一道月考试题的多角度探究
语文月考试卷分析反思
语文月考试卷分析反思引言语文月考试卷是对学生在语文学习中所掌握知识与能力的一次综合检验。
本文将对语文月考试卷进行分析和反思，旨在总结考试中存在的问题，并提出相应的改进措施，以促进学生的语文学习效果和提高他们的综合素养。
考试卷分析语文月考试卷包含了阅读理解、作文、诗鉴赏等多个题型，全面考察了学生的读写能力和文学素养。
以下是对各个题型的具体分析：阅读理解阅读理解部分包括了多篇文章，要求学生在一定时间内完成多个问题的解答。
该部分旨在检验学生的阅读理解能力和推理能力。
然而，在本次考试中，存在以下问题： 1. 部分文章的题目设置过于难以理解，导致学生感到困惑。
2. 部分问题的选项相似度过高，增加了学生的选择困难。
改进措施： 1. 清晰、简练地设置文章题目，避免使用过于复杂的表达。
2. 合理设置问题选项，确保选项之间的差异明显，减少学生的困惑。
作文作文部分是对学生语言表达能力的综合考察。
本次考试中，作文题目是“我的梦想”。
但在该部分存在以下问题： 1. 部分学生在表达自己的梦想时，过于泛泛而谈，缺乏具体细节。
2. 有些学生在语言表达方面存在一些错误，如拼写错误和语法错误。
改进措施： 1. 在作文题目设计上，可以引导学生就某个具体的梦想进行写作，以便学生更加具体地表达自己的想法和感受。
2. 在平时的语文课堂上，加强语言表达的训练和指导，提高学生的写作能力。
诗鉴赏诗鉴赏部分要求学生理解和解读一首给定的古代或现代诗歌。
但在该部分存在以下问题： 1. 部分学生对于古代诗歌的理解有限，缺乏文化背景的支撑。
2. 有些学生在分析诗歌时只停留在表面层面，缺乏深入思考。
改进措施： 1. 加强对于古代诗歌的文化背景的教学，引导学生深入理解和欣赏古代诗歌的内涵。
2. 在学习过程中，加强对于诗歌分析方法的讲解，让学生习得扎实的诗鉴赏技巧。
反思与总结通过对语文月考试卷的分析，我们可以看出，学生在阅读理解、作文和诗鉴赏等方面存在一些问题。
高三数学月考试卷分析及改进措施
高三数学月考试卷分析及改进措施
一、试卷分析
在高三数学月考试卷中，我们发现有以下几个方面存在较为普遍的问题：
1. 难易不均衡
试卷中出现了难度跨度较大的题目，导致部分学生在解题时出现了困难，而另
一部分学生则觉得题目过于简单，难以体现他们的实际水平。
2. 重复题型较多
有些考题的类型和解题思路过于相似，导致学生在解题过程中出现混淆和重复
做题的情况，影响了他们对不同题型的真正掌握情况。
3. 缺乏实际应用题
试卷中大部分题目都是针对数学知识点的计算和推导，缺乏实际应用题，无法
培养学生解决实际问题的能力，限制了他们的数学思维发展。
二、改进措施
针对以上问题，我们可以采取以下改进措施，使数学月考试卷更符合高三学生
的学习需求和考试要求：
1. 分层设置题目
试卷中应分层次设置题目的难度，保证试卷整体难度适中，帮助学生在考试中
更好地发挥自己的水平。
2. 多样化题型
为了避免重复题型过多，可以设计更多类型和思维方式不同的题目，让学生在
解题过程中能够更全面地体现自己的数学能力。
3. 增加实际应用题
在试卷中增加一定数量的实际应用题，引导学生将数学知识运用到实际生活中，培养他们的数学思维和解决问题的能力。
结语
通过对高三数学月考试卷的分析和改进措施的提出，我们可以更好地指导学生的学习和提高他们的数学能力，帮助他们更好地备战高考，取得优异成绩。
语文月考试卷分析高一
语文月考试卷分析高一一、试卷概述本次高一语文月考试卷共包含四个部分：现代文阅读、古诗文阅读、语言文字运用和写作。
试卷旨在全面考查学生对语文知识的掌握程度和运用能力，以及对文学作品的理解和鉴赏能力。
二、试题分析1. 现代文阅读现代文阅读部分选取了两篇文本，一篇是论述类文本，另一篇是文学类文本。
论述类文本考查学生对文章主旨、论点论据的把握能力；文学类文本则考查学生对文本内容、人物形象和艺术特色的理解与分析。
2. 古诗文阅读古诗文阅读部分包括古诗词鉴赏和文言文阅读。
古诗词鉴赏主要考查学生对诗歌内容、形式、情感和艺术手法的鉴赏能力；文言文阅读则考查学生对文言文的翻译、理解和分析能力。
3. 语言文字运用语言文字运用部分考查学生在不同语境下正确使用语言文字的能力，包括成语运用、病句辨析、句子衔接等题型。
4. 写作写作部分要求学生根据给定的材料或话题，进行议论文或记叙文的写作。
考查学生的语言表达能力、思维逻辑能力和创新能力。
三、学生答题情况分析1. 现代文阅读部分，大部分学生能够准确把握文章的主旨和论点，但在细节理解上存在一定的偏差，需要加强训练。
2. 古诗文阅读部分，学生在古诗词鉴赏上表现出较好的鉴赏能力，但在文言文翻译和理解上仍有提升空间。
3. 语言文字运用部分，学生在成语运用和病句辨析上表现较好，但在句子衔接上还需加强逻辑性和连贯性。
4. 写作部分，学生在语言表达和思维逻辑上表现良好，但在创新性和深度上还有待提高。
四、教学建议1. 加强对现代文阅读的练习，特别是细节理解能力的培养。
2. 在古诗文教学中，注重文言文的翻译训练和古诗词的鉴赏训练。
3. 强化语言文字运用的训练，提高学生在不同语境下的语言运用能力。
4. 在写作教学中，鼓励学生进行创新性思考，提高写作的深度和广度。
五、总结本次高一语文月考试卷全面考查了学生的语文综合能力，反映出学生在某些方面还需加强训练。
教师应根据学生答题情况，调整教学策略，帮助学生全面提升语文素养。
七上语文月考试卷赏析
七年级上学期第一次月考的语文试卷，全面考察了学生在语文基础知识、阅读理解、作文表达等方面的能力。
试卷内容丰富，题型多样，既注重基础知识的应用，又注重培养学生的综合素养。
以下是对此次月考语文试卷的赏析。
一、试卷结构合理，内容丰富此次月考语文试卷共分为四个部分：基础知识、阅读理解、作文和附加题。
基础知识部分涵盖了字音、字形、词语、句子、标点符号等方面的知识点，旨在考察学生对语文基础知识的掌握程度。
阅读理解部分选取了不同题材的文章，包括记叙文、说明文、议论文等，考察了学生的阅读理解能力和对文章主旨、观点的把握。
作文部分要求学生写一篇命题作文，旨在考察学生的写作能力和语言表达能力。
附加题部分则是对学生综合能力的考察，要求学生在规定时间内完成。
二、题型多样，考察全面试卷题型多样，包括选择题、填空题、简答题、作文题等。
选择题主要考察学生对基础知识的掌握，填空题考察学生对文章内容的理解和记忆，简答题考察学生对文章主旨、观点的把握，作文题则考察学生的写作能力和语言表达能力。
这种题型设置既考察了学生的基础知识，又考察了学生的综合能力，有利于全面了解学生的语文素养。
三、注重实际应用，培养学生能力此次月考语文试卷在考察学生基础知识的同时，更加注重实际应用能力的培养。
例如，在阅读理解部分，选取的文章题材贴近学生生活，有助于学生理解文章内容，提高阅读兴趣。
在作文部分，命题作文要求学生关注社会热点，关注生活，培养学生的社会责任感和写作能力。
这种试卷设置有助于学生在实际生活中运用语文知识，提高语文素养。
四、试题难度适中，兼顾不同层次学生此次月考语文试卷难度适中，既适合基础知识扎实的学生，又适合基础较弱的学生。
基础知识部分难度较低，有助于基础较弱的学生取得好成绩；阅读理解、作文和附加题部分难度适中，有助于基础较好的学生在考试中脱颖而出。
这种试卷设置有利于激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。
总之，七上语文月考试卷在试题设置、题型选择、内容安排等方面都体现了较高的水平。
语文月考试卷分析
语文月考试卷分析语文月考试卷分析（精选12篇）首先要分析考试的试卷。
试卷的题型、内容、涉及范围是否全面地考查学生所学的知识，而且要分析考试命题的意向，特别关注一些考查思维的题目，这些就是在教学中需要注意的地方。
下面是店铺给大家带来的语文月考试卷分析（精选12篇），希望能帮到大家！语文月考试卷分析篇1一、试题分析：本套试题考查的知识全面、基础性强、难易程度适中。
但考查的快乐写作是超编的，不符合一年级看图写作的实际。
（1）看拼音，看词语。
少部分学生在此题书写不全，只会写其中的一个词，或者写出来多笔少划的问题存在。
（2）把下面的音节补充完整。
大部分学生对于会认的字的拼音不熟悉，前鼻音没有补充完整，音调不对。
失分严重。
（3）写出带有下面偏旁的字，各写两个。
大部分顺利完成此题，少部分学生知道也不写，要么写错。
（4）火眼金睛，辫子组词。
（5）读一读，连一连。
（6）选择词语填空。
（7）读句子，然后加上标点符号。
在平时的教学中，教师只是简单的提一提，没有详细的讲解，所以大部分学生不知道怎么回事，不知道怎么打标点符号。
（8）照样子，写句子。
这题分为四个小题，大部分学生只对一半，另一半不知道怎么补充完整，乱写或者不写的人相当的多。
（9）快乐阅读。
两道小题，第一小题的完成不是很好，学生没有认真读题，没有去文章当中找答案，都是简单的读一读，没有反复阅读文章。
第二小题因为是平时学生们都回家帮妈妈做家务，所以都会做。
（10）快乐写作。
对于一年级的学生来说，写三八妇女节给妈妈写贺词上无疑给学生增加了难度，因为他们才刚刚接触看图写话，又来写作，对于他们来说很难，不知道怎么下手写作，不知道什么叫贺词，所以分数都不高。
二、主要优点：1、班里百分之80以上的学生对基础知识掌握的比较牢固。
在“看拼音写词语”、“把下面的音节补充完整”这几个题型上，学生表现尤为突出。
2、学生书写认真，字迹工整，卷面整洁。
三、主要缺点：1、“照样子，写句子”是全班同学的弱点。
9月月考试卷分析
9月月考试卷分析一、试卷分析（一）总体分析：这个月的卷子是王文艳老师出的，题目紧扣教材，兼顾到了不同层次学习水平的学生，在考查基础知识的同时，着重加强了对能力的考查，符合八年级学生需要掌握的要求，是一份结构较为合理、难度适中的试卷。
（二）试题特点：1、试题结构合理，知识点考查全面。
试题围绕初中语文课程的具体要求，从积累及运用、阅读理解和写作能力三个方面，以选择题、填空题、简答题的形式对八年级第一单元所学的知识进行了考查，积累及运用考查内容涉及字音、字形，词语运用、语言表述、文学常识、句意的理解等，知识点覆盖率约达80%。
同时，以填空题的形式考查所学课文古诗文背诵默写，考查内容与平时的课堂教学内容并轨，难易适中，切合教材内容和八年级学生的认知水平。
2.加强了对学生阅读能力的考查。
现代文阅读重在检测学生的整体认知能力，也是近年来水平测试的重点。
试题选材注重与课文的相关联，形式相似，但内容灵活。
能力考查分识记、理解、分析、运用四个层级，形成梯次，同时也提醒学生，注重课本学习和迁移。
二、答卷分析典型错误：1、积累及运用：基础知识是形成学生基本能力的基础，在新课标中，基础知识点多、面广，是要求学生必须掌握的部分。
从试卷中可以看出，学生的典型错误：字音、字形部分同学掌握不好。
2、阅读理解：阅读能力是一种综合的语文智力技能。
阅读能力的考查既能全面检查学生对语文基础知识的掌握情况，又能检查学生的理解能力和灵活运用语文知识的能力。
从阅读理解这道题的答卷情况来看，学生没有抓住问题的关键，没有认真阅读文本，回答时含糊其辞；没有深入其中进行解剖作答，回答不全面。
学生在分析、概括、语言表达能力三方面失分率高，明显地反映出学生缺乏举一反三的阅读能力和良好的阅读习惯。
3、写作能力考查部分：学生的作文情况还是不错的。
本次作文试题题贴近学生的生活，大多数学生的习作能根据课程标准的目标要求，做到具体明确、文从字顺地表述自己的意思。
语文月考试卷分析
语文月考试卷分析前言语文月考是学校为了评估学生对语文知识的掌握程度而进行的一项重要考试。
本文将对最近一次语文月考试卷进行分析，以了解学生在语文学科上的优势和不足之处，为今后的教学提供参考。
试卷结构分析本次语文月考试卷总共分为三个部分：选择题、阅读理解题和作文题。
选择题选择题占试卷总分的30%，共有20道题目。
这些题目主要考察学生对语言文字的理解和应用能力。
试卷中的选择题覆盖了词汇、语法、句子理解等多个方面。
通过对学生答题情况的统计和分析，发现大部分学生在选择题上表现较好，正确率达到了80%以上。
这说明学生在语言文字的基础知识上有较扎实的掌握程度。
阅读理解题阅读理解题占试卷总分的40%，共有4篇文章，每篇文章后面附有5个问题。
这部分题目旨在测试学生的阅读理解和推理能力。
通过对学生答题情况的统计和分析，发现学生在这部分题目上整体表现较好，正确率在70%以上。
但也发现一些学生在阅读理解能力方面仍有一定的欠缺，对文章的理解和推理能力较弱。
作文题作文题占试卷总分的30%。
本次作文题要求学生就“我眼中的家乡”进行写作。
通过对学生作文的阅读和评分，发现大部分学生在作文结构和语言表达方面有较好的表现，但在内容的连贯性和深度上仍有待提高。
此外，一些学生在书写规范和语法错误上也存在一些问题。
问题分析与建议通过对试卷的分析，可以看出学生在语文学科上的整体水平较为稳定，但仍有一些问题需要解决。
阅读理解能力提升阅读理解题在语文学科中占据较大比重，学生在这方面的表现对整个学科的成绩有较大影响。
为了提升学生的阅读理解能力，建议教师在日常教学中加强阅读训练，提供多样化的阅读材料，培养学生的阅读兴趣。
同时，教师还可以针对阅读理解题组织一些综合性的讨论和解析课，帮助学生提高推理能力和理解能力。
作文能力培养作文是语文学科中重要的一环，既考察学生语言表达能力，也考察学生的思维能力和创造力。
为了提升学生的作文能力，建议教师在日常教学中注重写作训练。
对一道月考试题的多角度探究
对一道月考试题的多角度探究∗Ә吴家华㊀㊀(遂宁中学校,四川遂宁㊀629000)㊀㊀摘㊀要:文章对一道月考试题的结论与条件进行对比反思,并对其进行推广,将推广的结论从椭圆引申到双曲线与抛物线,最后探究其逆命题成立及其推广与引申.关键词:椭圆;推广;引申;逆命题中图分类号:O123.1㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀文章编号:1003-6407(2020)06-0024-04㊀㊀在高三数学复习中,有针对性地编制一道试题,或选择一道有代表性的典型习题,以加强对学生解题能力和思维能力的训练,是我们数学教师不懈的追求.这些问题内涵丰富,思路宽广,解法多样,思维独到,具有较强的测试功能㊁较高的思维训练价值和教学价值,同时蕴藏着潜在的探索价值,能真正起到以点带面㊁举一反三㊁牵一发而动全身的作用.海南中学2020届高三第6次数学月考试题中的解析几何问题就是这样一道好题.笔者通过对这道试题进行多角度探究发现其逆命题成立,并得到它及其逆命题的推广与引申,故撰写成文,以飨读者.1㊀试题呈现例1㊀已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(其中a>b>0)的离心率为12,左㊁右焦点分别为F1,F2,椭圆C短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形面积为3.1)求椭圆C的方程(答案:x24+y23=1);2)过点F1作直线lʅx轴交椭圆C于点A,B (点A在第二象限),M,N是椭圆上位于直线l两侧的动点,若øMAB=øNAB,求证:直线MN的斜率为定值(答案:-12).2㊀试题推广由例1的第2)小题可知直线MN的斜率为定值-12,它恰好是条件中椭圆的离心率12的相反数.这引起了笔者的深思,这个结论是否具有一般规律性呢?即如果我们把试题中的椭圆由 具体 形式换成 任意 情形,结论是否也成立呢?笔者经过分析㊁探索,得到了肯定的回答.于是,试题可推广为:命题1㊀设椭圆x2a2+y2b2=1(其中a>b>0)的左焦点为F,过点F作直线lʅx轴交椭圆于点A,B (点A在第二象限),M,N是椭圆上位于直线l两侧的动点,若øMAB=øNAB,则直线MN的斜率为-e(其中e为椭圆的离心率).证明㊀由题意可知直线l的方程为x=-c, A-c,b2a().设直线MN的方程为y=kx+m,代入椭圆方程可得(k2a2+b2)x2+2kma2x+a2(m2-b2)=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-2kma2k2a2+b2,㊀x1x2=a2(m2-b2)k2a2+b2.因为øMAB=øNAB,所以k AM+k AN=0,从而y1-b2ax1+c+y2-b2ax2+c=0,即㊀kx1+m-b2a()(x2+c)+kx2+m-b2a()(x1+c)=0,亦即㊀m+ck-b2a()(x1+x2)+2kx1x2+2m-b2a()c=0,于是㊀m+ck-b2a()-2kma2k2a2+b2()+2k㊃a2(m2-b2)k2a2+b2+∗收文日期:2020-02-02;修订日期:2020-03-02作者简介:吴家华(1964 ),男,四川遂宁人,中学高级教师.研究方向:数学教育.2m -b 2a()c =0,化简得(ak +c)(ack -am +b 2)=0,进而k =-ca=-e 或ack -am +b 2=0.当ack -am +b 2=0时,直线MN 的方程为y =k(x +c)+b 2a ,则直线MN 经过点A -c,b 2a(),不满足题意,舍去.因此,直线MN 的斜率为-e.评注㊀若将命题1中的条件 左焦点 变成 右焦点 ,或将 øMAB =øNAB 变成 øMBA =øNBA ,其他条件不变,则直线MN 的斜率为e.以下命题3,5亦如此.如果我们把椭圆左焦点F 变成长轴上任意一点P (λa ,0)(其中|λ|<1),则命题1又可以进一步推广为:命题2㊀设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(其中a >b >0)的长轴上一点为P (λa ,0)(其中|λ|<1),过点P 作直线l ʅx 轴交椭圆于点A ,B (点A 在x 轴上方),M ,N 是椭圆上位于直线l 两侧的动点,若øMAB =øNAB ,则直线MN 的斜率为λba 1-λ2.命题2的证明可仿命题1,限于篇幅,不再赘述.3㊀命题引申受文献[1]和文献[2]的启发,笔者试着把命题1和命题2的结论从椭圆引申到双曲线和抛物线,结论也成立.如果是从椭圆引申到双曲线,那么分别得到:命题3㊀设双曲线x 2a 2-y 2b2=1(其中a >0,b >0)的右焦点为F ,过点F 作直线l ʅx 轴交双曲线于点A ,B (点A 在第一象限),M ,N 是双曲线上位于直线l 两侧的动点,若øMAB =øNAB ,则直线MN 的斜率为-e (其中e 为双曲线的离心率).证明㊀由题意可知直线l 的方程为x =c,A c,b 2a().设直线MN 的方程为y =kx +m,代入双曲线方程可得(k 2a 2-b 2)x 2+2kma 2x +a 2(m 2+b 2)=0,设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则x 1+x 2=-2kma 2k 2a 2-b 2,㊀x 1x 2=a 2(m 2+b 2)k 2a 2+b2.因为øMAB =øNAB,所以k AM +k AN =0,从而y 1-b 2a x 1-c +y 2-b 2a x 2-c=0,即㊀kx 1+m -b 2a ()(x 2-c)+kx 2+m -b 2a()(x 1-c)=0,亦即㊀m -ck -b 2a ()(x 1+x 2)+2kx 1x 2-2m -b 2a ()c =0,于是㊀m -ck -b 2a ()-2kma 2k 2a 2-b 2()+2k㊃a 2(m 2+b 2)k 2a 2-b 2-2m -b2a()c =0,化简得(ak +c)(ack +am -b 2)=0,进而k =-ca=-e 或ack +am -b 2=0.当ack +am -b 2=0时,直线MN 的方程为y =k(x -c)+b 2a ,则直线MN 经过点A c,b 2a(),不满足题意,舍去.因此,直线MN 的斜率为-e.命题4㊀设双曲线x 2a 2-y 2b2=1(其中a >0,b >0)的实轴上一点为P (λa ,0)(其中|λ|>1),过点P 作直线l ʅx 轴交双曲线于点A ,B (点A 在x 轴上方),M ,N 是双曲线上位于直线l 两侧的动点,若øMAB =øNAB ,则直线MN 的斜率为λba λ2-1.命题4的证明可仿命题3,限于篇幅,不再赘述.如果是从椭圆引申到抛物线,又可以分别得到:命题5㊀设抛物线y 2=2px (其中p >0)的焦点为F ,过点F 作直线l ʅx 轴交抛物线于点A ,B (点A 在第一象限),M ,N 是抛物线上位于直线l 两侧的动点,若øMAB =øNAB ,则直线MN 的斜率为-1.证明㊀由题意可知直线l 的方程为x =p2,Ap2,p ().设直线MN 的方程为y =kx +m,代入抛物线方程可得k 2x 2+2(km -p)x +m 2=0,设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则x 1+x 2=-2(km -p)k2,㊀x 1x 2=m 2k2.因为øMAB =øNAB,所以k AM +k AN =0,从而y 1-p x 1-p 2+y 2-px 2-p 2=0,即㊀(kx 1+m -p)x 2-p2()+(kx 2+m -p)x 1-p 2()=0,亦即㊀m -p -kp2()(x 1+x 2)+2kx 1x 2-(m -p)p =0,于是m -p -kp 2()-2(km -p)k 2éëêêùûúú+2k㊃m2k 2-(m -p)p =0,化简得(k +1)[pk +2(m -p)]=0,进而k =-1或pk +2(m -p)=0.当pk +2(m -p)=0时,直线MN 的方程为y =k x -p 2()+p,则直线MN 经过点A p 2,p (),不满足题意,舍去.因此,直线MN 的斜率为-1.命题6㊀设抛物线y 2=2px (其中p >0)的轴上一点为P (λp ,0)(其中λ>0),过点P 作直线l ʅx 轴交抛物线于点A ,B (点A 在x 轴上方),M ,N 是抛物线上位于直线l 两侧的动点,若øMAB =øNAB ,则直线MN 的斜率为-12λ.命题6的证明可仿命题5,限于篇幅,不再赘述.4㊀逆命题及其推广与引申㊀㊀例1的逆命题㊀设椭圆x 24+y 23=1的左焦点为F ,过F 作直线l ʅx 轴交椭圆于点A ,B (点A 在第二象限),M ,N 是椭圆上位于直线l 两侧的动点,若直线MN 的斜率为-12,则øMAB =øNAB.笔者经探索研究,得知这个逆命题是正确的.证明㊀由题意可知直线l 的方程为x =-1,A -1,32().设直线MN 的方程为y =-12x +m,代入椭圆方程可得x 2-mx +m 2-3=0,设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则x 1+x 2=m,㊀x 1x 2=m 2-3,从而㊀㊀㊀k AM +k AN =y 1-32x 1+1+y 2-32x 2+1=㊀㊀-12x 1+m -32x 1+1+-12x 2+m -32x 2+1=㊀㊀(-x 1+2m -3)(x 2+1)+(-x 2+2m -3)(x 1+1)2(x 1+1)(x 2+1)=㊀㊀-x 1x 2+(m -2)(x 1+x 2)+(2m -3)(x 1+1)(x 2+1)=㊀㊀-(m 2-3)+(m -2)m +(2m -3)(x 1+1)(x 2+1)=0,因此øMAB =øNAB.㊀㊀逆命题的两个推广如下:命题7㊀设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(其中a >b >0)的左焦点为F ,过点F 作直线l ʅx 轴交椭圆于点A ,B (点A 在第二象限),M ,N 是椭圆上位于直线l 两侧的动点,若直线MN 的斜率为-e (e 为椭圆的离心率),则øMAB =øNAB.证明㊀由题意可知直线l 的方程为x =-c,e =c a ,A -c,b 2a ().设直线MN 的方程为y =-c a x +m,代入椭圆方程可得a 2x 2-2macx +a 2(m 2-b 2)=0,设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则x 1+x 2=2mca ,㊀x 1x 2=m 2-b 2,从而㊀k AM +k AN =y 1-b 2a x 1+c +y 2-b 2a x 2+c=㊀-c a x 1+m -b 2a x 1+c +-c a x 2+m -b 2ax 2+c=㊀-c a x 1+m -b 2a ()(x 2+c)+-c a x 2+m -b 2a()(x 1+c)(x 1+c)(x 2+c)=㊀-2cx 1x 2+(am -a 2)(x 1+x 2)+2(am -b 2)ca(x 1+c)(x 2+c)=㊀-2c(m 2-b 2)+(am -a 2)㊃2mca+2(am -b 2)ca(x 1+c)(x 2+c)=0,因此øMAB =øNAB.命题8㊀设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(其中a >b >0)的长轴上一点为P (λa ,0)(其中|λ|<1),过点P 作直线l ʅx 轴交椭圆于点A ,B (点A 在x 轴上方),M ,N 是椭圆上位于直线l 两侧的动点,若直线MN 的斜率为λba 1-λ2,则øMAB =øNAB.以史为鉴,深化有限与无限思想∗Ә刘师妤㊀㊀(华中师范大学教育学院,湖北武汉㊀430079)㊀Ә周龙虎㊀㊀(华中师范大学数学与统计学学院,湖北武汉㊀430079)㊀㊀摘㊀要:有限与无限是哲学中的一对辩证范畴,也是数学中一种重要的数学思想.数学发展及观念更新过程中,有限与无限思想占据着不可估量的地位.为发挥数学史料的教育价值,实现无限向有限的自然演化,文章通过对典型相关史料的剖析及精准巩固练习,让有限与无限思想成为分析㊁解决问题的优先思想办法.关键词:有限与无限思想;数学史;教学效果中图分类号:O12㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀文章编号:1003-6407(2020)06-0027-051㊀问题缘起笔者所在学校组织教师到校外进行观摩学习,听了一节作业讲评课,印象很深刻,其中授课教师对一个问题的讲解引起了笔者的兴趣.例1㊀如图1,正方形ABCD 的边长为1,P ,Q 图1分别为边AB ,DA 上的点.当әAPQ 的周长为2时,求øPCQ 的大小.(人教A 版‘数学(必修4)“第162页复习参考题第8题)㊀㊀评注㊀命题7是命题1的逆命题,命题8是命题2的逆命题,其证明可仿命题7.㊀㊀命题7和命题8的4个引申如下:命题9㊀设双曲线x 2a 2-y 2b2=1(其中a >0,b >0)的右焦点为F ,过点F 作直线l ʅx 轴交双曲线于点A ,B (点A 在第一象限),M ,N 是双曲线上位于直线l 两侧的动点,若直线MN 的斜率为-e (其中e 为双曲线的离心率),则øMAB =øNAB.命题10㊀设双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(其中a >0,b >0)的实轴上一点为P (λa ,0)(其中|λ|>1),过点P 作直线l ʅx 轴交双曲线于点A ,B (点A 在x 轴上方),M ,N 是双曲线上位于直线l 两侧的动点,若直线MN 的斜率为λba λ2-1,则øMAB =øNAB.命题11㊀设抛物线y 2=2px (其中p >0)的焦点为F ,过点F 作直线l ʅx 轴交抛物线于点A ,B (点A 在第一象限),M ,N 是抛物线上位于直线l 两侧的动点,若直线MN 的斜率为-1,则øMAB =øNAB.命题12㊀设抛物线y 2=2px (其中p >0)的轴上一点为P (λp ,0)(其中λ>0),过点P 作直线l ʅx 轴交抛物线于点A ,B (点A 在x 轴上方),M ,N 是抛物线上位于直线l 两侧的动点,若直线MN 的斜率为-12λ,则øMAB =øNAB.评注㊀命题9是命题3的逆命题,命题10是命题4的逆命题,命题11是命题5的逆命题,命题12是命题6的逆命题,其证明可仿命题7的证明.从以上探索过程我们不难看出,对于一道典型习题的探索,不仅可以巩固知识㊁掌握方法,还可以拓展思维㊁提高解题能力,起到 做一题,懂一类,通一片 的功效,达到培养创新精神和探索能力之目的.参㊀考㊀文㊀献[1]㊀吴家华.一道高考试题结论的进一步探讨与引申[J ].数学通讯,2018(5):41-43.[2]㊀吴家华.一道重庆高考数学试题的再推广与引申[J ].数理化学习:高中版,2018(12):36-38.∗收文日期:2020-02-16;修订日期:2020-03-16作者简介:刘师妤(1988 ),女,湖北武汉人,中学一级教师.研究方向:数学教育.。
对高三物理月考试题的深入剖析
对高三物理月考试题的深入剖析引言本文对高三物理月考试题进行深入剖析，旨在帮助学生更好地理解和应对物理考试。
通过分析试题的难点和解题思路，可以提高学生的解题能力和应试水平。
题目一：力的合成问题：已知一个力的大小为10N，方向与x轴正方向夹角为30°，另一个力的大小为8N，方向与x轴正方向夹角为60°，求两个力的合力大小和方向。
解析：我们可以将两个力分解为x轴方向和y轴方向的分力，再将分力进行合成。
根据三角函数的知识，可以计算出两个力在x 轴和y轴上的分力大小，然后利用平行四边形法则求出合力大小和方向。
答案：两个力的合力大小为12N，方向与x轴正方向夹角为45°。
题目二：电路中的电阻问题：一个电路中有一个电源，电源电压为12V，电路中有两个电阻，一个为4Ω，另一个为6Ω，求电路中的电流大小和电阻总和。
解析：根据欧姆定律，电流大小可以通过电压除以总电阻来计算。
而电阻总和可以通过将两个电阻相加得到。
答案：电路中的电流大小为2A，电阻总和为10Ω。
题目三：力和加速度关系问题：一个物体受到一个力的作用，力的大小为10N，物体的质量为2kg，求物体的加速度大小。
解析：根据牛顿第二定律，物体的加速度大小可以通过力除以质量来计算。
答案：物体的加速度大小为5m/s²。
结论通过对高三物理月考试题的深入剖析，我们可以看到，物理考试题目涵盖了力的合成、电路中的电阻以及力和加速度关系等知识点。
在解题过程中，我们需要运用三角函数、欧姆定律和牛顿第二定律等物理定律来推导和计算。
希望学生们能通过这些例题的分析，加深对物理知识的理解，提高解题能力和应试水平。
月考试卷分析及反思
月考试卷分析及反思月考是指学校每月定期进行的考试，能够体现学生们在一个月内的学习情况。
月考试卷的分析和反思是高效评价学生的学习状况，指导学生正确认识自己的学习成绩，实现合理的学习方案调整，以达到加强学习，达到更好的学习效果。
首先，从月考试卷中分析学生学习效果。
要深入了解学生的学习、理解情况，及时发现和改进学习上存在的问题，建立新的学习计划，以便更好的追踪和完善其学习过程。
通过分析考试试卷，可以分析学生在各科学习的情况，看看哪些学科占比高，哪些学科占比低。
此外，可以准确判断学生及格率、满分率，以及正确率和客观题、主观题正确率等。
其次，月考试卷分析有助于指导学生学习。
从月考试卷中可以发现学生在学习中存在哪些问题。
月考试卷可以帮助学生及时发现自身学习存在的不足，例如知识掌握不足，不能完整理解文章的意思，不会把相关知识综合起来应用，记忆力不太强等等。
此外，月考试卷也能反映出学生学习方法的正确性，以及学习方法的改善空间。
最后，要从月考试卷的分析里及时发现学生的学习成绩变化，及时调整学习方案。
月考试卷分析能够及时反应学生学习效果的变化，及时发现学习中存在的问题，为学生对学习进行有效的指导提供准确的信息。
当学生发现自己的学习成绩不断提升时，可以调整自己的学习计划，努力提高学习效果；当发现自己的学习成绩不断下降时，及时调整学习方案，克服学习中的问题，以达到更好的学习效果。
总之，月考试卷的分析和反思对于及时发现学生学习中的问题，调整学习方案，实现加强学习，提高学习效果具有重要意义。
学校应该采取相应措施，定期进行月考试卷分析，指导学生正确认识自己的学习成绩，全面了解学生学习状况，以期达到加强学习，达到更好的学习效果。
精细解读：高三物理月考试卷
精细解读：高三物理月考试卷本文将对高三物理月考试卷进行精细解读，以下是各部分的内容解析：选择题部分选择题部分主要考察学生对物理基础知识的掌握和理解能力。
在回答选择题时，学生应注意以下几点：1. 仔细阅读题目，理解题意，特别留意题目中的关键词和条件。
2. 分析选项，排除明显错误的选项，缩小答案范围。
3. 若实在不确定答案，可以运用一些物理定律或公式进行推理，选择最合理的答案。
计算题部分计算题部分主要考察学生对物理公式的应用能力和解题思路。
在回答计算题时，学生应注意以下几点：1. 仔细阅读题目，理解题意，注意给出的已知条件和要求。
2. 确定解题思路，选择适当的物理公式进行计算。
3. 注意单位的转换和计算过程的准确性。
4. 最后，检查计算结果是否合理，是否符合物理规律。
简答题部分简答题部分主要考察学生对物理概念的理解和解题能力。
在回答简答题时，学生应注意以下几点：1. 简洁明了地回答问题，不要罗嗦。
2. 结合所学的物理知识，给出准确的解释或推论。
3. 若有图表或数据，可以进行必要的分析和解释。
4. 最后，检查回答是否完整，是否能够回答问题的要求。
实验题部分实验题部分主要考察学生的实验设计和分析能力。
在回答实验题时，学生应注意以下几点：1. 理解实验要求和目的，明确实验步骤和所需材料。
2. 设计合理的实验方案，注意变量的控制和测量方法的准确性。
3. 实施实验并记录实验数据。
4. 对实验数据进行分析和解释，得出合理的结论。
综上所述，高三物理月考试卷的精细解读主要涉及选择题、计算题、简答题和实验题四个部分。
希望同学们能够根据解读的提示，合理安排答题时间，充分发挥自己的物理知识和解题能力，取得好成绩。
数学月考试卷分析
数学月考试卷分析数学月考试卷分析近年来，数学在学生考试中的重要性日益凸显，数学月考试卷作为一种重要的评估工具，不仅能够检验学生对数学知识的掌握程度，还能够培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
下面将对数学月考试卷进行详细分析，从题型设置、难度水平、评分方式等方面进行讨论。
首先，数学月考试卷的题型设置多样化，涵盖了知识点的广度和深度。
通常包括选择题、填空题、计算题和解决问题题等。
选择题是其中较为常见的一种题型，它能够测试学生对知识点的理解和判断能力。
填空题要求学生根据题干中的信息填写正确的答案，能够锻炼学生的计算能力和记忆能力。
计算题则要求学生运用所学的数学知识解决实际问题，考查学生的灵活运用能力。
解决问题题通常是一种较为综合、较为复杂的题型，需要学生综合运用多种数学知识来解答，体现了学生的综合应用能力。
其次，数学月考试卷的难度水平逐渐提高，能够促使学生不断提高自己的学习和思维能力。
数学知识的学习是一个层层递进的过程，从基础知识到拓展知识，一个阶段的学习对接下来的学习起着基础作用。
因此，月考试卷中的题目也会根据学生的学习进度和能力水平进行设置，分为简单、中等和较难等不同的题目难度。
这种设置能够激发学生乐于接受挑战和不断超越自我的学习动力，提高他们的自信心和学习兴趣。
第三，数学月考试卷的评分方式合理公正，能够客观评价学生的学习成果。
通常，每道题目都会有相应的标准答案和解答步骤，并且根据不同题型设置不同的评分标准。
例如选择题一般是按照正确选项数目进行评分的，填空题可以根据填写正确的数值来评分，而解决问题题则更加注重解题思路和解题过程。
这种评分方式不仅能够客观地反映学生的学习成果，还能够鼓励学生注重解题思路和方法的培养，提高他们的数学思维能力和创新能力。
总之，数学月考试卷作为一种重要的学生评估工具，在数学教学和学生发展中发挥着重要作用。
通过合理的题型设置、难度水平和评分方式，可以全面检验学生的数学知识和能力，并培养他们的数学思维和解决问题的能力。
对高三物理月考试题的深入剖析
对高三物理月考试题的深入剖析引言为了更好地理解和掌握高三物理知识，本文将对最近一次月考试题进行深入剖析，旨在帮助同学们发现自己的弱点，提高学习效率。
试题分析力学部分本次月考力学部分涵盖了牛顿运动定律、动量守恒、能量守恒等知识点。
试题主要考察了学生的基本概念掌握和运用能力。
例 1.一物体在水平面上做匀速直线运动，下列说法正确的是：A. 物体受到的摩擦力与重力平衡B. 物体受到的摩擦力等于重力C. 物体受到的摩擦力与支持力平衡D. 物体受到的摩擦力等于支持力剖析：正确答案为A。
物体在水平面上做匀速直线运动时，受到的摩擦力与重力平衡，大小相等、方向相反。
热学部分本次月考热学部分主要考察了学生对温度、热量、内能等概念的理解以及热力学第一定律的应用。
例2.一物体在恒温条件下吸收了100J的热量，若物体的内能增加了50J，则物体对外做了多少功？A. 50JB. 100JC. 150JD. 200J剖析：根据热力学第一定律，物体吸收的热量等于内能增加量与对外做功的代数和。
即：Q = ΔU + W其中，Q为吸收的热量，ΔU为内能增加量，W为对外做的功。
代入数据得：100J = 50J + W解得：W = 50J因此，物体对外做了50J的功。
电学部分本次月考电学部分主要考察了学生对基本电路原理、欧姆定律、电场力等知识点的掌握。
例3.如图所示，一个电路由一个电阻R、一个电容C和一个电感L组成。
当开关S闭合时，电路中的电流为：A. 电阻R上的电流B. 电容C上的电流C. 电感L上的电流D. 电路的总电流剖析：正确答案为D。
开关S闭合后，电路中的电流经过电阻R、电容C和电感L，因此电路的总电流等于电阻R上的电流。
总结通过对本次月考试题的深入剖析，我们可以发现高三物理学习中的薄弱环节，为今后的学习提供有力指导。
希望大家能够针对自己的不足，加强巩固，不断提高自己的物理素养。
参考文献[1] 高中物理教材[2] 高中物理辅导资料[3] 网络资源。
一个题目的多角度探究
一个题目的多角度探究曾都区第一中学 宋夏纵观近年高考数学试题,相当数量的基本题源于教材,即使综合题也是基础知识的组合,加工和发展,充分表现出教材的基础作用.因此，精选复习资料上的数学试题，通过“一题多变”，对它们进行深入地分析和研究，掌握这一类题的本质，才能提高学生解决数学问题的技能与技巧，达到事半功倍的效果.题目：已知函数-lg(242)x xy a =+⋅-的定义域为R ，求a 的取值范围. 解析：由原函数的定义域为全体实数，故不等式-242x xu a =+⋅-＞0对一切实数恒成立.即-242x x a +⋅>恒成立.则a 应小于-242x x +⋅的最小值，而-2424x x +⋅≥，最小值是4，故a 的取值范围为(),4-∞.探究之1：若函数-lg(242)x xy a =+⋅-的值域为R ，求a 的取值范围. 解析：此类问题常用等价转化思想来解决，要使函数的值域为R ，等价于-242x xu a =+⋅-，应能够取到所有的正实数，即-242x x u a =+⋅-的最小值为零或负数(最大值不存在)，而由基本不等式得-242x x u a =+⋅-≥4a -，令4a -≤0，有4a ≥，故a 的取值范围为[)4,+∞.探究之2：若函数-1lg(242)x x y a =+⋅-的定义域为R ，求a 的取值范围. 解析：由原函数的定义域为全体实数，则-lg(242)0x x a +⋅-≠的解集为R ，即-2421x x u a =+⋅-≠且-2420x x a +⋅->的解集为R ，即-2421x x a ≠+⋅-且-242x x a +⋅>恒成立，即-2421x x a =+⋅-无解且-min (242)x x a +⋅>.又-2424x x +⋅≥，故-24213x x +⋅-≥，由-2421x x a =+⋅-无解，可得3a <，显然满足-242x x a +⋅>成立，故a 的取值范围为(),3-∞.探究之3：若函数y =R ，求a 的取值范围.解析：由原函数的定义域为全体实数，则-lg(242)0x xa +⋅->的解集为R ，即2421x x u a -=+⋅->的解集为R ，即2421x x a -<+⋅-恒成立，故min (2421)x x a -<+⋅-，又2424x x -+⋅≥，故24213x x -+⋅-≥，即min (2421)3x x -+⋅-=，故a 的取值范围为(,3)-∞.2011 11 24。
月考试题分析
月考试题分析考试对于学生来说是一个非常重要的评估工具，它可以检验学生的学术水平和对知识的理解程度。
而对于老师来说，编写一套合理的考试题目也是一项有挑战性的任务。
本文将对月考试题进行分析，探讨如何设计一套有效的考试题目。
一、题型分布月考试题的题型分布应该合理，涵盖多个知识点和技能。
例如，应该包括选择题、填空题、简答题和论述题等不同类型的题目，以考察学生的记忆能力、理解能力和表达能力。
合理的题型分布能够全面评估学生的学术能力。
二、难易程度月考试题的难易程度应该适中，既不能过于简单使学生得分过高，也不能过于困难使学生失去信心。
为了确保公平性，应该根据学生的学习进度和能力水平来设计题目，使得大部分学生都能够完成。
三、知识覆盖月考试题的内容要涵盖学生所学知识的各个方面，避免只考察某一部分内容。
通过合理地组织试题，可以考察学生对不同知识点的掌握程度，帮助学生全面巩固所学知识。
四、语言表达月考试题的语言表达要清晰简明，避免使用含糊不清或难以理解的问题。
题目的描述要准确明了，确保学生能够准确理解题目要求。
同时，应该避免使用歧义词汇或复杂的句子结构，以免给学生造成困扰。
五、思维能力月考试题应该注重考察学生的思维能力和解决问题的能力。
除了传统的知识点考察外，还可以设计一些拓展性或应用性的题目，鼓励学生综合运用所学知识解决问题，提高他们的思维能力和创新能力。
六、题目数量月考试题的数量应该适中，既要保证覆盖到所学的知识点，又不能过多导致时间不够用。
根据考试的时长和题目的难易程度，合理安排题目数量，确保学生有足够的时间作答。
七、提供参考答案月考试题的正确答案应该在试卷发放后提供给学生。
准确的参考答案可以帮助学生对自己的答题情况进行评估和总结，帮助他们更好地掌握知识和提高学习成绩。
总结：考试是评估学生学习成果的重要手段，而合理设计考试题目则是确保考试结果准确可靠的关键。
通过合理的题型分布、适中的难易程度、全面的知识覆盖、清晰的语言表达、注重思维能力、适量的题目数量和提供参考答案等方式，我们可以设计出一套有效的月考试题，帮助学生提高学习效果。
初一语文月考试卷解析总结计划
.精选文档 .初一语文月考试卷剖析初一语月考试卷剖析3月份质检的语试卷从基础知识、阅读、作等方面对学生的知识和能力进行较全面的检测。
整份试卷亲密联系教材,关注学生的实质, 题量和难易适中, 覆盖面较广。
一、整体剖析 :试卷主要以教材为基本点 , 以学生学习能力的培育为主要对象 , 亲密联系学生实质与社会生活 , 关注学生心灵 , 较好地浸透新课程理念。
总的说 , 本次试题有以下两个显然特色 :1、试题种类的多样性。
这份试题着重题型的多样性, 力争对学生的素质进行全面评论 , 一是尽可能多地波及到课本的各个知识点; 二是体现习惯、感情、知识、能力等各个方面。
试题中涵盖了多方面的内容 , 从词语、成语、句子、段落、篇等等方面的有机交融。
还有诗词、名著、言、记述的观察, 观察知识点较全面。
2、突出语学习与社会生活的一致。
语教课不是梦幻泡影 , 要根植于生活 , 努力做到学致使用。
试题中的一些题目就于学生的社会生活。
如 : 依据资料，补写春联，观察了学生关于春联的基本知识和掌握状况。
以及为展开致敬英豪人物拟写一条宣传口号，观察了学生对标语的理解。
特别是作题，我们俩，回想自己与家人或朋友印象深刻的事，学生有更深的感情体验，有内容可写。
二、学生答题状况剖析:1、基础 :从学生答题状况看, 学生的基础知识仍是掌握不牢固 , 学生在试卷上的错字比许多, 如 : 散入春风满洛城的满,应当是左右构造，但是好多人写成了上下构造。
学生对学常识的掌握也不理想，王维字摩诘，好多人不会，得分的人较少。
关于言实词的掌握也不扎实。
2、阅读 :只管在复习的时候, 重视对阅读理解进行了训练,并贯串了好多方法进行了指引, 但学生的阅读理解能力依旧没有大的提升。
主要原由是好多学生在读不懂的状况下就开始做题。
叙事类学生由于答的不全面失了好多分。
3、作从学生作状况看 , 好的方面大概有以下几点 : 一是叙事清楚 ;二是内容丰富多彩 , 语句优美流利 ; 三是中心明确 , 构造比较完好。
对一道月考试题的研究_王安寓
３３３０２６第１、２期（上半月） · 辅教导学·对一道月考试题的研究王安寓（江苏省南京市六合区实验高级中学，２１１５００）题１ （２０１５年江苏南京六合区月考，１８）在平面直角坐标系ｘＯｙ 中，圆Ｏ：ｘ２ ＋ｙ２＝１，Ｐ 为直 线ｌ：ｘ ＝ ４ 上一点．（１）若点Ｐ 在第一象限，且ＯＰ ＝ ５，求过点Ｐ的圆Ｏ 的切线方程；（２）若存在过点Ｐ 的直线交圆Ｏ 于点Ａ、Ｂ，且 Ｂ 恰好为线段ＡＰ 的中点，求点Ｐ 的纵坐标的取值范围．本文主要研究试题的第（２）问．一、解法探讨当Ｐ 是线段Ｐ１Ｐ２ 上任意一点时（不与Ｐ１、Ｐ２重合），直线ＰＯ 与圆Ｏ 交于Ａ１、Ｂ１ 两点，则ＰＢ１ ＜ Ａ１Ｂ１，可将直线 ＰＢ１Ａ１ 绕 Ｐ 旋转，则 ＰＢ１ 变长，Ａ１Ｂ１ 变短，到某一位置 ＰＢＡ，必有 ＰＢ ＝ ＢＡ，即该点Ｐ 也适合条件，此时ＯＰ ＜ ＯＰ１ ＝３．当Ｐ 是线段Ｐ１Ｐ２ 外的任意一点时，连接 ＰＯ 并延长，与圆Ｏ 交于Ａ１、Ｂ１ 两点，则ＰＢ１ ＞ Ａ１Ｂ１， Ａ１Ｂ１ 是直径（最长的弦），无论如何旋转都不会有 ＰＢ ＝ ＢＡ，即不合题意． 因此，点Ｐ 满足ＯＰ ≤３ｒ＝３，设Ｐ（４，ｙ），则 １６ ｙ２ ≤３，解得－ 槡６５ ≤ｙ≤ 槡６５，即点Ｐ 的纵 ＋解析１ 首先作出适合题意的图形，如图１，９３ ３ 观察图１，我们发现：此题中圆是定的，直线ｌ是定坐标的取值范围是［－槡６５，槡６５］ 的，定直线上点Ｐ 动带动点Ａ、Ｂ 动，而且 Ａ、Ｂ 的 ３ ３位置对于一个点Ｐ 还有第二种可能．三个动的元素间还没有一个定其余随之定的关系，而是既相互干扰又有变动．初读题，觉得无从入手，找不到切入口．解析２ 存在点Ｐ ∈ｌ，使得ＰＢ ＝ ＢＡ，注意到ＡＢ 是圆Ｏ 的弦，因此联系圆Ｏ 的直径，必有ＡＢ≤２ｒ，ＰＢ 是直线ｌ上某点Ｐ 与圆Ｏ 上一点Ｂ 的连 线的长度，自然与圆心Ｏ 有关，依据三角形中两边之差小于第三边得ＯＰ －ｒ＝ＯＰ －ＯＢ ≤ＰＢ，从而形成不等式链ＯＰ －ｒ≤ＰＢ ＝ＢＡ ≤２ｒ，所以ＯＰ ≤３ｒ ＝ ３，设 Ｐ（４，ｙ０），则１６ ＋ｙ２≤ ９，解 得 ３ ９－ 槡６５ ≤ｙ０ ≤ 槡６５，即点Ｐ 的纵坐标的取值范围 ３ ３ 是［－槡６５，槡６５］． ３ ３图１图２重新读题，想到ＡＢ 是圆的弦，而圆中既变（位置）又不变（长度）的弦是直径，是不是从圆的直径入手？解析３ 从代数的角度思考，设出Ａ 的坐标和Ｐ 的坐标，应用中点公式求得Ｂ 的坐标，进而考虑 Ａ、Ｂ 在圆Ｏ 上，转化为两个圆有公共点的问题，构造不等式求解．ｘ＋ ４４３ ｙ＋ｙ设想存在直径Ａ０Ｂ０，与定直线ｌ相交于Ｐ１，且 Ａ（ｘ，ｙ），Ｐ（ ３ ，ｙ０），则Ｂ（ ２ ， ０）． ２ 满足Ｂ０ 是Ａ０Ｐ１ 的中点，此时，ＯＰ１ ＝３ｒ＝３，根据 圆的对称性，类似地在ｘ轴的下方存在Ｐ 点（如图因为点Ａ 在圆Ｏ 上，所以ｘ２ ＋ｙ２＝１．ｘ＋ ４ ２）．因为 点 Ｂ 在 圆 Ｏ 上， 所 以 （３ ）２ ＋ ２２ 设３ ３ ３ ００ ３φ ４ ３· 辅教导学· 数学通讯———２０１６年第１、２期（上半月） ２７（ｙ＋ｙ０）２ ＝１，即（ｘ＋ ４）２ ＋ （ｙ＋ｙ ）２＝４．所 以２６５，槡６５２ ３ｙ０ ≤９解得－ ３ ≤ｙ０ ≤ ３． 所以，点Ａ 是圆ｘ２＋ｙ２＝１与圆（ｘ＋ ４）２ ＋即 点 Ｐ 的 纵 坐 标 的 取 值 范 围 是 ［－，槡６５］．（ｙ＋ｙ０）２＝４的公共点，于是有２－１≤３ ≤２＋１，解得－ 槡６５ ≤ｙ０ ≤槡６５，即点Ｐ 的纵坐 标的取值范围是［，槡６５］． 点评 与前面的三种方法相比，解析４ 的思维起点低，易于理解，思路清晰，但计算繁琐，特别是后面的高次不等式，更是学生的弱点 ——— 数字大，分解因式困难．３解析５ 注意到Ａ、Ｂ 为圆Ｏ 上两点，从而考 点评解析１是依托运动（旋转）找到解决的方法；解析２是由三角形的两边之差小于第三边和圆的弦中直径最长，得到ＯＰ－ｒ≤ＰＢ，ＢＡ ≤２ｒ，再由条件Ｂ 为ＡＰ 的中点沟通，形成一个不等式链，通过构造不等式达到解题的目的．这种求解的想法是源于前面的分析，是通过特殊到一般才形成的解题 虑圆的参数方程，设 Ａ（ｃｏｓα，ｓｉｎα），Ｂ（ｃｏｓβ，ｓｉｎβ）， Ｐ（４，ｙ０），由中点公式沟通α、β、ｙ０ 的关系，借助辅助角公式和三角函数的有界性构造不等式求解．因为Ｂ 为线段ＡＰ 的中点，所以２ｃｏｓ ＝ｃｏｓα＋ ４，过程．存在点Ｐ ∈ｌ，使得ＯＰ －ｒ≤ＰＢ ＝ＢＡ ≤２ｒ β ３ 成立，自然运用不等式思想，转化为不等式求解．求 解的过程简单，而思维的过程艰难．解析１呈现复杂 ２ｓｉｎβ＝ｓｉｎα＋ｙ０， 两式平方后相加，有而学生易于理解，解析２呈现简单而学生不易想到． ４ １ ８ α ２ ｓｉｎ １６ ２，如果把解析１的求解过程缩减，用相关的数学式子＝ ＋ ｃｏｓ ＋ ｙ０３α＋ ９ ＋ｙ０２． １ ２即８１１ ２表征，那么就得到解析 解析 是解析 的动态演 ｃｏｓα＋２ｙ０ｓｉｎα ＝ ３ ９－ｙ０． 示．解析３是从代数的角度入手，将点点、点圆的位置关系通过式子表示出来，进而转化为不等式求 所以ｓｉｎ（α＋φ）＝１１ ｙ２，其中 ９－ ０解，解析３是解析２的代数化．解析４ Ａ 为圆Ｏ 上的点，极易联想到圆的参φ 满足３ｙ０ｓｉｎφ ＝４ｃｏｓφ．１１ 数方程，设 （ ， ）， （４， ），由中点公式所以｜９－ｙ２｜≤ 平方后整理得 Ａ ｃｏｓθｓｉｎθ Ｐ３ｙ０ （２ ６５）（２７） ０， ｃｏｓθ＋ ４３ ｓｉｎθ＋ｙｙ０ － ９ ｙ０ ＋ ９≤ 求得Ｂ 的坐标Ｂ（，０），代入圆的６５２２所以ｙ２ ≤ ，解得 －≤ｙ０ ≤方程，用辅助角公式，借助三角函数的有界性构造所 以 ， 点 Ｐ 的 纵 坐 标 的 取 值 范 围 是 关于ｙ０ 的不等式，解不等式即可． 因为点Ｂ 在圆Ｏ 上，所以［－ 槡，． ３ ３ １（ｃｏｓθ＋ ４）２ ＋ １ （ｓｉｎθ＋ｙ０）２＝１， ４ ３ ４２ ｙ １１ ｙ２解析６ 同解析５，设 Ａ（ｃｏｓα，ｓｉｎα），Ｂ（ｃｏｓβ，ｓｉｎβ），Ｐ（４，ｙ０），因为Ｂ 为线段ＡＰ 的中点，所以 ｃｏｓθ＋ ３ ０ｓｉｎθ＝ － ０． ２ ３６ ４３２ｃｏｓ －ｃｏｓα ＝ ４，２ｓｉｎ －ｓｉｎα ＝ｙ０，两式平方后 １１ ｙ２β ３ β 所以９ｓｉｎ（θ＋ ）＝ － ３６０ ，其中φ１６ ２ ２ ２９ 满足３ｙｓｉｎ ＝４ｃｏｓ ．相加，得５＋４ｃｏｓ（β－α）＝ ９ ＋ｙ０，所以ｙ０ ＝ ９０ φ φ １１ ｙ２４ｃｏｓ（ ） ［ ７，６５］，解得 所以｜ － ｜≤ 平方后整理得 ＋ β－α ∈ － ≤ｙ０ ≤ ３６ ４ ９ ４ ９ ９ ３ （ｙ２ ６５）（ｙ２＋ ７）≤０，槡６５， 即 点 Ｐ 的 纵 坐 标 的 取 值 范 围 是 ０－ ９９３００ ０９ 即３ ００ ＰＢ ３３．０ ００ ２８槡６５槡６５数学通讯———２０１６年第１、２期（上半月） · 辅教导学·题２ 在平面直角坐标系ｘＯｙ 中，圆Ｏ：ｘ２＋ ［－３ ， ３］． 点评 相比解析４，解析５ 的计算量少了许多．在求解借助三角函数有界性构造的不等式时， 应用整体思想 ——— 换元化解计算难点．解析６ 相比解析４、解析５，计算应是最简的，是解析４、解析 ５的改进版、升级版．虽然都是借助三角函数的有界性构造不等式，但解析６ 的移项是神来之笔，如此做，不会出现高次方（少了平方），从而降低了计算的难度，学生也会更易于接受．解析７ 注意到Ａ、Ｂ、Ｐ 三点在同一直线上， 因此可以应用直线的参数方程，也能简化计算． 设 Ｐ（４，ｙ０），直 线 ＡＢ 的 参 数 方 程 为 烄ｘ ＝ ４ ＋ｔｃｏｓθ， ｙ２＝１，Ｐ 为坐标系内的一点，若存在过点 Ｐ 的直线交圆Ｏ 于点Ａ、Ｂ，且Ｂ 恰好为线段ＡＰ 的中点，求点Ｐ 的轨迹的面积．略解 显然，点Ｐ 在圆Ｏ 外，所以ＯＰ ＞１．另外，同题１的解析１或解析２可得ＯＰ ≤３．所以１ ＜ＯＰ ≤３，故点Ｐ 的轨迹是圆环，其面积为π·（３２－１２）＝８π．如果让题１中的直线ｌ也动起来，我们得到：题３ 在平面直角坐标系ｘＯｙ 中，圆Ｏ：ｘ２＋ ｙ２＝１，过点Ｑ（３槡２，３槡２）的直线ｌ上存在点Ｐ 满足：过点Ｐ 可以作圆Ｏ 的割线ＰＢＡ，使得 ＰＢ ＝ＢＡ，求直线ｌ的斜率ｋ 的取值范围． 略解 由题２可知：直线ｌ与圆ｘ２＋ｙ２＝９有 公共点即可，即只需原点Ｏ 到直线ｌ的距离ｄ ≤３． 烅３ ｔ为参数，θ为直线ＡＢ 的倾斜角， 烆ｙ ＝ｙ０ ＋ｔｓｉｎθ，代入圆Ｏ 的方程得（４ ＋ｔｃｏｓθ）２＋（ｙ ＋ｔｓｉｎθ）２＝ 又直线ｌ的方程为ｙ－３槡２ ＝ｋ（ｘ－３槡２），则原点 Ｏ 到直线ｌ 的距离ｄ ＝ ｜３槡２－３槡２ｋ｜≤３，解得 ３ 槡１＋ｋ２１，整理得ｔ２＋２（４ θ＋ｙ０ｓｉｎθ）ｔ＋ｙ２ ＋ ７ ＝０．２－槡３ ≤ｋ ≤２＋槡３．ｃｏｓ３ ９该方程有两个根ｔ０，２ｔ０，所以３ｔ０ ＝－２（４ θ 考虑分点的变化，我们得到： 题４ 在平面直角坐标系ｘＯｙ 中，圆Ｏ：ｘ２＋）， ２２ ７，消去 ，得 ｃｏｓ ３ｙ２＝１，Ｐ 为直线ｌ：ｘ ＝ ４ 上一点．若存在过点Ｐ ＋ｙ０ｓｉｎθ ２ｔ０ ＝ｙ０ ＋ ９ ｔ０ ３ ７ ８ ４ 的直线交圆Ｏ 于点Ａ、Ｂ，且→ ＝λ→（λ ＞ １）， ｙ２ ＋ ９ ＝ （ ｃｏｓθ＋ｙ０ｓｉｎθ）２９ ３ＰＢ ＢＡ ６８ ４ 求点Ｐ 的纵坐标的取值范围．＝ ·［（ ９ ３ ）２ ＋ｙ２］·ｓｉｎ２（θ＋φ）， 略解仿题１ 的解析２ 得 ＯＰ －ｒ ≤ ＰＢ ＝其中φ 满足３ｙ０ｓｉｎφ ＝４ｃｏｓφ．所以ｙ２＋ ７ ≤ ８·［（４）２＋ｙ２］，即ｙ２≤６５，λＢＡ ≤２λｒ，又ｒ ＝１，所以ＯＰ ≤２λ＋１． 设Ｐ（４，ｙ０），则１６ ＋ｙ２ ≤ （２λ＋１）２，解得 ９ ９ ３９３ ９ 槡６５ 槡６５（２λ １）２ １６ （２ １）２ １６ 解得－ ３≤ｙ０ ≤３ ． －槡 ＋ － ９≤ｙ０ ≤ 槡λ＋ － ９．所 以 ， 点 Ｐ 的 纵 坐 标 的 取 值 范 围 是 ［－槡６５，槡６５］． 如果让圆Ｏ 的半径可变化，同时，直线ｌ的位置也发生变化，我们得到：题５ 在平面直角坐标系ｘＯｙ 中，圆Ｏ：ｘ２＋３３点评解析７的求解关键是对直线的参数方程中ｔ的几何意义的认知．二、拓展ｙ２ ＝ｒ２（ｒ＞０），Ｐ 为直线ｌ：ｘ＝ｍ（ｍ ＞ｒ）上一点．若存在过点 Ｐ 的直线交圆Ｏ 于点Ａ、Ｂ，且→ ＝ λ→（λ＞ ｍ － １），求点Ｐ 的纵坐标的取值范围． ＢＡ２ｒ ２由题１的解析１可知，第（２）小题中，满足条件 的点Ｐ 的轨迹是线段Ｐ１Ｐ２，它的长度为２ 槡６５ 题１中，Ｐ 为直线ｘ ＝ ４ 上的点，如果去掉这 一限制条件，情况又如何呢？我们考虑下面的题２．略解仿题１ 的解析２ 得ＯＰ －ｒ ≤ ＰＢ ＝λＢＡ ≤２λｒ，又ｒ ＝１，所以ＯＰ ≤ （２λ＋１）ｒ． 设Ｐ（ｍ，ｙ０），则 ｍ２ ＋ｙ２ ≤ （２λ＋１）２ｒ２，解 得 － 槡（２λ＋１）２ｒ２ －ｍ２ ≤ｙ０ ≤ 槡（２λ＋１）２ｒ２ －ｍ２． 三、类题再现００００２８２ＡＮ ＭＣ ＝２槡２ ２槡２ｃｏｓθ＝８ｃｏｓθ． ＡＣ ＡＮ １ ２ ＯＡ ＝ｅ１ ＯＣ ＝ｅ２ ＯＣ ＯＡ 而 · ·（ ） · ２，得 · ，则 · 辅教导学· 数学通讯———２０１６年第１、２期（上半月） ２９题６ （２０１４年江苏南通五校联考，１８）已知 △ＡＢＣ 的三个顶点Ａ（－１，０），Ｂ（１，０），Ｃ（３，２），其外接圆为圆 Ｈ ．（１）求圆 Ｈ 的方程； （２）若直线ｌ过点Ｃ，且被圆 Ｈ 截得的弦长为 ２，求直线ｌ的方程； （３）对于线段 ＨＢ 上的任意一点Ｐ，若在以Ｃ为圆心的圆上都存在不同的两点 Ｍ ，Ｎ，使得点 Ｍ是线段ＰＮ 的中点，求圆Ｃ 的半径ｒ 的取值范围．答案：（１）ｘ２ ＋ （ｙ－３）２＝１０；（２）ｘ ＝３或４ｘ －３ｙ－６＝０；（３）［槡１０，４ 槡１０）． （ｘ－２）２ ＋ｙ２＝１，点Ｐ 在直线ｌ：ｘ＋ｙ＋１＝０上，若过点Ｐ 存在直线ｍ 与圆Ｃ 交于Ａ、Ｂ 两点，且点 Ａ 为ＰＢ 的中点，则点Ｐ 的横坐标ｘ０ 的取值范围是 ．答案：［－１，２］． 题８ （２０１４年苏州期末）已知圆Ｍ：（ｘ－１）２＋ （ｙ－１）２＝４，直线ｌ：ｘ＋ｙ－６＝０，Ａ 为直线ｌ上一点，若圆 Ｍ 上存在两点Ｂ、Ｃ 使得 ∠ＢＡＣ ＝ ６０°，则点Ａ 的横坐标ｘ 的取值范围是 ．答案：［１，５］．３ ５（收稿日期：２０１５－１０－１４） 题７ （２０１４年江苏百校联考，１３）已知圆Ｃ：向量数量积的几何意义在高考填空题中的应用屠新跃（浙江省嘉兴市秀州中学，３１４０００）向量是沟通代数、几何的工具，向量在解决问题时主要考虑三个方面：纯向量、坐标、几何意义． 本文介绍向量数量积的几何意义在２０１５年浙江高考试题的三个填空题中的应用．用向量，因为ＡＮ ＝ ＭＣ ＝ ２槡２，由向量的数量积定义，得→·→ · → → → → １ → →ＡＮ ＭＣ ＝ ＡＮ ＡＣ － ２ＡＤ ＝ ＡＣ例１ （２０１５年浙 → １ → →，根据向量数量积的几何意义： 江理科试题 １３）如图 １，在三棱锥 Ａ—ＢＣＤ 中，ＡＢ ＝ＡＣ ＝ＢＤ ＝ ＣＤ ＝３，ＡＤ ＝ ＢＣ ＝ ＡＮ － ２ＡＮ·ＡＤ ａ· ｂ等于ａ的模与ｂ在ａ方向上投影的乘积．由题意并结合图形得，→ 在→ 方向上的投影是ＡＮ ＝ ２槡２，→ 在→ 方向上的投影是ＡＭ ＝ １，那么， ２， 点 Ｍ，Ｎ 分 别 是 ＡＮ ＡＤ→·→ ·，→·→ ＡＣ ＡＮ ＝２ 槡２ ２槡２ ＝８ ＡＮ ＡＤ ＝２×１＝ ＡＤ ，ＢＣ 的中点，则异面直线 ＡＮ ，ＣＭ 所成 的 角 的 余 弦 值 图１是．分析 本题主要考察异面直线所成的角如何求解的问题，题型较常规，难度也不大．一般的思 → → １ ７ＡＮ ＭＣ ＝８－ ２ ×２＝７ ｃｏｓθ＝ ８． 例２ （２０１５年浙江文科试题１３）已知ｅ ，ｅ 是平面单位向量，且ｅ１·ｅ２ ＝１，若平面向量ｂ满足： ｂ·ｅ１ ＝ ｂ·ｅ２ ＝１，则｜ｂ｜＝ ． 路是取 ＤＮ 的中点Ｆ，可得 ＭＦ 槡２，ＣＭ ２槡２， 解 设→ ，→ ，由题意→ 在→ 上 ＦＣ ＝ 槡３，再利用余弦定理，就能算得结论是７． 另解 设异面直线ＡＮ ，ＣＭ 所成的角为θ，利 的投影是 １，可 知 △ＡＯＣ 是正三角形，∠ＡＯＣ ＝ π． ３＝ ＝。
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证明 ： Ｄ是 ‘ 、 ｃ 的 中点 ， 作Ｄ Ｅ＿ Ｌ Ａ Ｂ， 由勾股定 理和折
弦定 理 ，知Ｄ Ａ 一 Ｄ ＝ （ Ｄ 酽十 Ａ ） 一 （ Ｄ ＋ Ｅ ） Ｅ ２ 一 Ｂ Ｅ ２ ＝
（ Ａ ＋ Ｂ Ｅ） （ Ａ Ｅ — Ｂ Ｅ） ＝ Ａ Ｂ・ Ｂ ｅ
故选Ｃ ．
以 Ｃ Ｍ￣Ｇ Ｂ Ｍ， 贝 Ｍ ＝ Ｇ Ｍ． 而 ｊ － ＡＧ ， 所 以Ａ Ｐ ＝ Ｐ Ｇ ，
所 以曰 ＋ Ｇ Ｐ 十 Ａ Ｃ ＝ ３ ．
故选 Ｃ ．
说 明： 通过“ 截长法” 构 造 全 等 角形 的性 质 ． 将 三 条 线段 联 系起 来
解 法４ ：如 图５ ，延 长
以Ｐ Ｂ＝ Ｐ Ｇ＋ Ｇ Ｂ Ｐ － ＝ ＡＣ ３ ．
解法５ ： 如 图６ ， 过 点Ｍ作
Ｍ Ｎ Ｊ － ＡＣ 交 的延 长 线 于点 Ⅳ， 连接 、 ＭＢ ． 因为 ： 廊 ， 所 以ＭＣ ：
， ／ ＿ ＿ ＭＢ Ｐ －／ ＝ ＿ＭＣ Ｎ， 图６
故选Ｃ ．
解法６ ： 如 图７ ， 延长 Ｃ Ａ至 Ⅳ， 使Ａ Ⅳ ； Ａ Ｐ ， 连接Ｂ Ｃ ． 因 为 ＝廊 ， 所 以
厶 Ｍ ＡＢ： Ｍ ＣＢ＝厶 Ｍ ＢＣ．
因为 、 、 Ｃ、 Ａ四点共 圆 ，
所 以 Ⅳ ＿ ＭＢ Ｃ ． ｉ ｆ Ｊ ｒ Ｉ ） Ｓ ＬＭ Ａ Ｎ ＝ ＬＭＡ Ｐ ． 图７
解 法３ ： 如 图４ ， 在Ｂ Ｐ 上截 取 Ｂ Ｇ＝ ＡＣ ， 连 接Ａ Ｍ、 Ｃ Ｍ、
初 中 版
２ ０ １ ３ 年１ 月
全 等 三 角形 的性 质 ． 其 实 则是 “ 补短法” ．
新颖 试 题
竞赛试题 ， 因此受 到很多人 的关 注 ， 其逆命题 也成立 ， 即 阿基米德折 弦定理 的逆定理 ： 已知在 ＡＡ Ｂ Ｃ 中， Ｅ 为Ａ Ｂ 上一 点 ， 过点Ｅ 作 Ｂ 的垂 线 交 ＡＡ Ｂ Ｃ 的外接圆于点Ｄ， 若Ａ Ｅ ＝ 船＋ Ｃ ８， 则Ｄ 为 、 ｃ 的 中 点（ 如图８ ） ．
新颖 试 题
２ ０ １ ３ 年１ 月
一
道月考试题的多角度探究
⑩ 安 徽 省 南 陵 县 春谷 中 学 邹 守 文
在２ ０ １ ２ 年１ １ 月 我校 月 考
ＢＭ 、 Ｇ ．
因为点 是劣弧Ｃ Ａ Ｂ的中 点， 所以Ｃ Ｍ＝ Ｂ Ｍ ． 又因为 Ｃ Ｍ＝ ＡＧ Ｂ Ｍ， 所
说明： 和 解 法５ 不 同 的是 ． 直接使 用“ 补 短 法” 构 造 全
等三 角形 ． 其 中涉及 “ 圆 内接 四边形的一个外 角等 于其 内
角 的对 角 ” 的性 质．
帔
圆于点Ｅ，连接 Ｃ Ｅ 并
延长交Ｂ Ａ的延长线于点Ｄ ． 因为 砌 ＝ 廊 ，所 以
厶Ｃ Ｅ Ｍ： Ｂ Ｅ Ｍ， 厶ＤＥ Ｍ＝厶 Ｂ Ｅ Ｍ． 图５
又 由Ａ Ｂ上嘶
以＾ Ｃ ＋ ： ＋
一
＝ Ｄ， 所 以Ｄ Ｐ ＝ Ｂ Ｐ ．
因为 、 Ａ、 Ｃ、 Ｅ 四点共 圆 ， 所 以／ ＿ ＿ Ｂ ＝ ／ － － ． １ ． ＾ ｃ ＋
解 法２ ：如 图３ ，过 作
Ａ
ＭＢ．
ＭＨ∥Ａ 曰 交
于 ４Ｈ，过点
又 Ⅳ＿
Ｈ作 Ｈ Ｇ＿ Ｉ ＿ Ａ Ｂ 交Ａ Ｂ 于 点 Ｇ， 则
四边形 Ｐ Ｇ Ｈ Ｍ为矩 形 ， 以下 同 解 法１ ． 图３
所１ ＡＭ Ｂ Ｐ ￣ ＭＣ Ｎ Ｃ Ｎ ＝ Ｂ Ｐ ． Ｍ Ｎ ＝ ＭＰ ． 因为ＡＮ ＝ ／ ＭＰ Ｂ － ９ ０ ￣ ， ｊ Ｉ ； ， 所以ＡＭ Ａ Ｎ＇ Ｉ ＂
图２
所以 Ｄ ＝ １ ， 于是Ａ Ｄ Ｃ
所 以Ｂ Ｐ － ＝ Ｄ Ｐ － ＝ Ｄ Ａ ＋ Ａ Ｐ － ＝ ＡＣ ＋ Ａ １ ＋ ２ ＝ ３ ．
ｖ ’ ＿ Ｍ — Ｎ ＋ Ｂ — Ｎ ． 所 以 ＝ ２
作Ｇ Ｈ与蛾
Ｈ， 则廊 妖＼
于Ｏ Ｎ Ｘ ￣ 称， 交Ａ 于点Ｇ，交
于点
故选Ｃ ．
说 明：本法巧妙 利用 圆内接 四边形的性 质和等腰三 角形的判 定与性质 ．在没有借助三 角形全等的基础上获
： 函 ． ： ． 妖 Ｃ Ｈ。 Ａ Ｍ＝ Ｂ Ｈ． ＭＰ ： Ｈ Ｇ ．
得 解法． 自然简洁、 赏心悦 目．
所 以ＡＡ Ｐ Ｍ￣ＡＢ Ｇ Ｈ， ￣ ］ ｔ Ａ Ｐ ＝ Ｂ Ｇ ． 又易证 四边形Ｐ Ｇ Ｈ Ｍ为矩形 ， 所 以Ｐ Ｇ ＝ 螂 ＝ Ａ Ｃ ＝ Ｉ ， 所
Ａ Ｂ 和 ｃ （ Ａ Ｂ Ｃ ） 是６ ３０ 的折 弦 ， Ｄ 是 的 中点 ， 则
ＤＢ ２ 一 ＤＡＺ ＝ ＡＢ ・ ＢＣ．
而 ＬＭＣ Ｎ ＝ ＬＭＢ Ｐ ， 所 以 ＡＭＢ Ｐ ￣△ Ｃ Ⅳ， 则ｃ Ⅳ ＝
所 以Ｂ Ｐ ＝ Ｃ Ｎ ＝ Ｃ Ａ ＋ Ａ Ｎ ＝ ＡＣ ＋ Ａ Ｐ ＝ １ ＋ ２ ＝ ３ ．
三、 阿基米 德 折弦定 理 的推论 及其 运用
由阿基 米德折 弦定理 可以得 到一个 推论 ：
推论 ： Ａ Ｂ 和Ｂ Ｃ （ Ａ Ｂ ＞ Ｂ Ｃ ） 是６ ３ ０的折 弦 ， Ｄ 是 点， ￣ Ｊ Ｉ Ｄ Ａ Ｚ ＝ Ａ Ｂ・ Ｂ Ｃ； 的中
因￣Ａ Ｎ ＝ Ａ Ｐ ， ＬＭ Ａ Ｎ ＝ ／ ＿ ＿ ＭＡ Ｐ ， Ａ Ｍ－ － Ａ Ｍ， 所 以ＡＭＡ Ｐ ， － ￣ ＡＭ Ａ Ｎ， 则 ＡＮ ＝ ＬＭＰ Ａ ＝ ＬＭ Ｐ Ｂ ＝ ９ ０ ￣ ， ＭＮ ＝ ＭＰ ． 由 ｊ ｉ ， 得 Ｃ ８ ．
△ Ｐ ， 则Ｍ ； Ａ
所 以Ｂ Ｃ ｃ Ａ ＋ Ａ Ｎ ＝ Ａ Ｃ ＋ Ａ Ｐ － ＝ １ ＋ ２ ＝ ３ ． 故选Ｃ ．
说 明： 本解法通过作垂线构造直角三角形 ． 两次利 用Байду номын сангаас
说明： 解 法１ 和解 法２ 充分利用 了圆的轴对称 性 ． 而解
法２ 更 加 简 洁． ．