一次函数
一次函数的概念：
函数 y = ______( kx＋b k ，b是常数，k____ ≠0 )叫做一次函数.
kx 叫做正比例函数． 当 b____ ＝0 时，函数 y = ____
y=kx+b(k≠0)
k>0
k<0
图
像
R R
定义域 值 域
恒过象限 单调性
一、三 递 增
二、四 递 减
b
值
b>0交上半轴，b<0交下半轴，b=0过原点
单调区间 (, b ] 递减
2a
b 2a b [ , ) 递增 2a
奇偶性
当且仅当时 b
是偶函数 0
图 像 (a<0)
性
2
质
b 4ac b ( , ) 2a 4a
开口方向
(a<0)下
R
b 4ac b2 x 时，ymax 2a 4a 4ac b 2 (, ] 4a
轴的交点。
y 1 y 7
二次函数
（图像与性质）
二次函数的表达式：
y ax bx c 1、一般式： 二次项系数：a (a 0) 一次项系数：b 常 数 项：c
2
2、顶点式：y a( x h) k 顶点坐标是(h, k )
2
二次函数的图像与性质： y ax2 bx c （a 0)
a ≤ —4
例题解析：
P65例4@变式训练
闭区间上的值域问题
2 y x 2x ， 3 例2：已知函数
1)求其在区间[2, 4]的 最值，以及值域 配方：
y
4 3 2 1 2 1 O -1 1 2 3 4
y ( x 1) 4 对称轴： x 1 x 1 2， 4
可得最小值为 - 4，最大值为5 ∴值域为 [－4, 5]
2 1 O -1
-2 -3 -4
1
2 3
4
x
练习： （ 1）求函数f ( x) 2 x 2 4 x 5在 0, 2 上的值域； （2）求函数f ( x) x 2 4 x 3在 0, 3 上的值域；
闭区间上的值域问题
奇偶性
b≠0时是非奇非偶函数, b=0时为奇函数
1：说出下列函数的增减性,奇偶性. (1) y = x＋2； (3) y = 2x＋1； (2) y = -2x-1； (4) y =-8x．
A
根据已知，画出草图
由图可得： k>0, ∴a>0 b>0, ∴b>0
(二 )
(一 )
(三 )
k看增减性，b看图像与y
ห้องสมุดไป่ตู้
(-2,-1)
下 ，当x= -2 时，y有最 大 值 －1 ； 开口向_____
(-∞,-1] 值域是____________
2、函数 y 2 x
对称轴方程是
2
+4x
上 的开口方向向______
，
x = -1
[-1,+∞) 单调减区间是(∞,-1] 单调增区间是_________, _______
2
x
-2
-3 -4
∵ f (2) 3, f (4) 5
ymin 3, ymax 5
∴值域为 [－3, 5]
2)求其在区间[-2,3]的最值，对应值域
x 1 2， 3
最值可能出现在端点或顶点上， 只需考察以下三个数 y
4 3 2 1
f (2) 5 , f (1) - 4 , f (3) 0
补充例题
单调性应用：与对称轴
x
b 2a
有关
例1：(1)函数y x 2 +ax 5在区间(-,2]上递减，在 区间 2， 上递增，求a的值。
x=2
上 分析：开口向________
x2 如图所示，对称轴是______
所以： a =2 2
a= — 4
单调性应用：与对称轴
x1 x2 则对称轴方程为：x 2
2
2、若二次方程：ax bx c 0的两根是x1, x2 x1 x2 x 则对称轴方程为： 2
3、对于二次函数：y ax bx c(a 0)
2
ab 若f (a) f (b), 则对称轴方程为：x 2
练习评讲：
P65例3@变式训练，举一反三
x
b 2a
有关
（2）函数y x 2 +ax 5在区间(-,2]上为单调递减， 求a的取值范围。
上 分析：开口向________
如图所示，对称轴可以放在x=2 处，也可放在x=2的右方
所以：
根据题意画出简图
y
4 3 2
x=2
1
2 1 O -1 -2 -3 -4 1 2
a ≥2 2
x
x
b 4ac b2 最高点( , ) 2a 4a
定 义 域 顶点坐标
最 值 值 域
对称轴
b x 2a
单调区间 ( , b ] 递增
2a
b 2a b [ , ) 递减 2a
奇偶性
当且仅当时 b 0是偶函数
配方法或 例:根据简图完成二次函数性质填空 公式法 2 、函数 1 y x 4 x 5 的顶点坐标是(-2,-1) ，
图 像 (a>0) b x 2a 性
开口方向
质
(a>0)上
R
b 4ac b2 x 时，ymin 2a 4a 4ac b2 [ , ) 4a
x
b 4ac b2 最低点( , ) 2a 4a
定 义 域 顶点坐标
最 值 值 域
对称轴
b 4ac b2 ( , ) 2a 4a
y 4
y 4
图 像
3 2 1 O 2 1 -1 -2 -3 -4
1 2 3 4
x
3 2 1 O 1 2 3 4 2 1 -1 -2 -3 -4
x
求出对称轴方程 (可将函数配方成顶点式y a( x h)2 k , 也可用公式法求）
步骤
不求值比较大小 ：
图
像
开口向上时， 开口向下时，